{
  "chapter": {
    "id": "fonction-logarithme",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Fonction logarithme népérien",
    "description": "Logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle,\npropriétés algébriques, dérivée et variations, limites en $0$ et\nen $+\\infty$, croissances comparées, équations et inéquations,\nlien entre les courbes de $\\ln$ et de $\\exp$.",
    "parties": [
      {
        "id": "proprietes",
        "title": "Définition et propriétés algébriques"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Équations et inéquations"
      },
      {
        "id": "etude",
        "title": "Dérivée, variations et limites"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "valeurs"
      ],
      "title": "Valeurs de référence",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\ln(1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$. La courbe de\n$\\ln$ coupe l'axe des abscisses en $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $\\ln(e)$ qui vaut $1$ (car $e^1 = e$).\nRetiens le couple : $\\ln(1) = 0$ et $\\ln(e) = 1$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e \\approx 2{,}718$ est la base de\nl'exponentielle. Le logarithme répond à la question « à\nquelle puissance élever $e$ ? » ; pour obtenir $1$, la\nréponse est $0$."
        },
        {
          "text": "Ce nombre n'est pas défini",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ est définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, et\n$1 > 0$. C'est $\\ln(0)$ ou $\\ln$ d'un nombre négatif qui\nn'existe pas."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln$ est la réciproque de $\\exp$ : $\\ln(x) = y$ signifie\n$e^y = x$. Comme $e^0 = 1$, on a $\\ln(1) = 0$ ; comme\n$e^1 = e$, on a $\\ln(e) = 1$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques"
      ],
      "title": "Logarithme d'un produit",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, que vaut $\\ln(ab)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(a) + \\ln(b)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en\nsommes. C'est la propriété fondamentale, héritée de\n$e^{x+y} = e^x \\, e^y$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a) \\times \\ln(b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : le logarithme ne « distribue » pas sur le\nproduit en produit. Teste : $\\ln(e \\times e) = \\ln(e^2) = 2$\nalors que $\\ln(e) \\times \\ln(e) = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a + b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(a+b)$ ne se simplifie pas. La formule\ntransforme le **produit** $ab$ en somme des logarithmes,\npas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a) - \\ln(b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la différence correspond au **quotient** :\n$\\ln\\!\\left(\\dfrac{a}{b}\\right) = \\ln(a) - \\ln(b)$."
        }
      ],
      "explanation": "Équation fonctionnelle du logarithme :\n$\\ln(ab) = \\ln(a) + \\ln(b)$. On en déduit\n$\\ln(a/b) = \\ln a - \\ln b$ et $\\ln(a^n) = n\\ln(a)$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(e^@k@)$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\ln(e^3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car\n$\\ln$ et $\\exp$ sont réciproques l'une de l'autre."
        },
        {
          "text": "$e^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : appliquer $\\ln$ à $e^3$ « défait » l'exponentielle\net rend l'exposant : le résultat est $3$, pas\n$e^3 \\approx 20$."
        },
        {
          "text": "$3e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.\n$\\ln(e^3) = 3\\ln(e) = 3 \\times 1 = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as remplacé $e^3$ par $3$ avant d'appliquer\n$\\ln$. La règle est $\\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait\nl'exposant."
        }
      ],
      "explanation": "Réciprocité : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et\n$e^{\\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\\ln(e^3) = 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(e^3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car\n$\\ln$ et $\\exp$ sont réciproques l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$e^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : appliquer $\\ln$ à $e^3$ « défait » l'exponentielle\net rend l'exposant : le résultat est $3$, pas\n$e^3 \\approx 20$."
            },
            {
              "text": "$3e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.\n$\\ln(e^3) = 3\\ln(e) = 3 \\times 1 = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as remplacé $e^3$ par $3$ avant d'appliquer\n$\\ln$. La règle est $\\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait\nl'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Réciprocité : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et\n$e^{\\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\\ln(e^3) = 3$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(e^4)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car\n$\\ln$ et $\\exp$ sont réciproques l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$e^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : appliquer $\\ln$ à $e^4$ « défait » l'exponentielle\net rend l'exposant : le résultat est $4$, pas\n$e^4 \\approx 55$."
            },
            {
              "text": "$4e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.\n$\\ln(e^4) = 4\\ln(e) = 4 \\times 1 = 4$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as remplacé $e^4$ par $4$ avant d'appliquer\n$\\ln$. La règle est $\\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait\nl'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Réciprocité : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et\n$e^{\\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\\ln(e^4) = 4$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(e^5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car\n$\\ln$ et $\\exp$ sont réciproques l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$e^5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : appliquer $\\ln$ à $e^5$ « défait » l'exponentielle\net rend l'exposant : le résultat est $5$, pas\n$e^5 \\approx 148$."
            },
            {
              "text": "$5e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.\n$\\ln(e^5) = 5\\ln(e) = 5 \\times 1 = 5$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as remplacé $e^5$ par $5$ avant d'appliquer\n$\\ln$. La règle est $\\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait\nl'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Réciprocité : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et\n$e^{\\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\\ln(e^5) = 5$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(e^2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, car\n$\\ln$ et $\\exp$ sont réciproques l'une de l'autre."
            },
            {
              "text": "$e^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : appliquer $\\ln$ à $e^2$ « défait » l'exponentielle\net rend l'exposant : le résultat est $2$, pas\n$e^2 \\approx 7{,}4$."
            },
            {
              "text": "$2e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucun produit par $e$ n'apparaît.\n$\\ln(e^2) = 2\\ln(e) = 2 \\times 1 = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tu as remplacé $e^2$ par $2$ avant d'appliquer\n$\\ln$. La règle est $\\ln(e^x) = x$ : le logarithme extrait\nl'exposant."
            }
          ],
          "explanation": "Réciprocité : $\\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ réel, et\n$e^{\\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$. Donc $\\ln(e^2) = 2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée du logarithme",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $\\ln$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$, strictement\npositive sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, ce qui prouve que $\\ln$ est\nstrictement croissante."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction\n**inverse** $x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$, pas celle de $\\ln$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln(x) \\cdot \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune règle ne fait réapparaître $\\ln$ dans sa\npropre dérivée. Le résultat est simplement $\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'**exponentielle**. Être\nréciproques ne donne pas la même dérivée."
        }
      ],
      "explanation": "Résultat du cours (démonstration au programme, la dérivabilité\nétant admise) : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$. Positif, donc $\\ln$ strictement croissante."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\ln(u)$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\ln(x^2 + 1)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ avec\n$u(x) = x^2 + 1$ et $u'(x) = 2x$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $u'$ : la formule de la composée est\n$\\dfrac{u'}{u}$, pas $\\dfrac{1}{u}$. Il manque $2x$ au\nnumérateur."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2x \\, \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme disparaît en dérivant ; il ne reste\njamais de $\\ln$ en facteur dans la dérivée de $\\ln(u)$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as dérivé comme si l'intérieur était la\nvariable, puis inversé $u'$. La règle exacte :\n$(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u} = \\dfrac{2x}{x^2+1}$."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$). Ici\n$u(x) = x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est définie sur\n$\\mathbb{R}$ et $f'(x) = \\dfrac{2x}{x^2+1}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre $e^x = @k@$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\ln(5)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \\ln 5 \\approx\n1{,}61$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{5}{e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par\n$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On\napplique la fonction réciproque $\\ln$."
        },
        {
          "text": "$x = e^5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $e^5 \\approx 148$ est l'image de $5$ par\nl'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de\n$5$, c'est $\\ln 5$."
        },
        {
          "text": "$x = 5 - e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.\nL'outil adapté est le logarithme : $x = \\ln 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution\n$x = \\ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité\n$\\ln(e^x) = x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln(5)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \\ln 5 \\approx\n1{,}61$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par\n$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On\napplique la fonction réciproque $\\ln$."
            },
            {
              "text": "$x = e^5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $e^5 \\approx 148$ est l'image de $5$ par\nl'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de\n$5$, c'est $\\ln 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 5 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.\nL'outil adapté est le logarithme : $x = \\ln 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution\n$x = \\ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité\n$\\ln(e^x) = x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln(3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \\ln 3 \\approx\n1{,}10$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par\n$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On\napplique la fonction réciproque $\\ln$."
            },
            {
              "text": "$x = e^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $e^3 \\approx 20$ est l'image de $3$ par\nl'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de\n$3$, c'est $\\ln 3$."
            },
            {
              "text": "$x = 3 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.\nL'outil adapté est le logarithme : $x = \\ln 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution\n$x = \\ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité\n$\\ln(e^x) = x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln(7)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \\ln 7 \\approx\n1{,}95$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par\n$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On\napplique la fonction réciproque $\\ln$."
            },
            {
              "text": "$x = e^7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $e^7 \\approx 1\\,097$ est l'image de $7$ par\nl'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de\n$7$, c'est $\\ln 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 7 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.\nL'outil adapté est le logarithme : $x = \\ln 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution\n$x = \\ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité\n$\\ln(e^x) = x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\ln(8)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ et l'équation devient $x = \\ln 8 \\approx\n2{,}08$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{8}{e}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exponentielle n'est pas une multiplication par\n$e$ ; on ne « divise » pas par $e$ pour isoler $x$. On\napplique la fonction réciproque $\\ln$."
            },
            {
              "text": "$x = e^8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de sens : $e^8 \\approx 2\\,981$ est l'image de $8$ par\nl'exponentielle. On cherche au contraire l'antécédent de\n$8$, c'est $\\ln 8$."
            },
            {
              "text": "$x = 8 - e$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : aucune soustraction ne défait une exponentielle.\nL'outil adapté est le logarithme : $x = \\ln 8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour tout $k > 0$, l'équation $e^x = k$ a pour unique solution\n$x = \\ln(k)$. C'est l'utilisation type de la réciprocité\n$\\ln(e^x) = x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation",
        "domaine"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(x) \\leq @k@$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x) \\leq 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]0\\,;\\,e^2]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de\n$\\ln$), puis $\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2$ car\n$\\exp$ est croissante. D'où $0 < x \\leq e^2$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,e^2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du domaine : $\\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les\nnombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une\ninéquation qui n'a pas de sens pour eux."
        },
        {
          "text": "$[e^2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est **croissante**, donc\n$\\ln x \\leq 2$ correspond aux **petites** valeurs de $x$\n(jusqu'à $e^2$), pas aux grandes."
        },
        {
          "text": "$]0\\,;\\,2]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,\n$\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2 \\approx 7{,}39$,\npas $x \\leq 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de\n$\\exp$ : $\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2$.\nSolutions : $]0\\,;\\,e^2]$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x) \\leq 2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]0\\,;\\,e^2]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de\n$\\ln$), puis $\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2$ car\n$\\exp$ est croissante. D'où $0 < x \\leq e^2$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,e^2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du domaine : $\\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les\nnombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une\ninéquation qui n'a pas de sens pour eux."
            },
            {
              "text": "$[e^2\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est **croissante**, donc\n$\\ln x \\leq 2$ correspond aux **petites** valeurs de $x$\n(jusqu'à $e^2$), pas aux grandes."
            },
            {
              "text": "$]0\\,;\\,2]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,\n$\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2 \\approx 7{,}39$,\npas $x \\leq 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de\n$\\exp$ : $\\ln x \\leq 2 \\Leftrightarrow x \\leq e^2$.\nSolutions : $]0\\,;\\,e^2]$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x) \\leq 3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]0\\,;\\,e^3]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de\n$\\ln$), puis $\\ln x \\leq 3 \\Leftrightarrow x \\leq e^3$ car\n$\\exp$ est croissante. D'où $0 < x \\leq e^3$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,e^3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du domaine : $\\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les\nnombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une\ninéquation qui n'a pas de sens pour eux."
            },
            {
              "text": "$[e^3\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est **croissante**, donc\n$\\ln x \\leq 3$ correspond aux **petites** valeurs de $x$\n(jusqu'à $e^3$), pas aux grandes."
            },
            {
              "text": "$]0\\,;\\,3]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,\n$\\ln x \\leq 3 \\Leftrightarrow x \\leq e^3 \\approx 20{,}09$,\npas $x \\leq 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de\n$\\exp$ : $\\ln x \\leq 3 \\Leftrightarrow x \\leq e^3$.\nSolutions : $]0\\,;\\,e^3]$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x) \\leq 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]0\\,;\\,e^4]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de\n$\\ln$), puis $\\ln x \\leq 4 \\Leftrightarrow x \\leq e^4$ car\n$\\exp$ est croissante. D'où $0 < x \\leq e^4$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,e^4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du domaine : $\\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les\nnombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une\ninéquation qui n'a pas de sens pour eux."
            },
            {
              "text": "$[e^4\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est **croissante**, donc\n$\\ln x \\leq 4$ correspond aux **petites** valeurs de $x$\n(jusqu'à $e^4$), pas aux grandes."
            },
            {
              "text": "$]0\\,;\\,4]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,\n$\\ln x \\leq 4 \\Leftrightarrow x \\leq e^4 \\approx 54{,}60$,\npas $x \\leq 4$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de\n$\\exp$ : $\\ln x \\leq 4 \\Leftrightarrow x \\leq e^4$.\nSolutions : $]0\\,;\\,e^4]$."
        },
        {
          "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\ln(x) \\leq 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]0\\,;\\,e^5]$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut d'abord $x > 0$ (domaine de\n$\\ln$), puis $\\ln x \\leq 5 \\Leftrightarrow x \\leq e^5$ car\n$\\exp$ est croissante. D'où $0 < x \\leq e^5$."
            },
            {
              "text": "$]-\\infty\\,;\\,e^5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du domaine : $\\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Les\nnombres négatifs ne peuvent pas être solutions d'une\ninéquation qui n'a pas de sens pour eux."
            },
            {
              "text": "$[e^5\\,;\\,+\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ est **croissante**, donc\n$\\ln x \\leq 5$ correspond aux **petites** valeurs de $x$\n(jusqu'à $e^5$), pas aux grandes."
            },
            {
              "text": "$]0\\,;\\,5]$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le seuil se convertit par l'exponentielle,\n$\\ln x \\leq 5 \\Leftrightarrow x \\leq e^5 \\approx 148{,}41$,\npas $x \\leq 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux étapes : (1) domaine : $x > 0$ ; (2) croissance de\n$\\exp$ : $\\ln x \\leq 5 \\Leftrightarrow x \\leq e^5$.\nSolutions : $]0\\,;\\,e^5]$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limites"
      ],
      "title": "Limite en $0^+$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par\nvaleurs supérieures ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : près de $0$, le logarithme plonge vers\n$-\\infty$ ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale à\nla courbe."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est en $x = 1$ que $\\ln$ s'annule. Près de $0$,\n$\\ln(0{,}001) \\approx -6{,}9$ : les valeurs dévissent vers\n$-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $+\\infty$ est la limite en $+\\infty$. En\n$0^+$, le logarithme des tout petits nombres est très\n**négatif**."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite existe au sens des limites infinies :\n$\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence : $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$ et\n$\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$. La courbe longe l'axe\ndes ordonnées vers le bas."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "croissances-comparees"
      ],
      "title": "Croissance comparée $\\ln x$ contre $x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{\\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par croissance comparée, toute puissance de\n$x$ l'emporte sur $\\ln x$ en $+\\infty$ : le quotient tend\nvers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme croît vers $+\\infty$, mais\n**beaucoup plus lentement** que $x$ : pour $x = e^{10}\n\\approx 22\\,000$, le quotient vaut à peine $0{,}00045$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ne sont pas du même\nordre de grandeur. Le logarithme est écrasé par $x$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e$ ne joue aucun rôle particulier dans cette\nlimite. La croissance comparée donne $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance comparée (au programme) : pour tout entier\n$n \\geq 1$, $\\lim_{x \\to +\\infty} \\dfrac{\\ln x}{x^n} = 0$.\nHiérarchie à mémoriser : $\\ln x \\ll x^n \\ll e^x$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Courbes de $\\ln$ et de $\\exp$",
      "partie": "etude",
      "statement": "La figure ci-dessous montre les courbes de $\\exp$ (en bleu) et\nde $\\ln$ (en rouge). Par quelle transformation la courbe de\n$\\ln$ se déduit-elle de celle de $\\exp$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n  \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[dashed] (-2.7,-2.7) -- (4.7,4.7);\n  \\node[font=\\small,rotate=45] at (3.35,3.75) {$y=x$};\n  \\draw[domain=-2.7:1.53,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{exp(\\x)});\n  \\draw[domain=0.07:4.7,smooth,samples=60,thick,red] plot (\\x,{ln(\\x)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (0.45,3.3) {$y=e^x$};\n  \\node[red,font=\\small] at (3.7,0.8) {$y=\\ln x$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec trois courbes : l'exponentielle en\nbleu (croissante, passe par (0 ; 1)), le logarithme népérien\nen rouge (croissant, passe par (1 ; 0)) et la droite y = x en\npointillés. Les deux courbes sont symétriques l'une de\nl'autre par rapport à cette droite.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"149.381pt\" height=\"149.914pt\" viewBox=\"0 0 149.381 149.914\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 6.3125 -2.953125 C 6.4375 -2.953125 6.609375 -2.953125 6.609375 -3.140625 C 6.609375 -3.34375 6.421875 -3.34375 6.28125 -3.34375 L 0.84375 -3.34375 C 0.703125 -3.34375 0.515625 -3.34375 0.515625 -3.140625 C 0.515625 -2.953125 0.6875 -2.953125 0.796875 -2.953125 Z M 6.28125 -1.140625 C 6.421875 -1.140625 6.609375 -1.140625 6.609375 -1.328125 C 6.609375 -1.515625 6.4375 -1.515625 6.3125 -1.515625 L 0.796875 -1.515625 C 0.6875 -1.515625 0.515625 -1.515625 0.515625 -1.328125 C 0.515625 -1.140625 0.703125 -1.140625 0.84375 -1.140625 Z M 6.28125 -1.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-5\">\n<path d=\"M 1.640625 -6.1875 L 0.328125 -6.09375 L 0.328125 -5.8125 C 0.921875 -5.8125 1.015625 -5.75 1.015625 -5.3125 L 1.015625 -0.6875 C 1.015625 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.328125 -0.28125 L 0.328125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.734375 -0.03125 1.890625 -0.015625 2.328125 0 L 2.328125 -0.28125 C 1.734375 -0.28125 1.640625 -0.28125 1.640625 -0.6875 Z M 1.640625 -6.1875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-6\">\n<path d=\"M 1.65625 -2.3125 C 1.65625 -3.25 2.328125 -3.71875 2.890625 -3.71875 C 3.421875 -3.71875 3.53125 -3.28125 3.53125 -2.75 L 3.53125 -0.6875 C 3.53125 -0.28125 3.4375 -0.28125 2.84375 -0.28125 L 2.84375 0 C 3.265625 -0.015625 3.4375 -0.03125 3.859375 -0.03125 C 4.296875 -0.03125 4.40625 -0.015625 4.875 0 L 4.875 -0.28125 C 4.421875 -0.28125 4.203125 -0.28125 4.1875 -0.546875 L 4.1875 -2.265625 C 4.1875 -3 4.1875 -3.265625 3.9375 -3.578125 C 3.734375 -3.828125 3.40625 -3.9375 2.953125 -3.9375 C 2.125 -3.9375 1.734375 -3.328125 1.609375 -3.078125 L 1.609375 -3.9375 L 0.3125 -3.84375 L 0.3125 -3.5625 C 0.921875 -3.5625 1 -3.5 1 -3.0625 L 1 -0.6875 C 1 -0.28125 0.90625 -0.28125 0.3125 -0.28125 L 0.3125 0 C 0.734375 -0.015625 0.90625 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.75 -0.03125 1.875 -0.015625 2.34375 0 L 2.34375 -0.28125 C 1.75 -0.28125 1.65625 -0.28125 1.65625 -0.6875 Z M 1.65625 -2.3125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 0.734375 -5.609375 C 0.703125 -5.640625 0.6875 -5.6875 0.640625 -5.734375 C 0.5625 -5.8125 0.40625 -5.84375 0.28125 -5.71875 C 0.1875 -5.625 0.125 -5.46875 0.1875 -5.28125 C 0.21875 -5.25 0.40625 -4.9375 0.515625 -4.765625 L 1.453125 -3.171875 C 1.59375 -2.96875 1.609375 -2.953125 1.640625 -2.859375 C 1.671875 -2.828125 1.890625 -2.078125 1.4375 -1.625 C 1.046875 -1.234375 0.65625 -1.625 0.53125 -1.75 C 0.25 -2.03125 0.03125 -2.40625 -0.421875 -3.390625 C -0.515625 -3.609375 -0.5625 -3.71875 -0.671875 -3.828125 C -0.984375 -4.140625 -1.4375 -4.125 -1.75 -3.8125 C -2.34375 -3.21875 -1.703125 -2.078125 -1.625 -2 C -1.5625 -1.9375 -1.515625 -1.984375 -1.46875 -2.03125 C -1.40625 -2.09375 -1.4375 -2.125 -1.484375 -2.234375 C -1.8125 -2.84375 -1.859375 -3.390625 -1.59375 -3.65625 C -1.453125 -3.796875 -1.34375 -3.6875 -1.25 -3.59375 C -1.140625 -3.484375 -1.046875 -3.359375 -0.96875 -3.15625 C -0.46875 -2.0625 -0.28125 -1.71875 0.015625 -1.421875 C 0.71875 -0.71875 1.34375 -1.21875 1.578125 -1.453125 C 1.890625 -1.765625 1.953125 -2.140625 1.953125 -2.359375 C 2.1875 -1.96875 2.40625 -1.625 2.46875 -1.03125 C 2.53125 -0.59375 2.453125 -0.171875 2.171875 0.109375 C 2 0.28125 1.734375 0.421875 1.453125 0.328125 C 1.796875 -0.015625 1.578125 -0.328125 1.5 -0.40625 C 1.375 -0.53125 1.171875 -0.515625 1.03125 -0.375 C 0.875 -0.21875 0.8125 0.09375 1.09375 0.375 C 1.421875 0.703125 1.9375 0.65625 2.328125 0.265625 C 2.96875 -0.375 3.109375 -1.640625 2.5625 -2.53125 Z M 0.734375 -5.609375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-1\">\n<path d=\"M 0.5625 -5.65625 C 0.359375 -5.390625 0.515625 -5.109375 0.609375 -5.015625 C 0.71875 -4.90625 0.90625 -4.875 1.0625 -5.03125 C 1.234375 -5.203125 1.265625 -5.515625 1.03125 -5.75 C 0.75 -6.03125 0.296875 -5.859375 0 -5.5625 C -0.375 -5.1875 -0.265625 -4.640625 -0.203125 -4.421875 C -0.640625 -4.609375 -1.0625 -4.5 -1.375 -4.1875 C -2.046875 -3.515625 -1.625 -2.34375 -1.453125 -2.171875 C -1.390625 -2.109375 -1.34375 -2.15625 -1.296875 -2.203125 C -1.234375 -2.265625 -1.234375 -2.296875 -1.265625 -2.359375 C -1.703125 -3.171875 -1.46875 -3.78125 -1.234375 -4.015625 C -1.046875 -4.203125 -0.765625 -4.265625 -0.453125 -3.953125 C -0.234375 -3.734375 0.484375 -2.453125 0.71875 -2.0625 C 0.875 -1.8125 1.0625 -1.25 0.71875 -0.90625 C 0.578125 -0.765625 0.421875 -0.671875 0.296875 -0.640625 C 0.453125 -0.859375 0.421875 -1.109375 0.25 -1.28125 C 0.09375 -1.4375 -0.078125 -1.390625 -0.1875 -1.28125 C -0.375 -1.09375 -0.390625 -0.765625 -0.171875 -0.546875 C 0.125 -0.25 0.59375 -0.46875 0.859375 -0.734375 C 1.21875 -1.09375 1.140625 -1.609375 1.0625 -1.875 C 1.640625 -1.609375 2.0625 -1.9375 2.234375 -2.109375 C 2.90625 -2.78125 2.46875 -3.96875 2.3125 -4.125 C 2.28125 -4.15625 2.203125 -4.171875 2.140625 -4.109375 C 2.078125 -4.046875 2.09375 -4 2.171875 -3.890625 C 2.484375 -3.296875 2.421875 -2.609375 2.09375 -2.28125 C 1.921875 -2.109375 1.625 -2.03125 1.3125 -2.34375 C 1.1875 -2.46875 0.921875 -2.921875 0.765625 -3.203125 C 0.671875 -3.359375 0.15625 -4.1875 0.125 -4.25 C -0.03125 -4.5625 -0.171875 -5.078125 0.140625 -5.390625 C 0.265625 -5.515625 0.390625 -5.609375 0.5625 -5.65625 Z M 0.5625 -5.65625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.375 -6.5625 C 2.453125 -6.640625 2.578125 -6.765625 2.453125 -6.890625 C 2.3125 -7.03125 2.1875 -6.90625 2.078125 -6.796875 L -1.765625 -2.953125 C -1.859375 -2.859375 -2 -2.71875 -1.859375 -2.578125 C -1.734375 -2.453125 -1.609375 -2.578125 -1.53125 -2.65625 Z M 3.625 -5.25 C 3.734375 -5.359375 3.859375 -5.484375 3.734375 -5.609375 C 3.59375 -5.75 3.46875 -5.625 3.390625 -5.546875 L -0.515625 -1.640625 C -0.59375 -1.5625 -0.71875 -1.4375 -0.578125 -1.296875 C -0.453125 -1.171875 -0.3125 -1.3125 -0.21875 -1.40625 Z M 3.625 -5.25 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-0\">\n<path d=\"M 4.484375 -3.4375 C 4.484375 -3.484375 4.5 -3.53125 4.5 -3.59375 C 4.5 -3.703125 4.421875 -3.84375 4.234375 -3.84375 C 4.109375 -3.84375 3.953125 -3.78125 3.875 -3.609375 C 3.875 -3.5625 3.78125 -3.203125 3.734375 -3 L 3.28125 -1.21875 C 3.21875 -0.96875 3.21875 -0.953125 3.1875 -0.859375 C 3.1875 -0.828125 2.8125 -0.125 2.171875 -0.125 C 1.609375 -0.125 1.609375 -0.6875 1.609375 -0.859375 C 1.609375 -1.265625 1.734375 -1.6875 2.109375 -2.6875 C 2.1875 -2.90625 2.234375 -3.03125 2.234375 -3.1875 C 2.234375 -3.625 1.90625 -3.9375 1.46875 -3.9375 C 0.609375 -3.9375 0.265625 -2.671875 0.265625 -2.5625 C 0.265625 -2.484375 0.328125 -2.46875 0.390625 -2.46875 C 0.484375 -2.46875 0.484375 -2.515625 0.53125 -2.625 C 0.71875 -3.296875 1.078125 -3.71875 1.453125 -3.71875 C 1.65625 -3.71875 1.65625 -3.546875 1.65625 -3.421875 C 1.65625 -3.28125 1.625 -3.109375 1.546875 -2.90625 C 1.125 -1.796875 1.015625 -1.421875 1.015625 -0.984375 C 1.015625 0 1.8125 0.09375 2.140625 0.09375 C 2.578125 0.09375 2.890625 -0.140625 3.046875 -0.296875 C 2.9375 0.15625 2.84375 0.5625 2.484375 1.015625 C 2.21875 1.359375 1.859375 1.609375 1.46875 1.609375 C 1.21875 1.609375 0.921875 1.515625 0.796875 1.265625 C 1.28125 1.265625 1.34375 0.875 1.34375 0.78125 C 1.34375 0.59375 1.203125 0.46875 1 0.46875 C 0.78125 0.46875 0.5 0.640625 0.5 1.046875 C 0.5 1.5 0.90625 1.828125 1.46875 1.828125 C 2.375 1.828125 3.359375 1.046875 3.609375 0.015625 Z M 4.484375 -3.4375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-1\">\n<path d=\"M 1.21875 -2.046875 C 1.765625 -2.046875 2.34375 -2.046875 2.8125 -2.15625 C 3.65625 -2.359375 3.8125 -2.859375 3.8125 -3.171875 C 3.8125 -3.671875 3.34375 -3.9375 2.8125 -3.9375 C 1.78125 -3.9375 0.421875 -3.0625 0.421875 -1.53125 C 0.421875 -0.6875 0.921875 0.09375 1.875 0.09375 C 3.21875 0.09375 3.96875 -0.828125 3.96875 -0.953125 C 3.96875 -1 3.90625 -1.078125 3.84375 -1.078125 C 3.796875 -1.078125 3.796875 -1.0625 3.71875 -0.96875 C 3.171875 -0.296875 2.359375 -0.125 1.90625 -0.125 C 1.265625 -0.125 1.09375 -0.71875 1.09375 -1.171875 C 1.09375 -1.1875 1.09375 -1.5 1.21875 -2.046875 Z M 1.28125 -2.265625 C 1.671875 -3.671875 2.671875 -3.71875 2.8125 -3.71875 C 3.109375 -3.71875 3.484375 -3.578125 3.484375 -3.171875 C 3.484375 -2.265625 2.125 -2.265625 1.28125 -2.265625 Z M 1.28125 -2.265625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-2\">\n<path d=\"M 4.390625 -3.609375 C 4.0625 -3.546875 3.96875 -3.25 3.96875 -3.125 C 3.96875 -2.953125 4.09375 -2.796875 4.3125 -2.796875 C 4.5625 -2.796875 4.796875 -3.015625 4.796875 -3.328125 C 4.796875 -3.734375 4.359375 -3.9375 3.9375 -3.9375 C 3.40625 -3.9375 3.09375 -3.46875 2.984375 -3.28125 C 2.8125 -3.71875 2.421875 -3.9375 1.984375 -3.9375 C 1.03125 -3.9375 0.515625 -2.796875 0.515625 -2.5625 C 0.515625 -2.484375 0.578125 -2.46875 0.640625 -2.46875 C 0.71875 -2.46875 0.75 -2.5 0.765625 -2.5625 C 1.046875 -3.4375 1.625 -3.71875 1.96875 -3.71875 C 2.234375 -3.71875 2.46875 -3.546875 2.46875 -3.125 C 2.46875 -2.8125 2.078125 -1.390625 1.96875 -0.953125 C 1.890625 -0.671875 1.625 -0.125 1.140625 -0.125 C 0.953125 -0.125 0.765625 -0.1875 0.671875 -0.234375 C 0.921875 -0.28125 1.09375 -0.484375 1.09375 -0.71875 C 1.09375 -0.953125 0.921875 -1.046875 0.765625 -1.046875 C 0.5 -1.046875 0.265625 -0.828125 0.265625 -0.515625 C 0.265625 -0.078125 0.75 0.09375 1.125 0.09375 C 1.640625 0.09375 1.9375 -0.328125 2.078125 -0.578125 C 2.296875 0.015625 2.828125 0.09375 3.0625 0.09375 C 4.03125 0.09375 4.546875 -1.0625 4.546875 -1.28125 C 4.546875 -1.328125 4.515625 -1.390625 4.421875 -1.390625 C 4.328125 -1.390625 4.3125 -1.34375 4.28125 -1.21875 C 4.078125 -0.578125 3.5625 -0.125 3.09375 -0.125 C 2.84375 -0.125 2.59375 -0.28125 2.59375 -0.71875 C 2.59375 -0.90625 2.71875 -1.40625 2.796875 -1.734375 C 2.84375 -1.90625 3.078125 -2.859375 3.09375 -2.921875 C 3.203125 -3.25 3.46875 -3.71875 3.921875 -3.71875 C 4.09375 -3.71875 4.25 -3.6875 4.390625 -3.609375 Z M 4.390625 -3.609375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-6-0\">\n<path d=\"M 3.359375 -2.34375 C 3.140625 -2.28125 3.09375 -2.109375 3.09375 -2.015625 C 3.09375 -1.828125 3.25 -1.78125 3.328125 -1.78125 C 3.5 -1.78125 3.671875 -1.921875 3.671875 -2.15625 C 3.671875 -2.484375 3.328125 -2.625 3.03125 -2.625 C 2.625 -2.625 2.390625 -2.328125 2.328125 -2.203125 C 2.25 -2.359375 2.03125 -2.625 1.578125 -2.625 C 0.890625 -2.625 0.484375 -1.921875 0.484375 -1.703125 C 0.484375 -1.671875 0.515625 -1.625 0.59375 -1.625 C 0.671875 -1.625 0.703125 -1.65625 0.71875 -1.71875 C 0.859375 -2.203125 1.265625 -2.421875 1.5625 -2.421875 C 1.84375 -2.421875 1.9375 -2.234375 1.9375 -2.046875 C 1.9375 -1.96875 1.9375 -1.921875 1.890625 -1.734375 C 1.75 -1.171875 1.625 -0.640625 1.59375 -0.5625 C 1.5 -0.34375 1.296875 -0.140625 1.046875 -0.140625 C 1 -0.140625 0.84375 -0.140625 0.703125 -0.21875 C 0.9375 -0.296875 0.953125 -0.5 0.953125 -0.546875 C 0.953125 -0.703125 0.84375 -0.78125 0.71875 -0.78125 C 0.546875 -0.78125 0.375 -0.65625 0.375 -0.40625 C 0.375 -0.0625 0.75 0.0625 1.03125 0.0625 C 1.375 0.0625 1.609375 -0.171875 1.71875 -0.359375 C 1.84375 -0.109375 2.125 0.0625 2.46875 0.0625 C 3.171875 0.0625 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22.540603 4.790929 C 22.913234 5.069422 23.505522 5.504813 23.878154 5.767616 C 24.246863 6.034342 24.839151 6.442275 25.211782 6.693311 C 25.580491 6.944347 26.176702 7.332668 26.545411 7.571937 C 26.918042 7.807283 27.51033 8.179915 27.879039 8.403494 C 28.25167 8.630995 28.843958 8.984014 29.21659 9.199748 C 29.585299 9.415482 30.177587 9.752812 30.550218 9.960701 C 30.918927 10.164668 31.515138 10.486307 31.883847 10.686352 C 32.252556 10.882473 32.848766 11.192346 33.217475 11.380623 C 33.590107 11.572822 34.182395 11.870927 34.551104 12.055282 C 34.923735 12.239637 35.516023 12.522052 35.888654 12.698562 C 36.257364 12.875071 36.849651 13.149642 37.222283 13.322229 C 37.590992 13.490894 38.187202 13.757619 38.555911 13.918439 C 38.92462 14.083182 39.520831 14.33814 39.88954 14.49896 C 40.262171 14.655857 40.854459 14.906893 41.223168 15.059868 C 41.5958 15.212843 42.188088 15.452112 42.560719 15.601165 C 42.929428 15.746295 43.525639 15.981641 43.894348 16.126771 C 44.263057 16.267979 44.859267 16.49548 45.227976 16.632766 C 45.600607 16.773973 46.192895 16.99363 46.561604 17.126993 C 46.934236 17.264278 47.526524 17.476089 47.899155 17.609452 C 48.267864 17.738893 48.860152 17.946782 49.232784 18.076222 C 49.601493 18.205663 50.197703 18.405707 50.566412 18.531225 C 50.935121 18.656743 51.531332 18.852865 51.900041 18.97446 C 52.272672 19.096056 52.86496 19.288255 53.233669 19.405928 C 53.606301 19.523601 54.198588 19.711878 54.57122 19.825629 C 54.939929 19.943302 55.532217 20.127657 55.904848 20.237485 C 56.273557 20.351235 56.869768 20.527745 57.238477 20.637573 C 57.607186 20.747401 58.203396 20.923911 58.572105 21.029817 C 58.944737 21.139645 59.537025 21.30831 59.909656 21.414216 C 60.278365 21.516199 60.870653 21.684864 61.243285 21.786847 C 61.611994 21.892753 62.208204 22.053573 62.576913 22.151634 C 62.945622 22.253617 63.541832 22.414437 63.910541 22.512498 C 64.283173 22.610559 64.875461 22.767456 65.24417 22.865517 C 65.616801 22.963578 66.209089 23.112631 66.581721 23.210692 C 66.95043 23.30483 67.542718 23.453883 67.915349 23.548021 C 68.284058 23.64216 68.880269 23.78729 69.248978 23.877506 C 69.617687 23.971644 70.213897 24.116775 70.582606 24.203068 C 70.955238 24.293284 71.547526 24.434492 71.916235 24.520785 C 72.288866 24.611002 72.881154 24.748287 73.253785 24.83458 C 73.622494 24.920874 74.218705 25.058159 74.587414 25.14053 C 74.956123 25.226824 75.552333 25.360187 75.921042 25.442558 C 76.293674 25.524929 76.885962 25.658292 77.254671 25.740663 C 77.627302 25.823034 78.21959 25.952475 78.592222 26.030924 C 78.960931 26.113295 79.92585 26.317261 79.92585 26.317261 \" transform=\"matrix(0.995873, 0, 0, -0.995873, 51.302415, 98.25944)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"45.927686\" y=\"44.674484\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"53.317067\" y=\"44.674484\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-1\" x=\"63.003926\" y=\"44.674484\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-6-0\" x=\"67.270248\" y=\"40.881202\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"98.244896\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"105.634276\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-5\" x=\"115.317295\" y=\"86.94134\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-2-6\" x=\"117.866632\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-2\" x=\"124.498109\" y=\"86.94134\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la propriété des courbes de deux\nfonctions réciproques. Le point $(a\\,;\\,b)$ est sur la\ncourbe de $\\exp$ si et seulement si $(b\\,;\\,a)$ est sur\ncelle de $\\ln$."
        },
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette symétrie transformerait $e^x$ en $-e^x$\n(courbe entièrement sous l'axe), pas en $\\ln x$."
        },
        {
          "text": "La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette symétrie donnerait $x \\mapsto e^{-x}$\n(décroissante), pas le logarithme."
        },
        {
          "text": "Une translation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune translation ne transforme l'une en l'autre\n(leurs domaines diffèrent : $\\mathbb{R}$ pour $\\exp$,\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ pour $\\ln$). L'échange des rôles de $x$\net $y$ est une symétrie par rapport à $y = x$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln$ étant la réciproque de $\\exp$, leurs courbes sont\nsymétriques par rapport à la droite $y = x$ : $(a\\,;\\,b)$ sur\nl'une équivaut à $(b\\,;\\,a)$ sur l'autre. Exemple :\n$(0\\,;\\,1)$ sur $\\exp$, $(1\\,;\\,0)$ sur $\\ln$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "proprietes-algebriques"
      ],
      "title": "Limite de $\\ln(x + 1) - \\ln(x)$ en $+\\infty$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la limite en $+\\infty$ de la différence\n$\\ln(x + 1) - \\ln(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(x + 1) - \\ln(x) =\n\\ln\\left(\\dfrac{x + 1}{x}\\right) = \\ln\\left(1 +\n\\dfrac{1}{x}\\right)$, et $1 + \\dfrac{1}{x} \\to 1$, donc le\nlogarithme tend vers $\\ln 1 = 0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque terme tend vers $+\\infty$, mais leur\ndifférence est une forme « $\\infty - \\infty$ » : elle\nvaut $\\ln\\left(1 + \\frac{1}{x}\\right)$, soit environ\n$0{,}01$ pour $x = 100$, et s'écrase vers $0$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ est croissante et $x + 1 > x$, donc la\ndifférence est **positive** pour tout $x > 0$ ; elle ne\npeut pas tendre vers $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le **quotient** $\\dfrac{\\ln(x + 1)}{\\ln(x)}$\nqui tend vers $1$, pas la différence. Une différence de\nlogarithmes se transforme en logarithme d'un quotient."
        }
      ],
      "explanation": "Équation fonctionnelle : $\\ln a - \\ln b = \\ln\\dfrac{a}{b}$.\nAinsi $\\ln(x + 1) - \\ln(x) = \\ln\\left(1 + \\dfrac{1}{x}\\right)$\ntend vers $\\ln 1 = 0$ quand $x \\to +\\infty$ (composition : la\nquantité $1 + \\frac{1}{x}$ tend vers $1$ et $\\ln$ est continue\nen $1$)."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "piege"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(@a@) + \\ln(@b@)$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\ln(2) + \\ln(3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(6)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, donc\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln(2 \\times 3) = \\ln 6$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au\n**produit** des arguments, pas à leur somme.\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln 6$, et $\\ln(2+3) = \\ln 5$ est un autre\nnombre."
        },
        {
          "text": "$\\ln(9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 9 = \\ln(3^2) = 2\\ln 3$. Ici on additionne\n$\\ln 2$ et $\\ln 3$, ce qui donne $\\ln(2 \\times 3)$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est\n$\\ln 6 \\approx 1{,}79$, pas $6$."
        }
      ],
      "explanation": "La propriété $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$ se lit dans les deux\nsens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou\néclate un logarithme de produit. Ici :\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln 6$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(2) + \\ln(3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln(6)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, donc\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln(2 \\times 3) = \\ln 6$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au\n**produit** des arguments, pas à leur somme.\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln 6$, et $\\ln(2+3) = \\ln 5$ est un autre\nnombre."
            },
            {
              "text": "$\\ln(9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln 9 = \\ln(3^2) = 2\\ln 3$. Ici on additionne\n$\\ln 2$ et $\\ln 3$, ce qui donne $\\ln(2 \\times 3)$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est\n$\\ln 6 \\approx 1{,}79$, pas $6$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$ se lit dans les deux\nsens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou\néclate un logarithme de produit. Ici :\n$\\ln 2 + \\ln 3 = \\ln 6$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(2) + \\ln(5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln(10)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, donc\n$\\ln 2 + \\ln 5 = \\ln(2 \\times 5) = \\ln 10$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(7)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au\n**produit** des arguments, pas à leur somme.\n$\\ln 2 + \\ln 5 = \\ln 10$, et $\\ln(2+5) = \\ln 7$ est un autre\nnombre."
            },
            {
              "text": "$\\ln(25)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln 25 = \\ln(5^2) = 2\\ln 5$. Ici on additionne\n$\\ln 2$ et $\\ln 5$, ce qui donne $\\ln(2 \\times 5)$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est\n$\\ln 10 \\approx 2{,}30$, pas $10$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$ se lit dans les deux\nsens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou\néclate un logarithme de produit. Ici :\n$\\ln 2 + \\ln 5 = \\ln 10$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(2) + \\ln(7)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln(14)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, donc\n$\\ln 2 + \\ln 7 = \\ln(2 \\times 7) = \\ln 14$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(9)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au\n**produit** des arguments, pas à leur somme.\n$\\ln 2 + \\ln 7 = \\ln 14$, et $\\ln(2+7) = \\ln 9$ est un autre\nnombre."
            },
            {
              "text": "$\\ln(49)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln 49 = \\ln(7^2) = 2\\ln 7$. Ici on additionne\n$\\ln 2$ et $\\ln 7$, ce qui donne $\\ln(2 \\times 7)$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est\n$\\ln 14 \\approx 2{,}64$, pas $14$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$ se lit dans les deux\nsens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou\néclate un logarithme de produit. Ici :\n$\\ln 2 + \\ln 7 = \\ln 14$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln(3) + \\ln(5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\ln(15)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$, donc\n$\\ln 3 + \\ln 5 = \\ln(3 \\times 5) = \\ln 15$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(8)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur classique : la somme des logarithmes correspond au\n**produit** des arguments, pas à leur somme.\n$\\ln 3 + \\ln 5 = \\ln 15$, et $\\ln(3+5) = \\ln 8$ est un autre\nnombre."
            },
            {
              "text": "$\\ln(25)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\ln 25 = \\ln(5^2) = 2\\ln 5$. Ici on additionne\n$\\ln 3$ et $\\ln 5$, ce qui donne $\\ln(3 \\times 5)$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le logarithme ne disparaît pas. Le résultat est\n$\\ln 15 \\approx 2{,}71$, pas $15$."
            }
          ],
          "explanation": "La propriété $\\ln a + \\ln b = \\ln(ab)$ se lit dans les deux\nsens : elle regroupe une somme de logarithmes en un seul, ou\néclate un logarithme de produit. Ici :\n$\\ln 3 + \\ln 5 = \\ln 15$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "inverse"
      ],
      "title": "Logarithme d'un inverse",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln\\left(\\dfrac{1}{4}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\ln 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln\\frac{1}{a} = -\\ln a$ (l'inverse\ndevient un opposé), et l'on peut poursuivre : $\\ln 4 =\n\\ln 2^2 = 2\\ln 2$, donc $\\ln\\frac{1}{4} = -2\\ln 2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{\\ln 4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme ne « traverse » pas la fraction :\nil transforme l'inverse en **opposé**, pas en inverse du\nlogarithme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 4 - \\ln 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : la règle du quotient donne $\\ln 1 - \\ln\n4 = 0 - \\ln 4$, numérateur moins dénominateur ; ici\nl'ordre est inversé et le résultat vaut $+\\ln 4$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(-4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(-4)$ n'existe pas (le logarithme n'est\ndéfini que sur $]0\\,;\\,+\\infty[$). Le signe moins se\nplace devant le logarithme, pas dans son argument."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln\\frac{1}{a} = -\\ln a$ et $\\ln\\frac{a}{b} = \\ln a - \\ln\nb$ : le logarithme convertit la structure multiplicative en\nstructure additive. Les inverses deviennent des opposés."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "puissance"
      ],
      "title": "Logarithme d'une puissance",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 8$ en fonction de $\\ln 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 8 = 3\\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $8 = 2^3$, et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant descend en facteur."
        },
        {
          "text": "$\\ln 8 = (\\ln 2)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant sort en **facteur**, pas en\npuissance du logarithme : $(\\ln 2)^3 \\approx 0{,}33$\nalors que $\\ln 8 \\approx 2{,}08$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 8 = \\ln 2 + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $8 = 2 \\times 4$ donnerait $\\ln 2 + \\ln 4$ : le\n$6$ additif ne correspond à aucune règle."
        },
        {
          "text": "$\\ln 8 = 4\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : $8 = 2^3$ (et non $2^4 = 16$) :\nfacteur $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ : la propriété la plus utilisée du\nchapitre (résolutions de $q^n < \\varepsilon$, sommes\ngéométriques…). Toujours décomposer : $8 = 2^3$, $81 = 3^4$…"
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe"
      ],
      "title": "Signe de $\\ln x$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour quels réels $x$ a-t-on $\\ln x < 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour $0 < x < 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme s'annule en $1$ et croît :\nnégatif avant $1$, positif après. $\\ln(0{,}5) \\approx\n-0{,}69$."
        },
        {
          "text": "Pour $x < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de domaine : $\\ln x$ n'existe **pas** pour $x\n\\leq 0$ : la question du signe ne se pose que sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$."
        },
        {
          "text": "Pour $x < e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de repère : le point d'annulation est $1$ ($\\ln 1\n= 0$), pas $e$ ($\\ln e = 1$). Entre $1$ et $e$, $\\ln$\nest déjà positif."
        },
        {
          "text": "Jamais : un logarithme est toujours positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(0{,}1) \\approx -2{,}3$. Sur $]0\\ ;\\ 1[$,\nle logarithme est négatif (et plonge vers $-\\infty$ en\n$0^+$)."
        }
      ],
      "explanation": "Signe de $\\ln$ : négatif sur $]0\\ ;\\ 1[$, nul en $1$,\npositif sur $]1\\ ;\\ +\\infty[$. À superposer mentalement à la\ncourbe : la traversée de l'axe se fait en $x = 1$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "domaine"
      ],
      "title": "Domaine de $\\ln(u)$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(2x - 6)$\nest-elle définie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $2x - 6 > 0$, soit $x > 3$ :\nl'intérieur du logarithme doit être **strictement**\npositif."
        },
        {
          "text": "$[3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne fausse : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln\n0$ n'existe pas : intervalle **ouvert** en $3$."
        },
        {
          "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la condition porte sur $2x - 6$, pas sur $x$ :\nc'est l'**argument** du logarithme qui doit être\npositif."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(0) = \\ln(-6)$ n'existe pas : le logarithme\nn'accepte que du strictement positif."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est\nle premier réflexe de tout exercice. Ici $2x - 6 > 0 \\iff\nx > 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(2x - 6)$\nest-elle définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $2x - 6 > 0$, soit $x > 3$ :\nl'intérieur du logarithme doit être **strictement**\npositif."
            },
            {
              "text": "$[3\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne fausse : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln\n0$ n'existe pas : intervalle **ouvert** en $3$."
            },
            {
              "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la condition porte sur $2x - 6$, pas sur $x$ :\nc'est l'**argument** du logarithme qui doit être\npositif."
            },
            {
              "text": "$\\mathbb{R}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0) = \\ln(-6)$ n'existe pas : le logarithme\nn'accepte que du strictement positif."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est\nle premier réflexe de tout exercice. Ici $2x - 6 > 0 \\iff\nx > 3$."
        },
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(3x - 12)$\nest-elle définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]4\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $3x - 12 > 0$, soit $x > 4$ :\nl'intérieur du logarithme doit être **strictement**\npositif."
            },
            {
              "text": "$[4\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne fausse : en $x = 4$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln\n0$ n'existe pas : intervalle **ouvert** en $4$."
            },
            {
              "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la condition porte sur $3x - 12$, pas sur $x$ :\nc'est l'**argument** du logarithme qui doit être\npositif."
            },
            {
              "text": "$\\mathbb{R}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0) = \\ln(-12)$ n'existe pas : le logarithme\nn'accepte que du strictement positif."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est\nle premier réflexe de tout exercice. Ici $3x - 12 > 0 \\iff\nx > 4$."
        },
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(5x - 10)$\nest-elle définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]2\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $5x - 10 > 0$, soit $x > 2$ :\nl'intérieur du logarithme doit être **strictement**\npositif."
            },
            {
              "text": "$[2\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne fausse : en $x = 2$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln\n0$ n'existe pas : intervalle **ouvert** en $2$."
            },
            {
              "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la condition porte sur $5x - 10$, pas sur $x$ :\nc'est l'**argument** du logarithme qui doit être\npositif."
            },
            {
              "text": "$\\mathbb{R}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0) = \\ln(-10)$ n'existe pas : le logarithme\nn'accepte que du strictement positif."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est\nle premier réflexe de tout exercice. Ici $5x - 10 > 0 \\iff\nx > 2$."
        },
        {
          "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(2x - 10)$\nest-elle définie ?",
          "options": [
            {
              "text": "$]5\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $2x - 10 > 0$, soit $x > 5$ :\nl'intérieur du logarithme doit être **strictement**\npositif."
            },
            {
              "text": "$[5\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Borne fausse : en $x = 5$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln\n0$ n'existe pas : intervalle **ouvert** en $5$."
            },
            {
              "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la condition porte sur $2x - 10$, pas sur $x$ :\nc'est l'**argument** du logarithme qui doit être\npositif."
            },
            {
              "text": "$\\mathbb{R}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0) = \\ln(-10)$ n'existe pas : le logarithme\nn'accepte que du strictement positif."
            }
          ],
          "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ : résoudre cette inéquation est\nle premier réflexe de tout exercice. Ici $2x - 10 > 0 \\iff\nx > 5$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-produit"
      ],
      "title": "Dérivée de $x\\ln x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\ln x$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : produit $u = x$, $v = \\ln x$ : $u'v +\nuv' = 1 \\times \\ln x + x \\times \\frac{1}{x} = \\ln x +\n1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{x}$ est la dérivée de $\\ln x$ seul :\nle facteur $x$ impose la règle du produit."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : il manque le terme $x \\times \\frac{1}{x} =\n1$ : la dérivée est $\\ln x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 1 \\times \\dfrac{1}{x} = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit des dérivées n'est pas la dérivée du\nproduit : la règle est $u'v + uv'$."
        }
      ],
      "explanation": "$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$ : calcul fétiche du chapitre\n(minimum en $x = e^{-1}$, primitives…). La règle du produit\ns'applique dès qu'un facteur accompagne le logarithme."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation-puissance",
        "inversion"
      ],
      "title": "Résoudre $0{,}8^n < 0{,}01$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour quels entiers $n$ a-t-on $0{,}8^n < 0{,}01$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n \\geq 21$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}8 < \\ln 0{,}01$, et la\ndivision par $\\ln 0{,}8 \\approx -0{,}22$, **négatif**,\nretourne l'inégalité : $n > \\dfrac{\\ln 0{,}01}{\\ln\n0{,}8} \\approx 20{,}6$, donc $n \\geq 21$."
        },
        {
          "text": "$n \\leq 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens non inversé : $n < \\dfrac{\\ln 0{,}01}{\\ln 0{,}8}$\noublie que diviser par $\\ln 0{,}8 \\approx -0{,}22$,\nnégatif, **retourne** le sens. (Contrôle : $0{,}8^1 =\n0{,}8$, loin d'être $< 0{,}01$.)"
        },
        {
          "text": "Aucun entier $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8^n \\to 0$, la suite finit par passer sous\nn'importe quel seuil positif, ici au rang $21$."
        },
        {
          "text": "$n \\geq 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8^5 \\approx 0{,}33$, très au-dessus de\n$0{,}01$. La bonne méthode passe par le logarithme,\ninversion de sens comprise : $n \\geq 21$."
        }
      ],
      "explanation": "Résolution type de $q^n < \\varepsilon$ pour $0 < q < 1$ :\nlogarithme des deux côtés, division par $\\ln q < 0$ **en\nretournant l'inégalité**. L'oubli de l'inversion est\nl'erreur numéro un du chapitre."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ln-exp",
        "simplification"
      ],
      "title": "Simplifier $\\ln(e^x \\times e)$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\ln\\left(e^x \\times e\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^x \\times e = e^{x+1}$, et $\\ln$\nannule $\\exp$ : reste $x + 1$. (Ou : $\\ln e^x + \\ln e =\nx + 1$.)"
        },
        {
          "text": "$x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : le $\\times\\, e$ ajoute $\\ln e = 1$ au\nrésultat."
        },
        {
          "text": "$e^{x+1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Logarithme non appliqué : $\\ln(e^{x+1}) = x + 1$ : les\ndeux fonctions réciproques s'annulent."
        },
        {
          "text": "$x\\,e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit dans le logarithme devient une\n**somme** de logarithmes ($x + 1$), jamais un produit."
        }
      ],
      "explanation": "Deux chemins équivalents : regrouper ($e^{x+1}$) puis\nsimplifier, ou éclater ($\\ln e^x + \\ln e$). Les allers\nretours $\\ln \\leftrightarrow \\exp$ doivent être des\nautomatismes : $\\ln(e^a) = a$, $e^{\\ln b} = b$ ($b > 0$)."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-infini"
      ],
      "title": "Limite de $\\ln x$ en $+\\infty$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\ln x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme dépasse tout seuil, mais très\nlentement : $\\ln x$ finit par dépasser $100$, $1000$…\n(dès $x > e^{100}$, etc.) : limite $+\\infty$, malgré une\ncroissance d'escargot."
        },
        {
          "text": "Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit",
          "correct": false,
          "feedback": "Illusion graphique classique : la courbe s'aplatit mais\nne plafonne pas : $\\ln x > 100$ dès que $x > e^{100}$.\nAucune asymptote horizontale."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e$ est la base ($\\ln e = 1$), pas une limite :\nen $+\\infty$ le logarithme croît sans borne."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln x \\to 0$ quand $x \\to 1$, pas à l'infini.\nEn $+\\infty$, la limite est $+\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\lim_{+\\infty} \\ln x = +\\infty$, mais plus lentement que\ntoute puissance ($\\frac{\\ln x}{x} \\to 0$) : croissance\nillimitée ET négligeable : les deux faits cohabitent."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concavite",
        "inegalite-tangente"
      ],
      "title": "Concavité du logarithme",
      "partie": "etude",
      "statement": "La dérivée seconde de $\\ln$ est $-\\dfrac{1}{x^2} < 0$.\nQuelle inégalité en découle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln x \\leq x - 1$ pour tout $x > 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : concave signifie courbe **sous** chacune\nde ses tangentes ; celle en $x = 1$ a pour équation $y =\nx - 1$. Égalité seulement en $x = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\geq x - 1$ pour tout $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est la position d'une courbe\n**convexe** au-dessus de ses tangentes (comme $e^x \\geq\n1 + x$). Le logarithme, concave, est en dessous."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\leq 0$ pour tout $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $\\ln 10 \\approx 2{,}3 > 0$. La concavité parle de\nla position par rapport aux **tangentes**, pas à l'axe."
        },
        {
          "text": "$\\ln x \\leq x - 1$ seulement pour $x \\geq 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inégalité vaut pour tout $x > 0$, par exemple\n$\\ln 0{,}5 \\approx -0{,}69 \\leq -0{,}5$. La courbe est\nsous sa tangente partout, pas seulement à droite du\npoint de contact."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln$ est concave ($f'' < 0$) : courbe sous ses tangentes,\nd'où $\\ln x \\leq x - 1$ : l'inégalité miroir de $e^x \\geq\n1 + x$ (les deux courbes sont symétriques par rapport à\n$y = x$)."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-ln",
        "domaine"
      ],
      "title": "Équation avec deux logarithmes",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $\\ln x +\n\\ln(x - 3) = \\ln 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\{4\\}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le domaine exige $x > 3$ ; l'équation\ndevient $x(x - 3) = 4$, soit $x^2 - 3x - 4 = 0$, racines\n$4$ et $-1$ : seule $4$ survit au domaine."
        },
        {
          "text": "$\\{-1\\,;\\,4\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Domaine oublié : en $x = -1$, ni $\\ln x$ ni $\\ln(x-3)$\nn'existent. Toute résolution commence par « il faut $x >\n3$ »."
        },
        {
          "text": "$\\varnothing$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = 4$ convient : $\\ln 4 + \\ln 1 = \\ln 4 + 0 =\n\\ln 4$."
        },
        {
          "text": "$\\{7\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 + 3 = 7$ traite la somme des logarithmes\ncomme le logarithme d'une somme. Or $\\ln a + \\ln b =\n\\ln(ab)$ : l'équation est $x(x-3) = 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode complète : 1) domaine ($x > 3$) ; 2) fusion $\\ln a +\n\\ln b = \\ln(ab)$ ; 3) équation polynomiale ; 4) tri des\nracines par le domaine. L'étape 4 élimine presque toujours\nun candidat : c'est le piège voulu."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-variable",
        "exp"
      ],
      "title": "Équation en $e^x$ par changement de variable",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 0$ et $x = \\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $X = e^x$ : $X^2 - 3X + 2 = 0$,\nracines $X = 1$ et $X = 2$, puis retour : $e^x = 1 \\iff\nx = 0$ et $e^x = 2 \\iff x = \\ln 2$."
        },
        {
          "text": "$x = 1$ et $x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Retour oublié : $1$ et $2$ sont les valeurs de $X =\ne^x$, pas de $x$ : il reste à appliquer $\\ln$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ n'est pas une racine : on\nrésout le trinôme en $X$ ($X = 1$ ou $2$), puis on\nrevient à $x$."
        },
        {
          "text": "Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : on ne cherche pas $e^x = 0$ mais les zéros\ndu trinôme en $e^x$ : ils existent ($x = 0$ et $\\ln 2$,\nà vérifier en remplaçant)."
        }
      ],
      "explanation": "$e^{2x} = (e^x)^2$ : poser $X = e^x$ ($X > 0$) ramène à un\nsecond degré. Ne garder que les racines $X > 0$, puis\nconclure par $x = \\ln X$. Schéma incontournable au\nbaccalauréat."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "proprietes-algebriques",
        "piege"
      ],
      "title": "Le faux réflexe $\\ln(a + b)$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "L'égalité $\\ln(a + b) = \\ln a + \\ln b$ est-elle vraie pour\ntous réels $a, b > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $\\ln(a + b)$ ne se développe pas en général",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la propriété fondamentale est $\\ln(ab) =\n\\ln a + \\ln b$ : le logarithme transforme les produits en\nsommes, pas les sommes. Contre-exemple : $\\ln(1 + 1) =\n\\ln 2 \\approx 0{,}69$ alors que $\\ln 1 + \\ln 1 = 0$."
        },
        {
          "text": "Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la propriété fondamentale porte sur le\n**produit** : $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$. Pour la somme,\ncontre-exemple : $a = b = 1$."
        },
        {
          "text": "Oui, mais seulement dans le cas où $a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $a = b = 1$, $\\ln 2 \\approx 0{,}69$ d'un\ncôté, $0$ de l'autre. L'égalité $\\ln(a + b) = \\ln a +\n\\ln b$ équivaut à $a + b = ab$ : elle ne tient que pour\ndes couples particuliers (comme $a = b = 2$, ou $a = 3$\net $b = 1{,}5$), jamais pour tous les $a = b$."
        },
        {
          "text": "Non, sauf lorsque $a$ et $b$ sont tous deux inférieurs à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $a = b = \\dfrac{1}{2}$, $\\ln(a + b) = \\ln 1\n= 0$ alors que $\\ln a + \\ln b = 2\\ln\\dfrac{1}{2} \\approx\n-1{,}39$. Aucun réglage de $a$ et $b$ ne sauve la formule\nen général : elle confond addition et multiplication."
        }
      ],
      "explanation": "À graver : $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$, mais $\\ln(a + b)$ ne\nse développe **pas**. Le logarithme traduit le monde\nmultiplicatif en monde additif : il n'a rien à dire sur les\nsommes."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(x) = -1$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\ln(x) = -1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e^{-1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on applique l'exponentielle des deux côtés, ce qui\ndonne $x = e^{-1}$, soit environ $0{,}37$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : $\\ln(e)$ vaut $1$ et non $-1$."
        },
        {
          "text": "$-e^{-1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre négatif : le logarithme n'est défini que sur les réels\nstrictement positifs."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur recopiée : $\\ln(-1)$ n'existe même pas."
        }
      ],
      "explanation": "L'exponentielle et le logarithme sont réciproques l'un de l'autre :\n$\\ln(x) = a$ équivaut à $x = e^a$, pour $x$ strictement positif."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "logarithme",
        "etude-de-fonction"
      ],
      "title": "Variations de $x\\ln x$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sur $]0\\,;\\,+\\infty[$, où la fonction $x \\mapsto x\\ln x$\natteint-elle son minimum ?",
      "options": [
        {
          "text": "En $\\dfrac{1}{e}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée vaut $\\ln x + 1$, qui s'annule pour\n$x = e^{-1}$ en changeant de signe."
        },
        {
          "text": "En $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $1$ la fonction s'annule, mais elle est déjà remontée : son minimum\nvaut environ $-0{,}37$."
        },
        {
          "text": "En $e$",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée y vaut $2$, donc la fonction y est croissante, pas\nminimale."
        },
        {
          "text": "Elle n'a pas de minimum",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée change bien de signe une fois, ce qui produit un minimum."
        }
      ],
      "explanation": "On dérive avec la formule du produit, on résout $\\ln x + 1 = 0$, puis on\ndresse le tableau de signes. Le minimum vaut $-\\dfrac{1}{e}$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(x) > 1$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de $\\ln(x) > 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]e\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme est strictement croissant, il conserve\ndonc le sens de l'inégalité."
        },
        {
          "text": "$]0\\,;\\,e[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : pour $x = 2$, le logarithme vaut environ $0{,}69$, donc\nl'inégalité est fausse."
        },
        {
          "text": "$]1\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne mal calculée : c'est $e$ qui vérifie $\\ln(e) = 1$, pas $1$."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le logarithme n'est défini que sur les réels strictement positifs, et\nl'inégalité y est fausse pour les petites valeurs."
        }
      ],
      "explanation": "La stricte croissance du logarithme permet de passer de\n$\\ln x > \\ln a$ à $x > a$, en n'oubliant jamais la condition\n$x > 0$."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "logarithme",
        "seuil"
      ],
      "title": "Un seuil avec une puissance",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "À partir de quel entier $n$ a-t-on $1{,}05^n > 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "À partir de $23$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n > \\dfrac{\\ln 3}{\\ln 1{,}05} \\approx 22{,}5$, donc le\npremier entier convenable est $23$."
        },
        {
          "text": "À partir de $22$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le seuil exact vaut environ $22{,}5$ : l'entier $22$ ne suffit pas\nencore."
        },
        {
          "text": "À partir de $60$",
          "correct": false,
          "feedback": "Estimation très large : $1{,}05^{60}$ dépasse $18$, bien au-delà du\nseuil demandé."
        },
        {
          "text": "À partir de $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seuil confondu avec l'exposant : $1{,}05^3$ vaut environ $1{,}16$."
        }
      ],
      "explanation": "Une inéquation à inconnue en exposant se résout en appliquant le\nlogarithme aux deux membres. La division par $\\ln 1{,}05$, positif,\nconserve le sens de l'inégalité."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Une différence de logarithmes",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "À quoi $\\ln(12) - \\ln(4)$ est-il égal ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une différence de logarithmes est le logarithme du\nquotient."
        },
        {
          "text": "$\\ln(8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arguments soustraits : c'est le quotient qui apparaît, pas la\ndifférence."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\ln 12}{\\ln 4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Quotient de logarithmes : cette expression vaut environ $1{,}79$,\ndifférente de $\\ln 3 \\approx 1{,}10$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(48)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Propriété de la somme appliquée à une différence : le produit\ncorrespondrait à $\\ln 12 + \\ln 4$."
        }
      ],
      "explanation": "Les propriétés algébriques du logarithme transforment produits et quotients\nen sommes et différences. C'est ce qui en fait l'outil des calculs\nd'exposants."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "logarithme",
        "domaine"
      ],
      "title": "Définir $\\ln(x^2 - 4)$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction $x \\mapsto \\ln(x^2 - 4)$ est-elle\ndéfinie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la condition $x^2 - 4 > 0$ est vérifiée à l'extérieur\ndes racines $-2$ et $2$."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\,;\\,-2] \\cup [2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Bornes incluses à tort : en $-2$ et en $2$, le trinôme s'annule et le\nlogarithme n'est pas défini."
        },
        {
          "text": "$]2\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié oubliée : pour $x = -3$, le trinôme vaut $5$, donc la fonction\nest définie."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$ privé de $-2$ et de $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition trop faible : le logarithme exige un argument strictement\npositif, pas seulement non nul."
        }
      ],
      "explanation": "L'ensemble de définition d'un logarithme composé se détermine en résolvant\nl'inéquation stricte qui exprime la positivité de son argument."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "croissances-comparees",
        "limites"
      ],
      "title": "La limite de $x\\ln x$ en $0^+$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Vers quoi tend $x\\ln x$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs\npositives ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $x$ l'emporte sur la divergence du\nlogarithme. Pour $x = 0{,}001$, le produit vaut environ $-0{,}007$."
        },
        {
          "text": "Vers $-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le logarithme tend bien vers $-\\infty$, mais il est multiplié par un\nfacteur qui tend vers $0$ plus vite."
        },
        {
          "text": "Vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune raison : le produit est négatif sur $]0\\,;\\,1[$, puisque le\nlogarithme y est négatif."
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit décroît puis remonte vers $0$ sans osciller : la limite\nexiste."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $0 \\times \\infty$ se lève par croissances comparées : en $0^+$,\n$x\\ln x$ tend vers $0$. C'est la limite jumelle de\n$\\dfrac{\\ln x}{x} \\to 0$ en $+\\infty$."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ln-exp",
        "exp"
      ],
      "title": "Exponentielle d'une somme de logarithmes",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $e^{\\ln(3) + \\ln(4)}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des logarithmes est le logarithme du\nproduit, donc l'exposant vaut $\\ln(12)$, et\n$e^{\\ln(12)} = 12$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les logarithmes s'ajoutent, mais les nombres se multiplient :\n$\\ln(3) + \\ln(4) = \\ln(12)$, pas $\\ln(7)$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(12)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit est bien $12$, mais il reste une étape :\nl'exponentielle annule le logarithme et rend $12$."
        },
        {
          "text": "$e^{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant de $e$ est un logarithme, pas le nombre $12$ :\n$e^{\\ln(12)} = 12$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux outils se combinent : $\\ln(a) + \\ln(b) = \\ln(ab)$, puis\n$e^{\\ln(X)} = X$ pour tout $X > 0$. L'exponentielle défait le\nlogarithme.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln(3) + \\ln(4)}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des logarithmes est le logarithme du\nproduit, donc l'exposant vaut $\\ln(12)$, et\n$e^{\\ln(12)} = 12$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les logarithmes s'ajoutent, mais les nombres se multiplient :\n$\\ln(3) + \\ln(4) = \\ln(12)$, pas $\\ln(7)$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(12)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est bien $12$, mais il reste une étape :\nl'exponentielle annule le logarithme et rend $12$."
            },
            {
              "text": "$e^{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant de $e$ est un logarithme, pas le nombre $12$ :\n$e^{\\ln(12)} = 12$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux outils se combinent : $\\ln(a) + \\ln(b) = \\ln(ab)$, puis\n$e^{\\ln(X)} = X$ pour tout $X > 0$. L'exponentielle défait le\nlogarithme."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln(2) + \\ln(7)}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$14$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des logarithmes est le logarithme du\nproduit, donc l'exposant vaut $\\ln(14)$, et\n$e^{\\ln(14)} = 14$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les logarithmes s'ajoutent, mais les nombres se multiplient :\n$\\ln(2) + \\ln(7) = \\ln(14)$, pas $\\ln(9)$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(14)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est bien $14$, mais il reste une étape :\nl'exponentielle annule le logarithme et rend $14$."
            },
            {
              "text": "$e^{14}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant de $e$ est un logarithme, pas le nombre $14$ :\n$e^{\\ln(14)} = 14$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux outils se combinent : $\\ln(a) + \\ln(b) = \\ln(ab)$, puis\n$e^{\\ln(X)} = X$ pour tout $X > 0$. L'exponentielle défait le\nlogarithme."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln(5) + \\ln(6)}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des logarithmes est le logarithme du\nproduit, donc l'exposant vaut $\\ln(30)$, et\n$e^{\\ln(30)} = 30$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les logarithmes s'ajoutent, mais les nombres se multiplient :\n$\\ln(5) + \\ln(6) = \\ln(30)$, pas $\\ln(11)$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(30)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est bien $30$, mais il reste une étape :\nl'exponentielle annule le logarithme et rend $30$."
            },
            {
              "text": "$e^{30}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant de $e$ est un logarithme, pas le nombre $30$ :\n$e^{\\ln(30)} = 30$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux outils se combinent : $\\ln(a) + \\ln(b) = \\ln(ab)$, puis\n$e^{\\ln(X)} = X$ pour tout $X > 0$. L'exponentielle défait le\nlogarithme."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $e^{\\ln(3) + \\ln(7)}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme des logarithmes est le logarithme du\nproduit, donc l'exposant vaut $\\ln(21)$, et\n$e^{\\ln(21)} = 21$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les logarithmes s'ajoutent, mais les nombres se multiplient :\n$\\ln(3) + \\ln(7) = \\ln(21)$, pas $\\ln(10)$."
            },
            {
              "text": "$\\ln(21)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit est bien $21$, mais il reste une étape :\nl'exponentielle annule le logarithme et rend $21$."
            },
            {
              "text": "$e^{21}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant de $e$ est un logarithme, pas le nombre $21$ :\n$e^{\\ln(21)} = 21$."
            }
          ],
          "explanation": "Deux outils se combinent : $\\ln(a) + \\ln(b) = \\ln(ab)$, puis\n$e^{\\ln(X)} = X$ pour tout $X > 0$. L'exponentielle défait le\nlogarithme."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs",
        "inverse"
      ],
      "title": "La valeur de $\\ln\\left(\\frac{1}{e}\\right)$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\ln\\!\\left(\\dfrac{1}{e}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln\\!\\left(\\dfrac{1}{e}\\right) = -\\ln(e) = -1$,\ncar le logarithme d'un inverse est l'opposé du logarithme."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : passer à l'inverse change le signe du logarithme.\nC'est $\\ln(e)$ qui vaut $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le logarithme n'a pas été appliqué : $\\dfrac{1}{e} \\approx 0{,}37$\nest le nombre de départ, pas son logarithme."
        },
        {
          "text": "$e^{-1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion de sens : $e^{-1}$ est le nombre dont le logarithme vaut\n$-1$. Ici on demande le logarithme, donc $-1$."
        }
      ],
      "explanation": "Le logarithme d'un inverse est l'opposé :\n$\\ln\\!\\left(\\dfrac{1}{a}\\right) = -\\ln(a)$. Avec $a = e$, on obtient\n$-1$."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Traduire une égalité avec le logarithme",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Soit $a > 0$ et $b$ un réel. Que signifie exactement l'égalité\n$\\ln(a) = b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e^{b} = a$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(a)$ est l'exposant à donner à $e$ pour obtenir\n$a$. Dire $\\ln(a) = b$, c'est dire $e^{b} = a$."
        },
        {
          "text": "$e^{a} = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les rôles sont échangés : $a$ est le nombre de départ et $b$\nl'exposant, donc c'est $e^{b}$ qui vaut $a$."
        },
        {
          "text": "$a^{b} = e$",
          "correct": false,
          "feedback": "La base de ce logarithme est $e$, pas $a$ : c'est $e$ que l'on\nélève à une puissance, jamais $a$."
        },
        {
          "text": "$b^{a} = e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ni la base ni l'exposant ne sont les bons : la traduction correcte\nde $\\ln(a) = b$ est $e^{b} = a$."
        }
      ],
      "explanation": "Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle :\npour $a > 0$, $\\ln(a) = b \\Leftrightarrow e^{b} = a$. Cette équivalence\nsert à transformer toute équation avec $\\ln$ en équation avec $\\exp$."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-infini",
        "composee"
      ],
      "title": "Limite de $\\ln\\left(\\frac{1}{x}\\right)$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\ln\\!\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln\\!\\left(\\dfrac{1}{x}\\right) = -\\ln(x)$, et\n$\\ln(x)$ tend vers $+\\infty$, donc son opposé tend vers $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la limite de $\\ln(x)$ lui-même. L'inverse à l'intérieur\nretourne le résultat : la limite cherchée est $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $\\dfrac{1}{x}$ qui tend vers $0$, mais le logarithme des\nnombres proches de $0$ dévisse vers $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune oscillation ici : la fonction décroît régulièrement, la\nlimite existe et vaut $-\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux lectures possibles : la composition ($\\dfrac{1}{x} \\to 0^{+}$ puis\n$\\ln \\to -\\infty$), ou la propriété\n$\\ln\\!\\left(\\dfrac{1}{x}\\right) = -\\ln(x)$. Les deux donnent $-\\infty$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul",
        "simplification"
      ],
      "title": "Logarithme d'un quotient d'exponentielles",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\ln\\!\\left(\\dfrac{e^{7}}{e^{3}}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $e^{7 - 3} = e^{4}$, et\n$\\ln\\!\\left(e^{4}\\right) = 4$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un quotient conduit à une différence d'exposants, pas à une somme :\n$7 - 3 = 4$."
        },
        {
          "text": "$e^{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient vaut bien $e^{4}$, mais le logarithme reste à\nappliquer : il rend l'exposant, c'est-à-dire $4$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les exposants ne se divisent pas : diviser deux exponentielles\nrevient à soustraire les exposants, d'où $4$."
        }
      ],
      "explanation": "On simplifie d'abord l'intérieur :\n$\\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$. La réciprocité\n$\\ln\\!\\left(e^{X}\\right) = X$ donne ensuite directement la différence\ndes exposants.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\!\\left(\\dfrac{e^{7}}{e^{3}}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $e^{7 - 3} = e^{4}$, et\n$\\ln\\!\\left(e^{4}\\right) = 4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient conduit à une différence d'exposants, pas à une somme :\n$7 - 3 = 4$."
            },
            {
              "text": "$e^{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient vaut bien $e^{4}$, mais le logarithme reste à\nappliquer : il rend l'exposant, c'est-à-dire $4$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ne se divisent pas : diviser deux exponentielles\nrevient à soustraire les exposants, d'où $4$."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord l'intérieur :\n$\\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$. La réciprocité\n$\\ln\\!\\left(e^{X}\\right) = X$ donne ensuite directement la différence\ndes exposants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\!\\left(\\dfrac{e^{2}}{e^{5}}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $e^{2 - 5} = e^{-3}$, et\n$\\ln\\!\\left(e^{-3}\\right) = -3$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient conduit à une différence d'exposants, pas à une somme :\n$2 - 5 = -3$."
            },
            {
              "text": "$e^{-3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient vaut bien $e^{-3}$, mais le logarithme reste à\nappliquer : il rend l'exposant, c'est-à-dire $-3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ne se divisent pas : diviser deux exponentielles\nrevient à soustraire les exposants, d'où $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord l'intérieur :\n$\\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$. La réciprocité\n$\\ln\\!\\left(e^{X}\\right) = X$ donne ensuite directement la différence\ndes exposants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\!\\left(\\dfrac{e^{6}}{e^{4}}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $e^{6 - 4} = e^{2}$, et\n$\\ln\\!\\left(e^{2}\\right) = 2$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient conduit à une différence d'exposants, pas à une somme :\n$6 - 4 = 2$."
            },
            {
              "text": "$e^{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient vaut bien $e^{2}$, mais le logarithme reste à\nappliquer : il rend l'exposant, c'est-à-dire $2$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ne se divisent pas : diviser deux exponentielles\nrevient à soustraire les exposants, d'où $2$."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord l'intérieur :\n$\\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$. La réciprocité\n$\\ln\\!\\left(e^{X}\\right) = X$ donne ensuite directement la différence\ndes exposants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\ln\\!\\left(\\dfrac{e^{7}}{e^{4}}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient vaut $e^{7 - 4} = e^{3}$, et\n$\\ln\\!\\left(e^{3}\\right) = 3$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un quotient conduit à une différence d'exposants, pas à une somme :\n$7 - 4 = 3$."
            },
            {
              "text": "$e^{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient vaut bien $e^{3}$, mais le logarithme reste à\nappliquer : il rend l'exposant, c'est-à-dire $3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les exposants ne se divisent pas : diviser deux exponentielles\nrevient à soustraire les exposants, d'où $3$."
            }
          ],
          "explanation": "On simplifie d'abord l'intérieur :\n$\\dfrac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}$. La réciprocité\n$\\ln\\!\\left(e^{X}\\right) = X$ donne ensuite directement la différence\ndes exposants."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "composee",
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\ln(ax+b)$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Sur l'intervalle où elle est définie, quelle est la dérivée de\n$f(x) = \\ln(3x - 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{3x - 5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x - 5$ et $u'(x) = 3$, la\nformule $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ donne ce quotient."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3x - 5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $u'$ a été oublié au numérateur : il vaut $3$, la\npente de l'expression intérieure."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3x - 5}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient est renversé : $u$ se place au dénominateur et $u'$ au\nnumérateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur est l'expression intérieure entière, pas $x$ seul :\nil reste $3x - 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une composée, $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où\n$u > 0$. La dérivée d'une expression affine est son coefficient\ndirecteur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur l'intervalle où elle est définie, quelle est la dérivée de\n$f(x) = \\ln(3x - 5)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{3x - 5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x - 5$ et $u'(x) = 3$, la\nformule $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ donne ce quotient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3x - 5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été oublié au numérateur : il vaut $3$, la\npente de l'expression intérieure."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3x - 5}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient est renversé : $u$ se place au dénominateur et $u'$ au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est l'expression intérieure entière, pas $x$ seul :\nil reste $3x - 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée, $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où\n$u > 0$. La dérivée d'une expression affine est son coefficient\ndirecteur."
        },
        {
          "statement": "Sur l'intervalle où elle est définie, quelle est la dérivée de\n$f(x) = \\ln(4x + 7)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{4x + 7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 4x + 7$ et $u'(x) = 4$, la\nformule $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ donne ce quotient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4x + 7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été oublié au numérateur : il vaut $4$, la\npente de l'expression intérieure."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4x + 7}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient est renversé : $u$ se place au dénominateur et $u'$ au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est l'expression intérieure entière, pas $x$ seul :\nil reste $4x + 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée, $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où\n$u > 0$. La dérivée d'une expression affine est son coefficient\ndirecteur."
        },
        {
          "statement": "Sur l'intervalle où elle est définie, quelle est la dérivée de\n$f(x) = \\ln(5x - 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{5x - 2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 5x - 2$ et $u'(x) = 5$, la\nformule $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ donne ce quotient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5x - 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été oublié au numérateur : il vaut $5$, la\npente de l'expression intérieure."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5x - 2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient est renversé : $u$ se place au dénominateur et $u'$ au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est l'expression intérieure entière, pas $x$ seul :\nil reste $5x - 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée, $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où\n$u > 0$. La dérivée d'une expression affine est son coefficient\ndirecteur."
        },
        {
          "statement": "Sur l'intervalle où elle est définie, quelle est la dérivée de\n$f(x) = \\ln(3x + 7)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{3x + 7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x + 7$ et $u'(x) = 3$, la\nformule $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ donne ce quotient."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3x + 7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été oublié au numérateur : il vaut $3$, la\npente de l'expression intérieure."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3x + 7}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient est renversé : $u$ se place au dénominateur et $u'$ au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est l'expression intérieure entière, pas $x$ seul :\nil reste $3x + 7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une composée, $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ sur tout intervalle où\n$u > 0$. La dérivée d'une expression affine est son coefficient\ndirecteur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "resolution"
      ],
      "title": "Une équation dont le logarithme s'annule",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\ln(2x - 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(X) = 0$ équivaut à $X = 1$, donc\n$2x - 5 = 1$, ce qui donne $x = 3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre annule l'expression intérieure, or $\\ln$ vaut $0$ quand\nson argument vaut $1$, pas $0$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe lors du passage du terme constant : l'équation à\nrésoudre est $2x - 5 = 1$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant a disparu : il faut l'écarter avant de diviser\npar $2$, ce qui conduit à $x = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation $\\ln(u(x)) = 0$ se ramène à $u(x) = 1$, puisque $1$ est le\nseul nombre dont le logarithme est nul. On vérifie ensuite que la\nsolution rend l'argument strictement positif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\ln(2x - 5) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(X) = 0$ équivaut à $X = 1$, donc\n$2x - 5 = 1$, ce qui donne $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre annule l'expression intérieure, or $\\ln$ vaut $0$ quand\nson argument vaut $1$, pas $0$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage du terme constant : l'équation à\nrésoudre est $2x - 5 = 1$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a disparu : il faut l'écarter avant de diviser\npar $2$, ce qui conduit à $x = 3$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $\\ln(u(x)) = 0$ se ramène à $u(x) = 1$, puisque $1$ est le\nseul nombre dont le logarithme est nul. On vérifie ensuite que la\nsolution rend l'argument strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\ln(4x - 9) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(X) = 0$ équivaut à $X = 1$, donc\n$4x - 9 = 1$, ce qui donne $x = \\dfrac{5}{2}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{9}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre annule l'expression intérieure, or $\\ln$ vaut $0$ quand\nson argument vaut $1$, pas $0$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage du terme constant : l'équation à\nrésoudre est $4x - 9 = 1$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a disparu : il faut l'écarter avant de diviser\npar $4$, ce qui conduit à $x = \\dfrac{5}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $\\ln(u(x)) = 0$ se ramène à $u(x) = 1$, puisque $1$ est le\nseul nombre dont le logarithme est nul. On vérifie ensuite que la\nsolution rend l'argument strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\ln(5x - 6) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(X) = 0$ équivaut à $X = 1$, donc\n$5x - 6 = 1$, ce qui donne $x = \\dfrac{7}{5}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre annule l'expression intérieure, or $\\ln$ vaut $0$ quand\nson argument vaut $1$, pas $0$."
            },
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage du terme constant : l'équation à\nrésoudre est $5x - 6 = 1$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a disparu : il faut l'écarter avant de diviser\npar $5$, ce qui conduit à $x = \\dfrac{7}{5}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $\\ln(u(x)) = 0$ se ramène à $u(x) = 1$, puisque $1$ est le\nseul nombre dont le logarithme est nul. On vérifie ensuite que la\nsolution rend l'argument strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\ln(2x - 9) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(X) = 0$ équivaut à $X = 1$, donc\n$2x - 9 = 1$, ce qui donne $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{9}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre annule l'expression intérieure, or $\\ln$ vaut $0$ quand\nson argument vaut $1$, pas $0$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage du terme constant : l'équation à\nrésoudre est $2x - 9 = 1$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant a disparu : il faut l'écarter avant de diviser\npar $2$, ce qui conduit à $x = 5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation $\\ln(u(x)) = 0$ se ramène à $u(x) = 1$, puisque $1$ est le\nseul nombre dont le logarithme est nul. On vérifie ensuite que la\nsolution rend l'argument strictement positif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inversion",
        "inequation-puissance"
      ],
      "title": "Diviser par un logarithme négatif",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On cherche les entiers $n$ tels que $0{,}9^{n} < 0{,}2$, ce qui s'écrit\n$n\\ln(0{,}9) < \\ln(0{,}2)$. Que devient l'inégalité lorsqu'on divise\nles deux membres par $\\ln(0{,}9)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n > \\dfrac{\\ln(0{,}2)}{\\ln(0{,}9)}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(0{,}9) < 0$ car $0{,}9 < 1$. Diviser par un\nnombre négatif renverse le sens de l'inégalité."
        },
        {
          "text": "$n < \\dfrac{\\ln(0{,}2)}{\\ln(0{,}9)}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sens a été conservé : or on divise par $\\ln(0{,}9)$, qui est\nstrictement négatif, donc l'inégalité se renverse."
        },
        {
          "text": "$n > \\dfrac{\\ln(0{,}9)}{\\ln(0{,}2)}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient est à l'envers : c'est $\\ln(0{,}2)$ qui est divisé par\n$\\ln(0{,}9)$, et non le contraire."
        },
        {
          "text": "$n > \\ln(0{,}2) - \\ln(0{,}9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une division ne se transforme pas en soustraction : le coefficient\n$\\ln(0{,}9)$ s'élimine en divisant."
        }
      ],
      "explanation": "Un logarithme est négatif lorsque son argument est strictement compris\nentre $0$ et $1$. Diviser une inégalité par un nombre négatif en\nrenverse le sens : c'est l'étape où se perd le plus souvent la solution."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "seuil",
        "puissance"
      ],
      "title": "Années nécessaires pour multiplier un capital",
      "partie": "equations",
      "statement": "Un capital est placé au taux annuel de $4$ %, les intérêts étant\najoutés au capital chaque année. Au bout de combien d'années, au\nminimum, le capital initial est-il multiplié par $2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$18$ ans",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit $\\ln(2) / \\ln(1 + 4/100)$,\nsoit un nombre compris entre $17$ et $18$ : il faut donc\n$18$ années entières."
        },
        {
          "text": "$17$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient a été tronqué au lieu d'être arrondi vers le haut :\naprès $17$ ans, le seuil n'est pas encore franchi."
        },
        {
          "text": "$19$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà dépassé au bout de $18$ ans,\net l'on cherche le plus petit entier convenable."
        },
        {
          "text": "$25$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement linéaire : les intérêts s'ajoutent au capital et\nproduisent eux-mêmes des intérêts, ce qui accélère la croissance."
        }
      ],
      "explanation": "Le capital est multiplié par $(1 + t/100)^{n}$. On passe au logarithme,\non divise par $\\ln(1 + t/100)$, qui est strictement positif, puis on\nprend le plus petit entier supérieur au quotient obtenu.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un capital est placé au taux annuel de $4$ %, les intérêts étant\najoutés au capital chaque année. Au bout de combien d'années, au\nminimum, le capital initial est-il multiplié par $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit $\\ln(2) / \\ln(1 + 4/100)$,\nsoit un nombre compris entre $17$ et $18$ : il faut donc\n$18$ années entières."
            },
            {
              "text": "$17$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été tronqué au lieu d'être arrondi vers le haut :\naprès $17$ ans, le seuil n'est pas encore franchi."
            },
            {
              "text": "$19$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà dépassé au bout de $18$ ans,\net l'on cherche le plus petit entier convenable."
            },
            {
              "text": "$25$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : les intérêts s'ajoutent au capital et\nproduisent eux-mêmes des intérêts, ce qui accélère la croissance."
            }
          ],
          "explanation": "Le capital est multiplié par $(1 + t/100)^{n}$. On passe au logarithme,\non divise par $\\ln(1 + t/100)$, qui est strictement positif, puis on\nprend le plus petit entier supérieur au quotient obtenu."
        },
        {
          "statement": "Un capital est placé au taux annuel de $6$ %, les intérêts étant\najoutés au capital chaque année. Au bout de combien d'années, au\nminimum, le capital initial est-il multiplié par $3$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$19$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit $\\ln(3) / \\ln(1 + 6/100)$,\nsoit un nombre compris entre $18$ et $19$ : il faut donc\n$19$ années entières."
            },
            {
              "text": "$18$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été tronqué au lieu d'être arrondi vers le haut :\naprès $18$ ans, le seuil n'est pas encore franchi."
            },
            {
              "text": "$20$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà dépassé au bout de $19$ ans,\net l'on cherche le plus petit entier convenable."
            },
            {
              "text": "$33$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : les intérêts s'ajoutent au capital et\nproduisent eux-mêmes des intérêts, ce qui accélère la croissance."
            }
          ],
          "explanation": "Le capital est multiplié par $(1 + t/100)^{n}$. On passe au logarithme,\non divise par $\\ln(1 + t/100)$, qui est strictement positif, puis on\nprend le plus petit entier supérieur au quotient obtenu."
        },
        {
          "statement": "Un capital est placé au taux annuel de $5$ %, les intérêts étant\najoutés au capital chaque année. Au bout de combien d'années, au\nminimum, le capital initial est-il multiplié par $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit $\\ln(2) / \\ln(1 + 5/100)$,\nsoit un nombre compris entre $14$ et $15$ : il faut donc\n$15$ années entières."
            },
            {
              "text": "$14$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été tronqué au lieu d'être arrondi vers le haut :\naprès $14$ ans, le seuil n'est pas encore franchi."
            },
            {
              "text": "$16$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà dépassé au bout de $15$ ans,\net l'on cherche le plus petit entier convenable."
            },
            {
              "text": "$20$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : les intérêts s'ajoutent au capital et\nproduisent eux-mêmes des intérêts, ce qui accélère la croissance."
            }
          ],
          "explanation": "Le capital est multiplié par $(1 + t/100)^{n}$. On passe au logarithme,\non divise par $\\ln(1 + t/100)$, qui est strictement positif, puis on\nprend le plus petit entier supérieur au quotient obtenu."
        },
        {
          "statement": "Un capital est placé au taux annuel de $2$ %, les intérêts étant\najoutés au capital chaque année. Au bout de combien d'années, au\nminimum, le capital initial est-il multiplié par $2$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$ ans",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la condition s'écrit $\\ln(2) / \\ln(1 + 2/100)$,\nsoit un nombre compris entre $35$ et $36$ : il faut donc\n$36$ années entières."
            },
            {
              "text": "$35$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été tronqué au lieu d'être arrondi vers le haut :\naprès $35$ ans, le seuil n'est pas encore franchi."
            },
            {
              "text": "$37$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Une année de trop : le seuil est déjà dépassé au bout de $36$ ans,\net l'on cherche le plus petit entier convenable."
            },
            {
              "text": "$50$ ans",
              "correct": false,
              "feedback": "Raisonnement linéaire : les intérêts s'ajoutent au capital et\nproduisent eux-mêmes des intérêts, ce qui accélère la croissance."
            }
          ],
          "explanation": "Le capital est multiplié par $(1 + t/100)^{n}$. On passe au logarithme,\non divise par $\\ln(1 + t/100)$, qui est strictement positif, puis on\nprend le plus petit entier supérieur au quotient obtenu."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Signe d'un produit de logarithmes",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est le signe du produit $P = \\ln(0{,}2) \\times \\ln(5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P$ est strictement négatif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(0{,}2) < 0$ car $0{,}2 < 1$, tandis que\n$\\ln(5) > 0$ car $5 > 1$. Le produit d'un négatif par un positif\nest négatif."
        },
        {
          "text": "$P$ est strictement positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux facteurs n'ont pas le même signe : $0{,}2$ est inférieur\nà $1$, donc son logarithme est négatif."
        },
        {
          "text": "$P$ est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Un logarithme ne s'annule qu'en $1$, et aucun des deux nombres\n$0{,}2$ et $5$ ne vaut $1$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans calculatrice",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe se lit sans calcul : il suffit de comparer chaque argument\nà $1$, seuil où le logarithme change de signe."
        }
      ],
      "explanation": "Le logarithme est négatif sur $]0\\,;\\,1[$, nul en $1$, positif sur\n$]1\\,;\\,+\\infty[$. Ici $0{,}2 = \\dfrac{1}{5}$, donc\n$P = -\\left(\\ln 5\\right)^{2}$, effectivement négatif."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-ln",
        "domaine"
      ],
      "title": "Égalité entre deux logarithmes",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln(x - 2) = \\ln(5 - x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ étant strictement croissante, l'égalité donne\n$x - 2 = 5 - x$, soit $x = 3{,}5$, qui respecte bien la\ncondition $2 < x < 5$."
        },
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux nombres ont été additionnés sans résoudre : l'équation\nobtenue est $x - 2 = 5 - x$, qui a deux fois $x$."
        },
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "La différence des deux nombres ne résout pas l'équation : on isole\n$x$ en regroupant les deux termes en $x$ d'un même côté."
        },
        {
          "text": "L'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur trouvée rend les deux arguments strictement positifs :\nl'équation a bien une solution."
        }
      ],
      "explanation": "Le logarithme étant strictement croissant,\n$\\ln(A) = \\ln(B) \\Leftrightarrow A = B$, à condition que $A$ et $B$\nsoient strictement positifs. On résout l'équation, puis on vérifie la\ncondition de définition.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln(x - 2) = \\ln(5 - x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 3{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ étant strictement croissante, l'égalité donne\n$x - 2 = 5 - x$, soit $x = 3{,}5$, qui respecte bien la\ncondition $2 < x < 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été additionnés sans résoudre : l'équation\nobtenue est $x - 2 = 5 - x$, qui a deux fois $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des deux nombres ne résout pas l'équation : on isole\n$x$ en regroupant les deux termes en $x$ d'un même côté."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur trouvée rend les deux arguments strictement positifs :\nl'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Le logarithme étant strictement croissant,\n$\\ln(A) = \\ln(B) \\Leftrightarrow A = B$, à condition que $A$ et $B$\nsoient strictement positifs. On résout l'équation, puis on vérifie la\ncondition de définition."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln(x - 1) = \\ln(7 - x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ étant strictement croissante, l'égalité donne\n$x - 1 = 7 - x$, soit $x = 4$, qui respecte bien la\ncondition $1 < x < 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été additionnés sans résoudre : l'équation\nobtenue est $x - 1 = 7 - x$, qui a deux fois $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des deux nombres ne résout pas l'équation : on isole\n$x$ en regroupant les deux termes en $x$ d'un même côté."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur trouvée rend les deux arguments strictement positifs :\nl'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Le logarithme étant strictement croissant,\n$\\ln(A) = \\ln(B) \\Leftrightarrow A = B$, à condition que $A$ et $B$\nsoient strictement positifs. On résout l'équation, puis on vérifie la\ncondition de définition."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln(x - 3) = \\ln(8 - x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ étant strictement croissante, l'égalité donne\n$x - 3 = 8 - x$, soit $x = 5{,}5$, qui respecte bien la\ncondition $3 < x < 8$."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été additionnés sans résoudre : l'équation\nobtenue est $x - 3 = 8 - x$, qui a deux fois $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des deux nombres ne résout pas l'équation : on isole\n$x$ en regroupant les deux termes en $x$ d'un même côté."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur trouvée rend les deux arguments strictement positifs :\nl'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Le logarithme étant strictement croissant,\n$\\ln(A) = \\ln(B) \\Leftrightarrow A = B$, à condition que $A$ et $B$\nsoient strictement positifs. On résout l'équation, puis on vérifie la\ncondition de définition."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\ln(x - 2) = \\ln(7 - x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4{,}5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ étant strictement croissante, l'égalité donne\n$x - 2 = 7 - x$, soit $x = 4{,}5$, qui respecte bien la\ncondition $2 < x < 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres ont été additionnés sans résoudre : l'équation\nobtenue est $x - 2 = 7 - x$, qui a deux fois $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des deux nombres ne résout pas l'équation : on isole\n$x$ en regroupant les deux termes en $x$ d'un même côté."
            },
            {
              "text": "L'équation n'a pas de solution",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur trouvée rend les deux arguments strictement positifs :\nl'équation a bien une solution."
            }
          ],
          "explanation": "Le logarithme étant strictement croissant,\n$\\ln(A) = \\ln(B) \\Leftrightarrow A = B$, à condition que $A$ et $B$\nsoient strictement positifs. On résout l'équation, puis on vérifie la\ncondition de définition."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inegalite-tangente",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Tangente à la courbe du logarithme",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $\\ln$\nau point d'abscisse $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = x - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(1) = 0$ et $\\ln'(1) = \\dfrac{1}{1} = 1$, donc\nla tangente a pour équation $y = 1 \\times (x - 1) + 0$."
        },
        {
          "text": "$y = x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient directeur est juste, mais la courbe passe par le\npoint $(1\\,;\\,0)$ : la droite $y = x$ n'y passe pas."
        },
        {
          "text": "$y = x + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ : avec\n$a = 1$, le terme constant vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$y = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une tangente est une droite : $\\dfrac{1}{x}$ donne la pente en\nchaque point, elle n'est pas l'équation cherchée."
        }
      ],
      "explanation": "Formule de la tangente en $a$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Pour $\\ln$\nen $a = 1$, on obtient $y = x - 1$. La concavité de $\\ln$ place la\ncourbe sous cette tangente, d'où $\\ln x \\leq x - 1$."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-variable",
        "equation"
      ],
      "title": "Équation du second degré en $\\ln x$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(\\ln x)^{2} - 5\\ln x + 6 = 0$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = e^{2}$ et $x = e^{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en posant $X = \\ln x$, on résout\n$X^{2} - 5X + 6 = 0$, d'où $X = 2$ ou $X = 3$, puis\n$x = e^{2}$ ou $x = e^{3}$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$ et $x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le retour à $x$ a été oublié : $2$ et $3$ sont les valeurs de\n$\\ln x$, il reste à appliquer l'exponentielle."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln(2)$ et $x = \\ln(3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvaise fonction appliquée : de $\\ln x = 2$ on tire\n$x = e^{2}$, et non $x = \\ln(2)$."
        },
        {
          "text": "$x = e^{5}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme des racines a été prise pour une solution : l'équation du\nsecond degré en a deux, $2$ et $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Le changement de variable $X = \\ln x$ transforme l'équation en une\néquation du second degré. On la résout en $X$, puis chaque valeur\nobtenue donne $x = e^{X}$, toujours strictement positif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(\\ln x)^{2} - 5\\ln x + 6 = 0$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = e^{2}$ et $x = e^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $X = \\ln x$, on résout\n$X^{2} - 5X + 6 = 0$, d'où $X = 2$ ou $X = 3$, puis\n$x = e^{2}$ ou $x = e^{3}$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$ et $x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le retour à $x$ a été oublié : $2$ et $3$ sont les valeurs de\n$\\ln x$, il reste à appliquer l'exponentielle."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln(2)$ et $x = \\ln(3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise fonction appliquée : de $\\ln x = 2$ on tire\n$x = e^{2}$, et non $x = \\ln(2)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{5}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme des racines a été prise pour une solution : l'équation du\nsecond degré en a deux, $2$ et $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Le changement de variable $X = \\ln x$ transforme l'équation en une\néquation du second degré. On la résout en $X$, puis chaque valeur\nobtenue donne $x = e^{X}$, toujours strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(\\ln x)^{2} - 7\\ln x + 12 = 0$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = e^{3}$ et $x = e^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $X = \\ln x$, on résout\n$X^{2} - 7X + 12 = 0$, d'où $X = 3$ ou $X = 4$, puis\n$x = e^{3}$ ou $x = e^{4}$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$ et $x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le retour à $x$ a été oublié : $3$ et $4$ sont les valeurs de\n$\\ln x$, il reste à appliquer l'exponentielle."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln(3)$ et $x = \\ln(4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise fonction appliquée : de $\\ln x = 3$ on tire\n$x = e^{3}$, et non $x = \\ln(3)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{7}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme des racines a été prise pour une solution : l'équation du\nsecond degré en a deux, $3$ et $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le changement de variable $X = \\ln x$ transforme l'équation en une\néquation du second degré. On la résout en $X$, puis chaque valeur\nobtenue donne $x = e^{X}$, toujours strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(\\ln x)^{2} - 9\\ln x + 20 = 0$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = e^{4}$ et $x = e^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $X = \\ln x$, on résout\n$X^{2} - 9X + 20 = 0$, d'où $X = 4$ ou $X = 5$, puis\n$x = e^{4}$ ou $x = e^{5}$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$ et $x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le retour à $x$ a été oublié : $4$ et $5$ sont les valeurs de\n$\\ln x$, il reste à appliquer l'exponentielle."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln(4)$ et $x = \\ln(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise fonction appliquée : de $\\ln x = 4$ on tire\n$x = e^{4}$, et non $x = \\ln(4)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{9}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme des racines a été prise pour une solution : l'équation du\nsecond degré en a deux, $4$ et $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Le changement de variable $X = \\ln x$ transforme l'équation en une\néquation du second degré. On la résout en $X$, puis chaque valeur\nobtenue donne $x = e^{X}$, toujours strictement positif."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(\\ln x)^{2} - 11\\ln x + 30 = 0$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = e^{5}$ et $x = e^{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en posant $X = \\ln x$, on résout\n$X^{2} - 11X + 30 = 0$, d'où $X = 5$ ou $X = 6$, puis\n$x = e^{5}$ ou $x = e^{6}$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$ et $x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le retour à $x$ a été oublié : $5$ et $6$ sont les valeurs de\n$\\ln x$, il reste à appliquer l'exponentielle."
            },
            {
              "text": "$x = \\ln(5)$ et $x = \\ln(6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvaise fonction appliquée : de $\\ln x = 5$ on tire\n$x = e^{5}$, et non $x = \\ln(5)$."
            },
            {
              "text": "$x = e^{11}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme des racines a été prise pour une solution : l'équation du\nsecond degré en a deux, $5$ et $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Le changement de variable $X = \\ln x$ transforme l'équation en une\néquation du second degré. On la résout en $X$, puis chaque valeur\nobtenue donne $x = e^{X}$, toujours strictement positif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "concavite",
        "etude-de-fonction"
      ],
      "title": "Convexité de $x - \\ln x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "La fonction $g$ définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ par $g(x) = x - \\ln(x)$\nest-elle convexe ou concave ?",
      "options": [
        {
          "text": "Convexe, car $g''(x) = \\dfrac{1}{x^{2}} > 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $g'(x) = 1 - \\dfrac{1}{x}$, donc\n$g''(x) = \\dfrac{1}{x^{2}}$, strictement positive : $g$ est convexe."
        },
        {
          "text": "Concave, car $\\ln$ est concave",
          "correct": false,
          "feedback": "Le logarithme est bien concave, mais il est ici retranché : son\nopposé $-\\ln$ est convexe, et $x$ ne change rien à la convexité."
        },
        {
          "text": "Convexe, car $g$ est croissante sur $]1\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conclusion est juste mais l'argument est faux : la convexité se\nlit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur les variations."
        },
        {
          "text": "Ni l'un ni l'autre, $g$ change de convexité",
          "correct": false,
          "feedback": "La dérivée seconde garde un signe constant sur tout l'intervalle :\nil n'y a aucun point d'inflexion."
        }
      ],
      "explanation": "La convexité se décide sur le signe de la dérivée seconde. Ici\n$g''(x) = \\dfrac{1}{x^{2}}$ est strictement positive sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ : $g$ est convexe, et son minimum en $1$ redonne\nl'inégalité $\\ln x \\leq x - 1$."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee-produit",
        "calcul"
      ],
      "title": "Dériver $x^n \\ln x$",
      "partie": "etude",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{3}\\ln(x)$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3x^{2}\\ln(x) + x^{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{3}$ et $v = \\ln x$, on obtient\n$u'v + uv' = 3x^{2}\\ln(x) + x^{3} \\times \\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$3x^{2}\\ln(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second terme du produit a été oublié : $uv'$ vaut\n$x^{3} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3x^{2}}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
        },
        {
          "text": "$x^{2}\\left(3\\ln(x) - 1\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la factorisation correcte est\n$x^{2}\\left(3\\ln(x) + 1\\right)$."
        }
      ],
      "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x^{n}$ et $v = \\ln x$. Le\nsecond terme se simplifie : $x^{n} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{n-1}$, ce\nqui permet de factoriser par $x^{n-1}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{3}\\ln(x)$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3x^{2}\\ln(x) + x^{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{3}$ et $v = \\ln x$, on obtient\n$u'v + uv' = 3x^{2}\\ln(x) + x^{3} \\times \\dfrac{1}{x}$."
            },
            {
              "text": "$3x^{2}\\ln(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme du produit a été oublié : $uv'$ vaut\n$x^{3} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3x^{2}}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$x^{2}\\left(3\\ln(x) - 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la factorisation correcte est\n$x^{2}\\left(3\\ln(x) + 1\\right)$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x^{n}$ et $v = \\ln x$. Le\nsecond terme se simplifie : $x^{n} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{n-1}$, ce\nqui permet de factoriser par $x^{n-1}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{4}\\ln(x)$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x^{3}\\ln(x) + x^{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{4}$ et $v = \\ln x$, on obtient\n$u'v + uv' = 4x^{3}\\ln(x) + x^{4} \\times \\dfrac{1}{x}$."
            },
            {
              "text": "$4x^{3}\\ln(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme du produit a été oublié : $uv'$ vaut\n$x^{4} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4x^{3}}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$x^{3}\\left(4\\ln(x) - 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la factorisation correcte est\n$x^{3}\\left(4\\ln(x) + 1\\right)$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x^{n}$ et $v = \\ln x$. Le\nsecond terme se simplifie : $x^{n} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{n-1}$, ce\nqui permet de factoriser par $x^{n-1}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{5}\\ln(x)$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5x^{4}\\ln(x) + x^{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{5}$ et $v = \\ln x$, on obtient\n$u'v + uv' = 5x^{4}\\ln(x) + x^{5} \\times \\dfrac{1}{x}$."
            },
            {
              "text": "$5x^{4}\\ln(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme du produit a été oublié : $uv'$ vaut\n$x^{5} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5x^{4}}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$x^{4}\\left(5\\ln(x) - 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la factorisation correcte est\n$x^{4}\\left(5\\ln(x) + 1\\right)$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x^{n}$ et $v = \\ln x$. Le\nsecond terme se simplifie : $x^{n} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{n-1}$, ce\nqui permet de factoriser par $x^{n-1}$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{6}\\ln(x)$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6x^{5}\\ln(x) + x^{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{6}$ et $v = \\ln x$, on obtient\n$u'v + uv' = 6x^{5}\\ln(x) + x^{6} \\times \\dfrac{1}{x}$."
            },
            {
              "text": "$6x^{5}\\ln(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme du produit a été oublié : $uv'$ vaut\n$x^{6} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6x^{5}}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$x^{5}\\left(6\\ln(x) - 1\\right)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la factorisation correcte est\n$x^{5}\\left(6\\ln(x) + 1\\right)$."
            }
          ],
          "explanation": "On applique $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u = x^{n}$ et $v = \\ln x$. Le\nsecond terme se simplifie : $x^{n} \\times \\dfrac{1}{x} = x^{n-1}$, ce\nqui permet de factoriser par $x^{n-1}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "algorithme-briggs",
        "approximation"
      ],
      "title": "Principe de l'algorithme de Briggs",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Pour approcher $\\ln(x)$, l'algorithme de Briggs calcule\n$y = x^{1/2^k}$ en extrayant $k$ fois la racine carrée, puis renvoie\n$2^k(y - 1)$. Sur quelle propriété repose-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln(y) = \\dfrac{\\ln(x)}{2^k}$ et $\\ln(1 + h) \\approx h$ pour $h$\nproche de $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y$ est très proche de $1$, donc\n$\\ln(y) \\approx y - 1$, et $\\ln(x) = 2^k \\ln(y)$."
        },
        {
          "text": "$\\ln$ est la réciproque de l'exponentielle, d'où\n$\\ln(x) = e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(x)$ n'est pas égal à $e^x$ ; la réciprocité\ns'écrit $e^{\\ln x} = x$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(\\sqrt{x}) = \\sqrt{\\ln(x)}$, appliqué $k$ fois de suite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(\\sqrt{x}) = \\dfrac{1}{2}\\ln(x)$ ; la racine ne\npasse pas à l'intérieur du logarithme."
        },
        {
          "text": "$\\ln$ est croissante, donc $\\ln(x) \\leq x - 1$ pour $x > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette inégalité est vraie, mais elle ne donne qu'une\nmajoration, pas une approximation précise."
        }
      ],
      "explanation": "Extraire des racines carrées divise le logarithme par $2$ à chaque\nfois et rapproche le nombre de $1$, où l'approximation\n$\\ln(1 + h) \\approx h$ devient très précise."
    }
  ]
}