$course$/QCM de maths/Maths complémentaires/Suites numériques, modèles discrets Approche intuitive de la limite d'une suite, opérations et
théorème des gendarmes, limite de $q^n$ pour une raison
positive, limite de la somme $1 + q + \cdots + q^n$ pour
$0 < q < 1$, suites arithmético-géométriques (suite constante
solution, solution générale), problèmes de seuil.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1 Que vaut la limite de $0{,}7^n$ quand $n$ tend vers
$+\infty$ ?

]]> Limites de référence (raison positive) : $q^n \to 0$ si
$0 < q < 1$ ; $q^n \to +\infty$ si $q > 1$ ; constante $1$ si
$q = 1$. Socle de tous les modèles exponentiels discrets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : multiplier sans fin par $0{,}7 < 1$
écrase la valeur : $0{,}7$ ; $0{,}49$ ; $0{,}343$… vers
$0$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : l'explosion vers $+\infty$ demande une raison
$q > 1$. Ici chaque multiplication réduit.

]]> $0{,}7$

]]> Erreur : $0{,}7$ n'est que le premier terme ($n = 1$).
Les puissances suivantes continuent de fondre vers $0$.

]]> $1$

]]> Erreur : $q^n \to 1$ exigerait $q = 1$ (suite constante).
Avec $0{,}7$, la décroissance vers $0$ est inexorable.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Limite d'une somme géométrique Pour $0 < q < 1$, que vaut la limite de la somme
$1 + q + q^2 + \cdots + q^n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

]]> Résultat clé : $1 + q + \cdots + q^n \to \dfrac{1}{1-q}$
pour $0 < q < 1$. Exemple parlant :
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots \to 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{1 - q}$

]]> Bonne réponse : la somme vaut $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$
et $q^{n+1} \to 0$ : la limite est $\dfrac{1}{1-q}$
(démonstration possible au programme).

]]> $+\infty$

]]> Erreur : bien qu'on additionne une infinité de termes,
ceux-ci fondent si vite que le total plafonne :
c'est la somme géométrique convergente.

]]> $\dfrac{q}{1 - q}$

]]> Erreur : $\dfrac{q}{1 - q}$ est la limite de $q + q^2 +
\cdots$, la somme privée de son premier terme $1$. Avec
lui, la limite vaut $\dfrac{1}{1 - q}$ (par exemple $2$
pour $q = \frac{1}{2}$).

]]> $\dfrac{1}{q - 1}$

]]> Erreur de signe : pour $0 < q < 1$, $q - 1 < 0$
donnerait une limite négative, impossible pour une somme
de termes positifs. La formule est $\dfrac{1}{1 - q}$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Suite constante solution Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$. Quelle
suite constante vérifie cette relation ?

]]> Pour une suite arithmético-géométrique, on cherche la suite
constante solution en résolvant $c = ac + b$. Ce point d'équilibre
organise tout le comportement de la suite ; ici $c = 20$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite constante égale à $20$

]]> Bonne réponse : une constante $c$ vérifie $c = 0{,}8c + 4$,
soit $0{,}2\,c = 4$ et $c = 20$.

]]> La suite constante égale à $4$

]]> Constante de la relation recopiée :
$0{,}8 \times 4 + 4 = 7{,}2$, différent de $4$.

]]> La suite constante égale à $5$

]]> Division par le coefficient : $0{,}8 \times 5 + 4 = 8$,
différent de $5$ ; on divise par $1 - 0{,}8$.

]]> Aucune suite constante ne convient

]]> Dès que le coefficient diffère de $1$, l'équation $c = ac + b$
a une unique solution, ici $c = 20$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Exploiter la suite constante Toujours avec $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$ (point d'équilibre
$20$) et $u_0 = 30$. Que vaut la limite de $(u_n)$ ?

]]> Schéma complet : poser $v_n = u_n - c$ ($c$ point
d'équilibre) transforme la récurrence en suite géométrique
$v_{n+1} = a\,v_n$. Pour $|a| < 1$ : $v_n \to 0$ et
$u_n \to c$. Modèle des stabilisations (température,
médicament, capital).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$

]]> Bonne réponse : l'écart au point d'équilibre est multiplié
par $0{,}8$ à chaque rang et fond vers $0$ : la suite
$v_n = u_n - 20$ vérifie $v_{n+1} = 0{,}8\,v_n$
(géométrique), donc $v_n = 10 \times 0{,}8^n \to 0$ et
$u_n \to 20$.

]]> $30$

]]> Erreur : la suite ne reste pas à sa valeur initiale :
$u_1 = 0{,}8 \times 30 + 4 = 28 \neq 30$, elle bouge dès le
premier pas, attirée vers $20$.

]]> $+\infty$

]]> Erreur : le coefficient $0{,}8 < 1$ contracte
l'écart au point fixe au lieu de l'amplifier : la suite
converge.

]]> $0$

]]> Erreur : c'est l'écart $u_n - 20$ qui tend vers $0$,
pas la suite elle-même, qui se stabilise en $20$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Théorème des gendarmes Une suite vérifie, pour tout $n \geq 1$,
$3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 3 + \dfrac{1}{n}$.
Que peut-on conclure ?

]]> Gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$ avec $v_n \to \ell$ et
$w_n \to \ell$ $\Rightarrow$ $u_n \to \ell$. Ici le couloir
de largeur $\frac{2}{n}$ se referme sur $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(u_n)$ converge vers $3$

]]> Bonne réponse : les deux suites encadrantes tendent vers
$3$ : la suite coincée entre elles aussi (théorème des
gendarmes).

]]> $(u_n)$ est constante égale à $3$

]]> Trop fort : la suite peut osciller dans le couloir
(par exemple $3 + \frac{(-1)^n}{2n}$) ; seul son
comportement limite est imposé.

]]> On ne peut rien dire sans connaître $u_n$ explicitement

]]> Erreur : c'est la force du théorème : l'encadrement par
deux suites de même limite suffit à conclure.

]]> $(u_n)$ converge vers $\dfrac{1}{n}$

]]> Erreur de nature : une limite est un nombre fixe ;
$\frac{1}{n}$ dépend de $n$. Le couloir se resserre
autour de $3$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : Modéliser un compte avec versements Un compte rapporte $2\ \%$ par an et reçoit un versement de
$100$ euros chaque fin d'année. Notant $u_n$ le solde après
$n$ années, quelle récurrence modélise la situation ?

]]> Modèle mixte (taux $+$ versement constant) : récurrence
arithmético-géométrique $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec
$a = 1{,}02$ et $b = 100$. La chronologie des opérations
décide de la formule exacte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100$

]]> Bonne réponse : le solde est d'abord multiplié par
$1{,}02$ (intérêts), puis augmenté du versement : modèle
arithmético-géométrique typique.

]]> $u_{n+1} = u_n + 102$

]]> Erreur : ce modèle additif ignore que les intérêts
portent sur le solde courant (qui grandit), pas
seulement sur un montant fixe.

]]> $u_{n+1} = 1{,}02\,(u_n + 100)$

]]> Piège de chronologie : avec un versement en fin
d'année, les intérêts de l'année ne s'y appliquent pas :
$u_{n+1} = 1{,}02\,u_n + 100$.

]]> $u_{n+1} = 0{,}02\,u_n + 100$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}02$ ne garderait que les
intérêts en perdant le capital ! Le coefficient d'une
hausse de $2\ \%$ est $1{,}02$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Opérations sur les limites Soient $u_n \to 5$ et $v_n \to 0{,}5$. Que vaut la limite de
$\dfrac{u_n}{v_n}$ ?

]]> Opérations sur les limites (admises) : somme, produit,
quotient (dénominateur de limite non nulle) se passent aux
limites. $\frac{5}{0{,}5} = 10$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : quotient de limites (dénominateur non
nul) : $\dfrac{5}{0{,}5} = 10$.

]]> $2{,}5$

]]> Erreur : $5 \times 0{,}5 = 2{,}5$ serait la limite du
produit. Le quotient divise : $5 / 0{,}5 = 10$.

]]> $5{,}5$

]]> Erreur : $5 + 0{,}5$ est la limite de la somme.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Erreur : les formes indéterminées demandent $0/0$ ou
$\infty/\infty$ ; ici tout est fini et le dénominateur ne
s'annule pas : les opérations s'appliquent directement.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Dérouler une récurrence Soit $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut $u_2$
?

]]> Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 4$,
$u_1 = 8$, $u_2 = 10$. La suite se rapproche de son point
d'équilibre $12$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : $u_1 = 0{,}5 \times 4 + 6 = 8$, puis
$u_2 = 0{,}5 \times 8 + 6 = 10$.

]]> $8$

]]> Une étape seulement : $8$ est $u_1$, le rang $2$ demande
une itération de plus.

]]> $5$

]]> Ordre des opérations : $0{,}5 \times (4 + 6)$ ajoute avant
de multiplier ; on multiplie d'abord le terme courant.

]]> $16$

]]> Coefficient oublié : ajouter deux fois $6$ à $4$ néglige
la multiplication par $0{,}5$ à chaque rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Problème de seuil La valeur d'un équipement, en euros, vaut $u_n = 1000 \times 0{,}5^n$
au bout de $n$ années. À partir de quel rang $n$ la valeur
passe-t-elle sous $10$ euros ?

]]> On calcule les termes successifs jusqu'au franchissement du seuil,
à la main, au tableur ou par un algorithme ; le logarithme donne
aussi la réponse directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n = 7$

]]> Bonne réponse : $u_{6} \approx 15{,}6$ euros est encore
au-dessus du seuil, et $u_{7} \approx 7{,}8$ euros est en
dessous.

]]> $n = 100$

]]> Raisonnement linéaire : $\dfrac{1000}{10} = 100$ ne
correspond à aucun calcul sur une suite géométrique.

]]> $n = 6$

]]> Un rang trop tôt : $u_{6} \approx 15{,}6$ euros, encore
au-dessus de $10$.

]]> $n = 10$

]]> Pas le premier rang : la valeur est déjà sous $10$ euros dès
le rang $7$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Représentation en toile d'araignée Pour représenter graphiquement une suite $u_{n+1} = f(u_n)$
et conjecturer son comportement, on trace la courbe de $f$
et une autre droite. Laquelle ?

]]> Représentation d'une suite récurrente (capacité attendue) :
courbe de $f$ $+$ droite $y = x$, construction en escalier
ou en spirale. Les intersections $f(x) = x$ sont les
candidats limites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite d'équation $y = x$

]]> Bonne réponse : la construction en escalier rebondit
entre la courbe (calcul de $f(u_n)$) et la droite
$y = x$ (report du résultat en abscisse) ; les points
fixes se lisent aux intersections courbe-droite.

]]> L'axe des abscisses

]]> Erreur : l'axe des abscisses ne permet pas de reporter
l'ordonnée $f(u_n)$ en nouvelle abscisse ; c'est le rôle
de la bissectrice $y = x$.

]]> La droite $y = f(0)$

]]> Erreur : cette horizontale n'a aucun rôle dans la
construction ; le va-et-vient exige $y = x$.

]]> La tangente à la courbe en $u_0$

]]> Erreur : la tangente sert à d'autres méthodes (Newton) ;
l'escalier de la récurrence utilise la droite $y = x$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Décroissance radioactive discrète Chaque année, $3\ \%$ des noyaux d'un échantillon se
désintègrent. Avec $N_0$ noyaux au départ, quel modèle
discret décrit $N_n$ (nombre de noyaux après $n$ années) ?

]]> Taux de perte constant $\to$ suite géométrique de raison
$1 - t$. Modèle discret de la radioactivité (thème du
programme), version continue à venir avec $y' = ay$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $N_n = N_0 \times 0{,}97^n$

]]> Bonne réponse : perdre $3\ \%$ par an revient à
multiplier par $0{,}97$ chaque année : suite géométrique
de raison $0{,}97$, décroissance exponentielle discrète.

]]> $N_n = N_0 - 0{,}03\,n$

]]> Erreur : ce modèle linéaire retire un montant fixe
par an. Or $3\ \%$ portent sur le stock restant, qui
diminue : modèle multiplicatif.

]]> $N_n = N_0 \times 0{,}03^n$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}03$ ferait disparaître
$97\ \%$ des noyaux chaque année. Le facteur de
conservation est $0{,}97$.

]]> $N_n = N_0 \times 1{,}03^n$

]]> Erreur de sens : $1{,}03$ ferait croître
l'échantillon. Une perte de $3\ \%$ correspond à
$\times\,0{,}97$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Comportement selon la raison Trois suites géométriques ont pour raisons respectives
$0{,}9$ ; $1$ ; $1{,}1$ (premiers termes strictement
positifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?

]]> Trichotomie fondamentale des suites géométriques positives :
$q < 1$ : extinction ; $q = 1$ : équilibre ; $q > 1$ :
explosion. Un écart minime de raison ($0{,}9$ contre
$1{,}1$) sépare des mondes : sensibilité clé en modélisation
(épidémies, intérêts).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $0$, constante, vers $+\infty$ respectivement

]]> Bonne réponse : vers $0$ pour $0{,}9$, constante pour
$1$, vers $+\infty$ pour $1{,}1$. La position de la
raison par rapport à $1$ sépare trois destins
radicalement différents, même pour des raisons très
proches.

]]> Les trois convergent, plus ou moins vite

]]> Erreur : $1{,}1^n$ explose ($1{,}1^{100} \approx
13\,800$) : aucune convergence pour $q > 1$.

]]> Les trois tendent vers leur raison respective

]]> Erreur : la raison est un facteur, pas un point
d'arrivée. Les limites sont $0$, la constante initiale,
et $+\infty$.

]]> Impossible à dire sans les premiers termes

]]> Erreur : pour des premiers termes strictement positifs,
seul le rapport à $1$ de la raison décide du
comportement limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Limite d'une suite arithmétique Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison
$r = 3$ ?

]]> Suites arithmétiques : $r > 0$ : limite $+\infty$ ; $r <
0$ : $-\infty$ ; $r = 0$ : constante. Le modèle linéaire
discret ne plafonne jamais : contraste fondamental avec les
géométriques amorties.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite tend vers $+\infty$

]]> Bonne réponse : chaque pas ajoute $3$, sans plafond :
$u_n = u_0 + 3n$ dépasse tout seuil, une suite arithmétique
de raison positive file vers $+\infty$.

]]> La suite tend vers sa raison $3$

]]> Confusion : la raison est le pas, pas la
destination : les termes s'accumulent sans s'arrêter à
$3$.

]]> La suite tend vers son premier terme $u_0$

]]> Erreur : $u_0$ est le point de départ : avec $r > 0$, la
suite s'en éloigne définitivement ($u_{10} = u_0 + 30$).

]]> La suite tend vers $0$

]]> Erreur : ce destin appartient aux suites
géométriques de raison $|q| < 1$ : l'arithmétique de
raison positive grimpe sans retour.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Somme des puissances de $q$ Pour $q \neq 1$, que vaut la somme $1 + q + q^2 + \dots +
q^n$ ?

]]> $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ :
l'exposant compte les termes. Conséquence clé pour les
limites : si $|q| < 1$, la somme tend vers $\frac{1}{1 -
q}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

]]> Bonne réponse : $n + 1$ termes, du rang $0$ au rang
$n$ : l'exposant du numérateur est le nombre de
termes.

]]> $\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$

]]> Exposant décalé : cette formule somme $n$ termes
($1 + \dots + q^{n-1}$) : jusqu'à $q^n$ inclus, il y en
a $n + 1$.

]]> $\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}$

]]> Numérateur amputé : le $1 -$ initial est indispensable
(testez $q = 0$ : la somme vaut $1$, la formule doit le
redonner).

]]> $(n + 1)\,q$

]]> Confusion avec l'arithmétique : ce serait la somme de
$n+1$ termes ÉGAUX à $q$ : ici les termes grimpent en
puissances.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Point d'équilibre d'un modèle mixte Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$. Quelle est la valeur
d'équilibre, c'est-à-dire la valeur de la suite constante solution
?

]]> L'équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ vaut
$\ell = \dfrac{b}{1 - a}$. Avec $0 < a < 1$, toutes les suites du
modèle convergent vers lui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $250$

]]> Bonne réponse : l'équilibre résout $\ell = 0{,}8\,\ell + 50$,
soit $0{,}2\,\ell = 50$ et $\ell = 250$.

]]> $50$

]]> Terme constant recopié :
$0{,}8 \times 50 + 50 = 90 \neq 50$.

]]> $62{,}5$

]]> Division par le coefficient au lieu de $1 - 0{,}8$ : l'équation
est $0{,}2\,\ell = 50$.

]]> $0$

]]> Zéro n'est un équilibre que pour les modèles sans terme
constant : $0{,}8 \times 0 + 50 = 50$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Limite d'une forme explicite Que vaut
$\lim\limits_{n \to +\infty} \left(5 - 3 \times 0{,}7^n\right)$
?

]]> Une forme $\ell + Cq^n$ avec $0 < q < 1$ tend vers $\ell$ : la
partie géométrique s'efface. C'est la forme explicite des modèles
convergents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $0{,}7^n \to 0$ car la raison est comprise entre
$0$ et $1$ ; il reste $5$.

]]> $2$

]]> Puissance évaluée à $1$, sa valeur pour $n = 0$ : en
$+\infty$, $0{,}7^n$ tend vers $0$.

]]> $+\infty$

]]> Comme $0{,}7 < 1$, la puissance décroît vers $0$ au lieu de
croître.

]]> $0$

]]> C'est $0{,}7^n$ qui tend vers $0$, pas l'expression entière : le
terme $5$ demeure.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$ Pour $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$ (équilibre $250$), on pose
$v_n = u_n - 250$. Que devient la suite $(v_n)$ ?

]]> Méthode de la suite auxiliaire : retrancher l'équilibre
transforme le modèle mixte en géométrique pure : $v_n = v_0
\times 0{,}8^n$, d'où $u_n = 250 + (u_0 - 250) \times
0{,}8^n$ : forme explicite et limite d'un seul coup.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $0{,}8$

]]> Bonne réponse : $v_{n+1} = u_{n+1} - 250 = 0{,}8u_n + 50
- 250 = 0{,}8(u_n - 250) = 0{,}8v_n$ : mesurer l'écart à
l'équilibre purifie le modèle.

]]> Arithmétique de raison $50$

]]> Erreur : le décalage a précisément absorbé le $+50$ :
il ne reste que la multiplication par $0{,}8$.

]]> Constante, égale à $250$

]]> Erreur : $v_n$ mesure l'écart à $250$ : il rétrécit
de $20\ \%$ par étape, il n'est pas figé.

]]> De même nature que $(u_n)$ : rien ne change

]]> Erreur : tout change ! $(u_n)$ est arithmético-
géométrique (mixte), $(v_n)$ est géométrique pure :
c'est le but de la manœuvre.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Interpréter la convergence Une population de poissons suit $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 50$
(en centaines, $50$ = alevins introduits chaque année).
Comment interpréter la convergence vers $250$ ?

]]> Lire un modèle $u_{n+1} = au_n + b$ : $a$ = ce qui reste
d'une période à l'autre, $b$ = l'apport fixe, l'équilibre
$\frac{b}{1-a}$ = le point où l'apport compense exactement
les pertes. Les maths et l'écologie disent la même chose.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population se stabilise vers $25\,000$ poissons

]]> Bonne réponse : pertes et repeuplement finissent par
s'équilibrer. À $250$ centaines, les $20\ \%$ de pertes
($50$) sont exactement compensées par les $50$
introduites : flux entrant égal au flux sortant,
plateau.

]]> La population disparaît à terme, malgré les alevins

]]> Erreur : le repeuplement annuel maintient un socle : la
limite est $250$ centaines, pas $0$ (ce serait le cas
sans le $+50$).

]]> La population explose : on ajoute des poissons chaque
année

]]> Erreur : les pertes de $20\ \%$ grossissent avec la
population : elles finissent par absorber tout l'apport :
le modèle plafonne.

]]> La population oscille sans se stabiliser

]]> Erreur : avec une raison $0 < 0{,}8 < 1$, la
convergence est monotone : la suite s'approche du
plateau sans le franchir.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q19 : Calculer le terme de rang 3 Une suite vérifie $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30$. Que
vaut $u_3$ ?

]]> Une suite définie par récurrence se calcule pas à pas : à chaque
rang, on multiplie le terme précédent par $0{,}8$, puis on ajoute
$30$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $124{,}4$

]]> Bonne réponse : $u_1 = 110$, $u_2 = 118$, puis
$u_3 = 0{,}8 \times 118 + 30 = 124{,}4$.

]]> $118$

]]> Une étape de moins : $118$ est la valeur de $u_2$.

]]> $190$

]]> Coefficient oublié : ajouter trois fois $30$ à $100$ néglige
la multiplication par $0{,}8$.

]]> $81{,}2$

]]> Constante ajoutée une seule fois : $0{,}8^3 \times 100 + 30$
oublie les apports des deux premières étapes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q20 : Pourquoi introduire une suite auxiliaire Pour étudier $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 30$, on pose
$v_n = u_n - 150$. Quel est l'intérêt ?

]]> Pour une suite $u_{n+1} = au_n + b$, on retranche le point fixe
$\dfrac{b}{1-a}$. La suite obtenue est géométrique de raison $a$, ce qui
donne une formule explicite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite $(v_n)$ est géométrique

]]> Bonne réponse : $150$ est le point fixe, et le décalage élimine le
terme constant.

]]> La suite $(v_n)$ est arithmétique

]]> Le coefficient $0{,}8$ subsiste après le changement : la progression
reste multiplicative.

]]> La suite $(v_n)$ est constante

]]> Elle ne le serait que si $u_0$ valait exactement $150$.

]]> La suite $(v_n)$ converge plus vite

]]> La vitesse de convergence est la même : seule l'écriture est
simplifiée.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q21 : Limite d'un modèle amorti Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30$ ?

]]> Pour une suite convergente vérifiant $u_{n+1} = au_n + b$, la
limite est le point fixe, solution de $\ell = a\ell + b$. La
convergence est assurée lorsque $0 < a < 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $150$

]]> Bonne réponse : la limite $\ell$ vérifie
$\ell = 0{,}8\,\ell + 30$, donc $0{,}2\,\ell = 30$ et
$\ell = 150$.

]]> Vers $30$

]]> Versement recopié : il s'accumule, amorti par le coefficient
$0{,}8$.

]]> Vers $+\infty$

]]> Le coefficient étant inférieur à $1$, la croissance
s'essouffle et la suite se stabilise.

]]> Vers $0$

]]> L'apport régulier de $30$ empêche la suite de s'annuler.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q22 : Somme de termes géométriques Combien vaut $1 + 0{,}5 + 0{,}25 + \ldots + 0{,}5^{9}$ ?

]]> La somme $1 + q + \ldots + q^n$ vaut $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Pour
$q$ compris entre $0$ et $1$, elle se rapproche de $\dfrac{1}{1-q}$ quand
$n$ grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $1{,}998$

]]> Bonne réponse : la formule donne
$\dfrac{1 - 0{,}5^{10}}{1 - 0{,}5}$, soit presque $2$.

]]> Exactement $2$

]]> La valeur $2$ est la limite de la somme infinie, jamais atteinte par
une somme finie.

]]> Environ $0{,}999$

]]> Premier terme oublié : la somme commence à $1$, pas à $0{,}5$.

]]> Environ $5{,}5$

]]> Termes additionnés comme s'ils étaient constants : ils décroissent
rapidement.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q23 : Un seuil à franchir Une population de $5000$ individus décroît de $6\ \%$ par an. Au
bout de combien d'années passe-t-elle sous $3000$ individus ?

]]> La population vaut $5000 \times 0{,}94^n$ au bout de $n$ années. Le
premier rang qui franchit le seuil se trouve par calculs
successifs ou à l'aide du logarithme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au bout de $9$ ans

]]> Bonne réponse : $5000 \times 0{,}94^{8} \approx 3048$ et
$5000 \times 0{,}94^{9} \approx 2865$.

]]> Au bout de $8$ ans

]]> Un an trop tôt : la population vaut encore environ $3048$
individus.

]]> Au bout de $10$ ans

]]> Pas le premier rang : la population est déjà sous $3000$ au
bout de $9$ ans.

]]> Au bout de $7$ ans

]]> Raisonnement linéaire : retrancher chaque année $6\ \%$ du
nombre initial ne décrit pas une baisse en pourcentage.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q24 : Sens de variation d'un modèle Une suite vérifie $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 10$.
Comment varie-t-elle ?

]]> Pour $u_{n+1} = au_n + b$ avec $0 < a < 1$, le sens de variation
dépend de la position du premier terme par rapport au point fixe :
au-dessus, la suite décroît ; en dessous, elle croît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît vers $100$

]]> Bonne réponse : le point fixe vaut $100$, et le premier terme
$200$ lui est supérieur.

]]> Elle croît vers $100$

]]> Sens inversé : partant de $200$, la suite doit se rapprocher
de $100$, ce qui fixe son sens de variation.

]]> Elle tend vers $10$

]]> Terme constant recopié : la limite est le point fixe $100$, et
non l'apport $10$.

]]> Elle est constante

]]> Elle ne le serait que si le premier terme valait exactement
$100$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q25 : Limite d'une expression explicite Vers quoi tend la suite définie par
$u_n = 3 + \dfrac{5}{n}$ ?

]]> Les limites usuelles donnent $\dfrac{1}{n} \to 0$. Les opérations sur les
limites permettent ensuite de conclure sur toute expression explicite
construite à partir de ces briques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $3$

]]> Bonne réponse : le quotient tend vers $0$, il ne reste que la
constante.

]]> Vers $8$

]]> Coefficient ajouté tel quel : le terme $\dfrac{5}{n}$ diminue avec le
rang.

]]> Vers $0$

]]> Constante oubliée : elle subsiste quelle que soit la valeur de $n$.

]]> Vers $+\infty$

]]> La suite décroît vers $3$ : pour $n = 100$, elle vaut déjà
$3{,}05$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q26 : Traduire un énoncé en récurrence Un bassin perd chaque jour $5\ \%$ de son volume, puis reçoit
$200$ litres. Quelle relation décrit le volume $v_n$ ?

]]> Une évolution mêlant pourcentage et apport fixe se traduit par
$u_{n+1} = au_n + b$. Le coefficient $a$ vient de la perte ou du
gain relatif, la constante $b$ de l'apport.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $v_{n+1} = 0{,}95\,v_n + 200$

]]> Bonne réponse : la perte s'applique au volume présent,
l'apport s'ajoute ensuite.

]]> $v_{n+1} = 0{,}05\,v_n + 200$

]]> Coefficient de la perte : il reste $95\ \%$ du volume,
pas $5\ \%$.

]]> $v_{n+1} = 0{,}95\,(v_n + 200)$

]]> Ordre inversé : l'apport du jour n'est pas concerné par la
perte qui le précède.

]]> $v_{n+1} = v_n - 5 + 200$

]]> Pourcentage traité comme un volume : $5\ \%$ de $10\,000$
litres font $500$ litres, pas $5$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q27 : Quand la suite diverge Vers quoi tend la suite définie par $u_{n+1} = 1{,}1u_n$ avec
$u_0 = 2$ ?

]]> Pour une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme positif :
$q > 1$ donne une limite infinie, $0 < q < 1$ une limite nulle, et
$q = 1$ une suite constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $+\infty$

]]> Bonne réponse : la raison dépassant $1$, les termes croissent sans
limite.

]]> Vers $1{,}1$

]]> Raison confondue avec la limite : elle décrit le passage d'un terme au
suivant.

]]> Vers $2$, son premier terme

]]> Premier terme recopié : la suite s'en éloigne dès le deuxième rang.

]]> Vers $0$, par amortissement

]]> Une raison supérieure à $1$ fait croître les termes positifs.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q28 : Interpréter un point fixe Un modèle de population converge vers $4\,000$ individus.
Que signifie ce nombre ?

]]> La limite d'un modèle discret décrit son état d'équilibre. Elle s'obtient
en résolvant $\ell = a\ell + b$, et s'interprète comme la valeur autour de
laquelle le système se stabilise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population se stabilise autour de cette valeur

]]> Bonne réponse : à long terme, les gains et les pertes se compensent
exactement.

]]> La population atteint $4\,000$ puis s'arrête

]]> La convergence est asymptotique : la valeur est approchée sans être
nécessairement atteinte.

]]> La population ne dépasse jamais $4\,000$

]]> Une suite décroissante partant de $6\,000$ converge vers $4\,000$ en
restant toujours au-dessus.

]]> La population double tous les $4\,000$ ans

]]> Aucune durée n'intervient : le nombre est un effectif limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q29 : Encadrer pour conclure On sait que $2 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}$.
Vers quoi tend la suite ?

]]> Le théorème des gendarmes conclut lorsque les deux bornes d'un encadrement
convergent vers la même limite. Il évite d'avoir à connaître la formule de
la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $2$

]]> Bonne réponse : les deux bornes tendent vers $2$, la suite y est donc
contrainte.

]]> Vers $0$

]]> Les termes $\dfrac{1}{n}$ tendent vers $0$, mais la constante $2$
subsiste.

]]> Vers $1$

]]> Cette valeur sort de l'encadrement dès que $n$ dépasse $1$.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Le théorème des gendarmes s'applique précisément dans ce cas.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q30 : Lire une suite dans un tableur Dans un tableur, la cellule B3 contient =0,95*B2+200, recopiée vers
le bas. Que calcule-t-elle ?

]]> Un tableur traduit directement une relation de récurrence : chaque cellule
calcule le terme suivant à partir de celle du dessus. La recopie vers le
bas déroule la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le terme suivant à partir du précédent

]]> Bonne réponse : la référence relative fait descendre le calcul ligne
après ligne.

]]> La somme de tous les termes précédents

]]> Une somme cumulée demanderait une formule additionnant la cellule
au-dessus et la nouvelle valeur.

]]> La limite de la suite

]]> La limite se lit en descendant assez loin dans la colonne, elle n'est
pas calculée directement.

]]> Le rang du terme

]]> Le rang figure en général dans une colonne voisine, avec une formule
d'incrémentation.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q31 : Terme d'une suite géométrique Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme
$u_0 = 5$ et de raison $2$. Que vaut $u_3$ ?

]]> Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$ : l'exposant
est le rang visé et le premier terme reste en facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $40$

]]> Bonne réponse : on multiplie trois fois de suite par la
raison, donc $u_3 = 5 \times 2^3 = 40$.

]]> $20$

]]> Un rang de retard : $5 \times 2^2 = 20$
donne $u_2$. Il reste une multiplication par $2$ à faire.

]]> $8$

]]> Premier terme oublié : $2^3 = 8$
ne tient pas compte de $u_0 = 5$, qui reste en facteur.

]]> $11$

]]> Modèle additif : ajouter trois fois $2$ décrit une suite
arithmétique. Ici chaque rang multiplie par $2$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q32 : Lire une suite arithmétique décroissante Une suite est définie pour tout entier $n$ par
$u_n = 40 - 3n$. Comment se comporte-t-elle ?

]]> Une écriture $u_n = u_0 + rn$ signale une suite arithmétique
de raison $r$. Le signe de $r$ donne le sens de variation et
la limite : $+\infty$ si $r > 0$, $-\infty$ si $r < 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît et tend vers $-\infty$

]]> Bonne réponse : chaque rang retire $3$, sans plancher.
La suite arithmétique de raison $-3$ descend sous tout
seuil, donc sa limite est $-\infty$.

]]> Elle décroît et se rapproche de $0$

]]> Erreur : la suite traverse $0$ vers le rang $14$ et
continue de descendre. Tendre vers $0$ est le destin des
suites géométriques de raison comprise entre $0$ et $1$.

]]> Elle décroît et se stabilise en $40$

]]> Erreur : $40$ est le premier terme, pas une limite. La
suite s'en éloigne dès le rang $1$, où elle vaut $37$.

]]> Elle croît et tend vers $+\infty$

]]> Erreur de sens : le coefficient de $n$ vaut $-3$, donc
chaque terme est plus petit que le précédent.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q33 : Vérifier une valeur d'équilibre Pour la suite définie par $u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 20$, un
élève affirme que la valeur d'équilibre est $50$. Comment le
vérifier le plus simplement ?

]]> Une valeur d'équilibre d'une suite $u_{n+1} = a\,u_n + b$ est
un nombre $\ell$ que la relation laisse inchangé. Pour le
vérifier, on remplace et on compare le résultat à $\ell$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En calculant $0{,}6 \times 50 + 20$ et en constatant que
l'on retombe sur $50$

]]> Bonne réponse : une valeur d'équilibre est une valeur que
la relation de récurrence laisse inchangée. Ici
$0{,}6 \times 50 + 20 = 50$ : l'affirmation est exacte.

]]> En calculant les dix premiers termes et en regardant
s'ils se rapprochent de $50$

]]> Méthode coûteuse et incertaine : elle suggère la valeur
sans la prouver. Une seule ligne de calcul suffit à
tester si $50$ est laissé inchangé.

]]> En vérifiant que $50$ est le quotient de $20$ par le
coefficient $0{,}6$

]]> Formule fausse : ce quotient vaut environ $33{,}3$. La
valeur d'équilibre se calcule en divisant $20$ par
$1 - 0{,}6$, et se teste par simple remplacement.

]]> En vérifiant que le produit $0{,}6 \times 50$ redonne le
terme constant $20$

]]> Condition inventée : ce produit vaut $30$. La relation à
tester porte sur le calcul complet, terme constant
compris.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q34 : Coefficient multiplicateur d'une baisse Un échantillon perd $4\ \%$ de sa masse chaque année. Par
quel nombre faut-il multiplier la masse d'une année à la
suivante ?

]]> Une baisse de $t\ \%$ correspond au coefficient
multiplicateur $1 - \dfrac{t}{100}$, et une hausse au
coefficient $1 + \dfrac{t}{100}$. Répété chaque année, il
engendre une suite géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}96$

]]> Bonne réponse : perdre $4\ \%$ revient à conserver
$96\ \%$ de la masse, soit un coefficient
multiplicateur de $0{,}96$.

]]> $0{,}04$

]]> Taux confondu avec le coefficient : multiplier par
$0{,}04$ ne garderait que la part perdue. Il
faut conserver ce qui reste.

]]> $1{,}04$

]]> Erreur de sens : ce coefficient décrit une hausse de
$4\ \%$. Une perte conduit à un nombre inférieur à $1$.

]]> $96$

]]> Pourcentage laissé tel quel : $96$ est un
pourcentage, pas un coefficient. Il faut le diviser par
$100$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q35 : Compter les termes d'une somme Combien de termes compte la somme
$1 + q + q^2 + \dots + q^{12}$ ?

]]> Dans une somme allant de l'exposant $0$ à l'exposant $n$, il y
a $n + 1$ termes. Ce décompte explique l'exposant $n+1$ de la
formule $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $13$ termes

]]> Bonne réponse : les exposants vont de $0$ à $12$, ce qui
fait $12 + 1 = 13$ termes, le terme $1 = q^0$ compris.

]]> $12$ termes

]]> Premier terme oublié : compter les exposants de $1$ à
$12$ laisse de côté $q^0 = 1$, qui ouvre la somme.

]]> $11$ termes

]]> Deux termes perdus : ni $q^0$ ni $q^{12}$ ne doivent être
écartés, les deux bornes étant incluses.

]]> $24$ termes

]]> Doublement injustifié : chaque exposant n'apparaît qu'une
fois, de $0$ à $12$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q36 : Remonter d'un rang Une suite vérifie $u_{n+1} = 2\,u_n + 4$ et
$u_1 = 18$. Que vaut $u_0$ ?

]]> Remonter une récurrence, c'est défaire les opérations dans
l'ordre inverse : on soustrait le terme constant, puis on
divise par le coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : on remonte la relation. De
$18 = 2\,u_0 + 4$ on tire
$2\,u_0 = 14$, puis
$u_0 = 7$.

]]> $40$

]]> Relation appliquée dans le mauvais sens : ce calcul donne
$u_2$, le terme suivant. Pour revenir en arrière, on
défait les opérations.

]]> $14$

]]> Division oubliée : retirer $4$ ne suffit pas, il reste à
annuler la multiplication par $2$.

]]> $5$

]]> Opérations défaites dans le désordre : on retire d'abord
$4$, on divise ensuite par $2$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q37 : Écrire la formule d'un tableur Dans un tableur, $u_0$ est saisi en B1 et la colonne B doit
dérouler la suite $u_{n+1} = 1{,}05\,u_n + 20$. Quelle formule
saisir en B2 avant de la recopier vers le bas ?

]]> Un tableur traduit la relation $u_{n+1} = a\,u_n + b$ par une
formule qui appelle la cellule du dessus. La recopie vers le
bas déroule alors la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc =1,05*B1+20

]]> Bonne réponse : la formule lit le terme précédent, juste
au-dessus. Recopiée vers le bas, la référence relative
descend d'une ligne à chaque rang.

]]> =1,05*B2+20

]]> La cellule se référence elle-même : le tableur signale une
référence circulaire. Le terme à utiliser est celui de la
ligne au-dessus.

]]> =1,05*(B1+20)

]]> Parenthèses de trop : elles appliquent le coefficient à
l'apport de $20$, alors qu'il ne porte que sur le terme
précédent.

]]> =1,05*A1+20

]]> Mauvaise colonne : la colonne A contient les rangs. Les
termes de la suite se lisent en colonne B.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q38 : Ce que compte une boucle On exécute l'algorithme suivant : partir de $u = 500$ et
$n = 0$, puis, tant que $u > 100$, remplacer $u$ par
$0{,}9\,u$ et augmenter $n$ de $1$. Que contient $n$ à la
fin ?

]]> Un algorithme de seuil répète le pas de la récurrence tant que
la condition est vérifiée, en comptant les étapes. Il rend le
premier rang qui franchit le seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le premier rang à partir duquel la suite passe sous $100$

]]> Bonne réponse : la boucle s'arrête dès que la condition
$u > 100$ devient fausse, et $n$ a compté exactement le
nombre d'étapes effectuées pour y parvenir.

]]> La valeur de la suite au moment où la boucle s'arrête

]]> Variables confondues : cette valeur est celle de $u$.
La variable $n$ ne fait que compter les passages dans la
boucle.

]]> Le nombre d'étapes nécessaires pour que la suite
atteigne $0$

]]> Seuil confondu avec la limite : la suite tend vers $0$
sans jamais l'atteindre. L'algorithme s'arrête à $100$.

]]> La limite de la suite, obtenue après la dernière étape

]]> Erreur de nature : une limite n'est pas le résultat d'un
nombre fini d'étapes. L'algorithme rend un rang, pas une
limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q39 : Une forme explicite qui diverge Une suite est définie par $u_n = 6 + 4 \times 1{,}25^n$.
Quelle est sa limite ?

]]> Dans une forme $\ell + C q^n$, tout se joue sur la position de
$q$ par rapport à $1$ : la suite converge vers $\ell$ si
$0 < q < 1$, et diverge si $q > 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle croît sans limite

]]> Bonne réponse : la raison $1{,}25$ dépasse $1$, donc
$1{,}25^n$ tend vers $+\infty$. Multiplié par $4$ puis
augmenté de $6$, l'ensemble diverge.

]]> Elle se stabilise vers $6$

]]> Réflexe appliqué trop vite : la puissance ne s'efface que
si la raison est comprise entre $0$ et $1$. Ici elle
grandit.

]]> Elle se stabilise vers $10$

]]> Valeur du rang $0$ : $6 + 4 \times 1 = 10$ est le premier
terme, pas une limite. Au rang $30$, la suite dépasse déjà
$3\,000$.

]]> Elle se stabilise vers $4$

]]> Coefficient recopié : $4$ multiplie la puissance, il ne
décrit pas le comportement à long terme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q40 : Somme de quatre puissances Que vaut la somme $1 + 2 + 2^2 + 2^3$ ?

]]> La somme $1 + q + \dots + q^n$ vaut $\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$
pour $q \neq 1$. Avec quatre termes, l'exposant du numérateur
est $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$

]]> Bonne réponse : la formule donne
$\dfrac{1 - 2^4}{1 - 2} = 15$, ce que confirme
l'addition directe des quatre termes.

]]> $16$

]]> Exposant de trop : $2^4 = 16$
n'appartient pas à la somme, qui s'arrête à $2^3$.

]]> $8$

]]> Dernier terme seul : $2^3 = 8$ est
le plus grand des quatre termes, pas leur somme.

]]> $9$

]]> Termes traités comme égaux : les puissances grandissent,
elles ne valent pas toutes $2$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q41 : Capital à intérêts composés Un capital de $800$ euros est placé au taux annuel de
$4\ \%$, les intérêts étant capitalisés chaque année. Quelle
est sa valeur au bout de $5$ ans ?

]]> Un placement à intérêts composés engendre une suite
géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$, donc une valeur
$c \times \left(1 + \frac{t}{100}\right)^n$ au bout de $n$
années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $973$ euros

]]> Bonne réponse : chaque année multiplie le capital par
$1 + \dfrac{4}{100}$, donc la valeur cherchée est
$800 \times \left(1 + \frac{4}{100}\right)^{5}$, soit
environ $973$ euros.

]]> Environ $960$ euros

]]> Intérêts simples : ce calcul applique le taux au capital
de départ chaque année. Or les intérêts produisent
eux-mêmes des intérêts.

]]> Environ $936$ euros

]]> Une année de trop peu : cette valeur est celle du rang
$5 - 1$. Il reste une multiplication par
$1 + \dfrac{4}{100}$ à effectuer.

]]> Environ $820$ euros

]]> Pourcentage traité comme une somme d'argent : $4\ \%$
de $800$ euros ne font pas $4$ euros.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q42 : Un encadrement qui ne conclut pas Une suite vérifie, pour tout $n \geq 1$,
$3 - \dfrac{1}{n} \leq u_n \leq 5 + \dfrac{1}{n}$. Que peut-on
conclure ?

]]> Le théorème des gendarmes ne conclut que si les deux suites
encadrantes ont la même limite. Sinon il faut une autre
information sur la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien sur la limite : les deux bornes n'ont pas la même
limite

]]> Bonne réponse : les bornes tendent vers $3$ et vers $5$.
Le couloir ne se referme pas, et la suite peut osciller
entre ces deux valeurs sans converger.

]]> La suite converge vers $4$, la valeur centrale du
couloir

]]> Centre du couloir sans justification : rien n'oblige la
suite à s'y installer. Le théorème exige deux bornes de
même limite.

]]> La suite converge vers $3$, la plus petite des deux
bornes

]]> Borne inférieure privilégiée à tort : l'encadrement
autorise aussi la suite à rester près de $5$.

]]> La suite diverge, puisque le théorème ne s'applique pas

]]> Conclusion trop forte : un théorème inapplicable ne prouve
rien. La suite constante égale à $4$ satisfait
l'encadrement et converge.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q43 : Lire une limite sur une construction en escalier Sur une construction en escalier associée à
$u_{n+1} = f(u_n)$, les points se resserrent autour d'un point
d'intersection entre la courbe de $f$ et la droite $y = x$.
Que représente l'abscisse de ce point ?

]]> Sur une construction en escalier, les intersections entre la
courbe et la droite $y = x$ donnent les limites possibles,
puisqu'elles vérifient $f(x) = x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La limite de la suite

]]> Bonne réponse : en ce point, $f(x) = x$. Une suite qui s'y
accumule y reste, ce qui en fait la limite conjecturée par
le graphique.

]]> Le premier terme de la suite

]]> Confusion de rôle : le premier terme est le point de
départ de l'escalier, sur l'axe des abscisses, et il est
choisi librement.

]]> La raison de la suite

]]> Vocabulaire déplacé : une suite définie par $u_{n+1} =
f(u_n)$ n'a pas de raison, sauf si $f$ est une
multiplication.

]]> La hauteur des marches de la construction

]]> Erreur de lecture : les marches rétrécissent au fur et à
mesure. C'est justement ce rétrécissement qui signale la
convergence.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q44 : Forme explicite d'un modèle mixte Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 30$ avec
$u_0 = 100$, et sa valeur d'équilibre est $60$. Quelle est
sa forme explicite ?

]]> Pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$ de valeur d'équilibre $\ell$, la
suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$. On en
déduit $u_n = \ell + (u_0 - \ell)\,a^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_n = 60 + 40 \times 0{,}5^n$

]]> Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 60$ est géométrique
de raison $0{,}5$ et de premier terme $40$, d'où
$u_n = 60 + 40 \times 0{,}5^n$.

]]> $u_n = 60 + 40 \times n$

]]> Modèle additif : l'écart à l'équilibre est multiplié
par $0{,}5$ à chaque rang, il n'est pas ajouté.

]]> $u_n = 100 \times 0{,}5^n$

]]> Équilibre oublié : cette écriture décrit une suite
géométrique pure, qui tendrait vers $0$ et non vers $60$.

]]> $u_n = 60 + 100 \times 0{,}5^n$

]]> Écart mal calculé : le coefficient est la différence
$100 - 60$, soit $40$, et non le premier terme
lui-même.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q45 : Deux placements comparés Deux placements partent du même capital de $1\,000$ euros. Le
premier rapporte $50$ euros chaque année, le second augmente
de $2\ \%$ par an. Que se passe-t-il à très long terme ?

]]> Un modèle arithmétique ajoute un gain fixe, un modèle
géométrique multiplie par un coefficient constant. Dès que ce
coefficient dépasse $1$, le second l'emporte à long terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le second finit par dépasser le premier, puis s'en écarte
définitivement

]]> Bonne réponse : une croissance géométrique finit toujours
par dépasser une croissance arithmétique. Ici le
croisement a lieu vers la trentième année, et l'écart ne
cesse ensuite de grandir.

]]> Le premier reste devant, car $50$ euros dépassent
$2\ \%$ de $1\,000$ euros

]]> Comparaison faite au départ seulement : les $2\ \%$
portent sur un capital qui grossit, donc le gain annuel du
second placement augmente sans cesse.

]]> Les deux capitaux restent proches, car leurs gains
annuels sont voisins

]]> Erreur de nature : le premier gain est fixe, le second
proportionnel. L'écart entre les deux modèles devient
arbitrairement grand.

]]> Le résultat dépend du capital de départ, aucune réponse
générale n'est possible

]]> Erreur : quel que soit le capital de départ strictement
positif, le modèle géométrique l'emporte à terme. Seule la
date du croisement change.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q46 : Retrouver la raison Les trois premiers termes d'une suite géométrique sont
$4$ ; $12$ ; $36$. Quelle est sa raison ?

]]> Dans une suite géométrique, la raison se lit en divisant un
terme par celui qui le précède. Le quotient doit être le même
d'un rang à l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par
le précédent, soit $\dfrac{12}{4} = 3$, ce que
confirme $\dfrac{36}{12}$.

]]> $8$

]]> Écart calculé au lieu du quotient : $12 - 4$ est la
raison d'une suite arithmétique. Ici on divise.

]]> $4$

]]> Premier terme recopié : $4$ est le point de départ de
la suite, pas le facteur qui fait passer d'un terme au
suivant.

]]> $9$

]]> Deux rangs franchis d'un coup : $\dfrac{36}{4}$ vaut
le carré de la raison, car il saute un terme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q47 : Limite d'une somme Soient deux suites telles que $u_n \to 7$ et
$v_n \to 3$. Que vaut la limite de $u_n + v_n$ ?

]]> Opérations sur les limites : si $u_n \to \ell$ et
$v_n \to \ell'$, deux nombres, alors $u_n + v_n \to \ell +
\ell'$. Les expressions des suites n'interviennent pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : la limite d'une somme est la somme des
limites lorsque les deux sont finies, donc
$7 + 3 = 10$.

]]> $21$

]]> Opération changée : $7 \times 3$ serait la limite du
produit $u_nv_n$, pas celle de la somme.

]]> $4$

]]> Signe inversé : la différence $u_n - v_n$ tendrait vers
$4$. Ici les deux suites s'ajoutent.

]]> On ne peut pas conclure sans les expressions des deux
suites

]]> Erreur : les limites suffisent. Aucune forme indéterminée
n'apparaît, puisque les deux limites sont des nombres.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q48 : Lire une égalité de suite Pour une suite $(u_n)$, que signifie l'égalité
$u_{5} = 12$ ?

]]> Dans l'écriture $u_n$, l'indice $n$ est le rang du terme et
$u_n$ en est la valeur. Cette lecture fonde tout le
vocabulaire des suites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le terme de rang $5$ vaut $12$

]]> Bonne réponse : l'indice indique le rang, et la valeur
écrite après le signe d'égalité est le terme
correspondant.

]]> Le terme de rang $12$ vaut $5$

]]> Rôles échangés : le rang est en indice, la valeur du terme
est à droite. L'égalité ne se lit pas dans les deux sens.

]]> La suite compte $5$ termes tous égaux à $12$

]]> Une suite a une infinité de termes, et l'indice $5$
désigne une position, pas un effectif.

]]> La raison de la suite vaut $12$ à partir du rang $5$

]]> Notion déplacée : cette écriture donne une valeur de
terme. Rien n'indique ici que la suite ait une raison.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q49 : Un écart constant entre deux termes Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 4$ pour tout entier $n$.
Que peut-on en déduire ?

]]> Une suite est arithmétique lorsque la différence
$u_{n+1} - u_n$ est constante. Cette raison donne aussitôt le
sens de variation : croissante si elle est positive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est arithmétique de raison $4$, donc croissante

]]> Bonne réponse : un écart constant entre deux termes
consécutifs caractérise une suite arithmétique, et cet
écart positif la fait croître.

]]> Elle est géométrique de raison $4$, donc croissante

]]> Nature confondue : une suite géométrique a un quotient
constant. Ici c'est la différence qui l'est.

]]> Elle est constante, puisque cet écart ne change jamais

]]> Écart confondu avec la suite : l'écart est figé, mais les
termes gagnent $4$ à chaque rang.

]]> Elle décroît, puisque l'écart est retranché à chaque rang

]]> Erreur de lecture : $u_{n+1} - u_n = 4$ signifie que
$u_{n+1}$ dépasse $u_n$ de $4$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q50 : Limite de $q^n$, raison supérieure à 1 Comment se comporte la suite de terme général $1{,}4^n$
quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

]]> Limites de référence pour une raison positive : $q^n \to 0$
si $0 < q < 1$, $q^n \to +\infty$ si $q > 1$. La position de
$q$ par rapport à $1$ décide de tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers $+\infty$

]]> Bonne réponse : multiplier sans fin par $1{,}4 > 1$ fait
grossir les termes au-delà de tout seuil. Au rang $20$,
la suite dépasse déjà $836$.

]]> Elle tend vers $0$

]]> Erreur : cette extinction concerne les raisons comprises
entre $0$ et $1$. Ici chaque multiplication augmente le
terme.

]]> Elle tend vers $1{,}4$

]]> Raison confondue avec la limite : $1{,}4$ est le facteur
de passage d'un terme au suivant, pas une valeur
d'arrivée.

]]> Elle n'a pas de limite, car ses termes oscillent

]]> Erreur : la raison étant positive, tous les termes le
sont, et la suite croît sans jamais changer de sens.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q51 : Approcher racine de deux par une suite La suite définie par $u_0 = 1$ et
$u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{2}{u_n}\right)$ converge vers
un réel $\ell > 0$ qui vérifie $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell +
\dfrac{2}{\ell}\right)$. Que vaut $\ell$, et que vaut $u_1$ ?

]]> Cette méthode, attribuée à Héron d'Alexandrie, donne
$u_2 \approx 1{,}4167$ et $u_3 \approx 1{,}41421$ : la précision
augmente très vite. Calculer les termes successifs est un exemple
d'algorithme de recherche d'une constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ell = \sqrt{2}$ et $u_1 = 1{,}5$

]]> Bonne réponse : l'égalité donne $2\ell = \ell + \dfrac{2}{\ell}$,
soit $\ell^2 = 2$ ; et $u_1 = \dfrac{1}{2}(1 + 2) = 1{,}5$.

]]> $\ell = 2$ et $u_1 = 1{,}5$

]]> Erreur : pour $\ell = 2$, le membre de droite vaut
$\dfrac{1}{2}(2 + 1) = 1{,}5 \neq 2$. L'égalité conduit à
$\ell^2 = 2$.

]]> $\ell = \sqrt{2}$ et $u_1 = 3$

]]> Erreur : $1 + \dfrac{2}{1} = 3$ doit encore être multiplié par
$\dfrac{1}{2}$.

]]> $\ell = 1$ et $u_1 = 1$

]]> Erreur : la suite n'est pas constante, puisque
$u_1 = 1{,}5 \neq u_0$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q52 : Une population qui augmente d'un même pourcentage chaque année La population d'une ville augmente de $2\ \%$ chaque année. On
note $u_n$ la population au bout de $n$ années. Quelle est la
nature de la suite $(u_n)$ ?

]]> Une évolution de $t\ \%$ par an se modélise par une suite
géométrique de raison $1 + \dfrac{t}{100}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $1{,}02$

]]> Bonne réponse : augmenter de $2\ \%$ revient à multiplier par
$1 + \dfrac{2}{100} = 1{,}02$ ; donc $u_{n+1} = 1{,}02\,u_n$.

]]> Arithmétique de raison $2$

]]> Erreur : une hausse en pourcentage n'ajoute pas un nombre fixe,
elle multiplie par un coefficient.

]]> Géométrique de raison $0{,}02$

]]> Erreur : $0{,}02$ est le taux, pas le coefficient multiplicateur ;
multiplier par $0{,}02$ ferait chuter la population.

]]> Géométrique de raison $1{,}2$

]]> Erreur : $1{,}2$ multiplie la population par bien plus que
$1 + \dfrac{2}{100}$ ; le taux a été mal converti.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q53 : Intérêts puis versement Chaque année, un capital $u_n$ produit $5\ \%$ d'intérêts, puis
son propriétaire verse $100$ € supplémentaires. Quelle relation
lie $u_{n+1}$ à $u_n$ ?

]]> Une suite de la forme $u_{n+1} = a\,u_n + b$ modélise une évolution
multiplicative suivie d'un ajout constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_{n+1} = 1{,}05\,u_n + 100$

]]> Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital par $1{,}05$,
puis le versement ajoute $100$ ; l'ordre « intérêts puis
versement » donne $1{,}05\,u_n + 100$.

]]> $u_{n+1} = 1{,}05\,(u_n + 100)$

]]> Erreur : cette relation correspond à un versement effectué
avant le calcul des intérêts.

]]> $u_{n+1} = u_n + 100 \times 1{,}05$

]]> Erreur : ici les intérêts ne portent que sur le versement, pas
sur le capital.

]]> $u_{n+1} = u_n + 0{,}05 + 100$

]]> Erreur : les intérêts ne s'ajoutent pas comme un nombre fixe,
ils multiplient le capital.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q54 : Le nombre d'années pour dépasser un seuil Un capital de $1000$ € augmente de $5\ \%$ par an : $u_n = 1000
\times 1{,}05^n$. Au bout de combien d'années dépasse-t-il $1500$ € ?

]]> On calcule les termes successifs, à la calculatrice ou par un
algorithme de seuil, jusqu'au premier qui dépasse la valeur visée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$ ans, $u_{9} \approx 1551{,}3$

]]> Bonne réponse : $u_{8} \approx 1477{,}5 < 1500$ et
$u_{9} \approx 1551{,}3 > 1500$ ; le seuil est franchi à la
$9^{\text{e}}$ année.

]]> $8$ ans, $u_{8} \approx 1477{,}5$

]]> Erreur : $1477{,}5$ est encore inférieur à $1500$ ; il faut une
année de plus.

]]> $10$ ans, par sécurité

]]> Erreur : le seuil est déjà dépassé au rang $9$.

]]> Jamais, la suite étant bornée

]]> Erreur : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ tend
vers $+\infty$ et dépasse tout seuil.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q55 : Une quantité qui perd dix pour cent par an Un stock de $200$ kg d'une substance perd $10\ \%$ de sa masse
chaque année : $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$ avec $u_0 = 200$. Que
devient la masse à long terme ?

]]> Une suite géométrique de raison comprise entre $0$ et $1$ converge
vers $0$ : la quantité diminue indéfiniment sans disparaître.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle tend vers $0$ sans jamais s'annuler

]]> Bonne réponse : $u_n = 200 \times 0{,}9^n$ ; comme
$0 < 0{,}9 < 1$, $0{,}9^n$ tend vers $0$ mais reste strictement
positif.

]]> Elle devient négative après un certain nombre d'années

]]> Erreur : multiplier un nombre positif par $0{,}9$ donne un
nombre positif ; la masse ne passe jamais sous $0$.

]]> Elle est nulle au bout de dix ans, après dix pertes de $10\ \%$

]]> Erreur : les pertes successives portent chaque fois sur une
masse plus petite ; au bout de dix ans il reste
$200 \times 0{,}9^{10} \approx 70$ kg.

]]> Elle se stabilise à $20$ kg

]]> Erreur : aucune valeur positive n'est stable, la suite décroît
vers $0$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q56 : Exécuter un algorithme de seuil Que renvoie l'appel seuil(100) ?
def seuil(s):
    u = 1
    n = 0
    while u <= s:
        u = 2 * u
        n = n + 1
    return n

]]> La boucle while multiplie $u$ par $2$ tant qu'il reste
inférieur ou égal au seuil ; le compteur n donne le premier rang
où la suite géométrique dépasse ce seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : $u$ prend les valeurs $1 \times 2^n$ et
dépasse $100$ pour la première fois au rang $7$, où il vaut
$128$.

]]> $6$

]]> Un passage de moins : au rang $6$, $u$ ne dépasse pas
encore $100$, la boucle continue.

]]> $8$

]]> Un passage de trop : la boucle s'arrête dès que $u > 100$,
soit au rang $7$.

]]> $128$

]]> Terme renvoyé à la place du rang : $128$ est la valeur finale
de u, alors que la fonction renvoie n.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q57 : Conjecturer à partir d'une construction en escalier Repère avec la droite y = 0,5x + 2 et la première bissectrice, qui se coupent au point (4 ; 4). Une ligne brisée en escalier part de u0 = 0,5 sur l'axe des abscisses, monte vers la droite, revient horizontalement vers la bissectrice, et ainsi de suite : les marches rapetissent en se rapprochant du point (4 ; 4).

La figure montre la droite d'équation $y = f(x)$, la droite
d'équation $y = x$ et la construction des premiers termes de la
suite définie par $u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Quelle
conjecture peut-on formuler ?

]]> On reporte chaque terme sur l'axe des abscisses grâce à la droite
$y = x$. Les termes se rapprochent de l'abscisse du point où la
courbe de $f$ coupe la bissectrice : c'est la limite conjecturée,
solution de $f(\ell) = \ell$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(u_n)$ est croissante et converge vers $4$

]]> Bonne réponse : l'escalier monte et ses marches rapetissent
vers le point d'intersection des deux droites, d'abscisse $4$.

]]> $(u_n)$ est décroissante et converge vers $4$

]]> Sens de variation inversé : les termes successifs, lus sur
l'axe des abscisses, augmentent.

]]> $(u_n)$ est croissante et tend vers $+\infty$

]]> L'escalier reste bloqué sous le point d'intersection des deux
droites : il ne s'échappe pas.

]]> $(u_n)$ converge vers $2$

]]> $2$ est l'ordonnée à l'origine de la droite $y = f(x)$, pas
l'abscisse du point d'intersection.

]]>