{
  "chapter": {
    "id": "schema-bernoulli-loi-binomiale",
    "level": "terminale-specialite",
    "theme": "Probabilités",
    "title": "Schéma de Bernoulli et loi binomiale",
    "description": "Succession d'épreuves indépendantes (probabilité d'une liste\nd'issues par produit), épreuve et loi de Bernoulli, schéma de\nBernoulli, loi binomiale $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : formule\n$P(X = k)$, espérance et variance, problèmes de seuil.",
    "parties": [
      {
        "id": "bernoulli",
        "title": "Épreuve et schéma de Bernoulli"
      },
      {
        "id": "binomiale",
        "title": "Loi binomiale et coefficients"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Calculs de probabilités"
      },
      {
        "id": "parametres",
        "title": "Espérance, variance et modélisation"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "bernoulli"
      ],
      "title": "Épreuve de Bernoulli",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une expérience à exactement deux issues",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux issues seulement, le succès de\nprobabilité $p$ et l'échec de probabilité $1 - p$.\nExemples : pile ou face, gagné ou perdu, pièce\ndéfectueuse ou conforme."
        },
        {
          "text": "Une expérience répétée $p$ fois de suite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p$ est une **probabilité** (entre $0$ et $1$),\npas un nombre de répétitions. La répétition relève du\nschéma de Bernoulli, avec un paramètre $n$ entier."
        },
        {
          "text": "Une expérience dont les issues sont équiprobables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'impose $p = \\dfrac{1}{2}$. Une épreuve de\nBernoulli peut être très déséquilibrée ($p = 0{,}01$)."
        },
        {
          "text": "Une expérience à deux issues répétée indéfiniment",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'épreuve de Bernoulli est **une seule**\nexpérience. Sa répétition en nombre fixé $n$ constitue le\nschéma de Bernoulli."
        }
      ],
      "explanation": "Épreuve de Bernoulli : une expérience, deux issues, succès de\nprobabilité $p$. La variable qui vaut $1$ en cas de succès et\n$0$ sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Conditions d'une loi binomiale",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Dans quelle situation la variable $X$ suit-elle une loi\nbinomiale $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X$ compte les succès de $n$ épreuves de Bernoulli\nindépendantes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : trois ingrédients : la même épreuve de\nBernoulli de paramètre $p$ répétée $n$ fois,\nl'indépendance des répétitions, et $X$ égal au **nombre\nde succès**."
        },
        {
          "text": "$X$ compte les succès dans $n$ tirages **sans remise** dans\nune urne",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : sans remise, la composition de l'urne\nchange à chaque tirage, les épreuves ne sont ni identiques\nni indépendantes. (Avec remise, en revanche, c'est\nbinomial.)"
        },
        {
          "text": "$X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rang du premier succès suit une loi\n**géométrique** (approfondissement), pas binomiale. La\nbinomiale compte les succès sur un nombre fixé d'épreuves."
        },
        {
          "text": "$X$ prend ses valeurs entières entre $0$ et $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : bien des variables vivent dans\n$\\{0, \\ldots, n\\}$ sans être binomiales. Ce sont les\nhypothèses de répétition indépendante qui font la\nbinomiale."
        }
      ],
      "explanation": "$X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ exige : $n$ répétitions d'une\nmême épreuve de Bernoulli, indépendance (typiquement tirages\n**avec remise**), et $X$ = nombre de succès."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "succession-epreuves",
        "produit"
      ],
      "title": "Probabilité d'une liste d'issues",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "On répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de\nBernoulli avec $p = 0{,}3$. Quelle est la probabilité de la\nliste d'issues (succès, échec, succès) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}063$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, la probabilité d'une\nliste d'issues est le **produit** des probabilités de\nchaque issue : $0{,}3 \\times 0{,}7 \\times 0{,}3 =\n0{,}063$."
        },
        {
          "text": "$1{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : $0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3$ dépasse\n$1$, ce qu'une probabilité ne fait jamais. L'addition\nsert pour des événements incompatibles ; une succession\nd'issues se traite par **produit**."
        },
        {
          "text": "$0{,}027$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3^3 = 0{,}027$ est la probabilité de\n(succès, succès, succès). La deuxième épreuve est ici un\n**échec**, de probabilité $0{,}7$."
        },
        {
          "text": "$0{,}147$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3 \\times 0{,}7^2 = 0{,}147$ compterait un\nsuccès et **deux** échecs. La liste demandée contient\ndeux succès et un échec : $0{,}3^2 \\times 0{,}7$."
        }
      ],
      "explanation": "Principe fondamental de la succession d'épreuves\nindépendantes : $P(x_1, \\ldots, x_n) = P(x_1) \\times \\cdots\n\\times P(x_n)$. Ici $0{,}3 \\times 0{,}7 \\times 0{,}3 =\n0{,}063$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formule",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer $P(X = k)$",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}2048$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k\n(1-p)^{n-k}$, soit $\\binom{5}{2} \\times 0{,}2^2 \\times\n0{,}8^3 = 10 \\times 0{,}04 \\times 0{,}512 = 0{,}2048$."
        },
        {
          "text": "$0{,}02048$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du coefficient binomial : $0{,}2^2 \\times 0{,}8^3\n= 0{,}02048$ est la probabilité d'**une seule** liste à\ndeux succès. Il y a $\\binom{5}{2} = 10$ listes\npossibles."
        },
        {
          "text": "$0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2^2 = 0{,}04$ ignore les trois échecs\n(facteur $0{,}8^3$) et le nombre de placements des\nsuccès (facteur $\\binom{5}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$0{,}32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : $\\binom{5}{2} \\times 0{,}2^2 \\times\n0{,}8 = 0{,}32$ ne compte qu'un échec. Il y a $n - k =\n3$ échecs, donc $0{,}8^3$ : les exposants doivent\ntotaliser $n = 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule binomiale : $P(X = k) = \\binom{n}{k}\\,p^k(1-p)^{n-k}$.\nLe coefficient compte les positions des succès, les puissances\ndonnent la probabilité d'une liste. Ici $0{,}2048$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une binomiale",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \\times 0{,}3 = 6$. En\nmoyenne, $6$ succès sur $20$ épreuves."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3$ est l'espérance d'**une seule** épreuve de\nBernoulli. Sur $20$ épreuves, les espérances s'additionnent\n: $20 \\times 0{,}3$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement\nsi tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 6$."
        },
        {
          "text": "$4{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $4{,}2 = np(1-p)$ est la **variance** de $X$,\npas son espérance."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : $E(X) = np$ et\n$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 6$ et $V(X) = 4{,}2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \\times 0{,}3 = 6$. En\nmoyenne, $6$ succès sur $20$ épreuves."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}3$ est l'espérance d'**une seule** épreuve de\nBernoulli. Sur $20$ épreuves, les espérances s'additionnent\n: $20 \\times 0{,}3$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement\nsi tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 6$."
            },
            {
              "text": "$4{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $4{,}2 = np(1-p)$ est la **variance** de $X$,\npas son espérance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : $E(X) = np$ et\n$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 6$ et $V(X) = 4{,}2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \\times 0{,}2 = 10$. En\nmoyenne, $10$ succès sur $50$ épreuves."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est l'espérance d'**une seule** épreuve de\nBernoulli. Sur $50$ épreuves, les espérances s'additionnent\n: $50 \\times 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $50$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement\nsi tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 10$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $8 = np(1-p)$ est la **variance** de $X$,\npas son espérance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : $E(X) = np$ et\n$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 10$ et $V(X) = 8$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(30\\,;\\,0{,}4)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 30 \\times 0{,}4 = 12$. En\nmoyenne, $12$ succès sur $30$ épreuves."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}4$ est l'espérance d'**une seule** épreuve de\nBernoulli. Sur $30$ épreuves, les espérances s'additionnent\n: $30 \\times 0{,}4$."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $30$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement\nsi tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 12$."
            },
            {
              "text": "$7{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $7{,}2 = np(1-p)$ est la **variance** de $X$,\npas son espérance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : $E(X) = np$ et\n$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 12$ et $V(X) = 7{,}2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(25\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $E(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 25 \\times 0{,}2 = 5$. En\nmoyenne, $5$ succès sur $25$ épreuves."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est l'espérance d'**une seule** épreuve de\nBernoulli. Sur $25$ épreuves, les espérances s'additionnent\n: $25 \\times 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $25$ est le nombre d'épreuves, atteint seulement\nsi tout réussit. La moyenne pondère par $p$ : $np = 5$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $4 = np(1-p)$ est la **variance** de $X$,\npas son espérance."
            }
          ],
          "explanation": "Pour $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ : $E(X) = np$ et\n$V(X) = np(1-p)$. Ici $E(X) = 5$ et $V(X) = 4$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance"
      ],
      "title": "Variance d'une binomiale",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 20 \\times 0{,}3 \\times\n0{,}7 = 4{,}2$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $6 = np$ est l'**espérance**. La variance\najoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 4{,}2$."
        },
        {
          "text": "$\\sqrt{4{,}2} \\approx 2{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\sqrt{np(1-p)}$ est l'**écart-type**\n$\\sigma(X)$. La variance est son carré : $4{,}2$."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $14 = 20 \\times 0{,}7 = n(1-p)$ est l'espérance du\nnombre d'**échecs**. La variance vaut $np(1-p)$."
        }
      ],
      "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au\nprogramme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici\n$20 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7 = 4{,}2$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 20 \\times 0{,}3 \\times\n0{,}7 = 4{,}2$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $6 = np$ est l'**espérance**. La variance\najoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 4{,}2$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{4{,}2} \\approx 2{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\sqrt{np(1-p)}$ est l'**écart-type**\n$\\sigma(X)$. La variance est son carré : $4{,}2$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $14 = 20 \\times 0{,}7 = n(1-p)$ est l'espérance du\nnombre d'**échecs**. La variance vaut $np(1-p)$."
            }
          ],
          "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au\nprogramme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici\n$20 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7 = 4{,}2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 50 \\times 0{,}2 \\times\n0{,}8 = 8$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $10 = np$ est l'**espérance**. La variance\najoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 8$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{8} \\approx 2{,}83$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\sqrt{np(1-p)}$ est l'**écart-type**\n$\\sigma(X)$. La variance est son carré : $8$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $40 = 50 \\times 0{,}8 = n(1-p)$ est l'espérance du\nnombre d'**échecs**. La variance vaut $np(1-p)$."
            }
          ],
          "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au\nprogramme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici\n$50 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8 = 8$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(30\\,;\\,0{,}4)$. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 30 \\times 0{,}4 \\times\n0{,}6 = 7{,}2$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $12 = np$ est l'**espérance**. La variance\najoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 7{,}2$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{7{,}2} \\approx 2{,}68$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\sqrt{np(1-p)}$ est l'**écart-type**\n$\\sigma(X)$. La variance est son carré : $7{,}2$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18 = 30 \\times 0{,}6 = n(1-p)$ est l'espérance du\nnombre d'**échecs**. La variance vaut $np(1-p)$."
            }
          ],
          "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au\nprogramme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici\n$30 \\times 0{,}4 \\times 0{,}6 = 7{,}2$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(25\\,;\\,0{,}4)$. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 25 \\times 0{,}4 \\times\n0{,}6 = 6$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $10 = np$ est l'**espérance**. La variance\najoute le facteur $(1-p)$ : $np(1-p) = 6$."
            },
            {
              "text": "$\\sqrt{6} \\approx 2{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $\\sqrt{np(1-p)}$ est l'**écart-type**\n$\\sigma(X)$. La variance est son carré : $6$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $15 = 25 \\times 0{,}6 = n(1-p)$ est l'espérance du\nnombre d'**échecs**. La variance vaut $np(1-p)$."
            }
          ],
          "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ pour une binomiale (démonstration au\nprogramme via la somme de $n$ Bernoulli indépendantes). Ici\n$25 \\times 0{,}4 \\times 0{,}6 = 6$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arbre",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Chemins dans l'arbre",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "On représente un schéma de Bernoulli à $n = 3$ épreuves par un\narbre. Combien de chemins réalisent exactement $2$ succès ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un chemin est déterminé par les positions\ndes succès : SSE, SES, ESS, soit $\\binom{3}{2} = 3$\nchemins."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ne confonds pas le **nombre de succès** ($2$) avec\nle nombre de chemins qui le réalisent ($\\binom{3}{2} = 3$)."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^3 = 8$ est le nombre **total** de chemins de\nl'arbre. Seuls $3$ d'entre eux comptent exactement deux\nsuccès."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = 3!$ ordonnerait trois objets distincts. Ici\nles deux succès sont interchangeables : $\\binom{3}{2} = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, les chemins à $k$ succès\nparmi $n$ épreuves sont au nombre de $\\binom{n}{k}$ : c'est\nexactement l'origine du coefficient dans la formule\nbinomiale."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "complementaire"
      ],
      "title": "Passer par l'événement contraire",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}5)$. Que vaut\n$P(X \\geq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}9375$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire de « au moins un\nsuccès » est « aucun succès » : $P(X \\geq 1) = 1 - P(X =\n0) = 1 - (1-p)^n = 1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375$."
        },
        {
          "text": "$0{,}0625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5^4 = 0{,}0625 = P(X = 0)$, la probabilité\nde l'événement **contraire**. Il faut la retrancher de\n$1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un succès sur **une**\népreuve. Sur quatre épreuves, obtenir au moins un succès\nest bien plus probable : $0{,}9375$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : $4 \\times 0{,}5 = 2$ dépasse $1$ ($2$ est\nici l'espérance $np$, pas une probabilité). Le bon\nchemin passe par le complémentaire."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe « au moins un » : passer au contraire.\n$P(X \\geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$. Ici\n$1 - 0{,}0625 = 0{,}9375$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "cumul",
        "calculatrice"
      ],
      "title": "Écrire $P(X \\geq 8)$ pour la calculatrice",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}9)$. La calculatrice ne\nfournit que les probabilités cumulées $P(X \\leq k)$. Quelle\nécriture donne $P(X \\geq 8)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1 - P(X \\leq 7)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « $X \\geq 8$ » est\n« $X \\leq 7$ » (variable à valeurs entières). D'où\n$P(X \\geq 8) = 1 - P(X \\leq 7)$."
        },
        {
          "text": "$1 - P(X \\leq 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de borne classique : $1 - P(X \\leq 8) =\nP(X \\geq 9)$, ce qui **exclut** la valeur $8$. Le contraire\nde $X \\geq 8$ s'arrête à $7$."
        },
        {
          "text": "$P(X \\leq 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $P(X \\leq 8)$ cumule les valeurs\n**jusqu'à** $8$, alors qu'on veut celles à partir de $8$."
        },
        {
          "text": "$P(X = 8)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $X \\geq 8$ regroupe les valeurs $8$, $9$ et\n$10$ ; il manque $P(X = 9)$ et $P(X = 10)$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une variable entière : $P(X \\geq k) = 1 - P(X \\leq k-1)$.\nL'erreur de borne (utiliser $k$ au lieu de $k-1$) est le piège\nle plus fréquent des calculs binomiaux à la calculatrice."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "independance"
      ],
      "title": "Avec ou sans remise",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Une urne contient $10$ boules dont $3$ gagnantes. On tire $5$\nboules et on note $X$ le nombre de boules gagnantes. Dans quel\ncas $X$ suit-il exactement une loi binomiale ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si les tirages se font **avec remise**",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage est une épreuve\nidentique ($p = 0{,}3$) et indépendante des autres :\n$X \\sim \\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}3)$."
        },
        {
          "text": "Si les tirages se font **sans remise**",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sans remise, la composition de l'urne change à\nchaque tirage : le paramètre $p$ n'est plus constant et les\népreuves ne sont plus indépendantes."
        },
        {
          "text": "Dans les deux cas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le mode de tirage est décisif. La binomiale exige\ndes épreuves identiques et indépendantes, ce que seule la\nremise garantit."
        },
        {
          "text": "Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules\ngagnantes que de tirages",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec remise, on peut retomber sur les mêmes boules\ngagnantes ; rien n'empêche $X = 5$. Le modèle binomial\ns'applique parfaitement."
        }
      ],
      "explanation": "Le critère de la binomiale est l'**indépendance** des\nrépétitions avec un $p$ constant : tirages avec remise (ou\nsituations assimilées). Sans remise, le modèle change."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation"
      ],
      "title": "Modéliser un QCM au hasard",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Un QCM comporte $7$ questions ; chacune propose $4$ options\ndont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au\nhasard. Quelle est la loi du nombre $X$ de bonnes réponses ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(7\\,;\\,\\dfrac{1}{4}\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $7$ épreuves identiques et indépendantes,\nle succès est la bonne réponse, de probabilité $\\dfrac{1}{4}$.\nEspérance : $7/4 = 1{,}75$ bonne réponse en moyenne."
        },
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(7\\,;\\,\\dfrac{3}{4}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{4}$ est la probabilité d'une réponse\n**fausse**. Le succès compté par $X$ est la bonne réponse :\n$p = \\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(4\\,;\\,\\dfrac{1}{7}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Paramètres croisés : $n$ est le nombre de **répétitions**\n($7$ questions) et $p$ la probabilité de succès à chacune\n($1/4$)."
        },
        {
          "text": "$X \\sim \\mathcal{B}\\!\\left(28\\,;\\,\\dfrac{1}{4}\\right)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $28 = 7 \\times 4$ compte les options, pas les\népreuves. Chaque **question** est une épreuve : $n = 7$."
        }
      ],
      "explanation": "Modélisation : chaque question est une épreuve de Bernoulli de\nparamètre $p = \\frac{1}{4}$, répétée $7$ fois de façon\nindépendante. $X \\sim \\mathcal{B}(7\\,;\\,1/4)$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter l'espérance",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100\\,;\\,0{,}4)$, donc $E(X) = 40$.\nQuelle interprétation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "En moyenne, $X$ vaut environ $40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de répétitions de\nl'expérience complète, le nombre de succès vaut en\nmoyenne environ $40$. L'espérance est une moyenne en\ntendance (loi des grands nombres), pas une garantie sur\nune réalisation donnée."
        },
        {
          "text": "À chaque expérience, $X$ vaut exactement $40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $X$ fluctue autour de $40$ (écart-type\n$\\sqrt{24} \\approx 4{,}9$). Observer $35$ ou $46$ n'a rien\nd'anormal."
        },
        {
          "text": "$P(X = 40)$ vaut environ $0{,}4$, la valeur de $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la probabilité de la valeur exacte $40$ est\nd'environ $0{,}08$ seulement. L'espérance ne se lit pas\ncomme une probabilité."
        },
        {
          "text": "Il est impossible d'obtenir plus de $40$ succès",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $X$ peut prendre toute valeur de $0$ à $100$ ;\n$40$ n'est qu'un centre de gravité, pas un plafond."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X)$ est la valeur moyenne du nombre de succès sur un grand\nnombre de répétitions de l'expérience. Les réalisations\nindividuelles fluctuent autour d'elle, d'autant moins (en\nproportion) que $n$ est grand."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "probabilite-zero-succes"
      ],
      "title": "Aucun succès",
      "partie": "calculs",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p =\n0{,}2$. Que vaut $P(X = 0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}8^3 = 0{,}512$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : zéro succès signifie trois échecs consécutifs,\nchacun de probabilité $0{,}8$, indépendants : $0{,}8^3$\n(et $\\binom{3}{0} = 1$ ne change rien)."
        },
        {
          "text": "$0{,}2^3 = 0{,}008$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : $0{,}2^3$ est $P(X = 3)$ (trois **succès**).\nAucun succès s'écrit avec la probabilité d'échec\n$0{,}8$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « aucun succès » est un événement tout à fait\npossible (plus d'une chance sur deux ici !), pas un\névénement impossible."
        },
        {
          "text": "$1 - 0{,}2 = 0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance manquante : $0{,}8$ est l'échec sur UNE\népreuve ; il en faut trois de suite : $0{,}8^3$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : le cas particulier le plus utile de\nla formule binomiale, porte d'entrée du calcul de $P(X \\geq\n1) = 1 - (1-p)^n$."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Écart-type d'une binomiale",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 100 \\times 0{,}5 \\times\n0{,}5 = 25$, puis racine carrée : $\\sigma = \\sqrt{25} =\n5$. Sur $100$ lancers équilibrés, l'écart typique autour\nde $50$ est $5$."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $25$ est la **variance** ; l'écart-type\nen est la racine carrée."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $50 = np$ est l'**espérance**, le centre de\nla distribution ; l'écart-type mesure la dispersion\nautour de ce centre."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(X) = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 = \\sqrt{100}$ néglige le facteur $p(1-p) =\n0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet."
        }
      ],
      "explanation": "Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\\sigma \\approx\n\\frac{\\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition\ndes fluctuations d'échantillonnage.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 100 \\times 0{,}5 \\times\n0{,}5 = 25$, puis racine carrée : $\\sigma = \\sqrt{25} =\n5$. Sur $100$ lancers équilibrés, l'écart typique autour\nde $50$ est $5$."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $25$ est la **variance** ; l'écart-type\nen est la racine carrée."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $50 = np$ est l'**espérance**, le centre de\nla distribution ; l'écart-type mesure la dispersion\nautour de ce centre."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10 = \\sqrt{100}$ néglige le facteur $p(1-p) =\n0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet."
            }
          ],
          "explanation": "Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\\sigma \\approx\n\\frac{\\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition\ndes fluctuations d'échantillonnage."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 400 \\times 0{,}5 \\times\n0{,}5 = 100$, puis racine carrée : $\\sigma = \\sqrt{100} =\n10$. Sur $400$ lancers équilibrés, l'écart typique autour\nde $200$ est $10$."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $100$ est la **variance** ; l'écart-type\nen est la racine carrée."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 200$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $200 = np$ est l'**espérance**, le centre de\nla distribution ; l'écart-type mesure la dispersion\nautour de ce centre."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20 = \\sqrt{400}$ néglige le facteur $p(1-p) =\n0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet."
            }
          ],
          "explanation": "Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\\sigma \\approx\n\\frac{\\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition\ndes fluctuations d'échantillonnage."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 36$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 36 \\times 0{,}5 \\times\n0{,}5 = 9$, puis racine carrée : $\\sigma = \\sqrt{9} =\n3$. Sur $36$ lancers équilibrés, l'écart typique autour\nde $18$ est $3$."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $9$ est la **variance** ; l'écart-type\nen est la racine carrée."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $18 = np$ est l'**espérance**, le centre de\nla distribution ; l'écart-type mesure la dispersion\nautour de ce centre."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6 = \\sqrt{36}$ néglige le facteur $p(1-p) =\n0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet."
            }
          ],
          "explanation": "Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\\sigma \\approx\n\\frac{\\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition\ndes fluctuations d'échantillonnage."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 64$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = np(1-p) = 64 \\times 0{,}5 \\times\n0{,}5 = 16$, puis racine carrée : $\\sigma = \\sqrt{16} =\n4$. Sur $64$ lancers équilibrés, l'écart typique autour\nde $32$ est $4$."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Racine oubliée : $16$ est la **variance** ; l'écart-type\nen est la racine carrée."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $32 = np$ est l'**espérance**, le centre de\nla distribution ; l'écart-type mesure la dispersion\nautour de ce centre."
            },
            {
              "text": "$\\sigma(X) = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8 = \\sqrt{64}$ néglige le facteur $p(1-p) =\n0{,}25$ : la racine porte sur le produit complet."
            }
          ],
          "explanation": "Binomiale : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$, $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)}$. L'ordre de grandeur $\\sigma \\approx\n\\frac{\\sqrt{n}}{2}$ (pour $p = 0{,}5$) nourrit l'intuition\ndes fluctuations d'échantillonnage."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "calcul-cumule"
      ],
      "title": "Calculer $P(X \\leq 1)$",
      "partie": "calculs",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =\n0{,}5$. Que vaut $P(X \\leq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{16}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X = 0) + P(X = 1) =\n\\binom{4}{0}(0{,}5)^4 + \\binom{4}{1}(0{,}5)^4 =\n\\frac{1}{16} + \\frac{4}{16} = \\frac{5}{16}$ : « au plus\nun succès » se découpe en $\\{0\\}$ et $\\{1\\}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{16}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas $X = 0$ oublié : $\\dfrac{4}{16} = P(X = 1)$\nseulement ; « au plus $1$ » inclut zéro succès, les deux\ntermes s'ajoutent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Symétrie mal placée : la symétrie de $p = 0{,}5$ relie\n$P(X \\leq 1)$ et $P(X \\geq 3)$ (chacune $\\frac{5}{16}$),\nmais le point médian est $X = 2$, pas la frontière entre\n$1$ et $2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{16}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients oubliés : les $\\binom{4}{k}$ comptent les\nchemins : $1$ chemin pour zéro succès, $4$ pour un\nsuccès : $\\frac{5}{16}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité cumulée est la somme des $P(X = k)$ concernés. Avec\n$p = 0{,}5$, tout se lit sur le triangle de Pascal : ligne\n$1, 4, 6, 4, 1$ sur $2^4 = 16$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conditions-modele"
      ],
      "title": "Quand le modèle binomial échoue",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte\nles lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS\nune loi binomiale ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à l'avance",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on s'arrête au premier succès, la durée est aléatoire. La binomiale exige un nombre $n$ d'épreuves **déterminé avant l'expérience**.\n"
        },
        {
          "text": "Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « six ou pas six » est exactement une épreuve\nde Bernoulli ($p = \\frac{1}{6}$) : le problème est\nailleurs (le nombre d'épreuves)."
        },
        {
          "text": "Parce que les lancers ne sont pas indépendants",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les lancers d'un dé sont indépendants : la\ncondition qui manque est le **nombre fixé** de\nrépétitions."
        },
        {
          "text": "Mais si, tout comptage de lancers suit une loi binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la binomiale compte les succès sur $n$ épreuves\n**fixées** : compter l'attente du premier succès est un\ntout autre objet."
        }
      ],
      "explanation": "Points de contrôle du modèle binomial : 1) $n$ fixé à\nl'avance ; 2) épreuves identiques et indépendantes ; 3) deux\nissues par épreuve ; 4) on compte les succès. Le moindre\nmanquement (arrêt au premier succès, tirage sans remise…)\ncasse le modèle."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "symetrie"
      ],
      "title": "Symétrie de la binomiale équilibrée",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =\n0{,}5$. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X = k) = P(X = 10 - k)$ pour tout $k$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et\néchecs ne change rien : $3$ succès et $7$ succès sont\néquiprobables : histogramme en miroir autour de $5$."
        },
        {
          "text": "$P(X = k) = P(X = k + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités varient avec $k$ (maximum au\ncentre, faibles aux bords) : la symétrie est un miroir,\npas un plateau."
        },
        {
          "text": "$P(X = k) = \\dfrac{1}{11}$ pour tout $k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Loi uniforme imaginée : les $\\binom{10}{k}$ pèsent\ndifféremment chaque valeur : $P(X = 5) = \\frac{252}{1024}\n\\gg P(X = 0) = \\frac{1}{1024}$."
        },
        {
          "text": "$P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le miroir égalise les probabilités, il ne les\nrend pas complémentaires (leur somme n'a aucune raison\nde valoir $1$)."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $p = 0{,}5$ : $P(X = k) = \\binom{n}{k}(0{,}5)^n$, et\n$\\binom{n}{k} = \\binom{n}{n-k}$ : symétrie parfaite autour\nde $\\frac{n}{2}$. Pour $p \\neq 0{,}5$, l'histogramme penche\ndu côté le plus probable."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance-modelisation"
      ],
      "title": "Espérance et gain moyen",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Un jeu se répète $50$ fois : chaque partie est gagnée avec\nla probabilité $0{,}3$ et rapporte alors $2$ euros (sinon\nrien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$30$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ (nombre de victoires) suit la\nbinomiale $(50\\ ;\\ 0{,}3)$ : $E(X) = 50 \\times 0{,}3 =\n15$ parties gagnées en moyenne ; le gain vaut $2X$,\nd'espérance $2 \\times 15 = 30$ euros."
        },
        {
          "text": "$100$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Rêve de victoire totale : $100 = 50 \\times 2$ euros\nsupposerait **toutes** les parties gagnées ; en moyenne,\nseules $30\\ \\%$ le sont."
        },
        {
          "text": "$15$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Gain unitaire oublié : $15$ est le nombre moyen de\n**parties gagnées** ; chacune rapporte $2$ euros :\n$30$ euros."
        },
        {
          "text": "Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion prévision/moyenne : le résultat d'UNE série\nest imprévisible, mais l'espérance ($30$ euros) décrit\nla moyenne sur un grand nombre de séries : c'est\nexactement son rôle."
        }
      ],
      "explanation": "Chaîne de modélisation : reconnaître la binomiale, $E(X) =\nnp$, puis linéarité $E(2X) = 2E(X)$. L'espérance s'interprète\ncomme moyenne de long terme : la boussole des décisions\nrépétées."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "parametres"
      ],
      "title": "Reconnaître les paramètres",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "On lance $20$ fois un dé équilibré et l'on compte les six obtenus.\nQuels sont les paramètres de la loi suivie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 20$ et $p = \\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : vingt répétitions indépendantes, chacune avec une\nprobabilité de succès d'un sixième."
        },
        {
          "text": "$n = 6$ et $p = \\dfrac{1}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : $n$ est le nombre de répétitions, $p$ la probabilité\nd'un succès."
        },
        {
          "text": "$n = 20$ et $p = \\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité fausse : un dé a six faces, et le succès n'en concerne\nqu'une."
        },
        {
          "text": "$n = 20$ et $p = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une probabilité ne dépasse jamais $1$ : la valeur $6$ est celle de la\nface, pas de la probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "Une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ compte les succès dans $n$\nrépétitions identiques et indépendantes, chacune de probabilité $p$."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer une probabilité binomiale",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour $X$ de loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}5$,\nque vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}375$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{4}{2} \\times 0{,}5^2 \\times 0{,}5^2 =\n6 \\times 0{,}0625$."
        },
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficient binomial oublié : $0{,}5^2 \\times 0{,}5^2$ ne compte qu'un\nseul chemin sur les six possibles."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'un succès recopiée : elle ne concerne qu'une seule\népreuve."
        },
        {
          "text": "$0{,}0625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité d'un chemin : il reste à la multiplier par le nombre de\nchemins, qui vaut $6$."
        }
      ],
      "explanation": "La formule $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ combine le nombre de\nchemins et la probabilité de chacun d'eux."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance et nombre attendu",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et\n$p = 0{,}2$. Quelle est son espérance ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \\times 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Formule de la variance : $np(1-p)$ vaut $8$, mais l'espérance s'en\ndistingue."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Probabilité recopiée : l'espérance compte un nombre de succès, elle\nn'est pas une probabilité."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre de répétitions recopié : tous les essais ne sont pas des\nsuccès."
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance d'une loi binomiale vaut $np$, sa variance $np(1-p)$ et son\nécart-type la racine carrée de cette variance."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "contraire"
      ],
      "title": "Au moins un succès",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour $X$ de loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0{,}3$,\ncomment calculer $P(X \\geq 1)$ le plus simplement ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par $1 - P(X = 0)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un seul terme à calculer, au lieu des dix autres."
        },
        {
          "text": "En additionnant les dix probabilités",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul est correct mais bien plus long, et source d'erreurs\nd'arrondi."
        },
        {
          "text": "Par $P(X = 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette probabilité concerne exactement un succès, alors que l'énoncé en\ndemande au moins un."
        },
        {
          "text": "Par $1 - P(X = 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contraire mal formé : le contraire de « au moins un » est « aucun »."
        }
      ],
      "explanation": "Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Ce passage au\ncomplémentaire réduit le calcul à un seul terme."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "hypotheses"
      ],
      "title": "Quand le modèle ne convient pas",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Dans quelle situation la loi binomiale ne s'applique-t-elle pas ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un tirage de cinq cartes sans remise",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sans remise, la probabilité de succès change d'un\ntirage à l'autre."
        },
        {
          "text": "Vingt lancers d'une même pièce",
          "correct": false,
          "feedback": "Les lancers sont identiques et indépendants : le modèle s'applique."
        },
        {
          "text": "Cent tirages avec remise dans une urne",
          "correct": false,
          "feedback": "La remise garantit des tirages identiques et indépendants."
        },
        {
          "text": "Dix questions d'un QCM répondues au hasard",
          "correct": false,
          "feedback": "Chaque question est une épreuve identique et indépendante des autres."
        }
      ],
      "explanation": "La loi binomiale exige des épreuves identiques, indépendantes et à deux\nissues. Un tirage sans remise viole les deux premières conditions."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Effet de la taille sur l'écart-type",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit la loi $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ et $Y$ la loi\n$\\mathcal{B}(4n\\,;\\,p)$. Comment se compare $\\sigma(Y)$ à\n$\\sigma(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sigma(Y) = 2\\,\\sigma(X)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(Y) = \\sqrt{4np(1-p)} =\n2\\sqrt{np(1-p)}$."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(Y) = 4\\,\\sigma(X)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la variance qui est multipliée par $4$ ;\nl'écart-type en est la racine carrée."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(Y) = 16\\,\\sigma(X)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16$ serait le facteur de la variance si $n$ était\nmultiplié par $16$."
        },
        {
          "text": "$\\sigma(Y) = \\sigma(X)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart-type d'une binomiale dépend de $n$."
        }
      ],
      "explanation": "$V(X) = np(1-p)$ est proportionnelle à $n$ ; l'écart-type croît\ncomme $\\sqrt{n}$."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "coefficient"
      ],
      "title": "Le rôle du coefficient binomial",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Dans la formule $P(X = k) = \\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, que compte\nle coefficient $\\dbinom{n}{k}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les chemins de l'arbre à $k$ succès",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les succès peuvent survenir à différents rangs, et\nchaque disposition donne un chemin."
        },
        {
          "text": "La probabilité de $k$ succès",
          "correct": false,
          "feedback": "Un coefficient binomial est un entier, souvent bien supérieur à $1$ :\nce n'est pas une probabilité."
        },
        {
          "text": "Le nombre de succès attendus",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre attendu est l'espérance, qui vaut $np$."
        },
        {
          "text": "Le nombre total d'épreuves",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre est $n$, le paramètre du haut, pris isolément."
        }
      ],
      "explanation": "La formule combine deux comptages : le nombre de chemins menant à $k$\nsuccès, donné par le coefficient binomial, et la probabilité de chacun\nd'eux, toujours la même."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "symetrie"
      ],
      "title": "Une loi symétrique",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Pour quelle valeur de $p$ la loi binomiale est-elle symétrique autour\nde son espérance ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour $p = 0{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : succès et échec jouant le même rôle, la loi est\nsymétrique."
        },
        {
          "text": "Pour $p = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "La loi est alors concentrée en $0$ : aucun succès n'est possible."
        },
        {
          "text": "Pour $p = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La loi est alors concentrée en $n$ : tous les essais réussissent."
        },
        {
          "text": "Pour toute valeur de $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une probabilité de succès faible décale la loi vers les petites\nvaleurs, sans symétrie."
        }
      ],
      "explanation": "Lorsque $p$ vaut $0{,}5$, les rôles du succès et de l'échec sont\ninterchangeables, ce qui rend le diagramme symétrique autour de\n$\\dfrac{n}{2}$."
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "notation"
      ],
      "title": "Traduire une inégalité",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Comment s'écrit « au plus trois succès » à l'aide de la variable\n$X$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X \\leq 3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « au plus » correspond à une inégalité large vers le\nbas."
        },
        {
          "text": "$P(X \\geq 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette écriture traduit « au moins trois succès », c'est-à-dire le sens\ncontraire."
        },
        {
          "text": "$P(X = 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette écriture concerne exactement trois succès, sans les cas\ninférieurs."
        },
        {
          "text": "$P(X < 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inégalité stricte : elle exclut le cas de trois succès, pourtant\nadmis."
        }
      ],
      "explanation": "« Au plus $k$ » se traduit par $X \\leq k$, « au moins $k$ » par\n$X \\geq k$, et « exactement $k$ » par $X = k$. La lecture de l'énoncé\ndécide de l'inégalité."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Un contrôle de production",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une machine produit $3$ % de pièces défectueuses. Sur un lot de\n$200$ pièces, combien en attend-on de défectueuses ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance vaut $np = 200 \\times 0{,}03$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pourcentage recopié : il faut l'appliquer à l'effectif du lot."
        },
        {
          "text": "$60$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'un facteur $10$ : $3$ % s'écrit $0{,}03$, pas $0{,}3$."
        },
        {
          "text": "$194$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nombre de pièces conformes : l'énoncé demande les défectueuses."
        }
      ],
      "explanation": "Le nombre de pièces défectueuses suit une loi binomiale de paramètres\n$n = 200$ et $p = 0{,}03$. Le nombre attendu est son espérance."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "valeurs"
      ],
      "title": "Les valeurs possibles",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Quelles valeurs une variable de loi binomiale de paramètre $n$ peut-\nelle prendre ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les entiers de $0$ à $n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de succès va de zéro à la totalité des\népreuves."
        },
        {
          "text": "Les entiers de $1$ à $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $0$ est possible : il se peut qu'aucun essai ne réussisse."
        },
        {
          "text": "Tous les réels de $[0\\,;\\,n]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un nombre de succès est un entier : les valeurs décimales sont\nexclues."
        },
        {
          "text": "Les entiers de $0$ à $np$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'espérance $np$ ne borne pas les valeurs : tous les essais peuvent\nréussir."
        }
      ],
      "explanation": "Une variable binomiale compte des succès parmi $n$ épreuves : elle prend\ndonc les valeurs entières de $0$ à $n$, chacune avec une probabilité\ndonnée par la formule."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Deux lois binomiales",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Deux lois binomiales ont même espérance, l'une avec $n = 100$ et\n$p = 0{,}1$, l'autre avec $n = 10$ et $p = 1$. Qu'est-ce qui les\ndistingue ?",
      "options": [
        {
          "text": "Leur dispersion autour de l'espérance",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la seconde a une variance nulle, elle vaut toujours\n$10$, alors que la première fluctue."
        },
        {
          "text": "Rien, elles sont identiques",
          "correct": false,
          "feedback": "Une même espérance n'entraîne pas une même loi : les probabilités des\nvaleurs diffèrent entièrement."
        },
        {
          "text": "Leur nombre de valeurs possibles seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre diffère en effet, mais la différence essentielle porte sur la\ndispersion."
        },
        {
          "text": "Leur espérance, mal calculée",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux espérances valent bien $10$, le calcul est correct."
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance situe le centre d'une loi, la variance $np(1-p)$ son\nétalement. Une probabilité égale à $1$ annule la variance, la variable\ndevenant certaine."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bernoulli",
        "variance"
      ],
      "title": "Variance d'une épreuve de Bernoulli",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès $0{,}4$. La variable\n$X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Que vaut $V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, $V(X) = p(1-p)$, soit ici\n$0{,}4 \\times 0{,}6 = 0{,}24$."
        },
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $0{,}4$ est l'**espérance** $E(X) = p$. La variance\nmultiplie encore par la probabilité d'échec, d'où $p(1-p) = 0{,}24$."
        },
        {
          "text": "$0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}6$ est la probabilité d'échec $1 - p$, et non une\nvariance. Celle-ci est le produit des deux : $p(1-p) = 0{,}24$."
        },
        {
          "text": "$0{,}16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p^2 = 0{,}16$ élève la probabilité de succès au carré. La\nformule fait intervenir $1-p$ en second facteur : $0{,}24$."
        }
      ],
      "explanation": "Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $E(X) = p$ et\n$V(X) = p(1-p)$. C'est le cas $n = 1$ des formules binomiales\n$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès $0{,}4$. La variable\n$X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, $V(X) = p(1-p)$, soit ici\n$0{,}4 \\times 0{,}6 = 0{,}24$."
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $0{,}4$ est l'**espérance** $E(X) = p$. La variance\nmultiplie encore par la probabilité d'échec, d'où $p(1-p) = 0{,}24$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}6$ est la probabilité d'échec $1 - p$, et non une\nvariance. Celle-ci est le produit des deux : $p(1-p) = 0{,}24$."
            },
            {
              "text": "$0{,}16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $p^2 = 0{,}16$ élève la probabilité de succès au carré. La\nformule fait intervenir $1-p$ en second facteur : $0{,}24$."
            }
          ],
          "explanation": "Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $E(X) = p$ et\n$V(X) = p(1-p)$. C'est le cas $n = 1$ des formules binomiales\n$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$."
        },
        {
          "statement": "Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès $0{,}25$. La variable\n$X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}1875$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, $V(X) = p(1-p)$, soit ici\n$0{,}25 \\times 0{,}75 = 0{,}1875$."
            },
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $0{,}25$ est l'**espérance** $E(X) = p$. La variance\nmultiplie encore par la probabilité d'échec, d'où $p(1-p) = 0{,}1875$."
            },
            {
              "text": "$0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}75$ est la probabilité d'échec $1 - p$, et non une\nvariance. Celle-ci est le produit des deux : $p(1-p) = 0{,}1875$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0625$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $p^2 = 0{,}0625$ élève la probabilité de succès au carré. La\nformule fait intervenir $1-p$ en second facteur : $0{,}1875$."
            }
          ],
          "explanation": "Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $E(X) = p$ et\n$V(X) = p(1-p)$. C'est le cas $n = 1$ des formules binomiales\n$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$."
        },
        {
          "statement": "Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès $0{,}8$. La variable\n$X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, $V(X) = p(1-p)$, soit ici\n$0{,}8 \\times 0{,}2 = 0{,}16$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $0{,}8$ est l'**espérance** $E(X) = p$. La variance\nmultiplie encore par la probabilité d'échec, d'où $p(1-p) = 0{,}16$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est la probabilité d'échec $1 - p$, et non une\nvariance. Celle-ci est le produit des deux : $p(1-p) = 0{,}16$."
            },
            {
              "text": "$0{,}64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $p^2 = 0{,}64$ élève la probabilité de succès au carré. La\nformule fait intervenir $1-p$ en second facteur : $0{,}16$."
            }
          ],
          "explanation": "Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $E(X) = p$ et\n$V(X) = p(1-p)$. C'est le cas $n = 1$ des formules binomiales\n$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$."
        },
        {
          "statement": "Une épreuve de Bernoulli a pour probabilité de succès $0{,}41$. La variable\n$X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Que vaut $V(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}2419$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : pour une loi de Bernoulli, $V(X) = p(1-p)$, soit ici\n$0{,}41 \\times 0{,}59 = 0{,}2419$."
            },
            {
              "text": "$0{,}41$",
              "correct": false,
              "feedback": "Confusion : $0{,}41$ est l'**espérance** $E(X) = p$. La variance\nmultiplie encore par la probabilité d'échec, d'où $p(1-p) = 0{,}2419$."
            },
            {
              "text": "$0{,}59$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}59$ est la probabilité d'échec $1 - p$, et non une\nvariance. Celle-ci est le produit des deux : $p(1-p) = 0{,}2419$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1681$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $p^2 = 0{,}1681$ élève la probabilité de succès au carré. La\nformule fait intervenir $1-p$ en second facteur : $0{,}2419$."
            }
          ],
          "explanation": "Une loi de Bernoulli de paramètre $p$ vérifie $E(X) = p$ et\n$V(X) = p(1-p)$. C'est le cas $n = 1$ des formules binomiales\n$E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "succession-epreuves",
        "produit"
      ],
      "title": "Probabilité d'une liste de quatre issues",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de\nprobabilité de succès $0{,}2$. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans\ncet ordre, échec, succès, succès, échec ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}0256$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les\nprobabilités rencontrées : $0{,}8 \\times 0{,}2 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8\n= 0{,}0256$."
        },
        {
          "text": "$0{,}1536$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce résultat vaut $\\dbinom{4}{2}$ fois le précédent, donc\n$P(X = 2)$. L'énoncé impose l'**ordre** des issues, donc une seule\nliste."
        },
        {
          "text": "$0{,}0016$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2^4 = 0{,}0016$ correspond à quatre succès. La liste\ndemandée compte deux succès et deux échecs."
        },
        {
          "text": "$0{,}4096$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8^4 = 0{,}4096$ correspond à quatre échecs. Il faut\ndeux facteurs $0{,}2$ et deux facteurs $0{,}8$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste\nd'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le\ncoefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de\nprobabilité de succès $0{,}2$. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans\ncet ordre, échec, succès, succès, échec ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0256$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les\nprobabilités rencontrées : $0{,}8 \\times 0{,}2 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8\n= 0{,}0256$."
            },
            {
              "text": "$0{,}1536$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce résultat vaut $\\dbinom{4}{2}$ fois le précédent, donc\n$P(X = 2)$. L'énoncé impose l'**ordre** des issues, donc une seule\nliste."
            },
            {
              "text": "$0{,}0016$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2^4 = 0{,}0016$ correspond à quatre succès. La liste\ndemandée compte deux succès et deux échecs."
            },
            {
              "text": "$0{,}4096$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}8^4 = 0{,}4096$ correspond à quatre échecs. Il faut\ndeux facteurs $0{,}2$ et deux facteurs $0{,}8$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste\nd'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le\ncoefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre."
        },
        {
          "statement": "On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de\nprobabilité de succès $0{,}4$. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans\ncet ordre, échec, succès, succès, échec ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0576$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les\nprobabilités rencontrées : $0{,}6 \\times 0{,}4 \\times 0{,}4 \\times 0{,}6\n= 0{,}0576$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3456$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce résultat vaut $\\dbinom{4}{2}$ fois le précédent, donc\n$P(X = 2)$. L'énoncé impose l'**ordre** des issues, donc une seule\nliste."
            },
            {
              "text": "$0{,}0256$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}4^4 = 0{,}0256$ correspond à quatre succès. La liste\ndemandée compte deux succès et deux échecs."
            },
            {
              "text": "$0{,}1296$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}6^4 = 0{,}1296$ correspond à quatre échecs. Il faut\ndeux facteurs $0{,}4$ et deux facteurs $0{,}6$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste\nd'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le\ncoefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre."
        },
        {
          "statement": "On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de\nprobabilité de succès $0{,}3$. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans\ncet ordre, échec, succès, succès, échec ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0441$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les\nprobabilités rencontrées : $0{,}7 \\times 0{,}3 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7\n= 0{,}0441$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2646$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce résultat vaut $\\dbinom{4}{2}$ fois le précédent, donc\n$P(X = 2)$. L'énoncé impose l'**ordre** des issues, donc une seule\nliste."
            },
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}3^4 = 0{,}0081$ correspond à quatre succès. La liste\ndemandée compte deux succès et deux échecs."
            },
            {
              "text": "$0{,}2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}7^4 = 0{,}2401$ correspond à quatre échecs. Il faut\ndeux facteurs $0{,}3$ et deux facteurs $0{,}7$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste\nd'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le\ncoefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre."
        },
        {
          "statement": "On répète quatre fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de\nprobabilité de succès $0{,}1$. Quelle est la probabilité d'obtenir, dans\ncet ordre, échec, succès, succès, échec ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les épreuves étant indépendantes, on multiplie les\nprobabilités rencontrées : $0{,}9 \\times 0{,}1 \\times 0{,}1 \\times 0{,}9\n= 0{,}0081$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0486$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : ce résultat vaut $\\dbinom{4}{2}$ fois le précédent, donc\n$P(X = 2)$. L'énoncé impose l'**ordre** des issues, donc une seule\nliste."
            },
            {
              "text": "$0{,}0001$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}1^4 = 0{,}0001$ correspond à quatre succès. La liste\ndemandée compte deux succès et deux échecs."
            },
            {
              "text": "$0{,}6561$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}9^4 = 0{,}6561$ correspond à quatre échecs. Il faut\ndeux facteurs $0{,}1$ et deux facteurs $0{,}9$."
            }
          ],
          "explanation": "Dans une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste\nd'issues fixée est le produit des probabilités de ces issues. Le\ncoefficient binomial n'intervient que si l'ordre est libre."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "coefficient",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Valeur d'un coefficient binomial",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(6\\,;\\,p)$. Que vaut le coefficient\n$\\dbinom{6}{2}$ qui figure dans le calcul de $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{6}{2} = \\dfrac{6!}{2!\\,(6-2)!}\n= 15$, le nombre de façons de placer les succès."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $30$ compte les placements **ordonnés** des\nsuccès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par $2!$."
        },
        {
          "text": "$64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^{6} = 64$ est le nombre **total** de listes\nd'issues. Seules celles qui comptent $2$ succès nous intéressent."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit $6 \\times 2 = 12$ ne correspond à aucun\ndénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient $\\dbinom{n}{k}$ compte les listes de $n$ issues comportant\nexactement $k$ succès. On le calcule par\n$\\dbinom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!\\,(n-k)!}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(6\\,;\\,p)$. Que vaut le coefficient\n$\\dbinom{6}{2}$ qui figure dans le calcul de $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{6}{2} = \\dfrac{6!}{2!\\,(6-2)!}\n= 15$, le nombre de façons de placer les succès."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $30$ compte les placements **ordonnés** des\nsuccès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par $2!$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{6} = 64$ est le nombre **total** de listes\nd'issues. Seules celles qui comptent $2$ succès nous intéressent."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $6 \\times 2 = 12$ ne correspond à aucun\ndénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient $\\dbinom{n}{k}$ compte les listes de $n$ issues comportant\nexactement $k$ succès. On le calcule par\n$\\dbinom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!\\,(n-k)!}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(7\\,;\\,p)$. Que vaut le coefficient\n$\\dbinom{7}{3}$ qui figure dans le calcul de $P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{7}{3} = \\dfrac{7!}{3!\\,(7-3)!}\n= 35$, le nombre de façons de placer les succès."
            },
            {
              "text": "$210$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $210$ compte les placements **ordonnés** des\nsuccès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par $3!$."
            },
            {
              "text": "$128$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{7} = 128$ est le nombre **total** de listes\nd'issues. Seules celles qui comptent $3$ succès nous intéressent."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $7 \\times 3 = 21$ ne correspond à aucun\ndénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient $\\dbinom{n}{k}$ compte les listes de $n$ issues comportant\nexactement $k$ succès. On le calcule par\n$\\dbinom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!\\,(n-k)!}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(9\\,;\\,p)$. Que vaut le coefficient\n$\\dbinom{9}{2}$ qui figure dans le calcul de $P(X = 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{9}{2} = \\dfrac{9!}{2!\\,(9-2)!}\n= 36$, le nombre de façons de placer les succès."
            },
            {
              "text": "$72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $72$ compte les placements **ordonnés** des\nsuccès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par $2!$."
            },
            {
              "text": "$512$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{9} = 512$ est le nombre **total** de listes\nd'issues. Seules celles qui comptent $2$ succès nous intéressent."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $9 \\times 2 = 18$ ne correspond à aucun\ndénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient $\\dbinom{n}{k}$ compte les listes de $n$ issues comportant\nexactement $k$ succès. On le calcule par\n$\\dbinom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!\\,(n-k)!}$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(6\\,;\\,p)$. Que vaut le coefficient\n$\\dbinom{6}{3}$ qui figure dans le calcul de $P(X = 3)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $\\dbinom{6}{3} = \\dfrac{6!}{3!\\,(6-3)!}\n= 20$, le nombre de façons de placer les succès."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $120$ compte les placements **ordonnés** des\nsuccès. Ceux-ci étant interchangeables, on divise encore par $3!$."
            },
            {
              "text": "$64$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2^{6} = 64$ est le nombre **total** de listes\nd'issues. Seules celles qui comptent $3$ succès nous intéressent."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le produit $6 \\times 3 = 18$ ne correspond à aucun\ndénombrement ici. Le coefficient se calcule avec des factorielles."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient $\\dbinom{n}{k}$ compte les listes de $n$ issues comportant\nexactement $k$ succès. On le calcule par\n$\\dbinom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!\\,(n-k)!}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "probabilite-zero-succes",
        "comparaison"
      ],
      "title": "Aucun succès quand n grandit",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ avec $0 < p < 1$. Comment évolue\n$P(X = 0)$ lorsque le nombre $n$ de répétitions augmente ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle diminue et se rapproche de $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $P(X = 0) = (1-p)^n$ est une suite géométrique de\nraison $1-p$, comprise strictement entre $0$ et $1$, donc\ndécroissante et de limite nulle."
        },
        {
          "text": "Elle augmente et se rapproche de $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : plus on répète l'épreuve, plus il devient difficile de\nn'obtenir aucun succès. C'est $P(X \\geq 1)$ qui tend vers $1$."
        },
        {
          "text": "Elle reste égale à $1 - p$ sans changer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1-p$ est la probabilité d'échouer à **une** épreuve. Sur\n$n$ épreuves, ces échecs se multiplient : $(1-p)^n$."
        },
        {
          "text": "Elle diminue d'abord, puis se stabilise",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une suite géométrique de raison strictement comprise entre\n$0$ et $1$ décroît sans jamais se stabiliser ailleurs qu'en $0$."
        }
      ],
      "explanation": "L'événement « aucun succès » exige $n$ échecs consécutifs, donc\n$P(X = 0) = (1-p)^n$. Comme $0 < 1-p < 1$, cette probabilité décroît vers\n$0$ quand $n$ augmente."
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "arbre",
        "independance"
      ],
      "title": "Pourquoi multiplier le long d'un chemin",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli, la probabilité d'un chemin\ns'obtient en multipliant les probabilités rencontrées. Qu'est-ce qui\njustifie cette multiplication ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les répétitions sont indépendantes entre elles",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'indépendance des épreuves permet de multiplier les\nprobabilités le long d'un chemin, sans avoir à tenir compte des\nissues précédentes."
        },
        {
          "text": "Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette propriété est vraie, mais elle sert à vérifier un arbre, pas à\njustifier le produit le long d'un chemin."
        },
        {
          "text": "Tous les chemins de l'arbre sont équiprobables",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est faux dès que $p \\neq 0{,}5$ : un chemin à trois succès et un\nchemin à trois échecs n'ont pas la même probabilité."
        },
        {
          "text": "Le succès et l'échec sont deux issues contraires",
          "correct": false,
          "feedback": "Cela justifie $P(\\text{échec}) = 1 - p$ sur une branche, mais pas la\nmultiplication d'une branche à la suivante."
        }
      ],
      "explanation": "La règle du produit le long d'un chemin repose sur l'indépendance des\nrépétitions : c'est l'hypothèse centrale du schéma de Bernoulli."
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cumul",
        "calculatrice"
      ],
      "title": "Encadrement et probabilités cumulées",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(30\\,;\\,0{,}4)$. La calculatrice ne fournit que\nles probabilités cumulées $P(X \\leq k)$. Quelle écriture donne\n$P(9 \\leq X \\leq 14)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X \\leq 14) - P(X \\leq 8)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on retire les valeurs strictement inférieures à $9$,\nc'est-à-dire celles jusqu'à $8$, pour conserver $9, 10, \\ldots, 14$."
        },
        {
          "text": "$P(X \\leq 14) - P(X \\leq 9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : cette différence retire aussi la valeur $9$, qui\nfait pourtant partie de l'encadrement demandé."
        },
        {
          "text": "$P(X \\leq 15) - P(X \\leq 9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux bornes sont décalées d'une unité. On garde ici\n$10, 11, \\ldots, 15$ au lieu de $9, 10, \\ldots, 14$."
        },
        {
          "text": "$P(X \\leq 14) + P(X \\leq 9)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'opération : une addition compte deux fois les petites\nvaleurs. Un encadrement s'obtient par une soustraction."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une variable à valeurs entières, $P(a \\leq X \\leq b)$ s'écrit\n$P(X \\leq b) - P(X \\leq a-1)$. Le décalage d'une unité sur la borne basse\nest l'erreur la plus fréquente."
    },
    {
      "id": "q37",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "calcul-cumule",
        "complementaire"
      ],
      "title": "Au moins deux succès",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(3\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $P(X \\geq 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}104$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc\n$P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}512 - 0{,}384 = 0{,}104$."
        },
        {
          "text": "$0{,}896$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}896$ est $P(X \\leq 1)$, c'est-à-dire la probabilité de\nl'événement **contraire**. Il reste à la retrancher de $1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}488$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - P(X = 0) = 0{,}488$ donne $P(X \\geq 1)$. Le cas\n$X = 1$ doit également être écarté."
        },
        {
          "text": "$0{,}616$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul $P(X = 1)$ a été retranché. L'événement contraire de\n$X \\geq 2$ réunit $X = 0$ et $X = 1$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une inégalité « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe par\nl'événement contraire : $P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, chaque\nterme se calculant par la formule binomiale.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(3\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $P(X \\geq 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}104$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc\n$P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}512 - 0{,}384 = 0{,}104$."
            },
            {
              "text": "$0{,}896$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}896$ est $P(X \\leq 1)$, c'est-à-dire la probabilité de\nl'événement **contraire**. Il reste à la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}488$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - P(X = 0) = 0{,}488$ donne $P(X \\geq 1)$. Le cas\n$X = 1$ doit également être écarté."
            },
            {
              "text": "$0{,}616$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $P(X = 1)$ a été retranché. L'événement contraire de\n$X \\geq 2$ réunit $X = 0$ et $X = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une inégalité « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe par\nl'événement contraire : $P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, chaque\nterme se calculant par la formule binomiale."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}3)$. Que vaut $P(X \\geq 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3483$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc\n$P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}2401 - 0{,}4116 = 0{,}3483$."
            },
            {
              "text": "$0{,}6517$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}6517$ est $P(X \\leq 1)$, c'est-à-dire la probabilité de\nl'événement **contraire**. Il reste à la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}7599$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - P(X = 0) = 0{,}7599$ donne $P(X \\geq 1)$. Le cas\n$X = 1$ doit également être écarté."
            },
            {
              "text": "$0{,}5884$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $P(X = 1)$ a été retranché. L'événement contraire de\n$X \\geq 2$ réunit $X = 0$ et $X = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une inégalité « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe par\nl'événement contraire : $P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, chaque\nterme se calculant par la formule binomiale."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}2)$. Que vaut $P(X \\geq 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}26272$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc\n$P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}32768 - 0{,}4096 = 0{,}26272$."
            },
            {
              "text": "$0{,}73728$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}73728$ est $P(X \\leq 1)$, c'est-à-dire la probabilité de\nl'événement **contraire**. Il reste à la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}67232$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - P(X = 0) = 0{,}67232$ donne $P(X \\geq 1)$. Le cas\n$X = 1$ doit également être écarté."
            },
            {
              "text": "$0{,}5904$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $P(X = 1)$ a été retranché. L'événement contraire de\n$X \\geq 2$ réunit $X = 0$ et $X = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une inégalité « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe par\nl'événement contraire : $P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, chaque\nterme se calculant par la formule binomiale."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(6\\,;\\,0{,}1)$. Que vaut $P(X \\geq 2)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}114265$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « au plus un succès », donc\n$P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}531441 - 0{,}354294 = 0{,}114265$."
            },
            {
              "text": "$0{,}885735$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}885735$ est $P(X \\leq 1)$, c'est-à-dire la probabilité de\nl'événement **contraire**. Il reste à la retrancher de $1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}468559$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - P(X = 0) = 0{,}468559$ donne $P(X \\geq 1)$. Le cas\n$X = 1$ doit également être écarté."
            },
            {
              "text": "$0{,}645706$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : seul $P(X = 1)$ a été retranché. L'événement contraire de\n$X \\geq 2$ réunit $X = 0$ et $X = 1$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour une inégalité « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe par\nl'événement contraire : $P(X \\geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$, chaque\nterme se calculant par la formule binomiale."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q38",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "hypotheses",
        "conditions-modele"
      ],
      "title": "Une condition qui n'en est pas une",
      "partie": "bernoulli",
      "statement": "Une variable $X$ compte les succès d'une répétition d'épreuves de\nBernoulli. Parmi ces conditions, laquelle n'est **pas** nécessaire pour\nque $X$ suive une loi binomiale ?",
      "options": [
        {
          "text": "Que le nombre de répétitions soit grand",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la loi binomiale se définit dès $n = 1$. La taille de\n$n$ ne joue aucun rôle dans la validité du modèle."
        },
        {
          "text": "Que les répétitions soient indépendantes",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition indispensable : sans indépendance, on ne peut pas\nmultiplier les probabilités le long d'un chemin de l'arbre."
        },
        {
          "text": "Que le nombre de répétitions soit fixé au départ",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition indispensable : si l'on répète jusqu'à un événement, le\nnombre d'épreuves devient aléatoire et le modèle tombe."
        },
        {
          "text": "Que la probabilité de succès reste la même",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition indispensable : un tirage sans remise, par exemple, fait\nvarier $p$ d'une épreuve à l'autre et interdit le modèle."
        }
      ],
      "explanation": "Trois conditions définissent un schéma de Bernoulli : un nombre\nd'épreuves fixé, la même probabilité de succès à chaque épreuve, et\nl'indépendance. La valeur de $n$ est libre."
    },
    {
      "id": "q39",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "formule",
        "parametres"
      ],
      "title": "Retrouver n et p",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $E(X) = 12$ et de\nvariance $V(X) = 4{,}8$. Quels sont ses paramètres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 20$ et $p = 0{,}6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np}$\nvaut $1-p = 0{,}4$, d'où $p = 0{,}6$, puis $n = \\dfrac{12}{0{,}6} =\n20$."
        },
        {
          "text": "$n = 20$ et $p = 0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de lecture : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)}$ donne $1-p$ et\nnon $p$. Il faut encore passer au complément : $p = 0{,}6$."
        },
        {
          "text": "$n = 12$ et $p = 0{,}6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12$ est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient\n$n$ en divisant l'espérance par $p$, soit $n = 20$."
        },
        {
          "text": "$n = 12$ et $p = 0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs cumulées : $12$ est l'espérance et non $n$, et $0{,}4$\nest la probabilité d'échec. Les paramètres sont $20$ et $0{,}6$."
        }
      ],
      "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ on tire $1-p = \\dfrac{V(X)}{E(X)}$,\npuis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$. Deux équations suffisent pour deux inconnues.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $E(X) = 12$ et de\nvariance $V(X) = 4{,}8$. Quels sont ses paramètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 20$ et $p = 0{,}6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np}$\nvaut $1-p = 0{,}4$, d'où $p = 0{,}6$, puis $n = \\dfrac{12}{0{,}6} =\n20$."
            },
            {
              "text": "$n = 20$ et $p = 0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de lecture : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)}$ donne $1-p$ et\nnon $p$. Il faut encore passer au complément : $p = 0{,}6$."
            },
            {
              "text": "$n = 12$ et $p = 0{,}6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient\n$n$ en divisant l'espérance par $p$, soit $n = 20$."
            },
            {
              "text": "$n = 12$ et $p = 0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : $12$ est l'espérance et non $n$, et $0{,}4$\nest la probabilité d'échec. Les paramètres sont $20$ et $0{,}6$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ on tire $1-p = \\dfrac{V(X)}{E(X)}$,\npuis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$. Deux équations suffisent pour deux inconnues."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $E(X) = 10$ et de\nvariance $V(X) = 8$. Quels sont ses paramètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 50$ et $p = 0{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np}$\nvaut $1-p = 0{,}8$, d'où $p = 0{,}2$, puis $n = \\dfrac{10}{0{,}2} =\n50$."
            },
            {
              "text": "$n = 50$ et $p = 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de lecture : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)}$ donne $1-p$ et\nnon $p$. Il faut encore passer au complément : $p = 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$n = 10$ et $p = 0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $10$ est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient\n$n$ en divisant l'espérance par $p$, soit $n = 50$."
            },
            {
              "text": "$n = 10$ et $p = 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : $10$ est l'espérance et non $n$, et $0{,}8$\nest la probabilité d'échec. Les paramètres sont $50$ et $0{,}2$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ on tire $1-p = \\dfrac{V(X)}{E(X)}$,\npuis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$. Deux équations suffisent pour deux inconnues."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $E(X) = 6$ et de\nvariance $V(X) = 4{,}5$. Quels sont ses paramètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 24$ et $p = 0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np}$\nvaut $1-p = 0{,}75$, d'où $p = 0{,}25$, puis $n = \\dfrac{6}{0{,}25} =\n24$."
            },
            {
              "text": "$n = 24$ et $p = 0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de lecture : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)}$ donne $1-p$ et\nnon $p$. Il faut encore passer au complément : $p = 0{,}25$."
            },
            {
              "text": "$n = 6$ et $p = 0{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient\n$n$ en divisant l'espérance par $p$, soit $n = 24$."
            },
            {
              "text": "$n = 6$ et $p = 0{,}75$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : $6$ est l'espérance et non $n$, et $0{,}75$\nest la probabilité d'échec. Les paramètres sont $24$ et $0{,}25$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ on tire $1-p = \\dfrac{V(X)}{E(X)}$,\npuis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$. Deux équations suffisent pour deux inconnues."
        },
        {
          "statement": "Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $E(X) = 4$ et de\nvariance $V(X) = 3{,}2$. Quels sont ses paramètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$n = 20$ et $p = 0{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)} = \\dfrac{np(1-p)}{np}$\nvaut $1-p = 0{,}8$, d'où $p = 0{,}2$, puis $n = \\dfrac{4}{0{,}2} =\n20$."
            },
            {
              "text": "$n = 20$ et $p = 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de lecture : le quotient $\\dfrac{V(X)}{E(X)}$ donne $1-p$ et\nnon $p$. Il faut encore passer au complément : $p = 0{,}2$."
            },
            {
              "text": "$n = 4$ et $p = 0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est l'espérance, pas le nombre d'épreuves. On obtient\n$n$ en divisant l'espérance par $p$, soit $n = 20$."
            },
            {
              "text": "$n = 4$ et $p = 0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs cumulées : $4$ est l'espérance et non $n$, et $0{,}8$\nest la probabilité d'échec. Les paramètres sont $20$ et $0{,}2$."
            }
          ],
          "explanation": "De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ on tire $1-p = \\dfrac{V(X)}{E(X)}$,\npuis $n = \\dfrac{E(X)}{p}$. Deux équations suffisent pour deux inconnues."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q40",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Une valeur impossible",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "On répète $10$ fois une épreuve de Bernoulli et $X$ compte les succès.\nParmi ces nombres, lequel $X$ ne peut-il **pas** prendre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.\nLe maximum est $10$, donc $11$ est hors d'atteinte."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $10$\népreuves échouent toutes, de probabilité $(1-p)^{10}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre $0$\net $10$, donc une valeur prise par $X$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $10$\népreuves réussissent toutes, de probabilité $p^{10}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une variable de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ prend exactement\nles valeurs entières de $0$ à $n$, bornes comprises.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On répète $10$ fois une épreuve de Bernoulli et $X$ compte les succès.\nParmi ces nombres, lequel $X$ ne peut-il **pas** prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.\nLe maximum est $10$, donc $11$ est hors d'atteinte."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $10$\népreuves échouent toutes, de probabilité $(1-p)^{10}$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre $0$\net $10$, donc une valeur prise par $X$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $10$\népreuves réussissent toutes, de probabilité $p^{10}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ prend exactement\nles valeurs entières de $0$ à $n$, bornes comprises."
        },
        {
          "statement": "On répète $15$ fois une épreuve de Bernoulli et $X$ compte les succès.\nParmi ces nombres, lequel $X$ ne peut-il **pas** prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.\nLe maximum est $15$, donc $16$ est hors d'atteinte."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $15$\népreuves échouent toutes, de probabilité $(1-p)^{15}$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre $0$\net $15$, donc une valeur prise par $X$."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $15$\népreuves réussissent toutes, de probabilité $p^{15}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ prend exactement\nles valeurs entières de $0$ à $n$, bornes comprises."
        },
        {
          "statement": "On répète $8$ fois une épreuve de Bernoulli et $X$ compte les succès.\nParmi ces nombres, lequel $X$ ne peut-il **pas** prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.\nLe maximum est $8$, donc $9$ est hors d'atteinte."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $8$\népreuves échouent toutes, de probabilité $(1-p)^{8}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre $0$\net $8$, donc une valeur prise par $X$."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $8$\népreuves réussissent toutes, de probabilité $p^{8}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ prend exactement\nles valeurs entières de $0$ à $n$, bornes comprises."
        },
        {
          "statement": "On répète $11$ fois une épreuve de Bernoulli et $X$ compte les succès.\nParmi ces nombres, lequel $X$ ne peut-il **pas** prendre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on ne peut pas obtenir plus de succès que d'épreuves.\nLe maximum est $11$, donc $12$ est hors d'atteinte."
            },
            {
              "text": "$0$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $11$\népreuves échouent toutes, de probabilité $(1-p)^{11}$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : c'est un nombre entier compris entre $0$\net $11$, donc une valeur prise par $X$."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Cette valeur est possible : elle correspond au cas où les $11$\népreuves réussissent toutes, de probabilité $p^{11}$."
            }
          ],
          "explanation": "Une variable de loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ prend exactement\nles valeurs entières de $0$ à $n$, bornes comprises."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q41",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "notation",
        "binomiale"
      ],
      "title": "Traduire une inégalité stricte",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Une variable $X$ compte des succès. Comment traduire « strictement plus\nde $5$ succès » à l'aide de $X$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$X \\geq 6$, soit six succès ou plus",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ ne prend que des valeurs entières, donc\n« strictement plus de $5$ » commence à $6$."
        },
        {
          "text": "$X \\geq 5$, soit cinq succès ou plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette écriture inclut la valeur $5$, que l'inégalité stricte\nexclut au contraire."
        },
        {
          "text": "$X > 6$, soit sept succès ou plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le seuil a été décalé d'une unité. La valeur $6$ convient\ndéjà, puisqu'elle dépasse $5$."
        },
        {
          "text": "$X \\leq 5$, soit cinq succès au plus",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : cette écriture décrit « au plus cinq succès », donc\nexactement le contraire de l'énoncé."
        }
      ],
      "explanation": "Sur des valeurs entières, « strictement plus de $k$ » et « au moins\n$k+1$ » décrivent le même événement. C'est cette seconde écriture que la\ncalculatrice sait traiter."
    },
    {
      "id": "q42",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraire",
        "calcul"
      ],
      "title": "Pas que des succès",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(3\\,;\\,0{,}4)$. Quelle est la probabilité que\nles $3$ épreuves ne soient pas toutes des succès ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}936$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de\nprobabilité $0{,}4^{3} = 0{,}064$. On conclut par\n$1 - 0{,}064 = 0{,}936$."
        },
        {
          "text": "$0{,}064$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}064$ est justement la probabilité d'obtenir **que** des\nsuccès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé."
        },
        {
          "text": "$0{,}784$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}216 = 0{,}784$ répond à « au moins un\nsuccès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter."
        },
        {
          "text": "$0{,}216$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}6^{3} = 0{,}216$ est la probabilité de n'obtenir aucun\nsuccès, un cas bien plus restrictif que celui demandé."
        }
      ],
      "explanation": "L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,\nde probabilité $p^n$. On obtient donc $P(X \\leq n-1) = 1 - p^n$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(3\\,;\\,0{,}4)$. Quelle est la probabilité que\nles $3$ épreuves ne soient pas toutes des succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}936$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de\nprobabilité $0{,}4^{3} = 0{,}064$. On conclut par\n$1 - 0{,}064 = 0{,}936$."
            },
            {
              "text": "$0{,}064$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}064$ est justement la probabilité d'obtenir **que** des\nsuccès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé."
            },
            {
              "text": "$0{,}784$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}216 = 0{,}784$ répond à « au moins un\nsuccès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter."
            },
            {
              "text": "$0{,}216$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}6^{3} = 0{,}216$ est la probabilité de n'obtenir aucun\nsuccès, un cas bien plus restrictif que celui demandé."
            }
          ],
          "explanation": "L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,\nde probabilité $p^n$. On obtient donc $P(X \\leq n-1) = 1 - p^n$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}3)$. Quelle est la probabilité que\nles $4$ épreuves ne soient pas toutes des succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}9919$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de\nprobabilité $0{,}3^{4} = 0{,}0081$. On conclut par\n$1 - 0{,}0081 = 0{,}9919$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0081$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}0081$ est justement la probabilité d'obtenir **que** des\nsuccès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé."
            },
            {
              "text": "$0{,}7599$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}2401 = 0{,}7599$ répond à « au moins un\nsuccès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter."
            },
            {
              "text": "$0{,}2401$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}7^{4} = 0{,}2401$ est la probabilité de n'obtenir aucun\nsuccès, un cas bien plus restrictif que celui demandé."
            }
          ],
          "explanation": "L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,\nde probabilité $p^n$. On obtient donc $P(X \\leq n-1) = 1 - p^n$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(5\\,;\\,0{,}6)$. Quelle est la probabilité que\nles $5$ épreuves ne soient pas toutes des succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}92224$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de\nprobabilité $0{,}6^{5} = 0{,}07776$. On conclut par\n$1 - 0{,}07776 = 0{,}92224$."
            },
            {
              "text": "$0{,}07776$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}07776$ est justement la probabilité d'obtenir **que** des\nsuccès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé."
            },
            {
              "text": "$0{,}98976$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}01024 = 0{,}98976$ répond à « au moins un\nsuccès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter."
            },
            {
              "text": "$0{,}01024$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}4^{5} = 0{,}01024$ est la probabilité de n'obtenir aucun\nsuccès, un cas bien plus restrictif que celui demandé."
            }
          ],
          "explanation": "L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,\nde probabilité $p^n$. On obtient donc $P(X \\leq n-1) = 1 - p^n$."
        },
        {
          "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}2)$. Quelle est la probabilité que\nles $4$ épreuves ne soient pas toutes des succès ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}9984$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « que des succès », de\nprobabilité $0{,}2^{4} = 0{,}0016$. On conclut par\n$1 - 0{,}0016 = 0{,}9984$."
            },
            {
              "text": "$0{,}0016$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}0016$ est justement la probabilité d'obtenir **que** des\nsuccès. C'est l'événement contraire de celui qui est demandé."
            },
            {
              "text": "$0{,}5904$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}4096 = 0{,}5904$ répond à « au moins un\nsuccès ». Ici c'est le cas « tous des succès » qu'il faut écarter."
            },
            {
              "text": "$0{,}4096$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}8^{4} = 0{,}4096$ est la probabilité de n'obtenir aucun\nsuccès, un cas bien plus restrictif que celui demandé."
            }
          ],
          "explanation": "L'événement « pas tous des succès » a pour contraire « tous des succès »,\nde probabilité $p^n$. On obtient donc $P(X \\leq n-1) = 1 - p^n$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q43",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "esperance-modelisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Combien de tentatives prévoir",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Chaque tentative réussit avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des\nautres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer $12$ succès\nen moyenne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale\nd'espérance $np$. On résout $n \\times 0{,}2 = 12$, d'où\n$n = \\dfrac{12}{0{,}2} = 60$."
        },
        {
          "text": "$2{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Opération inversée : multiplier $12$ par $0{,}2$ donne $2{,}4$,\nun nombre plus petit que $12$. Il faut au contraire diviser."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la division a été faite par $0{,}8$, la probabilité d'échec.\nL'espérance du nombre de succès fait intervenir $p$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12$ tentatives ne donneraient que $2{,}4$ succès en\nmoyenne, puisque chacune échoue le plus souvent."
        }
      ],
      "explanation": "Sur $n$ tentatives indépendantes de même probabilité $p$, le nombre de\nsuccès a pour espérance $np$. Viser $k$ succès revient à choisir\n$n = \\dfrac{k}{p}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Chaque tentative réussit avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des\nautres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer $12$ succès\nen moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale\nd'espérance $np$. On résout $n \\times 0{,}2 = 12$, d'où\n$n = \\dfrac{12}{0{,}2} = 60$."
            },
            {
              "text": "$2{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : multiplier $12$ par $0{,}2$ donne $2{,}4$,\nun nombre plus petit que $12$. Il faut au contraire diviser."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division a été faite par $0{,}8$, la probabilité d'échec.\nL'espérance du nombre de succès fait intervenir $p$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ tentatives ne donneraient que $2{,}4$ succès en\nmoyenne, puisque chacune échoue le plus souvent."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ tentatives indépendantes de même probabilité $p$, le nombre de\nsuccès a pour espérance $np$. Viser $k$ succès revient à choisir\n$n = \\dfrac{k}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Chaque tentative réussit avec la probabilité $0{,}25$, indépendamment des\nautres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer $9$ succès\nen moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale\nd'espérance $np$. On résout $n \\times 0{,}25 = 9$, d'où\n$n = \\dfrac{9}{0{,}25} = 36$."
            },
            {
              "text": "$2{,}25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : multiplier $9$ par $0{,}25$ donne $2{,}25$,\nun nombre plus petit que $9$. Il faut au contraire diviser."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division a été faite par $0{,}75$, la probabilité d'échec.\nL'espérance du nombre de succès fait intervenir $p$."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ tentatives ne donneraient que $2{,}25$ succès en\nmoyenne, puisque chacune échoue le plus souvent."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ tentatives indépendantes de même probabilité $p$, le nombre de\nsuccès a pour espérance $np$. Viser $k$ succès revient à choisir\n$n = \\dfrac{k}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Chaque tentative réussit avec la probabilité $0{,}4$, indépendamment des\nautres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer $12$ succès\nen moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale\nd'espérance $np$. On résout $n \\times 0{,}4 = 12$, d'où\n$n = \\dfrac{12}{0{,}4} = 30$."
            },
            {
              "text": "$4{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : multiplier $12$ par $0{,}4$ donne $4{,}8$,\nun nombre plus petit que $12$. Il faut au contraire diviser."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division a été faite par $0{,}6$, la probabilité d'échec.\nL'espérance du nombre de succès fait intervenir $p$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ tentatives ne donneraient que $4{,}8$ succès en\nmoyenne, puisque chacune échoue le plus souvent."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ tentatives indépendantes de même probabilité $p$, le nombre de\nsuccès a pour espérance $np$. Viser $k$ succès revient à choisir\n$n = \\dfrac{k}{p}$."
        },
        {
          "statement": "Chaque tentative réussit avec la probabilité $0{,}25$, indépendamment des\nautres. Combien de tentatives faut-il prévoir pour espérer $6$ succès\nen moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de succès suit une loi binomiale\nd'espérance $np$. On résout $n \\times 0{,}25 = 6$, d'où\n$n = \\dfrac{6}{0{,}25} = 24$."
            },
            {
              "text": "$1{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Opération inversée : multiplier $6$ par $0{,}25$ donne $1{,}5$,\nun nombre plus petit que $6$. Il faut au contraire diviser."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la division a été faite par $0{,}75$, la probabilité d'échec.\nL'espérance du nombre de succès fait intervenir $p$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ tentatives ne donneraient que $1{,}5$ succès en\nmoyenne, puisque chacune échoue le plus souvent."
            }
          ],
          "explanation": "Sur $n$ tentatives indépendantes de même probabilité $p$, le nombre de\nsuccès a pour espérance $np$. Viser $k$ succès revient à choisir\n$n = \\dfrac{k}{p}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q44",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "interpretation",
        "ecart-type"
      ],
      "title": "Ce que dit l'écart-type",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(400\\,;\\,0{,}5)$, d'espérance $200$ et\nd'écart-type $10$. Que traduit cet écart-type ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'écart à $200$ est d'une dizaine d'unités",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion autour de\nl'espérance. Les valeurs observées se tiennent en général à quelques\ndizaines d'unités de $200$."
        },
        {
          "text": "$X$ prend nécessairement une valeur entre $190$ et $210$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart-type ne borne rien. Toutes les valeurs de $0$ à\n$400$ restent possibles, même si les plus éloignées sont rares."
        },
        {
          "text": "Une épreuve sur dix environ se solde par un succès",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la proportion de succès est donnée par $p = 0{,}5$, soit une\népreuve sur deux. L'écart-type ne renseigne pas sur $p$."
        },
        {
          "text": "La valeur de l'espérance est connue à $10$ près",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'espérance vaut exactement $200$. C'est la variable, et non\nson espérance, qui fluctue autour de cette valeur."
        }
      ],
      "explanation": "L'espérance situe le centre d'une loi, l'écart-type mesure l'ampleur des\nfluctuations autour de ce centre. Aucun des deux ne borne les valeurs\npossibles."
    },
    {
      "id": "q45",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "binomiale",
        "definition"
      ],
      "title": "Somme de toutes les probabilités",
      "partie": "binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$. Que vaut la somme\n$P(X = 0) + P(X = 1) + \\cdots + P(X = n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$, comme pour toute loi de probabilité",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les événements $(X = k)$ forment une partition de\nl'univers, donc leurs probabilités totalisent $1$."
        },
        {
          "text": "$np$, c'est-à-dire l'espérance de $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $np$ s'obtient en pondérant chaque valeur $k$ par sa\nprobabilité. Ici les probabilités sont simplement additionnées."
        },
        {
          "text": "$p$, la probabilité de succès d'une épreuve",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p$ concerne une seule épreuve. La somme porte sur toutes\nles valeurs possibles de $X$, donc sur tout l'univers."
        },
        {
          "text": "$n$, le nombre d'épreuves répétées",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une somme de probabilités ne peut pas dépasser $1$. Le\nnombre $n$ compte les épreuves, pas des probabilités."
        }
      ],
      "explanation": "Les $n+1$ événements $(X = 0), (X = 1), \\ldots, (X = n)$ sont deux à deux\nincompatibles et couvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités\nvaut $1$."
    },
    {
      "id": "q46",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "parametres",
        "esperance",
        "probabilite"
      ],
      "title": "Retrouver la probabilité à partir de l'espérance",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p$, avec\n$E(X) = 12$. Que vaut $p$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np$, donc $p = \\dfrac{12}{40} = 0{,}3$.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le quotient a été mal calculé ; $40 \\times 0{,}4 \\neq\n12$.\n"
        },
        {
          "text": "$3{,}33$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{40}{12}$ dépasse $1$ et ne peut pas être une\nprobabilité.\n"
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12$ est l'espérance, pas la probabilité.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$E(X) = np$ se lit dans les deux sens : connaissant $n$ et\nl'espérance, on retrouve $p$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 40$ et $p$, avec\n$E(X) = 12$. Que vaut $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np$, donc $p = \\dfrac{12}{40} = 0{,}3$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le quotient a été mal calculé ; $40 \\times 0{,}4 \\neq\n12$.\n"
            },
            {
              "text": "$3{,}33$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{40}{12}$ dépasse $1$ et ne peut pas être une\nprobabilité.\n"
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ est l'espérance, pas la probabilité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$E(X) = np$ se lit dans les deux sens : connaissant $n$ et\nl'espérance, on retrouve $p$."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 60$ et $p$, avec\n$E(X) = 15$. Que vaut $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np$, donc $p = \\dfrac{15}{60} = 0{,}25$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le quotient a été mal calculé ; $60 \\times 0{,}5 \\neq\n15$.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{60}{15}$ dépasse $1$ et ne peut pas être une\nprobabilité.\n"
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $15$ est l'espérance, pas la probabilité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$E(X) = np$ se lit dans les deux sens : connaissant $n$ et\nl'espérance, on retrouve $p$."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p$, avec\n$E(X) = 8$. Que vaut $p$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = np$, donc $p = \\dfrac{8}{20} = 0{,}4$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le quotient a été mal calculé ; $20 \\times 0{,}2 \\neq\n8$.\n"
            },
            {
              "text": "$2{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{20}{8}$ dépasse $1$ et ne peut pas être une\nprobabilité.\n"
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est l'espérance, pas la probabilité.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$E(X) = np$ se lit dans les deux sens : connaissant $n$ et\nl'espérance, on retrouve $p$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q47",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parametres",
        "variance",
        "maximum"
      ],
      "title": "La variance la plus grande à n fixé",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Pour une loi binomiale de paramètre $n$ fixé, pour quelle valeur\nde $p$ la variance $np(1 - p)$ est-elle maximale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$p = \\dfrac{1}{2}$, où $p(1 - p)$ est maximal",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $p(1 - p)$ est un trinôme en $p$ de maximum\n$\\dfrac{1}{4}$ en $p = \\dfrac{1}{2}$ ; la variance vaut alors\n$\\dfrac{n}{4}$.\n"
        },
        {
          "text": "$p = 1$, la variance croissant avec $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $p = 1$, tous les tirages sont des succès, la\nvariance est nulle.\n"
        },
        {
          "text": "$p = 0$, la variance décroissant avec $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $p = 0$, aucun succès, la variance est nulle.\n"
        },
        {
          "text": "Aucune, la variance ne dépendant pas de $p$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $np(1 - p)$ dépend de $p$, et s'annule aux deux\nextrémités.\n"
        }
      ],
      "explanation": "L'incertitude est maximale quand succès et échec sont\néquiprobables : $V(X) = np(1 - p) \\leq \\dfrac{n}{4}$."
    },
    {
      "id": "q48",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametres",
        "ecart-type",
        "calcul"
      ],
      "title": "Écart-type d'une loi binomiale, calcul numérique",
      "partie": "parametres",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}2$.\nQue vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = 100 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8 = 16$ et\n$\\sigma(X) = \\sqrt{16} = 4$.\n"
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16$ est la variance ; l'écart-type en est la racine\ncarrée.\n"
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20$ est l'espérance $np$.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est la probabilité d'un succès.\n"
        }
      ],
      "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1 - p)}$ : calculer la variance, puis prendre\nla racine carrée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}2$.\nQue vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = 100 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8 = 16$ et\n$\\sigma(X) = \\sqrt{16} = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $16$ est la variance ; l'écart-type en est la racine\ncarrée.\n"
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est l'espérance $np$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est la probabilité d'un succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1 - p)}$ : calculer la variance, puis prendre\nla racine carrée."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p = 0{,}5$.\nQue vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = 400 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5 = 100$ et\n$\\sigma(X) = \\sqrt{100} = 10$.\n"
            },
            {
              "text": "$100$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $100$ est la variance ; l'écart-type en est la racine\ncarrée.\n"
            },
            {
              "text": "$200$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $200$ est l'espérance $np$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1 - p)}$ : calculer la variance, puis prendre\nla racine carrée."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 25$ et $p = 0{,}2$.\nQue vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = 25 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8 = 4$ et\n$\\sigma(X) = \\sqrt{4} = 2$.\n"
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est la variance ; l'écart-type en est la racine\ncarrée.\n"
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est l'espérance $np$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}2$ est la probabilité d'un succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1 - p)}$ : calculer la variance, puis prendre\nla racine carrée."
        },
        {
          "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 36$ et $p = 0{,}5$.\nQue vaut l'écart-type $\\sigma(X)$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = 36 \\times 0{,}5 \\times 0{,}5 = 9$ et\n$\\sigma(X) = \\sqrt{9} = 3$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $9$ est la variance ; l'écart-type en est la racine\ncarrée.\n"
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est l'espérance $np$.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un succès.\n"
            }
          ],
          "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1 - p)}$ : calculer la variance, puis prendre\nla racine carrée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q49",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parametres",
        "esperance",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Nombre de ventes attendues",
      "partie": "parametres",
      "statement": "Un vendeur contacte $200$ clients ; chacun achète avec la\nprobabilité $0{,}15$, indépendamment des autres. Combien de ventes\npeut-il attendre en moyenne ?",
      "options": [
        {
          "text": "$30$ ventes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de\nparamètres $200$ et $0{,}15$, d'espérance $200 \\times 0{,}15 = 30$.\n"
        },
        {
          "text": "$15$ ventes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15$ est $100 \\times 0{,}15$, un pourcentage, pas un\nnombre de ventes sur $200$ clients.\n"
        },
        {
          "text": "$0{,}15$ vente",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}15$ est la probabilité d'une vente par client.\n"
        },
        {
          "text": "$200$ ventes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion\n$0{,}15$ le fait en moyenne.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser $E(X) = np$ pour\nprévoir le résultat moyen.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un vendeur contacte $200$ clients ; chacun achète avec la\nprobabilité $0{,}15$, indépendamment des autres. Combien de ventes\npeut-il attendre en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$ ventes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de\nparamètres $200$ et $0{,}15$, d'espérance $200 \\times 0{,}15 = 30$.\n"
            },
            {
              "text": "$15$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $15$ est $100 \\times 0{,}15$, un pourcentage, pas un\nnombre de ventes sur $200$ clients.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}15$ vente",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}15$ est la probabilité d'une vente par client.\n"
            },
            {
              "text": "$200$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion\n$0{,}15$ le fait en moyenne.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser $E(X) = np$ pour\nprévoir le résultat moyen."
        },
        {
          "statement": "Un vendeur contacte $500$ clients ; chacun achète avec la\nprobabilité $0{,}08$, indépendamment des autres. Combien de ventes\npeut-il attendre en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ ventes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de\nparamètres $500$ et $0{,}08$, d'espérance $500 \\times 0{,}08 = 40$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $8$ est $100 \\times 0{,}08$, un pourcentage, pas un\nnombre de ventes sur $500$ clients.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}08$ vente",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}08$ est la probabilité d'une vente par client.\n"
            },
            {
              "text": "$500$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion\n$0{,}08$ le fait en moyenne.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser $E(X) = np$ pour\nprévoir le résultat moyen."
        },
        {
          "statement": "Un vendeur contacte $140$ clients ; chacun achète avec la\nprobabilité $0{,}25$, indépendamment des autres. Combien de ventes\npeut-il attendre en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$35$ ventes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de\nparamètres $140$ et $0{,}25$, d'espérance $140 \\times 0{,}25 = 35$.\n"
            },
            {
              "text": "$25$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $25$ est $100 \\times 0{,}25$, un pourcentage, pas un\nnombre de ventes sur $140$ clients.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}25$ vente",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}25$ est la probabilité d'une vente par client.\n"
            },
            {
              "text": "$140$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion\n$0{,}25$ le fait en moyenne.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser $E(X) = np$ pour\nprévoir le résultat moyen."
        },
        {
          "statement": "Un vendeur contacte $300$ clients ; chacun achète avec la\nprobabilité $0{,}12$, indépendamment des autres. Combien de ventes\npeut-il attendre en moyenne ?",
          "options": [
            {
              "text": "$36$ ventes",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le nombre de ventes suit la loi binomiale de\nparamètres $300$ et $0{,}12$, d'espérance $300 \\times 0{,}12 = 36$.\n"
            },
            {
              "text": "$12$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $12$ est $100 \\times 0{,}12$, un pourcentage, pas un\nnombre de ventes sur $300$ clients.\n"
            },
            {
              "text": "$0{,}12$ vente",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $0{,}12$ est la probabilité d'une vente par client.\n"
            },
            {
              "text": "$300$ ventes",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tous les clients n'achètent pas ; seule une proportion\n$0{,}12$ le fait en moyenne.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Modéliser par une loi binomiale, puis utiliser $E(X) = np$ pour\nprévoir le résultat moyen."
        }
      ]
    }
  ]
}