{
  "chapter": {
    "id": "primitives-equations-differentielles",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Primitives et équations différentielles",
    "description": "Notion de primitive (équation $y' = f$), primitives des fonctions\nde référence et des formes $(v' \\circ u) \\times u'$, primitives\nd'une même fonction à constante près, équations différentielles\n$y' = ay$ et $y' = ay + b$ : forme des solutions, solution\nvérifiant une condition initiale, comportement en l'infini.",
    "parties": [
      {
        "id": "primitives",
        "title": "Primitives usuelles"
      },
      {
        "id": "formes",
        "title": "Formes composées"
      },
      {
        "id": "equations",
        "title": "Équations différentielles"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Définition d'une primitive",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Que\nsignifie « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chercher une primitive, c'est remonter la\ndérivation : $F' = f$ sur tout l'intervalle."
        },
        {
          "text": "$f$ est dérivable sur $I$ et $f' = F$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : c'est $F$ qu'on dérive pour retrouver $f$,\npas le contraire. $F$ primitive de $f$ $\\Leftrightarrow$\n$F' = f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = f(x) + C$ pour une constante $C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante relie deux **primitives** entre\nelles, pas une primitive à la fonction. $F$ et $f$ sont\nliées par la dérivation."
        },
        {
          "text": "$F(0) = 0$ et $F$ est continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune condition en $0$ n'intervient dans la\ndéfinition. Ce qui compte : $F' = f$ sur $I$."
        }
      ],
      "explanation": "Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est\ndérivable sur $I$ avec $F' = f$. La primitivation est\nl'opération inverse de la dérivation (résoudre $y' = f$)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles"
      ],
      "title": "Primitive de $x^2$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto x^2$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{x^3}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $\\dfrac{x^3}{3}$, on obtient\n$\\dfrac{3x^2}{3} = x^2$. Règle : primitive de $x^n$ =\n$\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{x^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{x^2}{2}$ est une primitive de $x$, pas\nde $x^2$. Une primitive s'obtient en montant l'exposant\n: $x^2$ donne $\\dfrac{x^3}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $(x^3)' = 3x^2$, trois fois trop grand. Il faut\ndiviser par le nouvel exposant : $\\dfrac{x^3}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{x^3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{x^3}{2}\\right)' =\n\\dfrac{3x^2}{2}$. On divise par le **nouvel exposant**\n$3$, pas par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitives des puissances : pour $n \\neq -1$, une primitive de\n$x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Toujours vérifier en\nredérivant : $\\left(\\dfrac{x^3}{3}\\right)' = x^2$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "constante",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Deux primitives d'une même fonction",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction continue\n$f$ sur un intervalle $I$. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$G - F$ est constante sur $I$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(G - F)' = f - f = 0$ sur l'intervalle\n$I$, donc il existe une constante $C$ telle que $G(x) =\nF(x) + C$ pour tout $x$ de $I$. Deux primitives\ndiffèrent d'une constante."
        },
        {
          "text": "$F$ et $G$ sont égales sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives\ndistinctes de $2x$. L'égalité n'a lieu qu'à constante près."
        },
        {
          "text": "$G - F$ est affine, éventuellement non constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $G - F$ contenait un terme $ax$ avec $a \\neq\n0$, sa dérivée vaudrait $a \\neq 0$, contredisant $G' =\nF' = f$. La différence est une **constante**."
        },
        {
          "text": "$G = kF$ pour une constante $k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la liberté est **additive**, pas multiplicative.\nVérifie : $(kF)' = kf \\neq f$ dès que $k \\neq 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : sur un intervalle, deux\nprimitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. C'est\npourquoi la condition $F(x_0) = y_0$ suffit à isoler une\nprimitive unique."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Primitive de $e^{@k@x}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto e^{3x}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{3x}}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{e^{3x}}{3}\\right)' =\n\\dfrac{3e^{3x}}{3} = e^{3x}$. Le facteur $\\dfrac{1}{3}$\ncompense le $3$ que la dérivation ferait sortir."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto 3e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $3e^{3x}$ est la **dérivée** de $e^{3x}$.\nPour une primitive, on divise par $3$ au lieu de\nmultiplier."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(e^{3x})' = 3e^{3x} \\neq e^{3x}$. Seule $e^x$ est\nsa propre primitive ; ici il faut le facteur $\\dfrac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{4x}}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances\nde $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve\nl'exposant $3x$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $a \\neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est\n$\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par\nson coefficient. Vérification immédiate en dérivant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto e^{3x}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{3x}}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{e^{3x}}{3}\\right)' =\n\\dfrac{3e^{3x}}{3} = e^{3x}$. Le facteur $\\dfrac{1}{3}$\ncompense le $3$ que la dérivation ferait sortir."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto 3e^{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $3e^{3x}$ est la **dérivée** de $e^{3x}$.\nPour une primitive, on divise par $3$ au lieu de\nmultiplier."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto e^{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(e^{3x})' = 3e^{3x} \\neq e^{3x}$. Seule $e^x$ est\nsa propre primitive ; ici il faut le facteur $\\dfrac{1}{3}$."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{4x}}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances\nde $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve\nl'exposant $3x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a \\neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est\n$\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par\nson coefficient. Vérification immédiate en dérivant."
        },
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto e^{2x}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{2x}}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{e^{2x}}{2}\\right)' =\n\\dfrac{2e^{2x}}{2} = e^{2x}$. Le facteur $\\dfrac{1}{2}$\ncompense le $2$ que la dérivation ferait sortir."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto 2e^{2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $2e^{2x}$ est la **dérivée** de $e^{2x}$.\nPour une primitive, on divise par $2$ au lieu de\nmultiplier."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto e^{2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(e^{2x})' = 2e^{2x} \\neq e^{2x}$. Seule $e^x$ est\nsa propre primitive ; ici il faut le facteur $\\dfrac{1}{2}$."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{3x}}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances\nde $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve\nl'exposant $2x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a \\neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est\n$\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par\nson coefficient. Vérification immédiate en dérivant."
        },
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto e^{5x}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{5x}}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{e^{5x}}{5}\\right)' =\n\\dfrac{5e^{5x}}{5} = e^{5x}$. Le facteur $\\dfrac{1}{5}$\ncompense le $5$ que la dérivation ferait sortir."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto 5e^{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $5e^{5x}$ est la **dérivée** de $e^{5x}$.\nPour une primitive, on divise par $5$ au lieu de\nmultiplier."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto e^{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(e^{5x})' = 5e^{5x} \\neq e^{5x}$. Seule $e^x$ est\nsa propre primitive ; ici il faut le facteur $\\dfrac{1}{5}$."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{6x}}{6}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances\nde $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve\nl'exposant $5x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a \\neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est\n$\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par\nson coefficient. Vérification immédiate en dérivant."
        },
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto e^{4x}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{4x}}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{e^{4x}}{4}\\right)' =\n\\dfrac{4e^{4x}}{4} = e^{4x}$. Le facteur $\\dfrac{1}{4}$\ncompense le $4$ que la dérivation ferait sortir."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto 4e^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Sens inversé : $4e^{4x}$ est la **dérivée** de $e^{4x}$.\nPour une primitive, on divise par $4$ au lieu de\nmultiplier."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto e^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $(e^{4x})' = 4e^{4x} \\neq e^{4x}$. Seule $e^x$ est\nsa propre primitive ; ici il faut le facteur $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$x \\mapsto \\dfrac{e^{5x}}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'exposant ne monte pas comme pour les puissances\nde $x$ ; la primitivation d'une exponentielle conserve\nl'exposant $4x$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a \\neq 0$, une primitive de $e^{ax}$ est\n$\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est conservé et on divise par\nson coefficient. Vérification immédiate en dérivant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "forme-u-prime-un"
      ],
      "title": "Primitive d'une forme $u' u^n$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de\n$f(x) = x\\,(x^2 + 1)^3$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(x^2 + 1)^4}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$ : on écrit\n$f = \\dfrac{1}{2}\\,u'u^3$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{2} \\cdot \\dfrac{u^4}{4} = \\dfrac{u^4}{8}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $\\dfrac{1}{2}$ : $u' = 2x$ alors que\nl'énoncé n'a que $x$ en facteur. Il faut compenser :\n$x = \\dfrac{1}{2}u'$, d'où le dénominateur $8$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = (x^2 + 1)^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left((x^2+1)^4\\right)' = 8x(x^2+1)^3$, huit fois\ntrop grand. La forme $u'u^n$ se primitive en\n$\\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$, avec ajustement du coefficient."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\,(x^2+1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne primitive pas facteur par facteur (pas plus\nqu'on ne dérive un produit terme à terme). Il faut\nreconnaître la structure composée $u'u^3$."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître la forme $u'u^n$ : ici $u = x^2+1$, $u' = 2x$, donc\n$x(x^2+1)^3 = \\frac{1}{2}u'u^3$, de primitive\n$\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{u^4}{4} = \\frac{(x^2+1)^4}{8}$.\nVérifier en dérivant est le meilleur garde-fou."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "verification",
        "derivee"
      ],
      "title": "Vérifier une primitive par dérivation",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Soit $F(x) = (x - 1)\\,e^x$. Que vaut $F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x\\,e^x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée d'un produit,\n$F'(x) = 1 \\cdot e^x + (x-1)e^x = x\\,e^x$. Donc $F$ est une\nprimitive de $x \\mapsto x\\,e^x$."
        },
        {
          "text": "$(x - 1)\\,e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as dérivé seulement $e^x$ en oubliant la règle\ndu produit. Le terme $1 \\cdot e^x$ venu de $(x-1)'$\ntransforme $x - 1$ en $x$."
        },
        {
          "text": "$e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as dérivé chaque facteur puis multiplié\n($1 \\times e^x$). La règle du produit est\n$u'v + uv'$, pas $u'v'$."
        },
        {
          "text": "$(x + 1)\\,e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $1 \\cdot e^x + (x-1)e^x =\n(1 + x - 1)e^x = x\\,e^x$. Les constantes s'annulent."
        }
      ],
      "explanation": "$F'(x) = (x-1)'e^x + (x-1)(e^x)' = e^x + (x-1)e^x = x\\,e^x$.\nC'est le réflexe central du chapitre : toute primitive proposée\nse contrôle en la dérivant."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-differentielle"
      ],
      "title": "Solutions de $y' = @k@y$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 3y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{3x}$, $C$ réel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement\nles $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Vérification :\n$(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : tout multiple $Ce^{3x}$ convient aussi (y\ncompris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation\ndifférentielle a une **famille** de solutions."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{-3x}$, $C$ réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{-3x})' = -3Ce^{-3x} = -3y$. Ces\nfonctions résolvent $y' = -3y$."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto 3x + C$, $C$ réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y = 3x + C$ donne $y' = 3$, constant, alors que\n$3y = 9x + 3C$ varie. Tu as résolu $y' = 3$ (une\nprimitive), pas $y' = 3y$."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : les solutions de\n$y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$, $C$ réel\nquelconque. La constante se fixe ensuite par une condition\ninitiale.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 3y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{3x}$, $C$ réel",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement\nles $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Vérification :\n$(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$."
            },
            {
              "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{3x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : tout multiple $Ce^{3x}$ convient aussi (y\ncompris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation\ndifférentielle a une **famille** de solutions."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{-3x}$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{-3x})' = -3Ce^{-3x} = -3y$. Ces\nfonctions résolvent $y' = -3y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto 3x + C$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 3x + C$ donne $y' = 3$, constant, alors que\n$3y = 9x + 3C$ varie. Tu as résolu $y' = 3$ (une\nprimitive), pas $y' = 3y$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : les solutions de\n$y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$, $C$ réel\nquelconque. La constante se fixe ensuite par une condition\ninitiale."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 2y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{2x}$, $C$ réel",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement\nles $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Vérification :\n$(Ce^{2x})' = 2Ce^{2x} = 2y$."
            },
            {
              "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{2x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : tout multiple $Ce^{2x}$ convient aussi (y\ncompris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation\ndifférentielle a une **famille** de solutions."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{-2x}$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{-2x})' = -2Ce^{-2x} = -2y$. Ces\nfonctions résolvent $y' = -2y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto 2x + C$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 2x + C$ donne $y' = 2$, constant, alors que\n$2y = 4x + 2C$ varie. Tu as résolu $y' = 2$ (une\nprimitive), pas $y' = 2y$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : les solutions de\n$y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$, $C$ réel\nquelconque. La constante se fixe ensuite par une condition\ninitiale."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 5y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{5x}$, $C$ réel",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement\nles $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Vérification :\n$(Ce^{5x})' = 5Ce^{5x} = 5y$."
            },
            {
              "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{5x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : tout multiple $Ce^{5x}$ convient aussi (y\ncompris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation\ndifférentielle a une **famille** de solutions."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{-5x}$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{-5x})' = -5Ce^{-5x} = -5y$. Ces\nfonctions résolvent $y' = -5y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto 5x + C$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 5x + C$ donne $y' = 5$, constant, alors que\n$5y = 25x + 5C$ varie. Tu as résolu $y' = 5$ (une\nprimitive), pas $y' = 5y$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : les solutions de\n$y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$, $C$ réel\nquelconque. La constante se fixe ensuite par une condition\ninitiale."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 4y$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{4x}$, $C$ réel",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions de $y' = ay$ sont exactement\nles $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Vérification :\n$(Ce^{4x})' = 4Ce^{4x} = 4y$."
            },
            {
              "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{4x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Incomplet : tout multiple $Ce^{4x}$ convient aussi (y\ncompris $C = 0$, la fonction nulle). Une équation\ndifférentielle a une **famille** de solutions."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{-4x}$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{-4x})' = -4Ce^{-4x} = -4y$. Ces\nfonctions résolvent $y' = -4y$."
            },
            {
              "text": "Les fonctions $x \\mapsto 4x + C$, $C$ réel",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $y = 4x + C$ donne $y' = 4$, constant, alors que\n$4y = 16x + 4C$ varie. Tu as résolu $y' = 4$ (une\nprimitive), pas $y' = 4y$."
            }
          ],
          "explanation": "Théorème (démonstration au programme) : les solutions de\n$y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$, $C$ réel\nquelconque. La constante se fixe ensuite par une condition\ninitiale."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "solution-particuliere"
      ],
      "title": "Solutions de $y' = 2y + 6$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = 2y + 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse, avec $C$ constante réelle : la solution\nparticulière constante vérifie $0 = 2y + 6$, soit $y =\n-3$ ; on lui ajoute les solutions $Ce^{2x}$ de\nl'équation homogène $y' = 2y$."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur la constante particulière : elle\nrésout $2y + 6 = 0$, donc $y = -3$, pas $+3$. Contrôle :\nsi $y = Ce^{2x}+3$, alors $y' = 2Ce^{2x}$ mais\n$2y + 6 = 2Ce^{2x} + 12$ : ça ne colle pas."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} + 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as pris le terme $b = 6$ comme solution\nparticulière. La constante correcte est\n$-\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{6}{2} = -3$."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{-2x} - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation homogène\nassociée est $y' = 2y$, de solutions $Ce^{2x}$ (exposant\n$+2x$)."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode pour $y' = ay + b$ : (1) solution particulière\nconstante $y_p = -\\dfrac{b}{a}$ ; (2) solutions de l'équation :\n$y = C\\,e^{ax} + y_p$. Ici : $y = Ce^{2x} - 3$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Imposer une condition initiale",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est l'unique solution de $y' = 2y + 6$ vérifiant\n$y(0) = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 4\\,e^{2x} - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $y = Ce^{2x} - 3$, la condition\n$y(0) = 1$ donne $C - 3 = 1$, donc $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$y = e^{2x} - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette fonction vaut $1 - 3 = -2$ en $0$, pas $1$.\nLa constante $C$ se calcule avec la condition initiale :\n$C - 3 = 1$ donne $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$y = 4\\,e^{-2x} - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : l'équation homogène associée est\n$y' = 2y$, de solutions $Ce^{2x}$. Cette fonction vaut bien\n$1$ en $0$, mais elle ne vérifie pas l'équation."
        },
        {
          "text": "$y = 4\\,e^{2x} + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $-3$ vient de la solution particulière de\nl'équation, il ne change pas de signe. Avec $+3$, on\nn'aurait pas $y' = 2y + 6$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux temps : forme générale $y = Ce^{2x} - 3$, puis condition\ninitiale : $y(0) = C - 3 = 1 \\Rightarrow C = 4$. Une condition\ninitiale isole **une** solution dans la famille."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Primitive de sinus",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $x \\mapsto \\sin(x)$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\cos(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(-\\cos x)' = -(-\\sin x) = \\sin x$. Les\ndeux signes moins se compensent."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\cos(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(\\cos x)' = -\\sin x$. Pour retomber sur\n$+\\sin x$, il faut partir de $-\\cos x$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\sin(x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-\\sin x)' = -\\cos x \\neq \\sin x$. Primitiver\néchange sinus et cosinus (avec un signe à surveiller)."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{\\sin^2(x)}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\dfrac{\\sin^2 x}{2}\\right)' =\n\\sin x \\cos x$, à cause de la composition. La règle des\npuissances ne s'applique pas telle quelle aux fonctions."
        }
      ],
      "explanation": "Primitives trigonométriques : $\\sin$ se primitive en $-\\cos$,\net $\\cos$ en $\\sin$. Contrôle systématique en dérivant :\n$(-\\cos x)' = \\sin x$."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "comportement"
      ],
      "title": "Comportement des solutions de $y' = ay$ pour $a < 0$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Soit $a < 0$. Comment se comportent les solutions non nulles de\n$y' = ay$ quand $x$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles tendent vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y = Ce^{ax}$ avec $a < 0$ : l'exponentielle\ns'éteint en $+\\infty$. C'est le modèle des décroissances\nexponentielles (décharge, désintégration,\nrefroidissement)."
        },
        {
          "text": "Elles tendent vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le comportement pour $a > 0$ (croissance\nexponentielle). Ici l'exposant $ax$ tend vers $-\\infty$ et\n$e^{ax} \\to 0$."
        },
        {
          "text": "Elles oscillent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les solutions $Ce^{ax}$ sont monotones (aucun\nsinus en vue). Les oscillations relèvent d'autres équations,\ncomme $y'' + \\omega^2 y = 0$."
        },
        {
          "text": "Elles deviennent constantes égales à $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $a$ est le coefficient de l'équation, pas une\nvaleur limite des solutions. La limite commune est $0$."
        }
      ],
      "explanation": "$y = Ce^{ax}$ : le signe de $a$ commande tout. $a > 0$ :\nexplosion exponentielle ; $a < 0$ : extinction vers $0$ ;\n$a = 0$ : solutions constantes."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "racine"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de\n$x \\mapsto \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto 2\\sqrt{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(2\\sqrt{x})' = 2 \\times\n\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\sqrt{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur manquant : $(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$,\nmoitié trop petit. D'où le facteur $2$ dans la primitive."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$ est la **dérivée**\nde $\\sqrt{x}$. On cherche l'opération inverse."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln(\\sqrt{x})$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\ln(\\sqrt x)\\right)' =\n\\dfrac{1}{2x}$, ce n'est pas $\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$. Le\nlogarithme est la primitive de $\\dfrac{1}{x}$, pas de\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de référence (au programme) : sur $]0\\,;\\,+\\infty[$,\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ se primitive en $2\\sqrt{x}$. À ranger\navec : $\\dfrac{1}{x} \\to \\ln x$ et $x^n \\to\n\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "inverse"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{x}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ : le logarithme\ncomble exactement le trou de la formule des puissances."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $-\\frac{1}{x^2}$ est la **dérivée** de\n$\\frac{1}{x}$ ; on cherche l'antécédent de dérivation,\npas l'image."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^0}{0}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par zéro : la formule $\\frac{x^{n+1}}{n+1}$\néchoue précisément pour $n = -1$ : c'est $\\ln$ qui prend\nle relais."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $\\ln\\frac{1}{x} = -\\ln x$, dont la dérivée est\n$-\\frac{1}{x}$ : l'opposé de ce qu'on veut."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$, les primitives de $\\frac{1}{x}$ sont\n$\\ln x + C$. L'exception de la règle des puissances\n($n = -1$) : à mémoriser comme telle."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "trigonometrie"
      ],
      "title": "Primitive de $\\cos(2x)$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\sin(2x))' = 2\\cos(2x)$ : il faut\ncompenser le facteur $2$ par $\\frac{1}{2}$. Contrôle en\ndérivant : $\\frac{1}{2} \\times 2\\cos(2x) = \\cos(2x)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation oubliée : $(\\sin(2x))' = 2\\cos(2x)$, le\ndouble de la cible : diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : le moins appartient au couple inverse (primitive\nde $\\sin$ = $-\\cos$). Pour $\\cos$, la primitive est en\n$+\\sin$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation à l'envers : dériver $2\\sin(2x)$ donne\n$4\\cos(2x)$ : on divise par le coefficient interne, on\nne multiplie pas."
        }
      ],
      "explanation": "Primitives de $\\cos(ax + b)$ : $\\frac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ;\nde $\\sin(ax+b)$ : $-\\frac{1}{a}\\cos(ax + b)$. Toujours\nvérifier en dérivant : la compensation en $\\frac{1}{a}$ ne\npardonne pas l'improvisation."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "existence-primitives"
      ],
      "title": "Existence de primitives",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelles fonctions admettent des primitives sur un\nintervalle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Toute fonction continue sur cet intervalle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème du cours : continuité suffit\n(la primitive s'obtient d'ailleurs comme aire variable,\nau chapitre intégration)."
        },
        {
          "text": "Seulement les polynômes",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : $e^x$, $\\cos$, $\\frac{1}{x}$… toutes\nles fonctions continues usuelles ont des primitives."
        },
        {
          "text": "Seulement les fonctions dérivables",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la dérivabilité concerne la fonction\nelle-même ; pour primitiver, la **continuité** suffit\n($|x|$, non dérivable en $0$, a des primitives)."
        },
        {
          "text": "Seulement les fonctions positives",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $f(x) = -e^x$, toujours négative, a pour\nprimitive $-e^x$. Le signe ne joue aucun rôle."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème : toute fonction continue sur un intervalle y admet\ndes primitives (une infinité, à constante près). En\npratique, toutes les fonctions du programme sont continues\nsur leurs intervalles de définition."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-sur-u"
      ],
      "title": "Primitive de la forme $\\dfrac{u'}{u}$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : forme $\\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1\n> 0$ et $u' = 2x$ : primitive $\\ln(u)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{\\frac{x^3}{3} + x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : primitiver haut et bas séparément n'a aucun\nsens pour un quotient : il faut **reconnaître la\nforme** $\\frac{u'}{u}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2x\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver ce produit ferait apparaître un terme\nen $\\ln$ parasite : la primitive de $\\frac{u'}{u}$ est\n$\\ln u$, sans facteur."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est une piste pour $\\frac{u'}{u^3}$… en\ndérivant : $\\frac{-4x}{(x^2+1)^3}$, rien à voir.\nReconnaître $\\frac{u'}{u}$ → $\\ln u$."
        }
      ],
      "explanation": "Formes composées à repérer : $\\frac{u'}{u} \\to \\ln u$\n($u > 0$), $u'e^u \\to e^u$, $u'u^n \\to \\frac{u^{n+1}}{n+1}$.\nLe réflexe : chercher si le numérateur est la dérivée du\ndénominateur."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-exp-u"
      ],
      "title": "Primitive de la forme $u'e^u$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\,e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u = x^2$, $u' = 2x$ : la fonction est\nexactement $u'e^u$, de primitive $e^u$. Contrôle :\n$(e^{x^2})' = 2x\\,e^{x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver ce produit donne $2x\\,e^{x^2}(1 + x^2)$,\ntrop. La primitive de $u'e^u$ est $e^u$ tout court."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2}}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune règle ne divise par $u$. La forme\n$u'e^u$ se primitive directement en $e^u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur en trop : le $2x$ est **déjà** absorbé par $u' =\n2x$ : la primitive est $e^{x^2}$, sans coefficient."
        }
      ],
      "explanation": "$u'e^u \\to e^u$ : la plus rentable des formes composées.\nSans le facteur $u'$ exact, ajuster par une constante\n($x e^{x^2} \\to \\frac{1}{2}e^{x^2}$) ; s'il manque plus\nqu'une constante, la forme n'est pas applicable."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "solution-equilibre"
      ],
      "title": "Solution d'équilibre",
      "partie": "equations",
      "statement": "L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution\nconstante. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 2$ : la valeur qui annule le second membre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =\n-3y + 6 \\iff y = 2$. C'est l'état d'équilibre vers\nlequel toutes les solutions convergent (coefficient\n$-3 < 0$)."
        },
        {
          "text": "$y = 6$ : le terme constant de l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tester $y = 6$ : $y' = 0$ mais $-18 + 6 = -12\n\\neq 0$. L'équilibre est $-\\frac{b}{a} = \\frac{6}{3} =\n2$."
        },
        {
          "text": "$y = -3$ : le coefficient de $y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $-3$ règle la **vitesse** de\nconvergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 2$)."
        },
        {
          "text": "$y = 0$ : une constante est toujours solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 6 = 6 \\neq 0$ :\n$0$ n'est solution que des équations **homogènes**\n($y' = ay$)."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =\n-\\frac{b}{a}$ (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes\nles solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \\frac{b}{a}$ : équilibre\n+ partie exponentielle.",
      "variants": [
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution\nconstante. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 2$ : la valeur qui annule le second membre",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =\n-3y + 6 \\iff y = 2$. C'est l'état d'équilibre vers\nlequel toutes les solutions convergent (coefficient\n$-3 < 0$)."
            },
            {
              "text": "$y = 6$ : le terme constant de l'équation",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tester $y = 6$ : $y' = 0$ mais $-18 + 6 = -12\n\\neq 0$. L'équilibre est $-\\frac{b}{a} = \\frac{6}{3} =\n2$."
            },
            {
              "text": "$y = -3$ : le coefficient de $y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $-3$ règle la **vitesse** de\nconvergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 2$)."
            },
            {
              "text": "$y = 0$ : une constante est toujours solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 6 = 6 \\neq 0$ :\n$0$ n'est solution que des équations **homogènes**\n($y' = ay$)."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =\n-\\frac{b}{a}$ (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes\nles solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \\frac{b}{a}$ : équilibre\n+ partie exponentielle."
        },
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -2y + 10$ admet une solution\nconstante. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 5$ : la valeur qui annule le second membre",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =\n-2y + 10 \\iff y = 5$. C'est l'état d'équilibre vers\nlequel toutes les solutions convergent (coefficient\n$-2 < 0$)."
            },
            {
              "text": "$y = 10$ : le terme constant de l'équation",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tester $y = 10$ : $y' = 0$ mais $-20 + 10 = -10\n\\neq 0$. L'équilibre est $-\\frac{b}{a} = \\frac{10}{2} =\n5$."
            },
            {
              "text": "$y = -2$ : le coefficient de $y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $-2$ règle la **vitesse** de\nconvergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 5$)."
            },
            {
              "text": "$y = 0$ : une constante est toujours solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 10 = 10 \\neq 0$ :\n$0$ n'est solution que des équations **homogènes**\n($y' = ay$)."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =\n-\\frac{b}{a}$ (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes\nles solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \\frac{b}{a}$ : équilibre\n+ partie exponentielle."
        },
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -5y + 15$ admet une solution\nconstante. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 3$ : la valeur qui annule le second membre",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =\n-5y + 15 \\iff y = 3$. C'est l'état d'équilibre vers\nlequel toutes les solutions convergent (coefficient\n$-5 < 0$)."
            },
            {
              "text": "$y = 15$ : le terme constant de l'équation",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tester $y = 15$ : $y' = 0$ mais $-75 + 15 = -60\n\\neq 0$. L'équilibre est $-\\frac{b}{a} = \\frac{15}{5} =\n3$."
            },
            {
              "text": "$y = -5$ : le coefficient de $y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $-5$ règle la **vitesse** de\nconvergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 3$)."
            },
            {
              "text": "$y = 0$ : une constante est toujours solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 15 = 15 \\neq 0$ :\n$0$ n'est solution que des équations **homogènes**\n($y' = ay$)."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =\n-\\frac{b}{a}$ (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes\nles solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \\frac{b}{a}$ : équilibre\n+ partie exponentielle."
        },
        {
          "statement": "L'équation différentielle $y' = -2y + 8$ admet une solution\nconstante. Laquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y = 4$ : la valeur qui annule le second membre",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : une constante a une dérivée nulle : $0 =\n-2y + 8 \\iff y = 4$. C'est l'état d'équilibre vers\nlequel toutes les solutions convergent (coefficient\n$-2 < 0$)."
            },
            {
              "text": "$y = 8$ : le terme constant de l'équation",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tester $y = 8$ : $y' = 0$ mais $-16 + 8 = -8\n\\neq 0$. L'équilibre est $-\\frac{b}{a} = \\frac{8}{2} =\n4$."
            },
            {
              "text": "$y = -2$ : le coefficient de $y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient $-2$ règle la **vitesse** de\nconvergence, pas la valeur d'équilibre ($y = 4$)."
            },
            {
              "text": "$y = 0$ : une constante est toujours solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Faux : $y = 0$ donne $y' = 0$ mais $-0 + 8 = 8 \\neq 0$ :\n$0$ n'est solution que des équations **homogènes**\n($y' = ay$)."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $y' = ay + b$ : la solution constante est $y =\n-\\frac{b}{a}$ (une dérivée nulle impose un second membre nul). Toutes\nles solutions s'écrivent $Ce^{ax} - \\frac{b}{a}$ : équilibre\n+ partie exponentielle."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-u-n",
        "ajustement"
      ],
      "title": "Primitive de $(2x + 1)^3$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(2x + 1)^4}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : forme $u^n$ avec $u' = 2$ manquant : on\nécrit $f = \\frac{1}{2}\\,u'u^3$, de primitive\n$\\frac{1}{2} \\times \\frac{u^4}{4} = \\frac{u^4}{8}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(2x + 1)^4}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajustement oublié : dériver donne $2 \\times (2x+1)^3$ :\nle $u' = 2$ interne exige un facteur $\\frac{1}{2}$\nsupplémentaire."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 3(2x + 1)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $3(2x+1)^2 \\times 2 = 6(2x+1)^2$ est (à\nun facteur près) la **dérivée** de $f$, pas sa\nprimitive : l'exposant doit monter."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{(2x+1)^4}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double compensation ratée : il faut diviser par $4$\n(exposant) ET par $2$ ($u'$) : dénominateur $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $(ax + b)^n$ : primitive $\\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}$\n: la double division (exposant + coefficient interne) se\nvérifie en une dérivation de contrôle."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "condition-primitive"
      ],
      "title": "Primitive imposée en un point",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est LA primitive $F$ de $f(x) = 2x$ vérifiant\n$F(1) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = x^2 - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^2 + C$ ; la\ncondition $F(1) = 0$ donne $1 + C = 0$, donc $C = -1$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition ignorée : $F(1) = 1 \\neq 0$. La constante se\n**calcule** avec la condition, elle ne reste pas nulle\npar défaut."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2 + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de la constante : $1 + C = 0 \\Rightarrow C = -1$,\npas $+1$. Contrôle : $F(1) = 2 \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une constante a une dérivée **nulle**, pas\n$2x$ : ce n'est pas une primitive de $f$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux temps : primitive générale ($x^2 + C$), puis condition\n($F(1) = 0 \\Rightarrow C = -1$). Une condition fixe LA\nprimitive parmi l'infinité : même logique que la condition\ninitiale d'une équation différentielle."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "verification-solution"
      ],
      "title": "Vérifier une solution d'équation différentielle",
      "partie": "equations",
      "statement": "La fonction $f(x) = (x + 1)e^x$ est-elle solution de\nl'équation $y' = y + e^x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : $f'(x) = (x + 2)e^x$ et $f(x) + e^x = (x + 2)e^x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée d'un produit : $f' = e^x + (x +\n1)e^x = (x + 2)e^x$ ; le second membre donne la même\nchose : égalité pour tout $x$."
        },
        {
          "text": "Non : $f'(x) = e^x$, qui ne vaut pas $f(x) + e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivée fausse : $(x + 1)e^x$ est un **produit** : sa\ndérivée est $u'v + uv' = e^x + (x+1)e^x$, pas seulement\n$e^x$."
        },
        {
          "text": "Non : les solutions de $y' = y + e^x$ sont les $Ce^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $Ce^x$ résolvent l'équation **homogène**\n$y' = y$ ; le second membre $e^x$ exige un terme\nsupplémentaire (le $xe^x$)."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : vérifier une solution proposée ne\ndemande jamais de résoudre : on dérive, on remplace, on\ncompare."
        }
      ],
      "explanation": "« Vérifier que $f$ est solution » = calculer $f'$, injecter\n$f$ dans le second membre, constater l'égalité pour tout\n$x$. Aucune résolution : c'est la question la plus rentable\ndes sujets de baccalauréat."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "decroissance"
      ],
      "title": "Décroissance radioactive",
      "partie": "equations",
      "statement": "Une quantité $N(t)$ vérifie $N' = -0{,}1\\,N$ avec $N(0) =\n100$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$N(t) = 100\\,e^{-0{,}1t}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : $Ce^{at}$ avec\n$a = -0{,}1$ ; la condition $N(0) = C = 100$ fixe la\nconstante."
        },
        {
          "text": "$N(t) = 100 - 0{,}1t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modèle linéaire : ce serait $N' = -0{,}1$ (perte\nconstante). Ici la perte est proportionnelle au\n**stock** : décroissance exponentielle."
        },
        {
          "text": "$N(t) = e^{-0{,}1t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition initiale perdue : $N(0)$ vaudrait $1$, pas\n$100$ : le facteur $C = 100$ est indispensable."
        },
        {
          "text": "$N(t) = 100\\,e^{0{,}1t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : avec $+0{,}1$, la quantité **exploserait**. La\ndésintégration impose l'exposant négatif du modèle $N' =\n-0{,}1N$."
        }
      ],
      "explanation": "$y' = ay$, $y(0) = y_0 \\Rightarrow y(t) = y_0e^{at}$. Le\nsigne de $a$ raconte l'histoire : $a < 0$ = désintégration,\nrefroidissement ; $a > 0$ = croissance. Toujours confronter\nla solution au sens physique."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "unicite-solution"
      ],
      "title": "Unicité avec condition initiale",
      "partie": "equations",
      "statement": "Combien l'équation $y' = 2y + 6$ admet-elle de solutions\nvérifiant $y(0) = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement une : $y(x) = 4e^{2x} - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solutions générales $Ce^{2x} - 3$ ; la\ncondition $y(0) = C - 3 = 1$ force $C = 4$ : une et une\nseule fonction."
        },
        {
          "text": "Une infinité, comme toute équation différentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance capitale : l'infinité vaut pour l'équation\n**seule** ; chaque condition initiale sélectionne\nexactement une solution (c'est le théorème du cours)."
        },
        {
          "text": "Aucune : $y(0) = 1$ est incompatible avec l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : toute valeur initiale est atteignable : il\nsuffit d'ajuster $C$ ($C = 4$ ici)."
        },
        {
          "text": "Deux : une croissante et une décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante $C$ est déterminée de façon\nunique par une équation du premier degré : pas de\ndeuxième candidat."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (au programme) : $y' = ay + b$ avec $y(x_0) = y_0$\nadmet une **unique** solution. Géométriquement : par chaque\npoint du plan passe une seule courbe solution."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege-produit"
      ],
      "title": "Primitive d'un produit",
      "partie": "primitives",
      "statement": "$F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$. Le produit\n$FG$ est-il une primitive de $fg$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, $(FG)' = fG + Fg$, pas $fg$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivation d'un produit suit $u'v +\nuv'$. Exemple : $f = g = 1$, $FG = x^2$ dont la dérivée\nest $2x \\neq 1$. Symétriquement, il n'existe **aucune**\nformule générale de primitive d'un produit."
        },
        {
          "text": "Oui, les opérations passent aux primitives",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : seules la somme et la multiplication par une\nconstante passent. Contre-exemple : $f = g = 1$ :\n$FG = x^2$, or une primitive de $fg = 1$ est $x$."
        },
        {
          "text": "Oui, à une constante près",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x^2$ et $x$ ne diffèrent pas d'une constante.\nL'écart est structurel, pas constant."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si $f$ et $g$ sont des polynômes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le contre-exemple $f = g = 1$ **est**\npolynomial : même chez les polynômes, la formule est\nfausse."
        }
      ],
      "explanation": "Les primitives se comportent bien pour $f + g$ et $\\lambda\nf$, et c'est tout. Pour un produit : reconnaître une forme\ncomposée ($u'u^n$, $u'e^u$, $\\frac{u'}{u}$…) ou transformer\nl'expression. Le réflexe « primitive de chaque facteur » est\ntoujours faux."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "calcul"
      ],
      "title": "Primitive d'un polynôme",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^3 - 2x^2 + x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on augmente chaque exposant d'une unité et l'on divise\npar le nouvel exposant."
        },
        {
          "text": "$6x - 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dérivation au lieu d'une primitivation : l'opération demandée est\nl'inverse."
        },
        {
          "text": "$3x^3 - 4x^2 + x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : la primitive de $3x^2$ est $x^3$, pas $3x^3$."
        },
        {
          "text": "$x^3 - 2x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme oublié : la primitive de la constante $1$ vaut $x$."
        }
      ],
      "explanation": "La primitive de $x^n$ vaut $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. On vérifie toujours le\nrésultat en le dérivant, ce qui doit redonner la fonction de départ."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "solution-generale"
      ],
      "title": "Solutions de $y' = -2y$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation différentielle $y' = -2y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{-2x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équation $y' = ay$ a pour solutions les fonctions\n$Ce^{ax}$, avec $C$ réel quelconque."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Ce^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de l'exposant : la dérivée de $Ce^{2x}$ vaut $2Ce^{2x}$, soit\n$+2y$."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto -2e^{x} + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Forme incorrecte : la dérivée de cette fonction ne redonne pas un\nmultiple de la fonction elle-même."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $x \\mapsto e^{-2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : tout multiple d'une solution est encore solution."
        }
      ],
      "explanation": "L'équation $y' = ay$ a pour solutions exactement les fonctions\n$x \\mapsto Ce^{ax}$. La constante $C$ se détermine par une condition\ninitiale."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Une primitive imposée",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Parmi les primitives de $f(x) = 2x$, laquelle vaut $5$ en $1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x^2 + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^2 + C$ et $1 + C = 5$ donne $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$x^2 + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition mal exploitée : cette fonction vaut $6$ en $1$, pas $5$."
        },
        {
          "text": "$x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante nulle : cette primitive vaut $1$ en $1$."
        },
        {
          "text": "$2x^2 + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient faux : la dérivée vaudrait $4x$ et non $2x$."
        }
      ],
      "explanation": "Toutes les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Une\ncondition en un point fixe cette constante, donc une primitive unique."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "second-membre"
      ],
      "title": "Une équation avec second membre",
      "partie": "equations",
      "statement": "Quelle est la solution constante de l'équation $y' = 3y - 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La fonction constante égale à $4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une solution constante a une dérivée nulle, donc\n$3y - 12 = 0$."
        },
        {
          "text": "La fonction constante égale à $12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Second membre recopié : il reste à résoudre $3y = 12$."
        },
        {
          "text": "La fonction constante égale à $-4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe faux : $3 \\times (-4) - 12$ vaut $-24$, pas $0$."
        },
        {
          "text": "La fonction constante égale à $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient recopié : $3 \\times 3 - 12$ vaut $-3$, donc la dérivée ne\nserait pas nulle."
        }
      ],
      "explanation": "La solution constante, ou solution d'équilibre, s'obtient en annulant la\ndérivée. Les autres solutions s'en déduisent en ajoutant les solutions de\nl'équation sans second membre."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "forme-composee"
      ],
      "title": "Reconnaître une forme $u'e^u$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\,e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'expression est de la forme $u'e^u$, avec\n$u(x) = x^2$."
        },
        {
          "text": "$2x\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fonction recopiée : elle n'est pas sa propre primitive, sa dérivée\ncomporte un terme supplémentaire."
        },
        {
          "text": "$x^2 e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteurs primitivés séparément : cette opération n'est pas valable pour\nun produit."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{e^{x^2}}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par le facteur : la dérivée de cette expression est bien plus\ncompliquée que $f$."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître une forme composée, $u'e^u$, $u'u^n$ ou $\\dfrac{u'}{u}$, évite\ntout calcul. La vérification par dérivation est immédiate."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-differentielle",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Un refroidissement",
      "partie": "equations",
      "statement": "La température d'un objet vérifie $T' = -0{,}1T$.\nComment évolue-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle décroît vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les solutions sont $Ce^{-0{,}1t}$, qui tendent vers\n$0$ pour $C$ positif."
        },
        {
          "text": "Elle croît sans limite",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient négatif impose une décroissance, la dérivée étant de\nsigne opposé à la température."
        },
        {
          "text": "Elle reste constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Seule la solution nulle est constante ; toute température initiale non\nnulle évolue."
        },
        {
          "text": "Elle décroît puis remonte",
          "correct": false,
          "feedback": "Aucun changement de sens : la dérivée garde le signe opposé à celui de\n$T$ tout au long."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay$ avec $a$ négatif, les solutions tendent vers $0$ : c'est le\nmodèle des décroissances, refroidissement, désintégration radioactive,\nélimination d'un médicament."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "calcul"
      ],
      "title": "Primitive d'un monôme",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle fonction est une primitive de $f(x) = 12x^2$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = 4x^3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte à $3$ et on divise par ce\nnouvel exposant, ce qui donne $\\dfrac{12}{3} = 4$ devant\n$x^3$. En dérivant $4x^3$, on retrouve bien $12x^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 12x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : en dérivant $12x^3$, on obtiendrait\n$3 \\times 12x^2$, soit $3$ fois trop. Il faut diviser le\ncoefficient par $3$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{12x^3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais diviseur : on divise par le **nouvel** exposant $3$, et\nnon par l'ancien exposant $2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 4x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de $x^2$ fait\nmonter l'exposant à $3$, alors que le dériver le ferait baisser."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $n \\neq -1$, une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ :\nl'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un\ncoefficient devant $x^n$ se conserve et se divise de la même façon.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $f(x) = 12x^2$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 4x^3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte à $3$ et on divise par ce\nnouvel exposant, ce qui donne $\\dfrac{12}{3} = 4$ devant\n$x^3$. En dérivant $4x^3$, on retrouve bien $12x^2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 12x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : en dérivant $12x^3$, on obtiendrait\n$3 \\times 12x^2$, soit $3$ fois trop. Il faut diviser le\ncoefficient par $3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{12x^3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais diviseur : on divise par le **nouvel** exposant $3$, et\nnon par l'ancien exposant $2$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4x^2$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de $x^2$ fait\nmonter l'exposant à $3$, alors que le dériver le ferait baisser."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $n \\neq -1$, une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ :\nl'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un\ncoefficient devant $x^n$ se conserve et se divise de la même façon."
        },
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $f(x) = 8x^3$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 2x^4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte à $4$ et on divise par ce\nnouvel exposant, ce qui donne $\\dfrac{8}{4} = 2$ devant\n$x^4$. En dérivant $2x^4$, on retrouve bien $8x^3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 8x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : en dérivant $8x^4$, on obtiendrait\n$4 \\times 8x^3$, soit $4$ fois trop. Il faut diviser le\ncoefficient par $4$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{8x^4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais diviseur : on divise par le **nouvel** exposant $4$, et\nnon par l'ancien exposant $3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de $x^3$ fait\nmonter l'exposant à $4$, alors que le dériver le ferait baisser."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $n \\neq -1$, une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ :\nl'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un\ncoefficient devant $x^n$ se conserve et se divise de la même façon."
        },
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $f(x) = 15x^4$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 3x^5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte à $5$ et on divise par ce\nnouvel exposant, ce qui donne $\\dfrac{15}{5} = 3$ devant\n$x^5$. En dérivant $3x^5$, on retrouve bien $15x^4$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 15x^5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : en dérivant $15x^5$, on obtiendrait\n$5 \\times 15x^4$, soit $5$ fois trop. Il faut diviser le\ncoefficient par $5$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{15x^5}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais diviseur : on divise par le **nouvel** exposant $5$, et\nnon par l'ancien exposant $4$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de $x^4$ fait\nmonter l'exposant à $5$, alors que le dériver le ferait baisser."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $n \\neq -1$, une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ :\nl'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un\ncoefficient devant $x^n$ se conserve et se divise de la même façon."
        },
        {
          "statement": "Quelle fonction est une primitive de $f(x) = 12x^3$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 3x^4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte à $4$ et on divise par ce\nnouvel exposant, ce qui donne $\\dfrac{12}{4} = 3$ devant\n$x^4$. En dérivant $3x^4$, on retrouve bien $12x^3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 12x^4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : en dérivant $12x^4$, on obtiendrait\n$4 \\times 12x^3$, soit $4$ fois trop. Il faut diviser le\ncoefficient par $4$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{12x^4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Mauvais diviseur : on divise par le **nouvel** exposant $4$, et\nnon par l'ancien exposant $3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'exposant n'a pas été modifié : une primitive de $x^3$ fait\nmonter l'exposant à $4$, alors que le dériver le ferait baisser."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $n \\neq -1$, une primitive de $x^n$ est $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ :\nl'exposant monte d'une unité et sert ensuite de diviseur. Un\ncoefficient devant $x^n$ se conserve et se divise de la même façon."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "existence-primitives",
        "constante"
      ],
      "title": "Nombre de primitives d'une fonction continue",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Combien $f$\nadmet-elle de primitives sur $I$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une infinité : elles diffèrent d'une constante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une fonction continue sur un intervalle admet au\nmoins une primitive $F$, et les fonctions $F + C$ conviennent\ntoutes. Il y en a donc autant que de réels $C$."
        },
        {
          "text": "Une seule, entièrement déterminée par la fonction $f$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives de $2x$.\nUne primitive n'est unique que si l'on impose en plus sa valeur en\nun point."
        },
        {
          "text": "Aucune, sauf si $f$ est elle-même dérivable sur $I$",
          "correct": false,
          "feedback": "La continuité suffit : c'est elle qui garantit l'existence de\nprimitives, la dérivabilité de $f$ n'est jamais exigée."
        },
        {
          "text": "Deux au plus, opposées l'une de l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si $F$ est une primitive, $-F$ a pour dérivée $-f$ et\nn'en est donc pas une. La liberté porte sur une constante ajoutée."
        }
      ],
      "explanation": "Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et\ndeux d'entre elles diffèrent d'une constante : l'ensemble des\nprimitives s'écrit $\\{F + C,\\ C \\in \\mathbb{R}\\}$."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitives-usuelles",
        "inverse"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{k}{x^2}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{5}{x^2}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{5}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left(-\\dfrac{5}{x}\\right)' =\n\\dfrac{5}{x^2}$, car la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut\n$-\\dfrac{1}{x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{5}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe oublié : en dérivant $\\dfrac{5}{x}$, on trouve\n$-\\dfrac{5}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction voulue."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 5\\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : le logarithme est une primitive de\n$\\dfrac{1}{x}$, pas de $\\dfrac{1}{x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{5}{3x^3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant traité à l'envers : $\\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$,\ndont l'exposant monte à $-1$, et non à $-3$."
        }
      ],
      "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, l'exposant monte à $-1$ et le\ndiviseur vaut $-1$ : une primitive est $-\\dfrac{1}{x}$. Le facteur\nconstant se conserve tout au long du calcul.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{5}{x^2}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{5}{x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(-\\dfrac{5}{x}\\right)' =\n\\dfrac{5}{x^2}$, car la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut\n$-\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{5}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : en dérivant $\\dfrac{5}{x}$, on trouve\n$-\\dfrac{5}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction voulue."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : le logarithme est une primitive de\n$\\dfrac{1}{x}$, pas de $\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{5}{3x^3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant traité à l'envers : $\\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$,\ndont l'exposant monte à $-1$, et non à $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, l'exposant monte à $-1$ et le\ndiviseur vaut $-1$ : une primitive est $-\\dfrac{1}{x}$. Le facteur\nconstant se conserve tout au long du calcul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{3}{x^2}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{3}{x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(-\\dfrac{3}{x}\\right)' =\n\\dfrac{3}{x^2}$, car la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut\n$-\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{3}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : en dérivant $\\dfrac{3}{x}$, on trouve\n$-\\dfrac{3}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction voulue."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : le logarithme est une primitive de\n$\\dfrac{1}{x}$, pas de $\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{3}{3x^3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant traité à l'envers : $\\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$,\ndont l'exposant monte à $-1$, et non à $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, l'exposant monte à $-1$ et le\ndiviseur vaut $-1$ : une primitive est $-\\dfrac{1}{x}$. Le facteur\nconstant se conserve tout au long du calcul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2}{x^2}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{2}{x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(-\\dfrac{2}{x}\\right)' =\n\\dfrac{2}{x^2}$, car la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut\n$-\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{2}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : en dérivant $\\dfrac{2}{x}$, on trouve\n$-\\dfrac{2}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction voulue."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : le logarithme est une primitive de\n$\\dfrac{1}{x}$, pas de $\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{2}{3x^3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant traité à l'envers : $\\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$,\ndont l'exposant monte à $-1$, et non à $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, l'exposant monte à $-1$ et le\ndiviseur vaut $-1$ : une primitive est $-\\dfrac{1}{x}$. Le facteur\nconstant se conserve tout au long du calcul."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{6}{x^2}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{6}{x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\left(-\\dfrac{6}{x}\\right)' =\n\\dfrac{6}{x^2}$, car la dérivée de $\\dfrac{1}{x}$ vaut\n$-\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{6}{x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe oublié : en dérivant $\\dfrac{6}{x}$, on trouve\n$-\\dfrac{6}{x^2}$, soit l'opposé de la fonction voulue."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 6\\ln x$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion avec $\\dfrac{1}{x}$ : le logarithme est une primitive de\n$\\dfrac{1}{x}$, pas de $\\dfrac{1}{x^2}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{6}{3x^3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Exposant traité à l'envers : $\\dfrac{1}{x^2}$ s'écrit $x^{-2}$,\ndont l'exposant monte à $-1$, et non à $-3$."
            }
          ],
          "explanation": "En écrivant $\\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$, l'exposant monte à $-1$ et le\ndiviseur vaut $-1$ : une primitive est $-\\dfrac{1}{x}$. Le facteur\nconstant se conserve tout au long du calcul."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-sur-u",
        "ajustement"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{ax+b}$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Sur un intervalle où $2x + 1$ reste strictement positif, quelle\nest une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{2x + 1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln(2x + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 2x + 1$, on a $u' = 2$, donc\n$f = \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{2}\\ln u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(2x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajustement oublié : la dérivée de $\\ln(2x + 1)$ vaut\n$\\dfrac{2}{2x + 1}$, soit $2$ fois trop."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\ln(2x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajustement inversé : il faut diviser par $2$, et non multiplier,\npuisque la dérivation fait sortir ce facteur."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{2\\,(2x + 1)^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Forme mal reconnue : $\\dfrac{1}{u}$ se primitive en logarithme, le\ncarré au dénominateur viendrait d'une dérivation."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ se primitive en $\\ln u$ sur un intervalle où\n$u > 0$. Quand $u'$ est une constante $a$, on fabrique cette forme en\nmultipliant par $\\dfrac{1}{a}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur un intervalle où $2x + 1$ reste strictement positif, quelle\nest une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{2x + 1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln(2x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 2x + 1$, on a $u' = 2$, donc\n$f = \\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{2}\\ln u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln(2x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la dérivée de $\\ln(2x + 1)$ vaut\n$\\dfrac{2}{2x + 1}$, soit $2$ fois trop."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\ln(2x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : il faut diviser par $2$, et non multiplier,\npuisque la dérivation fait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{2\\,(2x + 1)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme mal reconnue : $\\dfrac{1}{u}$ se primitive en logarithme, le\ncarré au dénominateur viendrait d'une dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ se primitive en $\\ln u$ sur un intervalle où\n$u > 0$. Quand $u'$ est une constante $a$, on fabrique cette forme en\nmultipliant par $\\dfrac{1}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Sur un intervalle où $3x + 2$ reste strictement positif, quelle\nest une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{3x + 2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{3}\\ln(3x + 2)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x + 2$, on a $u' = 3$, donc\n$f = \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{3}\\ln u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln(3x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la dérivée de $\\ln(3x + 2)$ vaut\n$\\dfrac{3}{3x + 2}$, soit $3$ fois trop."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3\\ln(3x + 2)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : il faut diviser par $3$, et non multiplier,\npuisque la dérivation fait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{3\\,(3x + 2)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme mal reconnue : $\\dfrac{1}{u}$ se primitive en logarithme, le\ncarré au dénominateur viendrait d'une dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ se primitive en $\\ln u$ sur un intervalle où\n$u > 0$. Quand $u'$ est une constante $a$, on fabrique cette forme en\nmultipliant par $\\dfrac{1}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Sur un intervalle où $5x + 3$ reste strictement positif, quelle\nest une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{5x + 3}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{5}\\ln(5x + 3)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 5x + 3$, on a $u' = 5$, donc\n$f = \\dfrac{1}{5} \\times \\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{5}\\ln u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln(5x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la dérivée de $\\ln(5x + 3)$ vaut\n$\\dfrac{5}{5x + 3}$, soit $5$ fois trop."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5\\ln(5x + 3)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : il faut diviser par $5$, et non multiplier,\npuisque la dérivation fait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{5\\,(5x + 3)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme mal reconnue : $\\dfrac{1}{u}$ se primitive en logarithme, le\ncarré au dénominateur viendrait d'une dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ se primitive en $\\ln u$ sur un intervalle où\n$u > 0$. Quand $u'$ est une constante $a$, on fabrique cette forme en\nmultipliant par $\\dfrac{1}{a}$."
        },
        {
          "statement": "Sur un intervalle où $3x + 1$ reste strictement positif, quelle\nest une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{3x + 1}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{3}\\ln(3x + 1)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = 3x + 1$, on a $u' = 3$, donc\n$f = \\dfrac{1}{3} \\times \\dfrac{u'}{u}$, dont une primitive est\n$\\dfrac{1}{3}\\ln u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\ln(3x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement oublié : la dérivée de $\\ln(3x + 1)$ vaut\n$\\dfrac{3}{3x + 1}$, soit $3$ fois trop."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3\\ln(3x + 1)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ajustement inversé : il faut diviser par $3$, et non multiplier,\npuisque la dérivation fait sortir ce facteur."
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{3\\,(3x + 1)^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Forme mal reconnue : $\\dfrac{1}{u}$ se primitive en logarithme, le\ncarré au dénominateur viendrait d'une dérivation."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{u}$ se primitive en $\\ln u$ sur un intervalle où\n$u > 0$. Quand $u'$ est une constante $a$, on fabrique cette forme en\nmultipliant par $\\dfrac{1}{a}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-u-prime-exp-u",
        "exponentielle"
      ],
      "title": "Primitive d'une forme $u'e^u$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 3)\\,e^{x^2 + 3 x}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = e^{x^2 + 3 x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 3 x$, on a $u'(x) =\n2x + 3$, donc $f = u'e^u$, dont une primitive est $e^u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = (x^2 + 3 x)\\,e^{x^2 + 3 x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $u'$ a été primitivé à part : dans la forme $u'e^u$, il\ndisparaît entièrement, il ne devient pas $u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2 + 3 x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient injustifié : en dérivant, ce $2$ resterait en facteur\net donnerait le double de $f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2 + 3 x}}{2x + 3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "On ne divise pas par $u'$ quand celui-ci dépend de $x$ : le\nquotient obtenu ne se dérive pas en $f$."
        }
      ],
      "explanation": "Dès que l'on reconnaît $u'e^u$, une primitive est $e^u$ : le facteur\n$u'$ est exactement ce que la dérivation de $e^u$ ferait apparaître.\nIci $u(x) = x^2 + 3 x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 3)\\,e^{x^2 + 3 x}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2 + 3 x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 3 x$, on a $u'(x) =\n2x + 3$, donc $f = u'e^u$, dont une primitive est $e^u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = (x^2 + 3 x)\\,e^{x^2 + 3 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été primitivé à part : dans la forme $u'e^u$, il\ndisparaît entièrement, il ne devient pas $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2 + 3 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient injustifié : en dérivant, ce $2$ resterait en facteur\net donnerait le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2 + 3 x}}{2x + 3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne divise pas par $u'$ quand celui-ci dépend de $x$ : le\nquotient obtenu ne se dérive pas en $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès que l'on reconnaît $u'e^u$, une primitive est $e^u$ : le facteur\n$u'$ est exactement ce que la dérivation de $e^u$ ferait apparaître.\nIci $u(x) = x^2 + 3 x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x - 2)\\,e^{x^2 - 2 x}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2 - 2 x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 - 2 x$, on a $u'(x) =\n2x - 2$, donc $f = u'e^u$, dont une primitive est $e^u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = (x^2 - 2 x)\\,e^{x^2 - 2 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été primitivé à part : dans la forme $u'e^u$, il\ndisparaît entièrement, il ne devient pas $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2 - 2 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient injustifié : en dérivant, ce $2$ resterait en facteur\net donnerait le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2 - 2 x}}{2x - 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne divise pas par $u'$ quand celui-ci dépend de $x$ : le\nquotient obtenu ne se dérive pas en $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès que l'on reconnaît $u'e^u$, une primitive est $e^u$ : le facteur\n$u'$ est exactement ce que la dérivation de $e^u$ ferait apparaître.\nIci $u(x) = x^2 - 2 x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 5)\\,e^{x^2 + 5 x}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2 + 5 x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 5 x$, on a $u'(x) =\n2x + 5$, donc $f = u'e^u$, dont une primitive est $e^u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = (x^2 + 5 x)\\,e^{x^2 + 5 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été primitivé à part : dans la forme $u'e^u$, il\ndisparaît entièrement, il ne devient pas $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2 + 5 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient injustifié : en dérivant, ce $2$ resterait en facteur\net donnerait le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2 + 5 x}}{2x + 5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne divise pas par $u'$ quand celui-ci dépend de $x$ : le\nquotient obtenu ne se dérive pas en $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès que l'on reconnaît $u'e^u$, une primitive est $e^u$ : le facteur\n$u'$ est exactement ce que la dérivation de $e^u$ ferait apparaître.\nIci $u(x) = x^2 + 5 x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 4)\\,e^{x^2 + 4 x}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2 + 4 x}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 4 x$, on a $u'(x) =\n2x + 4$, donc $f = u'e^u$, dont une primitive est $e^u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = (x^2 + 4 x)\\,e^{x^2 + 4 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $u'$ a été primitivé à part : dans la forme $u'e^u$, il\ndisparaît entièrement, il ne devient pas $u$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2 + 4 x}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient injustifié : en dérivant, ce $2$ resterait en facteur\net donnerait le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2 + 4 x}}{2x + 4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "On ne divise pas par $u'$ quand celui-ci dépend de $x$ : le\nquotient obtenu ne se dérive pas en $f$."
            }
          ],
          "explanation": "Dès que l'on reconnaît $u'e^u$, une primitive est $e^u$ : le facteur\n$u'$ est exactement ce que la dérivation de $e^u$ ferait apparaître.\nIci $u(x) = x^2 + 4 x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "solution-generale",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Retrouver l'équation à partir des solutions",
      "partie": "equations",
      "statement": "Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{-4x}$, où $C$ désigne un réel quelconque. De quelle\néquation s'agit-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = -4y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $y = C\\,e^{-4x}$, on obtient\n$y' = -4C\\,e^{-4x} = -4y$. Le coefficient de $x$ dans\nl'exposant est celui qui multiplie $y$."
        },
        {
          "text": "$y' = 4y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé : ce sont les fonctions $C\\,e^{4x}$ qui résolvent\ncette équation, pas celles de l'énoncé."
        },
        {
          "text": "$y' = -4x$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'inconnue est confondue avec la variable : dans $y' = ay$, c'est\nla fonction $y$ qui figure au second membre."
        },
        {
          "text": "$y' = -\\dfrac{1}{4}y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient inversé : $-\\dfrac{1}{4}$ donnerait les solutions\n$C\\,e^{-\\dfrac{1}{4}x}$, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$ :\nla lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de $x$ dans\nl'exposant étant exactement le $a$ de l'équation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{-4x}$, où $C$ désigne un réel quelconque. De quelle\néquation s'agit-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -4y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $y = C\\,e^{-4x}$, on obtient\n$y' = -4C\\,e^{-4x} = -4y$. Le coefficient de $x$ dans\nl'exposant est celui qui multiplie $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = 4y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : ce sont les fonctions $C\\,e^{4x}$ qui résolvent\ncette équation, pas celles de l'énoncé."
            },
            {
              "text": "$y' = -4x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inconnue est confondue avec la variable : dans $y' = ay$, c'est\nla fonction $y$ qui figure au second membre."
            },
            {
              "text": "$y' = -\\dfrac{1}{4}y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inversé : $-\\dfrac{1}{4}$ donnerait les solutions\n$C\\,e^{-\\dfrac{1}{4}x}$, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$ :\nla lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de $x$ dans\nl'exposant étant exactement le $a$ de l'équation."
        },
        {
          "statement": "Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{7x}$, où $C$ désigne un réel quelconque. De quelle\néquation s'agit-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = 7y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $y = C\\,e^{7x}$, on obtient\n$y' = 7C\\,e^{7x} = 7y$. Le coefficient de $x$ dans\nl'exposant est celui qui multiplie $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = -7y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : ce sont les fonctions $C\\,e^{-7x}$ qui résolvent\ncette équation, pas celles de l'énoncé."
            },
            {
              "text": "$y' = 7x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inconnue est confondue avec la variable : dans $y' = ay$, c'est\nla fonction $y$ qui figure au second membre."
            },
            {
              "text": "$y' = \\dfrac{1}{7}y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inversé : $\\dfrac{1}{7}$ donnerait les solutions\n$C\\,e^{\\dfrac{1}{7}x}$, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$ :\nla lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de $x$ dans\nl'exposant étant exactement le $a$ de l'équation."
        },
        {
          "statement": "Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{-3x}$, où $C$ désigne un réel quelconque. De quelle\néquation s'agit-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -3y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $y = C\\,e^{-3x}$, on obtient\n$y' = -3C\\,e^{-3x} = -3y$. Le coefficient de $x$ dans\nl'exposant est celui qui multiplie $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = 3y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : ce sont les fonctions $C\\,e^{3x}$ qui résolvent\ncette équation, pas celles de l'énoncé."
            },
            {
              "text": "$y' = -3x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inconnue est confondue avec la variable : dans $y' = ay$, c'est\nla fonction $y$ qui figure au second membre."
            },
            {
              "text": "$y' = -\\dfrac{1}{3}y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inversé : $-\\dfrac{1}{3}$ donnerait les solutions\n$C\\,e^{-\\dfrac{1}{3}x}$, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$ :\nla lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de $x$ dans\nl'exposant étant exactement le $a$ de l'équation."
        },
        {
          "statement": "Les solutions d'une équation différentielle sont les fonctions\n$x \\mapsto C\\,e^{-5x}$, où $C$ désigne un réel quelconque. De quelle\néquation s'agit-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$y' = -5y$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en dérivant $y = C\\,e^{-5x}$, on obtient\n$y' = -5C\\,e^{-5x} = -5y$. Le coefficient de $x$ dans\nl'exposant est celui qui multiplie $y$."
            },
            {
              "text": "$y' = 5y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé : ce sont les fonctions $C\\,e^{5x}$ qui résolvent\ncette équation, pas celles de l'énoncé."
            },
            {
              "text": "$y' = -5x$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'inconnue est confondue avec la variable : dans $y' = ay$, c'est\nla fonction $y$ qui figure au second membre."
            },
            {
              "text": "$y' = -\\dfrac{1}{5}y$",
              "correct": false,
              "feedback": "Coefficient inversé : $-\\dfrac{1}{5}$ donnerait les solutions\n$C\\,e^{-\\dfrac{1}{5}x}$, dont l'exposant n'est pas celui de l'énoncé."
            }
          ],
          "explanation": "Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $x \\mapsto C\\,e^{ax}$ :\nla lecture se fait dans les deux sens, le coefficient de $x$ dans\nl'exposant étant exactement le $a$ de l'équation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "solution-equilibre",
        "comportement",
        "decroissance"
      ],
      "title": "Limite des solutions de $y' = ay + b$",
      "partie": "equations",
      "statement": "On considère l'équation différentielle $y' = -2y + 8$. Vers\nquelle valeur les solutions tendent-elles quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les solutions s'écrivent $y = C\\,e^{-2x} + 4$.\nComme $-2 < 0$, le terme exponentiel tend vers $0$ et il reste la\nsolution constante $4$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient\nen résolvant $-2y + 8 = 0$, ce qui donne $4$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce serait la limite pour $y' = -2y$, sans second membre. Le terme\nconstant décale l'équilibre en $4$."
        },
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : l'équation $-2y + 8 = 0$ se résout en\ndivisant par $-2$, ce qui donne $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $a < 0$, les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$C\\,e^{ax} - \\dfrac{b}{a}$ : la partie exponentielle s'efface et la\nlimite est la solution constante, celle qui annule $ay + b$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On considère l'équation différentielle $y' = -2y + 8$. Vers\nquelle valeur les solutions tendent-elles quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions s'écrivent $y = C\\,e^{-2x} + 4$.\nComme $-2 < 0$, le terme exponentiel tend vers $0$ et il reste la\nsolution constante $4$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient\nen résolvant $-2y + 8 = 0$, ce qui donne $4$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce serait la limite pour $y' = -2y$, sans second membre. Le terme\nconstant décale l'équilibre en $4$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : l'équation $-2y + 8 = 0$ se résout en\ndivisant par $-2$, ce qui donne $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a < 0$, les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$C\\,e^{ax} - \\dfrac{b}{a}$ : la partie exponentielle s'efface et la\nlimite est la solution constante, celle qui annule $ay + b$."
        },
        {
          "statement": "On considère l'équation différentielle $y' = -3y + 6$. Vers\nquelle valeur les solutions tendent-elles quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions s'écrivent $y = C\\,e^{-3x} + 2$.\nComme $-3 < 0$, le terme exponentiel tend vers $0$ et il reste la\nsolution constante $2$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient\nen résolvant $-3y + 6 = 0$, ce qui donne $2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce serait la limite pour $y' = -3y$, sans second membre. Le terme\nconstant décale l'équilibre en $2$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : l'équation $-3y + 6 = 0$ se résout en\ndivisant par $-3$, ce qui donne $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a < 0$, les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$C\\,e^{ax} - \\dfrac{b}{a}$ : la partie exponentielle s'efface et la\nlimite est la solution constante, celle qui annule $ay + b$."
        },
        {
          "statement": "On considère l'équation différentielle $y' = -5y - 10$. Vers\nquelle valeur les solutions tendent-elles quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions s'écrivent $y = C\\,e^{-5x} - 2$.\nComme $-5 < 0$, le terme exponentiel tend vers $0$ et il reste la\nsolution constante $-2$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient\nen résolvant $-5y - 10 = 0$, ce qui donne $-2$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce serait la limite pour $y' = -5y$, sans second membre. Le terme\nconstant décale l'équilibre en $-2$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : l'équation $-5y - 10 = 0$ se résout en\ndivisant par $-5$, ce qui donne $-2$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a < 0$, les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$C\\,e^{ax} - \\dfrac{b}{a}$ : la partie exponentielle s'efface et la\nlimite est la solution constante, celle qui annule $ay + b$."
        },
        {
          "statement": "On considère l'équation différentielle $y' = -2y + 6$. Vers\nquelle valeur les solutions tendent-elles quand $x$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les solutions s'écrivent $y = C\\,e^{-2x} + 3$.\nComme $-2 < 0$, le terme exponentiel tend vers $0$ et il reste la\nsolution constante $3$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second membre a été recopié : la solution constante s'obtient\nen résolvant $-2y + 6 = 0$, ce qui donne $3$."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce serait la limite pour $y' = -2y$, sans second membre. Le terme\nconstant décale l'équilibre en $3$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division oubliée : l'équation $-2y + 6 = 0$ se résout en\ndivisant par $-2$, ce qui donne $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $a < 0$, les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent\n$C\\,e^{ax} - \\dfrac{b}{a}$ : la partie exponentielle s'efface et la\nlimite est la solution constante, celle qui annule $ay + b$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "condition-primitive",
        "calcul"
      ],
      "title": "Primitive vérifiant une condition",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ sur $\\mathbb{R}$ qui\nvérifie $F(2) = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = x^3 - 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$. La condition donne\n$8 + C = 5$, donc $C = -3$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3 + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut\nretrancher $8$ à $5$, ce qui donne $C = -3$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3 + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe inversé dans la résolution : de $8 + C = 5$ on tire\n$C = 5 - 8$, soit $-3$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 3x^3 - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le coefficient $3$ a été conservé : une primitive de $3x^2$ est\n$x^3$, puisque $3$ se simplifie avec le nouvel exposant."
        }
      ],
      "explanation": "On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme $F(x) = x^3 + C$,\npuis on remplace $x$ par $2$ et on résout l'équation d'inconnue\n$C$. La condition fixe une primitive et une seule.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ sur $\\mathbb{R}$ qui\nvérifie $F(2) = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = x^3 - 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$. La condition donne\n$8 + C = 5$, donc $C = -3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut\nretrancher $8$ à $5$, ce qui donne $C = -3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé dans la résolution : de $8 + C = 5$ on tire\n$C = 5 - 8$, soit $-3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3 - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ a été conservé : une primitive de $3x^2$ est\n$x^3$, puisque $3$ se simplifie avec le nouvel exposant."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme $F(x) = x^3 + C$,\npuis on remplace $x$ par $2$ et on résout l'équation d'inconnue\n$C$. La condition fixe une primitive et une seule."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ sur $\\mathbb{R}$ qui\nvérifie $F(1) = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$. La condition donne\n$1 + C = 4$, donc $C = 3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut\nretrancher $1$ à $4$, ce qui donne $C = 3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé dans la résolution : de $1 + C = 4$ on tire\n$C = 4 - 1$, soit $3$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3 + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ a été conservé : une primitive de $3x^2$ est\n$x^3$, puisque $3$ se simplifie avec le nouvel exposant."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme $F(x) = x^3 + C$,\npuis on remplace $x$ par $1$ et on résout l'équation d'inconnue\n$C$. La condition fixe une primitive et une seule."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ sur $\\mathbb{R}$ qui\nvérifie $F(3) = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = x^3 - 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$. La condition donne\n$27 + C = 20$, donc $C = -7$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut\nretrancher $27$ à $20$, ce qui donne $C = -7$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé dans la résolution : de $27 + C = 20$ on tire\n$C = 20 - 27$, soit $-7$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3 - 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ a été conservé : une primitive de $3x^2$ est\n$x^3$, puisque $3$ se simplifie avec le nouvel exposant."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme $F(x) = x^3 + C$,\npuis on remplace $x$ par $3$ et on résout l'équation d'inconnue\n$C$. La condition fixe une primitive et une seule."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ sur $\\mathbb{R}$ qui\nvérifie $F(2) = 20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$. La condition donne\n$8 + C = 20$, donc $C = 12$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 + 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été confondue avec la valeur imposée : il faut\nretrancher $8$ à $20$, ce qui donne $C = 12$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^3 - 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Signe inversé dans la résolution : de $8 + C = 20$ on tire\n$C = 20 - 8$, soit $12$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^3 + 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le coefficient $3$ a été conservé : une primitive de $3x^2$ est\n$x^3$, puisque $3$ se simplifie avec le nouvel exposant."
            }
          ],
          "explanation": "On écrit d'abord toutes les primitives sous la forme $F(x) = x^3 + C$,\npuis on remplace $x$ par $2$ et on résout l'équation d'inconnue\n$C$. La condition fixe une primitive et une seule."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "verification",
        "derivee"
      ],
      "title": "Vérifier une primitive du logarithme",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Soit $F(x) = 2x\\ln x - 2x$, définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Que\nvaut $F'(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\ln x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $2x\\ln x$ vaut\n$2\\ln x + 2x \\times \\dfrac{1}{x} = 2\\ln x + 2$, et celle\nde $-2x$ vaut $-2$. Les deux constantes se compensent."
        },
        {
          "text": "$2\\ln x + 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second terme n'a pas été dérivé : $-2x$ apporte $-2$, qui\nannule exactement le $+2$ venant du produit."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{x} - 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer\n$(uv)' = u'v + uv'$ à $2x \\times \\ln x$."
        },
        {
          "text": "$2\\ln x - 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte\n$+2$ et le second terme $-2$, leur somme est nulle."
        }
      ],
      "explanation": "On dérive le produit $2x \\times \\ln x$ avec\n$(uv)' = u'v + uv'$, puis le terme $-2x$. Le résultat $2\\ln x$\nmontre au passage que $x\\ln x - x$ est une primitive de $\\ln$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $F(x) = 2x\\ln x - 2x$, définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Que\nvaut $F'(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $2x\\ln x$ vaut\n$2\\ln x + 2x \\times \\dfrac{1}{x} = 2\\ln x + 2$, et celle\nde $-2x$ vaut $-2$. Les deux constantes se compensent."
            },
            {
              "text": "$2\\ln x + 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme n'a pas été dérivé : $-2x$ apporte $-2$, qui\nannule exactement le $+2$ venant du produit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{x} - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer\n$(uv)' = u'v + uv'$ à $2x \\times \\ln x$."
            },
            {
              "text": "$2\\ln x - 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte\n$+2$ et le second terme $-2$, leur somme est nulle."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive le produit $2x \\times \\ln x$ avec\n$(uv)' = u'v + uv'$, puis le terme $-2x$. Le résultat $2\\ln x$\nmontre au passage que $x\\ln x - x$ est une primitive de $\\ln$."
        },
        {
          "statement": "Soit $F(x) = 3x\\ln x - 3x$, définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Que\nvaut $F'(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $3x\\ln x$ vaut\n$3\\ln x + 3x \\times \\dfrac{1}{x} = 3\\ln x + 3$, et celle\nde $-3x$ vaut $-3$. Les deux constantes se compensent."
            },
            {
              "text": "$3\\ln x + 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme n'a pas été dérivé : $-3x$ apporte $-3$, qui\nannule exactement le $+3$ venant du produit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{x} - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer\n$(uv)' = u'v + uv'$ à $3x \\times \\ln x$."
            },
            {
              "text": "$3\\ln x - 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte\n$+3$ et le second terme $-3$, leur somme est nulle."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive le produit $3x \\times \\ln x$ avec\n$(uv)' = u'v + uv'$, puis le terme $-3x$. Le résultat $3\\ln x$\nmontre au passage que $x\\ln x - x$ est une primitive de $\\ln$."
        },
        {
          "statement": "Soit $F(x) = 5x\\ln x - 5x$, définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Que\nvaut $F'(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $5x\\ln x$ vaut\n$5\\ln x + 5x \\times \\dfrac{1}{x} = 5\\ln x + 5$, et celle\nde $-5x$ vaut $-5$. Les deux constantes se compensent."
            },
            {
              "text": "$5\\ln x + 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme n'a pas été dérivé : $-5x$ apporte $-5$, qui\nannule exactement le $+5$ venant du produit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{x} - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer\n$(uv)' = u'v + uv'$ à $5x \\times \\ln x$."
            },
            {
              "text": "$5\\ln x - 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte\n$+5$ et le second terme $-5$, leur somme est nulle."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive le produit $5x \\times \\ln x$ avec\n$(uv)' = u'v + uv'$, puis le terme $-5x$. Le résultat $5\\ln x$\nmontre au passage que $x\\ln x - x$ est une primitive de $\\ln$."
        },
        {
          "statement": "Soit $F(x) = 4x\\ln x - 4x$, définie sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Que\nvaut $F'(x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4\\ln x$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $4x\\ln x$ vaut\n$4\\ln x + 4x \\times \\dfrac{1}{x} = 4\\ln x + 4$, et celle\nde $-4x$ vaut $-4$. Les deux constantes se compensent."
            },
            {
              "text": "$4\\ln x + 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second terme n'a pas été dérivé : $-4x$ apporte $-4$, qui\nannule exactement le $+4$ venant du produit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{x} - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le produit a été dérivé facteur par facteur : il faut appliquer\n$(uv)' = u'v + uv'$ à $4x \\times \\ln x$."
            },
            {
              "text": "$4\\ln x - 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La constante a été retranchée deux fois : le produit apporte\n$+4$ et le second terme $-4$, leur somme est nulle."
            }
          ],
          "explanation": "On dérive le produit $4x \\times \\ln x$ avec\n$(uv)' = u'v + uv'$, puis le terme $-4x$. Le résultat $4\\ln x$\nmontre au passage que $x\\ln x - x$ est une primitive de $\\ln$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racine",
        "forme-composee"
      ],
      "title": "Primitive d'une forme $\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{\\sqrt{x^2 + 1}}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\sqrt{x^2 + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 1$, on a $u' = 2x$ et\n$f = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\\sqrt{u}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\sqrt{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur $2$ en trop : en dérivant, on obtiendrait\n$\\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2 + 1}}$, soit le double de $f$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{\\sqrt{x^2 + 1}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division de trop : le $2$ du dénominateur de\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ est déjà pris en compte par la forme."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2\\sqrt{x^2 + 1}}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le\nfacteur $u'$ disparaît, il ne devient pas $\\dfrac{u}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ se primitive en $\\sqrt{u}$, là où\n$u > 0$. Ici $u' = 2x$ et le $2$ manquant est justement celui du\ndénominateur de la forme de référence.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{\\sqrt{x^2 + 1}}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\sqrt{x^2 + 1}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 1$, on a $u' = 2x$ et\n$f = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\\sqrt{u}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\sqrt{x^2 + 1}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ en trop : en dérivant, on obtiendrait\n$\\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2 + 1}}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\sqrt{x^2 + 1}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le $2$ du dénominateur de\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ est déjà pris en compte par la forme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2\\sqrt{x^2 + 1}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le\nfacteur $u'$ disparaît, il ne devient pas $\\dfrac{u}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ se primitive en $\\sqrt{u}$, là où\n$u > 0$. Ici $u' = 2x$ et le $2$ manquant est justement celui du\ndénominateur de la forme de référence."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{\\sqrt{x^2 + 4}}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\sqrt{x^2 + 4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 4$, on a $u' = 2x$ et\n$f = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\\sqrt{u}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\sqrt{x^2 + 4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ en trop : en dérivant, on obtiendrait\n$\\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2 + 4}}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\sqrt{x^2 + 4}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le $2$ du dénominateur de\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ est déjà pris en compte par la forme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2\\sqrt{x^2 + 4}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le\nfacteur $u'$ disparaît, il ne devient pas $\\dfrac{u}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ se primitive en $\\sqrt{u}$, là où\n$u > 0$. Ici $u' = 2x$ et le $2$ manquant est justement celui du\ndénominateur de la forme de référence."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{\\sqrt{x^2 + 9}}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\sqrt{x^2 + 9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 9$, on a $u' = 2x$ et\n$f = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\\sqrt{u}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\sqrt{x^2 + 9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ en trop : en dérivant, on obtiendrait\n$\\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2 + 9}}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\sqrt{x^2 + 9}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le $2$ du dénominateur de\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ est déjà pris en compte par la forme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2\\sqrt{x^2 + 9}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le\nfacteur $u'$ disparaît, il ne devient pas $\\dfrac{u}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ se primitive en $\\sqrt{u}$, là où\n$u > 0$. Ici $u' = 2x$ et le $2$ manquant est justement celui du\ndénominateur de la forme de référence."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{x}{\\sqrt{x^2 + 2}}$ sur\n$\\mathbb{R}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\sqrt{x^2 + 2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 2$, on a $u' = 2x$ et\n$f = \\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$, dont une primitive est $\\sqrt{u}$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\sqrt{x^2 + 2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Facteur $2$ en trop : en dérivant, on obtiendrait\n$\\dfrac{2x}{\\sqrt{x^2 + 2}}$, soit le double de $f$."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{\\sqrt{x^2 + 2}}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Division de trop : le $2$ du dénominateur de\n$\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ est déjà pris en compte par la forme."
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2\\sqrt{x^2 + 2}}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur a été primitivé à part : dans une forme composée, le\nfacteur $u'$ disparaît, il ne devient pas $\\dfrac{u}{2}$."
            }
          ],
          "explanation": "La forme $\\dfrac{u'}{2\\sqrt{u}}$ se primitive en $\\sqrt{u}$, là où\n$u > 0$. Ici $u' = 2x$ et le $2$ manquant est justement celui du\ndénominateur de la forme de référence."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "forme-u-prime-un",
        "forme-u-prime-u-n"
      ],
      "title": "Reconnaître une forme $u'u^n$",
      "partie": "formes",
      "statement": "Pour déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2\\,(x^3 + 5)^4$, quelle\nforme reconnaît-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$u'u^4$ avec $u(x) = x^3 + 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u(x) = x^3 + 5$ a pour dérivée $3x^2$, qui est\nexactement le facteur placé devant. Une primitive est donc\n$\\dfrac{u^5}{5}$."
        },
        {
          "text": "$u'u^4$ avec $u(x) = 3x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les rôles sont échangés : c'est $x^3 + 5$ qui est élevé à la\npuissance $4$, et $3x^2$ qui joue le rôle de $u'$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^3 + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Il n'y a aucun quotient ici : la puissance $4$ est au numérateur,\nla forme du logarithme ne s'applique pas."
        },
        {
          "text": "$u^4$ seule, sans le facteur $u'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $3x^2$ est indispensable : sans lui, la forme $u^4$\nseule ne se primitive pas avec les outils du programme."
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître $u'u^n$ consiste à repérer une expression élevée à une\npuissance, puis à vérifier que le facteur restant est bien sa dérivée.\nUne primitive est alors $\\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "definition",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Primitive et sens de variation",
      "partie": "primitives",
      "statement": "Soit $F$ une primitive sur $\\mathbb{R}$ d'une fonction $f$ continue et\nstrictement positive sur $[0\\,;\\,3]$. Que peut-on dire de $F$ sur\n$[0\\,;\\,3]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F$ y est strictement croissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par définition $F' = f$, et $f$ y est strictement\npositive. Une dérivée strictement positive sur un intervalle\nimpose la stricte croissance."
        },
        {
          "text": "$F$ y est strictement positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre $F$ et sa dérivée : c'est $f = F'$ qui est\npositive. La primitive $F(x) = x^2 - 100$ de $2x$ le montre."
        },
        {
          "text": "$F$ y est strictement décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : une dérivée positive donne une fonction croissante,\nla décroissance correspondrait à $f < 0$."
        },
        {
          "text": "$F$ y est constante sur tout l'intervalle",
          "correct": false,
          "feedback": "Une fonction constante a une dérivée nulle, ce qui contredirait la\nstricte positivité de $f$ sur $[0\\,;\\,3]$."
        }
      ],
      "explanation": "Puisque $F' = f$, le signe de $f$ se lit directement comme le sens de\nvariation de $F$. C'est cette lecture qui relie les primitives à\nl'étude des fonctions."
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege-produit",
        "verification"
      ],
      "title": "Primitiver un produit facteur par facteur",
      "partie": "primitives",
      "statement": "La fonction $G(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\,e^x$ est-elle une primitive de\n$f(x) = x\\,e^x$ sur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : $G'(x) = xe^x + \\dfrac{x^2}{2}e^x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée d'un produit comporte deux termes, et\nseul le premier vaut $f(x)$. Le second terme subsiste, donc $G$\nn'est pas une primitive de $f$."
        },
        {
          "text": "Oui : on primitive chaque facteur séparément",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette règle n'existe pas : la primitivation ne se distribue pas\nsur un produit, exactement comme la dérivation ne s'y distribue\npas."
        },
        {
          "text": "Oui, à une constante additive près",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart entre $G'$ et $f$ n'est pas une constante : il vaut\n$\\dfrac{x^2}{2}e^x$, qui dépend de $x$."
        },
        {
          "text": "Non, mais $G$ convient sur $]0\\,;\\,+\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'intervalle n'y change rien : le calcul de $G'$ est le même\npartout et laisse toujours un terme excédentaire."
        }
      ],
      "explanation": "Il n'existe pas de règle donnant la primitive d'un produit à partir de\ncelles des facteurs. Le seul réflexe sûr consiste à dériver la\nfonction proposée et à comparer au résultat attendu."
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "second-membre",
        "solution-particuliere"
      ],
      "title": "Méthode pour $y' = ay + b$",
      "partie": "equations",
      "statement": "Soit $a$ un réel non nul. Comment obtient-on toutes les solutions de\nl'équation différentielle $y' = ay + b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "En ajoutant à $Ce^{ax}$ la constante $-\\dfrac{b}{a}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la fonction constante $-\\dfrac{b}{a}$ est une\nsolution particulière, et on lui ajoute les solutions\n$Ce^{ax}$ de l'équation sans second membre."
        },
        {
          "text": "En ajoutant à $Ce^{ax}$ le second membre $b$ tout entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second membre ne s'ajoute pas tel quel : la constante cherchée\nannule $ay + b$, elle vaut donc $-\\dfrac{b}{a}$."
        },
        {
          "text": "En multipliant $Ce^{ax}$ par la constante $-\\dfrac{b}{a}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une multiplication ne ferait que changer le nom de la constante\n$C$ : le décalage dû à $b$ est additif."
        },
        {
          "text": "En remplaçant $a$ par $a + b$ dans l'écriture $Ce^{ax}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second membre ne modifie pas l'exposant : celui-ci reste $ax$,\nseul un terme constant vient s'ajouter."
        }
      ],
      "explanation": "Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent $x \\mapsto Ce^{ax} +\nk$, où $k = -\\dfrac{b}{a}$ est la solution constante. On additionne\nune solution particulière et les solutions de $y' = ay$."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "verification-solution",
        "unicite-solution"
      ],
      "title": "Contrôler une solution proposée",
      "partie": "equations",
      "statement": "On cherche la solution de $y' = -y + 3$ qui vérifie $y(0) = 5$. Un\nélève propose $f(x) = 2e^{-x} + 3$. Sa proposition convient-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : $f$ vérifie l'équation et $f(0) = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = -2e^{-x}$ et $-f(x) + 3 = -2e^{-x}$, donc\nl'équation est vérifiée ; de plus $f(0) = 2 + 3 = 5$. La solution\nétant unique, c'est bien celle qui est cherchée."
        },
        {
          "text": "Non : il faudrait $f(x) = 5e^{-x} + 3$ pour cela",
          "correct": false,
          "feedback": "La constante ne se lit pas directement : la condition s'écrit\n$C + 3 = 5$, ce qui donne $C = 2$ et non $C = 5$."
        },
        {
          "text": "Non : les solutions de cette équation sont les $Ce^{-x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second membre a été oublié : il décale toutes les solutions de\nla constante $3$, qui est la solution d'équilibre."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans résoudre l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Une vérification suffit : il suffit de dériver la fonction\nproposée et de comparer, puis de contrôler la valeur en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Vérifier une solution demande deux contrôles : la fonction satisfait\nl'équation, et elle prend la valeur imposée au point donné. Comme la\nsolution d'un tel problème est unique, ces deux contrôles suffisent."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formes",
        "exponentielle",
        "u-prime-e-u"
      ],
      "title": "Primitive d'une exponentielle de carré",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = 1x\\,e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f$ est de la forme $\\dfrac{1}{2}\\,u'e^{u}$\navec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; une primitive est\n$\\dfrac{1}{2}e^{u}$.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en dérivant, on obtient $21x\\,e^{x^2}$, le double\nde $f$.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : intégrer le facteur $x$ séparément n'a pas de sens ; il\nfait partie de $u'$.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Reconnaître $u'e^u$ : la primitive est $e^u$, au coefficient près\nqu'il faut ajuster en dérivant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = 1x\\,e^{x^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ est de la forme $\\dfrac{1}{2}\\,u'e^{u}$\navec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; une primitive est\n$\\dfrac{1}{2}e^{u}$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en dérivant, on obtient $21x\\,e^{x^2}$, le double\nde $f$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : intégrer le facteur $x$ séparément n'a pas de sens ; il\nfait partie de $u'$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Reconnaître $u'e^u$ : la primitive est $e^u$, au coefficient près\nqu'il faut ajuster en dérivant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = 2x\\,e^{x^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ est de la forme $\\dfrac{2}{2}\\,u'e^{u}$\navec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; une primitive est\n$\\dfrac{2}{2}e^{u}$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en dérivant, on obtient $22x\\,e^{x^2}$, le double\nde $f$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = x^2 e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : intégrer le facteur $x$ séparément n'a pas de sens ; il\nfait partie de $u'$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Reconnaître $u'e^u$ : la primitive est $e^u$, au coefficient près\nqu'il faut ajuster en dérivant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = 4x\\,e^{x^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 2e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ est de la forme $\\dfrac{4}{2}\\,u'e^{u}$\navec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; une primitive est\n$\\dfrac{4}{2}e^{u}$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en dérivant, on obtient $24x\\,e^{x^2}$, le double\nde $f$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2x^2 e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : intégrer le facteur $x$ séparément n'a pas de sens ; il\nfait partie de $u'$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Reconnaître $u'e^u$ : la primitive est $e^u$, au coefficient près\nqu'il faut ajuster en dérivant."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = 6x\\,e^{x^2}$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = 3e^{x^2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $f$ est de la forme $\\dfrac{6}{2}\\,u'e^{u}$\navec $u(x) = x^2$ et $u'(x) = 2x$ ; une primitive est\n$\\dfrac{6}{2}e^{u}$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 6e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : en dérivant, on obtient $26x\\,e^{x^2}$, le double\nde $f$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3x^2 e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : intégrer le facteur $x$ séparément n'a pas de sens ; il\nfait partie de $u'$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{3}{2}e^{x^2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le coefficient est faux ; dérivez pour vérifier.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Reconnaître $u'e^u$ : la primitive est $e^u$, au coefficient près\nqu'il faut ajuster en dérivant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formes",
        "cosinus",
        "affine"
      ],
      "title": "Primitive d'un cosinus d'argument affine",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin(2x)$ est\n$2\\cos(2x)$ ; on divise par $2$ pour compenser.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sa dérivée est $2\\cos(2x)$, pas $\\cos(2x)$.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut **diviser** par $2$, pas multiplier.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe est celui de la primitive de $\\sin$, pas de\n$\\cos$ ; $(\\sin)' = \\cos$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de $\\cos(ax + b)$ : $\\dfrac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ; dériver\npermet toujours de contrôler le coefficient.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = \\cos(2x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin(2x)$ est\n$2\\cos(2x)$ ; on divise par $2$ pour compenser.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\sin(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sa dérivée est $2\\cos(2x)$, pas $\\cos(2x)$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 2\\sin(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut **diviser** par $2$, pas multiplier.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{2}\\sin(2x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe est celui de la primitive de $\\sin$, pas de\n$\\cos$ ; $(\\sin)' = \\cos$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Primitive de $\\cos(ax + b)$ : $\\dfrac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ; dériver\npermet toujours de contrôler le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = \\cos(3x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{3}\\sin(3x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin(3x)$ est\n$3\\cos(3x)$ ; on divise par $3$ pour compenser.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\sin(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sa dérivée est $3\\cos(3x)$, pas $\\cos(3x)$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 3\\sin(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut **diviser** par $3$, pas multiplier.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{3}\\sin(3x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe est celui de la primitive de $\\sin$, pas de\n$\\cos$ ; $(\\sin)' = \\cos$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Primitive de $\\cos(ax + b)$ : $\\dfrac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ; dériver\npermet toujours de contrôler le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = \\cos(5x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{5}\\sin(5x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin(5x)$ est\n$5\\cos(5x)$ ; on divise par $5$ pour compenser.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\sin(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sa dérivée est $5\\cos(5x)$, pas $\\cos(5x)$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 5\\sin(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut **diviser** par $5$, pas multiplier.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{5}\\sin(5x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe est celui de la primitive de $\\sin$, pas de\n$\\cos$ ; $(\\sin)' = \\cos$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Primitive de $\\cos(ax + b)$ : $\\dfrac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ; dériver\npermet toujours de contrôler le coefficient."
        },
        {
          "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = \\cos(4x)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{4}\\sin(4x)$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la dérivée de $\\sin(4x)$ est\n$4\\cos(4x)$ ; on divise par $4$ pour compenser.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = \\sin(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : sa dérivée est $4\\cos(4x)$, pas $\\cos(4x)$.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = 4\\sin(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il faut **diviser** par $4$, pas multiplier.\n"
            },
            {
              "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{4}\\sin(4x)$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le signe est celui de la primitive de $\\sin$, pas de\n$\\cos$ ; $(\\sin)' = \\cos$.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Primitive de $\\cos(ax + b)$ : $\\dfrac{1}{a}\\sin(ax + b)$ ; dériver\npermet toujours de contrôler le coefficient."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "formes",
        "logarithme",
        "u-prime-sur-u"
      ],
      "title": "Primitive d'un quotient de la forme u' sur u",
      "partie": "formes",
      "statement": "Quelle est une primitive sur $\\mathbb{R}$ de $f(x) = \\dfrac{x}\n{x^2 + 1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2}\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 1 > 0$, $u'(x) = 2x$ et\n$f = \\dfrac{1}{2}\\,\\dfrac{u'}{u}$ ; une primitive est\n$\\dfrac{1}{2}\\ln u$.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sa dérivée est $\\dfrac{2x}{x^2 + 1}$, le double de $f$.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne peut pas intégrer le numérateur et le\ndénominateur séparément.\n"
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{2x}\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le facteur $\\dfrac{1}{2}$ est une constante, pas\n$\\dfrac{1}{2x}$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Forme $\\dfrac{u'}{u}$ avec $u > 0$ : primitive $\\ln u$, le\ncoefficient se règle en dérivant."
    }
  ]
}