$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Fonctions : continuité, limites, logarithme Continuité (approche intuitive), théorème des valeurs
intermédiaires (admis) et fonctions strictement monotones,
limites des fonctions de référence et asymptotes, fonction
logarithme népérien (réciproque de l'exponentielle, équation
fonctionnelle, dérivée, limites), relation
$\ln(q^n) = n\ln q$ pour les seuils, dérivées de $f(ax+b)$,
$e^{u}$, $\ln u$, $u^2$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q01 : Continuité et tracé Intuitivement, que signifie « $f$ est continue sur un
intervalle » ?

]]> Approche du programme : continue $=$ tracé sans saut. Les
fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme,
racine) sont continues sur leurs intervalles de définition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa courbe se trace sans lever le crayon

]]> Bonne réponse : c'est l'approche intuitive du programme,
suffisante pour utiliser le théorème des valeurs
intermédiaires (toute fonction dérivable est continue).

]]> Sa courbe est une droite sur cet intervalle

]]> Erreur : la continuité n'impose aucune forme : une
parabole ou une exponentielle sont continues sans être
droites.

]]> La fonction est croissante sur cet intervalle

]]> Erreur : continuité et monotonie sont indépendantes :
une fonction peut onduler continûment.

]]> La fonction est positive sur cet intervalle

]]> Erreur : le signe n'a rien à voir : $x \mapsto -x^2$ est
continue et négative.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q02 : TVI et stricte monotonie Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$,
avec $f(0) = -3$ et $f(4) = 9$. Que peut-on dire de
l'équation $f(x) = 5$ ?

]]> TVI $+$ stricte monotonie : pour tout $k$ entre $f(a)$ et
$f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement une solution. On
l'approche ensuite par balayage ou dichotomie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet une unique solution dans $[0\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : $5$ est compris entre $-3$ et $9$
(existence par le TVI, admis), et la stricte monotonie
exclut une seconde solution.

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Erreur : une fonction strictement croissante ne repasse
jamais par la même valeur.

]]> Elle n'admet aucune solution, car $5 \neq f(0)$ et
$5 \neq f(4)$

]]> Erreur : le TVI garantit que toutes les valeurs
intermédiaires sont atteintes, pas seulement celles des
bornes.

]]> La solution est $x = 5$

]]> Confusion : $5$ est la valeur visée ($y$), pas la
solution ($x$), dont le théorème garantit l'existence
sans donner la position.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q03 : Limite et asymptote On sait que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Que
peut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?

]]> Lecture des limites : limite finie $\ell$ en $\pm\infty$
$\to$ asymptote horizontale $y = \ell$ ; limite infinie en un
point $a$ $\to$ asymptote verticale $x = a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite $y = 2$ est asymptote horizontale

]]> Bonne réponse : asymptote horizontale en $+\infty$, la
courbe se rapproche indéfiniment de cette horizontale
quand $x$ grandit.

]]> La droite $x = 2$ est asymptote verticale

]]> Erreur : une asymptote verticale correspond à une
limite infinie en un point fini, pas à une limite finie à
l'infini.

]]> La courbe coupe l'axe des ordonnées en $2$

]]> Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0)$, sans lien
avec le comportement en $+\infty$.

]]> La fonction est constante égale à $2$

]]> Erreur : la fonction peut varier longtemps avant de se
stabiliser vers $2$ ; seule la tendance à l'infini
est fixée.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q04 : Le logarithme, réciproque de l'exponentielle Comment la fonction $\ln$ est-elle définie ?

]]> Définition du programme : $\ln$ est la réciproque de
$\exp$ : pour $x > 0$, $\ln x$ est l'unique exposant $y$ tel
que $e^y = x$. D'où $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Comme la fonction réciproque de l'exponentielle

]]> Bonne réponse : $\ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$
(pour $x > 0$) : $\ln$ « défait » l'exponentielle,
$\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$. Les deux courbes sont
symétriques par rapport à la droite $y = x$.

]]> Comme la dérivée de l'exponentielle

]]> Erreur : la dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même. Le
logarithme est la réciproque, pas la dérivée.

]]> Comme l'inverse de l'exponentielle, $\ln x =
\dfrac{1}{e^x}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{e^x} = e^{-x}$, une autre
exponentielle. « Réciproque » (défaire) n'est pas
« inverse » (un sur).

]]> Comme une primitive de l'exponentielle

]]> Erreur : une primitive de $e^x$ est $e^x$. Le logarithme
répond à la question « quel exposant ? », c'est la
réciproque.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q05 : Équation fonctionnelle du logarithme Pour $a, b > 0$, que vaut $\ln(a \times b)$ ?

]]> Équation fonctionnelle : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
(démonstration possible au programme). Conséquences :
$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$, $\ln(q^n) = n\ln q$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln a + \ln b$

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en
sommes : c'est sa raison d'être historique (simplifier
les calculs astronomiques).

]]> $\ln a \times \ln b$

]]> Erreur : contrôle avec $a = b = e$ : $\ln(e^2) = 2$,
alors que $\ln e \times \ln e = 1$.

]]> $\ln(a + b)$

]]> Erreur : $\ln(a+b)$ ne se développe pas. La formule
transforme le produit en somme, pas l'inverse.

]]> $\ln a - \ln b$

]]> Erreur : la différence correspond au quotient :
$\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q06 : Dérivée du logarithme Quelle est la dérivée de $\ln$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$. Croissante,
concave, avec $\lim_{0^+} \ln = -\infty$ et
$\lim_{+\infty} \ln = +\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ (calcul
possible au programme, la dérivabilité étant admise) :
positive, donc $\ln$ strictement croissante.

]]> $x \mapsto \ln x$

]]> Erreur : seule l'exponentielle est sa propre dérivée. Le
logarithme se dérive en $\dfrac{1}{x}$.

]]> $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Erreur : $-\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction
inverse $\dfrac{1}{x}$.

]]> $x \mapsto e^x$

]]> Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'exponentielle ; sa
réciproque a une dérivée bien différente :
$\dfrac{1}{x}$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q07 : Un seuil résolu par $\ln(q^n) = n \ln q$ On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0{,}8^n < 0{,}1$. En
utilisant $\ln(0{,}8^n) = n\ln 0{,}8$, avec $\ln 0{,}8 \approx -0{,}223$ et
$\ln 0{,}1 \approx -2{,}303$, que trouve-t-on ?

]]> On utilise $\ln(q^n) = n\ln q$ pour résoudre un seuil exactement.
Comme $\ln q < 0$ pour $0 < q < 1$, la division renverse le sens
de l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n = 11$

]]> Bonne réponse : $n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}1$ ; en divisant par
$\ln 0{,}8 < 0$, l'inégalité se renverse :
$n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$, donc $n = 11$.

]]> $n = 10$

]]> Inégalité stricte mal exploitée : il faut $n > 10{,}3$, et l'on
vérifie que $0{,}8^{10} \approx 0{,}107$ reste au-dessus de
$0{,}1$.

]]> $n = 12$

]]> Pas le plus petit : $0{,}8^{11} \approx 0{,}086$ est déjà
inférieur à $0{,}1$.

]]> Aucun entier $n$

]]> Une puissance de $0{,}8$ reste positive mais devient aussi
petite que l'on veut : $0{,}8^n \to 0$ franchit tout seuil
positif.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q08 : Dérivée de $f(ax + b)$ Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$ ?

]]> Formule au programme : $\left(f(ax+b)\right)' =
a\,f'(ax+b)$. Pour l'exponentielle : $(e^{ax+b})' =
a\,e^{ax+b}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $g'(x) = 3\,e^{3x + 1}$

]]> Bonne réponse : dérivée de $x \mapsto f(ax + b)$ :
$a\,f'(ax + b)$. Ici $f = \exp$, $a = 3$ :
$3\,e^{3x+1}$.

]]> $g'(x) = e^{3x + 1}$

]]> Oubli du facteur $3$ : la composition par $3x + 1$ fait
sortir le coefficient de $x$.

]]> $g'(x) = (3x + 1)\,e^{3x}$

]]> Erreur : ni l'exposant ne change, ni l'intérieur ne
descend tel quel : seul $a = 3$ sort en facteur.

]]> $g'(x) = 3\,e^{3x}$

]]> Erreur : l'exposant $3x + 1$ se conserve intégralement
en dérivant : $3\,e^{3x+1}$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q09 : Dérivée de $\ln(u)$ Quelle est la dérivée de $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?

]]> Dérivées composées au programme : $(e^u)' = u'\,e^u$,
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$, $(u^2)' = 2u\,u'$. Ici :
$\dfrac{2x}{x^2+1}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $h'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

]]> Bonne réponse : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec
$u = x^2 + 1$ (strictement positif) et $u' = 2x$.

]]> $h'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

]]> Oubli du numérateur $u' = 2x$ : la règle de la composée
est $\dfrac{u'}{u}$, pas $\dfrac{1}{u}$.

]]> $h'(x) = \ln(2x)$

]]> Erreur : on ne dérive pas « à l'intérieur du
logarithme » : le $\ln$ disparaît au profit du quotient
$\frac{u'}{u}$.

]]> $h'(x) = \dfrac{2x}{\ln(x^2 + 1)}$

]]> Erreur : le dénominateur est $u = x^2 + 1$ lui-même, pas
son logarithme.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q10 : Résoudre avec le logarithme Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?

]]> On utilise la réciprocité :
$e^{2x} = 10 \Leftrightarrow 2x = \ln 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{\ln 10}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{\ln 10}{2}$

]]> Bonne réponse : $\ln(e^{2x}) = 2x$, donc $2x = \ln 10$
et $x = \dfrac{\ln 10}{2}$.

]]> $x = \ln\left(5\right)$

]]> Division faite avant le logarithme : $\ln\left(5\right)$
résoudrait $e^x = 5$, pas $e^{2x} = 10$.

]]> $x = \dfrac{10}{2e}$

]]> L'exponentielle ne se divise pas : on la défait par le
logarithme, ce qui donne $2x = \ln 10$.

]]> $x = \ln 10 - 2$

]]> Le coefficient $2$ multiplie $x$ : il divise $\ln 10$, il
ne se soustrait pas.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q11 : Limites du logarithme Quelles sont les limites de $\ln x$ en $0^+$ et en
$+\infty$ ?

]]> Limites de référence : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
(asymptote verticale $x = 0$) et
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$

]]> Bonne réponse : la courbe plonge le long de l'axe des
ordonnées près de $0$ et grimpe sans plafond (mais très
lentement) vers $+\infty$.

]]> $0$ en $0^+$ et $+\infty$ en $+\infty$

]]> Erreur : $\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$. Près de
$0^+$, le logarithme dévisse vers $-\infty$
($\ln 0{,}001 \approx -6{,}9$).

]]> $-\infty$ en $0^+$ et $e$ en $+\infty$

]]> Erreur : aucune saturation en $e$ : le logarithme dépasse
toute valeur, aussi lentement que ce soit.

]]> Elles n'existent pas

]]> Erreur : les deux limites existent (au sens infini) :
$-\infty$ et $+\infty$ : la courbe du logarithme les rend
visibles.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q12 : Nombre de solutions par le tableau de variations Une fonction continue $f$ décroît de $8$ à $-1$ sur
$[0\,;\,3]$ puis croît de $-1$ à $2$ sur $[3\,;\,6]$.
Combien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions sur
$[0\,;\,6]$ ?

]]> Capacité attendue : exploiter le tableau de variations pour
compter les solutions de $f(x) = k$ : une par branche de
monotonie dont la plage de valeurs contient $k$. Ici :
deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux solutions

]]> Bonne réponse : une solution sur chaque branche de
monotonie : sur $[0\,;\,3]$, $f$ traverse $1$ en
descendant de $8$ à $-1$ (une solution) ; sur
$[3\,;\,6]$, elle le retraverse en remontant de $-1$ à
$2$ (une seconde).

]]> Une seule solution

]]> Erreur : les deux branches contiennent $1$ dans leur
plage de valeurs ($[-1\,;\,8]$ et $[-1\,;\,2]$) : une
solution chacune.

]]> Aucune solution

]]> Erreur : $1$ est compris entre $-1$ et $8$ : le TVI
garantit au moins une traversée.

]]> Trois solutions

]]> Erreur : chaque branche strictement monotone livre au
plus une solution : deux branches, deux solutions
maximum.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q13 : Les deux valeurs à connaître Que valent $\ln 1$ et $\ln e$ ?

]]> Les deux ancres du logarithme : $\ln 1 = 0$ (la courbe coupe
l'axe en $1$) et $\ln e = 1$. Tout calcul de logarithme se
raccroche à elles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$

]]> Bonne réponse : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ : le logarithme,
réciproque de l'exponentielle, renvoie les exposants.

]]> $\ln 1 = 1$ et $\ln e = e$

]]> Erreur : le logarithme ne rend pas le nombre lui-même :
il rend l'exposant à donner à $e$ ($0$ pour obtenir
$1$).

]]> $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 0$

]]> Erreur : $\ln e = 1$ (il faut l'exposant $1$ pour
obtenir $e$) : seul $\ln 1$ est nul.

]]> $\ln 1$ n'existe pas

]]> Erreur : $\ln$ est défini sur $]0\ ;\ +\infty[$ et $1 >
0$ : c'est $\ln 0$ qui n'existe pas.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q14 : Décomposer $\ln 6$ Comment s'écrit $\ln 6$ en fonction de $\ln 2$ et
$\ln 3$ ?

]]> $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ : décomposer les entiers en
facteurs pour tout exprimer avec $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 5$…
Gymnastique de base du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$

]]> Bonne réponse : $6 = 2 \times 3$, et le logarithme
transforme le produit en somme.

]]> $\ln 6 = \ln 2 \times \ln 3$

]]> Erreur : le produit des logarithmes n'est pas le
logarithme du produit : la propriété échange produit
contre somme.

]]> $\ln 6 = \ln(2 + 3) + \ln 1$

]]> Erreur : $2 + 3 = 5 \neq 6$, et $\ln(a + b)$ ne se
décompose pas : c'est le produit $2 \times 3$ qu'on
éclate.

]]> $\ln 6 = 2\ln 3$

]]> Erreur : $2\ln 3 = \ln 3^2 = \ln 9 \neq \ln 6$ :
l'exposant en facteur code une puissance, pas un
produit de facteurs distincts.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q15 : Où $\ln$ est-il négatif ? Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?

]]> Signe de $\ln$ : négatif sur $]0\ ;\ 1[$, nul en $1$,
positif au-delà. Utile en permanence dans les études de
signe et les résolutions d'inéquations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $0 < x < 1$

]]> Bonne réponse : $\ln$ s'annule en $1$ et croît :
négatif avant, positif après ($\ln 0{,}5 \approx
-0{,}69$).

]]> Pour $x < 0$

]]> Domaine : $\ln x$ n'existe pas pour $x \leq 0$ : la
question du signe ne se pose que sur $]0\ ;\
+\infty[$.

]]> Jamais : un logarithme est positif

]]> Erreur : $\ln 0{,}1 \approx -2{,}3$ : sur $]0\ ;\ 1[$,
le logarithme plonge (vers $-\infty$ en $0^+$).

]]> Pour $x < e$

]]> Mauvais repère : l'annulation se fait en $1$ ($\ln 1 =
0$) : entre $1$ et $e$, $\ln$ est déjà positif.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q16 : Écrire le logarithme d'une puissance Comment s'écrit $\ln 16$ en fonction de $\ln 2$ ?

]]> $\ln(a^n) = n\ln a$ simplifie les calculs et résout les seuils du
type $q^n < \varepsilon$. On commence par décomposer le nombre :
$16 = 2^{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 16 = 4\ln 2$

]]> Bonne réponse : $16 = 2^{4}$ et $\ln(a^n) = n\ln a$ :
l'exposant devient un facteur.

]]> $\ln 16 = (\ln 2)^{4}$

]]> L'exposant sort en facteur, pas en puissance du logarithme.

]]> $\ln 16 = 8\ln 2$

]]> Exposant faux : $2^{8} = 256$, alors que
$16 = 2^{4}$.

]]> $\ln 16 = \ln 2 + \ln 4$

]]> Produit et puissance confondus :
$\ln 2 + \ln 4 = \ln(2 \times 4)$, différent de
$\ln 16$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q17 : Domaine de $\ln(3 - x)$ Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(3 - x)$ est-elle
définie ?

]]> $\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ strictement : résoudre cette
inéquation est le réflexe d'ouverture de tout exercice avec
logarithme composé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\ ;\ 3[$

]]> Bonne réponse : il faut $3 - x > 0$, soit $x < 3$ :
l'argument du logarithme doit être strictement positif.

]]> $]3\ ;\ +\infty[$

]]> Sens inversé : $3 - x > 0$ se résout en $x < 3$
(attention au signe du coefficient de $x$).

]]> $]0\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : la condition porte sur $3 - x$ (l'intérieur),
pas sur $x$ lui-même.

]]> $]-\infty\ ;\ 3]$

]]> Borne : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\ln 0$
n'existe pas : intervalle ouvert.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q18 : Résoudre $\ln x \geq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de $\ln x \geq 1$ ?

]]> Méthode : écrire le second membre en logarithme ($1 = \ln
e$), puis utiliser la croissance stricte pour comparer les
arguments dans le même sens. Solution : $x \geq e \approx
2{,}72$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[e\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : $1 = \ln e$, et la croissance stricte
conserve l'ordre : $\ln x \geq \ln e \iff x \geq e$.

]]> $[1\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : $\ln 1 = 0 < 1$ : le seuil n'est pas $1$ mais
$e$ (le nombre dont le logarithme vaut $1$).

]]> $[0\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : outre le domaine ($x > 0$ strict), $\ln 2
\approx 0{,}69 < 1$ : il faut monter jusqu'à $e$.

]]> $]0\ ;\ e]$

]]> Sens inversé : $\ln$ croît : les GRANDES valeurs de $x$
donnent les grands logarithmes : $x \geq e$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q19 : Simplifier $e^{\ln a}$ Que vaut $e^{\ln 5}$ ?

]]> Deux simplifications à connaître : $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et
$\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : exponentielle et logarithme se neutralisent,
$e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$.

]]> $\ln 5$

]]> L'exponentielle défait le logarithme : il reste le nombre
$5$ lui-même.

]]> $e \times 5$

]]> $e^{\ln 5}$ n'est pas un produit : c'est $e$ élevé à la
puissance $\ln 5$.

]]> $e^{5}$

]]> L'exposant est $\ln 5$, et non $5$ : la simplification
donne $5$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q20 : Résoudre $e^x = k$ Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?

]]> Pour $k > 0$, $e^x = k \Leftrightarrow x = \ln k$. Pour
$k \leq 0$, il n'y a aucune solution, l'exponentielle étant
strictement positive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \ln 7$

]]> Bonne réponse : on applique $\ln$ aux deux membres ;
$\ln(e^x) = x$ à gauche, $\ln 7$ à droite.

]]> $x = \dfrac{7}{e}$

]]> Diviser par $e$ ne défait pas une puissance : l'opération
réciproque de l'exponentielle est le logarithme.

]]> $x = 7 - e$

]]> Soustraire $e$ ne modifie pas l'exposant : seule la fonction
réciproque isole $x$.

]]> Aucune, $7$ n'étant pas une puissance de $e$

]]> Tout réel strictement positif est atteint par l'exponentielle
: la solution existe et vaut $\ln 7$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q21 : Dérivée de $x\ln x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur $]0\ ;\
+\infty[$ ?

]]> $(x\ln x)' = \ln x + 1$ : le calcul type mêlant produit et
logarithme. Son signe (négatif avant $e^{-1}$, positif
après) donne le minimum de $x\ln x$ : un classique d'étude.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \ln x + 1$

]]> Bonne réponse : règle du produit : $1 \times \ln x + x
\times \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{x}$

]]> Facteur oublié : $\frac{1}{x}$ dérive $\ln x$ seul : le
facteur $x$ impose la règle du produit.

]]> $f'(x) = \ln x$

]]> Terme manquant : le produit $x \times \frac{1}{x} = 1$
s'ajoute : $\ln x + 1$.

]]> $f'(x) = 1$

]]> Erreur : simplifier $x \times \frac{1}{x}$ avant de
dériver ne respecte pas la structure produit : la
dérivée complète est $\ln x + 1$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q22 : Dérivée de $(\ln x)^2$ Quelle est la dérivée de $f(x) = (\ln x)^2$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> Forme $u^2$ avec $u = \ln x$ : $f'(x) = 2u\,u' =
\dfrac{2\ln x}{x}$. Contrôle en $x = 2$ : $f'(2) = \ln 2
\approx 0{,}69$, cohérent avec la pente de la courbe. Ne
pas confondre $(\ln x)^2$ et $\ln(x^2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = \dfrac{2\ln x}{x}$

]]> Bonne réponse : $(u^2)' = 2u\,u'$ avec $u = \ln x$ et
$u' = \dfrac{1}{x}$ : $2\ln x \times \dfrac{1}{x}$.

]]> $f'(x) = 2\ln x$

]]> Erreur : le facteur $u' = \dfrac{1}{x}$ est oublié : on
a dérivé $u^2$ comme si $u$ était $x$ lui-même.

]]> $f'(x) = \dfrac{2}{x}$

]]> Confusion : $\dfrac{2}{x}$ est la dérivée de $\ln(x^2)
= 2\ln x$. Or $(\ln x)^2 \neq \ln(x^2)$ : en $x = e$,
$(\ln e)^2 = 1$ mais $\ln(e^2) = 2$.

]]> $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$

]]> Erreur : on a dérivé $\ln x$ puis élevé le résultat au
carré ; la dérivée de $u^2$ n'est pas $(u')^2$ mais
$2u\,u'$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q23 : Résoudre $\ln(ax) = \ln(x + b)$ Quelle est la solution de $\ln(2x) = \ln(x + 3)$ ?

]]> $\ln A = \ln B \Leftrightarrow A = B$ lorsque $A, B > 0$ : on
égale les arguments, puis on vérifie que la solution rend chaque
argument strictement positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : pour des arguments strictement positifs,
$\ln A = \ln B$ équivaut à $A = B$ ; $2x = x + 3$ donne
$x = 3$, et les deux arguments valent alors $6$.

]]> $x = -3$

]]> Signe faux, et cette valeur rendrait les arguments négatifs :
aucun des deux logarithmes n'y serait défini.

]]> $x = 1$

]]> Résolution fausse : $2x = x + 3$ donne $(2 - 1)x = 3$,
et non $(2 + 1)x = 3$.

]]> Aucune, deux logarithmes différents ne sont jamais égaux

]]> Ils sont égaux exactement quand leurs arguments le sont :
l'équation se ramène à $2x = x + 3$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q24 : Le logarithme en $0^+$ Que vaut $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x$ ?

]]> Bilan des limites de $\ln$ : $-\infty$ en $0^+$ (asymptote
verticale $x = 0$), $+\infty$ en $+\infty$ (sans asymptote,
croissance lente). Le miroir exact de l'exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\infty$

]]> Bonne réponse : quand $x$ fond vers $0$, l'exposant
nécessaire plonge ($\ln(0{,}001) \approx -6{,}9$…) : la
courbe longe l'axe des ordonnées vers le bas, cet axe
est asymptote verticale.

]]> $0$

]]> Confusion : $\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$ : au
bord du domaine, il plonge sans limite.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1 = \ln(e^{-1}) = \ln(0{,}37)$ : une étape
du plongeon, pas sa fin : la chute continue vers
$-\infty$.

]]> La limite n'existe pas

]]> Nuance : la valeur $\ln 0$ n'existe pas, mais la
limite en $0^+$ existe au sens infini : $-\infty$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q25 : Écrire $\ln 8$ avec $\ln 2$ À quoi $\ln 8$ est-il égal ?

]]> La propriété $\ln(a^n) = n\ln a$ transforme les puissances en produits.
C'est elle qui rend le logarithme utile dans les problèmes de seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3\ln 2$

]]> Bonne réponse : $8 = 2^3$, et l'exposant descend en facteur.

]]> $4\ln 2$

]]> Exposant faux : $2^4$ vaut $16$, pas $8$.

]]> $\ln 2 + 8$

]]> Mélange d'écritures : le logarithme d'une puissance donne un produit,
pas une somme avec le nombre lui-même.

]]> $(\ln 2)^3$

]]> Puissance appliquée au logarithme : $\ln(a^n)$ vaut $n\ln a$, et non
$(\ln a)^n$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q26 : Étudier $\dfrac{\ln x}{x}$ Sur $]0\,;\,+\infty[$, où la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$
atteint-elle son maximum ?

]]> On dérive avec la formule du quotient, on résout $1 - \ln x = 0$, puis on
dresse le tableau de signes. Le maximum vaut $\dfrac{1}{e}$, atteint en
$x = e$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $e$

]]> Bonne réponse : la dérivée vaut $\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, qui s'annule
pour $\ln x = 1$.

]]> En $1$

]]> En $1$ la fonction s'annule, mais elle continue de croître ensuite
jusqu'en $e$.

]]> En $0$

]]> La fonction n'y est pas définie, et elle y tend vers $-\infty$.

]]> Elle n'a pas de maximum

]]> La dérivée change bien de signe une fois, ce qui produit un maximum
valant $\dfrac{1}{e}$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q27 : Un seuil sur une décroissance À partir de quel entier $n$ a-t-on $0{,}9^n < 0{,}2$ ?

]]> L'inéquation se résout en appliquant le logarithme. Comme
$\ln 0{,}9$ est négatif, la division renverse le sens de
l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de $16$

]]> Bonne réponse : $n > \dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}9} \approx 15{,}3$.

]]> À partir de $15$

]]> Un rang trop tôt : $0{,}9^{15} \approx 0{,}206$ est encore
au-dessus du seuil.

]]> À partir de $8$

]]> Raisonnement linéaire : diviser $0{,}8$ par $0{,}1$ suppose une
baisse constante, alors que la baisse se fait en pourcentage.

]]> Jamais, la suite reste au-dessus

]]> Une raison comprise entre $0$ et $1$ fait tendre la suite vers
$0$ : tout seuil positif finit par être franchi.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q28 : Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires Une fonction continue et strictement croissante sur $[0\,;\,4]$
vérifie $f(0) = -3$ et $f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur
l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires combine continuité et
stricte monotonie pour conclure à l'existence et à l'unicité de la
solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet une solution unique

]]> Bonne réponse : la continuité donne l'existence, la stricte monotonie
l'unicité.

]]> Elle admet au moins deux solutions

]]> Une fonction strictement croissante ne prend jamais deux fois la même
valeur.

]]> Elle n'admet aucune solution

]]> Le changement de signe entre les deux bornes impose un passage par
zéro.

]]> On ne peut rien affirmer sans l'expression de $f$

]]> Les hypothèses suffisent : c'est précisément l'intérêt du théorème.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q29 : Équation avec une somme de logarithmes Quelle est la solution sur $]0\,;\,+\infty[$ de l'équation
$\ln x = \ln 3 + \ln 4$ ?

]]> L'équation fonctionnelle $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ regroupe la
somme ; l'égalité de deux logarithmes équivaut ensuite à l'égalité
des arguments.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 12$

]]> Bonne réponse :
$\ln 3 + \ln 4 = \ln(3 \times 4) = \ln 12$, et $\ln$
est strictement croissante.

]]> $x = 7$

]]> Somme et produit confondus : $\ln a + \ln b = \ln(ab)$, et non
$\ln(a + b)$.

]]> $x = e^{7}$

]]> Logarithmes et nombres confondus : $\ln 3 + \ln 4$ n'est
pas égal à $7$.

]]> $x = \ln 12$

]]> Logarithme en trop : $\ln x = \ln 12$ donne $x = 12$, et non
$x = \ln 12$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q30 : Asymptote verticale du logarithme Quelle asymptote la courbe du logarithme népérien admet-elle ?

]]> La limite $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$ donne une asymptote
verticale d'équation $x = 0$. En $+\infty$, la fonction croît sans limite
mais de plus en plus lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : la fonction tend vers $-\infty$ quand $x$ se rapproche
de $0$ par valeurs positives.

]]> L'axe des abscisses

]]> La fonction croît vers $+\infty$, elle ne se rapproche d'aucune
horizontale.

]]> La droite d'équation $y = x$

]]> L'écart $x - \ln x$ grandit sans limite : la courbe s'éloigne de cette droite
au lieu de s'en rapprocher.

]]> Aucune asymptote

]]> La limite infinie en $0$ par valeurs positives fournit bien une
asymptote verticale.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q31 : Simplifier $\ln(e^k)$ Que vaut $\ln\left(e^{5}\right)$ ?

]]> Les deux simplifications de référence : $\ln(e^x) = x$ pour
tout réel $x$, et $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$. Chacune défait
l'autre fonction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le logarithme rend l'exposant. Comme
$\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$, l'écriture se simplifie
directement en $5$.

]]> $e^{5}$

]]> Simplification non faite : le logarithme a été oublié en
chemin. Il défait l'exponentielle et ne laisse que
l'exposant.

]]> $\ln 5$

]]> Logarithme déplacé : il s'applique à $e^{5}$ tout
entier, pas à l'exposant seul. Le résultat est le nombre
$5$ lui-même.

]]> $1$

]]> Exposant négligé : $\ln e = 1$, mais l'exposant descend en
facteur, donc $\ln\left(e^{5}\right) = 5 \times 1 =
5$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q32 : Comparer des logarithmes Parmi les quatre nombres suivants, lequel est le plus grand ?

]]> La fonction $\ln$ est strictement croissante sur
$]0\ ;\ +\infty[$ : comparer deux logarithmes revient à
comparer leurs arguments. Elle s'annule en $1$, elle est
négative avant et positive après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 5$

]]> Bonne réponse : la fonction $\ln$ est strictement
croissante, donc le plus grand logarithme est celui du
plus grand nombre, ici $5$.

]]> $\ln 2$

]]> Comparaison incomplète : $2$ est bien supérieur à
$1$, mais il reste plus petit que $5$, donc son
logarithme aussi.

]]> $\ln 0{,}3$

]]> Signe oublié : $0{,}3$ est inférieur à $1$, donc son
logarithme est négatif. C'est le plus petit des quatre.

]]> $\ln 1$

]]> Valeur de référence : $\ln 1 = 0$. Tout logarithme d'un
nombre supérieur à $1$ le dépasse.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q33 : Réunir deux logarithmes Comment s'écrit $\ln 4 + \ln 7$ à l'aide d'un seul
logarithme ?

]]> Équation fonctionnelle du logarithme : $\ln a + \ln b =
\ln(ab)$ pour $a$ et $b$ strictement positifs. Elle transforme
les produits en sommes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 28$

]]> Bonne réponse : la somme de deux logarithmes est le
logarithme du produit, et $4 \times 7 = 28$.

]]> $\ln 11$

]]> Opération recopiée à l'intérieur : la somme des
logarithmes correspond au produit des nombres, pas à
leur somme.

]]> $\ln 4 \times \ln 7$

]]> Produit des logarithmes : ce n'est pas un logarithme
unique, et la propriété échange justement un produit
contre une somme.

]]> $4\ln 7$

]]> Propriété des puissances appliquée à tort : cette écriture
vaut $\ln\left(7^{4}\right)$, sans rapport avec la
somme demandée.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q34 : Domaine de $\ln(x - a)$ Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(x - 4)$ est-elle
définie ?

]]> Une fonction $\ln(u(x))$ est définie là où $u(x) > 0$
strictement. Résoudre cette inéquation est le premier réflexe
devant un logarithme composé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]4\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : il faut $x - 4 > 0$, soit $x > 4$.
L'argument du logarithme doit être strictement positif.

]]> $]-\infty\ ;\ 4[$

]]> Sens inversé : $x - 4$ est négatif pour $x < 4$, et le
logarithme n'y est pas défini.

]]> $[4\ ;\ +\infty[$

]]> Borne incluse à tort : en $x = 4$, l'argument vaut $0$
et $\ln 0$ n'existe pas. L'intervalle est ouvert.

]]> Tous les réels sauf $4$

]]> Condition trop faible : il ne suffit pas d'éviter
l'annulation, il faut la stricte positivité de $x - 4$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q35 : Une fonction qui fait des sauts Un parking facture $2$ euros par heure entamée. La fonction
qui donne le prix à payer en fonction de la durée de
stationnement est-elle continue ?

]]> Approche intuitive de la continuité : une fonction est
continue sur un intervalle si sa courbe s'y trace sans lever
le crayon. Les tarifs par palier en sont un contre-exemple
quotidien.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : le prix fait un saut à chaque heure entamée

]]> Bonne réponse : juste avant la deuxième heure le prix vaut
$2$ euros, juste après il vaut $4$ euros. La courbe se
trace par paliers, en levant le crayon.

]]> Oui : le prix augmente régulièrement avec la durée

]]> Augmentation confondue avec continuité : le prix ne
grandit pas progressivement, il reste figé puis bondit de
$2$ euros d'un coup.

]]> Oui : toute fonction croissante est continue

]]> Propriété inventée : croissance et continuité sont
indépendantes. Cette fonction croît par paliers, avec des
sauts.

]]> La question n'a pas de sens pour un prix en euros

]]> La question a bien un sens : la durée est une grandeur
continue, et l'on peut étudier le prix comme une fonction
de cette durée.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q36 : Un coefficient devant l'exponentielle Quelle est la solution de l'équation $3\,e^{x} = 12$ ?

]]> Devant $a\,e^{x} = b$, on isole l'exponentielle en divisant
par $a$, puis on applique le logarithme :
$x = \ln\left(\dfrac{b}{a}\right)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \ln 4$

]]> Bonne réponse : on isole d'abord l'exponentielle, ce qui
donne $e^x = 4$, puis on applique le logarithme :
$x = \ln 4$.

]]> $x = \dfrac{\ln 12}{3}$

]]> Division effectuée trop tard : le coefficient $3$
multiplie l'exponentielle, pas l'exposant. Il faut diviser
avant de passer au logarithme.

]]> $x = \ln 12 - 3$

]]> Soustraction injustifiée : $3$ est un facteur, il se
défait par une division, jamais par une soustraction.

]]> $x = \dfrac{12}{3e}$

]]> Exponentielle traitée comme un facteur $e$ : l'exposant
$x$ ne se libère que par le logarithme.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q37 : Un logarithme égal à un nombre Quelle est la solution de l'équation
$\ln\left(\dfrac{x}{2}\right) = 3$ ?

]]> Pour résoudre $\ln(u) = k$, on applique l'exponentielle :
$u = e^{k}$, puis on isole $x$. La condition $u > 0$ est ici
automatiquement remplie, car $e^{k} > 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2e^{3}$

]]> Bonne réponse : on applique l'exponentielle aux deux
membres, ce qui donne $\dfrac{x}{2} = e^{3}$, puis on
multiplie par $2$.

]]> $x = \dfrac{e^{3}}{2}$

]]> Opération recopiée au lieu d'être défaite : la division
par $2$ portait sur $x$, il faut donc multiplier par $2$
pour l'annuler.

]]> $x = e^{3}$

]]> Dénominateur oublié : l'exponentielle rend
$\dfrac{x}{2}$, et non $x$ directement.

]]> $x = e^{3} + 2$

]]> Division confondue avec une soustraction : c'est une
multiplication par $2$ qui défait le quotient.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q38 : Résoudre $\ln(x - a) > 0$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$\ln(x - 3) > 0$ ?

]]> Comme $\ln 1 = 0$ et que $\ln$ est strictement croissante,
l'inéquation $\ln(u) > 0$ équivaut à $u > 1$. On résout
ensuite cette inéquation en $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]4\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : $\ln$ est strictement positif au-delà de
$1$, donc $x - 3 > 1$, soit $x > 4$.

]]> $]3\ ;\ +\infty[$

]]> Condition d'existence prise pour la solution : $x > 3$
rend seulement le logarithme défini. Il faut de plus
dépasser $1$ à l'intérieur.

]]> $]-\infty\ ;\ 4[$

]]> Sens inversé : $\ln$ est croissant, donc les grandes
valeurs de $x$ donnent les logarithmes positifs.

]]> L'ensemble vide, car $\ln$ ne prend jamais de valeur
strictement positive

]]> Affirmation fausse : $\ln$ est positif dès que son
argument dépasse $1$, par exemple $\ln 2 \approx 0{,}69$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q39 : Asymptote d'une fonction en $+\infty$ Quelle asymptote la courbe de $f(x) = 4 + \dfrac{5}{x}$
admet-elle en $+\infty$ ?

]]> Une limite finie $\ell$ en $+\infty$ se traduit par une
asymptote horizontale d'équation $y = \ell$. Une limite
infinie en un point $a$ donne une asymptote verticale
$x = a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'horizontale $y = 4$

]]> Bonne réponse : le quotient $\dfrac{5}{x}$ tend vers $0$
quand $x$ grandit, donc $f(x)$ tend vers $4$ : la droite
$y = 4$ est asymptote horizontale.

]]> L'horizontale $y = 5$

]]> Numérateur confondu avec la limite : $5$ s'efface avec
le quotient. C'est le terme constant $4$ qui subsiste.

]]> La verticale $x = 4$

]]> Asymptotes confondues : une verticale correspond à une
limite infinie en un point. Ici la limite est finie en
$+\infty$.

]]> Aucune asymptote, car la fonction n'est pas définie en $0$

]]> Argument hors sujet : le comportement en $0$ ne dit rien
de celui en $+\infty$, où la limite finie donne bien une
asymptote.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q40 : Lire deux asymptotes Une fonction $f$ vérifie
$\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ et
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -3$. Quelles asymptotes
sa courbe admet-elle ?

]]> Chaque limite se lit sur la courbe : limite infinie en un
point $a$ donne la verticale $x = a$ ; limite finie $\ell$ à
l'infini donne l'horizontale $y = \ell$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La verticale $x = 2$ et l'horizontale $y = -3$

]]> Bonne réponse : la limite infinie en $2$ donne la
verticale $x = 2$, et la limite finie en $+\infty$ donne
l'horizontale $y = -3$.

]]> La verticale $x = -3$ et l'horizontale $y = 2$

]]> Rôles échangés : l'asymptote verticale se lit à l'endroit
où la fonction explose, l'horizontale à la hauteur vers
laquelle elle se stabilise.

]]> Uniquement la verticale $x = 2$, sans asymptote
horizontale

]]> Seconde limite oubliée : une limite finie en $+\infty$
fournit toujours une asymptote horizontale.

]]> Uniquement l'horizontale $y = -3$, sans asymptote
verticale

]]> Première limite oubliée : une limite infinie en un point
fini fournit toujours une asymptote verticale.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q41 : Dérivée de $a\,x\ln x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x\ln x$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> Un facteur constant se conserve en dérivant. Avec
$(x\ln x)' = \ln x + 1$, on obtient
$(a\,x\ln x)' = a\ln x + a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 3\ln x + 3$

]]> Bonne réponse : le facteur $3$ se conserve et la règle
du produit donne $(x\ln x)' = \ln x + 1$, d'où
$3\ln x + 3$.

]]> $f'(x) = 3\ln x$

]]> Second terme perdu : le produit $x \times \dfrac{1}{x}$
vaut $1$ et s'ajoute, ce qui donne le terme constant
$3$.

]]> $f'(x) = 3 + \dfrac{3}{x}$

]]> Facteurs dérivés séparément : la règle du produit
multiplie chaque facteur par la dérivée de l'autre, elle
ne dérive pas les deux à la fois.

]]> $f'(x) = \ln x + 1$

]]> Coefficient oublié : $3$ est un facteur constant, il se
retrouve dans toute la dérivée.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q42 : Dérivée de $(ax + b)^2$ Quelle est la dérivée de $f(x) = (3x + 4)^2$ ?

]]> Pour une fonction de la forme $u^2$, la dérivée est
$2u\,u'$. On repère $u$, on calcule $u'$, puis on applique la
formule sans développer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 6(3x + 4)$

]]> Bonne réponse : avec $u = 3x + 4$ et $u' = 3$, la
formule $(u^2)' = 2u\,u'$ donne
$2 \times 3 \times (3x + 4) = 6(3x + 4)$.

]]> $f'(x) = 2(3x + 4)$

]]> Facteur $u'$ oublié : on a dérivé $u^2$ comme si $u$ était
$x$ lui-même. Il manque la multiplication par $3$.

]]> $f'(x) = (3x + 4)^2 \times 3$

]]> Carré conservé : la dérivée abaisse l'exposant d'une
unité. La formule est $2u\,u'$, et non $u^2u'$.

]]> $f'(x) = 9$

]]> Dérivée élevée au carré : $(u^2)'$ ne vaut pas $(u')^2$.
Le résultat dépend encore de $x$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q43 : Valeur approchée d'un logarithme On donne $\ln 3 \approx 1{,}10$. Quelle valeur approchée
obtient-on pour $\ln 81$ ?

]]> La propriété $\ln(a^n) = n\ln a$ permet de calculer le
logarithme d'une puissance à partir d'une seule valeur de
référence. Il faut d'abord reconnaître la puissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $4{,}4$

]]> Bonne réponse : $81 = 3^{4}$, donc
$\ln 81 = 4\ln 3 \approx 4 \times 1{,}10 = 4{,}4$.

]]> Environ $1{,}46$

]]> Exposant appliqué au logarithme : $\ln(3^{4})$ vaut
$4\ln 3$, et non $(\ln 3)^{4}$.

]]> Environ $5{,}1$

]]> Exposant ajouté : la propriété fait descendre l'exposant
en facteur, elle ne l'additionne pas.

]]> Environ $3{,}64$

]]> Division au lieu d'une multiplication : l'exposant $4$
multiplie $\ln 3$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q44 : Minimum de $x - \ln x$ Sur $]0\ ;\ +\infty[$, la fonction $f(x) = x - \ln x$ admet un
minimum. Où est-il atteint et combien vaut-il ?

]]> Méthode d'étude : on dérive, on cherche où la dérivée
s'annule, on dresse le tableau de signes, puis on calcule la
valeur de la fonction au point trouvé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 1$, et il vaut $1$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$ s'annule en
$x = 1$, en passant du négatif au positif. Le minimum vaut
$f(1) = 1 - \ln 1 = 1$.

]]> En $x = 1$, et il vaut $0$

]]> Fonction confondue avec son logarithme : c'est $\ln 1$ qui
vaut $0$. La fonction, elle, vaut $1 - 0 = 1$.

]]> En $x = e$, et il vaut $e - 1$

]]> Mauvaise équation : on a annulé $\ln x - 1$ au lieu de
$1 - \dfrac{1}{x}$. La dérivée s'annule en $1$, pas en
$e$.

]]> En $x = 0$, où la fonction s'annule

]]> Point hors du domaine : la fonction n'est pas définie en
$0$, et elle y tend vers $+\infty$ puisque $\ln x$ plonge
vers $-\infty$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q45 : Asymptote verticale d'un logarithme composé La courbe de $f(x) = \ln(2x - 6)$ admet une asymptote
verticale. Quelle est son équation ?

]]> Pour $\ln(u(x))$, l'asymptote verticale se situe là où
l'argument s'annule, au bord du domaine. On résout donc
$u(x) = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : l'argument s'annule pour $x = 3$, et
$\ln(u)$ tend vers $-\infty$ quand $u$ tend vers $0$ par
valeurs positives.

]]> $x = 6$

]]> Terme constant lu directement : il faut résoudre
$2x - 6 = 0$, ce qui donne $x = 3$ et non $6$.

]]> $x = 0$

]]> Asymptote de la fonction de référence : la composition par
$2x - 6$ la déplace en $x = 3$.

]]> $y = 3$

]]> Nature confondue : une asymptote verticale a une équation
de la forme $x = c$, pas $y = c$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q46 : Logarithme d'un quotient Comment s'écrit $\ln\left(\dfrac{15}{4}\right)$ à l'aide de
$\ln 15$ et de $\ln 4$ ?

]]> Conséquence de l'équation fonctionnelle :
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ pour $a$ et $b$
strictement positifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln 15 - \ln 4$

]]> Bonne réponse : le logarithme transforme un quotient en
différence, exactement comme il transforme un produit en
somme.

]]> $\ln 15 + \ln 4$

]]> Opération inversée : la somme correspond au produit
$15 \times 4$. Un quotient donne une différence.

]]> $\dfrac{\ln 15}{\ln 4}$

]]> Quotient recopié à l'extérieur : le quotient des
logarithmes n'est pas le logarithme du quotient.

]]> $\ln 11$

]]> Soustraction placée à l'intérieur : c'est $\ln 15 -
\ln 4$ qu'il faut écrire, et $\ln(a - b)$ ne se
décompose pas.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q47 : Le théorème des valeurs intermédiaires seul Soit $f$ une fonction continue sur $[1\ ;\ 4]$, avec
$f(1) = -2$ et $f(4) = 6$. Que garantit le théorème
des valeurs intermédiaires pour l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Théorème des valeurs intermédiaires : si $f$ est continue sur
$[a\ ;\ b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur
$[a\ ;\ b]$. La stricte monotonie ajoute l'unicité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet au moins une solution dans $[1\ ;\ 4]$

]]> Bonne réponse : $0$ est compris entre $-2$ et $6$, et
la fonction est continue : elle prend donc cette valeur au
moins une fois entre $1$ et $4$.

]]> Elle admet exactement une solution dans $[1\ ;\ 4]$

]]> Unicité non justifiée : elle exige en plus la stricte
monotonie. Sans elle, la courbe peut traverser $0$
plusieurs fois.

]]> Elle n'admet aucune solution, car $0$ n'est pas une valeur
prise aux bornes

]]> Erreur : le théorème porte justement sur les valeurs
intermédiaires, celles comprises entre $-2$ et
$6$.

]]> Elle admet une solution, mais en dehors de
$[1\ ;\ 4]$

]]> Intervalle déplacé : le théorème localise la solution
entre les deux bornes, là où le changement de signe a
lieu.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q48 : Une étape de dichotomie sur le logarithme On cherche la solution de $\ln x = 1{,}5$ dans $[4\,;\,5]$, sachant que
$\ln 4 \approx 1{,}386$ et $\ln 5 \approx 1{,}609$. On calcule
$\ln 4{,}5 \approx 1{,}504$. Quel nouvel encadrement obtient-on ?

]]> La solution exacte est $e^{1{,}5} \approx 4{,}48$. Chaque étape de
dichotomie divise par deux la longueur de l'encadrement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4 < x < 4{,}5$

]]> Bonne réponse : $\ln 4 < 1{,}5 < \ln 4{,}5$ et $\ln$ est
strictement croissante, donc la solution est entre $4$ et
$4{,}5$.

]]> $4{,}5 < x < 5$

]]> Erreur : $\ln 4{,}5 \approx 1{,}504$ dépasse déjà $1{,}5$ ; la
solution se trouve avant $4{,}5$.

]]> $x = 4{,}5$

]]> Erreur : $\ln 4{,}5$ est proche de $1{,}5$ sans lui être égal ;
$4{,}5$ n'est qu'une valeur approchée de la solution.

]]> $1{,}386 < x < 1{,}504$

]]> Erreur : ces nombres sont des images par $\ln$. L'encadrement
porte sur $x$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q49 : Reconnaître une fonction continue sur R Laquelle de ces fonctions est continue sur $\mathbb{R}$ tout
entier ?

]]> Polynômes, exponentielle, logarithme sur $]0 ; +\infty[$ : les
fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition ;
les sauts sont le signe d'une discontinuité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x \mapsto x^3 - 2x$, définie partout

]]> Bonne réponse : les fonctions polynômes sont continues sur
$\mathbb{R}$.

]]> $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, définie partout sauf en zéro

]]> Erreur : non définie en $0$, elle ne peut pas être continue sur
$\mathbb{R}$ entier.

]]> La fonction partie entière, constante par morceaux

]]> Erreur : elle fait un saut à chaque entier.

]]> La fonction valant $0$ si $x < 1$ et $1$ si $x \geq 1$

]]> Erreur : elle saute de $0$ à $1$ en $x = 1$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q50 : Nombre de solutions avec une fonction strictement croissante Une fonction $f$ est continue et strictement croissante sur
$[1 ; 3]$, avec $f(1) = -2$ et $f(3) = 4$. Combien de solutions
l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle sur $[1 ; 3]$ ?

]]> Théorème des valeurs intermédiaires et stricte monotonie :
existence par le premier, unicité par la seconde.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : $0$ est compris entre $f(1)$ et $f(3)$ et la
fonction est continue, donc il existe une solution ; la stricte
monotonie garantit qu'il n'y en a qu'une.

]]> Au moins une, peut-être plusieurs

]]> Erreur : sans la stricte monotonie, ce serait la seule
conclusion ; avec elle, la solution est unique.

]]> Aucune, $f$ pouvant éviter $0$

]]> Erreur : une fonction continue qui passe de $-2$ à $4$ prend
toutes les valeurs intermédiaires, dont $0$.

]]> Deux, une près de chaque borne

]]> Erreur : une fonction strictement croissante ne peut prendre
une même valeur qu'une fois.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q51 : Une valeur intermédiaire atteinte Une fonction $f$ est continue sur $[0 ; 5]$, avec $f(0) = 1$ et
$f(5) = 9$. L'équation $f(x) = 4$ admet-elle une solution sur
$[0 ; 5]$ ?

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une
solution pour toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, $4$ étant compris entre $1$ et $9$

]]> Bonne réponse : par le théorème des valeurs intermédiaires, une
fonction continue sur $[0 ; 5]$ prend toute valeur comprise
entre $f(0)$ et $f(5)$, dont $4$.

]]> Non, seules les valeurs $1$ et $9$ sont garanties

]]> Erreur : la continuité garantit toutes les valeurs
intermédiaires, pas seulement celles des bornes.

]]> Oui, et cette solution est unique

]]> Erreur : sans monotonie, rien n'interdit plusieurs solutions ;
seule l'existence est garantie.

]]> On ne peut rien dire sans connaître la dérivée

]]> Erreur : le théorème des valeurs intermédiaires ne demande que
la continuité.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q52 : Ce que le théorème ne garantit pas Une fonction $f$ est continue sur $[a ; b]$ avec $f(a) < 0$ et
$f(b) > 0$, mais on ne sait rien de ses variations. Que peut-on
affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence ;
l'unicité est une conclusion supplémentaire, sous hypothèse de
stricte monotonie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle a au moins une solution, peut-être plusieurs

]]> Bonne réponse : la continuité et le changement de signe donnent
l'existence ; sans monotonie, une courbe peut traverser l'axe
plusieurs fois.

]]> Elle a exactement une solution

]]> Erreur : l'unicité exige la stricte monotonie, qui n'est pas
supposée ici.

]]> Elle a un nombre pair de solutions

]]> Erreur : $f$ change de signe entre $a$ et $b$, le nombre de
traversées de l'axe est impair si elles sont franches, et rien
n'empêche un contact sans traversée.

]]> Elle n'a aucune solution si $f$ n'est pas dérivable

]]> Erreur : la dérivabilité n'intervient pas ; la continuité
suffit.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q53 : Limite d'un quotient de deux polynômes de même degré Quelle est la limite en $+\infty$ de $f(x) = \dfrac{3x^2 + 1}
{x^2 - 2}$ ?

]]> Pour deux polynômes de même degré, la limite en l'infini du
quotient est le quotient des coefficients dominants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : en factorisant par $x^2$ au numérateur et au
dénominateur, $f(x) = \dfrac{3 + \frac{1}{x^2}}
{1 - \frac{2}{x^2}}$, qui tend vers $\dfrac{3}{1} = 3$.

]]> $0$

]]> Erreur : les deux polynômes ont le même degré ; le quotient ne
s'écrase pas vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le dénominateur grandit aussi vite que le numérateur.

]]> $1$

]]> Erreur : le coefficient $3$ du numérateur ne disparaît pas.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q54 : Limite d'une somme avec un logarithme Quelle est la limite en $+\infty$ de $g(x) = \ln(x) + x$ ?

]]> Somme de limites : $+\infty$ plus $+\infty$ donne $+\infty$, sans
forme indéterminée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$, somme de deux limites infinies

]]> Bonne réponse : $\ln(x)$ et $x$ tendent tous deux vers
$+\infty$, et la somme de deux limites infinies positives est
$+\infty$.

]]> $0$, le logarithme ralentissant la croissance

]]> Erreur : le logarithme croît lentement, mais il croît ; il
n'annule rien.

]]> $1$, les deux termes se compensant

]]> Erreur : il n'y a aucune compensation entre deux termes
positifs.

]]> La limite n'existe pas

]]> Erreur : la somme est croissante et non majorée, sa limite est
$+\infty$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q55 : Lever une forme indéterminée par factorisation Quelle est la limite en $+\infty$ de $h(x) = x^2 - x$ ?

]]> Face à $\infty - \infty$, on factorise par le terme dominant : le
signe et la croissance apparaissent alors.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+\infty$, en écrivant $x^2 - x = x(x - 1)$

]]> Bonne réponse : la forme $\infty - \infty$ est indéterminée ; en
factorisant, $x(x - 1)$ est un produit de deux facteurs qui
tendent vers $+\infty$.

]]> $0$, les deux termes se compensant

]]> Erreur : $x^2$ l'emporte largement sur $x$ ; par exemple
$h(100) = 9900$.

]]> $-\infty$, car on soustrait une quantité infinie

]]> Erreur : on soustrait $x$ à $x^2$, bien plus grand ; la
différence est positive et tend vers $+\infty$.

]]> Il n'y a pas de limite

]]> Erreur : la factorisation montre une limite infinie.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q56 : Encadrer une solution par balayage La fonction $f(x) = x^3 + x - 1$ est continue et strictement
croissante sur $\mathbb{R}$. Un balayage au pas $0{,}1$ donne
$f(0{,}6) \approx -0{,}184$ et $f(0{,}7) \approx 0{,}043$. Quel encadrement
de la solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ en déduit-on ?

]]> Le balayage calcule $f$ de pas en pas et repère le changement de
signe. Comme $f$ est continue et strictement croissante, la
solution unique est dans l'intervalle où ce changement se produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}6 < \alpha < 0{,}7$

]]> Bonne réponse : $f$ change de signe entre $0{,}6$ et $0{,}7$ ; par
le théorème des valeurs intermédiaires, la solution est entre
ces deux valeurs.

]]> $0{,}5 < \alpha < 0{,}6$

]]> Mauvais intervalle : $f$ est encore négative en $0{,}6$, donc la
solution se trouve au-delà de $0{,}6$.

]]> $0{,}7 < \alpha < 0{,}8$

]]> Mauvais intervalle : $f(0{,}7)$ est déjà positive, la solution a
été dépassée avant $0{,}7$.

]]> $-0{,}184 < \alpha < 0{,}043$

]]> Images et antécédents confondus : $-0{,}184$ et $0{,}043$ sont des
valeurs de $f$, pas des valeurs de $x$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q57 : Nombre d'étapes d'une dichotomie On applique la dichotomie à partir d'un intervalle de longueur
$1$ : chaque étape divise la longueur par $2$. Combien d'étapes
faut-il au minimum pour obtenir un intervalle de longueur
strictement inférieure à $0{,}01$ ?

]]> La longueur après $k$ étapes est $\dfrac{L}{2^k}$. On cherche le
plus petit $k$ tel que $\dfrac{L}{2^k} < \varepsilon$ : la
précision gagne un facteur $1\,000$ environ toutes les dix étapes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$ étapes

]]> Bonne réponse : après $k$ étapes la longueur vaut
$\dfrac{1}{2^k}$, et $7$ est le premier entier pour lequel
elle passe sous $0{,}01$.

]]> $6$ étapes

]]> Une étape de moins : la longueur vaut alors
$\dfrac{1}{2^{6}}$, qui n'est pas encore inférieure à
$0{,}01$.

]]> $8$ étapes

]]> Une étape de trop : la précision demandée est déjà atteinte à
l'étape $7$.

]]> $100$ étapes

]]> Nombre de pas d'un balayage :
$\dfrac{1}{0{,}01} = 100$ ; la dichotomie, qui divise
par deux, est bien plus rapide.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q58 : Une étape de la méthode de Newton La méthode de Newton remplace une valeur approchée $x_0$ par
$x_1 = x_0 - \dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$. Pour $f(x) = x^2 - 2$ et
$x_0 = 1$, que vaut $x_1$ ?

]]> $x_1$ est l'abscisse où la tangente en $x_0$ coupe l'axe des
abscisses. Répéter l'étape fournit des approximations de plus en
plus précises de $\sqrt{c}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}5$

]]> Bonne réponse : $f(1) = -1$ et $f'(1) = 2$,
donc $x_1 = 1 - \dfrac{-1}{2} = 1{,}5$.

]]> $2$

]]> Division par $f'(x_0)$ oubliée : on a calculé $x_0 - f(x_0)$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur de signe : on a ajouté $\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ au
lieu de le retrancher.

]]> $\sqrt{2}$

]]> Valeur exacte : $\sqrt{2}$ est la solution cherchée ; une
étape de Newton n'en donne qu'une valeur approchée.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q59 : Dérivée de $e^{ax^2}$ Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{2x^2}$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Pour une fonction $u$ dérivable, $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ :
l'exponentielle se recopie, multipliée par la dérivée de
l'exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = 4x\,e^{2x^2}$

]]> Bonne réponse : avec $u(x) = 2x^2$, $(e^u)' = u'e^u$ et
$u'(x) = 4x$.

]]> $f'(x) = 2x\,e^{2x^2}$

]]> Coefficient oublié : la dérivée de $2x^2$ est $4x$, et non
$2x$.

]]> $f'(x) = e^{2x^2}$

]]> Formule de $e^x$ appliquée telle quelle : il manque le facteur
$u'(x) = 4x$.

]]> $f'(x) = 4x$

]]> Exponentielle perdue : on a dérivé seulement l'exposant, sans
le multiplier par $e^{2x^2}$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q60 : Courbes de l'exponentielle et du logarithme Comment la courbe de la fonction $\ln$ se déduit-elle de celle de
la fonction exponentielle dans un repère orthonormé ?

]]> Si $y = e^x$, alors $x = \ln y$ : échanger les rôles de $x$ et $y$
revient à appliquer la symétrie par rapport à la droite $y = x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par la symétrie d'axe la droite $y = x$

]]> Bonne réponse : $\ln$ est la réciproque de $\exp$ ; le point
$(a\,;\,b)$ de l'une correspond au point $(b\,;\,a)$ de
l'autre.

]]> Par la symétrie d'axe l'axe des abscisses

]]> Mauvaise symétrie : elle donnerait la courbe de $-e^x$,
toujours négative, alors que $\ln$ prend des valeurs
positives.

]]> Par la symétrie de centre l'origine du repère

]]> Mauvaise symétrie : elle donnerait la courbe de $-e^{-x}$,
définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.

]]> Par la translation de vecteur $(1\,;\,0)$

]]> Une translation conserve l'allure : elle ne transforme pas
l'asymptote horizontale $y = 0$ en asymptote verticale.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q61 : Un point de la courbe réciproque Une fonction $f$ continue et strictement croissante sur
$\mathbb{R}$ vérifie $f(2) = 5$. Quel point appartient à la
courbe de sa fonction réciproque ?

]]> Les courbes de $f$ et de sa réciproque sont symétriques par
rapport à la droite $y = x$ : le point $(a\,;\,b)$ devient
$(b\,;\,a)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point $(5\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : la réciproque $g$ vérifie $g(5) = 2$, les
coordonnées s'échangent.

]]> Le point $(2\,;\,5)$

]]> Point de la courbe de $f$ elle-même : la réciproque échange
antécédent et image.

]]> Le point $(-2\,;\,-5)$

]]> Symétrie de centre l'origine : elle ne correspond pas à la
réciproque.

]]> Le point $(2\,;\,-5)$

]]> Symétrie par rapport à l'axe des abscisses : elle donnerait la
courbe de $-f$.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q62 : Compter des solutions sur une courbe Courbe d'une fonction continue sur [-2 ; 4] : elle part de -2,75 environ en x = -2, monte jusqu'à un maximum d'environ 1,8 près de x = 0, redescend jusqu'à un minimum d'environ 0,2 près de x = 2, puis remonte jusqu'à environ 4,75 en x = 4. Une droite horizontale en pointillés d'équation y = 1 coupe la courbe en x = -1, x = 1 et x = 3.

La courbe représente une fonction $f$ continue sur $[-2\,;\,4]$.
Combien de solutions l'équation $f(x) = 1$ admet-elle sur cet
intervalle ?

]]> Le nombre de solutions de $f(x) = k$ est le nombre de points
d'intersection de la courbe avec la droite horizontale d'équation
$y = k$. Sur chaque intervalle où $f$ est strictement monotone, il
y en a au plus une.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois solutions

]]> Bonne réponse : la droite d'équation $y = 1$ coupe la courbe
en trois points, d'abscisses $-1$, $1$ et $3$.

]]> Une seule solution

]]> Le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une
solution, mais la lecture graphique en montre davantage.

]]> Deux solutions

]]> Un point d'intersection oublié : la courbe traverse la droite
$y = 1$ en montant, en descendant puis en remontant.

]]> Aucune solution

]]> La courbe passe de valeurs inférieures à $1$ à des valeurs
supérieures : elle coupe forcément la droite.

]]> Fonctions : continuité, limites, logarithme — Q63 : Lire deux asymptotes sur une courbe Courbe en deux branches. À gauche de x = 1, elle descend vers moins l'infini quand x s'approche de 1. À droite de x = 1, elle part de plus l'infini et redescend. Aux deux extrémités du graphique, la courbe se rapproche de la droite horizontale y = 2.

La courbe représente une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
privé de $1$. Quelles asymptotes lit-on sur la figure ?

]]> Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale
d'équation $x = a$ ; une limite finie $\ell$ en l'infini donne une
asymptote horizontale d'équation $y = \ell$. Ici
$f(x) = 2 + \dfrac{1}{x - 1}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La verticale $x = 1$ et l'horizontale $y = 2$

]]> Bonne réponse : la courbe s'envole près de $x = 1$ et se
rapproche de la hauteur $2$ aux deux extrémités.

]]> La verticale $x = 2$ et l'horizontale $y = 1$

]]> Rôles échangés : la valeur interdite $1$ donne la verticale,
la limite à l'infini $2$ donne l'horizontale.

]]> Uniquement la verticale $x = 1$

]]> Asymptote horizontale oubliée : quand $x$ devient grand,
$f(x)$ se rapproche de $2$.

]]> Uniquement l'horizontale $y = 2$

]]> Asymptote verticale oubliée : près de $x = 1$, $f(x)$ devient
aussi grand ou aussi petit que l'on veut.

]]>