{
  "chapter": {
    "id": "limites-de-fonctions",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Limites des fonctions",
    "description": "Limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini ou en un point,\nasymptotes parallèles aux axes, opérations sur les limites, formes\nindéterminées, limites par comparaison, croissances comparées avec\nl'exponentielle, factorisation du terme prépondérant.",
    "parties": [
      {
        "id": "definitions",
        "title": "Limites, asymptotes et lecture graphique"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Opérations et formes indéterminées"
      },
      {
        "id": "theoremes",
        "title": "Comparaison, composition et croissances comparées"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limites-usuelles",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Limite de $e^x$ en $-\\infty$",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to -\\infty$, $e^x$ devient\narbitrairement proche de $0$ (tout en restant strictement\npositif). L'axe des abscisses est asymptote à la courbe."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est strictement **positif** pour tout réel\n$x$, il ne peut pas tendre vers $-\\infty$. Il s'écrase vers\n$0$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ ne prend jamais de valeur négative, et aucune\nvaleur particulière n'est atteinte à l'infini : la limite est\n$0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 = e^0$ est la valeur **en** $0$, pas la limite en\n$-\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence de l'exponentielle :\n$\\lim_{x \\to -\\infty} e^x = 0$ et\n$\\lim_{x \\to +\\infty} e^x = +\\infty$. En $-\\infty$, la droite\n$y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "asymptote",
        "limite-en-un-point"
      ],
      "title": "Asymptote verticale",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote\n**verticale** à la courbe de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite d'équation $x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 3$, le dénominateur tend vers\n$0$ et $f(x)$ tend vers $\\pm\\infty$ : la courbe se plaque\ncontre la droite verticale $x = 3$."
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y = 3$ est une droite **horizontale**. Une\nasymptote verticale a une équation de la forme $x = a$."
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $x = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en\n$x = 3$, pas en $0$."
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais\nc'est l'asymptote **horizontale** (limites en $\\pm\\infty$).\nLa question porte sur l'asymptote verticale."
        }
      ],
      "explanation": "Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote\nverticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en\n$3$ : asymptote $x = 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote\n**verticale** à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 3$, le dénominateur tend vers\n$0$ et $f(x)$ tend vers $\\pm\\infty$ : la courbe se plaque\ncontre la droite verticale $x = 3$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 3$ est une droite **horizontale**. Une\nasymptote verticale a une équation de la forme $x = a$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en\n$x = 3$, pas en $0$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais\nc'est l'asymptote **horizontale** (limites en $\\pm\\infty$).\nLa question porte sur l'asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote\nverticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en\n$3$ : asymptote $x = 3$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x - 5}$. Quelle droite est asymptote\n**verticale** à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 5$, le dénominateur tend vers\n$0$ et $f(x)$ tend vers $\\pm\\infty$ : la courbe se plaque\ncontre la droite verticale $x = 5$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 5$ est une droite **horizontale**. Une\nasymptote verticale a une équation de la forme $x = a$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en\n$x = 5$, pas en $0$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais\nc'est l'asymptote **horizontale** (limites en $\\pm\\infty$).\nLa question porte sur l'asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote\nverticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en\n$5$ : asymptote $x = 5$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x - 4}$. Quelle droite est asymptote\n**verticale** à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 4$, le dénominateur tend vers\n$0$ et $f(x)$ tend vers $\\pm\\infty$ : la courbe se plaque\ncontre la droite verticale $x = 4$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 4$ est une droite **horizontale**. Une\nasymptote verticale a une équation de la forme $x = a$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en\n$x = 4$, pas en $0$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais\nc'est l'asymptote **horizontale** (limites en $\\pm\\infty$).\nLa question porte sur l'asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote\nverticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en\n$4$ : asymptote $x = 4$."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x - 6}$. Quelle droite est asymptote\n**verticale** à la courbe de $f$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 6$, le dénominateur tend vers\n$0$ et $f(x)$ tend vers $\\pm\\infty$ : la courbe se plaque\ncontre la droite verticale $x = 6$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 6$ est une droite **horizontale**. Une\nasymptote verticale a une équation de la forme $x = a$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $x = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est l'asymptote de la fonction inverse\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$. Ici le dénominateur s'annule en\n$x = 6$, pas en $0$."
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Attention : $y = 0$ est bien asymptote à cette courbe, mais\nc'est l'asymptote **horizontale** (limites en $\\pm\\infty$).\nLa question porte sur l'asymptote verticale."
            }
          ],
          "explanation": "Une limite infinie en un point $a$ se traduit par une asymptote\nverticale d'équation $x = a$. Ici le dénominateur s'annule en\n$6$ : asymptote $x = 6$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formes-indeterminees",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Lever la forme $\\infty - \\infty$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Vers quoi tend $x^2 - x$ lorsque $x$ devient arbitrairement\ngrand ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on factorise par le terme prépondérant :\n$x^2 - x = x^2\\left(1 - \\dfrac{1}{x}\\right)$, produit de\n$x^2 \\to +\\infty$ par un facteur qui tend vers $1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « $\\infty - \\infty$ » ne se simplifie pas en $0$.\nIci $x^2$ écrase $x$ : dès $x = 100$, $x^2 - x = 9\\,900$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le terme de plus haut degré $x^2$ qui impose\nson comportement, et il tend vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas, car c'est une forme indéterminée",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion importante : « forme indéterminée » signifie qu'on\nne peut pas conclure **directement**, pas que la limite\nn'existe pas. Après factorisation, la limite existe et vaut\n$+\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Face à « $\\infty - \\infty$ », on factorise par le terme\nprépondérant : $x^2 - x = x^2(1 - 1/x) \\to +\\infty$. Une forme\nindéterminée est un signal de transformation, pas une absence de\nlimite."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "croissances-comparees",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Croissance comparée $e^x$ contre $x^3$",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Entre l'exponentielle et le cube, laquelle l'emporte : vers quoi\ntend $\\dfrac{e^x}{x^3}$ en $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par croissance comparée, l'exponentielle\nl'emporte sur toute puissance de $x$ en $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $0$ serait la limite de l'inverse\n$\\dfrac{x^3}{e^x}$. Au numérateur, l'exponentielle domine."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ne croissent pas « à la\nmême vitesse » : $e^x$ croît beaucoup plus vite que $x^3$.\nLe quotient explose."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun quotient de coefficients n'intervient ici\n(ce réflexe vaut pour deux polynômes de même degré). Avec\nune exponentielle, c'est la croissance comparée qui décide."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance comparée (au programme) : pour tout entier $n$,\n$\\lim_{x \\to +\\infty} \\dfrac{e^x}{x^n} = +\\infty$.\nL'exponentielle l'emporte sur toute puissance."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-en-un-point",
        "signe"
      ],
      "title": "Limite à droite en un point interdit",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Quelle est la limite de $\\dfrac{x + 1}{x - 2}$ quand $x$ tend\nvers $2$ par valeurs supérieures ($x \\to 2^+$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le numérateur tend vers $3 > 0$ et le\ndénominateur vers $0$ **par valeurs positives** (car\n$x > 2$) : le quotient tend vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : pour $x > 2$, on a $x - 2 > 0$. Un\nnumérateur proche de $3$ divisé par un petit nombre\n**positif** donne un grand nombre positif."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ n'est que la limite du numérateur. Diviser par\nun dénominateur qui s'écrase vers $0$ fait exploser le\nquotient."
        },
        {
          "text": "Elle n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite **à droite** existe bien et vaut\n$+\\infty$. (C'est en combinant droite et gauche, $+\\infty$\net $-\\infty$, qu'on ne peut pas parler de limite en $2$ tout\ncourt.)"
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe indispensable : quand le dénominateur tend vers $0$,\nétudier son **signe**. Ici $x \\to 2^+$ donne $x - 2 \\to 0^+$,\net $\\dfrac{3}{0^+}$ se lit $+\\infty$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "asymptote"
      ],
      "title": "Lire les asymptotes sur une courbe",
      "partie": "definitions",
      "statement": "La courbe $\\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction\n$f$ ; les droites en pointillés sont ses asymptotes. Quelles\nsont les équations de ces asymptotes ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-6.7,-2.7) grid (5.7,7.7);\n  \\draw[->] (-6.9,0) -- (5.9,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,7.9) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-6,-4,-2,2,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.25) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-2,2,4,6} \\node[left,font=\\small] at (-0.25,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[dashed,red,thick] (-2,-2.7) -- (-2,7.7);\n  \\draw[dashed,red,thick] (-6.7,3) -- (5.7,3);\n  \\node[red,font=\\small,below left] at (-2,-1.5) {$x=-2$};\n  \\node[red,font=\\small,above] at (4.6,3.05) {$y=3$};\n  \\draw[domain=-6.7:-3.05,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{3-5/(\\x+2)});\n  \\draw[domain=-1.06:5.7,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{3-5/(\\x+2)});\n  \\node[blue,font=\\small] at (3.3,1.1) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches. La\nbranche de gauche descend vers la droite horizontale y = 3\nquand x tend vers moins l'infini et monte le long de la droite\nverticale x = -2 ; la branche de droite descend le long de\nx = -2 et remonte vers y = 3 quand x tend vers plus l'infini.\nLes deux asymptotes x = -2 et y = 3 sont tracées en pointillés\nrouges.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"198.136pt\" height=\"170.322pt\" viewBox=\"0 0 198.136 170.322\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-1\">\n<path d=\"M 4.5625 -1.40625 C 4.5625 -1.453125 4.546875 -1.46875 4.484375 -1.46875 C 4.40625 -1.46875 4.015625 -1.359375 3.8125 -1.0625 C 3.59375 -0.734375 3.21875 -0.28125 2.484375 -0.28125 C 1.65625 -0.28125 0.90625 -0.890625 0.90625 -2.234375 C 0.90625 -2.84375 1.09375 -4.03125 1.875 -5 C 2.28125 -5.5 2.796875 -5.796875 3.53125 -5.796875 C 3.953125 -5.796875 4.109375 -5.625 4.109375 -5.3125 C 4.109375 -5 3.734375 -4.3125 3.6875 -4.234375 C 3.609375 -4.109375 3.609375 -4.09375 3.609375 -4.078125 C 3.609375 -4.03125 3.671875 -4.015625 3.703125 -4.015625 C 3.859375 -4.015625 4.21875 -4.203125 4.359375 -4.40625 C 4.390625 -4.453125 4.875 -5.28125 4.875 -5.703125 C 4.875 -6.125 4.625 -6.296875 4.140625 -6.296875 C 3.0625 -6.296875 1.984375 -5.703125 1.3125 -4.9375 C 0.453125 -3.96875 0.125 -2.671875 0.125 -1.84375 C 0.125 -0.484375 0.859375 0.21875 1.875 0.21875 C 3.34375 0.21875 4.5625 -1.203125 4.5625 -1.40625 Z M 4.5625 -1.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.953125 C 1.203125 -3.859375 1.296875 -4.375 1.53125 -4.828125 C 1.71875 -5.203125 2.15625 -5.71875 2.8125 -5.71875 C 2.984375 -5.71875 3.40625 -5.6875 3.609375 -5.359375 C 3.28125 -5.359375 3.125 -5.1875 3.125 -4.953125 C 3.125 -4.71875 3.296875 -4.546875 3.546875 -4.546875 C 3.796875 -4.546875 3.96875 -4.703125 3.96875 -4.96875 C 3.96875 -5.46875 3.609375 -5.9375 2.796875 -5.9375 C 1.640625 -5.9375 0.390625 -4.8125 0.390625 -2.8125 C 0.390625 -0.40625 1.46875 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.296875 0.203125 4.1875 -0.640625 4.1875 -1.8125 C 4.1875 -2.9375 3.375 -3.796875 2.359375 -3.796875 C 1.828125 -3.796875 1.453125 -3.484375 1.203125 -2.953125 Z M 2.296875 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.21875 -1.140625 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.609375 1.484375 -3.578125 2.34375 -3.578125 C 2.484375 -3.578125 2.921875 -3.578125 3.21875 -3.03125 C 3.375 -2.6875 3.375 -2.25 3.375 -1.8125 C 3.375 -1.390625 3.375 -0.953125 3.21875 -0.625 C 2.9375 -0.109375 2.546875 -0.046875 2.296875 -0.046875 Z M 2.296875 -0.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 6.3125 -2.953125 C 6.4375 -2.953125 6.609375 -2.953125 6.609375 -3.140625 C 6.609375 -3.34375 6.421875 -3.34375 6.28125 -3.34375 L 0.84375 -3.34375 C 0.703125 -3.34375 0.515625 -3.34375 0.515625 -3.140625 C 0.515625 -2.953125 0.6875 -2.953125 0.796875 -2.953125 Z M 6.28125 -1.140625 C 6.421875 -1.140625 6.609375 -1.140625 6.609375 -1.328125 C 6.609375 -1.515625 6.4375 -1.515625 6.3125 -1.515625 L 0.796875 -1.515625 C 0.6875 -1.515625 0.515625 -1.515625 0.515625 -1.328125 C 0.515625 -1.140625 0.703125 -1.140625 0.84375 -1.140625 Z M 6.28125 -1.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 4.390625 -3.609375 C 4.0625 -3.546875 3.96875 -3.25 3.96875 -3.125 C 3.96875 -2.953125 4.09375 -2.796875 4.3125 -2.796875 C 4.5625 -2.796875 4.796875 -3.015625 4.796875 -3.328125 C 4.796875 -3.734375 4.359375 -3.9375 3.9375 -3.9375 C 3.40625 -3.9375 3.09375 -3.46875 2.984375 -3.28125 C 2.8125 -3.71875 2.421875 -3.9375 1.984375 -3.9375 C 1.03125 -3.9375 0.515625 -2.796875 0.515625 -2.5625 C 0.515625 -2.484375 0.578125 -2.46875 0.640625 -2.46875 C 0.71875 -2.46875 0.75 -2.5 0.765625 -2.5625 C 1.046875 -3.4375 1.625 -3.71875 1.96875 -3.71875 C 2.234375 -3.71875 2.46875 -3.546875 2.46875 -3.125 C 2.46875 -2.8125 2.078125 -1.390625 1.96875 -0.953125 C 1.890625 -0.671875 1.625 -0.125 1.140625 -0.125 C 0.953125 -0.125 0.765625 -0.1875 0.671875 -0.234375 C 0.921875 -0.28125 1.09375 -0.484375 1.09375 -0.71875 C 1.09375 -0.953125 0.921875 -1.046875 0.765625 -1.046875 C 0.5 -1.046875 0.265625 -0.828125 0.265625 -0.515625 C 0.265625 -0.078125 0.75 0.09375 1.125 0.09375 C 1.640625 0.09375 1.9375 -0.328125 2.078125 -0.578125 C 2.296875 0.015625 2.828125 0.09375 3.0625 0.09375 C 4.03125 0.09375 4.546875 -1.0625 4.546875 -1.28125 C 4.546875 -1.328125 4.515625 -1.390625 4.421875 -1.390625 C 4.328125 -1.390625 4.3125 -1.34375 4.28125 -1.21875 C 4.078125 -0.578125 3.5625 -0.125 3.09375 -0.125 C 2.84375 -0.125 2.59375 -0.28125 2.59375 -0.71875 C 2.59375 -0.90625 2.71875 -1.40625 2.796875 -1.734375 C 2.84375 -1.90625 3.078125 -2.859375 3.09375 -2.921875 C 3.203125 -3.25 3.46875 -3.71875 3.921875 -3.71875 C 4.09375 -3.71875 4.25 -3.6875 4.390625 -3.609375 Z M 4.390625 -3.609375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-1\">\n<path d=\"M 4.484375 -3.4375 C 4.484375 -3.484375 4.5 -3.53125 4.5 -3.59375 C 4.5 -3.703125 4.421875 -3.84375 4.234375 -3.84375 C 4.109375 -3.84375 3.953125 -3.78125 3.875 -3.609375 C 3.875 -3.5625 3.78125 -3.203125 3.734375 -3 L 3.28125 -1.21875 C 3.21875 -0.96875 3.21875 -0.953125 3.1875 -0.859375 C 3.1875 -0.828125 2.8125 -0.125 2.171875 -0.125 C 1.609375 -0.125 1.609375 -0.6875 1.609375 -0.859375 C 1.609375 -1.265625 1.734375 -1.6875 2.109375 -2.6875 C 2.1875 -2.90625 2.234375 -3.03125 2.234375 -3.1875 C 2.234375 -3.625 1.90625 -3.9375 1.46875 -3.9375 C 0.609375 -3.9375 0.265625 -2.671875 0.265625 -2.5625 C 0.265625 -2.484375 0.328125 -2.46875 0.390625 -2.46875 C 0.484375 -2.46875 0.484375 -2.515625 0.53125 -2.625 C 0.71875 -3.296875 1.078125 -3.71875 1.453125 -3.71875 C 1.65625 -3.71875 1.65625 -3.546875 1.65625 -3.421875 C 1.65625 -3.28125 1.625 -3.109375 1.546875 -2.90625 C 1.125 -1.796875 1.015625 -1.421875 1.015625 -0.984375 C 1.015625 0 1.8125 0.09375 2.140625 0.09375 C 2.578125 0.09375 2.890625 -0.140625 3.046875 -0.296875 C 2.9375 0.15625 2.84375 0.5625 2.484375 1.015625 C 2.21875 1.359375 1.859375 1.609375 1.46875 1.609375 C 1.21875 1.609375 0.921875 1.515625 0.796875 1.265625 C 1.28125 1.265625 1.34375 0.875 1.34375 0.78125 C 1.34375 0.59375 1.203125 0.46875 1 0.46875 C 0.78125 0.46875 0.5 0.640625 0.5 1.046875 C 0.5 1.5 0.90625 1.828125 1.46875 1.828125 C 2.375 1.828125 3.359375 1.046875 3.609375 0.015625 Z M 4.484375 -3.4375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-4-0\">\n<path d=\"M 2.5625 -2.328125 L 3.171875 -2.328125 C 3.296875 -2.328125 3.375 -2.328125 3.375 -2.46875 C 3.375 -2.5625 3.296875 -2.5625 3.1875 -2.5625 L 2.609375 -2.5625 C 2.78125 -3.546875 2.78125 -3.546875 2.8125 -3.65625 C 2.84375 -3.796875 2.84375 -3.84375 2.9375 -3.921875 C 3.015625 -3.96875 3.0625 -4 3.15625 -4 C 3.25 -4 3.34375 -3.984375 3.421875 -3.9375 C 3.3125 -3.890625 3.203125 -3.765625 3.203125 -3.625 C 3.203125 -3.5 3.296875 -3.390625 3.453125 -3.390625 C 3.609375 -3.390625 3.78125 -3.53125 3.78125 -3.75 C 3.78125 -4.078125 3.421875 -4.1875 3.15625 -4.1875 C 2.890625 -4.1875 2.484375 -4.0625 2.296875 -3.46875 C 2.25 -3.328125 2.234375 -3.203125 2.203125 -2.984375 C 2.171875 -2.8125 2.15625 -2.734375 2.125 -2.5625 L 1.625 -2.5625 C 1.515625 -2.5625 1.421875 -2.5625 1.421875 -2.421875 C 1.421875 -2.328125 1.5 -2.328125 1.609375 -2.328125 L 2.078125 -2.328125 C 1.84375 -1 1.765625 -0.53125 1.734375 -0.421875 C 1.546875 0.59375 1.53125 0.65625 1.46875 0.75 C 1.390625 0.90625 1.28125 1.015625 1.140625 1.015625 C 1.09375 1.015625 0.96875 1 0.875 0.96875 C 1 0.921875 1.09375 0.78125 1.09375 0.640625 C 1.09375 0.515625 1 0.421875 0.859375 0.421875 C 0.703125 0.421875 0.515625 0.546875 0.515625 0.78125 C 0.515625 1.109375 0.890625 1.21875 1.125 1.21875 C 1.453125 1.21875 1.6875 0.953125 1.796875 0.8125 C 2.0625 0.46875 2.1875 -0.25 2.203125 -0.296875 Z M 2.5625 -2.328125 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 73 82 L 192 82 L 192 169.613281 L 73 169.613281 Z M 73 82 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -94.961274 -28.34876 L 80.790069 -28.34876 M -94.961274 -14.173935 L 80.790069 -14.173935 M -94.961274 0.000888887 L 80.790069 0.000888887 M -94.961274 14.17179 L 80.790069 14.17179 M -94.961274 28.346614 L 80.790069 28.346614 M -94.961274 42.521438 L 80.790069 42.521438 M -94.961274 56.692339 L 80.790069 56.692339 M -94.961274 70.867163 L 80.790069 70.867163 M -94.961274 85.041988 L 80.790069 85.041988 M -94.961274 99.212888 L 80.790069 99.212888 M -85.039289 -38.266821 L -85.039289 109.134873 M -70.868388 -38.266821 L -70.868388 109.134873 M -56.693564 -38.266821 L -56.693564 109.134873 M -42.51874 -38.266821 L -42.51874 109.134873 M -28.347839 -38.266821 L -28.347839 109.134873 M -14.173014 -38.266821 L -14.173014 109.134873 M 0.00180977 -38.266821 L 0.00180977 109.134873 M 14.172711 -38.266821 L 14.172711 109.134873 M 28.347535 -38.266821 L 28.347535 109.134873 M 42.518436 -38.266821 L 42.518436 109.134873 M 56.69326 -38.266821 L 56.69326 109.134873 M 70.868084 -38.266821 L 70.868084 109.134873 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -97.797808 0.000888887 L 83.226428 0.000888887 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.072642 2.390169 C -1.692083 0.95817 -0.848577 0.279442 -0.00114776 0.000888887 C -0.848577 -0.277664 -1.692083 -0.956392 -2.072642 -2.392314 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 182.614424, 126.508698)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"186.31654\" y=\"134.283793\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.00180977 -41.103355 L 0.00180977 111.571232 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.070724 2.391393 C -1.694089 0.955471 -0.850583 0.280667 0.000769772 -0.00180977 C -0.850583 -0.280363 -1.694089 -0.955168 -2.070724 -2.39109 \" transform=\"matrix(0, -0.995658, -0.995658, 0, 99.552886, 15.223423)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"90.828928\" y=\"9.593523\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"9.020664\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"16.156547\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"37.243594\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"44.380473\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"65.46752\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"72.603403\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"125.481819\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"153.705744\" y=\"139.293946\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"80.796675\" y=\"157.194886\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"87.932558\" y=\"157.194886\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"87.932558\" y=\"101.162224\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"87.932558\" y=\"72.938299\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"87.932558\" y=\"44.715369\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -28.347839 -38.266821 L -28.347839 109.134873 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -94.961274 42.521438 L 80.790069 42.521438 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"38.66639\" y=\"156.934024\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"46.415598\" y=\"156.934024\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"56.100366\" y=\"156.934024\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"63.237245\" y=\"156.934024\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-1\" x=\"153.636048\" y=\"78.227236\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"161.023833\" y=\"78.227236\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(100%, 0%, 0%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"170.70476\" y=\"78.227236\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -94.961274 57.598618 C -94.961274 57.598618 -94.329625 57.743779 -94.086381 57.798705 C -93.843138 57.857554 -93.450809 57.94779 -93.207566 58.006639 C -92.964322 58.065488 -92.575917 58.159647 -92.332673 58.218497 C -92.08943 58.277346 -91.697101 58.375428 -91.453858 58.4382 C -91.210614 58.49705 -90.822209 58.599055 -90.578966 58.661828 C -90.335722 58.7246 -89.943394 58.826606 -89.70015 58.889378 C -89.456906 58.956074 -89.068501 59.062003 -88.825258 59.128698 C -88.582014 59.195394 -88.189686 59.305246 -87.946442 59.371942 C -87.703199 59.442561 -87.314793 59.552413 -87.07155 59.623032 C -86.828306 59.693651 -86.435978 59.81135 -86.192734 59.881969 C -85.949491 59.956511 -85.561086 60.07421 -85.317842 60.152675 C -85.074598 60.227218 -84.68227 60.34884 -84.439026 60.427305 C -84.195783 60.505771 -83.807378 60.631316 -83.564134 60.709782 C -83.320891 60.792171 -82.928562 60.921639 -82.685319 61.004028 C -82.442075 61.086417 -82.05367 61.223732 -81.810426 61.306121 C -81.567183 61.392433 -81.178778 61.533671 -80.935534 61.619984 C -80.69229 61.710219 -80.299962 61.851457 -80.056719 61.945616 C -79.813475 62.035852 -79.42507 62.184936 -79.181826 62.279095 C -78.938583 62.373254 -78.546254 62.530185 -78.303011 62.628267 C -78.059767 62.72635 -77.671362 62.883281 -77.428118 62.985286 C -77.184875 63.087292 -76.792546 63.25207 -76.549303 63.357998 C -76.306059 63.463927 -75.917654 63.636551 -75.674411 63.74248 C -75.431167 63.852332 -75.038839 64.032803 -74.795595 64.142655 C -74.552351 64.25643 -74.163946 64.440825 -73.920703 64.558523 C -73.677459 64.676222 -73.285131 64.868462 -73.041887 64.994008 C -72.798644 65.115629 -72.410238 65.315717 -72.166995 65.441262 C -71.923751 65.57073 -71.531423 65.778664 -71.288179 65.908133 C -71.044936 66.041524 -70.656531 66.257305 -70.413287 66.398543 C -70.170043 66.535858 -69.777715 66.763409 -69.534471 66.904647 C -69.291228 67.049808 -68.902823 67.285205 -68.659579 67.43429 C -68.416336 67.587298 -68.024007 67.834465 -67.780764 67.991396 C -67.53752 68.148328 -67.149115 68.403341 -66.905871 68.568119 C -66.662628 68.732897 -66.270299 69.003604 -66.027056 69.176228 C -65.783812 69.348853 -65.395407 69.631329 -65.152164 69.8118 C -64.90892 69.992271 -64.520515 70.286517 -64.277271 70.474835 C -64.030104 70.667076 -63.641699 70.977015 -63.398456 71.177103 C -63.155212 71.373267 -62.766807 71.702823 -62.523563 71.910757 C -62.28032 72.118691 -61.887991 72.46394 -61.644748 72.683644 C -61.401504 72.903348 -61.013099 73.268213 -60.769856 73.499687 C -60.526612 73.73116 -60.134284 74.115642 -59.89104 74.358886 C -59.647796 74.606053 -59.259391 75.014074 -59.016148 75.273011 C -58.772904 75.531948 -58.380576 75.959586 -58.137332 76.234216 C -57.894089 76.508845 -57.505684 76.963946 -57.26244 77.258193 C -57.019196 77.548516 -56.626868 78.031079 -56.383624 78.344942 C -56.140381 78.654882 -55.751976 79.168832 -55.508732 79.498388 C -55.265488 79.831867 -54.87316 80.381126 -54.629917 80.734222 C -54.386673 81.087318 -53.998268 81.671887 -53.755024 82.052445 C -53.511781 82.429081 -53.119452 83.060729 -52.876209 83.464827 C -52.632965 83.872849 -52.24456 84.547654 -52.001316 84.983138 C -51.758073 85.422546 -51.365744 86.14443 -51.122501 86.619148 C -50.879257 87.089942 -50.490852 87.870675 -50.247609 88.380702 C -50.004365 88.894652 -49.612037 89.742081 -49.368793 90.295264 C -49.125549 90.848448 -48.737144 91.770419 -48.493901 92.374605 C -48.250657 92.978791 -47.862252 93.983151 -47.615085 94.642263 C -47.371842 95.301375 -46.983436 96.403817 -46.740193 97.125702 C -46.496949 97.851509 -46.108544 99.05988 -45.865301 99.86023 C -45.622057 100.66058 -45.229729 101.99842 -44.986485 102.881159 C -44.743241 103.767821 -44.354836 105.254745 -44.111593 106.23949 C -43.868349 107.224234 -43.232777 109.994072 -43.232777 109.994072 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -15.024367 -32.868382 C -15.024367 -32.868382 -13.851305 -26.728443 -13.400128 -24.680489 C -12.94895 -22.628612 -12.227066 -19.756768 -11.775888 -18.093296 C -11.32471 -16.429823 -10.602826 -14.064083 -10.151649 -12.687011 C -9.700471 -11.306015 -8.978587 -9.320833 -8.527409 -8.159541 C -8.076231 -7.002173 -7.354347 -5.315161 -6.90317 -4.32257 C -6.455915 -3.333902 -5.730108 -1.882287 -5.282853 -1.027011 C -4.831676 -0.171736 -4.109792 1.091562 -3.658614 1.836986 C -3.207436 2.58241 -2.485552 3.692699 -2.034374 4.347887 C -1.583197 5.006999 -0.861313 5.98782 -0.410135 6.568466 C 0.0410426 7.149112 0.762927 8.024004 1.214104 8.541878 C 1.665282 9.063674 2.387166 9.844408 2.838344 10.311279 C 3.289522 10.778149 4.011406 11.48434 4.462583 11.904132 C 4.909838 12.327846 5.635645 12.967342 6.086823 13.3479 C 6.534077 13.732382 7.259885 14.313028 7.707139 14.6622 C 8.158317 15.011373 8.880201 15.541016 9.331379 15.862725 C 9.782556 16.180511 10.50444 16.670922 10.955618 16.965168 C 11.406796 17.259414 12.12868 17.706668 12.579857 17.977375 C 13.031035 18.248082 13.752919 18.66395 14.204097 18.91504 C 14.655275 19.16613 15.377159 19.550612 15.828336 19.782086 C 16.279514 20.013559 17.001398 20.370578 17.452576 20.590282 C 17.89983 20.806063 18.625638 21.139542 19.076815 21.339629 C 19.52407 21.539717 20.249877 21.853579 20.697132 22.041897 C 21.148309 22.230215 21.870193 22.520538 22.321371 22.697085 C 22.772549 22.873633 23.494433 23.148263 23.945611 23.313041 C 24.396788 23.477819 25.118672 23.732832 25.56985 23.889764 C 26.021028 24.046695 26.742912 24.289939 27.194089 24.4351 C 27.645267 24.584185 28.367151 24.811735 28.818329 24.94905 C 29.269507 25.086365 29.991391 25.302146 30.442568 25.435537 C 30.889823 25.565006 31.61563 25.769017 32.066808 25.894562 C 32.514062 26.016183 33.23987 26.212348 33.687124 26.330046 C 34.138302 26.447745 34.860186 26.628216 35.311364 26.741991 C 35.762541 26.851843 36.484425 27.028391 36.935603 27.134319 C 37.386781 27.240248 38.108665 27.405026 38.559843 27.507031 C 39.01102 27.609037 39.732904 27.765968 40.184082 27.86405 C 40.63526 27.958209 41.357144 28.111217 41.808321 28.201453 C 42.259499 28.295611 42.981383 28.440773 43.432561 28.527085 C 43.879815 28.613397 44.605623 28.750712 45.0568 28.837024 C 45.504055 28.919413 46.229862 29.052805 46.677117 29.131271 C 47.128294 29.21366 47.850178 29.339205 48.301356 29.41767 C 48.752534 29.492213 49.474418 29.613835 49.925596 29.688377 C 50.376773 29.762919 51.098657 29.876695 51.549835 29.947314 C 52.001013 30.017933 52.722897 30.131708 53.174074 30.198404 C 53.625252 30.269023 54.347136 30.374952 54.798314 30.437724 C 55.249492 30.50442 55.971376 30.606425 56.422553 30.673121 C 56.869808 30.735894 57.595615 30.833976 58.046793 30.892825 C 58.494047 30.955598 59.219855 31.049757 59.667109 31.108606 C 60.118287 31.167455 60.840171 31.257691 61.291349 31.31654 C 61.742526 31.371466 62.46441 31.461701 62.915588 31.512704 C 63.366766 31.56763 64.08865 31.653942 64.539828 31.708868 C 64.991005 31.759871 65.712889 31.84226 66.164067 31.893263 C 66.615245 31.944265 67.337129 32.022731 67.788306 32.073734 C 68.239484 32.120813 68.961368 32.199279 69.412546 32.246358 C 69.8598 32.293437 70.585608 32.36798 71.036785 32.415059 C 71.48404 32.458215 72.209847 32.532758 72.657102 32.575914 C 73.108279 32.61907 73.830163 32.689689 74.281341 32.732845 C 74.732519 32.776001 75.454403 32.842697 75.905581 32.885853 C 76.356758 32.929009 77.078642 32.991782 77.52982 33.034938 C 77.980998 33.074171 78.702882 33.136943 79.15406 33.176176 C 79.605237 33.215409 80.778299 33.317415 80.778299 33.317415 \" transform=\"matrix(0.995658, 0, 0, -0.995658, 99.552886, 126.508698)\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"141.322742\" y=\"112.927918\"/>\n</g>\n<g fill=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-4-0\" x=\"146.16662\" y=\"113.986303\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$x = -2$ et $y = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe se plaque contre la droite\nverticale $x = -2$ (limites infinies en $-2$) et contre la\ndroite horizontale $y = 3$ (limites finies en $\\pm\\infty$)."
        },
        {
          "text": "$x = 3$ et $y = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'inversion : la droite verticale coupe l'axe des\n**abscisses** en $-2$ (équation $x = -2$) et l'horizontale\ncoupe l'axe des **ordonnées** en $3$ (équation $y = 3$)."
        },
        {
          "text": "$x = -2$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : à droite comme à gauche, la courbe s'aplatit\nsur la droite horizontale $y = 3$ : c'est aussi une\nasymptote."
        },
        {
          "text": "$y = 3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : près de $x = -2$, la courbe part vers\n$\\pm\\infty$ le long de la droite verticale $x = -2$ : c'est\nl'asymptote verticale."
        }
      ],
      "explanation": "Deux lectures : une asymptote **verticale** $x = a$ traduit une\nlimite infinie au point interdit $a$ ; une asymptote\n**horizontale** $y = L$ traduit une limite finie $L$ en\n$+\\infty$ ou $-\\infty$. Ici : $x = -2$ et $y = 3$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "asymptote"
      ],
      "title": "Définition d'une asymptote horizontale",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote\nhorizontale à la courbe de $f$ en $+\\infty$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\\infty$\néquivaut à $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$."
        },
        {
          "text": "$f(2) = +\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(2)$ est un\nnombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $2$ :\nc'est une **ordonnée** limite, pas une abscisse."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 2} f(x) = +\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ceci décrirait une asymptote **verticale**\nd'équation $x = 2$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à\nl'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $2$."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la courbe se **rapproche** de la droite sans avoir\nbesoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite\ncompte."
        }
      ],
      "explanation": "$y = L$ asymptote horizontale en $+\\infty$ $\\Leftrightarrow$\n$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche\nindéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote\nhorizontale à la courbe de $f$ en $+\\infty$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\\infty$\néquivaut à $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$."
            },
            {
              "text": "$f(2) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(2)$ est un\nnombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $2$ :\nc'est une **ordonnée** limite, pas une abscisse."
            },
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 2} f(x) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ceci décrirait une asymptote **verticale**\nd'équation $x = 2$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à\nl'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $2$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la courbe se **rapproche** de la droite sans avoir\nbesoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite\ncompte."
            }
          ],
          "explanation": "$y = L$ asymptote horizontale en $+\\infty$ $\\Leftrightarrow$\n$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche\nindéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher."
        },
        {
          "statement": "Que signifie « la droite d'équation $y = 3$ est asymptote\nhorizontale à la courbe de $f$ en $+\\infty$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\\infty$\néquivaut à $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$."
            },
            {
              "text": "$f(3) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(3)$ est un\nnombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $3$ :\nc'est une **ordonnée** limite, pas une abscisse."
            },
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 3} f(x) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ceci décrirait une asymptote **verticale**\nd'équation $x = 3$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à\nl'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $3$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 3$ pour tout $x$ assez grand",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la courbe se **rapproche** de la droite sans avoir\nbesoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite\ncompte."
            }
          ],
          "explanation": "$y = L$ asymptote horizontale en $+\\infty$ $\\Leftrightarrow$\n$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche\nindéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher."
        },
        {
          "statement": "Que signifie « la droite d'équation $y = 5$ est asymptote\nhorizontale à la courbe de $f$ en $+\\infty$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\\infty$\néquivaut à $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$."
            },
            {
              "text": "$f(5) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(5)$ est un\nnombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $5$ :\nc'est une **ordonnée** limite, pas une abscisse."
            },
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 5} f(x) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ceci décrirait une asymptote **verticale**\nd'équation $x = 5$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à\nl'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $5$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 5$ pour tout $x$ assez grand",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la courbe se **rapproche** de la droite sans avoir\nbesoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite\ncompte."
            }
          ],
          "explanation": "$y = L$ asymptote horizontale en $+\\infty$ $\\Leftrightarrow$\n$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche\nindéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher."
        },
        {
          "statement": "Que signifie « la droite d'équation $y = 4$ est asymptote\nhorizontale à la courbe de $f$ en $+\\infty$ » ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : asymptote horizontale $y = L$ en $+\\infty$\néquivaut à $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$."
            },
            {
              "text": "$f(4) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : cette écriture n'a pas de sens ($f(4)$ est un\nnombre ou n'existe pas) et elle confond le rôle de $4$ :\nc'est une **ordonnée** limite, pas une abscisse."
            },
            {
              "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 4} f(x) = +\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ceci décrirait une asymptote **verticale**\nd'équation $x = 4$. Pour l'horizontale, c'est $x$ qui part à\nl'infini et $f(x)$ qui se stabilise vers $4$."
            },
            {
              "text": "$f(x) = 4$ pour tout $x$ assez grand",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la courbe se **rapproche** de la droite sans avoir\nbesoin de la toucher ni de s'y confondre. Seule la limite\ncompte."
            }
          ],
          "explanation": "$y = L$ asymptote horizontale en $+\\infty$ $\\Leftrightarrow$\n$\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = L$ : la courbe se rapproche\nindéfiniment de la droite, sans obligation de la toucher."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison"
      ],
      "title": "Limite par comparaison",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \\geq x$ pour tout réel\n$x$. Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = +\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème de comparaison. $f$ est minorée par\n$x$, qui tend vers $+\\infty$, donc $f$ est entraînée vers\n$+\\infty$."
        },
        {
          "text": "Rien, il faudrait aussi un majorant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour conclure à une limite $+\\infty$, une\n**minoration** par une fonction qui tend vers $+\\infty$\nsuffit. Le majorant sert pour le théorème des gendarmes\n(limite finie)."
        },
        {
          "text": "$f$ est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : être au-dessus de la droite $y = x$ n'impose aucune\nmonotonie ; $f$ peut osciller tout en restant au-dessus."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(x) \\geq x$ dépasse tout seuil fixé (par exemple\n$f(10^6) \\geq 10^6$), la limite ne peut pas être finie."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème de comparaison : si $f \\geq g$ au voisinage de\n$+\\infty$ et $\\lim g = +\\infty$, alors $\\lim f = +\\infty$.\nIci $g(x) = x$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "formes-indeterminees",
        "calcul"
      ],
      "title": "La forme $\\sqrt{x^2+1} - x$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "De quelle valeur l'expression $\\sqrt{x^2 + 1} - x$ se rapproche-t-elle\nlorsque $x$ grandit indéfiniment ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en multipliant et en divisant par $\\sqrt{x^2+1} + x$, on obtient $\\sqrt{x^2+1} - x = \\dfrac{1}{\\sqrt{x^2+1} + x}$, dont le dénominateur tend vers $+\\infty$.\n"
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux termes partent vers $+\\infty$ mais leur\n**écart** fond : $\\sqrt{x^2+1}$ dépasse à peine $x$\n(pour $x = 100$, l'écart vaut environ $0{,}005$)."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $+1$ sous la racine ne survit pas tel quel. Après multiplication et division par $\\sqrt{x^2+1} + x$, il se retrouve divisé par $\\sqrt{x^2+1} + x \\to +\\infty$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec le grand classique\n$\\sqrt{x^2 + x} - x \\to \\dfrac{1}{2}$. Ici le terme ajouté\nsous la racine est $1$ (constant), pas $x$ : la limite est\n$0$."
        }
      ],
      "explanation": "Forme « $\\infty - \\infty$ » avec racine : on multiplie et on divise par $\\sqrt{x^2+1} + x$, puis on utilise $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Ainsi $\\sqrt{x^2+1} - x = \\dfrac{(x^2+1) - x^2}{\\sqrt{x^2+1} + x} = \\dfrac{1}{\\sqrt{x^2+1} + x} \\to 0$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites-usuelles",
        "racine"
      ],
      "title": "Limite de $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ en $0^+$",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que devient $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ lorsque $x$ se rapproche de $0$\npar valeurs positives ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{x} \\to 0^+$, et l'inverse d'une\nquantité positive qui s'écrase vers $0$ explose vers\n$+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}} \\to 0$ correspond à\n$x \\to +\\infty$. Près de $0$, on divise $1$ par un nombre\nminuscule : le résultat est énorme."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est la valeur **en** $x = 1$, pas une limite en\n$0$. Essaie $x = 0{,}0001$ : $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}} = 100$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ est strictement positif sur\ntout son domaine, la limite ne peut pas être négative."
        }
      ],
      "explanation": "Quand $x \\to 0^+$, $\\sqrt{x} \\to 0^+$ donc\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}} \\to +\\infty$. La courbe admet l'axe des\nordonnées pour asymptote verticale."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "raisonnement",
        "formes-indeterminees"
      ],
      "title": "Que signifie « forme indéterminée » ?",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Le calcul d'une limite aboutit à la forme\n« $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ». Que peut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rien pour l'instant : il faut transformer l'expression",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une forme indéterminée signale que le théorème d'opérations ne s'applique pas tel quel : on transforme l'écriture (factorisation du terme dominant, croissances comparées, etc.). Selon les fonctions, le résultat peut être $0$, fini non nul, infini, ou inexistant.\n"
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas, puisque le calcul est bloqué",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur répandue : « indéterminée » ne veut pas dire\n« inexistante ». Exemple : $\\dfrac{2x}{x} \\to 2$, forme\n$\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ pourtant limite parfaitement\ndéfinie."
        },
        {
          "text": "La limite vaut $1$, car les infinis se compensent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{x^2}{x} \\to +\\infty$ et\n$\\dfrac{x}{x^2} \\to 0$ : les « infinis » ne se valent pas.\nAucune valeur n'est attribuable d'office."
        },
        {
          "text": "La limite vaut $0$, puisqu'on divise par un infini",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur tend vers l'infini, mais le\nnumérateur aussi : contre-exemple immédiat,\n$\\dfrac{3x}{x} \\to 3$. La forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$\nne préjuge d'aucun résultat."
        }
      ],
      "explanation": "Les quatre formes indéterminées ($\\infty - \\infty$,\n$0 \\times \\infty$, $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$, $\\dfrac{0}{0}$)\nsont des **signaux de travail** : on transforme l'écriture\njusqu'à pouvoir conclure. Elles n'annoncent jamais le résultat."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "composition-limites",
        "limite-gauche"
      ],
      "title": "Limite de $e^{1/x}$ en $0^-$",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Quelle est la limite de $e^{1/x}$ quand $x$ tend vers $0$ par\nvaleurs inférieures ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quand $x \\to 0^-$, l'exposant\n$\\dfrac{1}{x}$ tend vers $-\\infty$, et $e^X \\to 0$ quand\n$X \\to -\\infty$. Pour $x = -0{,}01$ : $e^{-100} \\approx\n3{,}7 \\times 10^{-44}$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de côté : $+\\infty$ est la limite à **droite**\n($x \\to 0^+$, exposant $\\to +\\infty$). À gauche de $0$,\n$\\dfrac{1}{x}$ est négatif et plonge vers $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 = e^0$ supposerait que l'exposant tend vers\n$0$. Or l'exposant est $\\dfrac{1}{x}$, qui ne tend pas\nvers $0$ mais vers $-\\infty$ quand $x \\to 0^-$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une exponentielle est toujours strictement\npositive ; le signe de l'exposant ne se transmet pas à\n$e^{1/x}$, qui reste positif et tend vers $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Composition des limites : on étudie d'abord l'exposant,\n$\\lim_{x \\to 0^-} \\dfrac{1}{x} = -\\infty$, puis on compose\navec $\\lim_{X \\to -\\infty} e^X = 0$. À droite de $0$, la\nmême fonction tend vers $+\\infty$ : les deux limites en $0$\ndiffèrent."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "quotient-polynomes",
        "terme-dominant"
      ],
      "title": "Quotient de polynômes en $+\\infty$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\n\\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,\n$\\dfrac{2x^2(1 + \\frac{1}{2x^2})}{x^2(1 + \\frac{3}{x^2})}\n\\to \\dfrac{2}{1} = 2$ : seuls les plus hauts degrés\ncomptent à l'infini."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur\naussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se\nstabilise sur celui des coefficients."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de\ndegré **supérieur**. Ici les degrés sont égaux : limite\n$= \\frac{2}{1}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{3}$ est le rapport des **constantes**,\nqui deviennent négligeables : ce sont les termes en\n$x^2$ qui décident."
        }
      ],
      "explanation": "Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de\nplus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;\nhaut plus fort : $\\pm\\infty$ ; bas plus fort : $0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\n\\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,\n$\\dfrac{2x^2(1 + \\frac{1}{2x^2})}{x^2(1 + \\frac{3}{x^2})}\n\\to \\dfrac{2}{1} = 2$ : seuls les plus hauts degrés\ncomptent à l'infini."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur\naussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se\nstabilise sur celui des coefficients."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de\ndegré **supérieur**. Ici les degrés sont égaux : limite\n$= \\frac{2}{1}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{3}$ est le rapport des **constantes**,\nqui deviennent négligeables : ce sont les termes en\n$x^2$ qui décident."
            }
          ],
          "explanation": "Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de\nplus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;\nhaut plus fort : $\\pm\\infty$ ; bas plus fort : $0$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\n\\dfrac{5x^2 + 1}{x^2 + 4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,\n$\\dfrac{5x^2(1 + \\frac{1}{5x^2})}{x^2(1 + \\frac{4}{x^2})}\n\\to \\dfrac{5}{1} = 5$ : seuls les plus hauts degrés\ncomptent à l'infini."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur\naussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se\nstabilise sur celui des coefficients."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de\ndegré **supérieur**. Ici les degrés sont égaux : limite\n$= \\frac{5}{1}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{4}$ est le rapport des **constantes**,\nqui deviennent négligeables : ce sont les termes en\n$x^2$ qui décident."
            }
          ],
          "explanation": "Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de\nplus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;\nhaut plus fort : $\\pm\\infty$ ; bas plus fort : $0$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\n\\dfrac{3x^2 + 1}{x^2 + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,\n$\\dfrac{3x^2(1 + \\frac{1}{3x^2})}{x^2(1 + \\frac{2}{x^2})}\n\\to \\dfrac{3}{1} = 3$ : seuls les plus hauts degrés\ncomptent à l'infini."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur\naussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se\nstabilise sur celui des coefficients."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de\ndegré **supérieur**. Ici les degrés sont égaux : limite\n$= \\frac{3}{1}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2}$ est le rapport des **constantes**,\nqui deviennent négligeables : ce sont les termes en\n$x^2$ qui décident."
            }
          ],
          "explanation": "Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de\nplus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;\nhaut plus fort : $\\pm\\infty$ ; bas plus fort : $0$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty}\n\\dfrac{4x^2 + 1}{x^2 + 5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en factorisant les termes dominants,\n$\\dfrac{4x^2(1 + \\frac{1}{4x^2})}{x^2(1 + \\frac{5}{x^2})}\n\\to \\dfrac{4}{1} = 4$ : seuls les plus hauts degrés\ncomptent à l'infini."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur explose, mais le dénominateur\naussi, à la même vitesse ($x^2$) : le rapport se\nstabilise sur celui des coefficients."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la limite $0$ correspond à un dénominateur de\ndegré **supérieur**. Ici les degrés sont égaux : limite\n$= \\frac{4}{1}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{5}$ est le rapport des **constantes**,\nqui deviennent négligeables : ce sont les termes en\n$x^2$ qui décident."
            }
          ],
          "explanation": "Quotient de polynômes à l'infini : le rapport des termes de\nplus haut degré. Degrés égaux : rapport des coefficients ;\nhaut plus fort : $\\pm\\infty$ ; bas plus fort : $0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-point",
        "substitution"
      ],
      "title": "Limite en un point sans obstacle",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucun interdit en $1$ (dénominateur non\nnul), aucune forme indéterminée : on remplace :\n$\\frac{1 + 1}{1 + 2} = \\frac{2}{3}$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe erroné : une limite en un point ne donne\nl'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $1 + 2 =\n3 \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "Forme indéterminée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{2}{3}$ n'a rien d'indéterminé : les\nformes à problème sont $\\frac{0}{0}$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$… pas un quotient ordinaire."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur en $1$ vaut $2$, pas $0$ : la\nlimite est le quotient des deux valeurs."
        }
      ],
      "explanation": "Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la\nsubstitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,\npas d'indétermination), la limite est la valeur : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur domaine.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun interdit en $1$ (dénominateur non\nnul), aucune forme indéterminée : on remplace :\n$\\frac{1 + 1}{1 + 2} = \\frac{2}{3}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe erroné : une limite en un point ne donne\nl'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $1 + 2 =\n3 \\neq 0$."
            },
            {
              "text": "Forme indéterminée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{2}{3}$ n'a rien d'indéterminé : les\nformes à problème sont $\\frac{0}{0}$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$… pas un quotient ordinaire."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur en $1$ vaut $2$, pas $0$ : la\nlimite est le quotient des deux valeurs."
            }
          ],
          "explanation": "Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la\nsubstitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,\npas d'indétermination), la limite est la valeur : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur domaine."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun interdit en $2$ (dénominateur non\nnul), aucune forme indéterminée : on remplace :\n$\\frac{4 + 1}{2 + 2} = \\frac{5}{4}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe erroné : une limite en un point ne donne\nl'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $2 + 2 =\n4 \\neq 0$."
            },
            {
              "text": "Forme indéterminée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{5}{4}$ n'a rien d'indéterminé : les\nformes à problème sont $\\frac{0}{0}$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$… pas un quotient ordinaire."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur en $2$ vaut $5$, pas $0$ : la\nlimite est le quotient des deux valeurs."
            }
          ],
          "explanation": "Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la\nsubstitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,\npas d'indétermination), la limite est la valeur : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur domaine."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 4} \\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{17}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun interdit en $4$ (dénominateur non\nnul), aucune forme indéterminée : on remplace :\n$\\frac{16 + 1}{4 + 2} = \\frac{17}{6}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe erroné : une limite en un point ne donne\nl'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $4 + 2 =\n6 \\neq 0$."
            },
            {
              "text": "Forme indéterminée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{17}{6}$ n'a rien d'indéterminé : les\nformes à problème sont $\\frac{0}{0}$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$… pas un quotient ordinaire."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur en $4$ vaut $17$, pas $0$ : la\nlimite est le quotient des deux valeurs."
            }
          ],
          "explanation": "Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la\nsubstitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,\npas d'indétermination), la limite est la valeur : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur domaine."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 5} \\dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{26}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : aucun interdit en $5$ (dénominateur non\nnul), aucune forme indéterminée : on remplace :\n$\\frac{25 + 1}{5 + 2} = \\frac{26}{7}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Réflexe erroné : une limite en un point ne donne\nl'infini que si le dénominateur s'annule. Ici $5 + 2 =\n7 \\neq 0$."
            },
            {
              "text": "Forme indéterminée",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\frac{26}{7}$ n'a rien d'indéterminé : les\nformes à problème sont $\\frac{0}{0}$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$… pas un quotient ordinaire."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur en $5$ vaut $26$, pas $0$ : la\nlimite est le quotient des deux valeurs."
            }
          ],
          "explanation": "Premier réflexe devant une limite en un point : essayer la\nsubstitution. Si rien ne coince (pas de division par zéro,\npas d'indétermination), la limite est la valeur : les\nfonctions usuelles sont continues sur leur domaine."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "exponentielle",
        "limite-infini"
      ],
      "title": "Limite de $e^{-x}$ en $+\\infty$",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} e^{-x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} = \\dfrac{1}{e^x}$, et $e^x \\to\n+\\infty$ : l'inverse fond vers $0$. L'axe des abscisses\nest asymptote."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $e^{-x}$ est **positive** (une\nexponentielle ne prend que des valeurs strictement\npositives) : elle ne peut pas plonger sous zéro."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : c'est en $-\\infty$ que $e^{-x}$ explose.\nEn $+\\infty$, l'exposant $-x$ plonge et l'exponentielle\ns'éteint."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^{-x} = 1$ seulement en $x = 0$ ; à l'infini,\nl'exponentielle d'un exposant qui tend vers $-\\infty$\ntend vers $0$."
        }
      ],
      "explanation": "$e^{-x} = \\frac{1}{e^x} \\to 0$ en $+\\infty$, en restant\nstrictement positive. Modèle des décroissances\nexponentielles (désintégration, refroidissement) : chute\nrapide, jamais nulle."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "zero-sur-zero",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Lever un $\\dfrac{0}{0}$ par factorisation",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2$ pour\n$x \\neq 2$, qui tend vers $4$ : la factorisation efface\nl'obstacle."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur aussi : $\\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il\nfaut simplifier d'abord."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si\nle numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux\ns'annulent : simplification obligatoire."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec\n$x + 2$ autour de $2$ : la limite existe et vaut $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Devant $\\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et\nle dénominateur partagent la racine : factoriser par\n$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux\nd'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $2$.)",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2$ pour\n$x \\neq 2$, qui tend vers $4$ : la factorisation efface\nl'obstacle."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur aussi : $\\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il\nfaut simplifier d'abord."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si\nle numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux\ns'annulent : simplification obligatoire."
            },
            {
              "text": "La limite n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec\n$x + 2$ autour de $2$ : la limite existe et vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $\\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et\nle dénominateur partagent la racine : factoriser par\n$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux\nd'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $2$.)"
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 3} \\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3$ pour\n$x \\neq 3$, qui tend vers $6$ : la factorisation efface\nl'obstacle."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur aussi : $\\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il\nfaut simplifier d'abord."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si\nle numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux\ns'annulent : simplification obligatoire."
            },
            {
              "text": "La limite n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec\n$x + 3$ autour de $3$ : la limite existe et vaut $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $\\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et\nle dénominateur partagent la racine : factoriser par\n$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux\nd'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $3$.)"
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 5} \\dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(x-5)(x+5)}{x - 5} = x + 5$ pour\n$x \\neq 5$, qui tend vers $10$ : la factorisation efface\nl'obstacle."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur aussi : $\\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il\nfaut simplifier d'abord."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si\nle numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux\ns'annulent : simplification obligatoire."
            },
            {
              "text": "La limite n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec\n$x + 5$ autour de $5$ : la limite existe et vaut $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $\\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et\nle dénominateur partagent la racine : factoriser par\n$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux\nd'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $5$.)"
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 4} \\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{(x-4)(x+4)}{x - 4} = x + 4$ pour\n$x \\neq 4$, qui tend vers $8$ : la factorisation efface\nl'obstacle."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur aussi : $\\frac{0}{0}$ ne vaut pas $0$, il\nfaut simplifier d'abord."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « dénominateur nul donc infini » ne vaut que si\nle numérateur, lui, ne s'annule pas. Ici les deux\ns'annulent : simplification obligatoire."
            },
            {
              "text": "La limite n'existe pas",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : après simplification, la fonction coïncide avec\n$x + 4$ autour de $4$ : la limite existe et vaut $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant $\\frac{0}{0}$ avec des polynômes : le numérateur et\nle dénominateur partagent la racine : factoriser par\n$(x - a)$ et simplifier. (C'est d'ailleurs un taux\nd'accroissement déguisé : celui de $x^2$ en $4$.)"
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gendarmes",
        "fonctions-bornees"
      ],
      "title": "Gendarmes avec un cosinus",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\dfrac{\\cos x}{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse, par encadrement : pour $x > 0$,\n$-\\dfrac{1}{x} \\leq \\dfrac{\\cos x}{x} \\leq \\dfrac{1}{x}$ ;\nle cosinus reste coincé entre $-1$ et $1$ pendant que le\ndénominateur explose : les deux gendarmes $\\pm\\frac{1}{x}$\nécrasent le quotient sur $0$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas, car $\\cos x$ oscille",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cosinus oscille, mais **borné** : divisées\npar $x$, ses oscillations s'aplatissent. L'encadrement\nconclut là où les opérations échouent."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion probable avec $\\frac{\\sin x}{x}$ en $0$. En\n$+\\infty$, le numérateur borné ne suit pas le\ndénominateur : quotient vers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur ne dépasse jamais $1$ : le\nquotient est majoré par $\\frac{1}{x}$, qui fond."
        }
      ],
      "explanation": "Borné divisé par infini : $0$, via le théorème des\ngendarmes. Réflexe : dès qu'un facteur oscillant ($\\cos$,\n$\\sin$, $(-1)^n$) bloque les opérations, encadrer."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "composition-limites"
      ],
      "title": "Limite d'une composée",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} e^{-x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ : on pose $X = -x^2 \\to -\\infty$, et $e^X \\to 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : composition en deux temps : l'exposant\n$-x^2$ plonge vers $-\\infty$, et l'exponentielle d'un\nexposant qui plonge s'éteint."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$, car l'exponentielle explose toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^X$ n'explose que si $X \\to +\\infty$. Ici\nl'exposant tend vers $-\\infty$ : il faut suivre\nl'exposant avant de conclure."
        },
        {
          "text": "$1$, car $e^0 = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant $-x^2$ ne tend pas vers $0$ mais\nvers $-\\infty$ (on évalue la limite **interne**\nd'abord)."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$, à cause du signe moins",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une exponentielle reste strictement positive :\nle moins est dans l'exposant, pas devant la fonction."
        }
      ],
      "explanation": "Limite de composée : d'abord la limite interne ($u(x) \\to\nb$), puis la limite de la fonction externe en $b$. Poser\nexplicitement $X = u(x)$ évite tous les faux réflexes."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-gauche",
        "signe"
      ],
      "title": "Limite à gauche d'un pôle",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 3^-} \\dfrac{1}{x - 3}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à gauche de $3$ (par exemple $x =\n2{,}99$), $x - 3$ est un petit nombre **négatif** :\nl'inverse plonge vers $-\\infty$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe non contrôlé : c'est la limite à **droite**\n($x - 3 > 0$). À gauche, le dénominateur est négatif :\ntest rapide avec $x = 2{,}9$ : $\\frac{1}{-0{,}1} = -10$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un dénominateur qui fond fait **exploser** le\nquotient ($\\frac{1}{0{,}001} = 1000$), il ne l'éteint\npas."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur interdite $3$ n'est pas la limite :\nprès d'un pôle, la fonction part vers l'infini (avec un\nsigne à déterminer)."
        }
      ],
      "explanation": "Près d'un pôle, toujours tester le **signe** du dénominateur\nde chaque côté (une valeur numérique suffit). Ici :\n$-\\infty$ à gauche, $+\\infty$ à droite : l'asymptote\nverticale $x = 3$ est traversée en deux branches opposées."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "croissance-comparee",
        "produit"
      ],
      "title": "La forme $x\\,e^x$ en $-\\infty$",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} x\\,e^{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ : l'exponentielle l'emporte sur $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : forme $-\\infty \\times 0$, tranchée par\nla croissance comparée : $e^x$ s'éteint plus vite que\n$x$ ne grossit : le produit fond vers $0$ (par valeurs\nnégatives)."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$, car $x \\to -\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le facteur $e^x$ tend vers $0$ et freine tout :\nc'est un conflit $\\infty \\times 0$, gagné par\nl'exponentielle."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$, car l'exponentielle gagne toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Mal citée : l'exponentielle gagne, oui, mais ici elle\ntend vers $0$ : elle tire le produit vers $0$, pas vers\nl'infini."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune compensation exacte n'a lieu : la\ncroissance comparée donne $0$, résultat de cours à\nconnaître."
        }
      ],
      "explanation": "Croissances comparées, version $-\\infty$ : $x^n e^x \\to 0$\nquand $x \\to -\\infty$ (l'exponentielle écrase toute\npuissance). Pendant qu'en $+\\infty$ : $\\frac{e^x}{x^n} \\to\n+\\infty$. Deux faces du même théorème."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taux-accroissement",
        "limite-remarquable"
      ],
      "title": "La limite $\\dfrac{e^x - 1}{x}$ en $0$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^x - 1}{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est le nombre dérivé de $e^x$ en $0$.\n$\\dfrac{e^x - e^0}{x - 0}$ est le taux d'accroissement\nde l'exponentielle en $0$ ; sa limite est $\\exp'(0) =\ne^0 = 1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $0$, mais le\ndénominateur tend vers $0$ **aussi** : forme\n$\\frac{0}{0}$ à lever, et ici c'est une dérivée\ndéguisée."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par un nombre qui tend vers $0$, mais\nle numérateur s'annule en même temps : le quotient reste\néquilibré et tend vers la pente de la tangente en $0$,\nsoit $1$."
        },
        {
          "text": "$e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e = e^1$ serait le nombre dérivé **en $1$**.\nEn $0$ : $e^0 = 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe précieux : $\\lim\\limits_{x \\to a}\n\\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$. Beaucoup de\n$\\frac{0}{0}$ sont des taux d'accroissement déguisés :\nreconnaître la forme évite tout calcul."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "asymptotes",
        "synthese"
      ],
      "title": "Les deux asymptotes d'une homographique",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les\nasymptotes de sa courbe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en $1$, dénominateur nul et numérateur\nnon nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des\ntermes dominants $\\frac{2x}{x} = 2$ : horizontale\n$y = 2$."
        },
        {
          "text": "Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs croisées : la verticale vient du **dénominateur\nnul** ($x = 1$), l'horizontale du rapport des\ncoefficients dominants ($y = 2$)."
        },
        {
          "text": "Verticale $x = 1$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : à l'infini, $f(x) \\to 2$ : la droite $y = 2$\nest asymptote horizontale des deux côtés."
        },
        {
          "text": "Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $f(0)$ est une **valeur** de la fonction, pas\nune asymptote : les asymptotes se lisent dans les\nlimites, pas dans les images."
        }
      ],
      "explanation": "Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur\n(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à\nl'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 1$ et $y = 2$,\nl'hyperbole complète.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les\nasymptotes de sa courbe ?",
          "options": [
            {
              "text": "Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en $1$, dénominateur nul et numérateur\nnon nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des\ntermes dominants $\\frac{2x}{x} = 2$ : horizontale\n$y = 2$."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs croisées : la verticale vient du **dénominateur\nnul** ($x = 1$), l'horizontale du rapport des\ncoefficients dominants ($y = 2$)."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 1$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : à l'infini, $f(x) \\to 2$ : la droite $y = 2$\nest asymptote horizontale des deux côtés."
            },
            {
              "text": "Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0)$ est une **valeur** de la fonction, pas\nune asymptote : les asymptotes se lisent dans les\nlimites, pas dans les images."
            }
          ],
          "explanation": "Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur\n(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à\nl'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 1$ et $y = 2$,\nl'hyperbole complète."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{3x + 4}{x - 2}$. Quelles sont les\nasymptotes de sa courbe ?",
          "options": [
            {
              "text": "Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en $2$, dénominateur nul et numérateur\nnon nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des\ntermes dominants $\\frac{3x}{x} = 3$ : horizontale\n$y = 3$."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 3$ et horizontale $y = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs croisées : la verticale vient du **dénominateur\nnul** ($x = 2$), l'horizontale du rapport des\ncoefficients dominants ($y = 3$)."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 2$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : à l'infini, $f(x) \\to 3$ : la droite $y = 3$\nest asymptote horizontale des deux côtés."
            },
            {
              "text": "Horizontale $y = -2$, car $f(0) = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0)$ est une **valeur** de la fonction, pas\nune asymptote : les asymptotes se lisent dans les\nlimites, pas dans les images."
            }
          ],
          "explanation": "Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur\n(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à\nl'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 2$ et $y = 3$,\nl'hyperbole complète."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{4x + 3}{x - 1}$. Quelles sont les\nasymptotes de sa courbe ?",
          "options": [
            {
              "text": "Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en $1$, dénominateur nul et numérateur\nnon nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des\ntermes dominants $\\frac{4x}{x} = 4$ : horizontale\n$y = 4$."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 4$ et horizontale $y = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs croisées : la verticale vient du **dénominateur\nnul** ($x = 1$), l'horizontale du rapport des\ncoefficients dominants ($y = 4$)."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 1$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : à l'infini, $f(x) \\to 4$ : la droite $y = 4$\nest asymptote horizontale des deux côtés."
            },
            {
              "text": "Horizontale $y = -3$, car $f(0) = -3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0)$ est une **valeur** de la fonction, pas\nune asymptote : les asymptotes se lisent dans les\nlimites, pas dans les images."
            }
          ],
          "explanation": "Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur\n(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à\nl'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 1$ et $y = 4$,\nl'hyperbole complète."
        },
        {
          "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{5x + 6}{x - 3}$. Quelles sont les\nasymptotes de sa courbe ?",
          "options": [
            {
              "text": "Verticale $x = 3$ et horizontale $y = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en $3$, dénominateur nul et numérateur\nnon nul : asymptote verticale ; à l'infini, rapport des\ntermes dominants $\\frac{5x}{x} = 5$ : horizontale\n$y = 5$."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 5$ et horizontale $y = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Valeurs croisées : la verticale vient du **dénominateur\nnul** ($x = 3$), l'horizontale du rapport des\ncoefficients dominants ($y = 5$)."
            },
            {
              "text": "Verticale $x = 3$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : à l'infini, $f(x) \\to 5$ : la droite $y = 5$\nest asymptote horizontale des deux côtés."
            },
            {
              "text": "Horizontale $y = -2$, car $f(0) = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $f(0)$ est une **valeur** de la fonction, pas\nune asymptote : les asymptotes se lisent dans les\nlimites, pas dans les images."
            }
          ],
          "explanation": "Bilan asymptotique d'un quotient : les zéros du dénominateur\n(numérateur non nul) donnent les verticales ; les limites à\nl'infini donnent les horizontales. Ici : $x = 3$ et $y = 5$,\nl'hyperbole complète."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "infini-moins-infini",
        "factorisation"
      ],
      "title": "La forme $x - \\sqrt{x}$ en $+\\infty$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(x -\n\\sqrt{x}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$, car $x - \\sqrt{x} = \\sqrt{x}(\\sqrt{x} - 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : factoriser le terme dominant transforme\n$\\infty - \\infty$ en produit $\\infty \\times \\infty$ :\nles deux facteurs tendent vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$0$, car les deux termes se compensent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x$ croît beaucoup plus vite que $\\sqrt{x}$\n(en $100$ : $100 - 10 = 90$) : aucune compensation."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$, car on soustrait un infini",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le terme **dominant** est $x$, positif : la\nsoustraction de $\\sqrt{x}$, négligeable, ne renverse pas\nla tendance."
        },
        {
          "text": "Forme indéterminée : on ne peut pas conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Mi-vrai : la forme brute est indéterminée, mais\nl'indétermination se **lève** (factorisation) : la\nlimite existe et vaut $+\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\infty - \\infty$ avec des puissances : factoriser la plus\nforte. $x - \\sqrt{x} = \\sqrt{x}(\\sqrt{x} - 1) \\to +\\infty$.\nUne indétermination n'est jamais une réponse finale."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "fonctions-sans-limite"
      ],
      "title": "Ne pas avoir de limite en $+\\infty$",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Une fonction $f$ n'a pas de limite finie en $+\\infty$.\nPeut-on en déduire qu'elle tend vers $+\\infty$ ou\n$-\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : elle peut osciller sans limite, comme $\\cos x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos x$ n'a ni limite finie ni limite\ninfinie : elle repasse éternellement par $1$ et $-1$.\nTrois issues possibles en $+\\infty$ : limite finie,\nlimite infinie, ou rien."
        },
        {
          "text": "Oui : sans limite finie, il ne reste que l'infini",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux dilemme : l'oscillation est la troisième voie :\n$\\cos x$, $\\sin x$, $x\\sin x$… aucune limite d'aucune\nsorte."
        },
        {
          "text": "Oui, sauf si la fonction est périodique",
          "correct": false,
          "feedback": "La périodicité n'est qu'un exemple : $x \\mapsto\n\\cos(x^2)$ n'est pas périodique et n'a pas non plus de\nlimite. Le critère n'est pas la périodicité."
        },
        {
          "text": "Non : toute fonction a forcément une limite, quitte à\nêtre infinie",
          "correct": false,
          "feedback": "Contredit l'exemple $\\cos x$ : l'existence d'une limite\nn'a rien d'automatique, c'est une propriété à démontrer."
        }
      ],
      "explanation": "Comme pour les suites : limite finie, limite infinie, ou pas\nde limite du tout. Les fonctions trigonométriques fournissent\nles contre-exemples de la troisième catégorie : à citer dès\nqu'un énoncé « oublie » ce cas."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "asymptote-horizontale"
      ],
      "title": "Asymptote horizontale et position de la courbe",
      "partie": "definitions",
      "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 1 - 4e^{-x}$. Quelle asymptote sa courbe admet-elle en $+\\infty$, et quelle est la position de la courbe par rapport à cette droite ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite d'équation $y = 1$, courbe au-dessous",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} \\to 0$ en $+\\infty$, donc $f(x) \\to 1$. De plus $f(x) - 1 = -4e^{-x} < 0$ : la courbe reste sous la droite.\n"
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = 1$, courbe au-dessus",
          "correct": false,
          "feedback": "La limite est juste, mais le signe est mal lu : $f(x) - 1 = -4e^{-x}$ est strictement négatif, la courbe est donc sous la droite.\n"
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = -3$, courbe au-dessous",
          "correct": false,
          "feedback": "$-3$ est la valeur $f(0)$, pas la limite en $+\\infty$ : l'asymptote se lit sur la limite, qui vaut $1$ puisque $e^{-x} \\to 0$.\n"
        },
        {
          "text": "La droite d'équation $y = -4$, courbe au-dessus",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $-4$ multiplie $e^{-x}$, qui tend vers $0$ : il disparaît à la limite et il reste $1$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Si $f(x)$ tend vers un réel $\\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$, la droite d'équation $y = \\ell$ est asymptote à la courbe en $+\\infty$. Le signe de $f(x) - \\ell$ donne la position : ici $-4e^{-x} < 0$, la courbe est au-dessous.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 1 - 4e^{-x}$. Quelle asymptote sa courbe admet-elle en $+\\infty$, et quelle est la position de la courbe par rapport à cette droite ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 1$, courbe au-dessous",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} \\to 0$ en $+\\infty$, donc $f(x) \\to 1$. De plus $f(x) - 1 = -4e^{-x} < 0$ : la courbe reste sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 1$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "La limite est juste, mais le signe est mal lu : $f(x) - 1 = -4e^{-x}$ est strictement négatif, la courbe est donc sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -3$, courbe au-dessous",
              "correct": false,
              "feedback": "$-3$ est la valeur $f(0)$, pas la limite en $+\\infty$ : l'asymptote se lit sur la limite, qui vaut $1$ puisque $e^{-x} \\to 0$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -4$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $-4$ multiplie $e^{-x}$, qui tend vers $0$ : il disparaît à la limite et il reste $1$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $f(x)$ tend vers un réel $\\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$, la droite d'équation $y = \\ell$ est asymptote à la courbe en $+\\infty$. Le signe de $f(x) - \\ell$ donne la position : ici $-4e^{-x} < 0$, la courbe est au-dessous."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 - 3e^{-x}$. Quelle asymptote sa courbe admet-elle en $+\\infty$, et quelle est la position de la courbe par rapport à cette droite ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 2$, courbe au-dessous",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} \\to 0$ en $+\\infty$, donc $f(x) \\to 2$. De plus $f(x) - 2 = -3e^{-x} < 0$ : la courbe reste sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 2$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "La limite est juste, mais le signe est mal lu : $f(x) - 2 = -3e^{-x}$ est strictement négatif, la courbe est donc sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -1$, courbe au-dessous",
              "correct": false,
              "feedback": "$-1$ est la valeur $f(0)$, pas la limite en $+\\infty$ : l'asymptote se lit sur la limite, qui vaut $2$ puisque $e^{-x} \\to 0$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -3$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $-3$ multiplie $e^{-x}$, qui tend vers $0$ : il disparaît à la limite et il reste $2$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $f(x)$ tend vers un réel $\\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$, la droite d'équation $y = \\ell$ est asymptote à la courbe en $+\\infty$. Le signe de $f(x) - \\ell$ donne la position : ici $-3e^{-x} < 0$, la courbe est au-dessous."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 3 - 5e^{-x}$. Quelle asymptote sa courbe admet-elle en $+\\infty$, et quelle est la position de la courbe par rapport à cette droite ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 3$, courbe au-dessous",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} \\to 0$ en $+\\infty$, donc $f(x) \\to 3$. De plus $f(x) - 3 = -5e^{-x} < 0$ : la courbe reste sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 3$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "La limite est juste, mais le signe est mal lu : $f(x) - 3 = -5e^{-x}$ est strictement négatif, la courbe est donc sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -2$, courbe au-dessous",
              "correct": false,
              "feedback": "$-2$ est la valeur $f(0)$, pas la limite en $+\\infty$ : l'asymptote se lit sur la limite, qui vaut $3$ puisque $e^{-x} \\to 0$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -5$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $-5$ multiplie $e^{-x}$, qui tend vers $0$ : il disparaît à la limite et il reste $3$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $f(x)$ tend vers un réel $\\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$, la droite d'équation $y = \\ell$ est asymptote à la courbe en $+\\infty$. Le signe de $f(x) - \\ell$ donne la position : ici $-5e^{-x} < 0$, la courbe est au-dessous."
        },
        {
          "statement": "La fonction $f$ est définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x) = 5 - 2e^{-x}$. Quelle asymptote sa courbe admet-elle en $+\\infty$, et quelle est la position de la courbe par rapport à cette droite ?",
          "options": [
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 5$, courbe au-dessous",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} \\to 0$ en $+\\infty$, donc $f(x) \\to 5$. De plus $f(x) - 5 = -2e^{-x} < 0$ : la courbe reste sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 5$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "La limite est juste, mais le signe est mal lu : $f(x) - 5 = -2e^{-x}$ est strictement négatif, la courbe est donc sous la droite.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = 3$, courbe au-dessous",
              "correct": false,
              "feedback": "$3$ est la valeur $f(0)$, pas la limite en $+\\infty$ : l'asymptote se lit sur la limite, qui vaut $5$ puisque $e^{-x} \\to 0$.\n"
            },
            {
              "text": "La droite d'équation $y = -2$, courbe au-dessus",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $-2$ multiplie $e^{-x}$, qui tend vers $0$ : il disparaît à la limite et il reste $5$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Si $f(x)$ tend vers un réel $\\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$, la droite d'équation $y = \\ell$ est asymptote à la courbe en $+\\infty$. Le signe de $f(x) - \\ell$ donne la position : ici $-2e^{-x} < 0$, la courbe est au-dessous."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "croissances-comparees"
      ],
      "title": "Croissance comparée avec le logarithme",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Vers quoi tend $\\dfrac{\\ln x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la croissance du logarithme est négligeable devant\ncelle de $x$."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pour $x = 10^6$, le quotient vaut environ $0{,}0000138$, il diminue au\nlieu de croître."
        },
        {
          "text": "Vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux fonctions tendent vers $+\\infty$, mais à des vitesses très\ndifférentes."
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient décroît vers $0$ à partir d'un certain rang, sans osciller."
        }
      ],
      "explanation": "Les croissances comparées classent les vitesses : le logarithme croît plus\nlentement que toute puissance de $x$, elle-même plus lente que\nl'exponentielle."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "asymptote-horizontale"
      ],
      "title": "Deux asymptotes horizontales",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Une fonction peut-elle admettre deux asymptotes horizontales\ndifférentes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, une en $-\\infty$ et une en $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction $x \\mapsto \\dfrac{e^x}{e^x + 1}$ tend vers\n$0$ d'un côté et vers $1$ de l'autre."
        },
        {
          "text": "Non, une fonction n'en a qu'une au plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Les comportements aux deux bouts sont indépendants l'un de l'autre."
        },
        {
          "text": "Oui, autant qu'on veut",
          "correct": false,
          "feedback": "Il n'y a que deux directions à l'infini, donc au plus deux asymptotes\nhorizontales."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si la fonction est périodique",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction périodique non constante n'admet au contraire aucune\nlimite en l'infini."
        }
      ],
      "explanation": "Une asymptote horizontale correspond à une limite finie en $-\\infty$ ou en\n$+\\infty$. Ces deux limites pouvant différer, une courbe admet jusqu'à\ndeux asymptotes horizontales."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "composee"
      ],
      "title": "Limite d'une exponentielle composée",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Vers quoi tend $e^{-x^2}$ lorsque $x$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant tend vers $-\\infty$, et l'exponentielle y\ntend vers $0$."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins devant le carré fait plonger l'exposant vers\n$-\\infty$."
        },
        {
          "text": "Vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $1$ est atteinte en $x = 0$ seulement, où l'exposant\ns'annule."
        },
        {
          "text": "Vers $-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exponentielle est strictement positive : elle ne prend jamais de\nvaleur négative."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une composée, on détermine d'abord la limite de l'expression\nintérieure, puis celle de la fonction extérieure en cette valeur. Ici\nl'exposant tend vers $-\\infty$."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "gendarmes"
      ],
      "title": "Encadrer pour conclure",
      "partie": "definitions",
      "statement": "On sait que $-\\dfrac{1}{x} \\leq f(x) \\leq \\dfrac{1}{x}$ pour\n$x > 0$. Vers quoi tend $f$ en $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes tendent vers $0$, donc $f$ y est\ncontrainte."
        },
        {
          "text": "Vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur sort de l'encadrement dès que $x$ dépasse $1$."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'encadrement interdit à $f$ de dépasser $\\dfrac{1}{x}$, qui devient\nminuscule."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Le théorème des gendarmes conclut précisément dans cette situation."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème des gendarmes conclut quand les deux bornes d'un encadrement\nont la même limite finie. Un encadrement par une seule borne permet\nseulement de conclure à une limite infinie."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limites",
        "quotient",
        "factorisation"
      ],
      "title": "Factoriser avant de conclure",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Vers quoi tend $\\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ lorsque $x$ tend vers $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la factorisation donne $x + 3$ pour $x \\neq 3$, dont\nla limite vaut $6$."
        },
        {
          "text": "Vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur seul considéré : le dénominateur s'annule lui aussi, d'où\nl'indétermination."
        },
        {
          "text": "Vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $x - 3$ se simplifie, il n'y a donc pas de pôle en $3$."
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "La simplification lève l'indétermination et donne une limite finie."
        }
      ],
      "explanation": "Une forme $\\dfrac{0}{0}$ se lève souvent en factorisant numérateur et\ndénominateur par le terme qui s'annule, puis en simplifiant."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-point",
        "substitution"
      ],
      "title": "Quand la substitution suffit",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Pour laquelle de ces limites la réponse s'obtient-elle en remplaçant\nsimplement $x$ par la valeur indiquée ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{2x + 5}{x^2 + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en $2$, le dénominateur vaut $5$, qui n'est pas nul.\nOn remplace donc $x$ par $2$ et la limite vaut $\\dfrac{9}{5}$."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 3} \\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $3$, le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux :\nla substitution donne $\\dfrac{0}{0}$, il faut factoriser avant."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{x + 1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $0$, le dénominateur s'annule alors que le numérateur vaut $1$ :\nla fonction n'a pas de limite finie, il faut étudier les signes."
        },
        {
          "text": "$\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "En $1$, le numérateur et le dénominateur s'annulent : la\nsubstitution donne la forme $\\dfrac{0}{0}$, qui n'est pas un\nrésultat."
        }
      ],
      "explanation": "Remplacer $x$ par la valeur visée n'est licite que si la fonction est\ndéfinie en cette valeur, donc si aucun dénominateur ne s'y annule. Dans\nles autres cas, il faut d'abord transformer l'écriture."
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient-polynomes",
        "terme-dominant"
      ],
      "title": "Quotient de polynômes en moins l'infini",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} \\dfrac{3x^3 + 1}{6x^3 + x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on factorise par $x^3$ au numérateur comme au\ndénominateur, puis on simplifie. Il reste le quotient des\ncoefficients dominants, soit $\\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe a été changé parce que $x$ tend vers $-\\infty$. Or $x^3$ se\nsimplifie de part et d'autre : la limite est la même qu'en\n$+\\infty$, soit $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient a été pris à l'envers : le coefficient $3$ est au\nnumérateur, donc la limite vaut $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux polynômes ont le même degré : leurs croissances se\ncompensent et le quotient tend vers le réel $\\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour un quotient de polynômes, on factorise chaque terme par sa\npuissance dominante. Quand les deux degrés sont égaux, la limite en\n$+\\infty$ comme en $-\\infty$ vaut le quotient des coefficients\ndominants.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} \\dfrac{3x^3 + 1}{6x^3 + x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on factorise par $x^3$ au numérateur comme au\ndénominateur, puis on simplifie. Il reste le quotient des\ncoefficients dominants, soit $\\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été changé parce que $x$ tend vers $-\\infty$. Or $x^3$ se\nsimplifie de part et d'autre : la limite est la même qu'en\n$+\\infty$, soit $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été pris à l'envers : le coefficient $3$ est au\nnumérateur, donc la limite vaut $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux polynômes ont le même degré : leurs croissances se\ncompensent et le quotient tend vers le réel $\\dfrac{1}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un quotient de polynômes, on factorise chaque terme par sa\npuissance dominante. Quand les deux degrés sont égaux, la limite en\n$+\\infty$ comme en $-\\infty$ vaut le quotient des coefficients\ndominants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} \\dfrac{5x^3 + 1}{2x^3 + x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on factorise par $x^3$ au numérateur comme au\ndénominateur, puis on simplifie. Il reste le quotient des\ncoefficients dominants, soit $\\dfrac{5}{2} = \\dfrac{5}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été changé parce que $x$ tend vers $-\\infty$. Or $x^3$ se\nsimplifie de part et d'autre : la limite est la même qu'en\n$+\\infty$, soit $\\dfrac{5}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été pris à l'envers : le coefficient $5$ est au\nnumérateur, donc la limite vaut $\\dfrac{5}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux polynômes ont le même degré : leurs croissances se\ncompensent et le quotient tend vers le réel $\\dfrac{5}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un quotient de polynômes, on factorise chaque terme par sa\npuissance dominante. Quand les deux degrés sont égaux, la limite en\n$+\\infty$ comme en $-\\infty$ vaut le quotient des coefficients\ndominants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} \\dfrac{-4x^3 + 1}{3x^3 + x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on factorise par $x^3$ au numérateur comme au\ndénominateur, puis on simplifie. Il reste le quotient des\ncoefficients dominants, soit $\\dfrac{-4}{3} = -\\dfrac{4}{3}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été changé parce que $x$ tend vers $-\\infty$. Or $x^3$ se\nsimplifie de part et d'autre : la limite est la même qu'en\n$+\\infty$, soit $-\\dfrac{4}{3}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été pris à l'envers : le coefficient $-4$ est au\nnumérateur, donc la limite vaut $-\\dfrac{4}{3}$."
            },
            {
              "text": "$-\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux polynômes ont le même degré : leurs croissances se\ncompensent et le quotient tend vers le réel $-\\dfrac{4}{3}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un quotient de polynômes, on factorise chaque terme par sa\npuissance dominante. Quand les deux degrés sont égaux, la limite en\n$+\\infty$ comme en $-\\infty$ vaut le quotient des coefficients\ndominants."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} \\dfrac{3x^3 + 1}{2x^3 + x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on factorise par $x^3$ au numérateur comme au\ndénominateur, puis on simplifie. Il reste le quotient des\ncoefficients dominants, soit $\\dfrac{3}{2} = \\dfrac{3}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été changé parce que $x$ tend vers $-\\infty$. Or $x^3$ se\nsimplifie de part et d'autre : la limite est la même qu'en\n$+\\infty$, soit $\\dfrac{3}{2}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient a été pris à l'envers : le coefficient $3$ est au\nnumérateur, donc la limite vaut $\\dfrac{3}{2}$."
            },
            {
              "text": "$-\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux polynômes ont le même degré : leurs croissances se\ncompensent et le quotient tend vers le réel $\\dfrac{3}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour un quotient de polynômes, on factorise chaque terme par sa\npuissance dominante. Quand les deux degrés sont égaux, la limite en\n$+\\infty$ comme en $-\\infty$ vaut le quotient des coefficients\ndominants."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "zero-sur-zero",
        "calcul"
      ],
      "title": "Factoriser un trinôme pour lever l'indétermination",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le numérateur se factorise en\n$(x - 2)(x - 3)$. Après simplification, il reste\n$x - 3$, dont la limite en $2$ vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux racines ont été échangées : c'est le facteur\n$x - 2$ qui se simplifie, et il reste $x - 3$, donc\n$-1$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans la factorisation : le second facteur est\n$x - 3$ et non $x + 3$. La limite vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le numérateur a été regardé : le dénominateur s'annule lui\naussi en $2$, et la simplification donne $-1$."
        }
      ],
      "explanation": "Devant une forme $\\dfrac{0}{0}$, on cherche les racines du trinôme. Ici\n$2$ et $3$ en sont racines, donc le numérateur s'écrit\n$(x - 2)(x - 3)$ et le facteur qui s'annule se simplifie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 2} \\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur se factorise en\n$(x - 2)(x - 3)$. Après simplification, il reste\n$x - 3$, dont la limite en $2$ vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux racines ont été échangées : c'est le facteur\n$x - 2$ qui se simplifie, et il reste $x - 3$, donc\n$-1$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la factorisation : le second facteur est\n$x - 3$ et non $x + 3$. La limite vaut $-1$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le numérateur a été regardé : le dénominateur s'annule lui\naussi en $2$, et la simplification donne $-1$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une forme $\\dfrac{0}{0}$, on cherche les racines du trinôme. Ici\n$2$ et $3$ en sont racines, donc le numérateur s'écrit\n$(x - 2)(x - 3)$ et le facteur qui s'annule se simplifie."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 5} \\dfrac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur se factorise en\n$(x - 5)(x - 1)$. Après simplification, il reste\n$x - 1$, dont la limite en $5$ vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux racines ont été échangées : c'est le facteur\n$x - 5$ qui se simplifie, et il reste $x - 1$, donc\n$4$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la factorisation : le second facteur est\n$x - 1$ et non $x + 1$. La limite vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le numérateur a été regardé : le dénominateur s'annule lui\naussi en $5$, et la simplification donne $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une forme $\\dfrac{0}{0}$, on cherche les racines du trinôme. Ici\n$5$ et $1$ en sont racines, donc le numérateur s'écrit\n$(x - 5)(x - 1)$ et le facteur qui s'annule se simplifie."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 4} \\dfrac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur se factorise en\n$(x - 4)(x + 2)$. Après simplification, il reste\n$x + 2$, dont la limite en $4$ vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux racines ont été échangées : c'est le facteur\n$x - 4$ qui se simplifie, et il reste $x + 2$, donc\n$6$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la factorisation : le second facteur est\n$x + 2$ et non $x - 2$. La limite vaut $6$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le numérateur a été regardé : le dénominateur s'annule lui\naussi en $4$, et la simplification donne $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une forme $\\dfrac{0}{0}$, on cherche les racines du trinôme. Ici\n$4$ et $-2$ en sont racines, donc le numérateur s'écrit\n$(x - 4)(x + 2)$ et le facteur qui s'annule se simplifie."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to -2} \\dfrac{x^2 - 1x - 6}{x + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le numérateur se factorise en\n$(x + 2)(x - 3)$. Après simplification, il reste\n$x - 3$, dont la limite en $-2$ vaut $-5$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux racines ont été échangées : c'est le facteur\n$x + 2$ qui se simplifie, et il reste $x - 3$, donc\n$-5$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe dans la factorisation : le second facteur est\n$x - 3$ et non $x + 3$. La limite vaut $-5$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le numérateur a été regardé : le dénominateur s'annule lui\naussi en $-2$, et la simplification donne $-5$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une forme $\\dfrac{0}{0}$, on cherche les racines du trinôme. Ici\n$-2$ et $3$ en sont racines, donc le numérateur s'écrit\n$(x + 2)(x - 3)$ et le facteur qui s'annule se simplifie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taux-accroissement",
        "limite-remarquable"
      ],
      "title": "Une limite remarquable avec des coefficients",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^{6x} - 1}{2x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on écrit\n$\\dfrac{e^{6x} - 1}{2x} = \\dfrac{6}{2} \\times\n\\dfrac{e^{6x} - 1}{6x}$, et le second facteur tend vers $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le rapport a été pris à l'envers : c'est le coefficient de\nl'exposant qui passe au numérateur, donc la limite vaut $3$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la limite de $\\dfrac{e^X - 1}{X}$ en $0$. Ici les deux\ncoefficients diffèrent, et il reste le facteur $3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le numérateur et le dénominateur tendent bien vers $0$, mais cette\nforme indéterminée se lève et donne $3$."
        }
      ],
      "explanation": "La limite de référence $\\lim\\limits_{X \\to 0} \\dfrac{e^X - 1}{X} = 1$\nest le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$. On s'y ramène en\nfaisant apparaître le même coefficient au numérateur et au\ndénominateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^{6x} - 1}{2x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit\n$\\dfrac{e^{6x} - 1}{2x} = \\dfrac{6}{2} \\times\n\\dfrac{e^{6x} - 1}{6x}$, et le second facteur tend vers $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rapport a été pris à l'envers : c'est le coefficient de\nl'exposant qui passe au numérateur, donc la limite vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de $\\dfrac{e^X - 1}{X}$ en $0$. Ici les deux\ncoefficients diffèrent, et il reste le facteur $3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur tendent bien vers $0$, mais cette\nforme indéterminée se lève et donne $3$."
            }
          ],
          "explanation": "La limite de référence $\\lim\\limits_{X \\to 0} \\dfrac{e^X - 1}{X} = 1$\nest le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$. On s'y ramène en\nfaisant apparaître le même coefficient au numérateur et au\ndénominateur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^{6x} - 1}{3x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit\n$\\dfrac{e^{6x} - 1}{3x} = \\dfrac{6}{3} \\times\n\\dfrac{e^{6x} - 1}{6x}$, et le second facteur tend vers $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rapport a été pris à l'envers : c'est le coefficient de\nl'exposant qui passe au numérateur, donc la limite vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de $\\dfrac{e^X - 1}{X}$ en $0$. Ici les deux\ncoefficients diffèrent, et il reste le facteur $2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur tendent bien vers $0$, mais cette\nforme indéterminée se lève et donne $2$."
            }
          ],
          "explanation": "La limite de référence $\\lim\\limits_{X \\to 0} \\dfrac{e^X - 1}{X} = 1$\nest le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$. On s'y ramène en\nfaisant apparaître le même coefficient au numérateur et au\ndénominateur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^{-4x} - 1}{2x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit\n$\\dfrac{e^{-4x} - 1}{2x} = \\dfrac{-4}{2} \\times\n\\dfrac{e^{-4x} - 1}{-4x}$, et le second facteur tend vers $1$."
            },
            {
              "text": "$-\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rapport a été pris à l'envers : c'est le coefficient de\nl'exposant qui passe au numérateur, donc la limite vaut $-2$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de $\\dfrac{e^X - 1}{X}$ en $0$. Ici les deux\ncoefficients diffèrent, et il reste le facteur $-2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur tendent bien vers $0$, mais cette\nforme indéterminée se lève et donne $-2$."
            }
          ],
          "explanation": "La limite de référence $\\lim\\limits_{X \\to 0} \\dfrac{e^X - 1}{X} = 1$\nest le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$. On s'y ramène en\nfaisant apparaître le même coefficient au numérateur et au\ndénominateur."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0} \\dfrac{e^{8x} - 1}{2x}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on écrit\n$\\dfrac{e^{8x} - 1}{2x} = \\dfrac{8}{2} \\times\n\\dfrac{e^{8x} - 1}{8x}$, et le second facteur tend vers $1$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le rapport a été pris à l'envers : c'est le coefficient de\nl'exposant qui passe au numérateur, donc la limite vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de $\\dfrac{e^X - 1}{X}$ en $0$. Ici les deux\ncoefficients diffèrent, et il reste le facteur $4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur tendent bien vers $0$, mais cette\nforme indéterminée se lève et donne $4$."
            }
          ],
          "explanation": "La limite de référence $\\lim\\limits_{X \\to 0} \\dfrac{e^X - 1}{X} = 1$\nest le nombre dérivé de l'exponentielle en $0$. On s'y ramène en\nfaisant apparaître le même coefficient au numérateur et au\ndénominateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "croissance-comparee",
        "quotient",
        "produit"
      ],
      "title": "Le produit de $x$ par $e^{-x}$",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} x\\,e^{-x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x\\,e^{-x} = \\dfrac{x}{e^x}$, et l'exponentielle\nl'emporte sur $x$ en $+\\infty$, donc le quotient s'écrase vers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le facteur $x$ a été regardé. Le facteur $e^{-x}$ tend vers\n$0$ bien plus vite que $x$ ne grandit."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux facteurs ne se compensent pas : leur produit tend vers\n$0$, et non vers une valeur intermédiaire."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit reste strictement positif pour $x > 0$ : il ne peut pas\ntendre vers $-\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Un produit de la forme $\\infty \\times 0$ est indéterminé. On l'écrit en\nquotient, $x\\,e^{-x} = \\dfrac{x}{e^x}$, puis on applique la croissance\ncomparée : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "asymptotes"
      ],
      "title": "Ce que traduit une limite infinie en un point",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Sur la courbe de $f$, que traduit $\\lim\\limits_{x \\to 2^{+}} f(x) = -\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La courbe descend indéfiniment en longeant la droite $x = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les ordonnées deviennent aussi négatives que l'on\nveut quand $x$ s'approche de $2$ par la droite, et la courbe se\nplaque contre la droite verticale $x = 2$."
        },
        {
          "text": "La courbe se rapproche de la droite $y = -2$ vers la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre une asymptote horizontale et une asymptote\nverticale : ici $2$ est une valeur de $x$, pas une ordonnée."
        },
        {
          "text": "La courbe descend indéfiniment en longeant la droite $y = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une courbe ne peut pas longer une droite horizontale en descendant\nvers $-\\infty$. L'asymptote est verticale, d'équation $x = 2$."
        },
        {
          "text": "La courbe s'arrête au point d'abscisse $2$, où $f$ vaut $-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction ne prend jamais la valeur $-\\infty$ : elle n'est pas\ndéfinie en $2$, et ses valeurs y deviennent seulement très petites."
        }
      ],
      "explanation": "Une limite infinie en un réel $a$ se lit géométriquement comme une\nasymptote verticale d'équation $x = a$. Le signe de la limite indique\nsi la courbe monte ou descend le long de cette droite."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lecture-graphique",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Ce que l'écran ne prouve pas",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Sur l'écran de la calculatrice, la courbe de $f$ semble se coller à la\ndroite d'équation $y = 3$ pour $x$ compris entre $0$ et $50$. Peut-on en\nconclure que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : l'écran n'en montre qu'une portion, il faut le démontrer",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écran fournit une conjecture. La fonction peut\ntrès bien s'éloigner de la droite au-delà de la fenêtre affichée."
        },
        {
          "text": "Oui : la courbe est visiblement collée à la droite $y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une observation sur une fenêtre bornée ne dit rien du comportement\nau-delà : elle suggère un résultat, elle ne le prouve pas."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que $f$ soit croissante sur $[0\\ ;\\ 50]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La monotonie sur une partie de la courbe ne renseigne pas non plus\nsur ce qui se passe après $50$."
        },
        {
          "text": "Non : une courbe ne peut pas approcher une droite sans la couper",
          "correct": false,
          "feedback": "Conclusion juste, raison fausse : une courbe peut parfaitement\napprocher une asymptote sans jamais la rencontrer."
        }
      ],
      "explanation": "Un écran de calculatrice affiche une fenêtre finie. Il sert à\nconjecturer une limite, jamais à l'établir : seule l'étude de\nl'expression de $f$ permet de conclure."
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison",
        "limite-infini"
      ],
      "title": "Une majoration qui ne conclut pas",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Une fonction $f$ vérifie $f(x) \\leq x^2$ pour tout réel $x$. Que peut-on\nen déduire sur la limite de $f$ en $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Rien : cette majoration ne permet aucune conclusion",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction peut tendre vers $+\\infty$, vers un\nréel, ou n'avoir aucune limite, tout en restant sous $x^2$."
        },
        {
          "text": "Que $f$ tend vers $+\\infty$, comme la fonction $x \\mapsto x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule une minoration par une fonction de limite $+\\infty$ permet\ncette conclusion. Ici la comparaison est dans l'autre sens."
        },
        {
          "text": "Que $f$ tend vers $-\\infty$, puisqu'elle reste sous $x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rester en dessous d'une fonction n'oblige pas à descendre : la\nfonction nulle vérifie aussi cette majoration."
        },
        {
          "text": "Que $f$ est majorée, donc qu'elle admet une limite finie",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction majorée par $x^2$ n'est pas majorée par un réel fixe,\net une fonction majorée n'a pas forcément de limite."
        }
      ],
      "explanation": "Le théorème de comparaison conclut dans un seul sens : si\n$f(x) \\geq g(x)$ et si $g$ tend vers $+\\infty$, alors $f$ aussi. Une\nmajoration par une fonction de limite $+\\infty$ n'apporte aucune\ninformation."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fonctions-bornees",
        "produit"
      ],
      "title": "Un produit par une fonction bornée",
      "partie": "definitions",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} e^{-x}\\sin x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $-e^{-x} \\leq e^{-x}\\sin x \\leq e^{-x}$, et les deux\nbornes tendent vers $0$. Le théorème des gendarmes conclut."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $\\sin x$ ne se stabilise pas, mais il reste borné, et le\nfacteur $e^{-x}$ écrase le produit vers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $e^{-x}$ tend vers $0$ et le facteur $\\sin x$ ne dépasse\njamais $1$ : le produit ne peut pas exploser."
        },
        {
          "text": "Cette fonction n'a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Les oscillations de $\\sin x$ sont bien présentes, mais leur\namplitude est écrasée par $e^{-x}$, qui tend vers $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle tend\nvers $0$. On l'établit en encadrant le produit par les deux bornes, puis\nen appliquant le théorème des gendarmes."
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "infini-moins-infini",
        "formes-indeterminees"
      ],
      "title": "L'exponentielle contre le carré",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(e^{x} - x^{2}\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on factorise par $e^x$, ce qui donne\n$e^x\\left(1 - \\dfrac{x^2}{e^x}\\right)$. Le facteur entre\nparenthèses tend vers $1$ et $e^x$ vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait le cas si $x^2$ l'emportait. Or l'exponentielle grandit\nplus vite que toute puissance de $x$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une forme « $\\infty - \\infty$ » ne vaut pas $0$ : les deux termes\ngrandissent, mais pas à la même vitesse."
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas de limite",
          "correct": false,
          "feedback": "La factorisation lève l'indétermination et donne une limite, bien\nqu'elle soit infinie."
        }
      ],
      "explanation": "Devant une différence de deux termes infinis, on factorise par le terme\nprépondérant. Ici $\\dfrac{x^2}{e^x}$ tend vers $0$ par croissance\ncomparée, donc la différence se comporte comme $e^x$."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "fonctions-sans-limite",
        "limites"
      ],
      "title": "Le cosinus en plus l'infini",
      "partie": "definitions",
      "statement": "La fonction cosinus admet-elle une limite quand $x$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, elle oscille sans cesse entre $-1$ et $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos x$ repasse indéfiniment par $-1$ et par $1$,\nsans jamais se rapprocher d'une valeur unique."
        },
        {
          "text": "Oui, elle tend vers $0$ en oscillant de moins en moins",
          "correct": false,
          "feedback": "Les oscillations du cosinus gardent toujours la même amplitude :\nelles ne s'atténuent pas."
        },
        {
          "text": "Oui, sa limite vaut $1$, sa plus grande valeur",
          "correct": false,
          "feedback": "La plus grande valeur atteinte n'est pas une limite : la fonction\nredescend aussitôt jusqu'à $-1$."
        },
        {
          "text": "Non, elle tend vers $+\\infty$ en oscillant",
          "correct": false,
          "feedback": "La fonction cosinus est bornée par $-1$ et $1$ : elle ne peut pas\ntendre vers l'infini."
        }
      ],
      "explanation": "Une fonction bornée qui oscille indéfiniment n'a pas de limite en\n$+\\infty$. Ne pas avoir de limite finie ne signifie donc pas tendre vers\nl'infini."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "composee",
        "limite-infini"
      ],
      "title": "Limite d'une racine composée",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\sqrt{9 + \\dfrac{2}{x}}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$, donc l'expression\nsous la racine tend vers $9$, et la racine vers $3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la limite de l'expression placée sous la racine. Il reste à\nprendre la racine carrée, qui donne $3$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le quotient $\\dfrac{2}{x}$ ne vaut pas $2$ : il tend vers $0$\nquand $x$ grandit, et la limite cherchée vaut $3$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Seul le terme $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$ ; le terme constant\n$9$ reste, et la racine vaut $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de\nl'expression intérieure, puis on applique la fonction extérieure à\ncette limite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\sqrt{9 + \\dfrac{2}{x}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$, donc l'expression\nsous la racine tend vers $9$, et la racine vers $3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de l'expression placée sous la racine. Il reste à\nprendre la racine carrée, qui donne $3$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient $\\dfrac{2}{x}$ ne vaut pas $2$ : il tend vers $0$\nquand $x$ grandit, et la limite cherchée vaut $3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le terme $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$ ; le terme constant\n$9$ reste, et la racine vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de\nl'expression intérieure, puis on applique la fonction extérieure à\ncette limite."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\sqrt{16 + \\dfrac{5}{x}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{5}{x}$ tend vers $0$, donc l'expression\nsous la racine tend vers $16$, et la racine vers $4$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de l'expression placée sous la racine. Il reste à\nprendre la racine carrée, qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient $\\dfrac{5}{x}$ ne vaut pas $5$ : il tend vers $0$\nquand $x$ grandit, et la limite cherchée vaut $4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le terme $\\dfrac{5}{x}$ tend vers $0$ ; le terme constant\n$16$ reste, et la racine vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de\nl'expression intérieure, puis on applique la fonction extérieure à\ncette limite."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\sqrt{25 + \\dfrac{3}{x}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{3}{x}$ tend vers $0$, donc l'expression\nsous la racine tend vers $25$, et la racine vers $5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de l'expression placée sous la racine. Il reste à\nprendre la racine carrée, qui donne $5$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient $\\dfrac{3}{x}$ ne vaut pas $3$ : il tend vers $0$\nquand $x$ grandit, et la limite cherchée vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le terme $\\dfrac{3}{x}$ tend vers $0$ ; le terme constant\n$25$ reste, et la racine vaut $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de\nl'expression intérieure, puis on applique la fonction extérieure à\ncette limite."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\sqrt{4 + \\dfrac{2}{x}}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$, donc l'expression\nsous la racine tend vers $4$, et la racine vers $2$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la limite de l'expression placée sous la racine. Il reste à\nprendre la racine carrée, qui donne $2$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le quotient $\\dfrac{2}{x}$ ne vaut pas $2$ : il tend vers $0$\nquand $x$ grandit, et la limite cherchée vaut $2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Seul le terme $\\dfrac{2}{x}$ tend vers $0$ ; le terme constant\n$4$ reste, et la racine vaut $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une fonction composée, on calcule d'abord la limite de\nl'expression intérieure, puis on applique la fonction extérieure à\ncette limite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "synthese",
        "asymptotes"
      ],
      "title": "Compter les asymptotes d'une courbe",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une fonction $f$ vérifie $\\lim\\limits_{x \\to -\\infty} f(x) = 2$,\n$\\lim\\limits_{x \\to 1^{-}} f(x) = +\\infty$,\n$\\lim\\limits_{x \\to 1^{+}} f(x) = -\\infty$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 2$.\nCombien sa courbe admet-elle de droites asymptotes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux : la droite $y = 2$ et la droite $x = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux limites égales à $2$ désignent la même\ndroite horizontale, et les deux limites infinies en $1$ désignent\nla même droite verticale."
        },
        {
          "text": "Trois : $y = 2$ deux fois et $x = 1$ une fois",
          "correct": false,
          "feedback": "La droite $y = 2$ ne doit être comptée qu'une fois : c'est une\nseule droite, approchée des deux côtés."
        },
        {
          "text": "Une seule : la droite verticale d'équation $x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les limites finies en $-\\infty$ et en $+\\infty$ donnent aussi une\nasymptote, horizontale cette fois."
        },
        {
          "text": "Quatre : une droite pour chacune des limites données",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque limite ne fournit pas sa propre droite : deux limites\npeuvent désigner la même asymptote."
        }
      ],
      "explanation": "Une limite finie en l'infini donne une asymptote horizontale, une\nlimite infinie en un réel donne une asymptote verticale. Il faut\nensuite regrouper les droites identiques avant de les compter."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racine",
        "zero-sur-zero"
      ],
      "title": "Une forme indéterminée avec une racine carrée",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 4} \\dfrac{\\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en multipliant les deux termes par\n$\\sqrt{x} + 2$, le quotient devient\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 2}$, qui tend vers $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur obtenu est $\\sqrt{x} + 2$, qui tend vers\n$4$ et non vers $2$. La limite vaut donc $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le numérateur tend bien vers $0$, mais le dénominateur aussi : la\nforme est indéterminée et se lève en $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un dénominateur qui s'annule ne donne une limite infinie que si le\nnumérateur ne s'annule pas, ce qui n'est pas le cas ici."
        }
      ],
      "explanation": "On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\\sqrt{x} + 2$ :\nle numérateur devient $x - 4$, qui se simplifie avec le\ndénominateur, et il reste $\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 2}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 4} \\dfrac{\\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant les deux termes par\n$\\sqrt{x} + 2$, le quotient devient\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 2}$, qui tend vers $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur obtenu est $\\sqrt{x} + 2$, qui tend vers\n$4$ et non vers $2$. La limite vaut donc $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur tend bien vers $0$, mais le dénominateur aussi : la\nforme est indéterminée et se lève en $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un dénominateur qui s'annule ne donne une limite infinie que si le\nnumérateur ne s'annule pas, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\\sqrt{x} + 2$ :\nle numérateur devient $x - 4$, qui se simplifie avec le\ndénominateur, et il reste $\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 2}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 9} \\dfrac{\\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant les deux termes par\n$\\sqrt{x} + 3$, le quotient devient\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 3}$, qui tend vers $\\dfrac{1}{6}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur obtenu est $\\sqrt{x} + 3$, qui tend vers\n$6$ et non vers $3$. La limite vaut donc $\\dfrac{1}{6}$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur tend bien vers $0$, mais le dénominateur aussi : la\nforme est indéterminée et se lève en $\\dfrac{1}{6}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un dénominateur qui s'annule ne donne une limite infinie que si le\nnumérateur ne s'annule pas, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\\sqrt{x} + 3$ :\nle numérateur devient $x - 9$, qui se simplifie avec le\ndénominateur, et il reste $\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 3}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 25} \\dfrac{\\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant les deux termes par\n$\\sqrt{x} + 5$, le quotient devient\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 5}$, qui tend vers $\\dfrac{1}{10}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur obtenu est $\\sqrt{x} + 5$, qui tend vers\n$10$ et non vers $5$. La limite vaut donc $\\dfrac{1}{10}$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur tend bien vers $0$, mais le dénominateur aussi : la\nforme est indéterminée et se lève en $\\dfrac{1}{10}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un dénominateur qui s'annule ne donne une limite infinie que si le\nnumérateur ne s'annule pas, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\\sqrt{x} + 5$ :\nle numérateur devient $x - 25$, qui se simplifie avec le\ndénominateur, et il reste $\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 5}$."
        },
        {
          "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 36} \\dfrac{\\sqrt{x} - 6}{x - 36}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en multipliant les deux termes par\n$\\sqrt{x} + 6$, le quotient devient\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 6}$, qui tend vers $\\dfrac{1}{12}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur obtenu est $\\sqrt{x} + 6$, qui tend vers\n$12$ et non vers $6$. La limite vaut donc $\\dfrac{1}{12}$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur tend bien vers $0$, mais le dénominateur aussi : la\nforme est indéterminée et se lève en $\\dfrac{1}{12}$."
            },
            {
              "text": "$+\\infty$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un dénominateur qui s'annule ne donne une limite infinie que si le\nnumérateur ne s'annule pas, ce qui n'est pas le cas ici."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\\sqrt{x} + 6$ :\nle numérateur devient $x - 36$, qui se simplifie avec le\ndénominateur, et il reste $\\dfrac{1}{\\sqrt{x} + 6}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "composition-limites",
        "calcul"
      ],
      "title": "Limite du carré d'une fonction",
      "partie": "theoremes",
      "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 3$. Que vaut\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(f(x)^2 + 1\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le carré tend vers $3^2 = 9$, auquel on\najoute $1$, ce qui donne $10$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,\net non $6$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant $1$ a été oublié en chemin : la limite d'une\nsomme est la somme des limites, donc $10$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le carré porte sur $f(x)$ seul : on élève d'abord au carré, puis on\najoute $1$, ce qui donne $10$."
        }
      ],
      "explanation": "Les limites se composent avec les opérations : la limite d'un carré est\nle carré de la limite, et la limite d'une somme est la somme des\nlimites, tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 3$. Que vaut\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(f(x)^2 + 1\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré tend vers $3^2 = 9$, auquel on\najoute $1$, ce qui donne $10$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,\net non $6$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant $1$ a été oublié en chemin : la limite d'une\nsomme est la somme des limites, donc $10$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré porte sur $f(x)$ seul : on élève d'abord au carré, puis on\najoute $1$, ce qui donne $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Les limites se composent avec les opérations : la limite d'un carré est\nle carré de la limite, et la limite d'une somme est la somme des\nlimites, tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = -2$. Que vaut\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(f(x)^2 + 3\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré tend vers $-2^2 = 4$, auquel on\najoute $3$, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $-2^2$ vaut $4$,\net non $-4$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant $3$ a été oublié en chemin : la limite d'une\nsomme est la somme des limites, donc $7$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré porte sur $f(x)$ seul : on élève d'abord au carré, puis on\najoute $3$, ce qui donne $7$."
            }
          ],
          "explanation": "Les limites se composent avec les opérations : la limite d'un carré est\nle carré de la limite, et la limite d'une somme est la somme des\nlimites, tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 4$. Que vaut\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(f(x)^2 + 2\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré tend vers $4^2 = 16$, auquel on\najoute $2$, ce qui donne $18$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $4^2$ vaut $16$,\net non $8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant $2$ a été oublié en chemin : la limite d'une\nsomme est la somme des limites, donc $18$."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré porte sur $f(x)$ seul : on élève d'abord au carré, puis on\najoute $2$, ce qui donne $18$."
            }
          ],
          "explanation": "Les limites se composent avec les opérations : la limite d'un carré est\nle carré de la limite, et la limite d'une somme est la somme des\nlimites, tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 3$. Que vaut\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\left(f(x)^2 + 2\\right)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le carré tend vers $3^2 = 9$, auquel on\najoute $2$, ce qui donne $11$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,\net non $6$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant $2$ a été oublié en chemin : la limite d'une\nsomme est la somme des limites, donc $11$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le carré porte sur $f(x)$ seul : on élève d'abord au carré, puis on\najoute $2$, ce qui donne $11$."
            }
          ],
          "explanation": "Les limites se composent avec les opérations : la limite d'un carré est\nle carré de la limite, et la limite d'une somme est la somme des\nlimites, tant qu'aucune forme indéterminée n'apparaît."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "asymptote",
        "lecture-graphique"
      ],
      "title": "Lire des limites sur une courbe",
      "partie": "definitions",
      "statement": "La courbe ci-contre représente une fonction $f$ définie sur\n$\\mathbb{R} \\setminus \\{-1\\}$. Que valent\n$\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x)$ et\n$\\lim\\limits_{x \\to -1^{+}} f(x)$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.55]\n  \\draw[very thin,color=gray!40] (-5,-3) grid (6,7);\n  \\draw[->] (-5,0) -- (6.3,0) node[below right] {$x$};\n  \\draw[->] (0,-3) -- (0,7.3) node[above left] {$y$};\n  \\foreach \\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} \\node[below,font=\\small] at (\\x,0) {$\\x$};\n  \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6} \\node[left,font=\\small] at (0,\\y) {$\\y$};\n  \\draw[dashed,blue!60] (-5,2) -- (6,2);\n  \\draw[dashed,blue!60] (-1,-3) -- (-1,7);\n  \\draw[thick,blue,domain=-0.8:6,samples=60] plot (\\x,{2+1/(\\x+1)});\n  \\draw[thick,blue,domain=-5:-1.2,samples=60] plot (\\x,{2+1/(\\x+1)});\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Courbe d'une fonction à deux branches, avec en pointillés la droite\nhorizontale d'équation y = 2 et la droite verticale d'équation\nx = -1. À droite de -1, la courbe descend de l'infini vers la droite\ny = 2 ; à gauche, elle remonte de moins l'infini vers y = 2.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"193.092pt\" height=\"177.835pt\" viewBox=\"0 0 193.092 177.835\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 3.3125 -3 C 3.375 -3.25 3.609375 -4.171875 4.296875 -4.171875 C 4.34375 -4.171875 4.578125 -4.171875 4.796875 -4.03125 C 4.515625 -3.984375 4.3125 -3.734375 4.3125 -3.5 C 4.3125 -3.34375 4.421875 -3.15625 4.6875 -3.15625 C 4.90625 -3.15625 5.234375 -3.328125 5.234375 -3.734375 C 5.234375 -4.25 4.640625 -4.390625 4.3125 -4.390625 C 3.734375 -4.390625 3.390625 -3.859375 3.265625 -3.625 C 3.015625 -4.28125 2.484375 -4.390625 2.1875 -4.390625 C 1.15625 -4.390625 0.59375 -3.109375 0.59375 -2.859375 C 0.59375 -2.765625 0.6875 -2.765625 0.71875 -2.765625 C 0.796875 -2.765625 0.828125 -2.78125 0.84375 -2.875 C 1.1875 -3.921875 1.828125 -4.171875 2.171875 -4.171875 C 2.359375 -4.171875 2.703125 -4.078125 2.703125 -3.5 C 2.703125 -3.1875 2.546875 -2.53125 2.171875 -1.140625 C 2.015625 -0.53125 1.671875 -0.109375 1.234375 -0.109375 C 1.171875 -0.109375 0.9375 -0.109375 0.734375 -0.234375 C 0.984375 -0.28125 1.203125 -0.5 1.203125 -0.78125 C 1.203125 -1.046875 0.984375 -1.125 0.828125 -1.125 C 0.53125 -1.125 0.28125 -0.859375 0.28125 -0.546875 C 0.28125 -0.09375 0.78125 0.109375 1.21875 0.109375 C 1.875 0.109375 2.234375 -0.578125 2.265625 -0.640625 C 2.375 -0.28125 2.734375 0.109375 3.328125 0.109375 C 4.359375 0.109375 4.921875 -1.171875 4.921875 -1.421875 C 4.921875 -1.515625 4.828125 -1.515625 4.796875 -1.515625 C 4.71875 -1.515625 4.6875 -1.484375 4.671875 -1.40625 C 4.34375 -0.34375 3.671875 -0.109375 3.359375 -0.109375 C 2.96875 -0.109375 2.8125 -0.421875 2.8125 -0.765625 C 2.8125 -0.984375 2.875 -1.203125 2.96875 -1.640625 Z M 3.3125 -3 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 4.828125 -3.78125 C 4.859375 -3.921875 4.859375 -3.9375 4.859375 -4.015625 C 4.859375 -4.1875 4.71875 -4.28125 4.578125 -4.28125 C 4.46875 -4.28125 4.3125 -4.21875 4.234375 -4.0625 C 4.203125 -4.015625 4.125 -3.703125 4.09375 -3.53125 C 4.015625 -3.28125 3.953125 -3 3.890625 -2.734375 L 3.4375 -0.953125 C 3.40625 -0.796875 2.96875 -0.109375 2.328125 -0.109375 C 1.8125 -0.109375 1.703125 -0.546875 1.703125 -0.90625 C 1.703125 -1.375 1.875 -1.984375 2.21875 -2.859375 C 2.375 -3.265625 2.40625 -3.375 2.40625 -3.578125 C 2.40625 -4.015625 2.09375 -4.390625 1.59375 -4.390625 C 0.65625 -4.390625 0.28125 -2.953125 0.28125 -2.859375 C 0.28125 -2.765625 0.390625 -2.765625 0.40625 -2.765625 C 0.5 -2.765625 0.515625 -2.78125 0.5625 -2.9375 C 0.828125 -3.875 1.234375 -4.171875 1.5625 -4.171875 C 1.640625 -4.171875 1.8125 -4.171875 1.8125 -3.84375 C 1.8125 -3.609375 1.71875 -3.34375 1.640625 -3.15625 C 1.25 -2.109375 1.078125 -1.53125 1.078125 -1.078125 C 1.078125 -0.1875 1.703125 0.109375 2.28125 0.109375 C 2.671875 0.109375 3 -0.0625 3.28125 -0.34375 C 3.15625 0.171875 3.03125 0.671875 2.640625 1.1875 C 2.375 1.53125 2 1.8125 1.546875 1.8125 C 1.40625 1.8125 0.96875 1.78125 0.796875 1.40625 C 0.953125 1.40625 1.078125 1.40625 1.21875 1.28125 C 1.3125 1.1875 1.421875 1.0625 1.421875 0.875 C 1.421875 0.5625 1.15625 0.53125 1.046875 0.53125 C 0.828125 0.53125 0.5 0.6875 0.5 1.171875 C 0.5 1.671875 0.9375 2.03125 1.546875 2.03125 C 2.5625 2.03125 3.59375 1.125 3.875 0.015625 Z M 4.828125 -3.78125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 6.015625 -2.046875 C 6.1875 -2.046875 6.359375 -2.046875 6.359375 -2.234375 C 6.359375 -2.421875 6.171875 -2.421875 6.015625 -2.421875 L 1.09375 -2.421875 C 0.953125 -2.421875 0.765625 -2.421875 0.765625 -2.234375 C 0.765625 -2.046875 0.9375 -2.046875 1.09375 -2.046875 Z M 6.015625 -2.046875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 0.265625 -1.75 L 0.265625 -1.46875 L 2.6875 -1.46875 L 2.6875 -0.703125 C 2.6875 -0.375 2.671875 -0.28125 2 -0.28125 L 1.796875 -0.28125 L 1.796875 0 C 2.359375 -0.03125 2.984375 -0.03125 3.046875 -0.03125 C 3.09375 -0.03125 3.734375 -0.03125 4.296875 0 L 4.296875 -0.28125 L 4.109375 -0.28125 C 3.4375 -0.28125 3.40625 -0.375 3.40625 -0.703125 L 3.40625 -1.46875 L 4.3125 -1.46875 L 4.3125 -1.75 L 3.40625 -1.75 L 3.40625 -5.796875 C 3.40625 -5.984375 3.40625 -6.046875 3.234375 -6.046875 C 3.125 -6.046875 3.125 -6.03125 3.046875 -5.90625 Z M 0.546875 -1.75 L 2.75 -5.046875 L 2.75 -1.75 Z M 0.546875 -1.75 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-1\">\n<path d=\"M 2.71875 -3.140625 C 3.546875 -3.453125 3.9375 -4.109375 3.9375 -4.71875 C 3.9375 -5.40625 3.1875 -5.9375 2.25 -5.9375 C 1.328125 -5.9375 0.640625 -5.421875 0.640625 -4.734375 C 0.640625 -4.4375 0.828125 -4.28125 1.09375 -4.28125 C 1.34375 -4.28125 1.53125 -4.453125 1.53125 -4.71875 C 1.53125 -5.03125 1.328125 -5.171875 1.015625 -5.171875 C 1.25 -5.546875 1.796875 -5.71875 2.234375 -5.71875 C 2.96875 -5.71875 3.109375 -5.125 3.109375 -4.703125 C 3.109375 -4.4375 3.0625 -4.015625 2.84375 -3.671875 C 2.5625 -3.28125 2.25 -3.25 1.984375 -3.234375 C 1.765625 -3.21875 1.75 -3.21875 1.671875 -3.21875 C 1.59375 -3.21875 1.53125 -3.203125 1.53125 -3.109375 C 1.53125 -2.984375 1.59375 -2.984375 1.75 -2.984375 L 2.171875 -2.984375 C 2.9375 -2.984375 3.28125 -2.359375 3.28125 -1.515625 C 3.28125 -0.375 2.671875 -0.046875 2.21875 -0.046875 C 2.046875 -0.046875 1.1875 -0.09375 0.78125 -0.765625 C 1.109375 -0.71875 1.359375 -0.9375 1.359375 -1.234375 C 1.359375 -1.53125 1.140625 -1.71875 0.875 -1.71875 C 0.65625 -1.71875 0.390625 -1.59375 0.390625 -1.21875 C 0.390625 -0.421875 1.21875 0.203125 2.25 0.203125 C 3.359375 0.203125 4.1875 -0.609375 4.1875 -1.515625 C 4.1875 -2.296875 3.578125 -2.953125 2.71875 -3.140625 Z M 2.71875 -3.140625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-2\">\n<path d=\"M 4.125 -1.578125 L 3.875 -1.578125 C 3.859375 -1.46875 3.78125 -0.9375 3.671875 -0.796875 C 3.609375 -0.71875 3 -0.71875 2.8125 -0.71875 L 1.234375 -0.71875 L 2.109375 -1.546875 C 3.578125 -2.8125 4.125 -3.296875 4.125 -4.203125 C 4.125 -5.234375 3.28125 -5.9375 2.171875 -5.9375 C 1.15625 -5.9375 0.453125 -5.125 0.453125 -4.3125 C 0.453125 -3.875 0.84375 -3.828125 0.921875 -3.828125 C 1.109375 -3.828125 1.390625 -3.96875 1.390625 -4.296875 C 1.390625 -4.5625 1.203125 -4.75 0.921875 -4.75 C 0.875 -4.75 0.84375 -4.75 0.8125 -4.75 C 1.03125 -5.375 1.59375 -5.671875 2.078125 -5.671875 C 2.984375 -5.671875 3.296875 -4.8125 3.296875 -4.203125 C 3.296875 -3.296875 2.609375 -2.546875 2.1875 -2.09375 L 0.546875 -0.328125 C 0.453125 -0.21875 0.453125 -0.203125 0.453125 0 L 3.875 0 Z M 4.125 -1.578125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-3\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.703125 C 2.71875 -5.921875 2.703125 -5.9375 2.484375 -5.9375 C 1.921875 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.09375 C 1 -5.09375 1.546875 -5.09375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.359375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.53125 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.5625 -0.28125 C 2.734375 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.703125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-4\">\n<path d=\"M 0.921875 -3.078125 C 0.921875 -2.921875 0.921875 -2.8125 1.046875 -2.8125 C 1.125 -2.8125 1.15625 -2.859375 1.203125 -2.9375 C 1.46875 -3.3125 1.90625 -3.53125 2.359375 -3.53125 C 3.3125 -3.53125 3.3125 -2.15625 3.3125 -1.828125 C 3.3125 -1.546875 3.3125 -1 3.0625 -0.59375 C 2.828125 -0.21875 2.453125 -0.046875 2.109375 -0.046875 C 1.578125 -0.046875 0.984375 -0.390625 0.765625 -1.046875 C 0.78125 -1.046875 0.828125 -1.03125 0.890625 -1.03125 C 1.078125 -1.03125 1.328125 -1.140625 1.328125 -1.46875 C 1.328125 -1.734375 1.140625 -1.90625 0.890625 -1.90625 C 0.703125 -1.90625 0.453125 -1.796875 0.453125 -1.4375 C 0.453125 -0.625 1.140625 0.203125 2.125 0.203125 C 3.203125 0.203125 4.125 -0.671875 4.125 -1.78125 C 4.125 -2.859375 3.359375 -3.75 2.375 -3.75 C 1.953125 -3.75 1.515625 -3.609375 1.203125 -3.28125 L 1.203125 -5.046875 C 1.46875 -4.953125 1.75 -4.921875 2.03125 -4.921875 C 3.125 -4.921875 3.765625 -5.703125 3.765625 -5.828125 C 3.765625 -5.90625 3.71875 -5.9375 3.671875 -5.9375 C 3.65625 -5.9375 3.625 -5.9375 3.546875 -5.890625 C 3.125 -5.734375 2.71875 -5.65625 2.34375 -5.65625 C 1.96875 -5.65625 1.5625 -5.734375 1.15625 -5.890625 C 1.0625 -5.9375 1.046875 -5.9375 1.03125 -5.9375 C 0.921875 -5.9375 0.921875 -5.859375 0.921875 -5.703125 Z M 0.921875 -3.078125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-5\">\n<path d=\"M 1.203125 -2.953125 C 1.203125 -3.859375 1.296875 -4.375 1.53125 -4.828125 C 1.71875 -5.203125 2.15625 -5.71875 2.8125 -5.71875 C 2.984375 -5.71875 3.40625 -5.6875 3.609375 -5.359375 C 3.28125 -5.359375 3.125 -5.1875 3.125 -4.953125 C 3.125 -4.71875 3.296875 -4.546875 3.546875 -4.546875 C 3.796875 -4.546875 3.96875 -4.703125 3.96875 -4.96875 C 3.96875 -5.46875 3.609375 -5.9375 2.796875 -5.9375 C 1.640625 -5.9375 0.390625 -4.8125 0.390625 -2.8125 C 0.390625 -0.40625 1.46875 0.203125 2.3125 0.203125 C 3.296875 0.203125 4.1875 -0.640625 4.1875 -1.8125 C 4.1875 -2.9375 3.375 -3.796875 2.359375 -3.796875 C 1.828125 -3.796875 1.453125 -3.484375 1.203125 -2.953125 Z M 2.296875 -0.046875 C 1.796875 -0.046875 1.5 -0.46875 1.390625 -0.734375 C 1.21875 -1.140625 1.21875 -1.875 1.21875 -2.015625 C 1.21875 -2.609375 1.484375 -3.578125 2.34375 -3.578125 C 2.484375 -3.578125 2.921875 -3.578125 3.21875 -3.03125 C 3.375 -2.6875 3.375 -2.25 3.375 -1.8125 C 3.375 -1.390625 3.375 -0.953125 3.21875 -0.625 C 2.9375 -0.109375 2.546875 -0.046875 2.296875 -0.046875 Z M 2.296875 -0.046875 \"/>\n</g>\n</g>\n<clipPath id=\"clip-0\">\n<path clip-rule=\"nonzero\" d=\"M 0 90 L 73 90 L 73 177.335938 L 0 177.335938 Z M 0 90 \"/>\n</clipPath>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.19925\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(79.998779%, 79.998779%, 79.998779%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -77.953907 -46.773281 L 93.544087 -46.773281 M -77.953907 -31.18077 L 93.544087 -31.18077 M -77.953907 -15.592184 L 93.544087 -15.592184 M -77.953907 0.000326306 L 93.544087 0.000326306 M -77.953907 15.588912 L 93.544087 15.588912 M -77.953907 31.181423 L 93.544087 31.181423 M -77.953907 46.773934 L 93.544087 46.773934 M -77.953907 62.36252 L 93.544087 62.36252 M -77.953907 77.95503 L 93.544087 77.95503 M -77.953907 93.543616 L 93.544087 93.543616 M -77.953907 109.132202 L 93.544087 109.132202 M -77.953907 -46.773281 L -77.953907 109.136127 M -62.361397 -46.773281 L -62.361397 109.136127 M -46.77281 -46.773281 L -46.77281 109.136127 M -31.1803 -46.773281 L -31.1803 109.136127 M -15.591714 -46.773281 L -15.591714 109.136127 M 0.000796781 -46.773281 L 0.000796781 109.136127 M 15.589383 -46.773281 L 15.589383 109.136127 M 31.181893 -46.773281 L 31.181893 109.136127 M 46.774404 -46.773281 L 46.774404 109.136127 M 62.36299 -46.773281 L 62.36299 109.136127 M 77.955501 -46.773281 L 77.955501 109.136127 M 93.540162 -46.773281 L 93.540162 109.136127 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -77.953907 0.000326306 L 97.821921 0.000326306 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073152 2.390419 C -1.692464 0.957933 -0.848671 0.278974 -0.000953208 0.000326306 C -0.848671 -0.278322 -1.692464 -0.957281 -2.073152 -2.389767 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 177.532199, 128.601887)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"181.232767\" y=\"136.375333\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 0.000796781 -46.773281 L 0.000796781 113.413961 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071932 2.389296 C -1.695168 0.95681 -0.851375 0.277851 0.000266947 -0.000796781 C -0.851375 -0.279445 -1.695168 -0.954479 -2.071932 -2.39089 \" transform=\"matrix(0, -0.99532, -0.99532, 0, 79.967957, 15.519797)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"71.246967\" y=\"9.892111\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"12.037395\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"19.171846\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"27.555423\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"34.688878\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"43.072455\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"50.206906\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"58.590483\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"65.723938\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"93.192768\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"108.710796\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"124.227828\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"139.745856\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"155.262888\" y=\"137.856369\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"64.744544\" y=\"162.100363\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"71.878995\" y=\"162.100363\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"64.744544\" y=\"146.582336\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"71.878995\" y=\"146.582336\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-3\" x=\"71.878995\" y=\"115.960333\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-2\" x=\"71.878995\" y=\"100.442306\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-1\" x=\"71.878995\" y=\"84.925273\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"71.878995\" y=\"69.407245\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-4\" x=\"71.878995\" y=\"53.889218\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-5\" x=\"71.878995\" y=\"38.372185\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -77.953907 31.181423 L 93.544087 31.181423 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(39.99939%, 39.99939%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -15.591714 -46.773281 L -15.591714 109.136127 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -12.471642 109.136127 L -10.674166 80.635545 L -8.880616 67.397806 L -7.08314 59.752648 L -5.285665 54.768382 L -3.488189 51.267622 L -1.690714 48.669524 L 0.106761 46.667969 L 1.900312 45.078498 L 3.697788 43.783374 L 5.495263 42.708028 L 7.292739 41.805366 L 9.090214 41.032216 L 10.887689 40.361106 L 12.68124 39.780263 L 14.478716 39.262213 L 16.276191 38.806957 L 18.073667 38.402722 L 19.871142 38.037732 L 21.668617 37.704139 L 23.462168 37.405868 L 25.259644 37.131145 L 27.057119 36.879969 L 28.854594 36.652342 L 30.65207 36.436488 L 32.449545 36.240257 L 34.243096 36.059724 L 36.040572 35.890966 L 37.838047 35.730056 L 39.635522 35.584845 L 41.432998 35.443559 L 43.230473 35.314047 L 45.027949 35.192383 L 46.821499 35.074645 L 50.41645 34.862715 L 52.213926 34.7646 L 54.011401 34.674334 L 55.808877 34.587992 L 57.602427 34.50165 L 59.399903 34.423158 L 62.994854 34.274023 L 66.589805 34.140586 L 68.383355 34.077792 L 70.180831 34.014998 L 71.978306 33.956128 L 75.573257 33.846239 L 77.370732 33.795219 L 79.164283 33.748124 L 80.961759 33.697104 L 88.15166 33.52442 L 89.945211 33.485174 L 91.742687 33.445928 L 93.540162 33.410606 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n<g clip-path=\"url(#clip-0)\">\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.79701\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"rgb(0%, 0%, 100%)\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -77.953907 27.284276 L -76.949205 27.221483 L -75.944502 27.154764 L -74.943724 27.084121 L -73.939022 27.017402 L -71.929617 26.868267 L -70.924915 26.789774 L -69.924137 26.707357 L -68.919435 26.62494 L -66.91003 26.444408 L -65.905327 26.350217 L -64.90455 26.252102 L -63.899847 26.150062 L -62.895145 26.044097 L -60.88574 25.816469 L -59.884962 25.694806 L -58.88026 25.565293 L -57.875557 25.431856 L -56.870855 25.294495 L -55.866152 25.145359 L -54.865375 24.992299 L -53.860672 24.83139 L -52.85597 24.658706 L -51.851267 24.478174 L -50.846565 24.285868 L -49.845787 24.085712 L -48.841085 23.873783 L -47.836382 23.64223 L -46.83168 23.402828 L -45.826977 23.143804 L -44.8262 22.86908 L -43.821497 22.570809 L -42.816795 22.252915 L -41.812092 21.911473 L -40.80739 21.542559 L -39.806612 21.142248 L -38.80191 20.71054 L -37.797207 20.235661 L -36.792505 19.717611 L -35.787802 19.148542 L -34.787025 18.520603 L -33.782322 17.818096 L -32.77762 17.037097 L -31.772917 16.161907 L -30.768215 15.168978 L -29.767437 14.034763 L -28.762735 12.727865 L -27.758032 11.205113 L -26.75333 9.407638 L -25.748627 7.253022 L -24.74785 4.631377 L -23.743147 1.358244 L -22.738445 -2.825399 L -21.733742 -8.386584 L -20.72904 -16.114159 L -19.728262 -27.593669 L -18.72356 -46.439688 \" transform=\"matrix(0.99532, 0, 0, -0.99532, 79.967957, 128.601887)\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$2$ et $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe se rapproche de la droite $y = 2$ à\nl'infini, et monte sans limite à droite de $-1$."
        },
        {
          "text": "$2$ et $-\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite $-\\infty$ se lit à **gauche** de $-1$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$ et $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux limites sont échangées."
        },
        {
          "text": "$-1$ et $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ est l'abscisse de l'asymptote verticale ; la\nlimite en $+\\infty$ est une ordonnée."
        }
      ],
      "explanation": "Asymptote horizontale $y = \\ell$ : limite $\\ell$ à l'infini.\nAsymptote verticale $x = a$ : limite infinie en $a$, à gauche ou à\ndroite."
    }
  ]
}