$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Fonctions Image et antécédent, tableau de valeurs, lecture graphique. Fonctions
linéaires et proportionnalité, fonctions affines et leurs coefficients.

]]> Fonctions — Q01 : Image d'un nombre par le calcul On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 2$. Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?

]]> L'image d'un nombre par une fonction s'obtient en remplaçant $x$ par ce nombre dans l'expression $f(x)$, puis en calculant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : on remplace $x$ par $4$, ce qui donne $3 \times 4 - 2 = 10$.

]]> $14$

]]> Erreur de signe : le terme constant est $- 2$, il ne change pas de signe. On obtient $10$.

]]> $2$

]]> Tu as calculé l'antécédent de $4$, c'est-à-dire résolu $f(x) = 4$. L'image s'obtient en remplaçant $x$ par $4$ : $10$.

]]> $6$

]]> Tu as ajouté avant de multiplier. La multiplication est prioritaire : $3 \times 4 - 2 = 10$.

]]> Fonctions — Q02 : Antécédent par le calcul On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x + 3$. Quel est l'antécédent de $11$ par $f$ ?

]]> Chercher l'antécédent d'un nombre $y$, c'est résoudre l'équation $f(x) = y$. Le résultat se vérifie en calculant son image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : on résout $2x + 3 = 11$, d'où $2x = 8$ et $x = 4$.

]]> $25$

]]> C'est l'image de $11$, pas son antécédent. On cherche $x$ tel que $f(x) = 11$ : $x = 4$.

]]> $7$

]]> Erreur de signe en isolant $x$ : on retranche $3$ des deux membres, on ne l'ajoute pas. On trouve $4$.

]]> $8$

]]> La division par $2$ a été oubliée : $2x = 8$ donne $x = 4$.

]]> Fonctions — Q03 : Lire l'égalité f(a) = b On sait que $f(3) = 7$. Quelle phrase est correcte ?

]]> Dans l'égalité $f(a) = b$, $b$ est l'image de $a$ et $a$ est un antécédent de $b$. Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$ est l'image de $3$ par $f$

]]> Bonne réponse : dans $f(3) = 7$, le nombre de départ est $3$ et son image est $7$.

]]> $3$ est l'image de $7$ par $f$

]]> Les rôles sont inversés : le nombre écrit entre les parenthèses est le nombre de départ, $7$ est son image.

]]> $7$ est un antécédent de $3$ par $f$

]]> Les rôles sont inversés : c'est $3$ qui est un antécédent de $7$.

]]> $3$ a pour antécédent $7$ par $f$

]]> Les rôles sont inversés : $3$ a pour image $7$ ; son antécédent n'est pas donné.

]]> Fonctions — Q04 : Image lue parmi des valeurs données Une fonction $f$ vérifie $f(1) = 7$, $f(2) = 5$ et $f(4) = 2$. Quelle est l'image de $2$ par $f$ ?

]]> L'image de $2$ est le nombre $f(2)$. Pour un antécédent de $2$, on cherche au contraire les nombres $x$ tels que $f(x) = 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $f(2) = 5$, donc l'image de $2$ est $5$.

]]> $4$

]]> C'est l'antécédent de $2$, car $f(4) = 2$. L'image de $2$ se lit dans $f(2) = 5$.

]]> $7$

]]> C'est l'image de $1$, car $f(1) = 7$. L'image de $2$ se lit dans $f(2) = 5$.

]]> $2$

]]> $2$ est le nombre de départ, pas son image. Son image se lit dans $f(2) = 5$.

]]> Fonctions — Q05 : Antécédents par la fonction carré On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$. Quels sont les antécédents de $9$ par $f$ ?

]]> Un nombre positif a deux antécédents par la fonction carré, opposés l'un de l'autre. Par exemple, $9$ a pour antécédents $-3$ et $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3$ et $3$

]]> Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $3^2 = 9$, donc $9$ a deux antécédents.

]]> $3$ seulement

]]> Il manque $-3$ : le carré d'un nombre négatif est positif, et $(-3)^2 = 9$ aussi.

]]> $81$ seulement

]]> C'est l'image de $9$, c'est-à-dire $9^2$. On cherche les nombres dont le carré vaut $9$ : $-3$ et $3$.

]]> $\dfrac{9}{2}$ seulement

]]> Tu as divisé par $2$ : élever au carré, c'est multiplier un nombre par lui-même, pas par $2$. On trouve $-3$ et $3$.

]]> Fonctions — Q06 : La notation avec une flèche Que signifie la notation $f : x \longmapsto 2x + 3$ ?

]]> Les écritures $f : x \longmapsto 2x + 3$ et $f(x) = 2x + 3$ disent la même chose : la fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ le nombre $2x + 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À tout nombre $x$, la fonction $f$ associe le nombre $2x + 3$

]]> Bonne réponse : la flèche se lit « associe ». On a donc $f(x) = 2x + 3$ pour tout nombre $x$.

]]> $f$ vaut $2x + 3$ pour une seule valeur particulière de $x$

]]> La formule s'applique à tous les nombres $x$, pas à un seul : $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, et ainsi de suite.

]]> Le nombre $x$ est l'image du nombre $2x + 3$ par la fonction $f$

]]> Le sens est inversé : $x$ est le nombre de départ et $2x + 3$ est son image.

]]> Le nombre $2x + 3$ est un antécédent du nombre $x$ par $f$

]]> Le sens est inversé : $2x + 3$ est l'image de $x$, et $x$ en est un antécédent.

]]> Fonctions — Q07 : Retrouver un nombre de départ On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 + 1$. Parmi les nombres suivants, lequel a pour image $10$ par $f$ ?

]]> Pour vérifier qu'un nombre a pour image $y$, on calcule son image. Pour le trouver, on résout $f(x) = y$ ; ici $x^2 = 9$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.

]]> $9$

]]> Après avoir retranché $1$, on obtient $x^2 = 9$ : il reste à trouver le nombre dont le carré vaut $9$, c'est-à-dire $3$.

]]> $101$

]]> C'est l'image de $10$ par $f$. On cherche au contraire un nombre dont l'image vaut $10$ : $3$ convient.

]]> $\dfrac{9}{2}$

]]> Tu as divisé par $2$ au lieu de chercher le nombre dont le carré vaut $9$. On trouve $3$.

]]> Fonctions — Q08 : Image d'un nombre négatif On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 4$. Que vaut $f(-3)$ ?

]]> On remplace $x$ par $-3$ en l'écrivant entre parenthèses : $(-3)^2 - 4$. Les parenthèses évitent l'erreur de signe sur le carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$, donc $f(-3) = 9 - 4 = 5$.

]]> $-13$

]]> Le carré d'un nombre négatif est positif : $(-3)^2 = 9$, pas $-9$. On obtient $5$.

]]> $-10$

]]> Tu as multiplié $-3$ par $2$. Le carré, c'est $(-3) \times (-3) = 9$, d'où $5$.

]]> $13$

]]> Le terme $- 4$ est devenu $+ 4$. On calcule $9 - 4 = 5$.

]]> Fonctions — Q09 : Remonter un programme de calcul Un programme de calcul consiste à choisir un nombre, à lui ajouter $2$, puis à multiplier le résultat par $3$. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $21$ ?

]]> Le programme correspond à la fonction $x \longmapsto 3(x + 2)$. Pour retrouver le nombre de départ, on annule les opérations en partant de la dernière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : on remonte le programme, $21 \div 3 = 7$, puis $7 - 2 = 5$.

]]> $\dfrac{19}{3}$

]]> Les étapes ont été remontées dans le mauvais ordre : la dernière opération, la multiplication par $3$, s'annule la première. On trouve $5$.

]]> $7$

]]> Il manque la dernière étape : après la division par $3$, il faut encore annuler l'ajout de $2$. On trouve $5$.

]]> $69$

]]> C'est le résultat du programme appliqué à $21$. On cherche au contraire le nombre de départ : $5$.

]]> Fonctions — Q10 : Image d'une somme par la fonction carré On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2$. Que vaut $f(2 + 3)$ ?

]]> Le nombre de départ est $2 + 3 = 5$ ; on calcule ensuite son image. En général, $f(a + b)$ et $f(a) + f(b)$ sont différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25$

]]> Bonne réponse : $2 + 3 = 5$, puis $5^2 = 25$.

]]> $13$

]]> Tu as calculé $f(2) + f(3)$. L'image d'une somme n'est pas la somme des images : on calcule d'abord $2 + 3 = 5$, puis son carré, $25$.

]]> $10$

]]> Tu as multiplié par $2$ au lieu d'élever au carré : $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

]]> $11$

]]> Seul $3$ a été élevé au carré. Le nombre de départ est la somme entière, $5$, dont le carré vaut $25$.

]]> Fonctions — Q11 : Compléter un tableau de valeurs On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 1$. Quelles sont, dans l'ordre, les valeurs de $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$ ?

]]> Pour remplir un tableau de valeurs, on calcule l'image de chaque nombre de la première ligne. Ici $f(0)$ vaut toujours le terme constant, $-1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ ; $2$ ; $5$

]]> Bonne réponse : $f(0) = -1$, $f(1) = 3 - 1 = 2$ et $f(2) = 6 - 1 = 5$.

]]> $0$ ; $3$ ; $6$

]]> Le terme $- 1$ a été oublié. Par exemple $f(0) = 3 \times 0 - 1 = -1$.

]]> $2$ ; $5$ ; $8$

]]> Les valeurs sont décalées d'un rang : ce sont $f(1)$, $f(2)$ et $f(3)$. On commence par $f(0) = -1$.

]]> $-3$ ; $0$ ; $3$

]]> Tu as calculé $3(x - 1)$ : l'addition a été faite avant la multiplication. On trouve $-1$ ; $2$ ; $5$.

]]> Fonctions — Q12 : Prix d'une course en taxi Un taxi facture $4$ € de prise en charge, puis $2$ € par kilomètre parcouru. Quelle fonction donne le prix, en euros, d'une course de $x$ kilomètres ?

]]> Le prix est la somme d'une part fixe, $4$ €, et d'une part proportionnelle à la distance, $2x$ €. Pour $x = 10$, on paie $4 + 2 \times 10$ €.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 4 + 2x$

]]> Bonne réponse : la prise en charge est payée une fois, et chaque kilomètre ajoute $2$ €.

]]> $f(x) = (4 + 2)x$

]]> La prise en charge serait alors payée à chaque kilomètre. Elle ne compte qu'une fois : $f(x) = 4 + 2x$.

]]> $f(x) = 4x + 2$

]]> Les deux nombres ont échangé leur rôle : c'est le prix au kilomètre, $2$ €, qui multiplie $x$.

]]> $f(x) = 2x$

]]> La prise en charge de $4$ € a été oubliée : elle s'ajoute au prix des kilomètres.

]]> Fonctions — Q13 : Lire l'image de zéro Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Quelle est l'image de $0$ par $f$ ?

]]> Pour lire l'image d'un nombre, on part de ce nombre sur l'axe des abscisses, on rejoint la courbe verticalement, puis on lit l'ordonnée du point atteint.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse $0$ a pour ordonnée $3$, donc $f(0) = 3$.

]]> $-2$, $2$ et $4$

]]> Ce sont les antécédents de $0$, lus sur l'axe des abscisses. L'image de $0$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$ : $3$.

]]> $0$

]]> Le point d'abscisse $0$ n'est pas l'origine du repère : il est situé à la hauteur $3$, donc $f(0) = 3$.

]]> $2$

]]> C'est l'image de $-1$ et de $1$. Le point d'abscisse $0$ a pour ordonnée $3$.

]]> Fonctions — Q14 : Lire les antécédents de zéro Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Quels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?

]]> Pour lire les antécédents d'un nombre $k$, on repère tous les points de la courbe d'ordonnée $k$ et on lit leurs abscisses. Il peut y en avoir plusieurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2$, $2$ et $4$

]]> Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, d'abscisses $-2$, $2$ et $4$.

]]> $3$

]]> C'est l'image de $0$. Les antécédents de $0$ sont les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur $0$.

]]> $-2$ et $2$ seulement

]]> Il manque $4$ : la courbe remonte et touche de nouveau l'axe des abscisses au point d'abscisse $4$.

]]> $-1$ et $1$

]]> Ce sont les antécédents de $2$. Les points de la courbe à la hauteur $0$ ont pour abscisses $-2$, $2$ et $4$.

]]> Fonctions — Q15 : Lire les antécédents de deux Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Quels sont les antécédents de $2$ par $f$ ?

]]> On trace mentalement la droite horizontale à la hauteur $2$ ; les abscisses de ses points communs avec la courbe sont les antécédents de $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $1$

]]> Bonne réponse : les points de la courbe d'ordonnée $2$ ont pour abscisses $-1$ et $1$.

]]> $0$

]]> C'est l'image de $2$, car $f(2) = 0$. On cherche au contraire les abscisses des points d'ordonnée $2$.

]]> $-1$ seulement

]]> Il manque $1$ : la courbe repasse à la hauteur $2$ en descendant, au point d'abscisse $1$.

]]> $0$ et $3$

]]> Ce sont les ordonnées de points voisins, pas des abscisses. Les points d'ordonnée $2$ ont pour abscisses $-1$ et $1$.

]]> Fonctions — Q16 : Nombre de solutions d'une équation Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Combien de solutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle ?

]]> Les solutions de $f(x) = 1$ sont les antécédents de $1$ : on compte les points de la courbe d'ordonnée $1$, même si leurs abscisses ne tombent pas sur une graduation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux solutions

]]> Bonne réponse : la courbe passe deux fois à la hauteur $1$, une fois entre $-2$ et $-1$, une fois entre $1$ et $2$.

]]> Une solution

]]> Il y a un second passage : la courbe monte à la hauteur $1$ entre $-2$ et $-1$, puis y redescend entre $1$ et $2$.

]]> Trois solutions

]]> À droite de $2$, la courbe reste sous la hauteur $1$ : elle descend jusqu'à $-1$ et ne remonte que jusqu'à $0$.

]]> Aucune solution

]]> Une solution n'a pas besoin d'être un nombre entier : la courbe passe bien à la hauteur $1$ entre deux graduations.

]]> Fonctions — Q17 : Un point de la courbe Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Lequel de ces points appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

]]> Un point de coordonnées $(x\,;\,y)$ appartient à la courbe de $f$ exactement lorsque $y = f(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : $f(1) = 2$, donc le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $2$ est sur la courbe.

]]> $(2\,;\,1)$

]]> Les coordonnées sont inversées : on écrit l'abscisse d'abord. Or $f(2) = 0$, pas $1$.

]]> $(3\,;\,0)$

]]> Le point de la courbe d'abscisse $3$ est sous l'axe : $f(3) = -1$.

]]> $(0\,;\,2)$

]]> Le point de la courbe d'abscisse $0$ est plus haut : $f(0) = 3$.

]]> Fonctions — Q18 : Lire l'image de trois Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Quelle est l'image de $3$ par $f$ ?

]]> Un nombre a au plus une image par une fonction : la droite verticale passant par $3$ ne coupe la courbe qu'en un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse $3$ est situé une unité sous l'axe des abscisses.

]]> $0$

]]> La courbe coupe l'axe des abscisses en $2$ et en $4$, pas en $3$ : le point d'abscisse $3$ a pour ordonnée $-1$.

]]> $1$

]]> L'ordonnée est négative : le point d'abscisse $3$ est sous l'axe des abscisses, donc $f(3) = -1$.

]]> $0$ et $4$

]]> Un nombre n'a qu'une seule image. Partant de $3$ sur l'axe des abscisses, on atteint la courbe à la hauteur $-1$.

]]> Fonctions — Q19 : Repérer l'affirmation fausse Repère quadrillé. La courbe de la fonction f passe par les points de coordonnées (-3 ; -2), (-2 ; 0), (-1 ; 2), (0 ; 3), (1 ; 2), (2 ; 0), (3 ; -1) et (4 ; 0) : elle monte de -3 à 0, descend de 0 à 3, puis remonte jusqu'à 4.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie pour $x$ compris entre $-3$ et $4$.

Laquelle de ces affirmations est fausse ?

]]> Chaque affirmation se ramène à un point : « $a$ a pour image $b$ » signifie que le point de coordonnées $(a\,;\,b)$ est sur la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$ a pour image $-1$

]]> Bonne réponse : cette affirmation est fausse, car $f(2) = 0$. C'est $3$ qui a pour image $-1$.

]]> $f(0) = 3$

]]> Cette affirmation est vraie : le point d'abscisse $0$ de la courbe est à la hauteur $3$.

]]> $-1$ a pour image $2$

]]> Cette affirmation est vraie : le point de coordonnées $(-1\,;\,2)$ est sur la courbe.

]]> $4$ est un antécédent de $0$

]]> Cette affirmation est vraie : la courbe passe par le point de coordonnées $(4\,;\,0)$.

]]> Fonctions — Q20 : Méthode de lecture d'une image Pour lire graphiquement l'image d'un nombre $a$ par une fonction $f$, comment procède-t-on ?

]]> Abscisse : nombre de départ. Ordonnée : image. Le point de coordonnées $(a\,;\,f(a))$ est le point de la courbe d'abscisse $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On part de $a$ sur l'axe des abscisses et on lit l'ordonnée du point de la courbe

]]> Bonne réponse : $a$ est le nombre de départ, en abscisse ; son image est l'ordonnée du point de la courbe correspondant.

]]> On part de $a$ sur l'axe des ordonnées et on lit l'abscisse du point de la courbe

]]> C'est la méthode pour lire un antécédent de $a$, pas son image.

]]> On part de $a$ sur l'axe des abscisses et on lit l'abscisse du point de la courbe

]]> L'abscisse du point de la courbe vaut $a$ lui-même : c'est son ordonnée qui donne l'image.

]]> On cherche le point de la courbe d'ordonnée $a$ et on lit cette ordonnée

]]> On retrouverait $a$ lui-même. L'image se lit en ordonnée, à partir de $a$ placé en abscisse.

]]> Fonctions — Q21 : Point de la courbe par le calcul On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 2$. Lequel de ces points appartient à sa représentation graphique ?

]]> Le point d'abscisse $x$ de la représentation graphique a pour ordonnée $f(x)$ : ici $(4\,;\,f(4))$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(4\,;\,10)$

]]> Bonne réponse : $f(4) = 3 \times 4 - 2 = 10$.

]]> $(4\,;\,14)$

]]> Erreur de signe sur le terme constant : $f(4) = 10$, pas $14$.

]]> $(10\,;\,4)$

]]> Les coordonnées sont inversées : l'abscisse est le nombre de départ $4$, l'ordonnée son image $10$.

]]> $(4\,;\,6)$

]]> L'addition a été faite avant la multiplication. On trouve $f(4) = 10$.

]]> Fonctions — Q22 : Intersection avec l'axe des ordonnées On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$. En quel point sa courbe coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

]]> Tout point de l'axe des ordonnées a pour abscisse $0$ : le point cherché est donc $(0\,;\,f(0))$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(0\,;\,5)$

]]> Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées, l'abscisse vaut $0$, et $f(0) = 5$.

]]> $(5\,;\,0)$

]]> Les coordonnées sont inversées : sur l'axe des ordonnées, c'est l'abscisse qui vaut $0$.

]]> $(0\,;\,2)$

]]> $2$ multiplie $x^2$, qui vaut $0$ pour $x = 0$. Il reste $f(0) = 5$.

]]> $(0\,;\,4)$

]]> Tu as calculé $f(1)$. Le point cherché a pour abscisse $0$, et $f(0) = 5$.

]]> Fonctions — Q23 : Interpréter des points d'intersection La courbe d'une fonction $f$ et la droite horizontale passant par le point $(0\,;\,2)$ se coupent exactement en deux points, d'abscisses $-1$ et $4$. Que peut-on en déduire ?

]]> Résoudre graphiquement $f(x) = k$, c'est lire les abscisses des points de la courbe situés à la hauteur $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les solutions de $f(x) = 2$ sont $-1$ et $4$

]]> Bonne réponse : les deux points d'intersection ont pour ordonnée $2$, donc $f(-1) = 2$ et $f(4) = 2$.

]]> $f(2) = -1$ et $f(2) = 4$

]]> Les rôles sont inversés, et un nombre ne peut pas avoir deux images. On a $f(-1) = 2$ et $f(4) = 2$.

]]> Les solutions de $f(x) = 2$ sont $0$ et $2$

]]> Ce sont les coordonnées d'un point de la droite. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection, $-1$ et $4$.

]]> L'unique antécédent de $2$ est $3$

]]> Les abscisses ne s'additionnent pas : $2$ a deux antécédents, $-1$ et $4$.

]]> Fonctions — Q24 : Reconnaître une fonction linéaire Laquelle de ces fonctions est une fonction linéaire ?

]]> Une fonction linéaire est de la forme $x \longmapsto ax$, où $a$ est un nombre fixé appelé coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = -4x$

]]> Bonne réponse : $f$ est de la forme $x \longmapsto ax$, avec $a = -4$.

]]> $g(x) = -4x + 1$

]]> Le terme $+ 1$ empêche $g$ d'être linéaire : $g(0) = 1$, alors qu'une fonction linéaire vérifie $f(0) = 0$. C'est une fonction affine.

]]> $h(x) = x^2 - 4$

]]> Le nombre $x$ est élevé au carré : $h$ n'est pas de la forme $x \longmapsto ax$.

]]> $k(x) = \dfrac{-4}{x}$

]]> Ici on divise par $x$ au lieu de multiplier : $k$ n'est pas de la forme $x \longmapsto ax$.

]]> Fonctions — Q25 : Coefficient à partir d'une image Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(4) = 12$. Quel est son coefficient ?

]]> Le coefficient d'une fonction linéaire est le quotient $\dfrac{f(x)}{x}$ pour tout $x$ non nul : c'est le coefficient de proportionnalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $f(x) = ax$, donc $4a = 12$ et $a = \dfrac{12}{4} = 3$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Le quotient est inversé : le coefficient est l'image divisée par le nombre de départ, $\dfrac{12}{4} = 3$.

]]> $8$

]]> Une fonction linéaire multiplie par son coefficient ; elle n'ajoute rien. On divise : $a = 3$.

]]> $48$

]]> On a multiplié au lieu de diviser. De $4a = 12$, on tire $a = 3$.

]]> Fonctions — Q26 : Une image en déduit une autre Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(2) = 6$. Que vaut $f(5)$ ?

]]> On commence par le coefficient $a = \dfrac{f(2)}{2}$, puis on calcule $f(5) = a \times 5$. Un tableau de proportionnalité conduit au même résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : le coefficient est $\dfrac{6}{2} = 3$, donc $f(5) = 3 \times 5 = 15$.

]]> $9$

]]> Tu as ajouté l'écart entre $2$ et $5$. Une fonction linéaire multiplie : $f(5) = 3 \times 5 = 15$.

]]> $30$

]]> Tu as multiplié $f(2)$ par $5$. Il faut d'abord trouver le coefficient, $3$, puis calculer $3 \times 5 = 15$.

]]> $8$

]]> Le coefficient $3$ a été ajouté à $5$ au lieu de le multiplier : $f(5) = 15$.

]]> Fonctions — Q27 : Représentation graphique d'une fonction linéaire Comment est la représentation graphique d'une fonction linéaire ?

]]> La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine ; réciproquement, une telle droite, si elle n'est pas verticale, représente une fonction linéaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est une droite passant par l'origine du repère

]]> Bonne réponse : pour $f(x) = ax$, on a $f(0) = 0$, et les points $(x\,;\,ax)$ sont alignés avec l'origine.

]]> C'est une droite qui ne passe jamais par l'origine

]]> Au contraire : $f(0) = a \times 0 = 0$, donc le point $(0\,;\,0)$ est toujours sur la représentation.

]]> C'est une courbe par l'origine, pas toujours droite

]]> Les points $(x\,;\,ax)$ sont toujours alignés : la représentation est une droite.

]]> C'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées

]]> Une telle droite ne représente aucune fonction : le nombre $0$ y aurait une infinité d'images.

]]> Fonctions — Q28 : Lire le coefficient sur un graphique Repère quadrillé. Une droite passe par l'origine du repère et par le point marqué de coordonnées (2 ; 3).

La droite ci-dessous représente une fonction linéaire $f$. Quel est le coefficient de $f$ ?

]]> On repère un point de la droite à coordonnées entières, autre que l'origine, puis on divise son ordonnée par son abscisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}5$

]]> Bonne réponse : la droite passe par $(2\,;\,3)$, donc $f(2) = 3$ et $a = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Le quotient est inversé : on divise l'ordonnée par l'abscisse, $\dfrac{3}{2}$.

]]> $3$

]]> C'est l'image de $2$, pas le coefficient. On divise par $2$ : $a = \dfrac{3}{2}$.

]]> $2$

]]> C'est l'abscisse du point marqué. Le coefficient vaut $\dfrac{f(2)}{2} = \dfrac{3}{2}$.

]]> Fonctions — Q29 : Une hausse en pourcentage Le prix d'un article augmente de $20\,\%$. Quelle fonction associe au prix de départ $x$ le prix après la hausse ?

]]> Augmenter de $t\,\%$, c'est multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ : la fonction obtenue est linéaire, de coefficient $1{,}2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 1{,}2x$

]]> Bonne réponse : $x + \dfrac{20}{100}x = (1 + 0{,}2)x = 1{,}2x$.

]]> $f(x) = x + 20$

]]> On ajouterait $20$ euros, quel que soit le prix. Une hausse de $20\,\%$ ajoute $0{,}2x$ : $f(x) = 1{,}2x$.

]]> $f(x) = 0{,}2x$

]]> C'est le montant de la hausse seule. Le nouveau prix est $x + 0{,}2x = 1{,}2x$.

]]> $f(x) = (1 + 20)x$

]]> Le pourcentage doit être divisé par $100$ : $20\,\% = 0{,}2$, d'où $f(x) = 1{,}2x$.

]]> Fonctions — Q30 : Image d'une somme par une fonction linéaire Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(2) = 6$ et $f(5) = 15$. Que vaut $f(7)$ ?

]]> Pour une fonction linéaire, $f(a + b) = f(a) + f(b)$. On peut aussi calculer le coefficient, $\dfrac{6}{2} = 3$, puis $7 \times 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $21$

]]> Bonne réponse : $7 = 2 + 5$, donc $f(7) = f(2) + f(5) = 6 + 15 = 21$.

]]> $90$

]]> Tu as multiplié $f(2)$ par $f(5)$. Pour une fonction linéaire, ce sont les images qui s'additionnent : $f(7) = 21$.

]]> $42$

]]> Tu as calculé $7 \times f(2)$, ce qui donnerait $f(14)$. Le coefficient vaut $\dfrac{6}{2} = 3$, donc $f(7) = 21$.

]]> $17$

]]> Tu as ajouté $2$ à $f(5)$. Une fonction linéaire n'ajoute rien : $f(7) = 7 \times 3 = 21$.

]]> Fonctions — Q31 : Prix d'une masse de pommes Les pommes sont vendues $2{,}5$ € le kilogramme. Quelle fonction donne le prix, en euros, de $x$ kilogrammes de pommes ?

]]> Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire : ici, prix $=$ prix au kilogramme $\times$ masse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 2{,}5x$

]]> Bonne réponse : le prix est proportionnel à la masse, de coefficient $2{,}5$.

]]> $f(x) = \dfrac{x}{2{,}5}$

]]> Diviser par le prix au kilogramme donnerait un nombre de kilogrammes, pas un prix : $f(x) = 2{,}5x$.

]]> $f(x) = x + 2{,}5$

]]> Chaque kilogramme coûte $2{,}5$ € : on multiplie la masse par $2{,}5$, on ne l'ajoute pas.

]]> $f(x) = \dfrac{2{,}5}{x}$

]]> Le prix diminuerait quand la masse augmente. Il est proportionnel à la masse : $f(x) = 2{,}5x$.

]]> Fonctions — Q32 : Situation traduite par une fonction linéaire Laquelle de ces situations est décrite par une fonction linéaire ?

]]> Une fonction linéaire décrit une proportionnalité : doubler la grandeur de départ double la grandeur d'arrivée, et $0$ a pour image $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté

]]> Bonne réponse : le périmètre vaut $4c$, proportionnel au côté $c$.

]]> L'aire d'un disque en fonction de la longueur de son rayon

]]> L'aire vaut $\pi r^2$ : doubler le rayon multiplie l'aire par $4$, ce n'est pas proportionnel.

]]> Une location à $30$ € fixes plus $12$ € par jour, selon le nombre de jours

]]> La part fixe de $30$ € rompt la proportionnalité : le prix vaut $30 + 12j$, une fonction affine non linéaire.

]]> La température extérieure relevée en fonction de l'heure

]]> Aucune formule de proportionnalité ne relie la température à l'heure : elle monte puis redescend.

]]> Fonctions — Q33 : Antécédent par une fonction linéaire On considère la fonction linéaire $f$ définie par $f(x) = -3x$. Quel est l'antécédent de $12$ par $f$ ?

]]> L'antécédent d'un nombre $y$ par $x \longmapsto ax$ (avec $a$ non nul) est le quotient $\dfrac{y}{a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-4$

]]> Bonne réponse : on résout $-3x = 12$, d'où $x = \dfrac{12}{-3} = -4$.

]]> $-36$

]]> C'est l'image de $12$. Pour l'antécédent, on résout $-3x = 12$ : $x = -4$.

]]> $4$

]]> Erreur de signe dans la division : $\dfrac{12}{-3} = -4$. Vérification : $-3 \times (-4) = 12$.

]]> $15$

]]> On a soustrait $-3$ au lieu de diviser par $-3$ : $x = -4$.

]]> Fonctions — Q34 : Un autre point de la droite La droite qui représente une fonction linéaire $f$ passe par le point $A(2\,;\,5)$. Lequel de ces points est aussi sur cette droite ?

]]> Les coordonnées des points de la droite sont proportionnelles : multiplier l'abscisse par $k$ multiplie l'ordonnée par $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(6\,;\,15)$

]]> Bonne réponse : $f(6) = 3 \times f(2) = 15$, car les deux coordonnées sont multipliées par $3$.

]]> $(5\,;\,8)$

]]> Ajouter le même nombre aux deux coordonnées ne conserve pas la proportionnalité. On multiplie : $(6\,;\,15)$.

]]> $(5\,;\,2)$

]]> Échanger les coordonnées ne donne pas, en général, un point de la droite. Le point $(6\,;\,15)$ convient.

]]> $(6\,;\,8)$

]]> L'abscisse est multipliée par $3$, l'ordonnée doit l'être aussi : $15$.

]]> Fonctions — Q35 : Identifier les nombres a et b La fonction affine $f$ est définie par $f(x) = 5 - 3x$. On l'écrit sous la forme $f(x) = ax + b$. Que valent $a$ et $b$ ?

]]> L'ordre des termes ne compte pas : on repère le nombre qui multiplie $x$, avec son signe, et le terme constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a = -3$ et $b = 5$

]]> Bonne réponse : $f(x) = -3x + 5$ ; $a$ est le nombre qui multiplie $x$, $b$ le terme constant.

]]> $a = 5$ et $b = -3$

]]> Les rôles sont échangés : $a$ multiplie $x$, même lorsque le terme en $x$ est écrit en second.

]]> $a = 3$ et $b = 5$

]]> Le signe placé devant $3x$ appartient au coefficient : $a = -3$.

]]> $a = 3$ et $b = -5$

]]> Les deux signes ont été changés. On lit $f(x) = -3x + 5$, d'où $a = -3$ et $b = 5$.

]]> Fonctions — Q36 : Linéaire et affine Laquelle de ces affirmations est vraie ?

]]> Les fonctions affines sont de la forme $x \longmapsto ax + b$. Les fonctions linéaires ($b = 0$) et les fonctions constantes ($a = 0$) en sont des cas particuliers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toute fonction linéaire est une fonction affine

]]> Bonne réponse : $x \longmapsto ax$ s'écrit $x \longmapsto ax + 0$, c'est une fonction affine avec $b = 0$.

]]> Toute fonction affine est une fonction linéaire

]]> Contre-exemple : $f(x) = 2x + 1$ est affine, mais $f(0) = 1$, donc elle n'est pas linéaire.

]]> Une fonction affine n'est jamais une fonction linéaire

]]> Lorsque $b = 0$, la fonction affine $x \longmapsto ax$ est linéaire.

]]> Une fonction constante, comme $x \longmapsto 4$, n'est pas affine

]]> Une fonction constante est affine, avec $a = 0$ : $x \longmapsto 0x + 4$.

]]> Fonctions — Q37 : Expression à partir de f(0) et f(1) Une fonction affine $f$ vérifie $f(0) = 3$ et $f(1) = 7$. Quelle est son expression ?

]]> $f(0) = b$ donne directement le terme constant. Ensuite $f(1) = a + b$, d'où $a = f(1) - f(0)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 4x + 3$

]]> Bonne réponse : $f(0) = b = 3$, puis $f(1) = a + b = 7$ donne $a = 4$.

]]> $f(x) = 3x + 7$

]]> Les valeurs ont été placées telles quelles. Or $f(0)$ donne $b$, et $a = f(1) - f(0) = 4$.

]]> $f(x) = 7x + 3$

]]> $f(1)$ vaut $a + b$, pas $a$ seul : $a = 7 - 3 = 4$.

]]> $f(x) = -4x + 3$

]]> La différence est prise dans le mauvais sens : $a = f(1) - f(0) = 4$.

]]> Fonctions — Q38 : Coefficient à partir de deux images Une fonction affine $f(x) = ax + b$ vérifie $f(1) = 5$ et $f(4) = 11$. Que vaut $a$ ?

]]> Pour une fonction affine, les accroissements sont proportionnels : $a = \dfrac{f(u) - f(v)}{u - v}$ pour deux nombres distincts $u$ et $v$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : $a = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Le quotient est inversé : on divise l'écart des images par l'écart des nombres de départ, ce qui donne $2$.

]]> $\dfrac{11}{4}$

]]> Le quotient $\dfrac{f(x)}{x}$ ne donne le coefficient que pour une fonction linéaire. Ici on divise les écarts : $a = 2$.

]]> $6$

]]> C'est l'écart des images ; il reste à le diviser par l'écart des nombres de départ, $3$. On trouve $2$.

]]> Fonctions — Q39 : Expression lue sur une droite Repère quadrillé. Une droite monte de gauche à droite ; elle passe par les points de coordonnées (0 ; -1), (1 ; 1), (2 ; 3) et (3 ; 5).

La droite $\mathcal{D}_f$ ci-dessous représente une fonction affine $f$. Quelle est l'expression de $f$ ?

]]> Le terme constant $b = f(0)$ se lit sur l'axe des ordonnées ; $a$ est la variation verticale lorsqu'on avance d'une unité vers la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 2x - 1$

]]> Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en $-1$, et elle monte de $2$ unités quand $x$ augmente de $1$.

]]> $f(x) = -x + 2$

]]> Les deux nombres sont échangés : $-1$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$, c'est le terme constant ; $2$ multiplie $x$.

]]> $f(x) = 2x + 1$

]]> Erreur de signe : la droite coupe l'axe des ordonnées sous l'origine, en $-1$.

]]> $f(x) = \dfrac{1}{2}x - 1$

]]> Le quotient est inversé : pour $1$ unité vers la droite, on monte de $2$ unités, donc $a = 2$.

]]> Fonctions — Q40 : Antécédent lu sur une droite Repère quadrillé. Une droite monte de gauche à droite ; elle passe par les points de coordonnées (0 ; -1), (1 ; 1), (2 ; 3) et (3 ; 5).

La droite $\mathcal{D}_f$ ci-dessous représente une fonction affine $f$. Quel est l'antécédent de $3$ par $f$ ?

]]> Pour lire un antécédent de $3$, on part de $3$ sur l'axe des ordonnées, on rejoint la droite horizontalement, puis on lit l'abscisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : le point de la droite d'ordonnée $3$ a pour abscisse $2$, donc $f(2) = 3$.

]]> $5$

]]> C'est l'image de $3$, car $f(3) = 5$. On cherche au contraire l'abscisse du point d'ordonnée $3$.

]]> $1$

]]> $f(1) = 1$ : le point d'abscisse $1$ est à la hauteur $1$, pas $3$. L'antécédent de $3$ est $2$.

]]> $-1$

]]> C'est l'ordonnée du point d'abscisse $0$. Le point de la droite à la hauteur $3$ a pour abscisse $2$.

]]> Fonctions — Q41 : Effet du signe de a On considère la fonction affine $f(x) = -3x + 5$. Que se passe-t-il quand $x$ augmente ?

]]> Quand $x$ augmente de $1$, $f(x) = ax + b$ varie de $a$. Si $a$ est négatif, la droite descend.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x)$ diminue, de $3$ pour chaque unité

]]> Bonne réponse : le coefficient $-3$ est négatif, donc la droite descend ; par exemple $f(0) = 5$ et $f(1) = 2$.

]]> $f(x)$ augmente, de $5$ pour chaque unité

]]> Le terme constant $5$ ne dit rien du sens de variation. $f(0) = 5$ et $f(1) = 2$ : $f(x)$ diminue.

]]> $f(x)$ reste égal à $5$ quelle que soit la valeur de $x$

]]> Seule une fonction constante garde la même valeur. Ici $f(1) = 2$, différent de $f(0) = 5$.

]]> $f(x)$ augmente, de $3$ pour chaque unité

]]> Le signe moins a été oublié : $f(1) - f(0) = 2 - 5 = -3$, donc $f(x)$ diminue.

]]> Fonctions — Q42 : Deux fonctions affines égales On considère les fonctions $f(x) = 3x - 2$ et $g(x) = 5x + 4$. Pour quel nombre $x$ a-t-on $f(x) = g(x)$ ?

]]> Graphiquement, la solution est l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Algébriquement, on résout l'équation $f(x) = g(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3$

]]> Bonne réponse : $3x - 2 = 5x + 4$ donne $-2x = 6$, d'où $x = -3$.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> En passant $5x$ dans l'autre membre, on le soustrait : $(3 - 5)x$, pas $(3 + 5)x$. On trouve $-3$.

]]> $-1$

]]> Le terme $- 2$ change de signe en changeant de membre : $-2x = 4 + 2$, d'où $x = -3$.

]]> $3$

]]> Erreur de signe finale : $-2x = 6$ donne $x = -3$. Vérification : $f(-3) = g(-3)$.

]]> Fonctions — Q43 : Reconnaître une fonction affine Laquelle de ces fonctions est une fonction affine ?

]]> Une fonction est affine si elle peut s'écrire $x \longmapsto ax + b$, éventuellement après réduction ; l'ordre des termes ne compte pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 5 - 2x$

]]> Bonne réponse : $f(x) = -2x + 5$ est de la forme $ax + b$, avec $a = -2$ et $b = 5$.

]]> $g(x) = x^2 + 5$

]]> Le nombre $x$ est élevé au carré : $g$ n'est pas de la forme $ax + b$.

]]> $h(x) = \dfrac{2}{x} + 5$

]]> On divise par $x$ : $h$ n'est pas de la forme $ax + b$.

]]> $k(x) = 2x(x + 5)$

]]> En développant, $k(x) = 2x^2 + 10x$ contient un terme en $x^2$ : $k$ n'est pas affine.

]]> Fonctions — Q44 : Comparer deux tarifs Au cinéma, le tarif A coûte $8$ € la séance. Le tarif B comprend un abonnement de $30$ €, puis $5$ € la séance. À partir de combien de séances le tarif B est-il strictement moins cher que le tarif A ?

]]> Les prix sont donnés par $x \longmapsto 8x$ (linéaire) et $x \longmapsto 5x + 30$ (affine). Le changement a lieu à l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11$ séances

]]> Bonne réponse : il faut $5x + 30 < 8x$, soit $3x > 30$, donc $x > 10$ ; le premier entier qui convient est $11$.

]]> $10$ séances

]]> Pour $10$ séances, les deux tarifs coûtent autant, $80$ €. Le tarif B n'est strictement moins cher qu'à partir de $11$ séances.

]]> $6$ séances

]]> Tu as divisé l'abonnement par le prix d'une séance au tarif B. Il faut comparer les deux tarifs : $8x > 5x + 30$.

]]> $4$ séances

]]> Tu as divisé l'abonnement par le prix d'une séance au tarif A. Chaque séance au tarif B fait économiser $3$ € : il en faut plus de $10$.

]]> Fonctions — Q45 : Accroissement d'une fonction affine On considère la fonction affine $f(x) = 3x - 4$. Quand $x$ augmente de $1$, de combien varie $f(x)$ ?

]]> Pour une fonction affine $x \longmapsto ax + b$, chaque augmentation de $1$ de $x$ fait varier $f(x)$ de $a$ : c'est ce qui rend la représentation rectiligne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De $3$

]]> Bonne réponse : $f(x + 1) - f(x) = a \times 1 = 3$, quelle que soit la valeur de $x$.

]]> De $-4$

]]> Le terme constant ne varie pas ; il disparaît dans la différence $f(x + 1) - f(x) = 3$.

]]> De $-1$

]]> C'est la valeur de $f(1)$, pas la variation. La différence $f(x + 1) - f(x)$ vaut $3$.

]]> De $6$

]]> C'est la variation pour une augmentation de $2$. Pour une augmentation de $1$, $f(x)$ varie de $3$.

]]>