$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Primitives et équations différentielles Notion de solution d'une équation différentielle, primitives
(équation $y' = f$, unicité à constante près), reconnaissance
des formes $2uu'$, $e^u u'$ et $\dfrac{u'}{u}$, équations
différentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ : solution
particulière constante et solution générale, vérification
qu'une fonction est solution.

]]> Primitives et équations différentielles — Q01 : Vérifier une solution La fonction $f(x) = 5\,e^{2x}$ est-elle solution de
l'équation différentielle $y' = 2y$ ?

]]> Capacité attendue : vérifier qu'une fonction donnée est
solution en la dérivant et en substituant. $f' = 10e^{2x} =
2f$ : solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $f' = 2f$

]]> Bonne réponse : on dérive et on compare : $f'(x) =
10\,e^{2x} = 2 \times 5\,e^{2x} = 2\,f(x)$ pour tout
$x$. C'est la méthode de vérification attendue.

]]> Non, car $f(0) = 5 \neq 2$

]]> Erreur : l'équation $y' = 2y$ ne fixe aucune valeur en
$0$ ; elle relie la dérivée à la fonction, ce que
$f$ respecte.

]]> Non, car il y a un $5$ en facteur

]]> Erreur : tout multiple $C\,e^{2x}$ convient : le facteur
se conserve en dérivant et se simplifie dans l'équation.

]]> On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation

]]> Erreur : vérifier est plus simple que résoudre : on
dérive la candidate et on teste l'égalité.

]]> Primitives et équations différentielles — Q02 : Primitive et équation $y' = f$ Chercher une primitive de $f$ revient à résoudre quelle
équation différentielle ?

]]> Lien fondateur du chapitre : primitive de $f$ $=$ solution
de $y' = f$. Deux primitives d'une même fonction continue
sur un intervalle diffèrent d'une constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y' = f$

]]> Bonne réponse : une primitive de $f$ est une fonction
dont la dérivée est $f$ : c'est l'équation
différentielle la plus simple.

]]> $y' = y$

]]> Erreur : $y' = y$ définit l'exponentielle (la dérivée
égale la fonction inconnue, pas une fonction
donnée).

]]> $y = f'$

]]> Sens inversé : ceci demanderait de dériver $f$. La
primitivation remonte : $y' = f$.

]]> $y' = 0$

]]> Erreur : $y' = 0$ caractérise les fonctions constantes.
La primitive répond à $y' = f$ pour un $f$ quelconque.

]]> Primitives et équations différentielles — Q03 : L'ensemble des primitives $F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur
$\mathbb{R}$. Quelles sont toutes les primitives de $f$ ?

]]> Théorème (démonstration possible) : sur un intervalle, les
primitives de $f$ s'écrivent $F + C$. Une condition (valeur
en un point) fixe $C$ et isole une primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions $x \mapsto x^2 + C$

]]> Bonne réponse, $C$ constante réelle : deux primitives
d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une
constante, la famille complète est $x^2 + C$.

]]> La seule fonction $x \mapsto x^2$

]]> Incomplet : $x^2 + 7$ se dérive aussi en $2x$. Il y a
une infinité de primitives, décalées verticalement.

]]> Les fonctions $x \mapsto Cx^2$

]]> Erreur : $(Cx^2)' = 2Cx \neq 2x$ dès que $C \neq 1$. La
liberté est additive ($+C$), pas multiplicative.

]]> Les fonctions $x \mapsto x^2 + Cx$

]]> Erreur : $(x^2 + Cx)' = 2x + C \neq 2x$ pour $C \neq 0$.
Seule une constante ajoutée disparaît en dérivant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q04 : Reconnaître la forme $2u'u$ Quelle est une primitive de $f(x) = 2 \times 3 \times
(3x + 1)$, c'est-à-dire $f = 2u'u$ avec $u(x) = 3x + 1$ ?

]]> Formes à reconnaître (capacité attendue) : $2u'u \to u^2$ ;
$u'e^u \to e^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (pour $u > 0$).
Toujours contrôler en redérivant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = (3x + 1)^2$

]]> Bonne réponse : $(u^2)' = 2u'u$ : la forme $2u'u$ se
primitive en $u^2$. Contrôle : $\left((3x+1)^2\right)' =
2 \times 3 \times (3x+1)$.

]]> $F(x) = (3x + 1)^3$

]]> Erreur : $(u^3)' = 3u'u^2$, une autre forme. Ici
l'exposant de départ est $1$ : la primitive est $u^2$.

]]> $F(x) = 6x^2 + 2x$

]]> Erreur : $(6x^2 + 2x)' = 12x + 2$, alors que $f(x) = 18x + 6$. En
développant, une primitive correcte serait $9x^2 + 6x$ ; vérifie toujours en
dérivant.

]]> $F(x) = 2(3x + 1)$

]]> Erreur : $\left(2(3x+1)\right)' = 6$, constant : ce
n'est pas $f$. La structure $2u'u$ appelle $u^2$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q05 : Reconnaître la forme $u'e^u$ Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?

]]> $f = u'e^u$ avec $u = x^2$ : primitive $e^u$. La présence du
facteur $u' = 2x$ devant l'exponentielle est le signal à
repérer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = e^{x^2}$

]]> Bonne réponse : avec $u = x^2$, $u' = 2x$ : $f = u'e^u$,
de primitive $e^u = e^{x^2}$.

]]> $F(x) = x^2\,e^{x^2}$

]]> Erreur : dériver ce produit donne $2x\,e^{x^2} +
x^2 \times 2x\,e^{x^2}$, un terme de trop. La primitive
de $u'e^u$ est $e^u$ tout court.

]]> $F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2x}$

]]> Erreur : « diviser par la dérivée de l'intérieur » ne
marche que pour un intérieur affine. Ici la
vérification échoue (dérivée d'un quotient).

]]> $F(x) = 2\,e^{x^2}$

]]> Erreur : $\left(2e^{x^2}\right)' = 4x\,e^{x^2}$, le
double de $f$. Le facteur $2x$ est exactement $u'$ :
aucun coefficient à ajouter.

]]> Primitives et équations différentielles — Q06 : Reconnaître la forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?

]]> $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ (pour $u > 0$). Repérer au
numérateur la dérivée exacte du dénominateur : ici
$(x^2+1)' = 2x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \ln(x^2 + 1)$

]]> Bonne réponse : $f = \dfrac{u'}{u}$ avec
$u = x^2 + 1 > 0$ : primitive $\ln u$.

]]> $F(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

]]> Erreur : dériver $\dfrac{1}{u}$ donne
$-\dfrac{u'}{u^2}$, pas $\dfrac{u'}{u}$. La forme
quotient-de-la-dérivée appelle le logarithme.

]]> $F(x) = 2x\,\ln(x^2 + 1)$

]]> Erreur : ce produit se dérive avec deux termes (règle du
produit) et ne redonne pas $f$. La primitive est
$\ln(x^2+1)$ seule.

]]> $F(x) = \ln(2x)$

]]> Erreur : $(\ln 2x)' = \dfrac{1}{x}$, sans lien avec
$f$. C'est tout le bloc $u = x^2 + 1$ qui entre dans le
logarithme.

]]> Primitives et équations différentielles — Q07 : Résoudre $y' = ay$ Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = -0{,}5\,y$ ?

]]> Théorème (démonstration possible) : les solutions de
$y' = ay$ sont exactement les $x \mapsto C\,e^{ax}$. Signe
de $a$ : croissance ($a > 0$) ou extinction ($a < 0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions $y = C\,e^{-0{,}5x}$, $C$ réel

]]> Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : les
$C\,e^{ax}$. Ici $a = -0{,}5$ : des décroissances
exponentielles (vers $0$ en $+\infty$).

]]> Les fonctions $y = C\,e^{0{,}5x}$

]]> Erreur de signe : $(Ce^{0{,}5x})' = 0{,}5\,y$, l'équation
opposée. Le coefficient $a$ passe tel quel dans
l'exposant.

]]> La seule fonction $y = e^{-0{,}5x}$

]]> Incomplet : tous les multiples conviennent, y compris la
fonction nulle ($C = 0$). La constante s'ajuste ensuite à
une condition initiale.

]]> Les fonctions $y = -0{,}5x + C$

]]> Erreur : ces affines résolvent $y' = -0{,}5$
(second membre constant), pas $y' = -0{,}5\,y$ où la
dérivée dépend de la fonction elle-même.

]]> Primitives et équations différentielles — Q08 : Méthode de résolution de $y' = ay + b$ Pour résoudre l'équation différentielle $y' = -2y + 8$, par quelle
étape la méthode du programme commence-t-elle ?

]]> Pour $y' = ay + b$ : on cherche la solution constante
$c = -\dfrac{b}{a}$, puis on ajoute les solutions $Ce^{ax}$ de
$y' = ay$. Les solutions sont les fonctions $Ce^{-2x} + 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Chercher la solution constante, ici $y = 4$

]]> Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $0 = -2c + 8$, d'où
$c = 4$ ; on lui ajoute ensuite les solutions $Ce^{-2x}$ de
$y' = -2y$.

]]> Chercher une primitive de $-2y + 8$

]]> L'inconnue $y$ figure dans le second membre : on ne peut pas
primitiver une expression qui contient la fonction cherchée.

]]> Poser $y = Ce^{8x}$

]]> Le coefficient de l'exponentielle est celui de $y$, soit $-2$
; le nombre $8$ fixe la solution constante.

]]> Dériver les deux membres de l'équation

]]> Dériver ferait apparaître $y''$ et compliquerait l'équation au
lieu de la résoudre.

]]> Primitives et équations différentielles — Q09 : Condition initiale Parmi les solutions $y = C\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,
laquelle vérifie $y(0) = 10$ ?

]]> $y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$. La solution part de
$10$ et se rapproche de l'équilibre $4$, comme dans la loi de
refroidissement ou la charge d'un condensateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 6\,e^{-2x} + 4$

]]> Bonne réponse : $y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$ ; une
condition initiale isole une seule solution.

]]> $y = 10\,e^{-2x} + 4$

]]> $C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $4$ décale la valeur
initiale, d'où $C = 10 - 4 = 6$.

]]> $y = 10\,e^{-2x}$

]]> Solution constante oubliée : cette fonction résout
$y' = -2y$, et non $y' = -2y + 8$.

]]> $y = 6\,e^{-2x}$

]]> Il manque la solution constante $4$ : cette fonction vaut
$6$ en $0$ et ne vérifie pas l'équation complète.

]]> Primitives et équations différentielles — Q10 : Interpréter la solution constante Dans un modèle de refroidissement $T' = -0{,}1\,(T - 20)$
(température $T$ en degrés, temps en minutes), que
représente la constante $20$ ?

]]> Loi de refroidissement de Newton (thème du programme) :
l'équation $y' = a(y - y_{\text{éq}})$ a pour équilibre
$y_{\text{éq}}$, limite de toutes les solutions quand
$a < 0$. Lire les constantes d'un modèle est une capacité
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La température ambiante

]]> Bonne réponse : c'est l'état d'équilibre vers lequel $T$
tend. $T = 20$ annule $T'$, c'est la solution constante
; toute solution s'en approche exponentiellement,
l'objet finit à température ambiante.

]]> La température initiale de l'objet

]]> Erreur : la température initiale est $T(0)$, donnée à
part. Le $20$ de l'équation est l'attracteur, pas le
départ.

]]> La vitesse de refroidissement

]]> Erreur : la vitesse est portée par le coefficient
$-0{,}1$ (par minute). Le $20$ est une température.

]]> Une constante d'intégration

]]> Erreur : la constante d'intégration $C$ apparaît dans la
solution générale $Ce^{-0{,}1t} + 20$ ; le $20$, lui,
appartient au modèle.

]]> Primitives et équations différentielles — Q11 : Primitive vérifiant une condition Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant
$F(1) = 5$ ?

]]> On écrit d'abord la famille des primitives $x^3 + C$, puis la
condition $F(1) = 5$ fixe $C = 4$. Parmi l'infinité de
primitives, une seule passe par le point imposé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = x^3 + 4$

]]> Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$ ;
$F(1) = 1 + C = 5$ donne $C = 4$.

]]> $F(x) = x^3 + 5$

]]> $C$ n'est pas la valeur imposée : avec $C = 5$, on obtient
$F(1) = 6 \neq 5$.

]]> $F(x) = x^3$

]]> Condition ignorée : $F(1) = 1 \neq 5$, il faut
ajuster la constante.

]]> $F(x) = 5x^3$

]]> La constante s'ajoute, elle ne multiplie pas : la dérivée de
$5x^3$ vaut $15x^2 \neq 3x^2$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q12 : Choisir la bonne équation différentielle Une population croît à une vitesse proportionnelle à son effectif
$y(t)$, avec un taux de $4\ \%$ par unité de temps. Quelle
équation différentielle modélise cette situation ?

]]> « Vitesse proportionnelle à la quantité » se traduit par $y' = ky$
: c'est le pendant continu des suites géométriques, au cœur des
modèles d'évolution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y' = 0{,}04\,y$

]]> Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif » se
traduit par $y' = ky$ avec $k = 0{,}04$ ; les solutions sont
$Ce^{0{,}04t}$.

]]> $y' = 0{,}04$

]]> Dérivée constante : elle décrit une croissance linéaire,
indépendante de l'effectif.

]]> $y = 0{,}04\,t$

]]> Fonction explicite et non équation différentielle, qui décrit
de plus une croissance linéaire.

]]> $y' = y + 0{,}04$

]]> Le taux doit multiplier $y$, par proportionnalité, et non s'y
ajouter.

]]> Primitives et équations différentielles — Q13 : Primitive de $x^2$ Quelle est une primitive de $f(x) = x^2$ ?

]]> Primitive de $x^n$ : $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : monter
l'exposant, diviser par lui. Toujours contrôler en
redérivant : deux secondes qui évitent toutes les
étourderies.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$

]]> Bonne réponse : l'exposant monte d'un cran et on divise
par le nouvel exposant : contrôle en dérivant :
$\frac{3x^2}{3} = x^2$.

]]> $F(x) = 2x$

]]> Sens inverse : $2x$ est la dérivée de $x^2$ : la
primitive remonte le courant.

]]> $F(x) = x^3$

]]> Division oubliée : $(x^3)' = 3x^2$ : trois fois trop :
diviser par le nouvel exposant.

]]> $F(x) = \dfrac{x^2}{2}$

]]> Exposant figé : $\frac{x^2}{2}$ primitive $x$ : pour
$x^2$, l'exposant monte à $3$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q14 : Primitive de $\dfrac{1}{x}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> L'exception de la règle des puissances : primitive de
$\frac{1}{x}$ = $\ln x + C$ (sur $]0\ ;\ +\infty[$). Un
résultat à connaître isolément : il ne se déduit d'aucune
formule mécanique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \ln x$

]]> Bonne réponse : $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ : le
logarithme est né pour combler ce trou de la formule des
puissances.

]]> $F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

]]> Sens inverse : $-\frac{1}{x^2}$ est la dérivée de
$\frac{1}{x}$.

]]> $F(x) = \dfrac{x^0}{0}$

]]> Division par zéro : la règle des puissances casse
exactement pour $n = -1$ : c'est $\ln$ qui prend le
relais.

]]> $F(x) = e^x$

]]> Erreur : $e^x$ est sa propre primitive : $\frac{1}{x}$
appelle le logarithme.

]]> Primitives et équations différentielles — Q15 : Primitive de $e^{2x}$ Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?

]]> Primitive de $e^{ax}$ : $\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est
conservé, le coefficient passe au dénominateur. La brique de
toutes les solutions d'équations différentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{e^{2x}}{2}$

]]> Bonne réponse : dériver $e^{2x}$ fait sortir un $2$ :
la primitive le compense par $\frac{1}{2}$. Contrôle :
$\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)' = e^{2x}$ ✓.

]]> $F(x) = 2e^{2x}$

]]> Sens inverse : $2e^{2x}$ est la dérivée de $e^{2x}$ :
pour primitiver, on divise par le coefficient.

]]> $F(x) = e^{2x}$

]]> Compensation oubliée : $(e^{2x})' = 2e^{2x} \neq
e^{2x}$ : seule $e^x$ (coefficient $1$) est sa propre
primitive.

]]> $F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}$

]]> Erreur : l'exposant d'une exponentielle ne monte pas
comme une puissance de $x$ : il reste $2x$, et on divise
par $2$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q16 : Les solutions de $y' = ay$ Quelles sont toutes les solutions de l'équation différentielle
$y' = 3y$ ?

]]> Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $Ce^{ax}$, une par
valeur de $C$, fixée par la condition initiale $C = y(0)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y(x) = C\,e^{3x}$, $C$ réel quelconque

]]> Bonne réponse : $(Ce^{3x})' = 3Ce^{3x} = 3y$, et il
n'y a pas d'autre solution.

]]> $y(x) = e^{3x}$ uniquement

]]> Famille amputée : $5e^{3x}$ ou $-2e^{3x}$ conviennent
aussi ; les solutions forment une famille indexée par $C$.

]]> $y(x) = 3x + C$, $C$ réel quelconque

]]> Ces fonctions résolvent $y' = 3$ ; ici $y'$ est
proportionnelle à $y$.

]]> $y(x) = C\,e^{x} + 3$, $C$ réel quelconque

]]> Contrôle : $y' = Ce^x$ alors que $3y = 3Ce^x + 9$
; le coefficient appartient à l'exposant.

]]> Primitives et équations différentielles — Q17 : Résoudre avec condition initiale Quelle est la solution de $y' = -0{,}5\,y + 10$ vérifiant
$y(0) = 0$ ?

]]> Plan de résolution de $y' = ay + b$ : 1) équilibre
$-\frac{b}{a}$ ; 2) forme générale équilibre $+ Ce^{at}$ ;
3) condition initiale pour $C$. La forme $\ell(1 -
e^{at})$ : la charge d'un réservoir depuis zéro.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y(t) = 20\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)$

]]> Bonne réponse : équilibre $\frac{10}{0{,}5} = 20$ ;
solutions $20 + Ce^{-0{,}5t}$ ; $y(0) = 0$ force $C =
-20$ : la courbe monte de $0$ vers le plateau $20$.

]]> $y(t) = 20\,e^{-0{,}5t}$

]]> Condition violée : $y(0) = 20 \neq 0$ : cette solution
part du plateau et décroît : la nôtre part de $0$ et
monte.

]]> $y(t) = 20\left(1 + e^{-0{,}5t}\right)$

]]> Erreur de signe : $y(0) = 40 \neq 0$, et cette fonction
décroît vers $20$ au lieu d'y monter. La condition
initiale force $C = -20$, d'où $20 - 20e^{-0{,}5t}$.

]]> $y(t) = -20\,e^{-0{,}5t}$

]]> Équilibre oublié : cette expression tend vers $0$ et
part de $-20$ : la solution complète est équilibre PLUS
partie exponentielle : $20 - 20e^{-0{,}5t}$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q18 : Long terme des solutions Pour l'équation $y' = -0{,}5\,y + 10$, que deviennent
toutes les solutions quand $t \to +\infty$ ?

]]> Pour $y' = ay + b$ avec $a < 0$ : l'équilibre
$-\frac{b}{a}$ attire toutes les solutions (la partie
exponentielle meurt). Avec $a > 0$ : il les repousse. Le
signe de $a$ raconte tout le film.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles convergent toutes vers l'équilibre $20$

]]> Bonne réponse : quel que soit le point de départ, la partie
$Ce^{-0{,}5t}$ s'éteint (coefficient négatif dans
l'exposant) : seul le plateau $20$ survit : équilibre
attracteur.

]]> Elles divergent toutes vers $+\infty$

]]> Erreur : le coefficient de $y$ est négatif ($-0{,}5$) :
il freine : l'explosion appartient aux équations $y' =
ay + b$ avec $a > 0$.

]]> Elles finissent toutes par tendre vers $0$

]]> Terme constant oublié : le second membre $+10$ maintient
un apport : l'équilibre est $\frac{10}{0{,}5} = 20$, pas
$0$.

]]> Leur limite dépend de la valeur de départ $y(0)$

]]> Erreur : le départ règle la trajectoire (montée si
$y(0) < 20$, descente si $y(0) > 20$), pas la destination :
$y(0) = 0$ donne $y(t) = 20 - 20e^{-0{,}5t}$ et $y(0) = 50$
donne $y(t) = 20 + 30e^{-0{,}5t}$, deux trajectoires pour
une seule limite, $20$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q19 : Primitive d'une somme Quelle est une primitive de $f(x) = 4x^3 + 2x$ ?

]]> La primitive de $x^n$ vaut $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. La vérification se fait
toujours en dérivant le résultat obtenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^4 + x^2$

]]> Bonne réponse : chaque terme se primitive séparément, et la
vérification par dérivation redonne $f$.

]]> $12x^2 + 2$

]]> Dérivation au lieu d'une primitivation : l'opération demandée est
l'inverse.

]]> $4x^4 + 2x^2$

]]> Division oubliée : la primitive de $4x^3$ vaut $x^4$, pas $4x^4$.

]]> $x^4 + 2x^2$

]]> Second terme mal traité : la primitive de $2x$ vaut $x^2$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q20 : Résoudre $y' = ay + b$ Quelles sont les solutions de l'équation différentielle
$y' = 2y + 8$ ?

]]> Les solutions de $y' = ay + b$ s'écrivent
$Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$. Le second terme est la solution
constante, obtenue en annulant la dérivée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les fonctions $x \mapsto Ce^{2x} - 4$

]]> Bonne réponse : la solution constante vaut $-4$, à laquelle
s'ajoutent les solutions de $y' = 2y$.

]]> Les fonctions $x \mapsto Ce^{2x} + 4$

]]> Signe de la constante : la solution d'équilibre vérifie
$2y + 8 = 0$, donc $y = -4$.

]]> Les fonctions $x \mapsto Ce^{2x}$

]]> Solution constante oubliée : sans elle, l'équation résolue
serait $y' = 2y$.

]]> Les fonctions $x \mapsto Ce^{-2x} - 4$

]]> Signe de l'exposant : le coefficient de $y$ vaut $2$ dans
l'équation.

]]> Primitives et équations différentielles — Q21 : Une forme $\dfrac{u'}{u}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ?

]]> La primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln|u|$, et $\ln u$ lorsque $u$ est
strictement positive. Reconnaître la forme dispense de tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ln(x^2 + 1)$

]]> Bonne réponse : l'expression est de la forme $\dfrac{u'}{u}$, avec
$u(x) = x^2 + 1$ strictement positive.

]]> $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$

]]> Fonction recopiée : elle n'est pas sa propre primitive.

]]> $2\ln(x^2 + 1)$

]]> Coefficient de trop : la dérivée de cette expression vaut le double de
$f$.

]]> $\ln(2x)$

]]> Numérateur pris pour argument : c'est le dénominateur qui joue le rôle
de $u$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q22 : Modéliser un refroidissement La température d'un objet vérifie $T' = -0{,}2(T - 20)$, où $20$ est
la température ambiante. Vers quoi tend $T$ ?

]]> Dans une équation $y' = a(y - k)$ avec $a$ négatif, la solution tend vers
$k$. C'est la loi de refroidissement de Newton.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $20$ degrés

]]> Bonne réponse : la dérivée s'annule pour $T = 20$, et le signe la
ramène toujours vers cette valeur.

]]> Vers $0$ degré

]]> L'objet se met à la température de son environnement, pas au zéro de
l'échelle.

]]> Vers $-0{,}2$ degré

]]> Coefficient recopié : il décrit la vitesse du refroidissement, pas sa
limite.

]]> Vers $+\infty$

]]> Le signe négatif ramène la température vers l'ambiante au lieu de l'en
éloigner.

]]> Primitives et équations différentielles — Q23 : Une primitive qui s'annule Parmi les primitives de $f(x) = e^{x}$, laquelle s'annule en $0$ ?

]]> Toutes les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante. Imposer une
valeur en un point détermine cette constante, donc une primitive unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{x} - 1$

]]> Bonne réponse : $e^0 - 1 = 0$, la constante vaut donc $-1$.

]]> $e^{x}$

]]> Cette primitive vaut $1$ en $0$, pas $0$.

]]> $e^{x} + 1$

]]> Signe de la constante : cette primitive vaut $2$ en $0$.

]]> $xe^{x}$

]]> Fonction fausse : sa dérivée vaut $(x+1)e^x$, pas $e^x$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q24 : Déterminer la constante Une solution de $y' = 3y$ vérifie $y(0) = 5$. Quelle est son
expression ?

]]> Pour $y' = ay$, la solution générale est $Ce^{ax}$ et la condition
initiale donne directement $C = y(0)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y(x) = 5e^{3x}$

]]> Bonne réponse : la forme générale est $Ce^{3x}$, et
$y(0) = C$ donne $C = 5$.

]]> $y(x) = e^{3x} + 5$

]]> Une constante additive ne vérifie pas l'équation : la dérivée
ne serait pas proportionnelle à la fonction.

]]> $y(x) = 3e^{5x}$

]]> Coefficients échangés : $3$ appartient à l'exposant, $5$
à la constante.

]]> $y(x) = 5e^{x}$

]]> Coefficient de l'exposant oublié : la dérivée vaudrait $y$ et
non $3y$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q25 : Vérifier une primitive Comment s'assurer qu'une fonction $F$ est bien une primitive de $f$ ?

]]> Une primitive se définit par sa dérivée. La vérification par dérivation
est donc la méthode directe, et elle doit accompagner tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En dérivant $F$ et en comparant à $f$

]]> Bonne réponse : la vérification est immédiate et lève tout doute sur le
calcul.

]]> En comparant $F$ et $f$ en un point

]]> Une égalité en un point ne prouve rien : elle peut être fortuite.

]]> En vérifiant que $F$ est croissante

]]> La croissance de $F$ traduit seulement la positivité de $f$, ce qui
n'est ni nécessaire ni suffisant.

]]> En intégrant $f$ une seconde fois

]]> Une seconde primitivation donne une autre fonction, sans rapport avec
la vérification demandée.

]]> Primitives et équations différentielles — Q26 : Primitive de $(ax + b)^2$ Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$
définie par $f(x) = (2x + 1)^2$ ?

]]> Pour $x \mapsto g(ax + b)$, on part d'une primitive de $g$, ici
$X \mapsto \dfrac{X^3}{3}$, puis on divise par le coefficient
$a = 2$. Dériver le résultat le vérifie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{(2x + 1)^3}{6}$

]]> Bonne réponse : la dérivée de $\dfrac{(2x + 1)^3}{6}$
vaut
$\dfrac{3 \times 2 \times (2x + 1)^2}{6} = (2x + 1)^2$.

]]> $\dfrac{(2x + 1)^3}{3}$

]]> Coefficient non compensé : la dérivée vaudrait
$2(2x + 1)^2$.

]]> $\dfrac{2(2x + 1)^3}{3}$

]]> Coefficient multiplié au lieu d'être divisé : la dérivée
vaudrait $4(2x + 1)^2$.

]]> $4(2x + 1)$

]]> C'est la dérivée de $f$ et non une primitive : sa propre
dérivée vaut $8$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q27 : Lire un coefficient de décroissance Une quantité vérifie $y' = -0{,}05y$, avec $t$ en années.
Que représente le coefficient $0{,}05$ ?

]]> Dans $y' = ay$, le coefficient $a$ est le taux de variation instantané
rapporté à la valeur de la quantité. Négatif, il décrit une décroissance
exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le taux de décroissance instantané

]]> Bonne réponse : la quantité perd chaque instant une part
proportionnelle à sa valeur.

]]> La valeur initiale de la quantité

]]> La valeur initiale est la constante $C$, déterminée par une condition
en $t = 0$.

]]> La durée au bout de laquelle la quantité s'annule

]]> La quantité tend vers $0$ sans jamais l'atteindre en un temps fini.

]]> La moitié de la durée de demi-vie

]]> La demi-vie vaut $\dfrac{\ln 2}{0{,}05}$, soit environ $13{,}9$ ans,
sans rapport simple avec le coefficient.

]]> Primitives et équations différentielles — Q28 : Combien de primitives Combien de primitives une fonction continue admet-elle sur un
intervalle ?

]]> Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, en
nombre infini. Elles diffèrent deux à deux d'une constante, puisque leur
différence a une dérivée nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une infinité, différant d'une constante

]]> Bonne réponse : si $F$ convient, alors $F + C$ convient aussi pour tout
réel $C$.

]]> Une seule

]]> L'unicité n'apparaît qu'après avoir imposé une valeur en un point.

]]> Deux, opposées l'une de l'autre

]]> L'opposée d'une primitive est une primitive de l'opposée de la
fonction, pas de la fonction elle-même.

]]> Aucune si la fonction change de signe

]]> Le signe n'intervient pas : toute fonction continue sur un intervalle
admet des primitives.

]]> Primitives et équations différentielles — Q29 : Tester une solution proposée La fonction $y(x) = 3e^{-x}$ est-elle solution de $y' = -y$ ?

]]> Vérifier une solution consiste à dériver la fonction proposée et à
comparer les deux membres de l'équation. La méthode vaut pour toute
équation différentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, sa dérivée vaut $-3e^{-x}$

]]> Bonne réponse : cette dérivée est bien l'opposée de la fonction.

]]> Non, sa dérivée vaut $3e^{-x}$

]]> Signe oublié : la dérivée de $e^{-x}$ vaut $-e^{-x}$.

]]> Non, le coefficient $3$ l'en empêche

]]> Tout multiple d'une solution est encore solution : l'équation est
linéaire.

]]> Oui, mais seulement pour $x$ positif

]]> L'égalité des deux membres vaut pour tout réel $x$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q30 : Une population qui se stabilise Une population vérifie $P' = 0{,}1\,(500 - P)$. Que se passe-t-il si
$P$ vaut $600$ au départ ?

]]> Le signe de la dérivée dépend de la position par rapport à
l'équilibre $500$ : au-dessus la population diminue, en dessous
elle augmente, et elle converge vers $500$ dans les deux cas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît vers $500$

]]> Bonne réponse : la dérivée est négative tant que $P$ est du
même côté de $500$ que la valeur initiale.

]]> Elle croît et s'éloigne de $500$

]]> Signe de la dérivée inversé : $500 - P$ a le signe qui ramène
$P$ vers $500$.

]]> Elle reste constante à $600$

]]> Seule la valeur $500$ annule la dérivée.

]]> Elle décroît vers 0

]]> La dérivée change de signe en $500$ : la population ne
franchit pas l'équilibre.

]]> Primitives et équations différentielles — Q31 : Primitive de $\dfrac{1}{x^2}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> La règle $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ vaut aussi pour les exposants
négatifs, sauf pour $n = -1$. Avec $n = -2$, elle donne
$\dfrac{x^{-1}}{-1}$, c'est-à-dire $-\dfrac{1}{x}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = -\dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : en dérivant $-\dfrac{1}{x}$, on retrouve
$\dfrac{1}{x^2}$. La règle des puissances appliquée à $x^{-2}$ donne
le même résultat.

]]> $F(x) = \dfrac{1}{x}$

]]> Signe oublié : la dérivée de $\dfrac{1}{x}$ vaut $-\dfrac{1}{x^2}$,
soit l'opposé de $f$. La primitive cherchée est $-\dfrac{1}{x}$.

]]> $F(x) = -\dfrac{2}{x^3}$

]]> Sens inverse : cette expression est la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$,
alors que la question demande de remonter à une primitive.

]]> $F(x) = \ln\left(x^2\right)$

]]> Confusion avec $\dfrac{1}{x}$ : seul l'inverse appelle un logarithme.
Pour $\dfrac{1}{x^2}$, la règle des puissances suffit.

]]> Primitives et équations différentielles — Q32 : Primitive d'un multiple de l'inverse Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{3}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> Une primitive de $k \times g$ s'obtient en multipliant par $k$ une
primitive de $g$. Ici $g(x) = \dfrac{1}{x}$, dont une primitive est
$\ln x$ sur $]0\ ;\ +\infty[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = 3\ln x$

]]> Bonne réponse : un facteur constant se conserve par primitivation, et
$\ln$ est une primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0\ ;\ +\infty[$.

]]> $F(x) = \ln\left(3x\right)$

]]> Facteur placé dans le logarithme : la dérivée de cette expression vaut
$\dfrac{1}{x}$, sans le coefficient $3$.

]]> $F(x) = \dfrac{\ln x}{3}$

]]> Division au lieu d'une multiplication : le coefficient $3$ reste en
facteur devant le logarithme.

]]> $F(x) = -\dfrac{3}{x^2}$

]]> Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, et non une de
ses primitives.

]]> Primitives et équations différentielles — Q33 : Différence de deux primitives Les fonctions $F$ et $G$ sont deux primitives d'une même fonction $f$
sur un intervalle $I$. Que peut-on dire de la fonction $F - G$ ?

]]> Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une
constante. C'est ce résultat qui donne la famille $F + C$ et qui permet
d'isoler une primitive en imposant une valeur en un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante sur $I$

]]> Bonne réponse : la dérivée de $F - G$ vaut $f - f$, donc $0$ sur tout
l'intervalle : la fonction est constante.

]]> Elle est nulle sur $I$

]]> Cas particulier : $x^2$ et $x^2 + 7$ sont deux primitives de $2x$ et
leur différence vaut $7$, une constante non nulle.

]]> Elle est encore une primitive de $f$

]]> Erreur : la dérivée de $F - G$ est nulle, alors qu'une primitive de
$f$ aurait pour dérivée $f$.

]]> Elle a la même dérivée que $f$

]]> Erreur : c'est la dérivée de $F - G$ qui est en jeu, et elle vaut $0$.
Rien n'est demandé sur la dérivée de $f$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q34 : Retrouver l'équation à partir des solutions Les fonctions $y(x) = C\,e^{4x}$, où $C$ décrit $\mathbb{R}$, sont les
solutions de quelle équation différentielle ?

]]> Les solutions de $y' = ay$ sont exactement les fonctions
$x \mapsto C\,e^{ax}$. On passe d'une écriture à l'autre en lisant le
coefficient de $x$ dans l'exposant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y' = 4y$

]]> Bonne réponse : en dérivant, $y'(x) = 4C\,e^{4x}$, c'est-à-dire
$4\,y(x)$. Le coefficient de l'exposant devient celui de $y$.

]]> $y' = -4y$

]]> Erreur de signe : le coefficient passe de l'exposant à l'équation
sans être changé de signe.

]]> $y' = 4x$

]]> Variable confondue avec la fonction : cette équation aurait pour
solutions des paraboles, pas des exponentielles.

]]> $y' = y + 4$

]]> Coefficient ajouté au lieu d'être multiplié : le second membre serait
alors de la forme $y + b$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q35 : Une équation à second membre constant Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle
$y' = 4$ ?

]]> Une équation $y' = f$ revient à chercher les primitives de $f$. Quand $f$
est constante, les solutions sont les fonctions affines, à une constante
additive près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y(x) = 4x + C$

]]> Bonne réponse : il s'agit de chercher les primitives de la fonction
constante égale à $4$, qui sont les fonctions affines de
coefficient directeur $4$.

]]> $y(x) = C\,e^{4x}$

]]> Modèle confondu : ces fonctions résolvent $y' = 4y$, où la dérivée
dépend de la fonction. Ici le second membre est constant.

]]> $y(x) = 4 + C$

]]> Expression constante : sa dérivée vaut $0$ et non $4$. Le facteur
$x$ manque.

]]> $y(x) = \dfrac{4x^2}{2} + C$

]]> Primitivation faite deux fois : la dérivée de cette expression vaut
$4x$, alors que l'équation demande $4$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q36 : Reconnaître la forme $u'u$ Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\left(x^2 + 3\right)$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> La forme $2u'u$ a pour primitive $u^2$, donc la forme $u'u$ a pour
primitive $\dfrac{u^2}{2}$. Le contrôle se fait en dérivant :
$\left(\dfrac{u^2}{2}\right)' = u'u$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{\left(x^2 + 3\right)^2}{2}$

]]> Bonne réponse : avec $u(x) = x^2 + 3$, on a $u'(x) = 2x$, donc
$f = u'u$, dont une primitive est $\dfrac{u^2}{2}$.

]]> $F(x) = \left(x^2 + 3\right)^2$

]]> Facteur $\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut
$2u'u$, soit le double de $f$.

]]> $F(x) = \dfrac{\left(x^2 + 3\right)^3}{3}$

]]> Forme confondue avec $u'u^2$ : ici le facteur $u$ est à la puissance
$1$, la primitive fait donc intervenir $u^2$.

]]> $F(x) = x^2\left(x^2 + 3\right)$

]]> Facteurs primitivés séparément : cette règle n'existe pas, comme le
montre la dérivation de ce produit.

]]> Primitives et équations différentielles — Q37 : Ajuster le facteur devant $e^u$ Quelle est une primitive de $f(x) = 3x\,e^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> La forme $u'e^u$ a pour primitive $e^u$. Quand le facteur placé devant
l'exponentielle n'est pas exactement $u'$, une constante multiplicative
rétablit l'égalité, ici $\dfrac{1}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{3}{2}\,e^{x^2}$

]]> Bonne réponse : on écrit $f(x) = \dfrac{3}{2} \times 2x\,e^{x^2}$
pour faire apparaître la forme $u'e^u$ avec $u(x) = x^2$.

]]> $F(x) = 3\,e^{x^2}$

]]> Facteur non ajusté : la dérivée de cette expression vaut
$6x\,e^{x^2}$, soit le double de $f$.

]]> $F(x) = 6\,e^{x^2}$

]]> Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $3$ doit
être partagé en deux, non doublé.

]]> $F(x) = \dfrac{3}{2}\,x^2e^{x^2}$

]]> Facteur $x$ primitivé à part : un produit ne se primitive pas terme à
terme, la dérivation le confirme.

]]> Primitives et équations différentielles — Q38 : Un quotient avec une exponentielle Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> La forme $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln u$ lorsque $u$ est
strictement positive. Ici $u(x) = e^x + 1$ et $u'(x) = e^x$, qui est
bien le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \ln\left(e^x + 1\right)$

]]> Bonne réponse : avec $u(x) = e^x + 1$, le numérateur est exactement
$u'(x)$, et $u$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

]]> $F(x) = \dfrac{1}{e^x + 1}$

]]> Forme confondue : la dérivée de $\dfrac{1}{u}$ vaut
$-\dfrac{u'}{u^2}$, ce qui ne redonne pas $f$.

]]> $F(x) = e^x\ln\left(e^x + 1\right)$

]]> Produit inutile : sa dérivation fait apparaître deux termes, alors
que $f$ n'en comporte qu'un.

]]> $F(x) = \ln\left(e^x\right) + 1$

]]> Numérateur pris pour $u$ : c'est le dénominateur qui joue ce rôle
dans la forme $\dfrac{u'}{u}$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q39 : Repérer une forme $u'e^u$ Parmi ces fonctions, laquelle est de la forme $u'e^u$ ?

]]> Reconnaître une forme composée, c'est nommer $u$ puis vérifier que le
facteur présent est bien $u'$. Les trois formes du programme sont
$2u'u$, $u'e^u$ et $\dfrac{u'}{u}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 3x^2e^{x^3}$

]]> Bonne réponse : avec $u(x) = x^3$, la dérivée $u'(x) = 3x^2$ est
exactement le facteur placé devant l'exponentielle.

]]> $f(x) = x^3e^{3x^2}$

]]> Rôles échangés : le facteur devant l'exponentielle doit être la
dérivée de l'exposant, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> $f(x) = 3x^2e^{3x^2}$

]]> Exposant mal dérivé : la dérivée de $3x^2$ vaut $6x$, et non $3x^2$.
La forme n'est donc pas reconnue.

]]> $f(x) = e^{x^3}$

]]> Facteur manquant : sans la dérivée de l'exposant devant
l'exponentielle, la règle ne s'applique pas.

]]> Primitives et équations différentielles — Q40 : Primitive de $e^{ax + b}$ Quelle est une primitive de $f(x) = e^{3x + 1}$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Pour une composée affine $x \mapsto g(ax + b)$, on prend une primitive
$G$ de $g$ et l'on divise par $a$. Avec l'exponentielle, cela donne
$\dfrac{e^{ax + b}}{a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{e^{3x + 1}}{3}$

]]> Bonne réponse : dériver $e^{3x + 1}$ fait sortir le facteur
$3$, que la division compense exactement.

]]> $F(x) = e^{3x + 1}$

]]> Coefficient non compensé : la dérivée de cette expression vaut
$3f(x)$, et non $f(x)$.

]]> $F(x) = 3e^{3x + 1}$

]]> Multiplication au lieu d'une division : la dérivée vaudrait alors
$9f(x)$.

]]> $F(x) = \dfrac{e^{3x + 1}}{3x + 1}$

]]> Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$, ici
$3$, intervient dans la compensation.

]]> Primitives et équations différentielles — Q41 : Traduire une élimination proportionnelle La quantité de médicament présente dans le sang diminue à chaque instant
proportionnellement à la quantité restante, au rythme de $8\ \%$ par
heure. Quelle équation différentielle traduit cette situation ?

]]> « Diminue proportionnellement à la quantité présente » se traduit par
$y' = ay$ avec $a$ négatif. Le taux exprimé en pourcentage devient un
coefficient décimal, ici $0{,}08$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y' = -0{,}08\,y$

]]> Bonne réponse : la vitesse est proportionnelle à la quantité
restante, avec un coefficient négatif puisque la quantité diminue, et
$8\ \%$ s'écrit $0{,}08$.

]]> $y' = -8\,y$

]]> Pourcentage non converti : $8\ \%$ vaut $0{,}08$, ce qui change
complètement la vitesse d'élimination.

]]> $y' = -0{,}08$

]]> Vitesse constante : ce modèle ferait disparaître la même quantité
chaque heure, sans tenir compte de ce qui reste.

]]> $y' = 0{,}08\,y$

]]> Signe oublié : avec un coefficient positif, la quantité présente dans
le sang augmenterait au lieu de diminuer.

]]> Primitives et équations différentielles — Q42 : La solution constante L'équation différentielle $y' = -4y + 12$ admet une unique solution
constante. Quelle est cette constante ?

]]> Une solution constante a une dérivée nulle : on résout $ay + b = 0$, ce
qui donne $y = -\dfrac{b}{a}$. Cette valeur est l'équilibre du modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La constante $3$

]]> Bonne réponse : une fonction constante a une dérivée nulle, donc
$-4y + 12 = 0$, ce qui donne $y = 3$.

]]> La constante $12$

]]> Second membre recopié : la valeur d'équilibre vaut $-\dfrac{b}{a}$,
c'est-à-dire $3$ ici.

]]> La constante $-3$

]]> Erreur de signe : la résolution de $-4y + 12 = 0$ conduit à
$3$, et non à son opposé.

]]> La constante $-4$

]]> Coefficient de $y$ recopié : il gouverne la vitesse d'évolution, pas
la valeur d'équilibre.

]]> Primitives et équations différentielles — Q43 : Un numérateur à compléter Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Avant d'appliquer la forme $\dfrac{u'}{u}$, on vérifie que le numérateur
est exactement $u'$. S'il n'en est qu'un multiple, une constante
multiplicative rétablit l'égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right)$

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut la moitié de la dérivée
$\left(x^2 + 1\right)' = 2x$, d'où le facteur $\dfrac{1}{2}$.

]]> $F(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$

]]> Facteur $\dfrac{1}{2}$ oublié : la dérivée de cette expression vaut
$\dfrac{2x}{x^2 + 1}$, le double de $f$.

]]> $F(x) = 2\ln\left(x^2 + 1\right)$

]]> Multiplication au lieu d'une division : le coefficient à placer
devant le logarithme est $\dfrac{1}{2}$.

]]> $F(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln\left(x^2 + 1\right)$

]]> Numérateur et dénominateur primitivés séparément : un quotient ne se
traite pas ainsi, comme le montre la dérivation de ce produit.

]]> Primitives et équations différentielles — Q44 : Résolution avec valeur initiale Quelle est la solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 10$
qui vérifie $y(0) = 8$ ?

]]> Trois étapes : la solution constante $-\dfrac{b}{a}$, la forme générale
obtenue en lui ajoutant $Ce^{ax}$, puis la condition initiale qui fixe
$C$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y(x) = 3e^{-2x} + 5$

]]> Bonne réponse : la solution constante vaut $5$, les solutions
s'écrivent $Ce^{-2x} + 5$, et $y(0) = C + 5 = 8$ donne
$C = 3$.

]]> $y(x) = 8e^{-2x} + 5$

]]> Constante confondue avec la valeur initiale : le terme $5$ décale
le départ, donc $C = 8 - 5$, soit $3$.

]]> $y(x) = 3e^{2x} + 5$

]]> Signe de l'exposant : l'équation homogène associée est $y' = -2y$,
dont les solutions sont les $Ce^{-2x}$.

]]> $y(x) = 3e^{-2x} + 10$

]]> Second membre pris pour la solution constante : celle-ci vaut
$-\dfrac{b}{a}$, c'est-à-dire $5$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q45 : Un équilibre qui repousse Les solutions de l'équation $y' = 0{,}3\,y - 6$ ont pour valeur
d'équilibre $20$. Que devient celle qui vérifie $y(0) = 25$ lorsque $t$
tend vers $+\infty$ ?

]]> Pour $y' = ay + b$, l'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ attire les solutions
quand $a$ est négatif et les repousse quand $a$ est positif. Le signe du
coefficient de $y$ décide du comportement en $+\infty$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers $+\infty$

]]> Bonne réponse : cette solution s'écrit $20 + 5e^{0{,}3t}$. Le
coefficient de $y$ étant positif, la partie exponentielle grandit et
éloigne la solution de l'équilibre.

]]> Elle tend vers $20$

]]> Équilibre pris pour une limite : il n'attire les solutions que
lorsque le coefficient de $y$ est négatif, ce qui n'est pas le cas.

]]> Elle reste constante, égale à $25$

]]> Seule la valeur $20$ annule la dérivée : en $25$, celle-ci vaut
$1{,}5$, donc la solution croît.

]]> Elle tend vers $0$

]]> Erreur : le second membre comporte un terme constant, et un
coefficient positif éloigne de l'équilibre au lieu d'y ramener.

]]> Primitives et équations différentielles — Q46 : Signe de $f$ et variations de $F$ La fonction $f$ est positive sur un intervalle $I$. Que peut-on dire de
ses primitives sur $I$ ?

]]> Une primitive a pour dérivée la fonction de départ. Le signe de $f$ donne
donc directement le sens de variation de ses primitives : positive pour
croissantes, négative pour décroissantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont croissantes sur $I$

]]> Bonne réponse : une primitive $F$ vérifie $F' = f$, donc $F' \geq 0$
sur $I$, ce qui fait croître $F$.

]]> Elles sont positives sur $I$

]]> Étages confondus : c'est la dérivée de $F$ qui est positive. La
fonction $F(x) = x^2 - 9$ croît sur $[0\ ;\ +\infty[$ en y prenant
des valeurs négatives.

]]> Elles sont décroissantes sur $I$

]]> Signe inversé : une dérivée positive fait croître la fonction, elle
ne la fait pas diminuer.

]]> Elles sont constantes sur $I$

]]> Cas d'une fonction $f$ nulle : dès que $f$ prend des valeurs
strictement positives, $F$ augmente.

]]> Primitives et équations différentielles — Q47 : Primitive de $e^{-ax}$ Quelle est une primitive de $f(x) = e^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Une primitive de $e^{ax}$ est $\dfrac{e^{ax}}{a}$, y compris lorsque $a$
est négatif. Avec $a = -2$, cela donne $-\dfrac{e^{-2x}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = -\dfrac{e^{-2x}}{2}$

]]> Bonne réponse : dériver $e^{-2x}$ fait sortir le facteur $-2$,
que la division compense exactement.

]]> $F(x) = \dfrac{e^{-2x}}{2}$

]]> Signe oublié : la dérivée de cette expression vaut $-f(x)$, soit
l'opposé de la fonction de départ.

]]> $F(x) = -2e^{-2x}$

]]> Multiplication au lieu d'une division : cette expression est la
dérivée de $f$, pas une de ses primitives.

]]> $F(x) = -\dfrac{e^{-2x}}{2x}$

]]> Division par l'exposant entier : seul son coefficient en $x$
intervient dans la compensation.

]]> Primitives et équations différentielles — Q48 : Primitive de $\dfrac{1}{x + c}$ Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x + 3}$ sur
$]-3\ ;\ +\infty[$ ?

]]> La forme $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln u$ quand $u$ est
strictement positive. C'est ici le cas le plus simple, avec $u$ affine de
dérivée $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $F(x) = \ln\left(x + 3\right)$

]]> Bonne réponse : avec $u(x) = x + 3$, on a $u'(x) = 1$, donc
$f = \dfrac{u'}{u}$ avec $u$ strictement positive sur l'intervalle.

]]> $F(x) = \ln x + 3$

]]> Terme sorti du logarithme : c'est le bloc $x + 3$ tout entier qui
joue le rôle de $u$.

]]> $F(x) = -\dfrac{1}{\left(x + 3\right)^2}$

]]> Sens inverse : cette expression est la dérivée de $f$, alors qu'il
faut remonter à une primitive.

]]> $F(x) = 3\ln\left(x + 3\right)$

]]> Coefficient inutile : le numérateur vaut $1$, qui est déjà la dérivée
de $x + 3$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q49 : Deux pas de la méthode d'Euler La fonction $y$ vérifie $y' = 0{,}5\,y$ et $y(0) = 2$. La méthode
d'Euler de pas $h = 1$ utilise $y(t + h) \approx y(t) + h\,y'(t)$.
Quelle valeur approchée de $y(2)$ obtient-on ?

]]> Avec un pas plus petit, les valeurs obtenues se rapprochent de la
solution exacte $y(t) = 2e^{0{,}5t}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4{,}5$

]]> Bonne réponse : chaque pas multiplie par $1 + 0{,}5 = 1{,}5$ :
$y(1) \approx 3$ puis $y(2) \approx 4{,}5$.

]]> $4$

]]> Erreur : on a ajouté deux fois l'accroissement du premier pas,
$1$. Au second pas, la pente vaut $0{,}5 \times 3 = 1{,}5$.

]]> $2e \approx 5{,}44$

]]> Erreur : c'est la valeur exacte $2e^{0{,}5 \times 2}$. La
méthode d'Euler n'en donne qu'une approximation.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ approche $y(1)$. Il faut un second pas pour atteindre
$t = 2$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q50 : Un pas de la méthode d'Euler On approche la solution de $y' = 2y + 1$ telle que
$y(0) = 3$ par la méthode d'Euler, avec le pas $h = 0{,}1$ :
$y(h) \approx y(0) + h \times y'(0)$. Quelle valeur obtient-on ?

]]> La méthode d'Euler suit la tangente sur un petit pas :
$y(x + h) \approx y(x) + h\,y'(x)$, où $y'(x)$ est donné par
l'équation différentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3{,}7$

]]> Bonne réponse : $y'(0) = 2 \times 3 + 1 = 7$,
puis $3 + 0{,}1 \times 7 = 3{,}7$.

]]> $3{,}6$

]]> Terme constant oublié : $y'(0)$ vaut $2y(0) + 1$, et non
$2y(0)$ seul.

]]> $10$

]]> Pas oublié : on a ajouté $y'(0)$ entier au lieu de
$h \times y'(0)$.

]]> $0{,}7$

]]> Point de départ oublié : $0{,}7$ est seulement
l'accroissement $h \times y'(0)$.

]]> Primitives et équations différentielles — Q51 : Principe de la méthode d'Euler Sur quelle approximation, valable pour $h$ petit, repose la
méthode d'Euler ?

]]> Le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement :
$\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \approx f'(x)$ pour $h$ petit, d'où
$f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x)$

]]> Bonne réponse : on remplace la courbe par sa tangente sur un
pas de longueur $h$.

]]> $f(x + h) \approx f(x) + f'(x)$

]]> Pas oublié : sans le facteur $h$, l'accroissement ne dépend
plus de la longueur du pas.

]]> $f(x + h) \approx h\,f(x) + f'(x)$

]]> Rôles échangés : c'est la dérivée, et non la valeur $f(x)$,
qui doit être multipliée par $h$.

]]> $f(x + h) \approx f(x) + h\,f(x)$

]]> Dérivée remplacée par la fonction : cette formule n'est juste
que si $f' = f$.

]]>