$course$/QCM de maths/Première spécialité/Fonction exponentielle Définition de l'exponentielle (unique fonction dérivable telle
que $f' = f$ et $f(0) = 1$), propriétés algébriques, notation
$e^x$, signe, variations et courbe, dérivée de $t \mapsto
e^{at}$, fonctions $t \mapsto e^{kt}$ et $t \mapsto e^{-kt}$,
lien avec les suites géométriques.

]]> Fonction exponentielle — Q01 : Définition de l'exponentielle Comment la fonction exponentielle est-elle définie au
programme de première ?

]]> Définition (au programme) : $\exp$ est l'unique fonction
dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\exp' = \exp$ et
$\exp(0) = 1$. Cette équation traduit une croissance dont la
vitesse est proportionnelle à la valeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'unique fonction $f$ dérivable avec $f' = f$ et $f(0) =
1$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée et
vaut $1$ en $0$ (existence et unicité admises).

]]> La fonction puissance $x \mapsto x^e$, d'exposant $e$

]]> Erreur : $x^e$ est une fonction puissance (variable en
base). L'exponentielle a la variable en exposant :
$e^x$.

]]> L'unique fonction $f$ dérivable avec $f' = f$ et $f(0) =
0$

]]> Piège : avec $f(0) = 0$, la seule solution de $f' = f$
est la fonction nulle. La condition $f(0) = 1$ est
essentielle.

]]> La fonction linéaire $x \mapsto e\,x$, de coefficient $e$

]]> Erreur : $x \mapsto e\,x$ est linéaire, de dérivée constante égale à $e$. L'exponentielle
a la variable en exposant et vérifie $f' = f$ avec $f(0) = 1$.

]]> Fonction exponentielle — Q02 : Signe de l'exponentielle Que peut-on dire du signe de $e^x$ ?

]]> Propriété fondamentale : $e^x > 0$ pour tout $x$ (conséquence
de $e^x \, e^{-x} = 1$ : le produit valant $1$, aucun facteur
ne peut s'annuler). Utile pour les signes de dérivées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^x > 0$ pour tout réel $x$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement positive
sur $\mathbb{R}$ : sa courbe reste entièrement au-dessus
de l'axe des abscisses, sans jamais le toucher.

]]> $e^x > 0$ seulement pour $x > 0$

]]> Erreur : $e^{-2} = \dfrac{1}{e^2} \approx 0{,}135 > 0$ :
même pour les $x$ négatifs, l'exponentielle reste
positive (petite, mais positive).

]]> $e^x$ s'annule en $x = 0$

]]> Erreur : $e^0 = 1 \neq 0$. L'exponentielle ne s'annule
jamais.

]]> $e^x$ change de signe en $x = 0$

]]> Erreur : aucun changement de signe : $e^x$ passe par $1$
en $0$ et reste strictement positive partout.

]]> Fonction exponentielle — Q03 : Équation fonctionnelle Pour tous réels $x$ et $y$, que vaut $e^{x + y}$ ?

]]> Relation fonctionnelle : $e^{x+y} = e^x \, e^y$. On en
déduit $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$, $e^{x-y} =
\dfrac{e^x}{e^y}$ et $(e^x)^n = e^{nx}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^x \times e^y$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle transforme les sommes en
produits : c'est sa propriété algébrique fondamentale.

]]> $e^x + e^y$

]]> Erreur : teste $x = y = 0$ : $e^0 = 1$ alors que
$e^0 + e^0 = 2$. La somme des exposants correspond au
produit des exponentielles.

]]> $e^{xy}$

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à une
puissance de puissance : $(e^x)^y = e^{xy}$, autre
formule.

]]> $e^x \times y$

]]> Erreur : aucune règle de ce type. La bonne formule :
$e^{x+y} = e^x e^y$.

]]> Fonction exponentielle — Q04 : Exponentielle d'un opposé Que vaut $e^{-3}$ ?

]]> $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$ (conséquence de $e^x e^{-x} = 1$).
$e^{-3} = \frac{1}{e^3} \approx 0{,}0498$ : positif et petit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{e^3}$

]]> Bonne réponse : $e^x \, e^{-x} = e^0 = 1$, donc $e^{-x}
= \dfrac{1}{e^x}$ : l'exponentielle d'un opposé est
l'inverse.

]]> $-\dfrac{1}{e^3}$

]]> Erreur : une exponentielle n'est jamais négative. Le
signe moins de l'exposant se traduit par un inverse, pas
par un opposé.

]]> $\dfrac{1}{e^{-3}}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{e^{-3}} = e^{3}$ : c'est l'inverse
de $e^{-3}$, pas $e^{-3}$ lui-même. L'exposant $-3$
signifie déjà « inverse de $e^3$ ».

]]> $1 - e^3$

]]> Erreur : aucune soustraction n'intervient :
$e^{-3} = \dfrac{1}{e^3} \approx 0{,}05$, alors que
$1 - e^3 \approx -19$.

]]> Fonction exponentielle — Q05 : Puissance d'une exponentielle Que vaut $\left(e^x\right)^2$ ?

]]> $(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout entier $n$. Bien distinguer
$e^{2x} = (e^x)^2$, $2e^x$ (double) et $e^{x^2}$ (carré dans
l'exposant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{2x}$

]]> Bonne réponse : $(e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{x + x} =
e^{2x}$ : élever à une puissance multiplie l'exposant.

]]> $e^{x^2}$

]]> Erreur : $e^{x^2}$ élève $x$ au carré dans
l'exposant : tout autre chose. $(e^x)^2$ double
l'exposant : $e^{2x}$.

]]> $2e^x$

]]> Erreur : $2e^x$ est le double, pas le carré. Teste
$x = 1$ : $(e^1)^2 = e^2 \approx 7{,}39$ alors que
$2e \approx 5{,}44$.

]]> $e^{x+2}$

]]> Erreur : $e^{x+2} = e^x \times e^2$ correspond à une
multiplication par $e^2$, pas à une mise au carré.

]]> Fonction exponentielle — Q06 : Dérivée de $e^{at}$ Quelle est la dérivée de la fonction $f(t) = e^{5t}$ ?

]]> Formule au programme : pour $a$ réel, $(e^{at})' = a\,e^{at}$.
Elle traduit l'équation $y' = ay$ des évolutions
exponentielles (croissance si $a > 0$, décroissance sinon).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(t) = 5\,e^{5t}$

]]> Bonne réponse : $(e^{at})' = a\,e^{at}$ : le coefficient
de $t$ descend en facteur, l'exponentielle se conserve.

]]> $f'(t) = e^{5t}$

]]> Oubli du facteur $5$ : seule $e^t$ est exactement sa
propre dérivée. Le $5t$ dans l'exposant fait sortir un
facteur $5$.

]]> $f'(t) = 5\,e^{t}$

]]> Erreur : l'exposant $5t$ ne change pas en dérivant. On
multiplie par $5$ sans toucher à $e^{5t}$.

]]> $f'(t) = 5t\,e^{5t - 1}$

]]> Erreur : c'est la règle des puissances $(t^n)' =
nt^{n-1}$ appliquée à tort. Pour une exponentielle :
$(e^{at})' = a\,e^{at}$.

]]> Fonction exponentielle — Q07 : La tangente en 0 Repère orthonormé avec la courbe de l'exponentielle en bleu (croissante, passant par (0 ; 1)) et sa tangente T en rouge au point (0 ; 1) : une droite de pente 1 passant par (0 ; 1) et (1 ; 2). La courbe reste au-dessus de la tangente.

Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la
courbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$. Quelle est
son équation ?

]]> En $0$ : $\exp(0) = 1$ et $\exp'(0) = 1$ (car $\exp' =
\exp$) : tangente $y = x + 1$. La courbe, au-dessus de cette
tangente, illustre $e^x \geq 1 + x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = x + 1$

]]> Bonne réponse : pente $\exp'(0) = \exp(0) = 1$ et passage
par $(0\,;\,1)$ : $y = x + 1$. (Toute la définition de
l'exponentielle se lit sur cette tangente.)

]]> $y = x$

]]> Erreur : cette droite passe par l'origine, alors que le
point de tangence est $(0\,;\,1)$ ($e^0 = 1$).

]]> $y = 1$

]]> Erreur : une tangente horizontale signifierait
$\exp'(0) = 0$ ; or $\exp'(0) = \exp(0) = 1$ : la
tangente monte avec une pente $1$.

]]> $y = e\,x$

]]> Erreur : la pente $e \approx 2{,}72$ est celle de la
tangente au point d'abscisse $1$, pas $0$.

]]> Fonction exponentielle — Q08 : Comparer avec la croissance Comment se comparent $e^{-2}$ et $e^{-3}$ ?

]]> $\exp$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :
$a < b \Leftrightarrow e^a < e^b$. Cette équivalence sert à
comparer, mais aussi à résoudre équations et inéquations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-2} > e^{-3}$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement
croissante et $-2 > -3$ ; elle conserve l'ordre des
exposants : $-3 < -2 \Rightarrow e^{-3} < e^{-2}$.

]]> $e^{-2} < e^{-3}$

]]> Erreur : les exposants négatifs ne renversent rien. La
croissance de l'exponentielle vaut sur tout
$\mathbb{R}$ : $e^{-3} \approx 0{,}05 < e^{-2} \approx
0{,}14$.

]]> Ils sont égaux

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement croissante :
deux exposants distincts donnent deux valeurs distinctes.

]]> On ne peut pas les comparer sans calculatrice

]]> Erreur : la stricte croissance permet de comparer par les
exposants seuls, sans aucune valeur numérique.

]]> Fonction exponentielle — Q09 : Exponentielle et suite géométrique Soit la suite définie par $u_n = e^{0{,}5\,n}$ pour $n$
entier naturel. Quelle est sa nature ?

]]> Lien au programme : $(e^{kn})$ est géométrique de raison
$e^k$ : l'exponentielle est le prolongement continu des
suites géométriques (évolution à taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $e^{0{,}5}$

]]> Bonne réponse : $u_{n+1} = e^{0{,}5(n+1)} = e^{0{,}5n}
\times e^{0{,}5}$ : chaque terme est multiplié par
$e^{0{,}5} \approx 1{,}65$.

]]> Arithmétique de raison $0{,}5$

]]> Erreur : c'est l'exposant qui avance de $0{,}5$ en
$0{,}5$ ; les valeurs, elles, sont multipliées par
$e^{0{,}5}$ : modèle géométrique.

]]> Géométrique de raison $0{,}5$

]]> Erreur : la raison est le facteur multiplicatif
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = e^{0{,}5}$, pas le coefficient de
l'exposant.

]]> Géométrique de raison $e$

]]> Erreur : la raison $e$ correspondrait à $u_n = e^n$. Ici
le pas de l'exposant est $0{,}5$ : raison $e^{0{,}5}$.

]]> Fonction exponentielle — Q10 : Croissance ou décroissance de $e^{kt}$ Une quantité radioactive évolue selon $N(t) = N_0\,
e^{-0{,}3\,t}$ (avec $N_0 > 0$). Que peut-on dire de la
fonction $N$ ?

]]> Fonctions $t \mapsto e^{kt}$ (capacité attendue) : croissantes
si $k > 0$, décroissantes si $k < 0$, toujours strictement
positives. Modèles : intérêts composés, désintégration,
dilution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement décroissante

]]> Bonne réponse : c'est une décroissance exponentielle.
$N'(t) = -0{,}3\,N_0\,e^{-0{,}3t} < 0$ : le coefficient
$k = -0{,}3 < 0$ impose la décroissance (modèle de la
désintégration radioactive).

]]> Elle est strictement croissante

]]> Erreur : « une exponentielle croît toujours » ne vaut
que pour $t \mapsto e^t$. Avec un exposant $-0{,}3\,t$,
la fonction décroît ($t \mapsto e^{-kt}$, $k > 0$).

]]> Elle devient négative pour $t$ assez grand

]]> Erreur : une exponentielle reste strictement positive : la
quantité s'approche de $0$ sans jamais l'atteindre ni
passer dessous.

]]> Elle est constante égale à $N_0$

]]> Erreur : $N_0$ n'est que la valeur initiale
($N(0) = N_0\,e^0 = N_0$) ; ensuite le facteur
$e^{-0{,}3t}$ diminue.

]]> Fonction exponentielle — Q11 : Simplifier une expression Simplifier l'expression $\dfrac{e^x \times e^2}{e^{x+1}}$.

]]> Règles combinées : produit $\to$ somme des exposants, quotient
$\to$ différence. $\dfrac{e^x e^2}{e^{x+1}} = e^{x + 2 - x -
1} = e$. Transformer les écritures est la capacité attendue
centrale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e$

]]> Bonne réponse : le numérateur vaut $e^{x+2}$, et
$\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}} = e^{(x+2)-(x+1)} = e^1 = e$.

]]> $e^x$

]]> Erreur : les exposants se soustraient entièrement :
$(x + 2) - (x + 1) = 1$ : les $x$ se compensent.

]]> $e^{2x + 1}$

]]> Erreur : au quotient, les exposants se soustraient,
ils ne s'ajoutent pas : $(x+2) - (x+1) = 1$.

]]> $1$

]]> Erreur : la différence des exposants vaut $1$, pas $0$ :
le résultat est $e^1 = e \approx 2{,}72$.

]]> Fonction exponentielle — Q12 : Résoudre une équation avec exponentielles Quelle est la solution de l'équation $e^{x} = e^{2x - 1}$ ?

]]> Stricte croissance $\Rightarrow$ $e^a = e^b \Leftrightarrow
a = b$ (et $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ pour les
inéquations). L'équation se transporte sur les exposants :
$x = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 1$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement
croissante, $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$ : $x = 2x - 1$ donne $x = 1$.

]]> $x = 0$

]]> Erreur : teste : $e^0 = 1$ et $e^{-1} \approx 0{,}37$ :
pas égaux. L'égalité des exponentielles équivaut à
l'égalité des exposants.

]]> $x = -1$

]]> Erreur de résolution : $x = 2x - 1 \Rightarrow -x = -1
\Rightarrow x = 1$ (attention aux signes en regroupant).

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : l'équation se ramène à une équation du premier
degré $x = 2x - 1$, qui a une solution : $x = 1$.

]]> Fonction exponentielle — Q13 : La valeur $e^0$ Que vaut $e^0$ ?

]]> $e^0 = 1$ : ancre de toutes les courbes exponentielles, et
point de tangence avec la droite $y = 1 + x$. À coupler avec
$e^1 = e \approx 2{,}72$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $\exp(0) = 1$ : le point de départ de la
courbe, imposé par la définition ($f' = f$ et $f(0) =
1$).

]]> $0$

]]> Erreur : l'exponentielle ne s'annule jamais : en $0$
elle vaut $1$, comme toute puissance d'exposant nul.

]]> $e$

]]> Décalage : $e = e^1$ : c'est l'image de $1$, pas de
$0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : l'exponentielle est strictement positive : elle
ne prend jamais de valeur négative.

]]> Fonction exponentielle — Q14 : Produit d'exponentielles Que vaut $e^2 \times e^3$ ?

]]> Relation fonctionnelle : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$, d'où
$\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$, $(e^a)^n = e^{na}$ et $e^{-a} =
\frac{1}{e^a}$ : les règles des puissances, intégralement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^5$

]]> Bonne réponse : $e^a e^b = e^{a+b}$ : les exposants
s'additionnent quand les exponentielles se multiplient.

]]> $e^6$

]]> Exposants multipliés : $2 \times 3 = 6$ correspondrait à
$(e^2)^3$ : le produit additionne : $2 + 3 = 5$.

]]> $2e^3$

]]> Erreur : $e^2$ n'est pas $2e$ : les exponentielles se
combinent par la relation fonctionnelle, pas par des
coefficients.

]]> $e^2 + e^3$

]]> Erreur : la relation transforme le produit en somme
d'exposants, pas en somme d'exponentielles.

]]> Fonction exponentielle — Q15 : Résoudre $e^x = e^@k@$ Quelle est la solution de l'équation $e^x = e^3$ ?

]]> $e^a = e^b \iff a = b$ (stricte croissance) : le levier de
toutes les équations exponentielles : ramener chaque membre
à UNE exponentielle, puis égaler les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement
croissante, donc deux exponentielles égales ont des exposants égaux.

]]> $x = e^3$

]]> Erreur : la comparaison se fait exposant contre
exposant : $x = 3$, pas $x = e^3 \approx 20$.

]]> Aucune solution

]]> Erreur : $x = 3$ convient à l'évidence : l'équation
$e^x = k$ a une solution dès que $k > 0$.

]]> $x = 3$ ou $x = -3$

]]> Symétrie imaginaire : l'exponentielle n'est pas paire :
$e^{-3} = \frac{1}{e^3} \neq e^3$ : une seule solution.

]]> Fonction exponentielle — Q16 : Simplifier $(e^x)^2$ Pour tout réel $x$, que vaut $\left(e^x\right)^2$ ?

]]> $(e^x)^2 = e^x \times e^x = e^{2x}$ : cas particulier de
$(e^a)^n = e^{na}$. Bien distinguer $e^{2x} = (e^x)^2$ de
$e^{x^2}$ : les parenthèses changent tout.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{2x}$

]]> Bonne réponse : $(e^a)^n = e^{na}$ : élever à une
puissance multiplie l'exposant.

]]> $e^{x^2}$

]]> Erreur : $e^{x^2}$ élève $x$ au carré dans
l'exposant : tout autre objet : la règle donne $2x$ en
exposant.

]]> $2e^x$

]]> Erreur : le carré multiplie l'exponentielle par
elle-même ($e^x \times e^x = e^{2x}$), pas par $2$.

]]> $e^{x+2}$

]]> Erreur : $e^{x+2} = e^x \times e^2$ : l'addition
d'exposants vient d'un produit par $e^2$, pas d'un
carré.

]]> Fonction exponentielle — Q17 : Résoudre $e^x \geq 1$ Quel est l'ensemble des solutions de $e^x \geq 1$ ?

]]> Méthode : écrire le second membre comme exponentielle ($1 =
e^0$), puis comparer les exposants dans le même sens
(croissance stricte). Signe de $e^x - 1$ : celui de $x$ :
très utile dans les tableaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[0\ ;\ +\infty[$

]]> Bonne réponse : $1 = e^0$, et la croissance stricte
conserve l'ordre : $e^x \geq e^0 \iff x \geq 0$.

]]> $\mathbb{R}$ : une exponentielle est toujours positive

]]> Confusion : positive, oui ($e^x > 0$), mais pas toujours
$\geq 1$ : $e^{-1} \approx 0{,}37 < 1$ : la barre est à
$x = 0$.

]]> $[1\ ;\ +\infty[$

]]> Erreur : $1$ est la valeur seuil, pas l'abscisse :
$e^x = 1$ en $x = 0$.

]]> $]-\infty\ ;\ 0]$

]]> Sens inversé : pour $x \leq 0$, $e^x \leq 1$ :
l'exponentielle croît, elle dépasse $1$ après $0$.

]]> Fonction exponentielle — Q18 : Dérivée de $x\,e^x$ Quelle est la dérivée de $f(x) = x\,e^x$ ?

]]> $(xe^x)' = (1 + x)e^x$ : le produit polynôme × exponentielle
garde toujours un facteur $e^x$ : son signe (toujours
positif) laisse le polynôme décider des variations : ici $f$
décroît avant $-1$, croît après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(x) = (1 + x)\,e^x$

]]> Bonne réponse : produit $u = x$, $v = e^x$ : $u'v + uv'
= e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.

]]> $f'(x) = e^x$

]]> Produit ignoré : $e^x$ est la dérivée de $e^x$ seul : le
facteur $x$ impose la règle $u'v + uv'$.

]]> $f'(x) = x\,e^x$

]]> Erreur : $f' = f$ ne vaut que pour $e^x$ pur : le
facteur $x$ casse cette propriété (il ajoute le terme
$e^x$).

]]> $f'(x) = e^{x} + x$

]]> Erreur : le second terme est $x \times (e^x)' = xe^x$,
pas $x$ : l'exponentielle ne disparaît pas en dérivant.

]]> Fonction exponentielle — Q19 : L'allure de $e^{-x}$ Quelle description correspond à la fonction $x \mapsto
e^{-x}$ ?

]]> La courbe de $e^{-x}$ est symétrique de celle de $e^x$ par rapport à l'axe des
ordonnées : fonction décroissante et strictement positive. Les valeurs $e^{-n}$ forment une
suite géométrique de raison $\frac{1}{e}$, qui se rapproche de $0$ : c'est le modèle des
décharges, refroidissements et désintégrations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, strictement positive, égale à $1$ en $0$

]]> Bonne réponse : $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ est strictement positive, et sa dérivée
$-e^{-x}$ est strictement négative : la fonction décroît. C'est la décroissance
exponentielle type.

]]> Décroissante puis négative après son zéro

]]> Erreur : $e^{-x}$ ne s'annule jamais : elle frôle
zéro sans le toucher : aucun passage en négatif.

]]> Croissante, strictement positive, égale à $1$ en $0$

]]> Erreur : c'est la description de $x \mapsto e^{x}$. Le
signe de l'exposant décide : $e^{kt}$ croît pour $k >
0$, décroît pour $k < 0$ ; ici $k = -1$.

]]> Constante, égale à $\dfrac{1}{e}$ pour tout $x$

]]> Erreur : $\frac{1}{e} = e^{-1}$ est la valeur en
$1$ : la fonction varie ($1$ en $0$, $\approx 0{,}14$
en $2$…).

]]> Fonction exponentielle — Q20 : Simplifier $\dfrac{e^{x+1}}{e^x}$ Pour tout réel $x$, que vaut $\dfrac{e^{x+1}}{e^{x}}$ ?

]]> $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ : ici $e^{x+1-x} = e$. Les
quotients d'exponentielles décalées sont constants : la
signature des suites géométriques ($\frac{u_{n+1}}{u_n} = e$
pour $u_n = e^n$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e$

]]> Bonne réponse : $e^{(x+1) - x} = e^1 = e$ : le quotient
soustrait les exposants, et le $x$ s'efface : résultat
constant.

]]> $e^{x}$

]]> Erreur : la soustraction des exposants donne $(x + 1) -
x = 1$ : tout le $x$ disparaît.

]]> $1 + \dfrac{1}{e^x}$

]]> Erreur : $e^{x+1}$ n'est pas $e^x + e$ : l'exposant
somme se factorise ($e^x \times e$), il ne se
développe pas en somme.

]]> $x + 1 - x = 1$

]]> Presque : $1$ est le bon exposant : le quotient vaut
$e^1 = e \approx 2{,}72$, pas $1$.

]]> Fonction exponentielle — Q21 : Décroissance exponentielle modélisée La température d'un café suit $f(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}$
($t$ en minutes). Que valent la température initiale et la
température de long terme ?

]]> Lecture d'un modèle $A + Be^{-kt}$ : valeur initiale $A +
B$, valeur limite $A$ (l'exponentielle s'évanouit), vitesse
réglée par $k$. Trois questions, trois lectures immédiates :
aucun calcul lourd.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $80$ degrés au départ, $20$ degrés à long terme

]]> Bonne réponse : $f(0) = 20 + 60 = 80$ ; quand $t \to
+\infty$, $e^{-0{,}1t} \to 0$ : reste $20$ degrés : la
température de la pièce.

]]> $60$ degrés au départ, $0$ degré à long terme

]]> Deux oublis : le $+20$ compte dès le départ ($f(0) =
80$), et à long terme il reste : le café finit à
température ambiante, pas à zéro.

]]> $20$ degrés au départ, $80$ degrés à long terme

]]> Inversé : l'exponentielle décroît ($e^{-0{,}1t}$) :
le café refroidit de $80$ vers $20$, il ne chauffe pas.

]]> $80$ degrés au départ, $0$ degré à long terme

]]> Asymptote fausse : le terme constant $20$ ne s'éteint
pas : seule la partie exponentielle fond : limite $20$.

]]> Fonction exponentielle — Q22 : L'inégalité $e^x \geq 1 + x$ Pourquoi a-t-on $e^x \geq 1 + x$ pour tout réel $x$ ?

]]> On étudie $g(x) = e^x - 1 - x$ : $g'(x) = e^x - 1$ s'annule en $0$ en passant du négatif au
positif, donc $g$ admet en $0$ un minimum égal à $0$. Graphiquement, la courbe de
l'exponentielle est au-dessus de la droite d'équation $y = 1 + x$, sa tangente en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que $g(x) = e^x - 1 - x$ a pour minimum $0$

]]> Bonne réponse : $g'(x) = e^x - 1$ est négative sur $]-\infty\ ;\ 0]$ et positive sur
$[0\ ;\ +\infty[$, donc $g$ admet en $0$ un minimum égal à $g(0) = 0$. Ainsi $g(x) \geq 0$,
c'est-à-dire $e^x \geq 1 + x$, pour tout réel $x$.

]]> Parce que $e^x$ est toujours strictement positif

]]> Insuffisant : $1 + x$ est aussi strictement positif dès
que $x > -1$. La positivité ne compare pas les deux
membres : il faut étudier le signe de leur différence.

]]> Parce que la base $e$ est plus grande que $2$

]]> Hors sujet : la valeur de $e$ ($e \approx 2{,}718$)
n'explique pas une inégalité valable pour tout $x$ :
il faut étudier les variations de la différence des deux membres.

]]> En fait, l'inégalité est fausse dès que $x$ devient négatif

]]> Erreur : testez $x = -2$ : $e^{-2} \approx 0{,}14 \geq
-1$ : vrai. L'inégalité tient sur tout $\mathbb{R}$
(égalité en $x = 0$ seulement).

]]> Fonction exponentielle — Q23 : Résoudre $e^{2x} = e^{x}$ Quelles sont les solutions de $e^{2x} = e^x$ ?

]]> Deux voies sûres : la stricte croissance ($e^a = e^b \iff a = b$) ou
la factorisation par $e^x$, qui n'est jamais nul. La factorisation
généralise mieux : $e^{2x} - 3e^x = 0$, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 0$ seulement

]]> Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement croissante, $2x = x \iff x = 0$.
(Ou en factorisant : $e^x(e^x - 1) = 0$, et $e^x \neq
0$ : reste $e^x = 1$.)

]]> $x = 0$ ou $x = 1$

]]> Contrôle : $x = 1$ : $e^2 \neq e$. L'équation $2x = x$
n'a qu'une solution : $0$.

]]> Aucune : les exposants sont différents

]]> Erreur : les exposants $2x$ et $x$ coïncident en $x
= 0$ : c'est exactement là que l'équation se résout.

]]> Tout réel $x$

]]> Erreur : $x = 1$ échoue déjà ($e^2 \approx 7{,}4$
contre $e \approx 2{,}7$) : l'égalité est
exceptionnelle, pas générale.

]]> Fonction exponentielle — Q24 : Signe de $e^x - 1$ Quel est le signe de $e^x - 1$ selon les valeurs de $x$ ?

]]> Signe de $e^x - 1$ = signe de $x$ (et plus généralement,
signe de $e^{u} - 1$ = signe de $u$) : brique récurrente
des tableaux de signes dès que l'exponentielle s'invite dans
une dérivée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de $x$

]]> Bonne réponse : négatif pour $x < 0$, nul en $0$,
positif pour $x > 0$. En effet $e^x - 1 > 0 \iff e^x >
e^0 \iff x > 0$ (croissance stricte).

]]> Toujours positif

]]> Le $-1$ change la donne : $e^{-1} - 1 \approx -0{,}63 <
0$. C'est $e^x$ qui est toujours positif, pas $e^x - 1$.

]]> Toujours négatif

]]> Erreur : $e^1 - 1 \approx 1{,}72 > 0$ : le signe bascule
en $x = 0$.

]]> Le signe opposé à celui de $x$

]]> Inversé : l'exponentielle croît : elle est sous $1$
avant $0$, au-dessus après.

]]> Fonction exponentielle — Q25 : Comparer $e^{-t}$ et $e^{-2t}$ Pour tout réel $t > 0$, quelle relation lie $e^{-t}$ et $e^{-2t}$ ?

]]> Comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants : pour $t > 0$,
$-2t < -t$, donc $e^{-2t} < e^{-t}$. La courbe de $t \mapsto e^{-2t}$ est au-dessous de celle
de $t \mapsto e^{-t}$ sur $]0\ ;\ +\infty[$ : la décroissance est plus rapide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{-2t} < e^{-t}$

]]> Bonne réponse : pour $t > 0$, $-2t < -t$, et l'exponentielle est strictement
croissante, donc $e^{-2t} < e^{-t}$.

]]> $e^{-2t} > e^{-t}$

]]> Erreur : le facteur $2$ rend l'exposant plus négatif, pas plus grand. Pour $t = 1$,
$e^{-2} \approx 0{,}135$ alors que $e^{-1} \approx 0{,}368$.

]]> $e^{-2t} = \dfrac{e^{-t}}{2}$

]]> Erreur : $e^{-2t} = e^{-t} \times e^{-t}$, le $2$ de l'exposant ne divise pas. Pour $t = 1$,
$e^{-2} \approx 0{,}135$ alors que $\frac{e^{-1}}{2} \approx 0{,}184$.

]]> Cela dépend de la valeur de $t$

]]> Erreur : pour tout $t > 0$, on a $-2t < -t$, et l'exponentielle est strictement
croissante : l'inégalité garde toujours le même sens.

]]> Fonction exponentielle — Q26 : Une équation à changement de variable Combien l'équation $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ a-t-elle de solutions
réelles ?

]]> Le changement de variable $X = e^x$ ramène l'équation à un trinôme. Seules
les racines strictement positives donnent une solution, l'exponentielle ne
prenant jamais de valeur négative ou nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux

]]> Bonne réponse : en posant $X = e^x$, on trouve $X = 1$ et $X = 2$,
toutes deux strictement positives.

]]> Une seule

]]> Les deux valeurs de $X$ étant positives, chacune fournit bien une
solution en $x$.

]]> Aucune

]]> Le discriminant du trinôme en $X$ vaut $1$, donc il possède deux
racines.

]]> Quatre

]]> Chaque valeur positive de $X$ donne une seule solution en $x$, contrairement
au cas d'un changement de variable en $x^2$.

]]> Fonction exponentielle — Q27 : Dérivée d'un quotient avec exponentielle Quelle est la dérivée de $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?

]]> Avec $u(x) = e^x$ et $v(x) = x$, la formule $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ donne
directement le résultat, que l'on factorise ensuite par $e^x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}$

]]> Bonne réponse : le numérateur donne $e^x \times x - e^x \times 1$, que
l'on factorise par $e^x$.

]]> $\dfrac{e^x}{1}$

]]> Dérivation terme à terme : un quotient ne se dérive pas en dérivant
séparément le haut et le bas.

]]> $\dfrac{e^x(1 - x)}{x^2}$

]]> Ordre des termes inversé : la formule retranche $uv'$ à $u'v$, dans cet
ordre.

]]> $\dfrac{e^x}{x^2}$

]]> Numérateur incomplet : il reste le terme provenant de la dérivée du
dénominateur.

]]> Fonction exponentielle — Q28 : Une demi-vie exponentielle Une quantité suit $Q(t) = Q_0 e^{-0{,}05t}$, avec $t$ en années.
Que décrit le signe du coefficient $-0{,}05$ ?

]]> La fonction $t \mapsto e^{kt}$ croît si $k$ est positif et décroît s'il est
négatif. Sa dérivée vaut $k e^{kt}$, du signe de $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une décroissance de la quantité

]]> Bonne réponse : un exposant négatif rend la fonction décroissante, la
quantité diminue avec le temps.

]]> Une croissance de la quantité

]]> La croissance demanderait un coefficient positif : ici $Q(10)$ vaut
environ $0{,}61 Q_0$.

]]> Une quantité négative

]]> L'exponentielle reste strictement positive, donc $Q(t)$ garde le signe
de $Q_0$.

]]> Une quantité qui s'annule après $20$ ans

]]> La quantité tend vers $0$ sans jamais l'atteindre : après $20$ ans, il
en reste environ $37$ %.

]]> Fonction exponentielle — Q29 : Résoudre $e^{x} < e^{2}$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $e^x < e^2$ ?

]]> La stricte croissance de l'exponentielle permet de passer de
$e^a < e^b$ à $a < b$, et réciproquement, sans changer le sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,2[$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle est strictement croissante, elle
conserve donc le sens de l'inégalité.

]]> $]2\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversé : pour $x = 3$, on aurait $e^3 > e^2$, l'inéquation
n'est pas vérifiée.

]]> $]0\,;\,2[$

]]> Borne inférieure inventée : pour $x = -5$, l'inéquation est encore
vérifiée.

]]> $\mathbb{R}$

]]> L'inégalité est fausse dès que $x$ dépasse $2$, par exemple pour
$x = 10$.

]]> Fonction exponentielle — Q30 : Une tangente qui passe par l'origine Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de $x \mapsto e^x$
au point d'abscisse $1$ ?

]]> La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation
$y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Pour l'exponentielle, $f'$ et $f$ coïncident, ce
qui simplifie le calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = ex$

]]> Bonne réponse : $f'(1) = e$ et $f(1) = e$, donc
$y = e(x - 1) + e = ex$.

]]> $y = ex + e$

]]> Constante mal calculée : le développement de $e(x-1) + e$ élimine le
terme constant.

]]> $y = x + e$

]]> Coefficient directeur faux : la dérivée en $1$ vaut $e$, pas $1$.

]]> $y = e^x$

]]> Une tangente est une droite : son équation ne peut pas contenir
d'exponentielle.

]]> Fonction exponentielle — Q31 : Un produit divisé par une exponentielle Que vaut $\dfrac{e^{3} \times e^{4}}{e^{2}}$ ?

]]> Les deux règles à mobiliser sont $e^{x} \times e^{y} = e^{x + y}$ et
$\dfrac{e^{x}}{e^{y}} = e^{x - y}$. Une expression de ce type se ramène
donc toujours à une seule exponentielle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{5}$

]]> Bonne réponse : le produit ajoute les exposants et le quotient
retranche celui du dénominateur, soit $3 + 4 - 2 = 5$.

]]> $e^{9}$

]]> Signe du quotient oublié : l'exposant du dénominateur se retranche,
il ne s'ajoute pas. Le calcul donne $5$.

]]> $e^{10}$

]]> Un produit d'exponentielles ajoute les exposants, il ne les
multiplie pas : $e^{3} \times e^{4} = e^{3 + 4}$.

]]> $e^{7}$

]]> Dénominateur négligé : il reste à retrancher $2$, ce qui conduit à
l'exposant $5$.

]]> Fonction exponentielle — Q32 : Quand l'exponentielle vaut 1 Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $e^{x} = 1$ ?

]]> La valeur $e^{0} = 1$ fait partie de la définition de l'exponentielle.
Comme cette fonction est strictement croissante, elle ne prend jamais
deux fois la même valeur : $0$ est donc la seule solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 0$

]]> Bonne réponse : $e^{0} = 1$, et l'exponentielle étant strictement
croissante, aucune autre valeur ne convient.

]]> $x = 1$

]]> Confusion entre l'exposant et le résultat : $e^{1} = e$, un nombre
voisin de $2{,}718$, et non $1$.

]]> $x = e$

]]> L'inconnue est l'exposant, pas la base : $e^{e}$ dépasse $15$, il
n'est pas égal à $1$.

]]> Aucune valeur ne convient

]]> Si : la courbe coupe la droite d'équation $y = 1$, précisément au
point d'abscisse $0$.

]]> Fonction exponentielle — Q33 : Quotient de deux exponentielles en $x$ Pour tout réel $x$, que vaut $\dfrac{e^{6x}}{e^{2x}}$ ?

]]> La règle $\dfrac{e^{u}}{e^{v}} = e^{u - v}$ s'applique aux exposants
complets, variable comprise. On factorise ensuite par $x$ pour présenter
le résultat sous la forme $e^{kx}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{4x}$

]]> Bonne réponse : diviser retranche les exposants, et
$6x - 2x = 4x$.

]]> $e^{8x}$

]]> Opération inversée : c'est le produit qui ajoute les exposants, le
quotient les retranche.

]]> $e^{3x}$

]]> Les exposants ne se divisent pas entre eux : ils se soustraient, ce
qui donne $4x$.

]]> $e^{6x} - e^{2x}$

]]> Un quotient d'exponentielles n'est pas une différence : ce sont les
exposants qui se soustraient, ce qui donne $e^{4x}$.

]]> Fonction exponentielle — Q34 : La valeur du nombre $e$ Le nombre $e$ est l'image de $1$ par la fonction exponentielle. Quelle
est sa valeur approchée ?

]]> Par définition, $e = \exp(1)$. Retenir $e \approx 2{,}718$ permet
d'estimer rapidement une image : $e^{2}$ vaut environ $7{,}4$, $e^{3}$
environ $20$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}718$

]]> Bonne réponse : $e \approx 2{,}718$, un nombre compris entre $2$ et
$3$, ce qui permet de contrôler un ordre de grandeur.

]]> $3{,}1416$

]]> Cette valeur est celle de $\pi$, sans rapport avec l'exponentielle,
dont la valeur en $1$ est voisine de $2{,}718$.

]]> $1{,}414$

]]> Cette valeur est celle de $\sqrt{2}$. Le nombre $e$ est plus grand
que $2$, puisque $e^{1}$ dépasse $e^{0} = 1$ largement.

]]> $2{,}178$

]]> Chiffres permutés : la valeur approchée usuelle s'écrit $2{,}718$,
et non $2{,}178$.

]]> Fonction exponentielle — Q35 : Une équation entre deux exponentielles Quelle est la solution de l'équation $e^{2x - 4} = e^{6}$ ?

]]> L'exponentielle est strictement croissante : $e^{u} = e^{v}$ équivaut à
$u = v$. L'équation se ramène donc à une équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$

]]> Bonne réponse : l'exponentielle ne prend jamais deux fois la même
valeur, donc $2x - 4 = 6$, d'où $x = 5$.

]]> $x = 1$

]]> Erreur de signe : le terme $-4$ passe de l'autre côté en changeant
de signe, ce qui donne $x = 5$.

]]> $x = 10$

]]> Division oubliée : après avoir isolé $2x$, il reste à diviser par
$2$ pour obtenir $5$.

]]> $x = 3$

]]> Le terme constant de l'exposant a été négligé : il intervient avant
la division, et la solution vaut $5$.

]]> Fonction exponentielle — Q36 : Dérivée d'un produit avec l'exponentielle Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = (2x + 3)\,e^{x}$ ?

]]> Pour un produit de la forme $u(x)\,e^{x}$, la dérivée vaut
$(u'(x) + u(x))\,e^{x}$, car $e^{x}$ est sa propre dérivée. On factorise
systématiquement par $e^{x}$ pour étudier ensuite le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2x + 5)\,e^{x}$

]]> Bonne réponse : $(uv)' = u'v + uv' = 2e^{x} + (2x + 3)e^{x}$,
soit $(2x + 5)e^{x}$ après factorisation.

]]> $2\,e^{x} + 2x + 3$

]]> La dérivée de $e^{x}$ a été remplacée par $1$ dans le terme $uv'$ :
l'exponentielle est sa propre dérivée, et elle reste en facteur.

]]> $(2x + 3)\,e^{x}$

]]> Seul le facteur $e^{x}$ a été dérivé : le terme $u'v$, égal à
$2e^{x}$, manque dans le résultat.

]]> $(2x + 1)\,e^{x}$

]]> Le terme ajouté est $u' = 2$, et il s'ajoute à $3$ : la
parenthèse se termine par $+ 5$.

]]> Fonction exponentielle — Q37 : Ce qui règle les variations de $e^{kx}$ Soit $k$ un réel non nul et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = e^{kx}$. Qu'est-ce qui détermine le sens de variation de $f$ ?

]]> La dérivée de $x \mapsto e^{kx}$ est $k\,e^{kx}$. Comme une exponentielle
est toujours strictement positive, le signe de $k$ commande à lui seul le
sens de variation, et sa valeur absolue la rapidité de l'évolution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de $k$ : croissante si $k > 0$, décroissante sinon

]]> Bonne réponse : $f'(x) = k\,e^{kx}$ et $e^{kx} > 0$, donc la dérivée
a exactement le signe de $k$.

]]> La valeur de $k$ : croissante si $k > 1$, décroissante si $k < 1$

]]> Le seuil est $0$, pas $1$ : pour $k = 0{,}5$, la fonction croît
encore, simplement plus lentement.

]]> Rien : la fonction $f$ est croissante quel que soit $k$

]]> Avec $k$ négatif, l'exposant diminue quand $x$ augmente : la
fonction décroît, comme $x \mapsto e^{-x}$.

]]> Le signe de $x$ : croissante après $0$, décroissante avant

]]> La dérivée $k\,e^{kx}$ garde le même signe sur $\mathbb{R}$ : il n'y
a aucun changement de sens en $0$.

]]> Fonction exponentielle — Q38 : De la courbe de $e^{x}$ à celle de $e^{-x}$ Comment obtient-on la courbe de la fonction $x \mapsto e^{-x}$ à partir
de celle de l'exponentielle ?

]]> Remplacer $x$ par $-x$ revient à appliquer la symétrie d'axe $(Oy)$.
C'est cette lecture qui donne l'allure de $e^{-x}$ : une courbe
décroissante, toujours au-dessus de l'axe des abscisses, passant par le
point de coordonnées $(0\,;\,1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : le point d'abscisse $x$ de la première courbe a la
même ordonnée que le point d'abscisse $-x$ de la seconde.

]]> Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Cette symétrie donnerait $-e^{x}$, une fonction négative. Or
$e^{-x}$ reste strictement positive.

]]> Par symétrie par rapport à l'origine du repère

]]> Elle changerait aussi le signe des ordonnées, ce qui ne convient pas
à une fonction à valeurs strictement positives.

]]> Par une translation vers la gauche, sans déformation

]]> Une translation conserverait le sens de variation, alors que
$e^{-x}$ décroît quand $e^{x}$ croît.

]]> Fonction exponentielle — Q39 : Un produit nul avec une exponentielle Quelles sont les solutions de l'équation $(2x - 6)\,e^{x} = 0$ ?

]]> Comme $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$, un produit de la forme
$u(x)\,e^{x}$ s'annule exactement là où $u$ s'annule, et il a partout le
signe de $u$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$ uniquement

]]> Bonne réponse : un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est, et
$e^{x}$ ne s'annule jamais, donc $2x - 6 = 0$.

]]> $x = -3$ uniquement

]]> Erreur de signe : résoudre $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$, et
non $-3$.

]]> $x = 3$ et $x = 0$

]]> La valeur $0$ annulerait $e^{x}$, ce qui est impossible :
$e^{0} = 1$, et l'exponentielle est strictement positive.

]]> L'équation n'a aucune solution

]]> Le premier facteur, lui, peut s'annuler : il suffit de résoudre
$2x - 6 = 0$ pour trouver $3$.

]]> Fonction exponentielle — Q40 : Encadrer $e^{x}$ sur un intervalle Pour tout $x$ de l'intervalle $[0\,;\,2]$, entre quelles valeurs le
nombre $e^{x}$ est-il compris ?

]]> Une fonction strictement croissante transforme un encadrement des
antécédents en un encadrement des images, dans le même ordre. Ici
l'écart entre les bornes des antécédents vaut $2$, mais celui des
images est bien plus grand, car la croissance s'accélère.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 \leq e^{x} \leq e^{2}$

]]> Bonne réponse : la croissance de l'exponentielle transmet
l'encadrement $0 \leq x \leq 2$ aux images, et $e^{0} = 1$.

]]> $0 \leq e^{x} \leq e^{2}$

]]> Minoration trop faible : l'image de la borne $0$ vaut $1$, et
l'exponentielle ne descend jamais jusqu'à $0$.

]]> $e^{2} \leq e^{x} \leq e^{0}$

]]> Encadrement renversé : $e^{2}$ est bien plus grand que
$e^{0} = 1$, il ne peut donc pas servir de minorant.

]]> $0 \leq e^{x} \leq 2$

]]> Le majorant est l'image de $2$, c'est-à-dire $e^{2}$, et non
$2$ lui-même.

]]> Fonction exponentielle — Q41 : La raison d'une suite exponentielle On pose $u_n = e^{3n}$ pour tout entier naturel $n$. Cette suite est
géométrique : quelle est sa raison ?

]]> Toute suite de la forme $u_n = e^{kn}$ est géométrique de raison $e^{k}$
et de premier terme $u_0 = 1$. Deux pas multiplient donc par
$e^{6}$ : c'est le pont entre modèle discret et modèle continu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $e^{3}$

]]> Bonne réponse : $u_{n+1} = e^{3n} \times e^{3}$, donc on passe
d'un terme au suivant en multipliant par $e^{3}$.

]]> $3$

]]> L'exposant n'est pas la raison : le facteur multiplicatif est
l'exponentielle de cet exposant, soit $e^{3}$.

]]> $e^{3n}$

]]> C'est le terme de rang $n$ lui-même : la raison est le facteur
constant par lequel on multiplie pour passer au terme suivant.

]]> $3e$

]]> Le coefficient $3$ se place en exposant, il ne multiplie pas $e$ :
la raison est $e^{3}$.

]]> Fonction exponentielle — Q42 : Signe d'un produit avec l'exponentielle Quel est le signe de $x\,e^{x}$ suivant les valeurs de $x$ ?

]]> Une exponentielle est strictement positive : dans un produit, elle ne
change jamais le signe. Le signe de $x\,e^{x}$ se lit donc directement
sur $x$, négatif avant $0$ et positif après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Celui de $x$

]]> Bonne réponse : $e^{x}$ est strictement positif, donc il ne modifie
pas le signe du facteur $x$.

]]> Positif pour tout réel $x$

]]> Pour $x$ négatif, le produit d'un nombre négatif par un nombre
positif est négatif : par exemple $-2\,e^{-2} < 0$.

]]> Négatif pour tout réel $x$

]]> Pour $x$ positif, les deux facteurs sont positifs, donc le produit
l'est aussi.

]]> Il change de signe en $x = 1$

]]> Le seul facteur qui change de signe est $x$, et il s'annule en $0$,
pas en $1$.

]]> Fonction exponentielle — Q43 : Une simplification qui donne 1 Pour tout réel $x$, que vaut
$\left(e^{-x}\right)^{3} \times e^{3x}$ ?

]]> On utilise $\left(e^{u}\right)^{n} = e^{nu}$, puis l'addition des
exposants. Deux exposants opposés se compensent et laissent $e^{0} = 1$ :
l'expression ne dépend finalement pas de $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $\left(e^{-x}\right)^{3} = e^{-3x}$, et le
produit par $e^{3x}$ donne $e^{0}$, c'est-à-dire $1$.

]]> $e^{6x}$

]]> Signe de l'exposant oublié : la puissance porte sur $e^{-x}$, ce qui
donne $e^{-3x}$, pas $e^{3x}$.

]]> $e^{3x}$

]]> Le premier facteur a été négligé : il apporte l'exposant $-3x$,
qui annule exactement le second.

]]> $e^{-3x}$

]]> Seul le premier facteur a été simplifié : il reste à lui ajouter
l'exposant $3x$ du second.

]]> Fonction exponentielle — Q44 : Une équation d'exposants du second degré Quelles sont les solutions de l'équation $e^{x^2} = e^{3x - 2}$ ?

]]> L'égalité $e^{u} = e^{v}$ équivaut à $u = v$, car l'exponentielle est
strictement croissante. On se ramène ainsi à une équation du second
degré, résolue par les méthodes habituelles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 1$ et $x = 2$

]]> Bonne réponse : l'équation équivaut à
$x^2 - 3x + 2 = 0$, dont les solutions sont $1$ et
$2$.

]]> $x = 1$ uniquement

]]> Une seconde solution a été perdue : l'équation du second degré
obtenue admet deux racines, $1$ et $2$.

]]> $x = 3$ uniquement

]]> Le coefficient de $x$ a été pris pour une solution. Il faut résoudre
l'équation du second degré, qui donne $1$ et $2$.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Deux exponentielles sont égales lorsque leurs exposants le sont, et
cette égalité d'exposants a bien des solutions.

]]> Fonction exponentielle — Q45 : Une inéquation entre deux exponentielles Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$e^{3x} \geq e^{x + 6}$ ?

]]> Comparer deux exponentielles revient à comparer leurs exposants, dans le
même ordre puisque la fonction est strictement croissante. L'inéquation
se ramène alors au premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[3\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : la croissance de l'exponentielle donne
$3x \geq x + 6$, soit $2x \geq 6$ et $x \geq 3$.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Sens renversé : l'exponentielle étant croissante, l'inégalité des
exposants garde le sens de celle des images.

]]> $[6\,;\,+\infty[$

]]> Division oubliée : de $2x \geq 6$ on tire $x \geq 3$, la
moitié de $6$.

]]> $[2\,;\,+\infty[$

]]> Mauvais diviseur : après avoir retranché $x$ aux deux membres, il
reste $2x$, et non $3x$.

]]> Fonction exponentielle — Q46 : Approcher le nombre e par une suite On calcule quelques termes de la suite définie pour $n \geq 1$ par
$u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ : $u_1 = 2$,
$u_{10} \approx 2{,}594$, $u_{100} \approx 2{,}705$ et
$u_{1000} \approx 2{,}717$. Vers quel nombre la suite semble-t-elle
converger ?

]]> La suite $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ converge vers $e = \exp(1)$ ;
on l'observe en calculant ses termes, par exemple avec une boucle en
Python.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $e \approx 2{,}718$

]]> Bonne réponse : les termes se rapprochent de $e$, dont c'est une
méthode classique d'approximation.

]]> Vers $1$, car $1 + \dfrac{1}{n}$ tend vers $1$

]]> Erreur : l'exposant $n$ grandit en même temps ; les valeurs
calculées s'éloignent d'ailleurs de $1$.

]]> Vers $+\infty$, car l'exposant tend vers $+\infty$

]]> Erreur : les termes augmentent de moins en moins et restent
sous $2{,}72$.

]]> Vers $3$, valeur arrondie des derniers termes

]]> Erreur : les termes restent nettement en dessous de $3$ et
semblent se stabiliser vers $2{,}718$.

]]>