$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Angles, triangles et transformations Angles et parallélisme, somme des angles d'un triangle, droites
remarquables, parallélogrammes particuliers. Symétries axiale et
centrale, translation.

]]> Angles, triangles et transformations — Q01 : Angle alterne-interne Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.

Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.

Combien mesure l'angle marqué $2$ ?

]]> Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux et des angles correspondants égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60°$

]]> Bonne réponse : les angles $1$ et $2$ sont alternes-internes, et les droites sont parallèles, donc ils sont égaux.

]]> $120°$

]]> $120°$ est le supplément de $60°$. Les angles $1$ et $2$ sont alternes-internes : avec des droites parallèles, ils sont égaux.

]]> $30°$

]]> $30°$ est le complément de $60°$, ce qui n'a pas de rapport ici. Les angles alternes-internes sont égaux : $60°$.

]]> $90°$

]]> Rien n'indique un angle droit. L'angle $2$ est alterne-interne avec l'angle $1$ : il mesure $60°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q02 : Nommer une paire d'angles Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.

Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.

Comment appelle-t-on la paire formée par les angles $1$ et $2$ ?

]]> Alternes : de part et d'autre de la sécante. Internes : entre les deux droites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des angles alternes-internes

]]> Bonne réponse : ils sont entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante.

]]> Des angles correspondants

]]> Des angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un entre les droites et l'autre non. Les angles $1$ et $2$ sont de part et d'autre.

]]> Des angles opposés par le sommet

]]> Des angles opposés par le sommet ont le même sommet. Les angles $1$ et $2$ sont aux deux points d'intersection.

]]> Des angles adjacents supplémentaires

]]> Des angles adjacents ont le même sommet et un côté commun. Ce n'est pas le cas des angles $1$ et $2$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q03 : Angle adjacent supplémentaire Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.

Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.

Combien mesure l'angle marqué $4$ ?

]]> Deux angles adjacents dont les côtés non communs sont dans le prolongement l'un de l'autre sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $120°$

]]> Bonne réponse : les angles $1$ et $4$ sont adjacents et forment un angle plat, donc $180° - 60° = 120°$.

]]> $60°$

]]> L'angle $4$ est obtus sur la figure. Avec l'angle $1$, il forme un angle plat : $180° - 60° = 120°$.

]]> $30°$

]]> Les angles $1$ et $4$ forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 60° = 120°$.

]]> $300°$

]]> On a retranché $60°$ d'un tour complet. Les angles $1$ et $4$ forment un angle plat : $180° - 60° = 120°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q04 : Angles correspondants Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.

Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.

Comment appelle-t-on la paire formée par les angles $2$ et $3$ ?

]]> Deux angles correspondants occupent la même position aux deux points d'intersection. Avec des droites parallèles, ils sont égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des angles correspondants

]]> Bonne réponse : ils sont du même côté de la sécante, chacun au-dessus d'une des deux droites.

]]> Des angles alternes-internes

]]> Les angles $2$ et $3$ sont du même côté de la sécante ; des angles alternes sont de part et d'autre.

]]> Des angles opposés par le sommet

]]> Les angles $2$ et $3$ n'ont pas le même sommet.

]]> Des angles complémentaires

]]> Leur somme vaut $60° + 60° = 120°$, pas $90°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q05 : Deux angles du même côté Deux droites horizontales parallèles (d), en haut, et (d'), en bas, coupées par une sécante oblique qui monte vers la droite. Au point d'intersection avec (d) : l'angle 1 est sous (d), à gauche de la sécante ; l'angle 3 est au-dessus de (d), à droite de la sécante ; l'angle 4 est sous (d), à droite de la sécante. Au point d'intersection avec (d') : l'angle 2 est au-dessus de (d'), à droite de la sécante.

Sur la figure, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles et l'angle marqué $1$ mesure $60°$.

Que peut-on dire des angles $2$ et $4$ ?

]]> L'angle $2$ est égal à l'angle $1$ (alternes-internes), et l'angle $4$ est le supplément de l'angle $1$ : donc $2$ et $4$ sont supplémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$

]]> Bonne réponse : l'angle $2$ mesure $60°$ et l'angle $4$ mesure $120°$.

]]> Ils sont égaux, car ils sont alternes-internes

]]> Les angles $2$ et $4$ sont du même côté de la sécante : ils ne sont pas alternes. Ils mesurent $60°$ et $120°$.

]]> Ils sont égaux, car ils sont correspondants

]]> L'angle $4$ est sous $(d)$ et l'angle $2$ au-dessus de $(d')$ : ils ne sont pas correspondants. Ils mesurent $60°$ et $120°$.

]]> Ils sont complémentaires : leur somme vaut $90°$

]]> Les angles mesurent $60°$ et $120°$ : leur somme vaut $180°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q06 : Des angles presque égaux Deux droites sont coupées par une sécante. Deux angles alternes-internes mesurent $72°$ et $74°$. Les deux droites sont-elles parallèles ?

]]> Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, elles sont parallèles. Si ces angles sont différents, elles ne le sont pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car ces angles alternes-internes diffèrent

]]> Bonne réponse : si les droites étaient parallèles, les angles alternes-internes seraient égaux. Ils ne le sont pas.

]]> Oui, car les deux angles sont presque égaux

]]> Un écart de $2°$ suffit : les droites finissent par se couper. Pour être parallèles, il faudrait des angles exactement égaux.

]]> Oui, car ce sont des angles alternes-internes

]]> Être alternes-internes ne suffit pas : ces angles doivent en plus être égaux pour que les droites soient parallèles.

]]> On ne peut pas conclure sans mesurer des longueurs

]]> Les angles suffisent : des angles alternes-internes différents prouvent que les droites ne sont pas parallèles.

]]> Angles, triangles et transformations — Q07 : Angle opposé par le sommet Deux droites sécantes forment un angle de $35°$. Combien mesure l'angle qui lui est opposé par le sommet ?

]]> Les quatre angles formés par deux droites sécantes vont par paires : deux angles opposés par le sommet sont égaux, deux angles adjacents sont supplémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $35°$

]]> Bonne réponse : deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

]]> $145°$

]]> C'est la mesure de l'angle adjacent supplémentaire. L'angle opposé par le sommet mesure $35°$.

]]> $55°$

]]> C'est le complément de $35°$. Deux angles opposés par le sommet sont égaux : $35°$.

]]> $325°$

]]> On a retranché $35°$ d'un tour complet. L'angle opposé par le sommet est égal à l'angle donné : $35°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q08 : Angle adjacent sur une droite Deux angles adjacents ont leurs côtés non communs dans le prolongement l'un de l'autre. L'un mesure $38°$. Combien mesure l'autre ?

]]> Deux angles dont la somme vaut $180°$ sont supplémentaires ; deux angles dont la somme vaut $90°$ sont complémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $142°$

]]> Bonne réponse : les deux angles forment un angle plat, donc $180° - 38° = 142°$.

]]> $52°$

]]> Les deux angles forment un angle plat, de $180°$, pas un angle droit : $180° - 38° = 142°$.

]]> $322°$

]]> Les deux angles forment un demi-tour, pas un tour complet : $180° - 38° = 142°$.

]]> $38°$

]]> Les deux angles ne sont pas égaux en général : leur somme vaut $180°$, d'où $142°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q09 : Nature d'un angle Un angle mesure $135°$. Comment est-il qualifié ?

]]> Aigu : entre $0°$ et $90°$. Droit : $90°$. Obtus : entre $90°$ et $180°$. Plat : $180°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Obtus

]]> Bonne réponse : $135°$ est compris entre $90°$ et $180°$.

]]> Aigu

]]> Un angle aigu mesure moins de $90°$ ; $135°$ dépasse $90°$.

]]> Droit

]]> Un angle droit mesure exactement $90°$.

]]> Plat

]]> Un angle plat mesure exactement $180°$ ; $135°$ est plus petit.

]]> Angles, triangles et transformations — Q10 : Les huit angles de deux parallèles Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, ce qui forme huit angles. L'un d'eux mesure $50°$. Quelles mesures trouve-t-on parmi ces huit angles ?

]]> Avec deux droites parallèles, les quatre angles aigus sont égaux entre eux, et les quatre angles obtus aussi ; un angle aigu et un angle obtus sont supplémentaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $50°$ et $130°$ seulement

]]> Bonne réponse : chaque angle est égal à l'angle donné ou à son supplément, par angles opposés, alternes-internes ou correspondants.

]]> $50°$ seulement

]]> Les angles adjacents à l'angle donné mesurent $180° - 50° = 130°$ : il y a deux mesures.

]]> $50°$, $40°$ et $130°$

]]> Aucun angle de $40°$ n'apparaît : seuls l'angle donné et son supplément se répètent.

]]> Huit mesures toutes différentes

]]> Les égalités d'angles opposés, alternes-internes et correspondants ne laissent que deux mesures : $50°$ et $130°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q11 : Démontrer que deux droites sont parallèles Deux droites sont coupées par une sécante. Que suffit-il de montrer pour prouver qu'elles sont parallèles ?

]]> Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes (ou correspondants) égaux, alors elles sont parallèles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que deux angles alternes-internes sont égaux

]]> Bonne réponse : c'est la réciproque de la propriété des angles alternes-internes.

]]> Que deux angles opposés par le sommet sont égaux

]]> Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux, que les droites soient parallèles ou non.

]]> Que deux angles adjacents formés sont égaux

]]> Deux angles adjacents sur une droite sont égaux seulement si la sécante est perpendiculaire à cette droite ; cela ne dit rien de l'autre droite.

]]> Que la sécante coupe chacune des deux droites

]]> Une sécante coupe toujours les deux droites, qu'elles soient parallèles ou non.

]]> Angles, triangles et transformations — Q12 : Troisième angle d'un triangle Dans un triangle $ABC$, $\widehat{BAC} = 48°$ et $\widehat{ABC} = 67°$. Combien mesure l'angle $\widehat{ACB}$ ?

]]> Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut $180°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $65°$

]]> Bonne réponse : la somme des angles d'un triangle vaut $180°$, donc $180° - 48° - 67° = 65°$.

]]> $245°$

]]> La somme des angles d'un triangle vaut $180°$, pas $360°$ : on trouve $65°$.

]]> $115°$

]]> C'est la somme des deux angles connus. Le troisième angle complète cette somme jusqu'à $180°$ : $65°$.

]]> $132°$

]]> Seul l'angle $\widehat{BAC}$ a été retranché. Il faut retrancher les deux angles connus : $65°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q13 : Angles à la base d'un triangle isocèle Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$, et $\widehat{BAC} = 40°$. Combien mesure l'angle $\widehat{ABC}$ ?

]]> Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux. On retranche l'angle au sommet de $180°$, puis on divise par $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $70°$

]]> Bonne réponse : les deux angles à la base sont égaux et se partagent $180° - 40° = 140°$, soit $70°$ chacun.

]]> $140°$

]]> C'est la somme des deux angles à la base. Ils sont égaux, donc chacun mesure la moitié : $70°$.

]]> $40°$

]]> L'angle donné est l'angle au sommet $A$. Les angles égaux sont les deux angles à la base, en $B$ et en $C$ : $70°$.

]]> $160°$

]]> Seul l'angle au sommet a été divisé par $2$. On partage $180° - 40°$ entre les deux angles à la base : $70°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q14 : Angles aigus d'un triangle rectangle Un triangle est rectangle, et l'un de ses angles aigus mesure $32°$. Combien mesure l'autre angle aigu ?

]]> Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $58°$

]]> Bonne réponse : l'angle droit prend $90°$, il reste $90°$ pour les deux angles aigus, donc $90° - 32° = 58°$.

]]> $148°$

]]> L'angle droit a été oublié : il reste $180° - 90° - 32° = 58°$.

]]> $32°$

]]> Les deux angles aigus ne sont égaux que si le triangle est aussi isocèle. Ici l'autre mesure $58°$.

]]> $238°$

]]> Ce n'est pas un angle de triangle : il dépasse $180°$. On calcule $180° - 90° - 32° = 58°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q15 : Angles d'un triangle équilatéral Combien mesure chacun des angles d'un triangle équilatéral ?

]]> Un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles égaux, de $60°$ chacun.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60°$

]]> Bonne réponse : les trois angles sont égaux et leur somme vaut $180°$, donc $180° \div 3 = 60°$.

]]> $90°$

]]> Trois angles de $90°$ feraient $270°$, plus que la somme des angles d'un triangle.

]]> $45°$

]]> Trois angles de $45°$ feraient $135°$, moins que $180°$.

]]> $120°$

]]> Trois angles de $120°$ feraient $360°$, le double de la somme des angles d'un triangle.

]]> Angles, triangles et transformations — Q16 : Longueurs qui forment un triangle Avec lesquelles de ces longueurs peut-on construire un triangle ?

]]> On peut construire un triangle lorsque la plus grande des trois longueurs est strictement inférieure à la somme des deux autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ cm, $5$ cm et $8$ cm

]]> Bonne réponse : la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres.

]]> $3$ cm, $4$ cm et $8$ cm

]]> La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

]]> $2$ cm, $6$ cm et $9$ cm

]]> La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

]]> $5$ cm, $5$ cm et $11$ cm

]]> La plus grande longueur dépasse la somme des deux autres : les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre.

]]> Angles, triangles et transformations — Q17 : Définition de la médiatrice Qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?

]]> La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points situés à égale distance de ses deux extrémités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite perpendiculaire au segment en son milieu

]]> Bonne réponse : elle coupe le segment en son milieu et forme un angle droit avec lui.

]]> Une droite quelconque passant par le milieu du segment

]]> Une infinité de droites passent par le milieu ; la médiatrice est celle qui est en plus perpendiculaire au segment.

]]> La perpendiculaire au segment passant par une de ses extrémités

]]> La médiatrice passe par le milieu du segment, pas par une extrémité.

]]> La demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux

]]> C'est la bissectrice d'un angle. La médiatrice concerne un segment.

]]> Angles, triangles et transformations — Q18 : Un point de la médiatrice Un point $M$ est situé sur la médiatrice du segment $[AB]$, et $MA = 5$ cm. Combien mesure $MB$ ?

]]> Un point est sur la médiatrice de $[AB]$ si et seulement s'il est à égale distance de $A$ et de $B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> Bonne réponse : tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$.

]]> $10$ cm

]]> $M$ est à la même distance de $A$ et de $B$ : $MB = MA = 5$ cm.

]]> $2{,}5$ cm

]]> La médiatrice partage $[AB]$ en deux, pas la distance $MA$ : $MB = MA = 5$ cm.

]]> Les données ne suffisent pas

]]> La médiatrice suffit : tout point de la médiatrice est équidistant de $A$ et $B$, donc $MB = 5$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q19 : Hauteur d'un triangle Dans un triangle $ABC$, qu'appelle-t-on la hauteur issue de $A$ ?

]]> Un triangle a trois hauteurs, une par sommet ; elles sont concourantes. La hauteur sert à calculer l'aire : base $\times$ hauteur $\div 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite passant par $A$ perpendiculaire à $(BC)$

]]> Bonne réponse : elle part du sommet $A$ et coupe la droite $(BC)$ à angle droit.

]]> La droite qui passe par $A$ et par le milieu de $[BC]$

]]> C'est la médiane issue de $A$. La hauteur est perpendiculaire à $(BC)$.

]]> La perpendiculaire à $[BC]$ menée en son milieu

]]> C'est la médiatrice de $[BC]$ ; elle ne passe pas par $A$ en général.

]]> La droite passant par $A$ parallèle à $(BC)$

]]> Une parallèle à $(BC)$ ne la coupe jamais. La hauteur est perpendiculaire à $(BC)$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q20 : Aire partagée par une médiane Un triangle $ABC$ a une aire de $24$ cm$^2$. La médiane issue de $A$ le partage en deux triangles. Quelle est l'aire de chacun d'eux ?

]]> La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu $I$ de $[BC]$. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases égales et la même hauteur, donc la même aire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ cm$^2$

]]> Bonne réponse : les deux triangles ont des bases égales (les moitiés de $[BC]$) et la même hauteur issue de $A$.

]]> $8$ cm$^2$

]]> Une seule médiane ne partage le triangle qu'en deux parties, d'aires égales : $12$ cm$^2$ chacune.

]]> $6$ cm$^2$

]]> La médiane ne coupe pas la hauteur : seule la base est partagée en deux, d'où $12$ cm$^2$.

]]> $24$ cm$^2$

]]> C'est l'aire du triangle entier. Les deux morceaux se la partagent également : $12$ cm$^2$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q21 : Cercle circonscrit à un triangle rectangle Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, et $BC = 12$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

]]> Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse : le centre est le milieu de l'hypoténuse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ cm

]]> Bonne réponse : l'hypoténuse $[BC]$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc le rayon vaut $\dfrac{12}{2} = 6$ cm.

]]> $12$ cm

]]> C'est le diamètre du cercle. Le rayon en est la moitié : $6$ cm.

]]> $24$ cm

]]> L'hypoténuse est un diamètre, pas un rayon : le rayon vaut $6$ cm.

]]> $4$ cm

]]> Le centre du cercle est le milieu de l'hypoténuse : le rayon vaut la moitié de $BC$, soit $6$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q22 : Point commun aux trois médiatrices Les trois médiatrices des côtés d'un triangle se coupent en un même point. Que représente ce point ?

]]> Chaque médiatrice contient les points équidistants de deux sommets ; leur point commun est équidistant des trois sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le centre du cercle circonscrit

]]> Bonne réponse : ce point est à égale distance des trois sommets, c'est le centre du cercle qui passe par eux.

]]> Le milieu du plus grand côté du triangle

]]> C'est le cas seulement pour un triangle rectangle. En général, le point est ailleurs.

]]> Le point où se coupent les trois hauteurs

]]> Les hauteurs passent par les sommets, pas les médiatrices. Les deux points diffèrent en général.

]]> Un sommet du triangle, toujours le même

]]> Une médiatrice ne passe pas par les extrémités du côté. Le point est à égale distance des trois sommets.

]]> Angles, triangles et transformations — Q23 : Triangles de mêmes angles Deux triangles ont les mêmes angles. Le premier a des côtés de $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm. Le plus petit côté du second mesure $6$ cm. Combien mesure son plus grand côté ?

]]> Deux triangles qui ont les mêmes angles ont des côtés proportionnels : le plus petit correspond au plus petit, le plus grand au plus grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ cm

]]> Bonne réponse : les longueurs sont multipliées par $\dfrac{6}{3} = 2$, donc $6 \times 2 = 12$ cm.

]]> $9$ cm

]]> On a ajouté $6 - 3$ à chaque côté. Les longueurs sont proportionnelles : on les multiplie par $2$.

]]> $8$ cm

]]> C'est l'image du côté moyen, $4$ cm. Le plus grand côté correspond à $6$ cm : $6 \times 2 = 12$ cm.

]]> $36$ cm

]]> On a multiplié par $6$ au lieu du coefficient $\dfrac{6}{3} = 2$ : on trouve $12$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q24 : Diagonales qui se coupent en leur milieu Un quadrilatère a des diagonales qui se coupent en leur milieu. Quelle est sa nature ?

]]> Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : c'est une propriété caractéristique du parallélogramme.

]]> C'est forcément un rectangle

]]> Il faudrait en plus des diagonales de même longueur. On sait seulement que c'est un parallélogramme.

]]> C'est forcément un losange

]]> Il faudrait en plus des diagonales perpendiculaires. On sait seulement que c'est un parallélogramme.

]]> C'est forcément un carré

]]> Il faudrait des diagonales de même longueur et perpendiculaires. On sait seulement que c'est un parallélogramme.

]]> Angles, triangles et transformations — Q25 : Parallélogramme aux diagonales égales Un parallélogramme a des diagonales de même longueur. Quelle est sa nature ?

]]> Parallélogramme et diagonales de même longueur : rectangle. Parallélogramme et diagonales perpendiculaires : losange. Les deux à la fois : carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un rectangle

]]> Bonne réponse : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.

]]> C'est un losange

]]> Le losange se reconnaît à des diagonales perpendiculaires, pas de même longueur.

]]> C'est un carré

]]> Un carré a des diagonales égales, mais aussi perpendiculaires, ce qui n'est pas donné ici.

]]> C'est un trapèze

]]> Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles deux à deux ; le cas étudié ici est le rectangle.

]]> Angles, triangles et transformations — Q26 : Parallélogramme aux diagonales perpendiculaires Un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires. Quelle est sa nature ?

]]> Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; ce sont aussi des axes de symétrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un losange

]]> Bonne réponse : un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

]]> C'est un rectangle

]]> Le rectangle se reconnaît à des diagonales de même longueur, pas perpendiculaires.

]]> C'est un carré

]]> Un carré a des diagonales perpendiculaires, mais aussi de même longueur, ce qui n'est pas donné ici.

]]> C'est un cerf-volant non parallélogramme

]]> L'énoncé dit que c'est un parallélogramme ; avec des diagonales perpendiculaires, c'est un losange.

]]> Angles, triangles et transformations — Q27 : Côtés opposés d'un parallélogramme $ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 7$ cm et $BC = 4$ cm. Combien mesure $CD$ ?

]]> Dans un parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés $[AB]$ et $[CD]$, de même que $[BC]$ et $[DA]$, sont parallèles et de même longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$ cm

]]> Bonne réponse : $[CD]$ est le côté opposé à $[AB]$, et les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur.

]]> $4$ cm

]]> $[CD]$ est opposé à $[AB]$, pas à $[BC]$ : $CD = AB = 7$ cm.

]]> $11$ cm

]]> C'est la somme de deux côtés consécutifs. $CD$ est égal à son côté opposé : $7$ cm.

]]> $14$ cm

]]> Le côté opposé est égal à $[AB]$, pas à son double : $CD = 7$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q28 : Angles consécutifs d'un parallélogramme $ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{DAB} = 70°$. Combien mesure l'angle $\widehat{ABC}$ ?

]]> Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires, car les côtés opposés sont parallèles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $110°$

]]> Bonne réponse : deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires, donc $180° - 70° = 110°$.

]]> $70°$

]]> Ce sont les angles opposés qui sont égaux, $\widehat{DAB}$ et $\widehat{BCD}$. Les angles consécutifs sont supplémentaires : $110°$.

]]> $20°$

]]> Les angles consécutifs sont supplémentaires, pas complémentaires : $180° - 70° = 110°$.

]]> $290°$

]]> La somme des quatre angles vaut $360°$, mais deux angles consécutifs totalisent $180°$ : $110°$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q29 : Propriété du losange Quelle propriété possède tout losange ?

]]> Le losange est un quadrilatère à quatre côtés égaux ; c'est un parallélogramme particulier, aux diagonales perpendiculaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ses quatre côtés ont la même longueur

]]> Bonne réponse : c'est la définition du losange.

]]> Ses quatre angles sont des angles droits

]]> C'est le cas du rectangle ; un losange non carré n'a pas d'angle droit.

]]> Ses deux diagonales ont la même longueur

]]> C'est le cas du rectangle ; les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, pas égales.

]]> Seuls deux de ses côtés ont la même longueur

]]> Les quatre côtés d'un losange ont la même longueur.

]]> Angles, triangles et transformations — Q30 : Nature la plus précise Un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et un angle droit. Quelle est sa nature la plus précise ?

]]> Le carré est à la fois un rectangle et un losange : quatre côtés égaux et quatre angles droits.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un carré

]]> Bonne réponse : quatre côtés égaux en font un losange, et un losange qui a un angle droit est un carré.

]]> Un losange qui n'est pas un carré

]]> Un losange ayant un angle droit en a quatre : c'est un carré.

]]> Un rectangle qui n'est pas un carré

]]> Ses quatre côtés sont égaux : un rectangle à côtés égaux est un carré.

]]> Un parallélogramme quelconque

]]> C'est un parallélogramme, mais pas quelconque : côtés égaux et angle droit en font un carré.

]]> Angles, triangles et transformations — Q31 : Diagonales d'un rectangle $ABCD$ est un rectangle avec $AC = 8$ cm. Combien mesure $BD$ ?

]]> Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$ cm

]]> Bonne réponse : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur.

]]> $4$ cm

]]> C'est la distance du centre à un sommet. La diagonale entière $[BD]$ mesure autant que $[AC]$ : $8$ cm.

]]> $16$ cm

]]> Les deux diagonales sont égales, l'une n'est pas le double de l'autre : $BD = 8$ cm.

]]> Les données ne suffisent pas

]]> Dans un rectangle, les diagonales sont toujours égales : $BD = AC = 8$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q32 : Demi-diagonale d'un parallélogramme $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, et $AO = 3$ cm. Combien mesure $AC$ ?

]]> Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, le centre $O$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ cm

]]> Bonne réponse : $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$, donc $AC = 2 \times 3 = 6$ cm.

]]> $3$ cm

]]> C'est la moitié de la diagonale. $O$ est le milieu de $[AC]$ : $AC = 6$ cm.

]]> $1{,}5$ cm

]]> $O$ est le milieu de $[AC]$ : on double $AO$, on ne le divise pas, $AC = 6$ cm.

]]> $12$ cm

]]> On ne double qu'une fois : $AC = AO + OC = 3 + 3 = 6$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q33 : Ce qui n'est pas toujours vrai d'un rectangle Laquelle de ces propriétés n'est pas vraie pour tous les rectangles ?

]]> Un rectangle a quatre angles droits ; ses diagonales sont égales et se coupent en leur milieu. Elles ne sont perpendiculaires que si c'est un carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ses diagonales sont perpendiculaires

]]> Bonne réponse : c'est vrai seulement pour les rectangles qui sont des carrés.

]]> Ses diagonales ont la même longueur

]]> C'est vrai pour tout rectangle.

]]> Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux

]]> C'est vrai pour tout rectangle, qui est un parallélogramme.

]]> Ses quatre angles sont des angles droits

]]> C'est la définition du rectangle.

]]> Angles, triangles et transformations — Q34 : Image d'un segment par symétrie axiale Un segment mesure $6$ cm. Combien mesure son symétrique par rapport à une droite ?

]]> Une figure et son symétrique se superposent par pliage le long de l'axe : longueurs, angles et aires sont conservés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ cm

]]> Bonne réponse : une symétrie axiale conserve les longueurs.

]]> $12$ cm

]]> La symétrie ne double pas les longueurs : l'image est un segment superposable au premier, de $6$ cm.

]]> $3$ cm

]]> La symétrie ne réduit pas les longueurs : l'image mesure $6$ cm.

]]> Cela dépend de l'axe

]]> Quel que soit l'axe, la symétrie conserve les longueurs : $6$ cm.

]]> Angles, triangles et transformations — Q35 : Définition de la symétrie centrale Le point $A'$ est le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$. Qu'est-ce que cela signifie ?

]]> Dans la symétrie de centre $O$, chaque point $A$ a pour image le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu de $[AA']$ ; c'est un demi-tour autour de $O$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $O$ est le milieu du segment $[AA']$

]]> Bonne réponse : la symétrie de centre $O$, ou demi-tour autour de $O$, envoie $A$ de l'autre côté de $O$, à la même distance.

]]> $A$ est le milieu du segment $[OA']$

]]> C'est $O$, le centre, qui est au milieu : $OA = OA'$, et $O$ est sur $[AA']$.

]]> $A'$ est sur la perpendiculaire à $(OA)$ en $O$

]]> Cela décrirait un quart de tour. Le demi-tour place $A'$ sur la droite $(OA)$, de l'autre côté de $O$.

]]> $OA'$ est le double de $OA$

]]> La symétrie conserve les distances au centre : $OA' = OA$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q36 : Symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Dans un repère orthogonal, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(3\,;\,5)$ par rapport à l'axe des ordonnées ?

]]> Par rapport à l'axe des ordonnées, $(x\,;\,y)$ devient $(-x\,;\,y)$ ; par rapport à l'axe des abscisses, $(x\,;\,-y)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-3\,;\,5)$

]]> Bonne réponse : le point passe de l'autre côté de l'axe vertical, à la même hauteur ; seule l'abscisse change de signe.

]]> $(3\,;\,-5)$

]]> C'est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées est vertical, c'est l'abscisse qui change de signe.

]]> $(-3\,;\,-5)$

]]> C'est le symétrique par rapport à l'origine. Par rapport à l'axe des ordonnées, l'ordonnée ne change pas.

]]> $(5\,;\,3)$

]]> Échanger les coordonnées ne correspond pas à cette symétrie. Le point garde sa hauteur $5$ et son abscisse devient $-3$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q37 : Symétrique d'un point par rapport à un autre Dans un repère, quelles sont les coordonnées du symétrique du point $A(1\,;\,2)$ par rapport au point $B(3\,;\,5)$ ?

]]> $B$ doit être le milieu de $[AA']$ : le déplacement de $A$ à $B$ est le même que celui de $B$ à $A'$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,8)$

]]> Bonne réponse : pour aller de $A$ à $B$, on avance de $2$ en abscisse et de $3$ en ordonnée ; on recommence à partir de $B$.

]]> $(2\,;\,3)$

]]> Ce sont les déplacements de $A$ à $B$, pas les coordonnées d'un point. Il faut les ajouter à celles de $B$ : $(5\,;\,8)$.

]]> $(4\,;\,7)$

]]> Ajouter les coordonnées de $A$ et de $B$ ne place pas $B$ au milieu. Le symétrique est $(5\,;\,8)$.

]]> $(-1\,;\,-2)$

]]> C'est le symétrique de $A$ par rapport à l'origine, pas par rapport à $B$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q38 : Axes de symétrie d'un rectangle Combien d'axes de symétrie possède un rectangle qui n'est pas un carré ?

]]> Un carré a quatre axes de symétrie (les deux médiatrices des côtés et les deux diagonales) ; un rectangle non carré n'en a que deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : les deux droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

]]> $4$

]]> Les diagonales d'un rectangle non carré ne sont pas des axes de symétrie : le pliage selon une diagonale ne superpose pas les deux moitiés.

]]> $1$

]]> Il y a deux axes, l'un parallèle à la longueur, l'autre parallèle à la largeur.

]]> $0$

]]> Un rectangle se replie sur lui-même selon la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés.

]]> Angles, triangles et transformations — Q39 : Ce que conserve une symétrie Que conserve une symétrie axiale ?

]]> Une symétrie axiale, une symétrie centrale et une translation conservent toutes les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les longueurs, les angles et les aires

]]> Bonne réponse : la figure et son image sont superposables.

]]> Les longueurs mais pas les angles

]]> Les angles sont conservés aussi : un angle droit a pour image un angle droit.

]]> Les angles mais pas les aires

]]> Les aires sont conservées : deux figures superposables ont la même aire.

]]> Seulement l'alignement des points

]]> L'alignement est conservé, mais aussi les longueurs, les angles et les aires.

]]> Angles, triangles et transformations — Q40 : Translation et parallélogramme La translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $C$ en $D$. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Que peut-on en déduire ?

]]> Si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $C$ en $D$, alors $ABDC$ est un parallélogramme, éventuellement aplati si les points sont alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $ABDC$ est un parallélogramme

]]> Bonne réponse : on va de $C$ à $D$ comme de $A$ à $B$, donc $[AB]$ et $[CD]$ sont deux côtés opposés : l'ordre des sommets est $A$, $B$, $D$, $C$.

]]> $ABCD$ est un parallélogramme

]]> L'ordre des sommets est faux : dans $ABCD$, $[AB]$ et $[CD]$ seraient parcourus en sens contraires. C'est $ABDC$.

]]> $D$ est le milieu du segment $[BC]$

]]> La translation déplace $C$ autant que $A$ : $CD = AB$, et $D$ n'est pas sur $[BC]$ en général.

]]> $C$ est le milieu du segment $[AD]$

]]> Rien n'aligne $A$, $C$ et $D$ : la translation fait de $ABDC$ un parallélogramme.

]]> Angles, triangles et transformations — Q41 : Image d'un point par une translation Dans un repère, la translation qui transforme $A(1\,;\,2)$ en $B(4\,;\,3)$ transforme le point $C(0\,;\,5)$ en un point $D$. Quelles sont les coordonnées de $D$ ?

]]> Une translation déplace tous les points de la même façon : même décalage horizontal, même décalage vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,6)$

]]> Bonne réponse : de $A$ à $B$, on avance de $3$ en abscisse et de $1$ en ordonnée ; on fait le même déplacement à partir de $C$.

]]> $(-3\,;\,4)$

]]> Le déplacement a été fait dans le sens contraire, de $B$ vers $A$. On ajoute $3$ et $1$ : $(3\,;\,6)$.

]]> $(4\,;\,8)$

]]> On a ajouté les coordonnées de $B$, pas le déplacement de $A$ à $B$, qui vaut $3$ et $1$.

]]> $(1\,;\,8)$

]]> Les deux déplacements sont échangés : $+3$ en abscisse et $+1$ en ordonnée, d'où $(3\,;\,6)$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q42 : Reconnaître un demi-tour Quadrillage avec une droite verticale (d) en pointillés et un point O sur cette droite, au centre. À gauche, une figure F en forme de L : une barre verticale avec un pied tourné vers la droite en bas. À droite, plus bas, une figure F' de même forme, retournée tête en bas, avec le pied tourné vers la gauche en haut.

Sur le quadrillage ci-dessous, quelle transformation permet de passer de la figure $F$ à la figure $F'$ ?

]]> Un demi-tour autour de $O$ retourne la figure tête en bas et inverse la gauche et la droite ; $O$ est le milieu de chaque segment joignant un point à son image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie de centre $O$

]]> Bonne réponse : $F'$ est $F$ retournée d'un demi-tour autour de $O$ ; chaque sommet a son image de l'autre côté de $O$, à la même distance.

]]> La symétrie d'axe $(d)$

]]> Le symétrique de $F$ par rapport à $(d)$ serait à la même hauteur que $F$, le pied tourné vers la gauche. $F'$ est plus bas et tête en bas.

]]> Une translation

]]> Une translation ne fait pas tourner la figure : le pied resterait en bas, tourné vers la droite.

]]> La symétrie d'axe horizontal passant par $O$

]]> Cette symétrie laisserait $F'$ du même côté de $(d)$ que $F$, à gauche. Or $F'$ est passée à droite.

]]> Angles, triangles et transformations — Q43 : Reconnaître une translation Quadrillage avec une droite verticale (d) en pointillés et un point O sur cette droite, au centre. À gauche, une figure F en forme de L : une barre verticale avec un pied tourné vers la droite en bas. À droite, plus bas, une figure F' identique, dans la même position, avec le pied tourné vers la droite en bas.

Les figures $F$ et $F'$ sont tracées sur le quadrillage ci-dessous. Par quelle
transformation obtient-on $F'$ à partir de $F$ ?

]]> Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner : tous les points se déplacent de la même façon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une translation

]]> Bonne réponse : $F'$ a la même orientation que $F$ ; chaque point a glissé de $6$ carreaux vers la droite et de $3$ vers le bas.

]]> La symétrie de centre $O$

]]> Un demi-tour retournerait la figure tête en bas. $F'$ garde le pied en bas, tourné vers la droite.

]]> La symétrie d'axe $(d)$

]]> Une symétrie axiale retournerait le pied vers la gauche et garderait la même hauteur. $F'$ a glissé sans se retourner.

]]> Aucune de ces transformations

]]> Le glissement de $6$ carreaux vers la droite et de $3$ vers le bas est une translation.

]]> Angles, triangles et transformations — Q44 : Image d'une droite par un demi-tour Quelle est l'image d'une droite $(\Delta)$ par une symétrie centrale de centre $O$, si $O$ n'est pas sur $(\Delta)$ ?

]]> Une symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle ; si le centre est sur la droite, la droite est sa propre image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite parallèle à $(\Delta)$

]]> Bonne réponse : un demi-tour transforme une droite en une droite parallèle.

]]> Une droite perpendiculaire à $(\Delta)$

]]> Cela correspondrait à un quart de tour. Un demi-tour donne une droite parallèle.

]]> Une droite qui coupe $(\Delta)$ au point $O$

]]> $O$ n'est pas sur $(\Delta)$, ni sur son image : les deux droites sont parallèles.

]]> Un segment dont $O$ est le milieu

]]> L'image d'une droite est une droite entière, parallèle à $(\Delta)$.

]]> Angles, triangles et transformations — Q45 : Une lettre symétrique Laquelle de ces lettres majuscules possède un axe de symétrie vertical ?

]]> Une figure a un axe de symétrie si le pliage selon cet axe superpose ses deux moitiés. Dans les lettres majuscules usuelles, A, H, M, O, T, U, V, W, X et Y ont un axe vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La lettre A

]]> Bonne réponse : la droite verticale qui passe par la pointe du A le partage en deux moitiés superposables par pliage.

]]> La lettre N

]]> Le N n'a pas d'axe de symétrie ; il a un centre de symétrie, car un demi-tour le laisse inchangé.

]]> La lettre F

]]> Le F n'a aucune symétrie : ses barres partent toutes vers la droite.

]]> La lettre Z

]]> Le Z n'a pas d'axe de symétrie ; il a un centre de symétrie, car un demi-tour le laisse inchangé.

]]>