{
  "chapter": {
    "id": "fonctions-sinus-cosinus",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Fonctions sinus et cosinus",
    "description": "Fonctions trigonométriques : parité, périodicité, courbes\nreprésentatives, dérivées et variations, valeurs remarquables,\néquations du type $\\cos(x) = a$ et inéquations sur\n$[-\\pi\\,;\\,\\pi]$.",
    "parties": [
      {
        "id": "proprietes",
        "title": "Périodicité, parité, valeurs et courbes"
      },
      {
        "id": "derivees",
        "title": "Dérivées et variations"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Équations et inéquations"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée de sinus",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction sinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin x)' = \\cos x$. Cohérent en $0$ : la\ncourbe de sinus y a une pente de $\\cos(0) = 1$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le moins apparaît en dérivant\n**cosinus**, pas sinus. Retiens le cycle :\n$\\sin \\to \\cos \\to -\\sin \\to -\\cos \\to \\sin$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sinus n'est pas sa propre dérivée (ce privilège\nappartient à l'exponentielle). Sa dérivée est cosinus."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\sin$ est la dérivée **seconde** de sinus (la\ndérivée de $\\cos$). Au premier ordre : $(\\sin x)' = \\cos x$."
        }
      ],
      "explanation": "Dérivées à connaître : $(\\sin x)' = \\cos x$ et\n$(\\cos x)' = -\\sin x$. Le cycle des dérivations successives\nrevient au point de départ en quatre étapes."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée de cosinus",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\cos x)' = -\\sin x$. Le signe moins\ntraduit le fait que cosinus **décroît** juste après $0$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du signe : sur $]0\\,;\\,\\pi[$, cosinus décroît, sa\ndérivée doit y être négative ; or $\\sin x > 0$ sur cet\nintervalle. La bonne dérivée est $-\\sin x$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\cos$ est la dérivée seconde de cosinus. Au\npremier ordre : $(\\cos x)' = -\\sin x$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{\\sin(x)}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun quotient n'apparaît en dérivant cosinus.\n(Tu penses peut-être à la dérivée de $\\ln$ ?)"
        }
      ],
      "explanation": "$(\\cos x)' = -\\sin x$. Vérification rapide du signe : cosinus\npasse de $1$ à $-1$ sur $[0\\,;\\,\\pi]$, il décroît, et\n$-\\sin x \\leq 0$ sur cet intervalle."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parite"
      ],
      "title": "Parité de sinus et cosinus",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Pour tout réel $x$, quelles égalités sont correctes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\cos(-x) = \\cos(x)$ et $\\sin(-x) = -\\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : cosinus est **paire** (courbe symétrique\npar rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est **impaire**\n(courbe symétrique par rapport à l'origine)."
        },
        {
          "text": "$\\cos(-x) = -\\cos(x)$ et $\\sin(-x) = \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Parités inversées : sur le cercle trigonométrique, changer\n$x$ en $-x$ conserve l'abscisse (cosinus) et change le\nsigne de l'ordonnée (sinus)."
        },
        {
          "text": "$\\cos(-x) = \\cos(x)$ et $\\sin(-x) = \\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur sinus : $\\sin\\!\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = -1\n\\neq 1 = \\sin\\!\\left(\\frac{\\pi}{2}\\right)$. Sinus est\nimpaire."
        },
        {
          "text": "$\\cos(-x) = -\\cos(x)$ et $\\sin(-x) = -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur cosinus : $\\cos(-0) = \\cos(0) = 1$, pas $-1$.\nCosinus est paire."
        }
      ],
      "explanation": "Sur le cercle trigonométrique, $x$ et $-x$ donnent deux points\nsymétriques par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse\n($\\cos$ paire), ordonnées opposées ($\\sin$ impaire)."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "periodicite"
      ],
      "title": "Période des fonctions sinus et cosinus",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(x + 2\\pi) = \\cos(x)$ et\n$\\sin(x + 2\\pi) = \\sin(x)$ pour tout $x$ : un tour complet\ndu cercle trigonométrique."
        },
        {
          "text": "$\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos(0) = 1$ mais $\\cos(\\pi) = -1$ : ajouter\n$\\pi$ ne redonne pas la même valeur (cela donne l'opposé).\nLa vraie période est $2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$360$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion degrés/radians : $360$ degrés correspondent bien à\nun tour, mais en analyse les fonctions sinus et cosinus sont\ndéfinies en **radians** : période $2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos(0) = 1$ mais\n$\\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{2}\\right) = 0$ : un quart de tour\nne redonne pas la même valeur. La période est la\nlongueur d'un tour complet, $2\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "Un tour complet du cercle trigonométrique mesure $2\\pi$\nradians : $\\cos$ et $\\sin$ sont $2\\pi$-périodiques. Leur courbe\nse répète à l'identique de $2\\pi$ en $2\\pi$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs"
      ],
      "title": "Une valeur sur le cercle",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{\\pi}{2}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : au quart de tour, le point du cercle\ntrigonométrique est $(0\\,;\\,1)$ : abscisse $0$, donc\n$\\cos(\\pi/2) = 0$ (et $\\sin(\\pi/2) = 1$)."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est l'ordonnée de ce point, c'est-à-dire\n$\\sin(\\pi/2)$. Le cosinus lit l'**abscisse**, qui vaut $0$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ est $\\cos(\\pi)$, au demi-tour. Au quart de\ntour, l'abscisse est $0$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\pi/2$ est l'**angle**, pas la valeur du cosinus.\nUn cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur le cercle trigonométrique, l'angle $\\pi/2$ correspond au\npoint $(0\\,;\\,1)$ : $\\cos(\\pi/2) = 0$, $\\sin(\\pi/2) = 1$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeurs"
      ],
      "title": "Valeur remarquable",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(\\pi/3) = \\dfrac{1}{2}$ et\n$\\sin(\\pi/3) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion classique : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ est\n$\\sin(\\pi/3)$, ou encore $\\cos(\\pi/6)$. Moyen mémo : plus\nl'angle est proche de $0$, plus le cosinus est proche de\n$1$, donc $\\cos(\\pi/3) < \\cos(\\pi/6)$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ est la valeur commune de\n$\\cos(\\pi/4)$ et $\\sin(\\pi/4)$, à mi-chemin."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cosinus ne se lit pas « un sur le\ndénominateur ». Les valeurs remarquables se retrouvent sur\nle cercle : $\\cos(\\pi/3) = \\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Tableau des valeurs remarquables : pour $\\dfrac{\\pi}{6}$,\n$\\dfrac{\\pi}{4}$, $\\dfrac{\\pi}{3}$, le cosinus vaut\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$, $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\dfrac{1}{2}$\n(et le sinus les mêmes valeurs en ordre inverse)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation"
      ],
      "title": "Résoudre $\\cos(x) = \\dfrac{1}{2}$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$\\cos(x) = \\dfrac{1}{2}$ sur l'intervalle $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = -\\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite verticale d'abscisse $\\frac{1}{2}$\ncoupe le cercle en deux points symétriques par rapport à\nl'axe des abscisses : angles $\\pi/3$ et $-\\pi/3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli : le cosinus étant pair, $-\\pi/3$ convient aussi\n($\\cos(-\\pi/3) = \\cos(\\pi/3) = 1/2$). Une équation en\ncosinus a généralement **deux** solutions par tour."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec le **sinus** : $\\pi/3$ et $\\pi - \\pi/3 =\n2\\pi/3$ sont liés par la symétrie du sinus. Pour le cosinus,\nles deux solutions sont opposées : $\\pm\\pi/3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = -\\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de valeur : $\\cos(\\pi/6) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$,\npas $\\dfrac{1}{2}$. L'angle dont le cosinus vaut\n$\\dfrac{1}{2}$ est $\\pi/3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos(x) = a$ se résout sur le cercle : les solutions sont\n$x = \\alpha$ et $x = -\\alpha$ (modulo $2\\pi$), où $\\alpha$ est\nun angle de cosinus $a$. Ici $\\alpha = \\pi/3$ : solutions\n$\\pm\\dfrac{\\pi}{3}$ sur $]-\\pi\\,;\\,\\pi]$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Reconnaître une courbe trigonométrique",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ ci-dessous est tracée sur\n$[-\\pi\\,;\\,\\pi]$. De quelle fonction est-ce la courbe\nreprésentative ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.95,yscale=1.15]\n  \\draw[->] (-3.6,0) -- (3.6,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.7) node[above left] {$y$};\n  \\draw (0.06,1) -- (-0.06,1);\n  \\node[left,font=\\small] at (-0.06,1) {$1$};\n  \\draw (0.06,-1) -- (-0.06,-1);\n  \\node[left,font=\\small] at (-0.06,-1) {$-1$};\n  \\foreach \\x/\\l in {-3.1416/{-\\pi}, -1.5708/{-\\frac{\\pi}{2}}, 1.5708/{\\frac{\\pi}{2}}, 3.1416/{\\pi}} {\n    \\draw (\\x,0.05) -- (\\x,-0.05);\n    \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.07) {$\\l$};\n  }\n  \\draw[dashed,gray] (-3.4,1) -- (3.4,1);\n  \\draw[dashed,gray] (-3.4,-1) -- (3.4,-1);\n  \\draw[domain=-3.1416:3.1416,smooth,samples=90,thick,blue] plot (\\x,{sin(\\x r)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (2.7,1.25) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère avec une courbe oscillante sur [-pi ; pi] : elle passe\npar l'origine en montant, atteint son maximum 1 en pi/2,\nredescend et s'annule en pi ; à gauche, elle atteint son\nminimum -1 en -pi/2 et s'annule en -pi. Courbe symétrique par\nrapport à l'origine.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"210.608pt\" height=\"121.565pt\" viewBox=\"0 0 210.608 121.565\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 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6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.5 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.28125 -5.515625 2.8125 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.640625 4.109375 -5.328125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.328125 3.6875 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.078125 C 3.625 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.234375 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.71875 C 4.890625 -6.125 4.640625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.078125 -6.296875 2 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transform=\"matrix(0.996434, 0, 0, -0.996434, 195.364394, 70.224713)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"199.069476\" y=\"78.005869\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00176009 -48.898859 L -0.00176009 55.018542 \" transform=\"matrix(0.996434, 0, 0, -0.996434, 98.962691, 70.224713)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073667 2.389179 C -1.693405 0.958296 -0.850556 0.280096 0.000133163 0.00176009 C -0.850556 -0.280496 -1.693405 -0.954776 -2.073667 -2.389579 \" transform=\"matrix(0, -0.996434, -0.996434, 0, 98.962691, 15.203258)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"90.232929\" y=\"9.567763\"/>\n</g>\n<path 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-32.58679 -40.881896 -32.551508 C -40.352665 -32.520147 -39.509816 -32.429981 -38.980586 -32.351577 C -38.451355 -32.273172 -37.608506 -32.108523 -37.079275 -31.986996 C -36.553965 -31.865469 -35.707195 -31.630255 -35.177965 -31.465605 C -34.652654 -31.297036 -33.805885 -30.995178 -33.276654 -30.783486 C -32.751344 -30.575714 -31.904574 -30.203292 -31.375344 -29.952397 C -30.850033 -29.701503 -30.003264 -29.262437 -29.477953 -28.96842 C -28.948723 -28.678323 -28.101953 -28.176534 -27.576643 -27.843315 C -27.047412 -27.514016 -26.200643 -26.949503 -25.675332 -26.581001 C -25.146102 -26.20858 -24.299332 -25.585264 -23.774022 -25.18148 C -23.244791 -24.777697 -22.401942 -24.099497 -21.872711 -23.660432 C -21.343481 -23.221366 -20.500632 -22.488284 -19.971401 -22.017856 C -19.44609 -21.547429 -18.599321 -20.767303 -18.07009 -20.269435 C -17.54478 -19.767645 -16.698011 -18.944398 -16.16878 -18.419087 C -15.643469 -17.889856 -14.7967 -17.027406 -14.267469 -16.474654 C -13.742159 -15.925822 -12.89539 -15.02417 -12.370079 -14.451816 C -11.840848 -13.879463 -10.994079 -12.942529 -10.468768 -12.354494 C -9.939538 -11.76254 -9.092768 -10.802084 -8.567458 -10.194449 C -8.038227 -9.590734 -7.191458 -8.602836 -6.666147 -7.987361 C -6.136917 -7.367965 -5.294068 -6.364386 -4.764837 -5.73715 C -4.235606 -5.109913 -3.392757 -4.094574 -2.863526 -3.459497 C -2.338216 -2.824421 -1.491447 -1.801241 -0.962216 -1.166164 C -0.436905 -0.527167 0.409864 0.496012 0.939095 1.13501 C 1.464405 1.770086 2.311174 2.793266 2.840405 3.428343 C 3.365716 4.06342 4.212485 5.078759 4.737795 5.705995 C 5.267026 6.333232 6.113795 7.33681 6.639106 7.956206 C 7.168337 8.575602 8.015106 9.559579 8.540416 10.167215 C 9.069647 10.77093 9.916416 11.735306 10.441727 12.32334 C 10.970958 12.915294 11.813807 13.852229 12.343037 14.420662 C 12.872268 14.993015 13.715117 15.898588 14.244348 16.44742 C 14.769658 17.000172 15.616428 17.866542 16.145658 18.391853 C 16.670969 18.917163 17.517738 19.744331 18.046969 20.24612 C 18.57228 20.743989 19.419049 21.524115 19.94828 21.994542 C 20.47359 22.46889 21.320359 23.198052 21.84567 23.637118 C 22.374901 24.076183 23.22167 24.754382 23.74698 25.162086 C 24.276211 25.56587 25.12298 26.189186 25.648291 26.561607 C 26.177522 26.930109 27.024291 27.494622 27.549601 27.827841 C 28.078832 28.16106 28.921681 28.66285 29.450912 28.956867 C 29.976222 29.246964 30.822992 29.686029 31.352222 29.940844 C 31.877533 30.191738 32.724302 30.56416 33.253533 30.775852 C 33.778843 30.983625 34.625613 31.289402 35.154843 31.457972 C 35.680154 31.622622 36.526923 31.857835 37.052234 31.979362 C 37.581464 32.10481 38.428234 32.265539 38.953544 32.347864 C 39.482775 32.426268 40.329544 32.516434 40.854855 32.551716 C 41.384085 32.586998 42.230855 32.602679 42.756165 32.594838 C 43.285396 32.583077 44.128245 32.528194 44.657476 32.473311 C 45.186706 32.418428 46.029555 32.292981 46.558786 32.191055 C 47.084097 32.089129 47.930866 31.893117 48.460097 31.748069 C 48.985407 31.603021 49.832176 31.336445 50.361407 31.148274 C 50.886718 30.960103 51.733487 30.622964 52.262718 30.39167 C 52.788028 30.160377 53.634798 29.756593 54.160108 29.486097 C 54.689339 29.215602 55.536108 28.745174 56.061419 28.431556 C 56.590649 28.117938 57.437419 27.588707 57.962729 27.235887 C 58.49196 26.886986 59.338729 26.291112 59.86404 25.906929 C 60.39327 25.518827 61.236119 24.868069 61.76535 24.444684 C 62.294581 24.02522 63.13743 23.319579 63.666661 22.864833 C 64.191971 22.410086 65.03874 21.653482 65.567971 21.167374 C 66.093282 20.685186 66.940051 19.881539 67.469282 19.367989 C 67.994592 18.85444 68.841361 18.00767 69.370592 17.470599 C 69.895903 16.933528 70.742672 16.047556 71.267982 15.486964 C 71.797213 14.922451 72.643982 14.005118 73.169293 13.424924 C 73.698524 12.84473 74.545293 11.896035 75.070603 11.29624 C 75.599834 10.696445 76.446603 9.724229 76.971914 9.108753 C 77.501145 8.497198 78.343994 7.50538 78.873224 6.882064 C 79.402455 6.258747 80.245304 5.247329 80.774535 4.616172 C 81.299846 3.985015 82.146615 2.965756 82.675846 2.330679 C 83.201156 1.691682 84.577156 0.0295053 84.577156 0.0295053 \" transform=\"matrix(0.996434, 0, 0, -0.996434, 98.962691, 70.224713)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"168.737016\" y=\"32.675078\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe passe par l'origine, est\nsymétrique par rapport à elle (fonction impaire) et culmine\nà $1$ en $\\pi/2$ : c'est la sinusoïde."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe de cosinus vaut $1$ en $0$ (elle démarre\nau sommet) et est symétrique par rapport à l'axe des\nordonnées. Ici la courbe s'annule en $0$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $-\\sin$ **descendrait** en quittant\nl'origine vers la droite, avec un minimum en $\\pi/2$. Ici\nla courbe monte."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sin(2x)$ oscille deux fois plus vite (période\n$\\pi$) et s'annulerait déjà en $\\pi/2$. Ici le maximum est\nen $\\pi/2$ : une seule arche par demi-tour."
        }
      ],
      "explanation": "Signature graphique de sinus : passage par l'origine en\ncroissant, maximum $1$ en $\\pi/2$, imparité (symétrie par\nrapport à l'origine), période $2\\pi$. Cosinus, lui, démarre à\nson maximum en $x = 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\cos(@k@x)$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\cos(3x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = -3\\sin(3x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée de composée,\n$(\\cos u)' = -u'\\sin(u)$ avec $u = 3x$ et $u' = 3$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -\\sin(3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $u' = 3$ : la composée exige de multiplier\npar la dérivée de l'intérieur."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 3\\sin(3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe\nmoins, qui ne disparaît pas : $-3\\sin(3x)$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -3\\cos(3x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver cosinus donne du **sinus** (au signe\nprès), pas du cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "Règle de la composée : $\\left(\\cos(u)\\right)' = -u'\\sin(u)$.\nAvec $u(x) = 3x$ : $f'(x) = -3\\sin(3x)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\cos(3x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = -3\\sin(3x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dérivée de composée,\n$(\\cos u)' = -u'\\sin(u)$ avec $u = 3x$ et $u' = 3$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -\\sin(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u' = 3$ : la composée exige de multiplier\npar la dérivée de l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\sin(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe\nmoins, qui ne disparaît pas : $-3\\sin(3x)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -3\\cos(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver cosinus donne du **sinus** (au signe\nprès), pas du cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "Règle de la composée : $\\left(\\cos(u)\\right)' = -u'\\sin(u)$.\nAvec $u(x) = 3x$ : $f'(x) = -3\\sin(3x)$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = -2\\sin(2x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dérivée de composée,\n$(\\cos u)' = -u'\\sin(u)$ avec $u = 2x$ et $u' = 2$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -\\sin(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u' = 2$ : la composée exige de multiplier\npar la dérivée de l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\sin(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe\nmoins, qui ne disparaît pas : $-2\\sin(2x)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -2\\cos(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver cosinus donne du **sinus** (au signe\nprès), pas du cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "Règle de la composée : $\\left(\\cos(u)\\right)' = -u'\\sin(u)$.\nAvec $u(x) = 2x$ : $f'(x) = -2\\sin(2x)$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\cos(4x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = -4\\sin(4x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dérivée de composée,\n$(\\cos u)' = -u'\\sin(u)$ avec $u = 4x$ et $u' = 4$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -\\sin(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u' = 4$ : la composée exige de multiplier\npar la dérivée de l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\sin(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe\nmoins, qui ne disparaît pas : $-4\\sin(4x)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -4\\cos(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver cosinus donne du **sinus** (au signe\nprès), pas du cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "Règle de la composée : $\\left(\\cos(u)\\right)' = -u'\\sin(u)$.\nAvec $u(x) = 4x$ : $f'(x) = -4\\sin(4x)$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\cos(5x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = -5\\sin(5x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dérivée de composée,\n$(\\cos u)' = -u'\\sin(u)$ avec $u = 5x$ et $u' = 5$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -\\sin(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Oubli du facteur $u' = 5$ : la composée exige de multiplier\npar la dérivée de l'intérieur."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\sin(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : la dérivée de cosinus apporte un signe\nmoins, qui ne disparaît pas : $-5\\sin(5x)$."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -5\\cos(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : dériver cosinus donne du **sinus** (au signe\nprès), pas du cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "Règle de la composée : $\\left(\\cos(u)\\right)' = -u'\\sin(u)$.\nAvec $u(x) = 5x$ : $f'(x) = -5\\sin(5x)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inequation"
      ],
      "title": "Résoudre $\\cos(x) \\leq \\dfrac{1}{2}$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$\\cos(x) \\leq \\dfrac{1}{2}$ sur $[-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\left[-\\pi\\,;\\,-\\dfrac{\\pi}{3}\\right] \\cup\n\\left[\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,\\pi\\right]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur le cercle, le cosinus est inférieur à\n$\\frac{1}{2}$ pour les points situés à **gauche** de la\nverticale d'abscisse $\\frac{1}{2}$, c'est-à-dire pour les\nangles au-delà de $\\pm\\pi/3$."
        },
        {
          "text": "$\\left[-\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{3}\\right]$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'ensemble complémentaire : entre $-\\pi/3$ et\n$\\pi/3$, le cosinus est **supérieur** ou égal à\n$\\frac{1}{2}$ (il culmine à $1$ en $0$)."
        },
        {
          "text": "$\\left[\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,\\pi\\right]$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : par parité du cosinus, la partie symétrique\n$\\left[-\\pi\\,;\\,-\\pi/3\\right]$ convient aussi."
        },
        {
          "text": "$\\left[-\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur cet intervalle le cosinus est **positif** et\nvaut jusqu'à $1$ ; par exemple $\\cos(0) = 1 >\n\\frac{1}{2}$. Le seuil $\\frac{1}{2}$ se franchit en\n$\\pm\\pi/3$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode du cercle : on repère les angles où\n$\\cos(x) = \\frac{1}{2}$, soit $\\pm\\pi/3$, puis on identifie\nl'arc où l'abscisse est sous le seuil : les angles de grande\namplitude. Solutions :\n$[-\\pi\\,;\\,-\\pi/3] \\cup [\\pi/3\\,;\\,\\pi]$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "encadrement",
        "limites"
      ],
      "title": "Limite de $\\dfrac{\\sin(x)}{x}$ en $+\\infty$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{\\sin(x)}{x}$ quand $x$ tend\nvers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-1 \\leq \\sin(x) \\leq 1$, donc\n$-\\dfrac{1}{x} \\leq \\dfrac{\\sin x}{x} \\leq \\dfrac{1}{x}$ ;\nles gendarmes concluent : limite $0$."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas, car $\\sin(x)$ oscille sans limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur oscille mais reste **borné**, et il\nest divisé par $x$ qui explose. Les oscillations sont\nécrasées : la limite existe et vaut $0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la limite célèbre en **zéro** :\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1$. En $+\\infty$, le\ndénominateur l'emporte : limite $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le quotient est majoré par $\\dfrac{1}{x}$ en\nvaleur absolue, il ne peut pas exploser."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction bornée divisée par une quantité qui tend vers\nl'infini : encadrement\n$-\\frac{1}{x} \\leq \\frac{\\sin x}{x} \\leq \\frac{1}{x}$ et\nthéorème des gendarmes donnent une limite nulle."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variations"
      ],
      "title": "Monotonie de sinus",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\left[-\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin x)' = \\cos x \\geq 0$ exactement sur\ncet intervalle (le cosinus y reste positif). Sinus y monte\nde $-1$ à $1$."
        },
        {
          "text": "$[0\\,;\\,\\pi]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, sinus monte jusqu'à $\\pi/2$\n**puis redescend** (le cosinus devient négatif après\n$\\pi/2$). Ce n'est pas un intervalle de monotonie."
        },
        {
          "text": "$[-\\pi\\,;\\,0]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : entre $-\\pi$ et $-\\pi/2$, le cosinus est négatif\net sinus **décroît** ; la croissance ne commence qu'en\n$-\\pi/2$."
        },
        {
          "text": "$\\mathbb{R}$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une fonction périodique non constante ne peut\npas être monotone sur $\\mathbb{R}$, elle remonte et\nredescend sans fin."
        }
      ],
      "explanation": "On lit la monotonie de $\\sin$ sur le signe de sa dérivée\n$\\cos$ : positif sur $[-\\pi/2\\,;\\,\\pi/2]$, donc sinus\ncroissante sur cet intervalle (de $-1$ à $1$), puis\ndécroissante sur $[\\pi/2\\,;\\,3\\pi/2]$, etc."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identite-fondamentale"
      ],
      "title": "Utiliser $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\cos x = \\dfrac{3}{5}$ avec $x \\in\n\\left[0\\ ;\\ \\dfrac{\\pi}{2}\\right]$. Que vaut $\\sin x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sin x = \\dfrac{4}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sin^2 x = 1 - \\dfrac{9}{25} =\n\\dfrac{16}{25}$, et sur $\\left[0\\ ;\\\n\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le sinus est positif : $+\\frac{4}{5}$\n(le triangle $3$-$4$-$5$)."
        },
        {
          "text": "$\\sin x = \\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - \\frac{3}{5} = \\frac{2}{5}$ soustrait les\nvaleurs au lieu des **carrés** : l'identité porte sur\n$\\cos^2$ et $\\sin^2$."
        },
        {
          "text": "$\\sin x = \\pm\\dfrac{4}{5}$, impossible de trancher",
          "correct": false,
          "feedback": "Intervalle négligé : sur $\\left[0\\ ;\\\n\\frac{\\pi}{2}\\right]$ (premier quadrant), le sinus est\npositif : l'information donnée tranche."
        },
        {
          "text": "$\\sin x = \\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sinus et cosinus ne sont égaux qu'en $x =\n\\frac{\\pi}{4}$ (valeur $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$) : ici le\ncalcul donne $\\frac{4}{5}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (Pythagore sur le cercle unité) :\npasser de l'un à l'autre au signe près, le **quadrant**\nfournissant le signe. Le réflexe en deux temps : calcul du\ncarré, choix du signe."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs-remarquables"
      ],
      "title": "La valeur $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\frac{\\pi}{6} = 30°$ : le sinus vaut\n$\\frac{1}{2}$ (et le cosinus $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Échange classique : $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ est $\\cos\n\\frac{\\pi}{6}$ (ou $\\sin\\frac{\\pi}{3}$) : à $30°$, le\nsinus est le petit ($\\frac{1}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ appartient à $\\frac{\\pi}{4}$\n($45°$), l'angle où sinus et cosinus se rejoignent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le sinus d'un angle n'est pas l'angle ($\\sin x\n\\approx x$ seulement pour $x$ **très petit**, et\n$\\frac{\\pi}{6} \\approx 0{,}52 \\neq 0{,}5$… de peu, mais\nla valeur exacte est $\\frac{1}{2}$)."
        }
      ],
      "explanation": "Tableau des valeurs : $\\frac{\\pi}{6} \\to \\frac{1}{2}$,\n$\\frac{\\pi}{4} \\to \\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\frac{\\pi}{3} \\to\n\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ pour le sinus (le cosinus lit le même\ntableau à l'envers). Mémoire : $\\frac{\\sqrt{1}}{2},\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\sin(@k@x)$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\cos(2x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin u)' = u'\\cos u$ avec $u = 2x$ :\nle facteur $2$ sort, l'argument $2x$ reste."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur\n($u' = 2$) multiplie : règle de la chaîne."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 2\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :\nle $2x$ reste intact dans le cosinus."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = -2\\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le moins appartient à la dérivée du\n**cosinus** ($(\\cos u)' = -u'\\sin u$) : le sinus se\ndérive sans signe."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\sin(ax))' = a\\cos(ax)$, $(\\cos(ax))' = -a\\sin(ax)$ : le\ncoefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.\nPhysiquement : osciller deux fois plus vite double la\nvitesse de variation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(2x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\cos(2x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin u)' = u'\\cos u$ avec $u = 2x$ :\nle facteur $2$ sort, l'argument $2x$ reste."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\cos(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur\n($u' = 2$) multiplie : règle de la chaîne."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 2\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :\nle $2x$ reste intact dans le cosinus."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -2\\cos(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : le moins appartient à la dérivée du\n**cosinus** ($(\\cos u)' = -u'\\sin u$) : le sinus se\ndérive sans signe."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sin(ax))' = a\\cos(ax)$, $(\\cos(ax))' = -a\\sin(ax)$ : le\ncoefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.\nPhysiquement : osciller deux fois plus vite double la\nvitesse de variation."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(3x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\cos(3x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin u)' = u'\\cos u$ avec $u = 3x$ :\nle facteur $3$ sort, l'argument $3x$ reste."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\cos(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur\n($u' = 3$) multiplie : règle de la chaîne."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 3\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :\nle $3x$ reste intact dans le cosinus."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -3\\cos(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : le moins appartient à la dérivée du\n**cosinus** ($(\\cos u)' = -u'\\sin u$) : le sinus se\ndérive sans signe."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sin(ax))' = a\\cos(ax)$, $(\\cos(ax))' = -a\\sin(ax)$ : le\ncoefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.\nPhysiquement : osciller deux fois plus vite double la\nvitesse de variation."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(4x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\cos(4x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin u)' = u'\\cos u$ avec $u = 4x$ :\nle facteur $4$ sort, l'argument $4x$ reste."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\cos(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur\n($u' = 4$) multiplie : règle de la chaîne."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 4\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :\nle $4x$ reste intact dans le cosinus."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -4\\cos(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : le moins appartient à la dérivée du\n**cosinus** ($(\\cos u)' = -u'\\sin u$) : le sinus se\ndérive sans signe."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sin(ax))' = a\\cos(ax)$, $(\\cos(ax))' = -a\\sin(ax)$ : le\ncoefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.\nPhysiquement : osciller deux fois plus vite double la\nvitesse de variation."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(5x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\cos(5x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin u)' = u'\\cos u$ avec $u = 5x$ :\nle facteur $5$ sort, l'argument $5x$ reste."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = \\cos(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur interne oublié : la dérivée de l'intérieur\n($u' = 5$) multiplie : règle de la chaîne."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = 5\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Argument altéré : dériver ne divise pas la fréquence :\nle $5x$ reste intact dans le cosinus."
            },
            {
              "text": "$f'(x) = -5\\cos(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : le moins appartient à la dérivée du\n**cosinus** ($(\\cos u)' = -u'\\sin u$) : le sinus se\ndérive sans signe."
            }
          ],
          "explanation": "$(\\sin(ax))' = a\\cos(ax)$, $(\\cos(ax))' = -a\\sin(ax)$ : le\ncoefficient sort en facteur, l'argument ne change pas.\nPhysiquement : osciller deux fois plus vite double la\nvitesse de variation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-trigonometrique"
      ],
      "title": "Résoudre $\\sin x = 0$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = 0$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = k\\pi$, pour $k \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le sinus s'annule aux deux extrémités\nhorizontales du cercle ($0$ et $\\pi$), puis tous les\ntours : l'ensemble $\\{k\\pi\\}$ les capture tous d'un\ncoup."
        },
        {
          "text": "$x = 2k\\pi$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié perdue : $\\sin \\pi = 0$ aussi : les multiples\n**impairs** de $\\pi$ manquent : le pas est $\\pi$, pas\n$2\\pi$."
        },
        {
          "text": "$x = 0$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Périodicité oubliée : le sinus repasse par $0$ à chaque\ndemi-tour : une infinité de solutions."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{2} + k\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\frac{\\pi}{2} + k\\pi$ sont les zéros du\n**cosinus** (les pôles nord et sud du cercle) : le sinus\ns'annule sur l'axe horizontal."
        }
      ],
      "explanation": "Sur le cercle : $\\sin x = 0$ aux points $(\\pm 1\\ ;\\ 0)$,\nsoit $x = k\\pi$ ; $\\cos x = 0$ aux points $(0\\ ;\\ \\pm 1)$,\nsoit $x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi$. Visualiser le cercle évite\ntoute confusion."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite-remarquable",
        "taux"
      ],
      "title": "La limite $\\dfrac{\\sin x}{x}$ en $0$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{\\sin x}{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$ : c'est le nombre dérivé de sinus en $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{\\sin x - \\sin 0}{x - 0}$ est le\ntaux d'accroissement de $\\sin$ en $0$ : sa limite est\n$\\sin'(0) = \\cos 0 = 1$."
        },
        {
          "text": "$0$, car $\\sin 0 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur seul : le dénominateur s'annule aussi :\n$\\frac{0}{0}$ à lever, et la reconnaissance du taux\nd'accroissement donne $1$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$, car on divise par $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur fond à la même vitesse ($\\sin x\n\\approx x$ près de $0$) : le quotient s'équilibre sur\n$1$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas, le sinus oscille",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $+\\infty$ : **en $0$**, le sinus\nn'oscille pas : il colle à sa tangente $y = x$, d'où le\nquotient proche de $1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin x}{x} = 1$ : le taux\nd'accroissement de sinus en $0$, et la traduction de la\ntangente $y = x$ à l'origine. À rapprocher de\n$\\frac{e^x - 1}{x} \\to 1$ : même mécanisme."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variations"
      ],
      "title": "Variations de cosinus sur $[0\\ ;\\ \\pi]$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Comment varie la fonction cosinus sur l'intervalle\n$[0\\ ;\\ \\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît de $1$ à $-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\cos x)' = -\\sin x$, et sur $[0\\ ;\\\n\\pi]$, $\\sin x \\geq 0$, donc $-\\sin x \\leq 0$ :\ndécroissance stricte de $\\cos 0 = 1$ à $\\cos \\pi = -1$."
        },
        {
          "text": "Elle croît de $-1$ à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est le comportement sur $[\\pi\\ ;\\\n2\\pi]$ (ou $[-\\pi\\ ;\\ 0]$) : sur $[0\\ ;\\ \\pi]$, le point\ndu cercle descend de droite à gauche : cosinus décroît."
        },
        {
          "text": "Elle est constante, car elle est périodique",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : périodique signifie qui se **répète**, et non constante :\nà l'intérieur d'une période, la fonction varie\n(pleinement, de $1$ à $-1$)."
        },
        {
          "text": "Elle croît puis décroît, avec un maximum en\n$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en $\\frac{\\pi}{2}$, le cosinus vaut $0$ et\n**traverse** en descendant ($-\\sin\\frac{\\pi}{2} = -1 <\n0$) : c'est le sinus qui culmine là, pas le cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\cos)' = -\\sin$ : le signe du sinus pilote les variations\ndu cosinus. Sur $[0\\ ;\\ \\pi]$ : décroissance de $1$ à $-1$ ;\npuis remontée sur $[\\pi\\ ;\\ 2\\pi]$ : l'ondulation perpétuelle\nse lit tableau par tableau."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee",
        "composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\sin(@k@x + 1)$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(3x + 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3\\cos(3x + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$, avec\n$u'(x) = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\cos(3x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en\nfacteur."
        },
        {
          "text": "$3\\cos(3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie\npas."
        },
        {
          "text": "$-3\\cos(3x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas\nl'inverse."
        }
      ],
      "explanation": "La dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$ et celle de $\\cos u$ vaut\n$-u'\\sin u$. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(3x + 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\cos(3x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$, avec\n$u'(x) = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\cos(3x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$3\\cos(3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie\npas."
            },
            {
              "text": "$-3\\cos(3x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas\nl'inverse."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$ et celle de $\\cos u$ vaut\n$-u'\\sin u$. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(2x + 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\cos(2x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$, avec\n$u'(x) = 2$."
            },
            {
              "text": "$\\cos(2x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$2\\cos(2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie\npas."
            },
            {
              "text": "$-2\\cos(2x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas\nl'inverse."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$ et celle de $\\cos u$ vaut\n$-u'\\sin u$. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(4x + 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4\\cos(4x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$, avec\n$u'(x) = 4$."
            },
            {
              "text": "$\\cos(4x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$4\\cos(4)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie\npas."
            },
            {
              "text": "$-4\\cos(4x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas\nl'inverse."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$ et celle de $\\cos u$ vaut\n$-u'\\sin u$. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sin(5x + 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\cos(5x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$, avec\n$u'(x) = 5$."
            },
            {
              "text": "$\\cos(5x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur oublié : la dérivée de l'expression intérieure apparaît en\nfacteur."
            },
            {
              "text": "$5\\cos(5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'argument est conservé tel quel dans la dérivée, il ne se simplifie\npas."
            },
            {
              "text": "$-5\\cos(5x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe de trop : c'est le cosinus qui se dérive en moins sinus, pas\nl'inverse."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin u$ vaut $u'\\cos u$ et celle de $\\cos u$ vaut\n$-u'\\sin u$. Le signe moins n'apparaît que pour le cosinus."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-trigonometrique",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Résoudre $\\sin x = \\dfrac{1}{2}$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = \\dfrac{1}{2}$ dans\n$[0\\,;\\,2\\pi[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$ et $\\dfrac{5\\pi}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux points du cercle ont pour ordonnée\n$\\dfrac{1}{2}$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$ et $-\\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie du cosinus appliquée au sinus : les angles opposés ont des\nsinus opposés."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur remarquable confondue : $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$ vaut\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{6}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Seconde solution oubliée : elle se lit par symétrie par rapport à\nl'axe vertical."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $\\sin x = a$ a deux solutions sur un intervalle de longueur\n$2\\pi$, symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, d'où la relation\n$\\sin(\\pi - x) = \\sin x$."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "periodicite",
        "courbe"
      ],
      "title": "Effet d'un coefficient sur la période",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle est la période de la fonction $x \\mapsto \\sin(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le motif est parcouru deux fois plus vite, donc sa\nlongueur est divisée par deux."
        },
        {
          "text": "$2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Période de $\\sin x$ recopiée : le coefficient $2$ la modifie."
        },
        {
          "text": "$4\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Période multipliée au lieu d'être divisée : un coefficient supérieur à\n$1$ resserre la courbe."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division de trop : la période vaut $\\dfrac{2\\pi}{2}$, soit $\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "La fonction $x \\mapsto \\sin(\\omega x)$ a pour période\n$\\dfrac{2\\pi}{\\omega}$. Un coefficient grand resserre les oscillations, un\ncoefficient petit les étire."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-seconde",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Dérivée seconde du sinus",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Que vaut la dérivée seconde de la fonction sinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\sin x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on dérive deux fois, $\\sin x$ donnant $\\cos x$, puis\n$\\cos x$ donnant $-\\sin x$."
        },
        {
          "text": "$\\sin x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la dérivée du cosinus introduit un signe moins."
        },
        {
          "text": "$-\\cos x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule dérivation effectuée, avec un signe en trop : la dérivée\npremière vaut $\\cos x$."
        },
        {
          "text": "$\\cos x$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la dérivée première : il reste une dérivation à effectuer."
        }
      ],
      "explanation": "Quatre dérivations ramènent au point de départ : $\\sin$, $\\cos$,\n$-\\sin$, $-\\cos$, puis de nouveau $\\sin$. La dérivée seconde du sinus\nest donc son opposé."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "trigonometrie",
        "intersection"
      ],
      "title": "Où les deux courbes se croisent",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, en combien de points les courbes du sinus et du\ncosinus se coupent-elles ?",
      "options": [
        {
          "text": "En un seul point",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité n'a lieu qu'en $\\dfrac{\\pi}{4}$, où les deux\nfonctions valent $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
        },
        {
          "text": "En deux points",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second point de croisement, en $\\dfrac{5\\pi}{4}$, se situe hors de\nl'intervalle proposé."
        },
        {
          "text": "En aucun point",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sinus part en dessous du cosinus et finit au-dessus : il y a\nnécessairement un croisement."
        },
        {
          "text": "En une infinité de points",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux courbes ne se confondent nulle part : leurs valeurs diffèrent\npartout ailleurs."
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre $\\sin x = \\cos x$ revient à chercher les points du cercle situés\nsur la première bissectrice. Sur un intervalle de longueur $2\\pi$, il y en\na deux, espacés de $\\pi$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parite",
        "courbe"
      ],
      "title": "Symétrie de la courbe du cosinus",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle symétrie présente la courbe de la fonction cosinus ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos(-x) = \\cos x$, la fonction est paire."
        },
        {
          "text": "Une symétrie par rapport à l'origine",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le cas du sinus, qui est impair : $\\sin(-x) = -\\sin x$."
        },
        {
          "text": "Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucune courbe de fonction ne présente cette symétrie, qui donnerait\ndeux images à un même nombre."
        },
        {
          "text": "Aucune symétrie particulière",
          "correct": false,
          "feedback": "La relation $\\cos(-x) = \\cos x$ impose la symétrie axiale."
        }
      ],
      "explanation": "Le cosinus est pair et le sinus impair, ce qui se lit sur le cercle\ntrigonométrique : la symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve\nl'abscisse et change le signe de l'ordonnée."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Une limite trigonométrique",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Vers quoi tend $\\dfrac{\\sin(3x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers $0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on écrit $3 \\times \\dfrac{\\sin(3x)}{3x}$, et le\nquotient tend vers $1$."
        },
        {
          "text": "Vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient oublié : la limite de référence concerne\n$\\dfrac{\\sin u}{u}$, il faut donc faire apparaître $3x$ au\ndénominateur."
        },
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux termes tendent vers $0$ : c'est une forme indéterminée, pas\nune limite nulle."
        },
        {
          "text": "Vers $\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient inversé : le facteur $3$ se retrouve au numérateur après\ntransformation."
        }
      ],
      "explanation": "La limite de référence $\\dfrac{\\sin x}{x} \\to 1$ en $0$ s'adapte par\nchangement d'écriture. Elle traduit que la tangente au sinus en $0$ a pour\npente $1$."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-trigonometrique"
      ],
      "title": "Résoudre $\\cos x = 0$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = 0$ dans $[0\\,;\\,2\\pi[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ et $\\dfrac{3\\pi}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce sont les deux points du cercle situés sur l'axe des\nordonnées."
        },
        {
          "text": "$0$ et $\\pi$, où le sinus s'annule",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les solutions de $\\sin x = 0$ : leurs cosinus valent $1$ et\n$-1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Seconde solution oubliée : le cosinus s'annule aussi en\n$\\dfrac{3\\pi}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\pi$ et $2\\pi$, aux extrémités",
          "correct": false,
          "feedback": "En ces points, le cosinus vaut $-1$ et $1$, pas $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Le cosinus s'annule pour les réels de la forme\n$\\dfrac{\\pi}{2} + k\\pi$. Sur un intervalle de longueur $2\\pi$, cela\nfournit deux solutions."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "courbe",
        "amplitude"
      ],
      "title": "Effet d'un coefficient devant le sinus",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que change le passage de $x \\mapsto \\sin x$ à $x \\mapsto 3\\sin x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les valeurs s'étalent entre $-3$ et $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient multiplie les ordonnées, donc\nl'amplitude de l'oscillation."
        },
        {
          "text": "La période est divisée par trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Un coefficient devant la fonction n'agit pas sur la période, qui reste\n$2\\pi$."
        },
        {
          "text": "La courbe est décalée vers le haut de trois unités",
          "correct": false,
          "feedback": "Un décalage vertical viendrait d'un terme additif, du type\n$\\sin x + 3$."
        },
        {
          "text": "La courbe est décalée vers la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Un décalage horizontal viendrait d'un terme ajouté à l'intérieur, du\ntype $\\sin(x - 3)$."
        }
      ],
      "explanation": "Un coefficient devant la fonction modifie l'amplitude, un coefficient\ndevant $x$ la période, un terme ajouté à l'intérieur décale\nhorizontalement, un terme ajouté à l'extérieur décale verticalement."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee",
        "produit",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Dériver $x\\sin x$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\sin x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sin x + x\\cos x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la formule du produit donne $1 \\times \\sin x +\nx \\times \\cos x$."
        },
        {
          "text": "$\\cos x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteurs dérivés séparément : la dérivée d'un produit n'est pas le\nproduit des dérivées."
        },
        {
          "text": "$x\\cos x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Premier terme oublié : la dérivée de $x$ multiplie aussi $\\sin x$."
        },
        {
          "text": "$\\sin x - x\\cos x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe faux : c'est la dérivée du cosinus qui introduit un signe moins,\npas celle du sinus."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $(uv)' = u'v + uv'$ s'applique ici avec $u(x) = x$ et\n$v(x) = \\sin x$. Le résultat combine les deux fonctions\ntrigonométriques."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "trigonometrie",
        "encadrement"
      ],
      "title": "Encadrer une expression trigonométrique",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Entre quelles valeurs l'expression $2 + 3\\sin x$ est-elle comprise ?",
      "options": [
        {
          "text": "Entre $-1$ et $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le sinus varie entre $-1$ et $1$, donc $3\\sin x$ entre\n$-3$ et $3$."
        },
        {
          "text": "Entre $-3$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : il décale l'encadrement de deux unités vers le\nhaut."
        },
        {
          "text": "Entre $2$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne inférieure fausse : le sinus prend aussi des valeurs négatives."
        },
        {
          "text": "Entre $-1$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Encadrement du sinus seul : il reste à le multiplier par $3$ puis à\najouter $2$."
        }
      ],
      "explanation": "On part de l'encadrement du sinus, puis on applique les opérations dans\nl'ordre : multiplication par un nombre positif, qui conserve le sens, puis\naddition."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "trigonometrie",
        "equation"
      ],
      "title": "Combien de solutions sur un grand intervalle",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Combien l'équation $\\cos x = \\dfrac{1}{2}$ a-t-elle de solutions dans\n$[0\\,;\\,4\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quatre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux solutions par période, et l'intervalle en contient\ndeux."
        },
        {
          "text": "Deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule période prise en compte : l'intervalle est deux fois plus\nlong."
        },
        {
          "text": "Huit",
          "correct": false,
          "feedback": "Comptage doublé : chaque période fournit deux solutions, pas quatre."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "L'infinité vaut sur $\\mathbb{R}$ entier ; ici l'intervalle est borné."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $\\cos x = a$, pour $a$ strictement compris entre $-1$ et $1$,\nadmet deux solutions par période. Le nombre total se déduit du nombre de\npériodes contenues dans l'intervalle."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs-remarquables",
        "parite"
      ],
      "title": "Cosinus d'un angle négatif",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le cosinus est une fonction paire, donc\n$\\cos\\!\\left(-\\dfrac{\\pi}{4}\\right) = \\cos\\!\\left(\\dfrac{\\pi}{4}\\right)\n= \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins a été reporté sur le résultat : c'est le sinus qui\nchange de signe avec l'angle, pas le cosinus."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur associée à l'angle $\\dfrac{\\pi}{6}$ : à\n$\\dfrac{\\pi}{4}$ correspond $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur associée à l'angle $\\dfrac{\\pi}{3}$ : le quart de tour se\npartage différemment sur le cercle."
        }
      ],
      "explanation": "Le cosinus est pair ($\\cos(-x) = \\cos(x)$) : les points associés à $x$\net à $-x$ sur le cercle ont la même abscisse. On se ramène donc à la\nvaleur remarquable en $\\dfrac{\\pi}{4}$."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "derivee",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Dérivée d'un multiple du sinus",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 5\\sin(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5\\cos(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et\nla dérivée du sinus est le cosinus."
        },
        {
          "text": "$-5\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un\nsigne moins, pas celle du sinus."
        },
        {
          "text": "$5\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à\nsa propre dérivée."
        },
        {
          "text": "$\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $5$ a disparu : il multiplie toute la fonction,\ndonc aussi sa dérivée."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un réel $k$, $(k\\,u)' = k\\,u'$. Avec $u = \\sin$, dont la dérivée\nest $\\cos$, la dérivée cherchée garde le même coefficient.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 5\\sin(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\cos(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et\nla dérivée du sinus est le cosinus."
            },
            {
              "text": "$-5\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un\nsigne moins, pas celle du sinus."
            },
            {
              "text": "$5\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à\nsa propre dérivée."
            },
            {
              "text": "$\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $5$ a disparu : il multiplie toute la fonction,\ndonc aussi sa dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un réel $k$, $(k\\,u)' = k\\,u'$. Avec $u = \\sin$, dont la dérivée\nest $\\cos$, la dérivée cherchée garde le même coefficient."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = -3\\sin(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-3\\cos(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et\nla dérivée du sinus est le cosinus."
            },
            {
              "text": "$3\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un\nsigne moins, pas celle du sinus."
            },
            {
              "text": "$-3\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à\nsa propre dérivée."
            },
            {
              "text": "$\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $-3$ a disparu : il multiplie toute la fonction,\ndonc aussi sa dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un réel $k$, $(k\\,u)' = k\\,u'$. Avec $u = \\sin$, dont la dérivée\nest $\\cos$, la dérivée cherchée garde le même coefficient."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 7\\sin(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7\\cos(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et\nla dérivée du sinus est le cosinus."
            },
            {
              "text": "$-7\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un\nsigne moins, pas celle du sinus."
            },
            {
              "text": "$7\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à\nsa propre dérivée."
            },
            {
              "text": "$\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $7$ a disparu : il multiplie toute la fonction,\ndonc aussi sa dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un réel $k$, $(k\\,u)' = k\\,u'$. Avec $u = \\sin$, dont la dérivée\nest $\\cos$, la dérivée cherchée garde le même coefficient."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 6\\sin(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6\\cos(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un coefficient constant se conserve en dérivant, et\nla dérivée du sinus est le cosinus."
            },
            {
              "text": "$-6\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est la dérivée du cosinus qui fait apparaître un\nsigne moins, pas celle du sinus."
            },
            {
              "text": "$6\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "La fonction n'a pas été dérivée : seule l'exponentielle est égale à\nsa propre dérivée."
            },
            {
              "text": "$\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $6$ a disparu : il multiplie toute la fonction,\ndonc aussi sa dérivée."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un réel $k$, $(k\\,u)' = k\\,u'$. Avec $u = \\sin$, dont la dérivée\nest $\\cos$, la dérivée cherchée garde le même coefficient."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "periodicite",
        "valeurs-remarquables"
      ],
      "title": "Cosinus d'un multiple de $\\pi$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\cos(2\\pi)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque multiple de $\\pi$ correspond à un demi-tour\nsur le cercle. Après $2$ demi-tours, on arrive au point d'abscisse\n$1$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il manque, ou il y a en trop, un demi-tour : après $2$ demi-tours,\nl'abscisse du point vaut $1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur du sinus en ces angles : le point est sur l'axe des\nabscisses, donc son ordonnée est nulle."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $2$ compte les demi-tours ; un cosinus reste toujours\ncompris entre $-1$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Le cosinus est $2\\pi$-périodique : on ramène l'angle dans un tour\ncomplet. Les multiples pairs de $\\pi$ donnent $1$, les multiples impairs\ndonnent $-1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\cos(2\\pi)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque multiple de $\\pi$ correspond à un demi-tour\nsur le cercle. Après $2$ demi-tours, on arrive au point d'abscisse\n$1$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque, ou il y a en trop, un demi-tour : après $2$ demi-tours,\nl'abscisse du point vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur du sinus en ces angles : le point est sur l'axe des\nabscisses, donc son ordonnée est nulle."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $2$ compte les demi-tours ; un cosinus reste toujours\ncompris entre $-1$ et $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cosinus est $2\\pi$-périodique : on ramène l'angle dans un tour\ncomplet. Les multiples pairs de $\\pi$ donnent $1$, les multiples impairs\ndonnent $-1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\cos(3\\pi)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque multiple de $\\pi$ correspond à un demi-tour\nsur le cercle. Après $3$ demi-tours, on arrive au point d'abscisse\n$-1$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque, ou il y a en trop, un demi-tour : après $3$ demi-tours,\nl'abscisse du point vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur du sinus en ces angles : le point est sur l'axe des\nabscisses, donc son ordonnée est nulle."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $3$ compte les demi-tours ; un cosinus reste toujours\ncompris entre $-1$ et $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cosinus est $2\\pi$-périodique : on ramène l'angle dans un tour\ncomplet. Les multiples pairs de $\\pi$ donnent $1$, les multiples impairs\ndonnent $-1$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\cos(4\\pi)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque multiple de $\\pi$ correspond à un demi-tour\nsur le cercle. Après $4$ demi-tours, on arrive au point d'abscisse\n$1$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il manque, ou il y a en trop, un demi-tour : après $4$ demi-tours,\nl'abscisse du point vaut $1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur du sinus en ces angles : le point est sur l'axe des\nabscisses, donc son ordonnée est nulle."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $4$ compte les demi-tours ; un cosinus reste toujours\ncompris entre $-1$ et $1$."
            }
          ],
          "explanation": "Le cosinus est $2\\pi$-périodique : on ramène l'angle dans un tour\ncomplet. Les multiples pairs de $\\pi$ donnent $1$, les multiples impairs\ndonnent $-1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "identite-fondamentale"
      ],
      "title": "L'identité fondamentale",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\cos^{2}(x) + \\sin^{2}(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le point associé à $x$ est sur le cercle de rayon\n$1$, donc la somme des carrés de ses coordonnées vaut $1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une somme de deux carrés ne peut pas être nulle ici : les deux\ncoordonnées ne s'annulent jamais ensemble."
        },
        {
          "text": "$\\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec une autre formule : la somme des carrés est une\nconstante, elle ne dépend pas de $x$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend de la valeur de $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Justement pas : c'est une identité, vraie pour tout réel $x$, et\nelle vaut toujours $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Le point de coordonnées $(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ appartient au cercle\ntrigonométrique, de rayon $1$ et de centre l'origine. Le théorème de\nPythagore donne $\\cos^{2}(x) + \\sin^{2}(x) = 1$."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "inequation",
        "courbe"
      ],
      "title": "Où le sinus est-il positif",
      "partie": "equations",
      "statement": "Sur l'intervalle $[0\\,;\\,2\\pi]$, pour quelles valeurs de $x$ a-t-on\n$\\sin(x) > 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]0\\,;\\,\\pi[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le sinus est l'ordonnée du point du cercle ; elle\nest strictement positive sur le demi-tour supérieur, donc entre $0$\net $\\pi$."
        },
        {
          "text": "$]\\pi\\,;\\,2\\pi[$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le demi-tour inférieur du cercle : les ordonnées y sont\nnégatives, donc le sinus aussi."
        },
        {
          "text": "$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Intervalle trop court : le sinus décroît après $\\dfrac{\\pi}{2}$,\nmais il reste positif jusqu'à $\\pi$."
        },
        {
          "text": "Sur tout l'intervalle, sauf en $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sinus change bien de signe : il devient négatif dès que l'angle\ndépasse $\\pi$."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe du sinus se lit sur le cercle : positif au-dessus de l'axe des\nabscisses, négatif en dessous. Il s'annule en $0$, en $\\pi$ et en\n$2\\pi$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "valeurs-remarquables",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Valeur en dehors du premier quadrant",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on place l'angle $\\dfrac{2\\pi}{3}$ sur le cercle, puis on lit la\ncoordonnée qui correspond à $\\cos$ : elle vaut $-\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : l'angle $\\dfrac{2\\pi}{3}$ dépasse $\\dfrac{\\pi}{2}$, ce qui\nimpose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la valeur de $\\sin\\!\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$, l'autre coordonnée du\npoint : la question porte sur $\\cos$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de $\\sin$, et son\nsigne est en plus inversé. La réponse attendue est $-\\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par\nsymétrie : $\\pi - \\theta$ conserve le sinus et change le cosinus en son\nopposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on place l'angle $\\dfrac{2\\pi}{3}$ sur le cercle, puis on lit la\ncoordonnée qui correspond à $\\cos$ : elle vaut $-\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'angle $\\dfrac{2\\pi}{3}$ dépasse $\\dfrac{\\pi}{2}$, ce qui\nimpose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $\\sin\\!\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$, l'autre coordonnée du\npoint : la question porte sur $\\cos$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de $\\sin$, et son\nsigne est en plus inversé. La réponse attendue est $-\\dfrac{1}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par\nsymétrie : $\\pi - \\theta$ conserve le sinus et change le cosinus en son\nopposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sin\\!\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on place l'angle $\\dfrac{2\\pi}{3}$ sur le cercle, puis on lit la\ncoordonnée qui correspond à $\\sin$ : elle vaut $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'angle $\\dfrac{2\\pi}{3}$ dépasse $\\dfrac{\\pi}{2}$, ce qui\nimpose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $\\cos\\!\\left(\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)$, l'autre coordonnée du\npoint : la question porte sur $\\sin$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de $\\cos$, et son\nsigne est en plus inversé. La réponse attendue est $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par\nsymétrie : $\\pi - \\theta$ conserve le sinus et change le cosinus en son\nopposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\cos\\!\\left(\\dfrac{5\\pi}{6}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on place l'angle $\\dfrac{5\\pi}{6}$ sur le cercle, puis on lit la\ncoordonnée qui correspond à $\\cos$ : elle vaut $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'angle $\\dfrac{5\\pi}{6}$ dépasse $\\dfrac{\\pi}{2}$, ce qui\nimpose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $\\sin\\!\\left(\\dfrac{5\\pi}{6}\\right)$, l'autre coordonnée du\npoint : la question porte sur $\\cos$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de $\\sin$, et son\nsigne est en plus inversé. La réponse attendue est $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par\nsymétrie : $\\pi - \\theta$ conserve le sinus et change le cosinus en son\nopposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\sin\\!\\left(\\dfrac{5\\pi}{6}\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on place l'angle $\\dfrac{5\\pi}{6}$ sur le cercle, puis on lit la\ncoordonnée qui correspond à $\\sin$ : elle vaut $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : l'angle $\\dfrac{5\\pi}{6}$ dépasse $\\dfrac{\\pi}{2}$, ce qui\nimpose de regarder de quel côté de l'axe se trouve le point."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la valeur de $\\cos\\!\\left(\\dfrac{5\\pi}{6}\\right)$, l'autre coordonnée du\npoint : la question porte sur $\\sin$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : la coordonnée lue est celle de $\\cos$, et son\nsigne est en plus inversé. La réponse attendue est $\\dfrac{1}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Au-delà du premier quadrant, on se ramène à un angle remarquable par\nsymétrie : $\\pi - \\theta$ conserve le sinus et change le cosinus en son\nopposé. Un schéma du cercle évite toute erreur de signe."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee",
        "taux"
      ],
      "title": "Nombre dérivé en zéro",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 2\\sin(3x)$. Que vaut $f'(0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2 \\times 3\\cos(3x)$, et\n$\\cos(0) = 1$, donc $f'(0) = 6$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $2$ placé devant le sinus a été oublié : il\nmultiplie aussi la dérivée."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur venu de la composition manque : dériver $\\sin(3x)$ fait\nsortir le coefficient $3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $f(0)$ qui est nul, pas $f'(0)$ : la courbe passe par\nl'origine avec une pente non nulle."
        }
      ],
      "explanation": "La dérivée de $\\sin(ax)$ est $a\\cos(ax)$. En $0$, le cosinus vaut $1$ :\nle nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire\nla pente de la courbe à l'origine.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 2\\sin(3x)$. Que vaut $f'(0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2 \\times 3\\cos(3x)$, et\n$\\cos(0) = 1$, donc $f'(0) = 6$."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ placé devant le sinus a été oublié : il\nmultiplie aussi la dérivée."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur venu de la composition manque : dériver $\\sin(3x)$ fait\nsortir le coefficient $3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(0)$ qui est nul, pas $f'(0)$ : la courbe passe par\nl'origine avec une pente non nulle."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin(ax)$ est $a\\cos(ax)$. En $0$, le cosinus vaut $1$ :\nle nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire\nla pente de la courbe à l'origine."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 3\\sin(4x)$. Que vaut $f'(0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 3 \\times 4\\cos(4x)$, et\n$\\cos(0) = 1$, donc $f'(0) = 12$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ placé devant le sinus a été oublié : il\nmultiplie aussi la dérivée."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur venu de la composition manque : dériver $\\sin(4x)$ fait\nsortir le coefficient $4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(0)$ qui est nul, pas $f'(0)$ : la courbe passe par\nl'origine avec une pente non nulle."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin(ax)$ est $a\\cos(ax)$. En $0$, le cosinus vaut $1$ :\nle nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire\nla pente de la courbe à l'origine."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 2\\sin(5x)$. Que vaut $f'(0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2 \\times 5\\cos(5x)$, et\n$\\cos(0) = 1$, donc $f'(0) = 10$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ placé devant le sinus a été oublié : il\nmultiplie aussi la dérivée."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur venu de la composition manque : dériver $\\sin(5x)$ fait\nsortir le coefficient $5$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(0)$ qui est nul, pas $f'(0)$ : la courbe passe par\nl'origine avec une pente non nulle."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin(ax)$ est $a\\cos(ax)$. En $0$, le cosinus vaut $1$ :\nle nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire\nla pente de la courbe à l'origine."
        },
        {
          "statement": "Soit $f$ la fonction définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = 2\\sin(4x)$. Que vaut $f'(0)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2 \\times 4\\cos(4x)$, et\n$\\cos(0) = 1$, donc $f'(0) = 8$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ placé devant le sinus a été oublié : il\nmultiplie aussi la dérivée."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur venu de la composition manque : dériver $\\sin(4x)$ fait\nsortir le coefficient $4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est $f(0)$ qui est nul, pas $f'(0)$ : la courbe passe par\nl'origine avec une pente non nulle."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée de $\\sin(ax)$ est $a\\cos(ax)$. En $0$, le cosinus vaut $1$ :\nle nombre dérivé est donc le produit des deux coefficients, c'est-à-dire\nla pente de la courbe à l'origine."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identite-fondamentale",
        "valeurs"
      ],
      "title": "Retrouver un cosinus négatif",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "On sait que $\\sin(x) = \\dfrac{3}{5}$, avec\n$x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$. Que vaut $\\cos(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'identité donne $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$,\net l'intervalle impose un cosinus négatif, donc $-\\dfrac{4}{5}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur\n$\\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$, le cosinus est négatif."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne\nsont pas liées par un simple changement de signe."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule\npas le cosinus en retranchant le sinus à $1$."
        }
      ],
      "explanation": "On isole $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$, on prend la racine carrée,\npuis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième\nquadrant, le cosinus est négatif.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\sin(x) = \\dfrac{3}{5}$, avec\n$x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$. Que vaut $\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'identité donne $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$,\net l'intervalle impose un cosinus négatif, donc $-\\dfrac{4}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur\n$\\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$, le cosinus est négatif."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne\nsont pas liées par un simple changement de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule\npas le cosinus en retranchant le sinus à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$, on prend la racine carrée,\npuis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième\nquadrant, le cosinus est négatif."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\sin(x) = \\dfrac{5}{13}$, avec\n$x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$. Que vaut $\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{12}{13}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'identité donne $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$,\net l'intervalle impose un cosinus négatif, donc $-\\dfrac{12}{13}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{12}{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur\n$\\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$, le cosinus est négatif."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{5}{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne\nsont pas liées par un simple changement de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{13}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule\npas le cosinus en retranchant le sinus à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$, on prend la racine carrée,\npuis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième\nquadrant, le cosinus est négatif."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\sin(x) = \\dfrac{8}{17}$, avec\n$x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$. Que vaut $\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{15}{17}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'identité donne $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$,\net l'intervalle impose un cosinus négatif, donc $-\\dfrac{15}{17}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{15}{17}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur\n$\\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$, le cosinus est négatif."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{8}{17}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne\nsont pas liées par un simple changement de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{17}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule\npas le cosinus en retranchant le sinus à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$, on prend la racine carrée,\npuis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième\nquadrant, le cosinus est négatif."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\sin(x) = \\dfrac{7}{25}$, avec\n$x \\in \\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$. Que vaut $\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{24}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'identité donne $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$,\net l'intervalle impose un cosinus négatif, donc $-\\dfrac{24}{25}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{24}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La valeur absolue est juste, mais le signe est faux : sur\n$\\left[\\dfrac{\\pi}{2}\\,;\\,\\pi\\right]$, le cosinus est négatif."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{7}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'opposé du sinus donné : les deux coordonnées du point ne\nsont pas liées par un simple changement de signe."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{18}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les carrés qui s'ajoutent, pas les valeurs : on ne calcule\npas le cosinus en retranchant le sinus à $1$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole $\\cos^{2}(x) = 1 - \\sin^{2}(x)$, on prend la racine carrée,\npuis on choisit le signe grâce à l'intervalle : dans le deuxième\nquadrant, le cosinus est négatif."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "amplitude",
        "variations"
      ],
      "title": "Maximum d'un multiple du cosinus",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = -5\\cos(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de $f$\nest atteint quand $\\cos(x)$ vaut $-1$, et il vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le minimum de $f$ : il correspond à $\\cos(x) = 1$, puisque le\ncoefficient est négatif."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par $-5$,\nce qui échange le maximum et le minimum."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de $f$, elles,\ns'étalent entre $-5$ et $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de\n$-1 \\leq \\cos(x) \\leq 1$ on tire un encadrement de $f$ dont les bornes\nsont échangées.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = -5\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de $f$\nest atteint quand $\\cos(x)$ vaut $-1$, et il vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum de $f$ : il correspond à $\\cos(x) = 1$, puisque le\ncoefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par $-5$,\nce qui échange le maximum et le minimum."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de $f$, elles,\ns'étalent entre $-5$ et $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de\n$-1 \\leq \\cos(x) \\leq 1$ on tire un encadrement de $f$ dont les bornes\nsont échangées."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = -4\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de $f$\nest atteint quand $\\cos(x)$ vaut $-1$, et il vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum de $f$ : il correspond à $\\cos(x) = 1$, puisque le\ncoefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par $-4$,\nce qui échange le maximum et le minimum."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de $f$, elles,\ns'étalent entre $-4$ et $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de\n$-1 \\leq \\cos(x) \\leq 1$ on tire un encadrement de $f$ dont les bornes\nsont échangées."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = -3\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de $f$\nest atteint quand $\\cos(x)$ vaut $-1$, et il vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum de $f$ : il correspond à $\\cos(x) = 1$, puisque le\ncoefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par $-3$,\nce qui échange le maximum et le minimum."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de $f$, elles,\ns'étalent entre $-3$ et $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de\n$-1 \\leq \\cos(x) \\leq 1$ on tire un encadrement de $f$ dont les bornes\nsont échangées."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = -6\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le coefficient est négatif, donc le maximum de $f$\nest atteint quand $\\cos(x)$ vaut $-1$, et il vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum de $f$ : il correspond à $\\cos(x) = 1$, puisque le\ncoefficient est négatif."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le maximum du cosinus seul : il reste à multiplier par $-6$,\nce qui échange le maximum et le minimum."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le minimum du cosinus seul : les valeurs de $f$, elles,\ns'étalent entre $-6$ et $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre négatif renverse l'encadrement : de\n$-1 \\leq \\cos(x) \\leq 1$ on tire un encadrement de $f$ dont les bornes\nsont échangées."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-trigonometrique",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Une solution unique sur un demi-tour",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est l'unique solution de l'équation $\\cos(x) = -\\dfrac{1}{2}$ sur\nl'intervalle $[0\\,;\\,\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le cosinus décroît de $1$ à $-1$,\ndonc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en $\\dfrac{2\\pi}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe a été négligé : le cosinus de $\\dfrac{\\pi}{3}$ est l'opposé\nde la valeur cherchée."
        },
        {
          "text": "$x = -\\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il\nn'appartient pas à l'intervalle demandé."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{4\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse $\\pi$ et\nsort donc de l'intervalle."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, la fonction cosinus est strictement décroissante :\nl'équation $\\cos(x) = a$, avec $-1 \\leq a \\leq 1$, y admet exactement\nune solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est l'unique solution de l'équation $\\cos(x) = -\\dfrac{1}{2}$ sur\nl'intervalle $[0\\,;\\,\\pi]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le cosinus décroît de $1$ à $-1$,\ndonc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en $\\dfrac{2\\pi}{3}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été négligé : le cosinus de $\\dfrac{\\pi}{3}$ est l'opposé\nde la valeur cherchée."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{2\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il\nn'appartient pas à l'intervalle demandé."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{4\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse $\\pi$ et\nsort donc de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, la fonction cosinus est strictement décroissante :\nl'équation $\\cos(x) = a$, avec $-1 \\leq a \\leq 1$, y admet exactement\nune solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'unique solution de l'équation $\\cos(x) = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ sur\nl'intervalle $[0\\,;\\,\\pi]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le cosinus décroît de $1$ à $-1$,\ndonc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en $\\dfrac{\\pi}{4}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été négligé : le cosinus de $\\dfrac{3\\pi}{4}$ est l'opposé\nde la valeur cherchée."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il\nn'appartient pas à l'intervalle demandé."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse $\\pi$ et\nsort donc de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, la fonction cosinus est strictement décroissante :\nl'équation $\\cos(x) = a$, avec $-1 \\leq a \\leq 1$, y admet exactement\nune solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'unique solution de l'équation $\\cos(x) = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ sur\nl'intervalle $[0\\,;\\,\\pi]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le cosinus décroît de $1$ à $-1$,\ndonc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en $\\dfrac{5\\pi}{6}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été négligé : le cosinus de $\\dfrac{\\pi}{6}$ est l'opposé\nde la valeur cherchée."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{5\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il\nn'appartient pas à l'intervalle demandé."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse $\\pi$ et\nsort donc de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, la fonction cosinus est strictement décroissante :\nl'équation $\\cos(x) = a$, avec $-1 \\leq a \\leq 1$, y admet exactement\nune solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie."
        },
        {
          "statement": "Quelle est l'unique solution de l'équation $\\cos(x) = \\dfrac{1}{2}$ sur\nl'intervalle $[0\\,;\\,\\pi]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,\\pi]$, le cosinus décroît de $1$ à $-1$,\ndonc chaque valeur est atteinte une seule fois, ici en $\\dfrac{\\pi}{3}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été négligé : le cosinus de $\\dfrac{2\\pi}{3}$ est l'opposé\nde la valeur cherchée."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le cosinus est bien le bon, mais cet angle est négatif : il\nn'appartient pas à l'intervalle demandé."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'autre solution sur un tour complet : elle dépasse $\\pi$ et\nsort donc de l'intervalle."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $[0\\,;\\,\\pi]$, la fonction cosinus est strictement décroissante :\nl'équation $\\cos(x) = a$, avec $-1 \\leq a \\leq 1$, y admet exactement\nune solution. Les autres solutions s'obtiennent ensuite par symétrie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "amplitude"
      ],
      "title": "Identifier une courbe d'amplitude $2$",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}$ ci-dessous est tracée sur $[-\\pi\\,;\\,\\pi]$.\nParmi les quatre fonctions proposées, laquelle a pour courbe\nreprésentative $\\mathcal{C}$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=0.95,yscale=0.62]\n  \\draw[->] (-3.6,0) -- (3.6,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-2.6) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\y in {-2,-1,1,2} {\n    \\draw (0.06,\\y) -- (-0.06,\\y);\n    \\node[left,font=\\small] at (-0.06,\\y) {$\\y$};\n  }\n  \\foreach \\x/\\l in {-3.1416/{-\\pi}, -1.5708/{-\\frac{\\pi}{2}}, 1.5708/{\\frac{\\pi}{2}}, 3.1416/{\\pi}} {\n    \\draw (\\x,0.09) -- (\\x,-0.09);\n    \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.12) {$\\l$};\n  }\n  \\draw[dashed,gray] (-3.4,2) -- (3.4,2);\n  \\draw[dashed,gray] (-3.4,-2) -- (3.4,-2);\n  \\draw[domain=-3.1416:3.1416,smooth,samples=90,thick,blue] plot (\\x,{2*cos(\\x r)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (0.75,2.35) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère avec une courbe tracée sur [-pi ; pi] : elle atteint son\nmaximum 2 en 0, s'annule en -pi/2 et en pi/2, et atteint son\nminimum -2 aux deux extrémités -pi et pi. Courbe symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"210.608pt\" height=\"113.912pt\" viewBox=\"0 0 210.608 113.912\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.046875 -2.046875 C 6.203125 -2.046875 6.375 -2.046875 6.375 -2.25 C 6.375 -2.4375 6.203125 -2.4375 6.046875 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.046875 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.578125 -1.40625 C 4.578125 -1.453125 4.5625 -1.484375 4.5 -1.484375 C 4.40625 -1.484375 4.03125 -1.359375 3.828125 -1.0625 C 3.59375 -0.75 3.234375 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.25 C 0.90625 -2.859375 1.09375 -4.03125 1.890625 -5.015625 C 2.296875 -5.53125 2.8125 -5.8125 3.53125 -5.8125 C 3.96875 -5.8125 4.125 -5.65625 4.125 -5.34375 C 4.125 -5.015625 3.75 -4.328125 3.703125 -4.25 C 3.625 -4.125 3.625 -4.109375 3.625 -4.09375 C 3.625 -4.03125 3.6875 -4.03125 3.71875 -4.03125 C 3.875 -4.03125 4.234375 -4.21875 4.375 -4.40625 C 4.40625 -4.46875 4.890625 -5.296875 4.890625 -5.734375 C 4.890625 -6.140625 4.640625 -6.3125 4.15625 -6.3125 C 3.078125 -6.3125 2 -5.734375 1.3125 -4.953125 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.859375 C 0.125 -0.5 0.875 0.21875 1.875 0.21875 C 3.359375 0.21875 4.578125 -1.203125 4.578125 -1.40625 Z M 4.578125 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 4.140625 -1.578125 L 3.890625 -1.578125 C 3.875 -1.46875 3.796875 -0.9375 3.6875 -0.796875 C 3.625 -0.71875 3.015625 -0.71875 2.828125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.125 -1.5625 C 3.59375 -2.828125 4.140625 -3.296875 4.140625 -4.21875 C 4.140625 -5.25 3.28125 -5.96875 2.1875 -5.96875 C 1.15625 -5.96875 0.453125 -5.140625 0.453125 -4.328125 C 0.453125 -3.890625 0.84375 -3.84375 0.921875 -3.84375 C 1.125 -3.84375 1.390625 -3.984375 1.390625 -4.3125 C 1.390625 -4.578125 1.203125 -4.765625 0.921875 -4.765625 C 0.875 -4.765625 0.84375 -4.765625 0.8125 -4.765625 C 1.03125 -5.40625 1.609375 -5.6875 2.09375 -5.6875 C 3 -5.6875 3.3125 -4.828125 3.3125 -4.21875 C 3.3125 -3.296875 2.625 -2.5625 2.1875 -2.09375 L 0.5625 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.890625 0 Z M 4.140625 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.71875 -5.96875 2.484375 -5.96875 C 1.9375 -5.390625 1.109375 -5.390625 0.828125 -5.390625 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.34375 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.875 0 L 3.875 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.4375 -3.296875 L 3.46875 -3.296875 C 3.328125 -2.734375 3.09375 -1.8125 3.09375 -1.0625 C 3.09375 -1 3.09375 -0.671875 3.171875 -0.34375 C 3.265625 -0.015625 3.34375 0.09375 3.53125 0.09375 C 3.71875 0.09375 3.90625 -0.0625 3.90625 -0.265625 C 3.90625 -0.328125 3.90625 -0.359375 3.84375 -0.46875 C 3.578125 -1.09375 3.578125 -1.765625 3.578125 -1.96875 C 3.578125 -2.1875 3.578125 -2.59375 3.71875 -3.296875 L 4.765625 -3.296875 C 4.890625 -3.296875 5.21875 -3.296875 5.21875 -3.625 C 5.21875 -3.859375 5.015625 -3.859375 4.859375 -3.859375 L 1.75 -3.859375 C 1.546875 -3.859375 1.234375 -3.859375 0.8125 -3.4375 C 0.5625 -3.203125 0.234375 -2.703125 0.234375 -2.625 C 0.234375 -2.53125 0.34375 -2.53125 0.359375 -2.53125 C 0.4375 -2.53125 0.453125 -2.546875 0.515625 -2.640625 C 0.953125 -3.296875 1.5 -3.296875 1.671875 -3.296875 L 2.1875 -3.296875 C 1.796875 -1.953125 1.1875 -0.6875 1.125 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fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"8.138851\" y=\"76.886903\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"15.293534\" y=\"76.886903\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -42.29994 1.581451 L -42.29994 -1.580674 \" transform=\"matrix(0.998142, 0, 0, -0.998142, 98.951823, 65.965231)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"49.685521\" y=\"77.819168\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"58.032984\" y=\"74.151993\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.379\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00173772 -0.000699469 L 4.557514 -0.000699469 \" 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-35.177333 9.185421 C -34.652921 9.85072 -33.803687 10.90737 -33.279275 11.557015 C -32.75095 12.206659 -31.905629 13.235915 -31.377304 13.869905 C -30.848979 14.499982 -30.003658 15.501843 -29.475333 16.112353 C -28.947008 16.722862 -28.101687 17.689501 -27.573362 18.27653 C -27.04895 18.863558 -26.20363 19.787149 -25.675305 20.346782 C -25.146979 20.906415 -24.301659 21.786958 -23.773333 22.319196 C -23.245008 22.851435 -22.399688 23.677188 -21.871362 24.178119 C -21.346951 24.675136 -20.497717 25.453926 -19.973305 25.915722 C -19.44498 26.381431 -18.599659 27.097605 -18.071334 27.528092 C -17.543009 27.954666 -16.697688 28.612138 -16.169363 28.999576 C -15.641038 29.387015 -14.795717 29.98187 -14.267392 30.32626 C -13.74298 30.674563 -12.89766 31.198975 -12.369334 31.504229 C -11.841009 31.809484 -10.995689 32.267366 -10.467363 32.525658 C -9.939038 32.787864 -9.093718 33.171389 -8.565392 33.382719 C -8.040981 33.597963 -7.191747 33.907131 -6.667335 34.075412 C -6.13901 34.247607 -5.293689 34.478505 -4.765364 34.599824 C -4.237039 34.721143 -3.391718 34.877684 -2.863393 34.952041 C -2.335068 35.022484 -1.489747 35.100755 -0.961422 35.124236 C -0.43701 35.15163 0.40831 35.15163 0.936636 35.128149 C 1.464961 35.104668 2.310281 35.026398 2.838607 34.952041 C 3.366932 34.881598 4.212252 34.725057 4.740578 34.607651 C 5.264989 34.486332 6.114223 34.255434 6.638635 34.087153 C 7.166961 33.918871 8.012281 33.609703 8.540606 33.39446 C 9.068932 33.18313 9.914252 32.799605 10.442577 32.537399 C 10.970903 32.279106 11.816223 31.825138 12.344548 31.519883 C 12.86896 31.214629 13.718194 30.69413 14.242606 30.345827 C 14.770931 29.997524 15.616252 29.406582 16.144577 29.019144 C 16.672902 28.631705 17.518223 27.974234 18.046548 27.54766 C 18.574873 27.121086 19.420194 26.404912 19.944605 25.939203 C 20.472931 25.473494 21.318251 24.70253 21.846576 24.2016 C 22.374902 23.704583 23.220222 22.874916 23.748547 22.342677 C 24.276873 21.814352 25.122193 20.93381 25.650518 20.374177 C 26.17493 19.814543 27.024164 18.890952 27.548576 18.303924 C 28.076901 17.716896 28.922222 16.75417 29.450547 16.143661 C 29.978872 15.529238 30.824193 14.53129 31.352518 13.901214 C 31.880843 13.267223 32.726164 12.237967 33.250575 11.588323 C 33.778901 10.938678 34.624221 9.882028 35.152546 9.220643 C 35.680872 8.555344 36.526192 7.479126 37.054517 6.802087 C 37.582843 6.128962 38.428163 5.037089 38.956488 4.356137 C 39.4809 3.671271 40.330134 2.571571 40.854546 1.882792 C 41.382871 1.197926 42.228192 0.0903993 42.756517 -0.594467 C 43.284842 -1.283246 44.130163 -2.386859 44.658488 -3.071725 C 45.186813 -3.756592 46.032134 -4.856291 46.560459 -5.53333 C 47.084871 -6.214282 47.930191 -7.298328 48.458517 -7.96754 C 48.986842 -8.636752 49.832162 -9.705143 50.360488 -10.362614 C 50.888813 -11.020086 51.734133 -12.064996 52.262459 -12.706813 C 52.78687 -13.348631 53.636104 -14.362232 54.160516 -14.984482 C 54.688841 -15.606732 55.534162 -16.589026 56.062487 -17.191708 C 56.590812 -17.790476 57.436133 -18.733635 57.964458 -19.308922 C 58.492783 -19.88421 59.338104 -20.788233 59.866429 -21.332213 C 60.390841 -21.880105 61.236161 -22.733253 61.764487 -23.249838 C 62.292812 -23.766422 63.138132 -24.568694 63.666458 -25.050057 C 64.194783 -25.535334 65.040103 -26.278903 65.568429 -26.728958 C 66.09284 -27.175099 66.942074 -27.863879 67.466486 -28.270885 C 67.994811 -28.681804 68.840132 -29.304054 69.368457 -29.671925 C 69.896782 -30.043709 70.742103 -30.603343 71.270428 -30.928165 C 71.798753 -31.256901 72.644074 -31.746091 73.172399 -32.027864 C 73.696811 -32.313551 74.542131 -32.732298 75.070457 -32.971023 C 75.598782 -33.209748 76.444102 -33.554137 76.972428 -33.7459 C 77.500753 -33.937662 78.346073 -34.211609 78.874399 -34.356409 C 79.398811 -34.501209 80.248044 -34.696885 80.772456 -34.794724 C 81.300782 -34.892562 82.146102 -35.009967 82.674427 -35.056929 C 83.202753 -35.107805 84.576398 -35.150854 84.576398 -35.150854 \" transform=\"matrix(0.998142, 0, 0, -0.998142, 98.951823, 65.965231)\"/>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"116.432287\" y=\"27.799269\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto 2\\cos(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe atteint $2$ en $0$ et $-2$ en $\\pi$, et\nelle effectue une seule oscillation : l'amplitude est doublée, pas\nla période."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce coefficient agirait sur la période, qui vaudrait $\\pi$ : la\ncourbe oscillerait deux fois sur l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto 2\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le sinus s'annule en $0$, alors que la courbe y atteint son\nmaximum : c'est bien un cosinus."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x) + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajouter $2$ déplacerait la courbe vers le haut, entre $1$ et $3$ :\nelle ne descendrait jamais sous l'axe."
        }
      ],
      "explanation": "Un coefficient placé devant la fonction étire la courbe verticalement et\nfixe l'amplitude ; un coefficient placé devant $x$ modifie la période ;\nun terme ajouté déplace la courbe verticalement."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intersection",
        "equation-trigonometrique"
      ],
      "title": "Croisements avec l'axe des abscisses",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "En combien de points la courbe de la fonction $x \\mapsto \\sin(2x)$\ncoupe-t-elle l'axe des abscisses sur l'intervalle $[0\\,;\\,2\\pi]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En cinq points",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(2x) = 0$ donne $2x = k\\pi$, soit\n$x = \\dfrac{k\\pi}{2}$ ; dans $[0\\,;\\,2\\pi]$, cela fait $0$,\n$\\dfrac{\\pi}{2}$, $\\pi$, $\\dfrac{3\\pi}{2}$ et $2\\pi$."
        },
        {
          "text": "En trois points",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le compte pour la fonction sinus elle-même : le coefficient\n$2$ divise la période par deux et double les croisements."
        },
        {
          "text": "En quatre points",
          "correct": false,
          "feedback": "Une extrémité de l'intervalle a été oubliée : l'intervalle est\nfermé, donc $0$ et $2\\pi$ comptent tous les deux."
        },
        {
          "text": "En deux points",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait le compte sur une seule période de la fonction\n$x \\mapsto \\sin(2x)$, qui vaut $\\pi$ : l'intervalle en contient\ndeux."
        }
      ],
      "explanation": "Les points d'intersection avec l'axe des abscisses sont les solutions de\n$f(x) = 0$. Pour $\\sin(2x)$, la période vaut $\\pi$ et les zéros sont\nespacés de $\\dfrac{\\pi}{2}$ : il faut penser à compter les bornes."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee-seconde",
        "derivee-composee"
      ],
      "title": "Dérivée seconde d'un cosinus composé",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-4\\cos(2x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = -2\\sin(2x)$, puis une seconde\ndérivation fait sortir un nouveau facteur $2$ et ramène le\ncosinus."
        },
        {
          "text": "$4\\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple\nsinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total."
        },
        {
          "text": "$-2\\cos(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,\ndonc deux fois, d'où le carré."
        },
        {
          "text": "$4\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :\ndeux dérivations ramènent au cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la\ncomposée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple\nsinus-cosinus revient au point de départ au signe près.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4\\cos(2x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = -2\\sin(2x)$, puis une seconde\ndérivation fait sortir un nouveau facteur $2$ et ramène le\ncosinus."
            },
            {
              "text": "$4\\cos(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple\nsinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total."
            },
            {
              "text": "$-2\\cos(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,\ndonc deux fois, d'où le carré."
            },
            {
              "text": "$4\\sin(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :\ndeux dérivations ramènent au cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la\ncomposée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple\nsinus-cosinus revient au point de départ au signe près."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\cos(3x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-9\\cos(3x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = -3\\sin(3x)$, puis une seconde\ndérivation fait sortir un nouveau facteur $3$ et ramène le\ncosinus."
            },
            {
              "text": "$9\\cos(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple\nsinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total."
            },
            {
              "text": "$-3\\cos(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,\ndonc deux fois, d'où le carré."
            },
            {
              "text": "$9\\sin(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :\ndeux dérivations ramènent au cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la\ncomposée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple\nsinus-cosinus revient au point de départ au signe près."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\cos(5x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-25\\cos(5x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = -5\\sin(5x)$, puis une seconde\ndérivation fait sortir un nouveau facteur $5$ et ramène le\ncosinus."
            },
            {
              "text": "$25\\cos(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple\nsinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total."
            },
            {
              "text": "$-5\\cos(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,\ndonc deux fois, d'où le carré."
            },
            {
              "text": "$25\\sin(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :\ndeux dérivations ramènent au cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la\ncomposée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple\nsinus-cosinus revient au point de départ au signe près."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée seconde de la fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R}$ par $f(x) = \\cos(4x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-16\\cos(4x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = -4\\sin(4x)$, puis une seconde\ndérivation fait sortir un nouveau facteur $4$ et ramène le\ncosinus."
            },
            {
              "text": "$16\\cos(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un signe moins a été perdu : chaque dérivation du couple\nsinus-cosinus en produit un, et il en reste un au total."
            },
            {
              "text": "$-4\\cos(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient ne sort qu'une fois : il sort à chaque dérivation,\ndonc deux fois, d'où le carré."
            },
            {
              "text": "$16\\sin(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une seule dérivation a été faite au regard de la fonction obtenue :\ndeux dérivations ramènent au cosinus."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive deux fois de suite, en appliquant chaque fois la règle de la\ncomposée : le coefficient intérieur sort à chaque étape, et le couple\nsinus-cosinus revient au point de départ au signe près."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "produit",
        "derivee"
      ],
      "title": "Dériver $x^n\\cos x$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = x^{3}\\cos(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3x^{2}\\cos(x) - x^{3}\\sin(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{3}$ et $v = \\cos(x)$, la formule\n$u'v + uv'$ donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée\ndu cosinus."
        },
        {
          "text": "$3x^{2}\\cos(x) + x^{3}\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\cos(x)$ est $-\\sin(x)$, ce qui change\nle signe du second terme."
        },
        {
          "text": "$-3x^{2}\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
        },
        {
          "text": "$3x^{2}\\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant\n$x^{3}$ en facteur."
        }
      ],
      "explanation": "La dérivée d'un produit s'écrit $(uv)' = u'v + uv'$. Le premier facteur\nse dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à\nla dérivée du cosinus.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = x^{3}\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3x^{2}\\cos(x) - x^{3}\\sin(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{3}$ et $v = \\cos(x)$, la formule\n$u'v + uv'$ donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée\ndu cosinus."
            },
            {
              "text": "$3x^{2}\\cos(x) + x^{3}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\cos(x)$ est $-\\sin(x)$, ce qui change\nle signe du second terme."
            },
            {
              "text": "$-3x^{2}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$3x^{2}\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant\n$x^{3}$ en facteur."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée d'un produit s'écrit $(uv)' = u'v + uv'$. Le premier facteur\nse dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à\nla dérivée du cosinus."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = x^{4}\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x^{3}\\cos(x) - x^{4}\\sin(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{4}$ et $v = \\cos(x)$, la formule\n$u'v + uv'$ donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée\ndu cosinus."
            },
            {
              "text": "$4x^{3}\\cos(x) + x^{4}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\cos(x)$ est $-\\sin(x)$, ce qui change\nle signe du second terme."
            },
            {
              "text": "$-4x^{3}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$4x^{3}\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant\n$x^{4}$ en facteur."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée d'un produit s'écrit $(uv)' = u'v + uv'$. Le premier facteur\nse dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à\nla dérivée du cosinus."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = x^{5}\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5x^{4}\\cos(x) - x^{5}\\sin(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{5}$ et $v = \\cos(x)$, la formule\n$u'v + uv'$ donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée\ndu cosinus."
            },
            {
              "text": "$5x^{4}\\cos(x) + x^{5}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\cos(x)$ est $-\\sin(x)$, ce qui change\nle signe du second terme."
            },
            {
              "text": "$-5x^{4}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$5x^{4}\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant\n$x^{5}$ en facteur."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée d'un produit s'écrit $(uv)' = u'v + uv'$. Le premier facteur\nse dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à\nla dérivée du cosinus."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\\mathbb{R}$ par\n$f(x) = x^{6}\\cos(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6x^{5}\\cos(x) - x^{6}\\sin(x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^{6}$ et $v = \\cos(x)$, la formule\n$u'v + uv'$ donne ce résultat, le signe moins venant de la dérivée\ndu cosinus."
            },
            {
              "text": "$6x^{5}\\cos(x) + x^{6}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : la dérivée de $\\cos(x)$ est $-\\sin(x)$, ce qui change\nle signe du second terme."
            },
            {
              "text": "$-6x^{5}\\sin(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux dérivées ont été multipliées entre elles : la dérivée d'un\nproduit n'est pas le produit des dérivées."
            },
            {
              "text": "$6x^{5}\\cos(x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme manque : il faut aussi dériver le cosinus en gardant\n$x^{6}$ en facteur."
            }
          ],
          "explanation": "La dérivée d'un produit s'écrit $(uv)' = u'v + uv'$. Le premier facteur\nse dérive comme une puissance, le second apporte le signe moins propre à\nla dérivée du cosinus."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite-remarquable",
        "taux"
      ],
      "title": "La limite de $\\frac{\\cos x - 1}{x}$",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{\\cos(x) - 1}{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce quotient est le taux d'accroissement du cosinus\nentre $0$ et $x$, sa limite est donc $\\cos'(0) = -\\sin(0) = 0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la limite de $\\dfrac{\\sin(x)}{x}$, qui est le nombre dérivé du\nsinus en $0$. Ici la fonction dérivée est celle du cosinus."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins de la dérivée du cosinus a bien été vu, mais\n$\\sin(0)$ vaut $0$, donc le nombre dérivé est nul."
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "La forme est bien indéterminée, mais elle se lève : c'est un taux\nd'accroissement, dont la limite est un nombre dérivé."
        }
      ],
      "explanation": "On reconnaît $\\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ avec $f = \\cos$. La limite est\ndonc $\\cos'(0)$. Comme $\\cos' = -\\sin$ et $\\sin(0) = 0$, cette limite\nvaut $0$."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "optimisation",
        "geometrie"
      ],
      "title": "L'aire maximale d'un triangle isocèle",
      "partie": "derivees",
      "statement": "Un triangle isocèle a deux côtés de longueur $1$ qui forment un\nangle de mesure $x$ radians, avec $x \\in \\left]0\\,;\\,\\pi\\right[$.\nSon aire vaut $A(x) = \\dfrac{1}{2}\\sin x$. Pour quelle valeur de $x$\ncette aire est-elle maximale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $A'(x) = \\dfrac{1}{2}\\cos x$ est positive sur\n$\\left]0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ et négative ensuite ; le\nmaximum vaut $\\dfrac{1}{2}$, pour un angle droit."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le triangle serait équilatéral, d'aire\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{4} \\approx 0{,}43$, inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\pi$ est exclu, et l'aire tend vers $0$ quand $x$ se\nrapproche de $\\pi$ : le triangle s'aplatit."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A'(x)$ est encore positive en $\\dfrac{\\pi}{4}$, donc\nl'aire continue d'augmenter après cette valeur."
        }
      ],
      "explanation": "Étudier une fonction trigonométrique simple permet de résoudre un\nproblème d'optimisation géométrique : on dérive, on étudie le signe\nde la dérivée sur l'intervalle, on conclut."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equations",
        "cosinus",
        "valeur-un"
      ],
      "title": "Résoudre cos x égale un",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $\\cos x = 1$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 0$ seulement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le cosinus vaut $1$ en un seul point du cercle,\ncelui d'angle $0$ ; $2\\pi$ est exclu de l'intervalle.\n"
        },
        {
          "text": "$x = 0$ et $x = \\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos \\pi = -1$.\n"
        },
        {
          "text": "$x = 0$ et $x = 2\\pi$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2\\pi$ n'appartient pas à $[0 ; 2\\pi[$.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\cos\\dfrac{\\pi}{2} = 0$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos x = 1$ si et seulement si $x = 2k\\pi$ ; sur un tour, une seule\nsolution."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equations",
        "sinus",
        "valeur-negative"
      ],
      "title": "Résoudre une équation en sinus avec une valeur négative",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{11\\pi}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un sinus négatif place les points sous l'axe\ndes abscisses ; les deux points d'ordonnée $-\\dfrac{1}{2}$ ont pour\nangles $\\dfrac{7\\pi}{6}$ et $\\dfrac{11\\pi}{6}$.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces angles ont pour sinus l'opposé, positif.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7\\pi}{6}$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points.\n"
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{6}$ et $\\dfrac{7\\pi}{6}$ ont des sinus opposés.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$\\sin x = \\sin a$ équivaut à $x = a$ ou $x = \\pi - a$, à $2\\pi$\nprès ; pour une valeur négative, les deux solutions sont dans la\nmoitié inférieure du cercle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{11\\pi}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un sinus négatif place les points sous l'axe\ndes abscisses ; les deux points d'ordonnée $-\\dfrac{1}{2}$ ont pour\nangles $\\dfrac{7\\pi}{6}$ et $\\dfrac{11\\pi}{6}$.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces angles ont pour sinus l'opposé, positif.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7\\pi}{6}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{6}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{6}$ et $\\dfrac{7\\pi}{6}$ ont des sinus opposés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sin x = \\sin a$ équivaut à $x = a$ ou $x = \\pi - a$, à $2\\pi$\nprès ; pour une valeur négative, les deux solutions sont dans la\nmoitié inférieure du cercle."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{7\\pi}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un sinus négatif place les points sous l'axe\ndes abscisses ; les deux points d'ordonnée $-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ ont pour\nangles $\\dfrac{5\\pi}{4}$ et $\\dfrac{7\\pi}{4}$.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{3\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces angles ont pour sinus l'opposé, positif.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5\\pi}{4}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{4}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\dfrac{5\\pi}{4}$ ont des sinus opposés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sin x = \\sin a$ équivaut à $x = a$ ou $x = \\pi - a$, à $2\\pi$\nprès ; pour une valeur négative, les deux solutions sont dans la\nmoitié inférieure du cercle."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de $\\sin x = -\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ sur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{4\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{5\\pi}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un sinus négatif place les points sous l'axe\ndes abscisses ; les deux points d'ordonnée $-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ ont pour\nangles $\\dfrac{4\\pi}{3}$ et $\\dfrac{5\\pi}{3}$.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ces angles ont pour sinus l'opposé, positif.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{4\\pi}{3}$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points.\n"
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ et $x = \\dfrac{4\\pi}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{3}$ et $\\dfrac{4\\pi}{3}$ ont des sinus opposés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sin x = \\sin a$ équivaut à $x = a$ ou $x = \\pi - a$, à $2\\pi$\nprès ; pour une valeur négative, les deux solutions sont dans la\nmoitié inférieure du cercle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equations",
        "cosinus-carre",
        "nombre-de-solutions"
      ],
      "title": "Une équation en cosinus carré",
      "partie": "equations",
      "statement": "Combien de solutions l'équation $2\\cos^2 x - 1 = 0$ possède-t-elle\nsur $[0 ; 2\\pi[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Quatre, $\\pm\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\pm\\dfrac{3\\pi}{4}$ à $2\\pi$ près",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = \\dfrac{1}{2}$ donne $\\cos x =\n\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ ou $\\cos x = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, soit\ndeux solutions pour chaque valeur.\n"
        },
        {
          "text": "Deux, $\\dfrac{\\pi}{4}$ et $\\dfrac{7\\pi}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule la valeur positive $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ a été\ntraitée ; $\\cos x = -\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ en donne deux autres.\n"
        },
        {
          "text": "Une seule, $x = \\dfrac{\\pi}{4}$, le cosinus étant positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque valeur de cosinus donne deux solutions sur un\ntour, et il y a deux valeurs possibles.\n"
        },
        {
          "text": "Aucune, un carré ne pouvant valoir $\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est positif, il est bien le carré de\n$\\pm\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Résoudre une équation en $\\cos^2 x$ : extraire les deux racines\nopposées, puis résoudre chaque équation $\\cos x = k$."
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "cosinus",
        "courbe",
        "parite"
      ],
      "title": "Reconnaître la courbe du cosinus",
      "partie": "proprietes",
      "statement": "Quelle fonction est représentée ci-contre sur\n$[-\\pi\\,;\\,\\pi]$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[x=0.9cm,y=1.2cm]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.5,-1.3) grid[xstep=0.5,ystep=0.5] (3.5,1.3);\n  \\draw[->] (-3.6,0) -- (3.8,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.5) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x/\\t in {-3.1416/-\\pi,-1.5708/-\\frac{\\pi}{2},1.5708/\\frac{\\pi}{2},3.1416/\\pi} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\t$};\n  \\node[above left,font=\\small] at (0,1) {$1$};\n  \\node[left,font=\\small] at (0,-1) {$-1$};\n  \\draw[thick,blue,domain=-3.1416:3.1416,samples=80] plot (\\x,{cos(deg(\\x))});\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Courbe sur l'intervalle allant de moins pi à pi : elle vaut 1 en 0,\ns'annule en moins pi sur 2 et pi sur 2, vaut -1 en moins pi et en\npi, et elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"205.505pt\" height=\"115.896pt\" viewBox=\"0 0 205.505 115.896\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.265625 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.359375 -4.171875 4.59375 -4.171875 4.796875 -4.046875 C 4.515625 -4 4.328125 -3.75 4.328125 -3.515625 C 4.328125 -3.34375 4.4375 -3.15625 4.703125 -3.15625 C 4.921875 -3.15625 5.234375 -3.34375 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.65625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.640625 C 3.015625 -4.296875 2.484375 -4.390625 2.203125 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.703125 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.84375 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.71875 -4.078125 2.71875 -3.515625 C 2.71875 -3.203125 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.59375 2.265625 -0.640625 C 2.390625 -0.28125 2.75 0.109375 3.34375 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.84375 -1.515625 4.8125 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.703125 -1.484375 4.6875 -1.40625 C 4.359375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.984375 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.875 -3.921875 4.875 -3.9375 4.875 -4.015625 C 4.875 -4.1875 4.734375 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.484375 -4.28125 4.328125 -4.21875 4.234375 -4.078125 C 4.21875 -4.03125 4.140625 -3.71875 4.09375 -3.53125 C 4.03125 -3.28125 3.953125 -3.015625 3.890625 -2.75 L 3.453125 -0.953125 C 3.40625 -0.8125 2.984375 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.921875 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.421875 -3.375 2.421875 -3.578125 C 2.421875 -4.03125 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.65625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.859375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.65625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.546875 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3.015625 -0.0625 3.296875 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.046875 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.390625 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.328125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.578125 2.03125 3.59375 1.140625 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.03125 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.25 C 6.359375 -2.4375 6.1875 -2.4375 6.03125 -2.4375 L 1.09375 -2.4375 C 0.953125 -2.4375 0.765625 -2.4375 0.765625 -2.25 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.03125 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 2.4375 -3.296875 L 3.453125 -3.296875 C 3.328125 -2.734375 3.09375 -1.8125 3.09375 -1.0625 C 3.09375 -1 3.09375 -0.671875 3.171875 -0.34375 C 3.265625 -0.015625 3.34375 0.09375 3.515625 0.09375 C 3.703125 0.09375 3.90625 -0.0625 3.90625 -0.265625 C 3.90625 -0.328125 3.890625 -0.359375 3.84375 -0.46875 C 3.5625 -1.09375 3.5625 -1.765625 3.5625 -1.96875 C 3.5625 -2.1875 3.5625 -2.578125 3.71875 -3.296875 L 4.765625 -3.296875 C 4.875 -3.296875 5.203125 -3.296875 5.203125 -3.625 C 5.203125 -3.859375 5.015625 -3.859375 4.84375 -3.859375 L 1.75 -3.859375 C 1.53125 -3.859375 1.21875 -3.859375 0.796875 -3.4375 C 0.5625 -3.1875 0.234375 -2.703125 0.234375 -2.625 C 0.234375 -2.53125 0.34375 -2.53125 0.359375 -2.53125 C 0.4375 -2.53125 0.453125 -2.546875 0.515625 -2.640625 C 0.953125 -3.296875 1.5 -3.296875 1.671875 -3.296875 L 2.1875 -3.296875 C 1.796875 -1.953125 1.1875 -0.671875 1.125 -0.546875 C 1.046875 -0.421875 0.96875 -0.234375 0.96875 -0.15625 C 0.96875 -0.046875 1.046875 0.09375 1.25 0.09375 C 1.5625 0.09375 1.640625 -0.21875 1.828125 -0.953125 Z M 2.4375 -3.296875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 2.03125 -2.15625 L 2.765625 -2.15625 C 2.640625 -1.625 2.5625 -1.234375 2.5625 -0.84375 C 2.5625 -0.546875 2.640625 0.0625 2.921875 0.0625 C 3.078125 0.0625 3.21875 -0.078125 3.21875 -0.21875 C 3.21875 -0.265625 3.1875 -0.3125 3.171875 -0.34375 C 2.953125 -0.734375 2.921875 -1.125 2.921875 -1.421875 C 2.921875 -1.515625 2.921875 -1.78125 3 -2.15625 L 3.78125 -2.15625 C 3.859375 -2.15625 4.109375 -2.15625 4.109375 -2.390625 C 4.109375 -2.578125 3.953125 -2.578125 3.84375 -2.578125 L 1.46875 -2.578125 C 1.34375 -2.578125 1.078125 -2.578125 0.765625 -2.28125 C 0.578125 -2.09375 0.359375 -1.8125 0.359375 -1.75 C 0.359375 -1.671875 0.4375 -1.671875 0.46875 -1.671875 C 0.53125 -1.671875 0.546875 -1.6875 0.578125 -1.734375 C 0.6875 -1.875 0.921875 -2.15625 1.40625 -2.15625 L 1.796875 -2.15625 C 1.59375 -1.40625 1.1875 -0.609375 1.109375 -0.453125 C 1.0625 -0.359375 0.984375 -0.203125 0.984375 -0.140625 C 0.984375 -0.015625 1.078125 0.0625 1.1875 0.0625 C 1.40625 0.0625 1.46875 -0.15625 1.546875 -0.34375 C 1.65625 -0.71875 1.65625 -0.734375 1.75 -1.046875 Z M 2.03125 -2.15625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 3.21875 -1.109375 L 2.984375 -1.109375 C 2.984375 -1.03125 2.921875 -0.640625 2.828125 -0.578125 C 2.78125 -0.53125 2.296875 -0.53125 2.21875 -0.53125 L 1.109375 -0.53125 L 1.875 -1.15625 C 2.078125 -1.3125 2.609375 -1.703125 2.78125 -1.875 C 2.96875 -2.0625 3.21875 -2.359375 3.21875 -2.78125 C 3.21875 -3.53125 2.53125 -3.96875 1.734375 -3.96875 C 0.96875 -3.96875 0.4375 -3.46875 0.4375 -2.90625 C 0.4375 -2.59375 0.6875 -2.5625 0.75 -2.5625 C 0.90625 -2.5625 1.078125 -2.671875 1.078125 -2.890625 C 1.078125 -3.015625 1 -3.203125 0.734375 -3.203125 C 0.875 -3.515625 1.234375 -3.734375 1.640625 -3.734375 C 2.28125 -3.734375 2.609375 -3.265625 2.609375 -2.78125 C 2.609375 -2.359375 2.328125 -1.921875 1.90625 -1.546875 L 0.5 -0.25 C 0.4375 -0.1875 0.4375 -0.1875 0.4375 0 L 3.03125 0 Z M 3.21875 -1.109375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-5-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -89.292137 -34.016471 L 89.293238 -34.016471 M -89.292137 -17.006849 L 89.293238 -17.006849 M -89.292137 -0.00114183 L 89.293238 -0.00114183 M -89.292137 17.008481 L 89.293238 17.008481 M -89.292137 34.014188 L 89.293238 34.014188 M -89.292137 -44.220679 L -89.292137 44.222311 M -76.53492 -44.220679 L -76.53492 44.222311 M -63.781619 -44.220679 L -63.781619 44.222311 M -51.024402 -44.220679 L -51.024402 44.222311 M -38.267185 -44.220679 L -38.267185 44.222311 M -25.513883 -44.220679 L -25.513883 44.222311 M -12.756666 -44.220679 L -12.756666 44.222311 M 0.000550558 -44.220679 L 0.000550558 44.222311 M 12.757768 -44.220679 L 12.757768 44.222311 M 25.511069 -44.220679 L 25.511069 44.222311 M 38.268286 -44.220679 L 38.268286 44.222311 M 51.025503 -44.220679 L 51.025503 44.222311 M 63.778804 -44.220679 L 63.778804 44.222311 M 76.536021 -44.220679 L 76.536021 44.222311 M 89.281491 -44.220679 L 89.281491 44.222311 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 93.808045, 66.01058)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -91.845147 -0.00114183 L 96.548954 -0.00114183 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 93.808045, 66.01058)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072906 2.391326 C -1.693088 0.958195 -0.851221 0.280786 -0.00152286 -0.00114183 C -0.851221 -0.279154 -1.693088 -0.956563 -2.072906 -2.389694 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 190.321832, 66.01058)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"194.030638\" y=\"73.801813\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000550558 -47.623386 L 0.000550558 50.624413 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 93.808045, 66.01058)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072162 2.391917 C -1.692343 0.95487 -0.850476 0.277461 -0.00077819 -0.000550558 C -0.850476 -0.278562 -1.692343 -0.955971 -2.072162 -2.389103 \" transform=\"matrix(0, -0.997597, -0.997597, 0, 93.808045, 15.307817)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"85.067099\" y=\"9.666296\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"7.486966\" y=\"74.823352\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"14.636744\" y=\"74.823352\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"46.789299\" y=\"75.75411\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"55.132203\" y=\"72.089936\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.379\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000610934 -0.00103841 L 4.558438 -0.00103841 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 55.132203, 73.518495)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"55.583117\" y=\"78.789798\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"131.511229\" y=\"72.089936\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.379\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000491095 -0.00103841 L 4.558318 -0.00103841 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 131.511229, 73.518495)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"131.96314\" y=\"78.789798\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"170.971182\" y=\"73.373844\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"85.699575\" y=\"28.565773\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"78.549797\" y=\"102.412897\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-5-0\" x=\"85.699575\" y=\"102.412897\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -80.149073 -34.016471 L -78.120762 -33.906833 L -76.092451 -33.585749 L -74.060224 -33.049304 L -72.031912 -32.309244 L -70.003601 -31.361655 L -67.975289 -30.214367 L -65.946978 -28.879127 L -63.918667 -27.359851 L -61.88644 -25.668286 L -59.858128 -23.812264 L -57.829817 -21.807447 L -55.801506 -19.665581 L -53.773194 -17.398415 L -51.744883 -15.02161 L -49.712656 -12.550829 L -47.684345 -9.997819 L -45.656033 -7.382159 L -43.627722 -4.723427 L -41.599411 -2.029453 L -39.571099 0.672352 L -37.538872 3.370241 L -35.510561 6.048551 L -33.482249 8.691621 L -31.453938 11.275956 L -29.425627 13.789809 L -27.397315 16.217518 L -25.369004 18.539503 L -23.336777 20.747935 L -21.308466 22.823234 L -19.280154 24.753654 L -17.251843 26.527448 L -15.223532 28.136784 L -13.19522 29.565999 L -11.162993 30.811179 L -9.134682 31.85666 L -7.106371 32.702442 L -5.078059 33.34461 L -3.049748 33.771417 L -1.021436 33.986778 L 1.010791 33.986778 L 3.039102 33.775333 L 5.067413 33.34461 L 7.095725 32.706358 L 9.124036 31.860575 L 11.152347 30.815094 L 13.184574 29.57383 L 15.212886 28.144615 L 17.241197 26.539195 L 19.269508 24.765401 L 21.29782 22.834981 L 23.326131 20.759682 L 25.354442 18.55125 L 27.38667 16.229265 L 29.414981 13.801556 L 31.443292 11.287703 L 33.471604 8.703368 L 35.499915 6.064214 L 37.528226 3.385903 L 39.560453 0.688014 L 41.588765 -2.017706 L 43.617076 -4.707764 L 45.645387 -7.370412 L 47.673699 -9.986072 L 49.70201 -12.535166 L 51.734237 -15.009863 L 53.762548 -17.386668 L 55.79086 -19.653834 L 57.819171 -21.7957 L 59.847483 -23.800517 L 61.875794 -25.660455 L 63.904105 -27.35202 L 65.936332 -28.871296 L 67.964644 -30.206535 L 69.992955 -31.353823 L 72.021266 -32.305328 L 74.049578 -33.049304 L 76.077889 -33.581833 L 78.110116 -33.906833 L 80.138427 -34.016471 \" transform=\"matrix(0.997597, 0, 0, -0.997597, 93.808045, 66.01058)\"/>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe passe par $(0\\,;\\,1)$ et elle est\nsymétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car cosinus est\npaire."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sin x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sin 0 = 0$, alors que la courbe passe par\n$(0\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\cos 0 = -1$ ; la courbe serait retournée."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\sin$ est impaire et s'annule en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Repères : $\\cos 0 = 1$, $\\cos \\frac{\\pi}{2} = 0$, $\\cos \\pi = -1$ ;\ncosinus est paire, sinus est impaire."
    }
  ]
}