{
"chapter": {
"id": "vecteurs-droites-plans-espace",
"level": "terminale-specialite",
"theme": "Algèbre et géométrie",
"title": "Vecteurs, droites et plans de l'espace",
"description": "Vecteurs de l'espace, combinaisons linéaires, colinéarité et\ncoplanarité, droites (point et vecteur directeur), plans (point\net couple de vecteurs non colinéaires), positions relatives,\nbases et repères de l'espace, décomposition d'un vecteur.",
"parties": [
{
"id": "vecteurs",
"title": "Vecteurs de l'espace"
},
{
"id": "reperes",
"title": "Coordonnées et repères"
},
{
"id": "colinearite",
"title": "Colinéarité et coplanarité"
},
{
"id": "positions",
"title": "Droites, plans et positions relatives"
}
],
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"colinearite",
"calcul"
],
"title": "Vecteurs colinéaires",
"partie": "colinearite",
"statement": "Dans un repère de l'espace, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-4\\,;\\,6)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$.\nCes vecteurs sont-ils colinéaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\vec{u} = 2\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée de $\\vec{u}$ est le\ndouble de celle de $\\vec{v}$ : $\\vec{u} = 2\\vec{v}$, les\nvecteurs sont colinéaires."
},
{
"text": "Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité n'exige pas l'égalité, mais la\n**proportionnalité** des coordonnées : $\\vec{u} = k\\vec{v}$\npour un réel $k$."
},
{
"text": "Non, car $2 + (-4) + 6 \\neq 1 + (-2) + 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées n'a aucun sens\ngéométrique ici. Le test est la proportionnalité\ncoordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "On ne peut pas le savoir sans connaître le repère",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la relation $\\vec{u} = 2\\vec{v}$ se lit sur les\ncoordonnées et vaut dans tout repère fixé."
}
],
"explanation": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ (avec $\\vec{v} \\neq \\vec{0}$) sont\ncolinéaires s'il existe un réel $k$ tel que\n$\\vec{u} = k\\vec{v}$, c'est-à-dire si les coordonnées sont\nproportionnelles. Ici $k = 2$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 1,
"skills": [
"droite",
"definition"
],
"title": "Déterminer une droite de l'espace",
"partie": "positions",
"statement": "Par quelles données une droite de l'espace est-elle\nentièrement déterminée ?",
"options": [
{
"text": "Un point et un vecteur non nul",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un point et un vecteur directeur non\nnul. La droite passant par $A$ de vecteur directeur\n$\\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ tels que\n$\\overrightarrow{AM} = t\\,\\vec{u}$, $t$ réel."
},
{
"text": "Un seul point de l'espace",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : une infinité de droites passent par un même\npoint (dans toutes les directions de l'espace)."
},
{
"text": "Un vecteur directeur non nul, sans point",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : un vecteur donne la **direction**, mais une\ninfinité de droites parallèles la partagent. Il faut\nancrer la droite par un point."
},
{
"text": "Un point et deux vecteurs non colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un point et deux vecteurs non colinéaires\ndéterminent un **plan**, pas une droite."
}
],
"explanation": "Une droite de l'espace est déterminée par un point et une direction (vecteur directeur non nul) : $M \\in d \\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} =\nt\\,\\vec{u}$. (Deux points distincts conviennent aussi : le\nsecond fournit le vecteur $\\overrightarrow{AB}$.)"
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"plan",
"definition"
],
"title": "Déterminer un plan de l'espace",
"partie": "positions",
"statement": "Par quelles données un plan de l'espace est-il entièrement\ndéterminé ?",
"options": [
{
"text": "Un point et deux vecteurs non colinéaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le plan passant par $A$ dirigé par\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non colinéaires est l'ensemble des\npoints $M$ tels que $\\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$."
},
{
"text": "Un point et un vecteur non nul",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : un point et un vecteur déterminent une\n**droite**. Un plan a besoin de deux directions\nindépendantes."
},
{
"text": "Trois points quelconques",
"correct": false,
"feedback": "Piège : trois points **alignés** laissent une infinité de\nplans possibles. Il faut trois points **non alignés**."
},
{
"text": "Deux droites quelconques de l'espace",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux droites non coplanaires ne sont contenues\ndans aucun plan commun. Il faut des droites sécantes ou\nstrictement parallèles."
}
],
"explanation": "Un plan est déterminé par un point et deux directions indépendantes :\n$M \\in \\mathcal{P} \\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} +\nb\\vec{v}$ ($a$, $b$ réels), avec $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ non\ncolinéaires. Version points : trois points non alignés."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"coplanarite",
"calcul"
],
"title": "Vecteurs coplanaires",
"partie": "colinearite",
"statement": "On donne $\\vec{u}(1\\,;\\,0\\,;\\,0)$, $\\vec{v}(0\\,;\\,1\\,;\\,0)$ et\n$\\vec{w}(2\\,;\\,3\\,;\\,0)$. Ces trois vecteurs sont-ils\ncoplanaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\vec{w}$ est combinaison linéaire de\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ : les trois vecteurs partagent la\ndirection d'un même plan (ici le plan des deux premières\ncoordonnées)."
},
{
"text": "Non, car aucun n'est colinéaire à un autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la coplanarité de **trois** vecteurs ne se réduit\npas à des colinéarités deux à deux. Le bon test : l'un est\ncombinaison linéaire des deux autres."
},
{
"text": "Non, car ils sont dans l'espace",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des vecteurs de l'espace peuvent très bien être\ncoplanaires ; c'est ici le cas, leur troisième coordonnée\nétant nulle."
},
{
"text": "Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : trois vecteurs peuvent être non coplanaires (par\nexemple les trois vecteurs d'une base). C'est la relation\n$\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}$ qui conclut ici."
}
],
"explanation": "Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un s'écrit comme\ncombinaison linéaire des deux autres (supposés non\ncolinéaires) : ici $\\vec{w} = 2\\vec{u} + 3\\vec{v}$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"base",
"definition"
],
"title": "Base de l'espace",
"partie": "reperes",
"statement": "Que faut-il pour que trois vecteurs $\\vec{u}$, $\\vec{v}$,\n$\\vec{w}$ forment une base de l'espace ?",
"options": [
{
"text": "Qu'ils soient non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires engendrent\ntout l'espace, et chaque vecteur s'y décompose de façon\nunique."
},
{
"text": "Qu'ils soient deux à deux non colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Insuffisant : $\\vec{u}$, $\\vec{v}$ et $\\vec{u} + \\vec{v}$\nsont deux à deux non colinéaires mais coplanaires : ils ne\npeuvent pas engendrer l'espace."
},
{
"text": "Qu'ils soient deux à deux orthogonaux",
"correct": false,
"feedback": "Trop exigeant : l'orthogonalité définit une base\n**orthogonale** (confort de calcul), mais une base\nquelconque demande seulement la non-coplanarité."
},
{
"text": "Qu'ils aient tous la même norme",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la norme ne joue aucun rôle dans la définition\nd'une base. Seule compte l'indépendance des trois\ndirections."
}
],
"explanation": "Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur\ns'écrit alors de manière **unique** $x\\vec{u} + y\\vec{v} +\nz\\vec{w}$ : ce sont ses coordonnées dans la base."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"cube",
"combinaison-lineaire"
],
"title": "La diagonale du cube",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, comment s'exprime le\nvecteur $\\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale) en fonction de\n$\\overrightarrow{AB}$, $\\overrightarrow{AD}$ et $\\overrightarrow{AE}$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]\n \\coordinate (A) at (0,0);\n \\coordinate (B) at (2,0);\n \\coordinate (C) at (2.9,0.75);\n \\coordinate (D) at (0.9,0.75);\n \\coordinate (E) at (0,1.9);\n \\coordinate (F) at (2,1.9);\n \\coordinate (G) at (2.9,2.65);\n \\coordinate (H) at (0.9,2.65);\n \\draw[dashed] (D) -- (A);\n \\draw[dashed] (D) -- (C);\n \\draw[dashed] (D) -- (H);\n \\draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);\n \\draw (A) -- (E) -- (F);\n \\draw (E) -- (H) -- (G);\n \\draw[->,thick,blue] (A) -- (G);\n \\node[below left,font=\\small] at (A) {$A$};\n \\node[below right,font=\\small] at (B) {$B$};\n \\node[right,font=\\small] at (C) {$C$};\n \\node[left,font=\\small] at (D) {$D$};\n \\node[left,font=\\small] at (E) {$E$};\n \\node[above right,font=\\small] at (F) {$F$};\n \\node[above right,font=\\small] at (G) {$G$};\n \\node[above left,font=\\small] at (H) {$H$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD est la face inférieure\n(D à l'arrière, en pointillés), EFGH la face supérieure avec\nE au-dessus de A, F au-dessus de B, G au-dessus de C, H\nau-dessus de D. La grande diagonale AG est tracée en bleu,\nde A (avant bas gauche) à G (arrière haut droit).",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : pour aller de $A$ à $G$, on avance selon\nl'arête $\\overrightarrow{AB}$, puis $\\overrightarrow{AD}$ (profondeur), puis\n$\\overrightarrow{AE}$ (hauteur) : relation de Chasles dans le cube."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD}$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AC}$, la diagonale\nde la **face inférieure**. Pour monter jusqu'à $G$, il faut\nencore ajouter $\\overrightarrow{AE}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AE}$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AE} = \\overrightarrow{AF}$, la diagonale\nde la **face avant**. Il manque la profondeur $\\overrightarrow{AD}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : les trois arêtes se parcourent dans le\nsens direct de $A$ vers $G$ ; aucune soustraction n'est\nnécessaire."
}
],
"explanation": "Décomposition dans le cube : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} +\n\\overrightarrow{CG}$, et $\\overrightarrow{BC} = \\overrightarrow{AD}$, $\\overrightarrow{CG} = \\overrightarrow{AE}$\n(arêtes parallèles). D'où $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} +\n\\overrightarrow{AE}$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"positions-relatives",
"raisonnement"
],
"title": "Deux droites sans point commun",
"partie": "positions",
"statement": "Dans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.\nSont-elles nécessairement parallèles ?",
"options": [
{
"text": "Non : elles peuvent aussi être non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la spécificité de l'espace. Deux\ndroites sans point commun sont soit strictement parallèles\n(même direction), soit **non coplanaires** (directions\ndifférentes, aucun plan commun)."
},
{
"text": "Oui, comme dans le plan",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la dichotomie du plan (sécantes ou parallèles) ne\nsurvit pas en dimension 3. Pense à deux routes qui se\ncroisent par un pont : ni sécantes, ni parallèles."
},
{
"text": "Oui, si elles sont toutes les deux horizontales",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux droites « horizontales » de directions\ndifférentes et d'altitudes différentes sont non\ncoplanaires sans être parallèles."
},
{
"text": "Non : elles sont forcément confondues",
"correct": false,
"feedback": "Contradiction : des droites confondues ont **tous** leurs\npoints communs, pas aucun."
}
],
"explanation": "Positions relatives de deux droites de l'espace : sécantes,\nparallèles (strictement ou confondues), ou **non coplanaires**.\nCe troisième cas, sans équivalent dans le plan, se teste en\ncherchant un plan contenant les deux droites."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"repere",
"coordonnees",
"cube"
],
"title": "Coordonnées dans le repère du cube",
"partie": "reperes",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, on munit l'espace du repère\n$\\left(A\\,;\\,\\overrightarrow{AB},\\,\\overrightarrow{AD},\\,\\overrightarrow{AE}\\right)$. Quelles\nsont les coordonnées du sommet $G$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]\n \\coordinate (A) at (0,0);\n \\coordinate (B) at (2,0);\n \\coordinate (C) at (2.9,0.75);\n \\coordinate (D) at (0.9,0.75);\n \\coordinate (E) at (0,1.9);\n \\coordinate (F) at (2,1.9);\n \\coordinate (G) at (2.9,2.65);\n \\coordinate (H) at (0.9,2.65);\n \\draw[dashed] (D) -- (A);\n \\draw[dashed] (D) -- (C);\n \\draw[dashed] (D) -- (H);\n \\draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);\n \\draw (A) -- (E) -- (F);\n \\draw (E) -- (H) -- (G);\n \\draw[->,thick,red] (A) -- (B);\n \\draw[->,thick,red] (A) -- (D);\n \\draw[->,thick,red] (A) -- (E);\n \\node[below left,font=\\small] at (A) {$A$};\n \\node[below right,font=\\small] at (B) {$B$};\n \\node[right,font=\\small] at (C) {$C$};\n \\node[left,font=\\small] at (D) {$D$};\n \\node[left,font=\\small] at (E) {$E$};\n \\node[above right,font=\\small] at (F) {$F$};\n \\node[above right,font=\\small] at (G) {$G$};\n \\node[above left,font=\\small] at (H) {$H$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Cube ABCDEFGH en perspective : ABCD face inférieure (D à\nl'arrière), EFGH face supérieure (E au-dessus de A, F de B,\nG de C, H de D). Les trois vecteurs du repère AB, AD et AE\nsont tracés en rouge depuis A.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$G(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AG} = \\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{AD} + \\overrightarrow{AE}\n= 1 \\cdot \\overrightarrow{AB} + 1 \\cdot \\overrightarrow{AD} + 1 \\cdot \\overrightarrow{AE}$ :\ncoordonnées $(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "$G(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,1\\,;\\,0)$ est le sommet $C$, resté sur la\nface inférieure. $G$ est au-dessus de $C$ : troisième\ncoordonnée $1$."
},
{
"text": "$G(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$ est le sommet $H$ (au-dessus de\n$D$). $G$ se trouve au-dessus de $C$, donc en\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$."
},
{
"text": "$G(1\\,;\\,0\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,0\\,;\\,1)$ est le sommet $F$ (au-dessus de\n$B$). Pour $G$, la profondeur $\\overrightarrow{AD}$ vaut aussi $1$."
}
],
"explanation": "Dans le repère $(A\\,;\\,\\overrightarrow{AB},\\overrightarrow{AD},\\overrightarrow{AE})$, les\nsommets du cube ont pour coordonnées tous les triplets de $0$\net de $1$ : $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$,\n$C(1;1;0)$, $F(1;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $G(1;1;1)$."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"positions-relatives",
"cube"
],
"title": "Position relative dans le cube",
"partie": "positions",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ (mêmes notations que précédemment,\n$E$ au-dessus de $A$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la\nposition relative des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?",
"options": [
{
"text": "Elles sont non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $(AB)$ est horizontale à l'avant, $(DH)$\nverticale à l'arrière : directions non colinéaires et\naucun point commun. Aucun plan ne les contient toutes les\ndeux."
},
{
"text": "Elles sont sécantes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(AB)$ vit sur la face inférieure avant, $(DH)$\npart du sommet arrière $D$ verticalement : elles ne se\nrencontrent pas (aucun sommet commun, aucun croisement)."
},
{
"text": "Elles sont parallèles",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{AB}$ est horizontal et $\\overrightarrow{DH} = \\overrightarrow{AE}$\nest vertical : directions non colinéaires, donc pas de\nparallélisme."
},
{
"text": "Elles sont confondues",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : elles n'ont même aucun point commun. Confondues\nsignifierait la même droite."
}
],
"explanation": "Méthode : comparer les directions ($\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{DH}$\nnon colinéaires : pas parallèles), puis chercher un point\ncommun (il n'y en a pas : pas sécantes). Restent les droites\n**non coplanaires**, cas typique dans un cube."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteur-directeur",
"calcul"
],
"title": "Vecteur directeur d'une droite $(AB)$",
"partie": "positions",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$ et $B(3\\,;\\,1\\,;\\,5)$. Quel vecteur\nest directeur de la droite $(AB)$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A\\,;\\,\nz_B - z_A) = (2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,3\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as **additionné** les coordonnées de $A$ et\n$B$. Un vecteur se calcule par différence : arrivée moins\ndépart."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur la deuxième coordonnée :\n$y_B - y_A = 1 - 2 = -1$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{OA}(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du **point** $A$ (le\nvecteur $\\overrightarrow{OA}$), pas d'un vecteur\ndirecteur de $(AB)$. La direction se lit sur\n$\\overrightarrow{AB}$."
}
],
"explanation": "$\\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\\,;\\,y_B - y_A\\,;\\,z_B - z_A) =\n(2\\,;\\,-1\\,;\\,2)$. Tout vecteur non nul colinéaire à\n$\\overrightarrow{AB}$ dirige aussi la droite."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement",
"calcul"
],
"title": "Tester l'alignement de trois points",
"partie": "colinearite",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,0\\,;\\,2)$, $B(3\\,;\\,4\\,;\\,2)$ et\n$C(4\\,;\\,6\\,;\\,2)$. Ces trois points sont-ils alignés ?",
"options": [
{
"text": "Oui, car $\\overrightarrow{AC} = \\dfrac{3}{2}\\,\\overrightarrow{AB}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(2\\,;\\,4\\,;\\,0)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(3\\,;\\,6\\,;\\,0)$ sont colinéaires\n($3 = \\frac{3}{2} \\times 2$, $6 = \\frac{3}{2} \\times 4$,\n$0 = \\frac{3}{2} \\times 0$) : les points sont alignés."
},
{
"text": "Non, car $C$ n'est pas le milieu de $[AB]$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'alignement n'exige pas que l'un des points soit\nun milieu. Le test est la **colinéarité** de $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$."
},
{
"text": "Non, car les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ et $\\overrightarrow{AC}$ sont\ndifférentes",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : différents n'empêche pas colinéaires ! Il suffit\nd'un facteur commun : ici $\\overrightarrow{AC} = 1{,}5\\,\\overrightarrow{AB}$."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans calculer les distances",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le critère vectoriel (colinéarité de $\\overrightarrow{AB}$\net $\\overrightarrow{AC}$) est direct et suffit. Aucune distance n'est\nnécessaire."
}
],
"explanation": "$A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Ici $\\overrightarrow{AC} =\n\\frac{3}{2}\\overrightarrow{AB}$ : alignés (et tous dans le plan\nd'altitude $z = 2$)."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"plan",
"caracterisation"
],
"title": "Appartenance à un plan",
"partie": "positions",
"statement": "Soit $\\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les\nvecteurs non colinéaires $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$. À quelle\ncondition un point $M$ appartient-il à $\\mathcal{P}$ ?",
"options": [
{
"text": "Il existe des réels $a$ et $b$ tels que\n$\\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la caractérisation vectorielle du\nplan : $\\overrightarrow{AM}$ doit se décomposer sur les deux\ndirections du plan."
},
{
"text": "Il existe un réel $k$ tel que $\\overrightarrow{AM} = k\\vec{u}$",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : cette condition décrit la **droite**\npassant par $A$ dirigée par $\\vec{u}$, une partie seulement\ndu plan."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{u} = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'orthogonalité à $\\vec{u}$ caractérise un autre\nplan (celui de vecteur normal $\\vec{u}$). Ici $\\vec{u}$\nest une direction **contenue** dans $\\mathcal{P}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} = \\vec{u} + \\vec{v}$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'**un seul**\npoint du plan (celui de coordonnées $(1\\,;\\,1)$ dans le\nrepère du plan). Les coefficients $a$ et $b$ doivent\nrester libres."
}
],
"explanation": "Caractérisation d'un plan : $M \\in \\mathcal{P}\n\\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$ avec $a, b$\nréels. Les couples $(a\\,;\\,b)$ jouent le rôle de coordonnées\ndans le plan."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"chasles"
],
"title": "Relation de Chasles dans l'espace",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Pour trois points $A$, $B$, $C$ de l'espace, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AC}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : relation de Chasles : aller de $A$ à $B$\npuis de $B$ à $C$ revient à aller de $A$ à $C$ : la\nlettre du milieu s'efface."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{CA}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le trajet part de $A$ et finit en $C$ :\n$\\overrightarrow{AC}$, pas son opposé."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BB}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{BB} = \\vec{0}$ : la somme ne\ns'annule que si $C = A$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AB} \\times \\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Hors sujet : aucune multiplication ici : l'addition\nvectorielle enchaîne les déplacements (Chasles)."
}
],
"explanation": "Chasles fonctionne dans l'espace comme dans le plan :\n$\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} =\n\\overrightarrow{AC}$. Réflexe : insérer un point\nintermédiaire pour décomposer ou simplifier une somme."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"milieu",
"coordonnees"
],
"title": "Milieu d'un segment de l'espace",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 4\\ ;\\ -2)$ et $B(3\\ ;\\ 0\\ ;\\ 6)$. Quelles\nsont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$I(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : moyenne coordonnée par coordonnée :\n$\\left(\\frac{1+3}{2}\\ ;\\ \\frac{4+0}{2}\\ ;\\\n\\frac{-2+6}{2}\\right)$."
},
{
"text": "$I(4\\ ;\\ 4\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : les **sommes** valent $(4\\ ;\\ 4\\ ;\\\n4)$ : le milieu prend la moitié."
},
{
"text": "$I(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les demi-**différences** : le milieu\nmoyenne les coordonnées, il ne les soustrait pas."
},
{
"text": "$I(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Troisième coordonnée : $\\frac{-2 + 6}{2} = 2$, pas $4$ :\nattention au signe de $-2$."
}
],
"explanation": "Milieu : moyennes des coordonnées, en dimension $3$ comme en\ndimension $2$ : $I\\left(\\frac{x_A + x_B}{2}\\ ;\\\n\\frac{y_A+y_B}{2}\\ ;\\ \\frac{z_A+z_B}{2}\\right)$."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"colinearite",
"coordonnees"
],
"title": "Colinéarité en coordonnées",
"partie": "colinearite",
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(2\\ ;\\ -1\\ ;\\ 3)$ et\n$\\vec{v}(-4\\ ;\\ 2\\ ;\\ -6)$ sont-ils colinéaires ?",
"options": [
{
"text": "Oui : $\\vec{v} = -2\\,\\vec{u}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : chaque coordonnée de $\\vec{v}$ vaut\n$-2$ fois celle de $\\vec{u}$ : le même coefficient\npartout, c'est la définition en actes."
},
{
"text": "Non : leurs coordonnées ne sont pas égales",
"correct": false,
"feedback": "Critère trop fort : la colinéarité demande la\n**proportionnalité** des coordonnées, pas leur égalité."
},
{
"text": "Non : ils ne sont pas de même sens",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité accepte les deux sens : $k = -2$\nnégatif donne des vecteurs opposés mais bien\ncolinéaires."
},
{
"text": "On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la colinéarité est une affaire de\nproportionnalité, lisible dans n'importe quel repère\n(l'orthonormé ne sert qu'aux longueurs et angles)."
}
],
"explanation": "$\\vec{v}$ colinéaire à $\\vec{u} \\neq \\vec{0}$ $\\iff$\n$\\vec{v} = k\\vec{u}$ : tester si le rapport\ncoordonnée par coordonnée est constant ($\\frac{-4}{2} =\n\\frac{2}{-1} = \\frac{-6}{3} = -2$). Outil numéro un pour\nalignement et parallélisme."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"decomposition",
"base"
],
"title": "Lire des coordonnées dans une base",
"partie": "reperes",
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\ ;\\ \\vec{j}\\ ;\\ \\vec{k})$ de\nl'espace, on a $\\vec{w} = 3\\vec{i} - \\vec{k}$. Quelles sont\nles coordonnées de $\\vec{w}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\ ;\\ 0\\ ;\\ -1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition : $3$ sur $\\vec{i}$, $0$ sur $\\vec{j}$\n(absent), $-1$ sur $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$(3\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Dimension : dans l'espace, trois coordonnées toujours :\nl'absence de $\\vec{j}$ se code par un $0$, elle ne\nsupprime pas la coordonnée."
},
{
"text": "$(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ 0)$",
"correct": false,
"feedback": "Ordre : le $-1$ porte sur $\\vec{k}$, **troisième**\nvecteur : le zéro est en deuxième position."
},
{
"text": "$(0\\ ;\\ 3\\ ;\\ -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Décalage : le coefficient de $\\vec{i}$ ($3$) ouvre le\ntriplet."
}
],
"explanation": "Les coordonnées sont les coefficients de la décomposition $\\vec{w} =\nx\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$, dans l'ordre de la base,\nzéros compris. La base garantit existence et unicité de\ncette écriture."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"coplanarite",
"test"
],
"title": "Tester la coplanarité de trois vecteurs",
"partie": "colinearite",
"statement": "Comment vérifier que $\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ (non colinéaires) ?",
"options": [
{
"text": "Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\\vec{w} =\na\\vec{u} + b\\vec{v}$ (système sur les coordonnées)",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : coplanaires, car l'un est combinaison linéaire des deux autres : trois équations (une par coordonnée), deux\ninconnues : s'il y a une solution, coplanarité."
},
{
"text": "Vérifier que $\\vec{w} = \\vec{u} + \\vec{v}$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : la somme est UNE combinaison\nparticulière ($a = b = 1$) : la coplanarité autorise\ntous les coefficients."
},
{
"text": "Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle\ncommune",
"correct": false,
"feedback": "Faux critère : il caractérise les plans **de\ncoordonnées** seulement : un plan quelconque n'aligne\naucun zéro."
},
{
"text": "C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont\ntoujours coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "Faux : $(\\vec{i}\\ ;\\ \\vec{j}\\ ;\\ \\vec{k})$ n'est pas\ncoplanaire (c'est même une base !). La coplanarité est\nune vraie contrainte."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ coplanaire à $(\\vec{u}\\ ;\\ \\vec{v})$ non\ncolinéaires $\\iff \\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. En\npratique : poser le système $3 \\times 2$ ; deux équations\ndéterminent $(a\\ ;\\ b)$, la troisième **valide ou réfute**."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"egalite-vectorielle",
"construction"
],
"title": "Construire un point par égalité vectorielle",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Soient $A(1\\ ;\\ 0\\ ;\\ 2)$, $B(2\\ ;\\ 1\\ ;\\ 0)$ et\n$C(0\\ ;\\ 3\\ ;\\ 1)$. Quelles sont les coordonnées du point\n$M$ défini par $\\overrightarrow{AM} = 2\\overrightarrow{AB} -\n\\overrightarrow{AC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$M(4\\ ;\\ -1\\ ;\\ -1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ -2)$,\n$\\overrightarrow{AC}(-1\\ ;\\ 3\\ ;\\ -1)$, donc\n$\\overrightarrow{AM}(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ -3)$ et $M = A +\n\\overrightarrow{AM} = (4\\ ;\\ -1\\ ;\\ -1)$."
},
{
"text": "$M(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ -3)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : $(3\\ ;\\ -1\\ ;\\ -3)$ sont les\ncoordonnées du **vecteur** $\\overrightarrow{AM}$ : il\nreste à les ajouter à celles de $A$."
},
{
"text": "$M(4\\ ;\\ 2\\ ;\\ -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur $\\overrightarrow{AC}$ non soustrait :\nl'égalité retranche $\\overrightarrow{AC}$, elle ne\nl'ajoute pas."
},
{
"text": "$M(2\\ ;\\ 2\\ ;\\ -4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est $2\\overrightarrow{AB}$ seul (transformé\nen point depuis l'origine) : il manque $A$ et le terme\n$-\\overrightarrow{AC}$."
}
],
"explanation": "Méthode en trois temps : coordonnées des vecteurs\n($B - A$, $C - A$), combinaison, puis $M = A +\n\\overrightarrow{AM}$ : l'oubli du retour au point (ajouter\n$A$) est l'erreur signature de l'exercice."
},
{
"id": "q19",
"difficulty": 2,
"skills": [
"representation-parametrique",
"droite"
],
"title": "Lire une représentation paramétrique",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Une droite a pour représentation paramétrique\n$x = 1 + 2t$, $y = -3t$, $z = 4 + t$.\nQuel est un vecteur directeur ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coefficients du paramètre donnent les coordonnées\nd'un vecteur directeur."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,0\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées d'un point de la droite, obtenu pour\n$t = 0$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-3\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées mélangées : on a pris les constantes de deux lignes et le\ncoefficient d'une autre."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe perdu : le coefficient de $t$ dans la deuxième ligne vaut\n$-3$."
}
],
"explanation": "Dans une représentation paramétrique, les termes constants donnent un\npoint de la droite et les coefficients du paramètre un vecteur directeur."
},
{
"id": "q20",
"difficulty": 3,
"skills": [
"droite",
"appartenance"
],
"title": "Un point sur une droite paramétrée",
"partie": "positions",
"statement": "Le point $A(5\\,;\\,-6\\,;\\,6)$ appartient-il à la droite d'équations\n$x = 1 + 2t$, $y = -3t$, $z = 4 + t$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, pour $t = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $1 + 4 = 5$, $-6 = -3 \\times 2$ et $4 + 2 = 6$, la\nmême valeur convient partout."
},
{
"text": "Non, aucun paramètre ne convient",
"correct": false,
"feedback": "La valeur $t = 2$ vérifie les trois égalités, il suffit de la\nsubstituer pour le constater."
},
{
"text": "Oui, pour $t = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Cette valeur donnerait $x = 11$, ce qui ne correspond pas à\nl'abscisse de $A$."
},
{
"text": "On ne peut pas conclure sans un second point",
"correct": false,
"feedback": "La représentation paramétrique suffit : elle décrit entièrement la\ndroite."
}
],
"explanation": "Un point appartient à une droite paramétrée s'il existe une valeur du\nparamètre qui convienne simultanément pour les trois coordonnées. On la\ndétermine sur une ligne, puis on vérifie sur les deux autres."
},
{
"id": "q21",
"difficulty": 2,
"skills": [
"plans",
"position-relative"
],
"title": "Deux plans de l'espace",
"partie": "positions",
"statement": "Quelles sont les positions relatives possibles de deux plans\ndistincts de l'espace ?",
"options": [
{
"text": "Parallèles ou sécants suivant une droite",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : deux plans distincts ne se coupent jamais en un seul\npoint."
},
{
"text": "Parallèles ou sécants en un point",
"correct": false,
"feedback": "Une intersection réduite à un point est impossible : dès qu'ils ont un\npoint commun, ils en partagent toute une droite."
},
{
"text": "Toujours sécants",
"correct": false,
"feedback": "Deux plans parallèles distincts, comme deux étages d'un immeuble, n'ont\naucun point commun."
},
{
"text": "Parallèles, sécants ou non coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "La non-coplanarité concerne des droites : deux plans sont toujours dans\nl'espace entier."
}
],
"explanation": "Deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants suivant une\ndroite. C'est une différence importante avec les droites de l'espace, qui\npeuvent n'être ni parallèles ni sécantes."
},
{
"id": "q22",
"difficulty": 3,
"skills": [
"droites",
"position-relative"
],
"title": "Deux droites ni parallèles ni sécantes",
"partie": "positions",
"statement": "Comment appelle-t-on deux droites de l'espace sans point commun et de\ndirections différentes ?",
"options": [
{
"text": "Non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : aucun plan ne les contient toutes les deux, situation\npropre à l'espace."
},
{
"text": "Parallèles",
"correct": false,
"feedback": "Le parallélisme impose des vecteurs directeurs colinéaires, ce que\nl'énoncé exclut."
},
{
"text": "Perpendiculaires",
"correct": false,
"feedback": "La perpendicularité exige en outre un point commun, absent ici."
},
{
"text": "Confondues",
"correct": false,
"feedback": "Des droites confondues ont tous leurs points en commun, pas aucun."
}
],
"explanation": "Dans l'espace, deux droites sans point commun peuvent être parallèles ou\nnon coplanaires. Dans le plan, seul le parallélisme est possible."
},
{
"id": "q23",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteurs",
"coordonnees"
],
"title": "Coordonnées d'un vecteur de l'espace",
"partie": "vecteurs",
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$ et $B(4\\,;\\,0\\,;\\,-1)$.\nQuelles sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,2\\,;\\,-4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on retranche les coordonnées de $A$ à celles de $B$,\ncoordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,-2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BA}$."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,-2\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées additionnées : la soustraction est nécessaire pour obtenir\nun déplacement."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,0\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées de $B$ recopiées : elles ne donnent le vecteur que si $A$\nest l'origine."
}
],
"explanation": "Les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent par différence,\nexactement comme dans le plan, avec une troisième coordonnée en plus."
},
{
"id": "q24",
"difficulty": 3,
"skills": [
"plans",
"combinaison-lineaire"
],
"title": "Décomposer $\\overrightarrow{AM}$ sur deux vecteurs d'un plan",
"partie": "positions",
"statement": "Dans un repère de l'espace, on donne $A(1\\ ;\\ 0\\ ;\\ 2)$, $B(2\\ ;\\ 1\\ ;\\ 2)$, $C(1\\ ;\\ 2\\ ;\\ 3)$ et $M(3\\ ;\\ 6\\ ;\\ 4)$. Pour quels réels $a$ et $b$ a-t-on $\\overrightarrow{AM} = a\\,\\overrightarrow{AB} + b\\,\\overrightarrow{AC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$a = 2$ et $b = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(1\\ ;\\ 1\\ ;\\ 0)$, $\\overrightarrow{AC}(0\\ ;\\ 2\\ ;\\ 1)$ et $\\overrightarrow{AM}(2\\ ;\\ 6\\ ;\\ 2)$. Le système $a = 2$, $a + 2b = 6$, $b = 2$ est vérifié : $M$ appartient au plan $(ABC)$.\n"
},
{
"text": "$a = 2$ et $b = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Le coefficient $2$ de la deuxième coordonnée de $\\overrightarrow{AC}$ a été oublié : l'équation est $a + 2b = 6$, et $b = 4$ donnerait $2 + 8 = 10$.\n"
},
{
"text": "$a = 3$ et $b = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées du point $M$ qui ont servi, au lieu de celles du vecteur $\\overrightarrow{AM}(2\\ ;\\ 6\\ ;\\ 2)$ ; la deuxième coordonnée donnerait d'ailleurs $3 + 8 = 11$, et non $6$.\n"
},
{
"text": "Aucun couple : $M$ n'est pas dans le plan $(ABC)$",
"correct": false,
"feedback": "Le système des trois coordonnées est compatible : $a = 2$ et $b = 2$ vérifient les trois équations, donc $M$ appartient au plan $(ABC)$.\n"
}
],
"explanation": "On calcule les coordonnées des vecteurs, puis on traduit l'égalité vectorielle coordonnée par coordonnée : $a = 2$, $a + 2b = 6$ et $b = 2$. Deux équations fixent $a$ et $b$, la troisième sert de vérification ; si elle échouait, $M$ ne serait pas dans le plan $(ABC)$."
},
{
"id": "q25",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteurs",
"coplanarite"
],
"title": "Trois vecteurs coplanaires",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Que signifie que trois vecteurs de l'espace sont coplanaires ?",
"options": [
{
"text": "L'un s'écrit à l'aide des deux autres",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la coplanarité équivaut à l'existence d'une\ndécomposition $\\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$."
},
{
"text": "Ils ont tous la même direction",
"correct": false,
"feedback": "C'est la colinéarité, une condition bien plus forte."
},
{
"text": "Ils ont tous la même norme",
"correct": false,
"feedback": "La longueur n'intervient pas : la coplanarité est une question de\ndirection."
},
{
"text": "Leur somme est le vecteur nul",
"correct": false,
"feedback": "Une somme nulle entraîne la coplanarité, mais l'inverse est faux :\n$\\vec{u} + \\vec{v} + \\vec{w}$ n'a aucune raison d'être nulle."
}
],
"explanation": "Trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils admettent des représentants dans\nun même plan, ce qui revient à pouvoir exprimer l'un comme combinaison des\ndeux autres."
},
{
"id": "q26",
"difficulty": 2,
"skills": [
"repere",
"coordonnees"
],
"title": "Ce que fixe une base de l'espace",
"partie": "reperes",
"statement": "Combien de vecteurs une base de l'espace comporte-t-elle ?",
"options": [
{
"text": "Trois, non coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : trois vecteurs non coplanaires permettent d'écrire tout\nvecteur de façon unique."
},
{
"text": "Deux, non colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Deux vecteurs engendrent seulement un plan."
},
{
"text": "Trois, deux à deux orthogonaux",
"correct": false,
"feedback": "L'orthogonalité caractérise une base orthogonale, cas particulier\ncommode mais non obligatoire."
},
{
"text": "Quatre, pour couvrir l'espace",
"correct": false,
"feedback": "Un quatrième vecteur serait nécessairement combinaison des trois\npremiers, donc redondant."
}
],
"explanation": "Une base de l'espace est formée de trois vecteurs non coplanaires. Tout\nvecteur s'y décompose alors d'une seule manière, ce qui définit ses\ncoordonnées."
},
{
"id": "q27",
"difficulty": 3,
"skills": [
"droites",
"intersection"
],
"title": "Chercher l'intersection de deux droites",
"partie": "positions",
"statement": "Pour déterminer si deux droites de l'espace sont sécantes, que\nfait-on ?",
"options": [
{
"text": "On résout le système formé par leurs équations",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on cherche des valeurs des deux paramètres donnant le\nmême point, le système pouvant être incompatible."
},
{
"text": "On vérifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires",
"correct": false,
"feedback": "Des directions colinéaires signalent au contraire des droites\nparallèles ou confondues."
},
{
"text": "On calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs",
"correct": false,
"feedback": "Ce calcul renseigne sur l'angle, pas sur l'existence d'un point\ncommun."
},
{
"text": "On compare leurs points de départ",
"correct": false,
"feedback": "Ces points sont arbitraires : une même droite admet une infinité de\nreprésentations paramétriques."
}
],
"explanation": "Deux droites de l'espace sont sécantes si le système formé par leurs\nreprésentations paramétriques admet une solution. Un système sans solution\navec des directions non colinéaires signale des droites non coplanaires."
},
{
"id": "q28",
"difficulty": 2,
"skills": [
"vecteurs",
"chasles"
],
"title": "Chasles avec trois points de l'espace",
"partie": "vecteurs",
"statement": "À quoi la somme $\\overrightarrow{AB} + \\overrightarrow{BC} +\n\\overrightarrow{CA}$ est-elle égale ?",
"options": [
{
"text": "Au vecteur nul",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le parcours revient à son point de départ, donc le\ndéplacement total est nul."
},
{
"text": "À $\\overrightarrow{AC}$",
"correct": false,
"feedback": "Ce serait la somme des deux premiers termes seulement ; le troisième\nramène en $A$."
},
{
"text": "À $2\\overrightarrow{AB}$",
"correct": false,
"feedback": "Aucun facteur ne se dégage : la relation de Chasles enchaîne les\ndéplacements, elle ne les double pas."
},
{
"text": "À $\\overrightarrow{BA}$",
"correct": false,
"feedback": "La somme des deux premiers termes vaut $\\overrightarrow{AC}$, dont\nl'opposé est $\\overrightarrow{CA}$, d'où un total nul."
}
],
"explanation": "La relation de Chasles vaut dans l'espace comme dans le plan. Un circuit\nfermé correspond toujours à un déplacement total nul."
},
{
"id": "q29",
"difficulty": 2,
"skills": [
"milieu",
"coordonnees"
],
"title": "Milieu dans l'espace",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Quelles sont les coordonnées du milieu de $[AB]$, avec\n$A(2\\,;\\,-1\\,;\\,5)$ et $B(0\\,;\\,3\\,;\\,-1)$ ?",
"options": [
{
"text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on prend la demi-somme des coordonnées, coordonnée par\ncoordonnée."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : ce sont les sommes des coordonnées, à partager\nencore en deux."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Demi-différence calculée : cette opération donne la moitié de\n$\\overrightarrow{AB}$, pas le milieu."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signes mal reportés : la deuxième coordonnée du milieu vaut\n$\\dfrac{-1 + 3}{2} = 1$."
}
],
"explanation": "La formule du milieu se généralise directement à l'espace : chaque\ncoordonnée du milieu est la demi-somme des coordonnées correspondantes."
},
{
"id": "q30",
"difficulty": 3,
"skills": [
"plans",
"droite",
"position-relative"
],
"title": "Une droite et un plan",
"partie": "positions",
"statement": "Quelles sont les positions relatives possibles d'une droite et d'un\nplan de l'espace ?",
"options": [
{
"text": "Incluse, parallèle stricte ou sécante en un point",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : hors du cas d'inclusion, l'intersection est soit vide,\nsoit réduite à un point."
},
{
"text": "Parallèle ou sécante suivant une droite",
"correct": false,
"feedback": "Une intersection suivant une droite entière signifierait que la droite\nest incluse dans le plan."
},
{
"text": "Toujours sécante en un point",
"correct": false,
"feedback": "Une droite parallèle au plan et hors de lui n'a aucun point commun\navec lui."
},
{
"text": "Incluse ou sécante en deux points",
"correct": false,
"feedback": "Deux points communs suffisent à entraîner l'inclusion de toute la\ndroite dans le plan."
}
],
"explanation": "Une droite et un plan sont soit sécants en un point, soit parallèles, ce\ndernier cas se subdivisant selon que la droite est incluse dans le plan ou\nnon."
},
{
"id": "q31",
"difficulty": 1,
"skills": [
"vecteur-directeur",
"colinearite"
],
"title": "Un autre vecteur directeur",
"partie": "positions",
"statement": "Une droite $d$ a pour vecteur directeur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,5)$. Lequel de ces vecteurs dirige\nlui aussi la droite $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,6\\,;\\,-10)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $-2\\,\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de\nproportionnalité doit être le même pour les trois, sinon\nla direction change."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un\nvecteur d'une autre direction, sauf cas particulier."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité\ndemande $\\vec{v} = k\\vec{u}$, pas une même quantité\najoutée partout."
}
],
"explanation": "Tout vecteur non nul colinéaire à $\\vec{u}$ dirige la même\ndroite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois\ncoordonnées sont multipliées par un seul et même réel.",
"variants": [
{
"statement": "Une droite $d$ a pour vecteur directeur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,5)$. Lequel de ces vecteurs dirige\nlui aussi la droite $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,6\\,;\\,-10)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $-2\\,\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de\nproportionnalité doit être le même pour les trois, sinon\nla direction change."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un\nvecteur d'une autre direction, sauf cas particulier."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité\ndemande $\\vec{v} = k\\vec{u}$, pas une même quantité\najoutée partout."
}
],
"explanation": "Tout vecteur non nul colinéaire à $\\vec{u}$ dirige la même\ndroite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois\ncoordonnées sont multipliées par un seul et même réel."
},
{
"statement": "Une droite $d$ a pour vecteur directeur\n$\\vec{u}(1\\,;\\,4\\,;\\,-2)$. Lequel de ces vecteurs dirige\nlui aussi la droite $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3\\,;\\,12\\,;\\,-6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $3\\,\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,4\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de\nproportionnalité doit être le même pour les trois, sinon\nla direction change."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,1\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un\nvecteur d'une autre direction, sauf cas particulier."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,5\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité\ndemande $\\vec{v} = k\\vec{u}$, pas une même quantité\najoutée partout."
}
],
"explanation": "Tout vecteur non nul colinéaire à $\\vec{u}$ dirige la même\ndroite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois\ncoordonnées sont multipliées par un seul et même réel."
},
{
"statement": "Une droite $d$ a pour vecteur directeur\n$\\vec{u}(-3\\,;\\,2\\,;\\,6)$. Lequel de ces vecteurs dirige\nlui aussi la droite $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-6\\,;\\,4\\,;\\,12)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $2\\,\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,2\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de\nproportionnalité doit être le même pour les trois, sinon\nla direction change."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un\nvecteur d'une autre direction, sauf cas particulier."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,3\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité\ndemande $\\vec{v} = k\\vec{u}$, pas une même quantité\najoutée partout."
}
],
"explanation": "Tout vecteur non nul colinéaire à $\\vec{u}$ dirige la même\ndroite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois\ncoordonnées sont multipliées par un seul et même réel."
},
{
"statement": "Une droite $d$ a pour vecteur directeur\n$\\vec{u}(2\\,;\\,-3\\,;\\,6)$. Lequel de ces vecteurs dirige\nlui aussi la droite $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,6\\,;\\,-12)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce vecteur vaut $-2\\,\\vec{u}$, il est donc\ncolinéaire à $\\vec{u}$ et dirige la même droite."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe modifié sur une seule coordonnée : le facteur de\nproportionnalité doit être le même pour les trois, sinon\nla direction change."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées permutées : échanger deux coordonnées donne un\nvecteur d'une autre direction, sauf cas particulier."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-2\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Ajout au lieu d'une multiplication : la colinéarité\ndemande $\\vec{v} = k\\vec{u}$, pas une même quantité\najoutée partout."
}
],
"explanation": "Tout vecteur non nul colinéaire à $\\vec{u}$ dirige la même\ndroite. On reconnaît la colinéarité au fait que les trois\ncoordonnées sont multipliées par un seul et même réel."
}
]
},
{
"id": "q32",
"difficulty": 2,
"skills": [
"decomposition",
"cube",
"coordonnees"
],
"title": "Coordonnées d'un vecteur du cube",
"partie": "reperes",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$, la face $EFGH$ surmonte la face\n$ABCD$ : $E$ est au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$\nau-dessus de $C$ et $H$ au-dessus de $D$. Dans le repère\n$\\left(A\\,;\\,\\overrightarrow{AB},\\,\\overrightarrow{AD},\\,\\overrightarrow{AE}\\right)$,\nquelles sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BH}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-1\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $B(1\\,;\\,0\\,;\\,0)$ et $H(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$,\ndonc $\\overrightarrow{BH}$ a pour coordonnées\n$(0-1\\,;\\,1-0\\,;\\,1-0)$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AG}$, la grande\ndiagonale partant de $A$. En partant de $B$, il faut\nd'abord revenir en arrière."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,-1\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : ce vecteur est $\\overrightarrow{HB}$. Le\ncalcul se fait dans l'ordre arrivée moins départ."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,1\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coordonnées du point $H$ recopiées : elles ne donnent le\nvecteur que si l'origine du vecteur est $A$, ce qui n'est\npas le cas ici."
}
],
"explanation": "Les sommets du cube ont pour coordonnées les triplets de $0$\net de $1$. On lit celles du départ et de l'arrivée, puis on\nsoustrait : $\\overrightarrow{BH} = H - B$."
},
{
"id": "q33",
"difficulty": 2,
"skills": [
"egalite-vectorielle",
"coordonnees"
],
"title": "Compléter un parallélogramme",
"partie": "vecteurs",
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$,\n$B(3\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et $C(4\\,;\\,1\\,;\\,5)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ tel que\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,3)$, que l'on ajoute à celles\nde $A$ pour obtenir $D$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur\n$\\overrightarrow{BC}$, qu'il reste à ajouter à celles du\npoint $A$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,1\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{CB}$, c'est-à-dire\nl'égalité écrite dans l'autre sens."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-1\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des deux vecteurs issus de $A$ : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AC}$, et non l'égalité demandée."
}
],
"explanation": "Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :\n$x_D - x_A = x_C - x_B$, d'où $x_D = x_A + x_C - x_B$, et de\nmême pour les deux autres. Le quadrilatère $ABCD$ obtenu est\nalors un parallélogramme.",
"variants": [
{
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$,\n$B(3\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et $C(4\\,;\\,1\\,;\\,5)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ tel que\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,3)$, que l'on ajoute à celles\nde $A$ pour obtenir $D$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur\n$\\overrightarrow{BC}$, qu'il reste à ajouter à celles du\npoint $A$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,1\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{CB}$, c'est-à-dire\nl'égalité écrite dans l'autre sens."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-1\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des deux vecteurs issus de $A$ : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AC}$, et non l'égalité demandée."
}
],
"explanation": "Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :\n$x_D - x_A = x_C - x_B$, d'où $x_D = x_A + x_C - x_B$, et de\nmême pour les deux autres. Le quadrilatère $ABCD$ obtenu est\nalors un parallélogramme."
},
{
"statement": "On donne $A(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$,\n$B(1\\,;\\,4\\,;\\,0)$ et $C(5\\,;\\,2\\,;\\,1)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ tel que\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\,;\\,-3\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées\n$(4\\,;\\,-2\\,;\\,1)$, que l'on ajoute à celles\nde $A$ pour obtenir $D$."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur\n$\\overrightarrow{BC}$, qu'il reste à ajouter à celles du\npoint $A$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,1\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{CB}$, c'est-à-dire\nl'égalité écrite dans l'autre sens."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,7\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des deux vecteurs issus de $A$ : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AC}$, et non l'égalité demandée."
}
],
"explanation": "Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :\n$x_D - x_A = x_C - x_B$, d'où $x_D = x_A + x_C - x_B$, et de\nmême pour les deux autres. Le quadrilatère $ABCD$ obtenu est\nalors un parallélogramme."
},
{
"statement": "On donne $A(0\\,;\\,3\\,;\\,2)$,\n$B(2\\,;\\,1\\,;\\,5)$ et $C(3\\,;\\,4\\,;\\,1)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ tel que\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(1\\,;\\,6\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées\n$(1\\,;\\,3\\,;\\,-4)$, que l'on ajoute à celles\nde $A$ pour obtenir $D$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,3\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur\n$\\overrightarrow{BC}$, qu'il reste à ajouter à celles du\npoint $A$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,0\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{CB}$, c'est-à-dire\nl'égalité écrite dans l'autre sens."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,2\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des deux vecteurs issus de $A$ : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AC}$, et non l'égalité demandée."
}
],
"explanation": "Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :\n$x_D - x_A = x_C - x_B$, d'où $x_D = x_A + x_C - x_B$, et de\nmême pour les deux autres. Le quadrilatère $ABCD$ obtenu est\nalors un parallélogramme."
},
{
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$,\n$B(3\\,;\\,0\\,;\\,2)$ et $C(4\\,;\\,1\\,;\\,1)$.\nQuelles sont les coordonnées du point $D$ tel que\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{BC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{BC}$ a pour coordonnées\n$(1\\,;\\,1\\,;\\,-1)$, que l'on ajoute à celles\nde $A$ pour obtenir $D$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,1\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Dernière étape sautée : ce sont les coordonnées du vecteur\n$\\overrightarrow{BC}$, qu'il reste à ajouter à celles du\npoint $A$."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,1\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Rôles échangés : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{CB}$, c'est-à-dire\nl'égalité écrite dans l'autre sens."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-1\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des deux vecteurs issus de $A$ : ce point vérifie\n$\\overrightarrow{AD} = \\overrightarrow{AB} +\n\\overrightarrow{AC}$, et non l'égalité demandée."
}
],
"explanation": "Une égalité vectorielle se traduit coordonnée par coordonnée :\n$x_D - x_A = x_C - x_B$, d'où $x_D = x_A + x_C - x_B$, et de\nmême pour les deux autres. Le quadrilatère $ABCD$ obtenu est\nalors un parallélogramme."
}
]
},
{
"id": "q34",
"difficulty": 3,
"skills": [
"alignement",
"colinearite"
],
"title": "Une cote qui rend trois points alignés",
"partie": "colinearite",
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$,\n$B(3\\,;\\,1\\,;\\,2)$ et $C(7\\,;\\,-1\\,;\\,m)$. Pour\nquelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils\nalignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$ et la première coordonnée de\n$\\overrightarrow{AC}$ impose\n$\\overrightarrow{AC} = 3\\,\\overrightarrow{AB}$, d'où la\ntroisième."
},
{
"text": "$m = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Cote de $B$ recopiée : les trois points alignés n'ont\naucune raison de partager leur troisième coordonnée."
},
{
"text": "$m = -10$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient inversé : la cote de $C$ s'obtient\nen ajoutant $3$ fois la troisième coordonnée de\n$\\overrightarrow{AB}$ à celle de $A$."
},
{
"text": "$m = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la\ntroisième coordonnée du vecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas\nla cote du point $B$."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés lorsque $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On détermine le\ncoefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à\ncelle que l'on cherche.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$,\n$B(3\\,;\\,1\\,;\\,2)$ et $C(7\\,;\\,-1\\,;\\,m)$. Pour\nquelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils\nalignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$ et la première coordonnée de\n$\\overrightarrow{AC}$ impose\n$\\overrightarrow{AC} = 3\\,\\overrightarrow{AB}$, d'où la\ntroisième."
},
{
"text": "$m = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Cote de $B$ recopiée : les trois points alignés n'ont\naucune raison de partager leur troisième coordonnée."
},
{
"text": "$m = -10$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient inversé : la cote de $C$ s'obtient\nen ajoutant $3$ fois la troisième coordonnée de\n$\\overrightarrow{AB}$ à celle de $A$."
},
{
"text": "$m = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la\ntroisième coordonnée du vecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas\nla cote du point $B$."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés lorsque $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On détermine le\ncoefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à\ncelle que l'on cherche."
},
{
"statement": "Soient $A(2\\,;\\,0\\,;\\,5)$,\n$B(3\\,;\\,3\\,;\\,3)$ et $C(6\\,;\\,12\\,;\\,m)$. Pour\nquelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils\nalignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = -3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(1\\,;\\,3\\,;\\,-2)$ et la première coordonnée de\n$\\overrightarrow{AC}$ impose\n$\\overrightarrow{AC} = 4\\,\\overrightarrow{AB}$, d'où la\ntroisième."
},
{
"text": "$m = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Cote de $B$ recopiée : les trois points alignés n'ont\naucune raison de partager leur troisième coordonnée."
},
{
"text": "$m = 13$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient inversé : la cote de $C$ s'obtient\nen ajoutant $4$ fois la troisième coordonnée de\n$\\overrightarrow{AB}$ à celle de $A$."
},
{
"text": "$m = 12$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la\ntroisième coordonnée du vecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas\nla cote du point $B$."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés lorsque $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On détermine le\ncoefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à\ncelle que l'on cherche."
},
{
"statement": "Soient $A(-1\\,;\\,3\\,;\\,2)$,\n$B(1\\,;\\,4\\,;\\,-1)$ et $C(5\\,;\\,6\\,;\\,m)$. Pour\nquelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils\nalignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = -7$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(2\\,;\\,1\\,;\\,-3)$ et la première coordonnée de\n$\\overrightarrow{AC}$ impose\n$\\overrightarrow{AC} = 3\\,\\overrightarrow{AB}$, d'où la\ntroisième."
},
{
"text": "$m = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Cote de $B$ recopiée : les trois points alignés n'ont\naucune raison de partager leur troisième coordonnée."
},
{
"text": "$m = 11$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient inversé : la cote de $C$ s'obtient\nen ajoutant $3$ fois la troisième coordonnée de\n$\\overrightarrow{AB}$ à celle de $A$."
},
{
"text": "$m = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la\ntroisième coordonnée du vecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas\nla cote du point $B$."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés lorsque $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On détermine le\ncoefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à\ncelle que l'on cherche."
},
{
"statement": "Soient $A(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$,\n$B(3\\,;\\,1\\,;\\,2)$ et $C(9\\,;\\,-2\\,;\\,m)$. Pour\nquelle valeur de $m$ les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils\nalignés ?",
"options": [
{
"text": "$m = 11$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(2\\,;\\,-1\\,;\\,3)$ et la première coordonnée de\n$\\overrightarrow{AC}$ impose\n$\\overrightarrow{AC} = 4\\,\\overrightarrow{AB}$, d'où la\ntroisième."
},
{
"text": "$m = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Cote de $B$ recopiée : les trois points alignés n'ont\naucune raison de partager leur troisième coordonnée."
},
{
"text": "$m = -13$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du coefficient inversé : la cote de $C$ s'obtient\nen ajoutant $4$ fois la troisième coordonnée de\n$\\overrightarrow{AB}$ à celle de $A$."
},
{
"text": "$m = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient appliqué au mauvais nombre : il multiplie la\ntroisième coordonnée du vecteur $\\overrightarrow{AB}$, pas\nla cote du point $B$."
}
],
"explanation": "Trois points sont alignés lorsque $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On détermine le\ncoefficient sur une coordonnée connue, puis on l'applique à\ncelle que l'on cherche."
}
]
},
{
"id": "q35",
"difficulty": 2,
"skills": [
"appartenance",
"representation-parametrique"
],
"title": "Reconnaître un point d'une droite",
"partie": "positions",
"statement": "La droite $d$ admet pour représentation paramétrique\n$x = 1 + 2t$, $y = 4 - 3t$ et\n$z = -2 + 5t$, où $t$ décrit $\\mathbb{R}$. Lequel de ces\npoints appartient à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(7\\,;\\,-5\\,;\\,13)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la valeur $t = 3$ convient pour les\ntrois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,-5\\,;\\,-17)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées\ndonnent $t = 3$, et cette valeur ne convient pas pour\nla troisième."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,7\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas $1$,\nchaque coordonnée varie à son propre rythme."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-9\\,;\\,15)$",
"correct": false,
"feedback": "Termes constants oubliés : ils fixent le point de la\ndroite obtenu pour $t = 0$, et doivent figurer dans chaque\ncoordonnée."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite s'il existe **une seule**\nvaleur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.\nOn la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux\nautres.",
"variants": [
{
"statement": "La droite $d$ admet pour représentation paramétrique\n$x = 1 + 2t$, $y = 4 - 3t$ et\n$z = -2 + 5t$, où $t$ décrit $\\mathbb{R}$. Lequel de ces\npoints appartient à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(7\\,;\\,-5\\,;\\,13)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la valeur $t = 3$ convient pour les\ntrois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,-5\\,;\\,-17)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées\ndonnent $t = 3$, et cette valeur ne convient pas pour\nla troisième."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,7\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas $1$,\nchaque coordonnée varie à son propre rythme."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-9\\,;\\,15)$",
"correct": false,
"feedback": "Termes constants oubliés : ils fixent le point de la\ndroite obtenu pour $t = 0$, et doivent figurer dans chaque\ncoordonnée."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite s'il existe **une seule**\nvaleur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.\nOn la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux\nautres."
},
{
"statement": "La droite $d$ admet pour représentation paramétrique\n$x = -1 + 3t$, $y = 2 + 4t$ et\n$z = 3 - 2t$, où $t$ décrit $\\mathbb{R}$. Lequel de ces\npoints appartient à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,10\\,;\\,-1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la valeur $t = 2$ convient pour les\ntrois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure."
},
{
"text": "$(5\\,;\\,10\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées\ndonnent $t = 2$, et cette valeur ne convient pas pour\nla troisième."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,4\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas $1$,\nchaque coordonnée varie à son propre rythme."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,8\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Termes constants oubliés : ils fixent le point de la\ndroite obtenu pour $t = 0$, et doivent figurer dans chaque\ncoordonnée."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite s'il existe **une seule**\nvaleur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.\nOn la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux\nautres."
},
{
"statement": "La droite $d$ admet pour représentation paramétrique\n$x = 4 - 2t$, $y = 6 + 5t$ et\n$z = 1 + 3t$, où $t$ décrit $\\mathbb{R}$. Lequel de ces\npoints appartient à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,16\\,;\\,7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la valeur $t = 2$ convient pour les\ntrois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure."
},
{
"text": "$(0\\,;\\,16\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées\ndonnent $t = 2$, et cette valeur ne convient pas pour\nla troisième."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,8\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas $1$,\nchaque coordonnée varie à son propre rythme."
},
{
"text": "$(-4\\,;\\,10\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Termes constants oubliés : ils fixent le point de la\ndroite obtenu pour $t = 0$, et doivent figurer dans chaque\ncoordonnée."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite s'il existe **une seule**\nvaleur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.\nOn la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux\nautres."
},
{
"statement": "La droite $d$ admet pour représentation paramétrique\n$x = 1 + 2t$, $y = 4 - 3t$ et\n$z = -2 + 3t$, où $t$ décrit $\\mathbb{R}$. Lequel de ces\npoints appartient à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$(7\\,;\\,-5\\,;\\,7)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : la valeur $t = 3$ convient pour les\ntrois coordonnées à la fois, ce qui suffit à conclure."
},
{
"text": "$(7\\,;\\,-5\\,;\\,-11)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe fautif sur la cote : les deux premières coordonnées\ndonnent $t = 3$, et cette valeur ne convient pas pour\nla troisième."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,7\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients du paramètre ignorés : ils ne valent pas $1$,\nchaque coordonnée varie à son propre rythme."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-9\\,;\\,9)$",
"correct": false,
"feedback": "Termes constants oubliés : ils fixent le point de la\ndroite obtenu pour $t = 0$, et doivent figurer dans chaque\ncoordonnée."
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite s'il existe **une seule**\nvaleur du paramètre qui convienne pour les trois coordonnées.\nOn la calcule sur une ligne, puis on vérifie sur les deux\nautres."
}
]
},
{
"id": "q36",
"difficulty": 2,
"skills": [
"intersection",
"droites"
],
"title": "Un système sans solution",
"partie": "positions",
"statement": "Deux droites de l'espace ont des vecteurs directeurs non\ncolinéaires, et le système formé par leurs représentations\nparamétriques n'admet aucune solution. Que peut-on conclure ?",
"options": [
{
"text": "Les droites ne sont pas coplanaires",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : directions différentes et aucun point\ncommun, il ne reste que ce cas, propre à l'espace."
},
{
"text": "Les droites sont strictement parallèles",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des droites parallèles ont des vecteurs\ndirecteurs colinéaires, ce que l'énoncé exclut\nexplicitement."
},
{
"text": "Les droites sont sécantes en un point",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un point commun se traduirait précisément par une\nsolution du système, alors qu'il n'en a aucune."
},
{
"text": "Les droites sont confondues",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : des droites confondues partagent tous leurs\npoints, et le système aurait alors une infinité de\nsolutions."
}
],
"explanation": "Méthode en deux temps : comparer les vecteurs directeurs\n(colinéaires ou non), puis résoudre le système. Directions\ndifférentes et système sans solution signent des droites non\ncoplanaires."
},
{
"id": "q37",
"difficulty": 1,
"skills": [
"caracterisation",
"droite"
],
"title": "Caractériser les points d'une droite",
"partie": "colinearite",
"statement": "Soit $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur\nnon nul $\\vec{u}$. Quelle égalité caractérise l'appartenance\nd'un point $M$ à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} = t\\,\\vec{u}$, avec $t$ réel",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les points de $d$ sont exactement ceux\ndont le vecteur $\\overrightarrow{AM}$ est colinéaire à\n$\\vec{u}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} = \\vec{u}$ exactement",
"correct": false,
"feedback": "Trop restrictif : cette égalité ne décrit qu'un seul point\nde la droite. Le coefficient doit rester libre."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$, avec $a$ et $b$ réels",
"correct": false,
"feedback": "Objet plus grand : deux directions indépendantes\ndécrivent un plan, pas une droite."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AM}$ et $\\vec{u}$ ont la même norme",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la norme mesure une longueur, elle ne dit rien de\nla direction. Deux vecteurs de même norme peuvent pointer\nn'importe où."
}
],
"explanation": "$M \\in d \\Leftrightarrow \\overrightarrow{AM} = t\\,\\vec{u}$\npour un réel $t$. Écrite coordonnée par coordonnée, cette\négalité donne exactement la représentation paramétrique de la\ndroite."
},
{
"id": "q38",
"difficulty": 2,
"skills": [
"construction",
"coordonnees"
],
"title": "Construire un symétrique",
"partie": "vecteurs",
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,-2\\,;\\,4)$ et\n$B(3\\,;\\,0\\,;\\,1)$. Quelles sont les coordonnées du\nsymétrique de $A$ par rapport à $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,2\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le symétrique $A'$ vérifie\n$\\overrightarrow{AA'} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$, ou encore\n$B$ milieu de $[AA']$, ce qui donne\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-4\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Points échangés : ce point est le symétrique de $B$ par\nrapport à $A$. C'est le centre de la symétrie qui est\ndoublé."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des coordonnées : elle donnerait le double du\nmilieu de $[AB]$, alors que le point cherché est bien\nau-delà de $B$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles\nde $\\overrightarrow{AB}$, qu'il reste à reporter à partir\nde $B$."
}
],
"explanation": "Le symétrique de $A$ par rapport à $B$ est le point $A'$ tel\nque $B$ soit le milieu de $[AA']$. Chaque coordonnée vérifie\ndonc $x_B = \\dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$, soit\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$.",
"variants": [
{
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,-2\\,;\\,4)$ et\n$B(3\\,;\\,0\\,;\\,1)$. Quelles sont les coordonnées du\nsymétrique de $A$ par rapport à $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,2\\,;\\,-2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le symétrique $A'$ vérifie\n$\\overrightarrow{AA'} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$, ou encore\n$B$ milieu de $[AA']$, ce qui donne\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-4\\,;\\,7)$",
"correct": false,
"feedback": "Points échangés : ce point est le symétrique de $B$ par\nrapport à $A$. C'est le centre de la symétrie qui est\ndoublé."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des coordonnées : elle donnerait le double du\nmilieu de $[AB]$, alors que le point cherché est bien\nau-delà de $B$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles\nde $\\overrightarrow{AB}$, qu'il reste à reporter à partir\nde $B$."
}
],
"explanation": "Le symétrique de $A$ par rapport à $B$ est le point $A'$ tel\nque $B$ soit le milieu de $[AA']$. Chaque coordonnée vérifie\ndonc $x_B = \\dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$, soit\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"statement": "On donne $A(-2\\,;\\,5\\,;\\,0)$ et\n$B(1\\,;\\,3\\,;\\,2)$. Quelles sont les coordonnées du\nsymétrique de $A$ par rapport à $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4\\,;\\,1\\,;\\,4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le symétrique $A'$ vérifie\n$\\overrightarrow{AA'} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$, ou encore\n$B$ milieu de $[AA']$, ce qui donne\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"text": "$(-5\\,;\\,7\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Points échangés : ce point est le symétrique de $B$ par\nrapport à $A$. C'est le centre de la symétrie qui est\ndoublé."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,8\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des coordonnées : elle donnerait le double du\nmilieu de $[AB]$, alors que le point cherché est bien\nau-delà de $B$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,-2\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles\nde $\\overrightarrow{AB}$, qu'il reste à reporter à partir\nde $B$."
}
],
"explanation": "Le symétrique de $A$ par rapport à $B$ est le point $A'$ tel\nque $B$ soit le milieu de $[AA']$. Chaque coordonnée vérifie\ndonc $x_B = \\dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$, soit\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"statement": "On donne $A(4\\,;\\,1\\,;\\,-3)$ et\n$B(2\\,;\\,-1\\,;\\,0)$. Quelles sont les coordonnées du\nsymétrique de $A$ par rapport à $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$(0\\,;\\,-3\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le symétrique $A'$ vérifie\n$\\overrightarrow{AA'} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$, ou encore\n$B$ milieu de $[AA']$, ce qui donne\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,3\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Points échangés : ce point est le symétrique de $B$ par\nrapport à $A$. C'est le centre de la symétrie qui est\ndoublé."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,0\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des coordonnées : elle donnerait le double du\nmilieu de $[AB]$, alors que le point cherché est bien\nau-delà de $B$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles\nde $\\overrightarrow{AB}$, qu'il reste à reporter à partir\nde $B$."
}
],
"explanation": "Le symétrique de $A$ par rapport à $B$ est le point $A'$ tel\nque $B$ soit le milieu de $[AA']$. Chaque coordonnée vérifie\ndonc $x_B = \\dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$, soit\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"statement": "On donne $A(1\\,;\\,-2\\,;\\,4)$ et\n$B(3\\,;\\,0\\,;\\,2)$. Quelles sont les coordonnées du\nsymétrique de $A$ par rapport à $B$ ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,2\\,;\\,0)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le symétrique $A'$ vérifie\n$\\overrightarrow{AA'} = 2\\,\\overrightarrow{AB}$, ou encore\n$B$ milieu de $[AA']$, ce qui donne\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
},
{
"text": "$(-1\\,;\\,-4\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Points échangés : ce point est le symétrique de $B$ par\nrapport à $A$. C'est le centre de la symétrie qui est\ndoublé."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,-2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Somme des coordonnées : elle donnerait le double du\nmilieu de $[AB]$, alors que le point cherché est bien\nau-delà de $B$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,2\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Vecteur au lieu d'un point : ces coordonnées sont celles\nde $\\overrightarrow{AB}$, qu'il reste à reporter à partir\nde $B$."
}
],
"explanation": "Le symétrique de $A$ par rapport à $B$ est le point $A'$ tel\nque $B$ soit le milieu de $[AA']$. Chaque coordonnée vérifie\ndonc $x_B = \\dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$, soit\n$x_{A'} = 2x_B - x_A$."
}
]
},
{
"id": "q39",
"difficulty": 3,
"skills": [
"test",
"coplanarite"
],
"title": "Rendre trois vecteurs coplanaires",
"partie": "colinearite",
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1\\,;\\,5)$ ne sont pas colinéaires.\nPour quelle valeur de $m$ le vecteur\n$\\vec{w}(8\\,;\\,1\\,;\\,m)$ est-il coplanaire avec\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = 13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent\n$\\vec{w} = 2\\,\\vec{u} + 3\\,\\vec{v}$, et la\ntroisième s'en déduit."
},
{
"text": "$m = -17$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient inversé : il vaut $3$ pour\nles trois coordonnées, pas seulement pour les deux\npremières."
},
{
"text": "$m = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir\n$\\vec{u}$ **et** $\\vec{v}$, donc leurs deux troisièmes\ncoordonnées."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients oubliés : la somme $\\vec{u} + \\vec{v}$ n'est\nqu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle\nque les deux premières coordonnées imposent."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non\ncolinéaires lorsque $\\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. Deux\ncoordonnées déterminent $a$ et $b$ ; la troisième fournit\nalors la valeur cherchée.",
"variants": [
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1\\,;\\,5)$ ne sont pas colinéaires.\nPour quelle valeur de $m$ le vecteur\n$\\vec{w}(8\\,;\\,1\\,;\\,m)$ est-il coplanaire avec\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = 13$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent\n$\\vec{w} = 2\\,\\vec{u} + 3\\,\\vec{v}$, et la\ntroisième s'en déduit."
},
{
"text": "$m = -17$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient inversé : il vaut $3$ pour\nles trois coordonnées, pas seulement pour les deux\npremières."
},
{
"text": "$m = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir\n$\\vec{u}$ **et** $\\vec{v}$, donc leurs deux troisièmes\ncoordonnées."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients oubliés : la somme $\\vec{u} + \\vec{v}$ n'est\nqu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle\nque les deux premières coordonnées imposent."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non\ncolinéaires lorsque $\\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. Deux\ncoordonnées déterminent $a$ et $b$ ; la troisième fournit\nalors la valeur cherchée."
},
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(2\\,;\\,0\\,;\\,1)$ et\n$\\vec{v}(-1\\,;\\,3\\,;\\,2)$ ne sont pas colinéaires.\nPour quelle valeur de $m$ le vecteur\n$\\vec{w}(1\\,;\\,9\\,;\\,m)$ est-il coplanaire avec\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = 8$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent\n$\\vec{w} = 2\\,\\vec{u} + 3\\,\\vec{v}$, et la\ntroisième s'en déduit."
},
{
"text": "$m = -4$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient inversé : il vaut $3$ pour\nles trois coordonnées, pas seulement pour les deux\npremières."
},
{
"text": "$m = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir\n$\\vec{u}$ **et** $\\vec{v}$, donc leurs deux troisièmes\ncoordonnées."
},
{
"text": "$m = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients oubliés : la somme $\\vec{u} + \\vec{v}$ n'est\nqu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle\nque les deux premières coordonnées imposent."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non\ncolinéaires lorsque $\\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. Deux\ncoordonnées déterminent $a$ et $b$ ; la troisième fournit\nalors la valeur cherchée."
},
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(1\\,;\\,-1\\,;\\,4)$ et\n$\\vec{v}(3\\,;\\,2\\,;\\,-2)$ ne sont pas colinéaires.\nPour quelle valeur de $m$ le vecteur\n$\\vec{w}(-3\\,;\\,-7\\,;\\,m)$ est-il coplanaire avec\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = 16$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent\n$\\vec{w} = 3\\,\\vec{u} - 2\\,\\vec{v}$, et la\ntroisième s'en déduit."
},
{
"text": "$m = 8$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient inversé : il vaut $-2$ pour\nles trois coordonnées, pas seulement pour les deux\npremières."
},
{
"text": "$m = 12$",
"correct": false,
"feedback": "Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir\n$\\vec{u}$ **et** $\\vec{v}$, donc leurs deux troisièmes\ncoordonnées."
},
{
"text": "$m = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients oubliés : la somme $\\vec{u} + \\vec{v}$ n'est\nqu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle\nque les deux premières coordonnées imposent."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non\ncolinéaires lorsque $\\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. Deux\ncoordonnées déterminent $a$ et $b$ ; la troisième fournit\nalors la valeur cherchée."
},
{
"statement": "Les vecteurs $\\vec{u}(1\\,;\\,2\\,;\\,-1)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1\\,;\\,5)$ ne sont pas colinéaires.\nPour quelle valeur de $m$ le vecteur\n$\\vec{w}(9\\,;\\,3\\,;\\,m)$ est-il coplanaire avec\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$m = 12$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux premières coordonnées donnent\n$\\vec{w} = 3\\,\\vec{u} + 3\\,\\vec{v}$, et la\ntroisième s'en déduit."
},
{
"text": "$m = -18$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient inversé : il vaut $3$ pour\nles trois coordonnées, pas seulement pour les deux\npremières."
},
{
"text": "$m = -3$",
"correct": false,
"feedback": "Second vecteur oublié : la combinaison fait intervenir\n$\\vec{u}$ **et** $\\vec{v}$, donc leurs deux troisièmes\ncoordonnées."
},
{
"text": "$m = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients oubliés : la somme $\\vec{u} + \\vec{v}$ n'est\nqu'une combinaison parmi d'autres, et ce n'est pas celle\nque les deux premières coordonnées imposent."
}
],
"explanation": "$\\vec{w}$ est coplanaire à $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ non\ncolinéaires lorsque $\\vec{w} = a\\vec{u} + b\\vec{v}$. Deux\ncoordonnées déterminent $a$ et $b$ ; la troisième fournit\nalors la valeur cherchée."
}
]
},
{
"id": "q40",
"difficulty": 2,
"skills": [
"raisonnement",
"positions-relatives"
],
"title": "Parallèles à un même plan",
"partie": "colinearite",
"statement": "Deux droites de l'espace sont parallèles à un même plan.\nSont-elles nécessairement parallèles entre elles ?",
"options": [
{
"text": "Non : leurs directions peuvent différer",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : dans un plafond, deux tracés de directions\ndifférentes donnent deux droites parallèles au sol sans\nl'être entre elles."
},
{
"text": "Oui : elles ont alors la même direction que le plan",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : un plan n'a pas une direction unique, il en\ncontient une infinité. Les deux droites peuvent en suivre\ndeux différentes."
},
{
"text": "Oui, à condition qu'elles soient coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : deux droites coplanaires peuvent parfaitement\nêtre sécantes, tout en restant parallèles au plan de\ndépart."
},
{
"text": "Non : elles sont alors sécantes",
"correct": false,
"feedback": "Trop catégorique : elles peuvent aussi être parallèles ou\nnon coplanaires. Aucune conclusion certaine ne se dégage."
}
],
"explanation": "Être parallèle à un plan signifie avoir une direction\ncontenue dans celle du plan, et un plan contient une infinité\nde directions. La propriété ne transmet donc pas le\nparallélisme d'une droite à l'autre."
},
{
"id": "q41",
"difficulty": 1,
"skills": [
"vecteurs",
"calcul"
],
"title": "Combinaison linéaire de deux vecteurs",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Soient $\\vec{u}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,0\\,;\\,-1)$. Quelles sont les\ncoordonnées du vecteur $2\\vec{u} - 3\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,-4\\,;\\,9)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de\n$\\vec{u}$ par $2$, chacune de $\\vec{v}$ par $-3$, puis\non ajoute coordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,-4\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient perdu : il vaut $-3$, et ce\nsigne se reporte sur les trois coordonnées de $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-4\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a\nle sien, $2$ pour $\\vec{u}$ et $-3$ pour $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,6\\,;\\,-11)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $2$ porte sur $\\vec{u}$, le\npremier vecteur écrit, et $-3$ sur $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois\ncoordonnées, additionner deux vecteurs additionne les\ncoordonnées de même rang.",
"variants": [
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,0\\,;\\,-1)$. Quelles sont les\ncoordonnées du vecteur $2\\vec{u} - 3\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-4\\,;\\,-4\\,;\\,9)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de\n$\\vec{u}$ par $2$, chacune de $\\vec{v}$ par $-3$, puis\non ajoute coordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,-4\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient perdu : il vaut $-3$, et ce\nsigne se reporte sur les trois coordonnées de $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,-4\\,;\\,4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a\nle sien, $2$ pour $\\vec{u}$ et $-3$ pour $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,6\\,;\\,-11)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $2$ porte sur $\\vec{u}$, le\npremier vecteur écrit, et $-3$ sur $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois\ncoordonnées, additionner deux vecteurs additionne les\ncoordonnées de même rang."
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(3\\,;\\,1\\,;\\,-2)$ et\n$\\vec{v}(-1\\,;\\,4\\,;\\,0)$. Quelles sont les\ncoordonnées du vecteur $3\\vec{u} + 2\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(7\\,;\\,11\\,;\\,-6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de\n$\\vec{u}$ par $3$, chacune de $\\vec{v}$ par $2$, puis\non ajoute coordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "$(11\\,;\\,-5\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient perdu : il vaut $2$, et ce\nsigne se reporte sur les trois coordonnées de $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(6\\,;\\,15\\,;\\,-6)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a\nle sien, $3$ pour $\\vec{u}$ et $2$ pour $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,14\\,;\\,-4)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $3$ porte sur $\\vec{u}$, le\npremier vecteur écrit, et $2$ sur $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois\ncoordonnées, additionner deux vecteurs additionne les\ncoordonnées de même rang."
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(-2\\,;\\,5\\,;\\,1)$ et\n$\\vec{v}(3\\,;\\,-1\\,;\\,2)$. Quelles sont les\ncoordonnées du vecteur $2\\vec{u} - 4\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-16\\,;\\,14\\,;\\,-6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de\n$\\vec{u}$ par $2$, chacune de $\\vec{v}$ par $-4$, puis\non ajoute coordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,6\\,;\\,10)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient perdu : il vaut $-4$, et ce\nsigne se reporte sur les trois coordonnées de $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,8\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a\nle sien, $2$ pour $\\vec{u}$ et $-4$ pour $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(14\\,;\\,-22\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $2$ porte sur $\\vec{u}$, le\npremier vecteur écrit, et $-4$ sur $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois\ncoordonnées, additionner deux vecteurs additionne les\ncoordonnées de même rang."
},
{
"statement": "Soient $\\vec{u}(1\\,;\\,-2\\,;\\,3)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,0\\,;\\,-1)$. Quelles sont les\ncoordonnées du vecteur $3\\vec{u} - 4\\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-5\\,;\\,-6\\,;\\,13)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on multiplie chaque coordonnée de\n$\\vec{u}$ par $3$, chacune de $\\vec{v}$ par $-4$, puis\non ajoute coordonnée par coordonnée."
},
{
"text": "$(11\\,;\\,-6\\,;\\,5)$",
"correct": false,
"feedback": "Signe du second coefficient perdu : il vaut $-4$, et ce\nsigne se reporte sur les trois coordonnées de $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(9\\,;\\,-6\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficient unique appliqué aux deux vecteurs : chacun a\nle sien, $3$ pour $\\vec{u}$ et $-4$ pour $\\vec{v}$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,8\\,;\\,-15)$",
"correct": false,
"feedback": "Coefficients échangés : $3$ porte sur $\\vec{u}$, le\npremier vecteur écrit, et $-4$ sur $\\vec{v}$."
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : multiplier par un réel multiplie les trois\ncoordonnées, additionner deux vecteurs additionne les\ncoordonnées de même rang."
}
]
},
{
"id": "q42",
"difficulty": 1,
"skills": [
"chasles",
"vecteurs"
],
"title": "Une différence de deux vecteurs",
"partie": "vecteurs",
"statement": "Pour trois points $A$, $B$ et $C$ de l'espace, que vaut\n$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC}$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\overrightarrow{CB}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse :\n$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC} =\n\\overrightarrow{CA} + \\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{CB}$, en remplaçant\n$-\\overrightarrow{AC}$ par $\\overrightarrow{CA}$."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BC}$",
"correct": false,
"feedback": "Sens inversé : le trajet obtenu part de $C$ pour arriver\nen $B$, et non l'inverse."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{BA} + \\overrightarrow{AC}$",
"correct": false,
"feedback": "Signes permutés : c'est\n$\\overrightarrow{AC} - \\overrightarrow{AB}$ qui vaut cette\nsomme, soit l'opposé du résultat cherché."
},
{
"text": "$\\overrightarrow{AA}$, soit le vecteur nul",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la différence ne s'annule que si $B$ et $C$ sont\nconfondus. Soustraire deux vecteurs n'efface pas leur\norigine commune."
}
],
"explanation": "Réflexe : remplacer une soustraction par l'opposé, puis\nappliquer Chasles.\n$\\overrightarrow{AB} - \\overrightarrow{AC} =\n\\overrightarrow{CA} + \\overrightarrow{AB} =\n\\overrightarrow{CB}$ : l'origine commune $A$ disparaît."
},
{
"id": "q43",
"difficulty": 1,
"skills": [
"base",
"decomposition"
],
"title": "Écrire un vecteur dans une base",
"partie": "reperes",
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\,;\\,\\vec{j}\\,;\\,\\vec{k})$ de\nl'espace, le vecteur $\\vec{w}$ a pour coordonnées\n$(3\\,;\\,-2\\,;\\,5)$. Comment $\\vec{w}$ se décompose-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$3\\vec{i} - 2\\vec{j} + 5\\vec{k}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la\nbase."
},
{
"text": "$3\\vec{i} + 5\\vec{j} - 2\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux derniers coefficients permutés : le deuxième\naccompagne $\\vec{j}$, le troisième $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$-2\\vec{i} + 3\\vec{j} + 5\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet\nsuit celui des vecteurs de la base, sans décalage."
},
{
"text": "$3\\vec{i} + 2\\vec{j} + 5\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Signes effacés : une coordonnée négative reste négative\ndans la décomposition, elle indique un sens opposé au\nvecteur de base."
}
],
"explanation": "Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique\n$x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$. Les coordonnées et les\ncoefficients de cette écriture sont deux façons de dire la\nmême chose.",
"variants": [
{
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\,;\\,\\vec{j}\\,;\\,\\vec{k})$ de\nl'espace, le vecteur $\\vec{w}$ a pour coordonnées\n$(3\\,;\\,-2\\,;\\,5)$. Comment $\\vec{w}$ se décompose-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$3\\vec{i} - 2\\vec{j} + 5\\vec{k}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la\nbase."
},
{
"text": "$3\\vec{i} + 5\\vec{j} - 2\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux derniers coefficients permutés : le deuxième\naccompagne $\\vec{j}$, le troisième $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$-2\\vec{i} + 3\\vec{j} + 5\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet\nsuit celui des vecteurs de la base, sans décalage."
},
{
"text": "$3\\vec{i} + 2\\vec{j} + 5\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Signes effacés : une coordonnée négative reste négative\ndans la décomposition, elle indique un sens opposé au\nvecteur de base."
}
],
"explanation": "Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique\n$x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$. Les coordonnées et les\ncoefficients de cette écriture sont deux façons de dire la\nmême chose."
},
{
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\,;\\,\\vec{j}\\,;\\,\\vec{k})$ de\nl'espace, le vecteur $\\vec{w}$ a pour coordonnées\n$(4\\,;\\,7\\,;\\,-3)$. Comment $\\vec{w}$ se décompose-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$4\\vec{i} + 7\\vec{j} - 3\\vec{k}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la\nbase."
},
{
"text": "$4\\vec{i} - 3\\vec{j} + 7\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux derniers coefficients permutés : le deuxième\naccompagne $\\vec{j}$, le troisième $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$7\\vec{i} + 4\\vec{j} - 3\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet\nsuit celui des vecteurs de la base, sans décalage."
},
{
"text": "$4\\vec{i} + 7\\vec{j} + 3\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Signes effacés : une coordonnée négative reste négative\ndans la décomposition, elle indique un sens opposé au\nvecteur de base."
}
],
"explanation": "Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique\n$x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$. Les coordonnées et les\ncoefficients de cette écriture sont deux façons de dire la\nmême chose."
},
{
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\,;\\,\\vec{j}\\,;\\,\\vec{k})$ de\nl'espace, le vecteur $\\vec{w}$ a pour coordonnées\n$(-5\\,;\\,2\\,;\\,6)$. Comment $\\vec{w}$ se décompose-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$-5\\vec{i} + 2\\vec{j} + 6\\vec{k}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la\nbase."
},
{
"text": "$-5\\vec{i} + 6\\vec{j} + 2\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux derniers coefficients permutés : le deuxième\naccompagne $\\vec{j}$, le troisième $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$2\\vec{i} - 5\\vec{j} + 6\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet\nsuit celui des vecteurs de la base, sans décalage."
},
{
"text": "$5\\vec{i} + 2\\vec{j} + 6\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Signes effacés : une coordonnée négative reste négative\ndans la décomposition, elle indique un sens opposé au\nvecteur de base."
}
],
"explanation": "Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique\n$x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$. Les coordonnées et les\ncoefficients de cette écriture sont deux façons de dire la\nmême chose."
},
{
"statement": "Dans une base $(\\vec{i}\\,;\\,\\vec{j}\\,;\\,\\vec{k})$ de\nl'espace, le vecteur $\\vec{w}$ a pour coordonnées\n$(3\\,;\\,-2\\,;\\,-3)$. Comment $\\vec{w}$ se décompose-t-il ?",
"options": [
{
"text": "$3\\vec{i} - 2\\vec{j} - 3\\vec{k}$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les coordonnées sont les coefficients de\nla décomposition, pris dans l'ordre des vecteurs de la\nbase."
},
{
"text": "$3\\vec{i} - 3\\vec{j} - 2\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux derniers coefficients permutés : le deuxième\naccompagne $\\vec{j}$, le troisième $\\vec{k}$."
},
{
"text": "$-2\\vec{i} + 3\\vec{j} - 3\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Deux premiers coefficients permutés : l'ordre du triplet\nsuit celui des vecteurs de la base, sans décalage."
},
{
"text": "$3\\vec{i} + 2\\vec{j} + 3\\vec{k}$",
"correct": false,
"feedback": "Signes effacés : une coordonnée négative reste négative\ndans la décomposition, elle indique un sens opposé au\nvecteur de base."
}
],
"explanation": "Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique\n$x\\vec{i} + y\\vec{j} + z\\vec{k}$. Les coordonnées et les\ncoefficients de cette écriture sont deux façons de dire la\nmême chose."
}
]
},
{
"id": "q44",
"difficulty": 3,
"skills": [
"intersection",
"droites"
],
"title": "Le point commun à deux droites",
"partie": "positions",
"statement": "Les droites $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - 3t$,\n$z = 3 + 4t$ et $d'$ : $x = 2 + 3s$,\n$y = -6 + 2s$, $z = 16 - 5s$ sont sécantes.\nQuelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-4\\,;\\,11)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point s'obtient pour $t = 2$ sur $d$\net pour $s = 1$ sur $d'$, les deux jeux de coordonnées\ncoïncidant."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-6\\,;\\,16)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d'$ : il correspond à $s = 0$ et\nn'appartient pas à $d$. Le système impose une autre\nvaleur."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d$ : il correspond à $t = 0$ et\nn'appartient pas à $d'$. Les deux paramètres sont à\ndéterminer."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,-2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre dépassé d'une unité sur $d'$ : ce point est bien\nsur $d'$, mais il n'est plus sur $d$."
}
],
"explanation": "On égale les deux représentations, ce qui donne trois\néquations à deux inconnues $t$ et $s$. Deux équations\ndéterminent le couple, la troisième le valide, puis on\nremplace dans l'une des deux droites.",
"variants": [
{
"statement": "Les droites $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - 3t$,\n$z = 3 + 4t$ et $d'$ : $x = 2 + 3s$,\n$y = -6 + 2s$, $z = 16 - 5s$ sont sécantes.\nQuelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-4\\,;\\,11)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point s'obtient pour $t = 2$ sur $d$\net pour $s = 1$ sur $d'$, les deux jeux de coordonnées\ncoïncidant."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-6\\,;\\,16)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d'$ : il correspond à $s = 0$ et\nn'appartient pas à $d$. Le système impose une autre\nvaleur."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d$ : il correspond à $t = 0$ et\nn'appartient pas à $d'$. Les deux paramètres sont à\ndéterminer."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,-2\\,;\\,6)$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre dépassé d'une unité sur $d'$ : ce point est bien\nsur $d'$, mais il n'est plus sur $d$."
}
],
"explanation": "On égale les deux représentations, ce qui donne trois\néquations à deux inconnues $t$ et $s$. Deux équations\ndéterminent le couple, la troisième le valide, puis on\nremplace dans l'une des deux droites."
},
{
"statement": "Les droites $d$ : $x = 4 - 3t$, $y = 1 + 2t$,\n$z = -2 + 5t$ et $d'$ : $x = -7 + 2s$,\n$y = 11 - 4s$, $z = 10 + 3s$ sont sécantes.\nQuelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?",
"options": [
{
"text": "$(-5\\,;\\,7\\,;\\,13)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point s'obtient pour $t = 3$ sur $d$\net pour $s = 1$ sur $d'$, les deux jeux de coordonnées\ncoïncidant."
},
{
"text": "$(-7\\,;\\,11\\,;\\,10)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d'$ : il correspond à $s = 0$ et\nn'appartient pas à $d$. Le système impose une autre\nvaleur."
},
{
"text": "$(4\\,;\\,1\\,;\\,-2)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d$ : il correspond à $t = 0$ et\nn'appartient pas à $d'$. Les deux paramètres sont à\ndéterminer."
},
{
"text": "$(-3\\,;\\,3\\,;\\,16)$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre dépassé d'une unité sur $d'$ : ce point est bien\nsur $d'$, mais il n'est plus sur $d$."
}
],
"explanation": "On égale les deux représentations, ce qui donne trois\néquations à deux inconnues $t$ et $s$. Deux équations\ndéterminent le couple, la troisième le valide, puis on\nremplace dans l'une des deux droites."
},
{
"statement": "Les droites $d$ : $x = -2 + 4t$, $y = 5 + 3t$,\n$z = 1 - 2t$ et $d'$ : $x = 9 - 3s$,\n$y = 7 + 4s$, $z = -5 + 2s$ sont sécantes.\nQuelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?",
"options": [
{
"text": "$(6\\,;\\,11\\,;\\,-3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point s'obtient pour $t = 2$ sur $d$\net pour $s = 1$ sur $d'$, les deux jeux de coordonnées\ncoïncidant."
},
{
"text": "$(9\\,;\\,7\\,;\\,-5)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d'$ : il correspond à $s = 0$ et\nn'appartient pas à $d$. Le système impose une autre\nvaleur."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,5\\,;\\,1)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d$ : il correspond à $t = 0$ et\nn'appartient pas à $d'$. Les deux paramètres sont à\ndéterminer."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,15\\,;\\,-1)$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre dépassé d'une unité sur $d'$ : ce point est bien\nsur $d'$, mais il n'est plus sur $d$."
}
],
"explanation": "On égale les deux représentations, ce qui donne trois\néquations à deux inconnues $t$ et $s$. Deux équations\ndéterminent le couple, la troisième le valide, puis on\nremplace dans l'une des deux droites."
},
{
"statement": "Les droites $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - 3t$,\n$z = 3 + 5t$ et $d'$ : $x = 2 + 3s$,\n$y = -6 + 2s$, $z = 18 - 5s$ sont sécantes.\nQuelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?",
"options": [
{
"text": "$(5\\,;\\,-4\\,;\\,13)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : ce point s'obtient pour $t = 2$ sur $d$\net pour $s = 1$ sur $d'$, les deux jeux de coordonnées\ncoïncidant."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-6\\,;\\,18)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d'$ : il correspond à $s = 0$ et\nn'appartient pas à $d$. Le système impose une autre\nvaleur."
},
{
"text": "$(1\\,;\\,2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Point de départ de $d$ : il correspond à $t = 0$ et\nn'appartient pas à $d'$. Les deux paramètres sont à\ndéterminer."
},
{
"text": "$(8\\,;\\,-2\\,;\\,8)$",
"correct": false,
"feedback": "Paramètre dépassé d'une unité sur $d'$ : ce point est bien\nsur $d'$, mais il n'est plus sur $d$."
}
],
"explanation": "On égale les deux représentations, ce qui donne trois\néquations à deux inconnues $t$ et $s$. Deux équations\ndéterminent le couple, la troisième le valide, puis on\nremplace dans l'une des deux droites."
}
]
},
{
"id": "q45",
"difficulty": 2,
"skills": [
"positions-relatives",
"cube"
],
"title": "Deux diagonales de faces",
"partie": "positions",
"statement": "Dans le cube $ABCDEFGH$ dont la face $EFGH$ surmonte la face\n$ABCD$ ($E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$\nau-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la\nposition relative des droites $(AC)$ et $(EG)$ ?",
"options": [
{
"text": "Strictement parallèles",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{EG}$\ncar $ACGE$ est un rectangle, et les deux droites sont\ndistinctes."
},
{
"text": "Sécantes au centre du cube",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le centre du cube est le milieu de $[AG]$, il\nn'appartient ni à $(AC)$ ni à $(EG)$, qui vivent sur deux\nfaces opposées."
},
{
"text": "Non coplanaires",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : les quatre points $A$, $C$, $G$ et $E$ sont dans\nun même plan, celui de la section diagonale du cube."
},
{
"text": "Confondues, car $\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{EG}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'égalité des vecteurs donne le parallélisme,\nmais les droites portent des points distincts, sur deux\nfaces opposées."
}
],
"explanation": "Deux droites de même direction sont parallèles ; elles sont\nconfondues si elles ont en plus un point commun. Ici\n$\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{EG}$ et les faces sont\ndistinctes, donc le parallélisme est strict."
},
{
"id": "q46",
"difficulty": 1,
"skills": [
"reperes",
"coordonnees",
"vecteur"
],
"title": "Coordonnées d'un vecteur à partir de deux points",
"partie": "reperes",
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(4 ; 0 ; 5)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3 ; -2 ; 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.\n"
},
{
"text": "$(-3 ; 2 ; -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BA}$ ;\nl'ordre est arrivée moins départ.\n"
},
{
"text": "$(5 ; 2 ; 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 0 ; 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur.\n"
}
],
"explanation": "Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(4 ; 0 ; 5)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3 ; -2 ; 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.\n"
},
{
"text": "$(-3 ; 2 ; -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BA}$ ;\nl'ordre est arrivée moins départ.\n"
},
{
"text": "$(5 ; 2 ; 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 0 ; 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur.\n"
}
],
"explanation": "Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$."
},
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(0 ; 1 ; -2)$ et $B(2 ; 3 ; 1)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2 ; 2 ; 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.\n"
},
{
"text": "$(-2 ; -2 ; -3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BA}$ ;\nl'ordre est arrivée moins départ.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 4 ; -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 3 ; 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur.\n"
}
],
"explanation": "Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$."
},
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(5 ; -1 ; 0)$ et $B(2 ; 4 ; 6)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-3 ; 5 ; 6)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.\n"
},
{
"text": "$(3 ; -5 ; -6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BA}$ ;\nl'ordre est arrivée moins départ.\n"
},
{
"text": "$(7 ; 3 ; 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 4 ; 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur.\n"
}
],
"explanation": "Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$."
},
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(2 ; -1 ; 4)$ et $B(-1 ; 3 ; 4)$. Quelles sont les\ncoordonnées de $\\overrightarrow{AB}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-3 ; 4 ; 0)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées\n$(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.\n"
},
{
"text": "$(3 ; -4 ; 0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{BA}$ ;\nl'ordre est arrivée moins départ.\n"
},
{
"text": "$(1 ; 2 ; 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : on soustrait les coordonnées, on ne les additionne pas.\n"
},
{
"text": "$(-1 ; 3 ; 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées du point $B$, pas du vecteur.\n"
}
],
"explanation": "Comme dans le plan, avec une troisième coordonnée :\n$\\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$."
}
]
},
{
"id": "q47",
"difficulty": 2,
"skills": [
"reperes",
"milieu",
"coordonnees"
],
"title": "Milieu d'un segment dans l'espace",
"partie": "reperes",
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(3 ; 6 ; 5)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2 ; 4 ; 4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $I$ a pour coordonnées les moyennes des\ncoordonnées de $A$ et de $B$.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 8 ; 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par $2$.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 4 ; 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$, pas\ndu milieu.\n"
},
{
"text": "$(1 ; 2 ; 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié de $\\overrightarrow{AB}$ n'est pas le milieu ;\nil faut partir de $A$.\n"
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ : $\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \\dfrac{y_A + y_B}{2}\n; \\dfrac{z_A + z_B}{2}\\right)$.",
"variants": [
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(3 ; 6 ; 5)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2 ; 4 ; 4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $I$ a pour coordonnées les moyennes des\ncoordonnées de $A$ et de $B$.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 8 ; 8)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par $2$.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 4 ; 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$, pas\ndu milieu.\n"
},
{
"text": "$(1 ; 2 ; 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié de $\\overrightarrow{AB}$ n'est pas le milieu ;\nil faut partir de $A$.\n"
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ : $\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \\dfrac{y_A + y_B}{2}\n; \\dfrac{z_A + z_B}{2}\\right)$."
},
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(0 ; 2 ; -1)$ et $B(4 ; 0 ; 3)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2 ; 1 ; 1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $I$ a pour coordonnées les moyennes des\ncoordonnées de $A$ et de $B$.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 2 ; 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par $2$.\n"
},
{
"text": "$(4 ; -2 ; 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$, pas\ndu milieu.\n"
},
{
"text": "$(2 ; -1 ; 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié de $\\overrightarrow{AB}$ n'est pas le milieu ;\nil faut partir de $A$.\n"
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ : $\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \\dfrac{y_A + y_B}{2}\n; \\dfrac{z_A + z_B}{2}\\right)$."
},
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(-2 ; 1 ; 5)$ et $B(2 ; 3 ; 1)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$(0 ; 2 ; 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $I$ a pour coordonnées les moyennes des\ncoordonnées de $A$ et de $B$.\n"
},
{
"text": "$(0 ; 4 ; 6)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par $2$.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 2 ; -4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$, pas\ndu milieu.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 1 ; -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié de $\\overrightarrow{AB}$ n'est pas le milieu ;\nil faut partir de $A$.\n"
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ : $\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \\dfrac{y_A + y_B}{2}\n; \\dfrac{z_A + z_B}{2}\\right)$."
},
{
"statement": "Dans un repère de l'espace, $A(3 ; -2 ; 1)$ et $B(5 ; 4 ; -3)$. Quelles sont les\ncoordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?",
"options": [
{
"text": "$(4 ; 1 ; -1)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $I$ a pour coordonnées les moyennes des\ncoordonnées de $A$ et de $B$.\n"
},
{
"text": "$(8 ; 2 ; -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la somme des coordonnées doit être divisée par $2$.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 6 ; -4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\overrightarrow{AB}$, pas\ndu milieu.\n"
},
{
"text": "$(1 ; 3 ; -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la moitié de $\\overrightarrow{AB}$ n'est pas le milieu ;\nil faut partir de $A$.\n"
}
],
"explanation": "Milieu de $[AB]$ : $\\left(\\dfrac{x_A + x_B}{2} ; \\dfrac{y_A + y_B}{2}\n; \\dfrac{z_A + z_B}{2}\\right)$."
}
]
},
{
"id": "q48",
"difficulty": 2,
"skills": [
"reperes",
"combinaison-lineaire",
"coordonnees"
],
"title": "Coordonnées d'une combinaison de deux vecteurs",
"partie": "reperes",
"statement": "Soit $\\vec{u}(1 ; 0 ; 2)$ et $\\vec{v}(3 ; -1 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées\nde $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-1 ; 1 ; 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double chaque coordonnée de $\\vec{u}$ puis\non soustrait celle de $\\vec{v}$, coordonnée par coordonnée.\n"
},
{
"text": "$(5 ; -1 ; 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $2\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
},
{
"text": "$(-2 ; 1 ; 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont celles de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ; le facteur $2$\na été oublié.\n"
},
{
"text": "$(2 ; -1 ; 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : $2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v ; 2y_u - y_v ; 2z_u - z_v)$.",
"variants": [
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(1 ; 0 ; 2)$ et $\\vec{v}(3 ; -1 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées\nde $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-1 ; 1 ; 3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double chaque coordonnée de $\\vec{u}$ puis\non soustrait celle de $\\vec{v}$, coordonnée par coordonnée.\n"
},
{
"text": "$(5 ; -1 ; 5)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $2\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
},
{
"text": "$(-2 ; 1 ; 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont celles de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ; le facteur $2$\na été oublié.\n"
},
{
"text": "$(2 ; -1 ; 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : $2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v ; 2y_u - y_v ; 2z_u - z_v)$."
},
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(2 ; 1 ; 0)$ et $\\vec{v}(1 ; 1 ; 4)$. Quelles sont les coordonnées\nde $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(3 ; 1 ; -4)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double chaque coordonnée de $\\vec{u}$ puis\non soustrait celle de $\\vec{v}$, coordonnée par coordonnée.\n"
},
{
"text": "$(5 ; 3 ; 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $2\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
},
{
"text": "$(1 ; 0 ; -4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont celles de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ; le facteur $2$\na été oublié.\n"
},
{
"text": "$(3 ; 2 ; 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : $2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v ; 2y_u - y_v ; 2z_u - z_v)$."
},
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(0 ; -1 ; 3)$ et $\\vec{v}(2 ; 2 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées\nde $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(-2 ; -4 ; 5)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double chaque coordonnée de $\\vec{u}$ puis\non soustrait celle de $\\vec{v}$, coordonnée par coordonnée.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 0 ; 7)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $2\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
},
{
"text": "$(-2 ; -3 ; 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont celles de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ; le facteur $2$\na été oublié.\n"
},
{
"text": "$(2 ; 1 ; 4)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : $2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v ; 2y_u - y_v ; 2z_u - z_v)$."
},
{
"statement": "Soit $\\vec{u}(1 ; 3 ; -1)$ et $\\vec{v}(2 ; 0 ; 1)$. Quelles sont les coordonnées\nde $2\\vec{u} - \\vec{v}$ ?",
"options": [
{
"text": "$(0 ; 6 ; -3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : on double chaque coordonnée de $\\vec{u}$ puis\non soustrait celle de $\\vec{v}$, coordonnée par coordonnée.\n"
},
{
"text": "$(4 ; 6 ; -1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $2\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
},
{
"text": "$(-1 ; 3 ; -2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont celles de $\\vec{u} - \\vec{v}$ ; le facteur $2$\na été oublié.\n"
},
{
"text": "$(3 ; 3 ; 0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce sont les coordonnées de $\\vec{u} + \\vec{v}$.\n"
}
],
"explanation": "Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par\ncoordonnée : $2\\vec{u} - \\vec{v}$ a pour coordonnées\n$(2x_u - x_v ; 2y_u - y_v ; 2z_u - z_v)$."
}
]
},
{
"id": "q49",
"difficulty": 3,
"skills": [
"reperes",
"representation-parametrique",
"appartenance"
],
"title": "Un point sur une droite donnée par une représentation paramétrique",
"partie": "reperes",
"statement": "La droite $d$ a pour représentation paramétrique\n$x = 1 + t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + 2t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$.\nLe point $M(3 ; 0 ; 7)$ appartient-il à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, pour $t = 2$ les trois égalités sont vérifiées",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 3$ impose $t = 2$, qui donne $y = 0$ et\n$z = 7$ ; on compare avec la cote de $M$.\n"
},
{
"text": "Non, la cote $7$ ne convenant pas",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : il faut qu'une **même** valeur de $t$ vérifie les\ntrois égalités.\n"
},
{
"text": "Oui, tout point dont l'abscisse est $3$ appartient à $d$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite ne contient qu'un seul point d'abscisse\ndonnée quand $x$ varie avec $t$.\n"
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans une équation cartésienne",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la représentation paramétrique suffit, en cherchant\n$t$.\n"
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite si une même valeur du paramètre\nredonne ses trois coordonnées.",
"variants": [
{
"statement": "La droite $d$ a pour représentation paramétrique\n$x = 1 + t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + 2t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$.\nLe point $M(3 ; 0 ; 7)$ appartient-il à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "Oui, pour $t = 2$ les trois égalités sont vérifiées",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 3$ impose $t = 2$, qui donne $y = 0$ et\n$z = 7$ ; on compare avec la cote de $M$.\n"
},
{
"text": "Non, la cote $7$ ne convenant pas",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : il faut qu'une **même** valeur de $t$ vérifie les\ntrois égalités.\n"
},
{
"text": "Oui, tout point dont l'abscisse est $3$ appartient à $d$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite ne contient qu'un seul point d'abscisse\ndonnée quand $x$ varie avec $t$.\n"
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans une équation cartésienne",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la représentation paramétrique suffit, en cherchant\n$t$.\n"
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite si une même valeur du paramètre\nredonne ses trois coordonnées."
},
{
"statement": "La droite $d$ a pour représentation paramétrique\n$x = 1 + t$, $y = 2 - t$, $z = 3 + 2t$, avec $t \\in \\mathbb{R}$.\nLe point $M(3 ; 0 ; 6)$ appartient-il à $d$ ?",
"options": [
{
"text": "Non, $t = 2$ donne $z = 7$ et non $6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = 3$ impose $t = 2$, qui donne $y = 0$ et\n$z = 7$ ; on compare avec la cote de $M$.\n"
},
{
"text": "Oui, car $x = 3$ et $y = 0$ sont obtenus pour $t = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : il faut qu'une **même** valeur de $t$ vérifie les\ntrois égalités.\n"
},
{
"text": "Oui, tout point dont l'abscisse est $3$ appartient à $d$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une droite ne contient qu'un seul point d'abscisse\ndonnée quand $x$ varie avec $t$.\n"
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans une équation cartésienne",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la représentation paramétrique suffit, en cherchant\n$t$.\n"
}
],
"explanation": "Un point appartient à la droite si une même valeur du paramètre\nredonne ses trois coordonnées."
}
]
}
]
}