$course$/QCM de maths/Maths expertes/Nombres complexes : point de vue algébrique
L'ensemble $\mathbb{C}$, partie réelle et partie imaginaire,
opérations, conjugaison et propriétés algébriques, inverse d'un
nombre complexe non nul, équations $az = b$ et équations
simples faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$, formule du binôme.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q01 : Le nombre $i$
Quelle égalité définit le nombre $i$ ?]]>
$\mathbb{C}$ est construit en adjoignant à $\mathbb{R}$ un
nombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ; tout complexe s'écrit alors
$z = a + ib$ ($a, b$ réels). Puissances utiles : $i^3 = -i$,
$i^4 = 1$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$i^2 = -1$]]>
Bonne réponse : $i$ est introduit comme un nombre dont le
carré vaut $-1$ : la clé qui ouvre la résolution de
toutes les équations du second degré.]]>
$i = \sqrt{-1}$, avec les règles usuelles des racines]]>
Piège d'écriture : la notation $\sqrt{\ }$ est réservée
aux réels positifs ; l'utiliser avec $-1$ mène à des
absurdités ($1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} =
i \times i = -1$ ?!). On dit : $i^2 = -1$.]]>
$i = -1$]]>
Erreur : $(-1)^2 = 1 \neq -1$. Le nombre $i$ n'est pas
réel : c'est son carré qui vaut $-1$.]]>
$i^2 = 1$]]>
Erreur : les nombres de carré $1$ sont $1$ et $-1$, déjà
réels. La nouveauté de $i$ : $i^2 = -1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q02 : Parties réelle et imaginaire
Soit $z = 3 - 5i$. Que valent la partie réelle et la partie
imaginaire de $z$ ?]]>
Forme algébrique $z = a + ib$ : $\text{Re}(z) = a$,
$\text{Im}(z) = b$, tous deux réels. Deux complexes sont
égaux si et seulement si leurs parties réelles et
imaginaires coïncident.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -5$]]>
Bonne réponse : dans $z = a + ib$, la partie imaginaire
est le réel $b$ (ici $-5$), sans le facteur $i$.]]>
$\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -5i$]]>
Erreur de convention : la partie imaginaire est un
nombre réel (le coefficient de $i$), pas $-5i$.]]>
$\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = 5$]]>
Erreur de signe : $z = 3 + (-5)i$ : le coefficient de
$i$ est $-5$.]]>
$\text{Re}(z) = -5$ et $\text{Im}(z) = 3$]]>
Rôles échangés : la partie réelle est le terme sans
$i$ ($3$).]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q03 : Produit de deux complexes
Que vaut le produit $(2 + i)(3 - 2i)$ ?]]>
Les opérations dans $\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,
avec $i^2 = -1$ : $(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8 - i$]]>
Bonne réponse : en développant, la partie réelle vaut
$6 - (-2) = 8$ (car $i^2 = -1$) et la partie
imaginaire $-4 + 3 = -1$.]]>
$6 - 2i$]]>
Erreur : produit des seules parties réelles et des seules
parties imaginaires. On développe entièrement (double
distribution), avec $i^2 = -1$.]]>
$4 - i$]]>
Erreur de signe sur $i^2$ : le produit des parties
imaginaires donne $(-2)\,i^2$, qu'il faut retrancher
à la partie réelle.]]>
$8 + i$]]>
Erreur de signe sur la partie imaginaire : elle vaut
$-4 + 3 = -1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q04 : Conjugué d'un nombre complexe
Quel est le conjugué de $z = 4 + 3i$ ?]]>
$\overline{a + ib} = a - ib$. Propriétés (démonstrations au
programme) : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$,
$\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$, et
$z\bar{z} = a^2 + b^2$, réel positif : l'outil des
divisions.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\bar{z} = 4 - 3i$]]>
Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie
imaginaire seulement (symétrie par rapport à l'axe
réel).]]>
$\bar{z} = -4 - 3i$]]>
Erreur : c'est l'opposé $-z$. Le conjugué ne touche
pas la partie réelle.]]>
$\bar{z} = -4 + 3i$]]>
Erreur : le signe a changé du mauvais côté : conjuguer
agit sur le terme en $i$.]]>
$\bar{z} = 3 + 4i$]]>
Erreur : aucune permutation des parties : seul le signe
de la partie imaginaire bascule.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q05 : Inverse d'un complexe
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{1}{1 + 2i}$ ?]]>
Méthode systématique : $\dfrac{1}{z} =
\dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}$, le dénominateur $z\bar{z} =
a^2 + b^2$ étant réel. Ici : $\frac{1-2i}{5}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}i$]]>
Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le
conjugué : $\dfrac{1 - 2i}{(1+2i)(1-2i)} =
\dfrac{1 - 2i}{1 + 4} = \dfrac{1 - 2i}{5}$.]]>
$1 - 2i$]]>
Incomplet : le conjugué seul n'est pas l'inverse : il
faut diviser par $z\bar{z} = 5$.]]>
$\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2i}$]]>
Erreur : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des
inverses (déjà faux chez les réels !).]]>
$\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}i$]]>
Erreur de signe : le numérateur est le conjugué
$1 - 2i$ : la partie imaginaire de l'inverse est
négative.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q06 : Équation linéaire $az = b$
Quelle est la solution de l'équation $(1 + i)z = 4$ ?]]>
$az = b \Rightarrow z = \dfrac{b}{a}$, calculé par le
conjugué. Toujours vérifier : $(1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i +
2 = 4$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 2 - 2i$]]>
Bonne réponse : $z = \dfrac{4}{1+i} = \dfrac{4(1-i)}
{(1+i)(1-i)} = \dfrac{4(1-i)}{2} = 2(1 - i)$.]]>
$z = 4 - i$]]>
Erreur : on ne « soustrait » pas le coefficient : on
divise par $1 + i$ (via le conjugué).]]>
$z = 2 + 2i$]]>
Erreur de signe : le conjugué du dénominateur est
$1 - i$, qui transmet son signe : $z = 2 - 2i$.
(Contrôle : $(1+i)(2+2i) = 4i \neq 4$.)]]>
$z = 4(1 + i)$]]>
Erreur : multiplier par $1 + i$ au lieu de diviser.
Contrôle : $(1+i) \times 4(1+i) = 4(1+i)^2 = 8i \neq 4$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q07 : Équation avec $z$ et $\bar{z}$
Quelles sont les solutions de l'équation $z + \bar{z} = 6$ ?]]>
Méthode : poser $z = x + iy$ et identifier.
$z + \bar{z} = 2x$ et $z - \bar{z} = 2iy$ : les équations en
$z$, $\bar{z}$ se traduisent en conditions sur $x$ et $y$.
Ici, l'ensemble des solutions est la droite verticale
d'équation $x = 3$ du plan complexe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tous les complexes de partie réelle $3$]]>
Bonne réponse : avec $z = x + iy$ : $z + \bar{z} = 2x =
6$, donc $x = 3$, et $y$ reste libre : une droite de
solutions, la droite verticale d'équation $x = 3$ du plan
complexe.]]>
Uniquement le nombre réel $z = 3$]]>
Incomplet : $3 + 4i$ convient aussi ($z + \bar{z} = 6$).
La partie imaginaire disparaît dans la somme : elle est
libre.]]>
Uniquement le nombre réel $z = 6$]]>
Erreur : $6 + \bar{6} = 12 \neq 6$. La somme
$z + \bar{z}$ vaut $2\,\text{Re}(z)$ : on résout
$2x = 6$.]]>
Aucun nombre complexe ne vérifie cette équation]]>
Erreur : tout $z = 3 + iy$ convient : une infinité de
solutions.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q08 : Conjugué d'un produit
Pour tous complexes $z$ et $z'$, que vaut $\overline{z\,z'}$ ?]]>
Propriétés de la conjugaison : $\overline{z + z'} = \bar{z} +
\bar{z'}$, $\overline{zz'} = \bar{z}\bar{z'}$,
$\overline{z^n} = \bar{z}^n$, $\overline{1/z} = 1/\bar{z}$ :
elle commute avec toutes les opérations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\bar{z} \times \bar{z'}$]]>
Bonne réponse : la conjugaison respecte les produits
(démonstration au programme) : conjuguer avant ou après
multiplication revient au même.]]>
$\bar{z} + \bar{z'}$]]>
Erreur : la somme des conjugués est le conjugué de la
somme, pas du produit.]]>
$\bar{z} \times z'$]]>
Erreur : la conjugaison porte sur tout le produit,
donc sur chacun des deux facteurs ; ne conjuguer que $z$
ne donne le bon résultat que si $z'$ est réel.]]>
$-\bar{z} \times \bar{z'}$]]>
Erreur : conjuguer n'introduit aucun signe moins global
(seule la partie imaginaire bascule) ; le conjugué d'un
produit est le produit des conjugués, sans opposé.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q09 : Formule du binôme dans $\mathbb{C}$
Que vaut $(1 + i)^2$, et qu'en déduit-on pour
$(1 + i)^4$ ?]]>
La formule du binôme vaut dans $\mathbb{C}$ (démonstration au
programme). $(1+i)^2 = 2i$ et $(1+i)^4 = -4$ : exemple
fétiche, à retrouver plus tard par la forme exponentielle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$]]>
Bonne réponse : $1 + 2i + i^2 = 2i$, puis $(2i)^2 =
4i^2 = -4$ : les puissances se calculent par étages.]]>
$(1+i)^2 = 2$, donc $(1+i)^4 = 4$]]>
Erreur : le double produit $2i$ ne disparaît pas :
$(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ (imaginaire pur).]]>
$(1+i)^2 = 1 + i^2 = 0$]]>
Erreur classique : le carré d'une somme exige le double
produit : $1 + 2i + i^2 = 2i \neq 0$.]]>
$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = 4i$]]>
Erreur à la deuxième étape : $(2i)^2 = 4i^2 = -4$, réel
négatif ($i^2 = -1$ frappe encore).]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q10 : Le produit $z\bar{z}$
Soit $z = a + ib$ (avec $a$, $b$ réels). Que vaut
$z\,\bar{z}$ ?]]>
$z\bar{z} = a^2 + b^2$ : toujours réel positif, nul
seulement pour $z = 0$. C'est le carré du module
($|z|^2 = z\bar{z}$, exploité au chapitre géométrique).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a^2 + b^2$]]>
Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 +
b^2$, un réel positif : l'identité remarquable qui rend
les dénominateurs réels.]]>
$a^2 - b^2$]]>
Erreur de signe : $-(ib)^2 = -i^2b^2 = +b^2$ : le
$i^2 = -1$ retourne le signe.]]>
$a^2 + b^2\,i$]]>
Erreur : les termes croisés $-iab + iab$ s'annulent :
le produit est réel.]]>
$2a$]]>
Confusion : $2a = z + \bar{z}$ (la somme). Le
produit donne $a^2 + b^2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q11 : Caractériser les réels par la conjugaison
Soit $z$ un nombre complexe. Que signifie l'égalité
$\bar{z} = z$ ?]]>
Caractérisations utiles : $z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow
\bar{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $\Leftrightarrow \bar{z} =
-z$. Elles transforment des questions de nature en équations.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z$ est un nombre réel]]>
Bonne réponse : $\bar{z} = z \Leftrightarrow -b = b
\Leftrightarrow b = 0$ : la partie imaginaire est nulle.
(De même : $\bar{z} = -z \Leftrightarrow z$ imaginaire
pur.)]]>
$z$ est un imaginaire pur]]>
Inversé : l'imaginaire pur vérifie $\bar{z} = -z$
(partie réelle nulle).]]>
$z = 0$]]>
Trop restrictif : tout réel ($7$, $-3$, $\pi$…) est égal
à son conjugué.]]>
$z = 1$]]>
Trop restrictif : la propriété caractérise tous les
réels, pas seulement $1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q12 : Puissances de $i$
Que vaut $i^{2026}$ ?]]>
Cycle des puissances : $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$,
$i^4 = 1$, puis répétition. Calculer $i^n$ : réduire $n$
modulo $4$ (un avant-goût des congruences du chapitre
d'arithmétique).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1$]]>
Bonne réponse : les puissances de $i$ tournent avec une
période $4$ ($i, -1, -i, 1$) ; $2026 = 4 \times 506 + 2$,
donc $i^{2026} = i^2 = -1$.]]>
$1$]]>
Erreur : $i^n = 1$ exige $n$ multiple de $4$ ; or
$2026 \equiv 2 \pmod 4$.]]>
$i$]]>
Erreur : $i^n = i$ correspond à $n \equiv 1 \pmod 4$ ;
le reste de $2026$ est $2$.]]>
$-i$]]>
Erreur : $-i$ correspond au reste $3$. Ici $2026 = 4
\times 506 + 2$ : $i^{2026} = -1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q13 : Somme de deux complexes
Que vaut la somme $(3 + 2i) + (1 - 5i)$ ?]]>
Addition composante par composante, comme des vecteurs :
$(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$. La structure la
plus simple du chapitre : la géométrie dira « translation ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4 - 3i$]]>
Bonne réponse : parties réelles ensemble ($3 + 1$),
parties imaginaires ensemble ($2 - 5$).]]>
$4 + 7i$]]>
Signe : $2i + (-5i) = -3i$ : le moins de $5i$ compte.]]>
$-1 + 7i$]]>
Mélange : les parties réelles s'ajoutent entre elles
($3 + 1 = 4$), sans croiser les imaginaires.]]>
$9i$]]>
Erreur : réels et imaginaires ne fusionnent pas : la
somme garde deux composantes : $4$ et $-3i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q14 : Identifier parties réelles et imaginaires
$x$ et $y$ sont des réels tels que $x + 2i = 3 + yi$. Que
valent $x$ et $y$ ?]]>
Identification : $a + ib = c + id \iff a = c$ et $b = d$
($a, b, c, d$ réels). Une égalité complexe se dédouble en
deux égalités réelles : l'outil des équations à
coefficients inconnus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 3$ et $y = 2$]]>
Bonne réponse : deux complexes sont égaux si et
seulement si leurs parties réelles ET imaginaires
coïncident : $x = 3$, $2 = y$.]]>
$x = 2$ et $y = 3$]]>
Croisement : $x$ (réel) s'identifie à $3$ (réel), et le
coefficient $2$ de $i$ à $y$.]]>
Impossible : une équation ne détermine pas deux
inconnues]]>
Erreur : une équation COMPLEXE vaut DEUX équations
réelles (une par partie) : exactement de quoi trouver
$x$ et $y$.]]>
$x = 3 + yi - 2i$, on ne peut pas mieux]]>
Erreur : $x$ est RÉEL par hypothèse : sa partie
imaginaire est nulle, ce qui force $y = 2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q15 : Quotient de deux complexes
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{2 + i}{1 - i}$ ?]]>
Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui
rend celui-ci réel ($z\bar{z} = |z|^2$). Contrôle : multiplier le
résultat par le dénominateur redonne le numérateur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1 + 3i}{2}$]]>
Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le conjugué
$1 + i$ : numérateur $(2 + i)(1 + i) = 1 + 3i$,
dénominateur $1 + 1 = 2$.]]>
$2 - i$]]>
Erreur : diviser partie par partie n'existe pas : la méthode
passe par le conjugué du dénominateur.]]>
$\dfrac{3 + 3i}{2}$]]>
Développement du numérateur : le terme en $i^2$ vaut $-1$
fois le produit des parties imaginaires, il change de signe.]]>
$\dfrac{1 + 3i}{0}$]]>
Dénominateur : $(1 - i)(1 + i) = 1 + 1 = 2$ ;
$i^2 = -1$ transforme la différence en somme : c'est $|1 - i|^2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q16 : La différence $z - \bar{z}$
Pour $z = a + ib$, que vaut $z - \bar{z}$ ?]]>
Les deux extracteurs : $z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)$ et
$z - \bar{z} = 2i\,\text{Im}(z)$ : somme pour le réel,
différence pour l'imaginaire. Ils transforment les équations
en $z, \bar{z}$ en systèmes réels.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2ib$]]>
Bonne réponse : $(a + ib) - (a - ib) = 2ib$ : la partie
réelle s'annule, la partie imaginaire double : le résultat
est un imaginaire pur.]]>
$2a$]]>
Confusion avec la somme : $z + \bar{z} = 2a$, un réel :
la différence, elle, isole l'imaginaire.]]>
$0$]]>
Erreur : $z - \bar{z} = 0$ seulement si $z$ est réel
($b = 0$) : en général, il reste $2ib$.]]>
$2b$]]>
Le $i$ perdu : la différence vaut $2ib$, imaginaire
pur : $2b$ serait un réel.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q17 : Racines carrées d'un réel négatif
Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -9$ ?]]>
$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\pm i\sqrt{k}$ : la
brique des trinômes à discriminant négatif (les solutions font alors intervenir $\pm i\sqrt{|\Delta|}$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 3i$ et $z = -3i$]]>
Bonne réponse : $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ et $(-3i)^2 = -9$ :
les « racines carrées » de $-9$ sont imaginaires pures,
conjuguées l'une de l'autre.]]>
$z = -3$ seulement]]>
Erreur : $(-3)^2 = +9 \neq -9$ : aucun réel n'a de carré
négatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire.]]>
$z = 3i$ seulement]]>
Moitié : $(-3i)^2 = -9$ aussi : une équation de degré
$2$ garde ses deux racines dans $\mathbb{C}$.]]>
Aucune : un carré est toujours positif]]>
Réflexe réel périmé : dans $\mathbb{C}$, tout nombre a
des racines carrées : c'est la raison d'être de $i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q18 : Calculer $(1 + i)^3$
Que vaut $(1 + i)^3$ ?]]>
Stratégie des puissances : passer par le carré ($(1+i)^2 =
2i$, à connaître) puis multiplier. Contrôle par le module :
$|1+i|^3 = (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} = |-2 + 2i|$ ✓.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-2 + 2i$]]>
Bonne réponse : $(1+i)^2 = 2i$, puis $(1+i)^3 = 2i(1 +
i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$ : par étages, jamais en force.]]>
$1 + i^3 = 1 - i$]]>
Cube distribué à tort : $(a + b)^3 \neq a^3 + b^3$ : le
binôme complet (ou le calcul par étages) est
obligatoire.]]>
$2 + 2i$]]>
Signe : $2i \times i = 2i^2 = -2$ : la partie réelle
est négative.]]>
$3 + 3i$]]>
Erreur : multiplier par $3$ n'est pas élever au cube :
$(1+i)^3$ se calcule via $(1+i)^2 = 2i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q19 : Conjugué d'une somme
À quoi $\overline{z + z'}$ est-il égal ?]]>
La conjugaison est compatible avec toutes les opérations : somme, produit,
quotient et puissance. Elle laisse fixes exactement les nombres réels.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\bar{z} + \bar{z'}$]]>
Bonne réponse : la conjugaison change le signe de la partie imaginaire,
terme par terme.]]>
$\bar{z} - \bar{z'}$]]>
Signe inventé : la conjugaison ne transforme pas une somme en
différence.]]>
$\overline{z} \times \overline{z'}$]]>
Opération changée : c'est pour un produit que l'on obtient un produit
de conjugués.]]>
$z + z'$]]>
La conjugaison ne laisse invariants que les nombres réels.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q20 : Forme algébrique d'un quotient
Quelle est la forme algébrique de $\dfrac{1}{2 - i}$ ?]]>
Pour obtenir la forme algébrique d'un quotient, on multiplie numérateur et
dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui devient alors réel.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5}i$]]>
Bonne réponse : on multiplie haut et bas par $2 + i$, et le
dénominateur devient $5$.]]>
$\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5}i$]]>
Signe de la partie imaginaire : multiplier par le conjugué donne
$2 + i$ au numérateur.]]>
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{i}$]]>
Termes traités séparément : l'inverse d'une différence n'est pas la
différence des inverses, et $\dfrac{1}{i}$ vaut $-i$.]]>
$2 + i$]]>
Conjugué recopié : il sert au calcul, mais le dénominateur $5$ reste à
appliquer.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q21 : Un imaginaire pur
Quelle condition caractérise un nombre complexe imaginaire pur ?]]>
Un complexe est réel lorsque $z = \bar{z}$, et imaginaire pur lorsque
$z = -\bar{z}$. Dans le plan, ces deux cas correspondent aux deux axes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Sa partie réelle est nulle]]>
Bonne réponse : il s'écrit alors $ib$ avec $b$ réel.]]>
Sa partie imaginaire est nulle]]>
Cette condition caractérise au contraire les nombres réels.]]>
Son module est nul]]>
Un module nul caractérise le seul nombre $0$.]]>
Il est égal à son conjugué]]>
Cette égalité caractérise les réels ; un imaginaire pur est l'opposé de
son conjugué.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q22 : Une équation avec le conjugué
Quelle est la solution de $2z + \bar{z} = 6 + i$ ?]]>
Une équation mêlant $z$ et $\bar{z}$ se résout en posant $z = x + iy$,
puis en identifiant parties réelle et imaginaire des deux membres.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 2 + i$]]>
Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on obtient $3x = 6$ et
$y = 1$.]]>
$z = 2 - i$]]>
Signe de la partie imaginaire : le calcul donne $y = 1$, car
$2iy - iy$ vaut $iy$.]]>
$z = 3 + i$]]>
Partie réelle fausse : les deux termes en $x$ s'ajoutent, d'où
$3x = 6$.]]>
$z = 6 + i$]]>
Second membre recopié : il reste à résoudre le système obtenu.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q23 : Calculer $i^{2026}$
Combien vaut $i^{2026}$ ?]]>
Les puissances de $i$ se répètent de quatre en quatre : $i$, $-1$, $-i$,
$1$. Il suffit donc de calculer le reste de l'exposant dans la division par
$4$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1$]]>
Bonne réponse : $2026 = 4 \times 506 + 2$, donc la puissance vaut
$i^2$.]]>
$1$]]>
Reste faux : la valeur $1$ correspond à un exposant multiple de $4$.]]>
$i$]]>
Reste faux : la valeur $i$ correspond à un reste de $1$ dans la
division par $4$.]]>
$-i$]]>
Reste faux : la valeur $-i$ correspond à un reste de $3$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q24 : Développer le carré d'un complexe
Quelle est la forme algébrique de $(2 + 3i)^2$ ?]]>
Les identités remarquables valent dans $\mathbb{C}$ comme dans
$\mathbb{R}$. La seule différence est la simplification $i^2 = -1$ à la
fin du calcul.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-5 + 12i$]]>
Bonne réponse : $4 + 12i + 9i^2$, et $9i^2$ vaut $-9$.]]>
$13 + 12i$]]>
Carré de $i$ oublié : $9i^2$ vaut $-9$, pas $+9$.]]>
$4 + 9i$]]>
Double produit oublié : l'identité remarquable comporte trois termes.]]>
$-5 + 6i$]]>
Double produit mal calculé : le facteur $2$ manque, il vaut $12i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q25 : Calculer le produit $z\bar{z}$
Pour $z = 3 - 4i$, que vaut $z\bar{z}$ ?]]>
Pour tout complexe $z = a + ib$, le produit $z\bar{z}$ vaut $a^2 + b^2$,
c'est-à-dire $|z|^2$. C'est ce qui permet de rationaliser un quotient.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$25$]]>
Bonne réponse : le produit vaut $9 + 16$, soit le carré du module.]]>
$-7$]]>
Carré développé sans conjugaison : $(3 - 4i)^2$ vaut $-7 - 24i$.]]>
$5$]]>
Module recopié : le produit $z\bar{z}$ vaut le carré du module.]]>
$25i$]]>
Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un réel positif.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q26 : Identifier deux complexes
Quelle condition traduit l'égalité de deux nombres complexes ?]]>
L'unicité de la forme algébrique transforme une équation complexe en un
système de deux équations réelles. C'est la méthode d'identification.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Mêmes parties réelles et imaginaires]]>
Bonne réponse : l'écriture algébrique est unique, ce qui fournit deux
équations réelles.]]>
Mêmes modules, quels que soient les arguments]]>
Deux complexes de même module peuvent différer, par exemple $1$ et
$-1$.]]>
Mêmes arguments, quels que soient les modules]]>
Deux complexes de même argument peuvent différer par leur module,
comme $1$ et $2$.]]>
Mêmes conjugués et mêmes modules]]>
L'égalité des conjugués suffit à elle seule, la condition sur les
modules est redondante.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q27 : Résoudre $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif
Quelles sont les solutions de $z^2 = -16$ dans $\mathbb{C}$ ?]]>
Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^2 = a$ avec $a$ réel négatif admet deux
solutions imaginaires pures opposées, $\pm i\sqrt{-a}$. C'est l'extension
qui motive l'introduction de $i$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4\,i$ et $-4\,i$]]>
Bonne réponse : $\left(4\,i\right)^2 = 16\,i^2 = -16$, et l'opposé convient aussi.]]>
$4$ et $-4$]]>
Carré positif : $\left(4\right)^2$ vaut $16$, pas $-16$.]]>
$16i$ seulement]]>
Racine mal prise, et la solution opposée est oubliée :
$(16i)^2$ vaut $-256$.]]>
Aucune solution]]>
Dans $\mathbb{C}$, toute équation de ce type admet deux solutions
opposées.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q28 : Un complexe réel
Quelle condition sur $z$ traduit que $z$ est un nombre réel ?]]>
Un complexe est réel si et seulement s'il est égal à son conjugué, et
imaginaire pur si et seulement s'il est l'opposé de son conjugué. Ces deux
critères évitent de passer par les parties réelle et imaginaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = \bar{z}$]]>
Bonne réponse : la partie imaginaire est alors son propre opposé, donc
nulle.]]>
$z = -\bar{z}$]]>
Cette condition caractérise les imaginaires purs.]]>
$|z| = 1$]]>
Cette condition décrit le cercle unité, qui contient des complexes non
réels.]]>
$z\bar{z} = 1$]]>
Cette égalité équivaut à $|z| = 1$, ce qui ne caractérise pas les
réels.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q29 : Une somme de puissances
Combien vaut $1 + i + i^2 + i^3$ ?]]>
La somme de quatre puissances consécutives de $i$ est toujours nulle,
puisque le cycle $i$, $-1$, $-i$, $1$ se compense exactement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Bonne réponse : $1 + i - 1 - i$ se simplifie entièrement.]]>
$1$]]>
Termes mal simplifiés : $i^2$ vaut $-1$ et $i^3$ vaut $-i$.]]>
$2i$]]>
Signes ignorés : les deux termes imaginaires sont opposés.]]>
$2$]]>
Même remarque pour les termes réels : $1$ et $-1$ se compensent.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q30 : Conjugué d'un quotient
À quoi $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}$ est-il égal, pour
$z'$ non nul ?]]>
La conjugaison est compatible avec les quatre opérations. Elle se comporte
donc comme un changement de signe global de la partie imaginaire, appliqué
terme à terme.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}$]]>
Bonne réponse : la conjugaison passe au numérateur comme au
dénominateur.]]>
$\dfrac{\bar{z'}}{\bar{z}}$]]>
Quotient inversé : la conjugaison ne permute pas les deux termes.]]>
$\dfrac{z}{\bar{z'}}$]]>
Conjugaison incomplète : elle s'applique aux deux nombres.]]>
$\overline{z} \times \overline{z'}$]]>
Opération changée : un quotient reste un quotient après conjugaison.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q31 : Différence de deux complexes
Que vaut la différence $(5 + 3i) - (2 + 7i)$ ?]]>
La soustraction se fait composante par composante :
$(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)$. Le signe moins se
distribue sur la partie réelle comme sur la partie imaginaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3 - 4i$]]>
Bonne réponse : les parties réelles se retranchent entre
elles ($5 - 2 = 3$) et les parties imaginaires de
même ($3 - 7 = -4$).]]>
$7 + 10i$]]>
Addition au lieu de soustraction : le signe moins porte
sur les deux parties du second nombre, d'où
$3 - 4i$.]]>
$3 + 10i$]]>
Signe oublié sur la partie imaginaire : c'est le nombre
entier qui est retranché, donc $3 - 7 = -4$.]]>
$-4 + 3i$]]>
Rôles échangés : la partie réelle reste réelle ($3$),
et $-4$ est le coefficient de $i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q32 : Produit par un nombre réel
Quelle est la forme algébrique de $3(2 - 5i)$ ?]]>
Multiplier par un réel $k$ revient à multiplier les deux
parties : $k(a + ib) = ka + ikb$. Dans le plan, c'est
l'agrandissement de rapport $k$ de centre l'origine.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6 - 15i$]]>
Bonne réponse : le facteur $3$ multiplie les deux
parties : $3 \times 2 = 6$ et
$3 \times -5 = -15$.]]>
$6 - 5i$]]>
Partie imaginaire laissée de côté : $3$ multiplie
aussi le coefficient de $i$, qui devient $-15$.]]>
$2 - 15i$]]>
Partie réelle laissée de côté : $3$ multiplie aussi le
terme constant, qui devient $6$.]]>
$5 - 15i$]]>
Addition au lieu de multiplication sur la partie réelle :
$3 \times 2 = 6$, et non $3 + 2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q33 : L'inverse de $i$
Que vaut $\dfrac{1}{i}$ ?]]>
Diviser par $i$ revient à multiplier par $\dfrac{1}{i} = -i$.
À retenir avec le cycle des puissances : $i^{-1} = i^3 = -i$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-i$]]>
Bonne réponse : on multiplie haut et bas par $i$, ce qui
donne $\dfrac{i}{i^2} = \dfrac{i}{-1} = -i$. Contrôle :
$i \times (-i) = -i^2 = 1$.]]>
$i$]]>
Signe oublié : le dénominateur devient $i^2 = -1$, qui
retourne le signe. Contrôle : $i \times i = -1 \neq 1$.]]>
$1$]]>
Erreur : $i \times 1 = i$, et non $1$ : l'inverse de $i$
n'est pas un nombre réel.]]>
$-1$]]>
Erreur : $i \times (-1) = -i$, et non $1$ : il manque un
facteur $i$ pour revenir à l'unité.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q34 : Conjuguer deux fois
Pour tout nombre complexe $z$, que vaut
$\overline{\left(\bar{z}\right)}$ ?]]>
La conjugaison appliquée deux fois redonne le nombre de
départ : $\overline{\bar{z}} = z$. Géométriquement, deux
symétries d'axe l'axe des réels se compensent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z$]]>
Bonne réponse : conjuguer change le signe de la partie
imaginaire ; le faire une seconde fois le rétablit, donc
on retrouve $z$.]]>
$\bar{z}$]]>
Deuxième conjugaison ignorée : elle agit elle aussi, et
ramène au nombre de départ.]]>
$-z$]]>
Erreur : la conjugaison ne touche jamais à la partie
réelle, le résultat n'est donc pas l'opposé.]]>
$|z|$]]>
Confusion : le module est un réel positif, alors que la
conjugaison rend un nombre complexe.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q35 : Calculer $z - \bar{z}$
Soit $z = 5 - 3i$. Que vaut $z - \bar{z}$ ?]]>
Pour $z = a + ib$ : $z - \bar{z} = 2ib$, imaginaire pur, et
$z + \bar{z} = 2a$, réel. Ces deux différences extraient les
parties imaginaire et réelle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-6i$]]>
Bonne réponse : $\bar{z} = 5 + 3i$, les parties
réelles s'annulent et il reste $2ib$ avec $b = -3$,
soit $-6i$.]]>
$10$]]>
Confusion avec la somme : $z + \bar{z} = 10$, un
réel. La différence, elle, efface la partie réelle.]]>
$-6$]]>
Facteur $i$ perdu : la différence vaut $-6i$, un
imaginaire pur, et non un nombre réel.]]>
$6i$]]>
Signe inversé : $6i$ est la valeur de
$\bar{z} - z$ ; ici c'est $\bar{z}$ qui est retranché.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q36 : Nature du produit $z\bar{z}$
Soit $z$ un nombre complexe quelconque. Quelle est la nature
du nombre $z\bar{z}$ ?]]>
$z\bar{z} = a^2 + b^2$ : toujours réel positif ou nul. C'est
le carré du module, ce qui explique son rôle pour rendre réel
le dénominateur d'un quotient.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un réel positif ou nul]]>
Bonne réponse : $z\bar{z} = a^2 + b^2$, somme de deux
carrés, nulle uniquement lorsque $z = 0$.]]>
Un réel de signe quelconque]]>
Erreur : une somme de deux carrés de réels ne peut pas
être négative.]]>
Un imaginaire pur]]>
Erreur : les termes en $i$ se compensent dans le produit,
qui est toujours réel.]]>
Un complexe non réel en général]]>
Erreur : le calcul donne $a^2 + b^2$, sans aucun terme
en $i$, quel que soit $z$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q37 : Les réels parmi les complexes
Quelle affirmation décrit correctement le lien entre
$\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ ?]]>
$\mathbb{C}$ prolonge $\mathbb{R}$ : tout réel $a$ s'écrit
$a + 0i$. Les opérations de $\mathbb{R}$ y gardent leurs
règles, seule la relation d'ordre disparaît.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Tout réel est un complexe de partie imaginaire nulle]]>
Bonne réponse : $a = a + 0i$, donc $\mathbb{R}$ est
contenu dans $\mathbb{C}$.]]>
Tout complexe est en fait un réel de partie imaginaire
nulle]]>
Inclusion inversée : $2 + 3i$ est un complexe qui n'est
pas un réel.]]>
Les deux ensembles n'ont que le nombre $0$ en commun]]>
Erreur : tous les réels sont des complexes, pas seulement
le nombre $0$.]]>
Un réel est un complexe seulement s'il est positif]]>
Erreur : le signe ne joue aucun rôle, $-7$ est un
complexe comme les autres.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q38 : Une égalité à zéro
Les réels $x$ et $y$ vérifient
$(x - 3) + (y + 2)i = 0$. Que valent $x$ et $y$ ?]]>
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle
et sa partie imaginaire sont nulles. Une équation complexe
équivaut donc à deux équations réelles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 3$ et $y = -2$]]>
Bonne réponse : un complexe est nul lorsque ses deux
parties le sont, d'où $x - 3 = 0$ et
$y + 2 = 0$.]]>
$x = -3$ et $y = 2$]]>
Signes recopiés : on résout $x - 3 = 0$, ce qui
donne $x = 3$, et de même $y = -2$.]]>
$x = 3$ et $y = 2$]]>
Erreur sur $y$ : l'équation $y + 2 = 0$ conduit à
$y = -2$, la partie réelle étant traitée correctement.]]>
$x = -2$ et $y = 3$]]>
Rôles échangés : $x$ vient de la partie réelle et $y$ du
coefficient de $i$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q39 : Un carré négatif décalé
Quelles sont les solutions de l'équation
$(z - 1)^2 = -4$ ?]]>
On se ramène à $Z^2 = -k^2$ avec $Z = z - p$ : les solutions
sont $Z = \pm ik$, donc $z = p \pm ik$, deux nombres
conjugués.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 1 + 2i$ ou $z = 1 - 2i$]]>
Bonne réponse : $z - 1 = 2i$ ou
$z - 1 = -2i$, puis on ajoute $1$ de chaque
côté.]]>
$z = 1 + 4i$ ou $z = 1 - 4i$]]>
Racine oubliée : les carrés valant $-4$ sont
$\pm 2i$, et non $\pm 4i$.]]>
$z = 2i$ ou $z = -2i$]]>
Décalage oublié : c'est $z - 1$ qui vaut
$\pm 2i$, il reste à en déduire $z$.]]>
$z = 3$ ou $z = -1$]]>
Réflexe réel : aucun réel n'a un carré négatif, les
solutions ont une partie imaginaire.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q40 : Somme de deux carrés conjugués
Que vaut $(2 + i)^2 + (2 - i)^2$ ?]]>
$(a + i)^2 + (a - i)^2 = 2a^2 + 2i^2 = 2a^2 - 2$ : les
doubles produits, opposés, disparaissent. Une somme de deux
nombres conjugués est toujours réelle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : les doubles produits $4i$
et $-4i$ s'annulent, et il reste
$2 \times 2^2 - 2 = 6$.]]>
$10$]]>
Signe de $i^2$ : chaque carré apporte $i^2 = -1$, donc
$-2$ au total et non $+2$.]]>
$16$]]>
Termes en $i^2$ oubliés : ils retirent $2$ au résultat,
qui vaut $6$.]]>
$6 + 8i$]]>
Doubles produits conservés : ils sont opposés et se
compensent, la somme est un réel.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q41 : Diviser par $i$
Quelle est la forme algébrique de
$\dfrac{3 + 2i}{i}$ ?]]>
$\dfrac{1}{i} = -i$, donc $\dfrac{a + ib}{i} = -i(a + ib) =
b - ia$ : les deux parties échangent leur rôle, avec un
changement de signe. Dans le plan, c'est un quart de tour.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2 - 3i$]]>
Bonne réponse : diviser par $i$ revient à multiplier par
$-i$, d'où $(3 + 2i)\times(-i) = 2 - 3i$.]]>
$-2 + 3i$]]>
Signe global inversé : le facteur utile est $-i$, car
$\dfrac{1}{i} = -i$, et non $+i$.]]>
$3 - 2i$]]>
Conjugué du numérateur : diviser par $i$ ne conjugue pas,
cela échange les deux parties.]]>
$2 + 3i$]]>
Signe perdu : la partie réelle du numérateur devient le
coefficient $-3$, avec un changement de signe.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q42 : Cube d'un imaginaire pur
Que vaut $\left(2i\right)^3$ ?]]>
$(ki)^3 = k^3 i^3 = -k^3 i$ : on élève le réel au cube et on
utilise $i^3 = -i$. Le résultat reste un imaginaire pur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-8i$]]>
Bonne réponse : $(2i)^3 = 2^3 \times i^3 = 8
\times (-i) = -8i$.]]>
$8i$]]>
Signe de $i^3$ : $i^3 = i^2 \times i = -i$, le résultat
est donc négatif.]]>
$-8$]]>
Facteur $i$ perdu : $i^3 = -i$ reste imaginaire pur, la
réponse aussi.]]>
$-6i$]]>
Cube confondu avec un produit par $3$ :
$2^3 = 8$, et non $6$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q43 : Rendre un nombre imaginaire pur
Pour quelle valeur du réel $x$ le nombre
$z = (x - 2) + 5i$ est-il un imaginaire pur ?]]>
Un complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est
nulle. On isole donc la partie réelle, ici $x - p$, et on
résout l'équation qu'elle donne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 2$]]>
Bonne réponse : il faut annuler la partie réelle, donc
résoudre $x - 2 = 0$, ce qui donne $x = 2$.]]>
$x = -2$]]>
Signe recopié : l'équation $x - 2 = 0$ se résout en
$x = 2$.]]>
$x = 5$]]>
Partie imaginaire visée : c'est la partie réelle qui doit
s'annuler, le coefficient $5$ ne change pas.]]>
$x = 0$]]>
Valeur trop rapide : pour $x = 0$, la partie réelle vaut
$-2$, qui n'est pas nulle.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q44 : Retrouver deux réels
Quels réels $a$ et $b$ vérifient
$(a + bi)(1 + i) = 3 + 5i$ ?]]>
On développe : $(a + bi)(1 + i) = (a - b) + (a + b)i$, puis on
identifie parties réelles et imaginaires. Il reste un système
de deux équations réelles à résoudre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a = 4$ et $b = 1$]]>
Bonne réponse : le développement donne
$(a - b) + (a + b)i$, d'où $a - b = 3$ et
$a + b = 5$.]]>
$a = 1$ et $b = 4$]]>
Rôles échangés : la demi-somme des deux équations donne
$a = 4$, et la demi-différence donne $b = 1$.]]>
$a = 3$ et $b = 5$]]>
Coefficients recopiés du second membre : le facteur
$1 + i$ mélange $a$ et $b$, il faut développer.]]>
$a = 4$ et $b = -1$]]>
Les deux équations sont inversées : c'est $a - b$ qui
vaut $3$, et $a + b$ qui vaut $5$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q45 : Une longue somme de puissances
Que vaut la somme
$1 + i + i^2 + i^3 + \dots + i^{2026}$ ?]]>
Quatre puissances consécutives de $i$ ont une somme nulle. On
divise donc l'exposant maximal par $4$ : ici $2026 = 4 \times
506 + 2$, et la somme se réduit aux trois derniers termes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$i$]]>
Bonne réponse : la somme compte $2027$ termes. Les $2024$
premiers se regroupent par quatre, de somme nulle, et il
reste $i^{2024} + i^{2025} + i^{2026} = 1 + i - 1 = i$.]]>
$0$]]>
Regroupement trop rapide : $2027$ n'est pas un multiple
de $4$, trois termes restent après les paquets.]]>
$1$]]>
Reste incomplet : les trois termes restants sont
$1$, $i$ et $-1$, dont la somme vaut $i$.]]>
$-1$]]>
Dernier terme isolé : $i^{2026} = -1$ n'est que l'un des
trois termes restants.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q46 : Une équation du premier degré dans C
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z + 3i = 5$.]]>
Une équation du premier degré se résout dans $\mathbb{C}$ comme dans
$\mathbb{R}$ : on isole l'inconnue.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = 5 - 3i$]]>
Bonne réponse : on isole $z$ en soustrayant $3i$ aux deux
membres : $z = 5 - 3i$.]]>
$z = 5 + 3i$]]>
Erreur : $3i$ passe de l'autre côté en changeant de signe.]]>
$z = -5 - 3i$]]>
Erreur : seul le terme en $i$ change de signe, pas $5$.]]>
$z = 3 - 5i$]]>
Erreur : parties réelle et imaginaire ont été échangées.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q47 : Équation du second degré à discriminant négatif
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 + 2z + 5 = 0$.]]>
Si $\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués
$\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = -1 \pm 2i$]]>
Bonne réponse : $\Delta = (2)^2 - 4 \times 5 = -16 < 0$ ; les
solutions sont $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2}$, soit
$-1 \pm 2i$.]]>
$z = 1 \pm 2i$]]>
Erreur : le signe de la partie réelle est $-\dfrac{b}{2}$, avec
$b = 2$.]]>
$z = -1 \pm 4i$]]>
Erreur : $\sqrt{-\Delta}$ doit être divisé par $2$, comme la
partie réelle.]]>
$z = -2 \pm 4i$]]>
Erreur : la division par $2$ a été oubliée pour les deux
parties.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q48 : Diviser par un nombre complexe
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(2 + i)\,z = 1$.]]>
Pour inverser un complexe, on multiplie par le conjugué :
$\dfrac{1}{a + bi} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z = \dfrac{2 - i}{5}$]]>
Bonne réponse : $z = \dfrac{1}{2 + i}$ ; on multiplie numérateur et
dénominateur par le conjugué, le dénominateur devient
$|2 + i|^2$.]]>
$z = \dfrac{2 + i}{5}$]]>
Erreur : le numérateur doit être le conjugué de $2 + i$.]]>
$z = 2 - i$]]>
Erreur : il manque la division par $|2 + i|^2$.]]>
$z = \dfrac{2 - i}{3}$]]>
Erreur : $|a + bi|^2 = a^2 + b^2$, et non $a^2 - b^2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q49 : Retrouver l'équation à partir de ses racines
Quelle équation du second degré à coefficients réels a pour
solutions $1 \pm i$ ?]]>
Deux racines $z_1$, $z_2$ donnent l'équation $z^2 - (z_1 + z_2)z +
z_1 z_2 = 0$ ; pour deux conjugués, somme et produit sont réels.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$z^2 - 2z + 2 = 0$]]>
Bonne réponse : la somme des racines vaut $2$ et leur produit
$2$ ; l'équation est $z^2 - Sz + P = 0$.]]>
$z^2 + 2z + 2 = 0$]]>
Erreur : le coefficient de $z$ est l'opposé de la somme des
racines.]]>
$z^2 - 2z - 2 = 0$]]>
Erreur : le produit de deux conjugués est $|z|^2 > 0$ ; le terme
constant est positif.]]>
$z^2 - 2z = 0$]]>
Erreur : le produit $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$, pas $a^2 -
b^2$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q50 : Une équation de degré trois avec une racine réelle connue
On admet que $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$. Quelles sont les
solutions dans $\mathbb{C}$ de $z^3 - 8 = 0$ ?]]>
Une équation de degré trois se résout en factorisant par une racine
connue, puis en résolvant le trinôme restant dans $\mathbb{C}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$, $-1 + i\sqrt{3}$ et $-1 - i\sqrt{3}$]]>
Bonne réponse : $z = 2$ annule le premier facteur ; pour le
second, $\Delta = 4 - 16 = -12$ et $z = \dfrac{-2 \pm
i\sqrt{12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$.]]>
$2$ seulement, $z^2 + 2z + 4$ n'ayant pas de racine]]>
Erreur : dans $\mathbb{C}$, un trinôme à discriminant négatif a
deux racines conjuguées.]]>
$2$, $-2$ et $2i$]]>
Erreur : $(-2)^3 = -8$ et $(2i)^3 = -8i$ ; aucun des deux ne
vaut $8$ au cube.]]>
$2$, $1 + i\sqrt{3}$ et $1 - i\sqrt{3}$]]>
Erreur : la partie réelle des racines du trinôme est
$-\dfrac{2}{2} = -1$, pas $1$.]]>
Nombres complexes : point de vue algébrique — Q51 : Partie imaginaire d'une solution
Quelle est la partie imaginaire de la solution de l'équation
$2z = 4 + 6i$ ?]]>
La partie imaginaire de $x + yi$ est le réel $y$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : $z = \dfrac{4 + 6i}{2} = 2 + 3i$,
dont la partie imaginaire est $3$.]]>
$3i$]]>
Erreur : la partie imaginaire est un réel, le coefficient de
$i$, sans le $i$.]]>
$2$]]>
Erreur : $2$ est la partie réelle.]]>
$6$]]>
Erreur : il faut diviser par $2$.]]>