{ "chapter": { "id": "sommes-variables-aleatoires", "level": "terminale-specialite", "theme": "Probabilités", "title": "Sommes de variables aléatoires", "description": "Linéarité de l'espérance ($E(X+Y)$, $E(aX)$), additivité de la\nvariance pour des variables indépendantes, $V(aX) = a^2 V(X)$,\néchantillon d'une loi : espérance, variance et écart-type de la\nsomme $S_n$ et de la moyenne $M_n$, décomposition d'une binomiale\nen somme de variables de Bernoulli.", "parties": [ { "id": "esperance", "title": "Espérance d'une somme" }, { "id": "variance", "title": "Variance et écart-type" }, { "id": "echantillons", "title": "Échantillon et moyenne" }, { "id": "transformations", "title": "Transformations affines et pièges" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "linearite", "esperance" ], "title": "Espérance d'une somme", "partie": "esperance", "statement": "Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et\n$E(Y) = 5$. Que vaut $E(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$8$, sans hypothèse supplémentaire", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité de l'espérance,\n$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$, vaut **toujours**, indépendance ou\nnon." }, { "text": "$8$, mais seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes", "correct": false, "feedback": "Piège : l'indépendance est nécessaire pour additionner les\n**variances**, pas les espérances. La linéarité de\nl'espérance est inconditionnelle." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $15 = 3 \\times 5$ serait un produit. La somme des\nvariables donne la somme des espérances : $3 + 5 = 8$." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître les lois de $X$ et $Y$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la force de la linéarité, elle conclut sans\nconnaître les lois ni le lien entre les variables." } ], "explanation": "Linéarité de l'espérance : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et\n$E(aX) = a\\,E(X)$, **sans aucune hypothèse d'indépendance**.\nC'est l'outil le plus puissant du chapitre." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "linearite", "esperance" ], "title": "Espérance de $aX$", "partie": "esperance", "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 2$. Que vaut\n$E(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 3 \\times 2 = 6$." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable par $3$ multiplie aussi sa\nvaleur moyenne par $3$." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $18 = 3^2 \\times 2$ applique la règle de la\n**variance** ($V(aX) = a^2V(X)$). Pour l'espérance, le\nfacteur sort sans être élevé au carré." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + 2$ additionne le coefficient et l'espérance.\nLa règle est multiplicative : $E(3X) = 3E(X)$." } ], "explanation": "$E(aX) = a\\,E(X)$ : un facteur constant sort tel quel de\nl'espérance (contrairement à la variance, où il sort au\ncarré)." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "variance" ], "title": "Variance de $aX$", "partie": "variance", "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire avec $V(X) = 2$. Que vaut\n$V(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 9 \\times 2 = 18$. La\nvariance est une moyenne de **carrés** d'écarts : le\nfacteur sort au carré." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur très fréquente : $3V(X)$ applique la règle de\nl'espérance. Les écarts sont multipliés par $3$, donc leurs\n**carrés** par $9$." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable dilate sa dispersion. La\nvariance est multipliée par $a^2 = 9$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $12 = 6 \\times 2$ ne correspond à aucune règle.\nLa formule exacte est $V(aX) = a^2V(X) = 18$." } ], "explanation": "$V(aX) = a^2\\,V(X)$ (et donc $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$).\nMoyen mémo : la variance s'exprime en unités **au carré**, le\nfacteur y entre au carré." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "variance", "independance" ], "title": "Additivité de la variance", "partie": "variance", "statement": "Sous quelle hypothèse a-t-on $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?", "options": [ { "text": "Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'additivité de la variance exige\nl'indépendance (dans le programme, celle du cadre de la\nsuccession d'épreuves indépendantes)." }, { "text": "Toujours, comme pour l'espérance", "correct": false, "feedback": "Erreur : contre-exemple, $Y = -X$ (avec $V(X) > 0$) :\n$V(X + Y) = V(0) = 0$ alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$." }, { "text": "Lorsque $X$ et $Y$ ont la même loi", "correct": false, "feedback": "Erreur : même loi ne veut pas dire indépendantes. avec $Y = X$, par exemple, $V(2X) = 4V(X) \\neq 2V(X)$." }, { "text": "Lorsque $E(X) = E(Y) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le centrage ne remplace pas l'indépendance.\n$Y = -X$ centrée fournit encore le contre-exemple." } ], "explanation": "$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ **si $X$ et $Y$ sont indépendantes**.\nSans indépendance, les fluctuations peuvent se compenser\n($Y = -X$) ou se renforcer ($Y = X$)." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "variance", "calcul" ], "title": "Variance d'une différence", "partie": "variance", "statement": "Soient $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 1$.\nQue vaut $V(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X - Y = X + (-1)Y$, donc\n$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2 V(Y) = 4 + 1 = 5$. Les variances\ns'**ajoutent**, même pour une différence." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : on ne soustrait pas les variances.\nSoustraire une variable ajoute de l'aléa autant que\nl'ajouter : $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $V(Y)$ ne disparaît pas ; $-Y$ fluctue\nexactement autant que $Y$." }, { "text": "$\\sqrt{17}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun passage à la racine ici (tu penses à\nl'écart-type ?). $V(X - Y) = 4 + 1 = 5$." } ], "explanation": "Pour $X, Y$ indépendantes :\n$V(X - Y) = V(X) + (-1)^2V(Y) = V(X) + V(Y)$. Une variance ne\npeut jamais décroître en ajoutant du hasard indépendant, quel\nque soit le signe." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "echantillon", "ecart-type" ], "title": "Écart-type de la moyenne d'échantillon", "partie": "echantillons", "statement": "Soit un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable\nd'écart-type $\\sigma = 5$, et $M_n$ la moyenne de\nl'échantillon. Que vaut $\\sigma(M_n)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$ donc\n$\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}} =\n\\dfrac{5}{\\sqrt{100}} = \\dfrac{5}{10} = 0{,}5$. Le fameux\nfacteur $\\dfrac{1}{\\sqrt{n}}$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : moyenner **réduit** la dispersion. Chaque\nobservation a un écart-type de $5$, mais leur moyenne\nfluctue dix fois moins." }, { "text": "$0{,}05$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{5}{100} = 0{,}05$ divise par $n$, mais\nc'est la **variance** qui se divise par $n$. L'écart-type,\nsa racine, se divise par $\\sqrt{n} = 10$." }, { "text": "$50$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $50 = 5\\sqrt{100}$ est l'écart-type de la\n**somme** $S_n$, pas de la moyenne. Diviser par $n$ ramène\nà $0{,}5$." } ], "explanation": "Formules d'échantillon : $\\sigma(S_n) = \\sigma\\sqrt{n}$ et\n$\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. C'est ce facteur\n$\\frac{1}{\\sqrt{n}}$ qui fonde la précision croissante des\nsondages et mesures répétées." }, { "id": "q07", "difficulty": 1, "skills": [ "echantillon", "esperance" ], "title": "Espérance d'une somme d'échantillon", "partie": "echantillons", "statement": "Soit $S_n = X_1 + \\cdots + X_{50}$ la somme d'un échantillon de\ntaille $50$ d'une variable d'espérance $\\mu = 2$. Que vaut\n$E(S_n)$ ?", "options": [ { "text": "$100$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par linéarité, $E(S_n) = n\\mu = 50 \\times 2\n= 100$." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est l'espérance d'**une** observation (et\ncelle de la moyenne $M_n$). La somme de $50$ observations a\npour espérance $50 \\times 2$." }, { "text": "$52$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $50 + 2$ additionne des objets de natures\ndifférentes. La règle est multiplicative : $n\\mu = 100$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $50/2$ ne correspond à aucune formule. $E(S_n) =\nn\\mu = 100$." } ], "explanation": "Pour un échantillon $(X_1, \\ldots, X_n)$ d'une loi d'espérance\n$\\mu$ : $E(S_n) = n\\mu$ (linéarité) et $E(M_n) = \\mu$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "bernoulli", "decomposition" ], "title": "Une binomiale comme somme", "partie": "echantillons", "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$. Comment retrouve-t-on la\nformule $V(X) = np(1-p)$ ?", "options": [ { "text": "En décomposant $X$ en somme de $n$ Bernoulli\nindépendantes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec $X_i$ de\nBernoulli indépendantes, chacune de variance $p(1-p)$ ;\nl'additivité des variances donne $n \\times p(1-p)$." }, { "text": "En calculant directement $E(X^2)$ par la formule binomiale", "correct": false, "feedback": "Ce calcul direct existe mais il est lourd ; la méthode du\nprogramme passe par la **décomposition en somme** et\nl'additivité des variances : c'est tout son intérêt." }, { "text": "En dérivant l'espérance $np$ par rapport à $p$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver une espérance n'a pas de sens probabiliste\nici. Le lien correct passe par la somme de Bernoulli\nindépendantes." }, { "text": "On ne peut pas : cette formule est admise sans justification", "correct": false, "feedback": "Erreur : la démonstration est explicitement au programme,\nvia la décomposition en somme de variables de Bernoulli." } ], "explanation": "Décomposition fondamentale : $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ est la loi\nde $X_1 + \\cdots + X_n$, où les $X_i$ sont des Bernoulli\nindépendantes. Espérances : $n \\times p$ ; variances\n(indépendance) : $n \\times p(1-p)$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "echantillon", "concentration" ], "title": "Effet de la taille d'échantillon", "partie": "echantillons", "statement": "On multiplie par $4$ la taille $n$ d'un échantillon. Que\ndevient la variance de la moyenne $M_n$ ?", "options": [ { "text": "Elle est divisée par $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$ : quadrupler $n$\ndivise la variance de la moyenne par $4$ (et son écart-type\npar $2$)." }, { "text": "Elle est divisée par $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'**écart-type** qui est divisé par\n$\\sqrt{4} = 2$. La variance, elle, suit $\\frac{V}{n}$ :\ndivision par $4$." }, { "text": "Elle est divisée par $16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $16$ appliquerait un carré de trop. $V(M_n)$ est\nproportionnelle à $\\dfrac{1}{n}$ : facteur $4$, pas $16$." }, { "text": "Elle ne change pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'espérance $E(M_n) = \\mu$ qui est\ninsensible à $n$. La dispersion de la moyenne, elle, fond\nquand l'échantillon grandit." } ], "explanation": "$V(M_n) = \\dfrac{V}{n}$ : la moyenne d'un échantillon se\nconcentre autour de $\\mu$ à mesure que $n$ croît. En pratique :\npour diviser l'incertitude (écart-type) par $2$, il faut\n**quadrupler** l'échantillon." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "echantillon", "esperance" ], "title": "Espérance de la moyenne d'échantillon", "partie": "echantillons", "statement": "Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une\nvariable d'espérance $\\mu$. Que vaut $E(M_n)$ ?", "options": [ { "text": "$\\mu$, quelle que soit la taille $n$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(M_n) = \\dfrac{1}{n}E(S_n) =\n\\dfrac{n\\mu}{n} = \\mu$. La moyenne d'échantillon vise juste\nen moyenne, pour tout $n$." }, { "text": "$\\dfrac{\\mu}{n}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $n$ est déjà incluse dans la\ndéfinition de $M_n$ ; elle compense exactement la somme des\n$n$ espérances." }, { "text": "$n\\mu$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $n\\mu$ est l'espérance de la **somme** $S_n$. La\nmoyenne divise par $n$ : $E(M_n) = \\mu$." }, { "text": "Cela dépend de la variance de la loi", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance règle la **dispersion** de $M_n$\nautour de $\\mu$, pas sa valeur moyenne, qui vaut toujours\n$\\mu$." } ], "explanation": "$E(M_n) = \\mu$ : la taille de l'échantillon n'affecte que la\n**précision** ($V(M_n) = V/n$), pas le centre. C'est le point\nde départ de l'estimation statistique." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "linearite", "piege" ], "title": "Quelle égalité est toujours vraie ?", "partie": "esperance", "statement": "Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires **quelconques**\n(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités\nest toujours vraie ?", "options": [ { "text": "$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande\naucune hypothèse. Les trois autres égalités exigent\nl'indépendance, et peuvent être fausses sans elle." }, { "text": "$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : vraie **seulement** sous indépendance.\nContre-exemple : $Y = -X$ donne $V(X+Y) = 0$." }, { "text": "$E(XY) = E(X)\\,E(Y)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette relation exige l'indépendance (et n'est\nd'ailleurs pas un attendu du programme). Avec $Y = X$ :\n$E(X^2) \\neq E(X)^2$ dès que $V(X) > 0$." }, { "text": "$\\sigma(X + Y) = \\sigma(X) + \\sigma(Y)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent jamais tels\nquels (même sous indépendance, ce sont les **variances**\nqui s'ajoutent : $\\sigma(X+Y) = \\sqrt{\\sigma_X^2 +\n\\sigma_Y^2}$)." } ], "explanation": "À classer une fois pour toutes : l'espérance est linéaire sans\ncondition ; l'additivité concerne les **variances** et demande\nl'indépendance ; les écarts-types, eux, ne s'additionnent\npas." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "application", "calcul" ], "title": "Somme de deux dés", "partie": "echantillons", "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la\nsomme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut\n$3{,}5$, que vaut $E(S)$ ?", "options": [ { "text": "$7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(S) = E(X_1) + E(X_2) = 3{,}5 + 3{,}5 =\n7$, par linéarité, sans même détailler la loi de $S$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est le maximum d'**un** dé. La somme de deux\ndés est centrée sur $3{,}5 + 3{,}5 = 7$." }, { "text": "$3{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un seul dé (ou de la\n**moyenne** des deux). La somme double : $7$." }, { "text": "$12{,}25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3{,}5^2$ multiplierait les espérances, ce qui\ncorrespondrait à un produit de variables. Pour une somme,\non additionne : $7$." } ], "explanation": "Toute la puissance de la linéarité : $E(S) = 2 \\times 3{,}5 =\n7$ sans calculer la loi de la somme (qui, elle, demanderait le\ntableau des 36 issues)." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "translation-esperance" ], "title": "Espérance de $X + b$", "partie": "transformations", "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 10$. Que\nvaut $E(X + 5)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ajouter $5$ à toutes les valeurs décale\nla moyenne de $5$ : $E(X + b) = E(X) + b$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la **variance** qui ignore les\ntranslations ; la moyenne, elle, suit le décalage." }, { "text": "$50$", "correct": false, "feedback": "Multiplication indue : $50 = 5 \\times E(X)$ correspond à\n$E(5X)$ : ici on **ajoute** $5$, on ne multiplie pas." }, { "text": "Impossible sans connaître la loi de $X$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la linéarité de l'espérance opère sans jamais\nconnaître la loi : c'est toute sa puissance." } ], "explanation": "$E(aX + b) = aE(X) + b$ : l'espérance suit les\ntransformations affines. Décaler les valeurs décale la\nmoyenne, dilater les valeurs dilate la moyenne." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "translation-variance" ], "title": "Variance de $X + 5$", "partie": "transformations", "statement": "$X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut $V(X + 5)$ ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une translation ne change pas la\ndispersion. Ajouter $5$ déplace toutes les valeurs du\nmême pas : les écarts à la moyenne, eux, ne bougent pas\nd'un millimètre : $V(X + b) = V(X)$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $+5$ ne s'ajoute pas à la variance : il\nglisse le paquet entier sans l'étaler." }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100 = 5^2 \\times 4$ correspond à $V(5X)$\n(dilatation) : ici c'est une translation, neutre pour la\nvariance." }, { "text": "$29$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $29 = 4 + 5^2$ ajoute $25$ à la variance, or la\nconstante $b$ disparaît totalement de la variance." } ], "explanation": "$V(aX + b) = a^2V(X)$ : la constante $b$ s'évapore\n(translation), le facteur $a$ ressort **au carré**\n(dilatation). Contraste avec l'espérance, qui garde les\ndeux." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "esperance-difference" ], "title": "Espérance d'une différence", "partie": "esperance", "statement": "$X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires avec $E(X) = 8$\net $E(Y) = 3$. Que vaut $E(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : linéarité : $E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 8\n- 3 = 5$, indépendance ou pas." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Signe : $11$ est $E(X + Y)$ : la différence soustrait\nles espérances." }, { "text": "$24$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $24 = 8 \\times 3$ évoquerait un **produit**\n(et $E(XY) = E(X)E(Y)$ exige d'ailleurs\nl'indépendance) : la différence reste additive." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans l'indépendance de $X$ et $Y$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la linéarité de l'espérance vaut TOUJOURS,\ndépendantes ou pas : c'est la variance qui réclame\nl'indépendance." } ], "explanation": "$E(X \\pm Y) = E(X) \\pm E(Y)$, sans aucune hypothèse : la\nlinéarité est inconditionnelle. Le réflexe « il faut\nl'indépendance » ne concerne que $V(X + Y)$." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "variance-oppose" ], "title": "Variance de $-X$", "partie": "variance", "statement": "$X$ a pour variance $V(X) = 9$. Que vaut $V(-X)$ ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2V(X)$ avec $a = -1$ :\n$(-1)^2 = 1$ : retourner les valeurs retourne le paquet\nsans changer son étalement." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une variance est une moyenne de **carrés**\nd'écarts : jamais négative, quelle que soit la\ntransformation." }, { "text": "$81$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $81 = 9^2$ élèverait la variance au carré :\nla règle met au carré le **coefficient** $a = -1$, pas\nla variance." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-X$ reste aléatoire : sa dispersion est\nintacte : seul le signe des valeurs a basculé." } ], "explanation": "$V(-X) = V(X)$ et $\\sigma(-X) = \\sigma(X)$ : la dispersion\nignore l'orientation. Corollaire pratique : $V(X - Y) =\nV(X) + V(Y)$ pour des variables indépendantes : le moins\ndevient plus !" }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "ecart-type-somme" ], "title": "Écart-type d'une somme", "partie": "variance", "statement": "$X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec $\\sigma(X) = 3$ et\n$\\sigma(Y) = 4$. Que vaut $\\sigma(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les **variances** s'ajoutent\n(indépendance), pas les écarts-types : $V(X + Y) = 9 + 16\n= 25$, puis racine : $\\sigma(X+Y) = 5$ : le triangle\n$3$-$4$-$5$ des probabilités." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "L'erreur ciblée : $7 = 3 + 4$ additionne les écarts-types,\nor ils ne s'additionnent JAMAIS : l'additivité passe par\nles variances : $\\sqrt{9 + 16} = 5 < 7$ : les fluctuations\nse compensent partiellement." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Étape manquante : $25$ est la **variance** de la somme ;\nl'écart-type en est la racine : $5$." }, { "text": "$\\sqrt{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sqrt{3 + 4} = \\sqrt{7} \\approx 2{,}65$ prend la\nracine de la somme des écarts-types ; ce sont les\n**variances** qui s'ajoutent : $\\sqrt{9 + 16} = 5$. Un\nécart-type de la somme inférieur à $\\sigma(X) = 3$ devrait\nd'ailleurs alerter : $V(X + Y) = V(X) + V(Y) \\geq V(X)$." } ], "explanation": "Indépendance : $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$, donc $\\sigma(X+Y) =\n\\sqrt{\\sigma(X)^2 + \\sigma(Y)^2}$ : une addition « à la\nPythagore ». Conséquence célèbre : $n$ sources de bruit\nindépendantes cumulent en $\\sqrt{n}$, pas en $n$." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "additivite-condition" ], "title": "Quand la variance est-elle additive ?", "partie": "esperance", "statement": "L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle toujours\nvraie ?", "options": [ { "text": "Non : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$\n(contre-exemple : $Y = -X$)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $Y = -X$ : $X + Y = 0$, variance\nnulle, alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X) > 0$ : sans\nindépendance, les fluctuations peuvent s'annuler ou se\nrenforcer." }, { "text": "Oui : la variance est linéaire comme l'espérance", "correct": false, "feedback": "Faux : la variance n'est PAS linéaire ($V(aX) = a^2V$,\ndéjà). Son additivité est un privilège de\nl'**indépendance**." }, { "text": "Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation", "correct": false, "feedback": "Trop sévère : pour des variables indépendantes,\nl'égalité est exacte (théorème du cours) : c'est le cas\ndes tirages répétés." }, { "text": "Oui, dès que $X$ et $Y$ ont la même loi", "correct": false, "feedback": "Erreur : même loi n'est pas indépendance : $Y = -X$ a la\nmême loi que $X$ (si $X$ est symétrique) et l'égalité\néchoue." } ], "explanation": "$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ : toujours. $V(X + Y) = V(X) +\nV(Y)$ : **seulement si indépendance**. Ce contraste est LA\nnuance du chapitre : l'énoncer précisément vaut des points,\nl'oublier en coûte." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "esperance", "linearite" ], "title": "Espérance d'une combinaison", "partie": "esperance", "statement": "On donne $E(X) = 4$ et $E(Y) = 7$.\nQue vaut $E(2X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité donne $2 \\times 4 - 7$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Signe de la soustraction : le calcul fait est $2 \\times 4 + 7$." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Coefficient oublié : $4 + 7$ ne tient pas compte du facteur $2$." }, { "text": "$-3$", "correct": false, "feedback": "Coefficient appliqué au mauvais terme : $4 - 7$ oublie de doubler\n$E(X)$." } ], "explanation": "L'espérance est linéaire : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$, sans aucune\nhypothèse d'indépendance." }, { "id": "q20", "difficulty": 3, "skills": [ "variance", "independance" ], "title": "Variance d'une somme", "partie": "variance", "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, de variances $3$ et\n$5$. Que vaut $V(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les variances s'additionnent lorsque les variables sont\nindépendantes." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Variances multipliées : c'est une addition qu'impose la propriété." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Variances soustraites : même pour une différence, elles\ns'additionneraient." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Somme élevée au carré : le carré intervient pour un coefficient\nmultiplicatif, pas pour une somme." } ], "explanation": "Pour des variables indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Cette\nadditivité tombe en défaut si les variables sont liées." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "variance", "combinaison-lineaire" ], "title": "Variance d'une combinaison de variables indépendantes", "partie": "variance", "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, avec $V(X) = 3$ et\n$V(Y) = 5$. Que vaut $V(2X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$17$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(2X - Y) = 2^2\\,V(X) + (-1)^2\\,V(Y) =\n12 + 5$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 \\times 3 - 5$ ; les coefficients sortent au carré\net les variances s'additionnent." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 \\times 3 + 5$ ; le coefficient $2$ sort au carré." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $12 - 5$ ; même pour une différence, les variances\ns'ajoutent." } ], "explanation": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes : $V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y)$." }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "echantillon", "esperance" ], "title": "Somme d'un échantillon", "partie": "echantillons", "statement": "Un échantillon de taille $n$ est formé de variables indépendantes de\nmême espérance $\\mu$. Que vaut l'espérance de leur somme ?", "options": [ { "text": "$n\\mu$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité de l'espérance additionne $n$ fois la même\nvaleur." }, { "text": "$\\mu$", "correct": false, "feedback": "C'est l'espérance de la moyenne d'échantillon, pas celle de la somme." }, { "text": "$\\dfrac{\\mu}{n}$", "correct": false, "feedback": "Division injustifiée : la somme grandit avec l'effectif, elle ne\ndiminue pas." }, { "text": "$n^2\\mu$", "correct": false, "feedback": "Carré de trop : il apparaît pour la variance d'un produit par un\ncoefficient, pas ici." } ], "explanation": "L'espérance d'une somme est la somme des espérances. Pour un échantillon,\nla somme a pour espérance $n\\mu$ et la moyenne $\\mu$." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "echantillon", "variance" ], "title": "Variance de la moyenne", "partie": "echantillons", "statement": "Pour un échantillon de taille $n$ de variables indépendantes de\nvariance $\\sigma^2$, que vaut la variance de la moyenne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{\\sigma^2}{n}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la variance de la somme vaut $n\\sigma^2$, et la\ndivision par $n$ la divise par $n^2$." }, { "text": "$n\\sigma^2$", "correct": false, "feedback": "C'est la variance de la somme, pas celle de la moyenne." }, { "text": "$\\dfrac{\\sigma^2}{n^2}$", "correct": false, "feedback": "Une division de trop : la variance de la somme vaut déjà\n$n\\sigma^2$." }, { "text": "$\\sigma^2$", "correct": false, "feedback": "La moyenne d'un grand échantillon fluctue bien moins qu'une\nobservation isolée." } ], "explanation": "La moyenne d'un échantillon a pour variance $\\dfrac{\\sigma^2}{n}$, donc\npour écart-type $\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. C'est ce qui fonde la\nprécision des sondages." }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "esperance", "hypotheses" ], "title": "Une propriété sans condition", "partie": "esperance", "statement": "Quelle égalité reste vraie même si $X$ et $Y$ sont liées ?", "options": [ { "text": "$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité de l'espérance ne demande aucune\nhypothèse d'indépendance." }, { "text": "$V(X + Y) = V(X) + V(Y)$", "correct": false, "feedback": "L'additivité de la variance exige l'indépendance : pour $Y = X$, la\nvariance de $2X$ vaut $4V(X)$." }, { "text": "$E(XY) = E(X)E(Y)$", "correct": false, "feedback": "Cette égalité demande elle aussi l'indépendance." }, { "text": "$V(XY) = V(X)V(Y)$", "correct": false, "feedback": "Cette égalité est fausse même pour des variables indépendantes." } ], "explanation": "La linéarité de l'espérance est une propriété générale. Toutes les\npropriétés portant sur la variance d'une somme ou sur un produit exigent\nl'indépendance." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "binomiale", "somme" ], "title": "La binomiale vue comme une somme", "partie": "echantillons", "statement": "Une variable binomiale de paramètres $n$ et $p$ s'écrit comme somme\nde quoi ?", "options": [ { "text": "De $n$ variables de Bernoulli indépendantes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chacune vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon, et leur\nsomme compte les succès." }, { "text": "De $n$ variables binomiales", "correct": false, "feedback": "Ce serait circulaire : la décomposition ramène à des variables plus\nsimples." }, { "text": "De $p$ variables de Bernoulli", "correct": false, "feedback": "Le nombre de termes est $n$ ; $p$ est une probabilité, pas un\neffectif." }, { "text": "De deux variables indépendantes seulement", "correct": false, "feedback": "Le nombre de termes vaut le nombre d'épreuves, quel qu'il soit." } ], "explanation": "Écrire une binomiale comme somme de Bernoulli redonne immédiatement son\nespérance, $np$, et sa variance, $np(1-p)$, par additivité." }, { "id": "q26", "difficulty": 2, "skills": [ "ecart-type", "echantillon" ], "title": "Écart-type de la moyenne", "partie": "variance", "statement": "Un échantillon de taille $100$ porte sur une variable d'écart-type\n$20$. Quel est l'écart-type de sa moyenne ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{20}{\\sqrt{100}} = \\dfrac{20}{10}$." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Division par $n$ au lieu de $\\sqrt{n}$ : la racine carrée est\nessentielle." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Écart-type de départ recopié : la moyenne fluctue bien moins qu'une\nobservation isolée." }, { "text": "$200$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu d'une division : l'échantillonnage réduit la\ndispersion." } ], "explanation": "L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Multiplier la taille par cent divise cet\nécart-type par dix." }, { "id": "q27", "difficulty": 3, "skills": [ "variance", "coefficient" ], "title": "Variance et coefficient négatif", "partie": "variance", "statement": "Une variable $X$ a pour variance $9$. Que vaut $V(-3X)$ ?", "options": [ { "text": "$81$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2V(X)$, avec $a^2 = 9$." }, { "text": "$-27$", "correct": false, "feedback": "Une variance est toujours positive ou nulle." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Coefficient non élevé au carré : la variance porte sur des carrés\nd'écarts." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Coefficient ignoré : multiplier une variable étale ses valeurs, donc\naugmente sa variance." } ], "explanation": "La variance est multipliée par le carré du coefficient, ce qui efface le\nsigne. L'écart-type, lui, est multiplié par la valeur absolue du\ncoefficient." }, { "id": "q28", "difficulty": 2, "skills": [ "esperance", "translation" ], "title": "Ajouter une constante", "partie": "esperance", "statement": "Que deviennent l'espérance et la variance de $X$ lorsqu'on ajoute\n$10$ à la variable ?", "options": [ { "text": "L'espérance augmente de $10$, la variance ne change pas", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une translation déplace le centre sans modifier la\ndispersion." }, { "text": "Les deux augmentent de $10$", "correct": false, "feedback": "Les écarts à la moyenne sont inchangés, donc la variance l'est aussi." }, { "text": "L'espérance ne change pas, la variance augmente", "correct": false, "feedback": "C'est exactement l'inverse qui se produit." }, { "text": "Les deux sont multipliées par $10$", "correct": false, "feedback": "La multiplication correspondrait à $10X$, pas à $X + 10$." } ], "explanation": "Pour une transformation affine, $E(aX + b) = aE(X) + b$ et\n$V(aX + b) = a^2V(X)$. La constante additive disparaît de la variance." }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "somme", "application" ], "title": "Deux dés indépendants", "partie": "esperance", "statement": "La somme des résultats de deux dés équilibrés a pour espérance $7$.\nComment l'obtient-on ?", "options": [ { "text": "En additionnant les espérances, $3{,}5$ deux fois", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque dé a pour espérance $\\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}$,\nsoit $3{,}5$." }, { "text": "En multipliant les espérances des deux dés", "correct": false, "feedback": "Le produit vaudrait $12{,}25$, ce qui ne correspond à aucune somme\npossible." }, { "text": "En prenant la moyenne des sommes possibles", "correct": false, "feedback": "Les sommes de $2$ à $12$ n'étant pas équiprobables, leur moyenne simple\nne convient pas." }, { "text": "En divisant $12$ par $2$, le nombre de dés", "correct": false, "feedback": "La valeur $6$ obtenue serait fausse, et le raisonnement ne correspond à\naucune propriété." } ], "explanation": "L'espérance d'une somme est la somme des espérances, sans condition. Le\nrésultat $7$ se retrouve aussi par la symétrie de la loi de la somme." }, { "id": "q30", "difficulty": 2, "skills": [ "variance", "contre-exemple" ], "title": "Quand la variance n'est pas additive", "partie": "variance", "statement": "Pourquoi $V(X + X)$ ne vaut-il pas $2V(X)$ ?", "options": [ { "text": "Parce que $X$ n'est pas indépendante d'elle-même", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(2X) = 4V(X)$, le double de ce que donnerait\nl'additivité." }, { "text": "Parce que la variance n'est jamais additive", "correct": false, "feedback": "Elle l'est pour des variables indépendantes, ce qui est le cas usuel\ndes échantillons." }, { "text": "Parce que $X + X$ n'est pas une variable aléatoire", "correct": false, "feedback": "La somme de deux variables aléatoires en est toujours une." }, { "text": "Parce que la variance peut être négative", "correct": false, "feedback": "Une variance est toujours positive ou nulle, c'est une moyenne de\ncarrés." } ], "explanation": "L'additivité de la variance repose entièrement sur l'indépendance. Une\nvariable étant parfaitement corrélée à elle-même, les écarts se cumulent\nau lieu de se compenser." }, { "id": "q31", "difficulty": 2, "skills": [ "translation-esperance", "linearite" ], "title": "Espérance de aX + b", "partie": "transformations", "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 6$. Que vaut\n$E(2X + 3)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc\n$E(2X + 3) = 2\\,E(X) + 3 = 2 \\times 6 + 3 = 15$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la constante : ajouter $3$ à la variable ajoute aussi\n$3$ à son espérance, d'où $15$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Oubli du coefficient : le facteur $2$ multiplie la variable, donc\naussi son espérance. Le calcul donne $15$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$\nsort tel quel, sans être élevé au carré, d'où $15$." } ], "explanation": "Pour tous réels $a$ et $b$, on a $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$. Le\ncoefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement.", "variants": [ { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 6$. Que vaut\n$E(2X + 3)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc\n$E(2X + 3) = 2\\,E(X) + 3 = 2 \\times 6 + 3 = 15$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la constante : ajouter $3$ à la variable ajoute aussi\n$3$ à son espérance, d'où $15$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Oubli du coefficient : le facteur $2$ multiplie la variable, donc\naussi son espérance. Le calcul donne $15$." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$\nsort tel quel, sans être élevé au carré, d'où $15$." } ], "explanation": "Pour tous réels $a$ et $b$, on a $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$. Le\ncoefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 10$. Que vaut\n$E(3X - 4)$ ?", "options": [ { "text": "$26$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc\n$E(3X - 4) = 3\\,E(X) - 4 = 3 \\times 10 - 4 = 26$." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la constante : ajouter $-4$ à la variable ajoute aussi\n$-4$ à son espérance, d'où $26$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Oubli du coefficient : le facteur $3$ multiplie la variable, donc\naussi son espérance. Le calcul donne $26$." }, { "text": "$86$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $3$\nsort tel quel, sans être élevé au carré, d'où $26$." } ], "explanation": "Pour tous réels $a$ et $b$, on a $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$. Le\ncoefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut\n$E(4X + 7)$ ?", "options": [ { "text": "$27$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc\n$E(4X + 7) = 4\\,E(X) + 7 = 4 \\times 5 + 7 = 27$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la constante : ajouter $7$ à la variable ajoute aussi\n$7$ à son espérance, d'où $27$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Oubli du coefficient : le facteur $4$ multiplie la variable, donc\naussi son espérance. Le calcul donne $27$." }, { "text": "$87$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $4$\nsort tel quel, sans être élevé au carré, d'où $27$." } ], "explanation": "Pour tous réels $a$ et $b$, on a $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$. Le\ncoefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 6$. Que vaut\n$E(3X + 3)$ ?", "options": [ { "text": "$21$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est linéaire, donc\n$E(3X + 3) = 3\\,E(X) + 3 = 3 \\times 6 + 3 = 21$." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la constante : ajouter $3$ à la variable ajoute aussi\n$3$ à son espérance, d'où $21$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Oubli du coefficient : le facteur $3$ multiplie la variable, donc\naussi son espérance. Le calcul donne $21$." }, { "text": "$57$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $3$\nsort tel quel, sans être élevé au carré, d'où $21$." } ], "explanation": "Pour tous réels $a$ et $b$, on a $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$. Le\ncoefficient sort tel quel et la constante s'ajoute directement." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 2, "skills": [ "translation-variance", "variance" ], "title": "Variance de aX + b", "partie": "transformations", "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut\n$V(2X + 3)$ ?", "options": [ { "text": "$16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, soit $2^2 \\times 4 = 16$.\nLa constante $3$ décale la variable sans modifier sa dispersion." }, { "text": "$19$", "correct": false, "feedback": "La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace\ntoutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont\ninchangés." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une\nmoyenne de carrés d'écarts, donc $2^2 \\times 4 = 16$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Deux erreurs cumulées : le coefficient $2$ a disparu et la\nconstante a été ajoutée. Le résultat attendu est $16$." } ], "explanation": "La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :\n$V(aX + b) = a^2 V(X)$. L'écart-type devient quant à lui\n$|a|\\,\\sigma(X)$.", "variants": [ { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut\n$V(2X + 3)$ ?", "options": [ { "text": "$16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, soit $2^2 \\times 4 = 16$.\nLa constante $3$ décale la variable sans modifier sa dispersion." }, { "text": "$19$", "correct": false, "feedback": "La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace\ntoutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont\ninchangés." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une\nmoyenne de carrés d'écarts, donc $2^2 \\times 4 = 16$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Deux erreurs cumulées : le coefficient $2$ a disparu et la\nconstante a été ajoutée. Le résultat attendu est $16$." } ], "explanation": "La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :\n$V(aX + b) = a^2 V(X)$. L'écart-type devient quant à lui\n$|a|\\,\\sigma(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 5$. Que vaut\n$V(3X - 1)$ ?", "options": [ { "text": "$45$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, soit $3^2 \\times 5 = 45$.\nLa constante $-1$ décale la variable sans modifier sa dispersion." }, { "text": "$44$", "correct": false, "feedback": "La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace\ntoutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont\ninchangés." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une\nmoyenne de carrés d'écarts, donc $3^2 \\times 5 = 45$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Deux erreurs cumulées : le coefficient $3$ a disparu et la\nconstante a été ajoutée. Le résultat attendu est $45$." } ], "explanation": "La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :\n$V(aX + b) = a^2 V(X)$. L'écart-type devient quant à lui\n$|a|\\,\\sigma(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 2$. Que vaut\n$V(5X + 6)$ ?", "options": [ { "text": "$50$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, soit $5^2 \\times 2 = 50$.\nLa constante $6$ décale la variable sans modifier sa dispersion." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace\ntoutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont\ninchangés." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une\nmoyenne de carrés d'écarts, donc $5^2 \\times 2 = 50$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Deux erreurs cumulées : le coefficient $5$ a disparu et la\nconstante a été ajoutée. Le résultat attendu est $50$." } ], "explanation": "La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :\n$V(aX + b) = a^2 V(X)$. L'écart-type devient quant à lui\n$|a|\\,\\sigma(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut\n$V(3X + 3)$ ?", "options": [ { "text": "$36$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2 V(X)$, soit $3^2 \\times 4 = 36$.\nLa constante $3$ décale la variable sans modifier sa dispersion." }, { "text": "$39$", "correct": false, "feedback": "La constante a été ajoutée à la variance : une translation déplace\ntoutes les valeurs de la même quantité, donc les écarts sont\ninchangés." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient n'a pas été élevé au carré : la variance est une\nmoyenne de carrés d'écarts, donc $3^2 \\times 4 = 36$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Deux erreurs cumulées : le coefficient $3$ a disparu et la\nconstante a été ajoutée. Le résultat attendu est $36$." } ], "explanation": "La variance ignore les translations et met les coefficients au carré :\n$V(aX + b) = a^2 V(X)$. L'écart-type devient quant à lui\n$|a|\\,\\sigma(X)$." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 2, "skills": [ "translation", "piege" ], "title": "Centrer une variable aléatoire", "partie": "transformations", "statement": "Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\\mu$. Que vaut\n$E(X - \\mu)$ ?", "options": [ { "text": "$0$, quelle que soit la loi de $X$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(X - \\mu) = E(X) - \\mu = \\mu - \\mu = 0$. Retrancher\nl'espérance revient à centrer la variable." }, { "text": "$\\mu$, puisque $E(X)$ vaut $\\mu$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante $\\mu$ est retranchée, elle ne reste donc pas au\nrésultat. L'espérance du résultat est nulle." }, { "text": "Cela dépend entièrement de la loi de $X$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul ne demande que $E(X)$, connue ici. La linéarité\nconclut sans rien savoir de plus sur la loi." }, { "text": "$-\\mu$, l'opposé de l'espérance de $X$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $E(X)$ a été oublié. La différence\n$E(X) - \\mu$ fait bien disparaître les deux termes." } ], "explanation": "La variable $X - \\mu$ est dite centrée : son espérance est nulle. En\nrevanche sa variance reste celle de $X$, puisqu'une translation ne change\npas la dispersion." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "variance-oppose", "variance" ], "title": "X et son opposée", "partie": "variance", "statement": "Les variables aléatoires $X$ et $-X$ ont-elles la même variance ?", "options": [ { "text": "Oui, car le coefficient $-1$ intervient au carré", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(-X) = (-1)^2 V(X) = V(X)$. Changer tous les signes\nconserve les écarts à la moyenne, donc la dispersion." }, { "text": "Non, car $V(-X)$ est l'opposée de $V(X)$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une variance est une moyenne de carrés, elle est donc\ntoujours positive ou nulle, jamais négative." }, { "text": "Oui, car l'espérance de $X$ ne change pas", "correct": false, "feedback": "La conclusion est juste, mais la raison est fausse : l'espérance de\n$-X$ vaut $-E(X)$, elle change bel et bien de signe." }, { "text": "Non, car la variance dépend du signe des valeurs", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance mesure des écarts à la moyenne, et ces écarts\nchangent de signe ensemble, donc leurs carrés sont inchangés." } ], "explanation": "De $V(aX) = a^2 V(X)$ avec $a = -1$ on tire $V(-X) = V(X)$, et de même\n$\\sigma(-X) = \\sigma(X)$. Seule l'espérance change de signe." }, { "id": "q35", "difficulty": 3, "skills": [ "ecart-type-somme", "difference" ], "title": "Écart-type d'une différence", "partie": "variance", "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec\n$\\sigma(X) = 6$ et $\\sigma(Y) = 8$. Que vaut $\\sigma(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,\ndonc $V(X-Y) = 6^2 + 8^2 = 100$, puis\n$\\sigma(X-Y) = \\sqrt{100} = 10$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les\nvariances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe moins de $X - Y$ ne se répercute pas sur la\ndispersion. La variance de $-Y$ est celle de $Y$." }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Calcul interrompu trop tôt : $100$ est la **variance** de\n$X - Y$. L'écart-type en est la racine carrée, soit $10$." } ], "explanation": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. On additionne\ndonc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du\nrésultat.", "variants": [ { "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec\n$\\sigma(X) = 6$ et $\\sigma(Y) = 8$. Que vaut $\\sigma(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,\ndonc $V(X-Y) = 6^2 + 8^2 = 100$, puis\n$\\sigma(X-Y) = \\sqrt{100} = 10$." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les\nvariances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe moins de $X - Y$ ne se répercute pas sur la\ndispersion. La variance de $-Y$ est celle de $Y$." }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Calcul interrompu trop tôt : $100$ est la **variance** de\n$X - Y$. L'écart-type en est la racine carrée, soit $10$." } ], "explanation": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. On additionne\ndonc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du\nrésultat." }, { "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec\n$\\sigma(X) = 5$ et $\\sigma(Y) = 12$. Que vaut $\\sigma(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$13$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,\ndonc $V(X-Y) = 5^2 + 12^2 = 169$, puis\n$\\sigma(X-Y) = \\sqrt{169} = 13$." }, { "text": "$17$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les\nvariances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe moins de $X - Y$ ne se répercute pas sur la\ndispersion. La variance de $-Y$ est celle de $Y$." }, { "text": "$169$", "correct": false, "feedback": "Calcul interrompu trop tôt : $169$ est la **variance** de\n$X - Y$. L'écart-type en est la racine carrée, soit $13$." } ], "explanation": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. On additionne\ndonc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du\nrésultat." }, { "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec\n$\\sigma(X) = 9$ et $\\sigma(Y) = 12$. Que vaut $\\sigma(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,\ndonc $V(X-Y) = 9^2 + 12^2 = 225$, puis\n$\\sigma(X-Y) = \\sqrt{225} = 15$." }, { "text": "$21$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les\nvariances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe moins de $X - Y$ ne se répercute pas sur la\ndispersion. La variance de $-Y$ est celle de $Y$." }, { "text": "$225$", "correct": false, "feedback": "Calcul interrompu trop tôt : $225$ est la **variance** de\n$X - Y$. L'écart-type en est la racine carrée, soit $15$." } ], "explanation": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. On additionne\ndonc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du\nrésultat." }, { "statement": "Les variables $X$ et $Y$ sont **indépendantes**, avec\n$\\sigma(X) = 8$ et $\\sigma(Y) = 15$. Que vaut $\\sigma(X - Y)$ ?", "options": [ { "text": "$17$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les variances s'ajoutent même pour une différence,\ndonc $V(X-Y) = 8^2 + 15^2 = 289$, puis\n$\\sigma(X-Y) = \\sqrt{289} = 17$." }, { "text": "$23$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les écarts-types ne s'additionnent pas. Ce sont les\nvariances qui s'ajoutent, avant de repasser à la racine carrée." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe moins de $X - Y$ ne se répercute pas sur la\ndispersion. La variance de $-Y$ est celle de $Y$." }, { "text": "$289$", "correct": false, "feedback": "Calcul interrompu trop tôt : $289$ est la **variance** de\n$X - Y$. L'écart-type en est la racine carrée, soit $17$." } ], "explanation": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. On additionne\ndonc les carrés des écarts-types, puis on prend la racine carrée du\nrésultat." } ] }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "coefficient", "ecart-type" ], "title": "Écart-type et coefficient négatif", "partie": "transformations", "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour écart-type $\\sigma(X) = 4$. Que vaut\n$\\sigma(-2X)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(-2X) = -2^2 V(X)$, donc\n$\\sigma(-2X) = |-2| \\times 4 = 8$. C'est la valeur absolue du\ncoefficient qui intervient." }, { "text": "$-8$", "correct": false, "feedback": "Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours\npositif. Le signe disparaît lors du passage au carré." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré s'applique à la **variance**. Pour l'écart-type, le\ncoefficient sort en valeur absolue, d'où $8$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par\n$-2$ multiplie bien sa dispersion, ici par $|-2|$." } ], "explanation": "De $V(aX) = a^2 V(X)$ on déduit $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$. Le carré\nefface le signe, et la racine carrée le laisse effacé.", "variants": [ { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour écart-type $\\sigma(X) = 4$. Que vaut\n$\\sigma(-2X)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(-2X) = -2^2 V(X)$, donc\n$\\sigma(-2X) = |-2| \\times 4 = 8$. C'est la valeur absolue du\ncoefficient qui intervient." }, { "text": "$-8$", "correct": false, "feedback": "Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours\npositif. Le signe disparaît lors du passage au carré." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré s'applique à la **variance**. Pour l'écart-type, le\ncoefficient sort en valeur absolue, d'où $8$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par\n$-2$ multiplie bien sa dispersion, ici par $|-2|$." } ], "explanation": "De $V(aX) = a^2 V(X)$ on déduit $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$. Le carré\nefface le signe, et la racine carrée le laisse effacé." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour écart-type $\\sigma(X) = 5$. Que vaut\n$\\sigma(-3X)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(-3X) = -3^2 V(X)$, donc\n$\\sigma(-3X) = |-3| \\times 5 = 15$. C'est la valeur absolue du\ncoefficient qui intervient." }, { "text": "$-15$", "correct": false, "feedback": "Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours\npositif. Le signe disparaît lors du passage au carré." }, { "text": "$45$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré s'applique à la **variance**. Pour l'écart-type, le\ncoefficient sort en valeur absolue, d'où $15$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par\n$-3$ multiplie bien sa dispersion, ici par $|-3|$." } ], "explanation": "De $V(aX) = a^2 V(X)$ on déduit $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$. Le carré\nefface le signe, et la racine carrée le laisse effacé." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour écart-type $\\sigma(X) = 7$. Que vaut\n$\\sigma(-2X)$ ?", "options": [ { "text": "$14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(-2X) = -2^2 V(X)$, donc\n$\\sigma(-2X) = |-2| \\times 7 = 14$. C'est la valeur absolue du\ncoefficient qui intervient." }, { "text": "$-14$", "correct": false, "feedback": "Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours\npositif. Le signe disparaît lors du passage au carré." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré s'applique à la **variance**. Pour l'écart-type, le\ncoefficient sort en valeur absolue, d'où $14$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par\n$-2$ multiplie bien sa dispersion, ici par $|-2|$." } ], "explanation": "De $V(aX) = a^2 V(X)$ on déduit $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$. Le carré\nefface le signe, et la racine carrée le laisse effacé." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour écart-type $\\sigma(X) = 4$. Que vaut\n$\\sigma(-3X)$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(-3X) = -3^2 V(X)$, donc\n$\\sigma(-3X) = |-3| \\times 4 = 12$. C'est la valeur absolue du\ncoefficient qui intervient." }, { "text": "$-12$", "correct": false, "feedback": "Impossible : un écart-type est une racine carrée, donc toujours\npositif. Le signe disparaît lors du passage au carré." }, { "text": "$36$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré s'applique à la **variance**. Pour l'écart-type, le\ncoefficient sort en valeur absolue, d'où $12$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient a été ignoré. Multiplier la variable par\n$-3$ multiplie bien sa dispersion, ici par $|-3|$." } ], "explanation": "De $V(aX) = a^2 V(X)$ on déduit $\\sigma(aX) = |a|\\,\\sigma(X)$. Le carré\nefface le signe, et la racine carrée le laisse effacé." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "decomposition", "binomiale" ], "title": "Variance obtenue par décomposition", "partie": "esperance", "statement": "On écrit $X \\sim \\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}2)$ comme la somme de $50$\nvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}2$. Qu'en déduit-on\npour $V(X)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme a pour variance $0{,}2 \\times 0{,}8$, et\nl'indépendance permet d'additionner les $50$ variances :\n$50 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8 = 8$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $10$ est l'espérance $np$, obtenue en\nadditionnant les $50$ espérances. La variance fait intervenir\n$0{,}8$ en plus." }, { "text": "$0{,}16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}16$ est la variance d'**une seule** épreuve. Il\nreste à additionner les $50$ termes de la somme." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance d'une Bernoulli est $p(1-p)$ et non $p^2$. Le\nsecond facteur est la probabilité d'échec, ici $0{,}8$." } ], "explanation": "Écrire $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes\ndonne $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité des\nvariances.", "variants": [ { "statement": "On écrit $X \\sim \\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}2)$ comme la somme de $50$\nvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}2$. Qu'en déduit-on\npour $V(X)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme a pour variance $0{,}2 \\times 0{,}8$, et\nl'indépendance permet d'additionner les $50$ variances :\n$50 \\times 0{,}2 \\times 0{,}8 = 8$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $10$ est l'espérance $np$, obtenue en\nadditionnant les $50$ espérances. La variance fait intervenir\n$0{,}8$ en plus." }, { "text": "$0{,}16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}16$ est la variance d'**une seule** épreuve. Il\nreste à additionner les $50$ termes de la somme." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance d'une Bernoulli est $p(1-p)$ et non $p^2$. Le\nsecond facteur est la probabilité d'échec, ici $0{,}8$." } ], "explanation": "Écrire $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes\ndonne $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité des\nvariances." }, { "statement": "On écrit $X \\sim \\mathcal{B}(40\\,;\\,0{,}25)$ comme la somme de $40$\nvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}25$. Qu'en déduit-on\npour $V(X)$ ?", "options": [ { "text": "$7{,}5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme a pour variance $0{,}25 \\times 0{,}75$, et\nl'indépendance permet d'additionner les $40$ variances :\n$40 \\times 0{,}25 \\times 0{,}75 = 7{,}5$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $10$ est l'espérance $np$, obtenue en\nadditionnant les $40$ espérances. La variance fait intervenir\n$0{,}75$ en plus." }, { "text": "$0{,}1875$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}1875$ est la variance d'**une seule** épreuve. Il\nreste à additionner les $40$ termes de la somme." }, { "text": "$2{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance d'une Bernoulli est $p(1-p)$ et non $p^2$. Le\nsecond facteur est la probabilité d'échec, ici $0{,}75$." } ], "explanation": "Écrire $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes\ndonne $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité des\nvariances." }, { "statement": "On écrit $X \\sim \\mathcal{B}(60\\,;\\,0{,}1)$ comme la somme de $60$\nvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}1$. Qu'en déduit-on\npour $V(X)$ ?", "options": [ { "text": "$5{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme a pour variance $0{,}1 \\times 0{,}9$, et\nl'indépendance permet d'additionner les $60$ variances :\n$60 \\times 0{,}1 \\times 0{,}9 = 5{,}4$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $6$ est l'espérance $np$, obtenue en\nadditionnant les $60$ espérances. La variance fait intervenir\n$0{,}9$ en plus." }, { "text": "$0{,}09$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}09$ est la variance d'**une seule** épreuve. Il\nreste à additionner les $60$ termes de la somme." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance d'une Bernoulli est $p(1-p)$ et non $p^2$. Le\nsecond facteur est la probabilité d'échec, ici $0{,}9$." } ], "explanation": "Écrire $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes\ndonne $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité des\nvariances." }, { "statement": "On écrit $X \\sim \\mathcal{B}(80\\,;\\,0{,}05)$ comme la somme de $80$\nvariables de Bernoulli indépendantes de paramètre $0{,}05$. Qu'en déduit-on\npour $V(X)$ ?", "options": [ { "text": "$3{,}8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque terme a pour variance $0{,}05 \\times 0{,}95$, et\nl'indépendance permet d'additionner les $80$ variances :\n$80 \\times 0{,}05 \\times 0{,}95 = 3{,}8$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $4$ est l'espérance $np$, obtenue en\nadditionnant les $80$ espérances. La variance fait intervenir\n$0{,}95$ en plus." }, { "text": "$0{,}0475$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}0475$ est la variance d'**une seule** épreuve. Il\nreste à additionner les $80$ termes de la somme." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance d'une Bernoulli est $p(1-p)$ et non $p^2$. Le\nsecond facteur est la probabilité d'échec, ici $0{,}95$." } ], "explanation": "Écrire $X = X_1 + \\cdots + X_n$ avec des $X_i$ de Bernoulli indépendantes\ndonne $E(X) = np$ par linéarité et $V(X) = np(1-p)$ par additivité des\nvariances." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 1, "skills": [ "bernoulli", "somme" ], "title": "Somme de deux Bernoulli", "partie": "echantillons", "statement": "Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables de Bernoulli **indépendantes**, de\nmême paramètre $p$. Quelle loi suit $X_1 + X_2$ ?", "options": [ { "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(2\\,;\\,p)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la somme compte les succès de deux épreuves\nidentiques et indépendantes, ce qui est exactement un schéma de\nBernoulli à deux répétitions." }, { "text": "La loi de Bernoulli de paramètre $2p$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme peut valoir $2$, alors qu'une variable de Bernoulli\nne prend que les valeurs $0$ et $1$." }, { "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(p\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Paramètres inversés : le premier paramètre est le nombre d'épreuves,\nle second la probabilité de succès." }, { "text": "La loi de Bernoulli de paramètre $p^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $p^2$ est la probabilité que les deux épreuves réussissent,\nc'est-à-dire $P(X_1 + X_2 = 2)$, et non une loi." } ], "explanation": "Une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre\n$p$ suit la loi binomiale $\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$. C'est la lecture de la\nloi binomiale comme un comptage de succès." }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "concentration", "echantillon" ], "title": "Réduire la dispersion de la moyenne", "partie": "echantillons", "statement": "On souhaite diviser par $3$ l'écart-type de la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Diviser\ncette quantité par $3$ demande de multiplier $\\sqrt{n}$ par $3$,\ndonc $n$ par $3^2 = 9$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\sqrt{n}$, et non $n$, qui figure au dénominateur.\nMultiplier $n$ par $3$ ne divise l'écart-type que par\n$\\sqrt{3}$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.\nSeul $3^2 = 9$ convient." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un\nfacteur $3^2$, pas $3^3$." } ], "explanation": "L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ : la précision progresse comme la racine\ncarrée de la taille, donc lentement.", "variants": [ { "statement": "On souhaite diviser par $3$ l'écart-type de la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Diviser\ncette quantité par $3$ demande de multiplier $\\sqrt{n}$ par $3$,\ndonc $n$ par $3^2 = 9$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\sqrt{n}$, et non $n$, qui figure au dénominateur.\nMultiplier $n$ par $3$ ne divise l'écart-type que par\n$\\sqrt{3}$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.\nSeul $3^2 = 9$ convient." }, { "text": "$27$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un\nfacteur $3^2$, pas $3^3$." } ], "explanation": "L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ : la précision progresse comme la racine\ncarrée de la taille, donc lentement." }, { "statement": "On souhaite diviser par $4$ l'écart-type de la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ ?", "options": [ { "text": "$16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Diviser\ncette quantité par $4$ demande de multiplier $\\sqrt{n}$ par $4$,\ndonc $n$ par $4^2 = 16$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\sqrt{n}$, et non $n$, qui figure au dénominateur.\nMultiplier $n$ par $4$ ne divise l'écart-type que par\n$\\sqrt{4}$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.\nSeul $4^2 = 16$ convient." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un\nfacteur $4^2$, pas $4^3$." } ], "explanation": "L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ : la précision progresse comme la racine\ncarrée de la taille, donc lentement." }, { "statement": "On souhaite diviser par $5$ l'écart-type de la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ ?", "options": [ { "text": "$25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Diviser\ncette quantité par $5$ demande de multiplier $\\sqrt{n}$ par $5$,\ndonc $n$ par $5^2 = 25$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\sqrt{n}$, et non $n$, qui figure au dénominateur.\nMultiplier $n$ par $5$ ne divise l'écart-type que par\n$\\sqrt{5}$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.\nSeul $5^2 = 25$ convient." }, { "text": "$125$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un\nfacteur $5^2$, pas $5^3$." } ], "explanation": "L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ : la précision progresse comme la racine\ncarrée de la taille, donc lentement." }, { "statement": "On souhaite diviser par $6$ l'écart-type de la moyenne $M_n$ d'un\néchantillon. Par combien faut-il multiplier la taille $n$ ?", "options": [ { "text": "$36$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(M_n) = \\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. Diviser\ncette quantité par $6$ demande de multiplier $\\sqrt{n}$ par $6$,\ndonc $n$ par $6^2 = 36$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $\\sqrt{n}$, et non $n$, qui figure au dénominateur.\nMultiplier $n$ par $6$ ne divise l'écart-type que par\n$\\sqrt{6}$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le facteur ne remplace pas l'élévation au carré.\nSeul $6^2 = 36$ convient." }, { "text": "$216$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant est trop grand. La racine carrée impose un\nfacteur $6^2$, pas $6^3$." } ], "explanation": "L'écart-type de la moyenne d'un échantillon vaut\n$\\dfrac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$ : la précision progresse comme la racine\ncarrée de la taille, donc lentement." } ] }, { "id": "q40", "difficulty": 3, "skills": [ "contre-exemple", "hypotheses" ], "title": "Deux variables liées", "partie": "variance", "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 2$ et l'on pose\n$Y = 2X$. Que vaut $V(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + Y = 3X$, donc\n$V(X + Y) = 3^2 V(X) = 9 \\times 2 = 18$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Additivité appliquée à tort : $V(X) + V(Y) = 2 + 4 \\times 2$\nsupposerait l'indépendance, or $Y$ est entièrement déterminée par\n$X$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ sort au carré, comme dans\n$V(aX) = a^2 V(X)$. Le résultat est donc $9 \\times 2 = 18$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme vaut $3X$ et non $2X$. Le coefficient à élever au\ncarré est $3$, ce qui donne $18$." } ], "explanation": "L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige l'indépendance. Quand $Y$ dépend\nde $X$, on remplace la somme par son expression et on applique\n$V(aX) = a^2 V(X)$.", "variants": [ { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 2$ et l'on pose\n$Y = 2X$. Que vaut $V(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + Y = 3X$, donc\n$V(X + Y) = 3^2 V(X) = 9 \\times 2 = 18$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Additivité appliquée à tort : $V(X) + V(Y) = 2 + 4 \\times 2$\nsupposerait l'indépendance, or $Y$ est entièrement déterminée par\n$X$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ sort au carré, comme dans\n$V(aX) = a^2 V(X)$. Le résultat est donc $9 \\times 2 = 18$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme vaut $3X$ et non $2X$. Le coefficient à élever au\ncarré est $3$, ce qui donne $18$." } ], "explanation": "L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige l'indépendance. Quand $Y$ dépend\nde $X$, on remplace la somme par son expression et on applique\n$V(aX) = a^2 V(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 5$ et l'on pose\n$Y = 2X$. Que vaut $V(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$45$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + Y = 3X$, donc\n$V(X + Y) = 3^2 V(X) = 9 \\times 5 = 45$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Additivité appliquée à tort : $V(X) + V(Y) = 5 + 4 \\times 5$\nsupposerait l'indépendance, or $Y$ est entièrement déterminée par\n$X$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ sort au carré, comme dans\n$V(aX) = a^2 V(X)$. Le résultat est donc $9 \\times 5 = 45$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme vaut $3X$ et non $2X$. Le coefficient à élever au\ncarré est $3$, ce qui donne $45$." } ], "explanation": "L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige l'indépendance. Quand $Y$ dépend\nde $X$, on remplace la somme par son expression et on applique\n$V(aX) = a^2 V(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 3$ et l'on pose\n$Y = 2X$. Que vaut $V(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$27$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + Y = 3X$, donc\n$V(X + Y) = 3^2 V(X) = 9 \\times 3 = 27$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Additivité appliquée à tort : $V(X) + V(Y) = 3 + 4 \\times 3$\nsupposerait l'indépendance, or $Y$ est entièrement déterminée par\n$X$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ sort au carré, comme dans\n$V(aX) = a^2 V(X)$. Le résultat est donc $9 \\times 3 = 27$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme vaut $3X$ et non $2X$. Le coefficient à élever au\ncarré est $3$, ce qui donne $27$." } ], "explanation": "L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige l'indépendance. Quand $Y$ dépend\nde $X$, on remplace la somme par son expression et on applique\n$V(aX) = a^2 V(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 1$ et l'on pose\n$Y = 2X$. Que vaut $V(X + Y)$ ?", "options": [ { "text": "$9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + Y = 3X$, donc\n$V(X + Y) = 3^2 V(X) = 9 \\times 1 = 9$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Additivité appliquée à tort : $V(X) + V(Y) = 1 + 4 \\times 1$\nsupposerait l'indépendance, or $Y$ est entièrement déterminée par\n$X$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient $3$ sort au carré, comme dans\n$V(aX) = a^2 V(X)$. Le résultat est donc $9 \\times 1 = 9$." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme vaut $3X$ et non $2X$. Le coefficient à élever au\ncarré est $3$, ce qui donne $9$." } ], "explanation": "L'égalité $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ exige l'indépendance. Quand $Y$ dépend\nde $X$, on remplace la somme par son expression et on applique\n$V(aX) = a^2 V(X)$." } ] }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "additivite-condition", "ecart-type" ], "title": "Additivité et écarts-types", "partie": "esperance", "statement": "Pour $X$ et $Y$ indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. L'égalité\ncorrespondante vaut-elle pour les écarts-types ?", "options": [ { "text": "Non, la racine d'une somme n'est pas une somme de racines", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X+Y) = \\sqrt{V(X) + V(Y)}$, et cette racine\nvaut moins que $\\sigma(X) + \\sigma(Y)$ dès que les deux écarts-types\nsont non nuls." }, { "text": "Oui, il suffit de prendre la racine carrée de chaque terme", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour $\\sigma(X) = 3$ et $\\sigma(Y) = 4$, on obtient\n$\\sigma(X+Y) = 5$ et non $7$. La racine ne se distribue pas." }, { "text": "Oui, à condition que $X$ et $Y$ soient bien indépendantes", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'indépendance donne l'additivité des variances, jamais\ncelle des écarts-types." }, { "text": "Non, sauf si $X$ et $Y$ ont exactement le même écart-type", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité échoue aussi dans ce cas. Pour\n$\\sigma(X) = \\sigma(Y) = \\sigma$, on obtient $\\sigma\\sqrt{2}$ et non\n$2\\sigma$." } ], "explanation": "On additionne les variances, puis on repasse à l'écart-type :\n$\\sigma(X+Y) = \\sqrt{\\sigma(X)^2 + \\sigma(Y)^2}$. Cette quantité est\ntoujours inférieure à $\\sigma(X) + \\sigma(Y)$." }, { "id": "q42", "difficulty": 3, "skills": [ "esperance-difference", "piege" ], "title": "Une différence d'espérance nulle", "partie": "esperance", "statement": "Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ vérifient $E(X - Y) = 0$. Peut-on en\nconclure qu'elles prennent toujours la même valeur ?", "options": [ { "text": "Non, leurs espérances sont égales, rien de plus", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(X - Y) = 0$ signifie $E(X) = E(Y)$. Deux dés\ndistincts ont la même espérance et donnent pourtant des résultats\ndifférents." }, { "text": "Oui, une différence d'espérance nulle impose $X = Y$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance résume une loi par un seul nombre. Deux lois\ntrès éloignées peuvent partager la même moyenne." }, { "text": "Oui, à condition que $X$ et $Y$ soient indépendantes", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'indépendance rend au contraire l'égalité des valeurs très\nimprobable, sans rien changer aux espérances." }, { "text": "Non, car l'espérance d'une différence n'est pas définie", "correct": false, "feedback": "Erreur : $E(X - Y) = E(X) - E(Y)$ est parfaitement définie. C'est la\nconclusion tirée qui est abusive, pas le calcul." } ], "explanation": "L'espérance ne caractérise pas une variable aléatoire. De\n$E(X) = E(Y)$ on ne déduit ni la même loi, ni les mêmes valeurs, ni la\nmême variance." }, { "id": "q43", "difficulty": 1, "skills": [ "esperance", "linearite" ], "title": "Espérance de trois variables", "partie": "esperance", "statement": "Trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ ont pour espérances\nrespectives $4$, $6$ et $5$. Que vaut $E(X + Y + Z)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de\ntermes, donc $4 + 6 + 5 = 15$, sans hypothèse d'indépendance." }, { "text": "$120$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit $4 \\times 6 \\times 5$ ne correspond à rien\nici. La somme des variables donne la somme des espérances." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les\ntrois variables, d'où $15$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Un terme a été oublié : l'espérance de $Z$ intervient au même titre\nque les deux autres, ce qui donne $15$." } ], "explanation": "La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :\n$E(X_1 + \\cdots + X_n) = E(X_1) + \\cdots + E(X_n)$, sans aucune condition\nsur les variables.", "variants": [ { "statement": "Trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ ont pour espérances\nrespectives $4$, $6$ et $5$. Que vaut $E(X + Y + Z)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de\ntermes, donc $4 + 6 + 5 = 15$, sans hypothèse d'indépendance." }, { "text": "$120$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit $4 \\times 6 \\times 5$ ne correspond à rien\nici. La somme des variables donne la somme des espérances." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les\ntrois variables, d'où $15$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Un terme a été oublié : l'espérance de $Z$ intervient au même titre\nque les deux autres, ce qui donne $15$." } ], "explanation": "La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :\n$E(X_1 + \\cdots + X_n) = E(X_1) + \\cdots + E(X_n)$, sans aucune condition\nsur les variables." }, { "statement": "Trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ ont pour espérances\nrespectives $3$, $8$ et $6$. Que vaut $E(X + Y + Z)$ ?", "options": [ { "text": "$17$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de\ntermes, donc $3 + 8 + 6 = 17$, sans hypothèse d'indépendance." }, { "text": "$144$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit $3 \\times 8 \\times 6$ ne correspond à rien\nici. La somme des variables donne la somme des espérances." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les\ntrois variables, d'où $17$." }, { "text": "$11$", "correct": false, "feedback": "Un terme a été oublié : l'espérance de $Z$ intervient au même titre\nque les deux autres, ce qui donne $17$." } ], "explanation": "La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :\n$E(X_1 + \\cdots + X_n) = E(X_1) + \\cdots + E(X_n)$, sans aucune condition\nsur les variables." }, { "statement": "Trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ ont pour espérances\nrespectives $7$, $2$ et $9$. Que vaut $E(X + Y + Z)$ ?", "options": [ { "text": "$18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de\ntermes, donc $7 + 2 + 9 = 18$, sans hypothèse d'indépendance." }, { "text": "$126$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit $7 \\times 2 \\times 9$ ne correspond à rien\nici. La somme des variables donne la somme des espérances." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les\ntrois variables, d'où $18$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Un terme a été oublié : l'espérance de $Z$ intervient au même titre\nque les deux autres, ce qui donne $18$." } ], "explanation": "La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :\n$E(X_1 + \\cdots + X_n) = E(X_1) + \\cdots + E(X_n)$, sans aucune condition\nsur les variables." }, { "statement": "Trois variables aléatoires $X$, $Y$ et $Z$ ont pour espérances\nrespectives $4$, $6$ et $6$. Que vaut $E(X + Y + Z)$ ?", "options": [ { "text": "$16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la linéarité s'étend à un nombre quelconque de\ntermes, donc $4 + 6 + 6 = 16$, sans hypothèse d'indépendance." }, { "text": "$144$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit $4 \\times 6 \\times 6$ ne correspond à rien\nici. La somme des variables donne la somme des espérances." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur le troisième terme : l'énoncé additionne les\ntrois variables, d'où $16$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Un terme a été oublié : l'espérance de $Z$ intervient au même titre\nque les deux autres, ce qui donne $16$." } ], "explanation": "La linéarité de l'espérance se prolonge à toute somme finie :\n$E(X_1 + \\cdots + X_n) = E(X_1) + \\cdots + E(X_n)$, sans aucune condition\nsur les variables." } ] }, { "id": "q44", "difficulty": 1, "skills": [ "esperance", "variance" ], "title": "Une variable toujours égale à c", "partie": "esperance", "statement": "Soit $c$ un nombre réel fixé et $Y$ la variable aléatoire qui vaut $c$\ndans tous les cas. Que valent $E(Y)$ et $V(Y)$ ?", "options": [ { "text": "$E(Y) = c$ et $V(Y) = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la moyenne d'une valeur constante est cette valeur,\net aucun écart n'apparaît, donc la variance est nulle." }, { "text": "$E(Y) = c$ et $V(Y) = c$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une variance mesure la dispersion. Une variable qui ne varie\njamais a une dispersion nulle." }, { "text": "$E(Y) = 0$ et $V(Y) = c$", "correct": false, "feedback": "Les deux rôles sont intervertis : c'est l'espérance qui vaut $c$ et\nla variance qui est nulle." }, { "text": "$E(Y) = c$ et $V(Y) = c^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré apparaît dans $V(aX) = a^2V(X)$, pour un\ncoefficient multiplicatif, et non pour une constante." } ], "explanation": "Une variable constante a pour espérance cette constante et pour variance\n$0$. C'est la raison pour laquelle ajouter une constante ne change pas la\nvariance." }, { "id": "q45", "difficulty": 1, "skills": [ "somme", "esperance" ], "title": "Espérance de X + X", "partie": "esperance", "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut\n$E(X + X)$ ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + X = 2X$, donc $E(X+X) = 2E(X) = 10$.\nL'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le\nrésultat attendu est $10$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5^2$ élève l'espérance au carré. Ici les deux termes\ns'ajoutent, ils ne se multiplient pas." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$ ne\ns'élève pas au carré pour une espérance." } ], "explanation": "L'espérance est additive sans condition, donc $E(X+X) = 2E(X)$. La\nvariance, elle, n'est pas additive ici : $V(X+X) = 4V(X)$ et non\n$2V(X)$.", "variants": [ { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut\n$E(X + X)$ ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + X = 2X$, donc $E(X+X) = 2E(X) = 10$.\nL'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le\nrésultat attendu est $10$." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5^2$ élève l'espérance au carré. Ici les deux termes\ns'ajoutent, ils ne se multiplient pas." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$ ne\ns'élève pas au carré pour une espérance." } ], "explanation": "L'espérance est additive sans condition, donc $E(X+X) = 2E(X)$. La\nvariance, elle, n'est pas additive ici : $V(X+X) = 4V(X)$ et non\n$2V(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 7$. Que vaut\n$E(X + X)$ ?", "options": [ { "text": "$14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + X = 2X$, donc $E(X+X) = 2E(X) = 14$.\nL'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le\nrésultat attendu est $14$." }, { "text": "$49$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7^2$ élève l'espérance au carré. Ici les deux termes\ns'ajoutent, ils ne se multiplient pas." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$ ne\ns'élève pas au carré pour une espérance." } ], "explanation": "L'espérance est additive sans condition, donc $E(X+X) = 2E(X)$. La\nvariance, elle, n'est pas additive ici : $V(X+X) = 4V(X)$ et non\n$2V(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 12$. Que vaut\n$E(X + X)$ ?", "options": [ { "text": "$24$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + X = 2X$, donc $E(X+X) = 2E(X) = 24$.\nL'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le\nrésultat attendu est $24$." }, { "text": "$144$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $12^2$ élève l'espérance au carré. Ici les deux termes\ns'ajoutent, ils ne se multiplient pas." }, { "text": "$48$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$ ne\ns'élève pas au carré pour une espérance." } ], "explanation": "L'espérance est additive sans condition, donc $E(X+X) = 2E(X)$. La\nvariance, elle, n'est pas additive ici : $V(X+X) = 4V(X)$ et non\n$2V(X)$." }, { "statement": "Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 6$. Que vaut\n$E(X + X)$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $X + X = 2X$, donc $E(X+X) = 2E(X) = 12$.\nL'espérance s'additionne même lorsque les deux termes sont liés." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variable a été doublée, sa moyenne l'est donc aussi. Le\nrésultat attendu est $12$." }, { "text": "$36$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6^2$ élève l'espérance au carré. Ici les deux termes\ns'ajoutent, ils ne se multiplient pas." }, { "text": "$24$", "correct": false, "feedback": "Règle de la variance appliquée à l'espérance : le coefficient $2$ ne\ns'élève pas au carré pour une espérance." } ], "explanation": "L'espérance est additive sans condition, donc $E(X+X) = 2E(X)$. La\nvariance, elle, n'est pas additive ici : $V(X+X) = 4V(X)$ et non\n$2V(X)$." } ] }, { "id": "q46", "difficulty": 1, "skills": [ "transformations", "esperance", "produit-par-constante" ], "title": "Espérance d'un multiple d'une variable aléatoire", "partie": "transformations", "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 2$. Que vaut\n$E(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 3 \\times 2 = 6$ ;\nl'espérance est linéaire.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne\ns'ajoute pas.\n" }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $a^2$ concerne la **variance**, pas\nl'espérance.\n" }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.\n" } ], "explanation": "$E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ : multiplier les valeurs par $a$ multiplie\nla moyenne par $a$.", "variants": [ { "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 2$. Que vaut\n$E(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 3 \\times 2 = 6$ ;\nl'espérance est linéaire.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne\ns'ajoute pas.\n" }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $a^2$ concerne la **variance**, pas\nl'espérance.\n" }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.\n" } ], "explanation": "$E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ : multiplier les valeurs par $a$ multiplie\nla moyenne par $a$." }, { "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 4$. Que vaut\n$E(5X)$ ?", "options": [ { "text": "$20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 5 \\times 4 = 20$ ;\nl'espérance est linéaire.\n" }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne\ns'ajoute pas.\n" }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $a^2$ concerne la **variance**, pas\nl'espérance.\n" }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.\n" } ], "explanation": "$E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ : multiplier les valeurs par $a$ multiplie\nla moyenne par $a$." }, { "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 7$. Que vaut\n$E(2X)$ ?", "options": [ { "text": "$14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 2 \\times 7 = 14$ ;\nl'espérance est linéaire.\n" }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne\ns'ajoute pas.\n" }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $a^2$ concerne la **variance**, pas\nl'espérance.\n" }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.\n" } ], "explanation": "$E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ : multiplier les valeurs par $a$ multiplie\nla moyenne par $a$." }, { "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 4$. Que vaut\n$E(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(aX) = a\\,E(X) = 3 \\times 4 = 12$ ;\nl'espérance est linéaire.\n" }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier la variable multiplie l'espérance, elle ne\ns'ajoute pas.\n" }, { "text": "$36$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $a^2$ concerne la **variance**, pas\nl'espérance.\n" }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance change quand on multiplie la variable.\n" } ], "explanation": "$E(aX + b) = a\\,E(X) + b$ : multiplier les valeurs par $a$ multiplie\nla moyenne par $a$." } ] }, { "id": "q47", "difficulty": 2, "skills": [ "transformations", "variance", "produit-par-constante" ], "title": "Variance d'un multiple d'une variable aléatoire", "partie": "transformations", "statement": "$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X) = 2$. Que vaut\n$V(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 3^2 \\times 2 = 18$.\n" }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance est multipliée par $a^2$, pas par $a$ ;\nc'est l'écart-type qui est multiplié par $|a|$.\n" }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule une translation $X + b$ laisse la variance\ninchangée.\n" }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le coefficient, pas la variance.\n" } ], "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : la dispersion est multipliée par $a^2$,\nl'écart-type par $|a|$.", "variants": [ { "statement": "$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X) = 2$. Que vaut\n$V(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 3^2 \\times 2 = 18$.\n" }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance est multipliée par $a^2$, pas par $a$ ;\nc'est l'écart-type qui est multiplié par $|a|$.\n" }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule une translation $X + b$ laisse la variance\ninchangée.\n" }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le coefficient, pas la variance.\n" } ], "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : la dispersion est multipliée par $a^2$,\nl'écart-type par $|a|$." }, { "statement": "$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X) = 5$. Que vaut\n$V(2X)$ ?", "options": [ { "text": "$20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 2^2 \\times 5 = 20$.\n" }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance est multipliée par $a^2$, pas par $a$ ;\nc'est l'écart-type qui est multiplié par $|a|$.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule une translation $X + b$ laisse la variance\ninchangée.\n" }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est le coefficient, pas la variance.\n" } ], "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : la dispersion est multipliée par $a^2$,\nl'écart-type par $|a|$." }, { "statement": "$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X) = 3$. Que vaut\n$V(4X)$ ?", "options": [ { "text": "$48$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 4^2 \\times 3 = 48$.\n" }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance est multipliée par $a^2$, pas par $a$ ;\nc'est l'écart-type qui est multiplié par $|a|$.\n" }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule une translation $X + b$ laisse la variance\ninchangée.\n" }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est le coefficient, pas la variance.\n" } ], "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : la dispersion est multipliée par $a^2$,\nl'écart-type par $|a|$." }, { "statement": "$X$ est une variable aléatoire de variance $V(X) = 5$. Que vaut\n$V(3X)$ ?", "options": [ { "text": "$45$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $V(aX) = a^2\\,V(X) = 3^2 \\times 5 = 45$.\n" }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la variance est multipliée par $a^2$, pas par $a$ ;\nc'est l'écart-type qui est multiplié par $|a|$.\n" }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule une translation $X + b$ laisse la variance\ninchangée.\n" }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le coefficient, pas la variance.\n" } ], "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ : la dispersion est multipliée par $a^2$,\nl'écart-type par $|a|$." } ] }, { "id": "q48", "difficulty": 3, "skills": [ "transformations", "reduction", "ecart-type" ], "title": "Réduire une variable aléatoire", "partie": "transformations", "statement": "$X$ est une variable aléatoire d'écart-type $\\sigma(X) = 4$. Que\nvaut l'écart-type de $\\dfrac{X}{4}$ ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma\\!\\left(\\dfrac{X}{4}\\right) =\n\\dfrac{1}{4}\\,\\sigma(X) = 1$ ; diviser par l'écart-type\n**réduit** la variable.\n" }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser la variable divise aussi son écart-type.\n" }, { "text": "$\\dfrac{1}{16}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{16}$ serait le facteur appliqué à la\n**variance**.\n" }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : diviser ne peut pas augmenter la dispersion.\n" } ], "explanation": "Centrer, $X - E(X)$, puis réduire, diviser par $\\sigma(X)$ : on\nobtient une variable d'espérance $0$ et d'écart-type $1$." }, { "id": "q49", "difficulty": 3, "skills": [ "transformations", "affine", "unites" ], "title": "Changer d'unité de température", "partie": "transformations", "statement": "La température $C$ en degrés Celsius a pour espérance $20$ et\npour écart-type $5$. En degrés Fahrenheit, $F = 1{,}8\\,C + 32$.\nQue valent $E(F)$ et $\\sigma(F)$ ?", "options": [ { "text": "$E(F) = 68$ et $\\sigma(F) = 9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(F) = 1{,}8 \\times 20 + 32 = 68$ et\n$\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 5 = 9$ ; la constante $32$\ndéplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.\n" }, { "text": "$E(F) = 68$ et $\\sigma(F) = 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1{,}8$ multiplie aussi l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 68$ et $\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 5 + 32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante ajoutée n'affecte pas l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 1{,}8 \\times 20$ et $\\sigma(F) = 9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante $32$ s'ajoute à l'espérance.\n" } ], "explanation": "Pour $aX + b$ : l'espérance subit tout, $a\\,E(X) + b$ ; l'écart-type\nne subit que $|a|$.", "variants": [ { "statement": "La température $C$ en degrés Celsius a pour espérance $20$ et\npour écart-type $5$. En degrés Fahrenheit, $F = 1{,}8\\,C + 32$.\nQue valent $E(F)$ et $\\sigma(F)$ ?", "options": [ { "text": "$E(F) = 68$ et $\\sigma(F) = 9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(F) = 1{,}8 \\times 20 + 32 = 68$ et\n$\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 5 = 9$ ; la constante $32$\ndéplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.\n" }, { "text": "$E(F) = 68$ et $\\sigma(F) = 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1{,}8$ multiplie aussi l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 68$ et $\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 5 + 32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante ajoutée n'affecte pas l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 1{,}8 \\times 20$ et $\\sigma(F) = 9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante $32$ s'ajoute à l'espérance.\n" } ], "explanation": "Pour $aX + b$ : l'espérance subit tout, $a\\,E(X) + b$ ; l'écart-type\nne subit que $|a|$." }, { "statement": "La température $C$ en degrés Celsius a pour espérance $25$ et\npour écart-type $2$. En degrés Fahrenheit, $F = 1{,}8\\,C + 32$.\nQue valent $E(F)$ et $\\sigma(F)$ ?", "options": [ { "text": "$E(F) = 77$ et $\\sigma(F) = 3{,}6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(F) = 1{,}8 \\times 25 + 32 = 77$ et\n$\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 2 = 3{,}6$ ; la constante $32$\ndéplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.\n" }, { "text": "$E(F) = 77$ et $\\sigma(F) = 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1{,}8$ multiplie aussi l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 77$ et $\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 2 + 32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante ajoutée n'affecte pas l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 1{,}8 \\times 25$ et $\\sigma(F) = 3{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante $32$ s'ajoute à l'espérance.\n" } ], "explanation": "Pour $aX + b$ : l'espérance subit tout, $a\\,E(X) + b$ ; l'écart-type\nne subit que $|a|$." }, { "statement": "La température $C$ en degrés Celsius a pour espérance $10$ et\npour écart-type $10$. En degrés Fahrenheit, $F = 1{,}8\\,C + 32$.\nQue valent $E(F)$ et $\\sigma(F)$ ?", "options": [ { "text": "$E(F) = 50$ et $\\sigma(F) = 18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(F) = 1{,}8 \\times 10 + 32 = 50$ et\n$\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 10 = 18$ ; la constante $32$\ndéplace la moyenne mais ne change pas la dispersion.\n" }, { "text": "$E(F) = 50$ et $\\sigma(F) = 10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $1{,}8$ multiplie aussi l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 50$ et $\\sigma(F) = 1{,}8 \\times 10 + 32$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante ajoutée n'affecte pas l'écart-type.\n" }, { "text": "$E(F) = 1{,}8 \\times 10$ et $\\sigma(F) = 18$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la constante $32$ s'ajoute à l'espérance.\n" } ], "explanation": "Pour $aX + b$ : l'espérance subit tout, $a\\,E(X) + b$ ; l'écart-type\nne subit que $|a|$." } ] } ] }