$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Statistique à deux variables quantitatives Nuage de points et point moyen, droite de régression des
moindres carrés, coefficient de corrélation, ajustements se
ramenant à l'affine par changement de variable, interpolation
et extrapolation, corrélation et causalité.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q01 : Point moyen d'un nuage Un nuage a pour points $(0\,;\,3)$, $(2\,;\,5)$,
$(4\,;\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen $G$
?

]]> $G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$ a pour coordonnées les moyennes des
abscisses et des ordonnées. La droite des moindres carrés passe
par $G$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $G(2\,;\,6)$

]]> Bonne réponse : $\bar{x} = \dfrac{6}{3} = 2$ et
$\bar{y} = \dfrac{18}{3} = 6$.

]]> $G(6\,;\,18)$

]]> Division oubliée : $6$ et $18$ sont les sommes des
coordonnées ; on divise par l'effectif $3$.

]]> $G(2\,;\,5)$

]]> Point du milieu de la liste : $(2\,;\,5)$ appartient au
nuage, mais $\bar{y} = 6$.

]]> $G(4\,;\,10)$

]]> Dernier point du nuage : le point moyen se calcule avec toutes
les coordonnées.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q02 : Le sens des « moindres carrés » Que minimise la droite de régression des moindres carrés
parmi toutes les droites du plan ?

]]> Moindres carrés : minimiser $\sum (y_i - (ax_i + b))^2$.
Les carrés évitent les compensations de signes et pénalisent
les grands écarts. La droite obtenue passe par le point
moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La somme des carrés des écarts verticaux à la droite

]]> Bonne réponse : pour chaque point du nuage, on mesure
l'écart vertical (résidu) ; la droite de régression rend
minimale la somme de leurs carrés.

]]> Le nombre de points situés au-dessus de la droite

]]> Erreur : aucun comptage : c'est une somme de carrés
d'écarts qui est minimisée.

]]> La longueur du segment de droite couvrant le nuage

]]> Erreur : une droite est illimitée, et la portion
couvrant le nuage ne dépend que des abscisses extrêmes ;
rien à minimiser ici.

]]> La distance entre le premier et le dernier point

]]> Erreur : ces deux points n'ont aucun rôle privilégié :
tous les points comptent, par leurs écarts à la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q03 : Utiliser une droite de régression La calculatrice fournit la droite de régression $y = 2{,}4x + 10$
pour un nuage dont les valeurs de $x$ sont comprises entre $0$ et
$20$. Quelle estimation de $y$ obtient-on pour $x = 15$ ?

]]> On utilise l'ajustement pour interpoler, quand $x$ est dans la
plage observée, ou pour extrapoler au-delà, avec prudence. Ici
$x = 15$ est dans $[0\,;\,20]$ : c'est une interpolation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $46$

]]> Bonne réponse : $2{,}4 \times 15 + 10 = 46$, une
interpolation à l'intérieur de la plage observée.

]]> $36$

]]> Constante oubliée : $2{,}4 \times 15 = 36$, il reste à
ajouter $10$.

]]> $25$

]]> Coefficient directeur ignoré : $15 + 10$ ne tient pas
compte de la pente $2{,}4$.

]]> Aucune, $x = 15$ n'ayant pas été observé

]]> Estimer en une valeur non observée est l'objet même de la
régression, surtout à l'intérieur de la plage des données.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q04 : Lire un coefficient de corrélation Pour un nuage de points, la calculatrice affiche un
coefficient de corrélation $r = -0{,}98$. Comment
l'interpréter ?

]]> Coefficient de corrélation : $-1 \leq r \leq 1$. $|r|$
proche de $1$ : nuage presque aligné (ajustement affine
pertinent) ; proche de $0$ : pas de lien affine. Signe
$=$ sens de la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un lien affine très fort et décroissant

]]> Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : le nuage est
presque aligné sur une droite ; signe négatif : cette
droite descend (quand $x$ monte, $y$ descend).

]]> Une erreur de calcul, un coefficient est toujours
positif

]]> Erreur : $r$ vit dans $[-1\,;\,1]$ ; son signe porte
le sens de la relation.

]]> Un lien très faible, car $r$ est négatif

]]> Erreur : la force du lien se lit sur $|r|$ ($0{,}98$ :
très fort) ; le signe n'indique que le sens.

]]> $98\ \%$ des points sont sous la droite

]]> Erreur : $r$ ne compte aucun pourcentage de points ; il
mesure la qualité de l'alignement affine du nuage.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q05 : Quand l'ajustement affine est-il pertinent ? Deux études donnent $r_1 = 0{,}99$ et $r_2 = 0{,}30$. Que
peut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement
affine ?

]]> Réflexe avant tout ajustement : regarder le nuage et
$|r|$. Proche de $1$ : la droite résume bien ; loin de $1$ :
chercher un autre modèle (ou admettre l'absence de lien).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Très pertinent pour la première, douteux pour la
seconde

]]> Bonne réponse : $|r_1|$ proche de $1$ : les données
suivent de près une droite ; $|r_2| = 0{,}30$ : le nuage
est diffus, une droite résumerait mal.

]]> Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs

]]> Erreur : le signe ne juge pas la qualité ; c'est la
proximité de $|r|$ à $1$ qui compte.

]]> Aucun des deux : seul $r = 1$ exactement autorise
l'ajustement

]]> Trop exigeant : les données réelles ne donnent jamais
$r = 1$ ; $0{,}99$ est excellent.

]]> Le second est meilleur, car plus proche de $0$

]]> Contresens : $r$ proche de $0$ signale l'absence de
lien affine, pas sa qualité.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q06 : Se ramener à l'affine par changement de variable Un nuage $(x_i\,;\,y_i)$ suit une tendance exponentielle
$y = k\,a^x$. Quel changement de variable ramène à un
ajustement affine ?

]]> Linéarisation (au programme) : $y = k\,a^x \Rightarrow
\ln y = \ln k + (\ln a)\,x$. Si le nuage $(x\,;\,\ln y)$ est
presque aligné, le modèle exponentiel est validé et ses
paramètres se lisent sur la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Poser $z = \ln y$

]]> Bonne réponse : alors $z = \ln k + x\ln a$, affine en
$x$. Le logarithme transforme le modèle multiplicatif en
modèle additif : le nuage $(x\,;\,\ln y)$ s'aligne, et
la régression s'applique.

]]> Poser $z = y^2$

]]> Erreur : élever au carré accentue la courbure au lieu de
la redresser. C'est le logarithme qui linéarise une
exponentielle.

]]> Poser $z = \dfrac{1}{y}$

]]> Erreur : l'inverse convient à d'autres formes (du type
$y = \frac{1}{ax + b}$), pas à l'exponentielle.

]]> Aucun, un nuage courbé ne s'ajuste jamais

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt du programme : bien des
modèles se ramènent à l'affine par un changement de
variable adapté.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q07 : Les limites de l'extrapolation Une droite de régression ajuste très bien ($r = 0{,}99$) la
température moyenne d'un lieu selon l'année, observée de
$2000$ à $2020$. Peut-on l'utiliser pour prédire la
température en $2100$ ?

]]> Interpolation : fiable ; extrapolation : à manier avec un
regard critique, d'autant plus que l'horizon s'éloigne
(thème du programme, notamment sur le climat). Le modèle
décrit les données, pas l'avenir garanti.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Avec de grandes réserves, c'est une extrapolation
lointaine

]]> Bonne réponse : la tendance peut changer. Le bon
ajustement vaut sur la plage observée ; à $80$ ans
de distance, rien ne garantit la persistance de la
tendance (regard critique exigé par le programme,
exemple climatique compris).

]]> Oui, sans réserve, $r = 0{,}99$ garantit la prédiction

]]> Erreur : $r$ mesure l'alignement passé, pas la
validité future du modèle. Extrapoler loin est toujours
fragile.

]]> Non, une droite de régression ne sert jamais à prédire

]]> Trop fort : prédire est l'un de ses usages ; c'est la
distance aux données qui commande la confiance.

]]> Oui, à condition d'utiliser plus de décimales

]]> Erreur : la précision numérique ne répare pas
l'incertitude du modèle hors de son domaine.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q08 : La droite passe par le point moyen Un nuage a pour point moyen $G(4\,;\,11)$ et la droite des
moindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de cette
droite ?

]]> La droite des moindres carrés passe par le point moyen
$G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$. Avec la pente, l'équation s'en déduit :
$y = 2x + 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x + 3$

]]> Bonne réponse : la droite passe par $G$, donc
$11 = 2 \times 4 + b$ et $b = 3$.

]]> $y = 2x + 11$

]]> Ordonnée de $G$ prise pour ordonnée à l'origine : on impose le
passage par $G$, soit $11 = 8 + b$.

]]> $y = 2x - 3$

]]> Erreur de signe : $b = 11 - 8 = 3$.

]]> On ne peut pas conclure sans tous les points

]]> La pente et le passage par $G$, propriété des moindres carrés,
déterminent entièrement la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q09 : Corrélation n'est pas causalité Sur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre
de cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés
($r = 0{,}9$). Peut-on conclure que les médecins provoquent
la maladie ?

]]> Thème explicite du programme : distinguer corrélation et
causalité. Devant un $r$ élevé, examiner : facteur commun
(ici la population), causalité inverse, coïncidence :
prédire n'est pas expliquer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, la population des communes explique les deux

]]> Bonne réponse : facteur commun classique, la taille de
la population explique vraisemblablement les deux
variables : les grandes communes ont plus de médecins
et plus de cas. La corrélation est réelle, la
causalité illusoire.

]]> Oui, $r = 0{,}9$ est une preuve causale forte

]]> Erreur fondamentale : $r$ mesure une association,
jamais un mécanisme. Aucun seuil de $r$ ne crée de la
causalité.

]]> Oui, si la droite de régression est croissante

]]> Erreur : le sens de la pente n'ajoute rien : facteur
commun, hasard ou causalité inverse restent des
explications candidates.

]]> Non, les corrélations n'ont jamais aucun sens

]]> Trop fort : la corrélation décrit un lien réel
(utile pour prédire) ; c'est son interprétation causale
qui exige d'autres arguments.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q10 : Bien lire un résidu Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne
$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut le résidu, défini comme valeur
observée moins valeur prédite ?

]]> Résidu $=$ observé $-$ prédit : positif si le point est au-dessus
de la droite, négatif s'il est en dessous. Les moindres carrés
minimisent la somme des carrés des résidus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : la prédiction vaut
$2{,}4 \times 5 + 10 = 22$, d'où le résidu
$25 - 22 = 3$.

]]> $0$

]]> Un résidu nul supposerait que la droite passe par le point ;
elle passe au plus près des points, pas par chacun.

]]> $20$

]]> Comparaison de $y$ à $x$ : $25 - 5$ n'a pas de sens ; on
compare $y$ observé à $y$ prédit, $22$.

]]> $-3$

]]> Soustraction inversée : on calcule valeur observée moins
valeur prédite, $25 - 22$.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q11 : Obtenir la régression en pratique Comment obtient-on en pratique la droite de régression d'une
série de données (au programme) ?

]]> Position du programme : déterminer la droite à l'aide de
la calculatrice ou d'un logiciel, puis interpréter (pente,
$r$, prédictions). La démonstration des formules reste une
possibilité, pas une exigence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par la calculatrice, un tableur ou Python

]]> Bonne réponse : la détermination est instrumentée
(capacité attendue) : on saisit les listes, l'outil
renvoie la pente $a$, l'ordonnée à l'origine $b$ (et
$r$) ; à nous l'interprétation.

]]> En reliant le premier et le dernier point du nuage

]]> Erreur : cette corde dépend de deux points seulement et
ignore tout le reste du nuage.

]]> En traçant à main levée, seule méthode admise

]]> Erreur : l'ajustement au jugé est une première approche,
mais la droite des moindres carrés se calcule
exactement, et les outils la fournissent.

]]> Il faut connaître par cœur les formules de $a$ et $b$

]]> Erreur : aucune formule n'est exigée : l'accent porte
sur l'usage des outils et l'interprétation des résultats.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q12 : La démarche complète d'un ajustement Quel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série
de données à deux variables ?

]]> Démarche type : nuage $\to$ choix du modèle (affine direct
ou changement de variable) $\to$ ajustement outillé et $r$
$\to$ interprétation critique (interpolation, extrapolation
prudente, corrélation $\neq$ causalité).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tracer le nuage, choisir la forme du modèle, ajuster et
calculer $r$, puis interpréter

]]> Bonne réponse : le regard sur le nuage précède tout
calcul et guide le choix du modèle (affine direct ou à
linéariser par changement de variable) ; le coefficient $r$
valide l'ajustement ; l'interprétation conclut, avec des
prédictions prudentes et en distinguant corrélation et
causalité.

]]> Calculer $r$ d'abord, et ne représenter le nuage que si
$r$ est trop faible pour conclure

]]> Erreur : un même $r$ peut cacher des nuages très
différents (courbure, point aberrant) : la
représentation graphique vient en premier.

]]> Prédire d'abord la valeur cherchée, puis ajuster un modèle
qui confirme la prédiction

]]> Erreur : aucune prédiction sans modèle ajusté et validé ;
ajuster après coup pour confirmer une prédiction inverse la
démarche.

]]> Supprimer les points qui s'écartent de la tendance, puis
ajuster sur les points restants

]]> Erreur méthodologique : écarter des données pour
embellir l'ajustement fausse l'étude (un point aberrant
se discute, ne se supprime pas en silence).

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q13 : Un coefficient de $-0{,}95$ Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient
de corrélation $r = -0{,}95$. Comment l'interpréter ?

]]> Lire $r$ en deux temps : $|r|$ = force du lien linéaire
($0$ = aucun, $1$ = parfait) ; le signe donne le sens (croissant ou décroissant). Et jamais de causalité sur la seule foi du
coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude
monte, la température descend

]]> Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : lien fort ; signe
négatif : les deux variables varient en sens
contraires.

]]> Lien très faible, car le coefficient est négatif

]]> Confusion signe/force : la force se lit sur $|r| =
0{,}95$ (très forte) : le signe donne seulement le SENS
du lien.

]]> Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être
négatif

]]> Erreur : $r$ vit dans $[-1\ ;\ 1]$ : les valeurs
négatives décrivent les liens décroissants, parfaitement
légitimes.

]]> L'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé

]]> Trop dit : la corrélation mesure l'ASSOCIATION : la
causalité (ici plausible physiquement) demande d'autres
arguments que le seul $r$.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q14 : Un coefficient proche de $0$ Un nuage de points donne $r = 0{,}05$. Que peut-on en
conclure ?

]]> $r \approx 0$ : pas d'alignement : soit indépendance, soit
lien NON linéaire : seul le graphique tranche. Règle d'or :
jamais de conclusion sur $r$ sans avoir vu le nuage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pas de lien linéaire entre les variables

]]> Bonne réponse : un lien courbe reste possible. $r$ ne
mesure QUE l'alignement : une parabole parfaite peut
donner $r \approx 0$ : toujours regarder le nuage.

]]> Aucun lien d'aucune sorte entre les variables

]]> Trop fort : $r$ est aveugle aux liens non
linéaires : un nuage en U a un $r$ presque nul et un
lien très net.

]]> Un lien faible mais croissant entre les variables

]]> Sur-lecture : à $0{,}05$, le signe n'a plus de
signification : le nuage est un brouillard (ou une
courbe).

]]> Les données sont fausses ou mal saisies

]]> Erreur : l'absence de lien linéaire est un résultat
parfaitement valide : deux variables peuvent n'avoir
rien à voir.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q15 : Prévoir avec la droite de régression La droite de régression a pour équation $y = 2x + 1$. Quelle
valeur le modèle prévoit-il pour $x = 7$ ?

]]> Prévoir avec la régression, c'est remplacer $x$ par la valeur
voulue dans l'équation. L'estimation est fiable dans la plage des
données, fragile au-delà.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 15$

]]> Bonne réponse : $2 \times 7 + 1 = 15$.

]]> $y = 9$

]]> Addition à la place du produit : $2x$ signifie
$2 \times x$.

]]> $y = 14$

]]> Constante oubliée : $14 = 2 \times 7$, il reste à
ajouter $1$.

]]> Aucune sans valeur observée en $x = 7$

]]> La régression sert justement à estimer là où l'on n'a pas
observé.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q16 : Le signe de $r$ et la pente Quel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de
corrélation $r$ et la droite de régression ?

]]> Le signe de $r$ est celui de la pente de la droite de régression, et il donne le sens du lien. La force, elle, appartient à $|r|$ : une droite peut
être pentue avec un nuage très dispersé (petit $|r|$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r$ et la pente de la droite ont toujours le même signe

]]> Bonne réponse : lien croissant : $r > 0$ ET droite
montante ; lien décroissant : les deux négatifs : les
deux indicateurs racontent le même sens.

]]> Ils sont toujours de signes opposés

]]> Erreur : un nuage montant donne une droite montante ET
un $r$ positif : les deux signes coïncident.

]]> Aucun lien : $r$ et la droite sont indépendants

]]> Erreur : les deux sortent des mêmes données : le sens du
lien (signe) leur est commun ($r$ ajoute la mesure de la
force).

]]> $r$ est le carré de la pente

]]> Erreur : aucune formule de ce type (un carré serait
toujours positif, or $r$ peut être négatif) : seul le
SIGNE est partagé.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q17 : Signe d'un résidu Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, et
l'on observe $y = 14$. Que vaut le résidu, observé moins
prédit, et que signifie son signe ?

]]> Le résidu est négatif quand le point est sous la droite, positif
quand il est au-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme
des carrés des résidus : de petits écarts des deux côtés sont
normaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ : le point est en dessous de la droite

]]> Bonne réponse : $14 - 15 = -1$.

]]> $1$ : le point est au-dessus de la droite

]]> Soustraction inversée : le résidu est observé moins prédit,
$14 - 15 = -1$.

]]> $29$ : la somme des deux valeurs

]]> Un résidu est un écart, donc une soustraction, pas une somme.

]]> $0$ : un bon modèle n'a aucun écart

]]> Un bon modèle a des résidus petits, pas nuls : la droite ne
passe pas par tous les points.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q18 : Quand $|r| = 1$ Que signifie un coefficient de corrélation égal à $-1$
exactement ?

]]> Échelle de $|r|$ : $1$ = alignement parfait, $0$ = aucun
alignement, entre les deux : un continuum. En pratique, les
données réelles vivent entre $0$ et $1$ strictement : $\pm
1$ signale souvent une variable dupliquée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite
décroissante

]]> Bonne réponse : $|r| = 1$ : alignement exact (tous les
résidus nuls) ; signe négatif : droite qui descend. Cas
limite rarissime sur données réelles.

]]> Les variables n'ont aucun lien

]]> Contresens complet : l'absence de lien linéaire
correspond à $r \approx 0$ : $\pm 1$ est le lien le plus
fort possible.

]]> Il y a forcément une erreur : $r$ ne peut pas atteindre
$-1$

]]> Erreur : $-1$ est la borne atteignable de
l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$ : il suffit de points
exactement alignés en descente.

]]> La moitié des points est au-dessus de la droite

]]> Erreur : à $|r| = 1$, AUCUN point ne quitte la droite :
tous les résidus sont nuls.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q19 : Interpréter la pente d'une régression Une régression donne $y = 1{,}8x + 12$, où $x$ est une durée en
heures et $y$ un chiffre d'affaires en milliers d'euros. Que signifie
$1{,}8$ ?

]]> Le coefficient directeur d'une droite de régression s'interprète toujours
avec les unités des deux variables : tant de $y$ par unité de $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une heure de plus rapporte $1\,800$ euros

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur donne la variation de $y$ pour
une unité de $x$, ici en milliers d'euros.

]]> Le chiffre d'affaires moyen vaut $1\,800$ euros

]]> La moyenne se lit au point moyen du nuage, pas sur la pente.

]]> Le chiffre d'affaires initial vaut $1\,800$ euros

]]> Cette valeur est donnée par l'ordonnée à l'origine, soit $12\,000$
euros.

]]> Le chiffre d'affaires augmente de $180$ %

]]> Le modèle est additif : le coefficient s'exprime en milliers d'euros
par heure, pas en pourcentage.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q20 : Un coefficient de corrélation de $0{,}3$ Une étude donne un coefficient de corrélation linéaire de $0{,}3$.
Que conclure ?

]]> Le coefficient de corrélation mesure l'intensité d'un lien linéaire, entre
$-1$ et $1$. Une valeur proche de zéro n'exclut ni lien d'une autre forme,
ni dépendance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le lien linéaire est faible

]]> Bonne réponse : loin de $1$ en valeur absolue, le coefficient signale un
nuage peu aligné.

]]> Le lien linéaire est fort

]]> Un lien fort demanderait une valeur absolue proche de $1$.

]]> Les variables sont indépendantes

]]> Un lien non linéaire peut exister malgré un coefficient faible : une
parabole en donne l'exemple.

]]> La première variable cause la seconde

]]> Aucun coefficient de corrélation n'établit une causalité.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q21 : Un point toujours sur la droite Quel point appartient nécessairement à la droite de régression ?

]]> La droite de régression passe par le point moyen du nuage. Cette propriété
sert à vérifier un calcul et à retrouver l'ordonnée à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point moyen du nuage

]]> Bonne réponse : la droite des moindres carrés passe toujours par le
point de coordonnées les deux moyennes.

]]> Le premier point du nuage

]]> Aucun point observé n'appartient nécessairement à la droite.

]]> L'origine du repère

]]> La droite y passe seulement si l'ordonnée à l'origine est nulle, cas
particulier.

]]> Le point le plus éloigné du nuage

]]> Ce point a au contraire un résidu important, donc un écart marqué à la
droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q22 : Résidu à partir d'une prédiction donnée On appelle résidu la différence entre la valeur observée et la
valeur prédite par le modèle, dans cet ordre. Pour $x = 5$, la
valeur observée vaut $22$ et le modèle prédit $19$. Que
vaut le résidu ?

]]> Un résidu est la différence entre la valeur observée et la valeur
prédite. Positif, le point est au-dessus de la droite ; négatif,
il est en dessous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : le résidu vaut $22 - 19 = 3$.

]]> $-3$

]]> Sens de la soustraction : on retranche la valeur prédite à la
valeur observée.

]]> $41$

]]> Valeurs additionnées : le résidu mesure un écart, pas une
somme.

]]> $5$

]]> Abscisse recopiée : elle indique où l'écart est mesuré, pas sa
valeur.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q23 : Les limites d'une prévision Une régression établie sur des durées comprises entre $1$ et $8$
heures est utilisée pour prédire à $40$ heures. Quel est le risque ?

]]> L'interpolation reste dans la plage des données observées, l'extrapolation
en sort. La seconde exige une justification, faute de quoi elle n'a aucune
garantie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le modèle n'est pas validé aussi loin

]]> Bonne réponse : rien ne garantit que la relation reste affine si loin
des données.

]]> Le calcul devient impossible

]]> Le calcul se fait sans difficulté : c'est son interprétation qui pose
problème.

]]> Le coefficient de corrélation s'en trouve changé

]]> Ce coefficient est calculé sur les données observées, il ne dépend pas
des prévisions.

]]> La droite cesse d'être une droite

]]> La droite se prolonge indéfiniment : c'est le phénomène étudié qui
n'est plus décrit.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q24 : Se ramener à un ajustement affine Un nuage suit une tendance exponentielle. Quel changement de variable
permet un ajustement affine ?

]]> Le logarithme transforme les produits en sommes : appliqué à une relation
exponentielle, il la rend affine, ce qui autorise une régression
classique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Remplacer $y$ par $\ln y$

]]> Bonne réponse : si $y = ka^x$, alors $\ln y = \ln k + x\ln a$, une
relation affine en $x$.

]]> Remplacer $x$ par $\ln x$

]]> Ce changement convient à une tendance logarithmique, pas
exponentielle.

]]> Remplacer $y$ par $y^2$

]]> Élever au carré accentue la courbure au lieu de la redresser.

]]> Remplacer $x$ par $\dfrac{1}{x}$

]]> Ce changement sert pour une tendance hyperbolique.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q25 : Signe du coefficient de corrélation Un coefficient de corrélation vaut $-0{,}88$.
Que peut-on en dire ?

]]> La valeur absolue du coefficient mesure la force du lien linéaire, son
signe donne le sens. Ce signe est aussi celui de la pente de la droite de
régression.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le lien est fort et décroissant

]]> Bonne réponse : la valeur absolue proche de $1$ indique un lien fort, le
signe négatif un sens décroissant.

]]> Le lien est faible et décroissant

]]> Une valeur absolue de $0{,}88$ signale au contraire un nuage très
aligné.

]]> Le lien est fort et croissant

]]> Le signe négatif impose une pente négative, donc une décroissance.

]]> Les variables ne sont pas liées

]]> Un coefficient aussi proche de $-1$ traduit une relation nette.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q26 : Obtenir une régression en pratique Comment obtient-on l'équation d'une droite de régression sur un jeu de
données réel ?

]]> Les coefficients de la droite de régression se calculent à partir des
moyennes, des écarts-types et de la covariance. En pratique, calculatrice
et tableur les fournissent directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par la fonction dédiée d'une calculatrice ou d'un tableur

]]> Bonne réponse : les coefficients se calculent par des formules que
l'outil applique directement.

]]> En traçant la droite à la règle sur le nuage

]]> Un tracé à main levée donne une approximation, pas la droite qui
minimise les écarts.

]]> En reliant le premier et le dernier point

]]> Cette droite ignore tous les points intermédiaires, y compris les plus
nombreux.

]]> En calculant la moyenne des ordonnées

]]> Cette moyenne donne une horizontale, qui ne rend compte d'aucune
tendance.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q27 : Corrélation et causalité Les ventes de glaces et les noyades sont fortement corrélées.
Que conclure ?

]]> Une corrélation forte peut venir d'une causalité, d'une causalité inverse,
d'une variable cachée ou du hasard. Seule une démarche expérimentale
permet de trancher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une cause commune explique les deux

]]> Bonne réponse : la chaleur estivale augmente à la fois la consommation
de glaces et la fréquentation des plages.

]]> Les glaces provoquent les noyades

]]> Aucune corrélation n'établit une causalité, si forte soit-elle.

]]> Les noyades augmentent les ventes de glaces

]]> Inverser le sens de la causalité ne la justifie pas davantage.

]]> La corrélation est une coïncidence sans cause

]]> Il y a bien une explication : la variable cachée qu'est la saison.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q28 : Prévision et nature de l'estimation Une régression établie sur des valeurs de $x$ comprises entre $0$
et $10$ donne $y = 2{,}5x + 4$. Quelle prévision obtient-on pour
$x = 6$, et de quelle nature est-elle ?

]]> Une prévision remplace $x$ dans l'équation de la droite. Hors de
la plage des données, l'extrapolation suppose que la tendance se
prolonge : elle demande un regard critique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $19$, une interpolation

]]> Bonne réponse : $2{,}5 \times 6 + 4 = 19$, et $x = 6$
se situe par rapport à la plage $[0\,;\,10]$ des données.

]]> $19$, une extrapolation

]]> Nature mal identifiée : on interpole dans la plage des données
observées et l'on extrapole au-delà.

]]> $15$, une interpolation

]]> Ordonnée à l'origine oubliée : il reste à ajouter $4$ à
$15$.

]]> $15$, une extrapolation

]]> Deux erreurs : la constante $4$ est oubliée et la nature de
l'estimation est inversée.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q29 : Quand le coefficient vaut exactement $1$ Que signifie un coefficient de corrélation égal à $1$ ?

]]> Un coefficient valant $1$ ou $-1$ signale un alignement parfait. Le signe
donne le sens de la relation, jamais la valeur de la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points sont alignés, en croissant

]]> Bonne réponse : l'alignement est parfait, et la pente est positive.

]]> Les deux variables sont égales

]]> L'égalité n'est pas requise : $y = 3x + 7$ donne aussi un coefficient
de $1$.

]]> La pente de la droite de régression vaut $1$

]]> Le coefficient de corrélation ne donne pas la valeur de la pente, mais
son signe et la qualité de l'alignement.

]]> Le nuage ne comporte qu'un seul point

]]> Le coefficient ne se calcule pas sur un point unique, faute de
dispersion.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q30 : L'ordre des étapes Quelle est la première étape d'une étude d'ajustement ?

]]> La démarche va du nuage à la prévision : représenter, juger de la forme,
ajuster, mesurer la qualité, puis seulement prévoir en restant dans la
plage des données.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Représenter le nuage de points

]]> Bonne réponse : la forme du nuage décide du type d'ajustement à
tenter.

]]> Calculer le coefficient de corrélation

]]> Ce coefficient ne mesure qu'un lien linéaire : il ne se lit
correctement qu'après avoir vu le nuage.

]]> Écrire l'équation de la droite

]]> Écrire une droite avant d'avoir constaté une tendance affine met la
conclusion avant l'analyse.

]]> Faire une prévision

]]> La prévision est la dernière étape, et seulement si le modèle a été
validé.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q31 : Lire la sortie de la calculatrice Pour une série de données, la calculatrice affiche $a = 1{,}25$,
$b = -3{,}4$ et $r = 0{,}97$. Quelle est l'équation de la droite de
régression de $y$ en $x$ ?

]]> La calculatrice fournit trois nombres : la pente $a$,
l'ordonnée à l'origine $b$ et le coefficient de corrélation
$r$. Les deux premiers forment l'équation, le troisième dit si
elle mérite d'être utilisée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 1{,}25x - 3{,}4$

]]> Bonne réponse : la machine donne la pente $a$ et l'ordonnée
à l'origine $b$ de la droite $y = ax + b$.

]]> $y = -3{,}4x + 1{,}25$

]]> Coefficients échangés : $1{,}25$ est la pente et $-3{,}4$
l'ordonnée à l'origine, pas l'inverse.

]]> $y = 0{,}97x - 3{,}4$

]]> Erreur : $0{,}97$ est le coefficient de corrélation, qui juge
l'alignement et n'entre pas dans l'équation.

]]> $y = 1{,}25x + 3{,}4$

]]> Signe de l'ordonnée à l'origine : la machine affiche
$b = -3{,}4$, qu'il faut recopier tel quel.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q32 : Un coefficient supérieur à $1$ Un élève annonce avoir trouvé un coefficient de corrélation
égal à $1{,}2$. Que faut-il en penser ?

]]> Le coefficient de corrélation est encadré par $-1$ et $1$.
Toute valeur hors de cet intervalle signale une erreur, et non
un lien exceptionnellement fort.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est impossible, $r$ reste entre $-1$ et $1$

]]> Bonne réponse : le coefficient de corrélation appartient
toujours à $[-1\,;\,1]$. Une telle valeur vient d'une
erreur de saisie ou de lecture.

]]> Le lien est meilleur qu'un alignement parfait

]]> Erreur : $1$ correspond déjà à des points exactement
alignés, on ne peut pas faire mieux.

]]> Le lien est fort et croissant, comme pour $0{,}9$

]]> Erreur : la valeur annoncée sort de l'intervalle possible,
elle ne s'interprète donc pas.

]]> La pente de la droite de régression vaut $1{,}2$

]]> Confusion : pente et coefficient de corrélation partagent
leur signe, mais jamais leur valeur.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q33 : Comparer deux coefficients Deux séries donnent respectivement $r_1 = -0{,}92$ et
$r_2 = 0{,}68$. Dans laquelle le nuage est-il le plus proche
d'une droite ?

]]> Lire un coefficient de corrélation se fait en deux temps : sa
valeur absolue donne la force du lien linéaire, son signe en
donne le sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La première, sa valeur absolue est plus grande

]]> Bonne réponse : la force du lien se lit sur $|r|$, et
$0{,}92$ dépasse $0{,}68$. Le signe indique seulement que
la droite descend.

]]> La seconde, son coefficient est positif

]]> Confusion signe et force : un coefficient positif décrit un
lien croissant, pas un lien plus net.

]]> La seconde, $0{,}68$ dépasse $-0{,}92$

]]> Comparaison algébrique : ce sont les valeurs absolues qu'il
faut comparer, pas les nombres signés.

]]> Aucune, des signes contraires ne se comparent pas

]]> Erreur : deux coefficients se comparent toujours, à
condition de regarder leurs valeurs absolues.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q34 : Retrouver la valeur prédite Le résidu est la différence entre la valeur observée et la
valeur prédite, dans cet ordre. Pour $x = 5$, l'observation
vaut $17$ et le résidu $2$. Que prédit le modèle ?

]]> Résidu, observation et prédiction sont liés par une seule
relation : le résidu est l'observation moins la prédiction.
Connaître deux de ces trois nombres suffit pour trouver le
troisième.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : la prédiction vaut $17 - 2$,
c'est-à-dire $15$.

]]> $19$

]]> Opération inversée : le résidu se retranche à
l'observation, il ne s'y ajoute pas.

]]> $2$

]]> Résidu recopié : $2$ mesure l'écart au modèle, ce n'est
pas la valeur prédite.

]]> $17$

]]> Observation recopiée : un résidu non nul signifie justement
que le modèle ne prédit pas la valeur observée.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q35 : Un coefficient compatible avec la droite La droite de régression d'une série a pour équation
$y = -1{,}4x + 30$. Parmi ces valeurs, laquelle peut être son
coefficient de corrélation ?

]]> L'équation de la droite donne le signe du coefficient de
corrélation, jamais sa valeur : deux nuages de pentes
identiques peuvent être l'un très aligné, l'autre très
dispersé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-0{,}87$

]]> Bonne réponse : le coefficient de corrélation a le même
signe que la pente et sa valeur absolue ne dépasse pas $1$.

]]> $0{,}87$

]]> Erreur de signe : la pente vaut $-1{,}4$, le coefficient porte
donc le même signe qu'elle.

]]> $-1{,}4$

]]> Pente recopiée : les deux nombres partagent leur signe,
mais le coefficient mesure l'alignement, pas l'inclinaison.

]]> $0$

]]> Erreur : un coefficient nul décrirait un nuage sans
tendance, incompatible avec une pente de $-1{,}4$.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q36 : Retrouver la moyenne des ordonnées La moyenne des abscisses d'un nuage vaut $\bar{x} = 6$ et sa
droite de régression a pour équation $y = 1{,}5x + 4$. Que
vaut la moyenne des ordonnées $\bar{y}$ ?

]]> La droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen
$G(\bar{x}\,;\,\bar{y})$. Cette propriété relie les deux
moyennes et l'équation de la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $13$

]]> Bonne réponse : la droite passe par le point moyen, donc
$\bar{y} = 1{,}5 \times 6 + 4 = 13$.

]]> $4$

]]> Ordonnée à l'origine recopiée : $4$ est la valeur prédite
en $x = 0$, pas en $x = 6$.

]]> $9$

]]> Terme constant oublié : après $1{,}5 \times 6 =
9$, il reste à ajouter $4$.

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est la moyenne des abscisses, et les deux
moyennes n'ont aucune raison de coïncider.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q37 : Remonter à l'antécédent Le modèle ajusté est $y = 2{,}5x + 10$. Pour quelle valeur de
$x$ prévoit-il $y = 45$ ?

]]> Prévoir $y$ à partir de $x$ demande un calcul, retrouver $x$ à
partir de $y$ demande de résoudre une équation du premier
degré. Les deux usages valent tant qu'on reste dans la plage
des données.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $14$

]]> Bonne réponse : on résout $2{,}5x + 10 = 45$, soit
$2{,}5x = 35$, puis $x = 14$.

]]> $22$

]]> Signe mal géré : le terme constant change de signe en
passant de l'autre côté, d'où $2{,}5x = 35$.

]]> $35$

]]> Division oubliée : $35$ est la valeur de $2{,}5x$,
il reste à diviser par $2{,}5$.

]]> $18$

]]> Terme constant ignoré : diviser $45$ par $2{,}5$ revient à
supposer que la droite passe par l'origine.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q38 : Une pente négative en contexte Pour un article, la régression donne $y = -0{,}8x + 45$, où $x$
est le prix en euros et $y$ le nombre d'articles vendus par
jour. Que signifie le coefficient $-0{,}8$ ?

]]> Une pente s'interprète avec les unités des deux variables :
tant d'articles par euro. Son signe donne le sens de la
variation, sa valeur absolue son ampleur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un euro de plus fait perdre $0{,}8$ vente par jour

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur donne la variation
de $y$ quand $x$ augmente d'une unité, ici une perte de
$0{,}8$ vente par euro supplémentaire.

]]> Un euro de plus fait gagner $0{,}8$ vente par jour

]]> Signe négligé : le coefficient est négatif, les ventes
reculent quand le prix monte.

]]> Les ventes diminuent de $0{,}8\ \%$ par euro de plus

]]> Le modèle est additif : la pente s'exprime en articles par
euro, pas en pourcentage.

]]> Baisser le prix de $0{,}8$ euro fait vendre un article

]]> Rapport inversé : il faudrait baisser le prix de $1{,}25$
euro pour espérer une vente de plus.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q39 : Pourquoi élever les écarts au carré Dans la méthode des moindres carrés, pourquoi élève-t-on les
résidus au carré au lieu de les additionner tels quels ?

]]> Les moindres carrés minimisent $\sum (y_i - (ax_i + b))^2$.
Élever au carré supprime les compensations de signe et
pénalise fortement les grands écarts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que des écarts contraires se compenseraient

]]> Bonne réponse : une somme d'écarts signés peut être nulle
pour une droite très mal placée. Le carré rend chaque écart
positif et empêche ces compensations.

]]> Parce que le carré atténue les points très éloignés

]]> Effet contraire : le carré accentue le poids des points
situés loin de la droite.

]]> Parce que la somme dépendrait du nombre de points

]]> Hors sujet : le nombre de points intervient de la même
façon pour toutes les droites comparées.

]]> Parce qu'un résidu négatif n'aurait aucun sens

]]> Erreur : un résidu négatif a un sens très clair, il situe
le point en dessous de la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q40 : Prévoir sans lien linéaire Sur une série de données, le coefficient de corrélation vaut
$0{,}03$. Peut-on se servir de la droite de régression pour
prévoir $y$ ?

]]> Une droite de régression se calcule presque toujours, même sur
un nuage informe. Le coefficient de corrélation sert justement
à décider si elle mérite d'être utilisée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, sans tendance affine on ne prévoit rien

]]> Bonne réponse : le calcul fournit bien une droite, mais un
nuage sans alignement ne se résume pas par elle et la
valeur prévue serait arbitraire.

]]> Oui, la droite existe donc sa prévision est valable

]]> Erreur : l'existence du calcul ne garantit pas sa
pertinence, c'est $|r|$ qui en décide.

]]> Oui, à condition de rester dans la plage observée

]]> Insuffisant : rester dans la plage protège de
l'extrapolation, pas d'un modèle qui ne décrit rien.

]]> Non, la droite ne peut pas être calculée ici

]]> Erreur : la droite se calcule dès que les données varient,
c'est son interprétation qui pose problème.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q41 : Un nuage nettement incurvé Le nuage d'une série dessine une courbe régulière et nettement
incurvée, et le coefficient de corrélation vaut $0{,}82$. Que
faire ?

]]> Le coefficient de corrélation ne mesure qu'un alignement.
Devant un nuage courbe, la démarche consiste à changer de
variable, par exemple en posant $z = \ln y$, puis à ajuster le
nouveau nuage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Chercher un changement de variable adapté

]]> Bonne réponse : une courbure nette signale un modèle non
affine. Un changement de variable bien choisi ramène
souvent le nuage à un alignement.

]]> Garder la droite, car $0{,}82$ est proche de $1$

]]> Erreur : un coefficient honorable n'efface pas une
courbure visible, et le graphique prime sur le nombre.

]]> Conclure qu'aucun modèle ne convient ici

]]> Trop pessimiste : la régularité de la courbe est au
contraire le signe qu'un modèle existe.

]]> Retirer les points les plus éloignés de la droite

]]> Erreur de méthode : supprimer des données pour embellir un
ajustement fausse l'étude.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q42 : Des points tous sur la droite Tous les points d'un nuage sont exactement situés sur la droite
d'équation $y = -3x + 5$. Que vaut le coefficient de
corrélation de cette série ?

]]> Un alignement parfait donne $r = 1$ si la droite monte et
$r = -1$ si elle descend, quelle que soit la valeur de la
pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : un alignement exact donne $|r| = 1$, et le
signe est celui de la pente $-3$.

]]> $1$

]]> Signe opposé : la pente vaut $-3$, le coefficient de
corrélation porte le même signe qu'elle.

]]> $-3$

]]> Pente recopiée : le coefficient de corrélation mesure
l'alignement, pas l'inclinaison de la droite.

]]> $0$

]]> Contresens : $0$ décrit un nuage sans alignement, alors
qu'ici tous les points sont sur la droite.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q43 : Un lien à contre-courant Dans un lycée, le nombre d'heures de soutien suivies et la
moyenne obtenue sont corrélés négativement : plus un élève
suit d'heures de soutien, plus sa moyenne est basse. Que montre
cet exemple ?

]]> Une corrélation ne porte aucune flèche : elle ne dit pas
laquelle des deux variables agit sur l'autre. L'exemple du
soutien montre que le sens réel peut être l'inverse du sens
attendu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le lien joue peut-être en sens inverse

]]> Bonne réponse : ce sont les résultats faibles qui
conduisent au soutien. Une corrélation ne dit pas dans quel
sens le lien fonctionne.

]]> Le soutien scolaire fait baisser les résultats

]]> Lecture causale hâtive : la corrélation montre une
association, pas un effet du soutien sur les notes.

]]> Une corrélation négative révèle un calcul erroné

]]> Erreur : une corrélation négative est un résultat
ordinaire, qui décrit deux variables évoluant en sens
contraires.

]]> Supprimer le soutien ferait remonter les moyennes

]]> Décision infondée : elle repose sur une causalité qui n'a
pas été établie, et probablement inversée.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q44 : Revenir au modèle initial Pour ajuster un nuage, on a posé $z = \ln y$, et la régression
donne $z = 0{,}4x + 1{,}2$. Quelle expression de $y$ en fonction
de $x$ en découle ?

]]> Un changement de variable se défait à la fin : après avoir
ajusté $z = \ln y$ par une droite, on écrit $y = e^{ax + b}$,
soit $y = e^{b} \times (e^{a})^{x}$, un modèle exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = e^{0{,}4x + 1{,}2}$

]]> Bonne réponse : de $\ln y = 0{,}4x + 1{,}2$, on revient à $y$
en appliquant l'exponentielle aux deux membres.

]]> $y = 0{,}4x + 1{,}2$

]]> Changement de variable oublié : la régression porte sur
$z = \ln y$, pas directement sur $y$.

]]> $y = e^{0{,}4x} + 1{,}2$

]]> Exponentielle partielle : elle s'applique à tout le membre
de droite, ce qui donne un produit et non une somme.

]]> $y = \ln(0{,}4x + 1{,}2)$

]]> Opération inverse manquée : c'est l'exponentielle qui
défait le logarithme, pas un second logarithme.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q45 : Une prévision absurde Les ventes mensuelles d'un magasin, relevées de $2020$ à
$2024$, s'ajustent par une droite décroissante avec
$r = -0{,}98$. Prolongée jusqu'en $2035$, cette droite annonce
un nombre de ventes négatif. Que conclure ?

]]> Une extrapolation lointaine doit être confrontée au bon sens :
une prévision impossible, comme un effectif négatif, montre que
le modèle affine a dépassé son domaine de validité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si loin des données, la prévision est à rejeter

]]> Bonne réponse : la droite décrit la période observée. Une
prévision impossible signale que le modèle est sorti de son
domaine de validité.

]]> Les ventes deviendront négatives, le calcul le démontre

]]> Erreur : un calcul exact mené sur un modèle inadapté ne
démontre rien, et un nombre de ventes reste positif.

]]> La qualité de l'ajustement garantit cette prévision

]]> Confusion : $r$ juge l'alignement des données observées, il
ne dit rien du comportement futur.

]]> Il suffit de remplacer la prévision négative par zéro

]]> Rafistolage : corriger le résultat ne corrige pas le
modèle, qui a cessé de décrire la situation.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q46 : Abscisse du point moyen Les abscisses des points d'un nuage sont $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5$. Quelle est
l'abscisse du point moyen $G$ ?

]]> Le point moyen a pour coordonnées les moyennes $\bar{x}$ et
$\bar{y}$ des abscisses et des ordonnées du nuage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$, la moyenne des abscisses

]]> Bonne réponse : $\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3$.

]]> $15$, la somme des abscisses

]]> Erreur : il faut diviser la somme par le nombre de points.

]]> $5$, le nombre de points

]]> Erreur : l'effectif n'est pas une abscisse.

]]> $1$, la première abscisse

]]> Erreur : le point moyen ne coïncide pas avec le premier point.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q47 : Quand un ajustement affine a du sens Dans quel cas un ajustement affine d'un nuage de points est-il
pertinent ?

]]> Avant d'ajuster, on regarde le nuage : la forme allongée justifie
le modèle affine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quand les points sont approximativement alignés le long d'une droite

]]> Bonne réponse : un nuage allongé, dont les points s'écartent peu
d'une droite, se résume bien par une fonction affine.

]]> Quand les points dessinent une courbe en forme de U

]]> Erreur : une droite ne peut pas suivre un nuage en U ; un autre
modèle, par exemple polynomial, convient mieux.

]]> Quand le nuage comporte au moins dix points

]]> Erreur : le nombre de points ne dit rien de la forme du nuage.

]]> Dans tous les cas, la calculatrice fournissant toujours une droite

]]> Erreur : la calculatrice calcule une droite quel que soit le
nuage ; c'est à l'utilisateur de juger si elle décrit bien les
données.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q48 : Un point par lequel passe la droite d'ajustement Par quel point la droite d'ajustement obtenue par la méthode des
moindres carrés passe-t-elle toujours ?

]]> La droite des moindres carrés a pour équation $y = ax + b$ avec
$b = \bar{y} - a\bar{x}$ : elle contient $G$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$

]]> Bonne réponse : la droite des moindres carrés passe par le
point moyen du nuage ; c'est une propriété de la méthode.

]]> L'origine du repère

]]> Erreur : rien n'impose à la droite de passer par l'origine ; son
ordonnée à l'origine est calculée.

]]> Le premier point du nuage

]]> Erreur : la droite ne passe en général par aucun point du
nuage.

]]> Le point le plus proche du centre du nuage

]]> Erreur : le point moyen n'est pas nécessairement un point du
nuage.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q49 : L'effet d'une valeur aberrante sur le point moyen Les ordonnées d'un nuage de cinq points sont $2$, $3$,
$4$, $5$ et $16$, la dernière étant une erreur de saisie.
Quel est l'effet de cette valeur sur l'ordonnée du point moyen ?

]]> Le point moyen, donc la droite d'ajustement, est sensible aux
valeurs aberrantes : repérer et vérifier ces points fait partie de
l'ajustement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle la porte à $6$ au lieu de $3{,}5$

]]> Bonne réponse : la moyenne des cinq valeurs vaut $6$, celle
des quatre premières $\dfrac{14}{4} = 3{,}5$ ; une seule
valeur aberrante déplace nettement le point moyen.

]]> Aucun, la moyenne résiste aux valeurs extrêmes

]]> C'est la médiane qui résiste aux valeurs extrêmes ; la
moyenne, elle, les subit.

]]> Elle la porte à $16$, la plus grande valeur

]]> La moyenne ne prend pas la valeur maximale, elle la dilue avec
les autres.

]]> Elle la fait baisser, l'erreur étant hors du nuage

]]> Une valeur très grande tire la moyenne vers le haut.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q50 : Choisir un coefficient au vu d'un nuage Nuage de dix points d'abscisses 1 à 10 : les ordonnées décroissent régulièrement de 18,2 à 2,9, presque alignées sur une droite descendante.

Quelle valeur du coefficient de corrélation correspond au nuage de
points représenté ?

]]> Le signe de $r$ donne le sens de la tendance, sa valeur absolue la
qualité de l'alignement : proche de $1$, les points sont presque
alignés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r = -0{,}99$

]]> Bonne réponse : les points sont presque alignés sur une droite
descendante, d'où $r$ négatif et proche de $-1$.

]]> $r = 0{,}99$

]]> Signe faux : la tendance est décroissante, le coefficient est
négatif.

]]> $r = -0{,}2$

]]> Lien trop faible : un tel coefficient correspond à un nuage
très dispersé.

]]> $r = -18$

]]> Le coefficient de corrélation est toujours compris entre $-1$
et $1$.

]]> Statistique à deux variables quantitatives — Q51 : Un nuage qui appelle un changement de variable Nuage de sept points d'abscisses 0 à 6, d'ordonnées 2 ; 3 ; 4,5 ; 6,8 ; 10,1 ; 15,2 ; 22,8 : chaque ordonnée vaut environ une fois et demie la précédente, le nuage se courbe vers le haut.

Le nuage de points représenté semble suivre une croissance de plus
en plus rapide. Quel ajustement est le plus pertinent ?

]]> Quand $y$ est multiplié par un facteur constant à chaque pas de
$x$, $\ln y$ augmente d'une constante : l'ajustement affine de
$\ln y$ en $x$ donne un modèle $y = e^{ax + b}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Poser $z = \ln y$, puis ajuster $z$ en $x$ par une droite

]]> Bonne réponse : les ordonnées sont multipliées par un même
facteur, environ $1{,}5$ ; $\ln y$ croît alors de façon
affine.

]]> Ajuster directement $y$ en $x$ par une droite

]]> Le nuage est nettement courbé : une droite le représenterait
mal, surtout aux extrémités.

]]> Poser $z = e^y$, puis ajuster $z$ en $x$

]]> Changement de variable dans le mauvais sens : $e^y$
accentuerait encore la courbure.

]]> Aucun ajustement n'est possible

]]> Un changement de variable ramène ce nuage à un ajustement
affine.

]]>