$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Lois discrètes Loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$ et son espérance, loi de
Bernoulli (espérance, écart-type), schéma de Bernoulli et
coefficients binomiaux (triangle de Pascal), loi binomiale
$\mathcal{B}(n\,;\,p)$ (expression, espérance et écart-type
admis), intervalle $I$ tel que $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ et
règle de décision, loi géométrique (expression, espérance
admise, absence de mémoire), probabilités conditionnelles et
formule de Bayes (tests de dépistage, inversion du
conditionnement).

]]> Lois discrètes — Q01 : Espérance d'un dé équilibré On lance un dé équilibré à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ :
le résultat $X$ suit la loi uniforme sur $\{1, \ldots, 6\}$. Que
vaut $E(X)$ ?

]]> Pour la loi uniforme sur $\{1, \ldots, n\}$, chaque valeur a la
probabilité $\dfrac{1}{n}$ et $E(X) = \dfrac{n + 1}{2}$, grâce à
$1 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}5$

]]> Bonne réponse :
$E(X) = \dfrac{1 + 2 + \cdots + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$,
soit $\dfrac{n + 1}{2}$.

]]> $3$

]]> Milieu entier : la moyenne des faces vaut $3{,}5$, et
l'espérance n'est pas forcément une valeur possible.

]]> $6$

]]> Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne des
valeurs.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Probabilité de chaque face : elle sert au calcul, elle n'est
pas l'espérance du résultat.

]]> Lois discrètes — Q02 : Loi de Bernoulli $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$
($X = 1$ en cas de succès, $0$ sinon). Que valent $E(X)$ et
$V(X)$ ?

]]> Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,
$V(X) = p(1-p)$, $\sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}$ : la brique
élémentaire de la binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}16$

]]> Bonne réponse : $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p) = 0{,}2
\times 0{,}8 = 0{,}16$ (démonstrations possibles au
programme).

]]> $E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 0{,}25$

]]> Erreur : ces valeurs correspondent à $p = 0{,}5$
(pièce équilibrée). Ici $p = 0{,}2$ : $E = 0{,}2$.

]]> $E(X) = 1$ et $V(X) = 0$

]]> Erreur : $E = 1$ et $V = 0$ décriraient un succès
certain ($p = 1$). Avec $p = 0{,}2$, la variable
fluctue.

]]> $E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}2$

]]> Erreur sur la variance : $V = p(1-p) = 0{,}16$, pas $p$
lui-même.

]]> Lois discrètes — Q03 : Triangle de Pascal La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1\ ;\,4\ ;\,6\ ;
\,4\ ;\,1$. Que vaut le coefficient binomial
$\dbinom{5}{2}$ ?

]]> Capacité attendue : déterminer les coefficients binomiaux
par le triangle de Pascal. Ligne $5$ : $1\ ;\,5\ ;\,10\ ;\,
10\ ;\,5\ ;\,1$, obtenue par sommes de la ligne $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : $10$ s'obtient en additionnant $4 + 6$
(relation de Pascal) : chaque coefficient est la somme des
deux situés au-dessus : $\binom{5}{2} = \binom{4}{1} +
\binom{4}{2} = 4 + 6 = 10$.

]]> $24$

]]> Erreur : $24 = 4 \times 6$ multiplie les deux coefficients
situés au-dessus ; la relation de Pascal est additive,
pas multiplicative : $4 + 6 = 10$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6 = \binom{4}{2}$ appartient à la ligne
$n = 4$. La ligne suivante s'en déduit par sommes.

]]> $5$

]]> Erreur : $5 = \binom{5}{1}$ (deuxième coefficient de la
ligne). $\binom{5}{2}$ est le troisième : $10$.

]]> Lois discrètes — Q04 : Identifier une loi binomiale On tire $10$ fois avec remise une boule dans une urne
contenant $30\ \%$ de boules rouges, et on compte le nombre
$X$ de rouges. Quelle est la loi de $X$ ?

]]> Identifier les lois (capacité attendue) : compte de succès
sur $n$ répétitions indépendantes $\to$ binomiale ; rang du
premier succès $\to$ géométrique ; une seule épreuve $\to$
Bernoulli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$

]]> Bonne réponse : $10$ épreuves de Bernoulli identiques
(remise !) et indépendantes, $X$ compte les succès :
binomiale.

]]> La loi uniforme sur $\{0, \ldots, 10\}$

]]> Erreur : les valeurs de $X$ ne sont pas équiprobables
($5$ rouges est bien plus probable que $10$).

]]> La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$

]]> Erreur : la Bernoulli décrit une épreuve. Le
compte sur $10$ épreuves suit la binomiale.

]]> La loi géométrique de paramètre $0{,}3$

]]> Erreur : la géométrique donne le rang du premier
succès, pas le nombre de succès en $10$ tirages.

]]> Lois discrètes — Q05 : Une probabilité binomiale Soit $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$,
nombre de « pile » sur $4$ lancers d'une pièce équilibrée. Que
vaut $P(X = 2)$, arrondie au dix-millième ?

]]> $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$. Pour une pièce
équilibrée, chaque chemin a la probabilité $0{,}5^n$, et le
triangle de Pascal donne le nombre de chemins.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}375$

]]> Bonne réponse :
$\dbinom{4}{2} \times 0{,}5^{4} = \dfrac{6}{16} \approx 0{,}375$
; il y a $6$ chemins à $2$ succès.

]]> $0{,}5$

]]> Intuition « une chance sur deux » : la probabilité se répartit
sur les $5$ valeurs possibles de $X$.

]]> $0{,}25$

]]> Échecs et placements ignorés : $0{,}5^{2}$ ne compte que les
succès d'un chemin.

]]> $0{,}0625$

]]> Un seul chemin compté : $0{,}5^{4}$ est la probabilité d'un
chemin ; il y en a $\dbinom{4}{2} = 6$.

]]> Lois discrètes — Q06 : Espérance et écart-type de B(100 ; 0,25) Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}25)$. Que valent
$E(X)$ et $\sigma(X)$ (admis au programme) ?

]]> Formules admises : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$,
$\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Ici : $25 \pm 4{,}3$ environ :
l'ordre de grandeur des fluctuations attendues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = 25$ et $\sigma(X) \approx 4{,}33$

]]> Bonne réponse : $E = np = 25$ et $\sigma =
\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0{,}25 \times 0{,}75}
= \sqrt{18{,}75} \approx 4{,}33$.

]]> $E(X) = 25$ et $\sigma(X) = 18{,}75$

]]> Erreur : $18{,}75$ est la variance ; l'écart-type en
est la racine carrée.

]]> $E(X) = 50$ et $\sigma(X) = 5$

]]> Erreur : $E = np = 100 \times 0{,}25 = 25$, pas la
moitié de $n$.

]]> $E(X) = 0{,}25$ et $\sigma(X) \approx 0{,}43$

]]> Erreur : $0{,}25$ et $\sqrt{0{,}25 \times 0{,}75}
\approx 0{,}43$ sont l'espérance et l'écart-type
d'une épreuve ; sur $100$ répétitions : $25$ et
$4{,}33$.

]]> Lois discrètes — Q07 : La loi géométrique On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ jusqu'au
premier succès ; $X$ est le rang de ce premier succès. Que
vaut $P(X = k)$ ?

]]> Loi géométrique de paramètre $p$ : $P(X = k) =
(1-p)^{k-1}p$ pour $k \geq 1$, et $E(X) = \dfrac{1}{p}$
(admis). Modèle des temps d'attente discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1 - p)^{k-1}\,p$

]]> Bonne réponse : $k - 1$ échecs consécutifs puis un
succès, les épreuves étant indépendantes.

]]> $p^k$

]]> Erreur : $p^k$ serait $k$ succès d'affilée. Le
premier succès au rang $k$ exige d'abord $k-1$ échecs.

]]> $\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

]]> Erreur : c'est la formule binomiale (nombre de
succès sur $n$ fixé). La géométrique n'a pas de
coefficient : l'ordre est imposé (échecs puis succès).

]]> $\dfrac{1}{k}$

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme : les
petits rangs sont les plus probables.

]]> Lois discrètes — Q08 : Espérance d'un temps d'attente On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$. Combien de
lancers faut-il en moyenne ?

]]> Règle mémorable : un événement de probabilité $p$ se produit
en moyenne au bout de $\frac{1}{p}$ essais. Pour le $6$ :
six lancers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ lancers

]]> Bonne réponse : le rang du premier $6$ suit la loi
géométrique de paramètre $\frac{1}{6}$ : espérance
$E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{1/6} = 6$ (admise au
programme).

]]> $3{,}5$ lancers

]]> Confusion : $3{,}5$ est l'espérance du résultat d'un
lancer (loi uniforme). Ici on attend un événement de
probabilité $\frac{1}{6}$ : $6$ essais en moyenne.

]]> $1$ lancer

]]> Erreur : le $6$ tombe du premier coup une fois sur six
seulement ; en moyenne, l'attente dure $6$ lancers.

]]> $36$ lancers

]]> Erreur : $36 = 6^2$ surestime : la formule est
$E = \frac{1}{p} = 6$.

]]> Lois discrètes — Q09 : Absence de mémoire On a déjà lancé le dé $10$ fois sans obtenir de $6$. Quelle
est la probabilité d'obtenir enfin un $6$ au prochain
lancer ?

]]> Absence de mémoire (au programme) : sachant $X > n$, la loi
de l'attente restante est celle de $X$ au départ. Le passé
des échecs ne crée aucune « dette » de succès : antidote
mathématique à l'illusion du joueur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{6}$, comme à chaque lancer

]]> Bonne réponse : le dé n'a pas de mémoire. Les lancers
sont indépendants, la malchance passée n'augmente en
rien les chances futures : c'est la propriété
caractéristique de la loi géométrique (absence de
mémoire).

]]> Plus de $\dfrac{1}{6}$ : le $6$ « doit » sortir

]]> L'illusion du joueur : le dé ignore son passé. Après dix
échecs, l'attente restante suit exactement la même
loi qu'au départ.

]]> Moins de $\dfrac{1}{6}$ : ce dé semble défavorable

]]> Erreur (dans le modèle du dé équilibré) : dix échecs
n'ont rien d'extraordinaire
($\left(\frac{5}{6}\right)^{10} \approx 16\ \%$) et ne
remettent pas en cause l'équilibre.

]]> $\dfrac{10}{6}$

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$. La
réponse est $\frac{1}{6}$, inchangée.

]]> Lois discrètes — Q10 : Calcul explicite d'une probabilité géométrique $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}5$
(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut
$P(X = 3)$ ?

]]> $P(X = 3) = (1-p)^2 p = \frac{1}{8}$ : la moitié des cas au
rang 1, un quart au rang 2, un huitième au rang 3 : la masse
décroît géométriquement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}125$

]]> Bonne réponse : deux faces puis un pile :
$(1-p)^{2}\,p = 0{,}5^2 \times 0{,}5 = 0{,}125 =
\dfrac{1}{8}$.

]]> $0{,}5$

]]> Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un pile à un
lancer donné ; exiger « premier pile au rang 3 » impose
aussi deux échecs préalables.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme ; le rang
$3$ a la probabilité $\left(\frac{1}{2}\right)^3 =
\frac{1}{8}$.

]]> $0{,}375$

]]> Erreur : $0{,}375 = \binom{4}{2}/16$ vient d'un calcul
binomial. Ici pas de coefficient : l'ordre
échec-échec-succès est imposé.

]]> Lois discrètes — Q11 : Intervalle et calculatrice Soit $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}5)$ (une pièce testée
sur $50$ lancers). La calculatrice donne
$P(18 \leq X \leq 32) \approx 0{,}967$. Comment interpréter
ce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?

]]> Problème type du programme : construire un intervalle $I$
tel que $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ sous le modèle, puis
confronter l'observation. Improbable sous le modèle
$\Rightarrow$ modèle remis en question : l'esprit du test
d'hypothèse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un résultat hors de $[18\,;\,32]$ conduit à douter de
l'équilibre de la pièce

]]> Bonne réponse : si la pièce est équilibrée, le nombre de
piles tombe dans $[18\,;\,32]$ dans environ $97\ \%$ des
cas ; un résultat hors de cet intervalle, rare sous le
modèle, rend le modèle suspect. C'est la démarche du
programme (test d'une pièce) : un intervalle de forte
probabilité sous le modèle, puis une observation très
improbable conduit à douter du modèle.

]]> La probabilité que la pièce soit équilibrée vaut environ
$0{,}967$

]]> Erreur d'interprétation : la probabilité porte sur les
résultats sous le modèle, pas sur le modèle
lui-même.

]]> Le nombre de piles obtenu sera à coup sûr compris entre
$18$ et $32$

]]> Erreur : il reste environ $3\ \%$ de cas hors
intervalle, parfaitement possibles avec une pièce
équilibrée.

]]> Dès que le nombre de piles s'écarte de $25$, la pièce doit
être déclarée truquée

]]> Erreur : avec une pièce équilibrée, $X$ fluctue autour de
$25$ : obtenir $22$ piles (probabilité $0{,}079$) ou $29$
(probabilité $0{,}060$) est banal ; seul un résultat hors
de $[18\,;\,32]$, qui n'arrive que dans environ $3\ \%$
des cas, remet le modèle en cause.

]]> Lois discrètes — Q12 : Choisir la bonne loi Trois variables : $A$ = numéro obtenu en tirant une carte
parmi $10$ numérotées de $1$ à $10$ ; $B$ = nombre de
clients qui achètent parmi $20$ visiteurs indépendants
(chacun achète avec probabilité $0{,}1$) ; $C$ = rang du
premier appel décroché par un standard qui décroche avec
probabilité $0{,}6$ à chaque appel. Quelles lois ?

]]> Capacité attendue centrale : identifier la loi d'après
la structure de l'expérience. Uniforme : équiprobabilité ;
Bernoulli : une épreuve ; binomiale : compte sur $n$
épreuves ; géométrique : premier succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$ uniforme ; $B$ binomiale ; $C$ géométrique

]]> Bonne réponse : $A$ uniforme sur $\{1, \ldots, 10\}$
(équiprobabilité sur un ensemble fini), $B$ binomiale
$\mathcal{B}(20\,;\,0{,}1)$ (compte de succès sur $n$
répétitions), $C$ géométrique de paramètre $0{,}6$ (rang
du premier succès).

]]> $A$ binomiale ; $B$ géométrique ; $C$ uniforme

]]> Erreur : tout est permuté. Relie chaque situation à sa
structure : équiprobable / compte de succès / première
réussite.

]]> Les trois suivent des lois binomiales

]]> Erreur : $A$ n'a ni succès ni répétition, et $C$ n'a
pas de nombre d'épreuves fixé à l'avance.

]]> $A$ uniforme ; $B$ géométrique ; $C$ binomiale

]]> Erreur sur $B$ et $C$ : compter des acheteurs sur $20$
visiteurs est binomial ; attendre le premier décroché
est géométrique.

]]> Lois discrètes — Q13 : Aucun succès sur $n$ essais $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0{,}3$.
Que vaut $P(X = 0)$ ?

]]> $P(X = 0) = (1 - p)^n$ : ce cas ouvre le calcul de
$P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ par l'événement contraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}7^{4}$

]]> Bonne réponse : aucun succès, c'est $4$ échecs indépendants,
d'où $(1 - p)^n = 0{,}7^{4} \approx 0{,}2401$.

]]> $0{,}3^{4}$

]]> Succès et échecs inversés : $0{,}3^{4}$ est $P(X = 4)$.

]]> $1 - 0{,}3^{4}$

]]> Complémentaire de $P(X = 4)$ : c'est $P(X \leq 3)$, et
non l'absence de succès.

]]> $0{,}7$

]]> Puissance oubliée : $0{,}7$ est la probabilité d'échec sur une
seule épreuve.

]]> Lois discrètes — Q14 : Symétrie des coefficients binomiaux Sans calculer sa valeur, à quel coefficient binomial
$\dbinom{9}{7}$ est-il égal ?

]]> Symétrie du triangle de Pascal : $\binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k}$, car choisir $k$ objets, c'est écarter les
$n - k$ autres. Elle permet de lire $\binom{9}{7}$ dans la
colonne $k = 2$ : $36$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{9}{2}$

]]> Bonne réponse : choisir $7$ objets parmi $9$ revient à
choisir les $2$ que l'on laisse : $\binom{n}{k} =
\binom{n}{n-k}$, et les deux valent $36$.

]]> $\dbinom{7}{9}$

]]> Erreur : échanger $n$ et $k$ n'a pas de sens, on ne peut
pas choisir $9$ objets parmi $7$. La symétrie remplace
$k$ par $n - k$, elle ne permute pas $n$ et $k$.

]]> $\dbinom{7}{2}$

]]> Erreur : $n = 9$ reste en haut ; seul $k$ devient
$n - k = 2$. Contrôle : $\binom{7}{2} = 21$ alors que
$\binom{9}{7} = 36$.

]]> $\dbinom{8}{6}$

]]> Erreur : $\binom{8}{6} = 28$ n'est qu'un des deux termes
de la relation de Pascal $\binom{9}{7} = \binom{8}{6} +
\binom{8}{7} = 28 + 8 = 36$.

]]> Lois discrètes — Q15 : Au moins un succès $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}3$. Comment calculer $P(X \geq 1)$ ?

]]> $P(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ : LE réflexe binomial. Toute
question « au moins un » se traite par le complémentaire
« aucun » : un produit, une soustraction, fini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - 0{,}7^4$

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un » est «
aucun » : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}7^4
\approx 0{,}76$, un seul terme au lieu de quatre.

]]> $4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3$

]]> Confusion : $4 \times 0{,}3 \times 0{,}7^3 = P(X = 1)$
compte exactement un succès ; « au moins un »
englobe $1, 2, 3$ et $4$ : le complémentaire est la voie
courte.

]]> $4 \times 0{,}3$

]]> Alerte : $4 \times 0{,}3 = 1{,}2$, une probabilité
au-dessus de $1$. L'addition des $p$ ne calcule pas « au
moins un » (elle ignore les recouvrements).

]]> $0{,}3^4$

]]> Erreur : $0{,}3^4$ est « QUE des succès » ($X = 4$) : à
l'opposé du calcul demandé.

]]> Lois discrètes — Q16 : Attendre plus de $n$ essais $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (rang du
premier succès). Que vaut $P(X > n)$ ?

]]> $P(X > n) = (1 - p)^n$ : la « fonction de survie » de la loi
géométrique. On en déduit tout : $P(X \leq n) = 1 - (1 -
p)^n$, et l'absence de mémoire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1 - p)^n$

]]> Bonne réponse : attendre au-delà de $n$, c'est n'avoir
encore rien obtenu, donc avoir enchaîné $n$ échecs
consécutifs : $(1 - p)^n$.

]]> $p^n$

]]> Inversé : $p^n$ enchaînerait $n$ succès : attendre,
c'est enchaîner des échecs.

]]> $1 - (1 - p)^n$

]]> Erreur : $1 - (1 - p)^n$ est le complémentaire, c'est
$P(X \leq n)$ (le succès arrive au plus tard au rang $n$) ;
l'événement « $X > n$ » se décrit directement : $n$ échecs
d'affilée.

]]> $n(1 - p)$

]]> Erreur : les échecs successifs se multiplient
(indépendance), ils ne s'additionnent pas.

]]> Lois discrètes — Q17 : Temps d'attente moyen Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$, les tirs
étant indépendants. En moyenne, combien de tirs faut-il pour
obtenir le premier succès ?

]]> Pour la loi géométrique, $E(X) = \dfrac{1}{p}$ : un événement de
probabilité $0{,}2$ s'attend en moyenne $5$ répétitions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ tirs

]]> Bonne réponse : le rang du premier succès suit une loi
géométrique et $E(X) = \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5$.

]]> $0{,}2$ tir

]]> Probabilité recopiée : l'attente moyenne en est l'inverse.

]]> $0{,}8$ tir

]]> Probabilité d'échec recopiée : elle ne mesure pas un temps
d'attente.

]]> Impossible, l'attente est aléatoire

]]> Chaque attente est aléatoire, mais leur moyenne est déterminée
: $\dfrac{1}{p}$.

]]> Lois discrètes — Q18 : Binomiale ou géométrique ? Expérience A : « je lance $10$ fléchettes et je compte les
réussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes
jusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».
Quelles lois ?

]]> Le test de reconnaissance : « combien de succès sur $n$
essais fixés ? » : binomiale $(n\ ;\ p)$ ; « combien
d'essais jusqu'au premier succès ? » : géométrique $(p)$.
Identifier la loi AVANT tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc A binomiale, B géométrique

]]> Bonne réponse : en A le nombre d'essais est fixé et l'on
compte les succès (binomiale) ; en B on compte les
essais jusqu'au premier succès (géométrique). La
question discriminante : QUI est aléatoire ?

]]> A géométrique, B binomiale

]]> Inversé : la binomiale exige un nombre d'essais fixé
d'avance ($10$ en A) ; la géométrique compte l'attente
(B).

]]> Les deux sont binomiales

]]> Erreur : en B, le nombre d'essais n'est pas fixé : c'est
justement la variable : hors du cadre binomial.

]]> Les deux sont géométriques

]]> Erreur : en A, on ne s'arrête pas au premier succès : on
épuise les $10$ essais et on compte : binomiale.

]]> Lois discrètes — Q19 : Espérance d'une loi uniforme Une variable suit la loi uniforme sur $\{1, 2, \ldots, 10\}$.
Quelle est son espérance ?

]]> Pour une loi uniforme sur des entiers consécutifs, l'espérance est la
moyenne des deux valeurs extrêmes. Toutes les valeurs ayant la même
probabilité, la moyenne est celle des valeurs elles-mêmes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5{,}5$

]]> Bonne réponse : c'est la moyenne des valeurs extrêmes,
$\dfrac{1 + 10}{2}$.

]]> $5$

]]> Valeur centrale mal choisie : les dix valeurs étant équiprobables, la
moyenne tombe entre $5$ et $6$.

]]> $10$

]]> Valeur maximale recopiée : l'espérance est une moyenne, elle ne peut
pas valoir l'extrême.

]]> $0{,}1$

]]> Probabilité de chaque valeur : elle sert au calcul, elle n'en est pas
le résultat.

]]> Lois discrètes — Q20 : Une probabilité géométrique Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}2$, que vaut
$P(X = 3)$ ?

]]> La loi géométrique donne le rang du premier succès :
$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$. Les $k - 1$ premiers essais
échouent, le dernier réussit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}128$

]]> Bonne réponse : deux échecs puis un succès,
$0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$.

]]> $0{,}2$

]]> Paramètre recopié : c'est la probabilité d'un succès dès le
premier essai.

]]> $0{,}008$

]]> Trois succès comptés : $0{,}2^3$ décrit une tout autre
situation.

]]> $0{,}512$

]]> Succès final oublié : $0{,}8^3$ est la probabilité de trois
échecs consécutifs.

]]> Lois discrètes — Q21 : Attendre longtemps le premier six On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un six. Quelle est la
probabilité qu'il faille plus de $6$ lancers, arrondie au centième
?

]]> Pour une loi géométrique de paramètre $p$, $P(X > n) = (1 - p)^n$.
Une attente supérieure à la moyenne $\dfrac{1}{p} = 6$ survient
environ une fois sur trois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $0{,}33$

]]> Bonne réponse : les six premiers lancers échouent,
$P(X > 6) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^6 \approx 0{,}33$.

]]> Environ $0{,}67$

]]> Événement contraire : $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^6$ est la
probabilité d'obtenir un six en au plus six lancers.

]]> Exactement $\dfrac{1}{6}$

]]> Probabilité d'un six à un lancer donné, sans lien avec
l'attente.

]]> Exactement $0$

]]> Six lancers est l'attente moyenne, ce n'est pas un maximum :
l'attente peut la dépasser.

]]> Lois discrètes — Q22 : L'absence de mémoire Après cinq lancers sans obtenir de six, quelle est la probabilité
d'en obtenir un au lancer suivant ?

]]> La loi géométrique est sans mémoire : la probabilité d'un succès au
prochain essai ne dépend pas du nombre d'échecs déjà subis.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{6}$

]]> Bonne réponse : les lancers étant indépendants, le passé ne change
rien.

]]> Plus de $\dfrac{1}{6}$, par compensation

]]> C'est l'erreur du joueur : le dé ne garde aucune mémoire des lancers
précédents.

]]> Moins de $\dfrac{1}{6}$

]]> Aucune raison non plus : les échecs passés n'influencent pas le lancer
suivant.

]]> $\dfrac{5}{6}$

]]> Probabilité de l'échec recopiée : c'est celle de ne pas obtenir de
six.

]]> Lois discrètes — Q23 : Valeurs possibles d'une loi géométrique On compte le nombre $X$ de lancers d'une pièce nécessaires pour
obtenir le premier pile. Quelle valeur $X$ ne peut-il pas prendre
?

]]> Une loi géométrique prend toutes les valeurs entières à partir de
$1$, sans borne supérieure, ce qui la distingue d'une loi
binomiale, comprise entre $0$ et $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : il faut au moins un lancer pour obtenir pile ;
$X$ prend les valeurs $1, 2, 3, \ldots$

]]> $1$

]]> Pile peut sortir dès le premier lancer, avec la probabilité
$0{,}5$.

]]> $25$

]]> Une attente de $25$ lancers est très improbable, mais possible
: la loi géométrique n'a pas de valeur maximale.

]]> $2$

]]> Face puis pile donne $X = 2$, avec la probabilité $0{,}25$.

]]> Lois discrètes — Q24 : Attendre au-delà d'un rang Pour une loi géométrique de paramètre $p = 0{,}3$, que vaut
$P(X > 4)$ ?

]]> Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ : l'événement
signifie que les $n$ premiers essais ont tous échoué.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}2401$

]]> Bonne réponse : les $4$ premiers essais doivent échouer,
soit $0{,}7^{4} = 0{,}2401$.

]]> $0{,}7$

]]> Un seul échec compté : il en faut $4$ consécutifs.

]]> $0{,}0081$

]]> Succès comptés au lieu des échecs : $0{,}3^{4}$ décrit une
tout autre situation.

]]> $0{,}7599$

]]> Événement contraire : $0{,}7599$ est $P(X \leq 4)$.

]]> Lois discrètes — Q25 : Retrouver le nombre d'épreuves Une variable suit la loi binomiale de paramètres $n$ et
$p = 0{,}25$, et son espérance vaut $16$. Que vaut $n$ ?

]]> Les relations $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ permettent de
retrouver un paramètre à partir des autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $64$

]]> Bonne réponse : $E(X) = np$, donc
$n = \dfrac{16}{0{,}25} = 64$.

]]> $4$

]]> Produit au lieu du quotient : $16 \times 0{,}25 = 4$, alors
que $n = \dfrac{E(X)}{p}$.

]]> $16$

]]> Espérance recopiée : elle compte les succès moyens, pas les
épreuves.

]]> $12$

]]> Calcul de la variance : $16 \times 0{,}75 = 12$ ne donne pas
le nombre d'épreuves.

]]> Lois discrètes — Q26 : Une variable de Bernoulli Quelles valeurs une variable de Bernoulli prend-elle ?

]]> Une variable de Bernoulli vaut $1$ en cas de succès, de probabilité $p$, et
$0$ sinon. Son espérance vaut $p$ et sa variance $p(1-p)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ et $1$

]]> Bonne réponse : $1$ code le succès et $0$ l'échec.

]]> $0$ et $p$

]]> Le paramètre $p$ est la probabilité du succès, pas la valeur prise.

]]> Tous les entiers de $0$ à $n$

]]> Ce sont les valeurs d'une loi binomiale, somme de plusieurs Bernoulli.

]]> $1$ et $-1$

]]> La convention retient $0$ pour l'échec, ce qui rend la somme égale au
nombre de succès.

]]> Lois discrètes — Q27 : Que des succès Pour une binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}4$, que vaut
$P(X = 5)$ ?

]]> $P(X = n) = p^n$ : dans le cas $k = n$, le coefficient binomial
vaut $1$ et toutes les épreuves réussissent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}01024$

]]> Bonne réponse : les $5$ épreuves doivent toutes réussir,
soit $0{,}4^{5} = 0{,}01024$.

]]> $0{,}07776$

]]> Succès et échecs inversés : $(1 - p)^{5} = 0{,}07776$ est
$P(X = 0)$.

]]> $2$

]]> Espérance calculée : $np = 2$ est le nombre moyen de
succès, pas une probabilité.

]]> $0{,}4$

]]> Une seule épreuve comptée : il faut $5$ succès consécutifs.

]]> Lois discrètes — Q28 : Choisir la loi adaptée On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes, toutes les
cartes ayant la même probabilité. Quelle loi décrit le rang de la
carte tirée ?

]]> La loi uniforme modélise une équiprobabilité sur un ensemble fini de
valeurs. Son espérance est la moyenne de ces valeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une loi uniforme

]]> Bonne réponse : toutes les valeurs sont équiprobables, ce qui définit
la loi uniforme.

]]> Une loi binomiale

]]> Aucune répétition d'épreuves n'intervient ici.

]]> Une loi géométrique

]]> Aucune attente d'un premier succès n'est en jeu.

]]> Une loi de Bernoulli

]]> La variable prend bien plus de deux valeurs.

]]> Lois discrètes — Q29 : Au moins un succès sur cinq Pour une binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}4$, que vaut
$P(X \geq 1)$ ?

]]> Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès ». Le calcul se
réduit ainsi à un seul terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $0{,}922$

]]> Bonne réponse : $1 - 0{,}6^5 = 1 - 0{,}07776$.

]]> Environ $0{,}078$

]]> Événement contraire : c'est la probabilité de n'obtenir aucun succès.

]]> Exactement $0{,}4$

]]> Probabilité d'un succès unique sur une seule épreuve : la répétition
augmente nettement les chances.

]]> Environ $0{,}259$

]]> Probabilité d'exactement un succès : l'énoncé en demande au moins un.

]]> Lois discrètes — Q30 : Un contrôle jusqu'au premier défaut Une chaîne produit $2$ % de pièces défectueuses. On contrôle les
pièces une à une jusqu'à en trouver une défectueuse. Combien en
contrôle-t-on en moyenne ?

]]> Le rang de la première pièce défectueuse suit une loi géométrique de
paramètre $0{,}02$. Son espérance vaut l'inverse de ce paramètre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $50$

]]> Bonne réponse : l'espérance vaut $\dfrac{1}{0{,}02}$.

]]> $2$

]]> Pourcentage recopié : l'espérance est l'inverse de la probabilité.

]]> $98$

]]> Complément calculé : il décrit la proportion de pièces conformes.

]]> $0{,}02$

]]> Probabilité recopiée : un nombre de contrôles est toujours au moins
égal à $1$.

]]> Lois discrètes — Q31 : Probabilité cumulée d'une loi uniforme Une variable $X$ suit la loi uniforme sur
$\{1, 2, \ldots, 12\}$. Que vaut $P(X \leq 3)$ ?

]]> Sur une loi uniforme, une probabilité se compte : on divise le
nombre de valeurs favorables par le nombre total de valeurs.
Ici $P(X \leq k) = \dfrac{k}{n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{4}$

]]> Bonne réponse : $3$ valeurs conviennent sur les $12$
possibles, toutes de même probabilité, d'où $\dfrac{1}{4}$.

]]> $\dfrac{1}{12}$

]]> Une seule valeur comptée : $\dfrac{1}{12}$ est la probabilité
d'une valeur isolée. L'événement en réunit $3$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Rôles échangés : le dénominateur est le nombre total de
valeurs, soit $12$, et non le seuil $3$.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> Événement contraire : $\dfrac{3}{4}$ correspond à $X > 3$, les
valeurs situées au-dessus du seuil.

]]> Lois discrètes — Q32 : Écart-type d'une loi de Bernoulli Une variable $X$ suit une loi de Bernoulli et son espérance vaut
$0{,}2$. Que vaut son écart-type ?

]]> Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,
$V(X) = p(1 - p)$ et $\sigma(X) = \sqrt{p(1 - p)}$. L'espérance
livre donc directement le paramètre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}4$

]]> Bonne réponse : l'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$, donc
$p = 0{,}2$, et $\sigma = \sqrt{0{,}2 \times 0{,}8} = 0{,}4$.

]]> $0{,}16$

]]> Racine oubliée : $0{,}16$ est la variance $p(1 - p)$, dont
l'écart-type est la racine carrée, soit $0{,}4$.

]]> $0{,}2$

]]> Espérance recopiée : $0{,}2$ vaut bien $E(X)$, mais l'écart-type
mesure la dispersion et vaut ici $0{,}4$.

]]> $0{,}8$

]]> Probabilité d'échec recopiée : $0{,}8 = 1 - p$ intervient dans
le calcul, elle n'en est pas le résultat.

]]> Lois discrètes — Q33 : Compter les chemins d'un arbre Dans un schéma de Bernoulli comportant $6$ épreuves, combien de
chemins de l'arbre réalisent exactement $2$ succès ?

]]> Le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ compte les chemins de
l'arbre menant à exactement $k$ succès sur $n$ épreuves. C'est lui
qui apparaît dans $P(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : ce nombre est le coefficient binomial
$\dbinom{6}{2} = 15$, lu sur la ligne $6$ du
triangle de Pascal.

]]> $12$

]]> Produit improvisé : $6 \times 2$ ne compte rien ici. Le
nombre de chemins est $\dbinom{6}{2} = 15$.

]]> $8$

]]> Somme improvisée : choisir les rangs des succès n'est pas une
addition. Le compte exact vaut $15$.

]]> $64$

]]> Tous les chemins comptés : $2^{6} = 64$ est le nombre
total de chemins, tous nombres de succès confondus.

]]> Lois discrètes — Q34 : Au moins deux succès Soit $X$ une variable suivant une loi binomiale. Comment exprimer
$P(X \geq 2)$ en passant par l'événement contraire ?

]]> Une probabilité du type « au moins $k$ » se calcule par le
contraire : on retranche à $1$ les probabilités des valeurs
strictement inférieures à $k$, en nombre fini et petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

]]> Bonne réponse : le contraire de « $X \geq 2$ » est
« $X \leq 1$ », qui réunit $X = 0$ et $X = 1$.

]]> $1 - P(X = 0) + P(X = 1)$

]]> Signe fautif : les deux probabilités du contraire se retranchent
toutes les deux, elles ne s'ajoutent pas.

]]> $P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

]]> Événement mal décrit : cette somme vaut $P(X \leq 2)$, donc à
peu près l'inverse de ce qui est demandé.

]]> $1 - P(X = 1) - P(X = 2)$

]]> Valeurs mal choisies : le contraire contient $X = 0$ et
$X = 1$ ; la valeur $X = 2$ en est exclue.

]]> Lois discrètes — Q35 : Ne jamais gagner À chaque partie d'un jeu, on gagne avec la probabilité $0{,}2$. La
probabilité de ne gagner aucune fois en $n$ parties vaut
$0{,}8^n$. Que devient-elle lorsque $n$ augmente ?

]]> Pour une loi binomiale, $P(X = 0) = (1 - p)^n$. Comme $1 - p < 1$,
cette quantité décroît vers $0$ : plus on répète l'épreuve, plus il
devient improbable de n'obtenir aucun succès.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle diminue et se rapproche de $0$

]]> Bonne réponse : multiplier par $0{,}8$ à chaque partie
supplémentaire fait décroître la probabilité vers $0$.

]]> Elle augmente et se rapproche de $1$

]]> Sens inversé : c'est la probabilité de gagner au moins une
fois, soit $1 - 0{,}8^n$, qui se rapproche de $1$.

]]> Elle reste toujours égale à $0{,}8$

]]> Exposant ignoré : $0{,}8$ vaut pour une seule partie ; les
parties suivantes multiplient encore par $0{,}8$.

]]> Elle diminue et se stabilise à $0{,}2$

]]> Erreur : rien n'arrête la décroissance à $0{,}2$, qui est la
probabilité de gagner une partie donnée.

]]> Lois discrètes — Q36 : Retrouver la probabilité de succès On répète une même épreuve jusqu'au premier succès, et il faut en
moyenne $25$ essais pour l'obtenir. Quelle est la
probabilité de succès à chaque essai ?

]]> Pour une loi géométrique, $E(X) = \dfrac{1}{p}$. La relation se lit
dans les deux sens : une attente moyenne de $10$ essais correspond
à une probabilité de succès de $0{,}1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}04$

]]> Bonne réponse : l'espérance vaut $\dfrac{1}{p}$, donc
$p = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$.

]]> $25$

]]> Attente recopiée : $25$ est un nombre d'essais, une
probabilité ne peut pas dépasser $1$.

]]> $0{,}25$

]]> Division par $100$ : le passage de l'attente à la probabilité
est un inverse, pas un pourcentage.

]]> $0{,}96$

]]> Probabilité d'échec calculée : $0{,}96$ vaut
$1 - p$, c'est la probabilité de rater un essai.

]]> Lois discrètes — Q37 : Réussir avant un rang donné On répète une épreuve de probabilité de succès $0{,}25$ jusqu'au
premier succès. Quelle est la probabilité que ce premier succès
survienne au plus tard au rang $3$ ?

]]> Pour une loi géométrique, $P(X > n) = (1 - p)^n$ et donc
$P(X \leq n) = 1 - (1 - p)^n$. Réussir avant le rang $n$, c'est ne
pas avoir enchaîné $n$ échecs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}5781$

]]> Bonne réponse : le contraire est « les $3$ premiers essais
échouent », de probabilité $0{,}75^{3} = 0{,}4219$,
d'où $1 - 0{,}4219 = 0{,}5781$.

]]> $0{,}4219$

]]> Événement contraire : $0{,}4219$ est la probabilité que
les $3$ premiers essais échouent tous.

]]> $0{,}0156$

]]> Succès enchaînés : $0{,}25^{3}$ décrit $3$ réussites
consécutives, une situation très différente.

]]> $0{,}75$

]]> Probabilités additionnées : les essais étant indépendants,
leurs probabilités se multiplient.

]]> Lois discrètes — Q38 : Retrouver le paramètre d'une binomiale Une variable $X$ suit une loi binomiale d'espérance $20$ et de
variance $16$. Que vaut son paramètre $p$ ?

]]> De $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$ on tire
$\dfrac{V(X)}{E(X)} = 1 - p$, puis $p$, puis $n = \dfrac{E(X)}{p}$.
Les deux formules déterminent ainsi complètement la loi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}2$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{V(X)}{E(X)} = \dfrac{np(1-p)}{np} =
1 - p$, donc $1 - p = 0{,}8$ et $p = 0{,}2$.

]]> $0{,}8$

]]> Dernière étape oubliée : le quotient des deux données vaut
$1 - p$, il reste à le retrancher à $1$.

]]> $1{,}25$

]]> Quotient renversé : ce nombre dépasse $1$, ce qu'une
probabilité ne peut pas faire.

]]> $4$

]]> Écart-type calculé : $\sqrt{16} = 4$ mesure la
dispersion, ce n'est pas le paramètre $p$.

]]> Lois discrètes — Q39 : Probabilité sur un intervalle Pour une variable binomiale $X$, la calculatrice donne
$P(X \leq 3) = 0{,}12$ et $P(X \leq 8) = 0{,}8$.
Que vaut $P(4 \leq X \leq 8)$ ?

]]> Pour une variable à valeurs entières,
$P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$. Le piège est
la borne basse : c'est $a - 1$ qui se retranche, pas $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}68$

]]> Bonne réponse : on retire de $P(X \leq 8)$ les valeurs
inférieures à $4$, c'est-à-dire $P(X \leq 3)$, d'où
$0{,}8 - 0{,}12 = 0{,}68$.

]]> $0{,}92$

]]> Probabilités additionnées : les valeurs comptées dans $0{,}12$
sont déjà comprises dans $0{,}8$, il faut les retirer.

]]> $-0{,}68$

]]> Soustraction renversée : une probabilité ne peut pas être
négative, l'ordre des deux termes est à revoir.

]]> $0{,}2$

]]> Autre événement : ce calcul donne $P(X > 8)$ et laisse de
côté toute la partie basse de l'intervalle.

]]> Lois discrètes — Q40 : Deux espérances dans un même contexte Un standard téléphonique décroche un appel sur $4$. On note $X$
le nombre d'appels décrochés sur $20$ appels passés et $Y$ le rang
du premier appel décroché. Que valent $E(X)$ et $E(Y)$ ?

]]> Une même expérience nourrit deux lois : compter les succès sur un
nombre fixé d'épreuves donne une binomiale, d'espérance $np$ ;
attendre le premier succès donne une géométrique, d'espérance
$\dfrac{1}{p}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $E(X) = 5$ et $E(Y) = 4$

]]> Bonne réponse : $X$ est binomiale, donc $E(X) = np = 5$ ;
$Y$ est géométrique, donc $E(Y) = \dfrac{1}{p} = 4$.

]]> $E(X) = 4$ et $E(Y) = 5$

]]> Formules échangées : $np$ revient au compte de succès et
$\dfrac{1}{p}$ au temps d'attente, pas l'inverse.

]]> $E(X) = 5$ et $E(Y) = 20$

]]> Nombre d'appels recopié : l'attente moyenne ne dépend pas de
$20$, elle vaut $\dfrac{1}{p} = 4$.

]]> $E(X) = 4$ et $E(Y) = 4$

]]> Même formule appliquée deux fois : les deux variables suivent
des lois différentes, donc $E(X) = 5$.

]]> Lois discrètes — Q41 : Répondre au hasard à un questionnaire Un questionnaire comporte $20$ questions proposant chacune quatre
réponses, dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement
au hasard. Combien de bonnes réponses obtient-il en moyenne ?

]]> Modéliser, c'est reconnaître la loi : ici $n$ épreuves
indépendantes de probabilité de succès $0{,}25$, donc une loi
binomiale, dont l'espérance $np$ donne la moyenne cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le nombre de bonnes réponses suit la loi
binomiale de paramètres $20$ et $0{,}25$, d'espérance
$20 \times 0{,}25 = 5$.

]]> $20$

]]> Toutes les questions comptées : répondre au hasard ne garantit
aucune bonne réponse, et encore moins toutes.

]]> $10$

]]> Une chance sur deux supposée : avec quatre réponses proposées,
la probabilité de réussite est $0{,}25$.

]]> $\dfrac{1}{4}$

]]> Probabilité recopiée : $\dfrac{1}{4}$ vaut pour une question
isolée ; les $20$ questions se cumulent.

]]> Lois discrètes — Q42 : Une loi aux valeurs non bornées Parmi les lois discrètes du programme, laquelle peut prendre une
infinité de valeurs ?

]]> Uniforme, Bernoulli et binomiale portent sur un nombre fini de
valeurs. Seule la loi géométrique décrit une attente qui peut
durer indéfiniment, avec des probabilités décroissant très vite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi géométrique

]]> Bonne réponse : le rang du premier succès n'est pas borné, il
peut valoir $1$, $2$, $3$ et ainsi de suite sans limite.

]]> La loi binomiale

]]> Erreur : le nombre de succès va de $0$ à $n$, soit $n + 1$
valeurs possibles seulement.

]]> La loi uniforme

]]> Erreur : elle est définie sur un ensemble fini de valeurs,
toutes de même probabilité.

]]> La loi de Bernoulli

]]> Erreur : une variable de Bernoulli ne prend que deux valeurs,
$0$ et $1$.

]]> Lois discrètes — Q43 : Symétrie d'une binomiale équilibrée Soit $X$ une variable suivant la loi binomiale
$\mathcal{B}(10\,;\,0{,}5)$. À quelle autre probabilité
$P(X = 3)$ est-elle égale ?

]]> Pour $p = 0{,}5$, la loi binomiale est symétrique :
$P(X = k) = P(X = n - k)$, car $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$
et les deux puissances de $0{,}5$ coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(X = 7)$

]]> Bonne réponse : avec $p = 0{,}5$, échanger succès et échecs ne
change rien, et $\dbinom{10}{3} = \dbinom{10}{7}$.

]]> $P(X = 10)$

]]> Borne haute prise : $P(X = 10)$ correspond à $10$ succès, la
valeur la moins probable de toutes.

]]> $P(X = 4)$

]]> Valeur voisine : deux valeurs consécutives n'ont aucune raison
d'avoir la même probabilité.

]]> $P(X = 5)$

]]> Valeur centrale prise : $5$ est la valeur la plus
probable, elle ne s'apparie avec aucune autre.

]]> Lois discrètes — Q44 : Valeurs prises par une binomiale Une variable $X$ suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(12\,;\,0{,}3)$. Combien de valeurs différentes $X$
peut-elle prendre ?

]]> Une variable binomiale de paramètre $n$ prend les valeurs entières
de $0$ à $n$, soit $n + 1$ valeurs. Le paramètre $p$ ne change pas
cet ensemble, seulement les probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $13$

]]> Bonne réponse : $X$ compte les succès, de $0$ à $12$, ce qui
fait $12 + 1 = 13$ valeurs.

]]> $12$

]]> Valeur $0$ oubliée : n'obtenir aucun succès est possible, ce
qui ajoute une valeur au compte.

]]> $24$

]]> Doublement injustifié : chaque épreuve a deux issues, mais $X$
n'en retient que le nombre de succès.

]]> $11$

]]> Compte trop court : les valeurs vont de $0$ à $12$ incluses,
soit $13$ en tout.

]]> Lois discrètes — Q45 : Espérance sur des valeurs décalées Une roue porte les numéros entiers de $4$ à $12$, tous
équiprobables. Quelle est l'espérance du numéro obtenu ?

]]> Sur une loi uniforme portant sur des entiers consécutifs,
l'espérance est la moyenne des deux valeurs extrêmes. Le cas
$\{1, \ldots, n\}$, d'espérance $\dfrac{n+1}{2}$, en est un cas
particulier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$

]]> Bonne réponse : les valeurs sont régulièrement réparties, donc
la moyenne est celle des extrêmes :
$\dfrac{4 + 12}{2} = 8$.

]]> $4$

]]> Différence au lieu d'une somme : $4$ mesure la
moitié de l'étendue, pas la position du centre.

]]> $6$

]]> Borne basse ignorée : la roue ne commence pas à $0$ mais à
$4$, ce qui décale la moyenne vers le haut.

]]> $9$

]]> Nombre de secteurs calculé : $9$ compte les numéros
présents, il ne dit rien de leur moyenne.

]]> Lois discrètes — Q46 : Nombre moyen de succès Une variable $X$ suit la loi binomiale
$\mathcal{B}(50\,;\,0{,}4)$. Que vaut $E(X)$ ?

]]> Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre d'épreuves
multiplié par la probabilité de succès. Formule admise au
programme, et cohérente avec l'intuition de la proportion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$

]]> Bonne réponse : $E(X) = np = 50 \times 0{,}4 = 20$.

]]> $50$

]]> Nombre d'épreuves recopié : toutes ne sont pas des succès, une
proportion $0{,}4$ seulement l'est en moyenne.

]]> $12$

]]> Variance calculée : $np(1 - p) = 12$ mesure la
dispersion, pas la valeur moyenne.

]]> $0{,}4$

]]> Paramètre recopié : $0{,}4$ est l'espérance d'une seule épreuve ;
sur $50$ répétitions, elle est multipliée par $50$.

]]> Lois discrètes — Q47 : Le premier coefficient d'une ligne Chaque ligne du triangle de Pascal commence par le coefficient
$\dbinom{n}{0}$. Quelle égalité est exacte pour tout entier $n$
supérieur ou égal à $1$ ?

]]> Chaque ligne du triangle de Pascal commence et finit par $1$ :
$\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$. Dans la formule binomiale, ce
coefficient donne $P(X = 0) = (1 - p)^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dbinom{n}{0} = 1$

]]> Bonne réponse : il existe une seule façon de n'obtenir aucun
succès, le chemin où toutes les épreuves échouent.

]]> $\dbinom{n}{0} = 0$

]]> Confusion : « aucun succès » n'est pas « aucune possibilité ».
Ce cas existe, et d'une seule manière.

]]> $\dbinom{n}{0} = n$

]]> Coefficient voisin : $n$ est la valeur de $\dbinom{n}{1}$, le
nombre de chemins à exactement un succès.

]]> $\dbinom{n}{0} = n + 1$

]]> Erreur : $n + 1$ est le nombre de coefficients de la ligne,
de $\dbinom{n}{0}$ à $\dbinom{n}{n}$.

]]> Lois discrètes — Q48 : Réussir au deuxième essai Un archer atteint la cible avec la probabilité $0{,}3$ à chaque tir,
indépendamment des précédents. Quelle est la probabilité qu'il
atteigne la cible pour la première fois à son deuxième tir ?

]]> Pour une loi géométrique, $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$. Au rang $2$,
cela donne un échec suivi d'un succès, soit $(1 - p)p$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}21$

]]> Bonne réponse : le premier tir échoue, avec la probabilité
$0{,}7$, puis le second réussit :
$0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21$.

]]> $0{,}09$

]]> Deux réussites comptées : $0{,}3 \times 0{,}3$ décrit deux tirs
réussis, alors que le premier doit manquer.

]]> $0{,}6$

]]> Probabilités additionnées : les deux tirs étant indépendants,
leurs probabilités se multiplient.

]]> $0{,}7$

]]> Second tir oublié : $0{,}7$ ne décrit que l'échec du premier
tir, il reste à réussir le second.

]]> Lois discrètes — Q49 : Dispersion des moyennes d'échantillons Une variable aléatoire a pour écart type $\sigma = 2$. On simule un
grand nombre d'échantillons de taille $n = 100$ et l'on calcule
l'écart type $s$ de la série des moyennes. Autour de quelle valeur se
situe $s$ ?

]]> La simulation permet de constater que la moyenne d'un échantillon
de taille $n$ fluctue avec un écart type voisin de
$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}2$

]]> Bonne réponse : l'écart type des moyennes est proche de
$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2}{10}$.

]]> $2$

]]> Erreur : les moyennes d'échantillons fluctuent bien moins que les
valeurs individuelles.

]]> $0{,}02$

]]> Erreur : on divise $\sigma$ par $\sqrt{n} = 10$, pas par
$n = 100$.

]]> $20$

]]> Erreur : l'écart type diminue quand la taille de l'échantillon
augmente, il ne se multiplie pas.

]]> Lois discrètes — Q50 : Espérance d'une loi binomiale $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}3$.
Que vaut $E(X)$ ?

]]> Pour une loi binomiale, $E(X) = np$ : le nombre moyen de succès sur
$n$ épreuves.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $E(X) = np = 20 \times 0{,}3 = 6$.

]]> $20$

]]> Erreur : $20$ est le nombre d'épreuves ; en moyenne, seule une
proportion $p$ d'entre elles sont des succès.

]]> $4{,}2$

]]> Erreur : $4{,}2$ est la variance $np(1 - p)$, pas l'espérance.

]]> $0{,}3$

]]> Erreur : $0{,}3$ est la probabilité d'un succès, pas le nombre
moyen de succès.

]]> Lois discrètes — Q51 : Espérance d'une loi géométrique On répète une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès
$p = 0{,}2$ jusqu'au premier succès. Combien d'épreuves faut-il en
moyenne ?

]]> Loi géométrique de paramètre $p$ : $E(X) = \dfrac{1}{p}$. Plus le
succès est rare, plus il faut attendre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$, soit $\dfrac{1}{0{,}2}$

]]> Bonne réponse : le rang du premier succès suit la loi
géométrique de paramètre $p$, d'espérance $\dfrac{1}{p} = 5$.

]]> $0{,}2$, la probabilité du succès

]]> Erreur : $0{,}2$ est une probabilité, pas un nombre d'épreuves.

]]> $0{,}8$, la probabilité d'un échec

]]> Erreur : $1 - p$ est la probabilité d'un échec, sans rapport
avec le nombre moyen d'épreuves.

]]> $10$, deux fois $\dfrac{1}{0{,}2}$

]]> Erreur : $\dfrac{2}{p}$ n'est pas l'espérance ; relisez la
formule.

]]> Lois discrètes — Q52 : Variance d'une loi binomiale $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}3$.
Que vaut $V(X)$ ?

]]> Variance d'une binomiale : $np(1 - p)$ ; l'écart-type en est la
racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4{,}2$

]]> Bonne réponse : $V(X) = np(1 - p) = 20 \times 0{,}3 \times 0{,}7
= 4{,}2$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est l'espérance $np$ ; il manque le facteur
$1 - p$.

]]> $1{,}8$

]]> Erreur : $np^2$ n'est pas la variance ; le second facteur est
$1 - p$, pas $p$.

]]> $0{,}7$

]]> Erreur : $1 - p$ n'est qu'un facteur de la formule.

]]> Lois discrètes — Q53 : Choisir le nombre d'épreuves pour une espérance donnée Un tireur réussit chaque tir avec la probabilité $0{,}25$, les tirs
étant indépendants. Combien de tirs doit-il effectuer pour que le
nombre moyen de réussites soit $15$ ?

]]> On inverse la formule de l'espérance : $n = \dfrac{E(X)}{p}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60$ tirs

]]> Bonne réponse : $E(X) = np = 15$ donne
$n = \dfrac{15}{0{,}25} = 60$.

]]> $15$ tirs

]]> Erreur : avec $15$ tirs, le nombre moyen de réussites serait
$15 \times 0{,}25 = 3{,}75$.

]]> $25$ tirs

]]> Erreur : $25$ tirs donneraient en moyenne $25 \times 0{,}25$
réussites, pas $15$.

]]> $3{,}75$ tirs

]]> Erreur : $3{,}75$ est le produit $15 \times 0{,}25$, sans
signification ici, et un nombre de tirs est entier.

]]> Lois discrètes — Q54 : Écart-type et nombre d'épreuves $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0{,}5$,
et $Y$ la loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p = 0{,}5$.
Comment leurs écarts-types se comparent-ils ?

]]> L'écart-type d'une binomiale croît comme $\sqrt{n}$ : il est
multiplié par $2$ quand $n$ est multiplié par $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sigma(Y) = 10$ est le double de $\sigma(X) = 5$

]]> Bonne réponse : $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ ; $\sqrt{25} = 5$ et
$\sqrt{100} = 10$. Multiplier $n$ par $4$ multiplie l'écart-type
par $\sqrt{4} = 2$.

]]> $\sigma(Y)$ est le quadruple de $\sigma(X)$

]]> Erreur : c'est la variance qui est multipliée par $4$ ;
l'écart-type, sa racine carrée, l'est par $2$.

]]> Ils sont égaux, $p$ étant le même

]]> Erreur : l'écart-type dépend aussi de $n$.

]]> $\sigma(Y)$ est la moitié de $\sigma(X)$

]]> Erreur : plus d'épreuves donne un écart-type plus grand en
valeur absolue, même si la proportion de succès fluctue moins.

]]> Lois discrètes — Q55 : Lire une probabilité conditionnelle Pour un test médical, on note $M$ l'événement « la personne est
malade » et $T$ l'événement « le test est positif ». Que
représente $P_T(M)$ ?

]]> Dans $P_T(M)$, on se restreint aux personnes dont le test est
positif et l'on mesure la part de malades parmi elles. La
distinction entre $P_T(M)$ et $P_M(T)$ est l'objectif central de
l'inférence bayésienne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité d'être malade sachant que le test est positif

]]> Bonne réponse : l'événement placé en indice, ici $T$, est
celui que l'on sait réalisé.

]]> La probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est
malade

]]> Conditionnement inversé : cette phrase décrit $P_M(T)$, la
sensibilité du test, en général différente de $P_T(M)$.

]]> La probabilité d'être malade et d'avoir un test positif à la
fois

]]> Intersection : « à la fois » décrit $P(M \cap T)$, qui vaut
$P(T) \times P_T(M)$.

]]> La probabilité d'avoir un test positif, malade ou non

]]> Probabilité non conditionnelle : c'est $P(T)$, qui ne tient
pas compte de l'état de la personne.

]]> Lois discrètes — Q56 : Probabilité d'une intersection On sait que $P(A) = 0{,}3$ et $P_A(B) = 0{,}6$. Que vaut $P(A \cap B)$
?

]]> Sur un arbre pondéré, la probabilité d'un chemin est le produit
des probabilités lues sur ses branches :
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}18$

]]> Bonne réponse :
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$.

]]> $0{,}6$

]]> Facteur $P(A)$ oublié : $0{,}6$ est la probabilité de $B$ parmi
les issues de $A$ seulement.

]]> $0{,}3$

]]> Probabilité de $A$ recopiée : il faut encore la multiplier par
$P_A(B) = 0{,}6$.

]]> $0{,}12$

]]> Mauvaise branche : $0{,}3 \times (1 - 0{,}6) = 0{,}12$ est
$P(A \cap \overline{B})$.

]]> Lois discrètes — Q57 : Formule des probabilités totales Sur un arbre, $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et
$P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?

]]> $B$ se réalise soit avec $A$, soit avec $\overline{A}$ :
$P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$, somme
des chemins qui mènent à $B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}4$

]]> Bonne réponse :
$P(B) = 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}4$.

]]> $0{,}9$

]]> Conditionnelles additionnées sans pondération : chaque
probabilité conditionnelle doit être multipliée par celle de
sa branche.

]]> $0{,}28$

]]> Un seul chemin compté : $0{,}28$ est $P(A \cap B)$ ; il
manque le chemin passant par $\overline{A}$.

]]> $0{,}45$

]]> Moyenne simple des conditionnelles : elle suppose
$P(A) = 0{,}5$, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> Lois discrètes — Q58 : Inverser un conditionnement Sur un arbre, $P(A) = 0{,}5$, $P_A(B) = 0{,}6$ et
$P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$. On observe que $B$ est réalisé. Que
vaut $P_B(A)$ ?

]]> Formule de Bayes : $P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\,P(A)}{P(B)}$. On
calcule d'abord $P(B)$ par la formule des probabilités totales,
puis on divise la probabilité du chemin $A \cap B$ par $P(B)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}75$

]]> Bonne réponse : $P(B) = 0{,}4$ et
$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75$.

]]> $0{,}6$

]]> Conditionnement non inversé : $0{,}6$ est $P_A(B)$, alors que la
question porte sur $A$ sachant $B$.

]]> $0{,}3$

]]> Division oubliée : $0{,}3$ est $P(A \cap B)$, qu'il faut
encore diviser par $P(B) = 0{,}4$.

]]> $0{,}4$

]]> Dénominateur seul : $0{,}4$ est $P(B)$, calculée par les
probabilités totales, et non $P_B(A)$.

]]> Lois discrètes — Q59 : Valeur prédictive positive d'un test Une maladie touche une proportion $0{,}01$ de la population. Un test
a une sensibilité $P_M(T) = 0{,}99$ et une spécificité
$P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}95$. Que vaut, arrondie au
centième, la probabilité d'être malade sachant que le test est
positif ?

]]> Quand la maladie est rare, les faux positifs, issus d'une
population saine très nombreuse, peuvent dépasser les vrais
positifs : la valeur prédictive positive reste alors modeste même
pour un test fiable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}17$

]]> Bonne réponse : $P(M \cap T) = 0{,}0099$,
$P(\overline{M} \cap T) = 0{,}0495$, donc
$P_T(M) = \dfrac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0495} \approx 0{,}17$.

]]> $0{,}99$

]]> Sensibilité recopiée : $0{,}99$ est $P_M(T)$, la probabilité
d'un test positif chez un malade, et non l'inverse.

]]> $0{,}95$

]]> Spécificité recopiée : elle concerne les personnes non malades
et ne répond pas à la question posée.

]]> $0{,}0099$

]]> Intersection seule : $0{,}0099$ est $P(M \cap T)$ ; il faut la
diviser par $P(T)$, qui compte aussi les faux positifs.

]]> Lois discrètes — Q60 : Définition de la sensibilité Avec $M$ « la personne est malade » et $T$ « le test est positif
», quelle probabilité désigne la sensibilité du test ?

]]> Sensibilité $P_M(T)$ et spécificité
$P_{\overline{M}}(\overline{T})$ sont des propriétés du test. Les
valeurs prédictives $P_T(M)$ et $P_{\overline{T}}(\overline{M})$
dépendent en plus de la proportion de malades.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P_M(T)$, un test positif chez un malade

]]> Bonne réponse : la sensibilité mesure la capacité du test à
détecter les malades.

]]> $P_T(M)$, être malade quand le test est positif

]]> Conditionnement inversé : $P_T(M)$ est la valeur prédictive
positive, qui dépend aussi de la proportion de malades.

]]> $P_{\overline{M}}(\overline{T})$, un test négatif chez un
non-malade

]]> Spécificité : cette probabilité mesure la capacité du test à
reconnaître les personnes saines.

]]> $P(M \cap T)$, être malade avec un test positif

]]> Intersection : elle dépend de la proportion de malades,
contrairement à la sensibilité, propriété du test.

]]> Lois discrètes — Q61 : Probabilité d'un faux positif Un test a une spécificité de $0{,}95$ et une sensibilité de $0{,}9$.
Quelle est la probabilité qu'une personne non malade obtienne un
test positif ?

]]> Sachant $\overline{M}$, le test est soit négatif, soit positif :
$P_{\overline{M}}(T) = 1 - P_{\overline{M}}(\overline{T})$. C'est
la probabilité d'un faux positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}05$

]]> Bonne réponse :
$P_{\overline{M}}(T) = 1 - P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 1 - 0{,}95 = 0{,}05$.

]]> $0{,}95$

]]> Spécificité recopiée : $0{,}95$ est la probabilité d'un test
négatif chez une personne non malade, l'événement contraire.

]]> $0{,}1$

]]> Faux négatif : $1 - 0{,}9 = 0{,}1$ concerne les malades dont le
test est négatif.

]]> $0{,}9$

]]> Sensibilité recopiée : elle porte sur les malades, alors que
la question porte sur les personnes saines.

]]> Lois discrètes — Q62 : Valeur prédictive négative d'un test Une maladie touche une proportion $0{,}1$ de la population ; un test
a une sensibilité de $0{,}9$ et une spécificité de $0{,}95$. Que
vaut, arrondie au centième, la probabilité de ne pas être malade
sachant que le test est négatif ?

]]> La valeur prédictive négative $P_{\overline{T}}(\overline{M})$ se
calcule comme la positive : on divise la probabilité du chemin
$\overline{M} \cap \overline{T}$ par $P(\overline{T})$, somme des
deux chemins qui aboutissent à un test négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}99$

]]> Bonne réponse : $P(\overline{M} \cap \overline{T}) = 0{,}855$,
$P(M \cap \overline{T}) = 0{,}01$, d'où
$\dfrac{0{,}855}{0{,}855 + 0{,}01} \approx 0{,}99$.

]]> $0{,}95$

]]> Spécificité recopiée : $0{,}95$ est
$P_{\overline{M}}(\overline{T})$ ; la question demande le
conditionnement inverse.

]]> $0{,}9$

]]> Proportion de non-malades : $0{,}9$ est la probabilité a
priori, avant de connaître le résultat du test.

]]> $0{,}67$

]]> Valeur prédictive positive : $0{,}67$ est la probabilité d'être
malade sachant le test positif, une autre question.

]]> Lois discrètes — Q63 : De quelle urne vient la boule L'urne $U_1$ contient $3$ boules rouges sur $5$, l'urne
$U_2$ en contient $1$ sur $5$. On choisit une urne à pile ou
face, puis on tire une boule : elle est rouge. Quelle est la
probabilité qu'elle vienne de $U_1$ ?

]]> On construit l'arbre : $U_1$ ou $U_2$ avec probabilité $0{,}5$,
puis la couleur. La formule de Bayes donne
$P_R(U_1) = \dfrac{P(U_1 \cap R)}{P(R)}$ : l'observation d'une
rouge rend $U_1$ plus probable.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{4}$

]]> Bonne réponse :
$P_R(U_1) = \dfrac{0{,}5 \times \dfrac{3}{5}}{0{,}5 \times \dfrac{3}{5} + 0{,}5 \times \dfrac{1}{5}} = \dfrac{3}{4}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Probabilité a priori : $\dfrac{1}{2}$ ignore l'information
apportée par la couleur, plus fréquente dans $U_1$.

]]> $\dfrac{3}{5}$

]]> Conditionnement inversé : $\dfrac{3}{5}$ est $P_{U_1}(R)$, la
probabilité de tirer une rouge dans $U_1$.

]]> $\dfrac{2}{5}$

]]> Urnes fusionnées : $\dfrac{2}{5}$ compterait les rouges des deux
urnes réunies, ce qui n'est pas l'expérience décrite.

]]> Lois discrètes — Q64 : Conditionnement et indépendance Deux événements $A$ et $B$, avec $P(A) > 0$, vérifient
$P_A(B) = P(B)$. Que peut-on en conclure ?

]]> $P_A(B) = P(B)$ équivaut à $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ : c'est la
définition de l'indépendance. L'information « $A$ est réalisé »
n'apporte alors rien sur $B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$ et $B$ sont indépendants

]]> Bonne réponse : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la
probabilité de $B$, d'où $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

]]> $A$ et $B$ sont incompatibles

]]> Confusion : incompatibles signifie $P(A \cap B) = 0$, ce qui
donnerait $P_A(B) = 0$ et non $P(B)$.

]]> $A$ et $B$ ont la même probabilité

]]> Conclusion sans fondement : l'égalité porte sur $B$ seul et ne
dit rien de $P(A)$.

]]> $B$ est inclus dans l'événement $A$

]]> Inclusion : si $B \subset A$, alors
$P_A(B) = \dfrac{P(B)}{P(A)}$, différent de $P(B)$ dès que
$P(A) < 1$.

]]> Lois discrètes — Q65 : Valeur prédictive et proportion de malades Un test a une sensibilité de $0{,}99$ et une spécificité de
$0{,}95$. Comment évolue la probabilité d'être malade sachant le
test positif quand la proportion $p$ de malades augmente ?

]]> $P_T(M) = \dfrac{0{,}99p}{0{,}99p + 0{,}05(1 - p)}$ est une
fonction croissante de $p$. Un dépistage de masse dans une
population peu touchée produit donc beaucoup de faux positifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle augmente avec $p$

]]> Bonne réponse : elle vaut environ $0{,}17$ pour $p = 0{,}01$
et environ $0{,}69$ pour $p = 0{,}1$ ; les vrais positifs
pèsent de plus en plus.

]]> Elle reste égale à $0{,}99$

]]> Sensibilité confondue avec la valeur prédictive : $0{,}99$ est
$P_M(T)$, qui ne dépend pas de $p$, contrairement à $P_T(M)$.

]]> Elle diminue quand $p$ augmente

]]> Sens inversé : pour $p = 0{,}01$ on trouve environ $0{,}17$,
pour $p = 0{,}1$ environ $0{,}69$.

]]> Elle reste égale à $0{,}95$

]]> Spécificité confondue avec la valeur prédictive : la
spécificité est une propriété fixe du test.

]]> Lois discrètes — Q66 : Une erreur de raisonnement au tribunal Un expert déclare : « Si l'accusé était innocent, cet indice
n'aurait que $1\ \%$ de chances d'apparaître. Il y a donc $99\ \%$
de chances qu'il soit coupable. » Quelle est l'erreur ?

]]> Calculer $P_E(I)$ demande la probabilité a priori d'innocence et
$P_{\overline{I}}(E)$. Si beaucoup d'innocents peuvent présenter
l'indice, $P_E(I)$ peut rester élevée malgré les $1\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il confond $P_I(E)$ et $P_E(I)$

]]> Bonne réponse : $1\ \%$ est la probabilité de l'indice $E$
sachant l'innocence $I$ ; la conclusion porte sur l'innocence
sachant l'indice, qui exige la formule de Bayes.

]]> Aucune, car $P(\overline{I}) = 1 - P(I)$

]]> La formule du contraire est juste, mais elle s'applique à
$P_E(I)$, que l'expert n'a pas calculée.

]]> Il aurait dû multiplier $0{,}01$ par $0{,}99$

]]> Produit sans signification : $0{,}01 \times 0{,}99$ ne
correspond à aucun chemin de l'arbre décrit.

]]> Il aurait dû additionner $1\ \%$ et $99\ \%$

]]> Somme sans objet : elle vaut $1$ et ne renseigne pas sur la
culpabilité.

]]> Lois discrètes — Q67 : Plus petit entier k tel que P(X ≤ k) ≥ 0,95 $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$. La
calculatrice donne $P(X \leq 14) \approx 0{,}939$,
$P(X \leq 15) \approx 0{,}969$ et $P(X \leq 16) \approx 0{,}986$.
Quel est le plus petit entier $k$ tel que
$P(X \leq k) \geq 0{,}95$ ?

]]> On parcourt les valeurs de la fonction de répartition jusqu'au
premier $k$ qui franchit $0{,}95$. L'intervalle $[0\,;\,k]$
vérifie alors $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ avec $\alpha = 0{,}05$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $k = 15$

]]> Bonne réponse : $P(X \leq 14) \approx 0{,}939$ reste sous
$0{,}95$, et $P(X \leq 15) \approx 0{,}969$ le dépasse.

]]> $k = 14$

]]> Seuil non atteint : $P(X \leq 14) \approx 0{,}939$ est
inférieur à $0{,}95$.

]]> $k = 16$

]]> Pas le plus petit : $16$ convient, mais $15$ convient
déjà.

]]> $k = 10$

]]> Espérance : $np = 10$ est la valeur moyenne de $X$ ; on a
seulement $P(X \leq 10)$ proche de $0{,}5$.

]]> Lois discrètes — Q68 : Surréservation d'un avion Une compagnie vend $160$ billets pour un avion de $150$ places.
Chaque passager se présente avec la probabilité $0{,}9$,
indépendamment des autres, et $X$ compte les passagers présents.
La calculatrice donne $P(X \leq 150) \approx 0{,}964$. Quelle est la
probabilité qu'au moins un passager présent reste sans place ?

]]> $X$ suit $\mathcal{B}(160\,;\,0{,}9)$. Le risque se lit sur
l'événement $X > 150$ ; la compagnie choisit le nombre de billets
pour que ce risque reste inférieur à un seuil $\alpha$ fixé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $0{,}036$

]]> Bonne réponse : il y a surréservation quand $X > 150$, de
probabilité $1 - P(X \leq 150) \approx 0{,}036$.

]]> Environ $0{,}964$

]]> Événement contraire : $0{,}964$ est la probabilité que tous les
passagers présents trouvent une place.

]]> Exactement $0{,}1$

]]> Probabilité d'absence d'un passager : elle ne mesure pas le
risque de dépasser $150$ présents.

]]> Environ $144$

]]> Espérance de $X$ : $160 \times 0{,}9 = 144$ passagers en
moyenne, ce n'est pas une probabilité.

]]> Lois discrètes — Q69 : Tester une pièce de monnaie Sous l'hypothèse d'une pièce équilibrée, le nombre $X$ de « pile »
sur $100$ lancers suit $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$, et
$P(40 \leq X \leq 60) \approx 0{,}965$. On obtient $63$ « pile ».
Que décide-t-on au seuil $0{,}95$ ?

]]> On construit un intervalle $I$ tel que $P(X \in I) \geq 0{,}95$
sous le modèle. Une observation hors de $I$ conduit à rejeter le
modèle, avec un risque d'erreur au plus $0{,}05$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On rejette l'hypothèse d'une pièce équilibrée

]]> Bonne réponse : $63$ est hors de l'intervalle $[40\,;\,60]$,
qui contient $X$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ sous
l'hypothèse.

]]> On garde l'hypothèse, $63$ restant proche de $50$

]]> Appréciation à l'œil : la règle de décision compare
l'observation à l'intervalle, et $63$ en sort.

]]> On prouve que la pièce est truquée

]]> Certitude abusive : une pièce équilibrée donne un résultat
hors de l'intervalle avec une probabilité d'environ $0{,}035$.

]]> On ne peut rien décider sans relancer la pièce

]]> Démarche incomplète : la règle de décision permet de conclure
avec l'échantillon obtenu.

]]> Lois discrètes — Q70 : Sens de la condition P(X ∈ I) ≥ 0,95 Pour une variable $X$ de loi binomiale, on a construit un
intervalle $I$ tel que $P(X \in I) \geq 0{,}95$. Que signifie
cette condition ?

]]> L'intervalle traduit la fluctuation d'échantillonnage attendue si
le modèle est vrai. C'est la base de la règle de décision : une
observation très improbable sous le modèle conduit à le remettre
en cause.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sous le modèle, $X$ tombe dans $I$ au moins $95$ fois sur
$100$

]]> Bonne réponse : c'est une probabilité calculée en supposant le
modèle vrai ; elle mesure la fluctuation de $X$.

]]> Le modèle est exact avec une probabilité d'au moins $0{,}95$

]]> Inversion : la probabilité porte sur $X$ sachant le modèle, et
non sur le modèle sachant l'observation.

]]> $X$ prend au moins $95\ \%$ des valeurs de l'intervalle $I$

]]> Lecture erronée : on mesure la probabilité que $X$ appartienne
à $I$, pas une part des valeurs de $I$.

]]> Toutes les valeurs de $I$ ont une probabilité au moins
$0{,}95$

]]> Confusion entre l'intervalle entier et chacune de ses valeurs,
de probabilité bien plus faible.

]]> Lois discrètes — Q71 : Une observation dans l'intervalle Un fabricant annonce $10\ \%$ de pièces défectueuses. Sur un
échantillon, le nombre de pièces défectueuses observé appartient à
l'intervalle $I$ tel que $P(X \in I) \geq 0{,}95$ sous ce modèle.
Que conclut-on ?

]]> Une observation dans $I$ ne démontre pas le modèle : elle signifie
seulement que l'échantillon ne le contredit pas. Seule une
observation hors de $I$ conduit à une décision, le rejet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne rejette pas l'annonce du fabricant

]]> Bonne réponse : l'observation est compatible avec le modèle ;
on n'a pas de raison de le remettre en cause.

]]> L'annonce du fabricant est prouvée exacte

]]> Conclusion trop forte : d'autres proportions proches de
$10\ \%$ donneraient aussi une observation dans $I$.

]]> On rejette l'annonce au risque de $5\ \%$

]]> Décision inversée : on rejette lorsque l'observation sort de
$I$, pas lorsqu'elle y tombe.

]]> La proportion vaut exactement $10\ \%$ dans l'échantillon

]]> Confusion entre fréquence observée et proportion du modèle :
la fréquence fluctue autour de $0{,}1$.

]]> Lois discrètes — Q72 : Simuler une loi binomiale en Python La fonction random() renvoie un réel uniformément réparti dans
$[0\,;\,1[$. Quelle loi suit la valeur renvoyée par
simule(20, 0.3) ?
def simule(n, p):
    s = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            s = s + 1
    return s

]]> random() < p est vrai avec la probabilité $p$ : c'est une
épreuve de Bernoulli. Répéter $n$ épreuves indépendantes et
compter les succès réalise un schéma de Bernoulli, donc une loi
binomiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$

]]> Bonne réponse : $20$ épreuves indépendantes, chacune réussie
avec la probabilité $0{,}3$, et s compte les succès.

]]> La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$

]]> Une seule épreuve : la loi de Bernoulli décrit le test
random() < p isolé, alors que la boucle en répète vingt.

]]> La loi géométrique de paramètre $0{,}3$

]]> Temps d'attente : la boucle ne s'arrête pas au premier succès,
elle effectue toujours vingt tirages.

]]> La loi uniforme sur $\{0, 1, \ldots, 20\}$

]]> Équiprobabilité supposée : les valeurs proches de
$20 \times 0{,}3 = 6$ sont bien plus fréquentes que $0$ ou
$20$.

]]> Lois discrètes — Q73 : Reconnaître une loi sur son diagramme Diagramme en bâtons pour k de 0 à 10. Les hauteurs, environ 0,03 ; 0,12 ; 0,23 ; 0,27 ; 0,20 ; 0,10 ; 0,04 ; 0,01 puis presque nulles, montent jusqu'au maximum en k = 3 puis décroissent.

Le diagramme en bâtons représente la loi d'une variable aléatoire
$X$ à valeurs dans $\{0, 1, \ldots, 10\}$. Quelle loi peut-il
représenter ?

]]> Le diagramme d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ est en
cloche, avec un maximum proche de l'espérance $np$. Il est
symétrique seulement pour $p = 0{,}5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$

]]> Bonne réponse : la distribution est centrée vers
$10 \times 0{,}3 = 3$, valeur la plus probable.

]]> La loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}7)$

]]> Diagramme symétrique : avec $p = 0{,}7$, le maximum serait
vers $7$.

]]> La loi géométrique de paramètre $0{,}3$

]]> Une loi géométrique est décroissante dès la valeur $1$ et ne
prend pas la valeur $0$.

]]> La loi uniforme sur $\{0, 1, \ldots, 10\}$

]]> Une loi uniforme aurait onze bâtons de même hauteur.

]]> Lois discrètes — Q74 : Lire le paramètre d'une loi géométrique Diagramme en bâtons pour k de 1 à 7, aux hauteurs décroissantes : 0,4 ; 0,24 ; 0,144 ; environ 0,09 ; 0,05 ; 0,03 ; 0,02. Chaque bâton vaut 0,6 fois le précédent.

Le diagramme représente $P(X = k)$ pour une variable $X$ de loi
géométrique. Quel est son paramètre $p$ ?

]]> Pour une loi géométrique, $P(X = 1) = p$ et chaque bâton s'obtient
en multipliant le précédent par $1 - p$ :
$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $p = 0{,}4$

]]> Bonne réponse : $P(X = 1) = p$, la hauteur du premier bâton.

]]> $p = 0{,}6$

]]> Rapport entre deux bâtons consécutifs : il vaut $1 - p$, la
probabilité d'un échec.

]]> $p = 0{,}24$

]]> Hauteur du deuxième bâton :
$P(X = 2) = (1 - p)p = 0{,}6 \times 0{,}4$.

]]> $p = 2{,}5$

]]> Espérance $\dfrac{1}{p}$ : une probabilité ne dépasse jamais
$1$.

]]>