$course$/QCM de maths/Maths expertes/Graphes, matrices et chaînes de Markov Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degré, chaîne,
connexité), matrices et opérations, inverse et puissances,
matrice d'adjacence et comptage de chemins, suites
$U_{n+1} = AU_n + C$, chaînes de Markov à deux ou trois états,
matrice de transition et distributions invariantes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q01 : Degré d'un sommet Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on degré d'un
sommet ?

]]> Vocabulaire de base : l'ordre est le nombre de sommets ; le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui en partent. Lemme des poignées de
main : la somme des degrés vaut $2 \times$ (nombre d'arêtes),
donc elle est toujours paire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité

]]> Bonne réponse : le degré compte les arêtes incidentes au
sommet : son « nombre de connexions ».

]]> Le nombre total de sommets du graphe

]]> Confusion : c'est l'ordre du graphe. Le degré est
une caractéristique locale de chaque sommet.

]]> Le nombre total d'arêtes du graphe

]]> Erreur : le degré ne compte que les arêtes touchant ce
sommet, pas toutes.

]]> La longueur de la plus longue chaîne partant du sommet

]]> Erreur : les chaînes mesurent des parcours ; le degré
mesure les connexions immédiates.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q02 : Graphe complet Combien d'arêtes possède le graphe complet à $5$ sommets
(chaque paire de sommets est reliée) ?

]]> Graphe complet à $n$ sommets : chaque sommet est de degré
$n - 1$, et il y a $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ arêtes.
Contrôle par les poignées de main : $\frac{5 \times 4}{2} =
10$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : une arête par paire de sommets :
$\binom{5}{2} = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10$.

]]> $20$

]]> Double comptage : $5 \times 4$ compte chaque arête dans
les deux sens ; on divise par $2$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ arêtes font un simple cycle (pentagone). Le
graphe complet relie toutes les paires : $10$.

]]> $25$

]]> Erreur : $5^2$ compterait aussi des boucles et les deux
sens. Paires distinctes : $\binom{5}{2} = 10$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q03 : Graphe connexe Que signifie « le graphe est connexe » ?

]]> Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives ; sa longueur est son nombre d'arêtes. Un graphe est connexe lorsque toute paire de sommets est reliée par une chaîne : le réseau est d'un seul bloc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne

]]> Bonne réponse : d'un seul tenant : on peut voyager de
n'importe quel sommet vers n'importe quel autre en
suivant les arêtes.

]]> Chaque paire de sommets est reliée par une arête directe

]]> Trop fort : c'est le graphe complet. La connexité
autorise les détours (chaînes de plusieurs arêtes).

]]> Le graphe ne contient aucun cycle ni sommet isolé

]]> Autre notion : sans cycle, c'est une forêt ; deux arbres
disjoints n'ont ni cycle ni sommet isolé et ne sont
pourtant pas connexes.

]]> Tous les sommets ont le même degré non nul

]]> Autre notion (graphe régulier) : deux triangles disjoints
ont tous leurs degrés égaux à $2$ sans être connexes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q04 : Dimensions d'une matrice Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 4
\end{pmatrix}$. Quelles sont les dimensions de $A$ ?

]]> Matrice $n \times p$ : tableau de $n$ lignes et $p$
colonnes. Cas particuliers : matrice carrée ($n = p$),
matrice ligne ($1 \times p$), matrice colonne ($n \times
1$). Le produit $AB$ exige : colonnes de $A$ = lignes de
$B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2 \times 3$

]]> Bonne réponse : deux lignes et trois colonnes, convention
lignes $\times$ colonnes, toujours dans cet ordre.

]]> $3 \times 2$

]]> Ordre inversé : on annonce d'abord les lignes ($2$),
puis les colonnes ($3$).

]]> $6$

]]> Incomplet : $6$ est le nombre de coefficients, mais la
forme ($2 \times 3$ ou $3 \times 2$ ou $6 \times 1$…)
est une information essentielle.

]]> $2 \times 2$

]]> Erreur : la matrice n'est pas carrée : elle a $3$
colonnes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q05 : Produit de matrices Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
$B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut
le produit $AB$ ?

]]> Produit ligne $\times$ colonne. Attention : en général
$AB \neq BA$ (ici $BA = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 3
\end{pmatrix}$) : la multiplication des matrices n'est pas
commutative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $AB = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : ligne par colonne : $(1 \times 3 + 2
\times 1) = 5$, $(1 \times 0 + 2 \times 1) = 2$, $(0
\times 3 + 1 \times 1) = 1$, $(0 \times 0 + 1 \times 1)
= 1$.

]]> $AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Produit coefficient par coefficient : ce n'est pas la
règle : chaque case croise une ligne de $A$ avec une
colonne de $B$.

]]> $AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Addition parasite : c'est $A + B$. Le produit multiplie
ligne par colonne puis somme.

]]> $AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Première case fausse : $(1\ \ 2) \cdot
\binom{3}{1} = 3 + 2 = 5$, pas $3$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q06 : Inverse d'une matrice $2 \times 2$ Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$.
Quelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?

]]> Pour $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ avec
$ad - bc \neq 0$ : inverse $= \dfrac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
L'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : déterminant $= 2 \times 3 - 1 \times 5 = 1$, puis échange
de la diagonale et signes opposés sur l'autre. Contrôle :
$AA^{-1} = I_2$.

]]> $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$

]]> Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche
pas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas
inverser chaque case.

]]> $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Signes oubliés : les coefficients hors diagonale
prennent un signe moins : $-1$ et $-5$.

]]> $A$ n'est pas inversible

]]> Erreur : le déterminant $2 \times 3 - 1 \times 5 = 1
\neq 0$ : inversible.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q07 : Matrice d'adjacence Qu'est-ce que la matrice d'adjacence d'un graphe à $n$
sommets ?

]]> Matrice d'adjacence $A$ : $a_{ij}$ = nombre d'arêtes de $i$
vers $j$. Théorème clé (démonstration au programme) : le
coefficient $(i\ ;\ j)$ de $A^k$ compte les chemins de
longueur $k$ de $i$ à $j$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice $n \times n$ où le coefficient $(i\ ;\ j)$
compte les arêtes reliant $i$ à $j$

]]> Bonne réponse : la carte d'identité numérique du
graphe : le coefficient $(i\ ;\ j)$ vaut $1$ (ou le
nombre d'arêtes) si les sommets $i$ et $j$ sont reliés,
$0$ sinon. Elle est carrée, indexée par les sommets en
ligne comme en colonne, et symétrique pour un graphe non
orienté.

]]> La matrice colonne $n \times 1$ qui donne le degré de
chacun des $n$ sommets

]]> Erreur : les degrés se déduisent de la matrice
d'adjacence (somme de chaque ligne), mais elle contient
bien plus : qui est relié à qui.

]]> La matrice à deux lignes dont chaque colonne donne les
deux extrémités d'une arête

]]> Erreur : ce tableau n'est qu'une liste des arêtes ; la
matrice d'adjacence, elle, est carrée $n \times n$,
indexée par les sommets en ligne et en colonne.

]]> La matrice identité $I_n$, dont la diagonale porte un
$1$ pour chaque sommet

]]> Erreur : $I_n$ ne dépend pas des arêtes ; elle décrirait
un graphe où chaque sommet n'a qu'une boucle sur
lui-même. La matrice d'adjacence change avec les
liaisons du graphe.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q08 : Compter les chemins avec $A^k$ Soit $A$ la matrice d'adjacence d'un graphe. Que représente
le coefficient $(1\ ;\ 3)$ de la matrice $A^4$ ?

]]> Théorème : $\left(A^k\right)_{ij}$ = nombre de chemins de
longueur $k$ de $i$ à $j$. Preuve par récurrence : un chemin
de longueur $k$ = un chemin de longueur $k-1$ suivi d'une
arête, ce que le produit matriciel somme exactement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre de chemins de longueur $4$ de $1$ à $3$

]]> Bonne réponse : le nombre de chemins de longueur $4$
allant du sommet $1$ au sommet $3$ ; chaque produit
intermédiaire cumule une étape, $A^4$ compte les
parcours en exactement $4$ arêtes (revisites
autorisées).

]]> La distance entre les sommets $1$ et $3$

]]> Erreur : la distance est la longueur du plus court
chemin ; $A^4$ compte les chemins de longueur
exactement $4$.

]]> Le nombre d'arêtes entre les sommets $1$ et $3$

]]> C'est $A^1 = A$ qui donne les liaisons directes ; la
puissance $4$ compte les parcours en $4$ étapes.

]]> $4$ fois le coefficient $(1\ ;\ 3)$ de $A$

]]> Confusion entre $A^4$ (produit matriciel itéré) et $4A$
(multiplication par un scalaire).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q09 : Suite $U_{n+1} = AU_n$ Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = A\,U_n$
pour tout $n$. Comment s'exprime $U_n$ en fonction de
$U_0$ ?

]]> $U_{n+1} = AU_n \Rightarrow U_n = A^n U_0$ : tout le
comportement asymptotique se lit sur les puissances de $A$.
Avec un terme constant ($U_{n+1} = AU_n + C$), on cherche
une colonne fixe $X = AX + C$ pour s'y ramener.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $U_n = A^n\,U_0$

]]> Bonne réponse : chaque étape multiplie par $A$ à
gauche ; après $n$ étapes : $A^n U_0$ : exactement comme
une suite géométrique, en version matricielle.

]]> $U_n = n\,A\,U_0$

]]> Confusion arithmétique/géométrique : on multiplie
par $A$ à chaque étape, on n'ajoute pas : c'est une
puissance, pas un multiple.

]]> $U_n = A\,U_0^n$

]]> Erreur : la puissance porte sur $A$ (appliquée $n$
fois) ; $U_0^n$ n'a même pas de sens pour une colonne.

]]> $U_n = A^{n-1}\,U_1$ donc rien de plus simple

]]> Exact mais inutilement décalé : en remontant jusqu'à
$U_0$ : $U_n = A^n U_0$ : la forme close attendue.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q10 : Matrice de transition Graphe orienté pondéré à deux états A et B : flèche de A vers B de poids 0,2, flèche de B vers A de poids 0,3, boucle sur A de poids 0,8, boucle sur B de poids 0,7.

Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à deux états
$A$ et $B$. Quelle est sa matrice de transition $P$ (états
dans l'ordre $A$, $B$, chaque ligne correspondant à un état de départ) ?

]]> Matrice de transition : $p_{ij}$ = probabilité de passer de
l'état $i$ à l'état $j$ en une étape ; chaque ligne somme à
$1$. Le graphe pondéré et la matrice sont deux écritures du
même objet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : ligne $A$ : rester en $A$ ($0{,}8$),
aller en $B$ ($0{,}2$) ; ligne $B$ : $0{,}3$ puis
$0{,}7$. Chaque ligne somme à $1$.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7
\end{pmatrix}$

]]> Transposée : ici les lignes ne somment plus à $1$
($0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1$) : le signe sûr d'un échange
lignes/colonnes.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}$

]]> Diagonale échangée : le coefficient $(1\ ;\ 1)$ est la
probabilité de rester en $A$, soit $0{,}8$ (la
boucle).

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}7 & 0{,}3
\end{pmatrix}$

]]> Ligne $B$ inversée : depuis $B$, la probabilité d'aller
en $A$ (première colonne) est $0{,}3$, celle de rester
est $0{,}7$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q11 : Distribution après $n$ transitions Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et
pour distribution initiale la matrice ligne $\pi_0$. Que
représente la matrice ligne $\pi_0 P^n$ ?

]]> $\pi_{n+1} = \pi_n P$, d'où $\pi_n = \pi_0 P^n$
(démonstration au programme). Interprétation coefficient par
coefficient : $(P^n)_{ij}$ = probabilité de passer de $i$ à
$j$ en $n$ transitions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La distribution de l'état après $n$ transitions

]]> Bonne réponse : chaque multiplication par $P$ fait
avancer d'une étape ; $\pi_n = \pi_0 P^n$ donne les
probabilités d'occupation de chaque état à l'instant
$n$.

]]> La probabilité de rester dans l'état initial

]]> Réducteur : $\pi_0 P^n$ est une ligne complète : une
probabilité par état, pas un seul nombre.

]]> La matrice des chemins de longueur $n$ du graphe

]]> Confusion avec la matrice d'adjacence : ici les
coefficients sont des probabilités, et $\pi_0 P^n$ est
une ligne, pas une matrice carrée.

]]> Toujours la distribution uniforme sur les états

]]> Erreur : la limite éventuelle dépend de $P$ (c'est la
distribution invariante, rarement uniforme).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q12 : Distribution invariante Pour la chaîne de matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$, quelle est la distribution
invariante $\pi = (x\ ;\ y)$ (vérifiant $\pi P = \pi$ et
$x + y = 1$) ?

]]> Distribution invariante : $\pi P = \pi$ avec somme $1$ : si
la chaîne démarre sur $\pi$, elle y reste ; et ici les
distributions $\pi_n$ convergent vers $\pi$ quel que soit le
départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi = (0{,}6\ ;\ 0{,}4)$

]]> Bonne réponse : $\pi P = \pi$ donne $0{,}8x + 0{,}3y =
x$, soit $0{,}3y = 0{,}2x$ ; avec $x + y = 1$ :
$x = 0{,}6$, $y = 0{,}4$. Contrôle : $0{,}8 \times 0{,}6 + 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}6$.

]]> $\pi = (0{,}5\ ;\ 0{,}5)$

]]> Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}8 \times 0{,}5 +
0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}55 \neq 0{,}5$ : pas
invariante.

]]> $\pi = (0{,}8\ ;\ 0{,}2)$

]]> Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :
on résout $\pi P = \pi$ avec $x + y = 1$.

]]> Il n'en existe pas

]]> Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le
système $\pi P = \pi$, $x + y = 1$ a une solution :
$(0{,}6\ ;\ 0{,}4)$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q13 : Degrés et arêtes d'un graphe Dans un graphe non orienté, que vaut la somme des degrés de
tous les sommets ?

]]> Chaque arête a deux extrémités et compte pour $1$ dans le degré de chacune :
la somme des degrés vaut donc le double du nombre d'arêtes. Elle est toujours
paire, si bien que le nombre de sommets de degré impair est pair lui aussi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le double du nombre d'arêtes

]]> Bonne réponse : chaque arête possède deux extrémités :
elle contribue $2$ à la somme des degrés : somme $= 2
\times$ arêtes.

]]> Le nombre d'arêtes

]]> Moitié : chaque arête est comptée par ses DEUX bouts :
la somme des degrés double le compte des arêtes.

]]> Le nombre de sommets

]]> Erreur : la somme dépend des connexions, pas du seul
effectif : un triangle (3 sommets) a une somme de degrés
de $6$.

]]> Cela dépend du graphe, sans formule générale

]]> Erreur : la formule $\sum \deg = 2 \times$ arêtes vaut
pour TOUT graphe : c'est un des rares invariants
universels.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q14 : La matrice identité Que vaut le produit $A\,I_2$, où $I_2 = \begin{pmatrix} 1 &
0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $A$ est une matrice $2 \times
2$ ?

]]> $I_n$ : des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs : le
neutre du produit matriciel. Elle définit l'inverse
($AA^{-1} = I$) et sert de point de départ aux puissances
($A^0 = I$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$

]]> Bonne réponse : $AI = IA = A$ : l'identité est neutre
pour le produit, elle joue pour les matrices le rôle du
nombre $1$ : c'est la référence des inverses
($AA^{-1} = I$).

]]> $I_2$

]]> Erreur : multiplier par l'identité ne « remplace » pas
par elle : chaque ligne de $A$ ressort intacte.

]]> La matrice nulle

]]> Confusion : c'est la matrice NULLE qui absorbe tout :
l'identité, elle, laisse tout passer.

]]> $2A$

]]> Erreur : les $1$ de la diagonale recopient chaque
coefficient UNE fois : aucun doublement.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q15 : $AB$ contre $BA$ Pour deux matrices carrées $A$ et $B$, a-t-on toujours
$AB = BA$ ?

]]> Le produit matriciel n'est PAS commutatif : réflexe
permanent : ne jamais échanger l'ordre des facteurs
(développements, factorisations, équations : tout doit
respecter le côté de multiplication). Contre-exemple à
retenir : $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
ne sont pas égaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : en général, le produit dépend de l'ordre des
facteurs

]]> Bonne réponse : par exemple $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 &
0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}$ alors que $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : l'ordre
des facteurs CHANGE le résultat.

]]> Oui : la multiplication des matrices est commutative,
comme celle des nombres

]]> Réflexe des nombres à abandonner : composer des
transformations dépend de l'ordre (tourner puis étirer
n'est pas étirer puis tourner).

]]> Oui, à condition que les deux matrices soient carrées de
même taille

]]> Erreur : même carrées de même taille, l'ordre compte :
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ sont deux
matrices $2 \times 2$ dont les produits valent
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dans un
ordre et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
dans l'autre.

]]> Non, sauf lorsque les deux matrices sont inversibles

]]> Erreur : l'inversibilité ne garantit rien :
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ sont
inversibles (déterminant $1$) et pourtant
$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ alors
que $BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Certains couples commutent (une matrice et ses
puissances, l'identité avec tout), mais la règle
générale reste la non-commutativité.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q16 : Dimensions compatibles $A$ est de taille $2 \times 3$ et $B$ de taille $3 \times
1$. Que dire du produit $AB$ ?

]]> Règle des dominos : $(m \times n)(n \times p) = m \times p$ :
les dimensions intérieures doivent coïncider et
disparaissent. À vérifier AVANT tout calcul : la moitié des
erreurs de produit sont des produits impossibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe et mesure $2 \times 1$

]]> Bonne réponse : une colonne de hauteur $2$. Les
dimensions intérieures coïncident ($3 = 3$) : le produit
existe, aux dimensions extérieures $2 \times 1$.

]]> Il n'existe pas, les tailles sont différentes

]]> Erreur : le produit n'exige pas des tailles égales, mais
des dimensions INTÉRIEURES égales (colonnes de $A$ =
lignes de $B$) : c'est le cas.

]]> Il existe et mesure $3 \times 3$

]]> Erreur : $3 \times 3$ sortirait de $BA$… qui n'existe
d'ailleurs pas ($1 \neq 2$) : $AB$ prend les dimensions
extérieures : $2 \times 1$.

]]> Il existe et mesure $2 \times 3$

]]> Erreur : la dimension commune $3$ est CONSOMMÉE par le
produit : restent $2$ (lignes de $A$) et $1$ (colonnes
de $B$).

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q17 : Calculer $A^2$ Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Que vaut $A^2$ ?

]]> Une puissance se calcule par produits successifs (jamais coefficient par coefficient). La matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$ vérifie $A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 &
1 \end{pmatrix}$ : premier exemple de conjecture + récurrence
matricielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : produit ligne par colonne : seul le
coefficient supérieur droit bouge : $1 \times 1 + 1
\times 1 = 2$. (Et $A^n$ y affichera $n$ : récurrence
élégante.)

]]> $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Erreur : $A$ n'est pas idempotente : le coefficient
droit cumule : $1 + 1 = 2$.

]]> $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^2 =
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ coefficient
par coefficient

]]> Erreur de méthode : élever chaque coefficient au carré
n'est PAS le produit matriciel (qui croise lignes et
colonnes).

]]> $A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Confusion : $2A$ double les coefficients : $A^2 = A
\times A$ suit la règle ligne-colonne : seul le $2$
supérieur droit apparaît.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q18 : Une matrice de transition valide ? La matrice $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}6 \\ 0{,}3 & 0{,}7
\end{pmatrix}$ peut-elle être la matrice de transition
d'une chaîne de Markov ?

]]> Matrice de transition (stochastique) : coefficients dans
$[0\ ;\ 1]$ ET chaque ligne somme à $1$ (toutes les
destinations depuis un état). Vérification systématique
avant tout calcul de $\pi_0 P^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : la première ligne somme à $1{,}1 \neq 1$

]]> Bonne réponse : chaque LIGNE d'une matrice de transition
liste les probabilités de départ d'un état : elle doit
sommer à $1$ ($0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1$ : impossible).

]]> Oui : tous les coefficients sont entre $0$ et $1$

]]> Nécessaire mais pas suffisant : il faut AUSSI que chaque
ligne somme à $1$ : la première déborde.

]]> Non : les colonnes ne somment pas à $1$

]]> Mauvais axe : la convention du programme somme les
lignes (chaque ligne correspond à un état de départ) : et c'est bien une
ligne qui cloche ici.

]]> Oui : il suffit de la diviser par $1{,}1$

]]> Erreur : renormaliser une seule ligne casserait l'autre
($0{,}3 + 0{,}7 = 1$ déjà) : la matrice donnée est
simplement invalide.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q19 : Somme de deux matrices À quelle condition peut-on additionner deux matrices ?

]]> L'addition de matrices se fait coefficient par coefficient, elle exige donc
des dimensions identiques. Le produit, lui, demande une compatibilité
entre colonnes et lignes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles doivent avoir les mêmes dimensions

]]> Bonne réponse : l'addition se fait terme à terme, chaque case ayant une
correspondante.

]]> Le nombre de colonnes de l'une doit égaler le nombre de lignes de
l'autre

]]> Cette condition concerne le produit, pas la somme.

]]> Elles doivent être carrées

]]> Deux matrices rectangulaires de mêmes dimensions s'additionnent sans
difficulté.

]]> Elles doivent être inversibles

]]> L'inversibilité ne concerne que la multiplication et les matrices
carrées.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q20 : Dimensions d'un produit Une matrice $3 \times 4$ multiplie une matrice $4 \times 2$.
Quelles sont les dimensions du résultat ?

]]> Le produit d'une matrice $n \times p$ par une matrice $p \times q$ est une
matrice $n \times q$. Les dimensions intérieures doivent coïncider et
disparaissent du résultat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3 \times 2$

]]> Bonne réponse : on garde le nombre de lignes de la première et le
nombre de colonnes de la seconde.

]]> $4 \times 4$

]]> Dimensions intérieures retenues : ce sont elles qui doivent coïncider,
elles disparaissent du résultat.

]]> $2 \times 3$

]]> Dimensions inversées : le nombre de lignes vient de la première
matrice.

]]> $12 \times 8$

]]> Dimensions multipliées : le produit matriciel ne procède pas ainsi.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q21 : Lire une matrice d'adjacence Dans la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté, que signifie un
coefficient égal à $1$ en ligne $2$, colonne $5$ ?

]]> La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est symétrique : son
coefficient d'indices $i$ et $j$ vaut $1$ si les deux sommets sont reliés,
$0$ sinon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les sommets $2$ et $5$ sont reliés par une arête

]]> Bonne réponse : un coefficient nul signalerait l'absence d'arête.

]]> Le sommet $2$ est de degré $5$

]]> Le degré se lit en additionnant tous les coefficients d'une ligne.

]]> Il existe un chemin de longueur $5$ entre les deux sommets

]]> Les chemins de longueur $k$ se comptent dans la matrice élevée à la
puissance $k$.

]]> Le graphe comporte $5$ sommets

]]> Le nombre de sommets est donné par la taille de la matrice.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q22 : Compter des chemins Que compte le coefficient d'indices $i$ et $j$ de la matrice $A^3$,
où $A$ est une matrice d'adjacence ?

]]> Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de chemins de
longueur exactement $k$ reliant ces deux sommets, en comptant les
répétitions de sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les chemins de longueur $3$ entre les sommets $i$ et $j$

]]> Bonne réponse : chaque produit de trois coefficients correspond à un
chemin de trois arêtes.

]]> Les chemins les plus courts entre $i$ et $j$

]]> La longueur est fixée à $3$ : un chemin plus court n'est pas compté.

]]> Le degré du sommet $i$ élevé au cube

]]> Le degré se lit sur $A$ seule, en sommant une ligne.

]]> Le nombre de sommets à distance $3$

]]> Le coefficient compte les chemins, or plusieurs chemins peuvent mener
au même sommet.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q23 : Le rôle de la matrice identité Que donne le produit d'une matrice carrée $A$ par la matrice identité
de même taille ?

]]> La matrice identité est l'élément neutre du produit matriciel :
$AI = IA = A$. C'est aussi elle qui définit l'inverse, par
$AA^{-1} = I$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice $A$ elle-même

]]> Bonne réponse : l'identité joue pour les matrices le rôle de $1$ pour
les nombres.

]]> La matrice nulle

]]> C'est le produit par la matrice nulle qui donnerait ce résultat.

]]> L'inverse de $A$

]]> L'inverse s'obtient par un calcul spécifique, quand il existe.

]]> La matrice identité

]]> L'identité laisse l'autre facteur inchangé, elle ne l'absorbe pas.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q24 : Inverse d'une matrice $2 \times 2$ Pour une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, on appelle
déterminant le nombre $ad - bc$, et l'on admet l'égalité
$M \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = (ad - bc)\,I_2$, où $I_2$
désigne la matrice identité d'ordre $2$. À quelle condition une matrice carrée
d'ordre $2$ est-elle inversible ?

]]> Si $ad - bc \neq 0$, diviser l'égalité admise par $ad - bc$ fournit l'inverse.
Si $ad - bc = 0$, les lignes sont proportionnelles et la matrice n'est pas
inversible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Son déterminant est non nul

]]> Bonne réponse : si $ad - bc \neq 0$, l'égalité admise montre que
$\dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ est l'inverse
de la matrice.

]]> Tous ses coefficients sont non nuls

]]> La matrice identité comporte des zéros et reste inversible.

]]> Elle est symétrique

]]> La symétrie n'a aucun rapport : une matrice symétrique peut être non
inversible.

]]> Ses deux lignes sont proportionnelles

]]> Cette condition annule au contraire le déterminant, ce qui empêche
l'inversion.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q25 : Somme des degrés Un graphe comporte $10$ arêtes. Que vaut la somme des degrés de ses
sommets ?

]]> Chaque arête compte pour $1$ dans le degré de chacune de ses deux
extrémités : la somme des degrés vaut le double du nombre d'arêtes, ici
$2 \times 10 = 20$. Il en découle que le nombre de sommets de degré impair est
pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$

]]> Bonne réponse : chaque arête contribue au degré de ses deux
extrémités.

]]> $10$

]]> Chaque arête est comptée deux fois dans la somme des degrés.

]]> $5$

]]> Division au lieu d'une multiplication : la somme dépasse toujours le
nombre d'arêtes.

]]> Cela dépend du nombre de sommets

]]> La somme des degrés ne dépend que du nombre d'arêtes, quel que soit le
nombre de sommets.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q26 : Une matrice de transition valide Quelle propriété caractérise une matrice de transition, les états
étant en ligne ?

]]> Une matrice de transition est à coefficients positifs et ses lignes
totalisent $1$. Chaque ligne décrit la loi de l'état suivant, sachant
l'état courant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La somme de chaque ligne vaut $1$

]]> Bonne réponse : depuis un état donné, les probabilités de tous les
états d'arrivée totalisent $1$.

]]> La somme de tous les coefficients vaut $1$

]]> Cette somme vaut le nombre d'états, chaque ligne totalisant déjà $1$.

]]> Tous les coefficients valent $\dfrac{1}{n}$

]]> Ce cas très particulier correspondrait à des transitions
équiprobables.

]]> La diagonale est nulle

]]> Rester dans le même état est souvent possible, et alors le coefficient
diagonal est non nul.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q27 : Distribution après plusieurs étapes La distribution initiale est la matrice ligne $U_0$ et la matrice de
transition est $T$. Que vaut la distribution après $n$ étapes ?

]]> Avec une distribution écrite en ligne, chaque étape s'obtient par
multiplication à droite par la matrice de transition. Après $n$ étapes, on
multiplie par $T^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $U_0 T^n$

]]> Bonne réponse : chaque étape multiplie la distribution par la matrice
de transition.

]]> $T^n U_0$

]]> Ordre incompatible : avec une distribution en ligne, elle se place à
gauche.

]]> $n U_0 T$

]]> Multiplication par $n$ au lieu d'une puissance : les étapes se
composent, elles ne s'additionnent pas.

]]> $U_0 + nT$

]]> Une addition n'a pas de sens ici, les deux matrices n'ayant pas les
mêmes dimensions.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q28 : Un graphe connexe Que signifie qu'un graphe est connexe ?

]]> Un graphe est connexe lorsqu'il existe une chaîne entre toute paire de
sommets. Un graphe complet est connexe, mais la réciproque est fausse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux sommets quelconques sont reliés par une chaîne

]]> Bonne réponse : le graphe est d'un seul tenant, sans morceau isolé.

]]> Tous les sommets ont le même degré

]]> Cette propriété définit un graphe régulier, une notion distincte.

]]> Toutes les paires de sommets sont reliées par une arête

]]> Cette propriété définit un graphe complet, bien plus exigeante.

]]> Le graphe comporte autant d'arêtes que de sommets

]]> Ce comptage ne garantit rien : un graphe peut avoir beaucoup d'arêtes
et rester en deux morceaux.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q29 : Une suite de matrices colonnes Une suite vérifie $U_{n+1} = AU_n$, avec $U_n$ en colonne.
Quelle est l'expression de $U_n$ en fonction de $U_0$ ?

]]> Une récurrence matricielle se déroule comme une suite géométrique, la
raison étant la matrice $A$. L'ordre des facteurs dépend de l'orientation
choisie pour les vecteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $U_n = A^n U_0$

]]> Bonne réponse : chaque étape ajoute un facteur $A$ à gauche.

]]> $U_n = U_0 A^n$

]]> Ordre incompatible : avec une colonne, la matrice se place à gauche.

]]> $U_n = nA U_0$

]]> Multiplication par $n$ au lieu d'une puissance : les étapes se
composent.

]]> $U_n = A U_0^n$

]]> C'est la matrice $A$ qui est élevée à la puissance, pas la colonne
initiale.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q30 : Une distribution invariante Que vérifie une distribution invariante $U$ pour une matrice de
transition $T$ ?

]]> Une distribution invariante est un état d'équilibre du système : elle
vérifie $UT = U$, ses coefficients étant positifs et de somme $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $UT = U$

]]> Bonne réponse : appliquer une étape supplémentaire ne change plus rien.

]]> $UT = 0$

]]> Une distribution a des coefficients positifs de somme $1$, elle ne peut
pas s'annuler.

]]> $TU = U$

]]> Ordre incompatible avec une distribution écrite en ligne.

]]> $U + T = U$

]]> L'addition n'a pas de sens entre une distribution et une matrice de
transition.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q31 : Degré d'un sommet donné Un graphe non orienté possède $7$ sommets. Le sommet $A$ est
relié aux sommets $B$, $C$ et $D$, et à aucun autre. Quel est le degré
de $A$ ?

]]> Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont il est une
extrémité : il se lit directement sur la liste de ses voisins.
L'ordre du graphe, lui, est son nombre de sommets, et les deux
nombres n'ont aucune raison de coïncider.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : le degré compte les arêtes dont $A$ est une
extrémité, soit une arête par voisin cité : $3$.

]]> $7$

]]> Confusion avec l'ordre du graphe : $7$ est son nombre total
de sommets. Le degré ne regarde que les arêtes issues de $A$,
soit $3$.

]]> $4$

]]> Le sommet $A$ a été compté en plus de ses voisins : seules les
arêtes comptent, et il y en a $3$.

]]> $6$

]]> Chaque arête a été comptée deux fois, comme dans la somme des
degrés de tous les sommets. Pour un seul sommet, le degré vaut
$3$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q32 : Longueur d'une chaîne Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on longueur d'une
chaîne ?

]]> Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives et sa longueur est
le nombre de ces arêtes. C'est cette longueur que comptent les
puissances de la matrice d'adjacence : le coefficient d'indices
$i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de chemins de longueur $k$
entre ces deux sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre d'arêtes qu'elle emprunte

]]> Bonne réponse : on compte les arêtes parcourues ; une chaîne
qui relie trois sommets consécutifs est de longueur $2$.

]]> Le nombre de sommets qu'elle traverse

]]> Décalage de un : une chaîne de longueur $2$ traverse $3$
sommets. Ce sont les arêtes que l'on compte.

]]> Le nombre total d'arêtes du graphe

]]> Confusion entre le parcours et le graphe entier : seules les
arêtes effectivement empruntées sont comptées.

]]> Le degré du sommet dont elle part

]]> Autre notion : le degré compte les arêtes issues d'un sommet,
pas celles d'un parcours.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q33 : Des degrés au nombre d'arêtes Dans un graphe non orienté, les $6$ sommets ont tous le même
degré $4$. Combien ce graphe compte-t-il d'arêtes ?

]]> Chaque arête possède deux extrémités et compte pour $1$ dans le
degré de chacune : la somme des degrés vaut donc le double du
nombre d'arêtes. Quand tous les degrés sont égaux à $d$ pour $n$
sommets, le nombre d'arêtes est $\dfrac{n \times d}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$

]]> Bonne réponse : la somme des degrés vaut $6 \times 4 =
24$, et elle compte chaque arête deux fois, d'où
$24 \div 2 = 12$ arêtes.

]]> $24$

]]> C'est la somme des degrés : chaque arête y est comptée par ses
deux extrémités, il reste à diviser par $2$, d'où
$12$.

]]> $15$

]]> C'est le nombre d'arêtes du graphe complet à $6$ sommets,
où chaque sommet serait de degré $6 - 1$. Ici le degré
imposé est $4$, d'où $12$ arêtes.

]]> $10$

]]> Addition au lieu d'un produit : la somme des degrés vaut
$6 \times 4$, puis on divise par $2$, ce qui donne
$12$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q34 : Une ligne du graphe complet On considère le graphe complet à $5$ sommets : deux sommets
distincts quelconques sont reliés par une arête, et il n'y a
aucune boucle. Dans sa matrice d'adjacence, que vaut la somme des
coefficients de la première ligne ?

]]> La somme des coefficients d'une ligne de la matrice d'adjacence
est le degré du sommet correspondant. Dans le graphe complet à
$n$ sommets, chaque sommet est relié aux $n - 1$ autres : toutes
les lignes somment à $n - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : le premier sommet est relié aux $4$
autres, donc sa ligne porte $4$ coefficients égaux à $1$
et un $0$ sur la diagonale.

]]> $5$

]]> Le coefficient diagonal a été compté : un sommet n'est pas
relié à lui-même, ce coefficient vaut $0$. La somme est
$4$.

]]> $10$

]]> C'est le nombre total d'arêtes du graphe complet : une seule
ligne ne décrit que les arêtes issues du premier sommet, soit
$4$.

]]> $25$

]]> C'est le nombre de cases de la matrice, de taille $5
\times 5$, et non la somme d'une de ses lignes, qui vaut
$4$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q35 : Lire un coefficient de $A^k$ $A$ est la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté. Le
coefficient situé en ligne $2$ et colonne $5$ de la matrice
$A^{3}$ vaut $2$. Qu'en déduit-on ?

]]> Le coefficient d'indices $i$ et $j$ de $A^k$ donne le nombre de
chemins de longueur exactement $k$ allant de $i$ à $j$, les
sommets pouvant être revisités. L'exposant est la longueur, le
coefficient le nombre de chemins.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe $2$ chemins de longueur $3$ du sommet $2$ au
sommet $5$

]]> Bonne réponse : l'exposant donne la longueur des chemins et le
coefficient leur nombre, soit $2$ parcours en $3$
arêtes.

]]> Il existe $3$ chemins de longueur $2$ du sommet $2$ au
sommet $5$

]]> Rôles échangés : c'est l'exposant $3$ qui fixe la longueur,
et le coefficient $2$ qui compte les chemins.

]]> Les sommets $2$ et $5$ sont reliés directement par $2$
arêtes du graphe

]]> Les liaisons directes se lisent sur $A$ elle-même : la
puissance $3$ compte les parcours en $3$ étapes.

]]> La distance entre les sommets $2$ et $5$ du graphe vaut
exactement $3$

]]> La distance est la longueur du plus court chemin : un parcours
plus court que $3$ peut très bien exister.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q36 : Repérer un coefficient Soit $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1
& 4 \end{pmatrix}$. Quel est le coefficient de $M$ situé en
ligne $2$, colonne $3$ ?

]]> Un coefficient se repère par deux indices, la ligne d'abord, la
colonne ensuite : cette convention est la même que celle des
dimensions, annoncées lignes $\times$ colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : on descend d'abord à la deuxième ligne, puis
on avance jusqu'à la troisième colonne, la dernière.

]]> $2$

]]> Ligne mal repérée : $2$ se trouve en ligne $1$, colonne
$3$. La ligne demandée est la seconde.

]]> $-1$

]]> Colonne mal repérée : $-1$ occupe la colonne $2$, alors
que
la colonne $3$ est la dernière.

]]> $0$

]]> Indices lus dans l'ordre inverse : $0$ est en ligne $1$,
colonne $2$. On annonce toujours la ligne en premier.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q37 : Taille du second facteur La matrice $A$ est de taille $3 \times 4$. Quelle doit
être la taille de la matrice $B$ pour que le produit $AB$ existe
et soit de taille $3 \times 2$ ?

]]> Règle des dominos : $(m \times n)(n \times p) = m \times p$. Les
dimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent du
résultat ; les dimensions extérieures donnent la taille du
produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4 \times 2$

]]> Bonne réponse : $B$ doit avoir $4$ lignes pour se
raccorder aux $4$ colonnes de $A$, et $2$ colonnes
puisque ce sont elles qui donnent les colonnes du produit.

]]> $2 \times 4$

]]> Ordre inversé : les lignes s'annoncent en premier, et ce sont
elles qui doivent être au nombre de $4$.

]]> $3 \times 2$

]]> C'est la taille du produit, pas celle de $B$ : $B$ doit
d'abord se raccorder aux $4$ colonnes de $A$.

]]> $4 \times 3$

]]> Le nombre de colonnes de $B$ est celui du produit, soit
$2$, et non le nombre de lignes de $A$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q38 : Produit par une colonne Soient $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3
\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} 4 \\ 5
\end{pmatrix}$. Que vaut le produit $AX$ ?

]]> Le produit d'une matrice $2 \times 2$ par une colonne $2 \times
1$ est une colonne $2 \times 1$ : chaque coefficient s'obtient en
croisant une ligne de la matrice avec la colonne, terme à terme
puis en sommant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 13 \\ 15 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : chaque ligne de $A$ rencontre la colonne
$X$ : $2 \times 4 + 1 \times 5 = 13$, puis
$0 \times 4 + 3 \times 5 = 15$.

]]> $\begin{pmatrix} 8 \\ 19 \end{pmatrix}$

]]> Ce sont les colonnes de $A$ qui ont été croisées avec $X$ :
la règle utilise les lignes de $A$, d'où $13$ puis $15$.

]]> $\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

]]> Le second terme de chaque ligne a été oublié : il faut aussi
multiplier par $5$, ce qui donne $13$ puis $15$.

]]> $\begin{pmatrix} 8 \\ 15 \end{pmatrix}$

]]> Produit coefficient par coefficient le long de la diagonale :
chaque ligne doit être croisée avec la colonne entière, d'où
$13$ puis $15$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q39 : Une matrice non inversible On rappelle qu'une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d
\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad - bc \neq
0$. Pour quelle valeur du réel $x$ la matrice $M =
\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ x & 6 \end{pmatrix}$ n'est-elle
pas inversible ?

]]> Une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible exactement lorsque
son déterminant $ad - bc$ est non nul : annuler ce déterminant
revient à résoudre une équation du premier degré en l'inconnue
cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 9$

]]> Bonne réponse : le déterminant vaut $3 \times 6 - 2
\times x = 18 - 2x$, et il s'annule pour $x =
9$.

]]> $x = -9$

]]> Erreur de signe : le déterminant est la différence
$18 - 2x$, qui s'annule pour $x = 9$.

]]> $x = 18$

]]> La division par $2$ a été oubliée : l'équation $2x =
18$ donne $x = 9$.

]]> $x = 4$

]]> Diagonales confondues : $x$ est sur la diagonale de $2$,
pas sur celle de $3$ et $6$, d'où $x = 9$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q40 : Carré d'une matrice diagonale Soit $D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$. Que
vaut $D^2$ ?

]]> Le carré d'une matrice diagonale est la matrice diagonale des
carrés : les zéros hors diagonale annulent tous les produits
croisés. Plus généralement, la puissance $n$-ième élève chaque
coefficient diagonal à la puissance $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : les zéros annulent les produits croisés et il
reste $(3)^2 = 9$ puis $(5)^2 = 25$.

]]> $\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$

]]> Confusion entre $D^2$ et $2D$ : la puissance multiplie la
matrice par elle-même, elle ne la double pas.

]]> $\begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \end{pmatrix}$

]]> Les deux coefficients ont été multipliés l'un par l'autre :
chaque case croise une ligne et une colonne de $D$, d'où
$9$ puis $25$.

]]> $\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

]]> Le second coefficient n'a pas été élevé au carré : il devient
$25$, comme le premier devient $9$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q41 : Reconnaître $I_3$ Parmi les matrices suivantes, laquelle est la matrice identité
$I_3$ ?

]]> La matrice identité $I_n$ porte des $1$ sur sa diagonale
principale et des $0$ ailleurs. Elle vérifie $AI_n = I_nA = A$ et
sert de référence pour l'inverse, défini par $AA^{-1} = I_n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : des $1$ sur la diagonale principale, des $0$
partout ailleurs. C'est le neutre du produit : $AI_3 = I_3A =
A$.

]]> $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$

]]> Tous les coefficients valent $1$ : cette matrice mélange les
lignes au lieu de les laisser intactes.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}$

]]> Diagonale secondaire : cette matrice renverse l'ordre des
lignes. L'identité porte ses $1$ sur l'autre diagonale.

]]> $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> C'est l'identité d'ordre $4$ : l'indice de $I_3$ annonce le
nombre de lignes et de colonnes, ici $3$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q42 : Première ligne d'une transition Une chaîne de Markov a trois états $A$, $B$ et $C$. Depuis l'état
$A$, on passe en $B$ avec la probabilité $0{,}2$ et en $C$ avec la
probabilité $0{,}5$. Quelle est la première ligne de sa matrice de
transition, les états étant rangés dans l'ordre $A$, $B$, $C$ ?

]]> Dans une matrice de transition, la ligne $i$ donne les
probabilités de passer de l'état $i$ à chacun des états, dans
l'ordre choisi, et elle somme toujours à $1$. Le coefficient
diagonal est la probabilité de rester sur place.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : la probabilité de rester en $A$ vaut $1 - 0{,}2
- 0{,}5 = 0{,}3$, et la ligne somme bien à $1$.

]]> $\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \end{pmatrix}$

]]> Ordre des états non respecté : la première colonne correspond
à l'arrivée en $A$, donc à la probabilité $0{,}3$ de rester sur
place.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 0{,}2 & 0{,}5 \end{pmatrix}$

]]> Rester en $A$ est possible : avec un $0$, la ligne sommerait à
$0{,}7$ au lieu de $1$.

]]> $\begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}2 \end{pmatrix}$

]]> États $B$ et $C$ échangés : la deuxième colonne est l'arrivée
en $B$, de probabilité $0{,}2$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q43 : Partir de la distribution invariante Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et admet la
distribution invariante $\pi$. La chaîne démarre avec la
distribution $\pi$. Quelle est sa distribution après $10$
étapes ?

]]> Une distribution invariante vérifie $\pi P = \pi$ : c'est un état
d'équilibre. En répétant l'opération, $\pi P^n = \pi$ pour tout
entier $n$ : partie de $\pi$, la chaîne y reste indéfiniment.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi$

]]> Bonne réponse : $\pi P = \pi$, donc chaque étape laisse la
distribution inchangée et $\pi P^{10} = \pi$.

]]> $\pi^{10}$

]]> Une distribution ne s'élève pas à une puissance : c'est $P$
qui est appliquée dix fois, et elle laisse $\pi$ inchangée.

]]> $10\,\pi$

]]> Les coefficients d'une distribution somment à $1$ : les
multiplier par $10$ donnerait une somme de $10$.

]]> $P^{10}$

]]> Confusion d'objets : $P^{10}$ est une matrice carrée, alors
que la distribution cherchée est une matrice ligne.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q44 : Se ramener à $V_{n+1} = AV_n$ Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = AU_n + C$, où
$A$ est une matrice carrée et $C$ une colonne, toutes deux
fixées. On pose $V_n = U_n - X$, avec $X$ une colonne constante.
Que doit vérifier $X$ pour que $V_{n+1} = AV_n$ ?

]]> On cherche une colonne fixe, solution de $X = AX + C$ : la suite
$V_n = U_n - X$ vérifie alors $V_{n+1} = AV_n$, donc $V_n = A^n
V_0$ et $U_n = A^n V_0 + X$. Tout revient ainsi aux puissances de
$A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $X = AX + C$

]]> Bonne réponse : $V_{n+1} = AU_n + C - X = AV_n + (AX + C -
X)$, et le terme constant disparaît exactement lorsque $X =
AX + C$.

]]> $X - AX = -C$

]]> Erreur de signe au regroupement : la condition $X = AX + C$
s'écrit $X - AX = C$, et non avec $-C$.

]]> $AX + C = 0$

]]> La colonne $X$ retranchée a été oubliée : le terme constant du
calcul est $AX + C - X$, nul lorsque $X = AX + C$.

]]> $X = CX + A$

]]> Rôles échangés : c'est $A$ qui multiplie la colonne et $C$
qui s'ajoute, d'où la condition $X = AX + C$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q45 : Mesurer l'écart entre $AB$ et $BA$ Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et
$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut
$AB - BA$ ?

]]> Le produit matriciel n'est pas commutatif : ici $AB$ et $BA$ ne
diffèrent que par le coin supérieur droit, et leur différence
$\begin{pmatrix} 0 & b(a - 1) \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ n'est nulle
que si $a = 1$ ou $b = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : $AB = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}$ : seul le coin supérieur droit diffère, de
$3 - 1 = 2$.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Ces deux matrices ne commutent pas : le coin supérieur droit
vaut $3$ dans $AB$ et $1$ dans $BA$.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Facteurs inversés : la différence demandée est $AB - BA$,
soit $3 - 1 = 2$.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Seul $AB$ a été calculé : il reste à retrancher le
coefficient $1$ venu de $BA$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q46 : Résoudre un système par l'inverse Le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$ s'écrit
$AX = B$ avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$,
$X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et
$B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$. On donne
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Quelle est
la solution ?

]]> Si $A$ est inversible, $AX = B$ équivaut à $X = A^{-1}B$ : on
multiplie à gauche par $A^{-1}$ les deux membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2$ et $y = 1$

]]> Bonne réponse : $X = A^{-1}B$, soit
$x = 1 \times 5 - 1 \times 3 = 2$ et
$y = -1 \times 5 + 2 \times 3 = 1$.

]]> $x = 1$ et $y = 2$

]]> Erreur : les deux inconnues sont échangées. Pour contrôler :
$2 \times 1 + 2 = 4 \neq 5$.

]]> $x = 13$ et $y = 8$

]]> Erreur : c'est le produit $AB$. On multiplie $B$ par l'inverse
$A^{-1}$, pas par $A$.

]]> $x = 5$ et $y = 3$

]]> Erreur : ce sont les coefficients de $B$, les seconds membres du
système, pas ses solutions.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q47 : Ordre d'un graphe Qu'appelle-t-on l'ordre d'un graphe ?

]]> Vocabulaire : ordre = nombre de sommets ; degré d'un sommet = nombre
d'arêtes qui en partent ; longueur d'une chaîne = nombre d'arêtes
parcourues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le nombre de ses sommets

]]> Bonne réponse : un graphe à $5$ sommets est d'ordre $5$, quel que soit
son nombre d'arêtes.

]]> Le nombre de ses arêtes

]]> Les arêtes se comptent à part : leur nombre vaut la moitié de la
somme des degrés.

]]> Le plus grand degré d'un sommet

]]> Le degré concerne un sommet ; l'ordre concerne le graphe entier
et compte ses sommets.

]]> La longueur de sa plus longue chaîne

]]> La longueur d'une chaîne compte des arêtes ; l'ordre compte les
sommets du graphe.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q48 : Somme des degrés lue sur un graphe Graphe non orienté à cinq sommets A, B, C, D, E et sept arêtes : AB, BC, CD, DE, EA, AC et BD.

Quelle est la somme des degrés des sommets du graphe ci-contre ?

]]> Dans tout graphe non orienté, la somme des degrés vaut le double du
nombre d'arêtes. Le nombre de sommets de degré impair est donc pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $14$

]]> Bonne réponse : $A$, $B$, $C$ et $D$ sont de degré $3$, $E$ de degré $2$,
d'où $3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14$, soit deux fois les $7$ arêtes.

]]> $7$

]]> C'est le nombre d'arêtes : chaque arête compte dans le degré de ses
deux extrémités, la somme des degrés vaut donc le double.

]]> $5$

]]> C'est l'ordre du graphe, c'est-à-dire son nombre de sommets.

]]> $15$

]]> Une somme des degrés est toujours paire : elle vaut deux fois le
nombre d'arêtes. Un degré a été surestimé.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q49 : Matrice d'adjacence d'un graphe dessiné Graphe non orienté à quatre sommets A, B, C, D et quatre arêtes : AB, AC, BC et CD.

Quelle est la matrice d'adjacence du graphe ci-contre, les sommets étant
pris dans l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$ ?

]]> La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté est symétrique. La
somme des coefficients d'une ligne donne le degré du sommet
correspondant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : le coefficient $(i, j)$ vaut $1$ si les sommets $i$ et $j$
sont reliés. La matrice est symétrique, de diagonale nulle (pas de
boucle).

]]> $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Diagonale fausse : un $1$ en position $(i, i)$ signalerait une boucle
sur le sommet $i$, et le graphe n'en a pas.

]]> $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Les degrés ont été placés sur la diagonale : la matrice d'adjacence
ne contient que des $0$ et des $1$ pour un graphe simple.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Seule la moitié des arêtes est notée : dans un graphe non orienté, une
arête $AB$ donne un $1$ en $(A, B)$ et en $(B, A)$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q50 : Reconnaître un graphe non connexe Graphe non orienté à cinq sommets : un triangle formé de A, B, C et une arête isolée qui relie D et E, sans arête entre les deux groupes.

Le graphe ci-contre est-il connexe ?

]]> Un graphe est connexe si deux sommets quelconques sont toujours reliés
par une chaîne. Sur un dessin, cela revient à dire qu'il est « d'un seul
tenant ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : aucune chaîne ne relie $A$ à $D$

]]> Bonne réponse : depuis $A$, on n'atteint que $B$ et $C$. Il suffit d'un
couple de sommets non reliés pour que le graphe ne soit pas connexe.

]]> Oui : chaque sommet a au moins une arête

]]> Aucun sommet isolé ne suffit pas : il faut une chaîne entre tout
couple de sommets, et rien ne relie $\{A, B, C\}$ à $\{D, E\}$.

]]> Oui : il contient un cycle

]]> Le cycle $A$, $B$, $C$ n'empêche pas l'existence d'une seconde partie
séparée, formée de $D$ et $E$.

]]> Non : le sommet $C$ est de degré $2$

]]> Le degré d'un sommet ne décide pas de la connexité : le défaut vient
de l'absence de chaîne entre les deux groupes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q51 : Nombre d'arêtes d'un graphe complet Combien d'arêtes possède le graphe complet d'ordre $5$ ?

]]> Dans le graphe complet d'ordre $n$, chaque sommet est relié à tous les
autres : il y a $\dfrac{n(n - 1)}{2}$ arêtes, le nombre de paires de
sommets.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : chacun des $5$ sommets est de degré $4$, et chaque
arête est comptée deux fois : $\dfrac{5 \times 4}{2} = 10$.

]]> $20$

]]> Chaque arête a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses
extrémités : il faut diviser par $2$.

]]> $25$

]]> On ne relie pas un sommet à lui-même, et l'arête $AB$ est la même
que l'arête $BA$.

]]> $4$

]]> C'est le degré de chaque sommet, pas le nombre total d'arêtes.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q52 : Compter des chemins sur un dessin Graphe non orienté à quatre sommets A, B, C, D, placés en carré : arêtes AB, BC, CD, DA et la diagonale BD.

Soit $M$ la matrice d'adjacence du graphe ci-contre (ordre $A$, $B$, $C$,
$D$). Que vaut le coefficient de $M^2$ situé ligne $A$, colonne $C$ ?

]]> Le coefficient $(i, j)$ de $M^k$ est le nombre de chemins de longueur $k$
allant de $i$ à $j$. Pour $k = 2$, c'est le nombre de voisins communs de
$i$ et de $j$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : il compte les chemins de longueur $2$ de $A$ à $C$ :
$A$–$B$–$C$ et $A$–$D$–$C$.

]]> $0$

]]> $A$ et $C$ ne sont pas voisins, mais le coefficient de $M^2$ compte les
chemins de longueur $2$, qui passent par un sommet intermédiaire.

]]> $1$

]]> Un chemin a été oublié : on peut passer par $B$ ou par $D$, tous deux
voisins de $A$ et de $C$.

]]> $3$

]]> Le chemin $A$–$B$–$D$ ne mène pas à $C$ : seuls les intermédiaires
voisins à la fois de $A$ et de $C$ comptent.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q53 : Parcourir chaque arête une seule fois Dans un graphe connexe, quand existe-t-il une chaîne qui emprunte chaque
arête une fois et une seule ?

]]> Théorème d'Euler : un graphe connexe admet une chaîne passant une fois
par chaque arête si et seulement si $0$ ou $2$ de ses sommets sont de
degré impair ($0$ pour un cycle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Quand le nombre de sommets de degré impair vaut $0$ ou $2$

]]> Bonne réponse (théorème d'Euler) : un sommet intermédiaire est quitté
autant de fois qu'il est atteint, son degré est donc pair ; seules les
extrémités peuvent être de degré impair.

]]> Quand tous les sommets sont de degré impair

]]> C'est l'inverse : à Königsberg, les quatre sommets sont de degré impair
et la promenade est impossible.

]]> Quand le graphe est complet

]]> Le graphe complet d'ordre $4$ a quatre sommets de degré $3$ : il n'admet
pas une telle chaîne.

]]> Toujours, puisque le graphe est connexe

]]> La connexité est nécessaire mais pas suffisante : la parité des degrés
décide.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q54 : Matrice d'une rotation Quelle matrice représente la rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$, qui
envoie le point de coordonnées $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ sur $RX$ ?

]]> Les colonnes de la matrice d'une transformation sont les images des
vecteurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Ce lien
matrice et nombres complexes : multiplier par $e^{i\theta}$ fait la même rotation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : l'image de $(1\ ;\ 0)$ est $(\cos\theta\ ;\ \sin\theta)$ (première
colonne) et celle de $(0\ ;\ 1)$ est $(-\sin\theta\ ;\ \cos\theta)$.

]]> $R = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

]]> Signe mal placé : cette matrice représente la rotation d'angle
$-\theta$.

]]> $R = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta \end{pmatrix}$

]]> Avec $\theta = 0$, on trouverait la matrice nulle en bas à droite : la
rotation d'angle nul doit donner $I_2$.

]]> $R = \begin{pmatrix} \sin\theta & \cos\theta \\ \cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}$

]]> Pour $\theta = 0$, cette matrice échange $x$ et $y$ : c'est une symétrie,
pas la rotation d'angle nul.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q55 : Image d'un point par une matrice La matrice $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ représente la rotation de
centre $O$ d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. Quelle est l'image du point $M(3\ ;\ 1)$ ?

]]> Image d'un point : on multiplie la matrice par la colonne des
coordonnées. La rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ envoie $(x\ ;\ y)$ sur $(-y\ ;\ x)$, comme la
multiplication par $i$ dans $\mathbb{C}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-1\ ;\ 3)$

]]> Bonne réponse : $R\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 3 - 1 \times (1) \\ 1 \times 3 + 0 \times (1) \end{pmatrix}$.

]]> $(1\ ;\ -3)$

]]> C'est l'image par la rotation d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ : le produit a été
fait avec les signes inversés.

]]> $(-3\ ;\ -1)$

]]> C'est l'image par la symétrie de centre $O$, de matrice $-I_2$, soit la
rotation d'angle $\pi$.

]]> $(1\ ;\ 3)$

]]> C'est l'image par la symétrie d'axe $y = x$ : les coordonnées ont été
échangées sans le signe moins.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q56 : Reconnaître une transformation Quelle transformation du plan est représentée par la matrice
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ?

]]> Pour reconnaître une transformation, on calcule l'image d'un point
quelconque $(x\ ;\ y)$, ou celles de $(1\ ;\ 0)$ et $(0\ ;\ 1)$, lues dans les colonnes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie d'axe des abscisses

]]> Bonne réponse : $(x\ ;\ y)$ a pour image $(x\ ;\ -y)$ : l'abscisse est
conservée, l'ordonnée change de signe.

]]> La symétrie d'axe des ordonnées

]]> Cette symétrie envoie $(x\ ;\ y)$ sur $(-x\ ;\ y)$ ; sa matrice est
$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

]]> La symétrie de centre $O$

]]> Elle change les deux signes ; sa matrice est $-I_2$.

]]> La rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Une rotation d'angle droit échange les coordonnées (au signe près) :
sa matrice est $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q57 : Matrice d'une homothétie Quelle matrice représente l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ ?

]]> L'homothétie de centre $O$ de rapport $k$ a pour matrice $kI_2$. Elle
commute avec toutes les matrices, comme la multiplication par le réel $k$
dans $\mathbb{C}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : $(x\ ;\ y)$ a pour image $(2x\ ;\ 2y)$ : la matrice vaut
$2\,I_2$.

]]> $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Seule l'abscisse est multipliée : c'est une dilatation dans une
direction, pas une homothétie.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Cette matrice échange en plus les coordonnées : elle compose
l'homothétie avec la symétrie d'axe $y = x$.

]]> $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

]]> L'image de $(1\ ;\ 0)$ serait $(2\ ;\ 2)$ au lieu de $(2\ ;\ 0)$ :
les coefficients hors diagonale doivent être nuls.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q58 : Écrire un système sous forme matricielle Le système $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ s'écrit $AX = B$ avec
$X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. Que valent $A$ et $B$ ?

]]> Un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit $AX = B$,
où $A$ est carrée d'ordre $n$. Si $A$ est inversible, la solution est
unique : $X = A^{-1}B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : chaque ligne de $A$ contient les coefficients d'une
équation, et $B$ la colonne des seconds membres.

]]> $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$

]]> Matrice transposée : la première ligne de $A$ doit contenir les
coefficients de la première équation.

]]> $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

]]> Rôles confondus : $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ est l'inconnue $X$ ; $B$ est la colonne des
seconds membres.

]]> $A = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

]]> Le produit $AX$ ne serait pas défini : une matrice colonne de taille
$2 \times 1$ ne se multiplie pas par une colonne $X$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q59 : Résoudre un système par l'inverse On a $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$, d'inverse $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$. Quelle est la solution $X$
de l'équation $AX = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}$ ?

]]> Si $A$ est inversible, $AX = B \iff X = A^{-1}B$ : on multiplie à gauche
par $A^{-1}$, car le produit matriciel n'est pas commutatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $X = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Contrôle : $AX$ redonne
$\begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}$.

]]> $X = \begin{pmatrix} 19 \\ 53 \end{pmatrix}$

]]> C'est $AB$ : pour isoler $X$, on multiplie à gauche par $A^{-1}$, pas
par $A$.

]]> $X = \begin{pmatrix} -43 \\ 18 \end{pmatrix}$

]]> L'inverse a été transposé par erreur : on utilise $A^{-1}$ tel quel,
lignes comme écrites.

]]> $X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonnes valeurs, mauvais ordre : $x = 1$ est la première coordonnée et
$y = 2$ la seconde.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q60 : Système et matrice inversible $A$ est une matrice carrée inversible et $B$ une matrice colonne de même
taille. Que peut-on dire de l'équation $AX = B$ ?

]]> Pour un système carré, $A$ inversible équivaut à une solution unique
pour tout second membre. Pour une matrice $2 \times 2$, cela revient à un
déterminant non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle a une unique solution, $X = A^{-1}B$

]]> Bonne réponse : en multipliant à gauche par $A^{-1}$, on obtient
$A^{-1}AX = X = A^{-1}B$, et ce $X$ convient.

]]> Elle a une unique solution, $X = BA^{-1}$

]]> Le produit $BA^{-1}$ n'est en général pas défini (colonne fois matrice
carrée), et l'ordre compte : on multiplie à gauche.

]]> Elle a une infinité de solutions

]]> C'est le cas de certaines matrices non inversibles ; une matrice
inversible donne une solution unique.

]]> On ne peut rien dire sans connaître $B$

]]> Quel que soit $B$, la solution existe et vaut $A^{-1}B$ : l'inversibilité
de $A$ suffit.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q61 : Taille des matrices d'un système Un système de $3$ équations à $3$ inconnues $x$, $y$, $z$ s'écrit $AX = B$.
Quelles sont les tailles de $A$, $X$ et $B$ ?

]]> Le produit d'une matrice $n \times p$ par une matrice $p \times q$ est une
matrice $n \times q$. Ici $3 \times 3$ par $3 \times 1$ donne bien $3 \times 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$ : $3 \times 3$ ; $X$ et $B$ : $3 \times 1$

]]> Bonne réponse : une ligne de $A$ par équation, une colonne par
inconnue ; $X$ et $B$ sont des colonnes à $3$ coefficients.

]]> $A$ : $3 \times 3$ ; $X$ et $B$ : $1 \times 3$

]]> Avec $X$ en ligne, le produit $AX$ ne serait pas défini : le nombre de
colonnes de $A$ doit égaler le nombre de lignes de $X$.

]]> $A$ : $3 \times 4$ ; $X$ : $3 \times 1$ ; $B$ : $4 \times 1$

]]> Les seconds membres ne vont pas dans $A$ : ils forment la colonne $B$,
et $A$ est carrée.

]]> $A$, $X$ et $B$ : $3 \times 3$

]]> $X$ ne contient que les trois inconnues : c'est une matrice colonne,
tout comme $B$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q62 : Calculer $U_1$ pour $U_{n+1} = AU_n + C$ On pose $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n + C$ avec $U_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$.
Que vaut $U_1$ ?

]]> Pour une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = AU_n + C$, chaque terme se
calcule par un produit matrice-colonne suivi d'une addition. Si $C = 0$,
on obtient directement $U_n = A^nU_0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $U_1 = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : $AU_0 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$, puis on ajoute $C$ :
$U_1 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix}$.

]]> $U_1 = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}$

]]> Le terme $C$ a été oublié : $U_1 = AU_0 + C$, pas seulement $AU_0$.

]]> $U_1 = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}$

]]> Parenthèses ajoutées : on a calculé $A(U_0 + C)$ ; la relation est
$AU_0 + C$, où seul $U_0$ est multiplié par $A$.

]]> $U_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

]]> La multiplication par $A$ manque : on a seulement ajouté $C$ à $U_0$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q63 : Colonne fixe d'une suite matricielle Pour la suite $U_{n+1} = AU_n + C$, on cherche une colonne $L$ telle que
$L = AL + C$. Si $I - A$ est inversible, que vaut $L$ ?

]]> Si $L = AL + C$, la suite $V_n = U_n - L$ vérifie $V_{n+1} = AV_n$, donc
$V_n = A^nV_0$ : on retrouve une suite étudiée par les puissances de $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $L = (I - A)^{-1}C$

]]> Bonne réponse : $L - AL = C$, soit $(I - A)L = C$, puis on multiplie à
gauche par $(I - A)^{-1}$.

]]> $L = (A - I)^{-1}C$

]]> Signe : $L - AL$ se factorise en $(I - A)L$ ; la matrice proposée donne
l'opposé de $L$.

]]> $L = C(I - A)^{-1}$

]]> Ordre du produit : une colonne $C$ ne se multiplie pas à droite par
une matrice carrée $2 \times 2$. On multiplie à gauche.

]]> $L = A^{-1}C$

]]> Le terme $L$ du membre de gauche a été oublié : $AL = C$ n'est pas
l'équation $L = AL + C$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q64 : Une récurrence d'ordre deux en matrices La suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n$. On pose
$U_n = \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ u_n \end{pmatrix}$. Quelle matrice $A$ vérifie $U_{n+1} = AU_n$ ?

]]> Une récurrence $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ devient $U_{n+1} = AU_n$ avec
$A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, puis $U_n = A^nU_0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : $U_{n+1} = \begin{pmatrix} u_{n+2} \\ u_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1} + 2u_n \\ u_{n+1} \end{pmatrix}$ : première
ligne $(1\ ;\ 2)$, seconde ligne $(1\ ;\ 0)$.

]]> $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Coefficients échangés : le $2$ multiplie $u_n$, qui est la seconde
coordonnée de $U_n$.

]]> $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Seconde ligne fausse : elle doit donner $u_{n+1}$, première coordonnée
de $U_n$, d'où $(1\ ;\ 0)$.

]]> $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Matrice transposée : la première ligne doit produire
$u_{n+2} = 1 \times u_{n+1} + 2 \times u_n$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q65 : Puissance d'une matrice triangulaire Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Que vaut $A^{5}$ ?

]]> On calcule $A^2$, $A^3$, on conjecture la forme de $A^n$, puis on la
démontre par récurrence. C'est la démarche standard pour les puissances
de matrices d'ordre $2$ ou $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\begin{pmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : $A^n = \begin{pmatrix} 1 & nk \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ se démontre par récurrence ;
ici $5 \times 2 = 10$.

]]> $\begin{pmatrix} 1 & 32 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Coefficient élevé à la puissance : une puissance de matrice ne se
calcule pas coefficient par coefficient. $A^2$ donne déjà $2 \times 2$.

]]> $\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

]]> C'est $5A$ : la puissance $5$-ième n'est pas le produit par $5$ ; la
diagonale reste à $1^{5} = 1$.

]]> $\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

]]> Le coefficient augmente de $2$ à chaque multiplication par $A$, pas de
$1$ : il vaut $5 \times 2$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q66 : Puissances d'une matrice d'ordre $3$ Soit $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $N^3$ ?

]]> Une matrice dont une puissance est nulle est dite nilpotente. Pour
elle, $A^n$ est nulle à partir d'un certain rang, ce qui simplifie les
calculs de puissances de matrices de la forme $I + N$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La matrice nulle d'ordre $3$

]]> Bonne réponse : $N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, et le
produit par $N$ décale encore le $1$, qui sort de la matrice.

]]> $I_3$

]]> Une puissance de $N$ ne peut pas valoir $I_3$ : $N$ n'est pas
inversible (sa dernière ligne est nulle).

]]> $N$

]]> Les puissances de $N$ ne reviennent pas à $N$ : chaque multiplication
décale les $1$ d'un cran vers le coin supérieur droit.

]]> $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

]]> C'est $N^2$ : il reste une multiplication par $N$, qui annule ce
dernier coefficient.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q67 : Matrice de transition à trois états Graphe orienté pondéré à trois états A, B, C. De A : boucle 0,5, vers B 0,3, vers C 0,2. De B : vers A 0,4, vers C 0,6, pas de boucle. De C : vers A 0,1, vers B 0,2, boucle 0,7.

Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à trois états. Quelle est
sa matrice de transition $P$ (ordre $A$, $B$, $C$, une ligne par état de
départ) ?

]]> Matrice de transition : coefficient $(i, j)$ = probabilité de passer de
l'état $i$ à l'état $j$ en une étape. Chaque ligne est une loi de
probabilité, de somme $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$

]]> Bonne réponse : la ligne $A$ lit les flèches qui partent de $A$ (boucle
$0{,}5$, puis $0{,}3$ et $0{,}2$) ; chaque ligne a pour somme $1$.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}7 \end{pmatrix}$

]]> Matrice transposée : ici ce sont les colonnes qui somment à $1$. Par
convention, la ligne $i$ décrit les départs de l'état $i$.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0 \end{pmatrix}$

]]> Boucles oubliées : rester en $A$ ($0{,}5$) ou en $C$ ($0{,}7$) est une
transition, notée sur la diagonale.

]]> $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$

]]> Ligne $B$ décalée : de $B$, on va en $A$ avec probabilité $0{,}4$ et l'on
ne reste jamais en $B$.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q68 : Distribution après une transition Une chaîne de Markov sur les états $A$, $B$, $C$ a pour matrice de transition
$P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$. La distribution initiale est
$\pi_0 = (0{,}5\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0)$. Que vaut $\pi_1 = \pi_0P$ ?

]]> La distribution après $n$ transitions est la matrice ligne $\pi_n = \pi_0P^n$.
Ses coefficients sont positifs et de somme $1$ : c'est un premier contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi_1 = (0{,}45\ ;\ 0{,}15\ ;\ 0{,}4)$

]]> Bonne réponse : chaque coefficient est le produit de $\pi_0$ par une
colonne de $P$ ; pour $A$ : $0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times 0{,}4 + 0 \times 0{,}1 = 0{,}45$.

]]> $\pi_1 = (0{,}4\ ;\ 0{,}2\ ;\ 0{,}15)$

]]> Produit fait avec les lignes de $P$ (c'est $P\pi_0$ en colonne) : la
distribution est une ligne, multipliée à gauche de $P$.

]]> $\pi_1 = (0{,}5\ ;\ 0{,}3\ ;\ 0{,}2)$

]]> C'est la première ligne de $P$, la distribution après une étape
lorsque l'on part de $A$ à coup sûr ; ici, le départ est réparti.

]]> $\pi_1 = (0{,}5\ ;\ 0{,}5\ ;\ 0)$

]]> La distribution n'a pas été mise à jour : $\pi_0$ n'est pas invariante
pour cette chaîne.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q69 : Interpréter un coefficient de $P^n$ $P$ est la matrice de transition d'une chaîne de Markov. Que représente
le coefficient $(i, j)$ de $P^n$ ?

]]> Les puissances de $P$ décrivent l'évolution à long terme. Le coefficient
$(i, j)$ de $P^n$ somme, sur tous les chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$,
les produits des probabilités rencontrées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité d'être dans l'état $j$ après $n$ transitions, en partant de l'état $i$

]]> Bonne réponse : c'est le cas $\pi_0 = $ « état $i$ à coup sûr » dans
$\pi_n = \pi_0P^n$ ; on lit la ligne $i$ de $P^n$.

]]> La probabilité d'être dans l'état $i$ après $n$ transitions, en partant de l'état $j$

]]> Sens inversé : la ligne indique l'état de départ, la colonne l'état
d'arrivée.

]]> $n$ fois la probabilité de passer de $i$ à $j$ en une transition

]]> Les probabilités ne s'ajoutent pas d'une étape à l'autre : $P^n$ est un
produit de matrices, pas $nP$.

]]> Le nombre de chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$

]]> Cette lecture vaut pour la matrice d'adjacence d'un graphe ; pour une
matrice de transition, on obtient une probabilité.

]]> Graphes, matrices et chaînes de Markov — Q70 : Repérer une distribution invariante Une chaîne de Markov a pour matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix}$.
Quelle distribution $\pi$ vérifie $\pi P = \pi$ ?

]]> Une distribution invariante vérifie $\pi P = \pi$ et a une somme de $1$. On
la trouve en résolvant un système linéaire, ou on vérifie une candidate
par un simple produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\pi = \left(\dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\ ;\ \dfrac{1}{3}\right)$

]]> Bonne réponse : chaque colonne de $P$ a pour somme $1$, donc
$\pi P$ a pour coefficients $\dfrac{1}{3} \times 1 = \dfrac{1}{3}$.

]]> $\pi = \left(\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{1}{4}\right)$

]]> Première ligne recopiée : le calcul donne
$\pi P = \left(\dfrac{3}{8}\ ;\ \dfrac{5}{16}\ ;\ \dfrac{5}{16}\right) \neq \pi$.

]]> $\pi = \left(\dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{1}{4}\right)$

]]> Deuxième ligne recopiée : $\pi P = \left(\dfrac{5}{16}\ ;\ \dfrac{3}{8}\ ;\ \dfrac{5}{16}\right)$, qui diffère
de $\pi$.

]]> $\pi = \left(\dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$

]]> Troisième ligne recopiée : $\pi P = \left(\dfrac{5}{16}\ ;\ \dfrac{5}{16}\ ;\ \dfrac{3}{8}\right)$, qui
diffère de $\pi$.

]]>