{ "chapter": { "id": "representations-parametriques-equations", "level": "terminale-specialite", "theme": "Algèbre et géométrie", "title": "Représentations paramétriques et équations cartésiennes", "description": "Représentation paramétrique d'une droite de l'espace, équation\ncartésienne d'un plan ($ax + by + cz + d = 0$, vecteur normal),\nappartenance d'un point, intersection droite-plan, positions\nrelatives de deux plans, projeté orthogonal par le calcul.", "parties": [ { "id": "parametriques", "title": "Représentations paramétriques de droites" }, { "id": "plans", "title": "Équations cartésiennes de plans" }, { "id": "positions", "title": "Positions relatives et intersections" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "parametrique", "droite" ], "title": "Écrire une représentation paramétrique", "partie": "parametriques", "statement": "Quelle est une représentation paramétrique de la droite\npassant par $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et de vecteur directeur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$ ?", "options": [ { "text": "$x = 1 + 2t$, $\\; y = 2 - t$, $\\; z = 3$ ($t$ réel)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : point de départ $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ +\n$t$ fois la direction $(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$. La coordonnée\n$z$ reste constante car la direction n'a pas de composante\nverticale." }, { "text": "$x = 2 + t$, $\\; y = -1 + 2t$, $\\; z = 3t$", "correct": false, "feedback": "Point et vecteur échangés : les constantes doivent être\nles coordonnées du **point** $A$, et les coefficients de\n$t$ celles du **vecteur** directeur." }, { "text": "$x = 1 + 2t$, $\\; y = 2 + t$, $\\; z = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : la deuxième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $-1$, donc $y = 2 - t$." }, { "text": "$x = 1 + 2t$, $\\; y = 2 - t$, $\\; z = 3 + t$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la troisième coordonnée de $\\vec{u}$ est $0$ :\n$z$ ne dépend pas de $t$ et reste égale à $3$." } ], "explanation": "Représentation paramétrique de la droite $(A\\,;\\,\\vec{u})$ :\n$\\begin{cases} x = x_A + t\\,a \\\\ y = y_A + t\\,b \\\\\nz = z_A + t\\,c \\end{cases}$ où $\\vec{u}(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ et\n$t$ parcourt $\\mathbb{R}$." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "plan", "vecteur-normal", "parallelisme" ], "title": "Reconnaître un plan parallèle", "partie": "plans", "statement": "Lequel de ces plans est parallèle au plan d'équation\n$2x - 3y + z - 5 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$4x - 6y + 2z + 1 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : son vecteur normal $(4\\,;\\,-6\\,;\\,2)$ est\ncolinéaire à $(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$." }, { "text": "$2x + 3y + z - 5 = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3\\,;\\,1)$ n'est pas colinéaire à\n$(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$." }, { "text": "$x - 3y + 2z - 5 = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : garder le même terme constant ne suffit pas ; ce sont\nles vecteurs normaux qui doivent être colinéaires." }, { "text": "$-3x + 2y + z = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : des coefficients permutés donnent un autre vecteur\nnormal." } ], "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs\nnormaux sont colinéaires." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "parametrique", "point" ], "title": "Point d'une droite paramétrée", "partie": "parametriques", "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.\nQuel point obtient-on pour $t = 2$ ?", "options": [ { "text": "$(5\\,;\\,0\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x = 1 + 4 = 5$, $y = 2 - 2 = 0$,\n$z = 3$." }, { "text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as calculé $t\\,\\vec{u} = (4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$ en\noubliant d'ajouter le point de départ $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$." }, { "text": "$(3\\,;\\,1\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,\non avance deux fois plus loin : $(5\\,;\\,0\\,;\\,3)$." }, { "text": "$(5\\,;\\,4\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $y$ : $y = 2 - t = 2 - 2 = 0$, pas\n$2 + 2$." } ], "explanation": "Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :\npour $t = 2$, $(1 + 4\\,;\\,2 - 2\\,;\\,3) = (5\\,;\\,0\\,;\\,3)$.\nInversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à\nchercher un $t$ commun aux trois équations.", "variants": [ { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.\nQuel point obtient-on pour $t = 2$ ?", "options": [ { "text": "$(5\\,;\\,0\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x = 1 + 4 = 5$, $y = 2 - 2 = 0$,\n$z = 3$." }, { "text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as calculé $t\\,\\vec{u} = (4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$ en\noubliant d'ajouter le point de départ $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$." }, { "text": "$(3\\,;\\,1\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,\non avance deux fois plus loin : $(5\\,;\\,0\\,;\\,3)$." }, { "text": "$(5\\,;\\,4\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $y$ : $y = 2 - t = 2 - 2 = 0$, pas\n$2 + 2$." } ], "explanation": "Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :\npour $t = 2$, $(1 + 4\\,;\\,2 - 2\\,;\\,3) = (5\\,;\\,0\\,;\\,3)$.\nInversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à\nchercher un $t$ commun aux trois équations." }, { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 3 + 3t$, $y = 5 - t$, $z = 2$.\nQuel point obtient-on pour $t = 2$ ?", "options": [ { "text": "$(9\\,;\\,3\\,;\\,2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x = 3 + 6 = 9$, $y = 5 - 2 = 3$,\n$z = 2$." }, { "text": "$(6\\,;\\,-2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as calculé $t\\,\\vec{u} = (6\\,;\\,-2\\,;\\,0)$ en\noubliant d'ajouter le point de départ $(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$." }, { "text": "$(6\\,;\\,4\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,\non avance deux fois plus loin : $(9\\,;\\,3\\,;\\,2)$." }, { "text": "$(9\\,;\\,7\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $y$ : $y = 5 - t = 5 - 2 = 3$, pas\n$5 + 2$." } ], "explanation": "Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :\npour $t = 2$, $(3 + 6\\,;\\,5 - 2\\,;\\,2) = (9\\,;\\,3\\,;\\,2)$.\nInversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à\nchercher un $t$ commun aux trois équations." }, { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 2 + 4t$, $y = 1 - t$, $z = 5$.\nQuel point obtient-on pour $t = 2$ ?", "options": [ { "text": "$(10\\,;\\,-1\\,;\\,5)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x = 2 + 8 = 10$, $y = 1 - 2 = -1$,\n$z = 5$." }, { "text": "$(8\\,;\\,-2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as calculé $t\\,\\vec{u} = (8\\,;\\,-2\\,;\\,0)$ en\noubliant d'ajouter le point de départ $(2\\,;\\,1\\,;\\,5)$." }, { "text": "$(6\\,;\\,0\\,;\\,5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,\non avance deux fois plus loin : $(10\\,;\\,-1\\,;\\,5)$." }, { "text": "$(10\\,;\\,3\\,;\\,5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $y$ : $y = 1 - t = 1 - 2 = -1$, pas\n$1 + 2$." } ], "explanation": "Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :\npour $t = 2$, $(2 + 8\\,;\\,1 - 2\\,;\\,5) = (10\\,;\\,-1\\,;\\,5)$.\nInversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à\nchercher un $t$ commun aux trois équations." }, { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 4 + 2t$, $y = 6 - t$, $z = 1$.\nQuel point obtient-on pour $t = 2$ ?", "options": [ { "text": "$(8\\,;\\,4\\,;\\,1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x = 4 + 4 = 8$, $y = 6 - 2 = 4$,\n$z = 1$." }, { "text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as calculé $t\\,\\vec{u} = (4\\,;\\,-2\\,;\\,0)$ en\noubliant d'ajouter le point de départ $(4\\,;\\,6\\,;\\,1)$." }, { "text": "$(6\\,;\\,5\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point obtenu pour $t = 1$. Pour $t = 2$,\non avance deux fois plus loin : $(8\\,;\\,4\\,;\\,1)$." }, { "text": "$(8\\,;\\,8\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $y$ : $y = 6 - t = 6 - 2 = 4$, pas\n$6 + 2$." } ], "explanation": "Chaque valeur du paramètre $t$ produit un point de la droite :\npour $t = 2$, $(4 + 4\\,;\\,6 - 2\\,;\\,1) = (8\\,;\\,4\\,;\\,1)$.\nInversement, vérifier qu'un point est sur la droite revient à\nchercher un $t$ commun aux trois équations." } ] }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "plan", "appartenance" ], "title": "Appartenance à un plan", "partie": "plans", "statement": "Soit $\\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$.\nLequel de ces points appartient à $\\mathcal{P}$ ?", "options": [ { "text": "$(1\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2(1) - 3(-1) + 0 - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ :\nl'équation est vérifiée." }, { "text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 - 3 + 0 - 5 = -6 \\neq 0$. Attention au signe\ndu produit $-3y$." }, { "text": "$(2\\,;\\,0\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4 - 0 + 0 - 5 = -1 \\neq 0$ : le point est tout\nprès du plan, mais pas dessus." }, { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Piège : $(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$ sont les coordonnées du vecteur\n**normal**, pas d'un point du plan. Vérification :\n$4 + 9 + 1 - 5 = 9 \\neq 0$." } ], "explanation": "Un point appartient au plan si ses coordonnées **vérifient\nl'équation**. Seul $(1\\,;\\,-1\\,;\\,0)$ donne\n$2 + 3 + 0 - 5 = 0$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "parametrique", "vecteur-directeur" ], "title": "Direction d'une droite paramétrée", "partie": "parametriques", "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.\nQuel vecteur dirige $d$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois\néquations donnent la direction : $(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ sont les termes constants,\nc'est-à-dire le **point** obtenu pour $t = 0$, pas la\ndirection." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $3$ de $z = 3$ est une constante ($z$ ne bouge\npas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $0$." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$\npour $t$." } ], "explanation": "Dans une représentation paramétrique, les **constantes**\nforment un point de la droite et les **coefficients de $t$** un\nvecteur directeur. Ici : $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$.", "variants": [ { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.\nQuel vecteur dirige $d$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois\néquations donnent la direction : $(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ sont les termes constants,\nc'est-à-dire le **point** obtenu pour $t = 0$, pas la\ndirection." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $3$ de $z = 3$ est une constante ($z$ ne bouge\npas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $0$." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$\npour $t$." } ], "explanation": "Dans une représentation paramétrique, les **constantes**\nforment un point de la droite et les **coefficients de $t$** un\nvecteur directeur. Ici : $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 3 + 3t$, $y = 5 - t$, $z = 2$.\nQuel vecteur dirige $d$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois\néquations donnent la direction : $(3\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$ sont les termes constants,\nc'est-à-dire le **point** obtenu pour $t = 0$, pas la\ndirection." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,-1\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $2$ de $z = 2$ est une constante ($z$ ne bouge\npas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $0$." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$\npour $t$." } ], "explanation": "Dans une représentation paramétrique, les **constantes**\nforment un point de la droite et les **coefficients de $t$** un\nvecteur directeur. Ici : $A(3\\,;\\,5\\,;\\,2)$ et\n$\\vec{u}(3\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 2 + 4t$, $y = 1 - t$, $z = 5$.\nQuel vecteur dirige $d$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois\néquations donnent la direction : $(4\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,1\\,;\\,5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,1\\,;\\,5)$ sont les termes constants,\nc'est-à-dire le **point** obtenu pour $t = 0$, pas la\ndirection." }, { "text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,-1\\,;\\,5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $5$ de $z = 5$ est une constante ($z$ ne bouge\npas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $0$." }, { "text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$\npour $t$." } ], "explanation": "Dans une représentation paramétrique, les **constantes**\nforment un point de la droite et les **coefficients de $t$** un\nvecteur directeur. Ici : $A(2\\,;\\,1\\,;\\,5)$ et\n$\\vec{u}(4\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 4 + 5t$, $y = 6 - t$, $z = 1$.\nQuel vecteur dirige $d$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $t$ dans les trois\néquations donnent la direction : $(5\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." }, { "text": "$\\vec{u}(4\\,;\\,6\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(4\\,;\\,6\\,;\\,1)$ sont les termes constants,\nc'est-à-dire le **point** obtenu pour $t = 0$, pas la\ndirection." }, { "text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,-1\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $1$ de $z = 1$ est une constante ($z$ ne bouge\npas avec $t$) : la troisième coordonnée du vecteur\ndirecteur est $0$." }, { "text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $y = 2 - t$ donne un coefficient $-1$\npour $t$." } ], "explanation": "Dans une représentation paramétrique, les **constantes**\nforment un point de la droite et les **coefficients de $t$** un\nvecteur directeur. Ici : $A(4\\,;\\,6\\,;\\,1)$ et\n$\\vec{u}(5\\,;\\,-1\\,;\\,0)$." } ] }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "plan", "equation" ], "title": "Équation d'un plan par point et normal", "partie": "plans", "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et de vecteur normal\n$\\vec{n}(3\\,;\\,1\\,;\\,-2)$ ?", "options": [ { "text": "$3x + y - 2z + 1 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $3x + y - 2z + d = 0$ ; en\nimposant le passage par $A$ : $3 + 0 - 4 + d = 0$, donc\n$d = 1$." }, { "text": "$3x + y - 2z - 1 = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $d$ : en substituant $A$, on trouve\n$3 - 4 + d = 0$, soit $d = +1$. Vérifie toujours en\nréinjectant le point." }, { "text": "$x + 2z - 3 = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les coefficients de l'équation doivent être les\ncoordonnées du **normal** $(3\\,;\\,1\\,;\\,-2)$. Ici tu as\nutilisé les coordonnées du point $A$." }, { "text": "$3x + y - 2z = 0$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : ce plan a le bon vecteur normal mais passe par\nl'origine, pas par $A$ (vérifie : $3 + 0 - 4 = -1 \\neq\n0$). Le terme constant $d = 1$ manque." } ], "explanation": "Méthode : partir de $ax + by + cz + d = 0$ avec\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c) = \\vec{n}$, puis déterminer $d$ en écrivant\nque les coordonnées de $A$ vérifient l'équation :\n$3(1) + 1(0) - 2(2) + d = 0 \\Rightarrow d = 1$." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "droite-plan", "parallelisme" ], "title": "Droite parallèle à un plan", "partie": "positions", "statement": "Soit une droite $d$ de vecteur directeur $\\vec{u}$ et un plan\n$\\mathcal{P}$ de vecteur normal $\\vec{n}$. À quelle condition\n$d$ est-elle parallèle à $\\mathcal{P}$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la direction de la droite doit être une\ndirection **du plan**, donc orthogonale au normal." }, { "text": "$\\vec{u}$ et $\\vec{n}$ colinéaires", "correct": false, "feedback": "Contresens : directeur colinéaire au normal signifie\ndroite **perpendiculaire** au plan, la situation opposée." }, { "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} \\neq 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} \\neq 0$ signifie que la\ndroite **perce** le plan (sécante en un point)." }, { "text": "$\\vec{u} = \\vec{n}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité est un cas particulier de colinéarité :\ndroite perpendiculaire au plan, pas parallèle." } ], "explanation": "Trio à mémoriser : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$ : droite\nparallèle au plan (ou incluse) ; $\\vec{u}$ colinéaire à\n$\\vec{n}$ : droite perpendiculaire ; sinon : droite sécante\noblique." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "intersection", "calcul" ], "title": "Intersection d'une droite et d'un plan", "partie": "positions", "statement": "Soit la droite $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2 - t$, et le\nplan $\\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. En quel point $d$\ncoupe-t-elle $\\mathcal{P}$ ?", "options": [ { "text": "$(3\\,;\\,4\\,;\\,-1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en substituant, $t + (1+t) + (2-t) - 6 =\nt - 3 = 0$, donc $t = 3$, ce qui donne le point\n$(3\\,;\\,4\\,;\\,-1)$." }, { "text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le point de $d$ pour $t = 1$ ; or\n$1 + 2 + 1 - 6 = -2 \\neq 0$, il n'est pas dans le plan.\nIl faut résoudre $t - 3 = 0$." }, { "text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour $t = 2$, la somme vaut $2 + 3 + 0 - 6 = -1\n\\neq 0$. La substitution complète donne $t = 3$." }, { "text": "Ils ne se coupent pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'équation en $t$ obtenue par substitution\n($t - 3 = 0$) a une solution : intersection en un point\nunique. (Pas de solution signifierait droite strictement\nparallèle au plan.)" } ], "explanation": "Méthode systématique : substituer les expressions\nparamétriques dans l'équation du plan, résoudre en $t$, puis\nréinjecter. $t = 3$ donne $(3\\,;\\,4\\,;\\,-1)$. Vérification :\n$3 + 4 - 1 - 6 = 0$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "plans", "positions-relatives" ], "title": "Position relative de deux plans", "partie": "plans", "statement": "Soient les plans $\\mathcal{P}_1$ : $2x - y + z - 1 = 0$ et\n$\\mathcal{P}_2$ : $4x - 2y + 2z + 7 = 0$. Quelle est leur\nposition relative ?", "options": [ { "text": "Strictement parallèles", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les normaux $(2\\,;\\,-1\\,;\\,1)$ et\n$(4\\,;\\,-2\\,;\\,2)$ sont colinéaires (facteur $2$), donc\nplans parallèles ; et $2 \\times (-1) = -2 \\neq 7$ : ils ne\nsont pas confondus." }, { "text": "Sécants selon une droite", "correct": false, "feedback": "Erreur : des plans sécants ont des normaux **non\ncolinéaires**. Ici $(4\\,;\\,-2\\,;\\,2) = 2(2\\,;\\,-1\\,;\\,1)$ :\nmême direction normale, donc parallèles." }, { "text": "Confondus", "correct": false, "feedback": "Presque : les normaux sont bien colinéaires, mais en\nmultipliant la première équation par $2$ on obtient\n$4x - 2y + 2z - 2 = 0$, dont le terme constant ($-2$)\ndiffère de $+7$ : deux plans distincts." }, { "text": "Perpendiculaires", "correct": false, "feedback": "Erreur : perpendiculaires exigerait des normaux\n**orthogonaux** ; or $\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 8 + 2 +\n2 = 12 \\neq 0$." } ], "explanation": "Deux plans : normaux colinéaires $\\Rightarrow$ parallèles\n(confondus si une équation est multiple de l'autre, y compris\nle terme constant) ; normaux non colinéaires $\\Rightarrow$\nsécants selon une droite. Ici : parallèles stricts." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "interpretation", "piege" ], "title": "Que représente une équation dans l'espace ?", "partie": "parametriques", "statement": "Dans l'espace muni d'un repère, quel objet l'équation\n$x + y + z = 1$ représente-t-elle ?", "options": [ { "text": "Un plan", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute équation du premier degré\n$ax + by + cz + d = 0$ (coefficients non tous nuls) décrit\nun **plan**, ici de vecteur normal $(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$." }, { "text": "Une droite", "correct": false, "feedback": "Piège hérité du plan : en dimension 2, $x + y = 1$ est une\ndroite, mais dans l'**espace** une équation unique laisse\ndeux degrés de liberté : c'est un plan. Une droite exige\nun **système** de deux équations (ou une représentation\nparamétrique)." }, { "text": "Un point", "correct": false, "feedback": "Erreur : un point demanderait trois équations\nindépendantes. Une seule équation laisse une surface\nentière de solutions." }, { "text": "Une sphère", "correct": false, "feedback": "Erreur : une sphère a une équation du **second** degré,\ndu type $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$. Ici tout est\nau premier degré : plan." } ], "explanation": "Dans l'espace, une équation cartésienne du premier degré définit un plan. Les droites, elles, n'ont pas d'équation cartésienne\nunique : elles se décrivent par représentation paramétrique ou\ncomme intersection de deux plans." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "projete-orthogonal", "calcul" ], "title": "Projeté orthogonal par le calcul", "partie": "plans", "statement": "Soit $M(2\\,;\\,2\\,;\\,2)$ et le plan $\\mathcal{P}$ :\n$x + y + z - 3 = 0$. Quel est le projeté orthogonal $H$ de $M$\nsur $\\mathcal{P}$ ?", "options": [ { "text": "$H(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite par $M$ dirigée par le normal\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$ s'écrit $(2+t\\,;\\,2+t\\,;\\,2+t)$ ;\nsubstitution : $6 + 3t - 3 = 0$, $t = -1$, d'où\n$H(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$." }, { "text": "$H(2\\,;\\,2\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce serait $M$ lui-même, qui n'est pas dans le\nplan ($2+2+2-3 = 3 \\neq 0$). Le projeté est le pied de la\nperpendiculaire issue de $M$." }, { "text": "$H(3\\,;\\,3\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $t$ : la substitution donne\n$3t + 3 = 0$, donc $t = -1$ (on **redescend** vers le\nplan), pas $t = +1$." }, { "text": "$H(0\\,;\\,0\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce point appartient bien au plan, mais\n$\\overrightarrow{MH}(-2\\,;\\,-2\\,;\\,1)$ n'est pas colinéaire au normal\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$ : la projection ne serait pas\northogonale." } ], "explanation": "Méthode (capacité attendue) : paramétrer la droite passant par\n$M$ dirigée par $\\vec{n}$, substituer dans l'équation du plan,\nrésoudre en $t$. Ici $t = -1$ donne $H(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$, et\n$MH = \\sqrt{3}$ est la distance de $M$ au plan." }, { "id": "q12", "difficulty": 2, "skills": [ "parametrique", "lecture" ], "title": "Reconnaître une propriété sur la paramétrique", "partie": "parametriques", "statement": "Soit la droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2$, $z = 3 - t$.\nQuelle affirmation est correcte ?", "options": [ { "text": "$d$ est incluse dans le plan d'équation $y = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la coordonnée $y$ vaut $2$ pour **tout**\n$t$ : chaque point de la droite vérifie l'équation du plan\n$y = 2$." }, { "text": "$d$ est parallèle à l'axe des ordonnées", "correct": false, "feedback": "Erreur : son vecteur directeur $(1\\,;\\,0\\,;\\,-1)$ n'est pas\ncolinéaire à $(0\\,;\\,1\\,;\\,0)$. C'est même l'inverse : la\ndroite est **orthogonale** à l'axe des ordonnées." }, { "text": "$d$ passe par l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : il faudrait $y = 0$ pour un certain $t$, or $y$\nvaut constamment $2$." }, { "text": "$\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ dirige $d$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ sont les constantes (le point\npour $t = 0$). La direction se lit sur les coefficients de\n$t$ : $(1\\,;\\,0\\,;\\,-1)$." } ], "explanation": "Une coordonnée constante dans la représentation paramétrique\nsignifie que la droite reste dans le plan correspondant : ici\n$y = 2$ pour tout $t$, donc $d \\subset$ plan $\\{y = 2\\}$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "plans-paralleles" ], "title": "Reconnaître deux plans parallèles", "partie": "positions", "statement": "Les plans $P : 2x - y + z = 1$ et $Q : 4x - 2y + 2z = 5$\nsont-ils parallèles ?", "options": [ { "text": "Oui : ils sont parallèles et distincts", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n}_Q = 2\\vec{n}_P$ : les normales\nsont colinéaires, donc les plans sont parallèles ; mais\n$1 \\times 2 = 2 \\neq 5$ : les équations ne sont pas\nproportionnelles, ce n'est pas le même plan : parallèles\nstricts, aucune intersection." }, { "text": "Non : leurs équations sont différentes", "correct": false, "feedback": "Critère trop naïf : le parallélisme se lit sur les\n**vecteurs normaux** ($(2\\ ;\\ -1\\ ;\\ 1)$ et $(4\\ ;\\ -2\\\n;\\ 2)$, colinéaires), pas sur l'égalité des équations." }, { "text": "Oui, et même confondus : c'est le même plan", "correct": false, "feedback": "Presque : confondus exigerait la proportionnalité\n**complète** ($5 = 2 \\times 1$ ? non) : le point\n$(0\\ ;\\ 0\\ ;\\ 1)$ est dans $P$ mais pas dans $Q$." }, { "text": "Non : ils sont sécants et perpendiculaires", "correct": false, "feedback": "Erreur : leurs normales étant colinéaires, ils ne sont\npas sécants ; et perpendiculaires demanderait\n$\\vec{n}_P \\cdot \\vec{n}_Q = 0$, or ici\n$8 + 2 + 2 = 12 \\neq 0$." } ], "explanation": "Deux plans : normales colinéaires $\\Rightarrow$ parallèles ;\néquations entièrement proportionnelles $\\Rightarrow$\nconfondus ; sinon sécants (en une droite). Tout se lit sur\nles coefficients." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "droite-orthogonale-plan" ], "title": "Droite orthogonale à un plan", "partie": "plans", "statement": "Quel vecteur directeur choisir pour la droite passant par\n$A$ et orthogonale au plan $P : 3x - y + 2z = 7$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{n}(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ 2)$ : le vecteur normal du plan", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une droite orthogonale à un plan a pour\ndirection la normale du plan : les coefficients de\nl'équation servent directement." }, { "text": "Un vecteur du plan $P$", "correct": false, "feedback": "Contresens : un vecteur **du** plan dirigerait une\ndroite parallèle au plan, pas orthogonale." }, { "text": "$\\vec{u}(7\\ ;\\ 7\\ ;\\ 7)$, à cause du second membre $7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le second membre $7$ règle la **position** du\nplan, pas son orientation : la direction normale vient\ndes coefficients $(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ 2)$." }, { "text": "N'importe quel vecteur passant par $A$", "correct": false, "feedback": "Erreur : « passer par $A$ » ne contraint pas la\ndirection : l'orthogonalité impose la normale, à une\ncolinéarité près." } ], "explanation": "Le trio gagnant : équation $ax + by + cz = d$ $\\to$ normale\n$(a\\ ;\\ b\\ ;\\ c)$ $\\to$ direction de toute droite\northogonale au plan. Paramétrique immédiate : $A + t\\vec{n}$." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "intersection-droites" ], "title": "Intersection de deux droites paramétrées", "partie": "positions", "statement": "Soient $d : (x\\ ;\\ y\\ ;\\ z) = (1 + t\\ ;\\ 2t\\ ;\\ 3)$ et\n$d' : (x\\ ;\\ y\\ ;\\ z) = (2\\ ;\\ 2 + s\\ ;\\ 3)$. Ces droites\nsont-elles sécantes ?", "options": [ { "text": "Oui, au point $(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ 3)$ (pour $t = 1$ et $s =\n0$)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : égaler : $1 + t = 2$ donne $t = 1$ ;\nalors $y = 2$ exige $2 + s = 2$, donc $s = 0$ ; les\ncotes $3 = 3$ concordent : point commun unique." }, { "text": "Non : leurs paramètres $t$ et $s$ sont différents", "correct": false, "feedback": "Erreur de principe : chaque droite a SON paramètre :\nl'intersection n'exige jamais $t = s$, seulement des\ncoordonnées égales (d'où deux inconnues distinctes)." }, { "text": "Non : elles sont parallèles", "correct": false, "feedback": "Erreur : directions $(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 0)$ et $(0\\ ;\\ 1\\ ;\\\n0)$ : non colinéaires : les droites ne sont pas\nparallèles." }, { "text": "Oui, en une infinité de points", "correct": false, "feedback": "Erreur : une infinité de points communs signifierait\ndroites **confondues** : leurs directions différentes\nl'interdisent : un seul point." } ], "explanation": "Intersection de droites paramétrées : paramètres **séparés**\n($t$ et $s$), système sur les trois coordonnées, deux\néquations déterminent $(t\\ ;\\ s)$, la troisième arbitre\n(système compatible : droites sécantes ; incompatible : droites non coplanaires)." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "droite-incluse-plan" ], "title": "Droite incluse dans un plan", "partie": "positions", "statement": "La droite $d : (x\\ ;\\ y\\ ;\\ z) = (1 + t\\ ;\\ 1 - t\\ ;\\ 2t)$\nest-elle incluse dans le plan $P : x + y - 2 = 0$ ?", "options": [ { "text": "Oui : $(1 + t) + (1 - t) - 2 = 0$ pour tout $t$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation, le paramètre disparaît et l'égalité tient pour **tout** $t$ : chaque point de la droite est dans le plan.\n" }, { "text": "Non : la droite a trois coordonnées, le plan seulement\ndeux termes", "correct": false, "feedback": "Erreur de lecture : l'absence de $z$ dans l'équation\nsignifie coefficient nul, pas incompatibilité : le plan\nvit bien dans l'espace." }, { "text": "Seulement le point obtenu pour $t = 0$", "correct": false, "feedback": "Sous-estimation : le test donne $0 = 0$ **indépendamment\nde $t$** : ce n'est pas une équation à résoudre mais une\nidentité : toute la droite est dedans." }, { "text": "On ne peut pas le savoir sans équation cartésienne de la\ndroite", "correct": false, "feedback": "Erreur : remplacer les coordonnées par leurs expressions en $t$ dans l'équation du plan est exactement l'outil adapté (et une droite de l'espace n'a d'ailleurs pas UNE équation cartésienne).\n" } ], "explanation": "Position droite/plan par substitution : on remplace $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en $t$ dans l'équation du plan. Identité ($0 = 0$) : droite incluse ; équation impossible : parallèle stricte ; une solution unique : point d'intersection." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "intersection-plans" ], "title": "Intersection de deux plans sécants", "partie": "positions", "statement": "Que forme l'intersection des plans $P : x + y + z = 3$ et\n$Q : x - y = 1$ (dont les normales ne sont pas\ncolinéaires) ?", "options": [ { "text": "Une droite", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux plans non parallèles se coupent\nselon une **droite**. Par exemple, le point\n$(1\\ ;\\ 0\\ ;\\ 2)$ appartient aux deux plans :\n$1 + 0 + 2 = 3$ et $1 - 0 = 1$." }, { "text": "Un point unique", "correct": false, "feedback": "Erreur de dimension : un point unique demande **trois**\nplans bien choisis (ou une droite et un plan) : deux\nplans sécants laissent un degré de liberté : une droite." }, { "text": "L'ensemble vide", "correct": false, "feedback": "Erreur : une intersection vide correspondrait à des plans parallèles distincts, or leurs\nnormales $(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ 1)$ et $(1\\ ;\\ -1\\ ;\\ 0)$ ne sont\npas colinéaires : ils se coupent." }, { "text": "Un plan", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'intersection serait un plan si $P = Q$ ;\nleurs équations ne sont pas proportionnelles." } ], "explanation": "Deux plans de normales non colinéaires se coupent selon une\ndroite : la résoudre, c'est poser $z = t$ (par exemple) et\nexprimer $x$, $y$ en fonction de $t$ : le système devient\nune représentation paramétrique." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "parametrer-segment" ], "title": "Paramétrer un segment", "partie": "parametriques", "statement": "Comment décrire le **segment** $[AB]$ à partir de la\nreprésentation $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ ?", "options": [ { "text": "En restreignant le paramètre : $t \\in [0\\ ;\\ 1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne $B$,\net les valeurs intermédiaires balaient l'intérieur du\nsegment : la droite entière correspondrait à $t \\in\n\\mathbb{R}$." }, { "text": "En prenant $t \\in \\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Trop grand : $t = 2$ ou $t = -1$ sortent du segment\n(au-delà de $B$, avant $A$) : $\\mathbb{R}$ décrit toute\nla droite $(AB)$." }, { "text": "En imposant $t > 0$", "correct": false, "feedback": "Demi-mesure : $t > 0$ décrit la demi-droite ouverte\nissue de $A$ vers $B$… et au-delà : il faut aussi\nplafonner à $1$." }, { "text": "Impossible : une paramétrique décrit toujours une droite\nentière", "correct": false, "feedback": "Erreur : le domaine du paramètre fait partie de la\ndescription : segment, demi-droite ou droite selon\nl'intervalle choisi." } ], "explanation": "$M(t) = A + t\\overrightarrow{AB}$ : $t \\in \\mathbb{R}$ :\ndroite ; $t \\geq 0$ : demi-droite ; $t \\in [0\\ ;\\ 1]$ :\nsegment (et $t = \\frac{1}{2}$ : le milieu). Le paramètre\nest un curseur de position." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "plan", "equation", "lecture" ], "title": "Plan parallèle à un axe", "partie": "plans", "statement": "Que peut-on dire du plan d'équation $2x + 3y - 6 = 0$ ?", "options": [ { "text": "Il est parallèle à l'axe des cotes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le coefficient de $z$ est nul, donc le vecteur normal\n$(2\\,;\\,3\\,;\\,0)$ est orthogonal à cet axe." }, { "text": "Il est parallèle à l'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "Le coefficient de $x$ vaut $2$, la normale n'est donc pas orthogonale\nà cet axe." }, { "text": "Il ne contient aucun point de cote nulle", "correct": false, "feedback": "Le point $(3\\,;\\,0\\,;\\,0)$ vérifie l'équation et a bien une cote\nnulle." }, { "text": "Ce n'est pas l'équation d'un plan", "correct": false, "feedback": "Toute équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec un coefficient\nnon nul décrit un plan." } ], "explanation": "Un coefficient nul dans l'équation d'un plan signale que le vecteur normal\nest orthogonal à l'axe correspondant, donc que le plan est parallèle à cet\naxe." }, { "id": "q20", "difficulty": 3, "skills": [ "droite", "plan", "inclusion" ], "title": "Droite incluse dans un plan", "partie": "positions", "statement": "Une droite $d$ a un vecteur directeur $\\vec{u}$ orthogonal au\nvecteur normal $\\vec{n}$ d'un plan $\\mathcal{P}$, et un de ses\npoints appartient à $\\mathcal{P}$. Que peut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "La droite $d$ est incluse dans $\\mathcal{P}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $d$ est parallèle à $\\mathcal{P}$ et a un point\ncommun avec lui, elle y est donc contenue." }, { "text": "La droite $d$ coupe $\\mathcal{P}$ en un seul point", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$ exclut une intersection\nen un point unique." }, { "text": "La droite $d$ est orthogonale à $\\mathcal{P}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : il faudrait $\\vec{u}$ colinéaire à $\\vec{n}$." }, { "text": "La droite $d$ est strictement parallèle à $\\mathcal{P}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une droite strictement parallèle n'a aucun point\ncommun avec le plan." } ], "explanation": "Si $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$, la droite est parallèle au plan :\nsoit strictement, soit incluse, selon qu'un de ses points est ou\nnon dans le plan." }, { "id": "q21", "difficulty": 2, "skills": [ "droite", "representation-parametrique" ], "title": "Paramétrer une droite par deux points", "partie": "parametriques", "statement": "Quelle représentation paramétrique décrit la droite passant par\n$A(1\\,;\\,2\\,;\\,0)$ et $B(3\\,;\\,2\\,;\\,4)$ ?", "options": [ { "text": "$x = 1 + 2t$, $y = 2$, $z = 4t$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,0\\,;\\,4)$ sert de vecteur\ndirecteur, et $A$ de point de départ." }, { "text": "$x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = 4t$", "correct": false, "feedback": "Deuxième coordonnée fausse : celle de $\\overrightarrow{AB}$ vaut $0$,\nl'ordonnée reste constante." }, { "text": "$x = 3 + 2t$, $y = 2 + 2t$, $z = 4 + 4t$", "correct": false, "feedback": "Point de départ $B$ acceptable, mais la deuxième coordonnée du vecteur\ndirecteur reste fausse." }, { "text": "$x = 2t$, $y = 0$, $z = 4t$", "correct": false, "feedback": "Point de départ oublié : cette droite passe par l'origine, ce qui n'est\npas le cas de $(AB)$." } ], "explanation": "Une droite se paramètre à partir d'un de ses points et d'un vecteur\ndirecteur, ici $\\overrightarrow{AB}$. Plusieurs écritures décrivent la même\ndroite." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "plans", "intersection" ], "title": "Intersection de deux plans", "partie": "plans", "statement": "Deux plans non parallèles se coupent. Comment décrire leur\nintersection ?", "options": [ { "text": "Par une paramétrique de droite", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on résout le système des deux équations, une inconnue\nrestant libre et jouant le rôle de paramètre." }, { "text": "Par un point unique de l'espace", "correct": false, "feedback": "Deux plans sécants partagent toute une droite, pas un seul point." }, { "text": "Par une équation cartésienne unique", "correct": false, "feedback": "Une seule équation décrit un plan dans l'espace, pas une droite." }, { "text": "Par l'ensemble vide, sans point commun", "correct": false, "feedback": "C'est le cas de deux plans parallèles distincts, exclu par l'énoncé." } ], "explanation": "Le système de deux équations de plans non parallèles admet une infinité de\nsolutions dépendant d'un paramètre : c'est une droite, décrite sous forme\nparamétrique." }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "plan", "appartenance" ], "title": "Vérifier qu'un point est dans un plan", "partie": "plans", "statement": "Le point $M(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$ appartient-il au plan d'équation\n$x + 2y - z + 3 = 0$ ?", "options": [ { "text": "Oui, le calcul donne $0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $2 - 2 - 3 + 3 = 0$." }, { "text": "Non, le calcul donne $4$", "correct": false, "feedback": "Signe de la deuxième coordonnée : $2 \\times (-1)$ vaut $-2$, pas\n$+2$." }, { "text": "Non, le calcul donne $-3$", "correct": false, "feedback": "Constante oubliée : le terme $+3$ fait partie de l'équation." }, { "text": "On ne peut pas conclure sans le vecteur normal", "correct": false, "feedback": "L'équation suffit : le vecteur normal s'y lit d'ailleurs directement." } ], "explanation": "Un point appartient à un plan lorsque ses coordonnées annulent le membre de\ngauche de l'équation cartésienne. Le test est immédiat." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "droite", "plan", "incluse" ], "title": "Quand une droite est incluse dans un plan", "partie": "parametriques", "statement": "Quelles conditions garantissent qu'une droite est incluse dans un\nplan ?", "options": [ { "text": "Direction orthogonale à la normale et un point commun", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première condition donne le parallélisme, la\nseconde force l'inclusion." }, { "text": "Un point commun seulement", "correct": false, "feedback": "Un point commun sans parallélisme signale une droite sécante au plan." }, { "text": "Direction orthogonale à la normale seulement", "correct": false, "feedback": "Sans point commun, la droite est parallèle au plan mais reste à\nl'extérieur." }, { "text": "Deux points communs et rien d'autre", "correct": false, "feedback": "Deux points communs suffisent effectivement, mais l'énoncé demande les\nconditions usuellement vérifiées, et une seule n'implique rien." } ], "explanation": "Une droite est incluse dans un plan si elle lui est parallèle et possède un\npoint commun avec lui. Deux points communs suffisent également, la droite\nétant déterminée par deux points." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "plan", "vecteur-normal" ], "title": "Lire un vecteur normal", "partie": "plans", "statement": "Quel est un vecteur normal du plan d'équation\n$-x + 4y + 2z - 7 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-1\\,;\\,4\\,;\\,2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent\ndirectement les coordonnées d'un vecteur normal." }, { "text": "$(1\\,;\\,4\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Signe du premier coefficient : il vaut $-1$ dans l'équation." }, { "text": "$(-1\\,;\\,4\\,;\\,-7)$", "correct": false, "feedback": "Constante prise pour un coefficient : elle ne concerne que la position\ndu plan." }, { "text": "$(4\\,;\\,2\\,;\\,-7)$", "correct": false, "feedback": "Coefficients décalés : le premier coefficient du vecteur est celui de\n$x$." } ], "explanation": "Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ est normal. Tout vecteur colinéaire convient également.", "variants": [ { "statement": "Quel est un vecteur normal du plan d'équation\n$-x + 4y + 2z - 7 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-1\\,;\\,4\\,;\\,2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent\ndirectement les coordonnées d'un vecteur normal." }, { "text": "$(1\\,;\\,4\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Signe du premier coefficient : il vaut $-1$ dans l'équation." }, { "text": "$(-1\\,;\\,4\\,;\\,-7)$", "correct": false, "feedback": "Constante prise pour un coefficient : elle ne concerne que la position\ndu plan." }, { "text": "$(4\\,;\\,2\\,;\\,-7)$", "correct": false, "feedback": "Coefficients décalés : le premier coefficient du vecteur est celui de\n$x$." } ], "explanation": "Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ est normal. Tout vecteur colinéaire convient également." }, { "statement": "Quel est un vecteur normal du plan d'équation\n$-x + 3y + 5z - 2 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-1\\,;\\,3\\,;\\,5)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent\ndirectement les coordonnées d'un vecteur normal." }, { "text": "$(1\\,;\\,3\\,;\\,5)$", "correct": false, "feedback": "Signe du premier coefficient : il vaut $-1$ dans l'équation." }, { "text": "$(-1\\,;\\,3\\,;\\,-2)$", "correct": false, "feedback": "Constante prise pour un coefficient : elle ne concerne que la position\ndu plan." }, { "text": "$(3\\,;\\,5\\,;\\,-2)$", "correct": false, "feedback": "Coefficients décalés : le premier coefficient du vecteur est celui de\n$x$." } ], "explanation": "Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ est normal. Tout vecteur colinéaire convient également." }, { "statement": "Quel est un vecteur normal du plan d'équation\n$-x + 2y + 6z - 9 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-1\\,;\\,2\\,;\\,6)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent\ndirectement les coordonnées d'un vecteur normal." }, { "text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,6)$", "correct": false, "feedback": "Signe du premier coefficient : il vaut $-1$ dans l'équation." }, { "text": "$(-1\\,;\\,2\\,;\\,-9)$", "correct": false, "feedback": "Constante prise pour un coefficient : elle ne concerne que la position\ndu plan." }, { "text": "$(2\\,;\\,6\\,;\\,-9)$", "correct": false, "feedback": "Coefficients décalés : le premier coefficient du vecteur est celui de\n$x$." } ], "explanation": "Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ est normal. Tout vecteur colinéaire convient également." }, { "statement": "Quel est un vecteur normal du plan d'équation\n$-x + 5y + 3z - 4 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-1\\,;\\,5\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent\ndirectement les coordonnées d'un vecteur normal." }, { "text": "$(1\\,;\\,5\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Signe du premier coefficient : il vaut $-1$ dans l'équation." }, { "text": "$(-1\\,;\\,5\\,;\\,-4)$", "correct": false, "feedback": "Constante prise pour un coefficient : elle ne concerne que la position\ndu plan." }, { "text": "$(5\\,;\\,3\\,;\\,-4)$", "correct": false, "feedback": "Coefficients décalés : le premier coefficient du vecteur est celui de\n$x$." } ], "explanation": "Pour un plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur\n$(a\\,;\\,b\\,;\\,c)$ est normal. Tout vecteur colinéaire convient également." } ] }, { "id": "q26", "difficulty": 3, "skills": [ "projete-orthogonal", "calcul" ], "title": "Calculer un projeté orthogonal", "partie": "plans", "statement": "Pour projeter orthogonalement $M$ sur un plan $P$, quelle démarche\nconvient ?", "options": [ { "text": "Paramétrer la droite par $M$ de direction normale, puis couper $P$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : cette droite rencontre le plan exactement au projeté\ncherché." }, { "text": "Prendre le point de $P$ d'abscisse égale à celle de $M$", "correct": false, "feedback": "Une seule coordonnée commune ne suffit pas : une infinité de points du\nplan la partagent." }, { "text": "Annuler la troisième coordonnée de $M$", "correct": false, "feedback": "Cette méthode ne vaudrait que pour un plan très particulier, celui\nd'équation $z = 0$." }, { "text": "Prendre le milieu de $M$ et d'un point de $P$", "correct": false, "feedback": "Ce milieu n'appartient généralement pas au plan, et le résultat\ndépendrait du point choisi." } ], "explanation": "Le projeté orthogonal de $M$ sur $P$ est l'intersection de $P$ avec la\ndroite passant par $M$ et dirigée par un vecteur normal du plan. C'est\naussi le point de $P$ le plus proche de $M$." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "representation-parametrique", "unicite" ], "title": "Plusieurs écritures pour une même droite", "partie": "parametriques", "statement": "Deux représentations paramétriques différentes peuvent-elles décrire\nla même droite ?", "options": [ { "text": "Oui, le point et le vecteur directeur sont au choix", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tout point de la droite et tout vecteur directeur\ncolinéaire donnent une écriture valable." }, { "text": "Non, chaque droite a une seule écriture", "correct": false, "feedback": "Changer de point de départ suffit à modifier l'écriture sans changer la\ndroite." }, { "text": "Oui, mais seulement si le paramètre change de nom", "correct": false, "feedback": "Le nom du paramètre est sans importance : ce sont les coefficients qui\npeuvent différer." }, { "text": "Non, sauf pour les droites passant par l'origine", "correct": false, "feedback": "La position de la droite ne change rien : toute droite admet une\ninfinité de paramétrages." } ], "explanation": "Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. Pour\nvérifier que deux écritures décrivent la même droite, on compare les\ndirections puis on teste l'appartenance d'un point." }, { "id": "q28", "difficulty": 2, "skills": [ "plan", "trois-points" ], "title": "Un plan par trois points", "partie": "plans", "statement": "Trois points de l'espace définissent-ils toujours un plan unique ?", "options": [ { "text": "Oui, s'ils ne sont pas alignés", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois points alignés appartiennent à une infinité de\nplans contenant leur droite." }, { "text": "Oui, dans tous les cas", "correct": false, "feedback": "Trois points alignés ne suffisent pas à fixer un plan : une infinité\nles contient." }, { "text": "Non, il en faut quatre", "correct": false, "feedback": "Un quatrième point serait au contraire une contrainte supplémentaire,\nsouvent incompatible." }, { "text": "Oui, s'ils sont deux à deux distincts", "correct": false, "feedback": "Des points distincts peuvent être alignés, ce qui ne suffit pas." } ], "explanation": "Trois points non alignés définissent un plan unique. On en obtient une\néquation en cherchant un vecteur normal orthogonal à deux vecteurs formés\npar ces points." }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "systeme", "intersection" ], "title": "Un système sans solution", "partie": "positions", "statement": "La substitution d'une droite paramétrée dans l'équation d'un plan\ndonne $0 = 5$. Que conclure ?", "options": [ { "text": "La droite est parallèle au plan et hors de lui", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aucune valeur du paramètre ne convient, donc aucun\npoint commun." }, { "text": "La droite est incluse dans le plan", "correct": false, "feedback": "L'inclusion se traduirait par une égalité toujours vraie, du type\n$0 = 0$." }, { "text": "La droite coupe le plan en un point", "correct": false, "feedback": "Un point d'intersection correspondrait à une équation du premier degré\nen $t$ avec une solution." }, { "text": "Le calcul comporte une erreur", "correct": false, "feedback": "Une égalité impossible est un résultat parfaitement valable : elle\ntraduit l'absence de solution." } ], "explanation": "Trois issues sont possibles : une équation avec une solution unique, la\ndroite coupe le plan ; une égalité toujours vraie, la droite y est\nincluse ; une égalité impossible, la droite lui est parallèle." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "segment", "parametre" ], "title": "Restreindre un paramètre", "partie": "parametriques", "statement": "Dans une représentation paramétrique de droite, que décrit la\nrestriction du paramètre à $[0\\,;\\,1]$ ?", "options": [ { "text": "Un segment de la droite", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes donnent les extrémités, et les valeurs\nintermédiaires les points entre elles." }, { "text": "La droite entière", "correct": false, "feedback": "La droite entière demande que le paramètre parcoure tous les réels." }, { "text": "Une demi-droite", "correct": false, "feedback": "Une demi-droite correspondrait à un intervalle non borné, du type\n$[0\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "Un point unique", "correct": false, "feedback": "Un seul point s'obtiendrait en fixant une valeur précise du paramètre." } ], "explanation": "Restreindre le paramètre restreint l'objet décrit : un intervalle borné\ndonne un segment, un intervalle non borné une demi-droite, une valeur\nunique un point." }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "vecteur-directeur", "droite" ], "title": "Un autre vecteur directeur", "partie": "parametriques", "statement": "La droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(4\\,;\\,-6\\,;\\,2)$. Lequel de ces vecteurs dirige\négalement $d$ ?", "options": [ { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $\\frac{1}{2}\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite." }, { "text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Signe changé sur la deuxième coordonnée : la colinéarité impose\nle **même** coefficient sur les trois, ici $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ n'a pas été faite sur la troisième\ncoordonnée : ce vecteur n'est plus colinéaire à $\\vec{u}$." }, { "text": "$(1\\,;\\,-3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées extrêmes ont été échangées. L'ordre des\ncoordonnées d'un vecteur n'est jamais interchangeable." } ], "explanation": "Deux vecteurs dirigent la même droite dès qu'ils sont colinéaires,\nc'est-à-dire proportionnels coordonnée par coordonnée avec un même\ncoefficient non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs\ndirecteurs.", "variants": [ { "statement": "La droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(4\\,;\\,-6\\,;\\,2)$. Lequel de ces vecteurs dirige\négalement $d$ ?", "options": [ { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $\\frac{1}{2}\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite." }, { "text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Signe changé sur la deuxième coordonnée : la colinéarité impose\nle **même** coefficient sur les trois, ici $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ n'a pas été faite sur la troisième\ncoordonnée : ce vecteur n'est plus colinéaire à $\\vec{u}$." }, { "text": "$(1\\,;\\,-3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées extrêmes ont été échangées. L'ordre des\ncoordonnées d'un vecteur n'est jamais interchangeable." } ], "explanation": "Deux vecteurs dirigent la même droite dès qu'ils sont colinéaires,\nc'est-à-dire proportionnels coordonnée par coordonnée avec un même\ncoefficient non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs\ndirecteurs." }, { "statement": "La droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(6\\,;\\,2\\,;\\,-8)$. Lequel de ces vecteurs dirige\négalement $d$ ?", "options": [ { "text": "$(3\\,;\\,1\\,;\\,-4)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $\\frac{1}{2}\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite." }, { "text": "$(3\\,;\\,-1\\,;\\,-4)$", "correct": false, "feedback": "Signe changé sur la deuxième coordonnée : la colinéarité impose\nle **même** coefficient sur les trois, ici $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$(3\\,;\\,1\\,;\\,-8)$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ n'a pas été faite sur la troisième\ncoordonnée : ce vecteur n'est plus colinéaire à $\\vec{u}$." }, { "text": "$(-4\\,;\\,1\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées extrêmes ont été échangées. L'ordre des\ncoordonnées d'un vecteur n'est jamais interchangeable." } ], "explanation": "Deux vecteurs dirigent la même droite dès qu'ils sont colinéaires,\nc'est-à-dire proportionnels coordonnée par coordonnée avec un même\ncoefficient non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs\ndirecteurs." }, { "statement": "La droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(-2\\,;\\,10\\,;\\,6)$. Lequel de ces vecteurs dirige\négalement $d$ ?", "options": [ { "text": "$(-1\\,;\\,5\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $\\frac{1}{2}\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite." }, { "text": "$(-1\\,;\\,-5\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Signe changé sur la deuxième coordonnée : la colinéarité impose\nle **même** coefficient sur les trois, ici $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$(-1\\,;\\,5\\,;\\,6)$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ n'a pas été faite sur la troisième\ncoordonnée : ce vecteur n'est plus colinéaire à $\\vec{u}$." }, { "text": "$(3\\,;\\,5\\,;\\,-1)$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées extrêmes ont été échangées. L'ordre des\ncoordonnées d'un vecteur n'est jamais interchangeable." } ], "explanation": "Deux vecteurs dirigent la même droite dès qu'ils sont colinéaires,\nc'est-à-dire proportionnels coordonnée par coordonnée avec un même\ncoefficient non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs\ndirecteurs." }, { "statement": "La droite $d$ est dirigée par\n$\\vec{u}(4\\,;\\,-6\\,;\\,-8)$. Lequel de ces vecteurs dirige\négalement $d$ ?", "options": [ { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,-4)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $\\frac{1}{2}\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite." }, { "text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,-4)$", "correct": false, "feedback": "Signe changé sur la deuxième coordonnée : la colinéarité impose\nle **même** coefficient sur les trois, ici $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,-8)$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ n'a pas été faite sur la troisième\ncoordonnée : ce vecteur n'est plus colinéaire à $\\vec{u}$." }, { "text": "$(-4\\,;\\,-3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées extrêmes ont été échangées. L'ordre des\ncoordonnées d'un vecteur n'est jamais interchangeable." } ], "explanation": "Deux vecteurs dirigent la même droite dès qu'ils sont colinéaires,\nc'est-à-dire proportionnels coordonnée par coordonnée avec un même\ncoefficient non nul. Une droite admet donc une infinité de vecteurs\ndirecteurs." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 2, "skills": [ "point", "parametre" ], "title": "Retrouver la valeur du paramètre", "partie": "parametriques", "statement": "Soit $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 5 - 4t$,\n$z = 2 + 5t$. Pour quelle valeur de $t$ obtient-on le point\n$M(7\\,;\\,-7\\,;\\,17)$ ?", "options": [ { "text": "$t = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première équation donne $1 + 2t = 7$,\ndonc $t = 3$, valeur qui convient aussi pour $y$ et $z$." }, { "text": "$t = \\dfrac{7}{2}$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $1$ a été oublié : il faut le retrancher\n**avant** de diviser par $2$." }, { "text": "$t = 6$", "correct": false, "feedback": "Tu t'es arrêté à $2t = 6$ : il reste à diviser par\nle coefficient $2$." }, { "text": "$t = -3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe dans la résolution. En reportant $-3$ dans\n$x = 1 + 2t$, on ne retombe pas sur $7$." } ], "explanation": "Chaque coordonnée fournit une équation en $t$ : on en résout une, puis\non vérifie que la même valeur convient pour les deux autres. Si ce\nn'est pas le cas, le point n'appartient pas à la droite.", "variants": [ { "statement": "Soit $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 5 - 4t$,\n$z = 2 + 5t$. Pour quelle valeur de $t$ obtient-on le point\n$M(7\\,;\\,-7\\,;\\,17)$ ?", "options": [ { "text": "$t = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première équation donne $1 + 2t = 7$,\ndonc $t = 3$, valeur qui convient aussi pour $y$ et $z$." }, { "text": "$t = \\dfrac{7}{2}$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $1$ a été oublié : il faut le retrancher\n**avant** de diviser par $2$." }, { "text": "$t = 6$", "correct": false, "feedback": "Tu t'es arrêté à $2t = 6$ : il reste à diviser par\nle coefficient $2$." }, { "text": "$t = -3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe dans la résolution. En reportant $-3$ dans\n$x = 1 + 2t$, on ne retombe pas sur $7$." } ], "explanation": "Chaque coordonnée fournit une équation en $t$ : on en résout une, puis\non vérifie que la même valeur convient pour les deux autres. Si ce\nn'est pas le cas, le point n'appartient pas à la droite." }, { "statement": "Soit $d$ : $x = 2 + 3t$, $y = -1 + 2t$,\n$z = 5 - 2t$. Pour quelle valeur de $t$ obtient-on le point\n$M(-7\\,;\\,-7\\,;\\,11)$ ?", "options": [ { "text": "$t = -3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première équation donne $2 + 3t = -7$,\ndonc $t = -3$, valeur qui convient aussi pour $y$ et $z$." }, { "text": "$t = -\\dfrac{7}{3}$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $2$ a été oublié : il faut le retrancher\n**avant** de diviser par $3$." }, { "text": "$t = -9$", "correct": false, "feedback": "Tu t'es arrêté à $3t = -9$ : il reste à diviser par\nle coefficient $3$." }, { "text": "$t = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe dans la résolution. En reportant $3$ dans\n$x = 2 + 3t$, on ne retombe pas sur $-7$." } ], "explanation": "Chaque coordonnée fournit une équation en $t$ : on en résout une, puis\non vérifie que la même valeur convient pour les deux autres. Si ce\nn'est pas le cas, le point n'appartient pas à la droite." }, { "statement": "Soit $d$ : $x = -3 + 4t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 1 + 2t$. Pour quelle valeur de $t$ obtient-on le point\n$M(17\\,;\\,17\\,;\\,11)$ ?", "options": [ { "text": "$t = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première équation donne $-3 + 4t = 17$,\ndonc $t = 5$, valeur qui convient aussi pour $y$ et $z$." }, { "text": "$t = \\dfrac{17}{4}$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $-3$ a été oublié : il faut le retrancher\n**avant** de diviser par $4$." }, { "text": "$t = 20$", "correct": false, "feedback": "Tu t'es arrêté à $4t = 20$ : il reste à diviser par\nle coefficient $4$." }, { "text": "$t = -5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe dans la résolution. En reportant $-5$ dans\n$x = -3 + 4t$, on ne retombe pas sur $17$." } ], "explanation": "Chaque coordonnée fournit une équation en $t$ : on en résout une, puis\non vérifie que la même valeur convient pour les deux autres. Si ce\nn'est pas le cas, le point n'appartient pas à la droite." }, { "statement": "Soit $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 5 - 4t$,\n$z = 2 + 5t$. Pour quelle valeur de $t$ obtient-on le point\n$M(9\\,;\\,-11\\,;\\,22)$ ?", "options": [ { "text": "$t = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la première équation donne $1 + 2t = 9$,\ndonc $t = 4$, valeur qui convient aussi pour $y$ et $z$." }, { "text": "$t = \\dfrac{9}{2}$", "correct": false, "feedback": "Le terme constant $1$ a été oublié : il faut le retrancher\n**avant** de diviser par $2$." }, { "text": "$t = 8$", "correct": false, "feedback": "Tu t'es arrêté à $2t = 8$ : il reste à diviser par\nle coefficient $2$." }, { "text": "$t = -4$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe dans la résolution. En reportant $-4$ dans\n$x = 1 + 2t$, on ne retombe pas sur $9$." } ], "explanation": "Chaque coordonnée fournit une équation en $t$ : on en résout une, puis\non vérifie que la même valeur convient pour les deux autres. Si ce\nn'est pas le cas, le point n'appartient pas à la droite." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 2, "skills": [ "parametrer-segment", "segment" ], "title": "Décrire un segment", "partie": "parametriques", "statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et\n$B(4\\,;\\,5\\,;\\,-2)$. Quelle écriture décrit le segment\n$[AB]$ ?", "options": [ { "text": "$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 3 - 5t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,3\\,;\\,-5)$\ndonne la direction, $A$ le point de départ, et la restriction\n$t \\in [0\\,;\\,1]$ arrête le parcours en $B$." }, { "text": "$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 3 - 5t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Ceci décrit la droite $(AB)$ tout entière : $t = 2$ ou $t = -1$\nfournissent des points situés hors du segment." }, { "text": "$x = 1 + 4t$, $y = 2 + 5t$,\n$z = 3 - 2t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $B$ ont servi de vecteur directeur. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qu'il faut, soit la différence\n$B - A$." }, { "text": "$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 3 - 5t$, avec $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Il manque le plafond : $t \\geq 0$ décrit la demi-droite d'origine\n$A$ passant par $B$, qui se prolonge au-delà de $B$." } ], "explanation": "Un segment se paramètre comme une droite, en restreignant le\nparamètre : $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ avec\n$t \\in [0\\,;\\,1]$. La valeur $t = 0$ donne $A$, la valeur $t = 1$\ndonne $B$.", "variants": [ { "statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et\n$B(4\\,;\\,5\\,;\\,-2)$. Quelle écriture décrit le segment\n$[AB]$ ?", "options": [ { "text": "$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 3 - 5t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(3\\,;\\,3\\,;\\,-5)$\ndonne la direction, $A$ le point de départ, et la restriction\n$t \\in [0\\,;\\,1]$ arrête le parcours en $B$." }, { "text": "$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 3 - 5t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Ceci décrit la droite $(AB)$ tout entière : $t = 2$ ou $t = -1$\nfournissent des points situés hors du segment." }, { "text": "$x = 1 + 4t$, $y = 2 + 5t$,\n$z = 3 - 2t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $B$ ont servi de vecteur directeur. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qu'il faut, soit la différence\n$B - A$." }, { "text": "$x = 1 + 3t$, $y = 2 + 3t$,\n$z = 3 - 5t$, avec $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Il manque le plafond : $t \\geq 0$ décrit la demi-droite d'origine\n$A$ passant par $B$, qui se prolonge au-delà de $B$." } ], "explanation": "Un segment se paramètre comme une droite, en restreignant le\nparamètre : $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ avec\n$t \\in [0\\,;\\,1]$. La valeur $t = 0$ donne $A$, la valeur $t = 1$\ndonne $B$." }, { "statement": "Soient $A(2\\,;\\,-1\\,;\\,4)$ et\n$B(-3\\,;\\,3\\,;\\,2)$. Quelle écriture décrit le segment\n$[AB]$ ?", "options": [ { "text": "$x = 2 - 5t$, $y = -1 + 4t$,\n$z = 4 - 2t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(-5\\,;\\,4\\,;\\,-2)$\ndonne la direction, $A$ le point de départ, et la restriction\n$t \\in [0\\,;\\,1]$ arrête le parcours en $B$." }, { "text": "$x = 2 - 5t$, $y = -1 + 4t$,\n$z = 4 - 2t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Ceci décrit la droite $(AB)$ tout entière : $t = 2$ ou $t = -1$\nfournissent des points situés hors du segment." }, { "text": "$x = 2 - 3t$, $y = -1 + 3t$,\n$z = 4 + 2t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $B$ ont servi de vecteur directeur. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qu'il faut, soit la différence\n$B - A$." }, { "text": "$x = 2 - 5t$, $y = -1 + 4t$,\n$z = 4 - 2t$, avec $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Il manque le plafond : $t \\geq 0$ décrit la demi-droite d'origine\n$A$ passant par $B$, qui se prolonge au-delà de $B$." } ], "explanation": "Un segment se paramètre comme une droite, en restreignant le\nparamètre : $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ avec\n$t \\in [0\\,;\\,1]$. La valeur $t = 0$ donne $A$, la valeur $t = 1$\ndonne $B$." }, { "statement": "Soient $A(-2\\,;\\,1\\,;\\,1)$ et\n$B(2\\,;\\,4\\,;\\,3)$. Quelle écriture décrit le segment\n$[AB]$ ?", "options": [ { "text": "$x = -2 + 4t$, $y = 1 + 3t$,\n$z = 1 + 2t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,3\\,;\\,2)$\ndonne la direction, $A$ le point de départ, et la restriction\n$t \\in [0\\,;\\,1]$ arrête le parcours en $B$." }, { "text": "$x = -2 + 4t$, $y = 1 + 3t$,\n$z = 1 + 2t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Ceci décrit la droite $(AB)$ tout entière : $t = 2$ ou $t = -1$\nfournissent des points situés hors du segment." }, { "text": "$x = -2 + 2t$, $y = 1 + 4t$,\n$z = 1 + 3t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $B$ ont servi de vecteur directeur. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qu'il faut, soit la différence\n$B - A$." }, { "text": "$x = -2 + 4t$, $y = 1 + 3t$,\n$z = 1 + 2t$, avec $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Il manque le plafond : $t \\geq 0$ décrit la demi-droite d'origine\n$A$ passant par $B$, qui se prolonge au-delà de $B$." } ], "explanation": "Un segment se paramètre comme une droite, en restreignant le\nparamètre : $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ avec\n$t \\in [0\\,;\\,1]$. La valeur $t = 0$ donne $A$, la valeur $t = 1$\ndonne $B$." }, { "statement": "Soient $A(3\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et\n$B(1\\,;\\,6\\,;\\,1)$. Quelle écriture décrit le segment\n$[AB]$ ?", "options": [ { "text": "$x = 3 - 2t$, $y = 2 + 4t$,\n$z = -1 + 2t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(-2\\,;\\,4\\,;\\,2)$\ndonne la direction, $A$ le point de départ, et la restriction\n$t \\in [0\\,;\\,1]$ arrête le parcours en $B$." }, { "text": "$x = 3 - 2t$, $y = 2 + 4t$,\n$z = -1 + 2t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$", "correct": false, "feedback": "Ceci décrit la droite $(AB)$ tout entière : $t = 2$ ou $t = -1$\nfournissent des points situés hors du segment." }, { "text": "$x = 3 + 1t$, $y = 2 + 6t$,\n$z = -1 + 1t$, avec $t \\in [0\\,;\\,1]$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $B$ ont servi de vecteur directeur. C'est\n$\\overrightarrow{AB}$ qu'il faut, soit la différence\n$B - A$." }, { "text": "$x = 3 - 2t$, $y = 2 + 4t$,\n$z = -1 + 2t$, avec $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Il manque le plafond : $t \\geq 0$ décrit la demi-droite d'origine\n$A$ passant par $B$, qui se prolonge au-delà de $B$." } ], "explanation": "Un segment se paramètre comme une droite, en restreignant le\nparamètre : $M(t) = A + t\\,\\overrightarrow{AB}$ avec\n$t \\in [0\\,;\\,1]$. La valeur $t = 0$ donne $A$, la valeur $t = 1$\ndonne $B$." } ] }, { "id": "q34", "difficulty": 3, "skills": [ "intersection-droites", "positions-relatives" ], "title": "Deux droites sans point commun", "partie": "positions", "statement": "Soient $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2$ et $d'$ : $x = 1$,\n$y = s$, $z = 3 + s$. Ces droites sont-elles sécantes ?", "options": [ { "text": "Non : elles ne sont pas coplanaires", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x$ impose $t = 1$, puis $y$ impose $s = 2$,\nmais $z$ exigerait $s = -1$. Le système est incompatible et les\ndirections ne sont pas colinéaires." }, { "text": "Oui : elles se coupent en $(1\\,;\\,2\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Ce point appartient bien à $d$, mais pas à $d'$ : sa cote\nvaudrait $3 + 2 = 5$, et non $2$." }, { "text": "Non : elles sont strictement parallèles", "correct": false, "feedback": "Le parallélisme demanderait des directions colinéaires, or\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$ et $(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$ ne le sont pas." }, { "text": "Oui : elles ont une infinité de points communs", "correct": false, "feedback": "Une infinité de points communs signifierait deux droites\nconfondues, ce qu'interdisent déjà leurs directions différentes." } ], "explanation": "Deux droites de l'espace sont sécantes lorsque le système obtenu en\négalant les coordonnées admet une solution $(t\\,;\\,s)$. Système\nincompatible et directions non colinéaires : les droites ne sont pas\ncoplanaires." }, { "id": "q35", "difficulty": 1, "skills": [ "intersection-plans", "systeme" ], "title": "Droite commune à deux plans particuliers", "partie": "positions", "statement": "Les plans d'équations $y = 3$ et $z = 4$ se coupent selon une\ndroite. Laquelle de ces représentations la décrit ?", "options": [ { "text": "$x = t$, $\\; y = 3$, $\\; z = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux équations bloquent $y$ et $z$, et\nlaissent $x$ libre : c'est ce paramètre libre qui décrit la\ndroite." }, { "text": "$x = 4$, $\\; y = 3$, $\\; z = t$", "correct": false, "feedback": "C'est la cote $z$ qui est imposée à $4$, pas l'abscisse : la\ncoordonnée libre est $x$." }, { "text": "$x = 3$, $\\; y = t$, $\\; z = 4$", "correct": false, "feedback": "La première équation impose $y = 3$ : l'ordonnée ne peut donc\npas jouer le rôle de paramètre." }, { "text": "$x = t$, $\\; y = 3t$, $\\; z = 4t$", "correct": false, "feedback": "$y$ et $z$ sont des constantes, pas des multiples de $t$ : cette\ndroite quitterait les deux plans dès que $t \\neq 1$." } ], "explanation": "Résoudre le système de deux équations de plans, c'est exprimer les\ninconnues contraintes et garder la coordonnée libre comme paramètre.\nIci $y$ et $z$ sont fixés, $x$ parcourt $\\mathbb{R}$.", "variants": [ { "statement": "Les plans d'équations $y = 3$ et $z = 4$ se coupent selon une\ndroite. Laquelle de ces représentations la décrit ?", "options": [ { "text": "$x = t$, $\\; y = 3$, $\\; z = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux équations bloquent $y$ et $z$, et\nlaissent $x$ libre : c'est ce paramètre libre qui décrit la\ndroite." }, { "text": "$x = 4$, $\\; y = 3$, $\\; z = t$", "correct": false, "feedback": "C'est la cote $z$ qui est imposée à $4$, pas l'abscisse : la\ncoordonnée libre est $x$." }, { "text": "$x = 3$, $\\; y = t$, $\\; z = 4$", "correct": false, "feedback": "La première équation impose $y = 3$ : l'ordonnée ne peut donc\npas jouer le rôle de paramètre." }, { "text": "$x = t$, $\\; y = 3t$, $\\; z = 4t$", "correct": false, "feedback": "$y$ et $z$ sont des constantes, pas des multiples de $t$ : cette\ndroite quitterait les deux plans dès que $t \\neq 1$." } ], "explanation": "Résoudre le système de deux équations de plans, c'est exprimer les\ninconnues contraintes et garder la coordonnée libre comme paramètre.\nIci $y$ et $z$ sont fixés, $x$ parcourt $\\mathbb{R}$." }, { "statement": "Les plans d'équations $y = -2$ et $z = 5$ se coupent selon une\ndroite. Laquelle de ces représentations la décrit ?", "options": [ { "text": "$x = t$, $\\; y = -2$, $\\; z = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux équations bloquent $y$ et $z$, et\nlaissent $x$ libre : c'est ce paramètre libre qui décrit la\ndroite." }, { "text": "$x = 5$, $\\; y = -2$, $\\; z = t$", "correct": false, "feedback": "C'est la cote $z$ qui est imposée à $5$, pas l'abscisse : la\ncoordonnée libre est $x$." }, { "text": "$x = -2$, $\\; y = t$, $\\; z = 5$", "correct": false, "feedback": "La première équation impose $y = -2$ : l'ordonnée ne peut donc\npas jouer le rôle de paramètre." }, { "text": "$x = t$, $\\; y = -2t$, $\\; z = 5t$", "correct": false, "feedback": "$y$ et $z$ sont des constantes, pas des multiples de $t$ : cette\ndroite quitterait les deux plans dès que $t \\neq 1$." } ], "explanation": "Résoudre le système de deux équations de plans, c'est exprimer les\ninconnues contraintes et garder la coordonnée libre comme paramètre.\nIci $y$ et $z$ sont fixés, $x$ parcourt $\\mathbb{R}$." }, { "statement": "Les plans d'équations $y = 6$ et $z = -3$ se coupent selon une\ndroite. Laquelle de ces représentations la décrit ?", "options": [ { "text": "$x = t$, $\\; y = 6$, $\\; z = -3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux équations bloquent $y$ et $z$, et\nlaissent $x$ libre : c'est ce paramètre libre qui décrit la\ndroite." }, { "text": "$x = -3$, $\\; y = 6$, $\\; z = t$", "correct": false, "feedback": "C'est la cote $z$ qui est imposée à $-3$, pas l'abscisse : la\ncoordonnée libre est $x$." }, { "text": "$x = 6$, $\\; y = t$, $\\; z = -3$", "correct": false, "feedback": "La première équation impose $y = 6$ : l'ordonnée ne peut donc\npas jouer le rôle de paramètre." }, { "text": "$x = t$, $\\; y = 6t$, $\\; z = -3t$", "correct": false, "feedback": "$y$ et $z$ sont des constantes, pas des multiples de $t$ : cette\ndroite quitterait les deux plans dès que $t \\neq 1$." } ], "explanation": "Résoudre le système de deux équations de plans, c'est exprimer les\ninconnues contraintes et garder la coordonnée libre comme paramètre.\nIci $y$ et $z$ sont fixés, $x$ parcourt $\\mathbb{R}$." }, { "statement": "Les plans d'équations $y = 3$ et $z = 5$ se coupent selon une\ndroite. Laquelle de ces représentations la décrit ?", "options": [ { "text": "$x = t$, $\\; y = 3$, $\\; z = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux équations bloquent $y$ et $z$, et\nlaissent $x$ libre : c'est ce paramètre libre qui décrit la\ndroite." }, { "text": "$x = 5$, $\\; y = 3$, $\\; z = t$", "correct": false, "feedback": "C'est la cote $z$ qui est imposée à $5$, pas l'abscisse : la\ncoordonnée libre est $x$." }, { "text": "$x = 3$, $\\; y = t$, $\\; z = 5$", "correct": false, "feedback": "La première équation impose $y = 3$ : l'ordonnée ne peut donc\npas jouer le rôle de paramètre." }, { "text": "$x = t$, $\\; y = 3t$, $\\; z = 5t$", "correct": false, "feedback": "$y$ et $z$ sont des constantes, pas des multiples de $t$ : cette\ndroite quitterait les deux plans dès que $t \\neq 1$." } ], "explanation": "Résoudre le système de deux équations de plans, c'est exprimer les\ninconnues contraintes et garder la coordonnée libre comme paramètre.\nIci $y$ et $z$ sont fixés, $x$ parcourt $\\mathbb{R}$." } ] }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "plans-paralleles", "parallelisme" ], "title": "Régler un parallélisme", "partie": "positions", "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les plans $\\mathcal{P}$ :\n$2x - 3y + mz + 1 = 0$ et $\\mathcal{Q}$ :\n$6x - 9y + 12z + 7 = 0$ sont-ils parallèles ?", "options": [ { "text": "$m = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n_2} = 3\\,\\vec{n_1}$ impose\n$12 = 3m$, donc $m = 4$." }, { "text": "$m = 12$", "correct": false, "feedback": "$12$ est le coefficient de $z$ dans $\\mathcal{Q}$ : il vaut\n$3$ fois celui de $\\mathcal{P}$, à savoir $4$." }, { "text": "$m = -4$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : la colinéarité des normaux se fait avec un\ncoefficient positif $3$ sur les trois coordonnées." }, { "text": "$m = 3$", "correct": false, "feedback": "$3$ est le rapport de proportionnalité entre les deux\nvecteurs normaux, pas la valeur cherchée de $m$." } ], "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux\nsont colinéaires. On compare les coefficients terme à terme :\n$6 = 3 \\times 2$, $-9 = 3 \\times -3$, donc\n$12 = 3m$ et $m = 4$.", "variants": [ { "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les plans $\\mathcal{P}$ :\n$2x - 3y + mz + 1 = 0$ et $\\mathcal{Q}$ :\n$6x - 9y + 12z + 7 = 0$ sont-ils parallèles ?", "options": [ { "text": "$m = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n_2} = 3\\,\\vec{n_1}$ impose\n$12 = 3m$, donc $m = 4$." }, { "text": "$m = 12$", "correct": false, "feedback": "$12$ est le coefficient de $z$ dans $\\mathcal{Q}$ : il vaut\n$3$ fois celui de $\\mathcal{P}$, à savoir $4$." }, { "text": "$m = -4$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : la colinéarité des normaux se fait avec un\ncoefficient positif $3$ sur les trois coordonnées." }, { "text": "$m = 3$", "correct": false, "feedback": "$3$ est le rapport de proportionnalité entre les deux\nvecteurs normaux, pas la valeur cherchée de $m$." } ], "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux\nsont colinéaires. On compare les coefficients terme à terme :\n$6 = 3 \\times 2$, $-9 = 3 \\times -3$, donc\n$12 = 3m$ et $m = 4$." }, { "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les plans $\\mathcal{P}$ :\n$3x + 4y + mz + 1 = 0$ et $\\mathcal{Q}$ :\n$6x + 8y - 10z + 7 = 0$ sont-ils parallèles ?", "options": [ { "text": "$m = -5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n_2} = 2\\,\\vec{n_1}$ impose\n$-10 = 2m$, donc $m = -5$." }, { "text": "$m = -10$", "correct": false, "feedback": "$-10$ est le coefficient de $z$ dans $\\mathcal{Q}$ : il vaut\n$2$ fois celui de $\\mathcal{P}$, à savoir $-5$." }, { "text": "$m = 5$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : la colinéarité des normaux se fait avec un\ncoefficient positif $2$ sur les trois coordonnées." }, { "text": "$m = 2$", "correct": false, "feedback": "$2$ est le rapport de proportionnalité entre les deux\nvecteurs normaux, pas la valeur cherchée de $m$." } ], "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux\nsont colinéaires. On compare les coefficients terme à terme :\n$6 = 2 \\times 3$, $8 = 2 \\times 4$, donc\n$-10 = 2m$ et $m = -5$." }, { "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les plans $\\mathcal{P}$ :\n$5x - 2y + mz + 1 = 0$ et $\\mathcal{Q}$ :\n$10x - 4y + 6z + 7 = 0$ sont-ils parallèles ?", "options": [ { "text": "$m = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n_2} = 2\\,\\vec{n_1}$ impose\n$6 = 2m$, donc $m = 3$." }, { "text": "$m = 6$", "correct": false, "feedback": "$6$ est le coefficient de $z$ dans $\\mathcal{Q}$ : il vaut\n$2$ fois celui de $\\mathcal{P}$, à savoir $3$." }, { "text": "$m = -3$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : la colinéarité des normaux se fait avec un\ncoefficient positif $2$ sur les trois coordonnées." }, { "text": "$m = 2$", "correct": false, "feedback": "$2$ est le rapport de proportionnalité entre les deux\nvecteurs normaux, pas la valeur cherchée de $m$." } ], "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux\nsont colinéaires. On compare les coefficients terme à terme :\n$10 = 2 \\times 5$, $-4 = 2 \\times -2$, donc\n$6 = 2m$ et $m = 3$." }, { "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les plans $\\mathcal{P}$ :\n$2x - 3y + mz + 1 = 0$ et $\\mathcal{Q}$ :\n$6x - 9y + 15z + 7 = 0$ sont-ils parallèles ?", "options": [ { "text": "$m = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{n_2} = 3\\,\\vec{n_1}$ impose\n$15 = 3m$, donc $m = 5$." }, { "text": "$m = 15$", "correct": false, "feedback": "$15$ est le coefficient de $z$ dans $\\mathcal{Q}$ : il vaut\n$3$ fois celui de $\\mathcal{P}$, à savoir $5$." }, { "text": "$m = -5$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : la colinéarité des normaux se fait avec un\ncoefficient positif $3$ sur les trois coordonnées." }, { "text": "$m = 3$", "correct": false, "feedback": "$3$ est le rapport de proportionnalité entre les deux\nvecteurs normaux, pas la valeur cherchée de $m$." } ], "explanation": "Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux\nsont colinéaires. On compare les coefficients terme à terme :\n$6 = 3 \\times 2$, $-9 = 3 \\times -3$, donc\n$15 = 3m$ et $m = 5$." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "droite-orthogonale-plan", "equation" ], "title": "Plan orthogonal à une droite", "partie": "plans", "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(2\\,;\\,3\\,;\\,-2)$ et orthogonal à la droite $d$ :\n$x = 1 + 3t$, $y = 2 - 4t$, $z = 4 + 2t$ ?", "options": [ { "text": "$3x - 4y + 2z + 10 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le vecteur directeur\n$\\vec{u}(3\\,;\\,-4\\,;\\,2)$ est normal au plan, et $A$\nfixe la constante à $10$." }, { "text": "$3x - 4y + 2z - 10 = 0$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : en substituant $A$ on obtient\n$-10 + d = 0$, donc $d = 10$." }, { "text": "$2x + 3y - 2z - 17 = 0$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $A$ ont servi de coefficients. Ce sont celles\ndu vecteur directeur de $d$ qui donnent la direction normale." }, { "text": "$3x - 4y + 2z = 0$", "correct": false, "feedback": "La direction normale est correcte, mais ce plan passe par\nl'origine et non par $A$ : le terme constant manque." } ], "explanation": "Un plan orthogonal à une droite admet le vecteur directeur de cette\ndroite pour vecteur normal. Les coefficients de $t$ donnent donc\ndirectement $a$, $b$ et $c$, et le point $A$ détermine $d$.", "variants": [ { "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(2\\,;\\,3\\,;\\,-2)$ et orthogonal à la droite $d$ :\n$x = 1 + 3t$, $y = 2 - 4t$, $z = 4 + 2t$ ?", "options": [ { "text": "$3x - 4y + 2z + 10 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le vecteur directeur\n$\\vec{u}(3\\,;\\,-4\\,;\\,2)$ est normal au plan, et $A$\nfixe la constante à $10$." }, { "text": "$3x - 4y + 2z - 10 = 0$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : en substituant $A$ on obtient\n$-10 + d = 0$, donc $d = 10$." }, { "text": "$2x + 3y - 2z - 17 = 0$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $A$ ont servi de coefficients. Ce sont celles\ndu vecteur directeur de $d$ qui donnent la direction normale." }, { "text": "$3x - 4y + 2z = 0$", "correct": false, "feedback": "La direction normale est correcte, mais ce plan passe par\nl'origine et non par $A$ : le terme constant manque." } ], "explanation": "Un plan orthogonal à une droite admet le vecteur directeur de cette\ndroite pour vecteur normal. Les coefficients de $t$ donnent donc\ndirectement $a$, $b$ et $c$, et le point $A$ détermine $d$." }, { "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(4\\,;\\,3\\,;\\,2)$ et orthogonal à la droite $d$ :\n$x = 3 + 2t$, $y = 1 + 5t$, $z = 2 - 3t$ ?", "options": [ { "text": "$2x + 5y - 3z - 17 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le vecteur directeur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,5\\,;\\,-3)$ est normal au plan, et $A$\nfixe la constante à $-17$." }, { "text": "$2x + 5y - 3z + 17 = 0$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : en substituant $A$ on obtient\n$17 + d = 0$, donc $d = -17$." }, { "text": "$4x + 3y + 2z - 29 = 0$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $A$ ont servi de coefficients. Ce sont celles\ndu vecteur directeur de $d$ qui donnent la direction normale." }, { "text": "$2x + 5y - 3z = 0$", "correct": false, "feedback": "La direction normale est correcte, mais ce plan passe par\nl'origine et non par $A$ : le terme constant manque." } ], "explanation": "Un plan orthogonal à une droite admet le vecteur directeur de cette\ndroite pour vecteur normal. Les coefficients de $t$ donnent donc\ndirectement $a$, $b$ et $c$, et le point $A$ détermine $d$." }, { "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(-2\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et orthogonal à la droite $d$ :\n$x = 2 + 4t$, $y = 5 - 3t$, $z = 1 + 5t$ ?", "options": [ { "text": "$4x - 3y + 5z - 1 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le vecteur directeur\n$\\vec{u}(4\\,;\\,-3\\,;\\,5)$ est normal au plan, et $A$\nfixe la constante à $-1$." }, { "text": "$4x - 3y + 5z + 1 = 0$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : en substituant $A$ on obtient\n$1 + d = 0$, donc $d = -1$." }, { "text": "$-2x + 2y + 3z - 17 = 0$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $A$ ont servi de coefficients. Ce sont celles\ndu vecteur directeur de $d$ qui donnent la direction normale." }, { "text": "$4x - 3y + 5z = 0$", "correct": false, "feedback": "La direction normale est correcte, mais ce plan passe par\nl'origine et non par $A$ : le terme constant manque." } ], "explanation": "Un plan orthogonal à une droite admet le vecteur directeur de cette\ndroite pour vecteur normal. Les coefficients de $t$ donnent donc\ndirectement $a$, $b$ et $c$, et le point $A$ détermine $d$." }, { "statement": "Quelle est une équation cartésienne du plan passant par\n$A(2\\,;\\,3\\,;\\,-2)$ et orthogonal à la droite $d$ :\n$x = 1 + 3t$, $y = 2 - 4t$, $z = 4 + 5t$ ?", "options": [ { "text": "$3x - 4y + 5z + 16 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le vecteur directeur\n$\\vec{u}(3\\,;\\,-4\\,;\\,5)$ est normal au plan, et $A$\nfixe la constante à $16$." }, { "text": "$3x - 4y + 5z - 16 = 0$", "correct": false, "feedback": "Signe de la constante : en substituant $A$ on obtient\n$-16 + d = 0$, donc $d = 16$." }, { "text": "$2x + 3y - 2z - 17 = 0$", "correct": false, "feedback": "Les coordonnées de $A$ ont servi de coefficients. Ce sont celles\ndu vecteur directeur de $d$ qui donnent la direction normale." }, { "text": "$3x - 4y + 5z = 0$", "correct": false, "feedback": "La direction normale est correcte, mais ce plan passe par\nl'origine et non par $A$ : le terme constant manque." } ], "explanation": "Un plan orthogonal à une droite admet le vecteur directeur de cette\ndroite pour vecteur normal. Les coefficients de $t$ donnent donc\ndirectement $a$, $b$ et $c$, et le point $A$ détermine $d$." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "droite-incluse-plan", "incluse" ], "title": "Une droite dans un plan", "partie": "positions", "statement": "Soient $d$ : $x = 2 + t$, $y = 1 - 2t$, $z = 3 + t$ et\n$\\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. Quelle est leur position\nrelative ?", "options": [ { "text": "$d$ est incluse dans $\\mathcal{P}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la substitution donne\n$(2+t) + (1-2t) + (3+t) - 6 = 0$, égalité vraie pour **tout**\n$t$ : chaque point de $d$ est dans le plan." }, { "text": "$d$ est parallèle à $\\mathcal{P}$ et disjointe", "correct": false, "feedback": "Il n'y aurait alors aucune solution, et la substitution\ndonnerait une égalité impossible du type $0 = 5$." }, { "text": "$d$ coupe $\\mathcal{P}$ en un unique point", "correct": false, "feedback": "Un point unique correspondrait à une équation du premier degré\nen $t$. Ici le paramètre disparaît complètement." }, { "text": "$d$ est orthogonale au plan $\\mathcal{P}$", "correct": false, "feedback": "Il faudrait $\\vec{u}(1\\,;\\,-2\\,;\\,1)$ colinéaire à\n$\\vec{n}(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$, ce qui est faux." } ], "explanation": "Substituer les expressions paramétriques dans l'équation du plan\ndépartage trois cas : identité, la droite est incluse ; égalité\nimpossible, la droite est parallèle stricte ; une solution unique, la\ndroite perce le plan." }, { "id": "q39", "difficulty": 1, "skills": [ "trois-points", "plan" ], "title": "Trois points et un plan", "partie": "parametriques", "statement": "Les points $A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,2\\,;\\,4)$ et\n$C(0\\,;\\,-1\\,;\\,1)$ définissent-ils un plan ?", "options": [ { "text": "Non : ils sont alignés", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,2\\,;\\,2)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(-1\\,;\\,-1\\,;\\,-1)$ sont colinéaires, donc\nune infinité de plans contiennent ces trois points." }, { "text": "Oui : trois points suffisent toujours", "correct": false, "feedback": "Il faut de plus qu'ils ne soient pas alignés, ce qui est\njustement mis en défaut ici." }, { "text": "Oui : ils sont deux à deux distincts", "correct": false, "feedback": "Des points distincts peuvent parfaitement être alignés, comme\nceux de l'énoncé." }, { "text": "Non : il en faudrait un quatrième", "correct": false, "feedback": "Un quatrième point serait une contrainte supplémentaire, souvent\nincompatible. Le vrai obstacle est l'alignement." } ], "explanation": "Trois points définissent un plan unique s'ils ne sont pas alignés. Le\ntest consiste à vérifier que $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires." }, { "id": "q40", "difficulty": 3, "skills": [ "unicite", "representation-parametrique" ], "title": "Deux écritures, une seule droite", "partie": "parametriques", "statement": "Les droites $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 3 - t$, $z = 2t$ et $d'$ :\n$x = 5 + 4s$, $y = 1 - 2s$, $z = 4 + 4s$ sont-elles confondues ?", "options": [ { "text": "Oui : même direction et un point commun", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(4\\,;\\,-2\\,;\\,4) = 2(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$, et le\npoint $(5\\,;\\,1\\,;\\,4)$ de $d'$ s'obtient sur $d$ pour $t = 2$." }, { "text": "Non : leurs vecteurs directeurs diffèrent", "correct": false, "feedback": "Ils sont colinéaires, donc équivalents : une droite admet une\ninfinité de vecteurs directeurs proportionnels." }, { "text": "Non : leurs paramètres ne coïncident pas", "correct": false, "feedback": "Chaque écriture a son propre paramètre : rien n'impose que $t$ et\n$s$ prennent la même valeur en un même point." }, { "text": "Oui, mais seulement pour $t = s = 0$", "correct": false, "feedback": "Deux droites confondues partagent **tous** leurs points. Et pour\n$t = s = 0$, on obtient justement deux points distincts." } ], "explanation": "Pour comparer deux représentations, on vérifie d'abord la colinéarité\ndes vecteurs directeurs, puis l'appartenance d'un point de l'une à\nl'autre. Les deux conditions réunies donnent des droites confondues." }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "piege", "equation" ], "title": "Deux équations, un seul plan", "partie": "positions", "statement": "Les équations $2x - y + z - 3 = 0$ et $-4x + 2y - 2z + 6 = 0$\ndécrivent-elles le même plan ?", "options": [ { "text": "Oui : la seconde est $-2$ fois la première", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute l'équation est multipliée par $-2$, terme\nconstant compris. Les solutions sont donc exactement les mêmes." }, { "text": "Non : leurs vecteurs normaux sont opposés", "correct": false, "feedback": "Des normaux opposés restent colinéaires : ils désignent la même\ndirection normale, au sens près." }, { "text": "Non : les constantes $-3$ et $6$ diffèrent", "correct": false, "feedback": "Il faut comparer les constantes dans la même proportion que les\ncoefficients : $6 = -2 \\times (-3)$, la proportion est\nrespectée." }, { "text": "Oui, sauf pour les points de cote nulle", "correct": false, "feedback": "Multiplier une équation par un nombre non nul ne change aucune\nsolution, quelle que soit la cote des points concernés." } ], "explanation": "Un plan admet une infinité d'équations cartésiennes, toutes\nproportionnelles entre elles. Deux équations décrivent le même plan\nlorsque les **quatre** coefficients sont proportionnels dans le même\nrapport." }, { "id": "q42", "difficulty": 1, "skills": [ "interpretation", "droite" ], "title": "Lire un système dans l'espace", "partie": "parametriques", "statement": "Dans l'espace muni d'un repère, quel objet le système\n$\\begin{cases} x + y = 1 \\\\ z = 2 \\end{cases}$ décrit-il ?", "options": [ { "text": "Une droite, intersection de deux plans", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque équation décrit un plan, et ces deux plans\nne sont pas parallèles : leur intersection est une droite." }, { "text": "Un point, celui de coordonnées $(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Ce point convient, mais $(0\\,;\\,1\\,;\\,2)$ aussi, et une infinité\nd'autres : il faudrait une troisième équation pour isoler un\npoint." }, { "text": "Un plan, car il y a deux équations", "correct": false, "feedback": "Chaque équation prise seule décrit un plan ; les imposer toutes\nles deux restreint l'ensemble des solutions." }, { "text": "L'ensemble vide : le système est impossible", "correct": false, "feedback": "Les deux équations portent sur des variables différentes : aucune\ncontradiction, et $(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$ est bien solution." } ], "explanation": "Dans l'espace, une équation du premier degré décrit un plan. Un\nsystème de deux équations de plans non parallèles décrit leur\nintersection, c'est-à-dire une droite." }, { "id": "q43", "difficulty": 1, "skills": [ "droite-plan", "positions-relatives" ], "title": "Combien de points communs", "partie": "positions", "statement": "La droite $d$ est dirigée par $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et le plan\n$\\mathcal{P}$ a pour équation $3x + y + 2z - 4 = 0$. Combien\nont-ils de points communs ?", "options": [ { "text": "Un seul : $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} \\neq 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $3 + 2 - 2 = 3 \\neq 0$, la direction de $d$\nn'est pas une direction du plan : la droite le perce en un point." }, { "text": "Aucun : $d$ est parallèle à $\\mathcal{P}$", "correct": false, "feedback": "Le parallélisme exigerait $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 0$, or ce\nproduit scalaire vaut $3$." }, { "text": "Une infinité : $d$ est incluse dans $\\mathcal{P}$", "correct": false, "feedback": "L'inclusion suppose d'abord le parallélisme, donc un produit\nscalaire nul, ce qui n'est pas le cas." }, { "text": "Impossible à dire sans un point de $d$", "correct": false, "feedback": "Un point serait nécessaire pour distinguer parallèle stricte et\nincluse. Ici le produit scalaire non nul tranche déjà." } ], "explanation": "Le produit scalaire $\\vec{u} \\cdot \\vec{n}$ décide seul du nombre de\npoints communs : non nul, un point unique ; nul, aucun point ou une\ninfinité, et c'est alors un point de la droite qui départage." }, { "id": "q44", "difficulty": 2, "skills": [ "intersection", "parametre" ], "title": "Percer le plan de base", "partie": "positions", "statement": "En quel point la droite $d$ : $x = 1 + 2t$,\n$y = 3 - 4t$, $z = 4 + 2t$ coupe-t-elle le plan\nd'équation $z = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-3\\,;\\,11\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4 + 2t = 0$ donne $t = -2$, valeur que\nl'on reporte dans $x$ et $y$." }, { "text": "$(5\\,;\\,-5\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Signe du paramètre : l'équation $4 + 2t = 0$ donne\n$t = -2$, et non son opposé." }, { "text": "$(1\\,;\\,3\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Annuler la cote ne suffit pas : $x$ et $y$ dépendent aussi de\n$t$, et bougent donc avec lui." }, { "text": "La droite ne coupe pas ce plan", "correct": false, "feedback": "Il faudrait que $z$ ne dépende pas de $t$, c'est-à-dire un\ncoefficient nul. Ici il vaut $2$." } ], "explanation": "Le plan $z = 0$ s'obtient en annulant la troisième coordonnée :\non résout $4 + 2t = 0$, ce qui donne $t = -2$, puis on\nreporte dans les deux autres équations.", "variants": [ { "statement": "En quel point la droite $d$ : $x = 1 + 2t$,\n$y = 3 - 4t$, $z = 4 + 2t$ coupe-t-elle le plan\nd'équation $z = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(-3\\,;\\,11\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4 + 2t = 0$ donne $t = -2$, valeur que\nl'on reporte dans $x$ et $y$." }, { "text": "$(5\\,;\\,-5\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Signe du paramètre : l'équation $4 + 2t = 0$ donne\n$t = -2$, et non son opposé." }, { "text": "$(1\\,;\\,3\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Annuler la cote ne suffit pas : $x$ et $y$ dépendent aussi de\n$t$, et bougent donc avec lui." }, { "text": "La droite ne coupe pas ce plan", "correct": false, "feedback": "Il faudrait que $z$ ne dépende pas de $t$, c'est-à-dire un\ncoefficient nul. Ici il vaut $2$." } ], "explanation": "Le plan $z = 0$ s'obtient en annulant la troisième coordonnée :\non résout $4 + 2t = 0$, ce qui donne $t = -2$, puis on\nreporte dans les deux autres équations." }, { "statement": "En quel point la droite $d$ : $x = 2 + 3t$,\n$y = -1 + 4t$, $z = 6 - 3t$ coupe-t-elle le plan\nd'équation $z = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(8\\,;\\,7\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6 - 3t = 0$ donne $t = 2$, valeur que\nl'on reporte dans $x$ et $y$." }, { "text": "$(-4\\,;\\,-9\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Signe du paramètre : l'équation $6 - 3t = 0$ donne\n$t = 2$, et non son opposé." }, { "text": "$(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Annuler la cote ne suffit pas : $x$ et $y$ dépendent aussi de\n$t$, et bougent donc avec lui." }, { "text": "La droite ne coupe pas ce plan", "correct": false, "feedback": "Il faudrait que $z$ ne dépende pas de $t$, c'est-à-dire un\ncoefficient nul. Ici il vaut $-3$." } ], "explanation": "Le plan $z = 0$ s'obtient en annulant la troisième coordonnée :\non résout $6 - 3t = 0$, ce qui donne $t = 2$, puis on\nreporte dans les deux autres équations." }, { "statement": "En quel point la droite $d$ : $x = -1 + 3t$,\n$y = 2 + 2t$, $z = 15 - 5t$ coupe-t-elle le plan\nd'équation $z = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(8\\,;\\,8\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $15 - 5t = 0$ donne $t = 3$, valeur que\nl'on reporte dans $x$ et $y$." }, { "text": "$(-10\\,;\\,-4\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Signe du paramètre : l'équation $15 - 5t = 0$ donne\n$t = 3$, et non son opposé." }, { "text": "$(-1\\,;\\,2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Annuler la cote ne suffit pas : $x$ et $y$ dépendent aussi de\n$t$, et bougent donc avec lui." }, { "text": "La droite ne coupe pas ce plan", "correct": false, "feedback": "Il faudrait que $z$ ne dépende pas de $t$, c'est-à-dire un\ncoefficient nul. Ici il vaut $-5$." } ], "explanation": "Le plan $z = 0$ s'obtient en annulant la troisième coordonnée :\non résout $15 - 5t = 0$, ce qui donne $t = 3$, puis on\nreporte dans les deux autres équations." }, { "statement": "En quel point la droite $d$ : $x = 1 + 2t$,\n$y = 3 + 4t$, $z = 6 - 3t$ coupe-t-elle le plan\nd'équation $z = 0$ ?", "options": [ { "text": "$(5\\,;\\,11\\,;\\,0)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6 - 3t = 0$ donne $t = 2$, valeur que\nl'on reporte dans $x$ et $y$." }, { "text": "$(-3\\,;\\,-5\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Signe du paramètre : l'équation $6 - 3t = 0$ donne\n$t = 2$, et non son opposé." }, { "text": "$(1\\,;\\,3\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Annuler la cote ne suffit pas : $x$ et $y$ dépendent aussi de\n$t$, et bougent donc avec lui." }, { "text": "La droite ne coupe pas ce plan", "correct": false, "feedback": "Il faudrait que $z$ ne dépende pas de $t$, c'est-à-dire un\ncoefficient nul. Ici il vaut $-3$." } ], "explanation": "Le plan $z = 0$ s'obtient en annulant la troisième coordonnée :\non résout $6 - 3t = 0$, ce qui donne $t = 2$, puis on\nreporte dans les deux autres équations." } ] }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "systeme", "droite" ], "title": "Une droite par deux équations", "partie": "positions", "statement": "Soit $d$ : $x = 2 + 3t$, $y = 4 - 3t$, $z = 5$.\nPar quel système d'équations cartésiennes peut-on décrire $d$ ?", "options": [ { "text": "$x + y = 6$ et $z = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x + y = (2 + 3t) + (4 - 3t) =\n6$, valeur constante, et la cote reste égale à $5$." }, { "text": "$x - y = -2$ et $z = 5$", "correct": false, "feedback": "La différence $x - y$ n'est pas constante : les termes en $t$ ne\ns'éliminent plus, ils se cumulent." }, { "text": "$x + y = 6$, sans condition sur $z$", "correct": false, "feedback": "Une seule équation décrit un plan entier. Il faut la seconde,\n$z = 5$, pour restreindre à la droite." }, { "text": "$x = 2$, $y = 4$ et $z = 5$", "correct": false, "feedback": "Trois équations de ce type isolent un point unique, celui obtenu\npour $t = 0$, et non la droite entière." } ], "explanation": "Une droite de l'espace se décrit par un système de deux équations de\nplans sécants. Ici on élimine le paramètre en additionnant les deux\npremières équations, et la cote constante fournit la seconde\ncondition.", "variants": [ { "statement": "Soit $d$ : $x = 2 + 3t$, $y = 4 - 3t$, $z = 5$.\nPar quel système d'équations cartésiennes peut-on décrire $d$ ?", "options": [ { "text": "$x + y = 6$ et $z = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x + y = (2 + 3t) + (4 - 3t) =\n6$, valeur constante, et la cote reste égale à $5$." }, { "text": "$x - y = -2$ et $z = 5$", "correct": false, "feedback": "La différence $x - y$ n'est pas constante : les termes en $t$ ne\ns'éliminent plus, ils se cumulent." }, { "text": "$x + y = 6$, sans condition sur $z$", "correct": false, "feedback": "Une seule équation décrit un plan entier. Il faut la seconde,\n$z = 5$, pour restreindre à la droite." }, { "text": "$x = 2$, $y = 4$ et $z = 5$", "correct": false, "feedback": "Trois équations de ce type isolent un point unique, celui obtenu\npour $t = 0$, et non la droite entière." } ], "explanation": "Une droite de l'espace se décrit par un système de deux équations de\nplans sécants. Ici on élimine le paramètre en additionnant les deux\npremières équations, et la cote constante fournit la seconde\ncondition." }, { "statement": "Soit $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 4 - 2t$, $z = -1$.\nPar quel système d'équations cartésiennes peut-on décrire $d$ ?", "options": [ { "text": "$x + y = 5$ et $z = -1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x + y = (1 + 2t) + (4 - 2t) =\n5$, valeur constante, et la cote reste égale à $-1$." }, { "text": "$x - y = -3$ et $z = -1$", "correct": false, "feedback": "La différence $x - y$ n'est pas constante : les termes en $t$ ne\ns'éliminent plus, ils se cumulent." }, { "text": "$x + y = 5$, sans condition sur $z$", "correct": false, "feedback": "Une seule équation décrit un plan entier. Il faut la seconde,\n$z = -1$, pour restreindre à la droite." }, { "text": "$x = 1$, $y = 4$ et $z = -1$", "correct": false, "feedback": "Trois équations de ce type isolent un point unique, celui obtenu\npour $t = 0$, et non la droite entière." } ], "explanation": "Une droite de l'espace se décrit par un système de deux équations de\nplans sécants. Ici on élimine le paramètre en additionnant les deux\npremières équations, et la cote constante fournit la seconde\ncondition." }, { "statement": "Soit $d$ : $x = 5 + 4t$, $y = 2 - 4t$, $z = 3$.\nPar quel système d'équations cartésiennes peut-on décrire $d$ ?", "options": [ { "text": "$x + y = 7$ et $z = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x + y = (5 + 4t) + (2 - 4t) =\n7$, valeur constante, et la cote reste égale à $3$." }, { "text": "$x - y = 3$ et $z = 3$", "correct": false, "feedback": "La différence $x - y$ n'est pas constante : les termes en $t$ ne\ns'éliminent plus, ils se cumulent." }, { "text": "$x + y = 7$, sans condition sur $z$", "correct": false, "feedback": "Une seule équation décrit un plan entier. Il faut la seconde,\n$z = 3$, pour restreindre à la droite." }, { "text": "$x = 5$, $y = 2$ et $z = 3$", "correct": false, "feedback": "Trois équations de ce type isolent un point unique, celui obtenu\npour $t = 0$, et non la droite entière." } ], "explanation": "Une droite de l'espace se décrit par un système de deux équations de\nplans sécants. Ici on élimine le paramètre en additionnant les deux\npremières équations, et la cote constante fournit la seconde\ncondition." }, { "statement": "Soit $d$ : $x = 3 + 5t$, $y = -2 - 5t$, $z = 4$.\nPar quel système d'équations cartésiennes peut-on décrire $d$ ?", "options": [ { "text": "$x + y = 1$ et $z = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x + y = (3 + 5t) + (-2 - 5t) =\n1$, valeur constante, et la cote reste égale à $4$." }, { "text": "$x - y = 5$ et $z = 4$", "correct": false, "feedback": "La différence $x - y$ n'est pas constante : les termes en $t$ ne\ns'éliminent plus, ils se cumulent." }, { "text": "$x + y = 1$, sans condition sur $z$", "correct": false, "feedback": "Une seule équation décrit un plan entier. Il faut la seconde,\n$z = 4$, pour restreindre à la droite." }, { "text": "$x = 3$, $y = -2$ et $z = 4$", "correct": false, "feedback": "Trois équations de ce type isolent un point unique, celui obtenu\npour $t = 0$, et non la droite entière." } ], "explanation": "Une droite de l'espace se décrit par un système de deux équations de\nplans sécants. Ici on élimine le paramètre en additionnant les deux\npremières équations, et la cote constante fournit la seconde\ncondition." } ] } ] }