$course$/QCM de maths/Automatismes du collège/Puissances et écriture scientifique Puissances d'un nombre, exposants négatifs, règles de calcul,
écriture scientifique et ordres de grandeur.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q01 : Valeur d'une puissance Que vaut $3^{4}$ ?

]]> Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^{n}$ désigne le produit
de $n$ facteurs tous égaux à $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $81$

]]> Bonne réponse : $3^{4}$ est le produit de $4$ facteurs tous
égaux à $3$, ce qui donne $81$.

]]> $12$

]]> Puissance et produit ont été confondus : $3^{4}$ ne vaut pas
$3 \times 4$. En multipliant les facteurs, on obtient $81$.

]]> $27$

]]> Il manque un facteur dans le produit : l'exposant $4$ indique
$4$ facteurs égaux à $3$, donc le résultat est $81$.

]]> $64$

]]> La base et l'exposant ont été échangés : ici la base est $3$ et
l'exposant $4$, ce qui donne $81$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q02 : Base et exposant Dans l'écriture $7^{5}$, comment appelle-t-on le nombre $5$ ?

]]> Dans $a^{n}$, le nombre $a$ est la base et le nombre $n$ est
l'exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'exposant

]]> Bonne réponse : le nombre écrit en haut est l'exposant. Il compte
les facteurs du produit $7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7$.

]]> La base

]]> Les deux rôles ont été échangés : la base est le nombre répété,
c'est-à-dire $7$. Le nombre $5$ est l'exposant.

]]> Le coefficient

]]> Il n'y a pas de coefficient dans $7^{5}$. Le nombre $5$ est placé
en exposant et compte les facteurs égaux à $7$.

]]> Le multiplicateur

]]> Ce mot n'a pas de sens ici : $5$ ne multiplie pas $7$, il indique
combien de fois $7$ est utilisé comme facteur.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q03 : Zéros d'une puissance de dix Combien de zéros comporte l'écriture décimale de $10^{5}$ ?

]]> L'écriture décimale de $10^{n}$ est un $1$ suivi de $n$ zéros.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $10^{5}$ s'écrit avec un $1$ suivi de $5$
zéros, autant que l'indique l'exposant.

]]> $4$

]]> Un zéro a été perdu en cours de route : l'exposant $5$ donne
exactement $5$ zéros, et non $4$.

]]> $6$

]]> Un zéro de trop : le chiffre $1$ du début ne compte pas comme un
zéro. Il y en a $5$.

]]> $10$

]]> L'exposant a été doublé sans raison : $10^{5}$ comporte $5$
zéros, pas $10$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q04 : Produit de puissances de même base Écris $3^{4} \times 3^{7}$ sous la forme d'une seule
puissance.

]]> Pour tous exposants $m$ et $n$, $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3^{11}$

]]> Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants
s'additionnent, donc $4 + 7 = 11$.

]]> $3^{28}$

]]> Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances
de même base, ils s'additionnent, ce qui donne $3^{11}$.

]]> $9^{11}$

]]> Les bases ont été multipliées elles aussi : la base reste $3$,
seuls les exposants s'additionnent.

]]> $3^{-3}$

]]> Les exposants ont été soustraits : la soustraction est la règle
du quotient, pas celle du produit.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q05 : Quotient de puissances de même base Écris $\dfrac{2^{9}}{2^{4}}$ sous la forme d'une seule
puissance.

]]> Pour tous exposants $m$ et $n$, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$
lorsque $a$ n'est pas nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{5}$

]]> Bonne réponse : la base ne change pas et les exposants se
soustraient, donc $9 - 4 = 5$.

]]> $2^{13}$

]]> Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du
produit. Pour un quotient, on soustrait.

]]> $2^{-5}$

]]> La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du
dénominateur que l'on retire, donc $9 - 4 = 5$.

]]> $2^{36}$

]]> Les exposants ont été multipliés : la multiplication des
exposants est la règle de la puissance d'une puissance.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q06 : Puissance d'une puissance Écris $\left(2^{3}\right)^{4}$ sous la forme d'une seule
puissance.

]]> Pour tous exposants $m$ et $n$, $\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \times n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{12}$

]]> Bonne réponse : les exposants se multiplient, donc
$3 \times 4 = 12$.

]]> $2^{7}$

]]> Les exposants ont été additionnés : l'addition est la règle du
produit $2^{3} \times 2^{4}$, pas celle-ci.

]]> $2^{81}$

]]> L'exposant a été élevé à la puissance : il fallait simplement
multiplier $3$ par $4$, ce qui donne $12$.

]]> $2^{4}$

]]> L'exposant intérieur a été oublié : les deux exposants comptent,
et leur produit vaut $12$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q07 : Puissance d'un nombre négatif Que vaut $(-2)^{3}$ ?

]]> Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est
pair, négative si l'exposant est impair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-8$

]]> Bonne réponse : le facteur $-2$ est répété $3$ fois, et le
produit vaut $-8$.

]]> $8$

]]> Le signe du résultat est faux : un produit de $3$ facteurs
négatifs donne $-8$.

]]> $-6$

]]> Puissance et produit ont été confondus : il ne s'agit pas de
$-2 \times 3$, mais d'un produit de $3$ facteurs.

]]> $4$

]]> Il manque un facteur : l'exposant $3$ annonce $3$ facteurs
égaux à $-2$, ce qui conduit à $-8$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q08 : Exposant négatif Que vaut $3^{-4}$ ?

]]> Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{81}$

]]> Bonne réponse : un exposant négatif annonce un inverse, et le
dénominateur cherché est $3^{4}$.

]]> $-81$

]]> L'exposant négatif a été pris pour un signe moins devant le
nombre : il annonce un inverse, pas un opposé.

]]> $\dfrac{1}{12}$

]]> Le dénominateur est faux : il faut calculer $3^{4}$, et non
$3 \times 4$.

]]> $-\dfrac{1}{81}$

]]> L'inverse est correct mais un signe moins a été ajouté à tort :
$3^{-4}$ est un nombre positif.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q09 : Écriture scientifique d'un grand nombre Quelle est l'écriture scientifique de $35\,000$ ?

]]> L'écriture scientifique d'un nombre positif est $a \times 10^{n}$
avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}5 \times 10^{4}$

]]> Bonne réponse : la virgule est placée après le premier chiffre,
et il faut $4$ rangs pour revenir à $35\,000$.

]]> $3{,}5 \times 10^{3}$

]]> L'exposant est trop petit d'une unité : $3{,}5 \times 10^{3}$
est dix fois plus petit que $35\,000$.

]]> $3{,}5 \times 10^{5}$

]]> L'exposant est trop grand d'une unité : $3{,}5 \times 10^{5}$
est dix fois plus grand que $35\,000$.

]]> $35 \times 10^{3}$

]]> Le produit est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le
premier facteur doit être compris entre $1$ et $10$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q10 : Écriture scientifique d'un petit nombre Quelle est l'écriture scientifique de $0{,}00047$ ?

]]> Un nombre positif plus petit que $1$ s'écrit $a \times 10^{n}$ avec
un exposant $n$ négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4{,}7 \times 10^{-4}$

]]> Bonne réponse : le nombre est plus petit que $1$, donc l'exposant
est négatif, et il vaut $-4$.

]]> $4{,}7 \times 10^{4}$

]]> Le signe de l'exposant a été oublié : un nombre plus petit que
$1$ a un exposant négatif.

]]> $4{,}7 \times 10^{-3}$

]]> Il manque un rang : $4{,}7 \times 10^{-3}$ est dix fois plus
grand que $0{,}00047$.

]]> $47 \times 10^{-5}$

]]> Le produit est juste mais le premier facteur dépasse $10$, donc
l'écriture n'est pas scientifique.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q11 : Retour à l'écriture décimale Quelle est l'écriture décimale de $2{,}6 \times 10^{3}$ ?

]]> Multiplier par $10^{n}$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la
droite, et vers la gauche si $n$ est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2600$

]]> Bonne réponse : l'exposant $3$ déplace la virgule de $3$
rangs, ce qui donne $2600$.

]]> $260$

]]> La virgule a été déplacée d'un rang de moins : le résultat obtenu
est dix fois trop petit.

]]> $26\,000$

]]> La virgule a été déplacée d'un rang de trop : le résultat obtenu
est dix fois trop grand.

]]> $0{,}0026$

]]> La virgule est partie du mauvais côté : le signe de l'exposant
$3$ indique le sens du déplacement.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q12 : Produit de deux écritures scientifiques Que vaut $(2 \times 10^{3}) \times (4 \times 10^{5})$ ?

]]> Dans un produit, on regroupe les nombres d'un côté et les puissances
de $10$ de l'autre, puis on additionne les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8 \times 10^{8}$

]]> Bonne réponse : on multiplie les premiers facteurs, puis on
additionne les exposants, soit $3 + 5 = 8$.

]]> $8 \times 10^{15}$

]]> Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances
de $10$, ils s'additionnent.

]]> $6 \times 10^{8}$

]]> Les premiers facteurs ont été additionnés : ils se multiplient,
donc $2 \times 4 = 8$.

]]> $6 \times 10^{15}$

]]> Les deux règles ont été inversées : les facteurs se multiplient
et les exposants s'additionnent.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q13 : Quotient de deux écritures scientifiques Que vaut $\dfrac{6 \times 10^{7}}{2 \times 10^{3}}$ ?

]]> Dans un quotient, on divise les nombres entre eux et on soustrait les
exposants des puissances de $10$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3 \times 10^{4}$

]]> Bonne réponse : on divise les premiers facteurs, puis on
soustrait les exposants, soit $7 - 3 = 4$.

]]> $3 \times 10^{10}$

]]> Les exposants ont été additionnés : l'addition vaut pour un
produit, la soustraction pour un quotient.

]]> $3 \times 10^{-4}$

]]> La soustraction a été faite à l'envers : c'est l'exposant du
dénominateur que l'on retire.

]]> $4 \times 10^{4}$

]]> Les premiers facteurs ont été soustraits : ils se divisent, donc
$6 \div 2 = 3$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q14 : Produit à remettre en écriture scientifique Donne l'écriture scientifique de
$(5 \times 10^{4}) \times (4 \times 10^{3})$.

]]> Quand le premier facteur dépasse $10$, on le divise par $10$ et on
ajoute $1$ à l'exposant de la puissance de $10$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \times 10^{8}$

]]> Bonne réponse : le produit vaut $20 \times 10^{7}$, et
$20 = 2 \times 10$, d'où l'exposant $8$.

]]> $20 \times 10^{7}$

]]> Le calcul est juste mais l'écriture n'est pas scientifique : le
premier facteur $20$ dépasse $10$.

]]> $2 \times 10^{7}$

]]> Le premier facteur a été ramené entre $1$ et $10$ sans augmenter
l'exposant : le nombre obtenu est dix fois trop petit.

]]> $20 \times 10^{8}$

]]> L'exposant a été augmenté sans corriger le premier facteur : le
nombre obtenu est dix fois trop grand.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q15 : La plus petite puissance de dix Parmi ces nombres, lequel est le plus petit ?

]]> Les puissances de $10$ sont rangées dans le même ordre que leurs
exposants : plus l'exposant est petit, plus le nombre est petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{-5}$

]]> Bonne réponse : pour des puissances de $10$, le plus petit nombre
est celui dont l'exposant est le plus petit, ici $-5$.

]]> $10^{-3}$

]]> L'exposant $-3$ est plus grand que $-5$, donc $10^{-3}$ est
plus grand que $10^{-5}$.

]]> $10^{2}$

]]> L'exposant $2$ est plus grand que $-5$, donc ce nombre n'est
pas le plus petit des quatre.

]]> $10^{4}$

]]> L'exposant $4$ est le signe d'un nombre bien plus grand : c'est
$10^{-5}$ qu'il fallait choisir.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q16 : Ordre de grandeur d'un nombre Quel est l'ordre de grandeur de $68\,000$, c'est-à-dire la puissance de
$10$ la plus proche ?

]]> L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de $10$ dont il est
le plus proche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{5}$

]]> Bonne réponse : parmi les puissances de $10$, c'est $10^{5}$
qui est la plus proche de $68\,000$.

]]> $10^{4}$

]]> L'arrondi s'est fait vers le bas : $68\,000$ est nettement plus
proche de $10^{5}$ que de $10^{4}$.

]]> $10^{6}$

]]> L'arrondi s'est fait vers le haut : $10^{6}$ est dix fois plus
grand que la puissance attendue.

]]> $10^{3}$

]]> Deux rangs ont été perdus : le nombre $68\,000$ est cent fois plus
grand que $10^{3}$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q17 : Condition de l'écriture scientifique Un nombre positif écrit en écriture scientifique est de la forme
$a \times 10^{n}$, avec $n$ entier. Quelle condition le nombre $a$
doit-il vérifier ?

]]> Dans l'écriture scientifique $a \times 10^{n}$ d'un nombre positif,
le facteur $a$ vérifie $1 \leqslant a < 10$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 \leqslant a < 10$

]]> Bonne réponse : le premier facteur a exactement un chiffre avant
la virgule, et ce chiffre n'est pas $0$.

]]> $0 < a < 1$

]]> Cette condition décrit un nombre qui commence par $0$ : le
premier facteur doit au contraire atteindre $1$.

]]> $0 \leqslant a \leqslant 10$

]]> Les deux bornes sont mal choisies : $a$ ne peut valoir ni $0$ ni
$10$, sinon l'écriture n'est plus unique.

]]> $a$ doit être un entier

]]> Le premier facteur est presque toujours décimal, par exemple
$3{,}5$ : il n'a aucune raison d'être entier.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q18 : Puissance d'un produit À quelle expression $(2 \times 5)^{3}$ est-il égal ?

]]> Pour tout exposant $n$, $(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{3} \times 5^{3}$

]]> Bonne réponse : l'exposant porte sur chacun des deux facteurs du
produit.

]]> $2 \times 5^{3}$

]]> L'exposant n'a porté que sur un seul facteur : il s'applique aux
deux, car la parenthèse les regroupe.

]]> $2^{3} + 5^{3}$

]]> Le produit est devenu une somme : les deux puissances se
multiplient, elles ne s'additionnent pas.

]]> $10^{6}$

]]> L'exposant a été doublé sans raison : le produit $10$ garde
l'exposant $3$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q19 : Deux règles enchaînées Écris $\left(2^{3}\right)^{2} \times 2^{4}$ sous la forme
d'une seule puissance.

]]> On applique d'abord la règle de la puissance d'une puissance, puis
celle du produit de puissances de même base.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{10}$

]]> Bonne réponse : la parenthèse donne $2^{3 \times 2}$, puis
le produit ajoute $4$, ce qui fait $10$.

]]> $2^{9}$

]]> Tous les exposants ont été additionnés : ceux de la parenthèse se
multiplient d'abord.

]]> $2^{24}$

]]> Tous les exposants ont été multipliés : le dernier s'ajoute, car
il vient d'un produit de puissances.

]]> $2^{11}$

]]> Les deux règles ont été appliquées aux mauvais endroits : on
multiplie $3$ par $2$, puis on ajoute $4$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q20 : Quotient donnant un exposant négatif Le quotient $\dfrac{2^{3}}{2^{7}}$ se ramène à une seule
puissance de $2$. Laquelle ?

]]> La règle $\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$ vaut aussi lorsque $m$ est
plus petit que $n$ : l'exposant obtenu est alors négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{-4}$

]]> Bonne réponse : $3 - 7 = -4$, et rien n'interdit à un
exposant d'être négatif.

]]> $2^{4}$

]]> La soustraction a été faite à l'envers pour éviter un exposant
négatif : il faut pourtant l'accepter.

]]> $2^{10}$

]]> Les exposants ont été additionnés : pour un quotient, on les
soustrait.

]]> $-2^{4}$

]]> Le signe moins a été placé devant le nombre au lieu de l'être
devant l'exposant : le résultat cherché est positif.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q21 : Produit avec un exposant négatif Écris $3^{7} \times 3^{-2}$ sous la forme d'une seule
puissance.

]]> La règle $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ reste valable avec des
exposants négatifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3^{5}$

]]> Bonne réponse : les exposants s'additionnent, et
$7 + (-2) = 5$.

]]> $3^{9}$

]]> Le signe moins de l'exposant a été oublié : le second exposant
vaut $-2$, il diminue la somme.

]]> $3^{-5}$

]]> Les deux exposants ont été échangés dans la soustraction : la
somme cherchée vaut $5$.

]]> $3^{14}$

]]> Les exposants ont été multipliés : la multiplication concerne la
puissance d'une puissance.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q22 : Signe moins devant une puissance Que vaut $-3^{2}$ ?

]]> Dans $-a^{n}$, la puissance s'applique à $a$ seul. Il faut écrire
$(-a)^{n}$ pour que le signe moins soit élevé à la puissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-9$

]]> Bonne réponse : sans parenthèses, la puissance se calcule en
premier, puis on prend l'opposé de $9$.

]]> $9$

]]> Le signe moins a été oublié : il porte sur le résultat de la
puissance, donc le nombre cherché est négatif.

]]> $-6$

]]> Puissance et produit ont été confondus : l'exposant $2$ répète
le facteur $3$, il ne le multiplie pas.

]]> $-27$

]]> Un facteur de trop a été utilisé : l'exposant vaut $2$, donc la
puissance vaut $9$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q23 : Le plus grand de quatre nombres Parmi ces nombres écrits en écriture scientifique, lequel est le plus
grand ?

]]> Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on
compare d'abord les exposants, puis les premiers facteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3 \times 10^{8}$

]]> Bonne réponse : son exposant $8$ est le plus grand des quatre,
et c'est lui qui décide en premier.

]]> $9 \times 10^{7}$

]]> Le premier facteur $9$ est grand, mais l'exposant $7$ est
plus petit que $8$ : c'est l'exposant qui l'emporte.

]]> $5 \times 10^{6}$

]]> L'exposant $6$ est plus petit que $8$, donc ce nombre est
plus petit que le premier.

]]> $7 \times 10^{5}$

]]> Le premier facteur a été comparé avant l'exposant : avec
l'exposant $5$, ce nombre reste le plus petit.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q24 : Somme de deux carrés Que vaut $3^{2} + 4^{2}$ ?

]]> L'exposant se calcule avant l'addition : on élève chaque nombre au
carré, puis on additionne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25$

]]> Bonne réponse : chaque carré se calcule d'abord, puis on
additionne les deux résultats.

]]> $49$

]]> Les nombres ont été additionnés avant d'élever au carré : le
carré d'une somme ne vaut pas la somme des carrés.

]]> $24$

]]> Ce calcul est celui du double produit : il n'apparaît pas dans
une somme de deux carrés.

]]> $14$

]]> Les carrés ont été remplacés par des doubles : $3^{2}$ signifie
$3 \times 3$, pas $2 \times 3$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q25 : Un nombre écrit comme puissance de dix Comment s'écrit $1\,000\,000$ sous la forme d'une puissance de $10$ ?

]]> Un $1$ suivi de $n$ zéros est l'écriture décimale de $10^{n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{6}$

]]> Bonne réponse : l'écriture décimale comporte $6$ zéros, et
l'exposant les compte exactement.

]]> $10^{5}$

]]> Un zéro a été oublié dans le comptage : il y en a $6$, donc
l'exposant vaut $6$.

]]> $10^{7}$

]]> Le chiffre $1$ du début a été compté comme un zéro : seuls les
zéros comptent, et il y en a $6$.

]]> $6^{10}$

]]> La base et l'exposant ont été échangés : la base est $10$ et
l'exposant vaut $6$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q26 : Produit de puissances de dix signées Écris $10^{-3} \times 10^{-5}$ sous la forme d'une seule puissance
de $10$.

]]> L'addition des exposants vaut quels que soient leurs signes, donc
$10^{p} \times 10^{q} = 10^{p+q}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{-8}$

]]> Bonne réponse : les exposants s'additionnent en tenant compte de
leurs signes, et $-3 - 5 = -8$.

]]> $10^{15}$

]]> Les exposants ont été multipliés : dans un produit de puissances
de même base, ils s'additionnent.

]]> $10^{2}$

]]> Les exposants ont été soustraits : la soustraction est réservée
au quotient.

]]> $10^{-2}$

]]> Les exposants ont été soustraits dans l'autre sens : il faut les
additionner, ce qui donne $-8$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q27 : Remettre en écriture scientifique Donne l'écriture scientifique de $340 \times 10^{5}$.

]]> Diviser le premier facteur par $10$ oblige à ajouter $1$ à l'exposant
pour que le nombre reste le même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}4 \times 10^{7}$

]]> Bonne réponse : la virgule recule de $2$ rangs dans $340$, et
l'exposant gagne autant d'unités.

]]> $3{,}4 \times 10^{3}$

]]> L'exposant a été diminué au lieu d'être augmenté : réduire le
premier facteur oblige à agrandir la puissance de $10$.

]]> $3{,}4 \times 10^{5}$

]]> Le premier facteur a changé mais pas l'exposant : le nombre
obtenu n'est plus égal à celui de départ.

]]> $340 \times 10^{7}$

]]> L'exposant a changé mais pas le premier facteur : $340$ dépasse
$10$, l'écriture n'est donc pas scientifique.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q28 : Exposant nul Que vaut $a^{0}$ lorsque $a$ est un nombre non nul ?

]]> Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{0} = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : la règle $a^{0} = 1$ vaut pour tout nombre non
nul, quelle que soit sa valeur.

]]> $0$

]]> L'exposant a été confondu avec le résultat : ce n'est pas parce
que l'exposant vaut $0$ que la puissance vaut $0$.

]]> $a$

]]> Cette réponse conviendrait à $a^{1}$ : avec l'exposant $0$, le
résultat vaut toujours $1$.

]]> Cela dépend de $a$

]]> Le résultat ne dépend pas de $a$ : tout nombre non nul élevé à la
puissance $0$ donne $1$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q29 : Priorité de la puissance Que vaut $3 \times 2^{4}$ ?

]]> Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre qui le
précède immédiatement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $48$

]]> Bonne réponse : la puissance se calcule avant la multiplication,
donc on multiplie $3$ par $2^{4}$.

]]> $1296$

]]> Les deux nombres ont été multipliés avant d'élever à la
puissance : cela reviendrait à écrire $(3 \times 2)^{4}$.

]]> $24$

]]> L'exposant a servi de facteur : il indique une répétition de
$2$, il ne multiplie pas le résultat.

]]> $216$

]]> La parenthèse imaginée est doublement fautive : l'exposant porte
sur $2$ seul et vaut $4$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q30 : Ordre de grandeur d'un quotient Quel est l'ordre de grandeur de
$\dfrac{6 \times 10^{9}}{3 \times 10^{4}}$ ?

]]> On simplifie d'abord le quotient sous la forme $a \times 10^{n}$,
puis on garde la puissance de $10$ la plus proche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{5}$

]]> Bonne réponse : le quotient vaut $2 \times 10^{5}$, et
$2$ est assez petit pour que $10^{5}$ reste le plus proche.

]]> $10^{6}$

]]> Le premier facteur $2$ a été arrondi à $10$ : il en est
nettement plus éloigné que de $1$.

]]> $10^{4}$

]]> Un rang a été perdu : la soustraction des exposants donne $5$,
et non $4$.

]]> $10^{13}$

]]> Les exposants ont été additionnés : dans un quotient, on les
soustrait.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q31 : Écrire un produit répété sous forme de puissance Comment écrire $5 \times 5 \times 5 \times 5$ sous la forme d'une puissance ?

]]> $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5^{4}$

]]> Bonne réponse : le facteur $5$ est répété $4$ fois, donc le produit vaut $5^{4}$.

]]> $4^{5}$

]]> Erreur : la base et l'exposant sont échangés. La base est le facteur répété, $5$ ; l'exposant est le nombre de facteurs, $4$.

]]> $5 \times 4$

]]> Erreur : $5 \times 4$ est une somme répétée de $5$, pas un produit répété.

]]> $5^{5}$

]]> Erreur : il y a $4$ facteurs égaux à $5$, donc l'exposant vaut $4$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q32 : Valeur d'un cube Que vaut $4^3$ ?

]]> Le cube d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même, trois fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $64$

]]> Bonne réponse : $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

]]> $12$

]]> Erreur : $4 \times 3$ n'est pas un cube. Le cube est le produit de trois facteurs égaux à $4$.

]]> $16$

]]> Erreur : c'est le carré de $4$, avec deux facteurs seulement.

]]> $81$

]]> Erreur : la base et l'exposant ont été échangés : c'est $3^{4}$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q33 : Retrouver l'exposant d'une puissance Quel exposant $n$ vérifie $2^n = 32$ ?

]]> Pour trouver l'exposant, on multiplie la base par elle-même jusqu'à atteindre le nombre voulu, en comptant les facteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n = 5$

]]> Bonne réponse : en multipliant $2$ par lui-même, on atteint $32$ avec $5$ facteurs.

]]> $n = 16$

]]> Erreur : $32 \div 2 = 16$, mais une puissance n'est pas un produit par l'exposant ; on compte les facteurs.

]]> $n = 6$

]]> Erreur : $2^{6} = 64$, un facteur de trop.

]]> $n = 4$

]]> Erreur : $2^{4} = 16$, il manque un facteur.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q34 : Puissance de moins un Que vaut $(-1)^{7}$ ?

]]> $(-1)^n$ vaut $1$ si $n$ est pair et $-1$ si $n$ est impair : les facteurs $-1$ se neutralisent deux à deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-1)^{7} = -1$

]]> Bonne réponse : l'exposant $7$ est impair, donc le produit de $7$ facteurs égaux à $-1$ vaut $-1$.

]]> $(-1)^{7} = 1$

]]> Erreur de signe : avec un exposant impair, le résultat vaut $-1$.

]]> $(-1)^{7} = -7$

]]> Erreur : on a multiplié $-1$ par $7$ au lieu de l'élever à la puissance $7$.

]]> $(-1)^{7} = 7$

]]> Erreur : $(-1)^{7}$ ne vaut que $1$ ou $-1$, selon la parité de l'exposant.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q35 : Comparer deux puissances échangées Comment se comparent $2^{5}$ et $5^{2}$ ?

]]> Base et exposant ne jouent pas le même rôle : en général, $a^b$ et $b^a$ sont différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^{5} > 5^{2}$

]]> Bonne réponse : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$.

]]> $2^{5} = 5^{2}$, mêmes nombres

]]> Erreur : échanger base et exposant change la valeur : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$.

]]> $2^{5} < 5^{2}$

]]> Erreur : l'inégalité est inversée : $2^{5} = 32$ et $5^{2} = 25$.

]]> On ne peut pas les comparer

]]> Erreur : il suffit de calculer les deux puissances : $32$ et $25$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q36 : Préfixe et puissance de dix Le préfixe « kilo » correspond à une puissance de dix. Laquelle ?

]]> kilo $= 10^3$, méga $= 10^6$, giga $= 10^9$ ; milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$, nano $= 10^{-9}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{3}$

]]> Bonne réponse : le préfixe « kilo » multiplie l'unité par $10^{3}$.

]]> $10^{-3}$

]]> Erreur : le signe de l'exposant est inversé ; « kilo » correspond à $10^{3}$.

]]> $10^{4}$

]]> Erreur : l'exposant est décalé d'une unité ; « kilo » correspond à $10^{3}$.

]]> $3 \times 10$

]]> Erreur : un préfixe correspond à une puissance de dix, pas à un produit par $10$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q37 : Quotient de deux puissances de dix Écrire $\dfrac{10^{7}}{10^{3}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.

]]> $\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$ : l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{4}$

]]> Bonne réponse : on soustrait les exposants : $7 - 3 = 4$.

]]> $10^{10}$

]]> Erreur : on a ajouté les exposants ; pour un quotient, on les soustrait.

]]> $10^{-4}$

]]> Erreur : la soustraction est faite dans le mauvais sens ; c'est l'exposant du numérateur moins celui du dénominateur.

]]> $1^{4}$

]]> Erreur : les bases ne se divisent pas ; la base reste $10$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q38 : Produit de puissances de même exposant Écrire $2^{3} \times 5^{3}$ sous la forme d'une seule puissance.

]]> Pour des exposants égaux, $a^n \times b^n = (ab)^n$. Pour des bases égales, $a^m \times a^n = a^{m + n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{3}$

]]> Bonne réponse : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$, donc $(2 \times 5)^{3} = 10^{3}$.

]]> $10^{6}$

]]> Erreur : les exposants ne s'ajoutent que si les bases sont égales. Ici les exposants sont égaux : on multiplie les bases.

]]> $7^{3}$

]]> Erreur : les bases ont été ajoutées ; elles se multiplient.

]]> $2^{6}$

]]> Erreur : $2$ et $5$ sont différents, on ne peut pas réunir leurs puissances en une puissance de $2$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q39 : Inverse d'une puissance À quelle puissance $\dfrac{1}{10^{3}}$ est-il égal ?

]]> $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$, pour $a$ non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{-3}$

]]> Bonne réponse : par définition, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

]]> $-10^{3}$

]]> Erreur : l'inverse n'est pas l'opposé. $\dfrac{1}{10^{3}}$ est positif.

]]> $3^{-10}$

]]> Erreur : la base et l'exposant ont été échangés ; seul le signe de l'exposant change.

]]> $1^{3}$

]]> Erreur : $1^{3}$ vaut $1$ ; la base $10$ ne disparaît pas.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q40 : Simplifier un calcul de puissances de dix Écrire $\dfrac{10^{3} \times 10^{5}}{10^{4}}$ sous la forme d'une seule puissance de $10$.

]]> On regroupe d'abord le numérateur ($m + n$), puis on retranche l'exposant du dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{4}$

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut $10^{8}$, puis $8 - 4 = 4$.

]]> $10^{12}$

]]> Erreur : l'exposant du dénominateur a été ajouté ; il se soustrait.

]]> $10^{11}$

]]> Erreur : les exposants du produit ont été multipliés ; ils s'ajoutent.

]]> $10^{-6}$

]]> Erreur : l'exposant $5$ du numérateur a été soustrait ; il s'ajoute à $3$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q41 : Multiplier un décimal par une puissance de dix Que vaut $3{,}5 \times 10^{2}$ ?

]]> Multiplier par $10^n$ déplace la virgule de $n$ rangs vers la droite si $n$ est positif, vers la gauche s'il est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $350$

]]> Bonne réponse : multiplier par $10^{2}$ déplace la virgule de $2$ rangs vers la droite.

]]> $35$

]]> Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de moins que l'exposant ne l'indique.

]]> $3\,500$

]]> Erreur : la virgule a été déplacée d'un rang de trop.

]]> $0{,}035$

]]> Erreur : la virgule a été déplacée dans le mauvais sens.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q42 : Comparer deux écritures scientifiques Lequel de ces deux nombres est le plus grand : $3{,}2 \times 10^{5}$ ou $8{,}1 \times 10^{4}$ ?

]]> Deux nombres positifs en écriture scientifique se comparent d'abord par leurs exposants, puis, à exposants égaux, par leurs mantisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}2 \times 10^{5}$, car son exposant est plus grand

]]> Bonne réponse : en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants : $5 > 4$.

]]> $8{,}1 \times 10^{4}$, car $8{,}1 > 3{,}2$

]]> Erreur : les mantisses ne se comparent qu'à exposants égaux. Ici l'exposant $5$ l'emporte sur $4$.

]]> Ils sont égaux, à l'arrondi près

]]> Erreur : les exposants diffèrent, les deux nombres n'ont pas le même ordre de grandeur.

]]> On ne peut pas les comparer sans les écrire en entier

]]> Erreur : l'écriture scientifique permet justement de comparer par les exposants.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q43 : Une distance astronomique La distance moyenne de la Terre au Soleil vaut environ $150\,000\,000$ km. Quelle est l'écriture scientifique de ce nombre ?

]]> Écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}5 \times 10^{8}$

]]> Bonne réponse : la virgule se déplace de $8$ rangs pour obtenir une mantisse comprise entre $1$ et $10$.

]]> $1{,}5 \times 10^{7}$

]]> Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $8$.

]]> $1{,}5 \times 10^{9}$

]]> Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; on compte les rangs dont se déplace la virgule : $8$.

]]> $15 \times 10^{7}$

]]> Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse dépasse $10$ : ce n'est pas une écriture scientifique.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q44 : Taille d'un objet microscopique Un grain de sable fin mesure environ $0{,}0002$ m. Quelle est l'écriture scientifique de cette longueur ?

]]> Pour un nombre plus petit que $1$, l'exposant est négatif : il compte les rangs dont la virgule se déplace vers la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \times 10^{-4}$

]]> Bonne réponse : le premier chiffre non nul, $2$, est au rang $4$ après la virgule.

]]> $2 \times 10^{4}$

]]> Erreur : un nombre plus petit que $1$ a un exposant négatif.

]]> $2 \times 10^{-3}$

]]> Erreur : l'exposant est trop grand d'une unité ; le chiffre $2$ est au rang $4$ après la virgule.

]]> $20 \times 10^{-5}$

]]> Erreur : ce nombre est égal, mais sa mantisse vaut $20$, qui dépasse $10$.

]]> Puissances et écriture scientifique — Q45 : Ordre de grandeur d'un produit Quel est l'ordre de grandeur de $(1 \times 10^{3}) \times (2 \times 10^{5})$ ?

]]> On multiplie les mantisses, on ajoute les exposants, puis on arrondit la mantisse à la puissance de dix la plus proche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{8}$

]]> Bonne réponse : $1 \times 2 = 2$ est plus proche de $1$ que de $10$, et $10^{3} \times 10^{5} = 10^{8}$.

]]> $10^{9}$

]]> Erreur : $2$ est plus proche de $1$ que de $10$ : il ne fait pas passer à la puissance suivante.

]]> $10^{7}$

]]> Erreur : l'exposant est trop petit d'une unité ; les exposants s'ajoutent : $3 + 5 = 8$.

]]> $10^{15}$

]]> Erreur : les exposants ont été multipliés ; dans un produit de puissances de $10$, ils s'ajoutent.

]]>