$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois à densité Notion de loi à densité : probabilité représentée par une aire,
fonction de répartition $x \mapsto P(X \leq x)$, espérance sous
forme d'intégrale, loi uniforme sur $[0\,;\,1]$ puis sur
$[a\,;\,b]$ (densité, espérance), loi exponentielle (densité,
espérance, absence de mémoire).

]]> Lois à densité — Q01 : Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ? Quelles conditions une fonction $f$ doit-elle remplir pour
être une densité de probabilité sur un intervalle $I$ ?

]]> Densité : $f \geq 0$ et aire totale $= 1$. Les probabilités
se lisent alors comme des aires : $P(c \leq X \leq d) =$
aire sous $f$ entre $c$ et $d$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Être positive et d'aire totale $1$

]]> Bonne réponse : positivité sur $I$ (les probabilités
sont positives) et aire totale $1$ sous la courbe sur
$I$ (l'événement certain).

]]> Être croissante et valoir $1$ à droite

]]> Confusion : ces propriétés décrivent la fonction de
répartition $P(X \leq x)$, pas la densité.

]]> Être comprise entre $0$ et $1$ sur $I$

]]> Erreur : une densité peut dépasser $1$ (par exemple la
densité uniforme sur $[0\,;\,0{,}5]$ vaut $2$) : c'est
l'aire qui est bornée par $1$, pas la hauteur.

]]> Être continue et impaire sur $I$

]]> Erreur : l'imparité forcerait des valeurs négatives ;
aucune symétrie n'est requise.

]]> Lois à densité — Q02 : Lire une probabilité comme une aire Densité de la loi uniforme sur [0 ; 2] : un segment horizontal bleu à la hauteur 0,5 entre x = 0 et x = 2, nul ailleurs. La zone rectangulaire entre x = 0,5 et x = 1,5, sous le segment, est coloriée en bleu clair.

La figure montre la densité de la loi uniforme sur
$[0\,;\,2]$ (hauteur $0{,}5$) ; la zone colorée s'étend de
$0{,}5$ à $1{,}5$. Que vaut
$P(0{,}5 \leq X \leq 1{,}5)$ ?

]]> Pour une densité, une probabilité se lit comme une aire.
Uniforme sur
$[a\,;\,b]$ : densité constante $\frac{1}{b-a}$, et
$P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$ : la proportion
de longueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}5$

]]> Bonne réponse : la probabilité est l'aire du rectangle de
largeur $1$ et de hauteur $0{,}5$ : $1 \times 0{,}5 =
0{,}5$. La moitié de l'intervalle porte la moitié de la
probabilité : cohérent pour une loi uniforme.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est la largeur de la zone, et la largeur
seule ne suffit pas : l'aire multiplie largeur et
hauteur ($0{,}5$).

]]> $0{,}25$

]]> Erreur : $0{,}5 \times 0{,}5$ prend la mauvaise
largeur : la zone va de $0{,}5$ à $1{,}5$, largeur $1$.

]]> $0{,}75$

]]> Erreur : $0{,}75$ correspondrait à une largeur de
$1{,}5$ (par exemple de $0{,}5$ à $2$). Ici :
$1 \times 0{,}5 = 0{,}5$.

]]> Lois à densité — Q03 : Densité de la loi uniforme Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle
$[2\,;\,7]$ ?

]]> Uniforme sur $[a\,;\,b]$ : densité $\frac{1}{b-a}$ sur
l'intervalle, nulle ailleurs ; espérance $\frac{a+b}{2}$
(le milieu).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = \dfrac{1}{5}$ sur $[2\,;\,7]$

]]> Bonne réponse (et $f$ nulle ailleurs) : constante sur
l'intervalle, de hauteur $\dfrac{1}{b-a} = \dfrac{1}{5}$
pour que l'aire totale ($5 \times \frac{1}{5}$) vaille
$1$.

]]> $f(x) = \dfrac{1}{7}$ sur $[2\,;\,7]$

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur $b - a =
5$, pas la borne $7$. (Aire : $5 \times \frac{1}{7}
\neq 1$.)

]]> $f(x) = 5$ sur $[2\,;\,7]$, nulle ailleurs

]]> Erreur : hauteur $5$ sur une largeur $5$ donnerait une
aire de $25$. La densité est l'inverse de la
longueur.

]]> $f(x) = x - 2$ sur $[2\,;\,7]$

]]> Erreur : une densité croissante privilégierait les
grandes valeurs : l'uniformité exige une hauteur
constante.

]]> Lois à densité — Q04 : Attente moyenne entre deux passages Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente $X$
d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme sur
$[0\,;\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?

]]> Pour une loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$,
milieu de l'intervalle. À un arrêt, on attend en moyenne la moitié
de l'intervalle entre deux passages.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ minutes

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{0 + 10}{2} = 5$, la moitié
de l'intervalle entre deux passages.

]]> $10$ minutes

]]> Attente maximale, pour qui arrive juste après un bus : la
moyenne en vaut la moitié.

]]> $0$ minute

]]> L'attente nulle est le meilleur cas, pas la moyenne.

]]> $\dfrac{1}{10}$ de minute

]]> Valeur de la densité : $\dfrac{1}{10}$ est la hauteur du
rectangle, pas l'espérance.

]]> Lois à densité — Q05 : Fonction de répartition Pour une variable à densité $X$, que représente la fonction
de répartition $F(x) = P(X \leq x)$ ?

]]> Fonction de répartition : $F(x) = P(X \leq x)$, aire
cumulée. Utilité pratique : $P(c \leq X \leq d) = F(d) -
F(c)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'aire cumulée sous la densité jusqu'à $x$

]]> Bonne réponse : $F$ accumule la probabilité de gauche à
droite : fonction croissante, de limite $0$ à gauche et
$1$ à droite.

]]> La hauteur de la densité au point $x$

]]> Erreur : la hauteur est $f(x)$ ; la répartition est
l'aire accumulée jusqu'à $x$ (l'intégrale de la
densité).

]]> La probabilité que $X = x$ exactement

]]> Erreur : pour une loi à densité, $P(X = x) = 0$ (une
aire de largeur nulle). $F(x)$ cumule tout ce qui est
inférieur ou égal à $x$.

]]> La moyenne des valeurs inférieures à $x$

]]> Erreur : $F(x)$ est une probabilité (une aire), pas une
moyenne ; l'espérance, elle, est un nombre ($\int x
f(x) dx$), alors que la répartition est une fonction
de $x$.

]]> Lois à densité — Q06 : $P(X = a)$ pour une loi à densité Soit $X$ une variable suivant une loi à densité. Que vaut
$P(X = 3)$ (la probabilité d'une valeur exacte) ?

]]> Différence essentielle discret/continu : en continu,
$P(X = a) = 0$ pour tout $a$ ; seules les plages de
valeurs portent de la probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ : une aire de largeur nulle

]]> Bonne réponse : la probabilité est une aire ; au-dessus
du seul point $3$, la largeur est nulle. Conséquence :
$P(X \leq 3) = P(X < 3)$ pour les lois à densité.

]]> $f(3)$, la valeur de la densité

]]> Erreur : $f(3)$ est une hauteur, pas une
probabilité. Elle ne devient probabilité que multipliée
par une largeur (aire).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : aucune valeur ponctuelle ne porte de masse dans
une loi à densité : $P(X = 3) = 0$.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : pour toute loi à densité, les valeurs
exactes ont probabilité nulle (contrairement aux lois
discrètes).

]]> Lois à densité — Q07 : La loi exponentielle Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre
$\lambda > 0$ ?

]]> Loi exponentielle : densité $\lambda e^{-\lambda t}$ sur
$[0\,;\,+\infty[$, espérance $\frac{1}{\lambda}$, absence de
mémoire. Version continue de la loi géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$

]]> Bonne réponse : une décroissance exponentielle depuis la
hauteur $\lambda$ : le modèle continu des durées de vie
sans vieillissement.

]]> $f(t) = e^{\lambda t}$ pour $t \geq 0$

]]> Erreur : une exponentielle croissante aurait une
aire infinie : impossible pour une densité.

]]> $f(t) = \lambda$ pour $t \geq 0$

]]> Erreur : une constante sur $[0\,;\,+\infty[$ aurait
aussi une aire infinie : c'est l'uniforme qui est
constante, sur un intervalle borné.

]]> $f(t) = e^{-\lambda t}$ pour $t \geq 0$

]]> Erreur : sans le facteur $\lambda$, l'aire totale vaut
$\dfrac{1}{\lambda}$ et non $1$ : la densité est
$\lambda e^{-\lambda t}$.

]]> Lois à densité — Q08 : Espérance d'une loi exponentielle La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}1$ (par millier d'heures). Quelle
est sa durée de vie moyenne ?

]]> $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ pour la loi exponentielle
(parallèle exact avec le $\frac{1}{p}$ de la loi
géométrique). Ici : $10$ milliers d'heures.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{\lambda} = 10$ milliers d'heures

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ : plus le
taux de panne $\lambda$ est faible, plus la vie moyenne
est longue.

]]> $0{,}1$ millier d'heures

]]> Erreur : $0{,}1$ est le paramètre (taux) ;
l'espérance en est l'inverse : $10$.

]]> $\lambda^2 = 0{,}01$

]]> Erreur : aucun carré ici : $E = \frac{1}{\lambda}$
(et l'écart-type vaut aussi $\frac{1}{\lambda}$).

]]> Elle est infinie, car $t$ peut être arbitrairement grand

]]> Erreur : les grandes durées sont possibles mais si
improbables que la moyenne reste finie :
$\frac{1}{\lambda}$.

]]> Lois à densité — Q09 : Absence de mémoire continue La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.
Il fonctionne déjà depuis $5$ ans. Que dire de sa durée de
vie restante ?

]]> Absence de mémoire : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$.
L'atome radioactif ou le composant « sans usure » ignorent
leur âge : c'est ce qui définit la loi exponentielle parmi
les lois à densité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle suit la même loi qu'un composant neuf

]]> Bonne réponse : le composant ne vieillit pas, c'est
l'absence de mémoire, propriété caractéristique de la
loi exponentielle : conditionner par la survie ne change
pas la loi du temps restant.

]]> Elle est plus courte, il a déjà consommé une partie de
sa vie

]]> Intuition d'usure, hors modèle : l'exponentielle
modélise précisément les pannes sans vieillissement
(défaillances accidentelles, désintégration atomique).

]]> Elle est plus longue, il a prouvé sa robustesse

]]> Erreur : ni bonus ni malus : la loi du temps restant est
exactement celle d'origine.

]]> Elle devient certaine et égale à $\dfrac{1}{\lambda}$

]]> Erreur : l'espérance restante vaut
$\frac{1}{\lambda}$, mais la durée reste aléatoire, de
même loi qu'au départ.

]]> Lois à densité — Q10 : L'espérance comme intégrale Pour une variable $X$ de densité $f$ sur $[a\,;\,b]$,
comment s'exprime l'espérance $E(X)$ ?

]]> Analogie discret-continu : $\sum x_i p_i \to \int x f(x)
dx$. Exemple : uniforme sur $[a\,;\,b]$ : $\int_a^b
\frac{x}{b-a} dx = \frac{a+b}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = \displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx$

]]> Bonne réponse : la version continue de
$\sum x_i\,p_i$ : chaque valeur $x$ pondérée par sa
densité, sommée par intégrale.

]]> $E(X) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

]]> Erreur : cette intégrale vaut toujours $1$ (aire
totale). L'espérance pondère par la valeur $x$ :
$\int x f(x) dx$.

]]> $E(X) = f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$

]]> Erreur : la densité au milieu n'est pas une moyenne
(sauf coïncidence). L'espérance intègre toutes les
valeurs pondérées.

]]> $E(X) = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$

]]> Erreur : moyenner deux hauteurs de densité n'a pas de
sens probabiliste : l'espérance est $\int x f(x)\,dx$.

]]> Lois à densité — Q11 : Simuler avec la loi uniforme En Python, random() renvoie un réel de loi uniforme sur
$[0\,;\,1[$. Comment simuler une variable uniforme sur
$[3\,;\,8]$ ?

]]> Rôle central de l'uniforme sur $[0\,;\,1]$ (au programme) :
elle simule les autres lois. Uniforme sur $[a\,;\,b]$ :
$a + (b-a)U$. C'est la brique des simulations continues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 3 + 5 * random()

]]> Bonne réponse : on dilate $[0\,;\,1[$ par la longueur
($\times 5$) puis on translate au bon départ ($+3$) :
uniforme sur $[3\,;\,8[$.

]]> random(3, 8)

]]> Erreur : random() ne prend pas d'arguments. La
transformation affine $a + (b-a) \times$ random() fait
le travail.

]]> 3 * random() + 8

]]> Erreur : cette expression vit dans $[8\,;\,11[$ :
coefficients mal placés. Longueur $5$ en facteur, départ
$3$ en décalage.

]]> randint(3, 8)

]]> Erreur : randint produit des entiers (loi uniforme
discrète). Pour un réel de loi à densité : random()
transformé.

]]> Lois à densité — Q12 : Choisir entre uniforme et exponentielle Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi
exponentielle ?

]]> Guide de modélisation : position au hasard $\to$ uniforme ;
durée d'attente sans mémoire $\to$ exponentielle ; comptes
$\to$ lois discrètes (binomiale, géométrique). Le thème
« temps d'attente » articule ces choix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le temps d'attente entre deux appels à un standard

]]> Bonne réponse : temps d'attente d'événements
indépendants « sans mémoire » (appels, désintégrations,
pannes accidentelles) : le domaine de la loi
exponentielle.

]]> La position d'un point choisi au hasard sur un segment

]]> Erreur : aucun endroit du segment n'est privilégié :
loi uniforme.

]]> Le nombre de succès en $20$ tirages avec remise

]]> Erreur : un compte discret : loi binomiale, pas une
loi à densité.

]]> Le résultat d'un lancer de dé équilibré

]]> Erreur : six valeurs équiprobables : loi uniforme
discrète.

]]> Lois à densité — Q13 : Probabilité uniforme simple $X$ suit la loi uniforme sur $[0\ ;\ 10]$. Que vaut
$P(X \leq 3)$ ?

]]> Loi uniforme sur $[c\ ;\ d]$ : $P(X \in I) =
\frac{\text{longueur de } I}{d - c}$ : la probabilité EST la
proportion géométrique. Le modèle du « point au hasard ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}3$

]]> Bonne réponse : proportion de l'intervalle : longueur
favorable ($3$) sur longueur totale ($10$).

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ est la longueur favorable : une probabilité
la rapporte au total : $\frac{3}{10}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : le dénominateur est la longueur totale
($10$), pas la borne demandée.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5$ correspondrait à $P(X \leq 5)$ (la
moitié) : ici la zone couvre $30\ \%$ de l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q14 : L'aire totale sous une densité Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de
probabilité ?

]]> Une densité : $f \geq 0$ et $\int f = 1$ : les deux
conditions. Vérifier l'aire totale est le premier test face
à toute densité proposée (et la clé pour trouver une
constante inconnue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ : la certitude entière

]]> Bonne réponse : la variable prend forcément UNE valeur :
la probabilité totale, lue comme aire complète, vaut
$1$.

]]> $0$

]]> Erreur : ce sont les probabilités ponctuelles ($P(X
= a)$) qui sont nulles : l'aire totale, elle, vaut $1$.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Erreur : c'est la condition DÉFINISSANT une densité :
positive ET d'aire totale $1$, quelle que soit sa forme.

]]> L'espérance de la variable

]]> Confusion : l'espérance est l'intégrale de
$t\,f(t)$ (la valeur moyenne) : l'aire de $f$ seule vaut
toujours $1$.

]]> Lois à densité — Q15 : Probabilité d'un sous-intervalle $X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;\,8]$. Que vaut
$P(3 \leq X \leq 5)$ ?

]]> Pour une loi uniforme sur $[a\,;\,b]$,
$P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d - c}{b - a}$. Piège fréquent :
oublier que l'intervalle ne démarre pas en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{3}$

]]> Bonne réponse : longueur favorable $5 - 3 = 2$, longueur
totale $8 - 2 = 6$, d'où $\dfrac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{5}{8}$

]]> Bornes brutes : une probabilité uniforme est un rapport de
longueurs, $2$ sur $6$.

]]> $\dfrac{1}{4}$

]]> Dénominateur faux : la longueur totale vaut $8 - 2 = 6$,
l'intervalle ne commençant pas en $0$.

]]> $\dfrac{3}{5}$

]]> Aucun rapport de bornes ne donne la probabilité : on divise
une longueur par une longueur.

]]> Lois à densité — Q16 : Fonction de répartition exponentielle $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Que
vaut $P(X \leq t)$ pour $t \geq 0$ ?

]]> Loi exponentielle : trois visages à distinguer : densité
$\lambda e^{-\lambda t}$, répartition $P(X \leq t) = 1 -
e^{-\lambda t}$, survie $P(X > t) = e^{-\lambda t}$. Tout
calcul en découle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - e^{-\lambda t}$

]]> Bonne réponse : l'aire sous la densité entre $0$ et $t$ :
part de $0$, grimpe vers $1$ : la fonction de
répartition de la loi exponentielle.

]]> $e^{-\lambda t}$

]]> Complémentaire : $e^{-\lambda t}$ est $P(X > t)$ (la
survie) : la répartition en est le complément à $1$.

]]> $\lambda e^{-\lambda t}$

]]> Confusion : $\lambda e^{-\lambda t}$ est la densité
(la hauteur de la courbe) : la probabilité cumulée est
son intégrale.

]]> $\lambda t$

]]> Erreur : $\lambda t$ dépasse $1$ pour $t$ grand :
impossible pour une probabilité : la bonne formule
sature vers $1$.

]]> Lois à densité — Q17 : Durée de vie moyenne La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 0{,}5$ par année. Quelle est sa durée de vie
moyenne ?

]]> Pour une loi exponentielle, taux et durée moyenne sont inverses :
un composant de taux $0{,}5$ par an dure en moyenne $2$ ans.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$ ans

]]> Bonne réponse :
$E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$ ; le
paramètre est un taux de panne par an.

]]> $0{,}5$ an

]]> Taux de défaillance recopié : l'espérance en est l'inverse.

]]> $0{,}25$ an

]]> Aucun carré n'intervient : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.

]]> $1{,}65$ an

]]> $e^{0{,}5} \approx 1{,}65$ : l'exponentielle apparaît dans la
densité, pas dans l'espérance.

]]> Lois à densité — Q18 : Probabilité de survie La durée de vie d'un composant, en années, suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Quelle est la
probabilité qu'il fonctionne encore après $4$ ans ?

]]> $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ : on multiplie $\lambda$ par $t$, puis
on prend l'exponentielle de l'opposé. Pour
$t = \dfrac{1}{\lambda}$, la survie vaut $e^{-1} \approx 0{,}37$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-2} \approx 0{,}135$

]]> Bonne réponse :
$P(X > 4) = e^{-\lambda t} = e^{-0{,}5 \times 4} = e^{-2}$.

]]> $1 - e^{-2} \approx 0{,}865$

]]> Événement contraire : $1 - e^{-2}$ est $P(X \leq 4)$, la
probabilité d'être déjà en panne.

]]> $e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$

]]> Durée oubliée : l'exposant vaut $-\lambda t = -2$, pas
$-\lambda$ seul.

]]> $2$

]]> Produit $\lambda t$ pris pour la probabilité : il n'en est que
l'exposant, au signe près.

]]> Lois à densité — Q19 : Probabilité sur une loi uniforme Une variable suit la loi uniforme sur $[0\,;\,10]$. Que vaut
$P(3 \leq X \leq 7)$ ?

]]> Pour une loi uniforme sur $[a\,;\,b]$, la probabilité d'un
sous-intervalle est le rapport des longueurs : c'est l'aire d'un
rectangle de hauteur $\dfrac{1}{b - a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}4$

]]> Bonne réponse : la longueur de l'intervalle rapportée à celle
du support donne $\dfrac{4}{10} = 0{,}4$.

]]> $0{,}7$

]]> Borne supérieure seule : $\dfrac{7}{10}$ est
$P(X \leq 7)$, il faut retirer la partie située avant $3$.

]]> $4$

]]> Longueur de l'intervalle : il reste à la diviser par celle du
support, et une probabilité ne dépasse jamais $1$.

]]> $0{,}1$

]]> Valeur de la densité : $\dfrac{1}{10}$, à multiplier par la
longueur de l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q20 : Une probabilité exponentielle Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$, que vaut
$P(X > 2)$ ?

]]> Pour une loi exponentielle, $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ et
$P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$ : la première décrit une
survie, la seconde la fonction de répartition.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-1}$

]]> Bonne réponse : $P(X > t) = e^{-\lambda t}$, avec
$\lambda t = 0{,}5 \times 2 = 1$.

]]> $e^{-2}$

]]> Paramètre oublié : l'exposant vaut $-\lambda t$, soit $-1$.

]]> $1 - e^{-1}$

]]> Événement contraire : cette expression donne $P(X \leq 2)$.

]]> $0{,}5$

]]> Paramètre recopié : il intervient dans l'exposant, il n'est
pas la probabilité cherchée.

]]> Lois à densité — Q21 : Ce que représente une aire partielle Sous la courbe d'une densité, que représente l'aire comprise entre les
abscisses $a$ et $b$ ?

]]> Pour une variable à densité, chaque probabilité est l'aire d'un domaine
sous la courbe. L'aire totale valant $1$, toutes les probabilités sont
comprises entre $0$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité que $X$ appartienne à $[a\,;\,b]$

]]> Bonne réponse : toute probabilité se lit comme une aire sous la courbe
de la densité.

]]> La valeur moyenne de $X$ sur $[a\,;\,b]$

]]> Une moyenne s'obtient par une autre intégrale, celle de $tf(t)$.

]]> La longueur de l'intervalle $[a\,;\,b]$

]]> Cette longueur est la base du domaine, pas son aire.

]]> La valeur de la densité entre $a$ et $b$

]]> La densité est la hauteur de la courbe, l'aire s'obtient en
l'intégrant.

]]> Lois à densité — Q22 : Probabilité d'une valeur précise Pour une variable à densité, que vaut $P(X = 3)$ ?

]]> Pour une variable à densité, la probabilité d'une valeur isolée est nulle.
C'est pourquoi les inégalités strictes et larges donnent les mêmes
probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : l'aire sous la courbe au-dessus d'un point unique est
nulle.

]]> La valeur de la densité en $3$

]]> La densité n'est pas une probabilité : elle peut d'ailleurs dépasser
$1$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Aucun rapport : la valeur prise n'intervient pas ainsi.

]]> Cela dépend de la loi

]]> Le résultat vaut $0$ pour toute variable à densité, quelle que soit sa
loi.

]]> Lois à densité — Q23 : L'absence de mémoire continue Un composant de durée de vie exponentielle a déjà fonctionné $3$ ans.
Quelle est la probabilité qu'il dure encore $2$ ans ?

]]> L'absence de mémoire s'écrit $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$. Elle
rend la loi exponentielle adaptée aux pannes accidentelles, non à l'usure
progressive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La même que pour un composant neuf

]]> Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, l'usure passée
ne compte pas.

]]> Plus faible qu'à l'état neuf

]]> Le modèle exponentiel ne décrit justement aucune usure : c'est sa
limite principale.

]]> Plus forte qu'à l'état neuf

]]> Aucune amélioration non plus : la probabilité reste strictement
identique.

]]> Nulle, le composant est trop ancien

]]> La loi exponentielle accorde une probabilité non nulle à toute durée,
si longue soit-elle.

]]> Lois à densité — Q24 : Retrouver le paramètre à partir de la durée moyenne La durée de vie d'un appareil suit une loi exponentielle, et sa
durée de vie moyenne est de $8$ ans. Que vaut le paramètre
$\lambda$, par an ?

]]> Taux et durée moyenne sont inverses : $\lambda = \dfrac{1}{E(X)}$.
Un appareil qui dure en moyenne $8$ ans a un taux de panne de
$0{,}125$ par an.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}125$

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$, donc
$\lambda = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$.

]]> $8$

]]> Durée moyenne recopiée : le paramètre en est l'inverse.

]]> $0{,}8$

]]> Inverse mal calculé : $\dfrac{1}{8}$ vaut $0{,}125$.

]]> $\dfrac{\ln 2}{8}$

]]> Formule de la demi-vie détournée : la durée médiane vaut
$\dfrac{\ln 2}{\lambda}$, l'espérance $\dfrac{1}{\lambda}$.

]]> Lois à densité — Q25 : Lire une fonction de répartition Que vaut $F(t) = P(X \leq t)$ lorsque $t$ devient très grand, pour
une variable à densité ?

]]> Une fonction de répartition est croissante, de limite $0$ en $-\infty$ et
$1$ en $+\infty$. Sa dérivée, là où elle existe, est la densité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers $1$

]]> Bonne réponse : l'aire cumulée finit par couvrir toute la densité.

]]> Elle tend vers $0$

]]> C'est le comportement de $F$ quand $t$ devient très petit.

]]> Elle tend vers l'espérance

]]> Une probabilité ne peut pas valoir une espérance, qui s'exprime dans
l'unité de la variable.

]]> Elle oscille sans limite

]]> Une fonction de répartition est croissante, elle ne peut pas osciller.

]]> Lois à densité — Q26 : Densité d'une loi uniforme Quelle est la densité de la loi uniforme sur $[2\,;\,8]$ ?

]]> La densité de la loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ vaut $\dfrac{1}{b-a}$ sur cet
intervalle et $0$ ailleurs. Le rectangle correspondant a une aire de $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La constante $\dfrac{1}{6}$ sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : l'aire du rectangle doit valoir $1$, donc la hauteur
est l'inverse de la longueur.

]]> La constante $\dfrac{1}{8}$ sur cet intervalle

]]> Borne supérieure prise pour la longueur : celle-ci vaut $8 - 2 = 6$.

]]> La constante $6$ sur cet intervalle

]]> Longueur recopiée : l'aire du rectangle vaudrait alors $36$.

]]> La fonction identité sur cet intervalle

]]> Une densité uniforme est constante, c'est ce qui traduit
l'équiprobabilité.

]]> Lois à densité — Q27 : Une demi-vie Pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, quelle est la
durée $t$ telle que $P(X > t) = 0{,}5$ ?

]]> La demi-vie vérifie $e^{-\lambda t} = \dfrac{1}{2}$, d'où
$t = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$. Elle vaut environ $69$ % de l'espérance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

]]> Bonne réponse : on résout $e^{-\lambda t} = 0{,}5$ en appliquant le
logarithme.

]]> $\dfrac{1}{2\lambda}$

]]> Moitié de l'espérance : la demi-vie n'est pas proportionnelle de cette
façon, $\ln 2$ valant environ $0{,}69$.

]]> $\dfrac{0{,}5}{\lambda}$

]]> Même erreur : la résolution passe par un logarithme, pas par une simple
division.

]]> $2\lambda$

]]> Le paramètre est un taux : le multiplier ne donne pas une durée.

]]> Lois à densité — Q28 : Densité et probabilité Une densité peut-elle prendre des valeurs supérieures à $1$ ?

]]> Une densité est positive et d'intégrale $1$. Sur un support court, elle
doit donc prendre de grandes valeurs, éventuellement bien supérieures à
$1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, seule son intégrale vaut $1$

]]> Bonne réponse : la densité uniforme sur $[0\,;\,0{,}5]$ vaut $2$
partout sur ce support.

]]> Non, comme toute probabilité

]]> Une densité n'est pas une probabilité : ce sont les aires sous sa
courbe qui en sont.

]]> Non, sauf pour la loi exponentielle

]]> Aucune exception à établir : la contrainte porte uniquement sur l'aire
totale.

]]> Oui, si la variable est négative

]]> Le signe de la variable n'intervient pas : seule la longueur du support
compte.

]]> Lois à densité — Q29 : Attente à un arrêt de bus régulier Un bus passe exactement toutes les $15$ minutes, et un voyageur
arrive à l'arrêt à un instant pris au hasard. Quelle loi modélise
son temps d'attente ?

]]> Passages réguliers et arrivée au hasard donnent une attente
uniforme ; des arrivées sans mémoire, comme des appels à un
standard, donnent une attente exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi uniforme sur $[0\,;\,15]$

]]> Bonne réponse : tous les instants entre deux passages sont
également probables, et l'attente ne dépasse pas $15$ minutes.

]]> La loi exponentielle de paramètre $\dfrac{1}{15}$

]]> Une loi exponentielle autoriserait des attentes de plus de
$15$ minutes, impossibles avec des passages réguliers.

]]> La loi géométrique de paramètre $\dfrac{1}{15}$

]]> Une loi géométrique compte des épreuves, alors que l'attente
est une durée continue.

]]> La loi binomiale de paramètres $15$ et $0{,}5$

]]> Aucune répétition d'épreuves de Bernoulli n'intervient dans
cette situation.

]]> Lois à densité — Q30 : Espérance d'une loi uniforme continue Quelle est l'espérance d'une variable de loi uniforme sur
$[4\,;\,10]$ ?

]]> L'espérance d'une loi uniforme sur $[a\,;\,b]$ vaut $\dfrac{a+b}{2}$, par
symétrie de la densité autour du milieu de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : c'est le milieu de l'intervalle,
$\dfrac{4 + 10}{2}$.

]]> $6$

]]> Longueur de l'intervalle : elle sert au calcul de la densité, pas à
celui de l'espérance.

]]> $10$

]]> Borne supérieure recopiée : l'espérance est une moyenne, elle tombe
entre les deux bornes.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Valeur de la densité : elle est constante sur le support, sans lien
direct avec l'espérance.

]]> Lois à densité — Q31 : Attente à un arrêt de tramway Un tramway passe toutes les $12$ minutes. Un voyageur arrive au
hasard à l'arrêt et son temps d'attente suit la loi uniforme sur
$[0\,;\,12]$. Quelle est la probabilité qu'il attende plus de
$9$ minutes ?

]]> Sur une loi uniforme, toute probabilité est un rapport de
longueurs : $P(X \geq c) = \dfrac{b - c}{b - a}$. Le temps
d'attente à un arrêt est l'exemple type de ce modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}25$

]]> Bonne réponse : attendre plus de $9$ minutes couvre une
longueur de $3$ minutes sur les $12$ possibles,
soit une probabilité de $0{,}25$.

]]> $0{,}75$

]]> Erreur : $\dfrac{9}{12}$ est la probabilité d'attendre
MOINS de $9$ minutes. Ici on regarde la fin de
l'intervalle.

]]> $3$

]]> Longueur favorable : $3$ est une durée, pas une
probabilité. Il reste à la rapporter à la longueur totale
$12$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : une chance sur deux correspondrait à un seuil placé
au milieu de l'intervalle, c'est-à-dire à $12$ divisé par
$2$.

]]> Lois à densité — Q32 : Retrouver une hauteur manquante La densité de $X$ est constante et vaut $0{,}3$ sur
$[0\,;\,2]$, constante et égale à $h$ sur
$[2\,;\,4]$, et nulle ailleurs. Que vaut $h$ ?

]]> Une densité est positive et d'aire totale $1$. Dès qu'une hauteur
est inconnue, on écrit que la somme des aires vaut $1$ et on
résout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}2$

]]> Bonne réponse : le premier rectangle apporte une aire de
$2 \times 0{,}3 = 0{,}6$. Il reste $0{,}4$ à répartir
sur une largeur de $2$, d'où
$h = \dfrac{0{,}4}{2} = 0{,}2$.

]]> $0{,}3$

]]> Erreur : rien n'impose la même hauteur sur les deux morceaux.
La seconde est celle qui complète l'aire totale à $1$.

]]> $0{,}4$

]]> Aire prise pour une hauteur : $0{,}4$ est l'aire qui
manque, il reste à la diviser par la largeur $2$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{2}$ serait la hauteur si le second
morceau portait toute la probabilité, or il n'en porte que
$0{,}4$.

]]> Lois à densité — Q33 : Comparer deux taux de panne Les durées de vie de deux composants suivent des lois
exponentielles de paramètres $\lambda_A = 0{,}4$ et
$\lambda_B = 0{,}1$, exprimés par année. De combien d'années la
durée de vie moyenne de $B$ dépasse-t-elle celle de $A$ ?

]]> Un paramètre $\lambda$ est un taux : plus il est grand, plus la
durée de vie moyenne $\dfrac{1}{\lambda}$ est courte. Comparer
deux modèles suppose de revenir aux durées avant de soustraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7{,}5$

]]> Bonne réponse : $A$ dure en moyenne $2{,}5$ ans et $B$
$10$ ans, puisque l'espérance vaut
$\dfrac{1}{\lambda}$. L'écart est donc $7{,}5$.

]]> $0{,}3$

]]> Erreur : $0{,}3$ est l'écart des TAUX. Les durées
moyennes s'obtiennent d'abord en inversant chaque paramètre.

]]> $12{,}5$

]]> Erreur : $12{,}5$ additionne les deux durées moyennes
au lieu de les soustraire.

]]> $4$

]]> Erreur : $4$ compare les taux par un quotient,
ce qui donne un rapport et non un écart en années.

]]> Lois à densité — Q34 : Après plusieurs demi-vies La demi-vie d'un isotope radioactif vaut $20$ ans : au bout de
$20$ ans, la moitié des noyaux se sont désintégrés. Quelle
proportion de noyaux subsiste après $60$ ans ?

]]> Chaque demi-vie divise par deux la proportion restante : après
$n$ demi-vies il subsiste $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$. C'est
la traduction concrète de l'absence de mémoire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{8}$

]]> Bonne réponse : $60$ ans contiennent $3$ demi-vies et
chacune divise par deux la proportion restante, d'où
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = \dfrac{1}{8}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : la moitié subsiste après une seule demi-vie. Ici
l'opération se répète $3$ fois.

]]> $\dfrac{7}{8}$

]]> Proportion disparue : $\dfrac{7}{8}$ des noyaux se sont
désintégrés, la question porte sur ceux qui restent.

]]> $\dfrac{1}{16}$

]]> Une demi-vie de trop : $60$ ans en contiennent $3$, pas
$4$.

]]> Lois à densité — Q35 : Probabilité entre deux dates La durée de vie $X$ d'un composant, en années, suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$. Que vaut
$P(2 \leq X \leq 6)$ ?

]]> Avec la loi exponentielle, tout se calcule à partir de
$P(X > t) = e^{-\lambda t}$ et de $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$.
Pour un intervalle : $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-1} - e^{-3}$

]]> Bonne réponse : $P(2 \leq X \leq 6) = F(6) - F(2)$,
soit
$\left(1 - e^{-3}\right) - \left(1 - e^{-1}\right)$,
qui se simplifie en $e^{-1} - e^{-3}$.

]]> $e^{-3} - e^{-1}$

]]> Soustraction inversée : cette différence est négative, ce
qu'une probabilité ne peut pas être.

]]> $e^{-2}$

]]> Erreur : les exposants ne se soustraient pas. On soustrait
les valeurs de la fonction de répartition, pas les durées.

]]> $1 - e^{-4}$

]]> Erreur : additionner les deux bornes n'a pas de sens ici, la
probabilité d'un intervalle est une différence.

]]> Lois à densité — Q36 : Deux valeurs de la fonction de répartition Pour une variable à densité $X$, la fonction de répartition
vérifie $F(2) = 0{,}3$ et $F(5) = 0{,}8$. Que vaut
$P(2 \leq X \leq 5)$ ?

]]> La fonction de répartition accumule les probabilités de gauche à
droite. Un intervalle s'obtient donc par différence :
$P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}5$

]]> Bonne réponse : $P(2 \leq X \leq 5) = F(5) - F(2)$,
soit $0{,}8 - 0{,}3 = 0{,}5$.

]]> $1{,}1$

]]> Erreur : les deux valeurs se soustraient, elles ne
s'additionnent pas. Le résultat dépasse d'ailleurs $1$.

]]> $0{,}8$

]]> Erreur : $0{,}8$ est $P(X \leq 5)$, qui compte aussi tout
ce qui se trouve avant $2$.

]]> $0{,}2$

]]> Erreur : $0{,}2$ est $P(X > 5)$, la part située à
droite de $5$.

]]> Lois à densité — Q37 : De la répartition à la survie Soit $X$ une variable à densité, de fonction de répartition $F$.
Comment s'exprime $P(X > t)$ ?

]]> Une fonction de répartition donne $P(X \leq t)$. Le passage à
l'événement contraire, $P(X > t) = 1 - F(t)$, est le calcul le
plus fréquent avec la loi exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - F(t)$

]]> Bonne réponse : les événements $X \leq t$ et $X > t$ sont
contraires, leurs probabilités se complètent donc à $1$.

]]> $F(t) - 1$

]]> Erreur de signe : cette quantité est négative, ce qu'une
probabilité ne peut pas être.

]]> $F(-t)$

]]> Erreur : changer $t$ en $-t$ déplace le seuil au lieu de
passer à l'événement contraire.

]]> $F(t)$

]]> Erreur : $F(t)$ est la probabilité de rester sous le seuil,
alors qu'on cherche celle de le dépasser.

]]> Lois à densité — Q38 : Espérance par une intégrale La densité de $X$ est la fonction $f(x) = 0{,}5x$ sur
$[0\,;\,2]$, nulle ailleurs. Que vaut $E(X)$ ?

]]> L'espérance d'une variable à densité s'écrit
$E(X) = \displaystyle\int x\,f(x)\,dx$ : chaque valeur est
pondérée par la densité. Avec une densité croissante,
l'espérance dépasse le milieu de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{4}{3}$

]]> Bonne réponse :
$E(X) = \displaystyle\int_0^{2} x \times 0{,}5x\,dx
= 0{,}5 \times \dfrac{2^3}{3} = \dfrac{4}{3}$.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est le milieu de l'intervalle, donc
l'espérance d'une loi uniforme. Ici la densité croît et les
grandes valeurs pèsent davantage.

]]> $2$

]]> Erreur : $2$ est la valeur maximale possible, pas la
moyenne des valeurs prises.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur de coefficient : la densité vaut $0{,}5x$, et le calcul
complet donne $\dfrac{4}{3}$.

]]> Lois à densité — Q39 : D'un taux horaire à une attente moyenne Un standard reçoit en moyenne $3$ appels par heure. Le temps
qui sépare deux appels est modélisé par une loi exponentielle de
paramètre $\lambda = 3$, exprimé par heure. Quel est le temps
d'attente moyen entre deux appels ?

]]> Un paramètre exprimé par heure donne une espérance en heures :
$\dfrac{1}{\lambda}$. La conversion en minutes vient ensuite,
et elle est souvent plus parlante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$ minutes

]]> Bonne réponse : $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{3}$
heure, soit $\dfrac{60}{3} = 20$ minutes.

]]> $3$ minutes

]]> Paramètre recopié : $3$ compte des appels par heure, ce
n'est pas une durée.

]]> $33$ minutes

]]> Erreur de conversion : une heure vaut $60$ minutes et non
$100$.

]]> $60$ minutes

]]> Erreur : l'heure est la durée pendant laquelle arrivent
$3$ appels, pas l'attente entre deux d'entre eux.

]]> Lois à densité — Q40 : Inégalité stricte ou large Soit $X$ une variable à densité. Comment $P(X < 4)$ se
compare-t-elle à $P(X \leq 4)$ ?

]]> Pour une variable à densité, inégalités strictes et larges
donnent la même probabilité, puisqu'une valeur isolée a une
probabilité nulle. Cette souplesse n'existe pas dans le cas
discret.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont égales, car $P(X = 4) = 0$

]]> Bonne réponse : les deux événements ne diffèrent que par la
valeur $4$, dont la probabilité est nulle.

]]> La première est strictement plus petite

]]> Erreur : ce raisonnement vaut pour une loi discrète, où
$P(X = 4)$ peut être non nulle.

]]> Elles diffèrent de $f(4)$, la densité en $4$

]]> Confusion : $f(4)$ est une hauteur, pas une probabilité.
L'écart vaut $P(X = 4)$, c'est-à-dire $0$.

]]> La comparaison dépend de la loi de $X$

]]> Erreur : la conclusion vaut pour toute loi à densité, quelle
que soit la forme de la courbe.

]]> Lois à densité — Q41 : Estimer une probabilité par simulation Pour estimer $P(X \leq 3)$, on simule un grand nombre de valeurs
de $X$ et on calcule la proportion de celles qui sont
inférieures ou égales à $3$. Que devient cette proportion quand
le nombre de simulations augmente ?

]]> Simuler, c'est remplacer un calcul par une fréquence observée
sur un grand nombre de tirages. L'estimation obtenue se
stabilise quand le nombre de simulations grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle se rapproche de la probabilité cherchée

]]> Bonne réponse : la fréquence observée se stabilise autour de
la probabilité théorique, ce qui rend la simulation utile.

]]> Elle se rapproche de $0{,}5$, quelle que soit la loi

]]> Erreur : aucune raison d'obtenir $0{,}5$, la valeur limite
dépend de la loi et du seuil choisi.

]]> Elle finit par valoir exactement la probabilité

]]> Trop fort : une simulation fournit une estimation, qui
fluctue encore autour de la valeur cherchée.

]]> Elle s'éloigne peu à peu de la probabilité

]]> Contresens : multiplier les tirages stabilise l'estimation
au lieu de la dégrader.

]]> Lois à densité — Q42 : Retrouver un seuil $X$ suit la loi uniforme sur $[10\,;\,30]$. Pour quelle valeur
de $t$ a-t-on $P(X \leq t) = 0{,}25$ ?

]]> Sur une loi uniforme, la probabilité cumulée est proportionnelle
à la longueur parcourue :
$P(X \leq t) = \dfrac{t - a}{b - a}$. Lire cette relation à
l'envers revient à résoudre une équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : $P(X \leq t) = \dfrac{t - 10}{20}$. En
résolvant $\dfrac{t - 10}{20} = 0{,}25$, on obtient
$t = 10 + 0{,}25 \times 20 = 15$.

]]> $7{,}5$

]]> Erreur : ce calcul oublie que l'intervalle démarre en $10$
et non en $0$.

]]> $17{,}5$

]]> Erreur : le décalage est correct, mais la longueur de
l'intervalle vaut $20$ et non $30$.

]]> $20$

]]> Erreur : $20$ est le milieu de l'intervalle, le seuil
associé à la probabilité $0{,}5$.

]]> Lois à densité — Q43 : De la densité à la longueur La densité d'une loi uniforme est constante et vaut $0{,}2$ sur
son intervalle. Quelle est la longueur de cet intervalle ?

]]> Pour une loi uniforme, hauteur et largeur sont inverses l'une de
l'autre, puisque le rectangle qu'elles forment a une aire de
$1$. Une densité élevée signale donc un intervalle court.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : la densité vaut $\dfrac{1}{b - a}$, donc la
longueur en est l'inverse : $\dfrac{1}{0{,}2} = 5$.

]]> $0{,}2$

]]> Densité recopiée : $0{,}2$ est la hauteur du rectangle, pas sa
largeur.

]]> $0{,}8$

]]> Erreur : une densité ne se complète pas à $1$, c'est l'aire
du rectangle qui vaut $1$.

]]> $1$

]]> Confusion : $1$ est l'aire totale sous la densité, pas une
longueur.

]]> Lois à densité — Q44 : Une ampoule déjà en service La durée de vie $X$ d'une ampoule, en années, suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$. Sachant qu'elle
éclaire encore après $3$ ans, quelle est la probabilité que sa
durée de vie dépasse $5$ ans ?

]]> L'absence de mémoire s'écrit
$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$ : le calcul se ramène à une
survie ordinaire sur la durée restante. L'ampoule ne vieillit
pas dans ce modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-0{,}4}$

]]> Bonne réponse : la loi exponentielle est sans mémoire, donc
$P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}4}$.
Seules comptent les $2$ années qui restent à courir.

]]> $e^{-1}$

]]> Erreur : $e^{-1}$ est la probabilité qu'une ampoule NEUVE
dépasse $5$ ans. Ici on sait déjà qu'elle a tenu $3$
ans.

]]> $e^{-0{,}6}$

]]> Erreur : cet exposant utilise les $3$ années déjà
écoulées, alors que la durée utile est celle qui reste.

]]> $1 - e^{-0{,}4}$

]]> Événement contraire : cette expression donne la probabilité
que l'ampoule s'éteigne dans les $2$ années à venir.

]]> Lois à densité — Q45 : Deux zones extrêmes $X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,6]$. Quelle est la
probabilité que $X$ soit inférieur à $1$ ou supérieur à $5$ ?

]]> Deux zones disjointes : on additionne leurs longueurs avant de
diviser par la longueur totale. Le passage par l'événement
contraire, rester entre les deux seuils, donne le même résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{3}$

]]> Bonne réponse : les deux zones mesurent $1$ et $1$,
soit $2$ en tout, à rapporter à la longueur totale
$6$ : $\dfrac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Une seule zone : $\dfrac{1}{6}$ ne compte que les valeurs
inférieures à $1$, il reste celles qui dépassent $5$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Événement contraire : $\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de
tomber entre $1$ et $5$.

]]> $\dfrac{5}{6}$

]]> Erreur : $\dfrac{5}{6}$ est $P(X \leq 5)$, qui couvre
presque tout l'intervalle.

]]> Lois à densité — Q46 : Simuler une somme de variables uniformes On simule un grand nombre de fois la somme $S$ de $12$ variables
indépendantes de loi uniforme sur $[0\,;\,1]$, puis on trace
l'histogramme des valeurs obtenues. Quelle allure observe-t-on ?

]]> Une somme de variables indépendantes de même loi a une espérance
égale à la somme des espérances, et ses valeurs se regroupent autour
d'elle en prenant une forme en cloche.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une forme en cloche, centrée vers $6$

]]> Bonne réponse : chaque variable a pour espérance $0{,}5$, donc
$S$ a pour espérance $6$ ; les sommes se concentrent autour de
cette valeur.

]]> Des barres de même hauteur entre $0$ et $12$

]]> Erreur : une somme de variables uniformes n'est pas uniforme ;
les valeurs extrêmes, proches de $0$ ou de $12$, sont très rares.

]]> Une forme en cloche, centrée vers $0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5$ est l'espérance d'une seule variable. Les
espérances s'additionnent : $12 \times 0{,}5 = 6$.

]]> Des valeurs toutes égales à $6$

]]> Erreur : $S$ reste aléatoire. Ses valeurs se concentrent autour de
$6$ sans lui être égales.

]]> Lois à densité — Q47 : Espérance d'une loi uniforme Un bus passe à un instant uniformément réparti entre $2$ et
$10$ minutes après l'heure. Quel est le temps d'attente moyen,
en minutes, pour une personne arrivée à l'heure ?

]]> Loi uniforme sur $[a ; b]$ : $E(X) = \dfrac{a + b}{2}$, le centre de
l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ minutes

]]> Bonne réponse : pour une loi uniforme sur $[2 ; 10]$,
l'espérance est le milieu de l'intervalle,
$\dfrac{2 + 10}{2} = 6$.

]]> $8$ minutes

]]> Erreur : $8$ est la longueur de l'intervalle, pas sa valeur
moyenne.

]]> $10$ minutes

]]> Erreur : $10$ est l'attente maximale, pas l'attente moyenne.

]]> $\dfrac{1}{8}$ minute

]]> Erreur : $\dfrac{1}{8}$ est la valeur de la densité, pas
l'espérance.

]]> Lois à densité — Q48 : Attendre plus longtemps qu'une durée donnée La durée de vie $T$, en années, d'un composant suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$. Quelle est la
probabilité qu'il fonctionne encore après $10$ ans ?

]]> Pour une loi exponentielle, $P(T > t) = e^{-\lambda t}$ : la
probabilité de survie décroît exponentiellement avec le temps.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-1} \approx 0{,}37$

]]> Bonne réponse : $P(T > t) = e^{-\lambda t} = e^{-0{,}1 \times
10} = e^{-1} \approx 0{,}37$.

]]> $1 - e^{-1} \approx 0{,}63$

]]> Erreur : $1 - e^{-\lambda t}$ est $P(T \leq t)$, la probabilité
d'une panne avant $10$ ans.

]]> $e^{1} \approx 2{,}72$

]]> Erreur : $e^{1} > 1$ ne peut pas être une probabilité ; le
signe de l'exposant est négatif.

]]> $0{,}1 \times 10 = 1$

]]> Erreur : $\lambda t$ est l'exposant, pas la probabilité
elle-même.

]]> Lois à densité — Q49 : Simuler une loi uniforme sur un intervalle La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
$[0 ; 1[$. Quelle expression simule un réel uniformément réparti
dans $[2 ; 7[$ ?

]]> Transformation affine : $a + (b - a)\,U$ avec $U$ uniforme sur
$[0 ; 1[$ suit la loi uniforme sur $[a ; b[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 2 + 5 * random()

]]> Bonne réponse : on étire $[0 ; 1[$ à la longueur $5$ en
multipliant, puis on décale de $2$ en ajoutant.

]]> random() * 7

]]> Erreur : cette expression couvre $[0 ; 7[$, pas $[2 ; 7[$.

]]> 2 + 7 * random()

]]> Erreur : le facteur doit être la longueur de l'intervalle,
$5$, et non sa borne supérieure.

]]> randint(2, 7)

]]> Erreur : randint renvoie des entiers, pas des réels répartis
uniformément.

]]> Lois à densité — Q50 : Simuler un lancer de dé La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
$[0\,;\,1[$, et int donne la partie entière d'un réel positif.
Quelle expression simule le lancer d'un dé équilibré à six faces ?

]]> Si $U$ suit la loi uniforme sur $[0\,;\,1[$, $6U$ tombe dans
chacun des intervalles $[k\,;\,k + 1[$, pour $k$ de $0$ à $5$,
avec la probabilité $\dfrac{1}{6}$ : la partie entière plus un
simule le dé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 1 + int(6 * random())

]]> Bonne réponse : 6 * random() est uniforme sur $[0\,;\,6[$,
sa partie entière prend les valeurs $0$ à $5$ avec la même
probabilité, et l'on ajoute $1$.

]]> int(6 * random())

]]> Décalage oublié : les valeurs obtenues vont de $0$ à $5$, et
non de $1$ à $6$.

]]> 6 * random()

]]> Partie entière oubliée : on obtient un réel de $[0\,;\,6[$,
pas un numéro de face.

]]> int(7 * random())

]]> Sept valeurs : on obtient les entiers de $0$ à $6$, chacun
avec la probabilité $\dfrac{1}{7}$.

]]> Lois à densité — Q51 : Une probabilité lue comme une aire de triangle Repère quadrillé. La densité est un segment qui monte de l'origine au point (2 ; 1), puis redescend verticalement jusqu'à (2 ; 0) ; elle est nulle ailleurs. Le domaine sous la densité est un triangle d'aire 1.

La figure représente la densité $f$ d'une variable $X$ :
$f(x) = \dfrac{x}{2}$ sur $[0\,;\,2]$ et $f(x) = 0$ ailleurs. Que
vaut $P(X \leq 1)$ ?

]]> Pour une loi à densité, $P(X \leq a)$ est l'aire sous la courbe de
la densité à gauche de $a$. Ici
$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{2}\,dx = 0{,}25$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}25$

]]> Bonne réponse : l'aire du triangle de base $1$ et de hauteur
$f(1) = 0{,}5$ vaut $\dfrac{1 \times 0{,}5}{2} = 0{,}25$.

]]> $0{,}5$

]]> Proportion de l'intervalle : la densité n'est pas constante,
la moitié gauche porte moins de probabilité.

]]> $0{,}75$

]]> Événement contraire : $0{,}75$ est $P(X > 1)$, l'aire du
trapèze situé à droite.

]]> $1$

]]> Aire totale sous la densité : elle vaut $1$ sur $[0\,;\,2]$,
et non sur $[0\,;\,1]$.

]]> Lois à densité — Q52 : Lire le paramètre d'une loi exponentielle Courbe décroissante sur [0 ; 6] qui part du point (0 ; 0,5) et se rapproche de l'axe des abscisses ; elle vaut environ 0,18 en x = 2.

La courbe représente la densité $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$,
pour $x \geq 0$, d'une loi exponentielle. Que vaut $\lambda$ ?

]]> La densité d'une loi exponentielle vaut $\lambda$ en $0$, puis
décroît. Un paramètre élevé donne une courbe qui part plus haut et
décroît plus vite : les durées sont plus courtes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\lambda = 0{,}5$

]]> Bonne réponse : $f(0) = \lambda e^{0} = \lambda$, la hauteur
de la courbe en $0$.

]]> $\lambda = 2$

]]> Espérance $\dfrac{1}{\lambda} = 2$ : c'est la durée moyenne,
pas le paramètre.

]]> $\lambda = 1$

]]> Aire totale sous la densité : elle vaut toujours $1$, quel que
soit $\lambda$.

]]> $\lambda = 6$

]]> Borne du graphique : la densité est définie sur
$[0\,;\,+\infty[$, la figure n'en montre qu'une partie.

]]>