{
  "chapter": {
    "id": "orthogonalite-distances-espace",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Algèbre et géométrie",
    "title": "Orthogonalité et distances dans l'espace",
    "description": "Produit scalaire dans l'espace, expression en base orthonormée,\northogonalité de vecteurs et de droites, norme et distance entre\ndeux points, développement de $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$, vecteur\nnormal à un plan, projeté orthogonal, plans perpendiculaires,\ndistance d'un point à un plan.",
    "parties": [
      {
        "id": "produit-scalaire",
        "title": "Produit scalaire dans l'espace"
      },
      {
        "id": "orthogonalite",
        "title": "Orthogonalité de droites et de plans"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Vecteur normal et équation de plan"
      },
      {
        "id": "distances",
        "title": "Distances et projetés"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire en coordonnées",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$\net $\\vec{v}(3\\,;\\,0\\,;\\,2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'\n= 3 + 0 - 2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le dernier terme vaut\n$(-1) \\times 2 = -2$, pas $+2$. Total : $3 + 0 - 2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$(3\\,;\\,0\\,;\\,-2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**,\npas un vecteur. On additionne les produits des\ncoordonnées."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ signifierait des vecteurs orthogonaux. Le\ncalcul donne $3 + 0 - 2 = 1 \\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "En base orthonormée :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'$. Ici\n$1 \\times 3 + 2 \\times 0 + (-1) \\times 2 = 1$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "calcul"
      ],
      "title": "Tester l'orthogonalité",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, $\\vec{u}(2\\,;\\,1\\,;\\,-1)$ et\n$\\vec{v}(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 1 + 1 \\times 0 + (-1) \\times 2 =\n2 - 2 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux."
        },
        {
          "text": "Non, car aucune coordonnée commune n'est nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'orthogonalité ne se lit pas sur les coordonnées\nindividuellement, mais sur la **somme** des produits :\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$."
        },
        {
          "text": "Non, car ils ne sont pas colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la colinéarité et l'orthogonalité sont deux\nnotions différentes (et presque opposées). Le test\nd'orthogonalité est la nullité du produit scalaire."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans connaître l'angle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire remplace justement le calcul\nd'angle : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0 \\Leftrightarrow$\nvecteurs orthogonaux."
        }
      ],
      "explanation": "Caractérisation fondamentale :\n$\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n0$. Ici $2 + 0 - 2 = 0$ : orthogonaux."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "norme",
        "calcul"
      ],
      "title": "Norme d'un vecteur",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}\n= \\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la racine : $9 = \\|\\vec{u}\\|^2$ est le **carré**\nde la norme. La norme vaut $\\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as compté $2 + (-1) + 2 = 3$ sous la racine.\nCe sont les **carrés** des coordonnées qu'on additionne :\n$4 + 1 + 4 = 9$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = 2 + 1 + 2$ additionne les valeurs absolues.\nLa norme passe par les carrés : $\\sqrt{4 + 1 + 4} = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "En base orthonormée : $\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$\n(Pythagore en trois dimensions). Ici $\\sqrt{9} = 3$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "distance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Distance entre deux points",
      "partie": "distances",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et\n$B(3\\,;\\,2\\,;\\,1)$. Que vaut la distance $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AB = \\|\\overrightarrow{AB}\\| =\n\\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la racine : $9$ est $AB^2$. La distance vaut\n$\\sqrt{9} = 3$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{2 + 2 - 1}$ additionne les coordonnées de\n$\\overrightarrow{AB}$ au lieu de leurs **carrés** :\n$\\sqrt{4 + 4 + 1} = 3$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = 2 + 2 + 1$ additionne les valeurs absolues\ndes coordonnées. La formule exige leurs carrés sous une\nracine."
        }
      ],
      "explanation": "$AB = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.\nIci $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et $AB = \\sqrt{9} = 3$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vecteur-normal",
        "definition"
      ],
      "title": "Vecteur normal à un plan",
      "partie": "equations",
      "statement": "Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur de\n$\\mathcal{P}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}$ est orthogonal à toutes les\ndirections du plan (il suffit de le vérifier sur deux\nvecteurs non colinéaires du plan)."
        },
        {
          "text": "Un vecteur non nul contenu dans $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : un vecteur du plan est une **direction** du\nplan. Le vecteur normal lui est au contraire\nperpendiculaire, il pointe hors du plan."
        },
        {
          "text": "Un vecteur orthogonal à un vecteur non nul de\n$\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : être orthogonal à une seule direction du\nplan ne suffit pas (on peut l'être en restant dans le\nplan). Il faut l'orthogonalité à **deux** directions non\ncolinéaires."
        },
        {
          "text": "Un vecteur de norme $1$ dont la direction est celle de\n$\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la norme n'a rien à voir avec la définition («\nnormal » signifie perpendiculaire, pas « normé »), et un\nvecteur de direction celle du plan n'est pas normal au\nplan."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{n}$ normal à $\\mathcal{P}$ : non nul et orthogonal à\ntout vecteur du plan. Critère pratique : orthogonal à deux\nvecteurs non colinéaires de $\\mathcal{P}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Développer $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Que vaut $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$ pour deux vecteurs\nquelconques de l'espace ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : identité remarquable vectorielle, obtenue\npar bilinéarité du produit scalaire. Elle fonde les\nformules de polarisation."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : cette égalité (Pythagore) n'est vraie que si\n$\\vec{u} \\perp \\vec{v}$ (le double produit scalaire\ns'annule alors). En général, le terme\n$2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$ subsiste."
        },
        {
          "text": "$\\left(\\|\\vec{u}\\| + \\|\\vec{v}\\|\\right)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait le cas d'égalité extrême (vecteurs\ncolinéaires de même sens). Le terme croisé est\n$2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$, en général plus petit que\n$2\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|$."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 - 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le moins correspond au développement de\n$\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = (\\vec{u}+\\vec{v}) \\cdot\n(\\vec{u}+\\vec{v}) = \\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} +\n\\|\\vec{v}\\|^2$. On en tire $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} =\n\\frac{1}{2}\\left(\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 -\n\\|\\vec{v}\\|^2\\right)$ (polarisation)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire et angle",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ tels que $\\|\\vec{u}\\| = 2$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 3$ et $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$. Que vaut\nl'angle $\\theta$ entre $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$,\ndonc $\\theta = \\dfrac{\\pi}{3}$."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de valeur remarquable : $\\cos\\theta = \\dfrac{1}{2}$\ncorrespond à $\\dfrac{\\pi}{3}$ ; c'est\n$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ qui correspondrait à\n$\\dfrac{\\pi}{6}$."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{2}$ exigerait un produit scalaire\n**nul**. Ici il vaut $3 \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : un cosinus reste entre $-1$ et $1$. Il faut\ndiviser le produit scalaire par le produit des normes :\n$\\dfrac{3}{2 \\times 3} = \\dfrac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$,\nd'où $\\cos\\theta = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ et $\\theta =\n\\dfrac{\\pi}{3}$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plans-perpendiculaires"
      ],
      "title": "Plans perpendiculaires",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Soient deux plans de vecteurs normaux respectifs $\\vec{n_1}$\net $\\vec{n_2}$. À quelle condition ces plans sont-ils\nperpendiculaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et\nseulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n_1}$ et $\\vec{n_2}$ colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : des normaux colinéaires caractérisent des\nplans **parallèles** (ou confondus), pas perpendiculaires."
        },
        {
          "text": "Les plans n'ont aucun point commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux plans perpendiculaires se coupent toujours\n(le long d'une droite). L'absence de point commun signifie\nle parallélisme strict."
        },
        {
          "text": "$\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur $1$ n'a aucun statut particulier ici.\nLa perpendicularité se lit sur la **nullité** du produit\nscalaire des normaux."
        }
      ],
      "explanation": "Dictionnaire des positions par les normaux : normaux\ncolinéaires $\\Leftrightarrow$ plans parallèles ; normaux\northogonaux $\\Leftrightarrow$ plans perpendiculaires."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "projete-orthogonal",
        "definition"
      ],
      "title": "Propriété du projeté orthogonal",
      "partie": "distances",
      "statement": "Soit $H$ le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan\n$\\mathcal{P}$. Quelle propriété caractérise $H$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$H$ est le point de $\\mathcal{P}$ le plus proche de $M$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour tout autre point $P$ du plan,\n$MP^2 = MH^2 + HP^2 > MH^2$ (Pythagore). C'est la\ndémonstration au programme, et la définition de la\ndistance de $M$ au plan."
        },
        {
          "text": "$H$ est le point de $\\mathcal{P}$ le plus éloigné de $M$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : il n'existe d'ailleurs pas de point le plus\néloigné dans un plan (illimité). Le projeté minimise la\ndistance."
        },
        {
          "text": "$H$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le symétrique est de l'**autre côté** du plan, à\ndouble distance. Le projeté est le pied de la\nperpendiculaire, dans le plan."
        },
        {
          "text": "$H$ est un point quelconque où $(MH)$ coupe $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : toute droite issue de $M$ non parallèle au\nplan le coupe. Le projeté exige que $(MH)$ soit\n**orthogonale** au plan."
        }
      ],
      "explanation": "Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\\mathcal{P}$ minimise la\ndistance : $MH = d(M\\,;\\,\\mathcal{P})$. Preuve par Pythagore\ndans le triangle $MHP$, rectangle en $H$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "droite-plan",
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Droite orthogonale à un plan",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\\vec{u}$ et\n$\\mathcal{P}$ un plan. À quelle condition $d$ est-elle\northogonale à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de\n$\\mathcal{P}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'orthogonalité à deux directions\nindépendantes du plan suffit à garantir l'orthogonalité à\n**toutes** (autrement dit, $\\vec{u}$ est normal au plan)."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ est orthogonal à un vecteur de $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : une droite **contenue** dans le plan peut\nêtre orthogonale à une direction du plan sans lui être\northogonale. Il faut deux directions non colinéaires."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ est un vecteur du plan $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : ce serait une droite **parallèle** au plan\n(ou incluse dedans), le contraire de la situation\ncherchée."
        },
        {
          "text": "$d$ et $\\mathcal{P}$ n'ont aucun point commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite orthogonale à un plan le **perce** en\nun point. L'absence d'intersection signifie le\nparallélisme."
        }
      ],
      "explanation": "Critère au programme : $d \\perp \\mathcal{P}$ dès que son\nvecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non\ncolinéaires du plan. Le directeur de $d$ est alors un vecteur\nnormal de $\\mathcal{P}$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "distance-point-plan",
        "calcul"
      ],
      "title": "Distance à un plan horizontal",
      "partie": "distances",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(0\\,;\\,0\\,;\\,5)$ et\n$\\mathcal{P}$ le plan d'équation $z = 1$. Quelle est la\ndistance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\mathcal{P}$ est horizontal, le projeté\northogonal de $M$ est $H(0\\,;\\,0\\,;\\,1)$, et\n$MH = 5 - 1 = 4$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est la distance de $M$ au plan $z = 0$ (ou à\nl'origine). Le plan est à l'altitude $1$ : il reste\n$5 - 1 = 4$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est l'altitude du **plan**, pas l'écart entre\n$M$ et le plan."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 + 1$ additionne au lieu de soustraire. $M$ et\nle plan sont du même côté : la distance est la différence\ndes altitudes."
        }
      ],
      "explanation": "La distance d'un point à un plan est la longueur $MH$, où $H$\nest le projeté orthogonal. Pour un plan $z = c$ et\n$M(x\\,;\\,y\\,;\\,z_M)$ : $H(x\\,;\\,y\\,;\\,c)$ et\n$d = |z_M - c| = 4$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "piege"
      ],
      "title": "Droites orthogonales et perpendiculaires",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Dans l'espace, deux droites sont dites **orthogonales**\nlorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Que\npeut-on dire de plus ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles ne sont pas forcément sécantes : orthogonales et non\ncoplanaires est possible",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'orthogonalité est une affaire de\n**directions**. Deux droites orthogonales et sécantes sont\ndites perpendiculaires ; mais des droites non coplanaires\npeuvent très bien être orthogonales (dans un cube :\n$(AB)$ et $(DH)$)."
        },
        {
          "text": "Deux droites orthogonales se coupent toujours à angle droit",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège : dans l'espace, deux droites orthogonales peuvent\nne **jamais se rencontrer** (non coplanaires). L'angle\ndroit ne se réalise qu'entre leurs directions."
        },
        {
          "text": "Orthogonales signifie parallèles à des plans\nperpendiculaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette reformulation ne caractérise pas\nl'orthogonalité de deux droites (elle est à la fois trop\nlarge et imprécise). Le critère est\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$."
        },
        {
          "text": "Deux droites orthogonales à une même troisième sont\nparallèles entre elles",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai dans le plan, **faux dans l'espace** : les arêtes\n$(AB)$ et $(AD)$ d'un cube sont toutes deux orthogonales à\n$(AE)$ sans être parallèles."
        }
      ],
      "explanation": "Vocabulaire précis : orthogonales signifie de directions orthogonales (sans exigence de rencontre) ; perpendiculaires signifie orthogonales **et** sécantes. Les réflexes de géométrie plane\n(perpendiculaire commune, transitivité) ne se transposent pas\ntels quels à l'espace."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "carre-scalaire"
      ],
      "title": "Le carré scalaire",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Pour tout vecteur $\\vec{u}$, que vaut $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{u}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en coordonnées, $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} =\nx^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$ : le produit scalaire\nd'un vecteur avec lui-même est le carré de sa longueur."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance : le produit scalaire donne le **carré** de la\nnorme ; la norme elle-même exige une racine carrée."
        },
        {
          "text": "$2\\|\\vec{u}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2\\|\\vec{u}\\|$ est la norme de $\\vec{u} +\n\\vec{u}$ ; le produit scalaire d'un vecteur par lui-même\nest le **carré** de sa norme."
        },
        {
          "text": "$2\\vec{u}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : un produit scalaire est un **nombre**,\npas un vecteur."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = \\|\\vec{u}\\|^2$ : le pont entre\nproduit scalaire et longueurs. Toutes les formules de\nnormes développées ($\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$…) en\ndécoulent."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "produit-scalaire-nul"
      ],
      "title": "Produit scalaire nul",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont deux vecteurs **non nuls** avec\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$. Que peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour des vecteurs non nuls, produit\nscalaire nul $\\iff$ orthogonalité : c'est LE critère\ncalculatoire des angles droits."
        },
        {
          "text": "L'un des deux vecteurs est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\vec{i} \\cdot \\vec{j} = 0$ avec deux vecteurs\nparfaitement non nuls : le produit scalaire s'annule par\n**perpendicularité**, pas seulement par nullité."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens complet : colinéaires non nuls donne\n$|\\vec{u} \\cdot \\vec{v}| = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| \\neq\n0$ : le produit scalaire nul est l'exact opposé."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = \\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : l'orthogonalité ne contraint pas les\nlongueurs."
        }
      ],
      "explanation": "Critère fondamental : $\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\iff \\vec{u}\n\\cdot \\vec{v} = 0$ (vecteurs non nuls). Toute la géométrie\nde l'espace (droites orthogonales, vecteur normal…) repose\nsur ce test."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bilinearite"
      ],
      "title": "Développer avec la bilinéarité",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "On sait que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$ et $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{w} = -1$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot (2\\vec{v} +\n\\vec{w})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le produit scalaire se développe comme\nun produit ordinaire : $2(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) +\n\\vec{u} \\cdot \\vec{w} = 6 - 1 = 5$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient perdu : le facteur $2$ multiplie $\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v} = 3$ : la linéarité conserve les\ncoefficients."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : il manque la contribution $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{w} = -1$."
        },
        {
          "text": "Impossible sans connaître les coordonnées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la bilinéarité suffit : les deux produits\nscalaires donnés déterminent le résultat, coordonnées ou\npas."
        }
      ],
      "explanation": "Bilinéarité : $\\vec{u} \\cdot (a\\vec{v} + b\\vec{w}) =\na(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) + b(\\vec{u} \\cdot \\vec{w})$ : le\nproduit scalaire se manie comme une multiplication : c'est\nce qui permet les développements de type\n$(\\vec{u}+\\vec{v})^2$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-rectangle"
      ],
      "title": "Prouver un angle droit",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ 1)$, $B(2\\ ;\\ 3\\ ;\\ 1)$ et\n$C(3\\ ;\\ 0\\ ;\\ 1)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en\n$A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}\n= 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 0)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(2\\ ;\\ -1\\ ;\\ 0)$ donnent $1 \\times\n2 + 2 \\times (-1) + 0 \\times 0 = 0$ : produit scalaire\nnul, angle droit **en $A$** (sommet des deux vecteurs)."
        },
        {
          "text": "Non : aucun côté n'est parallèle à un axe",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux critère : un angle droit n'a pas besoin d'être\n« aligné » sur le repère : le produit scalaire le\ndétecte dans toutes les directions."
        },
        {
          "text": "Oui, car les longueurs $AB$ et $AC$ sont égales",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais argument : l'égalité des longueurs prouverait\nl'**isocèle** (et ici $AB = \\sqrt{5} = AC$, certes),\nmais l'angle droit se prouve par le produit scalaire\nnul."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans mesurer l'angle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire EST l'instrument de mesure :\nnul $\\iff$ angle droit, sans rapporteur."
        }
      ],
      "explanation": "Rectangle en $A$ : tester $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$ (les deux vecteurs **partent du\nsommet** suspecté : erreur classique de prendre\n$\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{BC}$)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "angle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer un angle",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "On donne $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6$, $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut l'angle entre $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60°$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|} = \\dfrac{6}{2 \\times 6}\n= \\dfrac{1}{2}$, et $\\arccos\\frac{1}{2} = 60°$\n($\\frac{\\pi}{3}$)."
        },
        {
          "text": "$30°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur croisée : $\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx\n0{,}87$, pas $0{,}5$ : c'est $\\cos 60° = \\frac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$90°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $90°$ correspond à un produit scalaire **nul** ;\nici $6 \\neq 0$ : l'angle est aigu (produit positif)."
        },
        {
          "text": "$120°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\cos 120° = -\\dfrac{1}{2}$\ncorrespondrait à un produit scalaire de $-6$. Ici\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 > 0$ : l'angle est aigu,\n$\\cos\\theta = +\\dfrac{1}{2}$, soit $60°$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$, d'où $\\cos\\theta =\n\\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|}$. Le signe du produit scalaire donne la nature de l'angle : positif aigu,\nnégatif obtus, nul droit."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pythagore-vectoriel"
      ],
      "title": "Pythagore version vectorielle",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le développement donne $\\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, et\nl'orthogonalité tue le double produit : Pythagore en\nhabits vectoriels."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| + \\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double produit fantôme : $2\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$\npar orthogonalité : le terme croisé disparaît (il ne\nvaut $2\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|$ que pour des vecteurs\ncolinéaires de même sens)."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| + \\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Homogénéité : un carré de norme ne peut pas égaler une\nsomme de normes : les degrés ne collent pas."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme de deux vecteurs orthogonaux non nuls\nn'est pas nulle : elle est la diagonale du rectangle\nqu'ils dessinent."
        }
      ],
      "explanation": "$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\n\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$ dans tous les cas ; orthogonalité\n$\\iff$ le double produit s'annule $\\iff$ Pythagore. La\nréciproque est vraie aussi : l'égalité prouve\nl'orthogonalité."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plan",
        "equation-cartesienne"
      ],
      "title": "Équation cartésienne d'un plan",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est l'équation cartésienne du plan passant par\n$A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et de vecteur normal $\\vec{n}(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x - y + 3z - 8 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coordonnées du vecteur normal donnent les\ncoefficients, et $A$ fixe la constante à $-8$."
        },
        {
          "text": "$2x - y + 3z + 8 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la constante : le point $A$ donne $2 - 0 + 6 + d = 0$, donc\n$d = -8$."
        },
        {
          "text": "$x - 0y + 2z - 8 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coordonnées du point prises pour coefficients : ce sont celles du\nvecteur normal qui les fournissent."
        },
        {
          "text": "$2x - y + 3z = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce plan passe par l'origine, alors que le point $A$ ne s'y trouve\npas."
        }
      ],
      "explanation": "Un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ admet $(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ pour\nvecteur normal. On détermine $d$ en remplaçant par les coordonnées d'un\npoint du plan."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "droite",
        "plan",
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Vecteur directeur d'une droite orthogonale à un plan",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Une droite est orthogonale à un plan. Que peut-on dire de son vecteur\ndirecteur ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il est colinéaire à un vecteur normal du plan",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : être orthogonal à toutes les droites du plan revient à\nsuivre la direction normale."
        },
        {
          "text": "Il est orthogonal à un vecteur normal du plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette condition caractérise une droite parallèle au plan, pas\northogonale."
        },
        {
          "text": "Il appartient au plan lui-même",
          "correct": false,
          "feedback": "Un vecteur directeur d'une droite orthogonale sort du plan, il ne peut\npas y être contenu."
        },
        {
          "text": "Il est nul, faute de direction",
          "correct": false,
          "feedback": "Un vecteur directeur est toujours non nul, sans quoi il ne définirait\naucune direction."
        }
      ],
      "explanation": "Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur\ndirecteur est colinéaire à un vecteur normal du plan. C'est le critère le\nplus employé dans les exercices de l'espace."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "coordonnees"
      ],
      "title": "Produit scalaire dans l'espace",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Que vaut le produit scalaire de $\\vec{u}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{v}(4\\,;\\,1\\,;\\,-1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 \\times 4 + (-2) \\times 1 + 3 \\times (-1) =\n4 - 2 - 3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes ignorés : les produits valent $4$, $-2$ et $-3$, deux d'entre\neux étant négatifs."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un produit scalaire nul signalerait l'orthogonalité, ce qui n'est pas\nle cas ici."
        },
        {
          "text": "$-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un terme oublié : les trois produits doivent être additionnés, pas\nseulement deux."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un repère orthonormé de l'espace, le produit scalaire vaut\n$xx' + yy' + zz'$. La formule prolonge directement celle du plan."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "distance",
        "plan"
      ],
      "title": "Distance et projeté orthogonal",
      "partie": "distances",
      "statement": "Comment se calcule la distance d'un point $M$ à un plan $P$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par la longueur $MH$, où $H$ est le projeté de $M$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le projeté orthogonal est le point du plan le plus\nproche de $M$."
        },
        {
          "text": "Par la longueur $MA$, où $A$ est un point du plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Un point quelconque du plan donne une distance plus grande, sauf s'il\ncoïncide avec le projeté."
        },
        {
          "text": "Par le produit scalaire de $\\overrightarrow{AM}$ et d'un normal",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce produit scalaire intervient dans le calcul, mais il faut encore le\ndiviser par la norme du vecteur normal."
        },
        {
          "text": "Par la moyenne des distances aux points du plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Un plan contient une infinité de points, dont certains\narbitrairement éloignés : une telle moyenne n'existe pas."
        }
      ],
      "explanation": "La distance d'un point à un plan est la plus petite des distances aux\npoints du plan, atteinte au projeté orthogonal. On l'obtient en\nparamétrant la droite orthogonale au plan passant par $M$."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Orthogonales ou perpendiculaires",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Quelle différence fait-on entre deux droites orthogonales et deux\ndroites perpendiculaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les perpendiculaires ont en plus un point commun",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'orthogonalité porte sur les directions, la\nperpendicularité ajoute l'intersection."
        },
        {
          "text": "Les orthogonales ont en plus un point commun",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'inverse : deux droites orthogonales peuvent être non\ncoplanaires."
        },
        {
          "text": "Aucune, les deux mots sont synonymes",
          "correct": false,
          "feedback": "Ils le sont dans le plan, mais l'espace impose la distinction."
        },
        {
          "text": "Les perpendiculaires sont dans un même plan seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux droites sécantes sont toujours coplanaires : c'est une\nconséquence, pas la définition."
        }
      ],
      "explanation": "Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs vecteurs\ndirecteurs le sont, qu'elles se coupent ou non. Elles sont perpendiculaires\nlorsqu'elles sont de plus sécantes."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "plan",
        "intersection"
      ],
      "title": "Intersection d'une droite et d'un plan",
      "partie": "equations",
      "statement": "Pour trouver le point d'intersection d'une droite paramétrée et d'un\nplan d'équation cartésienne, que fait-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "On substitue les expressions paramétrées dans l'équation",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on obtient une équation du premier degré en $t$, dont\nla solution donne le point."
        },
        {
          "text": "On calcule le produit scalaire des deux vecteurs normaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Une droite n'a pas de vecteur normal unique dans l'espace : elle en\nadmet une infinité."
        },
        {
          "text": "On résout un système de trois équations à trois inconnues",
          "correct": false,
          "feedback": "La substitution ramène à une seule équation à une inconnue, bien plus\nrapide."
        },
        {
          "text": "On compare les coefficients des deux écritures",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux objets ne sont pas de même nature : leurs écritures ne se\ncomparent pas terme à terme."
        }
      ],
      "explanation": "Remplacer $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction du paramètre\ntransforme l'équation du plan en une équation en $t$. Sans solution, la\ndroite est parallèle au plan."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "norme",
        "coordonnees"
      ],
      "title": "Norme d'un vecteur de l'espace",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Quelle est la norme du vecteur $\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,6)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{4 + 9 + 36} = \\sqrt{49}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une coordonnée oubliée : $\\sqrt{4 + 9 + 12}$ ne correspond à aucun\ncarré correct."
        },
        {
          "text": "$49$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $49$ est le carré de la norme, c'est-à-dire le carré\nscalaire."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeurs absolues additionnées : $2 + 3 + 6$ ignore les carrés et la\nracine."
        }
      ],
      "explanation": "La norme d'un vecteur de l'espace vaut $\\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. C'est le\nthéorème de Pythagore appliqué deux fois de suite."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "plans",
        "parallelisme"
      ],
      "title": "Deux plans parallèles",
      "partie": "equations",
      "statement": "Comment reconnaître que deux plans d'équations cartésiennes sont\nparallèles ?",
      "options": [
        {
          "text": "Leurs vecteurs normaux sont colinéaires",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une même direction normale impose des plans parallèles,\nconfondus si les constantes suivent la même proportion."
        },
        {
          "text": "Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Des normales orthogonales caractérisent au contraire des plans\nperpendiculaires."
        },
        {
          "text": "Leurs constantes sont égales",
          "correct": false,
          "feedback": "La constante situe le plan, elle ne dit rien de sa direction."
        },
        {
          "text": "Leurs coefficients de $z$ sont égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Un seul coefficient ne suffit pas : les trois doivent être\nproportionnels."
        }
      ],
      "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont\ncolinéaires. Ils sont confondus si, en plus, les constantes respectent la\nmême proportion."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "produit-scalaire",
        "angle"
      ],
      "title": "Angle entre deux vecteurs de l'espace",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Deux vecteurs de normes $3$ et $5$ ont un produit scalaire égal à\n$\\dfrac{15}{2}$. Quel est l'angle qu'ils forment ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$ degrés",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{15/2}{15} = \\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$30$ degrés",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur remarquable confondue : un cosinus de $\\dfrac{1}{2}$ correspond\nà $60$ degrés, pas à $30$."
        },
        {
          "text": "$45$ degrés",
          "correct": false,
          "feedback": "Le cosinus vaudrait alors $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$, soit environ\n$0{,}71$."
        },
        {
          "text": "$90$ degrés",
          "correct": false,
          "feedback": "Un angle droit annulerait le produit scalaire, ce qui n'est pas le\ncas."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| \\times\n\\cos\\theta$ se résout en $\\cos\\theta$, puis l'angle se lit sur les valeurs\nremarquables."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "projete-orthogonal",
        "propriete"
      ],
      "title": "Pourquoi le projeté est le plus proche",
      "partie": "distances",
      "statement": "Pourquoi le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur un plan minimise-t-il la\ndistance ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que $MH$ est un côté de l'angle droit dans $MHA$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour tout autre point $A$ du plan, le théorème de\nPythagore donne $MA^2 = MH^2 + HA^2$."
        },
        {
          "text": "Parce que $H$ est le centre du plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Un plan n'a pas de centre : il s'étend indéfiniment dans toutes les\ndirections."
        },
        {
          "text": "Parce que $MH$ est parallèle au plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Le segment $[MH]$ est au contraire orthogonal au plan."
        },
        {
          "text": "Parce que $H$ appartient à toutes les droites du plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun point n'appartient à toutes les droites d'un plan."
        }
      ],
      "explanation": "Le triangle $MHA$ est rectangle en $H$, donc $MA$ dépasse toujours $MH$.\nC'est l'argument qui justifie que la distance d'un point à un plan se lit\nsur le projeté orthogonal."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "coordonnees"
      ],
      "title": "Tester une orthogonalité dans l'espace",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et $\\vec{v}(3\\,;\\,-1\\,;\\,1)$\nsont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, leur produit scalaire est nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 - 2 - 1 = 0$."
        },
        {
          "text": "Non, leur produit scalaire vaut $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes ignorés : les trois produits valent $3$, $-2$ et $-1$."
        },
        {
          "text": "Non, ils ne sont pas de même norme",
          "correct": false,
          "feedback": "La norme n'intervient pas dans le test d'orthogonalité."
        },
        {
          "text": "Non, ils ne sont pas colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "L'absence de colinéarité est même nécessaire pour que deux vecteurs non\nnuls soient orthogonaux."
        }
      ],
      "explanation": "Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit\nscalaire est nul. Le calcul en coordonnées est immédiat dans un repère\northonormé."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "plan",
        "mediateur"
      ],
      "title": "Un plan défini par une égalité de distances",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quel est l'ensemble des points $M$ de l'espace équidistants de deux\npoints distincts $A$ et $B$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le plan médiateur de $[AB]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est le plan perpendiculaire à $(AB)$ passant par le\nmilieu du segment."
        },
        {
          "text": "La médiatrice de $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "La médiatrice est une droite : elle ne décrit cet ensemble que dans le\nplan, pas dans l'espace."
        },
        {
          "text": "La sphère de diamètre $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur cette sphère, l'angle en $M$ est droit, mais les distances à $A$ et\nà $B$ diffèrent en général."
        },
        {
          "text": "Le milieu de $[AB]$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Le milieu convient, mais une infinité d'autres points aussi : tous ceux\ndu plan médiateur."
        }
      ],
      "explanation": "L'ensemble des points équidistants de deux points est, dans le plan, la\nmédiatrice, et dans l'espace, le plan médiateur. Il se caractérise par\n$\\overrightarrow{IM} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0$, où $I$ est le milieu."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "carre-scalaire",
        "coordonnees"
      ],
      "title": "Carré scalaire en coordonnées",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,6)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$49$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 2^2 + (-3)^2 +\n6^2 = 49$, c'est-à-dire le carré de la norme."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la norme $\\|\\vec{u}\\| = 7$, obtenue après la racine\ncarrée. Le carré scalaire est son carré : $49$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tu as additionné les coordonnées. Le carré scalaire additionne\nleurs **carrés** : $49$."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tu as additionné les valeurs absolues des coordonnées. Ce sont\nleurs carrés qu'il faut sommer : $49$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = x^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$. Le carré\nscalaire vaut donc $49$, et la norme $7$ s'en déduit par\nune racine carrée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,6)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$49$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 2^2 + (-3)^2 +\n6^2 = 49$, c'est-à-dire le carré de la norme."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la norme $\\|\\vec{u}\\| = 7$, obtenue après la racine\ncarrée. Le carré scalaire est son carré : $49$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les coordonnées. Le carré scalaire additionne\nleurs **carrés** : $49$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les valeurs absolues des coordonnées. Ce sont\nleurs carrés qu'il faut sommer : $49$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = x^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$. Le carré\nscalaire vaut donc $49$, et la norme $7$ s'en déduit par\nune racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne\n$\\vec{u}(1\\,;\\,-4\\,;\\,8)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$81$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 1^2 + (-4)^2 +\n8^2 = 81$, c'est-à-dire le carré de la norme."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la norme $\\|\\vec{u}\\| = 9$, obtenue après la racine\ncarrée. Le carré scalaire est son carré : $81$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les coordonnées. Le carré scalaire additionne\nleurs **carrés** : $81$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les valeurs absolues des coordonnées. Ce sont\nleurs carrés qu'il faut sommer : $81$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = x^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$. Le carré\nscalaire vaut donc $81$, et la norme $9$ s'en déduit par\nune racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne\n$\\vec{u}(4\\,;\\,-4\\,;\\,2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 4^2 + (-4)^2 +\n2^2 = 36$, c'est-à-dire le carré de la norme."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la norme $\\|\\vec{u}\\| = 6$, obtenue après la racine\ncarrée. Le carré scalaire est son carré : $36$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les coordonnées. Le carré scalaire additionne\nleurs **carrés** : $36$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les valeurs absolues des coordonnées. Ce sont\nleurs carrés qu'il faut sommer : $36$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = x^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$. Le carré\nscalaire vaut donc $36$, et la norme $6$ s'en déduit par\nune racine carrée."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,8)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$77$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = 2^2 + (-3)^2 +\n8^2 = 77$, c'est-à-dire le carré de la norme."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la norme $\\|\\vec{u}\\| = 9$, obtenue après la racine\ncarrée. Le carré scalaire est son carré : $77$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les coordonnées. Le carré scalaire additionne\nleurs **carrés** : $77$."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as additionné les valeurs absolues des coordonnées. Ce sont\nleurs carrés qu'il faut sommer : $77$."
            }
          ],
          "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{u} = x^2 + y^2 + z^2 = \\|\\vec{u}\\|^2$. Le carré\nscalaire vaut donc $77$, et la norme $9$ s'en déduit par\nune racine carrée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire à partir des normes",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\| = 3$, $\\|\\vec{v}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 6$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6^2 = 3^2 + 5^2 + 2\\,\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}$, donc $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "$2$ est le **double** produit scalaire : il reste à\ndiviser par $2$, ce qui donne $1$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : c'est de $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$ qu'on retire les\ndeux carrés de normes, et non l'inverse. Le résultat est $1$."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "$\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| = 15$ est la valeur\nmaximale possible, atteinte pour des vecteurs colinéaires de même\nsens seulement."
        }
      ],
      "explanation": "Développer $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, puis isoler le produit\nscalaire : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\dfrac{6^2 - 3^2 -\n5^2}{2} = 1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\| = 3$, $\\|\\vec{v}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 6$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $6^2 = 3^2 + 5^2 + 2\\,\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}$, donc $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "$2$ est le **double** produit scalaire : il reste à\ndiviser par $2$, ce qui donne $1$."
            },
            {
              "text": "$-1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est de $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$ qu'on retire les\ndeux carrés de normes, et non l'inverse. Le résultat est $1$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| = 15$ est la valeur\nmaximale possible, atteinte pour des vecteurs colinéaires de même\nsens seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Développer $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, puis isoler le produit\nscalaire : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\dfrac{6^2 - 3^2 -\n5^2}{2} = 1$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\| = 4$, $\\|\\vec{v}\\| = 7$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 9$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9^2 = 4^2 + 7^2 + 2\\,\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}$, donc $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "$16$ est le **double** produit scalaire : il reste à\ndiviser par $2$, ce qui donne $8$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est de $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$ qu'on retire les\ndeux carrés de normes, et non l'inverse. Le résultat est $8$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| = 28$ est la valeur\nmaximale possible, atteinte pour des vecteurs colinéaires de même\nsens seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Développer $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, puis isoler le produit\nscalaire : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\dfrac{9^2 - 4^2 -\n7^2}{2} = 8$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\| = 5$, $\\|\\vec{v}\\| = 6$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 9$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $9^2 = 5^2 + 6^2 + 2\\,\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}$, donc $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 10$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "$20$ est le **double** produit scalaire : il reste à\ndiviser par $2$, ce qui donne $10$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est de $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$ qu'on retire les\ndeux carrés de normes, et non l'inverse. Le résultat est $10$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| = 30$ est la valeur\nmaximale possible, atteinte pour des vecteurs colinéaires de même\nsens seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Développer $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, puis isoler le produit\nscalaire : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\dfrac{9^2 - 5^2 -\n6^2}{2} = 10$."
        },
        {
          "statement": "On sait que $\\|\\vec{u}\\| = 4$, $\\|\\vec{v}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 7$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7^2 = 4^2 + 5^2 + 2\\,\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}$, donc $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "$8$ est le **double** produit scalaire : il reste à\ndiviser par $2$, ce qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$-4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : c'est de $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$ qu'on retire les\ndeux carrés de normes, et non l'inverse. Le résultat est $4$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "$\\|\\vec{u}\\| \\times \\|\\vec{v}\\| = 20$ est la valeur\nmaximale possible, atteinte pour des vecteurs colinéaires de même\nsens seulement."
            }
          ],
          "explanation": "Développer $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$, puis isoler le produit\nscalaire : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\dfrac{7^2 - 4^2 -\n5^2}{2} = 4$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bilinearite",
        "carre-scalaire"
      ],
      "title": "Développer un produit de sommes",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 3$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés se compensent et il\nreste $\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 16$."
        },
        {
          "text": "$34$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le développement donne une **différence** de carrés, comme avec\ndes nombres : $5^2 - 3^2 = 16$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$(5 - 3)^2$ serait $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$ dans le cas\ncolinéaire. Ici le produit demandé vaut $16$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ apparaît dans\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, pas ici : les produits croisés\ns'éliminent et il reste $16$."
        }
      ],
      "explanation": "Par bilinéarité, $(\\vec{u}+\\vec{v})\\cdot(\\vec{u}-\\vec{v}) =\n\\vec{u}\\cdot\\vec{u} - \\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\vec{v}\\cdot\\vec{u} -\n\\vec{v}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$. Le produit\nscalaire se développe comme un produit de nombres.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 3$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés se compensent et il\nreste $\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$34$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le développement donne une **différence** de carrés, comme avec\ndes nombres : $5^2 - 3^2 = 16$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$(5 - 3)^2$ serait $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$ dans le cas\ncolinéaire. Ici le produit demandé vaut $16$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ apparaît dans\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, pas ici : les produits croisés\ns'éliminent et il reste $16$."
            }
          ],
          "explanation": "Par bilinéarité, $(\\vec{u}+\\vec{v})\\cdot(\\vec{u}-\\vec{v}) =\n\\vec{u}\\cdot\\vec{u} - \\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\vec{v}\\cdot\\vec{u} -\n\\vec{v}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$. Le produit\nscalaire se développe comme un produit de nombres."
        },
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 4$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés se compensent et il\nreste $\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = -20$."
            },
            {
              "text": "$52$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le développement donne une **différence** de carrés, comme avec\ndes nombres : $4^2 - 6^2 = -20$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "$(4 - 6)^2$ serait $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$ dans le cas\ncolinéaire. Ici le produit demandé vaut $-20$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ apparaît dans\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, pas ici : les produits croisés\ns'éliminent et il reste $-20$."
            }
          ],
          "explanation": "Par bilinéarité, $(\\vec{u}+\\vec{v})\\cdot(\\vec{u}-\\vec{v}) =\n\\vec{u}\\cdot\\vec{u} - \\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\vec{v}\\cdot\\vec{u} -\n\\vec{v}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$. Le produit\nscalaire se développe comme un produit de nombres."
        },
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 7$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 2$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés se compensent et il\nreste $\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = 45$."
            },
            {
              "text": "$53$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le développement donne une **différence** de carrés, comme avec\ndes nombres : $7^2 - 2^2 = 45$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "$(7 - 2)^2$ serait $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$ dans le cas\ncolinéaire. Ici le produit demandé vaut $45$."
            },
            {
              "text": "$28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ apparaît dans\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, pas ici : les produits croisés\ns'éliminent et il reste $45$."
            }
          ],
          "explanation": "Par bilinéarité, $(\\vec{u}+\\vec{v})\\cdot(\\vec{u}-\\vec{v}) =\n\\vec{u}\\cdot\\vec{u} - \\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\vec{v}\\cdot\\vec{u} -\n\\vec{v}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$. Le produit\nscalaire se développe comme un produit de nombres."
        },
        {
          "statement": "Deux vecteurs vérifient $\\|\\vec{u}\\| = 5$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut\n$(\\vec{u} + \\vec{v}) \\cdot (\\vec{u} - \\vec{v})$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les deux produits croisés se compensent et il\nreste $\\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2 = -11$."
            },
            {
              "text": "$61$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le développement donne une **différence** de carrés, comme avec\ndes nombres : $5^2 - 6^2 = -11$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "$(5 - 6)^2$ serait $\\|\\vec{u} - \\vec{v}\\|^2$ dans le cas\ncolinéaire. Ici le produit demandé vaut $-11$."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ apparaît dans\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, pas ici : les produits croisés\ns'éliminent et il reste $-11$."
            }
          ],
          "explanation": "Par bilinéarité, $(\\vec{u}+\\vec{v})\\cdot(\\vec{u}-\\vec{v}) =\n\\vec{u}\\cdot\\vec{u} - \\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\vec{v}\\cdot\\vec{u} -\n\\vec{v}\\cdot\\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2$. Le produit\nscalaire se développe comme un produit de nombres."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pythagore-vectoriel",
        "norme"
      ],
      "title": "Norme d'une somme orthogonale",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux, avec\n$\\|\\vec{u}\\| = 3$ et $\\|\\vec{v}\\| = 4$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = 3^2 + 4^2 =\n25$, donc la norme vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les normes ne s'additionnent pas : ce serait le cas de vecteurs\ncolinéaires de même sens. Ici Pythagore donne $5$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "$25$ est le **carré** de la norme. La racine carrée reste à\nprendre : $5$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La différence des normes correspondrait à des vecteurs\ncolinéaires de sens contraires, pas à des vecteurs orthogonaux."
        }
      ],
      "explanation": "L'orthogonalité annule le double produit scalaire :\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$. C'est le\nthéorème de Pythagore, ici $3^2 + 4^2 = 25$ et\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\| = 5$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux, avec\n$\\|\\vec{u}\\| = 3$ et $\\|\\vec{v}\\| = 4$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = 3^2 + 4^2 =\n25$, donc la norme vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes ne s'additionnent pas : ce serait le cas de vecteurs\ncolinéaires de même sens. Ici Pythagore donne $5$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "$25$ est le **carré** de la norme. La racine carrée reste à\nprendre : $5$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des normes correspondrait à des vecteurs\ncolinéaires de sens contraires, pas à des vecteurs orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité annule le double produit scalaire :\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$. C'est le\nthéorème de Pythagore, ici $3^2 + 4^2 = 25$ et\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\| = 5$."
        },
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux, avec\n$\\|\\vec{u}\\| = 6$ et $\\|\\vec{v}\\| = 8$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = 6^2 + 8^2 =\n100$, donc la norme vaut $10$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes ne s'additionnent pas : ce serait le cas de vecteurs\ncolinéaires de même sens. Ici Pythagore donne $10$."
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "$100$ est le **carré** de la norme. La racine carrée reste à\nprendre : $10$."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des normes correspondrait à des vecteurs\ncolinéaires de sens contraires, pas à des vecteurs orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité annule le double produit scalaire :\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$. C'est le\nthéorème de Pythagore, ici $6^2 + 8^2 = 100$ et\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\| = 10$."
        },
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux, avec\n$\\|\\vec{u}\\| = 5$ et $\\|\\vec{v}\\| = 12$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = 5^2 + 12^2 =\n169$, donc la norme vaut $13$."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes ne s'additionnent pas : ce serait le cas de vecteurs\ncolinéaires de même sens. Ici Pythagore donne $13$."
            },
            {
              "text": "$169$",
              "correct": false,
              "feedback": "$169$ est le **carré** de la norme. La racine carrée reste à\nprendre : $13$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des normes correspondrait à des vecteurs\ncolinéaires de sens contraires, pas à des vecteurs orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité annule le double produit scalaire :\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$. C'est le\nthéorème de Pythagore, ici $5^2 + 12^2 = 169$ et\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\| = 13$."
        },
        {
          "statement": "Les vecteurs $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont orthogonaux, avec\n$\\|\\vec{u}\\| = 8$ et $\\|\\vec{v}\\| = 15$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = 8^2 + 15^2 =\n289$, donc la norme vaut $17$."
            },
            {
              "text": "$23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les normes ne s'additionnent pas : ce serait le cas de vecteurs\ncolinéaires de même sens. Ici Pythagore donne $17$."
            },
            {
              "text": "$289$",
              "correct": false,
              "feedback": "$289$ est le **carré** de la norme. La racine carrée reste à\nprendre : $17$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "La différence des normes correspondrait à des vecteurs\ncolinéaires de sens contraires, pas à des vecteurs orthogonaux."
            }
          ],
          "explanation": "L'orthogonalité annule le double produit scalaire :\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 + \\|\\vec{v}\\|^2$. C'est le\nthéorème de Pythagore, ici $8^2 + 15^2 = 289$ et\n$\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\| = 17$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "produit-scalaire-nul",
        "bilinearite"
      ],
      "title": "Produit scalaire dans un cube",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $4$ : $ABCD$ et $EFGH$ sont deux\nfaces opposées, et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont des arêtes.\nQue vaut $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AG}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$, et les deux derniers\nsont orthogonaux à $\\overrightarrow{AB}$ : il reste $4^2 =\n16$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux : la diagonale\n$\\overrightarrow{AG}$ possède une composante le long de\n$\\overrightarrow{AB}$."
        },
        {
          "text": "$48$",
          "correct": false,
          "feedback": "$48$ est $AG^2 = 3 \\times 4^2$, le carré de la grande\ndiagonale, pas le produit scalaire demandé."
        },
        {
          "text": "$16\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tu as multiplié les normes $AB = 4$ et $AG = 4\\sqrt{3}$ sans\ntenir compte de l'angle : il faut encore multiplier par\n$\\cos\\theta$."
        }
      ],
      "explanation": "Décomposer sur les trois arêtes issues du sommet, puis développer :\nles produits scalaires entre arêtes perpendiculaires s'annulent et il\nne reste que le carré scalaire $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = 16$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $4$ : $ABCD$ et $EFGH$ sont deux\nfaces opposées, et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont des arêtes.\nQue vaut $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AG}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$, et les deux derniers\nsont orthogonaux à $\\overrightarrow{AB}$ : il reste $4^2 =\n16$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux : la diagonale\n$\\overrightarrow{AG}$ possède une composante le long de\n$\\overrightarrow{AB}$."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "$48$ est $AG^2 = 3 \\times 4^2$, le carré de la grande\ndiagonale, pas le produit scalaire demandé."
            },
            {
              "text": "$16\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as multiplié les normes $AB = 4$ et $AG = 4\\sqrt{3}$ sans\ntenir compte de l'angle : il faut encore multiplier par\n$\\cos\\theta$."
            }
          ],
          "explanation": "Décomposer sur les trois arêtes issues du sommet, puis développer :\nles produits scalaires entre arêtes perpendiculaires s'annulent et il\nne reste que le carré scalaire $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = 16$."
        },
        {
          "statement": "$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $5$ : $ABCD$ et $EFGH$ sont deux\nfaces opposées, et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont des arêtes.\nQue vaut $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AG}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$, et les deux derniers\nsont orthogonaux à $\\overrightarrow{AB}$ : il reste $5^2 =\n25$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux : la diagonale\n$\\overrightarrow{AG}$ possède une composante le long de\n$\\overrightarrow{AB}$."
            },
            {
              "text": "$75$",
              "correct": false,
              "feedback": "$75$ est $AG^2 = 3 \\times 5^2$, le carré de la grande\ndiagonale, pas le produit scalaire demandé."
            },
            {
              "text": "$25\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as multiplié les normes $AB = 5$ et $AG = 5\\sqrt{3}$ sans\ntenir compte de l'angle : il faut encore multiplier par\n$\\cos\\theta$."
            }
          ],
          "explanation": "Décomposer sur les trois arêtes issues du sommet, puis développer :\nles produits scalaires entre arêtes perpendiculaires s'annulent et il\nne reste que le carré scalaire $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = 25$."
        },
        {
          "statement": "$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $6$ : $ABCD$ et $EFGH$ sont deux\nfaces opposées, et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont des arêtes.\nQue vaut $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AG}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$, et les deux derniers\nsont orthogonaux à $\\overrightarrow{AB}$ : il reste $6^2 =\n36$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux : la diagonale\n$\\overrightarrow{AG}$ possède une composante le long de\n$\\overrightarrow{AB}$."
            },
            {
              "text": "$108$",
              "correct": false,
              "feedback": "$108$ est $AG^2 = 3 \\times 6^2$, le carré de la grande\ndiagonale, pas le produit scalaire demandé."
            },
            {
              "text": "$36\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as multiplié les normes $AB = 6$ et $AG = 6\\sqrt{3}$ sans\ntenir compte de l'angle : il faut encore multiplier par\n$\\cos\\theta$."
            }
          ],
          "explanation": "Décomposer sur les trois arêtes issues du sommet, puis développer :\nles produits scalaires entre arêtes perpendiculaires s'annulent et il\nne reste que le carré scalaire $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = 36$."
        },
        {
          "statement": "$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $3$ : $ABCD$ et $EFGH$ sont deux\nfaces opposées, et $[AE]$, $[BF]$, $[CG]$, $[DH]$ sont des arêtes.\nQue vaut $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AG}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$, et les deux derniers\nsont orthogonaux à $\\overrightarrow{AB}$ : il reste $3^2 =\n9$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux : la diagonale\n$\\overrightarrow{AG}$ possède une composante le long de\n$\\overrightarrow{AB}$."
            },
            {
              "text": "$27$",
              "correct": false,
              "feedback": "$27$ est $AG^2 = 3 \\times 3^2$, le carré de la grande\ndiagonale, pas le produit scalaire demandé."
            },
            {
              "text": "$9\\sqrt{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as multiplié les normes $AB = 3$ et $AG = 3\\sqrt{3}$ sans\ntenir compte de l'angle : il faut encore multiplier par\n$\\cos\\theta$."
            }
          ],
          "explanation": "Décomposer sur les trois arêtes issues du sommet, puis développer :\nles produits scalaires entre arêtes perpendiculaires s'annulent et il\nne reste que le carré scalaire $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AB} = 9$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "triangle-rectangle",
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Régler un angle droit",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que\n$\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(5\\,;\\,4\\,;\\,m)$. Pour quelle valeur de $m$\nle triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$m = -3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} =\n2 \\times 5 + (-1) \\times 4 + 2m = 0$, donc\n$m = -3$."
        },
        {
          "text": "$m = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : une fois le terme connu passé à droite, l'équation\ns'écrit $2m = -6$, d'où $m = -3$."
        },
        {
          "text": "$m = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "La troisième coordonnée de $\\overrightarrow{AB}$ multiplie $m$ :\nil reste à diviser par $2$, d'où $m = -3$."
        },
        {
          "text": "$m = -8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $2$ ne s'ajoute pas aux autres produits : il\nmultiplie l'inconnue $m$. L'équation donne $m = -3$."
        }
      ],
      "explanation": "Rectangle en $A$ signifie $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$, les deux vecteurs partant du sommet\nsuspecté. On obtient une équation du premier degré en $m$, résolue\nici par $m = -3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que\n$\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(5\\,;\\,4\\,;\\,m)$. Pour quelle valeur de $m$\nle triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} =\n2 \\times 5 + (-1) \\times 4 + 2m = 0$, donc\n$m = -3$."
            },
            {
              "text": "$m = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : une fois le terme connu passé à droite, l'équation\ns'écrit $2m = -6$, d'où $m = -3$."
            },
            {
              "text": "$m = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "La troisième coordonnée de $\\overrightarrow{AB}$ multiplie $m$ :\nil reste à diviser par $2$, d'où $m = -3$."
            },
            {
              "text": "$m = -8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ ne s'ajoute pas aux autres produits : il\nmultiplie l'inconnue $m$. L'équation donne $m = -3$."
            }
          ],
          "explanation": "Rectangle en $A$ signifie $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$, les deux vecteurs partant du sommet\nsuspecté. On obtient une équation du premier degré en $m$, résolue\nici par $m = -3$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que\n$\\overrightarrow{AB}(1\\,;\\,3\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(4\\,;\\,2\\,;\\,m)$. Pour quelle valeur de $m$\nle triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} =\n1 \\times 4 + (3) \\times 2 + 2m = 0$, donc\n$m = -5$."
            },
            {
              "text": "$m = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : une fois le terme connu passé à droite, l'équation\ns'écrit $2m = -10$, d'où $m = -5$."
            },
            {
              "text": "$m = -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La troisième coordonnée de $\\overrightarrow{AB}$ multiplie $m$ :\nil reste à diviser par $2$, d'où $m = -5$."
            },
            {
              "text": "$m = -12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ ne s'ajoute pas aux autres produits : il\nmultiplie l'inconnue $m$. L'équation donne $m = -5$."
            }
          ],
          "explanation": "Rectangle en $A$ signifie $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$, les deux vecteurs partant du sommet\nsuspecté. On obtient une équation du premier degré en $m$, résolue\nici par $m = -5$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que\n$\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(2\\,;\\,3\\,;\\,m)$. Pour quelle valeur de $m$\nle triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} =\n3 \\times 2 + (2) \\times 3 + 3m = 0$, donc\n$m = -4$."
            },
            {
              "text": "$m = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : une fois le terme connu passé à droite, l'équation\ns'écrit $3m = -12$, d'où $m = -4$."
            },
            {
              "text": "$m = -12$",
              "correct": false,
              "feedback": "La troisième coordonnée de $\\overrightarrow{AB}$ multiplie $m$ :\nil reste à diviser par $3$, d'où $m = -4$."
            },
            {
              "text": "$m = -15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ ne s'ajoute pas aux autres produits : il\nmultiplie l'inconnue $m$. L'équation donne $m = -4$."
            }
          ],
          "explanation": "Rectangle en $A$ signifie $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$, les deux vecteurs partant du sommet\nsuspecté. On obtient une équation du premier degré en $m$, résolue\nici par $m = -4$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que\n$\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,3\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(5\\,;\\,2\\,;\\,m)$. Pour quelle valeur de $m$\nle triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$m = -8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} =\n2 \\times 5 + (3) \\times 2 + 2m = 0$, donc\n$m = -8$."
            },
            {
              "text": "$m = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe : une fois le terme connu passé à droite, l'équation\ns'écrit $2m = -16$, d'où $m = -8$."
            },
            {
              "text": "$m = -16$",
              "correct": false,
              "feedback": "La troisième coordonnée de $\\overrightarrow{AB}$ multiplie $m$ :\nil reste à diviser par $2$, d'où $m = -8$."
            },
            {
              "text": "$m = -18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $2$ ne s'ajoute pas aux autres produits : il\nmultiplie l'inconnue $m$. L'équation donne $m = -8$."
            }
          ],
          "explanation": "Rectangle en $A$ signifie $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = 0$, les deux vecteurs partant du sommet\nsuspecté. On obtient une équation du premier degré en $m$, résolue\nici par $m = -8$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "distance-point-plan",
        "calcul"
      ],
      "title": "Distance d'un point à un plan",
      "partie": "distances",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(4\\,;\\,2\\,;\\,1)$ et le\nplan $\\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z + 1 = 0$. Quelle est\nla distance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ a pour norme $3$, et la\nsubstitution donne $9$, d'où une distance de\n$\\dfrac{9}{3} = 3$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "$9$ n'est que le numérateur : il reste à diviser par\n$\\|\\vec{n}\\| = 3$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Tu as divisé par $\\|\\vec{n}\\|^2 = 9$ au lieu de $\\|\\vec{n}\\| =\n3$. La distance est une longueur, pas un carré."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme constant du plan a été oublié dans la substitution : il\nfaut écrire $2x_M - y_M + 2z_M + 1$ avant la valeur absolue."
        }
      ],
      "explanation": "En paramétrant la droite passant par $M$ et dirigée par $\\vec{n}$,\npuis en cherchant le projeté orthogonal $H$, on obtient\n$d(M\\,;\\,\\mathcal{P}) = \\dfrac{|2x_M - y_M + 2z_M + 1|}\n{\\|\\vec{n}\\|} = \\dfrac{9}{3} = 3$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(4\\,;\\,2\\,;\\,1)$ et le\nplan $\\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z + 1 = 0$. Quelle est\nla distance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ a pour norme $3$, et la\nsubstitution donne $9$, d'où une distance de\n$\\dfrac{9}{3} = 3$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "$9$ n'est que le numérateur : il reste à diviser par\n$\\|\\vec{n}\\| = 3$."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $\\|\\vec{n}\\|^2 = 9$ au lieu de $\\|\\vec{n}\\| =\n3$. La distance est une longueur, pas un carré."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant du plan a été oublié dans la substitution : il\nfaut écrire $2x_M - y_M + 2z_M + 1$ avant la valeur absolue."
            }
          ],
          "explanation": "En paramétrant la droite passant par $M$ et dirigée par $\\vec{n}$,\npuis en cherchant le projeté orthogonal $H$, on obtient\n$d(M\\,;\\,\\mathcal{P}) = \\dfrac{|2x_M - y_M + 2z_M + 1|}\n{\\|\\vec{n}\\|} = \\dfrac{9}{3} = 3$."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(3\\,;\\,1\\,;\\,5)$ et le\nplan $\\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 3 = 0$. Quelle est\nla distance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ a pour norme $3$, et la\nsubstitution donne $12$, d'où une distance de\n$\\dfrac{12}{3} = 4$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "$12$ n'est que le numérateur : il reste à diviser par\n$\\|\\vec{n}\\| = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $\\|\\vec{n}\\|^2 = 9$ au lieu de $\\|\\vec{n}\\| =\n3$. La distance est une longueur, pas un carré."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant du plan a été oublié dans la substitution : il\nfaut écrire $2x_M - y_M + 2z_M - 3$ avant la valeur absolue."
            }
          ],
          "explanation": "En paramétrant la droite passant par $M$ et dirigée par $\\vec{n}$,\npuis en cherchant le projeté orthogonal $H$, on obtient\n$d(M\\,;\\,\\mathcal{P}) = \\dfrac{|2x_M - y_M + 2z_M - 3|}\n{\\|\\vec{n}\\|} = \\dfrac{12}{3} = 4$."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(6\\,;\\,3\\,;\\,2)$ et le\nplan $\\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z + 8 = 0$. Quelle est\nla distance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ a pour norme $3$, et la\nsubstitution donne $21$, d'où une distance de\n$\\dfrac{21}{3} = 7$."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "$21$ n'est que le numérateur : il reste à diviser par\n$\\|\\vec{n}\\| = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{7}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $\\|\\vec{n}\\|^2 = 9$ au lieu de $\\|\\vec{n}\\| =\n3$. La distance est une longueur, pas un carré."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{13}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant du plan a été oublié dans la substitution : il\nfaut écrire $2x_M - y_M + 2z_M + 8$ avant la valeur absolue."
            }
          ],
          "explanation": "En paramétrant la droite passant par $M$ et dirigée par $\\vec{n}$,\npuis en cherchant le projeté orthogonal $H$, on obtient\n$d(M\\,;\\,\\mathcal{P}) = \\dfrac{|2x_M - y_M + 2z_M + 8|}\n{\\|\\vec{n}\\|} = \\dfrac{21}{3} = 7$."
        },
        {
          "statement": "Dans un repère orthonormé, soit $M(1\\,;\\,5\\,;\\,3)$ et le\nplan $\\mathcal{P}$ d'équation $2x - y + 2z - 9 = 0$. Quelle est\nla distance de $M$ à $\\mathcal{P}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$ a pour norme $3$, et la\nsubstitution donne $6$, d'où une distance de\n$\\dfrac{6}{3} = 2$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "$6$ n'est que le numérateur : il reste à diviser par\n$\\|\\vec{n}\\| = 3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Tu as divisé par $\\|\\vec{n}\\|^2 = 9$ au lieu de $\\|\\vec{n}\\| =\n3$. La distance est une longueur, pas un carré."
            },
            {
              "text": "$1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme constant du plan a été oublié dans la substitution : il\nfaut écrire $2x_M - y_M + 2z_M - 9$ avant la valeur absolue."
            }
          ],
          "explanation": "En paramétrant la droite passant par $M$ et dirigée par $\\vec{n}$,\npuis en cherchant le projeté orthogonal $H$, on obtient\n$d(M\\,;\\,\\mathcal{P}) = \\dfrac{|2x_M - y_M + 2z_M - 9|}\n{\\|\\vec{n}\\|} = \\dfrac{6}{3} = 2$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "plans-perpendiculaires",
        "plans"
      ],
      "title": "Deux plans perpendiculaires",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Les plans $\\mathcal{P}$ : $2x - y + 3z - 1 = 0$ et $\\mathcal{Q}$ :\n$x + 5y + z + 4 = 0$ sont-ils perpendiculaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : $\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 1 + (-1) \\times 5 + 3 \\times 1 = 0$ :\nles vecteurs normaux sont orthogonaux."
        },
        {
          "text": "Non : leurs normaux ne sont pas colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : des normaux colinéaires donneraient des plans\n**parallèles**. La perpendicularité demande un produit scalaire\nnul, ce qui est bien le cas ici."
        },
        {
          "text": "Oui : leurs coefficients sont tous distincts",
          "correct": false,
          "feedback": "La conclusion est juste mais l'argument ne vaut rien : la\nperpendicularité se lit sur le produit scalaire des normaux, nul\nici."
        },
        {
          "text": "Non : ils ont sûrement des points communs",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux plans perpendiculaires se coupent toujours selon une\ndroite : l'existence de points communs ne s'oppose pas à la\nperpendicularité."
        }
      ],
      "explanation": "Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs\nnormaux sont orthogonaux. Ici $\\vec{n_1}(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{n_2}(1\\,;\\,5\\,;\\,1)$ donnent $2 - 5 + 3 = 0$."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "mediateur",
        "equation-cartesienne"
      ],
      "title": "Équation d'un plan médiateur",
      "partie": "distances",
      "statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,6)$ et $B(5\\,;\\,8\\,;\\,-2)$.\nQuelle est une équation cartésienne du plan médiateur de $[AB]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x + 3y - 4z - 13 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le plan passe par le milieu\n$I(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$ et admet $\\overrightarrow{AB}$ pour\nnormal, simplifié en $(2\\,;\\,3\\,;\\,-4)$."
        },
        {
          "text": "$2x + 3y - 4z + 16 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce plan est bien orthogonal à $(AB)$, mais il passe par $A$ et\nnon par le milieu $I(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$."
        },
        {
          "text": "$2x + 3y - 4z - 42 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce plan est orthogonal à $(AB)$ mais passe par $B$ : il faut\nimposer le passage par le milieu $I$."
        },
        {
          "text": "$3x + 5y + 2z - 38 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les coordonnées de $I$ ont servi de vecteur normal. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qui donne la direction normale, et $I$ qui\nfixe la position."
        }
      ],
      "explanation": "Le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu $I$ et admet\n$\\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. On écrit\n$2x + 3y - 4z + d = 0$, puis on détermine $d$ grâce à\n$I(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,6)$ et $B(5\\,;\\,8\\,;\\,-2)$.\nQuelle est une équation cartésienne du plan médiateur de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 3y - 4z - 13 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le plan passe par le milieu\n$I(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$ et admet $\\overrightarrow{AB}$ pour\nnormal, simplifié en $(2\\,;\\,3\\,;\\,-4)$."
            },
            {
              "text": "$2x + 3y - 4z + 16 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est bien orthogonal à $(AB)$, mais il passe par $A$ et\nnon par le milieu $I(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$."
            },
            {
              "text": "$2x + 3y - 4z - 42 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est orthogonal à $(AB)$ mais passe par $B$ : il faut\nimposer le passage par le milieu $I$."
            },
            {
              "text": "$3x + 5y + 2z - 38 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coordonnées de $I$ ont servi de vecteur normal. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qui donne la direction normale, et $I$ qui\nfixe la position."
            }
          ],
          "explanation": "Le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu $I$ et admet\n$\\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. On écrit\n$2x + 3y - 4z + d = 0$, puis on détermine $d$ grâce à\n$I(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A(2\\,;\\,4\\,;\\,2)$ et $B(8\\,;\\,0\\,;\\,6)$.\nQuelle est une équation cartésienne du plan médiateur de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3x - 2y + 2z - 19 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le plan passe par le milieu\n$I(5\\,;\\,2\\,;\\,4)$ et admet $\\overrightarrow{AB}$ pour\nnormal, simplifié en $(3\\,;\\,-2\\,;\\,2)$."
            },
            {
              "text": "$3x - 2y + 2z - 2 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est bien orthogonal à $(AB)$, mais il passe par $A$ et\nnon par le milieu $I(5\\,;\\,2\\,;\\,4)$."
            },
            {
              "text": "$3x - 2y + 2z - 36 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est orthogonal à $(AB)$ mais passe par $B$ : il faut\nimposer le passage par le milieu $I$."
            },
            {
              "text": "$5x + 2y + 4z - 45 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coordonnées de $I$ ont servi de vecteur normal. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qui donne la direction normale, et $I$ qui\nfixe la position."
            }
          ],
          "explanation": "Le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu $I$ et admet\n$\\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. On écrit\n$3x - 2y + 2z + d = 0$, puis on détermine $d$ grâce à\n$I(5\\,;\\,2\\,;\\,4)$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$ et $B(11\\,;\\,-1\\,;\\,6)$.\nQuelle est une équation cartésienne du plan médiateur de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x - 3y + 2z - 30 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le plan passe par le milieu\n$I(7\\,;\\,2\\,;\\,4)$ et admet $\\overrightarrow{AB}$ pour\nnormal, simplifié en $(4\\,;\\,-3\\,;\\,2)$."
            },
            {
              "text": "$4x - 3y + 2z - 1 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est bien orthogonal à $(AB)$, mais il passe par $A$ et\nnon par le milieu $I(7\\,;\\,2\\,;\\,4)$."
            },
            {
              "text": "$4x - 3y + 2z - 59 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est orthogonal à $(AB)$ mais passe par $B$ : il faut\nimposer le passage par le milieu $I$."
            },
            {
              "text": "$7x + 2y + 4z - 69 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coordonnées de $I$ ont servi de vecteur normal. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qui donne la direction normale, et $I$ qui\nfixe la position."
            }
          ],
          "explanation": "Le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu $I$ et admet\n$\\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. On écrit\n$4x - 3y + 2z + d = 0$, puis on détermine $d$ grâce à\n$I(7\\,;\\,2\\,;\\,4)$."
        },
        {
          "statement": "Soient $A(2\\,;\\,1\\,;\\,3)$ et $B(6\\,;\\,-3\\,;\\,9)$.\nQuelle est une équation cartésienne du plan médiateur de $[AB]$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x - 2y + 3z - 28 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le plan passe par le milieu\n$I(4\\,;\\,-1\\,;\\,6)$ et admet $\\overrightarrow{AB}$ pour\nnormal, simplifié en $(2\\,;\\,-2\\,;\\,3)$."
            },
            {
              "text": "$2x - 2y + 3z - 11 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est bien orthogonal à $(AB)$, mais il passe par $A$ et\nnon par le milieu $I(4\\,;\\,-1\\,;\\,6)$."
            },
            {
              "text": "$2x - 2y + 3z - 45 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce plan est orthogonal à $(AB)$ mais passe par $B$ : il faut\nimposer le passage par le milieu $I$."
            },
            {
              "text": "$4x - 1y + 6z - 53 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les coordonnées de $I$ ont servi de vecteur normal. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qui donne la direction normale, et $I$ qui\nfixe la position."
            }
          ],
          "explanation": "Le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu $I$ et admet\n$\\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. On écrit\n$2x - 2y + 3z + d = 0$, puis on détermine $d$ grâce à\n$I(4\\,;\\,-1\\,;\\,6)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parallelisme",
        "vecteur-normal"
      ],
      "title": "Droite parallèle à un plan",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, la droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(3\\,;\\,1\\,;\\,-1)$ et le plan $\\mathcal{P}$ a pour équation\n$x - y + 2z + 5 = 0$. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$d$ est parallèle à $\\mathcal{P}$ ou incluse",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 3 - 1 - 2 = 0$, donc la\ndirection de $d$ est une direction du plan. Sans point de $d$, on\nne peut pas trancher entre les deux cas."
        },
        {
          "text": "$d$ est perpendiculaire au plan $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il faudrait $\\vec{u}$ colinéaire à $\\vec{n}(1\\,;\\,-1\\,;\\,2)$, ce\nqui n'est pas le cas : le produit scalaire nul dit exactement le\ncontraire."
        },
        {
          "text": "$d$ perce $\\mathcal{P}$ en un unique point",
          "correct": false,
          "feedback": "Une droite sécante à un plan vérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} \\neq\n0$. Ici le produit scalaire est nul."
        },
        {
          "text": "$d$ est à coup sûr incluse dans $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inclusion demande en plus qu'un point de $d$ appartienne au\nplan, information absente de l'énoncé."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$ caractérise une droite parallèle au plan,\néventuellement incluse dedans. Un point commun permet ensuite de\ndistinguer les deux situations."
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "piege",
        "bilinearite"
      ],
      "title": "Peut-on simplifier par un vecteur",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "On sait que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\vec{u} \\cdot \\vec{w}$, avec\n$\\vec{u}$ non nul. Peut-on en conclure que $\\vec{v} = \\vec{w}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : on sait juste que $\\vec{u} \\perp \\vec{v}-\\vec{w}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité donne $\\vec{u} \\cdot (\\vec{v} -\n\\vec{w}) = 0$, donc $\\vec{v} - \\vec{w}$ est orthogonal à\n$\\vec{u}$, sans être nul pour autant."
        },
        {
          "text": "Oui : on simplifie comme dans un produit de deux nombres",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit scalaire ne se simplifie pas : il peut s'annuler sans\nqu'aucun facteur ne soit nul, ce qui interdit toute\nsimplification."
        },
        {
          "text": "Oui, à condition que $\\vec{u}$ soit un vecteur unitaire",
          "correct": false,
          "feedback": "La norme de $\\vec{u}$ ne change rien : même unitaire, il reste\northogonal à une infinité de vecteurs non nuls."
        },
        {
          "text": "Non : deux produits scalaires ne sont jamais égaux",
          "correct": false,
          "feedback": "La conclusion est juste mais l'argument est faux : deux produits\nscalaires peuvent parfaitement être égaux, c'est même l'hypothèse\nde l'énoncé."
        }
      ],
      "explanation": "De $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\vec{u} \\cdot \\vec{w}$ on tire seulement\n$\\vec{u} \\cdot (\\vec{v} - \\vec{w}) = 0$ : l'écart $\\vec{v} - \\vec{w}$\nest orthogonal à $\\vec{u}$. Tous les vecteurs $\\vec{w}$ d'un même plan\nconviennent."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "propriete",
        "angle"
      ],
      "title": "Signe du produit scalaire",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Deux vecteurs non nuls $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ forment un angle obtus.\nQue peut-on dire de $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} < 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$, et le cosinus d'un angle\nobtus est strictement négatif."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} > 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un produit scalaire strictement positif signale un angle **aigu**\n: le cosinus est alors positif."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "La nullité caractérise l'angle droit, cas limite entre aigu et\nobtus."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = -\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette égalité correspond au seul cas $\\theta = \\pi$, des vecteurs\ncolinéaires de sens contraires, pas à tout angle obtus."
        }
      ],
      "explanation": "Le signe du produit scalaire est celui du cosinus : positif pour un\nangle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "definition"
      ],
      "title": "Pourquoi un repère orthonormé",
      "partie": "produit-scalaire",
      "statement": "Pourquoi précise-t-on « dans un repère orthonormé » avant d'écrire\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' + zz'$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que les axes doivent être orthogonaux et unitaires",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la formule repose sur\n$\\vec{i}\\cdot\\vec{j} = \\vec{j}\\cdot\\vec{k} =\n\\vec{i}\\cdot\\vec{k} = 0$ et sur des vecteurs de base de norme\n$1$."
        },
        {
          "text": "Parce que le produit scalaire n'existe que dans un repère",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit scalaire se définit sans repère, par les normes et\nl'angle. Le repère sert seulement à le calculer sur des\ncoordonnées."
        },
        {
          "text": "Parce que les coordonnées doivent être des entiers relatifs",
          "correct": false,
          "feedback": "La nature des coordonnées n'intervient jamais : la formule vaut\npour des décimaux comme pour des racines carrées."
        },
        {
          "text": "Parce que l'origine doit être choisie sur l'un des axes",
          "correct": false,
          "feedback": "L'origine appartient toujours aux trois axes, et sa position ne\nchange rien aux coordonnées d'un vecteur."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une base orthonormée, les vecteurs de base sont deux à deux\northogonaux et de norme $1$ : c'est ce qui fait disparaître les termes\ncroisés et laisse $xx' + yy' + zz'$."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "intersection",
        "plan"
      ],
      "title": "Couper l'axe des abscisses",
      "partie": "equations",
      "statement": "En quel point le plan $\\mathcal{P}$ d'équation\n$4x - 3y + 2z - 20 = 0$ coupe-t-il l'axe des\nabscisses ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(5\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur cet axe, $y = z = 0$, donc l'équation devient\n$4x - 20 = 0$ et $x = 5$."
        },
        {
          "text": "$(20\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il reste à diviser par le coefficient $4$ de $x$ :\n$x = 5$, pas $20$."
        },
        {
          "text": "$(0\\,;\\,0\\,;\\,10)$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'intersection avec l'axe des cotes. L'axe des abscisses\nest l'ensemble des points $(x\\,;\\,0\\,;\\,0)$."
        },
        {
          "text": "Le plan ne coupe pas cet axe",
          "correct": false,
          "feedback": "Il faudrait que le coefficient de $x$ soit nul, c'est-à-dire un\nplan parallèle à l'axe. Ici ce coefficient vaut $4$."
        }
      ],
      "explanation": "L'axe des abscisses est décrit par $y = 0$ et $z = 0$. En reportant\ndans l'équation du plan, il reste $4x - 20 = 0$, donc\n$x = 5$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "En quel point le plan $\\mathcal{P}$ d'équation\n$4x - 3y + 2z - 20 = 0$ coupe-t-il l'axe des\nabscisses ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(5\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur cet axe, $y = z = 0$, donc l'équation devient\n$4x - 20 = 0$ et $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$(20\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il reste à diviser par le coefficient $4$ de $x$ :\n$x = 5$, pas $20$."
            },
            {
              "text": "$(0\\,;\\,0\\,;\\,10)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'intersection avec l'axe des cotes. L'axe des abscisses\nest l'ensemble des points $(x\\,;\\,0\\,;\\,0)$."
            },
            {
              "text": "Le plan ne coupe pas cet axe",
              "correct": false,
              "feedback": "Il faudrait que le coefficient de $x$ soit nul, c'est-à-dire un\nplan parallèle à l'axe. Ici ce coefficient vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "L'axe des abscisses est décrit par $y = 0$ et $z = 0$. En reportant\ndans l'équation du plan, il reste $4x - 20 = 0$, donc\n$x = 5$."
        },
        {
          "statement": "En quel point le plan $\\mathcal{P}$ d'équation\n$3x + 2y - 4z - 24 = 0$ coupe-t-il l'axe des\nabscisses ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(8\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur cet axe, $y = z = 0$, donc l'équation devient\n$3x - 24 = 0$ et $x = 8$."
            },
            {
              "text": "$(24\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il reste à diviser par le coefficient $3$ de $x$ :\n$x = 8$, pas $24$."
            },
            {
              "text": "$(0\\,;\\,0\\,;\\,-6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'intersection avec l'axe des cotes. L'axe des abscisses\nest l'ensemble des points $(x\\,;\\,0\\,;\\,0)$."
            },
            {
              "text": "Le plan ne coupe pas cet axe",
              "correct": false,
              "feedback": "Il faudrait que le coefficient de $x$ soit nul, c'est-à-dire un\nplan parallèle à l'axe. Ici ce coefficient vaut $3$."
            }
          ],
          "explanation": "L'axe des abscisses est décrit par $y = 0$ et $z = 0$. En reportant\ndans l'équation du plan, il reste $3x - 24 = 0$, donc\n$x = 8$."
        },
        {
          "statement": "En quel point le plan $\\mathcal{P}$ d'équation\n$2x - 5y + 7z + 14 = 0$ coupe-t-il l'axe des\nabscisses ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(-7\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur cet axe, $y = z = 0$, donc l'équation devient\n$2x + 14 = 0$ et $x = -7$."
            },
            {
              "text": "$(-14\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il reste à diviser par le coefficient $2$ de $x$ :\n$x = -7$, pas $-14$."
            },
            {
              "text": "$(0\\,;\\,0\\,;\\,-2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'intersection avec l'axe des cotes. L'axe des abscisses\nest l'ensemble des points $(x\\,;\\,0\\,;\\,0)$."
            },
            {
              "text": "Le plan ne coupe pas cet axe",
              "correct": false,
              "feedback": "Il faudrait que le coefficient de $x$ soit nul, c'est-à-dire un\nplan parallèle à l'axe. Ici ce coefficient vaut $2$."
            }
          ],
          "explanation": "L'axe des abscisses est décrit par $y = 0$ et $z = 0$. En reportant\ndans l'équation du plan, il reste $2x + 14 = 0$, donc\n$x = -7$."
        },
        {
          "statement": "En quel point le plan $\\mathcal{P}$ d'équation\n$4x - 3y + 2z - 24 = 0$ coupe-t-il l'axe des\nabscisses ?",
          "options": [
            {
              "text": "$(6\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur cet axe, $y = z = 0$, donc l'équation devient\n$4x - 24 = 0$ et $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$(24\\,;\\,0\\,;\\,0)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Il reste à diviser par le coefficient $4$ de $x$ :\n$x = 6$, pas $24$."
            },
            {
              "text": "$(0\\,;\\,0\\,;\\,12)$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'intersection avec l'axe des cotes. L'axe des abscisses\nest l'ensemble des points $(x\\,;\\,0\\,;\\,0)$."
            },
            {
              "text": "Le plan ne coupe pas cet axe",
              "correct": false,
              "feedback": "Il faudrait que le coefficient de $x$ soit nul, c'est-à-dire un\nplan parallèle à l'axe. Ici ce coefficient vaut $4$."
            }
          ],
          "explanation": "L'axe des abscisses est décrit par $y = 0$ et $z = 0$. En reportant\ndans l'équation du plan, il reste $4x - 24 = 0$, donc\n$x = 6$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "droite-plan",
        "droite"
      ],
      "title": "Position d'une droite et d'un plan",
      "partie": "orthogonalite",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, la droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-4\\,;\\,6)$ et le plan $\\mathcal{P}$ a pour équation\n$x - 2y + 3z - 7 = 0$. Quelle est leur position relative ?",
      "options": [
        {
          "text": "$d$ est orthogonale à $\\mathcal{P}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} = 2\\vec{n}$ avec\n$\\vec{n}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$. Un directeur colinéaire au normal\ncaractérise une droite orthogonale au plan."
        },
        {
          "text": "$d$ est parallèle à $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le parallélisme demanderait $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$, or ce\nproduit vaut $2 + 8 + 18 = 28$."
        },
        {
          "text": "$d$ est incluse dans $\\mathcal{P}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une droite incluse est d'abord parallèle au plan, donc de\ndirecteur orthogonal au normal. Ici il lui est colinéaire."
        },
        {
          "text": "$d$ coupe $\\mathcal{P}$ sans lui être orthogonale",
          "correct": false,
          "feedback": "La droite coupe bien le plan, mais la colinéarité\n$\\vec{u} = 2\\vec{n}$ rend cette rencontre orthogonale."
        }
      ],
      "explanation": "Vecteur directeur colinéaire au vecteur normal : droite orthogonale\nau plan. Vecteur directeur orthogonal au normal : droite parallèle au\nplan. Ni l'un ni l'autre : droite sécante oblique."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "volume",
        "tetraedre"
      ],
      "title": "Volume d'un tétraèdre du repère",
      "partie": "distances",
      "statement": "Dans un repère orthonormé, on considère les points $O(0\\,;\\,0\\,;\\,0)$,\n$A(3\\,;\\,0\\,;\\,0)$, $B(0\\,;\\,2\\,;\\,0)$ et $C(0\\,;\\,0\\,;\\,4)$. On\nrappelle que le volume d'un tétraèdre vaut\n$\\dfrac{1}{3} \\times \\text{aire de la base} \\times \\text{hauteur}$.\nQuel est le volume du tétraèdre $OABC$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la base $OAB$ est un triangle rectangle d'aire\n$\\dfrac{3 \\times 2}{2} = 3$, et la hauteur issue de $C$ est\n$OC = 4$ : $\\dfrac{1}{3} \\times 3 \\times 4 = 4$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'aire du triangle $OAB$ est la moitié de\n$3 \\times 2$, soit $3$ et non $6$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le facteur $\\dfrac{1}{3}$ de la formule du volume a été\noublié."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 2 \\times 4$ est le volume du pavé construit\nsur les trois arêtes, six fois plus grand."
        }
      ],
      "explanation": "Les arêtes $[OA]$, $[OB]$ et $[OC]$ sont deux à deux orthogonales,\ndonc $(OC)$ est orthogonale au plan $(OAB)$ et $OC$ est la hauteur."
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "distance",
        "droite",
        "projete"
      ],
      "title": "Distance d'un point à une droite de l'espace",
      "partie": "distances",
      "statement": "La droite $d$ passe par $O(0\\,;\\,0\\,;\\,0)$ et a pour vecteur\ndirecteur $\\vec{u}(1\\,;\\,0\\,;\\,0)$. On considère le point\n$M(2\\,;\\,3\\,;\\,4)$. Quelle est la distance du point $M$ à la droite\n$d$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est\n$H(2\\,;\\,0\\,;\\,0)$, et\n$MH = \\sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{29}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{29}$ est la distance $OM$. Le point $O$ n'est pas\nle point de $d$ le plus proche de $M$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est l'abscisse du projeté $H$, pas la distance de\n$M$ à la droite."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les distances ne s'additionnent pas coordonnée par\ncoordonnée : $MH = \\sqrt{3^2 + 4^2}$."
        }
      ],
      "explanation": "La distance d'un point à une droite est la distance au projeté\northogonal $H$, caractérisé par $H \\in d$ et\n$\\overrightarrow{MH} \\cdot \\vec{u} = 0$."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equations",
        "vecteur-normal",
        "lecture"
      ],
      "title": "Lire un vecteur normal dans une équation de plan",
      "partie": "equations",
      "statement": "Le plan $P$ a pour équation cartésienne $2x - y + 3z - 5 = 0$. Quel vecteur est\nnormal à $P$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{n}(2 ; -1 ; 3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a ; b ; c)$ est normal au plan.\n"
        },
        {
          "text": "$\\vec{n}(2 ; -1 ; -5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante $d$ n'est pas une coordonnée du vecteur\nnormal.\n"
        },
        {
          "text": "$\\vec{n}(-1 ; 2 ; 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients ont été mélangés ; ils se lisent dans\nl'ordre $x$, $y$, $z$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\vec{n}(2 ; 1 ; 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe d'un coefficient a été perdu.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ : les coefficients de\n$x$, $y$, $z$ forment un vecteur normal.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le plan $P$ a pour équation cartésienne $2x - y + 3z - 5 = 0$. Quel vecteur est\nnormal à $P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\vec{n}(2 ; -1 ; 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a ; b ; c)$ est normal au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(2 ; -1 ; -5)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la constante $d$ n'est pas une coordonnée du vecteur\nnormal.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(-1 ; 2 ; 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients ont été mélangés ; ils se lisent dans\nl'ordre $x$, $y$, $z$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(2 ; 1 ; 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe d'un coefficient a été perdu.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ : les coefficients de\n$x$, $y$, $z$ forment un vecteur normal."
        },
        {
          "statement": "Le plan $P$ a pour équation cartésienne $x + 4y - 2z + 1 = 0$. Quel vecteur est\nnormal à $P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\vec{n}(1 ; 4 ; -2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a ; b ; c)$ est normal au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(1 ; 4 ; 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la constante $d$ n'est pas une coordonnée du vecteur\nnormal.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(4 ; 1 ; -2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients ont été mélangés ; ils se lisent dans\nl'ordre $x$, $y$, $z$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(1 ; 4 ; 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe d'un coefficient a été perdu.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ : les coefficients de\n$x$, $y$, $z$ forment un vecteur normal."
        },
        {
          "statement": "Le plan $P$ a pour équation cartésienne $3x - 2y + z + 6 = 0$. Quel vecteur est\nnormal à $P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\vec{n}(3 ; -2 ; 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a ; b ; c)$ est normal au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(3 ; -2 ; 6)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la constante $d$ n'est pas une coordonnée du vecteur\nnormal.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(-2 ; 3 ; 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients ont été mélangés ; ils se lisent dans\nl'ordre $x$, $y$, $z$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(3 ; 2 ; 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe d'un coefficient a été perdu.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ : les coefficients de\n$x$, $y$, $z$ forment un vecteur normal."
        },
        {
          "statement": "Le plan $P$ a pour équation cartésienne $4x + y - 2z + 3 = 0$. Quel vecteur est\nnormal à $P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\vec{n}(4 ; 1 ; -2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a ; b ; c)$ est normal au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(4 ; 1 ; 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la constante $d$ n'est pas une coordonnée du vecteur\nnormal.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(1 ; 4 ; -2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients ont été mélangés ; ils se lisent dans\nl'ordre $x$, $y$, $z$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\vec{n}(4 ; 1 ; 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe d'un coefficient a été perdu.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ : les coefficients de\n$x$, $y$, $z$ forment un vecteur normal."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equations",
        "appartenance",
        "point"
      ],
      "title": "Un point appartient-il au plan",
      "partie": "equations",
      "statement": "Le plan $P$ a pour équation $2x - y + 3z - 5 = 0$. Le point\n$M(1 ; 0 ; 1)$ appartient-il à $P$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $2 - 0 + 3 - 5 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remplace les coordonnées dans l'équation ;\nle point appartient au plan si et seulement si l'égalité est\nvérifiée.\n"
        },
        {
          "text": "Non, car les coordonnées ne sont pas toutes nulles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule une égalité exacte à $0$ compte.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans un vecteur directeur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équation cartésienne suffit à tester un point.\n"
        },
        {
          "text": "Oui, car le vecteur normal n'est pas nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le vecteur normal ne dit rien de l'appartenance d'un\npoint.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Tester l'appartenance à un plan : substituer les coordonnées dans\nl'équation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le plan $P$ a pour équation $2x - y + 3z - 5 = 0$. Le point\n$M(1 ; 0 ; 1)$ appartient-il à $P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, car $2 - 0 + 3 - 5 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace les coordonnées dans l'équation ;\nle point appartient au plan si et seulement si l'égalité est\nvérifiée.\n"
            },
            {
              "text": "Non, car les coordonnées ne sont pas toutes nulles",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seule une égalité exacte à $0$ compte.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans un vecteur directeur",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'équation cartésienne suffit à tester un point.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, car le vecteur normal n'est pas nul",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le vecteur normal ne dit rien de l'appartenance d'un\npoint.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Tester l'appartenance à un plan : substituer les coordonnées dans\nl'équation."
        },
        {
          "statement": "Le plan $P$ a pour équation $2x - y + 3z - 5 = 0$. Le point\n$M(1 ; 1 ; 1)$ appartient-il à $P$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $2 - 1 + 3 - 5 = -1 \\neq 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace les coordonnées dans l'équation ;\nle point appartient au plan si et seulement si l'égalité est\nvérifiée.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, car $2 - 1 + 3 - 5$ est proche de $0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seule une égalité exacte à $0$ compte.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans un vecteur directeur",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'équation cartésienne suffit à tester un point.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, car le vecteur normal n'est pas nul",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le vecteur normal ne dit rien de l'appartenance d'un\npoint.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Tester l'appartenance à un plan : substituer les coordonnées dans\nl'équation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q50",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equations",
        "plan",
        "vecteur-normal",
        "point"
      ],
      "title": "Équation d'un plan défini par un point et un vecteur normal",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par $A(1 ; 2 ; 0)$ et\nde vecteur normal $\\vec{n}(1 ; -1 ; 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x - y + 2z + 1 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équation est de la forme $ax + by + cz + d =\n0$ avec $(a ; b ; c)$ les coordonnées de $\\vec{n}$ ; $d$ se\ncalcule en écrivant que $A$ appartient au plan.\n"
        },
        {
          "text": "$x - y + 2z - 1 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de $d$ est faux ; vérifiez que les coordonnées\nde $A$ annulent le membre de gauche.\n"
        },
        {
          "text": "$x + 2y + 1 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ceux du vecteur\n**normal**, pas ceux du point.\n"
        },
        {
          "text": "$x - y + 2z = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $d = 0$, le plan passe par l'origine, pas par $A$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$M \\in P \\iff \\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$, ce qui donne\n$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par $A(1 ; 2 ; 0)$ et\nde vecteur normal $\\vec{n}(1 ; -1 ; 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x - y + 2z + 1 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est de la forme $ax + by + cz + d =\n0$ avec $(a ; b ; c)$ les coordonnées de $\\vec{n}$ ; $d$ se\ncalcule en écrivant que $A$ appartient au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$x - y + 2z - 1 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $d$ est faux ; vérifiez que les coordonnées\nde $A$ annulent le membre de gauche.\n"
            },
            {
              "text": "$x + 2y + 1 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ceux du vecteur\n**normal**, pas ceux du point.\n"
            },
            {
              "text": "$x - y + 2z = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $d = 0$, le plan passe par l'origine, pas par $A$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$M \\in P \\iff \\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$, ce qui donne\n$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par $A(2 ; 0 ; 1)$ et\nde vecteur normal $\\vec{n}(3 ; 1 ; -1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3x + y - z - 5 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est de la forme $ax + by + cz + d =\n0$ avec $(a ; b ; c)$ les coordonnées de $\\vec{n}$ ; $d$ se\ncalcule en écrivant que $A$ appartient au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$3x + y - z + 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $d$ est faux ; vérifiez que les coordonnées\nde $A$ annulent le membre de gauche.\n"
            },
            {
              "text": "$2x + z - 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ceux du vecteur\n**normal**, pas ceux du point.\n"
            },
            {
              "text": "$3x + y - z = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $d = 0$, le plan passe par l'origine, pas par $A$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$M \\in P \\iff \\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$, ce qui donne\n$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par $A(0 ; 1 ; 1)$ et\nde vecteur normal $\\vec{n}(2 ; 2 ; 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 2y + z - 3 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est de la forme $ax + by + cz + d =\n0$ avec $(a ; b ; c)$ les coordonnées de $\\vec{n}$ ; $d$ se\ncalcule en écrivant que $A$ appartient au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$2x + 2y + z + 3 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $d$ est faux ; vérifiez que les coordonnées\nde $A$ annulent le membre de gauche.\n"
            },
            {
              "text": "$y + z - 3 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ceux du vecteur\n**normal**, pas ceux du point.\n"
            },
            {
              "text": "$2x + 2y + z = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $d = 0$, le plan passe par l'origine, pas par $A$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$M \\in P \\iff \\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$, ce qui donne\n$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par $A(1 ; -1 ; 2)$ et\nde vecteur normal $\\vec{n}(2 ; -1 ; 1)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x - y + z - 5 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est de la forme $ax + by + cz + d =\n0$ avec $(a ; b ; c)$ les coordonnées de $\\vec{n}$ ; $d$ se\ncalcule en écrivant que $A$ appartient au plan.\n"
            },
            {
              "text": "$2x - y + z + 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe de $d$ est faux ; vérifiez que les coordonnées\nde $A$ annulent le membre de gauche.\n"
            },
            {
              "text": "$x - y + 2z - 5 = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ceux du vecteur\n**normal**, pas ceux du point.\n"
            },
            {
              "text": "$2x - y + z = 0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : avec $d = 0$, le plan passe par l'origine, pas par $A$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$M \\in P \\iff \\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$, ce qui donne\n$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q51",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equations",
        "plans-perpendiculaires",
        "produit-scalaire"
      ],
      "title": "Critère de perpendicularité de deux plans",
      "partie": "equations",
      "statement": "Deux plans ont pour vecteurs normaux $\\vec{n_1}(1 ; 2 ; -1)$ et\n$\\vec{n_2}(2 ; -1 ; 0)$. Sont-ils perpendiculaires ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 2 - 2 + 0 = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et seulement\nsi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ce que teste le\nproduit scalaire.\n"
        },
        {
          "text": "Non, les vecteurs normaux n'étant pas colinéaires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des vecteurs normaux non colinéaires donnent des plans\n**sécants**, pas forcément perpendiculaires ; il faut le\nproduit scalaire nul.\n"
        },
        {
          "text": "Oui, deux plans distincts étant toujours perpendiculaires ou parallèles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux plans sécants font un angle quelconque.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans un point de chaque plan",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'orientation des plans ne dépend que des vecteurs\nnormaux.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux, produit\nscalaire nul. Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Deux plans ont pour vecteurs normaux $\\vec{n_1}(1 ; 2 ; -1)$ et\n$\\vec{n_2}(2 ; -1 ; 0)$. Sont-ils perpendiculaires ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, car $\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 2 - 2 + 0 = 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et seulement\nsi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ce que teste le\nproduit scalaire.\n"
            },
            {
              "text": "Non, les vecteurs normaux n'étant pas colinéaires",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : des vecteurs normaux non colinéaires donnent des plans\n**sécants**, pas forcément perpendiculaires ; il faut le\nproduit scalaire nul.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, deux plans distincts étant toujours perpendiculaires ou parallèles",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : deux plans sécants font un angle quelconque.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans un point de chaque plan",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'orientation des plans ne dépend que des vecteurs\nnormaux.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux, produit\nscalaire nul. Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires."
        },
        {
          "statement": "Deux plans ont pour vecteurs normaux $\\vec{n_1}(1 ; 1 ; 1)$ et\n$\\vec{n_2}(1 ; 2 ; 3)$. Sont-ils perpendiculaires ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 1 + 2 + 3 = 6 \\neq 0$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : deux plans sont perpendiculaires si et seulement\nsi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, ce que teste le\nproduit scalaire.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, les vecteurs normaux n'étant pas colinéaires",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : des vecteurs normaux non colinéaires donnent des plans\n**sécants**, pas forcément perpendiculaires ; il faut le\nproduit scalaire nul.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, deux plans distincts étant toujours perpendiculaires ou parallèles",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : deux plans sécants font un angle quelconque.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans un point de chaque plan",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'orientation des plans ne dépend que des vecteurs\nnormaux.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux, produit\nscalaire nul. Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires."
        }
      ]
    }
  ]
}