$course$/QCM de maths/Maths expertes/Équations polynomiales et racines de l'unité Équations du second degré à coefficients réels de discriminant
négatif, factorisation de $z^n - a^n$ et de $P(z)$ par
$z - a$, majoration du nombre de racines par le degré, racines
$n$-ièmes de l'unité et ensemble $\mathbb{U}_n$, utilisation
des complexes en géométrie.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q01 : Second degré à discriminant négatif Quelles sont les solutions complexes de l'équation
$z^2 + 4 = 0$ ?

]]> Si $\Delta < 0$, l'équation $az^2 + bz + c = 0$ (coefficients
réels) admet deux racines complexes conjuguées :
$z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 2i$ et $z = -2i$

]]> Bonne réponse : $z^2 = -4 = 4i^2$, donc $z = \pm 2i$ :
deux solutions conjuguées, comme toujours pour une
équation à coefficients réels.

]]> $z = 2$ et $z = -2$

]]> Erreur : $(\pm 2)^2 = +4 \neq -4$. Les solutions de
$z^2 = -4$ sont imaginaires pures.

]]> Aucune : l'équation n'a pas de solution

]]> Vrai dans $\mathbb{R}$, faux dans $\mathbb{C}$ : les
complexes ont été créés exactement pour ça.

]]> $z = 2i$ seulement

]]> Incomplet : $(-2i)^2 = 4i^2 = -4$ aussi : une équation
de degré $2$ dans $\mathbb{C}$ a deux racines (comptées
avec multiplicité).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q02 : Résolution complète Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ?

]]> $\Delta = -16 < 0$ : racines $1 \pm 2i$. Vérification par
somme et produit : $s = 2 = -b/a$, $p = 1 + 4 = 5 = c/a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 4 - 20 = -16$, donc
$z = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = 1 \pm 2i$.

]]> $z = 1 + 4i$ et $z = 1 - 4i$

]]> Division oubliée : $\sqrt{-\Delta} = 4$, puis on divise
tout par $2a = 2$ : $\pm 2i$, pas $\pm 4i$.

]]> $z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$

]]> Signe de $b$ : la formule commence par $-b = +2$, d'où
partie réelle $+1$. (Contrôle : somme des racines
$= -b/a = 2$.)

]]> Pas de solution car $\Delta = -16 < 0$

]]> Réflexe de première à abandonner : dans $\mathbb{C}$,
$\Delta < 0$ donne deux racines conjuguées.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q03 : Somme et produit des racines Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines
de $z^2 - 6z + 13 = 0$ ?

]]> $z^2 - sz + p = (z - z_1)(z - z_2)$ : $s = z_1 + z_2$, $p =
z_1 z_2$. Ici : racines $3 \pm 2i$ (somme $6$, produit
$9 + 4 = 13$). Outil de contrôle et de fabrication
d'équations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Somme $= 6$, produit $= 13$

]]> Bonne réponse : pour $z^2 + bz + c$ unitaire, somme
$= -b$ et produit $= c$ : ils se lisent sur le polynôme.

]]> Somme $= -6$, produit $= 13$

]]> Signe : somme $= -b = -(-6) = +6$ (développer
$(z - z_1)(z - z_2)$ pour s'en convaincre).

]]> Somme $= 6$, produit $= -13$

]]> Signe du produit : $(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - sz + p$ :
le produit est le terme constant, $+13$.

]]> Impossible sans calculer les racines

]]> Erreur : c'est le point du cours : somme et produit se
lisent directement sur les coefficients.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q04 : Factoriser quand une racine est connue Soit $P(z) = z^3 - 1$. On sait que $P(1) = 0$. Quelle
factorisation est correcte ?

]]> Théorème central (démonstration au programme) : si $P(a) =
0$, alors $P(z)$ se factorise par $(z - a)$. Cas modèle :
$z^n - a^n = (z - a)\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$

]]> Bonne réponse : identité $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} +
az^{n-2} + \dots + a^{n-1})$ avec $n = 3$, $a = 1$.
Développer pour contrôler.

]]> $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + 1)$

]]> Développement faux : $(z-1)(z^2+1) = z^3 - z^2 + z - 1$.
Le facteur exact est $z^2 + z + 1$.

]]> $z^3 - 1 = (z - 1)^3$

]]> Erreur : $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$. Une racine
n'est pas forcément triple !

]]> $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 - z + 1)$

]]> Signe : $z^2 \textbf{+} z + 1$. (Le facteur $z^2 - z +
1$ correspond à $z^3 \textbf{+} 1 = (z+1)(z^2-z+1)$.)

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q05 : Nombre de racines et degré Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au
maximum, un polynôme de degré $5$ ?

]]> Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.
Application clé : deux polynômes de degré $\leq n$ égaux en
$n + 1$ points sont égaux partout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : chaque racine détache un facteur
$(z - a)$ ; le degré $5$ ne peut en fournir que $5$
(démonstration au programme).

]]> Une infinité

]]> Erreur : seul le polynôme nul a une infinité de
racines. Degré $5$ = au plus $5$ racines : c'est le
théorème.

]]> $10$

]]> Erreur : la borne est le degré lui-même, pas son double.

]]> Exactement $5$, toujours

]]> Nuance : au plus $5$ racines distinctes ; il peut y
en avoir moins ($z^5 = 0$ n'a que la racine $0$,
quintuple).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q06 : Équation de degré 3 avec racine connue L'équation $z^3 - z^2 + 3z + 5 = 0$ admet la racine $z =
-1$. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?

]]> Méthode : identifier $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z +
1)(az^2 + bz + c)$ (ou poser la division), puis résoudre le
trinôme. Ici : $(z+1)(z^2 - 2z + 5)$, racines $-1$,
$1 \pm 2i$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$

]]> Bonne réponse : $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z + 1)(z^2 - 2z
+ 5)$, et le second facteur donne $\Delta = -16$, soit
$1 \pm 2i$.

]]> $z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$

]]> Erreur dans le second facteur : la division donne
$z^2 \textbf{−} 2z + 5$ (racines de partie réelle
$+1$).

]]> $z = 5$ et $z = -1$

]]> Erreur : contrôle immédiat : $5^3 - 5^2 + 15 + 5 =
120 \neq 0$. Il faut diviser par $(z + 1)$ puis résoudre
le trinôme.

]]> Aucune autre : $-1$ est la seule solution

]]> Incomplet : le quotient $z^2 - 2z + 5$ a deux racines
complexes conjuguées ($\Delta = -16$).

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q07 : Racines $n$-ièmes de l'unité Qu'appelle-t-on racines $n$-ièmes de l'unité ?

]]> $\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \dots, n-1\}$ :
$n$ points en polygone régulier sur le cercle unité, dont
toujours $1$. Détermination au programme (démonstration).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les solutions complexes de l'équation $z^n = 1$

]]> Bonne réponse : elles sont exactement $n$ : $e^{2ik\pi/n}$
pour $k = 0, 1, \dots, n - 1$, régulièrement espacées
sur le cercle unité.

]]> Les solutions de $z^n = 0$

]]> Erreur : $z^n = 0$ n'a que la solution $z = 0$. L'unité,
c'est $1$ : on résout $z^n = 1$.

]]> Les nombres $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, 1$

]]> Erreur : ce sont des rationnels de $[0\ ;\ 1]$. Les
racines de l'unité vivent sur le cercle unité.

]]> Les solutions de $z^n = n$

]]> Erreur : « unité » désigne le nombre $1$ : l'équation
est $z^n = 1$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q08 : Racines cubiques de l'unité Cercle unité du plan complexe avec les trois racines cubiques de l'unité : 1, j et j au carré, sommets d'un triangle équilatéral en pointillés.

Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{2i\pi/3}$
et $j^2$ (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique
de $j$ ?

]]> $\mathbb{U}_3 = \{1,\ j,\ j^2\}$ avec $j = e^{2i\pi/3} =
-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Relations d'or :
$j^3 = 1$, $j^2 = \bar{j}$ et $1 + j + j^2 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Bonne réponse : $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,
$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : le sommet en
haut à gauche du triangle équilatéral.

]]> $j = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Signe du cosinus : l'angle $\frac{2\pi}{3}$ est dans le
deuxième quadrant : partie réelle négative. ($\frac{1}{2}
+ i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$, racine sixième.)

]]> $j = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> C'est $j^2 = e^{4i\pi/3} = \bar{j}$ : l'autre racine non
réelle, sous l'axe.

]]> $j = -1$

]]> Erreur : $(-1)^3 = -1 \neq 1$ : $-1$ est racine
carrée, pas cubique, de l'unité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q09 : Racines quatrièmes de l'unité Quelles sont les solutions de $z^4 = 1$ ?

]]> $\mathbb{U}_4 = \{1, i, -1, -i\}$ : carré inscrit dans le
cercle unité. Cas particuliers au programme : $n = 2$
($\pm 1$), $n = 3$ ($1, j, j^2$), $n = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$, $i$, $-1$ et $-i$

]]> Bonne réponse : les quatre points cardinaux du cercle
unité ($e^{ik\pi/2}$, $k = 0, 1, 2, 3$) : le carré
inscrit.

]]> $1$ et $-1$ seulement

]]> Incomplet : ce sont les racines carrées ; $i^4 =
(i^2)^2 = 1$ et $(-i)^4 = 1$ aussi : quatre racines pour
le degré $4$.

]]> $1$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{3}{4}$

]]> Erreur : $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \neq
1$. Les racines sont sur le cercle unité, pas dans
l'intervalle $[0\ ;\ 1]$.

]]> $1$ et $i$ seulement

]]> Incomplet : leurs opposés conviennent aussi (puissance
paire) : $\mathbb{U}_4$ a quatre éléments.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q10 : Somme des racines $n$-ièmes Que vaut la somme $1 + j + j^2$ des trois racines cubiques
de l'unité ?

]]> Pour tout $n \geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de
l'unité est nulle : somme géométrique de raison $\omega \neq
1$ avec $\omega^n = 1$. Un classique des problèmes
(polygones réguliers, transformation de Fourier discrète).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : $1 + j + j^2 = \dfrac{j^3 - 1}{j - 1} =
\dfrac{0}{j - 1} = 0$ (somme géométrique). Géométrie :
le centre de gravité du triangle équilatéral est
l'origine.

]]> $1$

]]> Erreur : les deux racines non réelles $j$ et $j^2 =
\bar{j}$ somment à $2\,\text{Re}(j) = -1$, qui annule le
$1$.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ serait la somme si les trois racines
valaient $1$. Elles pointent dans trois directions qui
se compensent exactement.

]]> $j^3$

]]> Erreur : $j^3 = 1$ (c'est la définition d'une racine
cubique), et la somme ne vaut pas $1$ mais $0$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q11 : Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que traduit l'appartenance du quotient
$\dfrac{c - a}{b - a}$ à $\mathbb{R}$ ?

]]> Dictionnaire géométrique : $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right| =
\dfrac{AC}{AB}$ et $\arg\dfrac{c-a}{b-a} =
(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$. Quotient réel : points alignés ; quotient imaginaire pur : angle droit en $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
$(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$ ;
un quotient réel correspond à un angle nul ou plat, donc à un alignement.

]]> Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$

]]> C'est le cas imaginaire pur : angle $\pm\pi/2$ en
$A$, donc orthogonalité de $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$.

]]> $ABC$ est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral correspond à un quotient de module
$1$ et d'argument $\pm\pi/3$ ($e^{\pm i\pi/3}$), pas à
un réel.

]]> $B$ et $C$ sont confondus

]]> Erreur : $b = c$ donnerait un quotient égal à $1$,
certes réel, mais le cas général « quotient réel »
couvre tout l'alignement.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q12 : Racines de l'unité et polygones Les images des racines $5$-ièmes de l'unité forment quelle
figure du plan complexe ?

]]> $\mathbb{U}_n$ = sommets du polygone régulier à $n$ côtés
inscrit dans le cercle unité, un sommet en $1$. C'est le
pont entre équations polynomiales et géométrie (construction
du pentagone, $\cos\frac{2\pi}{5}$…).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité

]]> Bonne réponse, avec un sommet en $1$ : les
$e^{2ik\pi/5}$ partagent le cercle en $5$ arcs égaux à
partir de $1$ : polygone régulier garanti par la
régularité des angles.

]]> Cinq points régulièrement espacés sur l'axe réel

]]> Erreur : une seule racine $5$-ième est réelle ($1$, car
$5$ est impair). Les autres se répartissent sur le
cercle unité.

]]> Un pentagone régulier centré au point d'affixe $1$

]]> Erreur de centre : le polygone est inscrit dans le
cercle de centre $O$ (module $1$) ; $1$ en est un
sommet.

]]> Cinq points au hasard sur le cercle unité

]]> Erreur : les arguments $\frac{2k\pi}{5}$ sont en
progression arithmétique : espacement parfaitement
régulier, rien d'aléatoire.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q13 : Racines par paires conjuguées Un polynôme à coefficients réels admet $2 + 3i$ comme
racine. Que peut-on affirmer ?

]]> Coefficients réels : $P(z) = 0 \Rightarrow P(\bar{z}) = 0$ :
l'axe réel est un miroir pour les racines. Conséquence : un
polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine
réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 - 3i$ est aussi racine

]]> Bonne réponse : les racines non réelles vont par paires
conjuguées. Conjuguer l'égalité $P(z) = 0$ donne
$P(\bar{z}) = 0$ (les coefficients réels sont leurs
propres conjugués).

]]> $-2 - 3i$ est aussi racine

]]> Confusion : $-2 - 3i$ est l'opposé : la symétrie des
coefficients réels est la conjugaison (signe de la
partie imaginaire seule).

]]> Rien, chaque racine est indépendante

]]> Erreur : les coefficients réels imposent la symétrie par
conjugaison : c'est un théorème, pas un hasard.

]]> Le polynôme n'a que des racines complexes

]]> Erreur : des racines réelles peuvent coexister (elles
sont leurs propres conjuguées) : la paire ne concerne
que les racines NON réelles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q14 : Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$ Quelles sont les solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?

]]> $z^2 + z + 1 = 0$ : les racines sont $j = e^{2i\pi/3}$ et
$j^2 = \bar{j}$ : le facteur non trivial de $z^3 - 1$. Somme
$-1$, produit $1$ : contrôle immédiat par les relations
coefficients-racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z = \dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 1 - 4 = -3$, racines $\frac{-1
\pm i\sqrt{3}}{2}$, c'est-à-dire les nombres $j$ et
$j^2$, racines cubiques non réelles de l'unité (cohérent
: $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$).

]]> $z = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

]]> Le $i$ oublié : $\Delta = -3 < 0$ : les racines sont
complexes : $\sqrt{-\Delta} = \sqrt{3}$ s'accompagne du
facteur $i$.

]]> $z = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

]]> Erreur : $\Delta = 1 - 4 = -3$, pas $1 + 4 = 5$ ; le
signe du terme constant a été inversé, et les racines
sont complexes.

]]> Aucune, car $\Delta < 0$

]]> Réflexe de première : dans $\mathbb{C}$, $\Delta < 0$
fournit deux racines conjuguées : c'est tout l'objet du
chapitre.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q15 : Factoriser $z^2 + a^2$ Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\mathbb{C}$ ?

]]> Dans $\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : comme $i^2 = -1$, une
somme de carrés devient une différence de carrés et se factorise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(z - 3i)(z + 3i)$

]]> Bonne réponse : $z^2 + 9 = z^2 - (3i)^2$ : une
différence de carrés déguisée : les racines $\pm 3i$
fournissent les facteurs.

]]> $(z + 3)(z - 3)$

]]> Signe : $(z+3)(z-3) = z^2 - 9$ : pour $z^2 + 9$, les
racines sont imaginaires : $\pm 3i$.

]]> $(z + 3)^2$

]]> Développement : $(z+3)^2 = z^2 + 6z + 9$ : le double
produit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en
$z$.

]]> Il ne se factorise pas : somme de carrés

]]> Vrai avec des facteurs réels, faux dans $\mathbb{C}$ : $3i$ est racine car
$(3i)^2 + 9 = 0$, donc $z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i)$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q16 : Combien de racines $n$-ièmes ? Combien l'équation $z^n = 1$ a-t-elle de solutions
complexes ?

]]> $\mathbb{U}_n$ compte exactement $n$ éléments : le degré
majore, l'exhibition des $e^{2ik\pi/n}$ atteint la borne.
C'est LE cas d'école où « au plus $n$ » devient
« exactement $n$ ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement $n$

]]> Bonne réponse : les $e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, \dots,
n - 1$, toutes distinctes : le maximum autorisé par le
degré, atteint.

]]> Une seule : $z = 1$

]]> Vision réelle : dans $\mathbb{C}$, le cercle fournit $n$
solutions régulièrement espacées ($1$ n'est que celle de
$k = 0$).

]]> Deux : $z = 1$ et $z = -1$

]]> Cas particulier : $\pm 1$ sont les solutions pour $n =
2$ (et $-1$ seulement si $n$ est pair) : en général, il
y en a $n$.

]]> Une infinité

]]> Erreur : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$
racines : les angles $\frac{2k\pi}{n}$ se répètent
modulo $2\pi$ : exactement $n$ points distincts.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q17 : Quotient imaginaire pur $A$, $B$, $C$ sont trois points d'affixes $a$, $b$, $c$
distinctes. Que signifie « $\dfrac{c - a}{b - a}$ est
imaginaire pur (non nul) » ?

]]> Le quotient $\frac{c-a}{b-a}$ : son argument est l'angle en
$A$, son module est le rapport $\frac{AC}{AB}$. Réel :
alignement ; imaginaire pur : angle droit en $A$, donc
triangle rectangle en $A$ ; $e^{i\pi/3}$ : triangle
équilatéral. Un dictionnaire géométrique complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$

]]> Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle
$(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$ : un
imaginaire pur a pour argument $\pm\frac{\pi}{2}$, donc
l'angle en $A$ entre $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{AC}$ est droit : le triangle est
rectangle en $A$.

]]> Les trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés

]]> Inversé : l'alignement correspond au quotient réel
(argument $0$ ou $\pi$) : l'imaginaire pur traduit la
perpendicularité.

]]> Le triangle $ABC$ est équilatéral

]]> Erreur : équilatéral demande un quotient $e^{\pm
i\pi/3}$ (module $1$, angle $60°$) : ni réel ni
imaginaire pur.

]]> Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$

]]> Confusion module/argument : l'égalité $AB = AC$ se lit
sur le MODULE du quotient (égal à $1$) : l'imaginaire pur
parle de l'angle, pas des longueurs. Avec $a = 0$,
$b = 1$ et $c = 2i$, le quotient vaut $2i$, imaginaire
pur, alors que $AB = 1$ et $AC = 2$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q18 : Résoudre $z^3 = 8$ Quelles sont les solutions complexes de $z^3 = 8$ ?

]]> $z^n = a$ ($a > 0$) : solutions $\sqrt[n]{a}\;e^{2ik\pi/n}$ :
la racine réelle multipliée par les racines $n$-ièmes de
l'unité : polygone régulier de rayon $\sqrt[n]{a}$. Ramener
à $\mathbb{U}_n$ par division : le réflexe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$, $2j$ et $2j^2$

]]> Bonne réponse, avec $j = e^{2i\pi/3}$ : $z^3 = 8 \iff
\left(\frac{z}{2}\right)^3 = 1$, les solutions sont $2$
fois les racines cubiques de l'unité : un triangle
équilatéral de rayon $2$.

]]> $2$ seulement

]]> Vision réelle : $2$ est la seule solution RÉELLE : dans
$\mathbb{C}$, le degré $3$ livre trois racines ($2j$ et
$2j^2$ complètent).

]]> $2$, $-2$ et $2i$

]]> Contrôle : $(-2)^3 = -8 \neq 8$ et $(2i)^3 = -8i$ : les
bonnes racines s'obtiennent en tournant de $120°$ :
$2e^{2i\pi/3}$, $2e^{4i\pi/3}$.

]]> $8$, $8j$ et $8j^2$

]]> Module : la racine cubique de $8$ est $2$ ($2^3 = 8$) :
le module des solutions est $2$, pas $8$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q19 : Résoudre une équation du second degré à racines conjuguées Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ dans $\mathbb{C}$ ?

]]> Pour un discriminant négatif, les racines s'écrivent
$\dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$. Elles sont conjuguées l'une de
l'autre lorsque les coefficients sont réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 + 2i$ et $1 - 2i$

]]> Bonne réponse : le discriminant vaut $-16$, donc les racines sont
$\dfrac{2 \pm 4i}{2}$.

]]> $1 + 4i$ et $1 - 4i$

]]> Division incomplète : le dénominateur $2a = 2$ divise aussi la
partie imaginaire $\sqrt{|\Delta|} = 4$.

]]> $2 + 4i$ et $2 - 4i$

]]> Division oubliée : les deux parties sont à diviser par $2a = 2$ ;
la partie réelle vaut $\dfrac{-b}{2a} = 1$.

]]> Aucune solution

]]> Dans $\mathbb{C}$, un discriminant négatif fournit deux racines
conjuguées.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q20 : Les racines sixièmes de l'unité Combien de racines sixièmes de l'unité existe-t-il, et quel est leur
module ?

]]> L'équation $z^n = 1$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$,
toutes de module $1$, formant un polygone régulier à $n$ sommets sur le
cercle unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Six racines, toutes de module $1$

]]> Bonne réponse : elles se répartissent régulièrement sur le cercle
unité.

]]> Six racines, de modules différents

]]> Le module de chacune élevé à la puissance $6$ doit valoir $1$, donc il
vaut $1$.

]]> Une seule racine, égale à $1$

]]> C'est la seule racine réelle positive, mais cinq autres existent dans
$\mathbb{C}$.

]]> Deux racines, $1$ et $-1$

]]> Ce sont les deux racines réelles ; les quatre autres sont non réelles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q21 : Factoriser $z^3 - a^3$ Sachant que $z^3 - 27$ se factorise par $z - 3$, quelle est cette
factorisation ?

]]> La factorisation de $z^n - a^n$ par $z - a$ donne ici
$z^3 - 3^3 = (z - 3)(z^2 + 3z + 9)$. Le second facteur a pour discriminant
$-27$, négatif : l'équation $z^3 = 27$ a donc deux autres solutions,
non réelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(z - 3)(z^2 + 3z + 9)$

]]> Bonne réponse : $z^3 - a^3 = (z - a)(z^2 + az + a^2)$ avec $a = 3$ ; le
développement redonne $z^3 - 27$.

]]> $(z - 3)(z^2 - 3z + 9)$

]]> Signe du terme en $z$ : le développement donne $z^3 - 6z^2 + 18z - 27$.

]]> $(z - 3)(z^2 + 9)$

]]> Terme en $z$ oublié : le développement donne $z^3 - 3z^2 + 9z - 27$.

]]> $(z - 3)(z^2 + 6z + 9)$

]]> Confusion avec $(z + 3)^2$ : le développement donne $z^3 + 3z^2 - 9z - 27$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q22 : Factoriser à partir d'une racine Le polynôme $P(z) = z^3 - 1$ admet $1$ pour racine.
Quelle est sa factorisation ?

]]> Si $a$ est racine de $P$, alors $P$ se factorise par $z - a$. Le quotient
s'obtient par division euclidienne ou par identification des
coefficients.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(z - 1)(z^2 + z + 1)$

]]> Bonne réponse : la division par $z - 1$ donne le trinôme
$z^2 + z + 1$.

]]> $(z - 1)(z^2 - z + 1)$

]]> Signe faux : le développement donnerait $z^3 - 2z^2 + 2z - 1$.

]]> $(z + 1)(z^2 - z + 1)$

]]> Ce produit vaut $z^3 + 1$, pas $z^3 - 1$.

]]> $(z - 1)^3$

]]> Ce produit vaut $z^3 - 3z^2 + 3z - 1$, et supposerait une racine
triple.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q23 : Racines conjuguées Un polynôme à coefficients réels admet $3 - 2i$ pour racine.
Quelle autre racine possède-t-il nécessairement ?

]]> Si $P$ est à coefficients réels et $a$ en est racine, alors $\bar{a}$ l'est
aussi. Les racines non réelles apparaissent donc toujours par paires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3 + 2i$

]]> Bonne réponse : pour des coefficients réels, les racines non réelles
vont par paires conjuguées.

]]> $-3 + 2i$

]]> L'opposé n'a aucune raison d'être racine : c'est le conjugué qui l'est.

]]> $-3 - 2i$

]]> Même remarque : seuls les signes de la partie imaginaire changent.

]]> $2 - 3i$

]]> Parties échangées : le conjugué garde la même partie réelle.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q24 : Une racine double selon $m$ Pour quelles valeurs réelles de $m$ l'équation $z^2 + mz + 9 = 0$
admet-elle une racine double ?

]]> Une racine double correspond à un discriminant nul. On résout donc
$m^2 - 4 \times 1 \times 9 = 0$, ce qui donne deux valeurs opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 6$ ou $m = -6$

]]> Bonne réponse : le discriminant $m^2 - 36$ s'annule pour ces deux
valeurs.

]]> $m = 9$ ou $m = -9$

]]> Terme constant recopié : le discriminant fait intervenir $4ac$, soit
$36$.

]]> $m = 3$ ou $m = -3$

]]> Racine prise trop tôt : $\sqrt{9}$ vaut $3$, mais le discriminant vaut
$m^2 - 36$.

]]> $m = 36$ seulement

]]> Racine carrée oubliée, et la valeur opposée convient aussi.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q25 : Somme et produit des racines Pour $z^2 - 6z + 13 = 0$, que valent la somme et le produit des
racines ?

]]> Les relations entre coefficients et racines valent dans $\mathbb{C}$ comme
dans $\mathbb{R}$. Elles permettent de vérifier un calcul sans résoudre
l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Somme $6$, produit $13$

]]> Bonne réponse : les relations donnent $-\dfrac{b}{a}$ et
$\dfrac{c}{a}$.

]]> Somme $-6$, produit $13$

]]> Signe de la somme : elle vaut l'opposé du coefficient de $z$.

]]> Somme $6$, produit $-13$

]]> Signe du produit : il vaut le terme constant, sans changement de
signe.

]]> Somme $13$, produit $6$

]]> Rôles échangés : le terme constant donne le produit, le coefficient de
$z$ la somme.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q26 : Une équation sans solution réelle Combien l'équation $z^4 + 1 = 0$ a-t-elle de solutions réelles ?

]]> Une équation de degré $4$ a toujours quatre solutions dans $\mathbb{C}$,
mais elles peuvent toutes être non réelles. Ici les quatre racines ont pour
arguments $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{4}$ et
$\dfrac{7\pi}{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Bonne réponse : une puissance quatrième d'un réel est positive, donc la
somme ne peut pas s'annuler.

]]> Deux

]]> Les quatre solutions complexes sont toutes non réelles, réparties en
deux paires conjuguées.

]]> Quatre

]]> Le compte de quatre vaut dans $\mathbb{C}$, pas dans $\mathbb{R}$.

]]> Une seule

]]> Aucun réel ne convient : pour tout réel $x$, $x^4 + 1$ vaut au moins
$1$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q27 : Résoudre $z^4 = 16$ Combien l'équation $z^4 = 16$ a-t-elle de solutions dans
$\mathbb{C}$ ?

]]> L'équation $z^n = a$ admet exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$,
obtenues en divisant l'argument de $a$ par $n$ puis en ajoutant
régulièrement $\dfrac{2\pi}{n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quatre

]]> Bonne réponse : ce sont $2$, $-2$, $2i$ et $-2i$.

]]> Deux

]]> Seules les solutions réelles sont comptées : deux autres sont
imaginaires pures.

]]> Une seule

]]> Même dans $\mathbb{R}$, l'équation admet déjà deux solutions.

]]> Huit

]]> Le nombre de solutions égale le degré, soit quatre.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q28 : Reconstituer un polynôme Quel polynôme unitaire de degré $2$ admet $2 + i$ et $2 - i$ pour
racines ?

]]> Un polynôme unitaire de degré $2$ s'écrit $z^2 - sz + p$, où $s$ est la
somme des racines et $p$ leur produit. Pour deux conjugués, les deux sont
réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $z^2 - 4z + 5$

]]> Bonne réponse : la somme des racines vaut $4$ et leur produit $5$.

]]> $z^2 + 4z + 5$

]]> Signe du coefficient de $z$ : il vaut l'opposé de la somme des
racines.

]]> $z^2 - 4z - 5$

]]> Produit mal calculé : $(2+i)(2-i)$ vaut $4 + 1 = 5$.

]]> $z^2 - 5z + 4$

]]> Somme et produit échangés : la somme vaut $4$, le produit $5$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q29 : Discriminant négatif Que devient la formule des racines lorsque le discriminant est
négatif ?

]]> La formule du second degré vaut dans $\mathbb{C}$ sans modification, en
écrivant $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}$ lorsque le discriminant est
négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le radical devient $i\sqrt{|\Delta|}$

]]> Bonne réponse : le reste de la formule est inchangé.

]]> La formule ne s'applique tout simplement plus

]]> Elle s'applique parfaitement, à condition d'accepter les racines
complexes.

]]> Le dénominateur devient $2ai$

]]> Le dénominateur reste $2a$ : seul le radical change.

]]> Les deux racines deviennent égales

]]> Elles sont distinctes et conjuguées ; l'égalité correspond à un
discriminant nul.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q30 : Écrire les racines $n$-ièmes Comment s'écrivent les racines $n$-ièmes de l'unité ?

]]> Les racines $n$-ièmes de l'unité sont les $e^{2ik\pi/n}$ pour $k$ variant
de $0$ à $n-1$. Elles forment un groupe pour la multiplication, engendré
par $e^{2i\pi/n}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{2ik\pi/n}$ pour $k$ de $0$ à $n-1$

]]> Bonne réponse : au-delà de $n-1$, les valeurs se répètent
périodiquement.

]]> $e^{ik\pi/n}$ pour $k$ de $0$ à $n-1$

]]> Facteur $2$ oublié : ces nombres ne couvrent qu'un demi-tour.

]]> $e^{2ik\pi/n}$ pour $k$ de $1$ à $n$

]]> Les valeurs $k = 0$ et $k = n$ donnent la même racine : la liste est
correcte mais décalée, et l'énoncé attend l'écriture usuelle.

]]> $\dfrac{2ik\pi}{n}$ pour $k$ de $0$ à $n-1$

]]> Exponentielle oubliée : ces nombres sont des imaginaires purs, pas des
racines de l'unité.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q31 : Calculer un discriminant Quel est le discriminant de l'équation $z^2 + 2z + 5 = 0$ ?

]]> Le discriminant de $az^2 + bz + c = 0$ vaut $\Delta = b^2 - 4ac$.
Lorsqu'il est négatif, l'équation admet deux racines conjuguées
$\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-16$

]]> Bonne réponse : $\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \times 5 =
-16$. Il est négatif, donc l'équation admet deux racines
complexes conjuguées.

]]> $24$

]]> Signe inversé : la formule retranche $4ac$, elle ne l'ajoute
pas. On obtient $(2)^2 - 4 \times 5 = -16$.

]]> $-1$

]]> Facteur $4$ oublié : le discriminant vaut $b^2 - 4ac$, donc
$(2)^2 - 4 \times 5 = -16$.

]]> $16$

]]> Termes échangés : on part de $b^2$ et on en retranche $4ac$,
dans cet ordre, ce qui donne $-16$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q32 : Imaginaires purs parmi les racines quatrièmes Parmi les quatre solutions complexes de l'équation $z^4 = 1$,
combien sont des imaginaires purs ?

]]> Les solutions de $z^4 = 1$ sont $1$, $i$, $-1$ et $-i$, les quatre
points cardinaux du cercle unité. Un imaginaire pur ayant une
partie réelle nulle, seules $i$ et $-i$ en sont.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : $i$ et $-i$

]]> Bonne réponse : les solutions sont $1$, $i$, $-1$ et $-i$, et
seules les deux dernières ont une partie réelle nulle.

]]> Une seule, le nombre $i$

]]> Conjugué oublié : $(-i)^4 = 1$ également, donc $-i$ convient
aussi. Cela fait deux imaginaires purs.

]]> Aucune : elles sont toutes réelles

]]> Erreur : seules $1$ et $-1$ sont réelles ; les deux autres
solutions sont $i$ et $-i$.

]]> Les quatre, car elles sont complexes

]]> Confusion : un imaginaire pur a une partie réelle nulle, ce
qui exclut $1$ et $-1$, pourtant bien complexes.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q33 : La relation $j^3 = 1$ On note $j = e^{2i\pi/3}$. Que vaut $j^3$ ?

]]> Un complexe $z$ est racine cubique de l'unité lorsque $z^3 = 1$.
Les trois racines cubiques sont $1$, $j$ et $j^2$. Les relations
$j^3 = 1$ et $1 + j + j^2 = 0$ réduisent tout calcul portant sur
$j$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $j^3 = e^{3 \times 2i\pi/3} = e^{2i\pi} = 1$.
C'est la définition même d'une racine cubique de l'unité.

]]> $j$

]]> Erreur : l'exposant $3$ triple l'argument, qui devient
$2\pi$ : on revient au point $1$, pas à $j$.

]]> $-1$

]]> Confusion avec $(-1)^3 = -1$ : ici l'argument $\frac{2\pi}{3}$
multiplié par $3$ donne un tour complet, donc $1$.

]]> $0$

]]> Erreur : $j$ a pour module $1$, donc $j^3$ aussi ; un produit
de nombres non nuls n'est jamais nul.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q34 : Factoriser à partir de deux racines conjuguées Le trinôme $P(z) = z^2 - 4z + 13$ admet pour racines
$2 + 3i$ et $2 - 3i$. Quelle est sa forme factorisée dans
$\mathbb{C}$ ?

]]> Un polynôme unitaire de degré $2$ de racines $z_1$ et $z_2$ s'écrit
$(z - z_1)(z - z_2)$. Pour deux racines conjuguées, le produit
$(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)$ vaut $(z - 2)^2 + 9$ :
les coefficients obtenus sont bien réels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(z - 2 - 3i)(z - 2 + 3i)$

]]> Bonne réponse : un trinôme unitaire s'écrit
$(z - z_1)(z - z_2)$. On soustrait chaque racine, et le
produit redonne bien $z^2 - 4z + 13$.

]]> $(z - (2 + 3i))(z + (2 - 3i))$

]]> Signe du second facteur : soustraire la racine $2 - 3i$
s'écrit $z - 2 + 3i$, et non $z + 2 - 3i$.

]]> $(z + 2 + 3i)(z + 2 - 3i)$

]]> Racines opposées : ces facteurs correspondent aux racines
$-2 - 3i$ et $-2 + 3i$, donc au trinôme
$z^2 + 4z + 13$.

]]> $(z - 2 - 3i)^2$

]]> Racine double supposée : les deux racines sont distinctes, il
faut donc deux facteurs différents.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q35 : Degré d'un produit de polynômes Quel est le degré du polynôme
$P(z) = (z^2 + 4)(z^3 - 8)$ ?

]]> Le degré d'un produit de polynômes non nuls est la somme des degrés
des facteurs. Ce polynôme de degré $5$ admet donc au plus $5$
racines complexes distinctes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le degré d'un produit est la somme des degrés
des facteurs, soit $2 + 3 = 5$.

]]> $6$

]]> Degrés doublés : on additionne les degrés d'un produit, on ne
les multiplie pas : $2 + 3 = 5$.

]]> $3$

]]> Premier facteur oublié : $z^2 + 4$ est de degré $2$, qui
s'ajoute au degré $3$ du second facteur.

]]> $4$

]]> Erreur de somme : $2 + 3$ vaut $5$, et non
$4$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q36 : Solutions réelles de $z^3 = -27$ Combien l'équation $z^3 = -27$ admet-elle de solutions réelles ?

]]> Dans $\mathbb{C}$, l'équation $z^3 = a$ admet trois solutions,
obtenues en multipliant l'une d'elles par les racines cubiques de
l'unité. Ici ce sont $-3$, $-3j$ et $-3j^2$, et seule la première
est réelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule, le nombre $-3$

]]> Bonne réponse : $(-3)^3 = -27$, et la fonction cube est
strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : aucune autre valeur
réelle ne convient.

]]> Aucune, car $-27$ est négatif

]]> Erreur : le cube d'un réel négatif est négatif. C'est la
racine carrée qui refuse les négatifs, pas la racine cubique.

]]> Trois, autant que le degré

]]> Ensembles confondus : l'équation a bien trois solutions dans
$\mathbb{C}$, mais une seule d'entre elles est réelle.

]]> Deux, opposées l'une de l'autre

]]> Erreur : $3^3 = 27$ et non $-27$. Pour une puissance impaire,
l'opposé d'une solution ne convient pas.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q37 : La notation $\mathbb{U}_n$ Que désigne la notation $\mathbb{U}_n$ ?

]]> $\mathbb{U}_n = \{e^{2ik\pi/n},\ k = 0, \dots, n-1\}$ est
l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Il compte exactement
$n$ éléments, tous de module $1$, sommets d'un polygone régulier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité

]]> Bonne réponse : $\mathbb{U}_n$ rassemble les $n$ solutions de
$z^n = 1$, c'est-à-dire les $e^{2ik\pi/n}$ pour $k$ allant de
$0$ à $n - 1$.

]]> L'ensemble des entiers strictement inférieurs à $n$

]]> Erreur : $\mathbb{U}_n$ ne contient pas des entiers, mais des
nombres complexes de module $1$.

]]> L'ensemble des complexes de module $n$

]]> Module faux : l'égalité $|z|^n = 1$ impose $|z| = 1$. Tous les
éléments de $\mathbb{U}_n$ sont sur le cercle unité.

]]> L'ensemble des puissances $n$-ièmes d'un complexe

]]> Sens inversé : ce sont les nombres dont la puissance
$n$-ième vaut $1$, et non des puissances $n$-ièmes.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q38 : Régler un paramètre par la somme des racines Pour quelle valeur réelle de $m$ la somme des racines de
l'équation $z^2 + mz + 7 = 0$ vaut-elle $6$ ?

]]> Pour $az^2 + bz + c = 0$, la somme des racines vaut
$-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$. Ces relations
valent dans $\mathbb{C}$ et permettent de régler un paramètre sans
résoudre l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = -6$

]]> Bonne réponse : la somme des racines vaut $-\dfrac{b}{a}$,
soit $-m$ ici. On résout $-m = 6$, d'où $m = -6$.

]]> $m = 6$

]]> Signe oublié : la somme vaut $-m$ et non $m$ ; il faut donc
prendre l'opposé de $6$.

]]> $m = 3$

]]> Division injustifiée : le coefficient de $z^2$ vaut $1$, la
somme des racines vaut simplement $-m$.

]]> $m = -3$

]]> Bon signe, mauvaise valeur : aucune division par $2$ n'entre
en jeu, la somme vaut $-m$, donc $m = -6$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q39 : Vérifier qu'un complexe est racine Le polynôme $P(z) = z^3 + 3z^2 + z + 3$ admet-il $i$ pour racine ?

]]> Pour savoir si $a$ est racine de $P$, on calcule $P(a)$ en
réduisant les puissances de $i$ grâce à $i^2 = -1$. Si $P(a) = 0$,
alors $P$ se factorise par $z - a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $P(i) = 0$

]]> Bonne réponse : $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$, donc
$P(i) = -i - 3 + i + 3 = 0$. Le polynôme se factorise
d'ailleurs en $(z + 3)(z^2 + 1)$.

]]> Non, car $P(i)$ vaut $6$

]]> Puissances de $i$ mal réduites : $i^2 = -1$ et $i^3 = -i$, ce
qui fait tout disparaître : $P(i) = 0$.

]]> Non, un polynôme réel n'a pas de racine complexe

]]> Erreur : des coefficients réels n'interdisent pas les racines
non réelles, ils imposent seulement qu'elles aillent par
paires conjuguées. Ici $i$ et $-i$ sont racines.

]]> Impossible de conclure sans factoriser $P$

]]> Erreur : il suffit de remplacer $z$ par $i$ et de calculer.
La factorisation vient après cette vérification, pas avant.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q40 : Racines réelles de $z^n = 1$ Combien l'équation $z^{6} = 1$ admet-elle de solutions réelles ?

]]> Les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{2ik\pi/n}$, réparties
régulièrement sur le cercle unité. Seuls les points $1$ et, quand
$n$ est pair, $-1$ tombent sur l'axe réel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : le nombre $1$ convient toujours, et $-1$
convient lorsque l'exposant est pair, car $(-1)^{6}$ doit
valoir $1$. On en compte donc $2$.

]]> $6$

]]> Ensembles confondus : l'équation a bien $6$ solutions dans
$\mathbb{C}$, mais la plupart ne sont pas réelles.

]]> $4$

]]> Compte sans règle : seuls les points du cercle unité situés
sur l'axe réel conviennent, c'est-à-dire $1$ et parfois $-1$.

]]> $0$

]]> Erreur : $1^n = 1$ pour tout $n$, donc $1$ est toujours
solution : il y a au moins une solution réelle.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q41 : Angle entre deux racines consécutives Les solutions de l'équation $z^5 = 1$ sont les sommets d'un
polygone régulier inscrit dans le cercle unité. Quel est l'angle
au centre entre deux sommets consécutifs ?

]]> Les racines $n$-ièmes de l'unité ont pour arguments
$\dfrac{2k\pi}{n}$. Deux sommets consécutifs sont donc séparés de
$\dfrac{2\pi}{n}$ : les images forment un polygone régulier à $n$
côtés, dont $1$ est un sommet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{2\pi}{5}$

]]> Bonne réponse : les arguments sont les $\dfrac{2k\pi}{5}$,
en progression arithmétique de raison $\dfrac{2\pi}{5}$ :
le tour complet est partagé en $5$ parts égales.

]]> $\dfrac{\pi}{5}$

]]> Demi-tour seulement : $5$ angles de $\dfrac{\pi}{5}$ ne
couvrent que $\pi$, alors que les sommets font le tour
complet.

]]> $\dfrac{2\pi}{4}$

]]> Un sommet oublié : le polygone a $5$ sommets, donc $5$
arcs, et non $4$.

]]> $\dfrac{\pi}{10}$

]]> Deux erreurs de facteur $2$ : le tour complet mesure $2\pi$,
et il se partage en $5$ parts.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q42 : Module de deux racines conjuguées Les deux racines de l'équation $z^2 - 6z + 25 = 0$ sont
conjuguées. Quel est leur module commun ?

]]> Pour $z^2 - sz + p = 0$, la somme des racines vaut $s$ et leur
produit $p$. Si les deux racines sont conjuguées, ce produit vaut
$z\bar{z} = |z|^2$ : le module commun est donc $\sqrt{p}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le produit des racines vaut $25$, et pour
deux conjuguées $z\bar{z} = |z|^2$. Donc $|z|^2 = 25$ et
$|z| = 5$.

]]> $25$

]]> Racine carrée oubliée : $25$ est le carré du module, pas le
module lui-même, qui vaut $5$.

]]> $3$

]]> Partie réelle prise pour le module : elle vaut $3$, mais le
module tient compte aussi de la partie imaginaire.

]]> $22$

]]> Aucune soustraction ici : le module se lit sur le produit des
racines, soit $\sqrt{25} = 5$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q43 : Module du quotient et distances Soient $A$, $B$ et $C$ trois points deux à deux distincts,
d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. Que représente le module
$\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right|$ ?

]]> Le quotient $\dfrac{c-a}{b-a}$ résume la position des trois
points : son module vaut $\dfrac{AC}{AB}$ et son argument mesure
l'angle $(\overrightarrow{AB}\ ;\ \overrightarrow{AC})$. Réel, il
traduit l'alignement ; imaginaire pur, un angle droit en $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le rapport $\dfrac{AC}{AB}$

]]> Bonne réponse : $|c - a| = AC$ et $|b - a| = AB$, et le module
d'un quotient est le quotient des modules.

]]> La longueur $BC$ du côté opposé

]]> Erreur : la longueur $BC$ vaut $|c - b|$. Ici les deux
différences partent toutes les deux de $a$.

]]> L'angle du triangle au sommet $A$

]]> Module et argument confondus : l'angle en $A$ se lit sur
l'argument du quotient, pas sur son module.

]]> L'aire du triangle $ABC$ obtenu

]]> Erreur : un quotient de deux longueurs est un nombre sans
dimension ; il ne peut pas mesurer une aire.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q44 : Produit des deux autres racines Le polynôme $P(z) = z^3 - 5z^2 + 8z - 6$ admet $3$ pour
racine. Que vaut le produit des deux autres racines ?

]]> Pour $z^3 - sz^2 + tz - u$, la somme des trois racines vaut $s$ et
leur produit $u$. Connaître une racine donne donc aussitôt la
somme et le produit des deux autres, donc le trinôme dont elles
sont les racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : le produit des trois racines vaut $6$. En le
divisant par la racine connue $3$, il reste $2$ pour les
deux autres.

]]> $6$

]]> Racine connue non retirée : $6$ est le produit des trois
racines ; il faut encore le diviser par $3$.

]]> $18$

]]> Multiplication au lieu d'une division : $3$ est déjà un
facteur du produit $6$, on l'en retire en divisant.

]]> $3$

]]> Soustraction au lieu d'une division : les racines se
multiplient, elles ne s'additionnent pas.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q45 : Calculer $(1 + j)^3$ On note $j = e^{2i\pi/3}$, qui vérifie $1 + j + j^2 = 0$. Que vaut
$(1 + j)^3$ ?

]]> Les racines cubiques de l'unité vérifient $j^3 = 1$ et
$1 + j + j^2 = 0$. Ces deux relations réduisent toute expression
en $j$ : ici $1 + j = -j^2$, puis $(-j^2)^3 = -j^6 = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : la relation donne $1 + j = -j^2$, donc
$(1 + j)^3 = -j^6 = -(j^3)^2 = -1$.

]]> $1$

]]> Signe perdu : $1 + j = -j^2$, et le cube d'un opposé reste un
opposé, car l'exposant $3$ est impair.

]]> $-j^2$

]]> Cube oublié : $-j^2$ est la valeur de $1 + j$, pas celle de
son cube.

]]> $3j$

]]> Développement abusif : $(1 + j)^3$ ne vaut ni $1 + j^3$ ni
$3j$. Il faut passer par la relation $1 + j + j^2 = 0$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q46 : Lire le quotient $\dfrac{c - a}{b - a}$ $A$, $B$, $C$ sont trois points distincts d'affixes $a$, $b$, $c$. Que
représente le module de $\dfrac{c - a}{b - a}$ ?

]]> Un argument de $\dfrac{c - a}{b - a}$ est une mesure de l'angle orienté
$\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ et son module vaut $\dfrac{AC}{AB}$.
Un seul quotient décrit donc la forme du triangle $ABC$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le rapport des longueurs $\dfrac{AC}{AB}$

]]> Bonne réponse : $\left|\dfrac{c - a}{b - a}\right| = \dfrac{|c - a|}{|b - a|} = \dfrac{AC}{AB}$.

]]> La mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$

]]> C'est l'argument du quotient qui donne cet angle ; le module
donne un rapport de longueurs.

]]> La longueur $BC$

]]> $BC = |c - b|$ : ce n'est pas le module du quotient, qui compare
deux longueurs issues de $A$.

]]> Le produit $AB \times AC$

]]> Le module d'un quotient est le quotient des modules, pas leur
produit.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q47 : Nature d'un triangle par les complexes Les points $A$, $B$, $C$ ont pour affixes $a = 1 + i$, $b = 3 + 2i$ et $c = 3i$.
On calcule $\dfrac{c - a}{b - a} = i$. Que peut-on en conclure ?

]]> Le quotient $\dfrac{c - a}{b - a}$ code l'angle $\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)$ par son
argument et le rapport $\dfrac{AC}{AB}$ par son module : réel pour un
alignement, imaginaire pur pour un angle droit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $ABC$ est isocèle rectangle en $A$

]]> Bonne réponse : un quotient égal à $\pm i$ donne un angle droit et $AC = AB$.

]]> $A$, $B$, $C$ sont alignés

]]> Conclusion inexacte : un quotient réel signifie un angle nul ou plat : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, or le quotient vaut $i$.

]]> $ABC$ est rectangle en $A$ sans être isocèle

]]> Conclusion inexacte : un quotient imaginaire pur de module différent de $1$ donne un angle droit en $A$ avec $AB \neq AC$, or le quotient vaut $i$.

]]> $ABC$ est équilatéral

]]> Conclusion inexacte : un quotient égal à $e^{\pm i\pi/3}$ donne $AC = AB$ et un angle de $60°$, or le quotient vaut $i$.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q48 : Un ensemble de points par un quotient réel $A$ et $B$ ont pour affixes $1$ et $i$. Quel est l'ensemble des points $M$
d'affixe $z \neq i$ tels que $\dfrac{z - 1}{z - i}$ soit un nombre réel ?

]]> Quotient réel : alignement. Quotient imaginaire pur : orthogonalité.
Module $1$ : égalité de distances. Ces trois traductions décrivent la
plupart des ensembles de points usuels.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite $(AB)$ privée du point $B$

]]> Bonne réponse : pour $M \neq A$, le quotient est réel si et seulement si
$\left(\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MA}\right)$ vaut $0$ ou $\pi$ : $M$, $A$, $B$ alignés ; et
$M = A$ donne le réel $0$.

]]> Le cercle de diamètre $[AB]$

]]> Ce cercle correspond à un quotient imaginaire pur (angle droit
en $M$), pas réel.

]]> La médiatrice de $[AB]$

]]> La médiatrice correspond à $|z - 1| = |z - i|$, c'est-à-dire à un
quotient de module $1$.

]]> Le segment $[AB]$ privé de $B$

]]> Les points de la droite situés hors du segment conviennent aussi :
l'angle vaut alors $0$ au lieu de $\pi$, et le quotient reste réel.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q49 : Racines carrées d'un nombre complexe Quels sont les nombres complexes dont le carré vaut $3 + 4i$ ?

]]> Tout complexe non nul a exactement deux racines carrées, opposées. On
les trouve par identification ($x^2 - y^2$, $2xy$), en ajoutant si besoin
$x^2 + y^2 = |w|$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 + i$ et son opposé

]]> Bonne réponse : en posant $z = x + iy$, on résout
$x^2 - y^2 = \mathrm{Re}(w)$ et $2xy = \mathrm{Im}(w)$ ; on vérifie que
$(2 + i)^2 = 3 + 4i$.

]]> $2 - i$ et son opposé

]]> Conjugué de la bonne réponse : $(2 - i)^2 = 3 - 4i$, le conjugué de
$3 + 4i$.

]]> $1 + 2i$ et son opposé

]]> Parties échangées : $(1 + 2i)^2 = -3 + 4i$.

]]> $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$

]]> Racine du module : $|3 + 4i| = 5$, mais les racines carrées de $w$
ont pour module $\sqrt{5}$ et un argument moitié de celui de $w$ ;
elles ne sont pas réelles.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q50 : Racines quatrièmes d'un nombre négatif Quelles sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^4 = -16$ ?

]]> Pour résoudre $z^n = w$, on écrit $w = Re^{i\alpha}$ : les solutions sont
les $n$ complexes $R^{1/n}e^{i(\alpha + 2k\pi)/n}$, sommets d'un polygone
régulier centré en $O$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$

]]> Bonne réponse : $-16 = 16e^{i\pi}$ ; on cherche $z = re^{i\theta}$ avec $r^4 = 16$
et $4\theta = \pi + 2k\pi$, d'où $r = 2$ et $\theta = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$.

]]> $2e^{ik\pi/2}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$

]]> Ces nombres ($2$, $2i$, $-2$, $-2i$) vérifient $z^4 = 16$ : l'argument
$\pi$ de $-16$ a été oublié.

]]> $4e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$

]]> Module : $r^4 = 16$ donne $r = 2$ ; $4$ est la racine carrée de $16$.

]]> $2i$ et $-2i$ seulement

]]> Ces nombres vérifient $z^2 = -4$, mais $(2i)^4 = 16$. Une équation de
degré $4$ a ici quatre solutions.

]]> Équations polynomiales et racines de l'unité — Q51 : Démontrer une orthogonalité $A$, $B$, $C$, $D$ ont pour affixes $a$, $b$, $c$, $d$, avec $A \neq B$ et
$C \neq D$. Quelle condition garantit que les droites $(AB)$ et $(CD)$
sont perpendiculaires ?

]]> Parallélisme et alignement : quotient réel. Orthogonalité : quotient
imaginaire pur. On calcule le quotient sous forme algébrique, puis on
regarde sa partie réelle ou sa partie imaginaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{d - c}{b - a}$ est imaginaire pur

]]> Bonne réponse : un argument de ce quotient mesure l'angle
$\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\right)$, qui vaut $\pm\dfrac{\pi}{2}$ exactement quand
le quotient est imaginaire pur (non nul).

]]> $\dfrac{d - c}{b - a}$ est un nombre réel

]]> Un quotient réel traduit des vecteurs colinéaires : les droites
sont alors parallèles.

]]> $|d - c|$ est égal à $|b - a|$

]]> Cette égalité dit que $CD = AB$ : elle porte sur les longueurs, pas
sur l'angle.

]]> $(d - c)(b - a)$ est un nombre réel

]]> Un produit réel ne traduit pas un angle droit : par exemple
$b - a = 1$ et $d - c = 2$ donnent des droites parallèles.

]]>