$course$/QCM de maths/Première spécialité/Expérimentations et simulation Simulation d'une variable aléatoire avec Python, échantillons :
moyenne d'un échantillon et espérance de la variable, effet de
la taille de l'échantillon, ordre de grandeur des écarts en
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, lecture et écriture de fonctions
Python (moyenne, fréquence, répétition d'expériences).

]]> Expérimentations et simulation — Q01 : Simuler un dé en Python Quelle instruction Python simule le lancer d'un dé équilibré
à six faces (après from random import randint) ?

]]> randint(a, b) : entier uniforme sur $\{a, \ldots, b\}$,
bornes incluses. Un dé : randint(1, 6). (Autre outil :
random(), réel uniforme dans $[0\,;\,1[$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc randint(1, 6)

]]> Bonne réponse : randint(a, b) renvoie un entier au
hasard entre a et b inclus : ici un entier de $1$
à $6$, chacun avec la même probabilité.

]]> randint(0, 6)

]]> Erreur : cette instruction peut renvoyer $0$, qui n'est
pas une face du dé (sept valeurs au lieu de six).

]]> randint(1, 5)

]]> Erreur : la borne supérieure de randint est
incluse : randint(1, 5) ne produirait jamais de
$6$.

]]> 6 * randint(0, 1)

]]> Erreur : cette expression ne renvoie que $0$ ou $6$ :
rien à voir avec un dé.

]]> Expérimentations et simulation — Q02 : Simuler une épreuve de Bernoulli Après from random import random, quelle expression Python
vaut True avec la probabilité $0{,}3$ (simulation d'un
succès de probabilité $0{,}3$) ?

]]> Simulation d'un succès de probabilité $p$ :
random() < p. C'est la brique de base de toutes les
simulations de variables aléatoires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc random() < 0.3

]]> Bonne réponse : random() est uniforme sur $[0\,;\,1[$ :
la probabilité qu'il tombe sous $0{,}3$ vaut exactement
$0{,}3$.

]]> random() > 0.3

]]> Erreur de sens : cette condition a pour probabilité
$1 - 0{,}3 = 0{,}7$ : elle simule l'échec.

]]> random() == 0.3

]]> Erreur : l'égalité exacte avec un réel tiré au hasard a
une probabilité (quasi) nulle : ce test ne réussit
pratiquement jamais.

]]> randint(0, 3)

]]> Erreur : cette instruction renvoie un entier entre $0$ et
$3$, pas un booléen de probabilité $0{,}3$.

]]> Expérimentations et simulation — Q03 : Moyenne d'échantillon et espérance On simule un échantillon de taille $n$ d'une variable
aléatoire $X$ et on calcule la moyenne $m$ des valeurs
obtenues. Quelle affirmation est correcte ?

]]> Distinction clé du programme : moyenne d'échantillon
(aléatoire, observée) contre espérance (fixe, théorique). La
simulation fait percevoir la convergence de l'une vers
l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m$ est aléatoire, $E(X)$ est un nombre fixe

]]> Bonne réponse : la moyenne observée varie d'un
échantillon à l'autre (chaque simulation en donne une
différente), alors que l'espérance est une constante
théorique du modèle, dont $m$ s'approche.

]]> $m = E(X)$ exactement, dès que $n \geq 30$

]]> Erreur : aucune taille finie ne garantit l'égalité
exacte : $m$ fluctue autour de $E(X)$, de moins en moins
quand $n$ grandit.

]]> $E(X)$ change à chaque nouvelle simulation

]]> Erreur : l'espérance est calculée sur la loi (les
probabilités du modèle), pas sur les données simulées :
elle ne bouge pas.

]]> $m$ et $E(X)$ n'ont aucun lien entre eux

]]> Erreur : tout le chapitre repose sur leur lien : $m$
estime $E(X)$, d'autant mieux que l'échantillon est
grand.

]]> Expérimentations et simulation — Q04 : Une fonction moyenne en Python Quelle fonction Python renvoie correctement la moyenne d'une
liste non vide L de nombres ?

]]> Fonction attendue au programme : sum(L) / len(L). La lire,
l'écrire et la modifier (moyenne d'une partie, fréquence…)
sont des capacités attendues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc

def moyenne(L):
    return sum(L) / len(L)

]]> Bonne réponse : sum(L) additionne les éléments et
len(L) en donne le nombre : somme divisée par
l'effectif.

]]>

def moyenne(L):
    return sum(L) / n

]]> Erreur : la variable n n'est définie nulle part dans la
fonction : erreur d'exécution. L'effectif s'obtient par
len(L).

]]>

def moyenne(L):
    return len(L) / sum(L)

]]> Fraction renversée : ceci calcule l'inverse de la
moyenne. La somme va au numérateur.

]]>

def moyenne(L):
    return sum(L) - len(L)

]]> Erreur : une moyenne se calcule par division, pas par
soustraction.

]]> Expérimentations et simulation — Q05 : Effet de la taille de l'échantillon On compare des moyennes d'échantillons de taille $n = 100$
puis $n = 10\,000$ d'une même variable aléatoire. Qu'observe-t-on
typiquement ?

]]> Constat expérimental central : la distance entre moyenne
d'échantillon et espérance a tendance à diminuer quand $n$
augmente, à l'échelle $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les moyennes des grands échantillons sont plus resserrées
autour de l'espérance

]]> Bonne réponse : plus l'échantillon est grand, plus la
moyenne observée est stable et proche de $E(X)$ : les
fluctuations se diluent.

]]> Les moyennes fluctuent autant, quelle que soit la taille

]]> Erreur : la simulation montre le contraire : l'écart
typique décroît (en $\frac{1}{\sqrt{n}}$).

]]> Les grands échantillons donnent des moyennes plus grandes

]]> Erreur : la taille réduit la dispersion des moyennes,
elle ne déplace pas leur centre (toujours $E(X)$).

]]> Au-delà de $n = 1000$, la moyenne devient exactement
l'espérance

]]> Erreur : aucun seuil ne supprime l'aléa ; il s'atténue
progressivement, sans jamais disparaître.

]]> Expérimentations et simulation — Q06 : L'échelle $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ Pour diviser par $10$ l'ordre de grandeur
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ des écarts entre moyenne
d'échantillon et espérance, par combien faut-il multiplier la
taille $n$ de l'échantillon ?

]]> La précision d'une moyenne d'échantillon évolue en
$\frac{1}{\sqrt{n}}$ : gagner un facteur $10$ de précision
coûte un facteur $100$ de données. Racine carrée : le coût de
la précision statistique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par $100$

]]> Bonne réponse : l'écart varie en $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ :
diviser par $10$ exige $\sqrt{n}$ multiplié par $10$,
donc $n$ par $100$.

]]> Par $10$

]]> Erreur : $n \times 10$ ne divise l'écart que par
$\sqrt{10} \approx 3{,}2$, à cause de la racine carrée.

]]> Par $\sqrt{10}$

]]> Erreur : cela ne diviserait l'écart que par
$10^{1/4} \approx 1{,}8$. La racine impose de
quadrupler l'effort pour chaque facteur $2$… et
$\times 100$ pour un facteur $10$.

]]> Par $1000$

]]> Trop : $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$ diviserait l'écart
par plus de $30$. Le bon facteur est $10^2 = 100$.

]]> Expérimentations et simulation — Q07 : Répéter une expérience Que fait l'instruction Python for _ in range(1000): placée
au-dessus d'un bloc de code ?

]]> for _ in range(N): répète $N$ fois : combinée à un
compteur de succès ou à une liste de résultats, elle simule
$N$ expériences pour estimer fréquences et moyennes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle exécute le bloc $1000$ fois

]]> Bonne réponse : range(1000) fournit $1000$ tours de
boucle ; le nom _ signale qu'on n'utilise pas le
compteur. C'est le squelette de toute simulation répétée.

]]> Elle exécute le bloc jusqu'à obtenir $1000$

]]> Erreur : aucune condition d'arrêt sur une valeur : le
nombre de répétitions est fixé à $1000$ (ce serait le
rôle d'un while).

]]> Elle crée une liste de $1000$ zéros

]]> Erreur : for répète du code ; la création de liste
utiliserait par exemple [0] * 1000.

]]> Elle exécute le bloc une fois avec $n = 1000$

]]> Erreur : la boucle exécute le bloc mille fois, une
par tour.

]]> Expérimentations et simulation — Q08 : Estimer une probabilité par simulation Pourquoi simuler $10\,000$ fois une expérience pour estimer
la probabilité d'un événement ?

]]> Estimation par simulation : fréquence sur $N$ répétitions
$\approx$ probabilité, avec une précision qui croît avec $N$.
Exemple du programme : estimer $\pi$ ou une aire par
Monte-Carlo.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que la fréquence observée approche la probabilité

]]> Bonne réponse : sur un grand nombre de répétitions, la
fréquence observée approche la probabilité cherchée :
c'est la loi des grands nombres (version vulgarisée),
utile quand le calcul exact est hors de portée (méthode
de Monte-Carlo).

]]> Parce que la fréquence observée est exactement égale à la
probabilité

]]> Erreur : la fréquence reste une approximation
fluctuante ; elle se resserre autour de la probabilité
sans la donner exactement.

]]> Parce qu'une simulation remplace toute démonstration

]]> Erreur : la simulation conjecture et illustre ; elle
ne démontre pas. Les deux registres se complètent.

]]> Parce que l'ordinateur produit du vrai hasard parfait

]]> Erreur : les générateurs sont pseudo-aléatoires ;
l'argument valable est statistique (grand nombre de
répétitions), pas la perfection du hasard machine.

]]> Expérimentations et simulation — Q09 : La proportion des cas dans $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\,\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ On simule $N$ échantillons de taille $n$ d'une variable
d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, et on calcule
chaque moyenne $m$. Quelle proportion des cas vérifie
typiquement $|m - \mu| \leq \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ ?

]]> Constat de simulation (capacité attendue) : environ $95\ \%$
des moyennes d'échantillons tombent à moins de
$\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de $\mu$. La terminale en fera un
théorème (concentration, Bienaymé-Tchebychev).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $95\ \%$

]]> Bonne réponse : c'est le constat expérimental attendu au
programme : l'écart dépasse rarement deux fois
$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (ordre de grandeur, précisé en
terminale).

]]> Environ $50\ \%$

]]> Erreur : la moitié des cas correspondrait à un intervalle
bien plus étroit (environ $0{,}7\sigma/\sqrt{n}$ de
rayon). À $2\sigma/\sqrt{n}$ : autour de $95\ \%$.

]]> Exactement $100\ \%$

]]> Erreur : quelques échantillons « malchanceux » sortent de
l'intervalle (environ $5\ \%$) : l'aléa ne se laisse pas
enfermer totalement.

]]> Environ $5\ \%$

]]> Inversé : $5\ \%$ est la proportion des cas qui
sortent de l'intervalle.

]]> Expérimentations et simulation — Q10 : Lire une simulation complète Que renvoie cette fonction ?

from random import randint
def f(n):
    c = 0
    for _ in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            c = c + 1
    return c / n

]]> Schéma type d'une simulation : initialiser un compteur,
boucler $n$ fois, incrémenter sous condition, renvoyer
c / n (fréquence). À savoir lire, modifier et écrire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fréquence des « 6 » parmi $n$ lancers

]]> Bonne réponse : le compteur c compte les 6 obtenus sur
$n$ lancers de dé simulés, et c / n en donne la
fréquence : elle approche $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$
pour $n$ grand.

]]> Le nombre de « 6 » obtenus sur $n$ lancers

]]> Presque : ce serait return c. La division finale
c / n transforme le compte en fréquence.

]]> La probabilité exacte $\dfrac{1}{6}$

]]> Erreur : la fonction renvoie une fréquence simulée,
fluctuante ($0{,}171$, $0{,}163$…), proche de
$\frac{1}{6}$ sans lui être égale.

]]> Toujours $0$, car c est initialisé à $0$

]]> Erreur : c démarre à $0$ puis s'incrémente à chaque
6 : l'initialisation n'est pas une valeur définitive.

]]> Expérimentations et simulation — Q11 : Modifier la simulation Dans la fonction précédente, par quoi remplacer la condition
randint(1, 6) == 6 pour estimer la fréquence d'un résultat
pair ?

]]> Adapter une simulation, c'est changer la condition de succès sans toucher au générateur : parité par % 2 == 0, seuil par
>= 5, appartenance par in (2, 4, 6).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc randint(1, 6) % 2 == 0

]]> Bonne réponse : le reste modulo $2$ nul caractérise les
pairs ($2$, $4$, $6$) : la fréquence approchera
$\dfrac{3}{6} = 0{,}5$.

]]> randint(1, 6) == 2, 4, 6

]]> Erreur de syntaxe : cette écriture ne teste pas
l'appartenance (il faudrait in (2, 4, 6) ou le test de
parité % 2 == 0).

]]> randint(1, 6) % 2 == 1

]]> Sens inversé : reste $1$ modulo $2$ caractérise les
impairs.

]]> randint(2, 6)

]]> Erreur : changer les bornes fausse le dé lui-même (plus
que $5$ faces) au lieu de tester la parité du résultat.

]]> Expérimentations et simulation — Q12 : Conclure prudemment d'une simulation On simule $100$ lancers d'une pièce supposée équilibrée et
on observe une fréquence de pile de $0{,}56$. Peut-on
conclure que la pièce est truquée ?

]]> Esprit critique attendu : comparer l'écart observé
($0{,}06$) à la fluctuation typique
$\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ ($0{,}1$ pour $n = 100$) : rien
d'anormal. Grossir l'échantillon resserre l'intervalle et
rend le verdict possible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, l'écart est dans la fluctuation normale

]]> Bonne réponse : pour $n = 100$, un écart de $0{,}06$ est
dans la fluctuation normale d'échantillonnage. L'ordre
de grandeur des fluctuations est
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2 \times 0{,}5}{10}
= 0{,}1$ : observer $0{,}56$ n'a rien d'anormal pour une
pièce équilibrée.

]]> Oui : $0{,}56 \neq 0{,}5$, donc la pièce est déséquilibrée

]]> Erreur : la fréquence observée fluctue toujours
autour de la probabilité ; l'égalité exacte serait au
contraire surprenante. Il faut comparer l'écart à son
ordre de grandeur naturel.

]]> Oui, si la simulation a été faite en Python

]]> Erreur : l'outil n'y change rien ; la question est
statistique (taille de l'écart contre taille de la
fluctuation attendue).

]]> Non : une simulation ne donne jamais aucune information

]]> Trop fort : la simulation informe (avec $n = 100\,000$,
une fréquence de $0{,}56$ serait accablante) ; ici
l'échantillon est simplement trop petit pour conclure.

]]> Expérimentations et simulation — Q13 : Tirer un nombre au hasard en Python Quelle instruction Python simule le lancer d'une pièce équilibrée ?

]]> Pour simuler une expérience à issues équiprobables, on tire un entier au
hasard dans l'intervalle correspondant. Pour une probabilité quelconque, on
compare un décimal tiré au hasard à un seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc randint(0, 1)

]]> Bonne réponse : cette fonction renvoie $0$ ou $1$ avec la même
probabilité, ce qui modélise pile ou face.

]]> random()

]]> Elle renvoie un nombre décimal entre $0$ et $1$ : il reste à le
comparer à un seuil pour obtenir deux issues.

]]> randint(1, 6)

]]> Six issues équiprobables : c'est la simulation d'un dé, pas d'une
pièce.

]]> round(random())

]]> L'arrondi donne bien $0$ ou $1$, mais l'écriture est inutilement
détournée et l'équiprobabilité y est moins lisible.

]]> Expérimentations et simulation — Q14 : Ce que mesure une fréquence simulée Après $10\,000$ simulations, une issue apparaît dans $32$ % des cas.
Que peut-on en dire ?

]]> Une fréquence observée estime une probabilité, avec une précision qui
s'améliore quand le nombre de répétitions augmente. Elle ne la donne jamais
exactement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sa probabilité est proche de $0{,}32$

]]> Bonne réponse : la loi des grands nombres rapproche la fréquence
observée de la probabilité théorique.

]]> Sa probabilité vaut exactement $0{,}32$

]]> Une simulation donne une valeur approchée : relancée, elle donnerait un
résultat légèrement différent.

]]> Sa probabilité est inconnue

]]> La simulation apporte une estimation, même si elle ne donne pas la
valeur exacte.

]]> La simulation est trop courte pour conclure

]]> Dix mille répétitions suffisent largement à stabiliser une fréquence
au centième près.

]]> Expérimentations et simulation — Q15 : Diviser l'incertitude par deux Pour réduire de moitié la largeur de l'intervalle
$\left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\,\mu +
\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$, que faut-il faire ?

]]> La précision d'une moyenne d'échantillon progresse comme la racine carrée
de la taille de l'échantillon. Gagner un facteur deux coûte quatre fois
plus d'observations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Multiplier $n$ par $4$

]]> Bonne réponse : la largeur varie comme $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, donc
quadrupler $n$ divise bien la largeur par deux.

]]> Multiplier $n$ par $2$

]]> Cela divise la largeur par $\sqrt{2}$, soit environ $1{,}41$, pas par
deux.

]]> Diviser $n$ par $2$

]]> Réduire l'échantillon élargit l'intervalle au lieu de le resserrer.

]]> Multiplier $\sigma$ par $2$

]]> L'écart-type dépend du phénomène étudié, il n'est pas un réglage de
l'expérience, et le doubler élargirait l'intervalle.

]]> Expérimentations et simulation — Q16 : Compter des succès dans une boucle Dans une simulation, à quoi sert la variable qui s'incrémente à chaque
succès ?

]]> Une simulation répète l'expérience, compte les succès, puis divise par le
nombre de répétitions. C'est le passage de l'observation à la fréquence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À compter le nombre de succès obtenus

]]> Bonne réponse : divisée par le nombre de répétitions, elle donne la
fréquence observée.

]]> À stocker la probabilité de succès

]]> La probabilité est une donnée du modèle, elle ne se construit pas
pendant la boucle.

]]> À arrêter la boucle au premier succès

]]> Un compteur n'interrompt rien : l'arrêt viendrait d'une condition dans
une boucle while.

]]> À mémoriser le dernier résultat obtenu

]]> Un compteur cumule ; mémoriser le dernier résultat demanderait une
simple affectation.

]]> Expérimentations et simulation — Q17 : Un échantillon hors de l'intervalle Une moyenne d'échantillon tombe hors de l'intervalle
$\left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\,\mu +
\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$. Que conclure ?

]]> L'intervalle contient environ $95$ % des moyennes d'échantillons. En
sortir est un signal, à confirmer par d'autres échantillons avant toute
conclusion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est rare, mais cela ne prouve rien à soi seul

]]> Bonne réponse : environ $5$ % des échantillons sortent de cet
intervalle même quand le modèle est exact.

]]> Le modèle est certainement faux

]]> Un événement rare n'est pas impossible : une observation isolée ne
suffit pas à rejeter un modèle.

]]> Le calcul de la moyenne est erroné

]]> Rien ne le laisse penser : l'écart peut parfaitement venir du hasard
de l'échantillonnage.

]]> L'échantillon est trop petit

]]> La taille intervient déjà dans la largeur de l'intervalle, qui en tient
compte.

]]> Expérimentations et simulation — Q18 : Pourquoi répéter une simulation Pourquoi relance-t-on plusieurs fois une même simulation ?

]]> Répéter une simulation donne une idée de la dispersion des estimations.
Augmenter la taille de chaque échantillon, lui, réduit cette dispersion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour mesurer la variabilité des résultats

]]> Bonne réponse : chaque exécution donne un résultat différent, et leur
dispersion renseigne sur la fiabilité de l'estimation.

]]> Pour corriger les erreurs du programme

]]> Une erreur de programmation se reproduit à l'identique à chaque
exécution.

]]> Pour obtenir toujours le même résultat

]]> C'est le contraire : les résultats diffèrent, et c'est précisément ce
qui est intéressant.

]]> Pour augmenter la probabilité de succès

]]> La probabilité est fixée par le modèle, aucune répétition ne la
modifie.

]]> Expérimentations et simulation — Q19 : Ce que renvoie une fonction de simulation Une fonction Python simule $n$ lancers et renvoie le nombre de piles
obtenus. Que vaut ce nombre pour $n = 100$ ?

]]> Une simulation produit un résultat aléatoire dont la moyenne théorique est
connue. Les écarts autour de cette valeur diminuent en proportion quand
$n$ augmente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un entier proche de $50$, variable d'un appel à l'autre

]]> Bonne réponse : l'espérance vaut $50$, mais chaque exécution donne un
résultat différent.

]]> Exactement $50$ à chaque appel

]]> Ce serait une simulation sans hasard : les écarts font partie du
phénomène.

]]> Un nombre décimal compris entre $0$ et $1$

]]> C'est la fréquence qui est décimale ; la fonction décrite compte des
lancers.

]]> Un entier quelconque entre $0$ et $100$, sans tendance

]]> Les valeurs ne sont pas équiprobables : les résultats se concentrent
autour de $50$.

]]> Expérimentations et simulation — Q20 : Ce que change la taille de l'échantillon Quand la taille $n$ d'un échantillon augmente, qu'advient-il de la
moyenne observée ?

]]> La moyenne d'un échantillon a pour espérance celle de la variable, et pour
écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Elle se resserre donc autour de
l'espérance sans jamais l'atteindre à coup sûr.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle se concentre autour de l'espérance

]]> Bonne réponse : sa dispersion vaut $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, qui
diminue quand $n$ grandit.

]]> Elle devient exactement égale à l'espérance

]]> Aucune taille finie ne supprime le hasard : l'écart devient petit,
jamais nul.

]]> Elle augmente avec la taille

]]> La moyenne ne dérive pas : seule sa dispersion change.

]]> Elle devient imprévisible

]]> C'est l'inverse : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne est
prévisible.

]]> Expérimentations et simulation — Q21 : Simuler une probabilité quelconque Comment simuler un événement de probabilité $0{,}3$ à partir d'un
décimal tiré au hasard entre $0$ et $1$ ?

]]> Un décimal tiré uniformément entre $0$ et $1$ a une probabilité $p$ d'être
inférieur à $p$. C'est la méthode standard pour simuler une épreuve de
Bernoulli de paramètre quelconque.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tester si le nombre tiré est inférieur à $0{,}3$

]]> Bonne réponse : la proportion des tirages vérifiant cette condition
vaut précisément $0{,}3$.

]]> Tester si le nombre tiré est supérieur à $0{,}3$

]]> Cette condition a une probabilité de $0{,}7$, soit l'événement
contraire.

]]> Multiplier le nombre tiré par $0{,}3$

]]> Cette opération produit un nombre, pas un événement à deux issues.

]]> Arrondir le nombre tiré à $0{,}3$ près

]]> L'arrondi ne définit aucun événement de probabilité $0{,}3$.

]]> Expérimentations et simulation — Q22 : Les limites d'une simulation Que ne permet jamais une simulation, aussi longue soit-elle ?

]]> Une simulation illustre, estime et suggère. Seul un raisonnement établit
une propriété pour tous les cas possibles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Démontrer une propriété mathématique

]]> Bonne réponse : une simulation donne des observations, jamais une
preuve valable pour tous les cas.

]]> Estimer une probabilité difficile à calculer

]]> C'est au contraire son usage principal, quand le calcul exact est hors
de portée.

]]> Conjecturer un résultat

]]> Les simulations sont un excellent outil de conjecture, à confirmer
ensuite par une démonstration.

]]> Comparer deux stratégies de jeu

]]> Une simulation permet cette comparaison, avec la prudence qui
s'impose sur les écarts faibles.

]]> Expérimentations et simulation — Q23 : Lire le résultat d'une simulation Une simulation renvoie $0{,}497$ pour la fréquence de pile sur
$100\,000$ lancers. Que faut-il en penser ?

]]> Interpréter une simulation demande de comparer l'écart observé à
l'ordre de grandeur des fluctuations attendues, et non de chercher
l'égalité parfaite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le résultat est compatible avec une pièce équilibrée

]]> Bonne réponse : l'écart à $0{,}5$ vaut $0{,}003$, largement dans les
fluctuations attendues.

]]> La pièce est truquée en faveur de face

]]> Un écart de trois millièmes sur cent mille lancers n'a rien
d'anormal.

]]> La simulation comporte une erreur

]]> Un résultat exactement égal à $0{,}5$ serait bien plus suspect qu'un
écart de cet ordre.

]]> Il faudrait relancer jusqu'à obtenir $0{,}5$

]]> Relancer jusqu'au résultat voulu revient à choisir ses données, ce qui
vide l'expérience de son sens.

]]> Expérimentations et simulation — Q24 : Estimer une proportion inconnue Un sondage sur $400$ personnes donne $52$ % d'avis favorables, avec
$\sigma \approx 0{,}5$. Quelle est la demi-largeur de l'intervalle
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ ?

]]> La demi-largeur de l'intervalle vaut $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$. Ici elle
représente cinq points, ce qui explique la prudence des commentateurs
devant un écart de deux points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}05$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{2 \times 0{,}5}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20}$.

]]> $0{,}0025$

]]> Racine oubliée : diviser par $400$ au lieu de $20$ donne une
précision bien trop optimiste.

]]> $0{,}1$

]]> Facteur $2$ compté deux fois : le numérateur vaut $1$, pas $2$.

]]> $0{,}52$

]]> Proportion observée recopiée : elle donne le centre de l'intervalle,
pas sa demi-largeur.

]]> Expérimentations et simulation — Q25 : Le rôle de `for` dans une simulation Dans une simulation de $n$ répétitions, à quoi sert la boucle for ?

]]> Une boucle for convient quand le nombre de répétitions est fixé à
l'avance, une boucle while quand l'arrêt dépend d'une condition
rencontrée en cours de route.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À répéter l'expérience un nombre fixé de fois

]]> Bonne réponse : le nombre de tours est connu d'avance, ce qui est la
situation type d'une boucle for.

]]> À répéter jusqu'à obtenir un succès

]]> Cette situation, où le nombre de tours est inconnu, relève d'une boucle
while.

]]> À tirer un nombre au hasard

]]> Le tirage se fait à l'intérieur de la boucle, par une fonction du
module random.

]]> À calculer la fréquence observée

]]> La fréquence se calcule après la boucle, en divisant le compteur par
le nombre de répétitions.

]]> Expérimentations et simulation — Q26 : Population et échantillon Qu'appelle-t-on échantillon de taille $n$ ?

]]> Un échantillon est un sous-ensemble tiré au hasard dans une population. Le
hasard du tirage est ce qui autorise à généraliser les résultats observés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n$ observations tirées au hasard dans la population

]]> Bonne réponse : le tirage au hasard est ce qui rend l'échantillon
représentatif.

]]> Les $n$ premières observations de la population

]]> Un tel choix peut être biaisé : les premières observations n'ont aucune
raison de représenter l'ensemble.

]]> Les $n$ observations les plus fréquentes

]]> Sélectionner les valeurs les plus fréquentes écrase justement la
diversité que l'on cherche à mesurer.

]]> La population entière découpée en $n$ parts

]]> Un échantillon est une partie de la population, pas un découpage de
celle-ci.

]]> Expérimentations et simulation — Q27 : Comparer deux stratégies Deux stratégies de jeu sont simulées $1\,000$ fois chacune, avec des
taux de réussite de $51$ % et $49$ %. Que conclure ?

]]> Avant de conclure d'une comparaison, on compare l'écart observé à la
taille des fluctuations d'échantillonnage. Ici la précision est de l'ordre
de trois points, donc insuffisante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'écart est trop faible pour départager

]]> Bonne réponse : sur mille répétitions, les fluctuations dépassent
largement deux points d'écart.

]]> La première stratégie est meilleure

]]> Relancer les simulations pourrait très bien inverser le classement.

]]> Les deux stratégies sont équivalentes

]]> L'absence de conclusion n'est pas une preuve d'égalité : il faudrait
bien plus de répétitions pour trancher.

]]> La simulation est mal programmée

]]> Rien ne l'indique : deux résultats proches sont attendus quand les
stratégies le sont aussi.

]]> Expérimentations et simulation — Q28 : L'ordre des instructions Dans une simulation, où faut-il placer le calcul de la fréquence ?

]]> Le schéma classique d'une simulation comporte trois temps : initialiser le
compteur, répéter l'expérience en le mettant à jour, puis exploiter le
résultat après la boucle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Après la boucle de répétitions

]]> Bonne réponse : la fréquence se calcule une fois tous les tirages
effectués, à partir du compteur final.

]]> Avant la boucle de répétitions

]]> Le compteur vaut alors zéro : la fréquence obtenue serait nulle.

]]> À l'intérieur de la boucle, à chaque tour

]]> Le calcul serait refait inutilement, et seule la dernière valeur
servirait.

]]> Dans la condition de la boucle

]]> Une boucle for n'a pas de condition d'arrêt à évaluer : son nombre de
tours est fixé.

]]> Expérimentations et simulation — Q29 : Traduire l'écart en Python Dans une simulation, m est la moyenne d'un échantillon de taille n, mu l'espérance
et sigma l'écart type de la variable étudiée ; la fonction sqrt est importée du module
math. Quelle condition est vraie exactement lorsque l'écart entre m et mu est inférieur
ou égal à $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ ?

]]> L'écart entre m et mu se calcule avec la valeur absolue abs(m - mu). En comptant les
échantillons qui vérifient abs(m - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n), puis en divisant par leur
nombre total, on obtient la proportion étudiée dans la simulation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc abs(m - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n)

]]> Bonne réponse : l'écart entre m et mu est la distance abs(m - mu), comparée
au seuil $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

]]> m - mu <= 2 * sigma / sqrt(n)

]]> Erreur : sans abs, une moyenne très inférieure à mu donne une différence négative
et passe le test, alors que l'écart est grand.

]]> abs(m - mu) >= 2 * sigma / sqrt(n)

]]> Erreur : le sens de la comparaison est inversé ; cette condition repère les
échantillons dont l'écart dépasse ou atteint le seuil.

]]> abs(m - mu) <= 2 * sigma / n

]]> Erreur : le seuil divise par $\sqrt{n}$, pas par $n$ ; ici la condition devient
beaucoup trop exigeante dès que n est grand.

]]> Expérimentations et simulation — Q30 : Une conclusion prudente Comment rédiger honnêtement la conclusion d'une simulation ?

]]> Une conclusion de simulation précise le protocole, le nombre de
répétitions et la précision attendue. Elle emploie un verbe prudent, du
type « semble » ou « est compatible avec ».

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En indiquant le nombre de répétitions effectuées

]]> Bonne réponse : sans cette information, le lecteur ne peut pas juger de
la fiabilité du résultat.

]]> En arrondissant le résultat à la valeur attendue

]]> Cette pratique dissimule l'écart observé, qui est précisément
l'information intéressante.

]]> En ne gardant que la meilleure des exécutions

]]> Sélectionner le résultat qui arrange revient à choisir ses données.

]]> En affirmant que le résultat est démontré

]]> Une simulation ne démontre rien : elle estime et suggère.

]]> Expérimentations et simulation — Q31 : Reconnaître une épreuve de Bernoulli Dans une simulation, à quoi reconnaît-on une épreuve de
Bernoulli ?

]]> Une épreuve de Bernoulli comporte exactement deux issues,
succès de probabilité $p$ et échec de probabilité $1 - p$.
Sa simulation tient en une ligne : random() < p.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À ses deux issues, nommées succès et échec

]]> Bonne réponse : une épreuve de Bernoulli n'a que deux
issues. En Python, elle se simule par un test du type
random() < p, qui vaut True ou False.

]]> À la répétition d'une même expérience un grand nombre de fois

]]> Erreur : la répétition vient après. Une épreuve de
Bernoulli est l'expérience élémentaire que l'on répète,
pas la répétition elle-même.

]]> À l'équiprobabilité de toutes les issues possibles

]]> Erreur : le succès peut avoir n'importe quelle
probabilité $p$. Le cas $p = 0{,}5$ n'est qu'un exemple
parmi d'autres.

]]> Au tirage au hasard d'un entier entre deux bornes

]]> Erreur : randint produit souvent bien plus de deux
issues. Ce tirage sert à simuler l'épreuve, il ne la
définit pas.

]]> Expérimentations et simulation — Q32 : Lire le résultat d'un comptage Une simulation de $500$ répétitions a compté $130$ succès.
Quelle fréquence de succès a-t-elle observée ?

]]> Une fréquence est un quotient compris entre $0$ et $1$ :
nombre de succès divisé par nombre de répétitions. C'est
elle qui estime la probabilité cherchée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}26$

]]> Bonne réponse : la fréquence rapporte le nombre de succès
au nombre de répétitions :
$\dfrac{130}{500} = 0{,}26$.

]]> $130$

]]> Effectif brut recopié : $130$ compte les succès, il ne
devient une fréquence qu'après division par $500$.

]]> $0{,}74$

]]> Fréquence des échecs : elle complète la précédente,
puisque les deux totalisent $1$.

]]> $26$

]]> Pourcentage et fréquence confondus : $26\ \%$
s'écrit $0{,}26$ sous forme de fréquence.

]]> Expérimentations et simulation — Q33 : Compter les tirages d'une simulation Un programme simule $20$ échantillons de taille
$40$. Combien de tirages au hasard effectue-t-il en
tout ?

]]> Simuler $N$ échantillons de taille $n$ demande deux boucles
imbriquées, donc $N \times n$ tirages. Le temps de calcul
croît avec ce produit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $800$

]]> Bonne réponse : chaque échantillon demande $40$
tirages, et le programme en construit $20$ :
$20 \times 40 = 800$.

]]> $60$

]]> Addition au lieu d'un produit : les deux boucles sont
imbriquées, la seconde recommençant à chaque tour de la
première.

]]> $20$

]]> Nombre d'échantillons seul : chacun contient encore
$40$ valeurs tirées au hasard.

]]> $40$

]]> Taille d'un seul échantillon : le programme en construit
$20$ de suite.

]]> Expérimentations et simulation — Q34 : La fluctuation d'échantillonnage Qu'appelle-t-on fluctuation d'échantillonnage ?

]]> La fluctuation d'échantillonnage est la variabilité naturelle
des résultats d'un échantillon à l'autre. Elle diminue quand
la taille augmente, sans jamais disparaître.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La variation des résultats d'un échantillon à l'autre

]]> Bonne réponse : deux échantillons tirés dans la même
population ne donnent pas la même moyenne ni la même
fréquence. Cette variation est inévitable.

]]> La perte de précision quand la taille de l'échantillon grandit

]]> Sens inversé : agrandir l'échantillon réduit les écarts,
dont l'ordre de grandeur suit $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$.

]]> L'écart entre le modèle choisi et le phénomène réel

]]> Autre question : la qualité du modèle est un problème
distinct. La fluctuation existe même avec un modèle
parfaitement exact.

]]> L'imperfection du générateur de nombres aléatoires

]]> Erreur : la fluctuation n'est pas un défaut technique,
elle apparaît tout autant avec un vrai tirage au sort.

]]> Expérimentations et simulation — Q35 : Renvoyer un effectif plutôt qu'une fréquence Une fonction simule n répétitions, compte les succès dans
la variable c et se termine par return c / n. Comment la
modifier pour qu'elle renvoie le nombre de succès ?

]]> Effectif et fréquence ne diffèrent que d'une division par le
nombre de répétitions. Passer de l'un à l'autre ne demande
donc qu'une retouche de la ligne return.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Remplacer la dernière ligne par return c

]]> Bonne réponse : le compteur c contient déjà le nombre
de succès. La division par n est justement ce qui le
transformait en fréquence.

]]> Remplacer la dernière ligne par return c * n

]]> Erreur : multiplier par n ne défait pas la division,
il l'aggrave. Il suffit de supprimer le quotient.

]]> Déplacer l'instruction return c dans la boucle

]]> Erreur : un return placé dans la boucle interrompt la
fonction dès le premier tour, avant tout comptage.

]]> Initialiser le compteur c à n au lieu de 0

]]> Erreur : le compteur partirait d'une valeur fausse et
compterait $n$ succès de trop.

]]> Expérimentations et simulation — Q36 : Un `return` mal placé Pourquoi cette fonction ne renvoie-t-elle jamais plus de $1$ ?

from random import randint
def compte(n):
    c = 0
    for _ in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            c = c + 1
        return c

]]> Le corps d'une boucle est délimité par l'indentation. Le
return doit être aligné avec le for, donc écrit après la
boucle, pour que le comptage aille jusqu'au bout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le return est placé à l'intérieur de la boucle

]]> Bonne réponse : un return interrompt la fonction dès
qu'il est atteint. Ici il l'arrête au premier tour, après
un seul lancer simulé.

]]> Le compteur c est réinitialisé à chaque tour de boucle

]]> Lecture erronée : c = 0 est écrit avant la boucle, donc
exécuté une seule fois. L'initialisation n'est pas en
cause.

]]> L'instruction c = c + 1 n'augmente pas vraiment c

]]> Erreur : cette écriture ajoute bien $1$ au compteur. Elle
est correcte et ne s'exécute simplement qu'une fois.

]]> La variable c est déclarée en dehors de la boucle

]]> Exact mais sans rapport : initialiser le compteur avant
la boucle est précisément ce qu'il faut faire.

]]> Expérimentations et simulation — Q37 : L'intérêt d'un paramètre Une simulation est écrite sous la forme def simulation(n):
plutôt qu'avec le nombre de répétitions inscrit dans le code.
Quel avantage cette écriture présente-t-elle ?

]]> Un paramètre rend la simulation réutilisable : on fait varier
la taille sans réécrire le programme, ce qui permet
d'observer l'effet de $n$ sur les résultats.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Relancer la simulation avec d'autres tailles

]]> Bonne réponse : un seul programme sert alors à comparer
$n = 100$, $n = 1\,000$ ou $n = 10\,000$, ce qui est
exactement la démarche du chapitre.

]]> Obtenir un résultat identique d'une exécution à l'autre

]]> Erreur : les tirages restent aléatoires, donc le résultat
change à chaque appel, paramètre ou non.

]]> Supprimer les fluctuations dues au hasard

]]> Erreur : aucune écriture ne supprime les fluctuations ;
seule une grande valeur de n les réduit.

]]> Rendre chaque exécution nettement plus rapide

]]> Erreur : le temps de calcul dépend du nombre de tirages,
pas de la façon dont ce nombre est fourni.

]]> Expérimentations et simulation — Q38 : Ce que la taille ne change pas On simule des échantillons de plus en plus grands d'une même
variable aléatoire. Que devient l'écart-type $\sigma$ de
cette variable ?

]]> Deux écarts-types à distinguer : celui de la variable,
$\sigma$, fixé par la loi, et celui de la moyenne d'un
échantillon, $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, qui décroît avec la
taille.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il ne change pas : il est fixé par la loi de $X$

]]> Bonne réponse : $\sigma$ se calcule sur la loi de la
variable, pas sur les données simulées. C'est la
dispersion des moyennes, en $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$,
qui diminue.

]]> Il diminue comme la dispersion des moyennes observées

]]> Confusion classique : $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ décroît,
mais $\sigma$ lui-même reste fixe.

]]> Il se rapproche de zéro quand la taille devient grande

]]> Erreur : une variable très dispersée le reste, quel que
soit le nombre de valeurs observées.

]]> Il augmente avec le nombre de valeurs simulées

]]> Erreur : ajouter des observations ne rend pas le
phénomène plus dispersé qu'il n'est.

]]> Expérimentations et simulation — Q39 : Deux estimations d'une même probabilité Deux simulations estiment la même probabilité : la première
annonce $0{,}48$ après $100$ répétitions, la seconde $0{,}51$
après $10\,000$ répétitions. Laquelle retenir ?

]]> La fiabilité d'une estimation se juge au nombre de
répétitions. Multiplier ce nombre par $100$ divise par $10$
l'ordre de grandeur des écarts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La seconde, dont la précision est bien meilleure

]]> Bonne réponse : la précision croît avec le nombre de
répétitions. Cent répétitions laissent un écart typique
de l'ordre de $0{,}1$, dix mille de l'ordre de $0{,}01$.

]]> Leur moyenne, qui compense les erreurs des deux essais

]]> Erreur : une moyenne simple donnerait autant de poids à
cent répétitions qu'à dix mille, alors qu'elles ne se
valent pas.

]]> La première, dont le résultat est plus proche de $0{,}5$

]]> Argument circulaire : la valeur cherchée est inconnue,
rien ne dit qu'elle vaut $0{,}5$.

]]> Aucune, deux résultats différents s'annulant l'un l'autre

]]> Erreur : deux estimations différentes sont normales, et
la plus longue des deux simulations reste la plus sûre.

]]> Expérimentations et simulation — Q40 : Combien d'échantillons hors de l'intervalle On simule $200$ échantillons d'une même variable aléatoire
et on relève les moyennes qui sortent de l'intervalle
$\left[\mu - \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\,\mu +
\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$. Combien en attend-on
environ ?

]]> Constat de simulation du programme : environ $95\ \%$ des
moyennes d'échantillons tombent dans l'intervalle, donc
environ $5\ \%$ en sortent, sans que ce soit anormal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : environ $5\ \%$ des moyennes sortent de
cet intervalle, soit $10$ échantillons sur $200$.

]]> $190$

]]> Proportion inversée : $95\ \%$ des moyennes restent
dans l'intervalle ; la question porte sur celles qui
en sortent.

]]> $100$

]]> Erreur : la moitié des cas correspondrait à un intervalle
bien plus étroit que $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

]]> $20$

]]> Proportion doublée : $10\ \%$ est le double de ce qu'on
observe, qui est voisin de $5\ \%$.

]]> Expérimentations et simulation — Q41 : Quelle taille pour une précision donnée Une variable aléatoire a pour écart-type $\sigma = 5$. À
partir de quelle taille $n$ l'ordre de grandeur
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ des écarts devient-il inférieur
ou égal à $1$ ?

]]> On résout $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} \leq e$ en isolant
$\sqrt{n} \geq \dfrac{2\sigma}{e}$, puis en élevant au carré.
Diviser la précision demandée par $10$ multiplie la taille
par $100$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $100$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{2 \times 5}{\sqrt{n}} \leq 1$
équivaut à $\sqrt{n} \geq 10$, donc à
$n \geq 10^2 = 100$.

]]> $10$

]]> Carré oublié : $10$ est la valeur minimale de
$\sqrt{n}$, pas celle de $n$.

]]> $25$

]]> Facteur $2$ oublié : le numérateur vaut $2\sigma$, soit
$10 \times 1$, et non $\sigma$ seul.

]]> $200$

]]> Erreur de manipulation : le facteur $2$ intervient avant
l'élévation au carré, il ne double pas le résultat final.

]]> Expérimentations et simulation — Q42 : Choisir un protocole de simulation On veut estimer par simulation la probabilité d'obtenir au
moins deux « pile » en lançant trois fois une pièce
équilibrée. Quel protocole convient ?

]]> Simuler un événement composé demande d'identifier
l'expérience à répéter, ici trois lancers, puis de compter
les répétitions où l'événement se réalise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Répéter souvent trois lancers et compter les cas favorables

]]> Bonne réponse : l'expérience à répéter est la série de
trois lancers. La fréquence des séries comportant au
moins deux « pile » estime la probabilité cherchée.

]]> Répéter souvent un lancer et multiplier la fréquence par trois

]]> Erreur : une probabilité ne se multiplie pas ainsi. Le
résultat dépasserait même $1$ dans bien des cas.

]]> Simuler beaucoup de lancers et compter les « pile » obtenus

]]> Groupes oubliés : ce comptage donne la fréquence de
« pile », sans jamais former les séries de trois lancers.

]]> Lancer trois fois la pièce, puis conclure sur le résultat

]]> Répétition oubliée : une seule série ne fournit qu'une
observation, d'où aucune fréquence ne peut sortir.

]]> Expérimentations et simulation — Q43 : Estimer une aire par simulation Pour estimer l'aire d'une figure tracée dans un carré d'aire
$16$, on tire $500$ points au hasard dans ce carré :
$150$ tombent dans la figure. Quelle estimation de
l'aire obtient-on ?

]]> Méthode de Monte-Carlo : la fréquence des points tombant dans
la figure estime le rapport des aires. On multiplie donc
cette fréquence par l'aire du carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4{,}8$

]]> Bonne réponse : la proportion de points tombés dans la
figure estime la part d'aire qu'elle occupe, d'où
$16 \times \dfrac{150}{500} = 4{,}8$.

]]> $0{,}3$

]]> Aire du carré oubliée : cette fréquence est une
proportion, qu'il reste à convertir en aire.

]]> $11{,}2$

]]> Zone complémentaire : ce résultat mesure la partie du
carré située hors de la figure.

]]> $150$

]]> Effectif recopié : un nombre de points n'est pas une
aire ; il faut le rapporter au total des points tirés.

]]> Expérimentations et simulation — Q44 : Deux façons de diviser Que change-t-on dans cette fonction en remplaçant
sum(L) / len(L) par sum(L) / n ?

from random import randint
def moyenne_echantillon(n):
    L = []
    for _ in range(n):
        L.append(randint(1, 6))
    return sum(L) / len(L)

]]> len(L) compte les éléments effectivement rangés dans la
liste, n annonce le nombre de tours prévus. Les deux
coïncident tant que la boucle ajoute une valeur par tour.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rien : la liste contient n valeurs après la boucle

]]> Bonne réponse : la boucle ajoute exactement une valeur
par tour, donc len(L) vaut n à la sortie. Les deux
écritures donnent la même moyenne.

]]> Le programme s'arrête, car n n'est pas défini ici

]]> Erreur : n est le paramètre de la fonction, donc connu
dans tout son corps. Il en irait autrement si la fonction
recevait la liste L.

]]> Le résultat devient la somme des tirages effectués

]]> Erreur : la division subsiste, seul son diviseur est
écrit autrement.

]]> La fonction renvoie une fréquence et non une moyenne

]]> Erreur : les valeurs ajoutées sont des faces de dé, pas
des succès ; leur somme divisée par n reste une
moyenne.

]]> Expérimentations et simulation — Q45 : Trop de décimales Une simulation de $1\,000$ répétitions annonce une fréquence
de succès de $0{,}4863$. Que penser de ces quatre décimales ?

]]> Le nombre de décimales annoncées doit rester compatible avec
la précision de la simulation, mesurée par
$\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$. Annoncer davantage donne une
illusion d'exactitude.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux décimales seraient déjà bien généreuses

]]> Bonne réponse : pour $n = 1\,000$, l'ordre de grandeur
des écarts atteint $0{,}03$. Au-delà du centième, les
chiffres changent à chaque exécution.

]]> Elles sont justifiées par les mille répétitions

]]> Erreur d'échelle : mille répétitions donnent une
précision de l'ordre du centième, pas du dix-millième.

]]> Elles sont exactes, l'ordinateur ne se trompant pas

]]> Confusion : le calcul est exact, mais il porte sur un
échantillon particulier, que le hasard renouvelle.

]]> Elles deviendraient fiables en relançant la simulation

]]> Erreur : relancer donnerait d'autres décimales. Seule
une valeur de n bien plus grande les stabiliserait.

]]> Expérimentations et simulation — Q46 : Estimer une probabilité par une fréquence En répétant $200$ fois une expérience, on observe $37$ fois
l'événement $A$. Quelle estimation de $P(A)$ en déduit-on ?

]]> La fréquence d'un événement sur un grand nombre d'essais est une
estimation de sa probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}185$, la fréquence observée

]]> Bonne réponse : la fréquence $\dfrac{37}{200} = 0{,}185$ estime
la probabilité, d'autant mieux que $200$ est grand.

]]> $37$, le nombre de réalisations

]]> Erreur : un effectif n'est pas une probabilité ; il faut le
rapporter au nombre d'essais.

]]> $\dfrac{163}{200}$, la fréquence du contraire

]]> Erreur : $\dfrac{163}{200}$ estime $P(\bar{A})$.

]]> $\dfrac{1}{200}$, une chance sur $200$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{200}$ ne tient pas compte des $37$
réalisations.

]]> Expérimentations et simulation — Q47 : Taille de l'échantillon et fluctuation On multiplie par $4$ la taille des échantillons. Comment évolue
l'amplitude $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de la fluctuation des
moyennes ?

]]> Pour diviser la fluctuation par $2$, il faut quadrupler la taille
de l'échantillon : la précision coûte cher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est divisée par $2$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{4n} = 2\sqrt{n}$ ; l'amplitude est
inversement proportionnelle à $\sqrt{n}$.

]]> Elle est divisée par $4$

]]> Erreur : c'est la racine carrée de $n$ qui intervient, pas $n$.

]]> Elle ne change pas, $\sigma$ étant fixé

]]> Erreur : $\sigma$ est fixé, mais $n$ apparaît au dénominateur.

]]> Elle est multipliée par $2$

]]> Erreur : plus l'échantillon est grand, moins la moyenne
fluctue.

]]> Expérimentations et simulation — Q48 : Une fréquence hors de l'intervalle attendu Un dé supposé équilibré est lancé $600$ fois ; la fréquence du $6$
vaut $0{,}25$, nettement hors de l'intervalle attendu autour de
$\dfrac{1}{6}$. Que peut-on raisonnablement penser ?

]]> Prendre une décision à partir d'un échantillon : on compare la
fréquence à l'intervalle attendu et l'on conclut avec prudence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le dé est probablement déséquilibré, l'écart étant trop grand

]]> Bonne réponse : une fréquence hors de l'intervalle de
fluctuation est rare si le modèle est juste ; on remet le modèle
en doute, sans certitude absolue.

]]> Rien, toute fréquence est possible avec un dé équilibré

]]> Erreur : possible ne veut pas dire probable ; un tel écart sur
$600$ lancers est très improbable avec un dé équilibré.

]]> Le dé est certainement truqué, la preuve est faite

]]> Erreur : une simulation ne prouve pas ; elle rend une hypothèse
très peu crédible.

]]> Il faut refaire exactement $600$ lancers pour conclure

]]> Erreur : refaire des lancers peut aider, mais la conclusion
prudente est déjà possible.

]]> Expérimentations et simulation — Q49 : Calculer l'intervalle de fluctuation d'une fréquence Une pièce équilibrée, $p = 0{,}5$ et $\sigma = 0{,}5$, est lancée
$100$ fois. Quel est l'intervalle $\left[p - \dfrac{2\sigma}
{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ ?

]]> L'intervalle $\left[p - \dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}} ; p +
\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ contient environ $95\ \%$ des
fréquences observées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[0{,}4 ; 0{,}6]$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{2 \times 0{,}5}{\sqrt{100}} = 0{,}1$,
d'où $[0{,}5 - 0{,}1 ; 0{,}5 + 0{,}1] = [0{,}4 ; 0{,}6]$.

]]> $[0{,}45 ; 0{,}55]$

]]> Erreur : la demi-largeur $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ a été mal
calculée ; vérifiez $\sqrt{100}$.

]]> $[0 ; 1]$

]]> Erreur : $[0 ; 1]$ contient toutes les fréquences possibles,
ce n'est pas l'intervalle de fluctuation.

]]> $[0{,}5 - 0{,}1 ; 0{,}5]$

]]> Erreur : l'intervalle est symétrique autour de $p = 0{,}5$.

]]>