{ "chapter": { "id": "suites-et-limites", "level": "terminale-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Suites et limites", "description": "Limite d'une suite : définitions, limites usuelles ($q^n$,\npuissances de $n$), opérations et formes indéterminées, théorèmes de\ncomparaison et d'encadrement, suites monotones (convergence des\nsuites croissantes majorées), raisonnement par récurrence, suites\narithmético-géométriques.", "parties": [ { "id": "recurrence", "title": "Raisonnement par récurrence" }, { "id": "limites", "title": "Limites de suites" }, { "id": "operations", "title": "Opérations et formes indéterminées" }, { "id": "theoremes", "title": "Théorèmes de convergence" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "limites-usuelles" ], "title": "Limite de $q^n$ pour $0 < q < 1$", "partie": "limites", "statement": "Soit $q$ un réel tel que $0 < q < 1$. Quelle est la limite de la\nsuite $(q^n)$ quand $n$ tend vers $+\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : multiplier sans fin par un facteur\nstrictement compris entre $0$ et $1$ écrase les valeurs vers\n$0$. Exemple : $(0{,}5)^n$ vaut $0{,}5$ ; $0{,}25$ ;\n$0{,}125$ ; etc." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q^n \\to +\\infty$ demande $q > 1$. Ici chaque\nmultiplication **réduit** la valeur." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la suite part de $q^0 = 1$ mais s'en éloigne\naussitôt en décroissant vers $0$. La valeur initiale n'est\npas la limite." }, { "text": "$q$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q$ n'est que le premier terme non trivial\n($q^1$). Les puissances suivantes continuent de diminuer\nvers $0$." } ], "explanation": "Limites de référence de $(q^n)$ : si $-1 < q < 1$, la limite est\n$0$ ; si $q > 1$, c'est $+\\infty$ ; si $q = 1$, la suite est\nconstante égale à $1$ ; si $q \\leq -1$, pas de limite." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "limite-infinie" ], "title": "Définition de $\\lim u_n = +\\infty$", "partie": "limites", "statement": "Que signifie « la suite $(u_n)$ tend vers $+\\infty$ » ?", "options": [ { "text": "Tout intervalle $[A\\,;\\,+\\infty[$ contient tous les\n$u_n$ à partir d'un rang", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition officielle. Aussi\ngrand que soit le seuil $A$, la suite finit par le\ndépasser **définitivement** : tous les termes, à partir\nd'un certain rang, sont dans $[A\\,;\\,+\\infty[$." }, { "text": "La suite est croissante à partir d'un certain rang", "correct": false, "feedback": "Erreur : une suite peut être croissante et converger (par\nexemple $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n}$ tend vers $1$), et une\nsuite peut tendre vers $+\\infty$ sans être croissante." }, { "text": "Tout intervalle $[A\\,;\\,+\\infty[$ contient au moins un\nterme $u_n$", "correct": false, "feedback": "Erreur de quantificateur : contenir un terme (ou même\nune infinité) ne suffit pas, il faut contenir TOUS les\ntermes à partir d'un certain rang. La suite $0, 1, 0, 2,\n0, 3, \\dots$ dépasse tout seuil sans tendre vers\n$+\\infty$." }, { "text": "Il existe un terme $u_n$ plus grand que n'importe quel réel", "correct": false, "feedback": "Erreur de quantificateurs : aucun terme fixé n'est infini.\nC'est pour **chaque** seuil $A$ qu'il existe un rang à\npartir duquel tous les termes dépassent $A$." } ], "explanation": "$\\lim u_n = +\\infty$ : pour tout réel $A$, l'intervalle\n$[A\\,;\\,+\\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir\nd'un certain rang. L'ordre des quantificateurs est essentiel." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "calcul", "operations" ], "title": "Limite d'un quotient de polynômes en $n$", "partie": "limites", "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,\n$u_n = \\dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \\to \\dfrac{2}{1} = 2$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $+\\infty$, mais le\ndénominateur aussi. C'est une forme indéterminée\n$\\infty/\\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ont le **même degré**,\nla limite est le quotient des coefficients dominants\n($2/1$), pas $0$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est le quotient des termes\nconstants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes\nen $n^2$ qui dominent." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus\nhaute puissance : $u_n = \\dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2}$. Comme\n$1/n^2 \\to 0$, la limite vaut $2$.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,\n$u_n = \\dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2} \\to \\dfrac{2}{1} = 2$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $+\\infty$, mais le\ndénominateur aussi. C'est une forme indéterminée\n$\\infty/\\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ont le **même degré**,\nla limite est le quotient des coefficients dominants\n($2/1$), pas $0$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est le quotient des termes\nconstants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes\nen $n^2$ qui dominent." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus\nhaute puissance : $u_n = \\dfrac{2 + 1/n^2}{1 + 3/n^2}$. Comme\n$1/n^2 \\to 0$, la limite vaut $2$." }, { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{5n^2 + 1}{n^2 + 4}$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,\n$u_n = \\dfrac{5 + 1/n^2}{1 + 4/n^2} \\to \\dfrac{5}{1} = 5$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $+\\infty$, mais le\ndénominateur aussi. C'est une forme indéterminée\n$\\infty/\\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ont le **même degré**,\nla limite est le quotient des coefficients dominants\n($5/1$), pas $0$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{4}$ est le quotient des termes\nconstants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes\nen $n^2$ qui dominent." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus\nhaute puissance : $u_n = \\dfrac{5 + 1/n^2}{1 + 4/n^2}$. Comme\n$1/n^2 \\to 0$, la limite vaut $5$." }, { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{3n^2 + 1}{n^2 + 2}$ ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,\n$u_n = \\dfrac{3 + 1/n^2}{1 + 2/n^2} \\to \\dfrac{3}{1} = 3$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $+\\infty$, mais le\ndénominateur aussi. C'est une forme indéterminée\n$\\infty/\\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ont le **même degré**,\nla limite est le quotient des coefficients dominants\n($3/1$), pas $0$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est le quotient des termes\nconstants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes\nen $n^2$ qui dominent." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus\nhaute puissance : $u_n = \\dfrac{3 + 1/n^2}{1 + 2/n^2}$. Comme\n$1/n^2 \\to 0$, la limite vaut $3$." }, { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{4n^2 + 1}{n^2 + 5}$ ?", "options": [ { "text": "$4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en factorisant par $n^2$ en haut et en bas,\n$u_n = \\dfrac{4 + 1/n^2}{1 + 5/n^2} \\to \\dfrac{4}{1} = 4$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le numérateur tend vers $+\\infty$, mais le\ndénominateur aussi. C'est une forme indéterminée\n$\\infty/\\infty$ qu'il faut lever en factorisant par $n^2$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : numérateur et dénominateur ont le **même degré**,\nla limite est le quotient des coefficients dominants\n($4/1$), pas $0$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{5}$ est le quotient des termes\nconstants, qui deviennent négligeables. Ce sont les termes\nen $n^2$ qui dominent." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise par la plus\nhaute puissance : $u_n = \\dfrac{4 + 1/n^2}{1 + 5/n^2}$. Comme\n$1/n^2 \\to 0$, la limite vaut $4$." } ] }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "formes-indeterminees" ], "title": "Reconnaître une forme indéterminée", "partie": "operations", "statement": "Parmi les situations suivantes, laquelle est une **forme\nindéterminée** ?", "options": [ { "text": "$\\lim u_n = +\\infty$ et $\\lim v_n = -\\infty$, on cherche\n$\\lim (u_n + v_n)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : « $\\infty - \\infty$ » est indéterminée. Selon\nles suites, le résultat peut être fini, infini ou ne pas\nexister (exemples : $n$ et $-n$ ; $n^2$ et $-n$)." }, { "text": "$\\lim u_n = +\\infty$ et $\\lim v_n = +\\infty$, on cherche\n$\\lim (u_n + v_n)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\infty + \\infty$ n'est pas indéterminée, la somme\ntend toujours vers $+\\infty$." }, { "text": "$\\lim u_n = 2$ et $\\lim v_n = +\\infty$, on cherche\n$\\lim (u_n \\times v_n)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit d'une limite **non nulle** par une\nlimite infinie n'est pas indéterminé : ici il tend vers\n$+\\infty$. Le cas indéterminé est $0 \\times \\infty$." }, { "text": "$\\lim u_n = 2$ et $\\lim v_n = +\\infty$, on cherche\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un numérateur borné sur un dénominateur qui tend\nvers l'infini donne $0$, sans indétermination." } ], "explanation": "Les quatre formes indéterminées au programme :\n« $\\infty - \\infty$ », « $0 \\times \\infty$ »,\n« $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ » et « $\\dfrac{0}{0}$ ».\nTout le reste se conclut par les théorèmes d'opérations." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "encadrement", "gendarmes" ], "title": "Théorème des gendarmes", "partie": "theoremes", "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, on pose $u_n = \\dfrac{\\sin(n)}{n}$ et on\nsait que $-\\dfrac{1}{n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{1}{n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $0$, par le théorème d'encadrement", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux suites encadrantes $-1/n$ et $1/n$\ntendent vers $0$, donc la suite encadrée aussi (théorème des\ngendarmes)." }, { "text": "$(u_n)$ n'a pas de limite car $\\sin(n)$ n'en a pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : le facteur $\\sin(n)$ oscille mais reste **borné**,\net il est divisé par $n$ qui tend vers l'infini.\nL'encadrement force la convergence vers $0$." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu penses peut-être à la limite de\n$\\dfrac{\\sin x}{x}$ en $0$. Ici $n$ tend vers $+\\infty$, et\nl'encadrement donne $0$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître le signe de $u_n$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème des gendarmes n'exige aucun signe,\nseulement un encadrement par deux suites de **même limite**." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : si $v_n \\leq u_n \\leq w_n$ à partir\nd'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la\nmême limite $\\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\\ell$. Ici\n$\\ell = 0$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "convergence-monotone", "piege" ], "title": "Suite croissante et majorée", "partie": "theoremes", "statement": "Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $10$.\nQue peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite $\\ell \\leq 10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge\n(théorème de convergence monotone), et sa limite est\ninférieure ou égale à tout majorant." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $10$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant\ndonné. Exemple : $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ est croissante,\nmajorée par $10$, et converge vers $1$." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous\n$10$. Une suite croissante ne tend vers $+\\infty$ que si\nelle est **non majorée**." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique\nquelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration\nsuffisent." } ], "explanation": "Théorème de convergence monotone : croissante et majorée\n$\\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est **au plus**\négale au majorant, sans lui être nécessairement égale.", "variants": [ { "statement": "Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $10$.\nQue peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite $\\ell \\leq 10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge\n(théorème de convergence monotone), et sa limite est\ninférieure ou égale à tout majorant." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $10$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant\ndonné. Exemple : $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ est croissante,\nmajorée par $10$, et converge vers $1$." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous\n$10$. Une suite croissante ne tend vers $+\\infty$ que si\nelle est **non majorée**." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique\nquelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration\nsuffisent." } ], "explanation": "Théorème de convergence monotone : croissante et majorée\n$\\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est **au plus**\négale au majorant, sans lui être nécessairement égale." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $5$.\nQue peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite $\\ell \\leq 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge\n(théorème de convergence monotone), et sa limite est\ninférieure ou égale à tout majorant." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $5$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant\ndonné. Exemple : $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ est croissante,\nmajorée par $5$, et converge vers $1$." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous\n$5$. Une suite croissante ne tend vers $+\\infty$ que si\nelle est **non majorée**." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique\nquelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration\nsuffisent." } ], "explanation": "Théorème de convergence monotone : croissante et majorée\n$\\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est **au plus**\négale au majorant, sans lui être nécessairement égale." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $20$.\nQue peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite $\\ell \\leq 20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge\n(théorème de convergence monotone), et sa limite est\ninférieure ou égale à tout majorant." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $20$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant\ndonné. Exemple : $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ est croissante,\nmajorée par $20$, et converge vers $1$." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous\n$20$. Une suite croissante ne tend vers $+\\infty$ que si\nelle est **non majorée**." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique\nquelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration\nsuffisent." } ], "explanation": "Théorème de convergence monotone : croissante et majorée\n$\\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est **au plus**\négale au majorant, sans lui être nécessairement égale." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée par $8$.\nQue peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite $\\ell \\leq 8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : toute suite croissante et majorée converge\n(théorème de convergence monotone), et sa limite est\ninférieure ou égale à tout majorant." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $8$", "correct": false, "feedback": "Piège classique : la limite n'est pas forcément le majorant\ndonné. Exemple : $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ est croissante,\nmajorée par $8$, et converge vers $1$." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est impossible, tous les termes restent sous\n$8$. Une suite croissante ne tend vers $+\\infty$ que si\nelle est **non majorée**." }, { "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le théorème de convergence monotone s'applique\nquelle que soit la valeur initiale ; croissance + majoration\nsuffisent." } ], "explanation": "Théorème de convergence monotone : croissante et majorée\n$\\Rightarrow$ convergente. Attention : la limite est **au plus**\négale au majorant, sans lui être nécessairement égale." } ] }, { "id": "q07", "difficulty": 3, "skills": [ "raisonnement", "piege" ], "title": "Suites croissantes et infini", "partie": "recurrence", "statement": "Parmi les affirmations suivantes, laquelle est **vraie** ?", "options": [ { "text": "Toute suite croissante non majorée tend vers $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est un théorème du cours. La croissance\nempêche de redescendre, et l'absence de majorant force à\ndépasser tout seuil." }, { "text": "Toute suite croissante tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Faux : une suite croissante peut converger si elle est\nmajorée, comme $u_n = 1 - \\dfrac{1}{n+1}$ qui tend vers\n$1$." }, { "text": "Toute suite non majorée tend vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Faux : la suite $0,\\,1,\\,0,\\,2,\\,0,\\,3,\\,\\ldots$ est non\nmajorée mais ne tend pas vers $+\\infty$ (elle repasse sans\ncesse par $0$). Il manque la croissance." }, { "text": "Toute suite divergente tend vers $+\\infty$ ou $-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Faux : $u_n = (-1)^n$ diverge sans tendre vers l'infini :\nelle oscille entre $-1$ et $1$. « Divergente » signifie\nseulement « non convergente »." } ], "explanation": "Le théorème exact combine **deux** hypothèses : croissante\n**et** non majorée $\\Rightarrow$ limite $+\\infty$. Chaque\nhypothèse seule est insuffisante, comme le montrent les\ncontre-exemples." }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "recurrence", "definition" ], "title": "Structure d'un raisonnement par récurrence", "partie": "recurrence", "statement": "Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ est vraie\npour tout entier $n \\geq n_0$, que doit-on établir ?", "options": [ { "text": "$P(n_0)$ est vraie, et pour tout $n \\geq n_0$, $P(n)$\nentraîne $P(n+1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : initialisation puis hérédité. Les deux\nétapes sont indispensables, puis on conclut pour tout\n$n \\geq n_0$." }, { "text": "Pour tout $n \\geq n_0$, $P(n)$ entraîne $P(n+1)$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : sans initialisation, rien ne démarre. La\npropriété « $n = n+1$ » est héréditaire et pourtant toujours\nfausse." }, { "text": "$P(n)$ est vraie pour $n_0$, $n_0 + 1$ et $n_0 + 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : vérifier quelques cas ne prouve rien pour tous les\nentiers. Il faut le mécanisme général de l'hérédité." }, { "text": "$P(n+1)$ entraîne $P(n)$, pour tout $n \\geq n_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : l'hérédité se propage vers les rangs\n**croissants** : on suppose $P(n)$ et on démontre $P(n+1)$." } ], "explanation": "Un raisonnement par récurrence comporte une initialisation ($P(n_0)$ vraie) et une hérédité (si\n$P(n)$ est vraie pour un rang $n \\geq n_0$ quelconque, alors\n$P(n+1)$ l'est aussi). Conclusion : $P(n)$ vraie pour tout\n$n \\geq n_0$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "suite-geometrique", "calcul" ], "title": "Somme des puissances de $q$", "partie": "limites", "statement": "Pour $q \\neq 1$, que vaut la somme\n$1 + q + q^2 + \\cdots + q^n$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : somme des $n+1$ premiers termes de la suite\ngéométrique de premier terme $1$ et de raison $q$." }, { "text": "$\\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'exposant : la somme compte $n + 1$ termes (de\n$q^0$ à $q^n$), l'exposant au numérateur est donc $n+1$." }, { "text": "$\\dfrac{q^{n+1} - 1}{1 - q}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : ce quotient est l'**opposé** de la somme.\nNumérateur et dénominateur doivent être « dans le même\nsens » : $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$." }, { "text": "$n \\, q^{n}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu confonds avec une somme de termes **égaux**. Les\npuissances de $q$ sont toutes différentes, leur somme suit\nla formule géométrique." } ], "explanation": "Formule clé : $1 + q + \\cdots + q^n =\n\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \\neq 1$. Moyen mnémotechnique\n: $\\dfrac{1 - q^{\\text{nombre de termes}}}{1 - q}$, ici $n+1$\ntermes." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "arithmetico-geometrique", "point-fixe" ], "title": "Limite d'une suite arithmético-géométrique", "partie": "theoremes", "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 3$. On admet\nque $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$, d'où $0{,}5\\,\\ell = 3$ puis\n$\\ell = 6$." }, { "text": "$\\ell = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant de la relation, pas la\nlimite. Il faut résoudre $\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$." }, { "text": "$\\ell = 1{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}5 = 0{,}5 \\times 3$ mélange les deux\ncoefficients. L'équation correcte est\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$, de solution $6$." }, { "text": "Cela dépend de $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la\nvaleur de la limite quand elle existe : ici le coefficient\n$0{,}5$ contracte vers l'unique point fixe $6$." } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ et $u_n \\to \\ell$, alors par passage à\nla limite $\\ell = a\\,\\ell + b$. Ici\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3 \\Leftrightarrow \\ell = 6$.", "variants": [ { "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 3$. On admet\nque $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$, d'où $0{,}5\\,\\ell = 3$ puis\n$\\ell = 6$." }, { "text": "$\\ell = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant de la relation, pas la\nlimite. Il faut résoudre $\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$." }, { "text": "$\\ell = 1{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}5 = 0{,}5 \\times 3$ mélange les deux\ncoefficients. L'équation correcte est\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3$, de solution $6$." }, { "text": "Cela dépend de $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la\nvaleur de la limite quand elle existe : ici le coefficient\n$0{,}5$ contracte vers l'unique point fixe $6$." } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ et $u_n \\to \\ell$, alors par passage à\nla limite $\\ell = a\\,\\ell + b$. Ici\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 3 \\Leftrightarrow \\ell = 6$." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 4$. On admet\nque $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 4$, d'où $0{,}5\\,\\ell = 4$ puis\n$\\ell = 8$." }, { "text": "$\\ell = 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est le terme constant de la relation, pas la\nlimite. Il faut résoudre $\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 4$." }, { "text": "$\\ell = 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 = 0{,}5 \\times 4$ mélange les deux\ncoefficients. L'équation correcte est\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 4$, de solution $8$." }, { "text": "Cela dépend de $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la\nvaleur de la limite quand elle existe : ici le coefficient\n$0{,}5$ contracte vers l'unique point fixe $8$." } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ et $u_n \\to \\ell$, alors par passage à\nla limite $\\ell = a\\,\\ell + b$. Ici\n$\\ell = 0{,}5\\,\\ell + 4 \\Leftrightarrow \\ell = 8$." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 2$. On admet\nque $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe\n$\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 2$, d'où $0{,}2\\,\\ell = 2$ puis\n$\\ell = 10$." }, { "text": "$\\ell = 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est le terme constant de la relation, pas la\nlimite. Il faut résoudre $\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 2$." }, { "text": "$\\ell = 1{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}6 = 0{,}8 \\times 2$ mélange les deux\ncoefficients. L'équation correcte est\n$\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 2$, de solution $10$." }, { "text": "Cela dépend de $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la\nvaleur de la limite quand elle existe : ici le coefficient\n$0{,}8$ contracte vers l'unique point fixe $10$." } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ et $u_n \\to \\ell$, alors par passage à\nla limite $\\ell = a\\,\\ell + b$. Ici\n$\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 2 \\Leftrightarrow \\ell = 10$." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = 0{,}4\\,u_n + 3$. On admet\nque $(u_n)$ converge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite vérifie l'équation du point fixe\n$\\ell = 0{,}4\\,\\ell + 3$, d'où $0{,}6\\,\\ell = 3$ puis\n$\\ell = 5$." }, { "text": "$\\ell = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est le terme constant de la relation, pas la\nlimite. Il faut résoudre $\\ell = 0{,}4\\,\\ell + 3$." }, { "text": "$\\ell = 1{,}2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1{,}2 = 0{,}4 \\times 3$ mélange les deux\ncoefficients. L'équation correcte est\n$\\ell = 0{,}4\\,\\ell + 3$, de solution $5$." }, { "text": "Cela dépend de $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0$ influence les termes de la suite mais pas la\nvaleur de la limite quand elle existe : ici le coefficient\n$0{,}4$ contracte vers l'unique point fixe $5$." } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ et $u_n \\to \\ell$, alors par passage à\nla limite $\\ell = a\\,\\ell + b$. Ici\n$\\ell = 0{,}4\\,\\ell + 3 \\Leftrightarrow \\ell = 5$." } ] }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "comparaison" ], "title": "Théorème de comparaison", "partie": "operations", "statement": "Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_n \\geq n^2$ pour tout $n$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : théorème de comparaison. Comme\n$n^2 \\to +\\infty$ et que $u_n$ est au-dessus, $(u_n)$ est\npoussée vers $+\\infty$." }, { "text": "$(u_n)$ est croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : être au-dessus de $n^2$ n'impose aucune monotonie ;\nla suite peut osciller tout en restant au-dessus de la\nparabole." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers une limite supérieure à $n^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une limite est un nombre fixe, elle ne peut pas\nêtre « supérieure à $n^2$ » qui dépend de $n$. Et ici la\nsuite ne converge pas : elle explose vers $+\\infty$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans majorant", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour une limite $+\\infty$, c'est une **minoration**\npar une suite tendant vers $+\\infty$ qui conclut ; aucun\nmajorant n'est requis." } ], "explanation": "Théorème de comparaison : si $u_n \\geq v_n$ à partir d'un\ncertain rang et $v_n \\to +\\infty$, alors $u_n \\to +\\infty$.\nIci $v_n = n^2$." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "limites-usuelles", "calcul" ], "title": "Limite d'un quotient de suites géométriques", "partie": "limites", "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{3^n}{2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^n$ est une\nsuite géométrique de raison $\\dfrac{3}{2} > 1$, donc elle\ntend vers $+\\infty$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q^n \\to 0$ demande $|q| < 1$. Ici la raison est\n$\\dfrac{3}{2} > 1$ : la suite explose au lieu de s'éteindre." }, { "text": "$\\dfrac{3}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{2}$ n'est que le terme $u_1$. La suite\ncontinue d'être multipliée par $\\dfrac{3}{2}$ à chaque rang." }, { "text": "$1$, car les deux suites tendent vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ est une forme\nindéterminée, elle ne vaut pas $1$ d'office. On la lève ici\nen écrivant $u_n = (3/2)^n$." } ], "explanation": "Regrouper les puissances : $\\dfrac{3^n}{2^n} =\n\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^n$. C'est une suite géométrique de\nraison $\\dfrac{3}{2} > 1$, donc de limite $+\\infty$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "limite-geometrique", "q-superieur-1" ], "title": "Limite de $q^n$ pour $q > 1$", "partie": "limites", "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} 3^n$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $q > 1$, la suite $(q^n)$ tend vers\n$+\\infty$ : chaque terme est multiplié par $3$, la\ncroissance explose." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec $0 < q < 1$ : c'est $\\left(\\frac{1}{3}\n\\right)^n$ qui tend vers $0$, pas $3^n$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est la **raison**, pas la limite : les\ntermes $3, 9, 27, 81, \\dots$ dépassent tout seuil." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q^n \\to 1$ n'arrive que si $q = 1$ (suite\nconstante)." } ], "explanation": "Bilan complet : $q > 1 \\Rightarrow q^n \\to +\\infty$ ;\n$-1 < q < 1 \\Rightarrow q^n \\to 0$ ; $q = 1 \\Rightarrow$\nconstante ; $q \\leq -1 \\Rightarrow$ pas de limite. À réciter\navant tout calcul de limite géométrique." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "recurrence", "initialisation" ], "title": "Rôle de l'initialisation", "partie": "recurrence", "statement": "La propriété $P(n)$ : « $4^n + 1$ est divisible par $3$ »\nest héréditaire (si $P(n)$ est vraie, $P(n+1)$ l'est\naussi). Peut-on conclure que $P(n)$ est vraie pour tout\n$n$ ?", "options": [ { "text": "Non : il manque une initialisation vraie", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sans initialisation vraie, l'hérédité ne\ndémarre jamais. Ici $4^0 + 1 = 2$ n'est pas divisible par\n$3$, et aucun autre rang ne convient : $P(n)$ est fausse\npour **tout** $n$. L'hérédité est une chaîne de dominos,\nmais aucun domino ne tombe si on ne pousse pas le premier." }, { "text": "Oui : une propriété héréditaire est vraie à tout rang", "correct": false, "feedback": "Erreur fatale du raisonnement par récurrence : sans\ninitialisation, rien n'est démontré : cette propriété\nhéréditaire est fausse partout ($4^0 + 1 = 2$,\n$4^1 + 1 = 5$, $4^2 + 1 = 17$, aucun n'est multiple de\n$3$)." }, { "text": "Oui, mais seulement à partir du rang $n = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4^1 + 1 = 5$ n'est pas non plus divisible par\n$3$ : aucun rang ne peut servir de point de départ." }, { "text": "Non, car l'hérédité de $P(n)$ est mal démontrée", "correct": false, "feedback": "Erreur de diagnostic : l'hérédité est correcte ($4^{n+1}\n+ 1 = 4(4^n + 1) - 3$). C'est l'**initialisation** qui\nmanque." } ], "explanation": "Une récurrence exige les deux piliers : initialisation ET\nhérédité. Exemple culte : « $4^n + 1$ divisible par $3$ »\nest héréditaire mais fausse pour tout $n$ (déjà $4^0 + 1 = 2$\net $4^1 + 1 = 5$) : l'initialisation n'est pas une formalité." }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "operations-limites", "somme" ], "title": "Limite d'une somme", "partie": "operations", "statement": "Si $u_n \\to 5$ et $v_n \\to +\\infty$, que vaut\n$\\lim\\,(u_n + v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une suite bornée plus une suite de limite infinie donne une limite infinie : ajouter\nenviron $5$ ne freine pas une suite qui dépasse tout\nseuil." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la partie $v_n$ emporte tout : la somme dépasse\n$10^6$, puis $10^9$…" }, { "text": "Forme indéterminée", "correct": false, "feedback": "Erreur : la seule indétermination de la somme est\n$+\\infty + (-\\infty)$. Ici, aucun conflit : $+\\infty$." }, { "text": "$5 + \\infty$, qui n'a pas de sens, donc pas de limite", "correct": false, "feedback": "Erreur : le tableau des opérations donne un résultat\nparfaitement défini : $+\\infty$." } ], "explanation": "Tableaux des limites : $\\ell + (+\\infty) = +\\infty$,\n$\\ell \\times (+\\infty) = \\pm\\infty$ selon le signe de\n$\\ell \\neq 0$. Les seules formes indéterminées :\n$+\\infty - \\infty$, $0 \\times \\infty$,\n$\\frac{\\infty}{\\infty}$, $\\frac{0}{0}$." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "divergence", "oscillation" ], "title": "La suite $(-1)^n$", "partie": "limites", "statement": "Quelle est la limite de la suite $u_n = (-1)^n$ ?", "options": [ { "text": "Elle n'a pas de limite, ni finie ni infinie", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : elle oscille éternellement entre $-1$ et\n$1$ : elle ne s'approche d'aucun nombre et ne part vers\naucun infini. Diverger ne veut pas dire « tendre vers\nl'infini »." }, { "text": "$0$, par compensation des $+1$ et des $-1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la limite regarde les **termes**, pas leur\nmoyenne : $u_n$ ne s'approche jamais de $0$ (distance\nconstante $1$)." }, { "text": "$1$, car une suite finit par se stabiliser", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien n'oblige une suite à se stabiliser :\ncelle-ci repasse par $-1$ à chaque rang impair." }, { "text": "$+\\infty$ car elle diverge", "correct": false, "feedback": "Confusion de vocabulaire : « diverger » = ne pas\nconverger. Cela inclut osciller **sans** partir à\nl'infini, comme ici." } ], "explanation": "Trois comportements possibles : converger vers $\\ell$,\ntendre vers $\\pm\\infty$, ou ne pas avoir de limite du tout\n($(-1)^n$, $\\cos n$…). Le troisième cas est celui qu'on\noublie." }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "convergence-monotone" ], "title": "Suite décroissante minorée", "partie": "theoremes", "statement": "Une suite est décroissante et minorée par $2$. Que peut-on\naffirmer ?", "options": [ { "text": "Elle converge vers une limite $\\ell \\geq 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : théorème de convergence monotone,\nversion basse : elle descend mais ne peut pas passer\nsous $2$, donc elle se stabilise quelque part au-dessus\n(ou en) $2$." }, { "text": "Elle converge vers $2$", "correct": false, "feedback": "Trop précis : le minorant n'est pas forcément la\nlimite : $u_n = 3 + \\frac{1}{n}$ est décroissante,\nminorée par $2$, et converge vers $3$." }, { "text": "Elle tend vers $-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Contradiction : le minorant $2$ lui interdit justement\nde descendre indéfiniment." }, { "text": "On ne peut rien dire sans formule explicite", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la force du théorème : la convergence est\ngarantie par la seule forme de la suite, sans calcul." } ], "explanation": "Convergence monotone : croissante majorée $\\Rightarrow$\nconverge ; décroissante minorée $\\Rightarrow$ converge. La\nlimite vérifie l'encadrement mais ne coïncide pas forcément\navec la borne." }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "forme-indeterminee", "produit" ], "title": "Lever un $0 \\times \\infty$", "partie": "operations", "statement": "$u_n = \\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$ et $v_n = n^2$ tend vers\n$+\\infty$. Que vaut $\\lim\\,(u_n \\times v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$+\\infty$, car $u_n v_n = n$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la forme $0 \\times \\infty$ est\nindéterminée : on **transforme** l'expression :\n$\\frac{1}{n} \\times n^2 = n \\to +\\infty$." }, { "text": "$0$, car $u_n \\to 0$ et $0$ fois n'importe quoi vaut $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la règle « $0 \\times x = 0$ » vaut pour le\nnombre $0$, pas pour une suite qui **tend** vers $0$\npendant que l'autre explose : conflit à trancher par le\ncalcul." }, { "text": "$1$, par compromis entre $0$ et l'infini", "correct": false, "feedback": "Erreur : il n'y a pas de « compromis » : selon les\nsuites, $0 \\times \\infty$ peut donner $0$, $7$,\n$+\\infty$… Ici le calcul donne $n \\to +\\infty$." }, { "text": "La limite n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : indéterminé ne signifie pas « sans limite »\nmais « à déterminer autrement » : ici $u_n v_n = n$, la\nlimite existe et vaut $+\\infty$." } ], "explanation": "Face à $0 \\times \\infty$, $\\frac{\\infty}{\\infty}$,\n$+\\infty - \\infty$ : toujours réécrire (simplifier,\nfactoriser le terme dominant). L'indétermination est un feu\norange, pas un mur." }, { "id": "q19", "difficulty": 1, "skills": [ "somme-arithmetique" ], "title": "Somme des premiers entiers", "partie": "limites", "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\dots + n$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{n(n+1)}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule de Gauss, démontrable par\nrécurrence (un classique d'ailleurs). Contrôle avec\n$n = 3$ : $\\frac{3 \\times 4}{2} = 6 = 1 + 2 + 3$." }, { "text": "$\\dfrac{n(n-1)}{2}$", "correct": false, "feedback": "Décalage : cette formule compte $1 + \\dots + (n-1)$.\nContrôle avec $n = 3$ : $\\frac{3 \\times 2}{2} = 3 \\neq\n6$." }, { "text": "$n^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $n^2$ est la somme des **impairs** $1 + 3 +\n\\dots + (2n-1)$. Contrôle : $1 + 2 + 3 = 6 \\neq 9$." }, { "text": "$\\dfrac{n^2 + 1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : contrôle immédiat avec $n = 3$ : $\\frac{10}{2}\n= 5 \\neq 6$. Le produit est $n(n+1)$, pas $n^2 + 1$." } ], "explanation": "$\\sum_{k=1}^{n} k = \\frac{n(n+1)}{2}$ : premier + dernier,\nfois le nombre de termes, divisé par $2$. Avec la somme\ngéométrique $\\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, ce sont les deux\nformules de sommation à connaître." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "passage-limite", "inegalites" ], "title": "Passage à la limite dans une inégalité", "partie": "theoremes", "statement": "Pour tout $n$, $u_n < v_n$, et les deux suites convergent :\n$u_n \\to \\ell$ et $v_n \\to \\ell'$. Que peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$\\ell \\leq \\ell'$ (l'inégalité devient large à la\nlimite)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le passage à la limite **élargit** les\ninégalités : $u_n = 0 < v_n = \\frac{1}{n}$, et pourtant\nles deux limites valent $0$." }, { "text": "$\\ell < \\ell'$ (l'inégalité stricte se conserve)", "correct": false, "feedback": "Piège classique : contre-exemple $u_n = 0$, $v_n =\n\\frac{1}{n}$ : inégalité stricte à chaque rang, limites\n**égales**." }, { "text": "$\\ell = \\ell'$ toujours", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_n = 1$ et $v_n = 2$ donnent $\\ell = 1 \\neq\n2 = \\ell'$. On garde seulement $\\ell \\leq \\ell'$." }, { "text": "Rien : les limites sont indépendantes des inégalités", "correct": false, "feedback": "Erreur : la comparaison survit au passage à la limite,\nen version large : c'est la base des théorèmes de\ncomparaison." } ], "explanation": "Règle : les inégalités passent à la limite en devenant\n**larges**. C'est pour cela que les théorèmes (gendarmes,\ncomparaison) concluent avec $\\leq$, jamais avec $<$." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "point-fixe", "suite-recurrente" ], "title": "Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$", "partie": "theoremes", "statement": "La suite définie par $u_{n+1} = \\dfrac{u_n + 6}{2}$\nconverge vers un réel $\\ell$. Que vaut $\\ell$ ?", "options": [ { "text": "$\\ell = 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en passant à la limite dans la relation\nde récurrence (la fonction est continue), $\\ell$ vérifie\nl'équation du point fixe $\\ell = \\dfrac{\\ell + 6}{2}$,\nsoit $2\\ell = \\ell + 6$, donc $\\ell = 6$." }, { "text": "$\\ell = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est la moitié de $6$, mais on résout $\\ell\n= \\frac{\\ell + 6}{2}$, pas $\\ell = \\frac{6}{2}$ : le\n$\\ell$ figure des deux côtés." }, { "text": "$\\ell = 0$", "correct": false, "feedback": "Contrôle : $\\frac{0 + 6}{2} = 3 \\neq 0$ : $0$ n'est pas\npoint fixe." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $u_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la convergence étant admise, la limite est\nforcée par l'équation $\\ell = f(\\ell)$, indépendamment\ndu départ. ($u_0$ jouerait sur la convergence, pas sur\nla valeur possible.)" } ], "explanation": "Si $u_{n+1} = f(u_n)$, $u_n \\to \\ell$ et $f$ continue en\n$\\ell$, alors $f(\\ell) = \\ell$. Méthode : résoudre\nl'équation du point fixe, après avoir justifié la\nconvergence (souvent par convergence monotone)." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "limite-geometrique", "q-negatif" ], "title": "$q^n$ pour $q \\leq -1$", "partie": "limites", "statement": "Quel est le comportement de la suite $u_n = (-2)^n$ ?", "options": [ { "text": "Elle n'a pas de limite, ni finie ni infinie", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1, -2, 4, -8, 16, \\ldots$ : la suite\noscille, le signe alterne pendant que $|u_n| = 2^n$\nexplose, avec des valeurs de plus en plus grandes en\nvaleur absolue : ni limite finie, ni $+\\infty$, ni\n$-\\infty$." }, { "text": "Elle tend vers $+\\infty$, car $|-2| > 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les termes de rang impair sont **négatifs** et\nplongent : la suite ne reste pas au-dessus de tout\nseuil." }, { "text": "Elle tend vers $-\\infty$, à cause du signe moins", "correct": false, "feedback": "Erreur symétrique : les rangs pairs donnent $+4, +16,\n+64, \\ldots$ : la suite remonte sans cesse." }, { "text": "Elle tend vers $0$, comme toute suite géométrique", "correct": false, "feedback": "Erreur : $q^n \\to 0$ exige $|q| < 1$. Ici $|q| = 2$ :\nles termes s'éloignent de $0$." } ], "explanation": "Pour $q \\leq -1$, $(q^n)$ n'a pas de limite : l'alternance\nde signe combinée à l'explosion de $|q|^n$ interdit tout\ncomportement limite. Le cas oublié du bilan sur $q^n$." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "limites", "definition-convergence" ], "title": "Entrer dans un intervalle autour de la limite", "partie": "limites", "statement": "La suite $(u_n)$ définie pour $n \\geq 1$ par $u_n = 3 + \\dfrac{2}{n}$ converge vers $3$. À partir de quel rang tous ses termes appartiennent-ils à l'intervalle $]2{,}99\\ ;\\ 3{,}01[$ ?", "options": [ { "text": "À partir de $n = 201$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n > 3$ pour tout $n$, et $u_n < 3{,}01$ équivaut à $\\dfrac{2}{n} < 0{,}01$, soit $n > 200$. Le premier entier qui convient est $201$.\n" }, { "text": "À partir de $n = 200$", "correct": false, "feedback": "L'inégalité est stricte : $u_{200} = 3 + \\dfrac{2}{200} = 3{,}01$, qui n'appartient pas à l'intervalle ouvert.\n" }, { "text": "À partir de $n = 101$", "correct": false, "feedback": "Le numérateur $2$ a été oublié : $\\dfrac{1}{n} < 0{,}01$ donne $n > 100$, mais $u_{101} = 3 + \\dfrac{2}{101} \\approx 3{,}0198$ dépasse encore $3{,}01$.\n" }, { "text": "À partir de $n = 21$", "correct": false, "feedback": "La précision a été lue comme $0{,}1$ au lieu de $0{,}01$ : $u_{21} = 3 + \\dfrac{2}{21} \\approx 3{,}095$ reste en dehors de l'intervalle.\n" } ], "explanation": "Dire que $(u_n)$ converge vers $3$, c'est dire que tout intervalle ouvert contenant $3$ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Ici la suite est décroissante et reste au-dessus de $3$ ; il suffit donc de résoudre $\\dfrac{2}{n} < 0{,}01$, ce qui donne $n > 200$." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "recurrence", "heredite" ], "title": "Rédiger l'hérédité", "partie": "recurrence", "statement": "Dans une récurrence, comment démarre correctement l'étape\nd'hérédité ?", "options": [ { "text": "« Supposons $P(n)$ vraie pour **un** entier $n$ fixé ;\nmontrons $P(n+1)$. »", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on suppose la propriété pour UN rang\n(hypothèse de récurrence) et on propage d'un cran. C'est\nle mécanisme du domino : chacun pousse le suivant." }, { "text": "« Supposons $P(n)$ vraie pour tout entier $n$ ;\nmontrons $P(n+1)$. »", "correct": false, "feedback": "Pétition de principe : supposer la propriété pour\n**tout** $n$, c'est supposer exactement ce qu'on veut\ndémontrer : la preuve devient vide." }, { "text": "« Vérifions $P(0)$, $P(1)$ et $P(2)$ : la tendance se\nconfirme. »", "correct": false, "feedback": "Erreur : trois vérifications ne prouvent rien pour\n$n = 10^6$ : c'est l'hérédité, pas l'accumulation\nd'exemples, qui couvre tous les rangs." }, { "text": "« Montrons $P(n+1)$ sans utiliser $P(n)$. »", "correct": false, "feedback": "Erreur : alors ce n'est plus une récurrence : c'est une\npreuve directe (parfois possible), et l'hypothèse de\nrécurrence est là précisément pour servir." } ], "explanation": "Formule rituelle : « Soit $n$ un entier tel que $P(n)$ est\nvraie » (UN rang fixé, pas tous). La conclusion « pour tout\n$n$ » n'arrive qu'à la fin, par le principe de récurrence,\ninitialisation comprise." }, { "id": "q25", "difficulty": 2, "skills": [ "limites", "operations" ], "title": "Limite d'un produit", "partie": "limites", "statement": "Une suite $(u_n)$ tend vers $3$ et une suite $(v_n)$ vers\n$+\\infty$. Vers quoi tend $(u_n v_n)$ ?", "options": [ { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le facteur $u_n$ se stabilise autour d'une valeur\nstrictement positive, donc le produit suit $v_n$." }, { "text": "Vers $3$", "correct": false, "feedback": "La limite de $u_n$ seule : le second facteur devient arbitrairement\ngrand et emporte le produit." }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Aucun facteur ne tend vers $0$ : la forme $0 \\times \\infty$ n'est pas\ncelle de cette situation." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Il n'y a pas d'indétermination ici : la limite non nulle et finie du\npremier facteur permet de conclure." } ], "explanation": "Le produit d'une suite de limite finie non nulle par une suite de limite\ninfinie tend vers l'infini, du signe du produit. Seule la limite nulle\ncréerait une indétermination." }, { "id": "q26", "difficulty": 3, "skills": [ "limites", "forme-indeterminee" ], "title": "Lever une indétermination avec une racine carrée", "partie": "limites", "statement": "Vers quoi tend la suite définie par $u_n = \\sqrt{n^2 + 4n} - n$ ?", "options": [ { "text": "Vers $2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en multipliant et en divisant par $\\sqrt{n^2+4n} + n$, on obtient $\\dfrac{4n}{\\sqrt{n^2+4n} + n}$, dont le dénominateur se comporte comme $2n$.\n" }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Estimation trompeuse : les deux termes se rapprochent, mais leur écart\nse stabilise au lieu de s'annuler. Pour $n = 10^6$, l'écart vaut déjà\npresque exactement $2$." }, { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Le calcul pour $n = 10\\,000$ donne environ $2$, très loin de\nl'infini." }, { "text": "Vers $4$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur oublié : le numérateur vaut $4n$, mais il reste à le\ndiviser par une quantité équivalente à $2n$." } ], "explanation": "Une différence de la forme $\\infty - \\infty$ contenant une racine carrée se transforme en quotient : on multiplie et on divise par la somme $\\sqrt{n^2+4n} + n$, puis on utilise $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$." }, { "id": "q27", "difficulty": 2, "skills": [ "recurrence", "methode" ], "title": "Ce que démontre l'hérédité", "partie": "recurrence", "statement": "Dans un raisonnement par récurrence, que démontre exactement l'étape\nd'hérédité ?", "options": [ { "text": "Que la propriété se transmet d'un rang au suivant", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on suppose la propriété vraie à un rang quelconque et\nl'on établit qu'elle l'est encore au rang suivant." }, { "text": "Que la propriété est vraie pour tout entier", "correct": false, "feedback": "C'est la conclusion, qui exige aussi l'initialisation : sans elle, la\ntransmission ne démarre jamais." }, { "text": "Que la propriété est vraie au premier rang", "correct": false, "feedback": "C'est l'initialisation, une étape distincte et tout aussi\nindispensable." }, { "text": "Que la suite converge", "correct": false, "feedback": "La récurrence démontre une propriété à chaque rang ; la convergence\ndemande un autre argument." } ], "explanation": "Une récurrence comporte deux étapes indissociables : l'initialisation, qui\namorce, et l'hérédité, qui propage. Chacune sans l'autre ne démontre rien." }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "convergence", "monotonie" ], "title": "Une suite croissante non majorée", "partie": "limites", "statement": "Que peut-on dire d'une suite croissante et non majorée ?", "options": [ { "text": "Elle tend vers $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ne pas être majorée signifie dépasser tout nombre\nfixé, et la croissance garantit qu'elle n'y revient pas." }, { "text": "Elle converge vers son plus grand terme", "correct": false, "feedback": "Une suite croissante non majorée n'a pas de plus grand terme : chaque\nterme est dépassé par le suivant." }, { "text": "Elle diverge sans limite", "correct": false, "feedback": "La divergence est ici orientée : la suite a bien une limite, infinie." }, { "text": "On ne peut pas conclure sans son expression", "correct": false, "feedback": "Les deux hypothèses suffisent, quelle que soit la formule de la suite." } ], "explanation": "Le théorème de la limite monotone distingue deux cas : croissante et\nmajorée, la suite converge ; croissante et non majorée, elle tend vers\n$+\\infty$." }, { "id": "q29", "difficulty": 2, "skills": [ "limites", "quotient" ], "title": "Quotient dominé par le degré", "partie": "limites", "statement": "Vers quoi tend la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{6n^2 + 5}{2n^2 - n}$ ?", "options": [ { "text": "Vers $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $n^2$ en haut et en bas, et les termes\nrestants tendent vers $0$." }, { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Les deux degrés étant égaux, le quotient se stabilise au lieu de\ncroître." }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Ce serait le cas si le degré du dénominateur dépassait celui du\nnumérateur." }, { "text": "Vers $6$", "correct": false, "feedback": "Coefficient du dénominateur oublié : la limite est le quotient des\ndeux coefficients dominants." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, la limite se lit sur les termes de\nplus haut degré. À degrés égaux, c'est le quotient des coefficients\ndominants.", "variants": [ { "statement": "Vers quoi tend la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{6n^2 + 5}{2n^2 - n}$ ?", "options": [ { "text": "Vers $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $n^2$ en haut et en bas, et les termes\nrestants tendent vers $0$." }, { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Les deux degrés étant égaux, le quotient se stabilise au lieu de\ncroître." }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Ce serait le cas si le degré du dénominateur dépassait celui du\nnumérateur." }, { "text": "Vers $6$", "correct": false, "feedback": "Coefficient du dénominateur oublié : la limite est le quotient des\ndeux coefficients dominants." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, la limite se lit sur les termes de\nplus haut degré. À degrés égaux, c'est le quotient des coefficients\ndominants." }, { "statement": "Vers quoi tend la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{8n^2 + 5}{4n^2 - n}$ ?", "options": [ { "text": "Vers $2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $n^2$ en haut et en bas, et les termes\nrestants tendent vers $0$." }, { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Les deux degrés étant égaux, le quotient se stabilise au lieu de\ncroître." }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Ce serait le cas si le degré du dénominateur dépassait celui du\nnumérateur." }, { "text": "Vers $8$", "correct": false, "feedback": "Coefficient du dénominateur oublié : la limite est le quotient des\ndeux coefficients dominants." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, la limite se lit sur les termes de\nplus haut degré. À degrés égaux, c'est le quotient des coefficients\ndominants." }, { "statement": "Vers quoi tend la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{10n^2 + 5}{2n^2 - n}$ ?", "options": [ { "text": "Vers $5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $n^2$ en haut et en bas, et les termes\nrestants tendent vers $0$." }, { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Les deux degrés étant égaux, le quotient se stabilise au lieu de\ncroître." }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Ce serait le cas si le degré du dénominateur dépassait celui du\nnumérateur." }, { "text": "Vers $10$", "correct": false, "feedback": "Coefficient du dénominateur oublié : la limite est le quotient des\ndeux coefficients dominants." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, la limite se lit sur les termes de\nplus haut degré. À degrés égaux, c'est le quotient des coefficients\ndominants." }, { "statement": "Vers quoi tend la suite définie par\n$u_n = \\dfrac{12n^2 + 5}{3n^2 - n}$ ?", "options": [ { "text": "Vers $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $n^2$ en haut et en bas, et les termes\nrestants tendent vers $0$." }, { "text": "Vers $+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Les deux degrés étant égaux, le quotient se stabilise au lieu de\ncroître." }, { "text": "Vers $0$", "correct": false, "feedback": "Ce serait le cas si le degré du dénominateur dépassait celui du\nnumérateur." }, { "text": "Vers $12$", "correct": false, "feedback": "Coefficient du dénominateur oublié : la limite est le quotient des\ndeux coefficients dominants." } ], "explanation": "Pour un quotient de polynômes en $n$, la limite se lit sur les termes de\nplus haut degré. À degrés égaux, c'est le quotient des coefficients\ndominants." } ] }, { "id": "q30", "difficulty": 3, "skills": [ "suites", "recurrence", "convergence" ], "title": "Limite d'une suite définie par récurrence", "partie": "limites", "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, et converge\nvers $\\ell$. Quelle équation $\\ell$ vérifie-t-il ?", "options": [ { "text": "$f(\\ell) = \\ell$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on passe à la limite des deux côtés de la relation, ce\nque la continuité de $f$ autorise." }, { "text": "$f(\\ell) = 0$", "correct": false, "feedback": "Cette équation donnerait les racines de $f$, sans rapport avec le\npoint fixe cherché." }, { "text": "$f'(\\ell) = 0$", "correct": false, "feedback": "La dérivée intervient pour étudier la vitesse de convergence, pas pour\nidentifier la limite." }, { "text": "$\\ell = 0$", "correct": false, "feedback": "Aucune raison : la suite définie par $u_{n+1} = \\dfrac{u_n + 2}{2}$\nconverge vers $2$." } ], "explanation": "Si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge et si $f$ est\ncontinue, sa limite est un point fixe de $f$. L'existence de la limite doit\nêtre établie séparément." }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "operations-limites", "somme" ], "title": "Limite d'une somme de suites convergentes", "partie": "operations", "statement": "Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $3$ et\n$5$. Vers quoi converge la suite $(u_n + v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand les deux limites sont finies, la limite de la\nsomme est la somme des limites, soit $3 + 5 = 8$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $3 \\times 5 = 15$ serait la limite\ndu produit $(u_nv_n)$, pas celle de la somme." }, { "text": "$-2$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : c'est la suite $(u_n - v_n)$ qui tendrait vers\n$3 - 5 = -2$. Ici les deux termes s'ajoutent." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Les deux limites sont finies : il n'y a aucune forme indéterminée,\nle théorème sur la somme s'applique directement." } ], "explanation": "Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites finies $\\ell$ et $\\ell'$, alors\n$(u_n + v_n)$ converge vers $\\ell + \\ell'$. Seule la rencontre de\n$+\\infty$ et de $-\\infty$ crée une indétermination.", "variants": [ { "statement": "Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $3$ et\n$5$. Vers quoi converge la suite $(u_n + v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand les deux limites sont finies, la limite de la\nsomme est la somme des limites, soit $3 + 5 = 8$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $3 \\times 5 = 15$ serait la limite\ndu produit $(u_nv_n)$, pas celle de la somme." }, { "text": "$-2$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : c'est la suite $(u_n - v_n)$ qui tendrait vers\n$3 - 5 = -2$. Ici les deux termes s'ajoutent." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Les deux limites sont finies : il n'y a aucune forme indéterminée,\nle théorème sur la somme s'applique directement." } ], "explanation": "Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites finies $\\ell$ et $\\ell'$, alors\n$(u_n + v_n)$ converge vers $\\ell + \\ell'$. Seule la rencontre de\n$+\\infty$ et de $-\\infty$ crée une indétermination." }, { "statement": "Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $-2$ et\n$7$. Vers quoi converge la suite $(u_n + v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand les deux limites sont finies, la limite de la\nsomme est la somme des limites, soit $-2 + 7 = 5$." }, { "text": "$-14$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $-2 \\times 7 = -14$ serait la limite\ndu produit $(u_nv_n)$, pas celle de la somme." }, { "text": "$-9$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : c'est la suite $(u_n - v_n)$ qui tendrait vers\n$-2 - 7 = -9$. Ici les deux termes s'ajoutent." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Les deux limites sont finies : il n'y a aucune forme indéterminée,\nle théorème sur la somme s'applique directement." } ], "explanation": "Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites finies $\\ell$ et $\\ell'$, alors\n$(u_n + v_n)$ converge vers $\\ell + \\ell'$. Seule la rencontre de\n$+\\infty$ et de $-\\infty$ crée une indétermination." }, { "statement": "Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $4$ et\n$-6$. Vers quoi converge la suite $(u_n + v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$-2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand les deux limites sont finies, la limite de la\nsomme est la somme des limites, soit $4 + -6 = -2$." }, { "text": "$-24$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $4 \\times -6 = -24$ serait la limite\ndu produit $(u_nv_n)$, pas celle de la somme." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : c'est la suite $(u_n - v_n)$ qui tendrait vers\n$4 - -6 = 10$. Ici les deux termes s'ajoutent." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Les deux limites sont finies : il n'y a aucune forme indéterminée,\nle théorème sur la somme s'applique directement." } ], "explanation": "Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites finies $\\ell$ et $\\ell'$, alors\n$(u_n + v_n)$ converge vers $\\ell + \\ell'$. Seule la rencontre de\n$+\\infty$ et de $-\\infty$ crée une indétermination." }, { "statement": "Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent respectivement vers $7$ et\n$-1$. Vers quoi converge la suite $(u_n + v_n)$ ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand les deux limites sont finies, la limite de la\nsomme est la somme des limites, soit $7 + -1 = 6$." }, { "text": "$-7$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $7 \\times -1 = -7$ serait la limite\ndu produit $(u_nv_n)$, pas celle de la somme." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : c'est la suite $(u_n - v_n)$ qui tendrait vers\n$7 - -1 = 8$. Ici les deux termes s'ajoutent." }, { "text": "On ne peut pas conclure", "correct": false, "feedback": "Les deux limites sont finies : il n'y a aucune forme indéterminée,\nle théorème sur la somme s'applique directement." } ], "explanation": "Si $(u_n)$ et $(v_n)$ ont pour limites finies $\\ell$ et $\\ell'$, alors\n$(u_n + v_n)$ converge vers $\\ell + \\ell'$. Seule la rencontre de\n$+\\infty$ et de $-\\infty$ crée une indétermination." } ] }, { "id": "q32", "difficulty": 1, "skills": [ "definition-convergence", "convergence" ], "title": "Sens de « converge vers $\\ell$ »", "partie": "limites", "statement": "Que signifie « la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\\ell$ » ?", "options": [ { "text": "Tout intervalle ouvert contenant $\\ell$ contient tous les termes\nà partir d'un rang", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aussi petit que soit l'intervalle choisi autour de\n$\\ell$, la suite finit par y entrer et ne plus en sortir." }, { "text": "À partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont\nexactement égaux à $\\ell$", "correct": false, "feedback": "Condition bien trop forte : $u_n = \\dfrac{1}{n}$ converge vers $0$\nsans jamais valoir $0$. La suite s'approche, elle n'atteint pas." }, { "text": "Une infinité de termes de la suite sont aussi proches que l'on\nveut de $\\ell$", "correct": false, "feedback": "Quantificateur trop faible : la suite $0, 1, 0, 2, 0, 3, \\ldots$\napproche $0$ une infinité de fois sans converger vers $0$." }, { "text": "La suite est croissante et $\\ell$ est le plus petit de ses\nmajorants", "correct": false, "feedback": "Cas particulier seulement : une suite convergente n'a aucune\nraison d'être monotone, comme $u_n = \\dfrac{(-1)^n}{n}$." } ], "explanation": "Converger vers $\\ell$, c'est vérifier que tout intervalle ouvert\ncontenant $\\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un\ncertain rang. L'ordre des quantificateurs fait toute la définition." }, { "id": "q33", "difficulty": 1, "skills": [ "q-negatif", "suite-geometrique" ], "title": "Limite de $q^n$ pour $-1 < q < 0$", "partie": "limites", "statement": "Quelle est la limite de la suite définie par $u_n = (-0{,}4)^n$ ?", "options": [ { "text": "$0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|-0{,}4| = 0{,}4 < 1$, donc les puissances\ns'écrasent vers $0$ en changeant de signe à chaque rang." }, { "text": "$-0{,}4$", "correct": false, "feedback": "C'est le terme $u_1$, pas la limite : les termes suivants\ncontinuent de se rapprocher de $0$." }, { "text": "$-\\infty$", "correct": false, "feedback": "Tous les termes restent compris entre $-1$ et $1$ : la suite est\nbornée, elle ne peut pas partir vers l'infini." }, { "text": "Pas de limite", "correct": false, "feedback": "L'alternance de signe n'empêche pas la convergence ici, car\nl'amplitude $0{,}4^n$ tend vers $0$." } ], "explanation": "Le critère porte sur la valeur absolue : $|q| < 1$ donne\n$q^n \\to 0$, signe alterné ou non. C'est seulement à partir de\n$q \\leq -1$ que la suite n'a plus de limite." }, { "id": "q34", "difficulty": 1, "skills": [ "somme-arithmetique", "suites" ], "title": "Calculer une somme d'entiers consécutifs", "partie": "limites", "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 20$ ?", "options": [ { "text": "$210$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{20 \\times 21}{2}$, soit $210$." }, { "text": "$190$", "correct": false, "feedback": "Dernier terme oublié : $190$ est la somme\n$1 + 2 + \\cdots + 19$, il manque $20$." }, { "text": "$400$", "correct": false, "feedback": "Confusion de formule : $20^2 = 400$ est la somme des $20$\npremiers nombres impairs, pas celle des entiers consécutifs." }, { "text": "$420$", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : $20 \\times 21 = 420$\ncompte chaque paire deux fois." } ], "explanation": "La somme des $n$ premiers entiers vaut $\\dfrac{n(n+1)}{2}$ : premier\nplus dernier, multiplié par le nombre de termes, divisé par $2$. Ici\n$\\dfrac{20 \\times 21}{2} = 210$.", "variants": [ { "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 20$ ?", "options": [ { "text": "$210$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{20 \\times 21}{2}$, soit $210$." }, { "text": "$190$", "correct": false, "feedback": "Dernier terme oublié : $190$ est la somme\n$1 + 2 + \\cdots + 19$, il manque $20$." }, { "text": "$400$", "correct": false, "feedback": "Confusion de formule : $20^2 = 400$ est la somme des $20$\npremiers nombres impairs, pas celle des entiers consécutifs." }, { "text": "$420$", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : $20 \\times 21 = 420$\ncompte chaque paire deux fois." } ], "explanation": "La somme des $n$ premiers entiers vaut $\\dfrac{n(n+1)}{2}$ : premier\nplus dernier, multiplié par le nombre de termes, divisé par $2$. Ici\n$\\dfrac{20 \\times 21}{2} = 210$." }, { "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 30$ ?", "options": [ { "text": "$465$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{30 \\times 31}{2}$, soit $465$." }, { "text": "$435$", "correct": false, "feedback": "Dernier terme oublié : $435$ est la somme\n$1 + 2 + \\cdots + 29$, il manque $30$." }, { "text": "$900$", "correct": false, "feedback": "Confusion de formule : $30^2 = 900$ est la somme des $30$\npremiers nombres impairs, pas celle des entiers consécutifs." }, { "text": "$930$", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : $30 \\times 31 = 930$\ncompte chaque paire deux fois." } ], "explanation": "La somme des $n$ premiers entiers vaut $\\dfrac{n(n+1)}{2}$ : premier\nplus dernier, multiplié par le nombre de termes, divisé par $2$. Ici\n$\\dfrac{30 \\times 31}{2} = 465$." }, { "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 50$ ?", "options": [ { "text": "$1275$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{50 \\times 51}{2}$, soit $1275$." }, { "text": "$1225$", "correct": false, "feedback": "Dernier terme oublié : $1225$ est la somme\n$1 + 2 + \\cdots + 49$, il manque $50$." }, { "text": "$2500$", "correct": false, "feedback": "Confusion de formule : $50^2 = 2500$ est la somme des $50$\npremiers nombres impairs, pas celle des entiers consécutifs." }, { "text": "$2550$", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : $50 \\times 51 = 2550$\ncompte chaque paire deux fois." } ], "explanation": "La somme des $n$ premiers entiers vaut $\\dfrac{n(n+1)}{2}$ : premier\nplus dernier, multiplié par le nombre de termes, divisé par $2$. Ici\n$\\dfrac{50 \\times 51}{2} = 1275$." }, { "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 15$ ?", "options": [ { "text": "$120$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule donne\n$\\dfrac{15 \\times 16}{2}$, soit $120$." }, { "text": "$105$", "correct": false, "feedback": "Dernier terme oublié : $105$ est la somme\n$1 + 2 + \\cdots + 14$, il manque $15$." }, { "text": "$225$", "correct": false, "feedback": "Confusion de formule : $15^2 = 225$ est la somme des $15$\npremiers nombres impairs, pas celle des entiers consécutifs." }, { "text": "$240$", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : $15 \\times 16 = 240$\ncompte chaque paire deux fois." } ], "explanation": "La somme des $n$ premiers entiers vaut $\\dfrac{n(n+1)}{2}$ : premier\nplus dernier, multiplié par le nombre de termes, divisé par $2$. Ici\n$\\dfrac{15 \\times 16}{2} = 120$." } ] }, { "id": "q35", "difficulty": 1, "skills": [ "limite-infinie", "divergence" ], "title": "Reconnaître une suite de limite $-\\infty$", "partie": "limites", "statement": "Parmi les suites suivantes, laquelle tend vers $-\\infty$ ?", "options": [ { "text": "$u_n = 7 - n^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $n^2 \\to +\\infty$, donc $7 - n^2$ descend sous\ntout seuil fixé à l'avance." }, { "text": "$u_n = \\dfrac{1}{n} - 7$", "correct": false, "feedback": "Cette suite converge vers $-7$ : le terme $\\dfrac{1}{n}$ s'efface,\nil ne fait pas plonger la suite." }, { "text": "$u_n = (-1)^n \\times n$", "correct": false, "feedback": "Elle n'a aucune limite : les rangs pairs montent vers $+\\infty$\npendant que les rangs impairs descendent." }, { "text": "$u_n = \\dfrac{-7n}{n + 1}$", "correct": false, "feedback": "Quotient de deux polynômes de même degré : la suite converge vers\n$-7$, elle reste bornée." } ], "explanation": "Tendre vers $-\\infty$ signifie passer définitivement sous tout réel\nfixé. Une suite bornée, même négative, ne le fait jamais, et une suite\nqui oscille en s'amplifiant n'a pas de limite du tout." }, { "id": "q36", "difficulty": 2, "skills": [ "quotient", "operations-limites" ], "title": "Limite d'un quotient de suites convergentes", "partie": "operations", "statement": "On sait que $\\lim u_n = 6$ et que $\\lim v_n = 4$. Que vaut\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite du dénominateur n'est pas nulle, donc la\nlimite du quotient est le quotient des limites, $\\dfrac{3}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : $\\dfrac{2}{3}$ est la limite de\n$\\dfrac{v_n}{u_n}$. L'ordre des deux suites compte." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $6 - 4 = 2$ est la limite de la\ndifférence, pas celle du quotient." }, { "text": "$24$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $6 \\times 4 = 24$ est la limite\ndu produit $(u_nv_n)$." } ], "explanation": "Tant que la limite du dénominateur est finie et non nulle, le quotient\ndes suites converge vers le quotient des limites. La forme\nindéterminée n'apparaît que si les deux limites sont nulles ou\ninfinies.", "variants": [ { "statement": "On sait que $\\lim u_n = 6$ et que $\\lim v_n = 4$. Que vaut\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite du dénominateur n'est pas nulle, donc la\nlimite du quotient est le quotient des limites, $\\dfrac{3}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : $\\dfrac{2}{3}$ est la limite de\n$\\dfrac{v_n}{u_n}$. L'ordre des deux suites compte." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $6 - 4 = 2$ est la limite de la\ndifférence, pas celle du quotient." }, { "text": "$24$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $6 \\times 4 = 24$ est la limite\ndu produit $(u_nv_n)$." } ], "explanation": "Tant que la limite du dénominateur est finie et non nulle, le quotient\ndes suites converge vers le quotient des limites. La forme\nindéterminée n'apparaît que si les deux limites sont nulles ou\ninfinies." }, { "statement": "On sait que $\\lim u_n = 3$ et que $\\lim v_n = 5$. Que vaut\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite du dénominateur n'est pas nulle, donc la\nlimite du quotient est le quotient des limites, $\\dfrac{3}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : $\\dfrac{5}{3}$ est la limite de\n$\\dfrac{v_n}{u_n}$. L'ordre des deux suites compte." }, { "text": "$-2$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $3 - 5 = -2$ est la limite de la\ndifférence, pas celle du quotient." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $3 \\times 5 = 15$ est la limite\ndu produit $(u_nv_n)$." } ], "explanation": "Tant que la limite du dénominateur est finie et non nulle, le quotient\ndes suites converge vers le quotient des limites. La forme\nindéterminée n'apparaît que si les deux limites sont nulles ou\ninfinies." }, { "statement": "On sait que $\\lim u_n = 8$ et que $\\lim v_n = -2$. Que vaut\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$ ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite du dénominateur n'est pas nulle, donc la\nlimite du quotient est le quotient des limites, $-4$." }, { "text": "$-\\dfrac{1}{4}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : $-\\dfrac{1}{4}$ est la limite de\n$\\dfrac{v_n}{u_n}$. L'ordre des deux suites compte." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $8 - -2 = 10$ est la limite de la\ndifférence, pas celle du quotient." }, { "text": "$-16$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $8 \\times -2 = -16$ est la limite\ndu produit $(u_nv_n)$." } ], "explanation": "Tant que la limite du dénominateur est finie et non nulle, le quotient\ndes suites converge vers le quotient des limites. La forme\nindéterminée n'apparaît que si les deux limites sont nulles ou\ninfinies." }, { "statement": "On sait que $\\lim u_n = -9$ et que $\\lim v_n = 6$. Que vaut\n$\\lim \\dfrac{u_n}{v_n}$ ?", "options": [ { "text": "$-\\dfrac{3}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la limite du dénominateur n'est pas nulle, donc la\nlimite du quotient est le quotient des limites, $-\\dfrac{3}{2}$." }, { "text": "$-\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : $-\\dfrac{2}{3}$ est la limite de\n$\\dfrac{v_n}{u_n}$. L'ordre des deux suites compte." }, { "text": "$-15$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $-9 - 6 = -15$ est la limite de la\ndifférence, pas celle du quotient." }, { "text": "$-54$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $-9 \\times 6 = -54$ est la limite\ndu produit $(u_nv_n)$." } ], "explanation": "Tant que la limite du dénominateur est finie et non nulle, le quotient\ndes suites converge vers le quotient des limites. La forme\nindéterminée n'apparaît que si les deux limites sont nulles ou\ninfinies." } ] }, { "id": "q37", "difficulty": 2, "skills": [ "produit", "limites" ], "title": "Limite d'un produit terme à terme", "partie": "operations", "statement": "Pour $n \\geq 1$, on pose $u_n = 3 + \\dfrac{2}{n}$ et\n$v_n = 5 - \\dfrac{4}{n}$. Quelle est la limite du produit\n$(u_nv_n)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n \\to 3$ et $v_n \\to 5$, donc le produit\nconverge vers $3 \\times 5 = 15$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $3 + 5 = 8$ est la limite de la\nsomme $(u_n + v_n)$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $4$ appartient à la partie qui s'efface,\nseuls $3$ et $5$ subsistent à la limite." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $2$ est divisé par $n$, il tend vers $0$\net ne figure pas dans la limite." } ], "explanation": "On détermine d'abord la limite de chaque facteur, puis on multiplie :\nles termes en $\\dfrac{1}{n}$ disparaissent et il reste\n$3 \\times 5$.", "variants": [ { "statement": "Pour $n \\geq 1$, on pose $u_n = 3 + \\dfrac{2}{n}$ et\n$v_n = 5 - \\dfrac{4}{n}$. Quelle est la limite du produit\n$(u_nv_n)$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n \\to 3$ et $v_n \\to 5$, donc le produit\nconverge vers $3 \\times 5 = 15$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $3 + 5 = 8$ est la limite de la\nsomme $(u_n + v_n)$." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $4$ appartient à la partie qui s'efface,\nseuls $3$ et $5$ subsistent à la limite." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $2$ est divisé par $n$, il tend vers $0$\net ne figure pas dans la limite." } ], "explanation": "On détermine d'abord la limite de chaque facteur, puis on multiplie :\nles termes en $\\dfrac{1}{n}$ disparaissent et il reste\n$3 \\times 5$." }, { "statement": "Pour $n \\geq 1$, on pose $u_n = 4 + \\dfrac{5}{n}$ et\n$v_n = 2 - \\dfrac{7}{n}$. Quelle est la limite du produit\n$(u_nv_n)$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n \\to 4$ et $v_n \\to 2$, donc le produit\nconverge vers $4 \\times 2 = 8$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $4 + 2 = 6$ est la limite de la\nsomme $(u_n + v_n)$." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $7$ appartient à la partie qui s'efface,\nseuls $4$ et $2$ subsistent à la limite." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $5$ est divisé par $n$, il tend vers $0$\net ne figure pas dans la limite." } ], "explanation": "On détermine d'abord la limite de chaque facteur, puis on multiplie :\nles termes en $\\dfrac{1}{n}$ disparaissent et il reste\n$4 \\times 2$." }, { "statement": "Pour $n \\geq 1$, on pose $u_n = 2 + \\dfrac{3}{n}$ et\n$v_n = 6 - \\dfrac{5}{n}$. Quelle est la limite du produit\n$(u_nv_n)$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n \\to 2$ et $v_n \\to 6$, donc le produit\nconverge vers $2 \\times 6 = 12$." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $2 + 6 = 8$ est la limite de la\nsomme $(u_n + v_n)$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $5$ appartient à la partie qui s'efface,\nseuls $2$ et $6$ subsistent à la limite." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $3$ est divisé par $n$, il tend vers $0$\net ne figure pas dans la limite." } ], "explanation": "On détermine d'abord la limite de chaque facteur, puis on multiplie :\nles termes en $\\dfrac{1}{n}$ disparaissent et il reste\n$2 \\times 6$." }, { "statement": "Pour $n \\geq 1$, on pose $u_n = 5 + \\dfrac{4}{n}$ et\n$v_n = 4 - \\dfrac{3}{n}$. Quelle est la limite du produit\n$(u_nv_n)$ ?", "options": [ { "text": "$20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n \\to 5$ et $v_n \\to 4$, donc le produit\nconverge vers $5 \\times 4 = 20$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Opération confondue : $5 + 4 = 9$ est la limite de la\nsomme $(u_n + v_n)$." }, { "text": "$15$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $3$ appartient à la partie qui s'efface,\nseuls $5$ et $4$ subsistent à la limite." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Termes mal appariés : $4$ est divisé par $n$, il tend vers $0$\net ne figure pas dans la limite." } ], "explanation": "On détermine d'abord la limite de chaque facteur, puis on multiplie :\nles termes en $\\dfrac{1}{n}$ disparaissent et il reste\n$5 \\times 4$." } ] }, { "id": "q38", "difficulty": 2, "skills": [ "encadrement", "gendarmes" ], "title": "Conclure par encadrement", "partie": "theoremes", "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, une suite $(u_n)$ vérifie\n$\\dfrac{6n - 1}{2n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{6n + 1}{2n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes s'écrivent\n$\\dfrac{6}{2} \\mp \\dfrac{1}{2n}$ et tendent toutes les\ndeux vers $3$, donc $(u_n)$ aussi." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : le coefficient dominant du numérateur est\n$6$ et celui du dénominateur $2$, dans cet ordre." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Termes dominants mal choisis : $1$ est une constante, elle\ndevient négligeable devant $6n$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $u_n$", "correct": false, "feedback": "C'est justement l'intérêt du théorème d'encadrement : deux bornes\nde même limite suffisent, l'expression de $u_n$ est inutile." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : deux suites encadrantes de même limite\nimposent cette limite à la suite encadrée. Ici les deux bornes\nconvergent vers $3$.", "variants": [ { "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, une suite $(u_n)$ vérifie\n$\\dfrac{6n - 1}{2n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{6n + 1}{2n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes s'écrivent\n$\\dfrac{6}{2} \\mp \\dfrac{1}{2n}$ et tendent toutes les\ndeux vers $3$, donc $(u_n)$ aussi." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : le coefficient dominant du numérateur est\n$6$ et celui du dénominateur $2$, dans cet ordre." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Termes dominants mal choisis : $1$ est une constante, elle\ndevient négligeable devant $6n$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $u_n$", "correct": false, "feedback": "C'est justement l'intérêt du théorème d'encadrement : deux bornes\nde même limite suffisent, l'expression de $u_n$ est inutile." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : deux suites encadrantes de même limite\nimposent cette limite à la suite encadrée. Ici les deux bornes\nconvergent vers $3$." }, { "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, une suite $(u_n)$ vérifie\n$\\dfrac{5n - 3}{4n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{5n + 3}{4n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{5}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes s'écrivent\n$\\dfrac{5}{4} \\mp \\dfrac{3}{4n}$ et tendent toutes les\ndeux vers $\\dfrac{5}{4}$, donc $(u_n)$ aussi." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : le coefficient dominant du numérateur est\n$5$ et celui du dénominateur $4$, dans cet ordre." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Termes dominants mal choisis : $3$ est une constante, elle\ndevient négligeable devant $5n$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $u_n$", "correct": false, "feedback": "C'est justement l'intérêt du théorème d'encadrement : deux bornes\nde même limite suffisent, l'expression de $u_n$ est inutile." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : deux suites encadrantes de même limite\nimposent cette limite à la suite encadrée. Ici les deux bornes\nconvergent vers $\\dfrac{5}{4}$." }, { "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, une suite $(u_n)$ vérifie\n$\\dfrac{7n - 4}{2n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{7n + 4}{2n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{7}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes s'écrivent\n$\\dfrac{7}{2} \\mp \\dfrac{4}{2n}$ et tendent toutes les\ndeux vers $\\dfrac{7}{2}$, donc $(u_n)$ aussi." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{2}{7}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : le coefficient dominant du numérateur est\n$7$ et celui du dénominateur $2$, dans cet ordre." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $2$", "correct": false, "feedback": "Termes dominants mal choisis : $4$ est une constante, elle\ndevient négligeable devant $7n$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $u_n$", "correct": false, "feedback": "C'est justement l'intérêt du théorème d'encadrement : deux bornes\nde même limite suffisent, l'expression de $u_n$ est inutile." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : deux suites encadrantes de même limite\nimposent cette limite à la suite encadrée. Ici les deux bornes\nconvergent vers $\\dfrac{7}{2}$." }, { "statement": "Pour tout $n \\geq 1$, une suite $(u_n)$ vérifie\n$\\dfrac{8n - 3}{6n} \\leq u_n \\leq \\dfrac{8n + 3}{6n}$.\nQue peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{4}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux bornes s'écrivent\n$\\dfrac{8}{6} \\mp \\dfrac{3}{6n}$ et tendent toutes les\ndeux vers $\\dfrac{4}{3}$, donc $(u_n)$ aussi." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Quotient renversé : le coefficient dominant du numérateur est\n$8$ et celui du dénominateur $6$, dans cet ordre." }, { "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Termes dominants mal choisis : $3$ est une constante, elle\ndevient négligeable devant $8n$." }, { "text": "On ne peut rien conclure sans connaître $u_n$", "correct": false, "feedback": "C'est justement l'intérêt du théorème d'encadrement : deux bornes\nde même limite suffisent, l'expression de $u_n$ est inutile." } ], "explanation": "Théorème des gendarmes : deux suites encadrantes de même limite\nimposent cette limite à la suite encadrée. Ici les deux bornes\nconvergent vers $\\dfrac{4}{3}$." } ] }, { "id": "q39", "difficulty": 2, "skills": [ "comparaison", "raisonnement" ], "title": "Une majoration qui ne conclut pas", "partie": "operations", "statement": "Pour tout entier $n$, une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \\leq n^2$.\nQue peut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "On ne peut rien conclure sur sa limite", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_n = n^2$, $u_n = 0$ et $u_n = -n$ vérifient\ntoutes cette majoration avec trois comportements différents." }, { "text": "$(u_n)$ tend vers $+\\infty$ par comparaison", "correct": false, "feedback": "Sens du théorème inversé : pour conclure à $+\\infty$, il faut une\nminoration par une suite de limite $+\\infty$." }, { "text": "$(u_n)$ converge, car elle est majorée par $n^2$", "correct": false, "feedback": "Être majorée par une suite non bornée ne borne rien : la suite\n$u_n = n^2$ elle-même vérifie l'hypothèse et diverge." }, { "text": "$(u_n)$ est bornée, donc elle admet une limite", "correct": false, "feedback": "Double erreur : l'hypothèse ne borne pas la suite, et une suite\nbornée n'a pas forcément de limite, comme $(-1)^n$." } ], "explanation": "Les théorèmes de comparaison fonctionnent dans un seul sens :\nminorer par une suite de limite $+\\infty$ pousse vers $+\\infty$,\nmajorer par une suite de limite $-\\infty$ tire vers $-\\infty$.\nMajorer par une suite qui explose n'apprend rien." }, { "id": "q40", "difficulty": 2, "skills": [ "initialisation", "heredite" ], "title": "Initialisation à un rang non nul", "partie": "recurrence", "statement": "On veut démontrer par récurrence que $2^n > n^2$ pour tout entier\n$n \\geq 5$. Quelle inégalité faut-il vérifier à l'initialisation ?", "options": [ { "text": "$2^5 > 5^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'initialisation se fait au premier rang concerné,\nici $n = 5$, et $32 > 25$ convient." }, { "text": "$2^0 > 0^2$", "correct": false, "feedback": "Rang de départ mal choisi : la propriété n'est affirmée qu'à\npartir de $n = 5$, et elle est d'ailleurs fausse pour $n = 2$." }, { "text": "$2^n > n^2$ pour $n = 0$, $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$", "correct": false, "feedback": "Un seul rang suffit, et c'est le premier de l'intervalle\nconsidéré : les rangs antérieurs ne sont pas concernés." }, { "text": "$2^{n+1} > (n+1)^2$", "correct": false, "feedback": "Étape confondue : cette inégalité est la conclusion de\nl'hérédité, pas le point de départ de la récurrence." } ], "explanation": "L'initialisation se vérifie au plus petit rang $n_0$ pour lequel la\npropriété est annoncée, pas systématiquement en $0$. L'hérédité prend\nensuite le relais pour tous les rangs suivants." }, { "id": "q41", "difficulty": 2, "skills": [ "arithmetico-geometrique", "suite-recurrente" ], "title": "Calculer un terme d'une suite récurrente", "partie": "theoremes", "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 2u_n + 3$. Que vaut $u_2$ ?", "options": [ { "text": "$13$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 2 \\times 1 + 3 = 5$, puis\n$u_2 = 2 \\times 5 + 3 = 13$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $5$ est $u_1$. Il reste à appliquer\nune fois de plus la relation de récurrence." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Terme constant oublié : on ne multiplie pas deux fois par $2$\nsans ajouter $3$ à chaque étape." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Coefficient appliqué une seule fois : $3$ a bien été ajouté\ndeux fois, mais $2$ doit aussi agir sur $u_1$ tout entier." } ], "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : on\napplique la relation une fois pour obtenir $u_1$, puis une seconde\nfois en partant de $u_1$ pour obtenir $u_2$.", "variants": [ { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 2u_n + 3$. Que vaut $u_2$ ?", "options": [ { "text": "$13$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 2 \\times 1 + 3 = 5$, puis\n$u_2 = 2 \\times 5 + 3 = 13$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $5$ est $u_1$. Il reste à appliquer\nune fois de plus la relation de récurrence." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Terme constant oublié : on ne multiplie pas deux fois par $2$\nsans ajouter $3$ à chaque étape." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Coefficient appliqué une seule fois : $3$ a bien été ajouté\ndeux fois, mais $2$ doit aussi agir sur $u_1$ tout entier." } ], "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : on\napplique la relation une fois pour obtenir $u_1$, puis une seconde\nfois en partant de $u_1$ pour obtenir $u_2$." }, { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 3u_n - 1$. Que vaut $u_2$ ?", "options": [ { "text": "$14$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 3 \\times 2 - 1 = 5$, puis\n$u_2 = 3 \\times 5 - 1 = 14$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $5$ est $u_1$. Il reste à appliquer\nune fois de plus la relation de récurrence." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Terme constant oublié : on ne multiplie pas deux fois par $3$\nsans ajouter $-1$ à chaque étape." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Coefficient appliqué une seule fois : $-1$ a bien été ajouté\ndeux fois, mais $3$ doit aussi agir sur $u_1$ tout entier." } ], "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : on\napplique la relation une fois pour obtenir $u_1$, puis une seconde\nfois en partant de $u_1$ pour obtenir $u_2$." }, { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 4u_n + 2$. Que vaut $u_2$ ?", "options": [ { "text": "$26$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 4 \\times 1 + 2 = 6$, puis\n$u_2 = 4 \\times 6 + 2 = 26$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $6$ est $u_1$. Il reste à appliquer\nune fois de plus la relation de récurrence." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Terme constant oublié : on ne multiplie pas deux fois par $4$\nsans ajouter $2$ à chaque étape." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Coefficient appliqué une seule fois : $2$ a bien été ajouté\ndeux fois, mais $4$ doit aussi agir sur $u_1$ tout entier." } ], "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : on\napplique la relation une fois pour obtenir $u_1$, puis une seconde\nfois en partant de $u_1$ pour obtenir $u_2$." }, { "statement": "Une suite est définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier $n$,\n$u_{n+1} = 2u_n - 5$. Que vaut $u_2$ ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 2 \\times 4 - 5 = 3$, puis\n$u_2 = 2 \\times 3 - 5 = 1$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Calcul arrêté trop tôt : $3$ est $u_1$. Il reste à appliquer\nune fois de plus la relation de récurrence." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "Terme constant oublié : on ne multiplie pas deux fois par $2$\nsans ajouter $-5$ à chaque étape." }, { "text": "$-2$", "correct": false, "feedback": "Coefficient appliqué une seule fois : $-5$ a bien été ajouté\ndeux fois, mais $2$ doit aussi agir sur $u_1$ tout entier." } ], "explanation": "Une suite définie par récurrence se calcule de proche en proche : on\napplique la relation une fois pour obtenir $u_1$, puis une seconde\nfois en partant de $u_1$ pour obtenir $u_2$." } ] }, { "id": "q42", "difficulty": 2, "skills": [ "monotonie", "suite-geometrique", "q-superieur-1" ], "title": "Sens de variation d'une suite géométrique", "partie": "theoremes", "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $q = 2$. Quel est son sens de variation ?", "options": [ { "text": "Elle est croissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier terme $3$ est positif et la raison\nvaut $2$, donc la suite est croissante." }, { "text": "Elle est décroissante", "correct": false, "feedback": "Comparaison de la raison à $1$ inversée : avec $q = 2$ et un\npremier terme positif, la suite est croissante." }, { "text": "Elle est constante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique n'est constante que si sa raison vaut $1$\nou si son premier terme est nul." }, { "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique de raison strictement positive garde le\nmême signe et reste monotone." } ], "explanation": "Pour une suite géométrique de premier terme positif : raison\nsupérieure à $1$, la suite croît ; raison comprise entre $0$ et $1$,\nelle décroît. Le premier terme décide du sens quand il est négatif.", "variants": [ { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $q = 2$. Quel est son sens de variation ?", "options": [ { "text": "Elle est croissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier terme $3$ est positif et la raison\nvaut $2$, donc la suite est croissante." }, { "text": "Elle est décroissante", "correct": false, "feedback": "Comparaison de la raison à $1$ inversée : avec $q = 2$ et un\npremier terme positif, la suite est croissante." }, { "text": "Elle est constante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique n'est constante que si sa raison vaut $1$\nou si son premier terme est nul." }, { "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique de raison strictement positive garde le\nmême signe et reste monotone." } ], "explanation": "Pour une suite géométrique de premier terme positif : raison\nsupérieure à $1$, la suite croît ; raison comprise entre $0$ et $1$,\nelle décroît. Le premier terme décide du sens quand il est négatif." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de\nraison $q = 0{,}5$. Quel est son sens de variation ?", "options": [ { "text": "Elle est décroissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier terme $5$ est positif et la raison\nvaut $0{,}5$, donc la suite est décroissante." }, { "text": "Elle est croissante", "correct": false, "feedback": "Comparaison de la raison à $1$ inversée : avec $q = 0{,}5$ et un\npremier terme positif, la suite est décroissante." }, { "text": "Elle est constante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique n'est constante que si sa raison vaut $1$\nou si son premier terme est nul." }, { "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique de raison strictement positive garde le\nmême signe et reste monotone." } ], "explanation": "Pour une suite géométrique de premier terme positif : raison\nsupérieure à $1$, la suite croît ; raison comprise entre $0$ et $1$,\nelle décroît. Le premier terme décide du sens quand il est négatif." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de\nraison $q = 1{,}5$. Quel est son sens de variation ?", "options": [ { "text": "Elle est croissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier terme $2$ est positif et la raison\nvaut $1{,}5$, donc la suite est croissante." }, { "text": "Elle est décroissante", "correct": false, "feedback": "Comparaison de la raison à $1$ inversée : avec $q = 1{,}5$ et un\npremier terme positif, la suite est croissante." }, { "text": "Elle est constante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique n'est constante que si sa raison vaut $1$\nou si son premier terme est nul." }, { "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique de raison strictement positive garde le\nmême signe et reste monotone." } ], "explanation": "Pour une suite géométrique de premier terme positif : raison\nsupérieure à $1$, la suite croît ; raison comprise entre $0$ et $1$,\nelle décroît. Le premier terme décide du sens quand il est négatif." }, { "statement": "Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 7$ et de\nraison $q = 0{,}8$. Quel est son sens de variation ?", "options": [ { "text": "Elle est décroissante", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier terme $7$ est positif et la raison\nvaut $0{,}8$, donc la suite est décroissante." }, { "text": "Elle est croissante", "correct": false, "feedback": "Comparaison de la raison à $1$ inversée : avec $q = 0{,}8$ et un\npremier terme positif, la suite est décroissante." }, { "text": "Elle est constante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique n'est constante que si sa raison vaut $1$\nou si son premier terme est nul." }, { "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante", "correct": false, "feedback": "Une suite géométrique de raison strictement positive garde le\nmême signe et reste monotone." } ], "explanation": "Pour une suite géométrique de premier terme positif : raison\nsupérieure à $1$, la suite croît ; raison comprise entre $0$ et $1$,\nelle décroît. Le premier terme décide du sens quand il est négatif." } ] }, { "id": "q43", "difficulty": 3, "skills": [ "formes-indeterminees", "methode" ], "title": "Lever une indétermination entre deux puissances", "partie": "operations", "statement": "Quelle est la limite de la suite définie pour $n \\geq 0$ par\n$u_n = \\dfrac{5 \\times 3^n + 7 \\times 2^n}{2 \\times 3^n + 3 \\times 2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $3^n$ en haut et en bas. Comme\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n \\to 0$, il ne reste que le quotient\ndes coefficients de $3^n$, soit $\\dfrac{5}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{7}{3}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise puissance dominante : c'est $3^n$ qui l'emporte sur\n$2^n$, donc ce sont $5$ et $2$ qui décident." }, { "text": "$\\dfrac{12}{5}$", "correct": false, "feedback": "Coefficients additionnés : les quatre termes ne jouent pas le même\nrôle, ceux en $2^n$ deviennent négligeables." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Une forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ne vaut pas $1$ d'office : il\nfaut factoriser pour lever l'indétermination." } ], "explanation": "Méthode générale : factoriser par le terme dominant, ici $3^n$, au\nnumérateur comme au dénominateur, puis simplifier. Les termes en\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ tendent vers $0$ et disparaissent.", "variants": [ { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie pour $n \\geq 0$ par\n$u_n = \\dfrac{5 \\times 3^n + 7 \\times 2^n}{2 \\times 3^n + 3 \\times 2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $3^n$ en haut et en bas. Comme\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n \\to 0$, il ne reste que le quotient\ndes coefficients de $3^n$, soit $\\dfrac{5}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{7}{3}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise puissance dominante : c'est $3^n$ qui l'emporte sur\n$2^n$, donc ce sont $5$ et $2$ qui décident." }, { "text": "$\\dfrac{12}{5}$", "correct": false, "feedback": "Coefficients additionnés : les quatre termes ne jouent pas le même\nrôle, ceux en $2^n$ deviennent négligeables." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Une forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ne vaut pas $1$ d'office : il\nfaut factoriser pour lever l'indétermination." } ], "explanation": "Méthode générale : factoriser par le terme dominant, ici $3^n$, au\nnumérateur comme au dénominateur, puis simplifier. Les termes en\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ tendent vers $0$ et disparaissent." }, { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie pour $n \\geq 0$ par\n$u_n = \\dfrac{4 \\times 3^n + 3 \\times 2^n}{6 \\times 3^n + 5 \\times 2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $3^n$ en haut et en bas. Comme\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n \\to 0$, il ne reste que le quotient\ndes coefficients de $3^n$, soit $\\dfrac{2}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise puissance dominante : c'est $3^n$ qui l'emporte sur\n$2^n$, donc ce sont $4$ et $6$ qui décident." }, { "text": "$\\dfrac{7}{11}$", "correct": false, "feedback": "Coefficients additionnés : les quatre termes ne jouent pas le même\nrôle, ceux en $2^n$ deviennent négligeables." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Une forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ne vaut pas $1$ d'office : il\nfaut factoriser pour lever l'indétermination." } ], "explanation": "Méthode générale : factoriser par le terme dominant, ici $3^n$, au\nnumérateur comme au dénominateur, puis simplifier. Les termes en\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ tendent vers $0$ et disparaissent." }, { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie pour $n \\geq 0$ par\n$u_n = \\dfrac{9 \\times 3^n + 2 \\times 2^n}{3 \\times 3^n + 7 \\times 2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $3^n$ en haut et en bas. Comme\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n \\to 0$, il ne reste que le quotient\ndes coefficients de $3^n$, soit $3$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{7}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise puissance dominante : c'est $3^n$ qui l'emporte sur\n$2^n$, donc ce sont $9$ et $3$ qui décident." }, { "text": "$\\dfrac{11}{10}$", "correct": false, "feedback": "Coefficients additionnés : les quatre termes ne jouent pas le même\nrôle, ceux en $2^n$ deviennent négligeables." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Une forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ne vaut pas $1$ d'office : il\nfaut factoriser pour lever l'indétermination." } ], "explanation": "Méthode générale : factoriser par le terme dominant, ici $3^n$, au\nnumérateur comme au dénominateur, puis simplifier. Les termes en\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ tendent vers $0$ et disparaissent." }, { "statement": "Quelle est la limite de la suite définie pour $n \\geq 0$ par\n$u_n = \\dfrac{2 \\times 3^n + 5 \\times 2^n}{8 \\times 3^n + 3 \\times 2^n}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on factorise $3^n$ en haut et en bas. Comme\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n \\to 0$, il ne reste que le quotient\ndes coefficients de $3^n$, soit $\\dfrac{1}{4}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise puissance dominante : c'est $3^n$ qui l'emporte sur\n$2^n$, donc ce sont $2$ et $8$ qui décident." }, { "text": "$\\dfrac{7}{11}$", "correct": false, "feedback": "Coefficients additionnés : les quatre termes ne jouent pas le même\nrôle, ceux en $2^n$ deviennent négligeables." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Une forme $\\dfrac{\\infty}{\\infty}$ ne vaut pas $1$ d'office : il\nfaut factoriser pour lever l'indétermination." } ], "explanation": "Méthode générale : factoriser par le terme dominant, ici $3^n$, au\nnumérateur comme au dénominateur, puis simplifier. Les termes en\n$\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^n$ tendent vers $0$ et disparaissent." } ] }, { "id": "q44", "difficulty": 3, "skills": [ "passage-limite", "inegalites" ], "title": "Une limite rendue impossible par une minoration", "partie": "theoremes", "statement": "Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \\geq 4$ pour tout entier $n$. Parmi\nles valeurs suivantes, laquelle ne peut pas être sa limite ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité passe à la limite, donc la limite\nvérifie $\\ell \\geq 4$, ce qui exclut $1$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : la suite constante égale à $4$\nvérifie l'hypothèse et converge vers $4$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : rien n'empêche la suite de rester\nau-dessus de $4$ et de converger vers $9$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Ce comportement est possible : la minoration n'interdit pas à la\nsuite de dépasser tout seuil, comme $u_n = n + 4$." } ], "explanation": "Une inégalité vérifiée à tous les rangs se transmet à la limite, sous\nforme large : de $u_n \\geq 4$ on déduit $\\ell \\geq 4$. Toute\nvaleur inférieure à $4$ est donc impossible.", "variants": [ { "statement": "Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \\geq 4$ pour tout entier $n$. Parmi\nles valeurs suivantes, laquelle ne peut pas être sa limite ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité passe à la limite, donc la limite\nvérifie $\\ell \\geq 4$, ce qui exclut $1$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : la suite constante égale à $4$\nvérifie l'hypothèse et converge vers $4$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : rien n'empêche la suite de rester\nau-dessus de $4$ et de converger vers $9$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Ce comportement est possible : la minoration n'interdit pas à la\nsuite de dépasser tout seuil, comme $u_n = n + 4$." } ], "explanation": "Une inégalité vérifiée à tous les rangs se transmet à la limite, sous\nforme large : de $u_n \\geq 4$ on déduit $\\ell \\geq 4$. Toute\nvaleur inférieure à $4$ est donc impossible." }, { "statement": "Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \\geq -2$ pour tout entier $n$. Parmi\nles valeurs suivantes, laquelle ne peut pas être sa limite ?", "options": [ { "text": "$-5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité passe à la limite, donc la limite\nvérifie $\\ell \\geq -2$, ce qui exclut $-5$." }, { "text": "$-2$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : la suite constante égale à $-2$\nvérifie l'hypothèse et converge vers $-2$." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : rien n'empêche la suite de rester\nau-dessus de $-2$ et de converger vers $3$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Ce comportement est possible : la minoration n'interdit pas à la\nsuite de dépasser tout seuil, comme $u_n = n - 2$." } ], "explanation": "Une inégalité vérifiée à tous les rangs se transmet à la limite, sous\nforme large : de $u_n \\geq -2$ on déduit $\\ell \\geq -2$. Toute\nvaleur inférieure à $-2$ est donc impossible." }, { "statement": "Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \\geq 7$ pour tout entier $n$. Parmi\nles valeurs suivantes, laquelle ne peut pas être sa limite ?", "options": [ { "text": "$2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité passe à la limite, donc la limite\nvérifie $\\ell \\geq 7$, ce qui exclut $2$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : la suite constante égale à $7$\nvérifie l'hypothèse et converge vers $7$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : rien n'empêche la suite de rester\nau-dessus de $7$ et de converger vers $20$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Ce comportement est possible : la minoration n'interdit pas à la\nsuite de dépasser tout seuil, comme $u_n = n + 7$." } ], "explanation": "Une inégalité vérifiée à tous les rangs se transmet à la limite, sous\nforme large : de $u_n \\geq 7$ on déduit $\\ell \\geq 7$. Toute\nvaleur inférieure à $7$ est donc impossible." }, { "statement": "Une suite $(u_n)$ vérifie $u_n \\geq -1$ pour tout entier $n$. Parmi\nles valeurs suivantes, laquelle ne peut pas être sa limite ?", "options": [ { "text": "$-4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'inégalité passe à la limite, donc la limite\nvérifie $\\ell \\geq -1$, ce qui exclut $-4$." }, { "text": "$-1$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : la suite constante égale à $-1$\nvérifie l'hypothèse et converge vers $-1$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Cette limite est possible : rien n'empêche la suite de rester\nau-dessus de $-1$ et de converger vers $6$." }, { "text": "$+\\infty$", "correct": false, "feedback": "Ce comportement est possible : la minoration n'interdit pas à la\nsuite de dépasser tout seuil, comme $u_n = n - 1$." } ], "explanation": "Une inégalité vérifiée à tous les rangs se transmet à la limite, sous\nforme large : de $u_n \\geq -1$ on déduit $\\ell \\geq -1$. Toute\nvaleur inférieure à $-1$ est donc impossible." } ] }, { "id": "q45", "difficulty": 3, "skills": [ "oscillation", "limites" ], "title": "Repérer la suite sans limite", "partie": "limites", "statement": "Parmi les suites suivantes, laquelle n'admet aucune limite, ni finie\nni infinie ?", "options": [ { "text": "$u_n = n \\times (-1)^n$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les rangs pairs donnent $n$ et les rangs impairs\n$-n$ : la suite s'éloigne dans les deux sens à la fois." }, { "text": "$u_n = \\dfrac{(-1)^n}{n}$", "correct": false, "feedback": "Elle converge vers $0$ : l'alternance de signe est étouffée par\nla division par $n$." }, { "text": "$u_n = (-0{,}5)^n$", "correct": false, "feedback": "Elle converge vers $0$ : la valeur absolue de la raison est\ninférieure à $1$." }, { "text": "$u_n = 1 + (-1)^n \\times \\dfrac{1}{n^2}$", "correct": false, "feedback": "Elle converge vers $1$ : le terme oscillant est encadré par\n$-\\dfrac{1}{n^2}$ et $\\dfrac{1}{n^2}$." } ], "explanation": "Une suite n'a pas de limite lorsqu'elle oscille sans se resserrer :\nl'alternance de signe seule ne suffit pas, c'est son amplitude qui\ndécide. Si elle tend vers $0$, la suite converge ; si elle grandit,\nla suite n'a pas de limite." }, { "id": "q46", "difficulty": 3, "skills": [ "recurrence", "inegalite-bernoulli" ], "title": "L'hérédité de l'inégalité de Bernoulli", "partie": "recurrence", "statement": "Soit $a > 0$. On démontre par récurrence que $(1 + a)^n \\geq 1 + na$\npour tout entier naturel $n$. On suppose $(1 + a)^n \\geq 1 + na$ pour\nun entier $n$ fixé. Quel argument permet d'en déduire\n$(1 + a)^{n+1} \\geq 1 + (n + 1)a$ ?", "options": [ { "text": "Multiplier par $1 + a > 0$, puis utiliser $na^2 \\geq 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(1 + a)^{n+1} \\geq (1 + na)(1 + a)\n= 1 + (n + 1)a + na^2$, et ce dernier nombre est supérieur ou\négal à $1 + (n + 1)a$." }, { "text": "Ajouter $a$ aux deux membres de l'inégalité supposée", "correct": false, "feedback": "Erreur : on obtient $(1 + a)^n + a \\geq 1 + (n + 1)a$, mais le\nmembre de gauche n'est pas $(1 + a)^{n+1}$." }, { "text": "Vérifier l'inégalité pour $n = 0$ et $n = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces vérifications relèvent de l'initialisation. Quelques\ncas particuliers ne démontrent pas l'hérédité." }, { "text": "Développer $(1 + a)^{n+1}$ par la formule du binôme", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce calcul direct n'utilise pas l'hypothèse de\nrécurrence ; il n'appartient pas à la démonstration demandée." } ], "explanation": "L'inégalité de Bernoulli sert à démontrer que $q^n$ tend vers\n$+\\infty$ lorsque $q > 1$ : en posant $q = 1 + a$, on a\n$q^n \\geq 1 + na$, qui tend vers $+\\infty$." }, { "id": "q47", "difficulty": 2, "skills": [ "evolution", "suite-modele" ], "title": "Modéliser une évolution avec apport constant", "partie": "limites", "statement": "Un lac contient $u_n$ tonnes de déchets au début de l'année\n$2025 + n$. Chaque année, $20\\ \\%$ des déchets sont éliminés, puis\n$6$ tonnes nouvelles sont déversées. Quelle relation modélise cette\névolution ?", "options": [ { "text": "$u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il reste $80\\ \\%$ des déchets, soit\n$0{,}8\\,u_n$, auxquels s'ajoutent $6$ tonnes." }, { "text": "$u_{n+1} = 0{,}2\\,u_n + 6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}2\\,u_n$ est la quantité éliminée, pas celle qui\nreste." }, { "text": "$u_{n+1} = 0{,}8\\,(u_n + 6)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'élimination porterait aussi sur les $6$ tonnes\nnouvelles, alors qu'elles sont déversées après." }, { "text": "$u_{n+1} = 1{,}2\\,u_n - 6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les rôles sont inversés : la quantité diminue de\n$20\\ \\%$ et augmente de $6$ tonnes." } ], "explanation": "Cette suite arithmético-géométrique converge vers le point fixe\n$\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 6$, soit $\\ell = 30$ tonnes, quelle que soit\nla quantité initiale." }, { "id": "q48", "difficulty": 1, "skills": [ "recurrence", "initialisation", "verification" ], "title": "Vérifier une initialisation", "partie": "recurrence", "statement": "On veut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel\n$n$, $2^n \\geq n + 1$. Que vaut l'étape d'initialisation ?", "options": [ { "text": "Vraie, car $2^0 = 1 \\geq 0 + 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $n = 0$, l'inégalité s'écrit $1 \\geq 1$,\nqui est vraie ; l'initialisation est faite.\n" }, { "text": "Fausse, car $2^0 = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2^0 = 1$, pas $0$.\n" }, { "text": "Fausse, car $1 > 1$ est faux", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'inégalité est large, $\\geq$ ; $1 \\geq 1$ est vraie.\n" }, { "text": "Impossible à vérifier avant l'hérédité", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'initialisation est un calcul direct, indépendant de\nl'hérédité.\n" } ], "explanation": "Initialiser, c'est vérifier la propriété au premier rang par un\ncalcul direct." }, { "id": "q49", "difficulty": 2, "skills": [ "recurrence", "hypothese", "formulation" ], "title": "Formuler l'hypothèse de récurrence", "partie": "recurrence", "statement": "La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$.\nPour démontrer par récurrence que $u_n = 2^n + 1$, quelle est\nl'hypothèse de récurrence ?", "options": [ { "text": "$u_n = 2^n + 1$ pour un entier $n$ fixé", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on suppose la propriété vraie à un rang $n$\ndonné, puis on la démontre au rang $n + 1$.\n" }, { "text": "Pour tout entier $n$, $u_n = 2^n + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : supposer la propriété pour tout $n$, c'est supposer ce\nque l'on veut démontrer.\n" }, { "text": "$u_{n+1} = 2^{n+1} + 1$, pour tout entier $n$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est ce qu'il faut **démontrer** à partir de\nl'hypothèse, pas l'hypothèse elle-même.\n" }, { "text": "$u_0 = 2$, le premier terme de la suite", "correct": false, "feedback": "Erreur : $u_0 = 2$ sert à l'initialisation, pas à l'hérédité.\n" } ], "explanation": "Hérédité : « si la propriété est vraie au rang $n$, alors elle est\nvraie au rang $n + 1$ » ; l'hypothèse porte sur un rang fixé." }, { "id": "q50", "difficulty": 3, "skills": [ "recurrence", "heredite", "calcul" ], "title": "Mener le calcul de l'hérédité", "partie": "recurrence", "statement": "Avec $u_{n+1} = 2u_n - 1$ et l'hypothèse $u_n = 2^n + 1$, que\nvaut $u_{n+1}$ ?", "options": [ { "text": "$2^{n+1} + 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{n+1} = 2(2^n + 1) - 1 = 2 \\times 2^n + 2 - 1\n= 2^{n+1} + 1$ ; la propriété est héréditaire.\n" }, { "text": "$2^{n+1} + 2$, en oubliant le $-1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le $-1$ de la relation de récurrence a été oublié.\n" }, { "text": "$2^{n+1} - 1$, le signe du $1$ changeant", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 \\times 1 - 1 = 1$, pas $-1$.\n" }, { "text": "$2^n + 1$, inchangé d'un rang à l'autre", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 \\times 2^n = 2^{n+1}$, l'exposant augmente.\n" } ], "explanation": "L'hérédité se démontre par un calcul : on injecte l'hypothèse dans\nla relation de récurrence et on retrouve la forme attendue au rang\nsuivant." }, { "id": "q51", "difficulty": 2, "skills": [ "inegalite-bernoulli", "minoration" ], "title": "Exploiter l'inégalité de Bernoulli", "partie": "recurrence", "statement": "On a démontré par récurrence que $(1 + a)^n \\geq 1 + na$ pour tout\nréel $a > 0$ et tout entier naturel $n$. Quelle minoration en\ndéduit-on pour $1{,}02^{100}$ ?", "options": [ { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $a = 0{,}02$ et $n = 100$, $1 + na = 1 + 2$." }, { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $1$ de la minoration a été oublié." }, { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 1{,}02$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette minoration est vraie mais beaucoup plus faible ;\nl'inégalité donne $1 + na$." }, { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 101$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a remplacé $1 + na$ par $1 + n$, en oubliant le\nfacteur $a$." } ], "explanation": "L'inégalité de Bernoulli sert surtout à montrer que $q^n$ tend vers\n$+\\infty$ quand $q > 1$ : $q^n \\geq 1 + n(q - 1)$.", "variants": [ { "statement": "On a démontré par récurrence que $(1 + a)^n \\geq 1 + na$ pour tout\nréel $a > 0$ et tout entier naturel $n$. Quelle minoration en\ndéduit-on pour $1{,}02^{100}$ ?", "options": [ { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $a = 0{,}02$ et $n = 100$, $1 + na = 1 + 2$." }, { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $1$ de la minoration a été oublié." }, { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 1{,}02$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette minoration est vraie mais beaucoup plus faible ;\nl'inégalité donne $1 + na$." }, { "text": "$1{,}02^{100} \\geq 101$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a remplacé $1 + na$ par $1 + n$, en oubliant le\nfacteur $a$." } ], "explanation": "L'inégalité de Bernoulli sert surtout à montrer que $q^n$ tend vers\n$+\\infty$ quand $q > 1$ : $q^n \\geq 1 + n(q - 1)$." }, { "statement": "On a démontré par récurrence que $(1 + a)^n \\geq 1 + na$ pour tout\nréel $a > 0$ et tout entier naturel $n$. Quelle minoration en\ndéduit-on pour $1{,}05^{60}$ ?", "options": [ { "text": "$1{,}05^{60} \\geq 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $a = 0{,}05$ et $n = 60$, $1 + na = 1 + 3$." }, { "text": "$1{,}05^{60} \\geq 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $1$ de la minoration a été oublié." }, { "text": "$1{,}05^{60} \\geq 1{,}05$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette minoration est vraie mais beaucoup plus faible ;\nl'inégalité donne $1 + na$." }, { "text": "$1{,}05^{60} \\geq 61$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a remplacé $1 + na$ par $1 + n$, en oubliant le\nfacteur $a$." } ], "explanation": "L'inégalité de Bernoulli sert surtout à montrer que $q^n$ tend vers\n$+\\infty$ quand $q > 1$ : $q^n \\geq 1 + n(q - 1)$." }, { "statement": "On a démontré par récurrence que $(1 + a)^n \\geq 1 + na$ pour tout\nréel $a > 0$ et tout entier naturel $n$. Quelle minoration en\ndéduit-on pour $1{,}1^{50}$ ?", "options": [ { "text": "$1{,}1^{50} \\geq 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $a = 0{,}1$ et $n = 50$, $1 + na = 1 + 5$." }, { "text": "$1{,}1^{50} \\geq 5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $1$ de la minoration a été oublié." }, { "text": "$1{,}1^{50} \\geq 1{,}1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette minoration est vraie mais beaucoup plus faible ;\nl'inégalité donne $1 + na$." }, { "text": "$1{,}1^{50} \\geq 51$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a remplacé $1 + na$ par $1 + n$, en oubliant le\nfacteur $a$." } ], "explanation": "L'inégalité de Bernoulli sert surtout à montrer que $q^n$ tend vers\n$+\\infty$ quand $q > 1$ : $q^n \\geq 1 + n(q - 1)$." }, { "statement": "On a démontré par récurrence que $(1 + a)^n \\geq 1 + na$ pour tout\nréel $a > 0$ et tout entier naturel $n$. Quelle minoration en\ndéduit-on pour $1{,}03^{200}$ ?", "options": [ { "text": "$1{,}03^{200} \\geq 7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : avec $a = 0{,}03$ et $n = 200$, $1 + na = 1 + 6$." }, { "text": "$1{,}03^{200} \\geq 6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $1$ de la minoration a été oublié." }, { "text": "$1{,}03^{200} \\geq 1{,}03$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette minoration est vraie mais beaucoup plus faible ;\nl'inégalité donne $1 + na$." }, { "text": "$1{,}03^{200} \\geq 201$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a remplacé $1 + na$ par $1 + n$, en oubliant le\nfacteur $a$." } ], "explanation": "L'inégalité de Bernoulli sert surtout à montrer que $q^n$ tend vers\n$+\\infty$ quand $q > 1$ : $q^n \\geq 1 + n(q - 1)$." } ] } ] }