{
  "chapter": {
    "id": "derivation-convexite",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Dérivation et convexité",
    "description": "Dérivées usuelles et opérations (produit, quotient, composée\n$e^{u}$), tangente, lien signe de la dérivée / variations,\nconvexité : dérivée seconde, position par rapport aux tangentes,\npoints d'inflexion, inégalités de convexité.",
    "parties": [
      {
        "id": "derivees",
        "title": "Dérivées et formules"
      },
      {
        "id": "variations",
        "title": "Variations et extremums"
      },
      {
        "id": "convexite",
        "title": "Convexité et points d'inflexion"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "derivees-usuelles"
      ],
      "title": "Dérivée de $x^3$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = x^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 3x^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(x^n)' = n\\,x^{n-1}$, ici $n = 3$ donne\n$3x^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du coefficient : l'exposant descend en facteur.\n$(x^3)' = 3x^2$, pas $x^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant doit **diminuer** de $1$. On multiplie\npar $3$ puis on passe à $x^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{x^4}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\dfrac{x^4}{4}$ est une **primitive** de\n$x^3$, c'est l'opération inverse de la dérivation."
        }
      ],
      "explanation": "Formule $(x^n)' = n\\,x^{n-1}$ : l'exposant descend en facteur et\ndiminue de $1$. Donc $(x^3)' = 3x^2$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "tangente"
      ],
      "title": "Équation de la tangente",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à\nla courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = f'(a)(x - a) + f(a)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : droite de pente $f'(a)$ passant par le point\n$(a\\,;\\,f(a))$."
        },
        {
          "text": "$y = f(a)(x - a) + f'(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'échange : la **pente** est le nombre dérivé\n$f'(a)$, et le point de passage a pour ordonnée $f(a)$, pas\nl'inverse."
        },
        {
          "text": "$y = f'(a)\\,x + f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque le décalage $-a$. Cette droite passe par\n$(0\\,;\\,f(a))$ et non par le point de tangence\n$(a\\,;\\,f(a))$ (sauf si $a = 0$)."
        },
        {
          "text": "$y = f'(x)(x - a) + f(a)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pente d'une tangente est un **nombre**, $f'(a)$,\névalué au point de tangence. Avec $f'(x)$, l'équation ne\ndécrit plus une droite."
        }
      ],
      "explanation": "Tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Elle passe par\n$(a\\,;\\,f(a))$ et a pour coefficient directeur le nombre dérivé\n$f'(a)$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "produit"
      ],
      "title": "Dérivée d'un produit",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Quelle est la\ndérivée du produit $uv$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(uv)' = u'v + uv'$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur est dérivé à tour de rôle,\nl'autre restant intact, puis on additionne."
        },
        {
          "text": "$(uv)' = u'v'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur très fréquente : la dérivée d'un produit n'est\n**pas** le produit des dérivées. Contre-exemple :\n$(x \\cdot x)' = 2x$ alors que $x' \\cdot x' = 1$."
        },
        {
          "text": "$(uv)' = u'v - uv'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le **moins** apparaît dans la dérivée d'un\nquotient (au numérateur), pas dans celle d'un produit."
        },
        {
          "text": "$(uv)' = u' + v'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u' + v'$ est la dérivée de la **somme** $u + v$.\nLe produit suit la règle $u'v + uv'$."
        }
      ],
      "explanation": "Règle du produit : $(uv)' = u'v + uv'$. À distinguer de la somme\n($(u+v)' = u' + v'$) et du quotient\n($\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$)."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "composee",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Dérivée de $e^{@k@x}$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = e^{2x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\,e^{2x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ avec $u(x) = 2x$ et\n$u'(x) = 2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.\nPour $e^{2x}$, la dérivation fait sortir le facteur $2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\,e^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde\n$e^{2x}$ et on multiplie par $u' = 2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{2x - 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as appliqué la règle des puissances\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est\nen **exposant** : la règle est $(e^u)' = u'e^u$."
        }
      ],
      "explanation": "$(e^{u})' = u'\\,e^{u}$. Avec $u(x) = 2x$ :\n$f'(x) = 2\\,e^{2x}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = e^{2x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\,e^{2x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ avec $u(x) = 2x$ et\n$u'(x) = 2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.\nPour $e^{2x}$, la dérivation fait sortir le facteur $2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\,e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde\n$e^{2x}$ et on multiplie par $u' = 2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2x\\,e^{2x - 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as appliqué la règle des puissances\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est\nen **exposant** : la règle est $(e^u)' = u'e^u$."
            }
          ],
          "explanation": "$(e^{u})' = u'\\,e^{u}$. Avec $u(x) = 2x$ :\n$f'(x) = 2\\,e^{2x}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = e^{3x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\,e^{3x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ avec $u(x) = 3x$ et\n$u'(x) = 3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.\nPour $e^{3x}$, la dérivation fait sortir le facteur $3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\,e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde\n$e^{3x}$ et on multiplie par $u' = 3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3x\\,e^{3x - 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as appliqué la règle des puissances\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est\nen **exposant** : la règle est $(e^u)' = u'e^u$."
            }
          ],
          "explanation": "$(e^{u})' = u'\\,e^{u}$. Avec $u(x) = 3x$ :\n$f'(x) = 3\\,e^{3x}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = e^{5x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\,e^{5x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ avec $u(x) = 5x$ et\n$u'(x) = 5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.\nPour $e^{5x}$, la dérivation fait sortir le facteur $5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\,e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde\n$e^{5x}$ et on multiplie par $u' = 5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 5x\\,e^{5x - 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as appliqué la règle des puissances\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est\nen **exposant** : la règle est $(e^u)' = u'e^u$."
            }
          ],
          "explanation": "$(e^{u})' = u'\\,e^{u}$. Avec $u(x) = 5x$ :\n$f'(x) = 5\\,e^{5x}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$\npar $f(x) = e^{4x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\,e^{4x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(e^{u})' = u'\\,e^{u}$ avec $u(x) = 4x$ et\n$u'(x) = 4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = e^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : seule $e^x$ est sa propre dérivée.\nPour $e^{4x}$, la dérivation fait sortir le facteur $4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\,e^{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne change pas en dérivant. On garde\n$e^{4x}$ et on multiplie par $u' = 4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4x\\,e^{4x - 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as appliqué la règle des puissances\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ à une exponentielle. Ici la variable est\nen **exposant** : la règle est $(e^u)' = u'e^u$."
            }
          ],
          "explanation": "$(e^{u})' = u'\\,e^{u}$. Avec $u(x) = 4x$ :\n$f'(x) = 4\\,e^{4x}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variations",
        "signe-derivee"
      ],
      "title": "Du signe de $f'$ aux variations",
      "partie": "variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec\n$f'(x) = (x - 2)(x + 1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ndécroissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur $[-1\\,;\\,2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'$ est un trinôme de racines $-1$ et $2$\navec coefficient dominant positif : $f' < 0$ entre ses\nracines, donc $f$ décroît sur $[-1\\,;\\,2]$."
        },
        {
          "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et\nleur produit est **positif** : $f$ y est croissante."
        },
        {
          "text": "Sur $[2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x > 2$, les deux facteurs sont positifs,\ndonc $f' > 0$ et $f$ croît."
        },
        {
          "text": "Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un produit est négatif quand ses deux facteurs sont\nde **signes contraires**, ce qui arrive ici pour\n$-1 < x < 2$."
        }
      ],
      "explanation": "$f'(x) = (x-2)(x+1)$ est négatif exactement entre ses racines\n$-1$ et $2$ (trinôme à coefficient dominant positif). Donc $f$\nest décroissante sur $[-1\\,;\\,2]$ et croissante ailleurs."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "convexite",
        "definition"
      ],
      "title": "Convexité et dérivée seconde",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. À quelle\ncondition $f$ est-elle convexe sur $I$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f''(x) \\geq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ convexe sur $I$ équivaut à $f''$ positive\nsur $I$ (c'est-à-dire $f'$ croissante)."
        },
        {
          "text": "$f''(x) \\leq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f'' \\leq 0$ caractérise la **concavité**. Moyen\nmémo : la parabole $x^2$ est convexe et $(x^2)'' = 2 > 0$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) \\geq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f' \\geq 0$ donne la **croissance**, pas la\nconvexité. Une fonction peut être décroissante et convexe\n(comme $e^{-x}$)."
        },
        {
          "text": "$f(x) \\geq 0$ pour tout $x$ de $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de $f$ elle-même n'a aucun lien avec sa\nforme. La convexité parle de la **courbure**, lue sur $f''$."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie à retenir : le signe de $f$ dit où est la courbe, le\nsigne de $f'$ dit si elle monte, le signe de $f''$ dit comment\nelle tourne : $f'' \\geq 0$ sur $I$ $\\Leftrightarrow$ $f$ convexe\nsur $I$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inflexion",
        "piege"
      ],
      "title": "Point d'inflexion",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Soit $f$ deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de\n$f$ admette un point d'inflexion en $x = a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Que $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'inflexion est un changement de courbure\n(convexe/concave), donc un changement de signe de $f''$."
        },
        {
          "text": "Que $f''(a) = 0$, sans autre condition",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : pour $f(x) = x^4$, $f''(0) = 0$ mais\n$f'' = 12x^2 \\geq 0$ ne change pas de signe : pas\nd'inflexion en $0$, la courbe reste convexe."
        },
        {
          "text": "Que $f'(a) = 0$ et que $f''(a) = 0$ simultanément",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f'(a) = 0$ n'est pas requis (la tangente en un\npoint d'inflexion peut être oblique), et $f''(a) = 0$ ne\nsuffit pas sans changement de signe ($x^4$ en $0$)."
        },
        {
          "text": "Que la tangente en $a$ soit horizontale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inflexion n'impose rien à la pente. En un point\nd'inflexion, la tangente **traverse** la courbe, qu'elle\nsoit horizontale ou non."
        }
      ],
      "explanation": "Point d'inflexion $\\Leftrightarrow$ changement de convexité\n$\\Leftrightarrow$ $f''$ change de signe. L'annulation seule de\n$f''$ ne suffit pas ($x^4$ en $0$)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "convexite"
      ],
      "title": "Lire la convexité sur une courbe",
      "partie": "variations",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente la fonction $f$\ndéfinie par $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$\nest-elle convexe ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte\njusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum\nlocal (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée\nvers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite\nde 0.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"131.804pt\" height=\"211.707pt\" viewBox=\"0 0 131.804 211.707\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.953125 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.84375 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.375 0.109375 4.9375 -1.171875 4.9375 -1.421875 C 4.9375 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.734375 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.6875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.328125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.84375 -3.796875 C 4.875 -3.9375 4.875 -3.953125 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.203125 4.734375 -4.296875 4.59375 -4.296875 C 4.484375 -4.296875 4.328125 -4.234375 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.546875 C 4.03125 -3.28125 3.96875 -3.015625 3.90625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.828125 -0.109375 1.71875 -0.546875 1.71875 -0.921875 C 1.71875 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.28125 2.421875 -3.390625 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.40625 1.609375 -4.40625 C 0.65625 -4.40625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.953125 C 0.84375 -3.875 1.234375 -4.1875 1.578125 -4.1875 C 1.65625 -4.1875 1.828125 -4.1875 1.828125 -3.859375 C 1.828125 -3.609375 1.71875 -3.359375 1.65625 -3.171875 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.296875 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.171875 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2.015625 1.828125 1.546875 1.828125 C 1.40625 1.828125 0.96875 1.796875 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.0625 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.046875 1.546875 2.046875 C 2.578125 2.046875 3.609375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.84375 -3.796875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.046875 -2.046875 C 6.203125 -2.046875 6.375 -2.046875 6.375 -2.25 C 6.375 -2.4375 6.203125 -2.4375 6.046875 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.046875 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.5625 -1.484375 4.5 -1.484375 C 4.40625 -1.484375 4.03125 -1.359375 3.828125 -1.0625 C 3.59375 -0.75 3.234375 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.859375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.296875 -5.53125 2.8125 -5.8125 3.53125 -5.8125 C 3.96875 -5.8125 4.125 -5.65625 4.125 -5.34375 C 4.125 -5.015625 3.75 -4.328125 3.703125 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.09375 C 3.625 -4.03125 3.6875 -4.03125 3.71875 -4.03125 C 3.875 -4.03125 4.234375 -4.21875 4.375 -4.40625 C 4.40625 -4.46875 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.734375 C 4.890625 -6.140625 4.640625 -6.3125 4.15625 -6.3125 C 3.078125 -6.3125 2 -5.734375 1.3125 -4.953125 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.859375 C 0.125 -0.5 0.875 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.578125 -2.328125 L 3.1875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.390625 -2.328125 3.390625 -2.484375 C 3.390625 -2.578125 3.3125 -2.578125 3.203125 -2.578125 L 2.609375 -2.578125 C 2.796875 -3.546875 2.796875 -3.5625 2.8125 -3.671875 C 2.84375 -3.796875 2.859375 -3.859375 2.953125 -3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 3 8 L 116 8 L 116 211.402344 L 3 211.402344 Z M 3 8 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -53.573507 -79.369499 L 53.573872 -79.369499 M -53.573507 -59.527537 L 53.573872 -59.527537 M -53.573507 -39.685575 L 53.573872 -39.685575 M -53.573507 -19.843613 L 53.573872 -19.843613 M -53.573507 -0.00165019 L 53.573872 -0.00165019 M -53.573507 19.844224 L 53.573872 19.844224 M -53.573507 39.686186 L 53.573872 39.686186 M -53.573507 59.528149 L 53.573872 59.528149 M -53.573507 79.370111 L 53.573872 79.370111 M -39.685699 -93.26122 L -39.685699 93.261832 M -19.843736 -93.26122 L -19.843736 93.261832 M -0.00177396 -93.26122 L -0.00177396 93.261832 M 19.8441 -93.26122 L 19.8441 93.261832 M 39.686063 -93.26122 L 39.686063 93.261832 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -57.544247 -0.00165019 L 57.145581 -0.00165019 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072675 2.39253 C -1.693205 0.956804 -0.848201 0.280018 0.000716203 -0.00165019 C -0.848201 -0.279406 -1.693205 -0.956193 -2.072675 -2.391918 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 116.905535, 112.131165)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"120.617635\" y=\"119.929568\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00177396 -97.228048 L -0.00177396 96.82963 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073987 2.392042 C -1.694517 0.956316 -0.849512 0.27953 -0.000595414 0.00177396 C -0.849512 -0.279894 -1.694517 -0.95668 -2.073987 -2.392406 \" transform=\"matrix(0, -0.998515, -0.998515, 0, 59.646303, 15.245499)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"50.897313\" y=\"9.599635\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"14.140972\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"21.298328\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.954508\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"41.110866\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"77.158261\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"96.971797\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"75.3908\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"35.764726\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -44.646189 -92.083691 C -44.646189 -92.083691 -41.958605 -61.43271 -40.925821 -51.316126 C -39.893038 -41.203454 -38.238237 -27.010504 -37.205453 -19.182475 C -36.17267 -11.354445 -34.517869 -0.658876 -33.485085 5.099675 C -32.452302 10.858225 -30.797501 18.416323 -29.764717 22.324469 C -28.731934 26.232616 -27.077133 30.993592 -26.044349 33.266498 C -25.011566 35.539404 -23.356765 37.859255 -22.323982 38.715996 C -21.291198 39.576649 -19.636397 39.795724 -18.603614 39.459287 C -17.57083 39.118938 -15.916029 37.593235 -14.883246 36.274871 C -13.850462 34.956507 -12.195661 32.034199 -11.162878 29.952984 C -10.130094 27.871769 -8.475293 23.901029 -7.44251 21.276038 C -6.409726 18.651046 -4.751013 13.98396 -3.722142 11.030356 C -2.689358 8.076751 -1.030645 3.061492 -0.00177396 -0.00165019 C 1.03101 -3.06088 2.689723 -8.080052 3.718594 -11.029744 C 4.751377 -13.983348 6.41009 -18.650435 7.442874 -21.275426 C 8.471745 -23.900417 10.130458 -27.871157 11.163242 -29.952372 C 12.192113 -32.033588 13.850826 -34.955896 14.88361 -36.27426 C 15.912481 -37.592623 17.571194 -39.118326 18.603978 -39.458675 C 19.636761 -39.795112 21.291562 -39.576037 22.324346 -38.715384 C 23.357129 -37.858643 25.01193 -35.542705 26.044714 -33.265886 C 27.077497 -30.99298 28.732298 -26.232005 29.765082 -22.323858 C 30.797865 -18.415711 32.452666 -10.861525 33.485449 -5.102975 C 34.518233 0.659488 36.173034 11.355057 37.205817 19.183086 C 38.238601 27.011116 39.893402 41.204065 40.926185 51.316737 C 41.958969 61.429409 44.646553 92.084302 44.646553 92.084302 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"103.375275\" y=\"42.753334\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"108.233051\" y=\"43.813757\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Sur $[0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »\n(tournée vers le haut) et se situe au-dessus de ses\ntangentes. Par le calcul : $f''(x) = 6x \\geq 0$ pour\n$x \\geq 0$."
        },
        {
          "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,0]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : à gauche de $0$ la courbe est bombée vers le haut,\nsous ses tangentes : c'est la partie **concave**\n($f''(x) = 6x \\leq 0$)."
        },
        {
          "text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ et $1$ sont les abscisses des extremums\nlocaux (lus sur $f'$), pas des changements de courbure. La\ncourbure change en $0$."
        },
        {
          "text": "Nulle part : la fonction n'est pas convexe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la convexité se juge **par intervalle**. Cette\ncourbe est concave sur $]-\\infty\\,;\\,0]$ puis convexe sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$."
        }
      ],
      "explanation": "Graphiquement, $f$ est convexe là où sa courbe est tournée vers\nle haut, au-dessus de ses tangentes : ici à partir de l'origine.\nPar le calcul : $f''(x) = 6x \\geq 0 \\Leftrightarrow x \\geq 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "inflexion"
      ],
      "title": "Lire un point d'inflexion",
      "partie": "variations",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente\n$f(x) = x^3 - 3x$. En quel(s) point(s) admet-elle un point\nd'inflexion ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : elle monte\njusqu'au maximum local (-1 ; 2), redescend jusqu'au minimum\nlocal (1 ; -2) puis remonte. Elle traverse l'origine, bombée\nvers le haut à gauche de 0 et creusée vers le haut à droite\nde 0.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"131.804pt\" height=\"211.707pt\" viewBox=\"0 0 131.804 211.707\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.328125 -3 C 3.390625 -3.265625 3.609375 -4.1875 4.3125 -4.1875 C 4.359375 -4.1875 4.59375 -4.1875 4.8125 -4.046875 C 4.53125 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.359375 4.4375 -3.171875 4.703125 -3.171875 C 4.921875 -3.171875 5.25 -3.34375 5.25 -3.75 C 5.25 -4.265625 4.65625 -4.40625 4.3125 -4.40625 C 3.75 -4.40625 3.390625 -3.875 3.28125 -3.640625 C 3.03125 -4.296875 2.484375 -4.40625 2.203125 -4.40625 C 1.171875 -4.40625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.9375 1.84375 -4.1875 2.1875 -4.1875 C 2.375 -4.1875 2.71875 -4.09375 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.1875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 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1.796875 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.0625 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.046875 1.546875 2.046875 C 2.578125 2.046875 3.609375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.84375 -3.796875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.046875 -2.046875 C 6.203125 -2.046875 6.375 -2.046875 6.375 -2.25 C 6.375 -2.4375 6.203125 -2.4375 6.046875 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.046875 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.5625 -1.484375 4.5 -1.484375 C 4.40625 -1.484375 4.03125 -1.359375 3.828125 -1.0625 C 3.59375 -0.75 3.234375 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.859375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.296875 -5.53125 2.8125 -5.8125 3.53125 -5.8125 C 3.96875 -5.8125 4.125 -5.65625 4.125 -5.34375 C 4.125 -5.015625 3.75 -4.328125 3.703125 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.09375 C 3.625 -4.03125 3.6875 -4.03125 3.71875 -4.03125 C 3.875 -4.03125 4.234375 -4.21875 4.375 -4.40625 C 4.40625 -4.46875 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.734375 C 4.890625 -6.140625 4.640625 -6.3125 4.15625 -6.3125 C 3.078125 -6.3125 2 -5.734375 1.3125 -4.953125 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.859375 C 0.125 -0.5 0.875 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 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-0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.578125 -2.328125 L 3.1875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.390625 -2.328125 3.390625 -2.484375 C 3.390625 -2.578125 3.3125 -2.578125 3.203125 -2.578125 L 2.609375 -2.578125 C 2.796875 -3.546875 2.796875 -3.5625 2.8125 -3.671875 C 2.84375 -3.796875 2.859375 -3.859375 2.953125 -3.921875 C 3.015625 -3.984375 3.078125 -4 3.15625 -4 C 3.265625 -4 3.359375 -4 3.4375 -3.953125 C 3.3125 -3.90625 3.21875 -3.765625 3.21875 -3.625 C 3.21875 -3.5 3.3125 -3.40625 3.453125 -3.40625 C 3.609375 -3.40625 3.796875 -3.53125 3.796875 -3.765625 C 3.796875 -4.09375 3.421875 -4.203125 3.15625 -4.203125 C 2.890625 -4.203125 2.484375 -4.078125 2.3125 -3.484375 C 2.265625 -3.328125 2.25 -3.21875 2.203125 -3 C 2.171875 -2.828125 2.15625 -2.75 2.125 -2.578125 L 1.640625 -2.578125 C 1.515625 -2.578125 1.4375 -2.578125 1.4375 -2.421875 C 1.4375 -2.328125 1.515625 -2.328125 1.625 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.75 -0.4375 C 1.5625 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.765625 C 1.390625 0.90625 1.296875 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.109375 1.015625 0.96875 1.015625 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.109375 0.78125 1.109375 0.640625 C 1.109375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.140625 1.21875 C 1.46875 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.578125 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 3 8 L 116 8 L 116 211.402344 L 3 211.402344 Z M 3 8 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -53.573507 -79.369499 L 53.573872 -79.369499 M -53.573507 -59.527537 L 53.573872 -59.527537 M -53.573507 -39.685575 L 53.573872 -39.685575 M -53.573507 -19.843613 L 53.573872 -19.843613 M -53.573507 -0.00165019 L 53.573872 -0.00165019 M -53.573507 19.844224 L 53.573872 19.844224 M -53.573507 39.686186 L 53.573872 39.686186 M -53.573507 59.528149 L 53.573872 59.528149 M -53.573507 79.370111 L 53.573872 79.370111 M -39.685699 -93.26122 L -39.685699 93.261832 M -19.843736 -93.26122 L -19.843736 93.261832 M -0.00177396 -93.26122 L -0.00177396 93.261832 M 19.8441 -93.26122 L 19.8441 93.261832 M 39.686063 -93.26122 L 39.686063 93.261832 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -57.544247 -0.00165019 L 57.145581 -0.00165019 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072675 2.39253 C -1.693205 0.956804 -0.848201 0.280018 0.000716203 -0.00165019 C -0.848201 -0.279406 -1.693205 -0.956193 -2.072675 -2.391918 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 116.905535, 112.131165)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"120.617635\" y=\"119.929568\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00177396 -97.228048 L -0.00177396 96.82963 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073987 2.392042 C -1.694517 0.956316 -0.849512 0.27953 -0.000595414 0.00177396 C -0.849512 -0.279894 -1.694517 -0.95668 -2.073987 -2.392406 \" transform=\"matrix(0, -0.998515, -0.998515, 0, 59.646303, 15.245499)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"50.897313\" y=\"9.599635\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"14.140972\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"21.298328\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"33.954508\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"41.110866\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"77.158261\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"96.971797\" y=\"124.982055\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"193.853639\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"40.807317\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"154.227565\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"47.964674\" y=\"75.3908\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"47.964674\" y=\"35.764726\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -44.646189 -92.083691 C -44.646189 -92.083691 -41.958605 -61.43271 -40.925821 -51.316126 C -39.893038 -41.203454 -38.238237 -27.010504 -37.205453 -19.182475 C -36.17267 -11.354445 -34.517869 -0.658876 -33.485085 5.099675 C -32.452302 10.858225 -30.797501 18.416323 -29.764717 22.324469 C -28.731934 26.232616 -27.077133 30.993592 -26.044349 33.266498 C -25.011566 35.539404 -23.356765 37.859255 -22.323982 38.715996 C -21.291198 39.576649 -19.636397 39.795724 -18.603614 39.459287 C -17.57083 39.118938 -15.916029 37.593235 -14.883246 36.274871 C -13.850462 34.956507 -12.195661 32.034199 -11.162878 29.952984 C -10.130094 27.871769 -8.475293 23.901029 -7.44251 21.276038 C -6.409726 18.651046 -4.751013 13.98396 -3.722142 11.030356 C -2.689358 8.076751 -1.030645 3.061492 -0.00177396 -0.00165019 C 1.03101 -3.06088 2.689723 -8.080052 3.718594 -11.029744 C 4.751377 -13.983348 6.41009 -18.650435 7.442874 -21.275426 C 8.471745 -23.900417 10.130458 -27.871157 11.163242 -29.952372 C 12.192113 -32.033588 13.850826 -34.955896 14.88361 -36.27426 C 15.912481 -37.592623 17.571194 -39.118326 18.603978 -39.458675 C 19.636761 -39.795112 21.291562 -39.576037 22.324346 -38.715384 C 23.357129 -37.858643 25.01193 -35.542705 26.044714 -33.265886 C 27.077497 -30.99298 28.732298 -26.232005 29.765082 -22.323858 C 30.797865 -18.415711 32.452666 -10.861525 33.485449 -5.102975 C 34.518233 0.659488 36.173034 11.355057 37.205817 19.183086 C 38.238601 27.011116 39.893402 41.204065 40.926185 51.316737 C 41.958969 61.429409 44.646553 92.084302 44.646553 92.084302 \" transform=\"matrix(0.998515, 0, 0, -0.998515, 59.646303, 112.131165)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"103.375275\" y=\"42.753334\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"108.233051\" y=\"43.813757\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "Au point d'abscisse $0$ uniquement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbure passe de concave à convexe en\n$x = 0$ ($f''(x) = 6x$ s'y annule en changeant de signe)."
        },
        {
          "text": "Aux points d'abscisses $-1$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion classique : $-1$ et $1$ sont les **extremums\nlocaux** (annulation de $f'$). L'inflexion concerne $f''$,\nqui change de signe en $0$."
        },
        {
          "text": "Au point d'abscisse $1$ uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $x = 1$ la fonction atteint un minimum local ;\nla courbe y reste convexe, sans changement de courbure."
        },
        {
          "text": "Elle n'en admet aucun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe change bien de courbure à l'origine :\nbombée vers le haut avant, creusée vers le haut après. La\ntangente en $0$ traverse la courbe."
        }
      ],
      "explanation": "$f''(x) = 6x$ s'annule en $0$ **en changeant de signe** :\nl'origine est l'unique point d'inflexion. Les abscisses $-1$ et\n$1$ correspondent aux extremums (signe de $f'$), un autre étage\nde lecture."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "convexite",
        "tangentes"
      ],
      "title": "Position par rapport aux tangentes",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur un intervalle\n$I$. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses\ntangentes sur $I$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au-dessus de chacune de ses tangentes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la\nconvexité pour une fonction dérivable."
        },
        {
          "text": "En dessous de chacune de ses tangentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la propriété des fonctions **concaves**.\nPense à $x^2$ : sa parabole domine toutes ses tangentes."
        },
        {
          "text": "Elle traverse chacune de ses tangentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la traversée de la tangente est le marqueur d'un\n**point d'inflexion**, impossible au sein d'un intervalle de\nstricte convexité."
        },
        {
          "text": "Au-dessus de ses sécantes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : une fonction convexe est au-dessus de ses\n**tangentes** mais **en dessous** de ses cordes (sécantes) :\nles deux se répondent."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction convexe dérivable : la courbe est au-dessus de toutes\nses tangentes (et sous ses cordes). Pour une fonction concave,\nc'est l'inverse."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalite",
        "convexite",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "L'inégalité $e^x \\geq 1 + x$",
      "partie": "variations",
      "statement": "Que peut-on dire de l'inégalité $e^x \\geq 1 + x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est vraie pour tout réel $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y = 1 + x$ est la tangente à la courbe\nde l'exponentielle au point $(0\\,;\\,1)$, et $\\exp$ est\nconvexe sur $\\mathbb{R}$ : sa courbe domine toutes ses\ntangentes."
        },
        {
          "text": "Elle est vraie uniquement pour $x \\geq 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : teste $x = -2$ : $e^{-2} \\approx 0{,}14$ et\n$1 + (-2) = -1$. L'inégalité tient aussi pour les négatifs,\net en fait partout par convexité."
        },
        {
          "text": "Elle est fausse, c'est $e^x \\leq 1 + x$ qui est vraie",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : en $x = 1$, $e \\approx 2{,}72 > 2 = 1 + 1$.\nLa courbe convexe est **au-dessus** de sa tangente."
        },
        {
          "text": "Elle est vraie seulement au voisinage de $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la tangence a lieu en $0$ (égalité), mais la\nconvexité de $\\exp$ rend l'inégalité **globale**, valable\nsur tout $\\mathbb{R}$."
        }
      ],
      "explanation": "$y = 1 + x$ est la tangente en $0$ à la courbe de $\\exp$\n(pente $e^0 = 1$, point $(0\\,;\\,1)$). Comme $\\exp$ est convexe\n($(e^x)'' = e^x > 0$), sa courbe est au-dessus de cette tangente\npartout : $e^x \\geq 1 + x$ pour tout $x$, avec égalité en $0$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege",
        "extremum"
      ],
      "title": "Le piège de $f'(a) = 0$",
      "partie": "variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(a) = 0$.\nLa fonction $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en\n$a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : pour $f(x) = x^3$ en $a = 0$, $f'(0) = 0$ sans\nextremum",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x^3$ est strictement croissante sur\n$\\mathbb{R}$, sa tangente horizontale en $0$ n'y crée aucun\nextremum. Il faut que $f'$ **change de signe** en $a$."
        },
        {
          "text": "Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la tangente horizontale peut aussi être traversée\npar la courbe (point d'inflexion à tangente horizontale,\ncomme $x^3$ en $0$)."
        },
        {
          "text": "Oui, dès que $f$ est deux fois dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^3$ est indéfiniment dérivable et fournit quand\nmême le contre-exemple : $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$, aucun\nextremum."
        },
        {
          "text": "Non : $f'(a) = 0$ signifie que $a$ est un point d'inflexion",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la conclusion « non » est juste, mais la raison est\nfausse. $f'(a) = 0$ ne dit rien de la courbure : pour $x^2$\nen $0$, c'est un vrai minimum, pas une inflexion."
        }
      ],
      "explanation": "$f'(a) = 0$ est **nécessaire** mais pas suffisant pour un\nextremum local en un point intérieur. Le critère opérationnel :\n$f'$ change de signe en $a$. Contre-exemple canonique :\n$f(x) = x^3$ en $0$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee-inverse"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\dfrac{1}{u}$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\frac{1}{u}\\right)' =\n-\\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver « chaque étage » séparément n'est pas\nune règle : l'inverse se dérive en $-\\frac{u'}{u^2}$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la formule porte un **moins** :\n$\\left(\\frac{1}{u}\\right)' = -\\frac{u'}{u^2}$ (l'inverse\ndécroît quand $u$ croît)."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$u'$ oublié : le numérateur est $-u' = -2x$, pas $-1$\n(la dérivée de l'étage intérieur compte)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$. Réflexe de\ncontrôle : $f$ est croissante là où $u$ décroît, le signe de\n$f'$ doit être opposé à celui de $u'$."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee-quotient"
      ],
      "title": "Dérivée d'un quotient",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la formule de la dérivée du quotient\n$\\dfrac{u}{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : numérateur antisymétrique ($u'v - uv'$),\ndénominateur au carré. L'ordre des termes compte à cause\ndu moins."
        },
        {
          "text": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'}{v'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : le quotient des dérivées n'est pas la\ndérivée du quotient (testez avec $u = x^2$, $v = x$ :\n$\\frac{u}{v} = x$ donne $1$, mais $\\frac{u'}{v'} = 2x$)."
        },
        {
          "text": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{uv' - u'v}{v^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : le numérateur commence par $u'v$\n(dérivée du haut en premier). L'inversion change le\nsigne du résultat."
        },
        {
          "text": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur : c'est $v^2$, pas $v$ (le quotient se voit\ncomme $u \\times \\frac{1}{v}$, et $\\frac{1}{v}$ apporte\nun $v^2$)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.\nMoyen mnémotechnique : « dérivée du haut fois bas, moins\nhaut fois dérivée du bas, sur bas au carré »."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "nombre-derive",
        "taux"
      ],
      "title": "Définition du nombre dérivé",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Le nombre dérivé $f'(a)$ est défini comme une limite.\nLaquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : limite du taux d'accroissement entre $a$\net $a + h$ : la pente de la sécante qui devient pente de\nla tangente."
        },
        {
          "text": "$f'(a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\dfrac{f(a+h) - f(a)}{a}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur est l'accroissement $h$ de la\nvariable, pas $a$. Diviser par $a$ ne donne pas une\npente, et la limite vaudrait $0$."
        },
        {
          "text": "$f'(a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\dfrac{f(a+h) + f(a)}{h}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le taux d'accroissement mesure une\n**différence** $f(a+h) - f(a)$ ; avec un $+$, la limite\nexplose au lieu de donner la pente."
        },
        {
          "text": "$f'(a) = \\lim\\limits_{h \\to 0} \\dfrac{f(a) - f(a+h)}{h}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $\\dfrac{f(a) - f(a+h)}{h}$ est l'opposé du taux\nd'accroissement ; sa limite vaut $-f'(a)$."
        }
      ],
      "explanation": "$f'(a) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : la\ndéfinition fonde tout le chapitre : chaque formule de\ndérivation s'en déduit, et c'est elle qu'on utilise quand la\nfonction n'est pas « standard » ($|x|$ en $0$…)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-racine-u"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\sqrt{u}$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{x^2 + 9}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{x}{\\sqrt{x^2 + 9}}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}} =\n\\dfrac{2x}{2\\sqrt{x^2+9}}$, et le $2$ se simplifie."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x^2 + 9}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "$u'$ oublié : la formule est $\\frac{u'}{2\\sqrt{u}}$ ; le\n$u' = 2x$ au numérateur est indispensable (dérivation en\nchaîne)."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\sqrt{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne dérive pas « sous la racine » en laissant\nla racine : la structure composée impose\n$\\frac{u'}{2\\sqrt{u}}$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2 + 9}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $2$ : le dénominateur porte un $2$\n($2\\sqrt{u}$) qui simplifie le $2$ de $u' = 2x$ :\nrésultat $\\frac{x}{\\sqrt{x^2+9}}$."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ : cas particulier de\nla dérivation des composées, à automatiser. Ici le domaine\nne pose aucun problème : $x^2 + 9 > 0$ partout."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-puissance-u"
      ],
      "title": "Dérivée de $u^n$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 6(2x + 1)^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ avec $u = 2x +\n1$ : $3(2x+1)^2 \\times 2 = 6(2x+1)^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3(2x + 1)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "$u'$ oublié : il manque le facteur $u' = 2$ de la\ndérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas $x$ mais\n$2x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = (2)^3 = 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne\ncorrespond à aucune règle : la puissance se dérive en\n$n\\,u^{n-1}u'$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3(2x + 1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant : la puissance **descend** d'un cran ($n - 1 =\n2$), et le facteur $u' = 2$ s'ajoute : $6(2x+1)^2$."
        }
      ],
      "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : le réflexe en trois temps :\nl'exposant descend, la puissance diminue de $1$, la dérivée\nde l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on\noublie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 6(2x + 1)^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ avec $u = 2x +\n1$ : $3(2x+1)^2 \\times 2 = 6(2x+1)^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(2x + 1)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$u'$ oublié : il manque le facteur $u' = 2$ de la\ndérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas $x$ mais\n$2x + 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (2)^3 = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne\ncorrespond à aucune règle : la puissance se dérive en\n$n\\,u^{n-1}u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(2x + 1)^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant : la puissance **descend** d'un cran ($n - 1 =\n2$), et le facteur $u' = 2$ s'ajoute : $6(2x+1)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : le réflexe en trois temps :\nl'exposant descend, la puissance diminue de $1$, la dérivée\nde l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on\noublie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x + 1)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 9(3x + 1)^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ avec $u = 3x +\n1$ : $3(3x+1)^2 \\times 3 = 9(3x+1)^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(3x + 1)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$u'$ oublié : il manque le facteur $u' = 3$ de la\ndérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas $x$ mais\n$3x + 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (3)^3 = 27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne\ncorrespond à aucune règle : la puissance se dérive en\n$n\\,u^{n-1}u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(3x + 1)^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant : la puissance **descend** d'un cran ($n - 1 =\n2$), et le facteur $u' = 3$ s'ajoute : $9(3x+1)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : le réflexe en trois temps :\nl'exposant descend, la puissance diminue de $1$, la dérivée\nde l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on\noublie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (4x + 1)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 12(4x + 1)^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ avec $u = 4x +\n1$ : $3(4x+1)^2 \\times 4 = 12(4x+1)^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(4x + 1)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$u'$ oublié : il manque le facteur $u' = 4$ de la\ndérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas $x$ mais\n$4x + 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (4)^3 = 64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne\ncorrespond à aucune règle : la puissance se dérive en\n$n\\,u^{n-1}u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(4x + 1)^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant : la puissance **descend** d'un cran ($n - 1 =\n2$), et le facteur $u' = 4$ s'ajoute : $12(4x+1)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : le réflexe en trois temps :\nl'exposant descend, la puissance diminue de $1$, la dérivée\nde l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on\noublie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (5x + 1)^3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 15(5x + 1)^2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ avec $u = 5x +\n1$ : $3(5x+1)^2 \\times 5 = 15(5x+1)^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(5x + 1)^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$u'$ oublié : il manque le facteur $u' = 5$ de la\ndérivation en chaîne : l'intérieur n'est pas $x$ mais\n$5x + 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = (5)^3 = 125$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver l'intérieur puis élever au cube ne\ncorrespond à aucune règle : la puissance se dérive en\n$n\\,u^{n-1}u'$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3(5x + 1)^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant : la puissance **descend** d'un cran ($n - 1 =\n2$), et le facteur $u' = 5$ s'ajoute : $15(5x+1)^2$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : le réflexe en trois temps :\nl'exposant descend, la puissance diminue de $1$, la dérivée\nde l'intérieur multiplie. Le dernier temps est celui qu'on\noublie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "extremum-local"
      ],
      "title": "Condition d'extremum local",
      "partie": "variations",
      "statement": "$f$ est dérivable sur $\\mathbb{R}$ et $f'(2) = 0$. À quelle\ncondition $f$ admet-elle un extremum local en $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Que $f'$ change de signe en $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(2) = 0$ est nécessaire mais pas\nsuffisant ($x^3$ en $0$ : dérivée nulle, pas\nd'extremum). Il faut de plus le changement de signe de\n$f'$ (+/− ou −/+), qui garantit le sommet ou le creux."
        },
        {
          "text": "Aucune, $f'(2) = 0$ suffit toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Contre-exemple : $f(x) = (x - 2)^3$ : $f'(2) = 0$ mais\n$f$ est strictement croissante : simple « palier », pas\nd'extremum."
        },
        {
          "text": "Que $f(2) = 0$ de surcroît",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la valeur de $f$ n'a rien à voir : un\nextremum peut valoir $7$ ou $-3$ ; c'est le comportement\nde $f'$ **autour** de $2$ qui décide."
        },
        {
          "text": "Que $f''(2) = 0$ de surcroît",
          "correct": false,
          "feedback": "À l'envers : $f''(2) = 0$ suggérerait plutôt une\ninflexion ; c'est $f''(2) \\neq 0$ qui, combiné à\n$f'(2) = 0$, assure l'extremum."
        }
      ],
      "explanation": "Extremum local : $f'$ s'annule **en changeant de signe**.\nTableau de variations obligatoire : la seule annulation de\n$f'$ ne dit rien ($x^3$ : le contre-exemple à toujours avoir\nen tête)."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee-seconde",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer une dérivée seconde",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Soit $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x$. Que vaut $f''(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f''(x) = 12x^2 - 12x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$, puis on\ndérive à nouveau : $f''(x) = 12x^2 - 12x$."
        },
        {
          "text": "$f''(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt prématuré : c'est $f'$, la dérivée **première**.\nLa seconde exige une deuxième dérivation."
        },
        {
          "text": "$f''(x) = 12x^2 - 12x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de la constante $5$ est\n$0$ : elle disparaît à la deuxième dérivation."
        },
        {
          "text": "$f''(x) = 24x - 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une dérivation de trop : $24x - 12$ est $f'''(x)$, la\ndérivée troisième."
        }
      ],
      "explanation": "$f'' = (f')'$ : dériver deux fois, ni plus ni moins. C'est\nl'outil du chapitre : le signe de $f''$ donne la convexité,\nses annulations avec changement de signe donnent les points\nd'inflexion."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivabilite",
        "valeur-absolue"
      ],
      "title": "Continue mais non dérivable",
      "partie": "derivees",
      "statement": "La fonction $f(x) = |x|$ est continue en $0$. Est-elle\ndérivable en $0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, les pentes à gauche et à droite diffèrent",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le taux d'accroissement vaut $-1$ à\ngauche et $+1$ à droite, pas de limite unique. La courbe\nforme un angle : deux demi-tangentes de pentes\ndifférentes, donc pas de tangente unique, pas de nombre\ndérivé."
        },
        {
          "text": "Oui, avec $f'(0) = 0$ par symétrie de la courbe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la symétrie ne crée pas la dérivabilité : le\ntaux $\\frac{|h|}{h}$ saute de $-1$ à $+1$, aucune limite\nen $0$."
        },
        {
          "text": "Oui : toute fonction continue est dérivable",
          "correct": false,
          "feedback": "Implication à l'envers : dérivable $\\Rightarrow$\ncontinue, mais continue $\\not\\Rightarrow$ dérivable :\n$|x|$ est LE contre-exemple."
        },
        {
          "text": "Non, car $f$ n'est en réalité pas continue en $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagnostic faux : $f$ **est** continue en $0$\n($|x| \\to 0$). C'est la dérivabilité, plus exigeante,\nqui échoue."
        }
      ],
      "explanation": "Dérivable $\\Rightarrow$ continue, jamais l'inverse : $|x|$\nest continue partout mais son angle en $0$ interdit la\ntangente. Graphiquement : une fonction dérivable a une courbe « lisse », sans angle."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inflexion",
        "calcul"
      ],
      "title": "Trouver un point d'inflexion par le calcul",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$. En quel point la courbe de\n$f$ admet-elle un point d'inflexion ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au point d'abscisse $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2 - 12x + 5$, $f''(x) = 6x -\n12$ s'annule en changeant de signe en $x = 2$ : négatif\navant, positif après, la courbe passe de concave à\nconvexe."
        },
        {
          "text": "Aux points où $f'(x) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion dérivée première/seconde : $f' = 0$ donne les\ncandidats **extremums** ; l'inflexion se lit sur $f''$."
        },
        {
          "text": "Au point d'abscisse $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de résolution : $6x - 12 = 0 \\iff x = 2$, pas\n$x = 6$ (division par $6$, pas soustraction)."
        },
        {
          "text": "Il n'y en a pas : un polynôme n'a pas d'inflexion",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : tout polynôme de degré $3$ a exactement un point\nd'inflexion (sa dérivée seconde est affine et change de\nsigne)."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : calculer $f''$, chercher ses annulations **avec\nchangement de signe**. Ici $f''(x) = 6(x - 2)$ : inflexion\nen $x = 2$ : le centre de symétrie de la cubique."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "convexite-exp"
      ],
      "title": "Convexité de l'exponentielle",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Pourquoi la fonction exponentielle est-elle convexe sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que $(e^x)'' = e^x > 0$ pour tout $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée\nseconde, toujours strictement positive : convexité sur\ntout $\\mathbb{R}$, d'où l'inégalité de tangente $e^x\n\\geq 1 + x$."
        },
        {
          "text": "Parce qu'elle est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Croissance $\\neq$ convexité : $\\sqrt{x}$ est croissante\net **concave**. La convexité se lit sur $f''$ (ou la\ncroissance de $f'$), pas sur $f' > 0$."
        },
        {
          "text": "Parce qu'elle est positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Positivité $\\neq$ convexité : $x \\mapsto 4 - x^2$\nest positive sur $[-2\\ ;\\ 2]$ et concave. Le signe de\n$f$ ne dit rien sur sa courbure."
        },
        {
          "text": "Elle n'est convexe que sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x > 0$ pour **tout** $x$, négatifs compris :\nla convexité couvre tout $\\mathbb{R}$."
        }
      ],
      "explanation": "Trois propriétés indépendantes : signe de $f$ (position par\nrapport à l'axe), signe de $f'$ (variations), signe de $f''$\n(convexité). L'exponentielle cumule les trois, mais chaque\npropriété a son propre critère."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "optimisation"
      ],
      "title": "Optimisation d'une aire",
      "partie": "variations",
      "statement": "Avec $20$ mètres de clôture, on délimite un rectangle. En\nnotant $x$ une des dimensions, l'aire vaut $A(x) = x(10 -\nx)$. Quelle valeur de $x$ rend l'aire maximale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A'(x) = 10 - 2x$, positive avant $5$,\nnégative après : maximum en $x = 5$, donc un carré de\ncôté $5$ et une aire maximale $A(5) = 25$ m²."
        },
        {
          "text": "$x = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la plus grande dimension possible donne $A(10)\n= 10 \\times 0 = 0$, le rectangle est écrasé. Maximiser\nune dimension ne maximise pas l'aire."
        },
        {
          "text": "$x = 2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A'(x) = 10 - 2x$ s'annule en $x = 5$, pas en\n$2{,}5$ (attention à ne pas diviser $10$ par $4$)."
        },
        {
          "text": "Aucune, l'aire croît avec $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le périmètre est fixé : agrandir $x$ rétrécit\nl'autre côté ($10 - x$). Le tableau de variations montre\nla bosse en $x = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une\nvariable, dériver, tableau de variations, conclure. À\npérimètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :\nrésultat à retenir comme contrôle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Avec $20$ mètres de clôture, on délimite un rectangle. En\nnotant $x$ une des dimensions, l'aire vaut $A(x) = x(10 -\nx)$. Quelle valeur de $x$ rend l'aire maximale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A'(x) = 10 - 2x$, positive avant $5$,\nnégative après : maximum en $x = 5$, donc un carré de\ncôté $5$ et une aire maximale $A(5) = 25$ m²."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la plus grande dimension possible donne $A(10)\n= 10 \\times 0 = 0$, le rectangle est écrasé. Maximiser\nune dimension ne maximise pas l'aire."
            },
            {
              "text": "$x = 2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $A'(x) = 10 - 2x$ s'annule en $x = 5$, pas en\n$2{,}5$ (attention à ne pas diviser $10$ par $4$)."
            },
            {
              "text": "Aucune, l'aire croît avec $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le périmètre est fixé : agrandir $x$ rétrécit\nl'autre côté ($10 - x$). Le tableau de variations montre\nla bosse en $x = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une\nvariable, dériver, tableau de variations, conclure. À\npérimètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :\nrésultat à retenir comme contrôle."
        },
        {
          "statement": "Avec $24$ mètres de clôture, on délimite un rectangle. En\nnotant $x$ une des dimensions, l'aire vaut $A(x) = x(12 -\nx)$. Quelle valeur de $x$ rend l'aire maximale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A'(x) = 12 - 2x$, positive avant $6$,\nnégative après : maximum en $x = 6$, donc un carré de\ncôté $6$ et une aire maximale $A(6) = 36$ m²."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la plus grande dimension possible donne $A(12)\n= 12 \\times 0 = 0$, le rectangle est écrasé. Maximiser\nune dimension ne maximise pas l'aire."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $A'(x) = 12 - 2x$ s'annule en $x = 6$, pas en\n$3$ (attention à ne pas diviser $12$ par $4$)."
            },
            {
              "text": "Aucune, l'aire croît avec $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le périmètre est fixé : agrandir $x$ rétrécit\nl'autre côté ($12 - x$). Le tableau de variations montre\nla bosse en $x = 6$."
            }
          ],
          "explanation": "Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une\nvariable, dériver, tableau de variations, conclure. À\npérimètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :\nrésultat à retenir comme contrôle."
        },
        {
          "statement": "Avec $16$ mètres de clôture, on délimite un rectangle. En\nnotant $x$ une des dimensions, l'aire vaut $A(x) = x(8 -\nx)$. Quelle valeur de $x$ rend l'aire maximale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A'(x) = 8 - 2x$, positive avant $4$,\nnégative après : maximum en $x = 4$, donc un carré de\ncôté $4$ et une aire maximale $A(4) = 16$ m²."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la plus grande dimension possible donne $A(8)\n= 8 \\times 0 = 0$, le rectangle est écrasé. Maximiser\nune dimension ne maximise pas l'aire."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $A'(x) = 8 - 2x$ s'annule en $x = 4$, pas en\n$2$ (attention à ne pas diviser $8$ par $4$)."
            },
            {
              "text": "Aucune, l'aire croît avec $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le périmètre est fixé : agrandir $x$ rétrécit\nl'autre côté ($8 - x$). Le tableau de variations montre\nla bosse en $x = 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une\nvariable, dériver, tableau de variations, conclure. À\npérimètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :\nrésultat à retenir comme contrôle."
        },
        {
          "statement": "Avec $28$ mètres de clôture, on délimite un rectangle. En\nnotant $x$ une des dimensions, l'aire vaut $A(x) = x(14 -\nx)$. Quelle valeur de $x$ rend l'aire maximale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $A'(x) = 14 - 2x$, positive avant $7$,\nnégative après : maximum en $x = 7$, donc un carré de\ncôté $7$ et une aire maximale $A(7) = 49$ m²."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la plus grande dimension possible donne $A(14)\n= 14 \\times 0 = 0$, le rectangle est écrasé. Maximiser\nune dimension ne maximise pas l'aire."
            },
            {
              "text": "$x = 3{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $A'(x) = 14 - 2x$ s'annule en $x = 7$, pas en\n$3{,}5$ (attention à ne pas diviser $14$ par $4$)."
            },
            {
              "text": "Aucune, l'aire croît avec $x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le périmètre est fixé : agrandir $x$ rétrécit\nl'autre côté ($14 - x$). Le tableau de variations montre\nla bosse en $x = 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Schéma d'optimisation : exprimer la quantité en une\nvariable, dériver, tableau de variations, conclure. À\npérimètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré :\nrésultat à retenir comme contrôle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "convexite-f-prime"
      ],
      "title": "Convexité et croissance de $f'$",
      "partie": "convexite",
      "statement": "$f$ est dérivable sur $\\mathbb{R}$. Quelle caractérisation\nde la convexité de $f$ est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f$ est convexe si et seulement si $f'$ est croissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : convexe signifie que les pentes des tangentes augmentent, c'est-à-dire que $f'$ est croissante. La version $f'' \\geq\n0$ n'en est que la traduction quand $f''$ existe."
        },
        {
          "text": "$f$ est convexe si et seulement si $f$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $e^{-x}$ est **décroissante** et convexe.\nLa convexité porte sur la croissance de $f'$, pas de\n$f$."
        },
        {
          "text": "$f$ est convexe si et seulement si $f' \\geq 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f' \\geq 0$ signifie $f$ croissante. Pour la\nconvexité, c'est $f'$ **croissante** ($f'' \\geq 0$)\nqu'il faut."
        },
        {
          "text": "$f$ est convexe si et seulement si $f$ est positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $x^2 - 10$ est convexe et souvent\nnégative ; le signe de $f$ ne décrit que la position par\nrapport à l'axe des abscisses."
        }
      ],
      "explanation": "Trois formulations équivalentes de la convexité (pour $f$\ndérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes ; $f'$\ncroissante ; $f'' \\geq 0$ (si $f''$ existe). Savoir passer\nde l'une à l'autre est exactement ce que demandent les\nsujets."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée d'une composée avec exponentielle",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x\\,e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $e^u$ vaut $u'e^u$, avec ici\n$u(x) = x^2$."
        },
        {
          "text": "$e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : la dérivée de l'exposant apparaît en facteur dès que\ncelui-ci n'est pas $x$."
        },
        {
          "text": "$e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant dérivé à tort : la dérivation ne modifie pas l'exposant, elle\nfait apparaître sa dérivée en facteur."
        },
        {
          "text": "$2x\\,e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs cumulées : l'exposant reste $x^2$ et seul le facteur\nchange."
        }
      ],
      "explanation": "La dérivée de $e^u$ vaut $u'e^u$. L'exponentielle se reproduit\nelle-même, multipliée par la dérivée de son exposant."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "convexite",
        "tangente"
      ],
      "title": "Position d'une courbe convexe",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Une fonction est convexe sur un intervalle. Où se situe sa courbe par\nrapport à ses tangentes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au-dessus de chacune d'elles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation géométrique de la convexité,\nd'où l'inégalité $e^x \\geq 1 + x$."
        },
        {
          "text": "En dessous de chacune d'elles",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le cas d'une fonction concave, comme le logarithme népérien."
        },
        {
          "text": "Au-dessus de certaines, en dessous d'autres",
          "correct": false,
          "feedback": "Un tel changement caractériserait un point d'inflexion, donc une perte\nde convexité."
        },
        {
          "text": "Confondue avec chacune d'elles",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule une fonction affine coïncide avec ses tangentes, et elle n'est\nni strictement convexe ni strictement concave."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes,\nune fonction concave en dessous. La dérivée seconde permet de trancher par\nle calcul."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-seconde",
        "inflexion"
      ],
      "title": "Un point d'inflexion par le calcul",
      "partie": "convexite",
      "statement": "La dérivée seconde de $f$ s'annule en $2$ en changeant de signe.\nQue peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "La courbe admet un point d'inflexion en $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le changement de signe de $f''$ traduit le passage de\nla convexité à la concavité, ou l'inverse."
        },
        {
          "text": "La fonction admet un extremum en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un extremum viendrait d'un changement de signe de $f'$, pas de\n$f''$."
        },
        {
          "text": "La tangente en $2$ est horizontale",
          "correct": false,
          "feedback": "Rien ne l'impose : un point d'inflexion peut avoir une tangente de\npente quelconque."
        },
        {
          "text": "La fonction est convexe autour de $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Elle l'est d'un côté seulement, puisque la dérivée seconde change de\nsigne."
        }
      ],
      "explanation": "Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, ce\nqui correspond à un changement de signe de la dérivée seconde.\nL'annulation seule ne suffit pas."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\ln u$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\ln(3x + 1)$ sur\n$\\left]-\\dfrac{1}{3}\\,;\\,+\\infty\\right[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{3x + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\ln u$ vaut $\\dfrac{u'}{u}$, avec\n$u'(x) = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît au\nnumérateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur remplacé par une constante : la fonction dérivée dépend\nencore de $x$."
        },
        {
          "text": "$3\\ln(3x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le logarithme ne se reproduit pas en se dérivant, contrairement à\nl'exponentielle."
        }
      ],
      "explanation": "La dérivée de $\\ln u$ vaut $\\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où $u$ est\nstrictement positive. Cette formule sert constamment dans les études de\nfonctions."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "convexite",
        "lecture"
      ],
      "title": "Convexité lue sur la dérivée",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Sur un intervalle, la fonction $f'$ est croissante.\nQue peut-on dire de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est convexe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la croissance de la dérivée est la définition de la\nconvexité, équivalente à $f'' \\geq 0$."
        },
        {
          "text": "Elle est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe de $f'$ n'est pas donné : une dérivée croissante peut rester\nnégative, et $f$ décroître."
        },
        {
          "text": "Elle est concave",
          "correct": false,
          "feedback": "La concavité correspond au contraire à une dérivée décroissante."
        },
        {
          "text": "Elle admet un point d'inflexion",
          "correct": false,
          "feedback": "Un point d'inflexion demanderait un changement de sens de $f'$, exclu\npar l'énoncé."
        }
      ],
      "explanation": "Convexité et croissance de la dérivée sont deux formulations de la même\npropriété. Le signe de la dérivée, lui, donne le sens de variation de la\nfonction."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee",
        "produit",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Dériver un produit avec exponentielle",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x - 1)e^{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(2x + 1)e^{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2e^x + (2x-1)e^x$ se factorise en $(2x+1)e^x$."
        },
        {
          "text": "$2e^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second terme oublié : la formule du produit comporte aussi\n$u \\times v'$."
        },
        {
          "text": "$(2x - 1)e^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée du premier facteur oubliée : elle ajoute $2e^x$ au résultat."
        },
        {
          "text": "$2xe^{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la dérivée d'un produit n'est pas le\nproduit des dérivées."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $(uv)' = u'v + uv'$ donne ici $2e^x + (2x-1)e^x$. Factoriser\npar l'exponentielle simplifie l'étude du signe qui suit."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivees-usuelles",
        "nombre-derive"
      ],
      "title": "Calculer un nombre dérivé",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 3x^2 + 5x$. Que vaut $f'(2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$17$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 6x + 5$, puis on\nremplace $x$ par $2$, ce qui donne $17$."
        },
        {
          "text": "$22$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $f(2)$, l'image, et non le nombre dérivé. Il faut\nd'abord dériver, puis remplacer."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme en $x$ oublié : la dérivée de $+ 5x$ vaut $5$, et\nelle subsiste dans $f'$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient $2$ oublié : la dérivée de $3x^2$ est\n$6x$, pas $3x$."
        }
      ],
      "explanation": "Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir\nl'expression de $f'$, puis y remplacer $x$ par la valeur demandée.\nIci $f'(x) = 6x + 5$, donc $f'(2) = 17$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 3x^2 + 5x$. Que vaut $f'(2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 6x + 5$, puis on\nremplace $x$ par $2$, ce qui donne $17$."
            },
            {
              "text": "$22$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(2)$, l'image, et non le nombre dérivé. Il faut\nd'abord dériver, puis remplacer."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $x$ oublié : la dérivée de $+ 5x$ vaut $5$, et\nelle subsiste dans $f'$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient $2$ oublié : la dérivée de $3x^2$ est\n$6x$, pas $3x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir\nl'expression de $f'$, puis y remplacer $x$ par la valeur demandée.\nIci $f'(x) = 6x + 5$, donc $f'(2) = 17$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 2x^2 - 4x$. Que vaut $f'(3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 4x - 4$, puis on\nremplace $x$ par $3$, ce qui donne $8$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(3)$, l'image, et non le nombre dérivé. Il faut\nd'abord dériver, puis remplacer."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $x$ oublié : la dérivée de $- 4x$ vaut $-4$, et\nelle subsiste dans $f'$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient $2$ oublié : la dérivée de $2x^2$ est\n$4x$, pas $2x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir\nl'expression de $f'$, puis y remplacer $x$ par la valeur demandée.\nIci $f'(x) = 4x - 4$, donc $f'(3) = 8$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 5x^2 + 6x$. Que vaut $f'(4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$46$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 10x + 6$, puis on\nremplace $x$ par $4$, ce qui donne $46$."
            },
            {
              "text": "$104$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(4)$, l'image, et non le nombre dérivé. Il faut\nd'abord dériver, puis remplacer."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $x$ oublié : la dérivée de $+ 6x$ vaut $6$, et\nelle subsiste dans $f'$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient $2$ oublié : la dérivée de $5x^2$ est\n$10x$, pas $5x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir\nl'expression de $f'$, puis y remplacer $x$ par la valeur demandée.\nIci $f'(x) = 10x + 6$, donc $f'(4) = 46$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 4x^2 - 3x$. Que vaut $f'(5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$37$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 8x - 3$, puis on\nremplace $x$ par $5$, ce qui donne $37$."
            },
            {
              "text": "$85$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(5)$, l'image, et non le nombre dérivé. Il faut\nd'abord dériver, puis remplacer."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Terme en $x$ oublié : la dérivée de $- 3x$ vaut $-3$, et\nelle subsiste dans $f'$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient $2$ oublié : la dérivée de $4x^2$ est\n$8x$, pas $4x$."
            }
          ],
          "explanation": "Calculer un nombre dérivé se fait en deux temps : établir\nl'expression de $f'$, puis y remplacer $x$ par la valeur demandée.\nIci $f'(x) = 8x - 3$, donc $f'(5) = 37$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee-inverse",
        "derivees-usuelles"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\dfrac{a}{x + b}$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = \\dfrac{3}{x + 2}$ sur un intervalle où le dénominateur\nne s'annule pas ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 2$, la formule\n$\\left(\\dfrac{k}{u}\\right)' = \\dfrac{-k\\,u'}{u^2}$ donne\n$\\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$, car $u' = 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{(x + 2)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,\nconformément à $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{x + 2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse\nimpose $u^2$ au dénominateur."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{3(x + 2)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante déplacée : le facteur $3$ multiplie la fonction, il\nreste au numérateur après dérivation."
        }
      ],
      "explanation": "Une constante se conserve en facteur : $\\left(\\dfrac{3}{u}\\right)'\n= 3 \\times \\left(-\\dfrac{u'}{u^2}\\right)$. Avec $u(x) = x + 2$\net $u' = 1$, la dérivée vaut $\\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = \\dfrac{3}{x + 2}$ sur un intervalle où le dénominateur\nne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 2$, la formule\n$\\left(\\dfrac{k}{u}\\right)' = \\dfrac{-k\\,u'}{u^2}$ donne\n$\\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$, car $u' = 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{(x + 2)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,\nconformément à $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{x + 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse\nimpose $u^2$ au dénominateur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{3(x + 2)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante déplacée : le facteur $3$ multiplie la fonction, il\nreste au numérateur après dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "Une constante se conserve en facteur : $\\left(\\dfrac{3}{u}\\right)'\n= 3 \\times \\left(-\\dfrac{u'}{u^2}\\right)$. Avec $u(x) = x + 2$\net $u' = 1$, la dérivée vaut $\\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = \\dfrac{5}{x - 1}$ sur un intervalle où le dénominateur\nne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-5}{(x - 1)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x - 1$, la formule\n$\\left(\\dfrac{k}{u}\\right)' = \\dfrac{-k\\,u'}{u^2}$ donne\n$\\dfrac{-5}{(x - 1)^2}$, car $u' = 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{(x - 1)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,\nconformément à $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-5}{x - 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse\nimpose $u^2$ au dénominateur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{5(x - 1)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante déplacée : le facteur $5$ multiplie la fonction, il\nreste au numérateur après dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "Une constante se conserve en facteur : $\\left(\\dfrac{5}{u}\\right)'\n= 5 \\times \\left(-\\dfrac{u'}{u^2}\\right)$. Avec $u(x) = x - 1$\net $u' = 1$, la dérivée vaut $\\dfrac{-5}{(x - 1)^2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = \\dfrac{2}{x + 4}$ sur un intervalle où le dénominateur\nne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2}{(x + 4)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 4$, la formule\n$\\left(\\dfrac{k}{u}\\right)' = \\dfrac{-k\\,u'}{u^2}$ donne\n$\\dfrac{-2}{(x + 4)^2}$, car $u' = 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{(x + 4)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,\nconformément à $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2}{x + 4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse\nimpose $u^2$ au dénominateur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{2(x + 4)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante déplacée : le facteur $2$ multiplie la fonction, il\nreste au numérateur après dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "Une constante se conserve en facteur : $\\left(\\dfrac{2}{u}\\right)'\n= 2 \\times \\left(-\\dfrac{u'}{u^2}\\right)$. Avec $u(x) = x + 4$\net $u' = 1$, la dérivée vaut $\\dfrac{-2}{(x + 4)^2}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie par\n$f(x) = \\dfrac{7}{x + 3}$ sur un intervalle où le dénominateur\nne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{(x + 3)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x + 3$, la formule\n$\\left(\\dfrac{k}{u}\\right)' = \\dfrac{-k\\,u'}{u^2}$ donne\n$\\dfrac{-7}{(x + 3)^2}$, car $u' = 1$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{7}{(x + 3)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : dériver un inverse fait apparaître un moins,\nconformément à $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{x + 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule de l'inverse\nimpose $u^2$ au dénominateur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{7(x + 3)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Constante déplacée : le facteur $7$ multiplie la fonction, il\nreste au numérateur après dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "Une constante se conserve en facteur : $\\left(\\dfrac{7}{u}\\right)'\n= 7 \\times \\left(-\\dfrac{u'}{u^2}\\right)$. Avec $u(x) = x + 3$\net $u' = 1$, la dérivée vaut $\\dfrac{-7}{(x + 3)^2}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "convexite"
      ],
      "title": "Position de la corde d'une fonction convexe",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ une fonction convexe sur $[a\\,;\\,b]$. Où se situe la corde\nqui relie les points de la courbe d'abscisses $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au-dessus de la courbe sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fonction convexe est sous ses cordes et\nau-dessus de ses tangentes. Pense à la parabole $x^2$."
        },
        {
          "text": "En dessous de la courbe sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la situation d'une fonction concave : essaie avec\n$f(x) = x^2$ entre $0$ et $2$, la corde passe au-dessus."
        },
        {
          "text": "Elle coupe la courbe en un point intérieur",
          "correct": false,
          "feedback": "La corde ne rencontre la courbe qu'en ses deux extrémités : une\ntraversée signalerait un changement de convexité."
        },
        {
          "text": "Confondue avec la courbe sur $[a\\,;\\,b]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce n'est le cas que pour une fonction affine, seul cas où la\nconvexité n'est pas stricte."
        }
      ],
      "explanation": "Deux lectures géométriques de la convexité : la courbe est au-dessus\nde chacune de ses tangentes, et en dessous de chacune de ses cordes.\nLa concavité échange les deux positions."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "taux",
        "nombre-derive"
      ],
      "title": "Taux d'accroissement de la fonction carré",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$. Que vaut le\ntaux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{5^2 - 2^2}{5 - 2}$ se simplifie\nen $5 + 2$ grâce à l'identité $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, soit\n$7$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul\ndénominateur du taux, pas le taux lui-même."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $21$ est l'écart des images, il reste à\nle diviser par l'écart des abscisses."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de\ndifférences, jamais un produit d'abscisses."
        }
      ],
      "explanation": "Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ vaut\n$\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pour la fonction carré, il se\nsimplifie toujours en $a + b$, et tend vers $2a$ quand $b$ se\nrapproche de $a$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$. Que vaut le\ntaux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{5^2 - 2^2}{5 - 2}$ se simplifie\nen $5 + 2$ grâce à l'identité $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, soit\n$7$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul\ndénominateur du taux, pas le taux lui-même."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $21$ est l'écart des images, il reste à\nle diviser par l'écart des abscisses."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de\ndifférences, jamais un produit d'abscisses."
            }
          ],
          "explanation": "Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ vaut\n$\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pour la fonction carré, il se\nsimplifie toujours en $a + b$, et tend vers $2a$ quand $b$ se\nrapproche de $a$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$. Que vaut le\ntaux d'accroissement de $f$ entre $1$ et $4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{4^2 - 1^2}{4 - 1}$ se simplifie\nen $4 + 1$ grâce à l'identité $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, soit\n$5$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul\ndénominateur du taux, pas le taux lui-même."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $15$ est l'écart des images, il reste à\nle diviser par l'écart des abscisses."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de\ndifférences, jamais un produit d'abscisses."
            }
          ],
          "explanation": "Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ vaut\n$\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pour la fonction carré, il se\nsimplifie toujours en $a + b$, et tend vers $2a$ quand $b$ se\nrapproche de $a$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$. Que vaut le\ntaux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7^2 - 3^2}{7 - 3}$ se simplifie\nen $7 + 3$ grâce à l'identité $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, soit\n$10$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul\ndénominateur du taux, pas le taux lui-même."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $40$ est l'écart des images, il reste à\nle diviser par l'écart des abscisses."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de\ndifférences, jamais un produit d'abscisses."
            }
          ],
          "explanation": "Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ vaut\n$\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pour la fonction carré, il se\nsimplifie toujours en $a + b$, et tend vers $2a$ quand $b$ se\nrapproche de $a$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$. Que vaut le\ntaux d'accroissement de $f$ entre $-3$ et $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2^2 - -3^2}{2 - -3}$ se simplifie\nen $2 + -3$ grâce à l'identité $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, soit\n$-1$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux abscisses, c'est-à-dire le seul\ndénominateur du taux, pas le taux lui-même."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : $-5$ est l'écart des images, il reste à\nle diviser par l'écart des abscisses."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération confondue : le taux d'accroissement est un quotient de\ndifférences, jamais un produit d'abscisses."
            }
          ],
          "explanation": "Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ vaut\n$\\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Pour la fonction carré, il se\nsimplifie toujours en $a + b$, et tend vers $2a$ quand $b$ se\nrapproche de $a$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "convexite-exp",
        "convexite"
      ],
      "title": "Convexité de $e^{-x}$",
      "partie": "convexite",
      "statement": "La fonction $g$ définie sur $\\mathbb{R}$ par $g(x) = e^{-x}$ est-elle\nconvexe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $g''(x) = e^{-x} > 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $g'(x) = -e^{-x}$, puis $g''(x) = e^{-x}$, qui\nest strictement positive sur $\\mathbb{R}$."
        },
        {
          "text": "Non, car $g$ est décroissante sur $\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Variations et convexité sont indépendantes : $g$ décroît en\nrestant convexe, sa pente augmentant vers $0$."
        },
        {
          "text": "Non, car $g''(x) = -e^{-x} < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un signe de trop : la seconde dérivation fait réapparaître un\nfacteur $-1$, qui annule celui de la première."
        },
        {
          "text": "Seulement sur $[0\\,;\\,+\\infty[$, où elle décroît lentement",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée seconde est strictement positive pour tout réel,\nnégatifs compris : la convexité vaut sur $\\mathbb{R}$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque dérivation de $e^{-x}$ fait sortir le facteur $-1$ : la\ndérivée est $-e^{-x}$ et la dérivée seconde $e^{-x}$, strictement\npositive. La fonction est donc convexe sur $\\mathbb{R}$ tout en y\nétant décroissante."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-quotient",
        "calcul"
      ],
      "title": "Dériver un quotient de fonctions affines",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x + 3}$\nsur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{(x + 3)^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u'v - uv' = 2(x + 3) - (2x + 1)$,\nles termes en $x$ se simplifient et il reste $5$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{-5}{(x + 3)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur pris à l'envers : la formule commence par $u'v$, la\ndérivée du haut multipliée par le bas."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{x + 3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose\n$v^2$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un\nquotient n'est pas le quotient des dérivées."
        }
      ],
      "explanation": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Avec deux\nfonctions affines, les termes en $x$ du numérateur disparaissent\ntoujours : il reste une constante, ici $5$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x + 3}$\nsur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{(x + 3)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u'v - uv' = 2(x + 3) - (2x + 1)$,\nles termes en $x$ se simplifient et il reste $5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-5}{(x + 3)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris à l'envers : la formule commence par $u'v$, la\ndérivée du haut multipliée par le bas."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{x + 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose\n$v^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un\nquotient n'est pas le quotient des dérivées."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Avec deux\nfonctions affines, les termes en $x$ du numérateur disparaissent\ntoujours : il reste une constante, ici $5$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{3x + 5}{x + 1}$\nsur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2}{(x + 1)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u'v - uv' = 3(x + 1) - (3x + 5)$,\nles termes en $x$ se simplifient et il reste $-2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{(x + 1)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris à l'envers : la formule commence par $u'v$, la\ndérivée du haut multipliée par le bas."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2}{x + 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose\n$v^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un\nquotient n'est pas le quotient des dérivées."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Avec deux\nfonctions affines, les termes en $x$ du numérateur disparaissent\ntoujours : il reste une constante, ici $-2$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{4x + 5}{x + 2}$\nsur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{(x + 2)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u'v - uv' = 4(x + 2) - (4x + 5)$,\nles termes en $x$ se simplifient et il reste $3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-3}{(x + 2)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris à l'envers : la formule commence par $u'v$, la\ndérivée du haut multipliée par le bas."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{x + 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose\n$v^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un\nquotient n'est pas le quotient des dérivées."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Avec deux\nfonctions affines, les termes en $x$ du numérateur disparaissent\ntoujours : il reste une constante, ici $3$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{2x - 1}{x + 4}$\nsur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{9}{(x + 4)^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $u'v - uv' = 2(x + 4) - (2x - 1)$,\nles termes en $x$ se simplifient et il reste $9$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{-9}{(x + 4)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur pris à l'envers : la formule commence par $u'v$, la\ndérivée du haut multipliée par le bas."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{9}{x + 4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dénominateur non élevé au carré : la formule du quotient impose\n$v^2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur et dénominateur dérivés séparément : la dérivée d'un\nquotient n'est pas le quotient des dérivées."
            }
          ],
          "explanation": "$\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Avec deux\nfonctions affines, les termes en $x$ du numérateur disparaissent\ntoujours : il reste une constante, ici $9$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-racine-u",
        "calcul"
      ],
      "title": "Dériver une racine carrée composée",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{3x + 5}$ sur\nl'intervalle où $3x + 5 > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{2\\sqrt{3x + 5}}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec\n$u(x) = 3x + 5$ et $u' = 3$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{3x + 5}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est $u' = 3$, pas\n$1$. C'est l'erreur classique de composition."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{\\sqrt{3x + 5}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $2$ oublié au dénominateur : la formule est\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{3x + 5}{2\\sqrt{3x + 5}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur confondu : c'est la dérivée $u'$ qui monte au\nnumérateur, pas $u$ tout entier."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ : la racine descend au\ndénominateur, accompagnée d'un facteur $2$, et la dérivée de\nl'expression intérieure passe au numérateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{3x + 5}$ sur\nl'intervalle où $3x + 5 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{2\\sqrt{3x + 5}}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec\n$u(x) = 3x + 5$ et $u' = 3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{3x + 5}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est $u' = 3$, pas\n$1$. C'est l'erreur classique de composition."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{\\sqrt{3x + 5}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié au dénominateur : la formule est\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{3x + 5}{2\\sqrt{3x + 5}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu : c'est la dérivée $u'$ qui monte au\nnumérateur, pas $u$ tout entier."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ : la racine descend au\ndénominateur, accompagnée d'un facteur $2$, et la dérivée de\nl'expression intérieure passe au numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{5x - 1}$ sur\nl'intervalle où $5x - 1 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{2\\sqrt{5x - 1}}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec\n$u(x) = 5x - 1$ et $u' = 5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{5x - 1}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est $u' = 5$, pas\n$1$. C'est l'erreur classique de composition."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{\\sqrt{5x - 1}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié au dénominateur : la formule est\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{5x - 1}{2\\sqrt{5x - 1}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu : c'est la dérivée $u'$ qui monte au\nnumérateur, pas $u$ tout entier."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ : la racine descend au\ndénominateur, accompagnée d'un facteur $2$, et la dérivée de\nl'expression intérieure passe au numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{7x + 4}$ sur\nl'intervalle où $7x + 4 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{7}{2\\sqrt{7x + 4}}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec\n$u(x) = 7x + 4$ et $u' = 7$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{7x + 4}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est $u' = 7$, pas\n$1$. C'est l'erreur classique de composition."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{7}{\\sqrt{7x + 4}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié au dénominateur : la formule est\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{7x + 4}{2\\sqrt{7x + 4}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu : c'est la dérivée $u'$ qui monte au\nnumérateur, pas $u$ tout entier."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ : la racine descend au\ndénominateur, accompagnée d'un facteur $2$, et la dérivée de\nl'expression intérieure passe au numérateur."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{9x + 2}$ sur\nl'intervalle où $9x + 2 > 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{9}{2\\sqrt{9x + 2}}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ avec\n$u(x) = 9x + 2$ et $u' = 9$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{9x + 2}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : le numérateur est $u' = 9$, pas\n$1$. C'est l'erreur classique de composition."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{9}{\\sqrt{9x + 2}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ oublié au dénominateur : la formule est\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\dfrac{9x + 2}{2\\sqrt{9x + 2}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Numérateur confondu : c'est la dérivée $u'$ qui monte au\nnumérateur, pas $u$ tout entier."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sqrt{u})' = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ : la racine descend au\ndénominateur, accompagnée d'un facteur $2$, et la dérivée de\nl'expression intérieure passe au numérateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-puissance-u",
        "nombre-derive"
      ],
      "title": "Nombre dérivé d'une puissance composée",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (2x + 5)^3$. Que vaut $f'(-1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$54$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3 \\times 2 \\times\n(2x + 5)^{2}$, et en $-1$ l'intérieur vaut $3$,\nd'où $54$."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur $u' = 2$ de\nla dérivation en chaîne."
        },
        {
          "text": "$162$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant non abaissé : la puissance passe de $3$ à $2$ au\nmoment de la dérivation."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant non descendu en facteur : la formule commence par\nmultiplier par $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : l'exposant descend en facteur, la\npuissance diminue de $1$, et la dérivée de l'intérieur multiplie le\ntout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (2x + 5)^3$. Que vaut $f'(-1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$54$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3 \\times 2 \\times\n(2x + 5)^{2}$, et en $-1$ l'intérieur vaut $3$,\nd'où $54$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur $u' = 2$ de\nla dérivation en chaîne."
            },
            {
              "text": "$162$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non abaissé : la puissance passe de $3$ à $2$ au\nmoment de la dérivation."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non descendu en facteur : la formule commence par\nmultiplier par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : l'exposant descend en facteur, la\npuissance diminue de $1$, et la dérivée de l'intérieur multiplie le\ntout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (3x - 1)^4$. Que vaut $f'(1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$96$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 4 \\times 3 \\times\n(3x - 1)^{3}$, et en $1$ l'intérieur vaut $2$,\nd'où $96$."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur $u' = 3$ de\nla dérivation en chaîne."
            },
            {
              "text": "$192$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non abaissé : la puissance passe de $4$ à $3$ au\nmoment de la dérivation."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non descendu en facteur : la formule commence par\nmultiplier par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : l'exposant descend en facteur, la\npuissance diminue de $1$, et la dérivée de l'intérieur multiplie le\ntout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (5x + 2)^3$. Que vaut $f'(0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3 \\times 5 \\times\n(5x + 2)^{2}$, et en $0$ l'intérieur vaut $2$,\nd'où $60$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur $u' = 5$ de\nla dérivation en chaîne."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non abaissé : la puissance passe de $3$ à $2$ au\nmoment de la dérivation."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non descendu en facteur : la formule commence par\nmultiplier par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : l'exposant descend en facteur, la\npuissance diminue de $1$, et la dérivée de l'intérieur multiplie le\ntout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = (2x + 3)^4$. Que vaut $f'(0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$216$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 4 \\times 2 \\times\n(2x + 3)^{3}$, et en $0$ l'intérieur vaut $3$,\nd'où $216$."
            },
            {
              "text": "$108$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dérivée intérieure oubliée : il manque le facteur $u' = 2$ de\nla dérivation en chaîne."
            },
            {
              "text": "$648$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non abaissé : la puissance passe de $4$ à $3$ au\nmoment de la dérivation."
            },
            {
              "text": "$54$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant non descendu en facteur : la formule commence par\nmultiplier par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "$(u^n)' = n\\,u^{n-1}\\,u'$ : l'exposant descend en facteur, la\npuissance diminue de $1$, et la dérivée de l'intérieur multiplie le\ntout. Le nombre dérivé s'obtient ensuite par substitution."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivabilite",
        "valeur-absolue"
      ],
      "title": "Où une valeur absolue perd sa dérivabilité",
      "partie": "derivees",
      "statement": "En quel réel la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = |2x - 6|$ n'est-elle pas dérivable ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'expression $2x - 6$ s'annule en $3$,\net c'est là que la courbe forme un angle."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe mal reporté : résoudre $2x - 6 = 0$ donne $3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'angle ne se trouve en $0$ que pour $|x|$ : ici l'expression\nintérieure s'annule ailleurs."
        },
        {
          "text": "$-12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés\npour résoudre l'équation $2x - 6 = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression\nqu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un\nangle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées.",
      "variants": [
        {
          "statement": "En quel réel la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = |2x - 6|$ n'est-elle pas dérivable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'expression $2x - 6$ s'annule en $3$,\net c'est là que la courbe forme un angle."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal reporté : résoudre $2x - 6 = 0$ donne $3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'angle ne se trouve en $0$ que pour $|x|$ : ici l'expression\nintérieure s'annule ailleurs."
            },
            {
              "text": "$-12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés\npour résoudre l'équation $2x - 6 = 0$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression\nqu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un\nangle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées."
        },
        {
          "statement": "En quel réel la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = |3x + 6|$ n'est-elle pas dérivable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'expression $3x + 6$ s'annule en $-2$,\net c'est là que la courbe forme un angle."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal reporté : résoudre $3x + 6 = 0$ donne $-2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'angle ne se trouve en $0$ que pour $|x|$ : ici l'expression\nintérieure s'annule ailleurs."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés\npour résoudre l'équation $3x + 6 = 0$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression\nqu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un\nangle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées."
        },
        {
          "statement": "En quel réel la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = |5x - 10|$ n'est-elle pas dérivable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'expression $5x - 10$ s'annule en $2$,\net c'est là que la courbe forme un angle."
            },
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal reporté : résoudre $5x - 10 = 0$ donne $2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'angle ne se trouve en $0$ que pour $|x|$ : ici l'expression\nintérieure s'annule ailleurs."
            },
            {
              "text": "$-50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés\npour résoudre l'équation $5x - 10 = 0$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression\nqu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un\nangle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées."
        },
        {
          "statement": "En quel réel la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = |4x + 12|$ n'est-elle pas dérivable ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'expression $4x + 12$ s'annule en $-3$,\net c'est là que la courbe forme un angle."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe mal reporté : résoudre $4x + 12 = 0$ donne $-3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'angle ne se trouve en $0$ que pour $|x|$ : ici l'expression\nintérieure s'annule ailleurs."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été multipliés au lieu d'être utilisés\npour résoudre l'équation $4x + 12 = 0$."
            }
          ],
          "explanation": "Une valeur absolue est dérivable partout sauf là où l'expression\nqu'elle encadre s'annule en changeant de signe : la courbe y forme un\nangle, avec deux demi-tangentes de pentes opposées."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tangentes",
        "calcul"
      ],
      "title": "Équation réduite d'une tangente",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x^2 + 3$. Quelle est\nl'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse\n$1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 4x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(1) = 4$ et $f(1) = 5$, donc\n$y = 4(x - 1) + 5$, qui se réduit en\n$y = 4x + 1$."
        },
        {
          "text": "$y = 4x + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Décalage oublié : la tangente s'écrit $f'(1)(x - 1) +\nf(1)$, le terme $- 1$ modifie l'ordonnée à l'origine."
        },
        {
          "text": "$y = 5x + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé\n$4$, et $5$ est l'ordonnée du point de contact."
        },
        {
          "text": "$y = 4x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or\nla tangente doit passer par $(1\\,;\\,5)$."
        }
      ],
      "explanation": "Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.\nOn calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis\non développe pour obtenir l'équation réduite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x^2 + 3$. Quelle est\nl'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse\n$1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 4x + 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(1) = 4$ et $f(1) = 5$, donc\n$y = 4(x - 1) + 5$, qui se réduit en\n$y = 4x + 1$."
            },
            {
              "text": "$y = 4x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : la tangente s'écrit $f'(1)(x - 1) +\nf(1)$, le terme $- 1$ modifie l'ordonnée à l'origine."
            },
            {
              "text": "$y = 5x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé\n$4$, et $5$ est l'ordonnée du point de contact."
            },
            {
              "text": "$y = 4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or\nla tangente doit passer par $(1\\,;\\,5)$."
            }
          ],
          "explanation": "Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.\nOn calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis\non développe pour obtenir l'équation réduite."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2 + 1$. Quelle est\nl'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse\n$2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 12x - 11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(2) = 12$ et $f(2) = 13$, donc\n$y = 12(x - 2) + 13$, qui se réduit en\n$y = 12x - 11$."
            },
            {
              "text": "$y = 12x + 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : la tangente s'écrit $f'(2)(x - 2) +\nf(2)$, le terme $- 2$ modifie l'ordonnée à l'origine."
            },
            {
              "text": "$y = 13x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé\n$12$, et $13$ est l'ordonnée du point de contact."
            },
            {
              "text": "$y = 12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or\nla tangente doit passer par $(2\\,;\\,13)$."
            }
          ],
          "explanation": "Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.\nOn calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis\non développe pour obtenir l'équation réduite."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2 + 2$. Quelle est\nl'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse\n$-1$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = -6x - 1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(-1) = -6$ et $f(-1) = 5$, donc\n$y = -6(x - -1) + 5$, qui se réduit en\n$y = -6x - 1$."
            },
            {
              "text": "$y = -6x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : la tangente s'écrit $f'(-1)(x - -1) +\nf(-1)$, le terme $- -1$ modifie l'ordonnée à l'origine."
            },
            {
              "text": "$y = 5x - 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé\n$-6$, et $5$ est l'ordonnée du point de contact."
            },
            {
              "text": "$y = -6x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or\nla tangente doit passer par $(-1\\,;\\,5)$."
            }
          ],
          "explanation": "Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.\nOn calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis\non développe pour obtenir l'équation réduite."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x^2 - 5$. Quelle est\nl'équation réduite de la tangente à sa courbe au point d'abscisse\n$3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 12x - 23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(3) = 12$ et $f(3) = 13$, donc\n$y = 12(x - 3) + 13$, qui se réduit en\n$y = 12x - 23$."
            },
            {
              "text": "$y = 12x + 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Décalage oublié : la tangente s'écrit $f'(3)(x - 3) +\nf(3)$, le terme $- 3$ modifie l'ordonnée à l'origine."
            },
            {
              "text": "$y = 13x + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Rôles échangés : le coefficient directeur est le nombre dérivé\n$12$, et $13$ est l'ordonnée du point de contact."
            },
            {
              "text": "$y = 12x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Point de contact ignoré : cette droite passe par l'origine, or\nla tangente doit passer par $(3\\,;\\,13)$."
            }
          ],
          "explanation": "Tangente au point d'abscisse $x_0$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.\nOn calcule d'abord la pente et l'ordonnée du point de contact, puis\non développe pour obtenir l'équation réduite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe-derivee",
        "extremum"
      ],
      "title": "Repérer un maximum sur le signe de $f'$",
      "partie": "variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$. Sa dérivée est négative sur\n$]-\\infty\\,;\\,-2]$, positive sur $[-2\\,;\\,3]$, puis négative\nsur $[3\\,;\\,+\\infty[$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum\nlocal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $3$, la\ncourbe y atteint un sommet."
        },
        {
          "text": "$x = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens de variation inversé : en $-2$, $f$ passe de décroissante\nà croissante, c'est un minimum local."
        },
        {
          "text": "$x = -2$ et $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures\nopposées : minimum en $-2$, maximum en $3$."
        },
        {
          "text": "Nulle part : $f'$ change deux fois de signe",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un\nchangement de signe de $f'$ en produit un à chaque fois."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe de $f'$ se lit comme un relief : un passage du positif au\nnégatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un\nminimum local. La valeur de $f$ n'intervient pas dans ce diagnostic.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$. Sa dérivée est négative sur\n$]-\\infty\\,;\\,-2]$, positive sur $[-2\\,;\\,3]$, puis négative\nsur $[3\\,;\\,+\\infty[$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum\nlocal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $3$, la\ncourbe y atteint un sommet."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de variation inversé : en $-2$, $f$ passe de décroissante\nà croissante, c'est un minimum local."
            },
            {
              "text": "$x = -2$ et $x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures\nopposées : minimum en $-2$, maximum en $3$."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $f'$ change deux fois de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un\nchangement de signe de $f'$ en produit un à chaque fois."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de $f'$ se lit comme un relief : un passage du positif au\nnégatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un\nminimum local. La valeur de $f$ n'intervient pas dans ce diagnostic."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$. Sa dérivée est négative sur\n$]-\\infty\\,;\\,1]$, positive sur $[1\\,;\\,5]$, puis négative\nsur $[5\\,;\\,+\\infty[$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum\nlocal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $5$, la\ncourbe y atteint un sommet."
            },
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de variation inversé : en $1$, $f$ passe de décroissante\nà croissante, c'est un minimum local."
            },
            {
              "text": "$x = 1$ et $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures\nopposées : minimum en $1$, maximum en $5$."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $f'$ change deux fois de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un\nchangement de signe de $f'$ en produit un à chaque fois."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de $f'$ se lit comme un relief : un passage du positif au\nnégatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un\nminimum local. La valeur de $f$ n'intervient pas dans ce diagnostic."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$. Sa dérivée est négative sur\n$]-\\infty\\,;\\,-4]$, positive sur $[-4\\,;\\,0]$, puis négative\nsur $[0\\,;\\,+\\infty[$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum\nlocal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $0$, la\ncourbe y atteint un sommet."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de variation inversé : en $-4$, $f$ passe de décroissante\nà croissante, c'est un minimum local."
            },
            {
              "text": "$x = -4$ et $x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures\nopposées : minimum en $-4$, maximum en $0$."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $f'$ change deux fois de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un\nchangement de signe de $f'$ en produit un à chaque fois."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de $f'$ se lit comme un relief : un passage du positif au\nnégatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un\nminimum local. La valeur de $f$ n'intervient pas dans ce diagnostic."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$. Sa dérivée est négative sur\n$]-\\infty\\,;\\,2]$, positive sur $[2\\,;\\,6]$, puis négative\nsur $[6\\,;\\,+\\infty[$. En quelle valeur $f$ admet-elle un maximum\nlocal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $6$, la\ncourbe y atteint un sommet."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens de variation inversé : en $2$, $f$ passe de décroissante\nà croissante, c'est un minimum local."
            },
            {
              "text": "$x = 2$ et $x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs sont bien des extremums, mais de natures\nopposées : minimum en $2$, maximum en $6$."
            },
            {
              "text": "Nulle part : $f'$ change deux fois de signe",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est au contraire la condition d'existence d'un extremum : un\nchangement de signe de $f'$ en produit un à chaque fois."
            }
          ],
          "explanation": "Le signe de $f'$ se lit comme un relief : un passage du positif au\nnégatif marque un maximum local, un passage du négatif au positif un\nminimum local. La valeur de $f$ n'intervient pas dans ce diagnostic."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "convexite-f-prime",
        "lecture"
      ],
      "title": "Convexité déduite des variations de $f'$",
      "partie": "convexite",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,5]$, la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est décroissante\nsur $[0\\,;\\,2]$ puis croissante sur $[2\\,;\\,5]$. Que peut-on dire de\n$f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Concave sur $[0\\,;\\,2]$, puis convexe sur $[2\\,;\\,5]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la convexité suit le sens de variation de $f'$.\nLe point d'abscisse $2$ est un point d'inflexion."
        },
        {
          "text": "Convexe sur $[0\\,;\\,2]$, puis concave sur $[2\\,;\\,5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Correspondance inversée : c'est la croissance de $f'$ qui donne\nla convexité, et sa décroissance la concavité."
        },
        {
          "text": "Convexe sur tout $[0\\,;\\,5]$, puisque $f'$ finit par croître",
          "correct": false,
          "feedback": "La convexité se juge intervalle par intervalle : sur $[0\\,;\\,2]$\nla dérivée décroît, donc la courbe y est concave."
        },
        {
          "text": "Décroissante puis croissante, exactement comme sa dérivée",
          "correct": false,
          "feedback": "Étage de lecture confondu : les variations de $f$ se lisent sur\nle signe de $f'$, pas sur son sens de variation."
        }
      ],
      "explanation": "Trois étages superposés : le signe de $f'$ donne les variations de\n$f$, le sens de variation de $f'$ donne sa convexité. Un changement\nde sens de $f'$ marque donc un point d'inflexion."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "extremum-local",
        "variations"
      ],
      "title": "Dérivée nulle sans changement de signe",
      "partie": "variations",
      "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = (x - 3)^2$.\nQue peut-on dire de $f$ en $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucun extremum : $f$ croît sur $\\mathbb{R}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un carré est positif, donc $f' \\geq 0$ partout.\nLa dérivée s'annule en $3$ sans changer de signe."
        },
        {
          "text": "Un minimum local, puisque $f'(3) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition nécessaire prise pour suffisante : l'annulation de\n$f'$ ne suffit pas, il faut un changement de signe."
        },
        {
          "text": "Un maximum local, puisque $f'$ s'annule en $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Même erreur, avec le mauvais type d'extremum en prime : $f$ ne\ndécroît nulle part, elle ne peut atteindre aucun sommet."
        },
        {
          "text": "Un extremum dont le type se lit sur le signe de $f''(3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ici $f''(x) = 2(x - 3)$ s'annule aussi en $3$ : ce critère ne\ntranche rien, seul le signe de $f'$ conclut."
        }
      ],
      "explanation": "Un extremum local exige que $f'$ s'annule **en changeant de signe**.\nAvec $f'(x) = (x-3)^2$, la dérivée touche zéro et repart positive :\nla courbe présente une tangente horizontale sans sommet ni creux."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inegalite",
        "convexite"
      ],
      "title": "Inégalité déduite d'une concavité",
      "partie": "variations",
      "statement": "La fonction $\\ln$ est concave sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ et sa tangente au\npoint d'abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$. Quelle inégalité en\ndécoule ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln x \\leq x - 1$ pour tout $x > 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une courbe concave reste sous chacune de ses\ntangentes, avec égalité au seul point de contact $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\geq x - 1$ pour tout $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Position inversée : c'est une fonction convexe qui domine ses\ntangentes. Teste $x = 4$ : $\\ln 4 \\approx 1{,}39 < 3$."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\leq x - 1$ seulement pour $x \\geq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La concavité vaut sur tout l'intervalle : pour $x = 0{,}5$,\n$\\ln 0{,}5 \\approx -0{,}69$ est bien inférieur à $-0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\geq 1 - x$ pour tout $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tangente mal recopiée : sa pente vaut $1$, pas $-1$. Teste\n$x = 0{,}5$ : $-0{,}69 \\geq 0{,}5$ est faux."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction concave se situe sous toutes ses tangentes. Appliquée à\nla tangente de $\\ln$ en $1$, cette propriété fournit l'inégalité\n$\\ln x \\leq x - 1$, très utilisée dans les comparaisons."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "optimisation",
        "variations"
      ],
      "title": "Minimiser un coût moyen",
      "partie": "variations",
      "statement": "Le coût moyen de fabrication de $x$ objets, en euros, est donné par\n$C(x) = x + \\dfrac{36}{x}$ pour $x > 0$. Pour quelle production ce\ncoût moyen est-il minimal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ objets",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $C'(x) = 1 - \\dfrac{36}{x^2}$ s'annule quand\n$x^2 = 36$, donc en $x = 6$, en passant du négatif au\npositif."
        },
        {
          "text": "$18$ objets",
          "correct": false,
          "feedback": "Équation mal résolue : $x^2 = 36$ se résout par une racine\ncarrée, pas par une division par $2$."
        },
        {
          "text": "$9$ objets",
          "correct": false,
          "feedback": "Même confusion : diviser par $4$ ne remplace pas l'extraction de\nla racine carrée de $36$."
        },
        {
          "text": "$36$ objets",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur recopiée de l'énoncé : $36$ annulerait $C'$ seulement si\n$36^2 = 36$, ce qui est faux ici."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le\nsigne de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici\n$C'(x) = 1 - \\dfrac{36}{x^2}$ s'annule en $\\sqrt{36} = 6$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le coût moyen de fabrication de $x$ objets, en euros, est donné par\n$C(x) = x + \\dfrac{36}{x}$ pour $x > 0$. Pour quelle production ce\ncoût moyen est-il minimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $C'(x) = 1 - \\dfrac{36}{x^2}$ s'annule quand\n$x^2 = 36$, donc en $x = 6$, en passant du négatif au\npositif."
            },
            {
              "text": "$18$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Équation mal résolue : $x^2 = 36$ se résout par une racine\ncarrée, pas par une division par $2$."
            },
            {
              "text": "$9$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Même confusion : diviser par $4$ ne remplace pas l'extraction de\nla racine carrée de $36$."
            },
            {
              "text": "$36$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur recopiée de l'énoncé : $36$ annulerait $C'$ seulement si\n$36^2 = 36$, ce qui est faux ici."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le\nsigne de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici\n$C'(x) = 1 - \\dfrac{36}{x^2}$ s'annule en $\\sqrt{36} = 6$."
        },
        {
          "statement": "Le coût moyen de fabrication de $x$ objets, en euros, est donné par\n$C(x) = x + \\dfrac{100}{x}$ pour $x > 0$. Pour quelle production ce\ncoût moyen est-il minimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $C'(x) = 1 - \\dfrac{100}{x^2}$ s'annule quand\n$x^2 = 100$, donc en $x = 10$, en passant du négatif au\npositif."
            },
            {
              "text": "$50$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Équation mal résolue : $x^2 = 100$ se résout par une racine\ncarrée, pas par une division par $2$."
            },
            {
              "text": "$25$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Même confusion : diviser par $4$ ne remplace pas l'extraction de\nla racine carrée de $100$."
            },
            {
              "text": "$100$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur recopiée de l'énoncé : $100$ annulerait $C'$ seulement si\n$100^2 = 100$, ce qui est faux ici."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le\nsigne de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici\n$C'(x) = 1 - \\dfrac{100}{x^2}$ s'annule en $\\sqrt{100} = 10$."
        },
        {
          "statement": "Le coût moyen de fabrication de $x$ objets, en euros, est donné par\n$C(x) = x + \\dfrac{64}{x}$ pour $x > 0$. Pour quelle production ce\ncoût moyen est-il minimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $C'(x) = 1 - \\dfrac{64}{x^2}$ s'annule quand\n$x^2 = 64$, donc en $x = 8$, en passant du négatif au\npositif."
            },
            {
              "text": "$32$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Équation mal résolue : $x^2 = 64$ se résout par une racine\ncarrée, pas par une division par $2$."
            },
            {
              "text": "$16$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Même confusion : diviser par $4$ ne remplace pas l'extraction de\nla racine carrée de $64$."
            },
            {
              "text": "$64$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur recopiée de l'énoncé : $64$ annulerait $C'$ seulement si\n$64^2 = 64$, ce qui est faux ici."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le\nsigne de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici\n$C'(x) = 1 - \\dfrac{64}{x^2}$ s'annule en $\\sqrt{64} = 8$."
        },
        {
          "statement": "Le coût moyen de fabrication de $x$ objets, en euros, est donné par\n$C(x) = x + \\dfrac{144}{x}$ pour $x > 0$. Pour quelle production ce\ncoût moyen est-il minimal ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ objets",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $C'(x) = 1 - \\dfrac{144}{x^2}$ s'annule quand\n$x^2 = 144$, donc en $x = 12$, en passant du négatif au\npositif."
            },
            {
              "text": "$72$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Équation mal résolue : $x^2 = 144$ se résout par une racine\ncarrée, pas par une division par $2$."
            },
            {
              "text": "$36$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Même confusion : diviser par $4$ ne remplace pas l'extraction de\nla racine carrée de $144$."
            },
            {
              "text": "$144$ objets",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeur recopiée de l'énoncé : $144$ annulerait $C'$ seulement si\n$144^2 = 144$, ce qui est faux ici."
            }
          ],
          "explanation": "Méthode d'optimisation : dériver la fonction de coût, étudier le\nsigne de la dérivée, conclure par le tableau de variations. Ici\n$C'(x) = 1 - \\dfrac{144}{x^2}$ s'annule en $\\sqrt{144} = 12$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "convexite",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Lire la convexité sur la courbe de f''",
      "partie": "convexite",
      "statement": "La courbe ci-contre représente la dérivée seconde $f''$ d'une\nfonction $f$ deux fois dérivable sur $\\mathbb{R}$. Sur quel\nintervalle $f$ est-elle convexe ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3,-4) grid (5,5);\n  \\draw[->] (-3,0) -- (5.3,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-4) -- (0,5.3) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-3,-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[thick,blue] (-1.5,-4) -- (4.5,5);\n  \\node[blue,right] at (4.2,3.2) {$\\mathcal{C}_{f''}$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Droite représentant f'', croissante, coupant l'axe des abscisses\nau point d'abscisse 1 : négative avant 1, positive après.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"157.885pt\" height=\"175.625pt\" viewBox=\"0 0 157.885 175.625\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.046875 -2.046875 C 6.203125 -2.046875 6.375 -2.046875 6.375 -2.25 C 6.375 -2.4375 6.203125 -2.4375 6.046875 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.046875 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.734375 -3.15625 C 3.5625 -3.46875 3.953125 -4.125 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.203125 -5.96875 2.265625 -5.96875 C 1.328125 -5.96875 0.640625 -5.4375 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.359375 -4.28125 1.546875 -4.46875 1.546875 -4.734375 C 1.546875 -5.046875 1.328125 -5.1875 1.015625 -5.1875 C 1.25 -5.5625 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.984375 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.734375 C 3.125 -4.453125 3.078125 -4.03125 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.234375 1.75 -3.234375 1.6875 -3.234375 C 1.609375 -3.21875 1.53125 -3.21875 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.609375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.296875 -2.375 3.296875 -1.515625 C 3.296875 -0.375 2.6875 -0.046875 2.234375 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.546875 1.140625 -1.734375 0.875 -1.734375 C 0.65625 -1.734375 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.59375 -2.96875 2.734375 -3.15625 Z M 2.734375 -3.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.484375 L 2.703125 -1.484375 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.109375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.125 -0.28125 C 3.453125 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.484375 L 4.328125 -1.484375 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -6 3.421875 -6.0625 3.25 -6.0625 C 3.140625 -6.0625 3.140625 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 4.921875 -1.5625 C 4.921875 -1.625 4.875 -1.625 4.828125 -1.625 C 4.65625 -1.625 4.421875 -1.484375 4.40625 -1.484375 C 4.21875 -1.34375 4.171875 -1.28125 4.046875 -1.109375 C 3.75 -0.640625 3.3125 -0.3125 2.65625 -0.3125 C 1.765625 -0.3125 0.96875 -0.953125 0.96875 -2.4375 C 0.96875 -3.34375 1.328125 -4.515625 1.84375 -5.3125 C 2.28125 -5.9375 2.828125 -6.453125 3.84375 -6.453125 C 4.21875 -6.453125 4.46875 -6.3125 4.46875 -5.953125 C 4.46875 -5.609375 4.09375 -4.90625 3.96875 -4.703125 C 3.921875 -4.59375 3.921875 -4.578125 3.921875 -4.546875 C 3.921875 -4.484375 3.96875 -4.484375 4.03125 -4.484375 C 4.21875 -4.484375 4.59375 -4.703125 4.703125 -4.859375 C 4.734375 -4.90625 5.3125 -5.875 5.3125 -6.375 C 5.3125 -6.921875 4.859375 -7 4.5 -7 C 3.0625 -7 1.875 -6.0625 1.421875 -5.5 C 0.234375 -4.078125 0.125 -2.53125 0.125 -2.015625 C 0.125 -0.5625 0.859375 0.234375 2 0.234375 C 3.609375 0.234375 4.921875 -1.3125 4.921875 -1.5625 Z M 4.921875 -1.5625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.828125 -2.75 L 3.515625 -2.75 C 3.65625 -2.75 3.734375 -2.75 3.734375 -2.90625 C 3.734375 -3 3.65625 -3 3.53125 -3 L 2.875 -3 C 3.03125 -3.875 3.09375 -4.203125 3.15625 -4.40625 C 3.1875 -4.546875 3.34375 -4.703125 3.5 -4.703125 C 3.515625 -4.703125 3.703125 -4.703125 3.828125 -4.609375 C 3.546875 -4.53125 3.53125 -4.28125 3.53125 -4.234375 C 3.53125 -4.078125 3.640625 -3.984375 3.796875 -3.984375 C 3.984375 -3.984375 4.203125 -4.140625 4.203125 -4.40625 C 4.203125 -4.71875 3.859375 -4.890625 3.5 -4.890625 C 3.203125 -4.890625 2.859375 -4.71875 2.671875 -4.375 C 2.53125 -4.109375 2.46875 -3.796875 2.328125 -3 L 1.78125 -3 C 1.640625 -3 1.546875 -3 1.546875 -2.84375 C 1.546875 -2.75 1.640625 -2.75 1.765625 -2.75 L 2.28125 -2.75 C 2.28125 -2.703125 1.828125 -0.203125 1.671875 0.546875 C 1.640625 0.703125 1.515625 1.21875 1.1875 1.21875 C 1.171875 1.21875 1.015625 1.21875 0.875 1.140625 C 1.15625 1.046875 1.1875 0.796875 1.1875 0.765625 C 1.1875 0.609375 1.0625 0.5 0.90625 0.5 C 0.71875 0.5 0.5 0.65625 0.5 0.921875 C 0.5 1.234375 0.828125 1.421875 1.1875 1.421875 C 1.625 1.421875 1.9375 0.953125 2.015625 0.8125 C 2.265625 0.34375 2.421875 -0.515625 2.4375 -0.59375 Z M 2.828125 -2.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-0\">\n<path d=\"M 1.78125 -2.3125 C 1.796875 -2.3125 1.84375 -2.40625 1.84375 -2.484375 C 1.84375 -2.65625 1.671875 -2.78125 1.53125 -2.78125 C 1.328125 -2.78125 1.265625 -2.625 1.25 -2.546875 L 0.484375 -0.390625 C 0.46875 -0.34375 0.46875 -0.328125 0.46875 -0.3125 C 0.46875 -0.234375 0.671875 -0.1875 0.671875 -0.1875 C 0.71875 -0.1875 0.734375 -0.21875 0.765625 -0.265625 Z M 1.78125 -2.3125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 16 8 L 141 8 L 141 175.25 L 16 175.25 Z M 16 8 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -51.025281 -68.034299 L 85.041979 -68.034299 M -51.025281 -51.025402 L 85.041979 -51.025402 M -51.025281 -34.016505 L 85.041979 -34.016505 M -51.025281 -17.007609 L 85.041979 -17.007609 M -51.025281 0.00128826 L 85.041979 0.00128826 M -51.025281 17.010185 L 85.041979 17.010185 M -51.025281 34.015167 L 85.041979 34.015167 M -51.025281 51.024064 L 85.041979 51.024064 M -51.025281 68.032961 L 85.041979 68.032961 M -51.025281 85.034028 L 85.041979 85.034028 M -51.025281 -68.034299 L -51.025281 85.041858 M -34.016384 -68.034299 L -34.016384 85.041858 M -17.007488 -68.034299 L -17.007488 85.041858 M 0.00140925 -68.034299 L 0.00140925 85.041858 M 17.006391 -68.034299 L 17.006391 85.041858 M 34.015288 -68.034299 L 34.015288 85.041858 M 51.024185 -68.034299 L 51.024185 85.041858 M 68.033082 -68.034299 L 68.033082 85.041858 M 85.034149 -68.034299 L 85.034149 85.041858 \" transform=\"matrix(0.997869, 0, 0, -0.997869, 53.213438, 104.977848)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -51.025281 0.00128826 L 89.743402 0.00128826 \" transform=\"matrix(0.997869, 0, 0, -0.997869, 53.213438, 104.977848)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072322 2.389189 C -1.692607 0.956448 -0.85097 0.279224 -0.00150374 0.00128826 C -0.85097 -0.280562 -1.692607 -0.957786 -2.072322 -2.390527 \" transform=\"matrix(0.997869, 0, 0, -0.997869, 142.966344, 104.977848)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"146.675874\" y=\"112.77021\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00140925 -68.034299 L 0.00140925 89.747196 \" transform=\"matrix(0.997869, 0, 0, -0.997869, 53.213438, 104.977848)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072443 2.390406 C -1.692728 0.957665 -0.851091 0.280441 -0.00162473 -0.00140925 C -0.851091 -0.279345 -1.692728 -0.956569 -2.072443 -2.38931 \" transform=\"matrix(0, -0.997869, -0.997869, 0, 53.213438, 15.224941)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"44.470107\" y=\"9.581541\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"13.39446\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"20.547188\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"30.366222\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"37.518949\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"67.886108\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"84.857869\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"101.829631\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"118.801392\" y=\"114.256037\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.951026\" y=\"158.361861\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"45.102756\" y=\"158.361861\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.951026\" y=\"141.390099\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"45.102756\" y=\"141.390099\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.951026\" y=\"124.418338\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"45.102756\" y=\"124.418338\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"45.102756\" y=\"90.888931\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"45.102756\" y=\"73.91717\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"45.102756\" y=\"56.945408\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"45.102756\" y=\"39.973647\"/>\n</g>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -25.513893 -68.034299 L 76.535573 85.041858 \" transform=\"matrix(0.997869, 0, 0, -0.997869, 53.213438, 104.977848)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"128.006737\" y=\"52.642596\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"133.241559\" y=\"54.133413\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"137.898615\" y=\"52.145657\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"140.090697\" y=\"52.145657\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$[1\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ est convexe là où $f'' \\geq 0$, c'est-à-dire\nlà où la courbe de $f''$ est au-dessus de l'axe."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,1]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur cet intervalle $f'' \\leq 0$, la fonction $f$ y est\nconcave."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$, car $f''$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le signe de $f''$ qui compte, pas son sens de\nvariation."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : entre $0$ et $1$, $f''$ est encore négative."
        }
      ],
      "explanation": "$f$ convexe sur $I$ $\\iff$ $f'' \\geq 0$ sur $I$. Ici $f''$ change\nde signe en $1$ : la courbe de $f$ a un point d'inflexion\nd'abscisse $1$."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variations",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Lire les variations sur la courbe de f'",
      "partie": "variations",
      "statement": "La courbe ci-contre représente la dérivée $f'$ d'une fonction $f$\ndérivable sur $\\mathbb{R}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle\ndécroissante ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3,-3) grid (4,5);\n  \\draw[->] (-3,0) -- (4.3,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-3) -- (0,5.3) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[thick,blue,domain=-2.3:3.3,samples=60] plot (\\x,{(\\x+1)*(\\x-2)});\n  \\node[blue,right] at (3.1,4.4) {$\\mathcal{C}_{f'}$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Parabole tournée vers le haut représentant f', coupant l'axe des\nabscisses en -1 et 2, négative entre ces deux valeurs.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"140.877pt\" height=\"158.418pt\" viewBox=\"0 0 140.877 158.418\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.03125 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.578125 -2.828125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.953125 2.1875 -5.953125 C 1.15625 -5.953125 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.125 -3.828125 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.390625 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 3 -5.671875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.203125 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.5625 -3.453125 3.953125 -4.109375 3.953125 -4.734375 C 3.953125 -5.421875 3.1875 -5.953125 2.265625 -5.953125 C 1.328125 -5.953125 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.75 C 0.640625 -4.453125 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.46875 1.53125 -4.734375 C 1.53125 -5.046875 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.734375 2.234375 -5.734375 C 2.96875 -5.734375 3.125 -5.140625 3.125 -4.71875 C 3.125 -4.453125 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.6875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.265625 2 -3.25 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.6875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -3 1.59375 -3 1.75 -3 L 2.171875 -3 C 2.953125 -3 3.28125 -2.375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.6875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.0625 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.25 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.375 0.203125 4.203125 -0.609375 4.203125 -1.515625 C 4.203125 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.703125 -1.46875 L 2.703125 -0.703125 C 2.703125 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.8125 -0.28125 L 1.8125 0 C 2.375 -0.03125 3 -0.03125 3.0625 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.75 -0.03125 4.3125 0 L 4.3125 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.421875 -0.375 3.421875 -0.703125 L 3.421875 -1.46875 L 4.328125 -1.46875 L 4.328125 -1.75 L 3.421875 -1.75 L 3.421875 -5.8125 C 3.421875 -5.984375 3.421875 -6.046875 3.25 -6.046875 C 3.140625 -6.046875 3.125 -6.046875 3.046875 -5.921875 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.0625 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 4.921875 -1.5625 C 4.921875 -1.625 4.875 -1.625 4.828125 -1.625 C 4.65625 -1.625 4.421875 -1.484375 4.40625 -1.484375 C 4.203125 -1.34375 4.171875 -1.28125 4.046875 -1.109375 C 3.734375 -0.640625 3.296875 -0.3125 2.65625 -0.3125 C 1.765625 -0.3125 0.96875 -0.953125 0.96875 -2.4375 C 0.96875 -3.328125 1.3125 -4.515625 1.84375 -5.296875 C 2.28125 -5.9375 2.8125 -6.453125 3.84375 -6.453125 C 4.21875 -6.453125 4.453125 -6.3125 4.453125 -5.9375 C 4.453125 -5.59375 4.09375 -4.890625 3.96875 -4.6875 C 3.90625 -4.578125 3.90625 -4.5625 3.90625 -4.546875 C 3.90625 -4.46875 3.953125 -4.46875 4.015625 -4.46875 C 4.21875 -4.46875 4.578125 -4.6875 4.703125 -4.859375 C 4.71875 -4.890625 5.296875 -5.859375 5.296875 -6.375 C 5.296875 -6.921875 4.859375 -7 4.5 -7 C 3.0625 -7 1.875 -6.046875 1.421875 -5.5 C 0.234375 -4.0625 0.125 -2.53125 0.125 -2.015625 C 0.125 -0.5625 0.859375 0.234375 2 0.234375 C 3.609375 0.234375 4.921875 -1.3125 4.921875 -1.5625 Z M 4.921875 -1.5625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.828125 -2.75 L 3.515625 -2.75 C 3.65625 -2.75 3.734375 -2.75 3.734375 -2.90625 C 3.734375 -3 3.65625 -3 3.53125 -3 L 2.875 -3 C 3.03125 -3.875 3.09375 -4.203125 3.15625 -4.40625 C 3.1875 -4.546875 3.34375 -4.703125 3.5 -4.703125 C 3.515625 -4.703125 3.703125 -4.703125 3.828125 -4.609375 C 3.546875 -4.53125 3.53125 -4.28125 3.53125 -4.234375 C 3.53125 -4.078125 3.640625 -3.984375 3.796875 -3.984375 C 3.984375 -3.984375 4.203125 -4.140625 4.203125 -4.40625 C 4.203125 -4.71875 3.859375 -4.890625 3.5 -4.890625 C 3.203125 -4.890625 2.859375 -4.71875 2.671875 -4.375 C 2.53125 -4.109375 2.46875 -3.796875 2.328125 -3 L 1.78125 -3 C 1.640625 -3 1.546875 -3 1.546875 -2.84375 C 1.546875 -2.75 1.640625 -2.75 1.765625 -2.75 L 2.28125 -2.75 C 2.28125 -2.703125 1.828125 -0.203125 1.671875 0.546875 C 1.640625 0.703125 1.515625 1.21875 1.1875 1.21875 C 1.171875 1.21875 1.015625 1.21875 0.875 1.140625 C 1.15625 1.046875 1.1875 0.796875 1.1875 0.765625 C 1.1875 0.609375 1.0625 0.5 0.90625 0.5 C 0.71875 0.5 0.5 0.65625 0.5 0.921875 C 0.5 1.234375 0.828125 1.421875 1.1875 1.421875 C 1.625 1.421875 1.9375 0.953125 2.015625 0.8125 C 2.265625 0.34375 2.421875 -0.515625 2.4375 -0.59375 Z M 2.828125 -2.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-0\">\n<path d=\"M 1.78125 -2.3125 C 1.796875 -2.3125 1.84375 -2.40625 1.84375 -2.484375 C 1.84375 -2.65625 1.671875 -2.78125 1.53125 -2.78125 C 1.328125 -2.78125 1.265625 -2.625 1.25 -2.546875 L 0.484375 -0.390625 C 0.46875 -0.34375 0.46875 -0.328125 0.46875 -0.3125 C 0.46875 -0.234375 0.671875 -0.1875 0.671875 -0.1875 C 0.71875 -0.1875 0.734375 -0.21875 0.765625 -0.265625 Z M 1.78125 -2.3125 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -51.025633 -51.026104 L 68.031254 -51.026104 M -51.025633 -34.014617 L 68.031254 -34.014617 M -51.025633 -17.00705 L 68.031254 -17.00705 M -51.025633 0.000516622 L 68.031254 0.000516622 M -51.025633 17.008083 L 68.031254 17.008083 M -51.025633 34.01565 L 68.031254 34.01565 M -51.025633 51.023216 L 68.031254 51.023216 M -51.025633 68.034704 L 68.031254 68.034704 M -51.025633 85.034429 L 68.031254 85.034429 M -51.025633 -51.026104 L -51.025633 85.04227 M -34.018066 -51.026104 L -34.018066 85.04227 M -17.006579 -51.026104 L -17.006579 85.04227 M 0.000987653 -51.026104 L 0.000987653 85.04227 M 17.008554 -51.026104 L 17.008554 85.04227 M 34.016121 -51.026104 L 34.016121 85.04227 M 51.023687 -51.026104 L 51.023687 85.04227 M 68.027333 -51.026104 L 68.027333 85.04227 \" transform=\"matrix(0.99634, 0, 0, -0.99634, 53.217766, 104.816921)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -51.025633 0.000516622 L 72.735975 0.000516622 \" transform=\"matrix(0.99634, 0, 0, -0.99634, 53.217766, 104.816921)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070451 2.392083 C -1.694074 0.957143 -0.851145 0.278879 -0.000374201 0.000516622 C -0.851145 -0.277846 -1.694074 -0.95611 -2.070451 -2.39105 \" transform=\"matrix(0.99634, 0, 0, -0.99634, 125.887092, 104.816921)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"129.591183\" y=\"112.597337\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000987653 -51.026104 L 0.000987653 89.746991 \" transform=\"matrix(0.99634, 0, 0, -0.99634, 53.217766, 104.816921)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071606 2.390579 C -1.695228 0.955639 -0.848378 0.277375 -0.00152862 -0.000987653 C -0.848378 -0.27935 -1.695228 -0.957614 -2.071606 -2.392554 \" transform=\"matrix(0, -0.99634, -0.99634, 0, 53.217766, 15.201602)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"44.487838\" y=\"9.567849\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"13.45983\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"20.601592\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"30.405574\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"37.547336\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"67.867944\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"84.813688\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"101.759432\" y=\"114.080887\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.978751\" y=\"141.173354\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"45.119518\" y=\"141.173354\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.978751\" y=\"124.22761\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"45.119518\" y=\"124.22761\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"45.119518\" y=\"90.749602\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"45.119518\" y=\"73.803858\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"45.119518\" y=\"56.858113\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"45.119518\" y=\"39.912369\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -39.118768 95.075088 L -37.50348 86.191006 L -35.892113 77.608811 L -34.276826 69.336343 L -32.661538 61.369682 L -31.046251 53.708828 L -29.434884 46.353781 L -27.819596 39.30454 L -26.204309 32.565028 L -24.589021 26.127401 L -22.977654 19.999502 L -21.362367 14.177409 L -19.747079 8.661124 L -18.135712 3.450645 L -16.520424 -1.450106 L -14.905137 -6.048971 L -13.289849 -10.338108 L -11.678482 -14.321438 L -10.063195 -17.998962 L -8.447907 -21.370679 L -6.83262 -24.436589 L -5.221253 -27.192771 L -3.605965 -29.647067 L -1.990678 -31.791636 L -0.37539 -33.630398 L 1.235977 -35.163353 L 2.851264 -36.390501 L 4.466552 -37.307921 L 6.08184 -37.923456 L 7.693207 -38.229263 L 9.308494 -38.229263 L 10.923782 -37.923456 L 12.535149 -37.311842 L 14.150436 -36.394421 L 15.765724 -35.167273 L 17.381011 -33.638239 L 18.992378 -31.799477 L 20.607666 -29.654908 L 22.222953 -27.204533 L 23.838241 -24.44835 L 25.449608 -21.382441 L 27.064896 -18.014644 L 28.680183 -14.337121 L 30.295471 -10.35379 L 31.906838 -6.064653 L 33.522125 -1.469709 L 35.137413 3.434963 L 36.74878 8.641521 L 38.364067 14.157806 L 39.979355 19.979899 L 41.594642 26.103877 L 43.206009 32.541504 L 44.821297 39.281017 L 46.436584 46.326337 L 48.051872 53.681384 L 49.663239 61.342238 L 51.278527 69.308899 L 52.893814 77.581367 L 54.509102 86.159642 L 56.120469 95.043723 \" transform=\"matrix(0.99634, 0, 0, -0.99634, 53.217766, 104.816921)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"109.256888\" y=\"32.227601\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"114.482689\" y=\"33.716133\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"119.132606\" y=\"31.730428\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$[-1\\,;\\,2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ décroît là où $f' \\leq 0$, c'est-à-dire là\noù la courbe de $f'$ est sous l'axe."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,0{,}5]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est là que $f'$ décroît ; on lit le signe de $f'$, pas\nses variations."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-1] \\cup [2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur ces intervalles $f' \\geq 0$ et $f$ croît."
        },
        {
          "text": "$[-2{,}25\\,;\\,0]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $[-2{,}25\\,;\\,0]$ est l'intervalle des valeurs prises par\n$f'$ entre ses racines."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture sur la courbe de $f'$ : le **signe** de $f'$ donne les\nvariations de $f$ ; les variations de $f'$ donnent la convexité de\n$f$."
    }
  ]
}