$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Fonctions convexes Dérivée seconde, convexité définie par la position relative de
la courbe et de ses sécantes (équivalences admises : position
par rapport aux tangentes, croissance de $f'$, positivité de
$f''$), concavité, points d'inflexion, lectures graphiques et
applications (courbe de Lorenz).

]]> Fonctions convexes — Q01 : Convexité et sécantes Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle
est-elle définie au programme ?

]]> Définition du programme : $f$ convexe sur $I$ si sa courbe
est sous ses sécantes ; équivalences admises (pour $f$
dérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes, $f'$
croissante, $f'' \geq 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa courbe est sous chacune de ses sécantes

]]> Bonne réponse : entre deux points de la courbe, le
segment qui les joint (la corde) passe au-dessus de
la courbe : définition par les sécantes.

]]> Sa courbe est au-dessus de chacune de ses sécantes

]]> Inversé : la courbe au-dessus de ses cordes caractérise
la concavité (bombée vers le haut).

]]> La fonction est croissante sur l'intervalle

]]> Erreur : la convexité parle de la courbure, pas du
sens : $e^{-x}$ est décroissante et convexe.

]]> La fonction est positive sur l'intervalle

]]> Erreur : aucun lien : $x^2 - 10$ est convexe et prend
des valeurs négatives.

]]> Fonctions convexes — Q02 : Critère de la dérivée seconde Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée seconde
$f''(x) = 6x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?

]]> Critère pratique (admis) : $f'' \geq 0$ sur $I$
$\Leftrightarrow$ $f$ convexe sur $I$. Pour $x^3$ :
concave puis convexe, avec bascule en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : $f''(x) = 6x \geq 0 \Leftrightarrow x
\geq 0$ : convexe à droite de l'origine, concave à
gauche.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : pour $x < 0$, $f''(x) = 6x < 0$ : la courbe y
est concave (bombée vers le haut).

]]> Sur $]-\infty\,;\,0]$

]]> Inversé : c'est l'intervalle de concavité
($f'' \leq 0$).

]]> Nulle part

]]> Erreur : le fait que $f$ change de signe est sans
rapport ; seul le signe de $f''$ décide de la convexité,
et $f'' \geq 0$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

]]> Fonctions convexes — Q03 : Point d'inflexion Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de $f$ ?

]]> Inflexion $=$ changement de convexité. Signature graphique :
la tangente traverse la courbe. Signature analytique : $f''$
s'annule en changeant de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point où la courbe change de convexité

]]> Bonne réponse : la courbure bascule (convexe-concave ou
l'inverse) et la tangente y traverse la courbe ; pour
$f$ deux fois dérivable, $f''$ s'y annule en changeant
de signe.

]]> Un point où la fonction atteint un extremum

]]> Erreur : l'extremum concerne $f'$ (tangente
horizontale) ; l'inflexion concerne $f''$ (changement de
courbure).

]]> Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses

]]> Erreur : couper l'axe est une affaire de signe de
$f$, pas de courbure.

]]> Un point où la tangente est verticale

]]> Erreur : la pente de la tangente n'est pas en cause :
au point d'inflexion, la tangente (de pente quelconque)
traverse la courbe.

]]> Fonctions convexes — Q04 : Lire la convexité sur une courbe Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum local en (-1 ; 2), minimum local en (1 ; -2), traversée de l'origine. La courbe est bombée vers le haut à gauche de 0 (concave) et creusée vers le haut à droite (convexe).

La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. Quelle
lecture de convexité est correcte ?

]]> Lecture attendue au programme : repérer les zones bombées
(concaves) et creusées (convexes) et leurs frontières (points
d'inflexion). Ici : bascule en $(0\,;\,0)$, cohérente avec
$f''(x) = 6x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Concave sur $]-\infty\,;\,0]$, convexe sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : bombée à gauche (au-dessus de ses
cordes), creusée à droite ; la bascule, le point
d'inflexion, se fait à l'origine, où la tangente
traverse la courbe.

]]> Convexe sur $]-\infty\,;\,0]$, concave sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Inversé : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »
(creusée vers le haut) : c'est la convexité.

]]> Convexe partout, car la courbe monte à la fin

]]> Erreur : monter n'est pas être convexe. Entre $-2$ et
$-1$, la courbe monte en étant concave.

]]> Deux points d'inflexion, en $-1$ et en $1$

]]> Confusion : $-1$ et $1$ sont les extremums locaux
(tangentes horizontales). L'inflexion, unique, est à
l'origine.

]]> Fonctions convexes — Q05 : Convexité et tangentes Soit $f$ dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Comment
la courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?

]]> Pour $f$ dérivable : convexe $\Leftrightarrow$ courbe
au-dessus de ses tangentes $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante
$\Leftrightarrow$ $f'' \geq 0$ (équivalences admises).
Mémo : $\exp$ au-dessus, $\ln$ en dessous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de chacune de ses tangentes

]]> Bonne réponse : équivalence admise au programme : courbe
sous les sécantes $\Leftrightarrow$ au-dessus des
tangentes (pour une fonction dérivable).

]]> En dessous de ses tangentes

]]> Inversé : sous les tangentes, c'est la concavité
(pense au logarithme, toujours sous ses tangentes).

]]> Elle traverse chaque tangente

]]> Erreur : la traversée de la tangente n'arrive qu'aux
points d'inflexion, exclus d'un intervalle de
convexité stricte.

]]> Cela dépend du signe de $f$

]]> Erreur : la position courbe-tangentes ne dépend que de
la courbure, jamais du signe des valeurs.

]]> Fonctions convexes — Q06 : Convexité des fonctions de référence Parmi ces fonctions, laquelle est concave sur son
ensemble de définition ?

]]> Répertoire : convexes : $x^2$, $e^x$, $\dfrac{1}{x}$ (sur
$]0\,;\,+\infty[$) ; concave : $\ln x$, $\sqrt{x}$. La
concavité du logarithme et de la racine dit le rendement
décroissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \ln x$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)'' = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : le
logarithme est concave (courbe sous ses tangentes,
croissance qui s'essouffle).

]]> $x \mapsto e^x$

]]> Erreur : $(e^x)'' = e^x > 0$ : l'exponentielle est
convexe (croissance qui s'emballe).

]]> $x \mapsto x^2$

]]> Erreur : $(x^2)'' = 2 > 0$ : la parabole est le prototype
de la convexité.

]]> $x \mapsto x$

]]> Cas limite : une droite est à la fois convexe et
concave (au sens large), ses cordes étant confondues avec
elle ; elle n'est pas « la » concave typique attendue.

]]> Fonctions convexes — Q07 : Convexité et croissance de $f'$ Soit $f$ dérivable sur $I$. Quelle propriété de $f'$
caractérise la convexité de $f$ ?

]]> Lecture dynamique de la convexité : la pente augmente le
long de la courbe. Trois étages à ne pas mélanger : signe de
$f$ (position), signe de $f'$ (sens), croissance de $f'$ ou
signe de $f''$ (courbure).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'$ est croissante sur $I$

]]> Bonne réponse : la pente ne cesse d'augmenter : la
courbe « tourne vers le haut ». (D'où $f'' \geq 0$ quand
$f''$ existe.)

]]> $f'$ est positive sur $I$

]]> Erreur : $f' > 0$ donne la croissance de $f$, pas sa
convexité. Une pente peut être positive et diminuer
(concave croissante, comme $\ln$).

]]> $f'$ est constante sur $I$

]]> Erreur : pente constante $=$ droite, le cas frontière.
La convexité (au sens large) demande une pente
croissante.

]]> $f'$ s'annule au milieu de $I$

]]> Erreur : l'annulation de $f'$ signale un extremum de
$f$, sans lien avec la courbure.

]]> Fonctions convexes — Q08 : Trouver un point d'inflexion par le calcul Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En
quelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?

]]> On résout $f''(x) = 0$ et l'on vérifie le changement de signe :
$6x - 12$ est négatif avant $2$ et positif après. Le point
d'inflexion est $(2\,;\,-6)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 2$

]]> Bonne réponse : $f''$ s'annule en $2$ en changeant de signe,
négative avant, positive après : concave puis convexe.

]]> En $x = 12$

]]> Erreur de résolution : $6x - 12 = 0$ donne
$x = \dfrac{12}{6} = 2$, et non $12$.

]]> En $x = 0$

]]> Annulation de $f$ et non de $f''$ : $f(0) = 0$ indique un
passage par l'origine, sans rapport avec la courbure.

]]> Il n'y en a pas

]]> Contresens : $f''$ s'annule en changeant de signe, c'est
exactement la condition d'inflexion.

]]> Fonctions convexes — Q09 : Croissance qui s'essouffle La production $f(t)$ d'une usine croît, mais de moins en
moins vite. Comment cela se traduit-il sur $f'$ et $f''$ ?

]]> Traduire les phrases en dérivées : le sens (croît/décroît)
se lit sur $f'$, l'allure de la vitesse (accélère/ralentit)
sur $f''$. « Croît de moins en moins vite » $=$ croissante
concave.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f' > 0$ et $f'' < 0$

]]> Bonne réponse : croissante et concave. « Croît » : $f' >
0$ ; « de moins en moins vite » : la pente diminue, $f'$
décroît, $f'' < 0$.

]]> $f' > 0$ et $f'' > 0$

]]> Erreur : $f'' > 0$ décrirait une croissance qui
s'accélère (convexe, type exponentielle).

]]> $f' < 0$ et $f'' < 0$

]]> Erreur : $f' < 0$ signifierait une production en
baisse. Elle croît : $f' > 0$.

]]> $f' > 0$ et $f'' = 0$

]]> Erreur : $f'' = 0$ partout donnerait une croissance
parfaitement linéaire (vitesse constante), pas un
essoufflement.

]]> Fonctions convexes — Q10 : La courbe de Lorenz Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie
$(0\,;\,0)$ à $(1\,;\,1)$ : en abscisse la part cumulée de
la population, en ordonnée la part cumulée des richesses.
Quelles sont ses propriétés mathématiques ?

]]> Thème du programme (répartition des richesses) : la courbe
de Lorenz est croissante, convexe, de $(0\,;\,0)$ à
$(1\,;\,1)$, sous la diagonale. Plus elle s'incurve, plus la
répartition est inégalitaire (indice de Gini).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante et convexe, sous la bissectrice

]]> Bonne réponse : les parts cumulées croissent, les plus
modestes détiennent moins que leur part (courbe sous la
diagonale $y = x$), et l'accumulation s'accélère vers
les plus riches : convexité.

]]> Décroissante et concave, sous la bissectrice

]]> Erreur : des parts cumulées ne peuvent que
croître ; et la bosse au-dessus de la diagonale n'a pas
de sens ici.

]]> Croissante et au-dessus de la bissectrice

]]> Erreur : au-dessus de $y = x$, les $20\ \%$ les plus
modestes détiendraient plus de $20\ \%$ des
richesses : contraire à la construction par ordre
croissant de richesse.

]]> Croissante et concave, sous la bissectrice

]]> Erreur : une courbe concave joignant $(0\,;\,0)$ à
$(1\,;\,1)$ serait au-dessus de sa corde $y = x$, pas en
dessous. Sous la bissectrice, la courbe de Lorenz est
convexe.

]]> Fonctions convexes — Q11 : Utiliser la position sécante-courbe Soit $f$ convexe sur $[0\,;\,4]$, avec $f(0) = 1$ et
$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?

]]> La définition par les sécantes donne des inégalités concrètes :
pour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse pas la moyenne
des valeurs aux bornes, ici $f(2) \leq 5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(2) \leq 5$

]]> Bonne réponse : la sécante joignant $(0\,;\,1)$ à
$(4\,;\,9)$ vaut $\dfrac{1 + 9}{2} = 5$ au milieu,
et la courbe d'une fonction convexe est sous ses sécantes.

]]> $f(2) = 5$ exactement

]]> Égalité abusive : elle ne vaut que si $f$ est affine entre $0$
et $4$ ; la convexité donne une inégalité.

]]> $f(2) \geq 5$

]]> Sens inversé : être au-dessus de ses sécantes caractérise une
fonction concave.

]]> On ne peut rien dire sur $f(2)$

]]> La convexité fournit justement une information chiffrée : la
courbe reste sous la corde.

]]> Fonctions convexes — Q12 : Ne pas confondre les trois étages Soit $f$ deux fois dérivable avec, en $x = a$ : $f(a) > 0$,
$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$. Comment la courbe se
comporte-t-elle près de $a$ ?

]]> Les trois étages de lecture : $f$ (position), $f'$ (sens),
$f''$ (courbure), indépendants les uns des autres. $f > 0$,
$f' < 0$, $f'' > 0$ : décroissance amortie, l'allure de
$e^{-x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe

]]> Bonne réponse : trois informations indépendantes :
position haute ($f > 0$), pente négative ($f' < 0$),
courbure vers le haut ($f'' > 0$) : la descente freine et
s'adoucit, typique d'une décroissance exponentielle.

]]> Sous l'axe, en montée, dans une zone convexe

]]> Erreur : la convexité est bien là ($f''(a) > 0$), mais
$f(a) > 0$ place le point au-dessus de l'axe et
$f'(a) < 0$ le met en descente.

]]> Au sommet d'une bosse, avec une tangente horizontale

]]> Erreur : un sommet à tangente horizontale exigerait
$f'(a) = 0$ et une courbure vers le bas ($f'' < 0$) ; ici
$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$.

]]> En un point d'inflexion, la courbe traversant sa tangente

]]> Erreur : traverser sa tangente demanderait $f''(a) = 0$
avec changement de signe ; ici $f''(a) > 0$ franchement,
la courbe reste au-dessus de sa tangente.

]]> Fonctions convexes — Q13 : Définition par les sécantes Une fonction est convexe sur un intervalle. Où se situe la courbe par
rapport à ses sécantes ?

]]> Une fonction convexe a sa courbe sous ses cordes et au-dessus de ses
tangentes. Une fonction concave présente les deux positions inverses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En dessous de chacune d'elles

]]> Bonne réponse : entre deux points de la courbe, celle-ci passe sous la
corde qui les relie.

]]> Au-dessus de chacune d'elles

]]> C'est la position par rapport aux tangentes, pas aux sécantes.

]]> Confondue avec chacune d'elles

]]> Seule une fonction affine coïncide avec ses sécantes.

]]> Au-dessus de certaines, en dessous d'autres

]]> Ce comportement signalerait un changement de convexité sur
l'intervalle.

]]> Fonctions convexes — Q14 : Le critère par la dérivée seconde Quelle condition sur $f''$ caractérise la convexité de $f$ sur un
intervalle ?

]]> La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, comme le sens de
variation se lit sur le signe de la dérivée première. Il faut distinguer
soigneusement les deux étages.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f''$ positive sur l'intervalle

]]> Bonne réponse : une dérivée seconde positive traduit la croissance de
$f'$, donc la convexité.

]]> $f''$ négative sur l'intervalle

]]> Cette condition caractérise la concavité.

]]> $f''$ nulle sur l'intervalle

]]> Une dérivée seconde nulle partout signale une fonction affine, à la
fois convexe et concave.

]]> $f'$ positive sur l'intervalle

]]> Le signe de $f'$ donne le sens de variation, pas la convexité.

]]> Fonctions convexes — Q15 : Convexité d'un polynôme Sur quel intervalle la fonction $f(x) = x^3$ est-elle convexe ?

]]> On calcule $f''$, on étudie son signe, puis on conclut intervalle par
intervalle. Un changement de signe de $f''$ marque un point d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : $f''(x) = 6x$ est positive pour $x$ positif.

]]> Sur $]-\infty\,;\,0]$

]]> La dérivée seconde y est négative, donc la fonction y est concave.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> La dérivée seconde change de signe en $0$, qui est un point
d'inflexion.

]]> Sur aucun intervalle

]]> La dérivée seconde est bien positive sur toute la moitié droite.

]]> Fonctions convexes — Q16 : Une fonction convexe sur R Parmi ces fonctions définies sur $\mathbb{R}$, laquelle est
convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier ?

]]> Pour étudier la convexité sur $\mathbb{R}$, on étudie le signe de
la dérivée seconde. Une décroissance n'empêche pas la convexité :
$e^{-x}$ est décroissante et convexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto e^{-x}$

]]> Bonne réponse : sa dérivée seconde vaut $e^{-x}$, strictement
positive sur $\mathbb{R}$.

]]> $x \mapsto x^3$

]]> Sa dérivée seconde $6x$ change de signe en $0$ : concave puis
convexe.

]]> $x \mapsto -x^2$

]]> Sa dérivée seconde vaut $-2$ : la fonction est concave.

]]> $x \mapsto -e^{x}$

]]> Sa dérivée seconde $-e^{x}$ est négative : la fonction est
concave.

]]> Fonctions convexes — Q17 : Inflexion et extremum à ne pas confondre Pour $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$, où se situe le point d'inflexion
?

]]> Les extremums se cherchent en annulant $f'$, les points
d'inflexion en annulant $f''$ avec changement de signe. Ici $f'$
s'annule en $0$ et $4$, $f''$ en $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 2$

]]> Bonne réponse : $f''(x) = 6x - 12$ s'annule en $2$ en
changeant de signe.

]]> En $x = 0$

]]> Extremum et non inflexion : $f'(x) = 3x^2 - 12x$ s'annule en
$0$, où $f''(0) = -12$ ne change pas de signe.

]]> En $x = 6$

]]> Coefficient recopié : la résolution de $6x - 12 = 0$ donne
$x = 2$.

]]> En $x = 4$

]]> Extremum et non inflexion : $f'$ s'annule en $4$, ce qui
donne un minimum local.

]]> Fonctions convexes — Q18 : Une croissance qui s'accélère Une grandeur croissante a une courbe convexe. Comment la croissance
évolue-t-elle ?

]]> La convexité décrit la façon dont la vitesse évolue, pas le sens de
variation. Croissante et convexe signifie une croissance de plus en plus
rapide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle s'accélère

]]> Bonne réponse : la dérivée, qui mesure la vitesse, est croissante.

]]> Elle ralentit

]]> Un ralentissement correspond à une courbe concave, dont la dérivée
décroît.

]]> Elle reste constante

]]> Une vitesse constante donnerait une droite, ni convexe ni concave au
sens strict.

]]> Elle s'inverse

]]> L'énoncé précise que la grandeur croît : la dérivée reste positive.

]]> Fonctions convexes — Q19 : Une inégalité par convexité Comment la convexité de l'exponentielle donne-t-elle l'inégalité
$e^x \geq 1 + x$ ?

]]> Une fonction convexe reste au-dessus de chacune de ses tangentes. Écrire
la tangente en un point bien choisi fournit une inégalité valable partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe est au-dessus de sa tangente en $0$

]]> Bonne réponse : cette tangente a pour équation $y = 1 + x$.

]]> La courbe est en dessous de sa tangente en $0$

]]> Ce serait le cas d'une fonction concave, ce que l'exponentielle n'est
pas.

]]> La courbe est au-dessus de sa sécante

]]> Une fonction convexe est au contraire sous ses sécantes.

]]> La dérivée de $1 + x$ vaut $1$

]]> Cette remarque est vraie mais ne démontre rien sur la position des deux
courbes.

]]> Fonctions convexes — Q20 : Reconnaître visuellement une courbe convexe À quoi reconnaît-on visuellement une portion de courbe convexe ?

]]> Une portion convexe se creuse vers le haut, une portion concave vers le
bas. Le point où la courbe change de courbure est un point d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tourne sa concavité vers le haut

]]> Bonne réponse : la courbe forme un creux, comme celle de la fonction
carré.

]]> Elle monte de gauche à droite

]]> La montée décrit le sens de variation : une courbe convexe peut
descendre.

]]> Elle est au-dessus de l'axe des abscisses

]]> La position par rapport à l'axe relève du signe de la fonction.

]]> Elle forme un angle

]]> Un angle signale une non-dérivabilité, une question tout à fait
distincte.

]]> Fonctions convexes — Q21 : Convexité et dérivée première Quelle propriété de $f'$ traduit la convexité de $f$ ?

]]> Trois formulations équivalentes de la convexité : courbe sous ses
sécantes, courbe au-dessus de ses tangentes, dérivée croissante. La
dernière se teste par le signe de $f''$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'$ est croissante

]]> Bonne réponse : les pentes des tangentes augmentent le long de la
courbe.

]]> $f'$ est positive

]]> Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$, pas sa convexité.

]]> $f'$ est constante

]]> Une dérivée constante caractérise une fonction affine.

]]> $f'$ est décroissante

]]> C'est la traduction de la concavité.

]]> Fonctions convexes — Q22 : Dérivée seconde nulle La dérivée seconde de $f$ s'annule en $a$.
Le point d'abscisse $a$ est-il un point d'inflexion ?

]]> L'annulation de la dérivée seconde est nécessaire mais non suffisante. Le
point d'inflexion exige en outre un changement de signe, donc un
changement de convexité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pas sûr, il faut un changement de signe

]]> Bonne réponse : pour $f(x) = x^4$, la dérivée seconde s'annule en $0$
sans changer de signe, et la fonction reste convexe.

]]> Oui, cette annulation suffit toujours

]]> Le contre-exemple de $x^4$ montre que l'annulation ne suffit pas.

]]> Non, jamais dans ce genre de situation

]]> L'annulation est nécessaire : un point d'inflexion l'impose.

]]> Oui, si $f'$ s'annule aussi

]]> Cette condition supplémentaire ne change rien : $x^4$ la vérifie en
$0$ sans point d'inflexion.

]]> Fonctions convexes — Q23 : Rendements décroissants Une production croît avec le nombre d'ouvriers, mais chaque ouvrier
supplémentaire apporte moins que le précédent. Quelle propriété
décrit cette courbe ?

]]> Les rendements décroissants se traduisent par une courbe croissante et
concave. La convexité, elle, décrit une accélération, comme dans un
phénomène de croissance exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est croissante et concave

]]> Bonne réponse : la production monte, mais la dérivée diminue.

]]> Elle est croissante et convexe

]]> La convexité décrirait des apports de plus en plus grands.

]]> Elle est décroissante et concave

]]> La production augmente, l'énoncé le précise.

]]> Elle est affine

]]> Une droite correspondrait à des apports identiques pour chaque
ouvrier.

]]> Fonctions convexes — Q24 : Ce que porte un tableau de convexité Quelle ligne un tableau de convexité comporte-t-il nécessairement ?

]]> Un tableau de convexité donne le signe de $f''$, la convexité qui en
découle, et les points d'inflexion aux changements de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de la dérivée seconde

]]> Bonne réponse : c'est elle qui justifie la convexité annoncée sur
chaque intervalle.

]]> Le signe de la fonction

]]> Ce signe relève d'un tableau de signes, qui répond à une autre
question.

]]> Les valeurs de la dérivée première

]]> Seul le sens de variation de $f'$ importe, et il se lit sur le signe de
$f''$.

]]> Les coordonnées de tous les points d'inflexion et des extremums

]]> Les extremums appartiennent au tableau de variations, pas au tableau de
convexité.

]]> Fonctions convexes — Q25 : Les trois étages à ne pas confondre Que donne le signe de $f'$ ?

]]> Trois étages se succèdent : le signe de $f$ donne la position de la courbe,
le signe de $f'$ les variations, le signe de $f''$ la convexité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le sens de variation de $f$

]]> Bonne réponse : positive, la dérivée fait croître la fonction.

]]> La convexité de $f$

]]> La convexité se lit sur le signe de $f''$, ou sur le sens de variation
de $f'$.

]]> La position de la courbe par rapport à l'axe

]]> Cette position dépend du signe de $f$ elle-même.

]]> Les points d'inflexion de $f$

]]> Ils se repèrent aux changements de signe de $f''$.

]]> Fonctions convexes — Q26 : Position par rapport à une tangente La courbe de $f$ est convexe et sa tangente en $2$ a pour
équation $y = 3x - 1$. Que peut-on affirmer ?

]]> La position au-dessus des tangentes est une caractérisation de la
convexité. Elle fournit des inégalités valables sur tout
l'intervalle de convexité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) \geq 3x - 1$ pour tout $x$

]]> Bonne réponse : une fonction convexe reste au-dessus de
chacune de ses tangentes.

]]> $f(x) \leq 3x - 1$ pour tout $x$

]]> Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une
fonction concave.

]]> $f(x) = 3x - 1$ près de $2$

]]> La tangente approche la courbe près du point de contact, sans
coïncider avec elle.

]]> $f(x) \geq 3x - 1$ seulement après $2$

]]> Restriction inutile : la propriété vaut des deux côtés du
point de contact.

]]> Fonctions convexes — Q27 : Le cas d'une fonction affine Une fonction affine est-elle convexe ?

]]> Une fonction affine est à la fois convexe et concave, sa dérivée seconde
étant nulle. C'est le seul cas où les deux propriétés coexistent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, et concave en même temps

]]> Bonne réponse : sa dérivée seconde est nulle, elle vérifie donc les
deux définitions au sens large.

]]> Oui, mais pas concave

]]> Les deux définitions au sens large sont satisfaites simultanément.

]]> Non, ni convexe ni concave

]]> La courbe coïncide avec ses sécantes, ce qui satisfait les inégalités
larges.

]]> Cela dépend du signe de sa pente

]]> Le sens de variation n'intervient pas dans la convexité.

]]> Fonctions convexes — Q28 : Une courbe de Lorenz Une courbe de Lorenz décrivant une répartition de revenus est
convexe. Que traduit l'écart à la diagonale ?

]]> La diagonale correspond à une répartition parfaitement égalitaire. L'aire
entre la courbe et la diagonale mesure l'inégalité, et fonde le
coefficient de Gini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'inégalité de la répartition

]]> Bonne réponse : plus la courbe s'éloigne de la diagonale, plus la
répartition est inégale.

]]> Le nombre total de personnes

]]> L'effectif n'apparaît pas : les deux axes portent des parts cumulées.

]]> Le revenu moyen de la population

]]> Ce revenu n'intervient pas dans le tracé, qui ne manipule que des
proportions.

]]> La croissance des revenus dans le temps

]]> Aucune dimension temporelle n'est représentée sur ce graphique.

]]> Fonctions convexes — Q29 : Convexité de l'exponentielle Pourquoi la fonction exponentielle est-elle convexe sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> L'exponentielle vérifie $f'' = f > 0$, donc elle est convexe sur tout
$\mathbb{R}$. Sa courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes, d'où
l'inégalité $e^x \geq 1 + x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa dérivée seconde est toujours positive

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée à tous les
ordres.

]]> Elle est croissante sur $\mathbb{R}$

]]> La croissance ne suffit pas : le logarithme croît aussi et reste
concave.

]]> Elle est strictement positive sur $\mathbb{R}$

]]> La positivité de la fonction ne dit rien de sa convexité.

]]> Elle vaut exactement $1$ au point $0$

]]> Une valeur en un point ne renseigne pas sur la forme de la courbe.

]]> Fonctions convexes — Q30 : Choisir le bon vocabulaire Une épidémie voit le nombre de cas croître, mais de moins en moins
vite. Comment le dire correctement ?

]]> Un point d'inflexion sur une courbe épidémique marque le moment où la
croissance cesse de s'accélérer. Le nombre de cas continue d'augmenter,
mais de plus en plus lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe est croissante et concave

]]> Bonne réponse : les cas augmentent toujours, mais la dérivée diminue.

]]> Le nombre de cas diminue

]]> C'est la vitesse qui diminue, pas le nombre de cas, qui continue de
croître.

]]> La courbe est décroissante et convexe

]]> Une courbe décroissante correspondrait à une baisse du nombre de cas.

]]> La courbe a atteint son maximum

]]> Le maximum serait atteint si la dérivée s'annulait, ce qui n'est pas
encore le cas.

]]> Fonctions convexes — Q31 : Lire une dérivée seconde négative Sur un intervalle $I$, la dérivée seconde d'une fonction $f$ est
strictement négative. Que peut-on dire de la courbe de $f$ sur $I$ ?

]]> Le signe de $f''$ donne la convexité : positif pour convexe, négatif pour
concave. Une fonction peut être concave tout en croissant, comme le
logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est concave sur $I$

]]> Bonne réponse : une dérivée seconde négative signifie que $f'$
décroît, donc que la courbe est concave et reste sous ses tangentes.

]]> Elle est convexe sur $I$

]]> Critère inversé : la convexité correspond à une dérivée seconde
positive sur l'intervalle.

]]> Elle est décroissante sur $I$

]]> Étage confondu : le sens de variation se lit sur le signe de $f'$, et
non sur celui de $f''$.

]]> Elle est au-dessous de l'axe des abscisses

]]> Confusion : la position par rapport à l'axe dépend du signe de $f$
elle-même, qui n'est pas donné ici.

]]> Fonctions convexes — Q32 : Une fonction décroissante et convexe La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x}$ est
décroissante. Est-elle convexe ?

]]> Convexité et sens de variation sont indépendants : $e^{-x}$ décroît en
restant convexe, sa pente augmentant de valeurs très négatives vers $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $f''(x) = e^{-x}$ est positive

]]> Bonne réponse : la dérivée vaut $-e^{-x}$ et la dérivée seconde
$e^{-x}$, strictement positive. La fonction est donc convexe bien
qu'elle décroisse.

]]> Non, car une fonction décroissante est concave

]]> Étages confondus : le sens de variation et la convexité sont deux
lectures indépendantes l'une de l'autre.

]]> Non, car $f''(x) = -e^{-x}$ est négative

]]> Erreur de calcul : chaque dérivation fait apparaître un facteur
$-1$, et deux dérivations le font disparaître.

]]> Oui, mais seulement sur $[0\ ;\ +\infty[$

]]> Restriction inutile : la dérivée seconde est strictement positive sur
$\mathbb{R}$ tout entier.

]]> Fonctions convexes — Q33 : Convexe et concave à la fois Parmi ces fonctions, laquelle est à la fois convexe et concave sur son
ensemble de définition ?

]]> Les fonctions affines sont le seul cas où convexité et concavité
coexistent : leur dérivée seconde est nulle, et les inégalités larges qui
définissent les deux notions deviennent des égalités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto 2x + 5$

]]> Bonne réponse : sa dérivée seconde est nulle, donc positive et
négative au sens large. Sa courbe est confondue avec ses sécantes.

]]> $x \mapsto x^2 - 4x$

]]> Dérivée seconde égale à $2$, strictement positive : cette fonction
est convexe, et seulement convexe.

]]> $x \mapsto e^x$

]]> Dérivée seconde égale à $e^x$, strictement positive : l'exponentielle
est convexe sur $\mathbb{R}$.

]]> $x \mapsto \ln x$

]]> Dérivée seconde égale à $-\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative : le
logarithme est concave.

]]> Fonctions convexes — Q34 : Une dérivée qui décroît Le tableau de variations de $f'$ montre que $f'$ est décroissante sur
$[0\ ;\ 4]$. Qu'en déduit-on pour $f$ sur cet intervalle ?

]]> La convexité se lit sur le sens de variation de $f'$ : croissante pour
convexe, décroissante pour concave. Le signe de $f'$, lui, donne les
variations de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est concave sur $[0\ ;\ 4]$

]]> Bonne réponse : la pente des tangentes diminue le long de la courbe,
ce qui est exactement la concavité.

]]> $f$ est convexe sur $[0\ ;\ 4]$

]]> Sens inversé : la convexité correspond à une dérivée croissante, pas
décroissante.

]]> $f$ est décroissante sur $[0\ ;\ 4]$

]]> Étage confondu : ce sont le signe de $f'$, et non ses variations, qui
donnent le sens de variation de $f$.

]]> $f$ est négative sur $[0\ ;\ 4]$

]]> Aucun lien : le signe de $f$ ne se déduit pas du comportement de sa
dérivée.

]]> Fonctions convexes — Q35 : Un changement de signe dans le tableau Dans un tableau de convexité, la ligne du signe de $f''$ présente un
changement de signe en $x = 3$. Que signale cette colonne ?

]]> Un tableau de convexité aligne le signe de $f''$, la convexité qui en
découle et, aux changements de signe, les points d'inflexion de la
courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un point d'inflexion

]]> Bonne réponse : un changement de signe de $f''$ marque une bascule de
convexité, donc un point d'inflexion de la courbe.

]]> Un extremum de la fonction

]]> Confusion de tableaux : un extremum apparaît quand $f'$ change de
signe, dans le tableau de variations.

]]> Une tangente horizontale

]]> Erreur : une tangente horizontale correspond à l'annulation de $f'$,
sans rapport avec la courbure.

]]> Une valeur interdite pour $f$

]]> Erreur : les valeurs interdites relèvent de l'ensemble de définition,
fixé avant toute étude de convexité.

]]> Fonctions convexes — Q36 : Calculer une dérivée seconde Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = 3x^3 + 2x^2$. Quelle est sa dérivée seconde ?

]]> La dérivée seconde s'obtient en dérivant deux fois de suite. C'est
ensuite son signe, et non sa valeur, qui donnera la convexité de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f''(x) = 18x + 4$

]]> Bonne réponse : la première dérivation donne $9x^2 + 4x$, la
seconde $18x + 4$.

]]> $f''(x) = 9x^2 + 4x$

]]> Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il
reste à dériver une fois.

]]> $f''(x) = 18x^2 + 4x$

]]> Exposants conservés : chaque dérivation abaisse l'exposant d'une
unité, ici de $3$ à $1$.

]]> $f''(x) = 18x$

]]> Second terme oublié : le terme en $x^2$ donne lui aussi une constante
après deux dérivations.

]]> Fonctions convexes — Q37 : Le point d'inflexion d'une épidémie Le nombre total de cas d'une épidémie est modélisé par une fonction $f$
dont la courbe présente un point d'inflexion à la date $t_0$. Que
signifie cette date pour l'épidémie ?

]]> Sur une courbe de cas cumulés, la dérivée donne le nombre de nouveaux
cas. Le point d'inflexion est l'instant où cette dérivée est maximale :
la croissance cesse de s'accélérer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre de nouveaux cas y est maximal

]]> Bonne réponse : les nouveaux cas sont donnés par $f'$. Au point
d'inflexion, $f'$ cesse de croître et se met à décroître, elle y
atteint donc son maximum.

]]> Le nombre total de cas y est maximal

]]> Confusion : le total continue d'augmenter après $t_0$, mais moins
vite. Son maximum supposerait $f'$ nulle.

]]> L'épidémie y est terminée

]]> Erreur : l'inflexion marque un ralentissement de la croissance, pas
son arrêt.

]]> Le nombre de cas y diminue pour la première fois

]]> Confusion : le total ne diminue pas, c'est le rythme des nouveaux cas
qui se met à baisser.

]]> Fonctions convexes — Q38 : Lire une courbe de Lorenz Sur une courbe de Lorenz, les $50\ \%$ les plus modestes d'une
population détiennent $15\ \%$ du revenu total. Quelle part du revenu
total les $50\ \%$ les plus aisés détiennent-ils ?

]]> Une courbe de Lorenz porte des parts cumulées : l'ordonnée du point
d'abscisse $0{,}5$ donne la part des $50\ \%$ les plus modestes, et le
complément à $100\ \%$ celle des plus aisés. L'écart à la diagonale
mesure l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $85\ \%$

]]> Bonne réponse : les parts sont cumulées sur toute la population, donc
le reste vaut $100 - 15$, soit $85$ pour cent.

]]> $15\ \%$

]]> Valeur de l'énoncé recopiée : les deux moitiés ne détiennent la même
part que dans une répartition parfaitement égalitaire.

]]> $50\ \%$

]]> Diagonale supposée : une répartition égalitaire donnerait $50\ \%$ de
chaque côté, ce que l'énoncé contredit.

]]> $30\ \%$

]]> Doublement injustifié : le complément d'une part s'obtient par une
soustraction à $100\ \%$.

]]> Fonctions convexes — Q39 : Coût marginal et convexité Le coût total de production d'une usine est modélisé par une fonction
$C$ convexe, et le coût marginal est donné par $C'$. Comment le coût
marginal évolue-t-il quand la production augmente ?

]]> Convexité du coût total et croissance du coût marginal sont la même
information. Une fonction de coût concave décrirait au contraire des
économies d'échelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il augmente

]]> Bonne réponse : la convexité de $C$ signifie que $C'$ est croissante,
donc que chaque unité supplémentaire coûte plus que la précédente.

]]> Il diminue

]]> Sens inversé : un coût marginal décroissant correspondrait à une
fonction de coût concave.

]]> Il reste constant

]]> Cas d'une fonction affine : le coût de chaque unité produite serait
alors toujours le même.

]]> Il s'annule au-delà d'un seuil

]]> Erreur : la convexité indique que $C'$ croît, elle ne dit rien d'une
éventuelle annulation.

]]> Fonctions convexes — Q40 : Croissante donc convexe ? Une fonction croissante sur un intervalle y est-elle nécessairement
convexe ?

]]> Un seul contre-exemple suffit à réfuter l'implication : le logarithme
croît en restant concave. Croissance et convexité se lisent à deux étages
différents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, le logarithme est un contre-exemple

]]> Bonne réponse : $\ln$ est croissante sur $]0\ ;\ +\infty[$ et
pourtant concave, sa dérivée $\dfrac{1}{x}$ étant décroissante.

]]> Oui, toute fonction croissante est convexe

]]> Erreur : le sens de variation porte sur $f$, la convexité sur $f'$.
Les deux lectures sont indépendantes.

]]> Non, mais uniquement si $f$ est négative

]]> Condition inutile : le signe de $f$ n'intervient pas, et $\ln$ reste
concave de part et d'autre de $1$.

]]> Oui, dès que $f$ est dérivable

]]> Erreur : la racine carrée est dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$,
croissante et concave.

]]> Fonctions convexes — Q41 : Minorer une valeur par la tangente La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et la tangente à sa courbe
au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = 3x + 1$. Que
peut-on affirmer sur $f(5)$ ?

]]> Pour une fonction convexe, la courbe domine chacune de ses tangentes en
tout point de l'intervalle. Une tangente bien choisie fournit donc une
minoration de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(5) \geq 16$

]]> Bonne réponse : la courbe d'une fonction convexe reste au-dessus de
chacune de ses tangentes, et la tangente vaut
$3 \times 5 + 1 = 16$.

]]> $f(5) \leq 16$

]]> Position inversée : rester sous ses tangentes caractérise une
fonction concave.

]]> $f(5) = 16$

]]> Égalité réservée au point de contact, d'abscisse $2$. Ailleurs, la
convexité ne donne qu'une inégalité.

]]> On ne peut rien affirmer sur $f(5)$

]]> Erreur : la tangente fournit une minoration valable sur tout
l'intervalle de convexité, ici $16$.

]]> Fonctions convexes — Q42 : Une corde sous la courbe La fonction $f$ est concave sur $[0\ ;\ 6]$, avec $f(0) = 2$ et
$f(6) = 12$. Que peut-on affirmer sur $f(3)$ ?

]]> La définition par les sécantes fournit des inégalités chiffrées : pour
une fonction concave, la valeur au milieu de l'intervalle vaut au moins
la moyenne des valeurs aux bornes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(3) \geq 7$

]]> Bonne réponse : une fonction concave a sa courbe au-dessus de ses
sécantes, et la corde vaut $\dfrac{2 + 12}{2} = 7$ au milieu
de l'intervalle.

]]> $f(3) \leq 7$

]]> Position inversée : la courbe passe sous ses cordes lorsque la
fonction est convexe.

]]> $f(3) = 7$

]]> Égalité réservée aux fonctions affines, dont la courbe est confondue
avec ses cordes.

]]> $f(3) \geq 12$

]]> Valeur d'une extrémité recopiée : la comparaison se fait avec la
corde au milieu, qui vaut $7$.

]]> Fonctions convexes — Q43 : Déterminer l'intervalle de convexité La dérivée seconde d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est
$f''(x) = 6x - 12$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?

]]> On résout l'inéquation $f''(x) \geq 0$ : l'ensemble des solutions est
exactement l'intervalle de convexité, et la borne trouvée est l'abscisse
du point d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[2\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : $f''(x) \geq 0$ équivaut à $6x - 12 \geq 0$,
c'est-à-dire $x \geq 2$.

]]> $]-\infty\ ;\ 2]$

]]> Inégalité inversée : sur cet intervalle la dérivée seconde est
négative, donc $f$ y est concave.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Signe non étudié : la dérivée seconde change de signe en $2$, la
convexité ne peut donc pas valoir partout.

]]> $[-2\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur de signe dans la résolution : de $6x - 12 \geq 0$ on tire
$x \geq 2$.

]]> Fonctions convexes — Q44 : Une inégalité par concavité La fonction logarithme est concave sur $]0\ ;\ +\infty[$ et sa tangente
au point d'abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$. Quelle inégalité en
déduit-on ?

]]> Écrire la tangente en un point bien choisi transforme la concavité en
inégalité. En $x = 1$, la tangente au logarithme est $y = x - 1$, d'où
$\ln x \leq x - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$

]]> Bonne réponse : une fonction concave reste sous chacune de ses
tangentes, avec égalité au seul point de contact, ici $x = 1$.

]]> $\ln x \geq x - 1$ pour tout $x > 0$

]]> Position inversée : rester au-dessus de ses tangentes est le fait des
fonctions convexes.

]]> $\ln x \leq x - 1$ pour $x \geq 1$ seulement

]]> Restriction inutile : la position sous la tangente vaut sur tout
l'intervalle de concavité.

]]> $\ln x = x - 1$ au voisinage de $1$

]]> Erreur : la tangente approche la courbe près du point de contact,
sans jamais coïncider avec elle ailleurs.

]]> Fonctions convexes — Q45 : Décroissante et convexe Une fonction $f$ est décroissante et convexe sur un intervalle $I$. Que
peut-on dire de sa dérivée $f'$ sur $I$ ?

]]> Deux informations se superposent : le signe de $f'$ donne le sens de
variation de $f$, et le sens de variation de $f'$ donne la convexité.
Décroissante et convexe, c'est l'allure de $e^{-x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est négative et croissante

]]> Bonne réponse : la décroissance donne $f' \leq 0$ et la convexité
donne $f'$ croissante. La pente reste négative en se rapprochant de
$0$.

]]> Elle est négative et décroissante

]]> Convexité mal traduite : une dérivée décroissante correspond à une
fonction concave.

]]> Elle est positive et croissante

]]> Signe faux : une fonction décroissante a une dérivée négative sur
l'intervalle.

]]> Elle est négative et constante

]]> Cas d'une fonction affine décroissante : la convexité stricte demande
une pente qui augmente.

]]> Fonctions convexes — Q46 : Convexité d'un trinôme Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$. Que peut-on dire de sa convexité ?

]]> Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$, la dérivée seconde vaut $2a$ : le signe
de $a$ décide seul de la convexité, sur $\mathbb{R}$ tout entier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est convexe sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 6x - 5$ puis $f''(x) = 6$, une constante
strictement positive sur tout $\mathbb{R}$.

]]> Elle est concave sur $\mathbb{R}$

]]> Signe mal lu : la dérivée seconde vaut $6$, qui est un nombre
positif.

]]> Elle est concave puis convexe

]]> Aucune bascule possible : $f''$ est constante, elle ne change donc
jamais de signe.

]]> Elle est convexe sur $[0\ ;\ +\infty[$ seulement

]]> Restriction inutile : $f''(x) = 6$ pour tout réel $x$, la convexité
vaut donc partout.

]]> Fonctions convexes — Q47 : Lire un intervalle de concavité Le tableau de signes de $f''$ indique $f''(x) \leq 0$ sur
$]-\infty\ ;\ 2]$, puis $f''(x) \geq 0$ sur $[2\ ;\ +\infty[$. Sur
quel intervalle $f$ est-elle concave ?

]]> Un tableau de convexité se lit comme un tableau de signes : $f'' \leq 0$
donne la concavité, $f'' \geq 0$ la convexité, et le changement de signe
donne le point d'inflexion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\ ;\ 2]$

]]> Bonne réponse : la concavité correspond à une dérivée seconde
négative, ce que le tableau indique avant $2$.

]]> $[2\ ;\ +\infty[$

]]> Intervalle de convexité : c'est là que la dérivée seconde est
positive.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Changement de signe ignoré : la dérivée seconde devient positive
après $2$, où la courbe est convexe.

]]> Aucun intervalle

]]> Erreur : la dérivée seconde est négative sur toute la partie gauche
du tableau, la concavité y est acquise.

]]> Fonctions convexes — Q48 : Point d'inflexion d'une parabole La courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = x^2 - 4x$ admet-elle un point d'inflexion ?

]]> Un point d'inflexion exige que $f''$ s'annule en changeant de signe. Pour
une parabole, $f''$ est une constante non nulle : la courbure ne bascule
jamais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car $f''$ ne change pas de signe

]]> Bonne réponse : $f''(x) = 2$, une constante strictement positive : la
parabole est convexe partout, sans bascule de courbure.

]]> Oui, au sommet de la parabole

]]> Confusion : le sommet est un extremum, repéré par $f'(x) = 0$, ce qui
ne concerne pas la courbure.

]]> Oui, là où $f$ s'annule

]]> Erreur : l'annulation de $f$ donne les points d'intersection avec
l'axe des abscisses.

]]> Non, car $f$ n'est pas dérivable deux fois

]]> Erreur : un polynôme se dérive autant de fois que l'on veut. C'est le
signe constant de $f''$ qui justifie la réponse.

]]> Fonctions convexes — Q49 : Dérivée seconde d'un logarithme Soit $f$ la fonction définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par
$f(x) = 2\ln x$. Quelle est sa dérivée seconde ?

]]> La dérivée seconde de $\ln$ vaut $-\dfrac{1}{x^2}$, strictement négative
sur $]0\ ;\ +\infty[$ : c'est ce calcul d'une ligne qui établit la
concavité du logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f''(x) = -\dfrac{2}{x^2}$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = \dfrac{2}{x}$, puis la dérivation de cet
inverse donne $-\dfrac{2}{x^2}$.

]]> $f''(x) = \dfrac{2}{x^2}$

]]> Signe oublié : la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ vaut $-\dfrac{1}{x^2}$.

]]> $f''(x) = \dfrac{2}{x}$

]]> Une seule dérivation effectuée : cette expression est $f'$, qu'il
reste à dériver une fois.

]]> $f''(x) = \dfrac{4}{x^3}$

]]> Une dérivation de trop : cette expression est la dérivée de $f''$.

]]> Fonctions convexes — Q50 : Une courbe au-dessus de ses tangentes Sur un intervalle $I$, la courbe d'une fonction dérivable $f$ reste
au-dessus de chacune de ses tangentes. Qu'en déduit-on ?

]]> Pour une fonction dérivable, trois propriétés sont équivalentes : courbe
sous les sécantes, courbe au-dessus des tangentes, dérivée croissante.
Chacune caractérise la convexité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est convexe sur $I$

]]> Bonne réponse : c'est l'une des caractérisations admises de la
convexité, au même titre que « $f'$ croissante ».

]]> $f$ est concave sur $I$

]]> Position inversée : une fonction concave a sa courbe sous ses
tangentes, comme le logarithme.

]]> $f$ est croissante sur $I$

]]> Étage confondu : la position par rapport aux tangentes décrit la
courbure, jamais le sens de variation.

]]> $f$ est positive sur $I$

]]> Aucun lien : $x^2 - 9$ reste au-dessus de ses tangentes tout en
prenant des valeurs négatives.

]]> Fonctions convexes — Q51 : Lire la convexité autour d'un point d'inflexion Courbe d'une fonction : elle monte jusqu'à un maximum local en (0 ; 3), redescend en passant par le point (1 ; 1), atteint un minimum local en (2 ; -1), puis remonte. Elle est bombée vers le haut à gauche de x = 1 et creusée vers le haut à droite de x = 1.

La courbe représente une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$,
dont le point d'inflexion est $(1\,;\,1)$. Sur quel intervalle $f$
est-elle convexe ?

]]> Une fonction est convexe là où sa courbe est au-dessus de ses
tangentes, creusée vers le haut. Le point d'inflexion sépare une
partie concave d'une partie convexe ; ici
$f(x) = (x - 1)^3 - 3(x - 1) + 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[1\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : à droite du point d'inflexion, la courbe est
creusée vers le haut, au-dessus de ses tangentes.

]]> Sur $]-\infty\,;\,1]$

]]> Sens inversé : à gauche du point d'inflexion, la courbe est
bombée, donc concave.

]]> Sur $[0\,;\,2]$

]]> Intervalle des variations : entre les deux extremums, $f$ est
décroissante, ce qui ne renseigne pas sur la convexité.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> La courbe change de courbure en $x = 1$ : elle ne peut pas
être convexe partout.

]]> Fonctions convexes — Q52 : Convexité lue sur la courbe de la dérivée Courbe de la dérivée f' : une parabole tournée vers le bas, de sommet (2 ; 3), qui coupe l'axe des abscisses vers x = 0,27 et x = 3,73. Elle est croissante avant x = 2 et décroissante après.

La courbe représente la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie
sur $\mathbb{R}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?

]]> $f$ est convexe sur un intervalle si et seulement si $f'$ y est
croissante. On lit donc les variations de $f'$, et non son signe,
qui renseigne sur les variations de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]-\infty\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : $f'$ y est croissante, ce qui caractérise la
convexité de $f$.

]]> Sur $[2\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversé : $f'$ y est décroissante, donc $f$ y est
concave.

]]> Là où $f'$ est positive

]]> Étages confondus : le signe de $f'$ donne les variations de
$f$, pas sa convexité.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> $f'$ change de sens de variation en $2$ : la convexité de $f$
change aussi.

]]>