$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Arithmétique et racine carrée
Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers et
décomposition en facteurs premiers. Racine carrée d'un nombre positif,
encadrement et problèmes.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q01 : Reconnaître un multiple
Lequel de ces nombres est un multiple de $7$ ?]]>
Un nombre entier est un multiple de $7$ s'il s'écrit $7 \times n$ avec $n$ entier, c'est-à-dire si le reste de sa division par $7$ est nul.]]>
1.0
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true
true
abc
$91$]]>
Bonne réponse : $91 = 7 \times 13$.]]>
$87$]]>
$87 = 7 \times 12 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$.]]>
$94$]]>
$94 = 7 \times 13 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$.]]>
$73$]]>
$73 = 7 \times 10 + 3$ : le reste n'est pas nul, ce n'est pas un multiple de $7$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q02 : Sens du mot diviseur
Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers, $a$ non nul. Que signifie « $a$ est un diviseur de $b$ » ?]]>
Les phrases « $a$ divise $b$ », « $a$ est un diviseur de $b$ » et « $b$ est un multiple de $a$ » ont le même sens.]]>
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true
true
abc
Le reste de la division euclidienne de $b$ par $a$ est nul]]>
Bonne réponse : $b = a \times q$ avec $q$ entier. Par exemple, $6$ est un diviseur de $42$ car $42 = 6 \times 7$.]]>
Le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul]]>
Le sens est inversé : c'est $b$ que l'on divise par $a$. Par exemple, $6$ divise $42$, mais $6 \div 42$ ne tombe pas juste.]]>
Le nombre $a$ est plus grand que le nombre $b$]]>
C'est presque l'inverse : un diviseur non nul d'un entier positif $b$ est inférieur ou égal à $b$.]]>
Le quotient de $b$ par $a$ est un nombre décimal]]>
Le quotient doit être entier : $7 \div 4 = 1{,}75$ est décimal, et pourtant $4$ ne divise pas $7$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q03 : Critère de divisibilité par 3
Lequel de ces nombres est divisible par $3$ ?]]>
Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$. Le dernier chiffre ne suffit pas à conclure.]]>
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true
abc
$4521$]]>
Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $12$, qui est un multiple de $3$.]]>
$4523$]]>
La somme de ses chiffres vaut $14$, qui n'est pas un multiple de $3$.]]>
$5212$]]>
La somme de ses chiffres vaut $10$, qui n'est pas un multiple de $3$.]]>
$2153$]]>
La somme de ses chiffres vaut $11$, qui n'est pas un multiple de $3$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q04 : Critère de divisibilité par 9
Lequel de ces nombres est divisible par $9$ ?]]>
Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Tout nombre divisible par $9$ l'est aussi par $3$, mais pas l'inverse.]]>
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true
abc
$3456$]]>
Bonne réponse : la somme de ses chiffres vaut $18$, qui est un multiple de $9$.]]>
$3453$]]>
La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement.]]>
$5640$]]>
La somme de ses chiffres vaut $15$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement.]]>
$1230$]]>
La somme de ses chiffres vaut $6$ : c'est un multiple de $3$, mais pas de $9$. Le nombre est divisible par $3$ seulement.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q05 : Divisible par 2 et par 5
Lequel de ces nombres est divisible à la fois par $2$ et par $5$ ?]]>
Divisible par $2$ : dernier chiffre pair. Divisible par $5$ : dernier chiffre $0$ ou $5$. Les deux à la fois : dernier chiffre $0$.]]>
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true
abc
$4370$]]>
Bonne réponse : il se termine par $0$, donc il est divisible par $2$ et par $5$, c'est-à-dire par $10$.]]>
$4375$]]>
Il se termine par $5$ : divisible par $5$, mais impair, donc pas divisible par $2$.]]>
$4372$]]>
Il se termine par $2$ : divisible par $2$, mais pas par $5$, car il ne se termine ni par $0$ ni par $5$.]]>
$4357$]]>
Il se termine par $7$ : il est impair, et pas divisible par $5$ non plus.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q06 : Reste d'une division euclidienne
Dans la division euclidienne de $89$ par $6$, quel est le reste ?]]>
Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est écrire $a = b \times q + r$ avec $q$ et $r$ entiers et $0 \leq r < b$.]]>
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abc
$5$]]>
Bonne réponse : $89 = 6 \times 14 + 5$, et $5 < 6$.]]>
$14$]]>
C'est le quotient : $89 = 6 \times 14 + 5$. Le reste est ce qui manque à $84$ pour atteindre $89$, soit $5$.]]>
$84$]]>
C'est le plus grand multiple de $6$ inférieur à $89$. Le reste vaut $89 - 84 = 5$.]]>
$1$]]>
C'est ce qu'il faudrait ajouter à $89$ pour atteindre le multiple suivant. Le reste vaut $89 - 84 = 5$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q07 : Nombre de diviseurs
Combien le nombre $12$ a-t-il de diviseurs ?]]>
On cherche les diviseurs par paires : si $d$ divise $12$, alors $\dfrac{12}{d}$ aussi. On s'arrête quand les paires se rejoignent.]]>
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abc
$6$ diviseurs]]>
Bonne réponse : les diviseurs de $12$ sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$.]]>
$4$ diviseurs]]>
$1$ et $12$ ont été oubliés : ils divisent $12$. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$.]]>
$5$ diviseurs]]>
Un diviseur manque. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$.]]>
$7$ diviseurs]]>
Un nombre a été compté en trop. La liste complète est $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q08 : Un intrus parmi des diviseurs
Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $60$ ?]]>
Pour savoir si $d$ divise $n$, on effectue la division euclidienne de $n$ par $d$ et on regarde si le reste est nul.]]>
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abc
$8$]]>
Bonne réponse : $60 = 8 \times 7 + 4$, le reste n'est pas nul.]]>
$4$]]>
$60 = 4 \times 15$ : $4$ est bien un diviseur de $60$.]]>
$15$]]>
$60 = 15 \times 4$ : $15$ est bien un diviseur de $60$.]]>
$12$]]>
$60 = 12 \times 5$ : $12$ est bien un diviseur de $60$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q09 : Deux bus qui repartent ensemble
Deux bus partent ensemble de la gare. Le premier repasse toutes les $12$ minutes, le second toutes les $18$ minutes. Au bout de combien de minutes repartent-ils de nouveau ensemble ?]]>
Les passages du premier bus ont lieu aux multiples de $12$, ceux du second aux multiples de $18$. On cherche le plus petit multiple commun non nul.]]>
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abc
$36$ minutes]]>
Bonne réponse : $36$ est le plus petit multiple commun non nul de $12$ et de $18$.]]>
$216$ minutes]]>
$216$ est bien un multiple commun de $12$ et $18$, mais pas le plus petit : $36$ convient déjà.]]>
$30$ minutes]]>
Additionner les durées ne donne pas un multiple de chacune : $30$ n'est pas un multiple de $12$.]]>
$6$ minutes]]>
$6$ est un diviseur commun, pas un multiple commun. Les bus ne repassent pas avant $12$ minutes.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q10 : Composer des sachets identiques
Un confiseur dispose de $84$ caramels et de $60$ chocolats. Il veut les répartir tous dans des sachets identiques, contenant chacun le même nombre de caramels et le même nombre de chocolats. Quel est le plus grand nombre de sachets possible ?]]>
Le nombre de sachets doit être un diviseur commun aux deux nombres de bonbons ; on cherche le plus grand. Chaque sachet contient alors $7$ caramels et $5$ chocolats.]]>
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abc
$12$ sachets]]>
Bonne réponse : le nombre de sachets doit diviser $84$ et $60$ ; le plus grand diviseur commun est $12$.]]>
$6$ sachets]]>
$6$ divise bien $84$ et $60$, mais ce n'est pas le plus grand diviseur commun : $12$ convient aussi.]]>
$420$ sachets]]>
$420$ est un multiple commun de $84$ et $60$, pas un diviseur : il n'y aurait pas un bonbon par sachet.]]>
$24$ sachets]]>
La différence $84 - 60$ ne divise pas forcément les deux nombres. Le plus grand diviseur commun est $12$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q11 : Expression toujours paire
Pour tout nombre entier $n$, lequel de ces nombres est toujours pair ?]]>
Un nombre pair s'écrit $2k$ avec $k$ entier, un nombre impair $2k + 1$. Pour montrer qu'une expression est paire, on factorise par $2$.]]>
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abc
$2n + 4$]]>
Bonne réponse : $2n + 4 = 2(n + 2)$ est le double d'un entier.]]>
$2n + 1$]]>
$2n + 1$ est le successeur d'un nombre pair : il est toujours impair.]]>
$n + 2$]]>
Pour $n = 3$, on obtient $5$, qui est impair.]]>
$3n$]]>
Pour $n = 1$, on obtient $3$, qui est impair.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q12 : Somme de deux impairs consécutifs
Deux nombres impairs consécutifs s'écrivent $2n + 1$ et $2n + 3$, avec $n$ entier. Que peut-on dire de leur somme ?]]>
Le calcul littéral permet de démontrer une propriété pour tous les entiers à la fois, ce que des exemples ne font pas.]]>
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abc
Elle est toujours un multiple de $4$]]>
Bonne réponse : $(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)$.]]>
Elle est toujours un nombre impair]]>
La somme de deux impairs est paire : $4n + 4 = 2(2n + 2)$.]]>
Elle est toujours un multiple de $3$]]>
Pour $n = 0$, la somme vaut $1 + 3 = 4$, qui n'est pas un multiple de $3$.]]>
Elle est paire ou impaire selon $n$]]>
Quel que soit $n$, la somme vaut $4(n + 1)$ : elle est toujours paire.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q13 : Chiffre manquant pour un multiple de 9
On écrit un nombre à trois chiffres : $4$ pour les centaines, $3$ pour les unités. Quel chiffre faut-il placer aux dizaines pour obtenir un multiple de $9$ ?]]>
Le nombre est divisible par $9$ lorsque la somme de ses chiffres l'est. Ici $4 + 3 = 7$ : il manque $2$ pour atteindre le multiple de $9$ suivant.]]>
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abc
$2$]]>
Bonne réponse : $4 + 2 + 3 = 9$, multiple de $9$.]]>
$5$]]>
$4 + 5 + 3 = 12$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$.]]>
$8$]]>
$4 + 8 + 3 = 15$ : c'est un multiple de $3$, pas de $9$.]]>
$3$]]>
$4 + 3 + 3 = 10$ n'est pas un multiple de $9$. La somme des chiffres doit valoir $9$ ou $18$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q14 : Compter des multiples
Combien y a-t-il de multiples de $7$ compris entre $1$ et $100$ ?]]>
Les multiples de $7$ entre $1$ et $100$ sont $7 \times n$ pour $n$ allant de $1$ au quotient de $100$ par $7$.]]>
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abc
$14$]]>
Bonne réponse : $100 = 7 \times 14 + 2$, donc les multiples sont $7 \times 1$, $7 \times 2$, …, $7 \times 14$.]]>
$15$]]>
$7 \times 15 = 105$ dépasse $100$. Le dernier multiple est $7 \times 14$.]]>
$13$]]>
Un multiple a été oublié : $7 \times 14 = 98$ est encore inférieur à $100$.]]>
$2$]]>
C'est le reste de la division de $100$ par $7$. Le nombre de multiples est le quotient, $14$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q15 : Diviseur commun à deux nombres
Lequel de ces nombres est un diviseur commun à $36$ et à $48$ ?]]>
Un diviseur commun doit diviser chacun des deux nombres : on vérifie que les deux restes sont nuls.]]>
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abc
$12$]]>
Bonne réponse : $36 = 12 \times 3$ et $48 = 12 \times 4$.]]>
$8$]]>
$8$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $4$ pour $36$ et $0$ pour $48$.]]>
$9$]]>
$9$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $0$ pour $36$ et $3$ pour $48$.]]>
$24$]]>
$24$ ne divise pas les deux nombres : les restes valent $12$ pour $36$ et $0$ pour $48$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q16 : Définition d'un nombre premier
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?]]>
Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$. Le seul nombre premier pair est $2$.]]>
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abc
Un entier qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même]]>
Bonne réponse : par exemple $7$ n'a que $1$ et $7$ pour diviseurs. Le nombre $1$, qui n'a qu'un diviseur, n'est pas premier.]]>
Un entier qui n'admet aucun diviseur, pas même le nombre $1$]]>
Tout entier est divisible par $1$ et par lui-même. Un nombre premier n'en a pas d'autre.]]>
Un entier impair, c'est-à-dire non divisible par $2$]]>
$9$ est impair mais divisible par $3$, il n'est pas premier ; et $2$, pair, est premier.]]>
Un entier qui n'est divisible que par lui-même]]>
Il est aussi divisible par $1$. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q17 : Repérer un nombre premier
Lequel de ces nombres est premier ?]]>
Pour un nombre inférieur à $121$, il suffit de tester la divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $7$ : un nombre composé a un diviseur premier dont le carré ne le dépasse pas.]]>
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abc
$37$]]>
Bonne réponse : $37$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ; il n'a que $1$ et lui-même pour diviseurs.]]>
$39$]]>
$39 = 3 \times 13$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même.]]>
$51$]]>
$51 = 3 \times 17$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même.]]>
$57$]]>
$57 = 3 \times 19$ : il a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q18 : Affirmation vraie sur les nombres premiers
Laquelle de ces affirmations est vraie ?]]>
Retenir les deux pièges : $1$ n'est pas premier, et $2$ est premier bien qu'il soit pair.]]>
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abc
Le nombre $1$ n'est pas un nombre premier]]>
Bonne réponse : $1$ n'a qu'un seul diviseur, lui-même ; un nombre premier en a exactement deux.]]>
Le nombre $2$ n'est pas premier, car il est pair]]>
$2$ a exactement deux diviseurs, $1$ et $2$ : il est premier. C'est le seul nombre premier pair.]]>
Tous les nombres impairs sont des nombres premiers]]>
$15$ est impair et $15 = 3 \times 5$ : il n'est pas premier.]]>
Un nombre premier peut avoir trois diviseurs]]>
Un nombre premier a exactement deux diviseurs. $9$, qui a pour diviseurs $1$, $3$ et $9$, n'est pas premier.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q19 : Décomposition en facteurs premiers
Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $60$ ?]]>
On divise successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible. La décomposition obtenue est unique, à l'ordre des facteurs près.]]>
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abc
$2^2 \times 3 \times 5$]]>
Bonne réponse : ce produit vaut $60$ et ses facteurs, $2$, $3$, $5$ ou $7$, sont tous premiers.]]>
$4 \times 3 \times 5$]]>
Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour.]]>
$2 \times 3 \times 10$]]>
Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour.]]>
$2^2 \times 15$]]>
Le produit vaut bien $60$, mais il contient un facteur qui n'est pas premier ; il faut le décomposer à son tour.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q20 : Nombres premiers inférieurs à 20
Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à $20$ ?]]>
On peut utiliser le crible d'Ératosthène : on barre $1$, puis les multiples de $2$, de $3$, de $5$… autres que ces nombres eux-mêmes.]]>
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abc
$8$]]>
Bonne réponse : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$.]]>
$7$]]>
Un nombre a été oublié, souvent $2$, qui est premier bien que pair. La liste est $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.]]>
$9$]]>
Un nombre compté en trop, souvent $1$, qui n'est pas premier, ou $9 = 3 \times 3$. Il y en a $8$.]]>
$10$]]>
Les nombres impairs inférieurs à $20$ ne sont pas tous premiers : $9$ et $15$ ne le sont pas, et $1$ non plus.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q21 : Plus petit diviseur premier
Quel est le plus petit nombre premier qui divise $91$ ?]]>
On teste les nombres premiers dans l'ordre, $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$… Le premier qui divise le nombre est son plus petit diviseur premier.]]>
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abc
$7$]]>
Bonne réponse : $91 = 7 \times 13$, et aucun nombre premier plus petit que $7$ ne divise $91$.]]>
$13$]]>
$13$ divise bien $91$, mais ce n'est pas le plus petit : $91 = 7 \times 13$.]]>
$1$]]>
$1$ divise tout entier, mais il n'est pas premier. Le plus petit diviseur premier est $7$.]]>
Aucun, car $91$ est premier]]>
$91$ n'est pas premier : $91 = 7 \times 13$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q22 : Simplifier grâce aux décompositions
On sait que $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$. Quelle est la forme irréductible de $\dfrac{84}{90}$ ?]]>
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont plus de facteur premier commun. Les décompositions les font apparaître d'un coup d'œil.]]>
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abc
$\dfrac{14}{15}$]]>
Bonne réponse : on simplifie par tous les facteurs premiers communs, en tenant compte des exposants.]]>
$\dfrac{42}{45}$]]>
Cette fraction est égale à $\dfrac{84}{90}$, mais elle n'est pas irréductible : un facteur commun subsiste.]]>
$\dfrac{7}{15}$]]>
Un facteur a été retiré d'un seul côté de la fraction : la valeur a changé. La forme irréductible est $\dfrac{14}{15}$.]]>
$\dfrac{2}{3}$]]>
Trop de facteurs ont été retirés : seuls les facteurs présents en haut et en bas se simplifient. On obtient $\dfrac{14}{15}$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q23 : Diviseur lu sur une décomposition
Un nombre $N$ a pour décomposition $N = 2^3 \times 5 \times 7$. Lequel de ces nombres n'est pas un diviseur de $N$ ?]]>
Un nombre divise $N$ lorsque sa propre décomposition est « contenue » dans celle de $N$ : mêmes facteurs premiers, exposants inférieurs ou égaux.]]>
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abc
$25$]]>
Bonne réponse : $25$ demande un facteur premier plus de fois qu'il n'apparaît dans la décomposition de $N$.]]>
$14$]]>
Tous les facteurs premiers de $14$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $14$ divise $N$.]]>
$40$]]>
Tous les facteurs premiers de $40$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $40$ divise $N$.]]>
$35$]]>
Tous les facteurs premiers de $35$ figurent dans la décomposition de $N$, avec un exposant suffisant : $35$ divise $N$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q24 : Retrouver un nombre décomposé
Quel nombre a pour décomposition en facteurs premiers $2^3 \times 3^2 \times 5$ ?]]>
Un exposant indique combien de fois le facteur est répété : $2^3 = 2\times2\times2$.]]>
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abc
$360$]]>
Bonne réponse : $2^3 = 8$ et $3^2 = 9$, puis $8 \times 9 \times 5 = 360$.]]>
$180$]]>
Les puissances ont été calculées comme des produits : $2^3$ vaut $8$, pas $2 \times 3$.]]>
$240$]]>
$3^2$ vaut $9$, pas $3 \times 2$. Le nombre est $360$.]]>
$30$]]>
Les exposants ont été oubliés : $2 \times 3 \times 5 = 30$. Le nombre est $360$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q25 : Racine entière par la décomposition
Le nombre $N = 2^{4} \times 3^{4}$ est le carré d'un nombre entier positif. Lequel ?]]>
Élever au carré double chaque exposant. Pour retrouver le nombre, on divise donc chaque exposant par $2$.]]>
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abc
$36$]]>
Bonne réponse : $(2^2 \times 3^2)^2 = 2^{4} \times 3^{4}$, et $2^2 \times 3^2 = 36$.]]>
$13$]]>
Les puissances $2^2$ et $3^2$ ont été additionnées : le nombre cherché est leur produit, $36$.]]>
$144$]]>
Seul l'exposant de $3$ a été divisé par $2$ ; celui de $2$ aussi doit l'être. On trouve $36$.]]>
$324$]]>
Seul l'exposant de $2$ a été divisé par $2$ ; celui de $3$ aussi doit l'être. On trouve $36$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q26 : Pourquoi 2 est le seul premier pair
Pourquoi $2$ est-il le seul nombre premier pair ?]]>
Un nombre pair $n$ supérieur à $2$ est divisible par $1$, par $2$ et par $n$ : trois diviseurs distincts, donc il n'est pas premier.]]>
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abc
Tout autre nombre pair a au moins trois diviseurs : $1$, $2$ et lui-même]]>
Bonne réponse : par exemple $6$ est divisible par $1$, $2$, $3$ et $6$ ; un nombre pair autre que $2$ n'est donc jamais premier.]]>
Les nombres pairs n'ont jamais de diviseur autre que $2$]]>
Un nombre pair a toujours $1$ et lui-même pour diviseurs, et souvent d'autres : $12$ est divisible par $3$.]]>
Parce que $2$ est le plus petit des nombres entiers non nuls]]>
Le plus petit entier non nul est $1$, qui n'est pas premier. Ce n'est pas la raison.]]>
Les nombres pairs supérieurs à $2$ sont tous des multiples de $4$]]>
$6$ et $10$ sont pairs sans être multiples de $4$. Ce qui compte, c'est qu'ils soient divisibles par $2$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q27 : Plus grand diviseur commun par les décompositions
On donne $a = 2^2 \times 3 \times 5$ et $b = 2 \times 3^2 \times 7$. Quel est le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ ?]]>
Le plus grand diviseur commun s'obtient en multipliant les facteurs premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant.]]>
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abc
$6$]]>
Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit des deux exposants.]]>
$2$]]>
C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible.]]>
$3$]]>
C'est bien un diviseur commun, mais pas le plus grand : un facteur commun a été oublié ou pris avec un exposant trop faible.]]>
$1260$]]>
C'est un multiple commun de $a$ et $b$, pas un diviseur commun : on a pris tous les facteurs avec le plus grand exposant.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q28 : Diviseurs premiers d'un nombre
Quels sont les diviseurs premiers de $12$ ?]]>
Les diviseurs premiers d'un nombre sont les facteurs qui apparaissent dans sa décomposition, chacun compté une seule fois.]]>
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abc
$2$ et $3$]]>
Bonne réponse : $2$ et $3$ divisent $12$ et sont premiers ; les autres diviseurs de $12$ ne sont pas premiers.]]>
$1$, $2$ et $3$]]>
$1$ divise $12$, mais il n'est pas premier. Les diviseurs premiers sont $2$ et $3$.]]>
$2$, $3$, $4$ et $6$]]>
Ce sont des diviseurs de $12$, mais certains ne sont pas premiers. Seuls $2$ et $3$ le sont.]]>
$2$, $2$ et $3$]]>
C'est la liste des facteurs de la décomposition, avec répétition. Les diviseurs premiers distincts sont $2$ et $3$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q29 : Un nombre premier plus grand que 2
Un nombre premier supérieur à $2$ est forcément :]]>
À part $2$, tous les nombres premiers sont impairs. L'inverse est faux : $9$ est impair sans être premier.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
impair]]>
Bonne réponse : s'il était pair, il serait divisible par $2$, en plus de $1$ et de lui-même.]]>
pair]]>
Un nombre pair supérieur à $2$ est divisible par $2$ : il n'est pas premier.]]>
multiple de $3$]]>
$5$ et $7$ sont premiers sans être multiples de $3$ ; seul $3$ est un premier multiple de $3$.]]>
inférieur à $100$]]>
Il existe une infinité de nombres premiers, par exemple $101$ ou $103$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q30 : Décomposition d'un produit
On donne $a = 2^3 \times 3$ et $b = 2 \times 3^2 \times 5$. Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $a \times b$ ?]]>
Le produit de deux nombres réunit leurs facteurs : $2^3 \times 2 = 2^4$ et $3 \times 3^2 = 3^3$.]]>
1.0
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true
true
abc
$2^4 \times 3^3 \times 5$]]>
Bonne réponse : on ajoute les exposants de chaque facteur, $2^{3 + 1}$ et $3^{1 + 2}$, et on garde le facteur $5$.]]>
$2^3 \times 3^2 \times 5$]]>
On a gardé le plus grand exposant de chaque facteur : on multiplie les puissances, donc on ajoute les exposants.]]>
$2^3 \times 3^2$]]>
Les exposants ne sont pas ajoutés, et le facteur $5$ de $b$ a été oublié.]]>
$2^4 \times 3^3$]]>
Le facteur $5$, présent dans $b$, a été oublié.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q31 : Racine carrée d'un carré parfait
Que vaut $\sqrt{49}$ ?]]>
La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Connaître les carrés de $1$ à $12$ permet de reconnaître les carrés parfaits.]]>
1.0
0.0
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true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $7 \times 7 = 49$ et $7$ est positif.]]>
$24{,}5$]]>
Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$ : on cherche le nombre positif dont le carré vaut $49$, c'est $7$.]]>
$2401$]]>
C'est le carré de $49$. La racine carrée fait l'opération inverse : $\sqrt{49} = 7$.]]>
$14$]]>
$14 \times 14 = 196$, pas $49$. On trouve $7$, car $7^2 = 49$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q32 : Définition de la racine carrée
Pour un nombre positif $a$, qu'est-ce que $\sqrt{a}$ ?]]>
$\sqrt{a}$ n'existe que pour $a$ positif ou nul, et c'est toujours un nombre positif ou nul.]]>
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0
true
true
abc
Le nombre positif dont le carré vaut $a$]]>
Bonne réponse : par exemple $\sqrt{25} = 5$, car $5$ est positif et $5^2 = 25$.]]>
Le nombre positif dont le double vaut $a$]]>
C'est la moitié de $a$. La racine carrée est liée au carré : $\sqrt{25} = 5$, pas $12{,}5$.]]>
Le nombre négatif dont le carré vaut $a$]]>
$(-5)^2 = 25$ aussi, mais la racine carrée est par définition le nombre positif : $\sqrt{25} = 5$.]]>
Le nombre égal au carré du nombre $a$]]>
C'est l'opération inverse : le carré de $25$ vaut $625$, alors que $\sqrt{25} = 5$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q33 : Encadrer une racine carrée
Entre quels nombres entiers consécutifs se trouve $\sqrt{50}$ ?]]>
On cherche les deux carrés parfaits consécutifs qui encadrent le nombre ; leurs racines encadrent sa racine carrée.]]>
1.0
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0
true
true
abc
Entre $7$ et $8$]]>
Bonne réponse : $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$, or $49 < 50 < 64$.]]>
Entre $25$ et $26$]]>
Tu as pris la moitié de $50$. On encadre $50$ entre deux carrés : $49 < 50 < 64$.]]>
Entre $49$ et $64$]]>
Ces nombres encadrent $50$ lui-même. Leurs racines, $7$ et $8$, encadrent $\sqrt{50}$.]]>
Entre $6$ et $7$]]>
$7^2 = 49$ est encore inférieur à $50$, donc $\sqrt{50}$ dépasse $7$. On encadre entre $7$ et $8$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q34 : Racine carrée du carré d'un négatif
Que vaut $\sqrt{(-5)^2}$ ?]]>
On calcule d'abord sous la racine. Le carré d'un nombre négatif est positif, et sa racine carrée est l'opposé de ce nombre négatif.]]>
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true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : $(-5)^2 = 25$ et $\sqrt{25} = 5$.]]>
$-5$]]>
Une racine carrée n'est jamais négative : $\sqrt{25} = 5$.]]>
$25$]]>
C'est la valeur de $(-5)^2$ ; il reste à en prendre la racine carrée, $5$.]]>
Elle n'existe pas]]>
Le nombre sous la racine est $(-5)^2 = 25$, qui est positif : la racine existe et vaut $5$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q35 : Somme de deux racines carrées
Que vaut $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ ?]]>
Chaque racine carrée se calcule séparément. Attention : en général, $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ et $\sqrt{a + b}$ sont différents.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $\sqrt{9} = 3$ et $\sqrt{16} = 4$, d'où $7$.]]>
$5$]]>
C'est $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}$. La racine d'une somme n'est pas la somme des racines.]]>
$25$]]>
Les racines carrées ont été oubliées : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4$.]]>
$12{,}5$]]>
Prendre la racine carrée n'est pas diviser par $2$. On calcule chaque racine : $3 + 4 = 7$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q36 : Côté d'un carré d'aire donnée
Un carré a une aire de $49$ cm$^2$. Quelle est la longueur de son côté ?]]>
L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le côté d'un carré d'aire $A$ est donc $\sqrt{A}$.]]>
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true
abc
$7$ cm]]>
Bonne réponse : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$, donc $c = \sqrt{49} = 7$.]]>
$12{,}25$ cm]]>
Diviser par $4$ convient pour retrouver le côté à partir du périmètre, pas de l'aire. On calcule $\sqrt{49} = 7$.]]>
$24{,}5$ cm]]>
Diviser par $2$ ne donne pas le côté : $c^2 = 49$, donc $c = 7$.]]>
$28$ cm]]>
C'est le périmètre du carré, pas la longueur de son côté, qui vaut $\sqrt{49} = 7$ cm.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q37 : Équation x au carré égale à un nombre
Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 7$ ?]]>
Pour $a$ strictement positif, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions opposées, $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$.]]>
1.0
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true
true
abc
$-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$]]>
Bonne réponse : $(\sqrt{7})^2 = 7$ et $(-\sqrt{7})^2 = 7$ aussi.]]>
$\sqrt{7}$ et $\sqrt{-7}$]]>
$\sqrt{-7}$ n'existe pas : aucun carré n'est négatif. La seconde
solution est $-\sqrt{7}$, car $(-\sqrt{7})^2 = 7$.]]>
$-3{,}5$ et $3{,}5$]]>
Tu as divisé par $2$ : $3{,}5^2 = 12{,}25$, pas $7$. Les solutions sont $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$.]]>
$-49$ et $49$]]>
$49$ est le carré de $7$. On cherche les nombres dont le carré vaut $7$ : $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q38 : Carré égal à un nombre négatif
Combien de solutions l'équation $x^2 = -16$ a-t-elle ?]]>
L'équation $x^2 = a$ a deux solutions si $a > 0$, une seule ($0$) si $a = 0$, et aucune si $a < 0$.]]>
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true
abc
Aucune solution]]>
Bonne réponse : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir $-16$.]]>
Deux solutions, $-4$ et $4$]]>
$(-4)^2 = 16$ et $4^2 = 16$, pas $-16$ : un carré n'est jamais négatif.]]>
Une solution, $-4$]]>
$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$ : le produit de deux négatifs est positif.]]>
Une solution, $\sqrt{-16}$]]>
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas : aucun nombre n'a un carré négatif.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q39 : Racine carrée qui tombe juste
Lequel de ces nombres est un nombre entier ?]]>
La racine carrée d'un entier positif est entière seulement si cet entier est un carré parfait : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, …]]>
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abc
$\sqrt{36}$]]>
Bonne réponse : $36 = 6^2$, donc $\sqrt{36} = 6$.]]>
$\sqrt{37}$]]>
$37$ n'est pas un carré parfait : il est compris entre $6^2 = 36$ et $7^2 = 49$.]]>
$\sqrt{12}$]]>
$12$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière.]]>
$\sqrt{60}$]]>
$60$ n'est pas le carré d'un entier : sa racine n'est pas entière.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q40 : Comparer une racine et un entier
Quelle comparaison est juste ?]]>
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc $63$ et $8^2 = 64$.]]>
1.0
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abc
$\sqrt{63} < 8$]]>
Bonne réponse : $8 = \sqrt{64}$ et $63 < 64$, donc $\sqrt{63} < 8$.]]>
$\sqrt{63} > 8$]]>
On compare les carrés : $(\sqrt{63})^2 = 63$ et $8^2 = 64$. Comme $63 < 64$, c'est l'inverse.]]>
$\sqrt{63} = 8$]]>
$8^2 = 64$, pas $63$ : les deux nombres sont proches mais différents.]]>
On ne peut pas comparer ces nombres sans calculatrice]]>
Il suffit de comparer les carrés de deux nombres positifs : $63 < 64$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q41 : Racine carrée d'un décimal
Que vaut $\sqrt{0{,}09}$ ?]]>
Le carré d'un nombre à un chiffre après la virgule en a deux : $0{,}3^2 = 0{,}09$. Pour un nombre entre $0$ et $1$, la racine carrée est plus grande que le nombre.]]>
1.0
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abc
$0{,}3$]]>
Bonne réponse : $0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09$.]]>
$0{,}03$]]>
$0{,}03 \times 0{,}03$ est beaucoup plus petit que $0{,}09$ : il a deux fois trop de chiffres après la virgule. On trouve $0{,}3$.]]>
$0{,}045$]]>
C'est la moitié de $0{,}09$. La racine carrée est le nombre positif dont le carré vaut $0{,}09$ : $0{,}3$.]]>
$0{,}0081$]]>
C'est le carré de $0{,}09$. On cherche au contraire le nombre dont le carré vaut $0{,}09$ : $0{,}3$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q42 : Clôturer un champ carré
Un champ carré a une aire de $400$ m$^2$. Quelle longueur de clôture faut-il pour en faire le tour ?]]>
On passe de l'aire au côté par la racine carrée, puis du côté au périmètre en multipliant par $4$.]]>
1.0
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0
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true
abc
$80$ m]]>
Bonne réponse : le côté mesure $\sqrt{400} = 20$ m, et le périmètre $4 \times 20 = 80$ m.]]>
$20$ m]]>
C'est la longueur d'un seul côté. Le tour du champ en compte quatre : $4 \times 20 = 80$ m.]]>
$100$ m]]>
On a divisé l'aire par $4$. Il faut d'abord le côté, $\sqrt{400} = 20$ m, puis le multiplier par $4$.]]>
$40$ m]]>
Seuls deux côtés ont été comptés. Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté : $80$ m.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q43 : Carré d'une racine carrée
Que vaut $(\sqrt{7})^2$ ?]]>
Pour tout nombre positif $a$, $(\sqrt{a})^2 = a$ : le carré et la racine carrée se compensent.]]>
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abc
$7$]]>
Bonne réponse : par définition, $\sqrt{7}$ est le nombre positif dont le carré vaut $7$.]]>
$49$]]>
C'est $7^2$. Or le carré de $\sqrt{7}$ redonne $7$ lui-même.]]>
$14$]]>
Élever au carré ne revient pas à doubler. $(\sqrt{7})^2 = 7$.]]>
$\sqrt{7}$]]>
Le carré n'est pas oublié : $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q44 : Arrondi d'une racine carrée
Quel est l'arrondi au dixième de $\sqrt{20}$ ?]]>
Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente le chiffre des dixièmes d'une unité.]]>
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abc
$4{,}5$]]>
Bonne réponse : $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ ; le chiffre des centièmes est supérieur ou égal à $5$, on arrondit au dixième supérieur.]]>
$4{,}4$]]>
C'est la troncature : le chiffre des centièmes de $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ impose d'arrondir au dixième supérieur, $4{,}5$.]]>
$10$]]>
C'est la moitié de $20$, pas sa racine carrée. On trouve $\sqrt{20} \approx 4{,}5$.]]>
$4{,}47$]]>
C'est l'arrondi au centième. Au dixième, on garde un seul chiffre après la virgule : $4{,}5$.]]>
Arithmétique et racine carrée — Q45 : Équation qui se ramène à x au carré
Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 + 9 = 25$ ?]]>
On isole d'abord $x^2$, puis on applique : si $x^2 = a$ avec $a > 0$, alors $x = -\sqrt{a}$ ou $x = \sqrt{a}$.]]>
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abc
$-4$ et $4$]]>
Bonne réponse : $x^2 = 25 - 9 = 16$, et $16 = 4^2$.]]>
$4$ seulement]]>
La solution négative manque : $(-4)^2 = 16$ aussi.]]>
$-16$ et $16$]]>
On a $x^2 = 16$ : il reste à prendre la racine carrée, $\sqrt{16} = 4$.]]>
$-\sqrt{34}$ et $\sqrt{34}$]]>
Le $9$ change de signe en passant dans l'autre membre : $x^2 = 25 - 9 = 16$.]]>