$course$/QCM de maths/Maths expertes/Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers
Divisibilité dans $\mathbb{Z}$, division euclidienne,
congruences et compatibilité avec les opérations, PGCD et
algorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres
premiers, décomposition en facteurs premiers, petit théorème
de Fermat.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q01 : Divisibilité dans $\mathbb{Z}$
Que signifie « $a$ divise $b$ » (noté $a \mid b$) pour deux
entiers relatifs ?]]>
$a \mid b \iff \exists k \in \mathbb{Z},\ b = ka$.
Propriétés : transitivité, et surtout : si $a \mid b$ et
$a \mid c$, alors $a$ divise toute combinaison $ub + vc$ :
l'outil de base des raisonnements.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il existe un entier $k$ tel que $b = ka$]]>
Bonne réponse : $b$ est un multiple de $a$. Exemples :
$7 \mid 42$ ($42 = 6 \times 7$), $-3 \mid 12$, et $5
\mid 0$ ($0 = 0 \times 5$).]]>
Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est un entier]]>
Fraction à l'envers : « $a$ divise $b$ » signifie que
$\frac{b}{a}$ est entier (quand $a \neq 0$), pas
$\frac{a}{b}$.]]>
$|a| \leq |b|$]]>
Sans rapport : $4 \leq 6$ mais $4 \nmid 6$ ; et $5 \mid
0$ alors que $|5| > |0|$. La divisibilité ne se lit pas
sur une inégalité.]]>
$a$ et $b$ ont le même signe]]>
Sans rapport : $-3 \mid 12$ ($12 = (-4)(-3)$). La
divisibilité ignore les signes.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q02 : Division euclidienne d'un négatif
Quelle est la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?]]>
$a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ : le couple $(q, r)$ est
unique. Pour un dividende négatif, le quotient « descend » :
$-17 = 5 \times (-4) + 3$. Le reste est aussi le
représentant de $-17$ modulo $5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-17 = 5 \times (-4) + 3$, quotient $-4$ et reste $3$]]>
Bonne réponse : le reste doit vérifier $0 \leq r < 5$ ;
on descend au multiple de $5$ inférieur à $-17$,
soit $-20$, et $-17 - (-20) = 3$.]]>
$-17 = 5 \times (-3) - 2$, quotient $-3$ et reste $-2$]]>
Reste négatif interdit : la définition impose $0 \leq
r < 5$. On corrige : $-17 = 5(-4) + 3$.]]>
$-17 = 5 \times (-3) + 2$, quotient $-3$ et reste $2$]]>
Calcul faux : $5 \times (-3) + 2 = -13 \neq -17$.
L'égalité doit être exacte et le reste dans
$[0\ ;\ 5[$.]]>
Impossible : la division euclidienne exige des entiers
positifs]]>
Erreur : le programme la définit pour tout dividende de
$\mathbb{Z}$ (le diviseur restant dans
$\mathbb{N}^*$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q03 : Définition d'une congruence
Que signifie $a \equiv b \pmod n$ ?]]>
$a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b) \iff$ même reste
modulo $n$. C'est une relation d'équivalence, et surtout
elle respecte addition et multiplication : on calcule
« dans les restes ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n$ divise $a - b$]]>
Bonne réponse : même reste dans la division par $n$,
c'est-à-dire différence multiple de $n$. Exemple :
$23 \equiv 3 \pmod 5$ car $5 \mid 20$.]]>
$a = b$]]>
Trop fort : la congruence est une égalité à un
multiple de $n$ près : $23 \neq 3$ mais $23 \equiv 3
\pmod 5$.]]>
$a$ divise $b$]]>
Confusion : c'est $n$ qui divise la différence
$a - b$, pas $a$ qui divise $b$.]]>
$a$ et $b$ sont premiers avec $n$]]>
Sans rapport : $10 \equiv 4 \pmod 6$ alors que ni $10$
ni $4$ n'est premier avec $6$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q04 : Compatibilité avec les opérations
Sachant $10 \equiv 1 \pmod 9$, que vaut $10^{2026}
\pmod 9$ ?]]>
Si $a \equiv b \pmod n$ alors $a + c \equiv b + c$, $ac
\equiv bc$ et $a^k \equiv b^k \pmod n$. Conséquence : un
entier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10^{2026} \equiv 1 \pmod 9$]]>
Bonne réponse : la congruence passe aux puissances :
$10^{2026} \equiv 1^{2026} = 1$. C'est le cœur de la
preuve par neuf et du critère de divisibilité par $9$.]]>
$10^{2026} \equiv 2026 \pmod 9$]]>
Erreur : l'exposant ne « descend » pas : on élève la
congruence à la puissance : $1^{2026} = 1$.]]>
$10^{2026} \equiv 0 \pmod 9$]]>
Erreur : $10^{2026}$ n'est pas multiple de $9$ (ses
seuls facteurs premiers sont $2$ et $5$).]]>
Impossible sans calculer $10^{2026}$]]>
Erreur : tout l'intérêt des congruences est d'éviter ce
calcul : $10 \equiv 1$ suffit.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q05 : Algorithme d'Euclide
On calcule $\text{PGCD}(252\ ;\ 105)$ par l'algorithme
d'Euclide : $252 = 105 \times 2 + 42$, puis $105 = 42 \times
2 + 21$, puis $42 = 21 \times 2 + 0$. Quel est le PGCD ?]]>
Euclide : on remplace $(a\ ;\ b)$ par $(b\ ;\ r)$ jusqu'au
reste nul ; le PGCD est le dernier reste non nul. Contrôle :
$252 = 21 \times 12$, $105 = 21 \times 5$, et $12$, $5$
premiers entre eux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$21$ : le dernier reste non nul]]>
Bonne réponse : l'algorithme repose sur
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ ; le
dernier reste non nul est le PGCD.]]>
$42$ : le premier reste]]>
Erreur : $42$ ne divise pas $105$ : on continue tant que
le reste n'est pas nul ; c'est le dernier reste non
nul qui gagne.]]>
$0$ : le dernier reste]]>
Erreur : le $0$ final signale l'arrêt ; le PGCD est le
reste précédent ($21$).]]>
$2$ : le quotient répété]]>
Erreur : les quotients ne portent pas le PGCD : seuls
les restes comptent.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q06 : Théorème de Bézout
Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers $a$ et $b$ ?]]>
Bézout : $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1 \iff \exists\, u, v \in
\mathbb{Z},\ au + bv = 1$. Les coefficients $u$, $v$ se
calculent en remontant l'algorithme d'Euclide (Euclide
étendu). Plus généralement, le PGCD $d$ s'écrit toujours
$d = au + bv$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1 \iff \exists\, u, v \in
\mathbb{Z},\ au + bv = 1$]]>
Bonne réponse : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et
seulement s'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que
$au + bv = 1$. Le sens « il existe $u, v$ » se lit :
tout diviseur commun divise $au + bv = 1$, donc vaut
$\pm 1$.]]>
Pour tous entiers $a$ et $b$, il existe $u$ et $v$ tels
que $au + bv = 1$]]>
Faux sans hypothèse : $6u + 4v$ est toujours pair, donc
jamais égal à $1$. Il faut $a$ et $b$ premiers entre
eux.]]>
Si $a \mid bc$ et $a$ premier avec $b$, alors $a \mid c$]]>
C'est le théorème de Gauss : conséquence de Bézout,
mais énoncé distinct.]]>
Tout entier $\geq 2$ se décompose en produit de facteurs
premiers]]>
C'est le théorème de décomposition (existence et
unicité), pas Bézout.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q07 : Théorème de Gauss
On sait que $7 \mid 3n$ pour un entier $n$. Que peut-on
conclure ?]]>
Gauss (démonstration au programme, via Bézout) : si $a \mid
bc$ et $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1$, alors $a \mid c$.
L'hypothèse « premiers entre eux » est vitale : $6 \mid 4
\times 3$ sans diviser ni $4$ ni $3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7 \mid n$]]>
Bonne réponse : théorème de Gauss, $7$ divise le produit
$3n$ et est premier avec le facteur $3$, donc divise
l'autre facteur.]]>
$7 \mid 3$]]>
Faux : $3 < 7$ et $3 \neq 0$. Gauss oriente la
divisibilité vers le facteur non premier avec rien…
c'est $n$ qui hérite.]]>
$n = 7$]]>
Trop précis : $n$ est multiple de $7$ ($0$, $7$,
$14$, $-7$…), pas forcément $7$.]]>
Rien, il faudrait connaître $n$]]>
Erreur : c'est exactement la situation du théorème de
Gauss : conclusion garantie sans connaître $n$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q08 : Équation diophantienne
L'équation $3x + 5y = 1$ admet la solution particulière
$(x_0\ ;\ y_0) = (2\ ;\ -1)$. Quelles sont toutes les
solutions entières ?]]>
Méthode complète : solution particulière, puis soustraction
et théorème de Gauss pour la forme générale $x = x_0 + 5k$,
$y = y_0 - 3k$. Résoudre $ax + by = c$ exige
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) \mid c$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 2 + 5k$, $y = -1 - 3k$, pour $k \in \mathbb{Z}$]]>
Bonne réponse : par différence, $3(x - 2) = -5(y + 1)$ ;
Gauss ($3$ premier avec $5$) force $5 \mid x - 2$, d'où
la forme annoncée. Contrôle : $3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) =
1$.]]>
$(2\ ;\ -1)$ est la seule solution]]>
Incomplet : $(7\ ;\ -4)$ marche aussi ($21 - 20 = 1$) :
une droite entière de solutions, indexée par $k$.]]>
$x = 2 + 3k$, $y = -1 - 5k$, pour $k \in \mathbb{Z}$]]>
Coefficients croisés : c'est $5$ (coefficient de $y$)
qui module $x$, et $3$ qui module $y$. Contrôle avec
$k = 1$ : $3 \times 5 + 5 \times (-6) = -15 \neq 1$.]]>
Aucune : $3$ et $5$ ne divisent pas $1$]]>
Erreur : $\text{PGCD}(3\ ;\ 5) = 1$ divise $1$ :
Bézout garantit des solutions.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q09 : L'ensemble des nombres premiers
Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?]]>
L'infinité des premiers est une démonstration au programme.
Argument clé : tout entier $\geq 2$ admet un diviseur
premier, et $N = p_1\cdots p_n + 1$ échappe à la liste
(reste $1$ dans chaque division).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il est infini (démonstration d'Euclide)]]>
Bonne réponse : si $p_1, \dots, p_n$ étaient les seuls
premiers, $N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1$ n'en serait
divisible par aucun : contradiction avec l'existence
d'un diviseur premier.]]>
Il est fini : le plus grand premier est connu]]>
Erreur : les « records » (nombres de Mersenne) sont les
plus grands premiers connus, pas les plus grands
existants : l'ensemble est infini.]]>
Tous les nombres premiers sont impairs]]>
Oubli de $2$ : le seul premier pair, mais premier quand
même.]]>
Un produit de deux premiers est premier]]>
Contraire de la définition : $3 \times 5 = 15$ a quatre
diviseurs : composé.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q10 : Décomposition en facteurs premiers
Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?]]>
Existence et unicité de la décomposition : au programme
(avec démonstration de l'existence). Applications : lecture
des diviseurs ($360$ en a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$), PGCD par
exposants minimaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$]]>
Bonne réponse : $360 = 8 \times 45 = 8 \times 9 \times
5$. La décomposition existe et est unique (à l'ordre
près) : c'est le théorème fondamental.]]>
$360 = 2^2 \times 3^2 \times 10$]]>
Presque : le produit vaut bien $360$, mais $10 = 2
\times 5$ n'est pas premier : la décomposition doit
aller jusqu'au bout.]]>
$360 = 2^3 \times 45$]]>
Inachevé : $45 = 3^2 \times 5$ est composé. On
factorise jusqu'à n'avoir que des premiers.]]>
$360 = 6 \times 60$]]>
Simple produit : ni $6$ ni $60$ n'est premier. La
décomposition canonique : $2^3 \times 3^2 \times 5$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q11 : Petit théorème de Fermat
$p = 7$ est premier et $a = 3$ n'est pas divisible par $7$.
Que donne le petit théorème de Fermat ?]]>
Petit théorème de Fermat : si $p$ premier et $p \nmid a$,
alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ (variante : $a^p \equiv a$
pour tout $a$). Usage : réduire les exposants géants modulo
$p - 1$, tests de primalité, RSA.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3^6 \equiv 1 \pmod 7$]]>
Bonne réponse : $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ : l'exposant
est $p - 1 = 6$. Vérification : $3^6 = 729 = 104 \times
7 + 1$.]]>
$3^7 \equiv 1 \pmod 7$]]>
Exposant faux : la forme en $a^p$ est $3^7 \equiv 3
\pmod 7$ (congru à $a$, pas à $1$).]]>
$3^6 \equiv 0 \pmod 7$]]>
Erreur : $3^6$ n'a que des facteurs $3$ : jamais
divisible par $7$. Fermat donne le reste $1$.]]>
$6^3 \equiv 1 \pmod 7$]]>
Base et exposant échangés : c'est $a^{p-1} = 3^6$.
(D'ailleurs $6^3 = 216 \equiv 6 \pmod 7$.)]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q12 : Inverse modulo $n$
Quel est l'inverse de $3$ modulo $7$, c'est-à-dire l'entier
$x \in \{1, \dots, 6\}$ tel que $3x \equiv 1 \pmod 7$ ?]]>
$a$ inversible modulo $n \iff \text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1$ ;
l'inverse sort des coefficients de Bézout. Application :
résoudre $3x \equiv 4 \pmod 7$ : multiplier par $5$ :
$x \equiv 20 \equiv 6$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 5$]]>
Bonne réponse : $3 \times 5 = 15 = 2 \times 7 + 1
\equiv 1$. L'inverse existe car $3$ et $7$ sont premiers
entre eux (Bézout).]]>
$x = 4$]]>
$3 \times 4 = 12 \equiv 5 \pmod 7$ : pas $1$. On teste
ou on remonte Bézout : $x = 5$.]]>
$x = \dfrac{1}{3}$]]>
Hors sujet : l'inverse modulaire est un entier : pas
de fractions dans $\mathbb{Z}/n$. Ici $5$ joue le rôle
de $\frac{1}{3}$.]]>
Il n'existe pas]]>
Erreur : $\text{PGCD}(3\ ;\ 7) = 1$ garantit l'inverse
(Bézout : $3 \times 5 + 7 \times (-2) = 1$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q13 : Divisibilité par $3$
Le nombre $741$ est-il divisible par $3$ ?]]>
$10 \equiv 1 \pmod 3$ (et $\pmod 9$) : un entier est congru
à la somme de ses chiffres modulo $3$ et $9$. Les critères
de divisibilité sont des théorèmes de congruence déguisés.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, car $7 + 4 + 1 = 12$ est divisible par $3$]]>
Bonne réponse : critère fondé sur $10 \equiv 1 \pmod 3$
: tout nombre est congru à la somme de ses chiffres
modulo $3$. ($741 = 3 \times 247$.)]]>
Non, car un multiple de $3$ est toujours pair]]>
Erreur : la parité teste la divisibilité par $2$, pas
par $3$ : $9$, $15$, $741$… sont impairs ET divisibles
par $3$.]]>
Non, car il ne se termine pas par $3$, $6$ ou $9$]]>
Faux critère : le dernier chiffre teste $2$, $5$ ou
$10$ : pour $3$, c'est la somme des chiffres qui
décide.]]>
Impossible à savoir sans poser la division]]>
Erreur : le critère de la somme des chiffres répond en
deux secondes : c'est toute la force des congruences.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q14 : Effectuer une division euclidienne
Quels sont le quotient et le reste de la division
euclidienne de $47$ par $6$ ?]]>
$a = bq + r$, $0 \leq r < b$ : le quotient est le plus grand
multiple qui tient, le reste est le débordement. La
contrainte sur $r$ rend le couple unique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Quotient $7$, reste $5$]]>
Bonne réponse : $47 = 6 \times 7 + 5$, car $6 \times 7 =
42 \leq 47 < 48 = 6 \times 8$, et $47 - 42 = 5$, bien
dans $[0\ ;\ 6[$.]]>
Quotient $8$, reste $-1$]]>
Reste négatif interdit : la définition impose $0 \leq
r < 6$ : on prend le multiple de $6$ juste en dessous.]]>
Quotient $7$, reste $6$]]>
Reste trop grand : $r = 6$ signifierait qu'une unité de
quotient reste à prendre : le reste est strictement inférieur
au diviseur.]]>
Quotient $5$, reste $7$]]>
Rôles échangés : $47 = 6q + r$ avec
$q = 7$ (combien de fois $6$) et $r = 5$ (ce qui
déborde).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q15 : Deux entiers consécutifs
Que peut-on dire de $n$ et $n + 1$ pour tout entier $n$ ?]]>
Argument roi : tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise
$a - b$. Pour des consécutifs, la différence vaut $1$ : PGCD
$= 1$. Ce petit lemme alimente quantité de démonstrations
(dont l'infinité des premiers).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Ils sont toujours premiers entre eux]]>
Bonne réponse : tout diviseur commun divise leur
différence $(n+1) - n = 1$ : le PGCD vaut $1$, sans
exception.]]>
Ils ont toujours un facteur commun]]>
Erreur : leur seul diviseur commun est $1$ : deux
voisins n'ont rien à partager (l'argument de la
différence le prouve).]]>
L'un des deux est toujours premier]]>
Faux : $8$ et $9$ sont tous deux composés : « premiers
entre eux » ne dit rien de la primalité individuelle.]]>
Leur PGCD est $n$]]>
Erreur : $n \mid n$ mais $n \nmid n + 1$ (dès $n \geq
2$) : le PGCD tombe à $1$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q16 : Dernier chiffre et modulo $10$
Quel est le dernier chiffre de $7^4$ ?]]>
Le dernier chiffre est le reste modulo $10$ : réduire À
CHAQUE étape garde les nombres minuscules ($7^2 \equiv 9$,
puis $7^4 \equiv 81 \equiv 1$). Les puissances modulo $10$
tournent en cycles courts ($7$ : période $4$) : les repérer
économise tout.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : le dernier chiffre EST le reste modulo
$10$ : $7^2 = 49 \equiv 9$, puis $7^4 \equiv 9^2 = 81
\equiv 1 \pmod{10}$. On réduit à chaque étape ($49 \to
9$, $81 \to 1$) au lieu de calculer $2401$.]]>
$9$]]>
Arrêt à mi-course : $9$ est le dernier chiffre de
$7^2$ : encore une élévation au carré : $9^2 \equiv 1$.]]>
$7$]]>
Erreur : les derniers chiffres de $7^n$ tournent :
$7, 9, 3, 1, 7, \dots$ : au rang $4$, le cycle retombe
sur $1$.]]>
$4$]]>
Erreur : $4$ est l'exposant, pas le reste : le calcul
modulaire donne $1$ ($7^4 = 2401$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q17 : Compter les diviseurs
Sachant $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$, combien $360$
a-t-il de diviseurs positifs ?]]>
Nombre de diviseurs de $p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ :
$(e_1 + 1)\cdots(e_k + 1)$ : chaque diviseur est un choix
d'exposants entre $0$ et $e_i$. La décomposition en facteurs
premiers révèle TOUTE la structure multiplicative.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$]]>
Bonne réponse : un diviseur choisit un exposant pour
chaque facteur premier : $4$ choix pour le $2$ ($2^0$ à
$2^3$), $3$ pour le $3$, $2$ pour le $5$ : produit $24$.]]>
$3 \times 2 \times 1 = 6$]]>
Le « $+1$ » oublié : l'exposant $0$ est un choix
légitime (ne pas prendre le facteur) : chaque exposant
offre $e + 1$ possibilités.]]>
$3 + 2 + 1 = 6$]]>
Addition au lieu de multiplication : les choix
d'exposants sont indépendants : principe
multiplicatif.]]>
$360 \div 2 = 180$]]>
Erreur : aucun lien de ce type : le compte sort de la
décomposition : $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q18 : Rendre une fraction irréductible
Sachant $\text{PGCD}(252\ ;\ 105) = 21$, quelle est la
forme irréductible de $\dfrac{252}{105}$ ?]]>
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne LA
forme irréductible en une étape : c'est l'application
quotidienne de l'algorithme d'Euclide.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{12}{5}$]]>
Bonne réponse : diviser haut et bas par le PGCD :
$\frac{252 \div 21}{105 \div 21} = \frac{12}{5}$, et
$12$, $5$ sont premiers entre eux : irréductible
garanti.]]>
$\dfrac{84}{35}$]]>
Simplification partielle : diviser par $3$ seulement
laisse le facteur $7$ commun : le PGCD simplifie EN UNE
FOIS et à fond.]]>
$\dfrac{5}{12}$]]>
Fraction renversée : le numérateur $252$ donne $12$, le
dénominateur $105$ donne $5$.]]>
$\dfrac{21}{5}$]]>
Erreur : $21$ est le PGCD (le diviseur commun), pas le
numérateur simplifié ($252 \div 21 = 12$).]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q19 : Tester la primalité de $97$
Pour vérifier que $97$ est premier, quels diviseurs
suffit-il de tester ?]]>
Test de primalité : diviser par les premiers $\leq
\sqrt{n}$ : si $n = ab$ avec $a \leq b$, alors $a \leq
\sqrt{n}$. Pour $97$ : quatre tests, verdict premier : la
racine carrée divise le travail par dix.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Les quatre nombres premiers $2$, $3$, $5$ et $7$]]>
Bonne réponse : un composé $n = ab$ a toujours un
facteur $\leq \sqrt{n}$ ; or $\sqrt{97} \approx 9{,}8$,
donc il suffit de tester les nombres premiers qui ne
dépassent pas $9$ : quatre divisions, aucune ne tombe
juste, $97$ est premier.]]>
Tous les entiers compris entre $2$ et $96$]]>
Gaspillage : si aucun diviseur n'existe sous $\sqrt{97}$,
aucun n'existe au-dessus (ils iraient par paires) :
$9{,}8$ est la frontière utile.]]>
Seulement les deux nombres premiers $2$ et $3$]]>
Insuffisant : $35 = 5 \times 7$ échappe à $2$ et $3$ :
il faut monter jusqu'à $\sqrt{n}$ ($5$ et $7$ compris).]]>
Uniquement les nombres pairs inférieurs à $97$]]>
Erreur : les diviseurs pairs se réduisent au test de
$2$ : ce sont les premiers IMPAIRS ($3, 5, 7$) qui
restent à examiner. Ainsi $91 = 7 \times 13$ n'a aucun
diviseur pair et n'est pourtant pas premier.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q20 : Le calendrier modulo $7$
Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans $100$ jours ?]]>
Les cycles du quotidien (jours, heures, angles) sont des
congruences : seul le reste importe. $100 \equiv 2
\pmod 7$ : le décalage net de $100$ jours est de $2$ jours.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Mercredi]]>
Bonne réponse : $100 = 14 \times 7 + 2$, soit $100
\equiv 2 \pmod 7$ : les $14$ semaines pleines ne
comptent pas, seuls les $2$ jours de reste décalent,
deux jours après lundi.]]>
Lundi]]>
Erreur : $100$ est un compte « rond » en base $10$, ce
qui ne dit rien modulo $7$ : seul le reste de $100$ par
$7$ (qui vaut $2$) compte.]]>
Vendredi]]>
Erreur de reste : $100 = 98 + 2$ et $98 = 14 \times 7$ :
reste $2$, pas $4$ : lundi $+ 2 =$ mercredi.]]>
Impossible sans calendrier]]>
Erreur : les jours de la semaine SONT une arithmétique
modulo $7$ : le reste répond sans calendrier.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q21 : Reste d'une grande puissance
Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?]]>
Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (une puissance congrue à $1$),
puis réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit théorème de
Fermat garantit, pour $n$ premier, un cycle dont la longueur divise
$n - 1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : $2^{3} \equiv 1 \pmod{7}$, donc les restes des puissances
successives forment le cycle $2, 4, 1$, de longueur $3$ ; comme
$100 = 3 \times 33 + 1$, on a $2^{100} \equiv 2^{1} \equiv 2$.]]>
$0$]]>
Erreur : $2^{100}$ n'a que des facteurs $2$ : il n'est
jamais divisible par $7$, le reste ne peut pas être nul.]]>
$4$]]>
Erreur de position dans le cycle : $4$ correspond aux exposants
congrus à $2$ modulo $3$ ; or $100 \equiv 1 \pmod{3}$.]]>
$1$]]>
Erreur de position dans le cycle : $1$ correspond aux exposants
congrus à $0$ modulo $3$ ; or $100 \equiv 1 \pmod{3}$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q22 : Résoudre une congruence $ax \equiv b \pmod n$
Quelles sont les solutions de la congruence $5x \equiv 3
\pmod{7}$ ?]]>
$ax \equiv b \pmod n$ avec $\text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1$ :
multiplier par l'inverse de $a$ : $x \equiv a^{-1}b$.
L'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par
l'algorithme d'Euclide étendu (grands modules).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \equiv 2 \pmod{7}$]]>
Bonne réponse : on multiplie par $3$, inverse de $5$
modulo $7$ ($5 \times 3 = 15 \equiv 1$) ; alors
$x \equiv 3 \times 3 = 9 \equiv 2$. Contrôle : $5 \times 2 = 10 \equiv 3$.]]>
$x = \dfrac{3}{5}$]]>
Pas de fractions dans les congruences : la « division » se fait
en multipliant par l'inverse modulaire de $5$ (qui est $3$).]]>
Aucune solution, car $5$ ne divise pas $3$]]>
Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :
$\text{PGCD}(5\ ;\ 7) = 1$ garantit un inverse, donc une
solution unique modulo $7$.]]>
$x \equiv 3 \pmod{7}$]]>
Contrôle : $5 \times 3 \equiv 1 \not\equiv 3$ : c'est l'inverse de
$5$, pas la solution : il reste à multiplier par $3$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q23 : $n^2$ pair implique $n$ pair
Comment démontrer proprement : « si $n^2$ est pair, alors
$n$ est pair » ?]]>
Contraposée : « $A \Rightarrow B$ » équivaut à « non $B$
$\Rightarrow$ non $A$ » : quand l'hypothèse directe est
difficile à exploiter, renverser. Ici : l'imparité se
calcule ($2k+1$), la parité de $n^2$ ne se remonte pas
directement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Par contraposée : $n$ impair $\Rightarrow$ $n^2$ impair]]>
Bonne réponse : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ donne
$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, impair. La contraposée se
calcule en une ligne, et elle est logiquement
ÉQUIVALENTE à l'énoncé.]]>
En vérifiant pour $n = 2$, $4$, $6$ et $8$]]>
Exemples, pas preuve : trois cas ne couvrent pas tous
les entiers (et testent d'ailleurs le sens réciproque !).]]>
C'est faux, $n^2$ pair n'impose rien à $n$]]>
Erreur : l'énoncé est vrai (essentiel, entre autres,
dans la preuve de l'irrationalité de $\sqrt{2}$) : la
contraposée le démontre.]]>
En divisant $n^2$ par $n$ pour retrouver $n$]]>
Erreur : la parité ne « se divise » pas : le passage
par l'écriture $n = 2k + 1$ (contraposée) est le chemin
rigoureux.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q24 : Pourquoi Euclide fonctionne
L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité
$\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ où $r$ est le
reste de $a$ par $b$. Pourquoi est-elle vraie ?]]>
Deux ingrédients : correction ($\text{PGCD}(a\ ;\ b) =
\text{PGCD}(b\ ;\ r)$, par conservation des diviseurs
communs) et terminaison (les restes décroissent strictement
vers $0$). Le modèle de toute preuve d'algorithme.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce que $a = bq + r$ conserve les diviseurs communs]]>
Bonne réponse : les diviseurs communs de $(a\ ;\ b)$ et
de $(b\ ;\ r)$ sont exactement les mêmes : $d$ divise
$a$ et $b$ $\Rightarrow$ il divise $r = a - bq$ ; et $d$
divise $b$ et $r$ $\Rightarrow$ il divise $a = bq + r$ :
même PGCD.]]>
Parce que $r$ est toujours plus petit que $b$]]>
C'est la raison de la terminaison (les restes
décroissent), pas de la correction : l'égalité des PGCD
vient de $a = bq + r$.]]>
Parce que le PGCD est toujours le dernier reste]]>
Circulaire : c'est la CONSÉQUENCE de l'égalité répétée,
pas sa justification.]]>
C'est une convention posée sans démonstration]]>
Erreur : c'est un théorème, démontré en deux lignes par
la conservation des diviseurs communs à travers $a = bq
+ r$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q25 : Calculer une congruence
À quoi $37$ est-il congru modulo $5$ ?]]>
Deux entiers sont congrus modulo $n$ lorsqu'ils ont le même reste dans la
division euclidienne par $n$. Le reste choisi est celui compris entre $0$
et $n-1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : $37 = 5 \times 7 + 2$, le reste vaut $2$.]]>
$7$]]>
Quotient recopié : le reste d'une division par $5$ est toujours
inférieur à $5$.]]>
$3$]]>
Reste faux : $5 \times 7$ vaut $35$, il reste donc $2$.]]>
$0$]]>
Un reste nul signifierait que $5$ divise $37$, ce qui n'est pas le
cas.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q26 : Une identité de Bézout
Quelle condition garantit l'existence d'entiers $u$ et $v$ tels que
$au + bv = 1$ ?]]>
Le théorème de Bézout affirme que $au + bv = 1$ a des solutions entières si
et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux. L'algorithme d'Euclide
étendu fournit un couple.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le PGCD de $a$ et $b$ vaut $1$]]>
Bonne réponse : c'est exactement le théorème de Bézout, pour des
entiers premiers entre eux.]]>
$a$ et $b$ sont premiers]]>
Condition trop forte : $4$ et $9$ ne sont pas premiers mais sont
premiers entre eux.]]>
$a$ divise $b$]]>
Cette condition donne au contraire un PGCD égal à $a$, donc supérieur à
$1$ en général.]]>
$a$ et $b$ sont de signes contraires]]>
Le signe n'intervient pas : la condition porte sur le PGCD.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q27 : Une puissance modulo
À quoi $3^{4}$ est-il congru modulo $5$ ?]]>
Le petit théorème de Fermat donne $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ pour $p$
premier ne divisant pas $a$. Avec $p = 5$, toute puissance quatrième d'un
entier non multiple de $5$ est congrue à $1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : $81 = 5 \times 16 + 1$, ce que prédit aussi le petit
théorème de Fermat.]]>
$4$]]>
Reste faux : $3^4$ vaut $81$, dont le reste modulo $5$ est $1$.]]>
$3$]]>
Base recopiée : c'est $3^1$ qui est congru à $3$.]]>
$0$]]>
Un reste nul exigerait que $5$ divise $81$, ce qui est faux.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q28 : Un PGCD par l'algorithme d'Euclide
Quel est le PGCD de $48$ et $18$ ?]]>
L'algorithme d'Euclide remplace le couple par le diviseur et le reste,
jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $48 = 18 \times 2 + 12, 18 = 12 + 6, 12 = 6 \times 2 + 0$ ; le dernier reste non nul
est $6$.]]>
$12$]]>
Reste intermédiaire retenu : l'algorithme continue tant que le reste
n'est pas nul.]]>
$3$]]>
Diviseur commun mais pas le plus grand : $6$ divise aussi les deux
nombres.]]>
$144$]]>
Plus petit multiple commun : il est supérieur aux deux nombres, ce
qui exclut un PGCD.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q29 : Une équation diophantienne
L'équation $6x + 9y = 5$ admet-elle des solutions entières ?]]>
L'équation $ax + by = c$ admet des solutions entières si et seulement si le
PGCD de $a$ et $b$ divise $c$. Ici ce PGCD vaut $3$, qui ne divise pas
$5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, car $3$ divise le membre de gauche]]>
Bonne réponse : le membre de gauche est toujours multiple de $3$, alors
que $5$ ne l'est pas.]]>
Oui, une infinité]]>
L'infinité de solutions apparaît seulement lorsque le PGCD divise le
second membre.]]>
Oui, exactement une]]>
Une équation de ce type n'a jamais exactement une solution entière :
soit aucune, soit une infinité.]]>
Non, car les coefficients sont positifs]]>
Le signe n'intervient pas : $6x + 9y = 3$ a des solutions, avec les
mêmes coefficients.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q30 : Un jour de la semaine
Aujourd'hui est un lundi. Quel jour sera-t-on dans $100$ jours ?]]>
Les jours de la semaine se comptent modulo $7$. Le reste de la division
euclidienne du nombre de jours par $7$ donne le décalage à appliquer.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un mercredi]]>
Bonne réponse : $100 = 7 \times 14 + 2$, donc deux jours après lundi.]]>
Un lundi]]>
Il faudrait que $100$ soit un multiple de $7$, ce qui n'est pas le
cas.]]>
Un mardi]]>
Reste faux : $7 \times 14$ vaut $98$, il reste donc deux jours et non
un.]]>
Un dimanche]]>
Ce serait le cas pour un reste de $6$, obtenu par exemple après $104$
jours.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q31 : Retrouver le reste à partir du quotient
Dans la division euclidienne de $254$ par $7$, le quotient vaut
$36$. Quel est le reste ?]]>
La division euclidienne de $a$ par $b$ (avec $b > 0$) s'écrit
$a = bq + r$ et $0 \leq r < b$, et ce couple est unique.
Le quotient étant connu, le reste s'obtient par une simple
soustraction.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : l'égalité $254 = 7 \times 36 + r$ donne
$r = 254 - 7 \times 36 = 2$, bien compris entre $0$ et
$7$.]]>
$7$]]>
Diviseur recopié : le reste est strictement inférieur à
$7$, il ne peut donc pas lui être égal.]]>
$36$]]>
Quotient recopié : $36$ compte combien de fois $7$ tient
dans $254$ ; le reste est ce qui dépasse.]]>
$5$]]>
Complément au multiple suivant : c'est ce qu'il manque pour
atteindre $7 \times 36 + 7$, et non le reste, qui vaut
$2$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q32 : Diviseur commun et combinaisons
Un entier $d$ divise à la fois $a$ et $b$. Que divise-t-il
nécessairement aussi ?]]>
La définition « $a = kd$ » donne aussitôt : tout diviseur commun
de $a$ et $b$ divise $ua + vb$ pour tous entiers $u$ et $v$. Cette
propriété fait fonctionner l'algorithme d'Euclide et le théorème
de Bézout.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Toute somme $ua + vb$ avec $u$ et $v$ entiers]]>
Bonne réponse : si $a = da'$ et $b = db'$, alors
$ua + vb = d(ua' + vb')$. C'est l'outil de base de tous les
raisonnements de divisibilité.]]>
Le quotient de $a$ par $b$, lorsqu'il est entier]]>
Erreur : $4$ divise $8$ et $4$, mais ne divise pas le
quotient $2$. Ce sont les combinaisons qui héritent de la
divisibilité.]]>
Tout entier compris entre $a$ et $b$]]>
Erreur : $3$ divise $6$ et $12$, mais pas $7$. Rien n'oblige
les entiers intermédiaires à être des multiples de $d$.]]>
Le successeur $a + b + 1$ de leur somme]]>
Erreur : $d$ divise $a + b$, donc il ne divise $a + b + 1$
que dans le cas particulier $d = 1$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q33 : Reste modulo $9$ par la somme des chiffres
Quel est le reste de la division euclidienne de $573$ par $9$ ?]]>
Comme $10 \equiv 1 \pmod 9$, toute puissance de $10$ est congrue à
$1$ : un entier est donc congru à la somme de ses chiffres modulo
$9$. On répète l'opération tant que le résultat dépasse $8$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $10 \equiv 1 \pmod 9$, donc $573$ est congru à
la somme de ses chiffres, qui vaut $15$, dont le
reste modulo $9$ est $6$.]]>
$15$]]>
Étape non terminée : la somme des chiffres vaut
$15$, mais un reste modulo $9$ est inférieur à
$9$ : on recommence sur $15$.]]>
$3$]]>
Mauvais critère : le dernier chiffre renseigne sur $2$, $5$ et
$10$ ; pour $9$, c'est la somme des chiffres qui décide.]]>
$9$]]>
Valeur impossible : le reste d'une division par $9$ est
toujours compris entre $0$ et $8$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q34 : Pourquoi $1$ n'est pas premier
Pourquoi le nombre $1$ n'est-il pas un nombre premier ?]]>
Un entier $p \geq 2$ est premier lorsqu'il admet exactement deux
diviseurs positifs, $1$ et $p$. Le nombre $1$ n'en a qu'un seul et
reste hors de la classification, ce qui garantit l'unicité de la
décomposition en facteurs premiers.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il n'a qu'un seul diviseur positif]]>
Bonne réponse : un nombre premier admet exactement deux
diviseurs positifs, $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n'en a
qu'un, il est donc exclu.]]>
C'est une simple convention sans raison]]>
Presque : l'exclusion n'est pas arbitraire, elle rend unique
la décomposition en facteurs premiers, qu'on pourrait sinon
allonger de facteurs $1$ à volonté.]]>
Il est le diviseur de tous les entiers]]>
Vrai mais hors sujet : $1$ divise effectivement tout entier,
ce qui ne dit rien sur son propre nombre de diviseurs.]]>
Son seul diviseur premier est $1$]]>
Erreur : $1$ n'étant pas premier, il n'a aucun diviseur
premier. Le critère porte sur le nombre de diviseurs
positifs.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q35 : Produit de deux entiers consécutifs
Que peut-on affirmer du produit $n(n + 1)$ de deux entiers
naturels consécutifs ?]]>
Sur deux entiers consécutifs, exactement un est pair : leur
produit est donc toujours divisible par $2$. Le même raisonnement
appliqué à $n(n+1)(n+2)$ donne une divisibilité par $6$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il est toujours pair]]>
Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair,
donc le produit l'est aussi, quelle que soit la parité de $n$.]]>
Il est toujours impair]]>
Contre-exemple immédiat : $2 \times 3 = 6$ est pair. Un
produit n'est impair que si ses deux facteurs le sont.]]>
Il est pair si $n$ est pair seulement]]>
Cas oublié : si $n$ est impair, alors $n + 1$ est pair, et le
produit reste pair.]]>
Il est toujours un multiple de $4$]]>
Trop fort : $2 \times 3 = 6$ n'est pas multiple de $4$. Un
seul des deux facteurs est pair, il n'apporte qu'un facteur
$2$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q36 : Simplifier une fraction en une seule étape
Par quel entier faut-il simplifier la fraction
$\dfrac{36}{60}$ pour la rendre irréductible en une seule
étape ?]]>
La forme irréductible s'obtient en divisant numérateur et
dénominateur par leur PGCD : c'est le seul diviseur commun qui
épuise tous les facteurs partagés. Ici
$\dfrac{3}{5}$ a un numérateur et un
dénominateur premiers entre eux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$12$]]>
Bonne réponse : $\text{PGCD}(36\ ;\ 60) = 12$, et diviser
par ce nombre donne d'un coup la forme irréductible
$\dfrac{3}{5}$.]]>
$24$]]>
Différence sans rapport : $60 - 36 = 24$ ne divise
même pas $36$. C'est le PGCD, soit $12$, qu'il faut.]]>
$3$]]>
Résultat pris pour l'outil : $3$ est le numérateur
obtenu après simplification, pas le diviseur employé.]]>
$2$]]>
Simplification partielle : diviser par $2$ laisse
encore des facteurs communs ; le PGCD $12$ termine le travail
en une fois.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q37 : Chiffre des unités et reste modulo $5$
Un entier $N$ s'écrit avec $7$ pour chiffre des unités. Quel est
le reste de $N$ dans la division euclidienne par $5$ ?]]>
Un entier est congru modulo $10$ à son chiffre des unités. Comme
$5$ divise $10$, la congruence se transporte : le reste modulo $5$
se lit sur ce seul chiffre, sans poser la division.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : $N$ est congru à son chiffre des unités modulo
$10$, donc aussi modulo $5$ puisque $5$ divise $10$. Or
$7 = 5 + 2$, d'où le reste $2$.]]>
$7$]]>
Étape non terminée : $7$ dépasse $5$, ce n'est donc pas un
reste valide modulo $5$ ; il faut encore retirer $5$.]]>
$3$]]>
Complément au multiple suivant : il manque $3$ à
$N$ pour atteindre un multiple de $5$ ; le reste, lui,
compte ce qui dépasse le multiple précédent.]]>
$0$]]>
Erreur : $N$ se terminerait alors par $0$ ou par $5$, ce qui
n'est pas le cas ici.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q38 : Hypothèses du petit théorème de Fermat
Le petit théorème de Fermat affirme que $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$.
Peut-on l'appliquer à $a = 10$ et $p = 5$ ?]]>
Le petit théorème de Fermat s'énonce ainsi : si $p$ est premier et
si $p$ ne divise pas $a$, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Les
deux hypothèses comptent ; lorsque $p$ divise $a$, on a simplement
$a \equiv 0 \pmod p$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, car $5$ divise $10$]]>
Bonne réponse : le théorème exige que $p$ ne divise pas $a$.
Ici $10 \equiv 0 \pmod 5$, donc $10^4 \equiv 0$, et non $1$.]]>
Oui, car $5$ est un nombre premier]]>
Condition incomplète : la primalité de $p$ ne suffit pas, il
faut aussi que $p$ ne divise pas $a$.]]>
Non, car $10$ n'est pas premier]]>
Fausse condition : le théorème ne demande rien à $a$, sinon de
ne pas être multiple de $p$. Il s'applique ainsi à $a = 4$ et
$p = 5$.]]>
Oui, car $10$ est plus grand que $5$]]>
Sans rapport : la taille de $a$ n'intervient jamais, seule
compte sa divisibilité par $p$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q39 : Plus petit facteur premier
Quel est le plus petit facteur premier de $91$ ?]]>
Pour trouver le plus petit facteur premier d'un entier $n$, on
teste les nombres premiers dans l'ordre croissant tant qu'ils ne
dépassent pas $\sqrt{n}$. Si aucun ne convient, $n$ est premier.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $91$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$,
ni par $5$, et la division par $7$ tombe juste :
$91 = 7 \times 13$.]]>
$91$]]>
Nombre supposé premier : $91 = 7 \times 13$,
il est donc composé et admet un facteur premier plus petit.]]>
$3$]]>
Critère mal appliqué : la somme des chiffres de $91$ n'est
pas un multiple de $3$, donc $3$ ne divise pas $91$.]]>
$13$]]>
Facteur exact mais pas le plus petit : $13$
divise bien $91$, seulement $7$ le divise aussi et lui est
inférieur.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q40 : L'hypothèse du théorème de Gauss
On sait que $6$ divise $4n$. Peut-on en conclure que $6$ divise
$n$ ?]]>
Le théorème de Gauss s'énonce : si $a$ divise $bc$ et si $a$ est
premier avec $b$, alors $a$ divise $c$. L'hypothèse de primalité
entre eux est indispensable, comme le montre
$6 \mid 4 \times 3$ alors que $6$ ne divise ni $4$ ni $3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, car $6$ et $4$ ne sont pas premiers entre eux]]>
Bonne réponse : Gauss exige un diviseur premier avec le
facteur écarté. Ici $\text{PGCD}(6\ ;\ 4) = 2$, et $n = 3$
fournit un contre-exemple : $6 \mid 12$ sans diviser $3$.]]>
Oui, d'après le théorème de Gauss appliqué au facteur $4$]]>
Hypothèse oubliée : le théorème ne s'applique que si le
diviseur est premier avec le facteur écarté, ce qui n'est pas
le cas de $6$ et $4$.]]>
Oui, car $6$ ne divise pas $4$]]>
Mauvais critère : ce qui compte est le PGCD de $6$ et $4$, qui
vaut $2$, et non la divisibilité de l'un par l'autre.]]>
Non, car $4$ ne divise pas $6$ non plus]]>
Conclusion juste, raison fausse : l'obstacle est que $6$ et
$4$ ne sont pas premiers entre eux.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q41 : Existence d'un inverse modulo $12$
Parmi les entiers $2$, $3$, $5$ et $6$, lequel admet un inverse
modulo $12$ ?]]>
Un entier $a$ admet un inverse modulo $n$ si et seulement si
$\text{PGCD}(a\ ;\ n) = 1$ : Bézout donne alors $au + nv = 1$,
c'est-à-dire $au \equiv 1 \pmod n$. Les diviseurs de $n$ autres
que $1$ n'en ont jamais.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$, premier avec $12$]]>
Bonne réponse : $\text{PGCD}(5\ ;\ 12) = 1$, donc Bézout
fournit un inverse. Ici $5 \times 5 = 25 \equiv 1 \pmod{12}$ :
$5$ est son propre inverse.]]>
$2$, car $12$ est pair]]>
Diviseur commun : $\text{PGCD}(2\ ;\ 12) = 2$, donc $2x$ reste
pair et n'est jamais congru à $1$ modulo $12$.]]>
$3$, car $3 \times 4 = 12$]]>
Diviseur commun : $3x$ est toujours multiple de $3$, or $1$ ne
l'est pas, pas davantage modulo $12$.]]>
$6$, moitié de $12$]]>
Diviseur commun : $\text{PGCD}(6\ ;\ 12) = 6$ ; aucun multiple
de $6$ n'est congru à $1$ modulo $12$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q42 : Résoudre une congruence par l'inverse
Quelles sont les solutions entières de la congruence
$2x \equiv 3 \pmod{5}$ ?]]>
Pour résoudre $ax \equiv b \pmod n$ lorsque $a$ est premier avec
$n$, on multiplie les deux membres par l'inverse de $a$ modulo
$n$. La solution est unique modulo $n$ et se contrôle en la
reportant dans la congruence de départ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \equiv 4 \pmod{5}$]]>
Bonne réponse : $2$ est premier avec $5$, et son inverse
modulo $5$ est $3$. En multipliant par $3$ :
$x \equiv 3 \times 3 \equiv 4$. Contrôle :
$2 \times 4 = 8 \equiv 3$.]]>
$x \equiv 3 \pmod{5}$]]>
Second membre recopié : $3$ est la valeur visée, pas la
solution. Il reste à multiplier par l'inverse de $2$.]]>
$x \equiv 1 \pmod{5}$]]>
Multiplication par le coefficient au lieu de son inverse :
$2 \times 3 \equiv 1$, alors que c'est
l'inverse $3$ qu'il faut employer.]]>
$x \equiv 0 \pmod{5}$]]>
Addition au lieu d'une résolution : on ne fait pas passer le
coefficient de l'autre côté en l'ajoutant, on multiplie par
son inverse.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q43 : Réduire une puissance par son cycle
Quel est le reste de $2^{11}$ dans la division euclidienne par
$5$ ?]]>
Pour une puissance modulo $n$, on cherche le plus petit exposant
$d$ tel que $a^d \equiv 1$, puis on réduit l'exposant modulo $d$.
Le petit théorème de Fermat garantit un tel cycle quand $n$ est
premier, mais le cycle réel peut être plus court.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : $2^{4} \equiv 1 \pmod{5}$, et
$11 = 4 \times 2 + 3$, donc
$2^{11} \equiv 2^{3} \equiv 3$.]]>
$0$]]>
Reste nul impossible : $2^{11}$ n'a que des facteurs
$2$, qui ne figurent pas dans la décomposition de $5$.]]>
$1$]]>
Cycle mal repéré : le reste vaut $1$ quand l'exposant est un
multiple de $4$ ; or $11$ laisse $3$.]]>
$2$]]>
Base recopiée : $2$ est le reste de $2^1$ ; l'exposant
$11$ déplace le résultat plus loin dans le cycle.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q44 : Le PGCD de $2n + 1$ et de $n$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, que vaut
$\text{PGCD}(2n + 1\ ;\ n)$ ?]]>
L'égalité $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = \text{PGCD}(b\ ;\ r)$ conclut en
une ligne : la division de $2n+1$ par $n$ laisse le reste $1$,
donc le PGCD vaut $\text{PGCD}(n\ ;\ 1) = 1$. Conserver les
diviseurs communs est bien le principe de l'algorithme d'Euclide.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : tout diviseur commun divise la combinaison
$(2n + 1) - 2 \times n = 1$, donc vaut $1$. Les deux entiers
sont premiers entre eux.]]>
$n$]]>
Erreur : $n$ divise $n$, mais il ne divise $2n + 1$ que s'il
divise $1$. Le PGCD ne peut donc pas valoir $n$ en général.]]>
$2n + 1$]]>
Erreur : $2n + 1$ est plus grand que $n$, il ne peut pas
diviser $n$, donc pas non plus être un diviseur commun.]]>
$2$]]>
Parité : $2n + 1$ est impair, donc $2$ ne le divise jamais ;
aucun diviseur commun pair n'est possible.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q45 : Un carré congru à $1$ modulo $4$
Un entier $n$ vérifie $n^2 \equiv 1 \pmod 4$. Que peut-on en
déduire sur $n$ ?]]>
Étudier un carré modulo $4$ revient à examiner les deux restes
possibles de $n$ modulo $2$ : pair donne $n^2 \equiv 0$, impair
donne $n^2 \equiv 1$. C'est le raisonnement par contraposée déjà
utilisé pour « $n^2$ pair entraîne $n$ pair ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il est impair]]>
Bonne réponse : un entier pair s'écrit $2k$ et donne
$n^2 = 4k^2 \equiv 0$. Le carré valant $1$, $n$ ne peut être
pair, et $(2k+1)^2 = 4k(k+1) + 1 \equiv 1$ confirme le cas
impair.]]>
Il est pair]]>
Sens inversé : si $n$ était pair, son carré serait multiple de
$4$, donc congru à $0$ et non à $1$.]]>
Il est multiple de $4$]]>
Trop fort et faux : $n$ est impair, il n'est donc divisible ni
par $4$, ni même par $2$.]]>
On ne peut rien en déduire]]>
Erreur : examiner les deux cas de parité suffit, l'un donne
$0$ modulo $4$ et l'autre $1$ : la conclusion est certaine.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q46 : Un chiffrement affine
On numérote les lettres de A $= 0$ à Z $= 25$. Une lettre de rang $x$
est chiffrée par la lettre de rang $y$, reste de la division de
$3x + 5$ par $26$. Par quelle lettre la lettre K, de rang $10$,
est-elle chiffrée ?]]>
Pour déchiffrer, on résout $3x + 5 \equiv y \pmod{26}$ : c'est
possible car $3$ est inversible modulo $26$ ($3 \times 9 = 27
\equiv 1$), d'où $x \equiv 9(y - 5) \pmod{26}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La lettre J, de rang $9$]]>
Bonne réponse : $3 \times 10 + 5 = 35$ et
$35 \equiv 9 \pmod{26}$, car $35 = 26 + 9$.]]>
La lettre de rang $35$]]>
Erreur : il n'y a que $26$ lettres. On remplace $35$ par son
reste modulo $26$.]]>
La lettre P, de rang $15$]]>
Erreur : on a ajouté $5$ au rang sans le multiplier par $3$.]]>
La lettre K elle-même]]>
Erreur : le chiffrement transforme le rang $10$ en $9$, donc la
lettre change.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q47 : Arrêter le crible d'Ératosthène
Pour obtenir les nombres premiers inférieurs à $100$ avec le crible
d'Ératosthène, on barre les multiples de $2$, $3$, $5$ et $7$. Pourquoi
peut-on s'arrêter là ?]]>
Un entier $n \geq 2$ qui n'a aucun diviseur premier $p$ avec $p^2 \leq n$
est premier. C'est ce qui arrête le crible et limite les tests de
primalité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un nombre composé inférieur à $100$ a un facteur premier inférieur ou égal à $10$]]>
Bonne réponse : si $n = ab$ avec $1 < a \leq b$, alors $a^2 \leq n < 100$,
donc $a < 10$ ; le multiple de $11$ suivant non barré serait
$11^2 = 121$.]]>
Parce qu'il n'existe pas de nombre premier entre $10$ et $100$]]>
Faux : $11$, $13$, $97$… sont premiers. Ils restent justement
non barrés à la fin du crible.]]>
Parce que $7$ est le plus grand nombre premier]]>
L'ensemble des nombres premiers est infini : il n'y a pas de plus
grand nombre premier.]]>
Parce que les multiples de $11$ sont tous supérieurs à $100$]]>
Faux : $22$, $33$, … $99$ sont des multiples de $11$, mais ils ont
déjà été barrés comme multiples de $2$, $3$, $5$ ou $7$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q48 : Jusqu'où tester la primalité
Pour savoir si $97$ est premier, on cherche un diviseur premier.
Quel est le plus grand nombre premier qu'il suffit d'essayer ?]]>
Pour tester la primalité de $n$, il suffit d'essayer les nombres
premiers $p$ tels que $p^2 \leq n$. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est
premier.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $7^2 = 49 \leq 97 < 121 = 11^2$ ; un diviseur
$a \leq b$ de $97 = ab$ vérifierait $a^2 \leq 97$.]]>
$11$]]>
Inutile : $11^2 = 121 > 97$. Si $11$ divisait $97$, l'autre
facteur serait plus petit que $11$ et aurait déjà été trouvé.]]>
$9$]]>
$9$ est bien la partie entière de $\sqrt{97}$, mais il n'est pas
premier : on teste seulement les diviseurs premiers.]]>
$48$]]>
Beaucoup trop loin : on peut s'arrêter à $\sqrt{97}$, car un
diviseur plus grand irait de pair avec un diviseur plus petit.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q49 : Un PGCD par les décompositions
On a $a = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ et $b = 2^{2} \times 3^{3} \times 7$. Quel est le PGCD de $a$ et $b$ ?]]>
Avec les décompositions en facteurs premiers : PGCD = facteurs
communs au plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs au plus
grand exposant. On a de plus $\text{PGCD} \times \text{PPCM} = ab$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2^{2} \times 3^{2}$]]>
Bonne réponse : on garde les facteurs premiers communs, chacun avec
le plus petit exposant ; ici $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 36$.]]>
$2^{3} \times 3^{3} \times 5 \times 7$]]>
C'est le PPCM : tous les facteurs, avec le plus grand exposant. Le
PGCD garde les facteurs communs avec le plus petit exposant.]]>
$2^{5} \times 3^{5}$]]>
Exposants additionnés : c'est la règle du produit $ab$, pas
celle du PGCD.]]>
$2^{3} \times 3^{3}$]]>
Bons facteurs, mauvais exposants : un diviseur commun ne peut pas
contenir un facteur plus de fois que le moins riche des deux nombres.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q50 : L'infinité des nombres premiers
Pour démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers, on suppose
qu'il n'y en a qu'un nombre fini, $p_1, p_2, \dots, p_n$, et l'on pose
$N = p_1p_2\cdots p_n + 1$. Quel est l'argument clé ?]]>
Démonstration attribuée à Euclide : tout entier $N \geq 2$ admet un
diviseur premier, et $N = p_1 \cdots p_n + 1$ n'est divisible par aucun $p_k$.
La liste supposée complète en oublie donc au moins un.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Aucun $p_k$ ne divise $N$, qui a pourtant un facteur premier]]>
Bonne réponse : chaque $p_k$ divise $N - 1$, donc le reste de $N$
dans la division par $p_k$ vaut $1$.
Le facteur premier de $N$ n'est donc aucun des $p_k$ : contradiction.]]>
$N$ est forcément un nombre premier lui-même]]>
Pas forcément : $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30\,031 = 59 \times 509$.
L'argument porte sur ses facteurs premiers, pas sur $N$ lui-même.]]>
$N$ est pair, donc divisible par le premier $p_1 = 2$]]>
$N - 1$ est pair (il contient le facteur $2$), donc $N$ est impair :
$2$ ne divise justement pas $N$.]]>
$N$ dépasse tous les $p_k$, donc il est premier]]>
Être grand ne rend pas premier : $30\,031$ dépasse $13$ sans être
premier. Seule l'absence de diviseur parmi les $p_k$ compte.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q51 : Utiliser le petit théorème de Fermat
Que vaut le reste de $3^{33}$ dans la division par $7$ ?]]>
Petit théorème de Fermat : si $p$ est premier et ne divise pas $a$,
alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. On réduit donc l'exposant modulo $p - 1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $7$ est premier et ne divise pas $3$, donc
$3^{6} \equiv 1 \pmod{7}$ ; avec $33 = 6 \times 5 + 3$, on obtient
$3^{33} \equiv 3^{3} \equiv 6$.]]>
$5$]]>
Exposant réduit modulo $7$ au lieu de $7 - 1 = 6$ : c'est
$a^{p-1}$ qui vaut $1$ modulo $p$, pas $a^p$.]]>
$1$]]>
Fermat donne $3^{6} \equiv 1$, mais $33$ n'est pas un multiple de
$6$ : il reste $3^{3}$ à calculer.]]>
$3$]]>
Le reste n'est pas l'exposant réduit : après $33 \equiv 3 \pmod{6}$,
il faut encore calculer $3^{3}$ modulo $7$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q52 : Entiers premiers entre eux
Que signifie « $a$ et $b$ sont premiers entre eux » ?]]>
$a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1$. C'est
l'hypothèse des théorèmes de Bézout et de Gauss, et de l'existence d'un
inverse modulo $n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Leur PGCD vaut $1$]]>
Bonne réponse : leur seul diviseur commun positif est $1$. Exemple :
$8$ et $15$, qui ne sont premiers ni l'un ni l'autre.]]>
$a$ et $b$ sont deux nombres premiers]]>
Confusion de vocabulaire : $8$ et $15$ sont premiers entre eux
sans être premiers ; et $3$ et $3$ sont premiers sans être premiers
entre eux.]]>
Aucun des deux ne divise l'autre]]>
Contre-exemple : $6$ et $10$ ne se divisent pas, mais ont $2$ pour
diviseur commun.]]>
$a$ et $b$ sont tous deux impairs]]>
Contre-exemple : $9$ et $15$ sont impairs et ont $3$ pour diviseur
commun ; inversement $2$ et $3$ sont premiers entre eux.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q53 : Appliquer le théorème de Bézout
Existe-t-il des entiers $u$ et $v$ tels que $9u + 14v = 1$ ?]]>
Bézout : $\text{PGCD}(a\ ;\ b) = 1 \iff$ il existe $u$, $v$ entiers tels que
$au + bv = 1$. Si le PGCD vaut $d > 1$, toute combinaison $au + bv$ est un
multiple de $d$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, par exemple $u = -3$ et $v = 2$]]>
Bonne réponse : $\text{PGCD}(9\ ;\ 14) = 1$, donc un couple de Bézout existe ;
on vérifie $9 \times (-3) + 14 \times (2) = 1$.]]>
Non, car ni $9$ ni $14$ n'est un nombre premier]]>
Raisonnement faux : Être premiers entre eux ne demande pas d'être premiers : $\text{PGCD}(9\ ;\ 14) = 1$
suffit, d'après le théorème de Bézout.]]>
Non, car $9 + 14 \neq 1$]]>
Raisonnement faux : Les coefficients $u$ et $v$ sont libres : on ne demande pas $a + b = 1$,
mais une combinaison $au + bv = 1$.]]>
Non, car $u$ et $v$ devraient être des fractions]]>
Raisonnement faux : Des entiers conviennent : $9 \times (-3) + 14 \times (2) = 1$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q54 : Appliquer le théorème de Gauss
$x$ est un entier tel que $7$ divise $12x$. Que peut-on en déduire ?]]>
Théorème de Gauss : si $n$ divise $ab$ et si $n$ est premier avec $a$,
alors $n$ divise $b$. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », la
conclusion tombe : $6 \mid 4 \times 3$ sans que $6 \mid 3$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$ divise $x$]]>
Bonne réponse : $\text{PGCD}(7\ ;\ 12) = 1$, donc par le théorème
de Gauss, $7$ divise $x$.]]>
$x = 7$]]>
Trop précis : $x$ peut être n'importe quel multiple de $7$ (par
exemple $2 \times 7$).]]>
$7$ divise $12$]]>
Faux : $7$ ne divise pas $12$. C'est justement parce qu'ils sont
premiers entre eux que $7$ doit diviser l'autre facteur.]]>
On ne peut rien conclure sur $x$]]>
Le théorème de Gauss conclut ici : si $n \mid ab$ et
$\text{PGCD}(n\ ;\ a) = 1$, alors $n \mid b$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q55 : Trouver un couple de Bézout
Quel couple $(u\ ;\ v)$ d'entiers vérifie $7u + 4v = 1$ ?]]>
Un couple de Bézout se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide, ou,
pour de petits nombres, en cherchant $u$ tel que $au \equiv 1 \pmod b$. On
vérifie toujours en recalculant $au + bv$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(3\ ;\ -5)$]]>
Bonne réponse : $7 \times 3 + 4 \times (-5) = 21 + (-20) = 1$.]]>
$(-5\ ;\ 3)$]]>
Valeurs échangées : $7u + 4v$ vaut alors $-23$, pas $1$.]]>
$(3\ ;\ 5)$]]>
Signe de $v$ inversé : $7u + 4v$ vaut alors $41$.]]>
$(-3\ ;\ -5)$]]>
Signe de $u$ inversé : $7u + 4v$ vaut alors $-41$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q56 : Deux congruences simultanées
Quel est le plus petit entier naturel $x$ tel que $x \equiv 2 \pmod{3}$ et
$x \equiv 3 \pmod{5}$ ?]]>
Lemme chinois : si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, le système
$x \equiv r \pmod m$, $x \equiv s \pmod n$ a une solution unique modulo $mn$.
On la trouve en parcourant $r, r + m, r + 2m, \dots$]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : $8$ a pour reste $2$ modulo $3$ et $3$ modulo $5$. Les
solutions sont les $8 + 15k$, car $3$ et $5$ sont premiers entre eux.]]>
$2$]]>
Seule la première condition est remplie : modulo $5$, le reste de
$2$ vaut $2$.]]>
$3$]]>
Seule la seconde condition est remplie : modulo $3$, le reste de
$3$ vaut $0$.]]>
$23$]]>
C'est bien une solution, mais pas la plus petite : on peut
retirer $15$ et obtenir $8$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q57 : Déchiffrer un chiffrement affine
Les lettres sont numérotées de $0$ à $25$ et chiffrées par
$y \equiv 3x + 5 \pmod{26}$. Quelle formule permet de déchiffrer ?]]>
Un chiffrement affine $y \equiv ax + b \pmod{26}$ se déchiffre par
$x \equiv a'(y - b)$, où $a'$ est l'inverse de $a$ modulo $26$. Il n'existe
que si $a$ est premier avec $26$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \equiv 9(y - 5) \pmod{26}$]]>
Bonne réponse : $3x \equiv y - 5$, et $9$ est l'inverse de $3$ modulo $26$
($3 \times 9 = 27 \equiv 1$).]]>
$x \equiv 9y - 5 \pmod{26}$]]>
Ordre des opérations : on retire d'abord $5$, puis on multiplie
par l'inverse ; ici le $5$ n'est pas multiplié par $9$.]]>
$x \equiv 3(y - 5) \pmod{26}$]]>
Multiplier par $3$ chiffre une seconde fois : pour défaire la
multiplication par $3$, il faut son inverse modulo $26$.]]>
$x \equiv 23(y - 5) \pmod{26}$]]>
$23 \equiv -3$ est l'opposé de $3$ modulo $26$, pas son inverse :
$3 \times 23 \not\equiv 1 \pmod{26}$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q58 : Choisir une clé de chiffrement affine
On chiffre les lettres (numérotées de $0$ à $25$) par
$y \equiv ax + 3 \pmod{26}$. Pour quelle valeur de $a$ deux lettres
différentes donnent-elles toujours des lettres chiffrées différentes ?]]>
La clé $a$ d'un chiffrement affine doit être première avec $26$, c'est-à-dire
impaire et différente de $13$ modulo $26$ : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a = 7$]]>
Bonne réponse : $7$ est premier avec $26$, donc il a un inverse modulo $26$
et le chiffrement se déchiffre.]]>
$a = 13$]]>
$\text{PGCD}(13\ ;\ 26) = 13$ : les lettres $0$ et $2$ donnent la même
lettre chiffrée, car $13 \times 2 = 26 \equiv 0 \pmod{26}$.]]>
$a = 4$]]>
$\text{PGCD}(4\ ;\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même
lettre chiffrée, car $4 \times 13 = 52 \equiv 0 \pmod{26}$.]]>
$a = 2$]]>
$\text{PGCD}(2\ ;\ 26) = 2$ : les lettres $0$ et $13$ donnent la même
lettre chiffrée, car $2 \times 13 = 26 \equiv 0 \pmod{26}$.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q59 : Calculer une clé privée RSA
Dans un système RSA, $n = 3 \times 11 = 33$ et la clé publique est $e = 7$.
La clé privée $d$ vérifie $ed \equiv 1 \pmod{(p - 1)(q - 1)}$. Que vaut $d$
(entre $1$ et $20$) ?]]>
RSA : on chiffre par $c \equiv m^e \pmod n$ et l'on déchiffre par
$m \equiv c^d \pmod n$, avec $ed \equiv 1 \pmod{(p-1)(q-1)}$. La sécurité
repose sur la difficulté de factoriser $n$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$d = 3$]]>
Bonne réponse : $(p - 1)(q - 1) = 2 \times 10 = 20$ et
$7 \times 3 = 21 \equiv 1 \pmod{20}$.]]>
$d = 19$]]>
C'est l'inverse de $7$ modulo $n = 33$ ; la clé privée est l'inverse
modulo $(p - 1)(q - 1) = 20$.]]>
$d = 13$]]>
$20 - 7$ est l'opposé de $e$ modulo $20$ : $ed$ serait alors
congru à $-7^2$, pas à $1$.]]>
$d = 7$]]>
Clé publique recopiée : $7 \times 7 \not\equiv 1 \pmod{20}$ ici.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q60 : Chiffrer une lettre
Les lettres sont numérotées de $0$ ($A$) à $25$ ($Z$) et chiffrées par
$y \equiv 3x + 5 \pmod{26}$, avec $0 \leq y \leq 25$. Quel est le nombre $y$
associé à $x = 6$ ?]]>
Chiffrer : calculer $ax + b$, puis prendre le reste modulo $26$. Le
résultat est toujours un entier entre $0$ et $25$, donc une lettre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$y = 23$]]>
Bonne réponse : $3 \times 6 + 5 = 23$, dont le reste dans la
division par $26$ vaut $23$.]]>
$y = 18$]]>
Le décalage $+5$ a été oublié : on calcule $3x + 5$ avant de
réduire modulo $26$.]]>
$y = 7$]]>
Parenthèses mal placées : la formule est $3x + 5$, et non
$3(x + 5)$.]]>
$y = 11$]]>
Seul le décalage a été appliqué : la multiplication par $3$
manque.]]>
Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers — Q61 : Clé de contrôle modulo $11$
Un code ISBN-10 $a_1a_2\dots a_{10}$ vérifie
$10a_1 + 9a_2 + \dots + 2a_9 + a_{10} \equiv 0 \pmod{11}$. Pourquoi une erreur
sur un seul chiffre est-elle toujours détectée ?]]>
Les clés de contrôle (ISBN, RIB, numéro INSEE) reposent sur une
congruence. Un module premier rend tous les poids inversibles, ce qui
garantit la détection d'une erreur sur un chiffre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une erreur $\delta$ sur $a_k$ change la somme de $c\,\delta$, non multiple de $11$]]>
Bonne réponse : si $a_k$ change de $\delta \neq 0$, la somme change de $c\,\delta$ ;
$11$ est premier et ne divise ni le poids $c$
(entre $1$ et $10$) ni $\delta$ (entre $-10$ et $10$), donc il ne divise
pas $c\,\delta$ : la somme n'est plus multiple de $11$.]]>
Parce que la somme pondérée obtenue est toujours paire]]>
Rien n'impose la parité de la somme ; la détection repose sur la
divisibilité par $11$.]]>
Parce que chaque chiffre du code est inférieur à $11$]]>
C'est nécessaire, mais insuffisant : avec des poids multiples de
$11$, une erreur passerait inaperçue. Il faut que $11$ soit premier
avec chaque poids et chaque écart.]]>
Parce qu'une erreur change toujours le dernier chiffre $a_{10}$]]>
L'erreur peut porter sur n'importe quel chiffre ; c'est la somme
pondérée qui la révèle, pas le dernier chiffre seul.]]>