$course$/QCM de maths/Maths expertes/Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle Image et affixe, module et interprétation géométrique, relation
$|z|^2 = z\bar{z}$, ensemble $\mathbb{U}$, arguments, forme
trigonométrique, exponentielle imaginaire $e^{i\theta}$,
formules d'Euler et de Moivre.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q01 : Affixe d'un point Dans le plan complexe, quel point est l'image du nombre
$z = -2 + 3i$ ?

]]> À $z = a + ib$ on associe le point $M(a\ ;\ b)$ : $z$ est
l'affixe de $M$ (et du vecteur $\overrightarrow{OM}$).
L'image de $\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à
l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3)$

]]> Bonne réponse : l'abscisse est la partie réelle, l'ordonnée la partie imaginaire. Le plan $\mathbb{R}^2$ est
l'ensemble des complexes.

]]> Le point de coordonnées $(3\ ;\ -2)$

]]> Coordonnées échangées : $\text{Re}$ en abscisse,
$\text{Im}$ en ordonnée.

]]> Le point de coordonnées $(-2\ ;\ 3i)$

]]> Erreur : les coordonnées d'un point sont réelles :
l'ordonnée est le coefficient $3$, sans $i$.

]]> Le point de coordonnées $(2\ ;\ 3)$

]]> Signe perdu : la partie réelle vaut $-2$ : le point est
à gauche de l'axe imaginaire.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q02 : Calcul d'un module Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?

]]> $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie
immédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et
$z'$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|z| = 5$

]]> Bonne réponse : $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} =
\sqrt{25} = 5$ : la distance de l'origine au point
$(3\ ;\ -4)$.

]]> $|z| = -1$

]]> Erreur : on a additionné les parties réelle et imaginaire.
Le module est $\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif.

]]> $|z| = 25$

]]> Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 25$ est le carré du
module.

]]> $|z| = 7$

]]> Erreur : $3 + 4 = 7$ n'est pas le module : on ne
somme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la
majoration de l'inégalité triangulaire).

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q03 : La relation $|z|^2 = z\bar{z}$ Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre
complexe $z$ ?

]]> $|z|^2 = z\bar{z}$ : pont entre algèbre et géométrie. On en
tire $|zz'| = |z|\,|z'|$ et $|1/z| = 1/|z|$ (démonstrations
au programme).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|z|^2 = z\,\bar{z}$

]]> Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$
(démonstration au programme). Cette relation fait tout :
inverses, modules de produits…

]]> $|z| = z\,\bar{z}$

]]> Puissance fausse : $z\bar{z} = a^2 + b^2$ est le
carré du module ($\sqrt{\ }$ manquante).

]]> $|z|^2 = z^2$

]]> Erreur : $z^2$ est en général complexe ($ (1+i)^2 = 2i$),
alors que $|z|^2$ est réel : il faut le conjugué.

]]> $|z|^2 = z + \bar{z}$

]]> Confusion : $z + \bar{z} = 2\,\text{Re}(z)$, qui peut
être négatif : le carré du module vient du produit.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q04 : Module d'un produit Soient $z$ et $z'$ deux complexes avec $|z| = 2$ et
$|z'| = 3$. Que vaut $|z\,z'|$ ?

]]> $|zz'| = |z||z'|$ : se démontre avec $|zz'|^2 =
zz'\overline{zz'} = z\bar{z}\,z'\bar{z'}$. Les arguments,
eux, s'ajoutent : multiplier revient à tourner et dilater.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : le module est multiplicatif :
$|zz'| = |z|\,|z'| = 6$, quelle que soit la direction
des deux nombres.

]]> $5$

]]> Erreur : $2 + 3$ additionne les modules : c'est au mieux
une majoration de $|z + z'|$, pas le module du
produit.

]]> Impossible à déterminer sans connaître $z$ et $z'$

]]> Erreur : justement, la force de la formule $|zz'| =
|z|\,|z'|$ est de ne dépendre que des modules.

]]> $36$

]]> Erreur : $36 = (|z||z'|)^2$ : carré parasite. Le module
du produit est $2 \times 3 = 6$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q05 : L'ensemble $\mathbb{U}$ $\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de
module $1$. Pourquoi dit-on que $\mathbb{U}$ est stable par
produit ?

]]> $\mathbb{U}$ = cercle unité, stable par produit et passage à
l'inverse : un exemple fondamental de groupe (sans le mot).
Sur $\mathbb{U}$, multiplier revient à additionner les
angles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Si $|z| = |z'| = 1$, alors $|z\,z'| = 1 \times 1 = 1$ :
le produit reste dans $\mathbb{U}$

]]> Bonne réponse : la multiplicativité du module garde le
produit sur le cercle unité. Avec $|1/z| = 1$,
$\mathbb{U}$ est stable par produit et inverse.

]]> Parce que la somme de deux éléments de $\mathbb{U}$
reste dans $\mathbb{U}$

]]> Faux : $1 \in \mathbb{U}$ et $1 + 1 = 2 \notin
\mathbb{U}$. La stabilité concerne le produit, pas
la somme.

]]> Parce que $\mathbb{U}$ contient tous les nombres réels

]]> Faux : seuls $1$ et $-1$ sont des réels de module $1$.
$\mathbb{U}$ est le cercle unité, pas une droite.

]]> Parce que tout produit de complexes est de module $1$

]]> Faux : $|2 \times 3i| = 6$. La stabilité vaut pour les
éléments de $\mathbb{U}$ uniquement.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q06 : Argument d'un nombre complexe Plan complexe : point M de coordonnées (1 ; 1), vecteur OM tracé, angle pi sur quatre marqué entre l'axe réel et OM.

Le point $M$ ci-contre a pour affixe $z = 1 + i$. Que valent
$|z|$ et un argument de $z$ ?

]]> Un argument de $z \neq 0$ = mesure de l'angle
$(\vec{u}\ ;\ \overrightarrow{OM})$, défini modulo $2\pi$.
Ici $z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} +
i\sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
(diagonale du carré unité) et l'angle avec l'axe réel
vaut $45°$, soit $\pi/4$.

]]> $|z| = 2$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

]]> Module faux : $1^2 + 1^2 = 2$, puis racine :
$|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

]]> $|z| = \sqrt{2}$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{2}$

]]> Argument faux : $\pi/2$ est l'axe imaginaire (affixe
$i$). Ici $M$ est sur la bissectrice : $\pi/4$.

]]> $|z| = 1$ et $\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$

]]> Module faux : $M$ n'est pas sur le cercle unité :
$OM = \sqrt{2} > 1$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q07 : Forme trigonométrique Quelle est la forme algébrique du nombre
$z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ ?

]]> Forme trigonométrique : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$. Conversion : $a =
r\cos\theta$, $b = r\sin\theta$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 1 + i\sqrt{3}$

]]> Bonne réponse : $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ et
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, puis on
multiplie par $2$.

]]> $z = \sqrt{3} + i$

]]> Cosinus et sinus échangés : c'est l'angle $\pi/6$ qui
donne $\sqrt{3} + i$ (après multiplication par 2).

]]> $z = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Module oublié : c'est $e^{i\pi/3}$, de module $1$ : il
reste à multiplier par $r = 2$.

]]> $z = 2 + i\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Erreur : on n'écrit pas l'angle en partie imaginaire :
on évalue cosinus et sinus.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q08 : Forme exponentielle Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?

]]> Notation $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; tout
$z \neq 0$ s'écrit $r\,e^{i\theta}$. Relation fonctionnelle :
$e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ : mêmes
règles que l'exponentielle réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

]]> Bonne réponse : module $\sqrt{2}$, argument $\pi/4$,
d'où $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ : l'écriture la plus
efficace pour multiplier et élever aux puissances.

]]> $z = e^{i\pi/4}$

]]> Module oublié : $e^{i\pi/4}$ est de module $1$, or
$|1 + i| = \sqrt{2}$.

]]> $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/2}$

]]> Argument faux : $\pi/2$ correspond à l'axe imaginaire
pur ; $1 + i$ est sur la bissectrice ($\pi/4$).

]]> $z = 2\,e^{i\pi/4}$

]]> Module faux : $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, pas $2$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q09 : Produit sous forme exponentielle Que vaut le produit $3e^{i\pi/6} \times 2e^{i\pi/3}$ ?

]]> $re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} =
rr'\,e^{i(\theta+\theta')}$ : multiplier des complexes revient à multiplier les longueurs et additionner les angles. Toute la
géométrie des rotations est là.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6\,e^{i\pi/2} = 6i$

]]> Bonne réponse : modules multipliés ($3 \times 2$),
arguments ajoutés ($\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} =
\frac{\pi}{2}$), et $e^{i\pi/2} = i$.

]]> $6\,e^{i\pi^2/18}$

]]> Erreur : les arguments s'ajoutent (relation
fonctionnelle), ils ne se multiplient pas.

]]> $5\,e^{i\pi/2}$

]]> Erreur : les modules se multiplient ($3 \times 2 =
6$), ils ne s'ajoutent pas.

]]> $6\,e^{i\pi/6 \times i\pi/3}$

]]> Erreur d'écriture : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ : on
additionne les exposants.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q10 : Formules d'Euler Quelle est l'expression de $\cos\theta$ donnée par les
formules d'Euler ?

]]> Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$,
$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. Usage
typique : linéariser $\cos^n\theta$ pour intégrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

]]> Bonne réponse : en ajoutant $e^{i\theta} = \cos\theta +
i\sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta -
i\sin\theta$, le sinus s'élimine.

]]> $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

]]> C'est la formule du sinus : la différence élimine le
cosinus, et le $2i$ normalise.

]]> $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2i}$

]]> Erreur : la somme est déjà réelle ($2\cos\theta$) :
diviser par $2i$ rendrait le résultat imaginaire.

]]> $\cos\theta = e^{i\theta} + e^{-i\theta}$

]]> Facteur oublié : la somme vaut $2\cos\theta$ : il faut
diviser par $2$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q11 : Formule de Moivre Que dit la formule de Moivre ?

]]> Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
i\sin(n\theta)$. En développant le membre de gauche par le
binôme, on obtient $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en
fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) +
i\sin(n\theta)$

]]> Bonne réponse : c'est $\left(e^{i\theta}\right)^n =
e^{in\theta}$ en notation trigonométrique : élever à la
puissance $n$ = multiplier l'angle par $n$.

]]> $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(\theta^n) +
i\sin(\theta^n)$

]]> Erreur : l'angle est multiplié par $n$
($n\theta$), pas élevé à la puissance $n$.

]]> $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = n\cos\theta +
in\sin\theta$

]]> Erreur : la puissance n'est pas une multiplication par
$n$ : le module reste $1$, seul l'angle est multiplié.

]]> $\cos(n\theta) = n\cos\theta$

]]> Faux : déjà pour $n = 2$ : $\cos(2\theta) =
2\cos^2\theta - 1 \neq 2\cos\theta$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q12 : Puissance par la forme exponentielle En écrivant $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, que vaut
$(1 + i)^8$ ?

]]> Méthode reine pour les puissances : forme exponentielle puis
$\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$. Contrôle :
$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^8 = (2i)^4 = 16i^4 = 16$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$

]]> Bonne réponse : $(\sqrt{2})^8 e^{i\,8\pi/4} =
2^4\,e^{2i\pi} = 16 \times 1 = 16$ : huit lignes de
calcul algébrique évitées.

]]> $-16$

]]> Erreur d'angle : $8 \times \frac{\pi}{4} = 2\pi$, et
$e^{2i\pi} = 1$ (tour complet), pas $-1$.

]]> $16\,i$

]]> Erreur : $e^{2i\pi} = 1$, pas $i$ ($i$ correspond à un
quart de tour, $\pi/2$).

]]> $8\sqrt{2}$

]]> Module faux : $(\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16$, pas
$8\sqrt{2} = 2^{3{,}5}$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q13 : La valeur $e^{i\pi}$ Que vaut $e^{i\pi}$ ?

]]> Les quatre points cardinaux : $e^{i0} = 1$, $e^{i\pi/2} =
i$, $e^{i\pi} = -1$, $e^{3i\pi/2} = -i$ : le cercle unité
par quarts de tour. « $e^{i\pi} + 1 = 0$ » relie les cinq
constantes fondamentales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : $e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 +
0$ : le demi-tour du cercle unité : la célèbre identité
d'Euler.

]]> $1$

]]> Erreur : $1 = e^{i \cdot 0} = e^{2i\pi}$ (tour
complet) : $\pi$ n'est que le DEMI-tour : $-1$.

]]> $i$

]]> Erreur : $i = e^{i\pi/2}$ (quart de tour) : à $\pi$, on
atteint le point $(-1\ ;\ 0)$.

]]> $e^{\pi} \approx 23$

]]> Le $i$ oublié : $e^{i\pi}$ vit sur le cercle unité
(module $1$), rien à voir avec l'exponentielle réelle
$e^{\pi}$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q14 : Module d'un quotient Avec $|z| = 6$ et $|z'| = 2$, que vaut
$\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ ?

]]> $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ et
$\arg\frac{z}{z'} = \arg z - \arg z'$ : le quotient divise
les longueurs et soustrait les angles : le miroir exact du
produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient
des modules : $\frac{6}{2} = 3$.

]]> $4$

]]> Soustraction : les modules se divisent dans un
quotient (comme ils se multiplient dans un produit) :
$6 - 2$ ne correspond à rien.

]]> $12$

]]> Produit au lieu du quotient : $12 = |z z'|$ : pour la
division : $\frac{6}{2} = 3$.

]]> Impossible sans connaître les arguments

]]> Erreur : le module du quotient ne dépend QUE des
modules : les arguments règlent la direction, pas la
longueur.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q15 : Argument d'un réel négatif Quel est un argument de $z = -5$ ?

]]> Arguments des réels : positifs : $0 \pmod{2\pi}$ ;
négatifs : $\pi$. Des imaginaires purs : $\pm\frac{\pi}{2}$.
Quatre directions à placer sans réfléchir sur le cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi$

]]> Bonne réponse : $-5$ est sur la demi-droite des réels
négatifs : angle $\pi$ avec l'axe positif : $-5 =
5e^{i\pi}$.

]]> $0$

]]> Erreur : l'argument $0$ appartient aux réels
positifs : $-5$ pointe à l'opposé : $\pi$.

]]> $-5$

]]> Confusion : $-5$ est le nombre lui-même : son argument
est un ANGLE : $\pi$ (et son module $5$).

]]> Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument

]]> Erreur : les réels SONT des complexes : tout nombre non
nul a un argument ($0$ pour les positifs, $\pi$ pour les
négatifs).

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q16 : Module et argument du conjugué Comment module et argument de $\bar{z}$ se comparent-ils à
ceux de $z$ (non nul) ?

]]> $\bar{z} = re^{-i\theta}$ quand $z = re^{i\theta}$ :
symétrie d'axe réel : module intact, argument opposé.
Cohérent avec $z\bar{z} = r^2 e^{0} = |z|^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|\bar{z}| = |z|$ et $\arg\bar{z} = -\arg z$

]]> Bonne réponse : conjuguer revient à prendre le symétrique par rapport à l'axe réel : la distance à l'origine ne bouge pas,
l'angle bascule en son opposé.

]]> $|\bar{z}| = -|z|$

]]> Impossible : un module est une distance, toujours
positive : la symétrie ne change pas les longueurs.

]]> Module et argument sont tous deux conservés

]]> Erreur : garder les deux caractériserait $z$ lui-même :
le conjugué retourne l'ANGLE ($z$ réel excepté).

]]> $\arg\bar{z} = \pi - \arg z$

]]> Mauvaise symétrie : $\pi - \theta$ est la réflexion
d'axe VERTICAL (celle de $-\bar{z}$) : conjuguer
réfléchit horizontalement : $-\theta$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q17 : Distance entre deux points par les affixes $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 + 6i$.
Que vaut la distance $AB$ ?

]]> Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de
$\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances
de la géométrie deviennent des modules : cercles et
médiatrices s'écrivent en une équation complexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $AB = 5$

]]> Bonne réponse : la distance est le module de la
différence des affixes : $AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| =
\sqrt{9 + 16} = 5$.

]]> $AB = \sqrt{52} - \sqrt{5}$

]]> Erreur : $|z_B| - |z_A|$ minore la distance (inégalité
triangulaire) sans l'égaler en général : le bon objet est
$|z_B - z_A|$.

]]> $AB = 3 + 4i$

]]> Erreur de nature : $3 + 4i = z_B - z_A$ est l'affixe du
vecteur $\overrightarrow{AB}$ ; la distance est son
module, $5$.

]]> $AB = \sqrt{89}$

]]> Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B| = |5 + 8i|$ ne
mesure pas $AB$ ; la distance passe par la soustraction.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q18 : Forme exponentielle de $-1 + i$ Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i$ ?

]]> Méthode : module d'abord, puis PLACER le point (quadrant !)
avant de choisir l'argument : $\cos\theta =
\frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ :
$\theta = \frac{3\pi}{4}$. Le dessin évite l'erreur de
quadrant, la plus fréquente du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = \sqrt{2}\,e^{3i\pi/4}$

]]> Bonne réponse : module $\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ ; le
point $(-1\ ;\ 1)$ vit dans le deuxième quadrant, sur la
bissectrice : argument $\pi - \frac{\pi}{4} =
\frac{3\pi}{4}$.

]]> $z = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

]]> Quadrant raté : $e^{i\pi/4}$ pointe vers $(+1\ ;\ +1)$
(premier quadrant) : notre point a une partie réelle
NÉGATIVE : $\frac{3\pi}{4}$.

]]> $z = 2\,e^{3i\pi/4}$

]]> Module : $\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, pas $2$.

]]> $z = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$

]]> Erreur : $-\frac{\pi}{4}$ descend dans le quatrième
quadrant ($1 - i$ normalisé) : notre point est en haut à
gauche.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q19 : Module d'une somme On rappelle que, pour tous points $O$, $A$ et $C$ du plan, $OC \leq OA + AC$.
L'égalité $|z + z'| = |z| + |z'|$ est-elle vraie pour tous nombres complexes
$z$ et $z'$ ?

]]> Avec $O$, $A$ et $C$ d'affixes $0$, $z$ et $z + z'$, on obtient
$|z + z'| = OC \leq OA + AC = |z| + |z'|$. L'égalité peut être en défaut, comme
le montrent $z = 1$ et $z' = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, pas pour tous $z$ et $z'$

]]> Bonne réponse : pour $z = 1$ et $z' = -1$, le membre de gauche vaut
$0$ et celui de droite $2$.

]]> Oui, toujours

]]> Le contre-exemple de deux complexes opposés suffit à l'écarter.

]]> Oui, si les deux modules sont égaux

]]> Les complexes $1$ et $-1$ ont le même module et fournissent pourtant un
contre-exemple.

]]> Non, l'inégalité va dans l'autre sens

]]> Avec $O$, $A$ et $C$ d'affixes $0$, $z$ et $z + z'$, on a $|z + z'| = OC$,
$|z| = OA$ et $|z'| = AC$ : l'inégalité rappelée majore $|z + z'|$, elle ne le
minore pas.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q20 : Forme exponentielle de $1 + i$ Quelle est la forme exponentielle de $1 + i$ ?

]]> Pour passer à la forme exponentielle, on calcule le module, puis on
identifie l'argument à partir du cosinus et du sinus, ou par lecture du
point dans le plan.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

]]> Bonne réponse : le module vaut $\sqrt{2}$ et l'argument
$\dfrac{\pi}{4}$, le point étant sur la bissectrice.

]]> $2\,e^{i\pi/4}$

]]> Module non réduit : $|1 + i|$ vaut $\sqrt{1 + 1}$, pas $2$.

]]> $\sqrt{2}\,e^{i\pi/2}$

]]> Argument faux : $\dfrac{\pi}{2}$ correspondrait à un imaginaire pur.

]]> $\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$

]]> Signe de l'argument : cette forme décrit $1 - i$, situé sous l'axe des
abscisses.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q21 : Argument d'un produit Comment obtient-on un argument du produit de deux complexes non
nuls ?

]]> Multiplier deux complexes revient à multiplier les modules et à additionner
les arguments. Géométriquement, c'est une rotation composée avec un
agrandissement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En additionnant leurs arguments

]]> Bonne réponse : c'est la traduction de la règle
$e^{i\alpha} \times e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$.

]]> En multipliant leurs arguments

]]> Ce sont les modules qui se multiplient, les arguments s'additionnent.

]]> En prenant le plus grand des deux

]]> Aucune sélection n'intervient : les deux contribuent également.

]]> En soustrayant leurs arguments

]]> La soustraction correspond à un quotient, pas à un produit.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q22 : Une puissance par Moivre Que vaut $\left(e^{i\pi/6}\right)^{6}$ ?

]]> La formule de Moivre élève le module à la puissance et multiplie
l'argument par l'exposant. Ici le module vaut $1$, seul l'argument change.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : l'argument devient $6 \times \dfrac{\pi}{6} = \pi$, donc le
résultat est $e^{i \pi} = -1$.

]]> $1$

]]> Argument mal calculé : $6 \times \dfrac{\pi}{6}$ vaut $\pi$ ; la valeur
$1$ correspondrait à un argument de $0$.

]]> $i$

]]> La valeur $i$ correspondrait à un argument de $\dfrac{\pi}{2}$, pas $\pi$.

]]> $e^{i\pi/6}$

]]> Exposant ignoré : élever à la puissance $6$ multiplie l'argument par
$6$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q23 : Affixe d'un vecteur Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$.
Quelle est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

]]> L'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ vaut $z_B - z_A$, et sa norme
$|z_B - z_A|$, ce qui donne la distance $AB$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z_B - z_A$

]]> Bonne réponse : la soustraction se fait dans le même ordre que pour des
coordonnées.

]]> $z_A - z_B$

]]> Sens inversé : cette affixe est celle de $\overrightarrow{BA}$.

]]> $z_A + z_B$

]]> Somme au lieu d'une différence : elle donnerait le double de l'affixe
du milieu.

]]> $\dfrac{z_A + z_B}{2}$

]]> C'est l'affixe du milieu de $[AB]$, pas celle du vecteur.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q24 : Multiplier par $i$ Quelle transformation géométrique correspond à la multiplication par
$i$ ?

]]> Multiplier par un complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ est une
rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine. Pour $i$, cet angle vaut un
quart de tour.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une rotation d'un quart de tour autour de l'origine

]]> Bonne réponse : le module reste inchangé et l'argument augmente de
$\dfrac{\pi}{2}$.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Cette symétrie correspond à la conjugaison.

]]> Un agrandissement de rapport $i$

]]> Un rapport d'agrandissement est un réel positif, et $|i|$ vaut $1$ :
les longueurs sont conservées.

]]> Une translation de vecteur d'affixe $i$

]]> Une translation correspond à une addition, pas à une multiplication.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q25 : Une distance par les affixes Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $2 + i$ et $5 + 5i$.
Quelle est la distance $AB$ ?

]]> La distance entre deux points vaut le module de la différence de leurs
affixes. Le calcul reprend celui de la norme d'un vecteur en coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : la différence vaut $3 + 4i$, de module
$\sqrt{9 + 16}$.

]]> $7$

]]> Parties additionnées : $3 + 4$ ignore le calcul du module.

]]> $25$

]]> Racine oubliée : $25$ est le carré de la distance.

]]> $\sqrt{7}$

]]> Somme placée sous la racine : le module élève chaque partie au carré
avant de les ajouter.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q26 : Les formules d'Euler À quoi $\dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ est-il égal ?

]]> Les formules d'Euler expriment cosinus et sinus à partir des
exponentielles complexes. Elles servent à linéariser des expressions
trigonométriques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos\theta$

]]> Bonne réponse : les parties imaginaires se compensent et les parties
réelles s'ajoutent.

]]> $\sin\theta$

]]> Le sinus s'obtient avec une différence et un dénominateur $2i$.

]]> $e^{i\theta}$

]]> Les deux exponentielles ne se simplifient pas ainsi : leur somme est
réelle.

]]> $1$

]]> Le résultat dépend de $\theta$ : il vaut $1$ seulement pour
$\theta = 0$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q27 : Module d'un quotient Pour $z' $ non nul, à quoi $\left|\dfrac{z}{z'}\right|$ est-il égal ?

]]> Le module transforme produits et quotients en produits et quotients, alors
que l'argument les transforme en sommes et différences.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{|z|}{|z'|}$

]]> Bonne réponse : le module est multiplicatif, donc compatible avec les
quotients.

]]> $|z| - |z'|$

]]> La soustraction correspondrait aux arguments, pas aux modules.

]]> $|z| \times |z'|$

]]> Cette expression donne le module du produit, pas celui du quotient.

]]> $\dfrac{|z'|}{|z|}$

]]> Quotient inversé : le numérateur reste au numérateur.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q28 : L'ensemble des complexes de module $1$ Quel ensemble de points du plan décrit la condition $|z| = 1$ ?

]]> Le module $|z|$ est la distance de l'origine au point d'affixe $z$. Les
conditions de module décrivent donc des cercles ou des disques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cercle de centre l'origine et de rayon $1$

]]> Bonne réponse : le module est la distance à l'origine.

]]> Le disque de centre l'origine et de rayon $1$

]]> Le disque correspondrait à l'inégalité $|z| \leq 1$.

]]> La droite d'équation $x = 1$

]]> Cette droite décrirait la condition portant sur la partie réelle.

]]> Le point d'affixe $1$

]]> Ce point vérifie la condition, mais une infinité d'autres aussi.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q29 : Un argument nul Que décrit l'ensemble des complexes non nuls d'argument nul ?

]]> L'argument donne la direction du point vu depuis l'origine, le module sa
distance. Fixer l'argument décrit donc une demi-droite issue de l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les réels strictement positifs

]]> Bonne réponse : un argument nul place le point sur l'axe des abscisses,
du côté positif.

]]> L'axe des abscisses tout entier

]]> Les réels négatifs ont pour argument $\pi$, pas $0$.

]]> L'axe des ordonnées tout entier

]]> Les imaginaires purs ont pour argument $\dfrac{\pi}{2}$ ou
$-\dfrac{\pi}{2}$.

]]> Le seul point d'affixe égale à $1$

]]> Tous les réels strictement positifs conviennent, quel que soit leur
module.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q30 : Conjugué sous forme exponentielle Quel est le conjugué de $r e^{i\theta}$, avec $r$ strictement
positif ?

]]> Conjuguer revient à symétriser par rapport à l'axe des abscisses : le
module est conservé et l'argument changé de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r e^{-i\theta}$

]]> Bonne réponse : la conjugaison conserve le module et change le signe de
l'argument.

]]> $-r e^{i\theta}$

]]> Cette expression est l'opposé, qui correspond à un argument augmenté de
$\pi$.

]]> $\dfrac{1}{r} e^{i\theta}$

]]> L'inverse du module apparaît pour l'inverse du nombre, pas pour son
conjugué.

]]> $r e^{i\theta}$

]]> La conjugaison ne laisse invariants que les réels, donc les arguments
nuls ou égaux à $\pi$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q31 : Affixe d'un point donné Dans le plan complexe, quelle est l'affixe du point $M$ de
coordonnées $(-3\ ;\ 5)$ ?

]]> Au point $M(a\ ;\ b)$ correspond l'affixe $z = a + ib$, et
réciproquement. Le plan complexe est le plan usuel, lu avec
des nombres au lieu de couples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3 + 5i$

]]> Bonne réponse : l'abscisse donne la partie réelle et
l'ordonnée le coefficient de $i$.

]]> $5 - 3i$

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse $-3$ est la partie
réelle, l'ordonnée $5$ le coefficient de $i$.

]]> $-3i + 5$

]]> Facteur $i$ mal placé : il accompagne l'ordonnée, donc
le nombre $5$.

]]> $3 + 5i$

]]> Signe de l'abscisse : elle devient la partie réelle telle
quelle, sans changer de signe.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q32 : La conjugaison vue comme transformation Dans le plan complexe, quelle transformation fait passer du
point d'affixe $z$ au point d'affixe $\bar{z}$ ?

]]> Le point d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique du point
d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses. Module
conservé, argument changé de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie par rapport à l'axe des réels

]]> Bonne réponse : la partie réelle est conservée et la
partie imaginaire changée de signe, donc l'ordonnée
devient son opposée.

]]> La symétrie par rapport à l'axe des imaginaires purs

]]> Axe confondu : cette symétrie change la partie réelle de
signe, elle correspond au nombre $-\bar{z}$.

]]> La symétrie par rapport à l'origine

]]> Symétrie centrale : elle change les deux parties de
signe, elle correspond au nombre $-z$.

]]> La rotation d'un quart de tour de centre l'origine

]]> Rotation : le quart de tour traduit la multiplication par
$i$, et non la conjugaison.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q33 : Module de l'inverse Le nombre complexe $z$ est non nul et $|z| = 4$. Que vaut
$\left|\dfrac{1}{z}\right|$ ?

]]> $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|}$ : la
multiplicativité du module se transmet aux quotients. Les
arguments, eux, changent de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{4}$

]]> Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient
des modules, donc l'inverse a pour module
$\dfrac{1}{4}$.

]]> $4$

]]> Module recopié : le passage à l'inverse change aussi en son inverse la
longueur, qui devient $\dfrac{1}{4}$.

]]> $16$

]]> Carré parasite : $16$ est la valeur de $z\bar{z}$,
c'est-à-dire de $|z|^2$.

]]> $\dfrac{1}{16}$

]]> Carré de trop : le module de l'inverse ne fait intervenir
$|z|$ qu'une seule fois.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q34 : Remonter au module Un nombre complexe $z$ vérifie $z\bar{z} = 9$. Que vaut
$|z|$ ?

]]> La relation $|z|^2 = z\bar{z}$ se lit dans les deux sens : du
module vers le produit, et du produit vers le module par une
racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $z\bar{z} = |z|^2$, donc $|z|$ est la
racine carrée de $9$, soit $3$.

]]> $9$

]]> Racine oubliée : $9$ est le carré du module, pas le
module lui-même.

]]> $4{,}5$

]]> Moitié au lieu de racine : c'est l'opération inverse du
carré qu'il faut appliquer.

]]> $81$

]]> Carré de trop : $z\bar{z}$ vaut déjà $|z|^2$, l'élever à
nouveau éloigne du module.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q35 : Module de $e^{i\theta}$ Pour tout réel $\theta$, que vaut $\left|e^{i\theta}\right|$ ?

]]> $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ est toujours de
module $1$ : les nombres $e^{i\theta}$ décrivent exactement le
cercle unité $\mathbb{U}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, donc
le point est sur le cercle unité quel que soit $\theta$.

]]> $\theta$

]]> Confusion : $\theta$ est l'argument, c'est-à-dire un
angle, pas une longueur.

]]> $e^{\theta}$

]]> Exponentielle réelle appelée à tort : l'exposant est
imaginaire pur, le module reste $1$.

]]> $\cos\theta + \sin\theta$

]]> Erreur : le module est
$\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta}$, et non la somme du
cosinus et du sinus.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q36 : Reconnaître un élément de $\mathbb{U}$ Lequel de ces nombres appartient à $\mathbb{U}$, l'ensemble
des complexes de module $1$ ?

]]> Un nombre appartient à $\mathbb{U}$ lorsque $a^2 + b^2 = 1$.
Les couples $\left(\frac{3}{5}\ ;\ \frac{4}{5}\right)$ et
$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ sont
les plus courants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1$,
donc le module vaut $1$.

]]> $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$

]]> Module trop petit : $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} =
\dfrac{1}{2}$, dont la racine vaut environ $0{,}71$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

]]> Module trop grand : $\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} =
\dfrac{3}{2}$, dont la racine dépasse $1$.

]]> $1 + i$

]]> Module $\sqrt{2}$ : les deux parties valent $1$, ce qui
donne $\sqrt{1 + 1}$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q37 : Un réel négatif sous forme exponentielle Quelle est la forme exponentielle du nombre réel $-7$ ?

]]> Tout réel strictement négatif $-k$ s'écrit $ke^{i\pi}$ : son
module est $k$ et son argument $\pi$. Les réels positifs, eux,
ont pour argument $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7e^{i\pi}$

]]> Bonne réponse : le module vaut $7$ et le point est sur
le demi-axe des réels négatifs, d'argument $\pi$.

]]> $-7e^{i\pi}$

]]> Signe compté deux fois : $e^{i\pi} = -1$ apporte déjà le
signe moins, et le module reste positif.

]]> $7e^{2i\pi}$

]]> Tour complet : $e^{2i\pi} = 1$, ce qui redonne le réel
positif $7$.

]]> $7e^{i\pi/2}$

]]> Quart de tour : $e^{i\pi/2} = i$ conduit à l'imaginaire
pur $7i$, et non à un réel.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q38 : La valeur $e^{i\pi/2}$ Que vaut $e^{i\pi/2}$ ?

]]> Quatre valeurs à connaître : $e^{i0} = 1$, $e^{i\pi/2} = i$,
$e^{i\pi} = -1$ et $e^{3i\pi/2} = -i$. Elles repèrent les
quatre points cardinaux du cercle unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $i$

]]> Bonne réponse : $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ et
$\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$ : le quart de tour direct amène
au point d'affixe $i$.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ correspond à l'angle nul, ou au tour complet
$2\pi$, pas au quart de tour.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ correspond au demi-tour, c'est-à-dire à
l'angle $\pi$ de l'identité d'Euler.

]]> $-i$

]]> Sens de rotation : $-i$ correspond à l'angle
$-\dfrac{\pi}{2}$, un quart de tour vers le bas.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q39 : Un ensemble décrit par un module Le point $A$ a pour affixe $z_A = 2 - i$. Quel est l'ensemble
des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - z_A| = 3$ ?

]]> $|z - z_A| = AM$ : une condition sur ce module décrit un
cercle de centre $A$ ; l'inégalité correspondante décrit un
disque.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cercle de centre $A$ et de rayon $3$

]]> Bonne réponse : $|z - z_A|$ est la distance $AM$ ; elle
vaut $3$ exactement pour les points situés à $3$ unités
de $A$.

]]> Le disque de centre $A$ et de rayon $3$, bord compris

]]> Inégalité au lieu d'une égalité : le disque correspond à
la condition $|z - z_A| \leq 3$.

]]> Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$

]]> Centre déplacé : c'est $|z| = 3$ qui décrirait un cercle
centré à l'origine.

]]> La médiatrice du segment $[OA]$

]]> Une médiatrice traduit l'égalité de deux distances, donc
deux modules, et non un module fixé.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q40 : Quotient sous forme exponentielle Que vaut le quotient
$\dfrac{6e^{i\pi/2}}{3e^{i\pi/6}}$ ?

]]> $\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} =
\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')}$ : les longueurs se
divisent et les angles se retranchent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2e^{i\pi/3}$

]]> Bonne réponse : les modules se divisent
($6 \div 3 = 2$) et les arguments se
soustraient ($\pi/2 - \pi/6 = \pi/3$).

]]> $3e^{i\pi/3}$

]]> Modules soustraits : dans un quotient, ils se divisent,
ce qui donne $2$.

]]> $2e^{2i\pi/3}$

]]> Arguments ajoutés : la somme correspond au produit, le
quotient demande une différence.

]]> $18e^{i\pi/3}$

]]> Modules multipliés : c'est encore la règle du produit ;
ici il faut diviser.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q41 : Puissance d'une forme exponentielle Que vaut $\left(2e^{i\pi/4}\right)^{3}$ ?

]]> $\left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta}$ : c'est la
formule de Moivre, module élevé à la puissance et angle
multiplié.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8e^{3i\pi/4}$

]]> Bonne réponse : le module devient $2^{3} = 8$ et
l'argument est multiplié par $3$, ce qui donne $3\pi/4$.

]]> $6e^{3i\pi/4}$

]]> Module multiplié par l'exposant : il s'agit d'une
puissance, donc $2^{3} = 8$.

]]> $8e^{i\pi/4}$

]]> Argument inchangé : élever à la puissance $3$ multiplie
aussi l'angle par $3$.

]]> $2e^{3i\pi/4}$

]]> Module inchangé : seul un module égal à $1$ resterait
fixe ; ici il devient $8$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q42 : Une fausse forme trigonométrique L'écriture
$z = -2\left(\cos\dfrac{\pi}{5} + i\sin\dfrac{\pi}{5}\right)$
n'est pas une forme trigonométrique. Pourquoi ?

]]> Une forme trigonométrique impose $r > 0$. Un facteur négatif
se rattrape en ajoutant $\pi$ à l'argument, puisque
$-1 = e^{i\pi}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le facteur $-2$ est négatif, or le module ne l'est jamais

]]> Bonne réponse : dans $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, le
nombre $r$ est le module. On ajoute $\pi$ à l'angle :
$z = 2\left(\cos\dfrac{6\pi}{5} +
i\sin\dfrac{6\pi}{5}\right)$.

]]> L'angle $\dfrac{\pi}{5}$ n'est pas un angle remarquable

]]> L'angle est libre : aucune contrainte ne pèse sur
$\theta$, seul le facteur placé devant est en cause.

]]> Le cosinus et le sinus doivent porter des angles distincts

]]> Les deux angles doivent au contraire être égaux : c'est
la définition de la forme trigonométrique.

]]> Le signe $+$ entre les deux termes devrait être un $-$

]]> Le signe $+$ est correct : la forme s'écrit
$r(\cos\theta + i\sin\theta)$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q43 : Somme des arguments de $z$ et $\bar{z}$ Soit $z$ un nombre complexe non nul. Que vaut
$\arg(z) + \arg(\bar{z})$ ?

]]> Conjuguer conserve le module et change l'argument en son
opposé : $\bar{z} = re^{-i\theta}$. La somme des deux
arguments est donc nulle modulo $2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$, modulo $2\pi$

]]> Bonne réponse : $\arg(\bar{z}) = -\arg(z)$, les deux
angles sont opposés et leur somme est nulle.

]]> $2\arg(z)$, modulo $2\pi$

]]> Signe oublié : la conjugaison remplace l'argument par son
opposé, elle ne le conserve pas.

]]> $\pi$, modulo $2\pi$

]]> Demi-tour : $\pi$ apparaîtrait pour $\arg(z) + \arg(-z)$,
pas pour le conjugué.

]]> $\arg(z)$, modulo $2\pi$

]]> Argument du conjugué négligé : il vaut $-\arg(z)$, et
non $0$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q44 : Forme exponentielle et quadrant Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 - i\sqrt{3}$ ?

]]> Méthode : calculer le module, diviser par lui pour obtenir
$\cos\theta$ et $\sin\theta$, puis placer le point pour
choisir l'argument. Le dessin évite l'erreur de quadrant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2e^{-i\pi/3}$

]]> Bonne réponse : le module vaut $2$, puis
$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ce
qui donne $\theta = -\dfrac{\pi}{3}$.

]]> $2e^{i\pi/3}$

]]> Signe de l'angle : le sinus vaut $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ce qui fixe
le côté de l'axe des réels où se trouve le point.

]]> $4e^{-i\pi/3}$

]]> Module non réduit : $a^2 + b^2 = 4$ est le carré du
module, il reste à en prendre la racine.

]]> $2e^{2i\pi/3}$

]]> Quadrant raté : avec $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$, le point
n'est pas du côté annoncé par cet angle.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q45 : Une égalité de deux distances Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant
$|z - 1| = |z + 1|$ ?

]]> $|z - z_A| = AM$ : une égalité de deux modules de ce type
traduit $AM = BM$ et décrit la médiatrice de $[AB]$. Les
conditions de distance se lisent en géométrie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des imaginaires purs

]]> Bonne réponse : avec $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe
$-1$, la condition s'écrit $AM = BM$ : c'est la
médiatrice de $[AB]$, ici l'axe des ordonnées.

]]> Le cercle de centre l'origine et de rayon $1$

]]> Ce cercle correspondrait à $|z| = 1$, une seule distance
imposée, et non deux distances égales.

]]> L'axe des réels

]]> Axe confondu : sur l'axe des réels, seul le point $O$ est
à égale distance de $1$ et de $-1$.

]]> Le segment joignant les points d'affixes $-1$ et $1$

]]> Erreur : les points du segment sont à égale distance des
extrémités seulement au milieu.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q46 : Linéariser un carré de cosinus En écrivant $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et en
développant le carré, quelle expression de $\cos^2\theta$ obtient-on ?

]]> Les formules d'Euler transforment une puissance de cosinus ou de
sinus en somme de cosinus : on dit qu'on linéarise. C'est utile pour
calculer des primitives, comme celle de $\cos^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

]]> Bonne réponse : $\cos^2\theta = \dfrac{e^{2i\theta} + 2 +
e^{-2i\theta}}{4}$, et $e^{2i\theta} + e^{-2i\theta} =
2\cos(2\theta)$.

]]> $\cos(2\theta)$

]]> Erreur : en $\theta = \dfrac{\pi}{2}$, $\cos^2\theta = 0$ alors que
$\cos(\pi) = -1$ : les deux expressions diffèrent.

]]> $\dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$

]]> Erreur de signe : cette expression est celle de $\sin^2\theta$.
En $\theta = 0$, elle vaut $0$ et non $1$.

]]> $\dfrac{\cos(2\theta)}{2}$

]]> Erreur : le terme constant $\dfrac{2}{4}$ du développement a été
oublié.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q47 : Module d'un produit Deux complexes vérifient $|z_1| = 2$ et $|z_2| = 3$. Que vaut
$|z_1 z_2|$ ?

]]> $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$ et $\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : le module d'un produit est le produit des
modules : $2 \times 3 = 6$.

]]> $5$

]]> Erreur : les modules se multiplient, ils ne s'additionnent pas.

]]> $\sqrt{13}$

]]> Erreur : $\sqrt{a^2 + b^2}$ est le module de $a + bi$, sans
rapport avec un produit.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître $z_1$ et $z_2$

]]> Erreur : la propriété $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$ suffit.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q48 : Argument d'un produit Deux complexes non nuls ont pour arguments $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{6}$. Quel est
un argument de leur produit ?

]]> Multiplier deux complexes ajoute leurs arguments et multiplie leurs
modules.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : l'argument d'un produit est la somme des
arguments : $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$

]]> Erreur : la différence des arguments est l'argument du
quotient.

]]> $\dfrac{\pi^2}{18}$

]]> Erreur : les arguments s'ajoutent, ils ne se multiplient pas.

]]> $0$, le produit étant réel

]]> Erreur : rien n'indique que le produit soit réel ; son argument
est la somme $\dfrac{\pi}{2}$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q49 : Argument du quotient d'un complexe par son conjugué Soit $z = e^{i\dfrac{\pi}{4}}$. Quel est un argument de $\dfrac{z}{\bar{z}}$ ?

]]> $\arg \bar{z} = -\arg z$ et $\arg \dfrac{z_1}{z_2} = \arg z_1 -
\arg z_2$ : d'où $\arg \dfrac{z}{\bar{z}} = 2\arg z$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : $\bar{z} = e^{-i\dfrac{\pi}{4}}$, donc
$\dfrac{z}{\bar{z}} = e^{i\dfrac{\pi}{4}} \times e^{i\dfrac{\pi}{4}} = e^{2i\dfrac{\pi}{4}}$,
d'argument $2 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.

]]> $-\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : c'est l'argument de $\dfrac{\bar{z}}{z}$, le quotient
inverse.

]]> $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : diviser par $\bar{z}$ ajoute $\dfrac{\pi}{4}$ à l'argument, il
ne le laisse pas inchangé.

]]> $0$, le quotient étant réel

]]> Erreur : $\dfrac{z}{\bar{z}}$ a pour module $1$ mais n'est réel
que si $z$ l'est.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q50 : Affixe du milieu d'un segment Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et
$z_B = 3 - 4i$. Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?

]]> Comme pour les coordonnées, l'affixe du milieu est la moyenne des
affixes des extrémités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 - i$

]]> Bonne réponse : $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2} = \dfrac{4 - 2i}{2} =
2 - i$.

]]> $4 - 2i$

]]> Erreur : la somme des affixes doit être divisée par $2$.

]]> $1 - 3i$

]]> Erreur : $\dfrac{z_B - z_A}{2}$ est la moitié de l'affixe du
vecteur $\overrightarrow{AB}$, pas celle du milieu.

]]> $2 + i$

]]> Erreur : le signe de la partie imaginaire est faux ; reprenez
la somme des parties imaginaires.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q51 : Un ensemble défini par un module Dans le plan complexe, on considère les points $M$ dont l'affixe
$z$ vérifie $|z - 2| = 3$. Quelle figure forment-ils ?

]]> $|z - z_A| = r$ : les points à distance $r$ de $A$, le cercle de
centre $A$ et de rayon $r$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le cercle de centre $A(2)$ et de rayon $3$

]]> Bonne réponse : $|z - 2|$ est la distance $AM$ avec $A$
d'affixe $2$ ; $AM = 3$ caractérise le cercle.

]]> Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$

]]> Erreur : $|z| = 3$ donnerait le cercle centré en $O$ ; ici le
centre est le point d'affixe $2$.

]]> La droite d'équation $x = 2$

]]> Erreur : une égalité de module à une constante décrit un
cercle, pas une droite.

]]> Le cercle de centre $A(3)$ et de rayon $2$

]]> Erreur : centre et rayon ont été échangés.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q52 : Un ensemble défini par un argument Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ non nulle tels que
$\arg(z) = \dfrac{\pi}{4}$ ?

]]> Un argument fixé décrit une demi-droite issue de l'origine ; un
module fixé décrit un cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La demi-droite issue de $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$, sans $O$

]]> Bonne réponse : l'argument fixe la direction et le sens depuis
$O$, le module reste libre et strictement positif.

]]> La droite d'équation $y = x$ tout entière

]]> Erreur : les points de la demi-droite opposée ont pour argument
$\dfrac{\pi}{4} + \pi$.

]]> Le cercle trigonométrique, de rayon $1$

]]> Erreur : le cercle trigonométrique est défini par $|z| = 1$, pas
par un argument.

]]> Le seul point d'affixe $e^{i\pi/4}$, de module $1$

]]> Erreur : tous les multiples positifs de $e^{i\pi/4}$ ont le même
argument.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q53 : Image d'un point par une translation Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $1 + i$ par la
translation de vecteur d'affixe $2 - i$ ?

]]> Translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : la translation $z \mapsto z + 2 - i$ donne
$(1 + i) + (2 - i) = 3$.

]]> $-1 + 2i$

]]> Erreur : c'est $z - b$ ; une translation ajoute l'affixe du
vecteur.

]]> $3 + i$

]]> Erreur : $z \times b$ n'est pas une translation.

]]> $1 - i$

]]> Erreur : le conjugué de $z$ correspond à une symétrie, pas à une
translation.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q54 : Image d'un point par la rotation d'angle droit Quelle est l'affixe de l'image du point d'affixe $3 + i$ par la
rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ?

]]> La rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ s'écrit
$z \mapsto e^{i\theta} z$ ; pour $\theta = \dfrac{\pi}{2}$,
$e^{i\theta} = i$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1 + 3i$

]]> Bonne réponse : cette rotation s'écrit $z \mapsto iz$ ;
$i(3 + i) = -1 + 3i$, en utilisant $i^2 = -1$.

]]> $1 - 3i$

]]> Erreur : $-iz$ correspond à la rotation d'angle
$-\dfrac{\pi}{2}$.

]]> $3 - i$

]]> Erreur : le conjugué est l'image par la symétrie d'axe
$(O ; \vec{u})$, pas par la rotation.

]]> $-3 - i$

]]> Erreur : $-z$ est l'image par la symétrie de centre $O$,
rotation d'angle $\pi$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q55 : Distances et homothétie de centre O $A$ et $B$ ont pour affixes $1 + i$ et $3 + 2i$, donc $AB = \sqrt{5}$.
Soit $A'$ et $B'$ leurs images par $z \mapsto 2z$. Que vaut
$A'B'$ ?

]]> $z \mapsto kz$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :
elle multiplie toutes les distances par $|k|$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\sqrt{5}$

]]> Bonne réponse : $z_{B'} - z_{A'} = 2(z_B - z_A)$, donc
$A'B' = |2|\,AB = 2\sqrt{5}$ ; l'homothétie multiplie les
distances par $2$.

]]> $\sqrt{5}$

]]> Erreur : seule une isométrie, translation ou rotation,
conserve les distances.

]]> $4\sqrt{5}$

]]> Erreur : les distances sont multipliées par $2$ ; ce sont
les aires qui le sont par $2^2$.

]]> $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

]]> Erreur : le rapport $2 > 1$ agrandit, il ne réduit pas.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q56 : Formule d'addition du cosinus Pour tous réels $a$ et $b$, à quoi $\cos(a + b)$ est-il égal ?

]]> Partie réelle de $e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)$ :
$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a \sin b$, et la partie imaginaire
donne $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos a \cos b - \sin a \sin b$

]]> Bonne réponse : elle se démontre avec le produit scalaire de
deux vecteurs unitaires, ou en développant $e^{ia}e^{ib}$.

]]> $\cos a \cos b + \sin a \sin b$

]]> Signe inversé : cette expression vaut $\cos(a - b)$.

]]> $\cos a + \cos b$

]]> Le cosinus n'est pas linéaire : pour $a = b = \dfrac{\pi}{2}$,
$\cos \pi = -1$ alors que $\cos a + \cos b = 0$.

]]> $\sin a \cos b + \cos a \sin b$

]]> Formule voisine : cette expression vaut $\sin(a + b)$,
pas $\cos(a + b)$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q57 : Formule de duplication du cosinus Pour tout réel $a$, quelle égalité est vraie ?

]]> Avec $b = a$ dans les formules d'addition : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a
= 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$

]]> Bonne réponse : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$, et
$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$.

]]> $\cos(2a) = 2\cos a$

]]> Le cosinus n'est pas linéaire : pour $a = \pi$,
$\cos(2\pi) = 1$ alors que $2\cos \pi = -2$.

]]> $\cos(2a) = 1 - 2\cos^2 a$

]]> Signe inversé : pour $a = 0$, on trouverait
$\cos 0 = -1$. La bonne forme est $2\cos^2 a - 1$ (ou $1 - 2\sin^2 a$).

]]> $\cos(2a) = \cos^2 a + \sin^2 a$

]]> Cette somme vaut toujours $1$ ; la duplication fait
intervenir une différence, $\cos^2 a - \sin^2 a$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q58 : Une valeur exacte par la formule d'addition En écrivant $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$, que vaut
$\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ ?

]]> Les formules d'addition fournissent des valeurs exactes à partir des
angles remarquables : $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ et
$\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

]]> Bonne réponse : $\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}
= \dfrac{\sqrt{2}}{4} + \dfrac{\sqrt{6}}{4}$.

]]> $\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

]]> Signe de la formule : $\cos(a - b)$ s'écrit avec un plus,
$\cos a \cos b + \sin a \sin b$. La valeur trouvée est
$\sin\dfrac{\pi}{12}$.

]]> $\dfrac{1 - \sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\cos\dfrac{\pi}{3} - \cos\dfrac{\pi}{4}$ ; le cosinus d'une
différence n'est pas la différence des cosinus (ce nombre est
d'ailleurs négatif).

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

]]> Terme oublié : le produit $\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$
s'ajoute au produit des cosinus.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q59 : Calculer $\cos(2a)$ à partir de $\cos a$ On sait que $\cos a = \dfrac{1}{3}$. Que vaut $\cos(2a)$ ?

]]> La formule $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$ ne demande que $\cos a$ : inutile
de connaître $a$ ni $\sin a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{7}{9}$

]]> Bonne réponse : $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 2 \times \dfrac{1}{9} - 1 = -\dfrac{7}{9}$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Le cosinus n'est pas linéaire : $\cos(2a) \neq 2\cos a$.
On utilise $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$.

]]> $\dfrac{7}{9}$

]]> Signe inversé : la formule est $2\cos^2 a - 1$, et non
$1 - 2\cos^2 a$ (qui donne l'opposé).

]]> $\dfrac{2}{9}$

]]> Le $-1$ de la formule a été oublié : $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q60 : Calculer $\sin(2a)$ Soit $a \in \left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin a = \dfrac{3}{5}$, et donc
$\cos a = \dfrac{4}{5}$. Que vaut $\sin(2a)$ ?

]]> Avec $b = a$ dans $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, on obtient
$\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{24}{25}$

]]> Bonne réponse : $\sin(2a) = 2\sin a \cos a = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$.

]]> $\dfrac{6}{5}$

]]> Le sinus n'est pas linéaire : $\sin(2a) \neq 2\sin a$ (cette
valeur dépasse d'ailleurs parfois $1$).

]]> $\dfrac{12}{25}$

]]> Facteur $2$ oublié : $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.

]]> $\dfrac{7}{25}$

]]> Formule échangée : $\cos^2 a - \sin^2 a$ vaut $\cos(2a)$, pas
$\sin(2a)$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q61 : Développer $\cos(3\theta)$ par Moivre En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ par la formule de Moivre et en
utilisant $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$, on exprime $\cos(3\theta)$
en fonction de $\cos\theta$. Quel résultat obtient-on ?

]]> Moivre : $\cos(3\theta) + i\sin(3\theta) = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$. On
développe par le binôme et on identifie les parties réelles et imaginaires
(la partie imaginaire donne $\sin(3\theta) = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4\cos^3\theta - 3\cos\theta$

]]> Bonne réponse : la partie réelle vaut $\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$,
soit $\cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta)$.

]]> $4\cos^3\theta + 3\cos\theta$

]]> Signe : $-3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = -3\cos\theta + 3\cos^3\theta$ ;
pour $\theta = 0$, on trouverait $\cos 0 = 7$.

]]> $\cos^3\theta - 3\cos\theta$

]]> $\sin^2\theta$ a été remplacé par $1$ au lieu de $1 - \cos^2\theta$ ;
pour $\theta = 0$, on trouverait $\cos 0 = -2$.

]]> $3\cos\theta - 4\cos^3\theta$

]]> Signe inversé : pour $\theta = 0$, on trouverait $\cos 0 = -1$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q62 : Une suite géométrique complexe La suite $(z_n)$ est définie par $z_0 = 1$ et $z_{n+1} = (1 + i)\,z_n$.
Que vaut $z_{8}$ ?

]]> Une suite $z_{n+1} = q\,z_n$ est géométrique : $z_n = q^n z_0$. La forme
exponentielle de $q$ rend le calcul de $q^n$ immédiat : le module est élevé
à la puissance $n$, l'argument multiplié par $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$

]]> Bonne réponse : $z_n = (1 + i)^n$ et $1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, donc
$z_{8} = \left(\sqrt{2}\right)^{8} e^{i 8\pi/4} = 16\,e^{i2\pi} = 16$.

]]> $8 + 8i$

]]> Les termes ne s'ajoutent pas : à chaque étape on multiplie
par $1 + i$, la suite est géométrique.

]]> $256$

]]> Module mal pris : $|1 + i| = \sqrt{2}$, pas $2$ ; et l'argument
a été oublié.

]]> $-16$

]]> Argument mal compté : $8 \times \dfrac{\pi}{4} = 2\pi$, ce qui donne
$16$ et non son opposé.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q63 : Point fixe d'une suite $z_{n+1} = az_n + b$ On considère la suite définie par $z_{n+1} = i\,z_n + 1 + i$. Quel est
le complexe $\ell$ tel que $\ell = i\,\ell + 1 + i$ ?

]]> Si $a \neq 1$, la suite $u_n = z_n - \ell$ vérifie $u_{n+1} = a\,u_n$ :
elle est géométrique, ce qui donne une forme explicite de $z_n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\ell = i$

]]> Bonne réponse : $\ell(1 - a) = b$, donc $\ell = \dfrac{1 + i}{1 - i} = i$.

]]> $\ell = 1$

]]> Signe : en passant $a\ell$ à gauche, on obtient $\ell - a\ell$, soit
$\ell(1 - a)$ et non $\ell(1 + a)$.

]]> $\ell = 2$

]]> On a multiplié par $1 - a$ au lieu de diviser : $\ell(1 - a) = b$
donne $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$.

]]> $\ell = 1 - i$

]]> Le terme $\ell$ du membre de gauche a été oublié : l'équation
$\ell = a\ell + b$ donne $\ell(1 - a) = b$, pas $a\ell = b$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q64 : Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire Soit $z$ et $z'$ deux complexes non nuls, d'images $M$ et $M'$. Dans quel
cas a-t-on $|z + z'| = |z| + |z'|$ ?

]]> Inégalité triangulaire : $|z + z'| \leq |z| + |z'|$, avec égalité si et
seulement si les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OM'}$ sont
colinéaires et de même sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quand $z' = kz$ avec $k$ réel strictement positif

]]> Bonne réponse : $z$ et $z'$ ont alors un même argument : $M$ et $M'$
sont sur une même demi-droite d'origine $O$.

]]> Quand $z$ et $z'$ sont conjugués l'un de l'autre

]]> Contre-exemple : $z = i$, $z' = -i$ donne $|z + z'| = 0$ alors que
$|z| + |z'| = 2$.

]]> Quand $z$ et $z'$ ont le même module

]]> Contre-exemple : $z = 1$ et $z' = -1$ ont même module, mais
$|z + z'| = 0$. L'égalité dépend des arguments.

]]> Pour tous $z$ et $z'$, c'est une propriété du module

]]> Le module d'une somme n'est pas la somme des modules : on a
seulement $|z + z'| \leq |z| + |z'|$.

]]> Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle — Q65 : Stabilité de $\mathbb{U}$ Soit $z$ et $z'$ deux éléments de $\mathbb{U}$, l'ensemble des complexes de
module $1$. Quelle affirmation est toujours vraie ?

]]> $\mathbb{U}$ est le cercle trigonométrique. Il est stable par produit et
par passage à l'inverse : $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ et
$\dfrac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \overline{e^{i\theta}}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $zz' \in \mathbb{U}$ et $\dfrac{1}{z} \in \mathbb{U}$

]]> Bonne réponse : $|zz'| = |z|\,|z'| = 1$ et $\left|\dfrac{1}{z}\right| = \dfrac{1}{|z|} = 1$.

]]> $z + z' \in \mathbb{U}$ et $z - z' \in \mathbb{U}$

]]> Contre-exemple : $1 + 1 = 2$ est de module $2$. $\mathbb{U}$ est stable
par produit, pas par somme.

]]> $zz' = 1$ et $\dfrac{1}{z} = z$

]]> Contre-exemple : $i \times i = -1$. Le produit est de module $1$ sans
valoir forcément $1$, et $\dfrac{1}{z} = \bar{z}$, pas $z$.

]]> $z = z'$ ou bien $z = -z'$

]]> $\mathbb{U}$ contient une infinité de points : tout le cercle de
centre $O$ et de rayon $1$, par exemple $1$ et $i$.

]]>