$course$/QCM de maths/Première spécialité/Géométrie repérée Dans un repère orthonormé : vecteur normal à une droite (le
vecteur $(a\,;\,b)$ est normal à la droite $ax + by + c = 0$),
équation d'une droite par point et vecteur normal, projeté
orthogonal d'un point sur une droite, équations de cercles
(centre, rayon, reconnaissance).

]]> Géométrie repérée — Q01 : Lire un vecteur normal Quel vecteur est normal à la droite d'équation
$3x - 2y + 5 = 0$ ?

]]> Théorème : la droite $ax + by + c = 0$ admet
$\vec{n}(a\,;\,b)$ pour vecteur normal (et $(-b\,;\,a)$ pour
directeur). Contrôle : $\vec{n} \cdot \vec{u} = -ab + ab =
0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{n}(3\,;\,-2)$

]]> Bonne réponse : le vecteur $(a\,;\,b)$ des coefficients
est normal à la droite $ax + by + c = 0$ (résultat au
programme).

]]> $\vec{n}(2\,;\,3)$

]]> Erreur : $(2\,;\,3) = (-b\,;\,a)$ est un vecteur
directeur de la droite (il lui est parallèle), pas
normal.

]]> $\vec{n}(3\,;\,5)$

]]> Erreur : $5$ est le terme constant $c$, qui positionne la
droite mais n'entre pas dans le vecteur normal
$(a\,;\,b)$.

]]> $\vec{n}(-2\,;\,3)$

]]> Erreur : $(-2\,;\,3)$ est colinéaire au vecteur directeur
$(2\,;\,-3)$… vérifie : $\vec{n} \cdot \vec{u}$ doit être
non nul ici. Le normal se lit directement :
$(3\,;\,-2)$.

]]> Géométrie repérée — Q02 : Normal ou directeur ? Toujours pour la droite $3x - 2y + 5 = 0$, quel vecteur en
est un vecteur directeur ?

]]> Pour $ax + by + c = 0$ : normal $(a\,;\,b)$, directeur
$(-b\,;\,a)$ : les deux se contrôlent mutuellement par un
produit scalaire nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : $\vec{u}(-b\,;\,a) = (2\,;\,3)$, et l'on
vérifie $\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \times 3 + 3 \times
(-2) = 0$ : directeur bien orthogonal au normal.

]]> $\vec{u}(3\,;\,-2)$

]]> Erreur : $(3\,;\,-2)$ est le vecteur normal
(perpendiculaire à la droite), pas directeur.

]]> $\vec{u}(3\,;\,2)$

]]> Erreur : ni normal ni directeur : teste
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 9 - 4 = 5 \neq 0$ : pas
orthogonal au normal.

]]> $\vec{u}(5\,;\,0)$

]]> Erreur : le terme constant $5$ ne fabrique aucun vecteur
de la droite. Directeur : $(-b\,;\,a) = (2\,;\,3)$.

]]> Géométrie repérée — Q03 : Droite par point et vecteur normal Quelle est une équation de la droite passant par
$A(1\,;\,2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3\,;\,1)$ ?

]]> Méthode (capacité attendue) : le normal donne les
coefficients ($ax + by + c = 0$ avec $(a\,;\,b) = \vec{n}$),
le point donne $c$. Autre voie :
$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ développé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x + y - 5 = 0$

]]> Bonne réponse : l'équation a la forme $3x + y + c = 0$ ;
le passage par $A$ donne $3 + 2 + c = 0$, soit $c = -5$.

]]> $3x + y + 5 = 0$

]]> Erreur de signe sur $c$ : en substituant $A$ :
$3(1) + 2 + c = 0 \Rightarrow c = -5$. Toujours vérifier
avec le point.

]]> $x + 3y - 7 = 0$

]]> Coefficients échangés : le vecteur normal impose
$(a\,;\,b) = (3\,;\,1)$, donc $3x + 1y + c = 0$.

]]> $3x + y = 0$

]]> Erreur : cette droite passe par l'origine, pas par $A$
($3 + 2 = 5 \neq 0$). Il manque la constante $c = -5$.

]]> Géométrie repérée — Q04 : Équation d'un cercle Quelle est l'équation du cercle de centre $\Omega(2\,;\,1)$
et de rayon $3$ ?

]]> Cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ :
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Deux pièges : signes du centre
et carré du rayon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

]]> Bonne réponse : $M(x\,;\,y)$ est sur le cercle si
$\Omega M = 3$, soit $\Omega M^2 = 9$ : les coordonnées
du centre en soustraction, le carré du rayon à
droite.

]]> $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3$

]]> Le piège du rayon : le membre de droite est $r^2 = 9$,
pas $r = 3$ (l'équation traduit $\Omega M^2 = r^2$).

]]> $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

]]> Erreur de signes : le centre $(2\,;\,1)$ apparaît en
soustraction : $(x - 2)$ et $(y - 1)$. (Tel quel, ce
cercle serait centré en $(-2\,;\,-1)$.)

]]> $x^2 + y^2 = 9$

]]> Erreur : ce cercle est centré à l'origine. Le centre
$(2\,;\,1)$ doit décaler les deux carrés.

]]> Géométrie repérée — Q05 : Lire un cercle sur la figure Repère orthonormé avec un cercle bleu de centre Omega(2 ; 1), marqué d'un point, et de rayon 2 matérialisé par un segment pointillé horizontal du centre au point (4 ; 1). Le cercle passe par (0 ; 1), (4 ; 1), (2 ; 3) et (2 ; -1).

Quelle est l'équation du cercle $\mathcal{C}$ représenté
ci-dessous ?

]]> Lecture : centre aux coordonnées du point marqué, rayon par
un point du cercle bien placé. Équation :
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$

]]> Bonne réponse : centre $\Omega(2\,;\,1)$ (lu sur la
figure) et rayon $2$ (le cercle passe par $(4\,;\,1)$) :
membre de droite $r^2 = 4$.

]]> $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2$

]]> Piège du rayon : la figure montre $r = 2$, donc le membre
de droite vaut $r^2 = 4$.

]]> $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

]]> Coordonnées du centre échangées : $\Omega$ est en
$(2\,;\,1)$ (abscisse $2$, ordonnée $1$).

]]> $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$

]]> Erreur de signes : centre $(2\,;\,1)$ donne $(x - 2)$ et
$(y - 1)$. Les signes $+$ correspondraient au centre
$(-2\,;\,-1)$, hors de la figure.

]]> Géométrie repérée — Q06 : Reconnaître un cercle L'équation $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ est celle d'un
cercle. Quels sont son centre et son rayon ?

]]> Méthode de complétion du carré : $x^2 - 4x + y^2 + 2y = 4
\Rightarrow (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$. Centre
$(2\,;\,-1)$, rayon $3$. Vérifier que le membre de droite est
strictement positif (sinon, pas un cercle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Centre $(2\,;\,-1)$, rayon $3$

]]> Bonne réponse : $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ et $y^2 + 2y =
(y+1)^2 - 1$ : l'équation devient $(x-2)^2 + (y+1)^2 =
9$ : centre $(2\,;\,-1)$, rayon $\sqrt{9} = 3$.

]]> Centre $(-2\,;\,1)$, rayon $3$

]]> Signes inversés : $(x - 2)^2$ correspond au centre
d'abscisse $+2$, et $(y + 1)^2 = (y - (-1))^2$ à
l'ordonnée $-1$.

]]> Centre $(2\,;\,-1)$, rayon $9$

]]> Piège final : $9$ est $r^2$. Le rayon vaut $\sqrt{9} =
3$.

]]> Centre $(4\,;\,-2)$, rayon $2$

]]> Erreur : les coefficients $-4$ et $+2$ se divisent par
deux dans la complétion du carré : centre
$(2\,;\,-1)$.

]]> Géométrie repérée — Q07 : Un point sur le cercle ? Le point $A(5\,;\,1)$ appartient-il au cercle d'équation
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$ ?

]]> Appartenance à une courbe d'équation donnée : substituer les
coordonnées. $(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9$ : oui. (Géométriquement :
$\Omega A = 3 = r$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9$

]]> Bonne réponse : les coordonnées vérifient l'équation
($9 + 0 = 9$) : $A$ est sur le cercle, à distance $3$ du
centre $(2\,;\,1)$.

]]> Non, car $5 > 3$

]]> Erreur : on ne compare pas une coordonnée au rayon ; on
teste l'équation avec les deux coordonnées.

]]> Non, car $(5-2)^2 = 9 \neq 0$

]]> Erreur de lecture de l'équation : la somme des deux
carrés doit valoir $9$, ce qui est le cas
($9 + 0$).

]]> On ne peut pas savoir sans tracer le cercle

]]> Erreur : la substitution des coordonnées dans l'équation
répond exactement et sans figure.

]]> Géométrie repérée — Q08 : Projeté orthogonal sur une droite horizontale Quel est le projeté orthogonal du point $M(2\,;\,3)$ sur la
droite $d$ d'équation $y = 1$, et qu'en déduit-on pour la
distance de $M$ à $d$ ?

]]> Le projeté orthogonal $H$ est le pied de la perpendiculaire
issue de $M$ ; $MH$ est la distance de $M$ à la droite
(le plus court chemin). Sur $y = 1$ : $H(2\,;\,1)$,
$MH = 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $H(2\,;\,1)$, et la distance vaut $MH = 2$

]]> Bonne réponse : la droite est horizontale, la
perpendiculaire issue de $M$ est verticale : même
abscisse, ordonnée $1$. Distance $= |3 - 1| = 2$.

]]> $H(0\,;\,1)$, et la distance vaut $2$

]]> Erreur : $(0\,;\,1)$ est un point de $d$, mais pas le
pied de la perpendiculaire issue de $M$ : la projection
conserve l'abscisse quand la droite est horizontale.

]]> $H(2\,;\,1)$, et la distance vaut $3$

]]> Bon projeté, mauvaise distance : $MH = |3 - 1| = 2$
($3$ serait la distance à l'axe des abscisses $y = 0$).

]]> $H(2\,;\,0)$

]]> Erreur : tu as projeté sur l'axe des abscisses ($y = 0$)
au lieu de la droite $y = 1$.

]]> Géométrie repérée — Q09 : Projeté orthogonal sur une droite oblique Quel est le projeté orthogonal du point $M(3\,;\,1)$ sur la
droite $d$ d'équation $y = x$ ?

]]> Méthode : paramétrer le point courant de $d$
($H(t\,;\,t)$), écrire $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} =
0$ ($\vec{u}$ directeur), résoudre. Ici $t = 2$ :
$H(2\,;\,2)$, et $MH = \sqrt{2}$ est la distance de $M$ à
$d$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $H(2\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : $H(t\,;\,t)$ sur $d$ avec
$\overrightarrow{MH}(t-3\,;\,t-1)$ orthogonal au
directeur $(1\,;\,1)$ : $(t-3) + (t-1) = 0$, $t = 2$.

]]> $H(3\,;\,3)$

]]> Erreur : $(3\,;\,3)$ est sur $d$ mais la projection n'est
pas verticale : $\overrightarrow{MH}(0\,;\,2)$ n'est pas
orthogonal à $(1\,;\,1)$ (produit scalaire $2 \neq 0$).

]]> $H(1\,;\,1)$

]]> Erreur : $\overrightarrow{MH}(-2\,;\,0)$ n'est pas
orthogonal au directeur $(1\,;\,1)$ (produit scalaire
$-2 \neq 0$). Résous $(t-3) + (t-1) = 0$.

]]> $H(2{,}5\,;\,2{,}5)$

]]> Erreur de résolution : $2t - 4 = 0$ donne $t = 2$, pas
$2{,}5$.

]]> Géométrie repérée — Q10 : Droite et cercle sans intersection Un cercle a pour rayon $3$ ; une droite passe à distance $5$
de son centre. Combien ont-ils de points communs ?

]]> Position relative droite-cercle, par comparaison de la
distance $d$ du centre à la droite avec le rayon $r$ :
$d > r$ : disjoints ; $d = r$ : tangents ; $d < r$ : sécants
en deux points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun

]]> Bonne réponse : la droite reste à distance $5 > 3$ du
centre : elle ne peut pas atteindre le cercle, dont tous
les points sont à distance exactement $3$.

]]> Un seul

]]> Erreur : un unique point commun (tangence) exigerait une
distance égale au rayon : $d = r = 3$.

]]> Deux

]]> Erreur : deux intersections demandent une droite qui
traverse le disque : $d < r$. Ici $5 > 3$.

]]> Cela dépend de la pente de la droite

]]> Erreur : seule compte la distance du centre à la
droite, comparée au rayon : la pente n'apporte rien de
plus.

]]> Géométrie repérée — Q11 : Droite tangente à un cercle Que signifie « la droite $d$ est tangente au cercle
$\mathcal{C}$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$ » ?

]]> Tangence : distance du centre à la droite $=$ rayon ; le
point de contact est le projeté orthogonal du centre, et le
rayon y est perpendiculaire à la tangente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $d$ touche le cercle en un seul point

]]> Bonne réponse : la tangence est le cas limite, avec un
unique point de contact $H$, et la distance de $\Omega$
à $d$ vaut alors $r$ : $H$ est le projeté orthogonal de
$\Omega$ sur $d$ (le rayon $[\Omega H]$ est
perpendiculaire à $d$).

]]> $d$ passe par le centre $\Omega$ du cercle

]]> Erreur : une droite passant par le centre coupe le cercle
en deux points diamétralement opposés.

]]> $d$ n'a aucun point commun avec le cercle

]]> Erreur : l'évitement correspond à $d(\Omega\,;\,d) > r$
(aucun point commun). La tangente touche le cercle.

]]> $d$ coupe le cercle en deux points très proches

]]> Erreur : deux points, même proches, font une sécante. La
tangente réalise un contact en un seul point.

]]> Géométrie repérée — Q12 : Étudier une configuration dans un repère Dans un repère orthonormé, soit le triangle de sommets
$A(0\,;\,0)$, $B(4\,;\,0)$ et $C(0\,;\,3)$. Quelle est la
nature de ce triangle ?

]]> Utiliser un repère pour étudier une configuration (capacité
attendue) : calculer les vecteurs des côtés et tester
l'orthogonalité par le produit scalaire.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ :
rectangle en $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Rectangle en $A$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,0)$ et
$\overrightarrow{AC}(0\,;\,3)$ ont un produit scalaire
nul : angle droit en $A$ (et $BC = 5$ : le triangle
$3$-$4$-$5$).

]]> Isocèle en $A$

]]> Erreur : $AB = 4 \neq 3 = AC$ : deux côtés issus de $A$
de longueurs différentes.

]]> Équilatéral

]]> Erreur : les trois côtés valent $4$, $3$ et $5$ : tous
différents.

]]> Rectangle en $B$

]]> Erreur : teste $\overrightarrow{BA}(-4\,;\,0) \cdot
\overrightarrow{BC}(-4\,;\,3) = 16 \neq 0$ : pas d'angle
droit en $B$. L'angle droit est en $A$, entre les deux
axes.

]]> Géométrie repérée — Q13 : Équation d'une médiatrice On donne $A(1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,1)$. Quelle est une équation
cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ ?

]]> La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et admet
$\overrightarrow{AB}$ pour vecteur normal. Ces deux données suffisent à
écrire son équation cartésienne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x - y - 4 = 0$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,-2)$ est normal et le
milieu $(3\,;\,2)$ appartient à la droite.

]]> $2x + y - 8 = 0$

]]> Signe du vecteur normal : la seconde coordonnée de
$\overrightarrow{AB}$ vaut $-2$.

]]> $x + 2y - 7 = 0$

]]> Vecteur directeur pris pour normal : cette droite est
perpendiculaire à la médiatrice.

]]> $2x - y - 1 = 0$

]]> Constante fausse : le milieu $(3\,;\,2)$ donne
$6 - 2 + c = 0$, donc $c = -4$.

]]> Géométrie repérée — Q14 : Droite perpendiculaire par un point Quelle est l'équation de la droite perpendiculaire à $d :
2x + y - 1 = 0$ passant par $A(1\ ;\ 3)$ ?

]]> Perpendiculaire à $d$ : le vecteur normal de $d$ devient
directeur de la nouvelle droite (donc sa normale est
l'ancienne directrice). Puis la constante s'ajuste avec le
point de passage. Contrôle : produit scalaire des deux
normales $= 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x - 2y + 5 = 0$

]]> Bonne réponse : la normale de $d$, $(2\ ;\ 1)$, dirige
la perpendiculaire : donc la perpendiculaire a pour
normale $(1\ ;\ -2)$ : $x - 2y + c = 0$, et $A$ donne
$1 - 6 + c = 0$, $c = 5$.

]]> $2x + y - 5 = 0$

]]> Parallèle, pas perpendiculaire : mêmes coefficients $(2\ ;\ 1)$, donc même vecteur normal et même direction : il faut
échanger les rôles.

]]> $x - 2y = 0$

]]> Direction correcte, point raté : $A(1\ ;\ 3)$ donne $1 -
6 = -5 \neq 0$ : la constante se calcule avec le point.

]]> $2x - y + 1 = 0$

]]> Normale $(2\ ;\ -1)$ : produit scalaire avec $(2\ ;\
1)$ : $4 - 1 = 3 \neq 0$ : pas perpendiculaire (il faut
$(1\ ;\ -2)$ ou tout colinéaire).

]]> Géométrie repérée — Q15 : Centre et rayon en complétant les carrés Quel est le centre et le rayon du cercle d'équation $x^2 +
y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ ?

]]> Forme développée → forme canonique : compléter les deux
carrés, basculer les constantes à droite. $(x - a)^2 +
(y - b)^2 = r^2$ : centre $(a\ ;\ b)$, rayon $\sqrt{r^2}$
(vérifier que le membre de droite est positif !).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Centre $(2\ ;\ -1)$, rayon $3$

]]> Bonne réponse : $(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0$,
soit $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ : centre $(2\ ;\ -1)$,
rayon $\sqrt{9} = 3$.

]]> Centre $(-2\ ;\ 1)$, rayon $3$

]]> Signes inversés : $(x - 2)^2$ correspond au centre
$x = +2$ (le signe du centre est l'opposé de celui
de l'équation développée).

]]> Centre $(2\ ;\ -1)$, rayon $9$

]]> Racine oubliée : $9$ est $r^2$ : le rayon vaut $3$.

]]> Centre $(4\ ;\ -2)$, rayon $2$

]]> Division par $2$ oubliée : les coordonnées du centre
sont la moitié des coefficients de $x$ et $y$
(changés de signe) : $(2\ ;\ -1)$.

]]> Géométrie repérée — Q16 : Cercle défini par centre et point Quelle est l'équation du cercle de centre $\Omega(1\ ;\ 2)$
passant par $A(4\ ;\ 6)$ ?

]]> Deux données, deux étapes : le rayon est la distance du centre au point
(racine de la somme des carrés), puis équation $(x - a)^2 +
(y - b)^2 = r^2$. Le contrôle : injecter $A$ et vérifier
l'égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

]]> Bonne réponse : le rayon est la distance $\Omega A =
\sqrt{9 + 16} = 5$ : équation avec $r^2 = 25$.

]]> $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

]]> Carré oublié : l'équation utilise $r^2$ : la distance
vaut $5$, le membre de droite $25$.

]]> $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$

]]> Mauvais centre : $A$ est un point du cercle, pas son
centre : les coordonnées dans les parenthèses sont
celles de $\Omega$.

]]> $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

]]> Signes : centre $(1\ ;\ 2)$ : l'équation soustrait les
coordonnées : $(x - 1)$ et $(y - 2)$.

]]> Géométrie repérée — Q17 : Tangente en un point du cercle Le cercle de centre $\Omega(0\ ;\ 0)$ passe par $A(3\ ;\
4)$. Comment obtenir la tangente au cercle en $A$ ?

]]> Tangente en $A$ : droite par $A$ de vecteur normal
$\overrightarrow{\Omega A}$ : la construction traduit la
perpendicularité rayon-tangente. La géométrie repérée
combine ici droite (normale imposée) et cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite passant par $A$ de vecteur normal
$\overrightarrow{\Omega A}$

]]> Bonne réponse : la tangente est perpendiculaire au rayon
au point de contact : normale $\overrightarrow{\Omega
A}(3\ ;\ 4)$, et $A$ donne $9 + 16 = 25$ : $3x + 4y - 25
= 0$.

]]> La droite $(\Omega A)$ elle-même, qui passe par $A$

]]> Contresens : $(\Omega A)$ est le rayon : il traverse
le cercle ; la tangente lui est perpendiculaire en $A$.

]]> Elle n'existe pas, une tangente exige une fonction
dérivable

]]> Erreur : la tangente à un cercle est une notion
géométrique (perpendiculaire au rayon) : aucune dérivée
nécessaire.

]]> La droite horizontale passant par $A$, d'équation $y =
4$

]]> Erreur : l'horizontale n'est tangente qu'aux points
« pôle nord/sud » du cercle : en $A(3\ ;\ 4)$, la
perpendiculaire au rayon est oblique.

]]> Géométrie repérée — Q18 : Une équation de cercle… vide Que représente l'ensemble des points vérifiant $x^2 + y^2 +
2x + 5 = 0$ ?

]]> Après complétion des carrés, trois cas selon le membre de
droite : $> 0$ : cercle ; $= 0$ : un point ; $< 0$ :
ensemble vide. Toujours conclure APRÈS la forme canonique,
jamais sur la seule allure de l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble vide

]]> Bonne réponse : la forme canonique donne $(x + 1)^2 + y^2
= -4$ ; une somme de carrés ne peut pas être négative :
aucun point ne satisfait l'équation : l'écriture « type
cercle » ne garantit pas un cercle.

]]> Un cercle de rayon $4$

]]> Erreur : le membre de droite est $-4$, pas $16$ : un
rayon au carré négatif n'existe pas.

]]> Un cercle de rayon $2$

]]> Erreur de signe : $r^2 = -4$ n'a pas de racine réelle :
l'ensemble est vide (avec $-4$ au lieu de $+5$ dans
l'équation, on aurait eu un vrai cercle).

]]> Le seul point $(-1\ ;\ 0)$

]]> Presque : le point unique correspond à $(x+1)^2 + y^2 =
\textbf{0}$ : ici la constante est $-4 < 0$ : même le
centre ne convient pas.

]]> Géométrie repérée — Q19 : Équation d'un cercle de centre donné Quelle est l'équation du cercle de centre $A(2\,;\,-3)$ et de rayon
$5$ ?

]]> L'équation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ traduit que la distance de
$M(x\,;\,y)$ au centre $(a\,;\,b)$ vaut $r$. Attention aux signes lorsque
les coordonnées du centre sont négatives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

]]> Bonne réponse : les coordonnées du centre se retranchent, et le rayon
apparaît élevé au carré.

]]> $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

]]> Signes des coordonnées : le centre de ce cercle serait
$(-2\,;\,3)$.

]]> $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 5$

]]> Rayon non élevé au carré : ce cercle aurait pour rayon $\sqrt{5}$.

]]> $(x - 2)^2 - (y + 3)^2 = 25$

]]> Signe entre les deux carrés : l'équation d'un cercle les additionne,
puisqu'elle traduit une distance.

]]> Géométrie repérée — Q20 : Du vecteur normal à l'équation Quelle est l'équation cartésienne de la droite passant par
$A(1\,;\,2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3\,;\,-4)$ ?

]]> Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, le vecteur $(a\,;\,b)$ est
normal et le vecteur $(-b\,;\,a)$ directeur. On détermine $c$ en
remplaçant par les coordonnées d'un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x - 4y + 5 = 0$

]]> Bonne réponse : les coordonnées du vecteur normal donnent $a$ et $b$,
et le point $A$ fixe $c = 5$.

]]> $3x - 4y - 5 = 0$

]]> Signe de la constante : le point $A$ donne $3 - 8 + c = 0$, donc
$c = 5$.

]]> $-4x + 3y - 2 = 0$

]]> Coordonnées échangées : $(-4\,;\,3)$ est un vecteur directeur, pas le
vecteur normal.

]]> $3x + 4y - 11 = 0$

]]> Signe de la seconde coordonnée : le vecteur normal de cette droite
serait $(3\,;\,4)$.

]]> Géométrie repérée — Q21 : Reconnaître un cercle sous forme développée Que représente l'ensemble des points vérifiant
$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$ ?

]]> On regroupe les termes en $x$ et ceux en $y$, on complète chaque carré,
puis on lit centre et rayon. Un second membre négatif signalerait un
ensemble vide.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un cercle de centre $(3\,;\,-1)$ et de rayon $2$

]]> Bonne réponse : les carrés complétés donnent
$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 4$.

]]> Un cercle de centre $(-3\,;\,1)$ et de rayon $2$

]]> Signes du centre : le coefficient de $x$ valant $-6$, le centre a pour
abscisse $+3$.

]]> Un cercle de centre $(3\,;\,-1)$ et de rayon $4$

]]> Racine oubliée : le second membre vaut $4$, donc le rayon est $2$.

]]> L'ensemble vide

]]> Le second membre obtenu est strictement positif, donc le cercle existe
bel et bien.

]]> Géométrie repérée — Q22 : Deux droites perpendiculaires Comment reconnaître que deux droites d'équations cartésiennes sont
perpendiculaires ?

]]> Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs normaux, ou
leurs vecteurs directeurs, sont orthogonaux. Le produit scalaire fournit
le test.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Leurs vecteurs normaux sont orthogonaux

]]> Bonne réponse : si les normales sont orthogonales, les droites le sont
aussi, et le test se fait par un produit scalaire.

]]> Leurs vecteurs normaux sont colinéaires

]]> Des normales colinéaires caractérisent au contraire des droites
parallèles.

]]> Leurs constantes sont opposées

]]> La constante ne fixe que la position de la droite, pas sa direction.

]]> Le produit de leurs coefficients directeurs vaut $1$

]]> Valeur fausse : la condition de perpendicularité entre droites non
verticales est $mm' = -1$. Un produit égal à $1$ décrit par exemple
$y = x$ et $y = x + 3$, deux parallèles.

]]> Géométrie repérée — Q23 : Nombre de points communs Une droite est à une distance de $7$ du centre d'un cercle de rayon
$5$. Combien ont-ils de points communs ?

]]> On compare la distance du centre à la droite avec le rayon : supérieure,
aucun point ; égale, un point de tangence ; inférieure, deux points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucun

]]> Bonne réponse : la distance dépassant le rayon, la droite reste
entièrement à l'extérieur du cercle.

]]> Un seul

]]> Un point unique correspondrait à une distance exactement égale au
rayon, cas de la tangente.

]]> Deux

]]> Deux points communs demanderaient une distance inférieure au rayon.

]]> Une infinité

]]> Une droite et un cercle ne peuvent pas avoir plus de deux points
communs.

]]> Géométrie repérée — Q24 : Cercle défini par un diamètre Quel est le centre du cercle de diamètre $[AB]$, avec
$A(-1\,;\,4)$ et $B(5\,;\,2)$ ?

]]> Le centre d'un cercle de diamètre $[AB]$ est le milieu de $[AB]$, et son
rayon vaut la moitié de la longueur $AB$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : le centre est le milieu du diamètre, de coordonnées
$\left(\dfrac{-1+5}{2}\,;\,\dfrac{4+2}{2}\right)$.

]]> $(6\,;\,-2)$

]]> Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ : ce vecteur donne la direction,
pas la position du centre.

]]> $(4\,;\,6)$

]]> Division oubliée : les sommes des coordonnées doivent encore être
partagées en deux.

]]> $(3\,;\,2)$

]]> Calcul mélangé : l'abscisse du milieu vaut $2$ et son ordonnée $3$.

]]> Géométrie repérée — Q25 : Directeur ou normal Pour la droite d'équation $2x + 5y - 1 = 0$, quel vecteur est
directeur ?

]]> Pour $ax + by + c = 0$, le vecteur $(a\,;\,b)$ est normal et le vecteur
$(-b\,;\,a)$ est directeur. On vérifie en calculant leur produit scalaire,
qui doit être nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-5\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : le vecteur $(-b\,;\,a)$ est directeur, ici
$(-5\,;\,2)$.

]]> $(2\,;\,5)$

]]> C'est le vecteur normal : il est orthogonal à la droite, pas parallèle
à elle.

]]> $(5\,;\,2)$

]]> Signe manquant : le produit scalaire avec $(2\,;\,5)$ vaudrait $20$ et
non $0$.

]]> $(1\,;\,-1)$

]]> Vecteur quelconque : son produit scalaire avec $(2\,;\,5)$ vaut $-3$,
donc il n'est pas parallèle à la droite.

]]> Géométrie repérée — Q26 : Construire un projeté orthogonal Quelle démarche donne le projeté orthogonal d'un point $M$ sur une
droite $d$ ?

]]> Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est le point de $d$ le plus proche de
$M$. On l'obtient en écrivant l'équation de la perpendiculaire à $d$
passant par $M$, puis en résolvant le système.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Couper $d$ par la perpendiculaire issue de $M$

]]> Bonne réponse : le projeté est l'unique point commun à $d$ et à la
perpendiculaire à $d$ passant par $M$.

]]> Prendre le point de $d$ le plus éloigné de $M$

]]> C'est le point le plus proche qui est le projeté ; la distance n'admet
d'ailleurs pas de maximum sur une droite.

]]> Prendre le milieu du segment reliant $M$ à $d$

]]> Ce milieu n'appartient pas à $d$ en général, il ne peut donc pas en
être le projeté.

]]> Prendre le symétrique de $M$ par rapport à $d$

]]> Le symétrique se trouve de l'autre côté de $d$, à la même distance :
le projeté est le milieu de $M$ et de ce symétrique.

]]> Géométrie repérée — Q27 : Vérifier qu'un point est sur un cercle Le point $B(6\,;\,1)$ appartient-il au cercle d'équation
$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 25$ ?

]]> Un point appartient au cercle si ses coordonnées vérifient l'équation. Le
calcul revient à comparer sa distance au centre avec le rayon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, le calcul donne $25$

]]> Bonne réponse : $(6-3)^2 + (1+3)^2 = 9 + 16 = 25$.

]]> Non, le calcul donne $13$

]]> Signe de l'ordonnée : remplacer $y$ par $1$ donne $(1 + 3)^2 = 16$, et
non $(1 - 3)^2 = 4$.

]]> Non, le calcul donne $45$

]]> Coordonnées non translatées : le calcul semble porter sur
$6^2 + 3^2$, sans retrancher celles du centre.

]]> On ne peut pas conclure sans le rayon

]]> Le rayon se lit dans l'équation : il vaut $\sqrt{25} = 5$.

]]> Géométrie repérée — Q28 : Parallèle passant par un point Quelle est l'équation de la droite parallèle à $3x - y + 2 = 0$ et
passant par $A(1\,;\,1)$ ?

]]> Deux droites parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires : on garde
donc les mêmes coefficients de $x$ et de $y$, et seule la constante change.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x - y - 2 = 0$

]]> Bonne réponse : on conserve les coefficients de $x$ et de $y$, et le
point $A$ donne $3 - 1 + c = 0$.

]]> $3x - y + 2 = 0$

]]> C'est la droite de départ : pour $A$, le calcul donnerait $4$ et non
$0$.

]]> $x - 3y + 2 = 0$

]]> Coefficients échangés : cette droite a une tout autre direction.

]]> $-3x + y - 2 = 0$

]]> Signes tous inversés : cette équation décrit la même droite que
$3x - y + 2 = 0$, donc pas celle qui passe par $A$.

]]> Géométrie repérée — Q29 : Caractériser la tangente à un cercle Quelle propriété caractérise la tangente à un cercle en l'un de ses
points $M$ ?

]]> Le rayon $[OM]$ est un vecteur normal de la tangente en $M$. L'équation de
la tangente s'écrit donc directement à partir des coordonnées du centre et
de celles de $M$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est perpendiculaire au rayon en $M$

]]> Bonne réponse : le rayon joignant le centre à $M$ est normal à la
tangente, ce qui donne immédiatement son équation.

]]> Elle passe par le centre du cercle

]]> Une droite passant par le centre coupe le cercle en deux points, ce
n'est donc pas une tangente.

]]> Elle est parallèle au rayon en $M$

]]> Une droite parallèle au rayon et passant par $M$ traverserait le
cercle.

]]> Elle coupe le cercle en deux points confondus

]]> Formulation trompeuse : la tangente a exactement un point commun avec
le cercle, mais c'est la perpendicularité au rayon qui la caractérise.

]]> Géométrie repérée — Q30 : Distance d'un point à un autre Quelle est la distance entre $A(-2\,;\,1)$ et $B(4\,;\,9)$ ?

]]> Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points vaut
$\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. C'est le théorème de Pythagore
appliqué aux écarts de coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.

]]> $14$

]]> Écarts additionnés : $6 + 8$ ignore la racine carrée de la somme des
carrés.

]]> $100$

]]> Racine oubliée : $100$ est le carré de la distance.

]]> $2\sqrt{7}$

]]> Différence des carrés : $\sqrt{64 - 36}$ ne correspond à aucune étape
du calcul de distance.

]]> Géométrie repérée — Q31 : Vecteur directeur à partir de deux points Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,2)$ et
$B(5\,;\,4)$. Quel vecteur dirige la droite $(AB)$ ?

]]> Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}$, dont les
coordonnées valent $(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$. Tout vecteur
colinéaire à celui-ci dirige également la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(4\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$
s'obtiennent par différence, $5 - 1 = 4$ et
$4 - 2 = 2$.

]]> $\vec{u}(2\,;\,4)$

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse du vecteur se calcule avec
les abscisses des points, ce qui donne $4$.

]]> $\vec{u}(6\,;\,6)$

]]> Somme au lieu de la différence : un vecteur se lit
$x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, donc $(4\,;\,2)$.

]]> $\vec{u}(-4\,;\,2)$

]]> Soustraction prise à l'envers sur la première coordonnée :
$5 - 1$ vaut $4$, et non $-4$.

]]> Géométrie repérée — Q32 : Rayon d'un cercle passant par un point Le cercle de centre $\Omega(1\,;\,2)$ passe par le point
$A(4\,;\,6)$. Quel est son rayon ?

]]> Le rayon est la distance du centre à un point du cercle, soit
$\sqrt{(x_A - x_\Omega)^2 + (y_A - y_\Omega)^2}$. On le calcule
avant d'écrire l'équation, qui fait intervenir son carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le rayon vaut $\Omega A =
\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

]]> $25$

]]> Racine oubliée : $25$ est le carré du rayon, celui qui
figure au second membre de l'équation du cercle.

]]> $7$

]]> Écarts additionnés : une distance n'additionne pas les écarts,
elle prend la racine de la somme de leurs carrés.

]]> $4$

]]> Une seule direction prise en compte : les deux écarts
interviennent ensemble par le théorème de Pythagore.

]]> Géométrie repérée — Q33 : Équation d'une droite passant par deux points Quelle est une équation cartésienne de la droite passant par
$A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,5)$ ?

]]> On calcule d'abord $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$.
Le vecteur $(y_B - y_A\,;\,x_A - x_B)$ lui est orthogonal, donc
normal à la droite, et il fournit les coefficients de $x$ et de
$y$. La constante s'obtient en substituant un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x - 2y + 1 = 0$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,3)$ dirige la
droite, donc $(3\,;\,-2)$ lui est normal, et le point $A$
fixe la constante.

]]> $2x + 3y - 8 = 0$

]]> Vecteur directeur placé en coefficients : ce sont les
coordonnées d'un vecteur normal qui donnent $a$ et $b$.

]]> $3x - 2y - 1 = 0$

]]> Constante de signe contraire : en remplaçant par les
coordonnées de $A$, on obtient bien $1$.

]]> $-2x + 3y + 1 = 0$

]]> Coefficients permutés : cette droite est perpendiculaire à
celle que l'on cherche, et elle ne passe pas par $A$.

]]> Géométrie repérée — Q34 : Médiatrice d'un segment vertical On donne $A(3\,;\,1)$ et $B(3\,;\,7)$. Quelle est une
équation de la médiatrice de $[AB]$ ?

]]> La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu de $[AB]$ et lui est
perpendiculaire. Quand $A$ et $B$ ont la même abscisse, elle est
horizontale et son équation s'écrit directement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 4$

]]> Bonne réponse : le segment est vertical, sa médiatrice est donc
horizontale et passe par le milieu, d'ordonnée $4$.

]]> $x = 3$

]]> Il s'agit de la droite $(AB)$ elle-même : la médiatrice lui est
perpendiculaire, donc horizontale ici.

]]> $y = 8$

]]> Division oubliée : l'ordonnée du milieu est la demi-somme des
ordonnées, soit $4$.

]]> $x = 4$

]]> Bonne valeur, mauvais axe : une droite horizontale se décrit
par une équation portant sur $y$.

]]> Géométrie repérée — Q35 : Quatrième sommet d'un parallélogramme Dans un repère, $ABCD$ est un parallélogramme avec
$A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,2)$ et $C(5\,;\,5)$.
Quelles sont les coordonnées de $D$ ?

]]> L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ se traduit
coordonnée par coordonnée et donne
$D(x_A + x_C - x_B\,;\,y_A + y_C - y_B)$. Un contrôle rapide
consiste à vérifier que les diagonales ont le même milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $D(2\,;\,4)$

]]> Bonne réponse : $ABCD$ est un parallélogramme lorsque
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, ce qui conduit à
$D(2\,;\,4)$.

]]> $D(8\,;\,6)$

]]> Rôles permutés : ce point ferait de $A$ le quatrième sommet du
parallélogramme $BCDA$.

]]> $D(6\,;\,6)$

]]> Soustraction oubliée : les coordonnées de $B$ se retranchent de
la somme de celles de $A$ et de $C$.

]]> $D(0\,;\,-2)$

]]> Point retranché à tort : c'est $B$ qui se retranche, puisque
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.

]]> Géométrie repérée — Q36 : Lire l'équation d'une droite Repère orthonormé avec une droite bleue croissante qui passe par les deux points marqués (0 ; 1) et (3 ; 3). Elle coupe l'axe des abscisses en (-1,5 ; 0).

Quelle est une équation cartésienne de la droite $d$ tracée
ci-dessous ?

]]> On lit deux points à coordonnées entières, ici $(0\,;\,1)$ et
$(3\,;\,3)$. Le vecteur $(3\,;\,2)$ dirige la droite, donc
$(2\,;\,-3)$ lui est normal, et la constante se règle sur l'un des
deux points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x - 3y + 3 = 0$

]]> Bonne réponse : les deux points marqués vérifient cette
équation, puisque $-3 + 3 = 0$ et $6 - 9 + 3 = 0$.

]]> $3x - 2y + 2 = 0$

]]> Coefficients permutés : le point $(3\,;\,3)$ donnerait
$9 - 6 + 2 = 5$, différent de $0$.

]]> $2x + 3y - 3 = 0$

]]> Droite décroissante : avec ces coefficients, $y$ diminue quand
$x$ augmente, ce que la figure contredit.

]]> $-2x + 3y + 3 = 0$

]]> Constante mal corrigée : le point $(0\,;\,1)$ donne ici
$3 + 3 = 6$, donc la droite ne passe pas par lui.

]]> Géométrie repérée — Q37 : Paramètre et droites parallèles Les droites $d : 2x - 3y + 1 = 0$ et
$d' : 4x + m\,y - 5 = 0$ sont parallèles. Que vaut $m$ ?

]]> Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont
colinéaires, c'est-à-dire lorsque $ab' - a'b = 0$. Ici les
coefficients de $d'$ sont proportionnels à ceux de $d$, avec le
même facteur pour $x$ et pour $y$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-6$

]]> Bonne réponse : les coefficients de $d'$ sont ceux de $d$
multipliés par $2$, donc $m = 2 \times -3 = -6$.

]]> $6$

]]> Signe inversé : le facteur $2$ s'applique aux deux
coefficients sans en changer le signe.

]]> $-3$

]]> Facteur oublié : le coefficient de $x$ a été multiplié par
$2$, celui de $y$ doit l'être aussi.

]]> $3$

]]> Facteur oublié et signe changé : la condition de parallélisme
donne $2 \times m - 4 \times -3 = 0$.

]]> Géométrie repérée — Q38 : Rayon d'un cercle de diamètre donné Quel est le rayon du cercle de diamètre $[AB]$, avec
$A(-3\,;\,1)$ et $B(3\,;\,9)$ ?

]]> Le cercle de diamètre $[AB]$ a pour centre le milieu de $[AB]$ et
pour rayon la moitié de la longueur $AB$. Cette longueur se calcule
par la racine de la somme des carrés des écarts de coordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $AB = 10$, et le rayon en est la
moitié, soit $5$.

]]> $10$

]]> Diamètre pris pour le rayon : $[AB]$ traverse le cercle de part
en part, le rayon vaut sa moitié.

]]> $7$

]]> Écarts additionnés : la longueur $AB$ passe par la racine de la
somme des carrés, et vaut $10$.

]]> $100$

]]> Racine oubliée : cette valeur est le carré de $AB$, qui doit
encore être réduit à sa racine puis partagé en deux.

]]> Géométrie repérée — Q39 : Du centre et du rayon à la forme développée Le cercle de centre $\Omega(3\,;\,-2)$ a pour rayon $4$.
Quelle est son équation sous forme développée ?

]]> On part de $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on développe les deux
carrés, puis on ramène tout au premier membre. Les coefficients de
$x$ et de $y$ valent $-2a$ et $-2b$, et la constante $a^2 + b^2 -
r^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$

]]> Bonne réponse : en développant $(x - 3)^2 + (y + 2)^2
= 4^2$, les doubles produits donnent $-6x$ et $4y$.

]]> $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$

]]> Signes des doubles produits : le développement de
$(x - 3)^2$ fait apparaître $-6x$.

]]> $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 29 = 0$

]]> Rayon mal reporté : $4^2$ passe au premier membre, il se
retranche donc de la constante.

]]> $x^2 + y^2 - 3x + 2y - 3 = 0$

]]> Facteur $2$ oublié : le double produit vaut deux fois le
produit des deux termes, d'où $-6x$.

]]> Géométrie repérée — Q40 : Écrire la forme canonique d'un cercle Quelle est la forme canonique de l'équation
$x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ ?

]]> Compléter le carré consiste à écrire $x^2 + px = \left(x +
\frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4}$, puis de même pour $y$. Les
constantes retirées rejoignent le second membre, qui vaut alors
$r^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$

]]> Bonne réponse : les carrés complétés absorbent $-4x$ et
$6y$, et les constantes réunies au second membre donnent
$16$.

]]> $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

]]> Signes non inversés : $-4x$ provient de $(x - 2)^2$,
dont le centre a pour abscisse $2$.

]]> $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3$

]]> Constantes mal regroupées : les termes retirés par les carrés
complétés doivent aussi passer au second membre.

]]> $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$

]]> Rayon et carré confondus : $4$ est le rayon, alors que le
second membre porte son carré.

]]> Géométrie repérée — Q41 : Un cercle réduit à un point Que représente l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ vérifiant
$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$ ?

]]> Après complétion des carrés, le second membre décide : strictement
positif, l'ensemble est un cercle ; nul, il se réduit au centre ;
strictement négatif, il est vide. La conclusion ne se lit jamais
sur la forme développée seule.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le seul point $(2\,;\,-3)$

]]> Bonne réponse : la forme canonique s'écrit
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$, et une somme de carrés
est nulle seulement si chaque carré l'est.

]]> Un cercle de centre $(2\,;\,-3)$ et de rayon $13$

]]> Centre correct, rayon inventé : le second membre obtenu vaut
$0$, il n'y a donc aucun rayon strictement positif.

]]> Un cercle de rayon $13$

]]> Constante recopiée : $13$ disparaît lorsqu'on complète les
carrés, et le second membre devient nul.

]]> L'ensemble vide

]]> Cas voisin mais distinct : l'ensemble serait vide avec un
second membre strictement négatif, pas nul.

]]> Géométrie repérée — Q42 : Équation d'une tangente en un point Le point $A(4\,;\,6)$ appartient au cercle de centre
$\Omega(1\,;\,2)$. Quelle est l'équation de la tangente à ce
cercle en $A$ ?

]]> La tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et de vecteur
normal $\overrightarrow{\Omega A}$. Ses coefficients sont donc les
coordonnées de ce vecteur, et la constante s'obtient en
substituant les coordonnées de $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x + 4y - 36 = 0$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{\Omega A}(3\,;\,4)$ est
normal à la tangente, et le passage par $A$ fixe la constante.

]]> $-4x + 3y - 2 = 0$

]]> Droite $(\Omega A)$ : elle porte le rayon et traverse le
cercle, alors que la tangente lui est perpendiculaire.

]]> $3x + 4y + 36 = 0$

]]> Constante de signe contraire : le point $A$ doit annuler
l'expression, ce qui impose $-36$.

]]> $3x + 4y - 11 = 0$

]]> Point de passage erroné : la tangente touche le cercle en $A$,
elle ne passe pas par le centre $\Omega$.

]]> Géométrie repérée — Q43 : Intersection de deux droites Comment obtient-on les coordonnées du point d'intersection de deux
droites sécantes données par leurs équations cartésiennes ?

]]> Un point appartient à une droite lorsque ses coordonnées vérifient
son équation. Le point d'intersection vérifie les deux équations,
donc le système qu'elles forment, qui admet ici une solution
unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En résolvant le système formé par les deux équations

]]> Bonne réponse : le point commun est celui dont les coordonnées
vérifient les deux équations à la fois.

]]> En additionnant membre à membre les deux équations

]]> Cette somme fournit une troisième équation, qui ne suffit pas à
déterminer deux inconnues.

]]> En comparant les constantes des deux équations

]]> Les constantes situent les droites, elles ne livrent pas les
coordonnées de leur point commun.

]]> En calculant le produit scalaire des vecteurs normaux

]]> Ce calcul renseigne sur l'angle des deux droites, pas sur la
position de leur intersection.

]]> Géométrie repérée — Q44 : Ordonnée d'un point d'une droite La droite $d$ a pour équation $3x + 2y - 4 = 0$. Quelle
est l'ordonnée du point de $d$ d'abscisse $2$ ?

]]> Un point de $d$ d'abscisse donnée s'obtient en substituant cette
abscisse dans l'équation, puis en résolvant l'équation du premier
degré qui reste en $y$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : en remplaçant $x$ par $2$, l'équation
devient $6 + 2y - 4 = 0$, d'où $y = -1$.

]]> $1$

]]> Signe oublié : les termes connus changent de signe en passant
de l'autre côté de l'égalité.

]]> $-2$

]]> Division oubliée : il reste à diviser par le coefficient $2$
de $y$ pour isoler l'ordonnée.

]]> $0$

]]> Rôles échangés : c'est $x$ qui vaut $2$, donc le
remplacement se fait dans le terme en $x$.

]]> Géométrie repérée — Q45 : Retrouver une extrémité à partir du milieu Le point $I(5\,;\,3)$ est le milieu du segment $[AB]$, avec
$A(1\,;\,2)$. Quelles sont les coordonnées de $B$ ?

]]> Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées les demi-sommes de celles de
$A$ et de $B$. En renversant ces deux égalités, on obtient
$x_B = 2x_I - x_A$ et $y_B = 2y_I - y_A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $B(9\,;\,4)$

]]> Bonne réponse : de $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ on tire
$x_B = 2 \times 5 - 1 = 9$, et de même pour
l'ordonnée.

]]> $B(6\,;\,5)$

]]> Facteur $2$ oublié : le milieu est la demi-somme, donc
l'extrémité manquante vaut deux fois le milieu moins $A$.

]]> $B(-3\,;\,1)$

]]> Rôles permutés : ce point serait le symétrique de $I$ par
rapport à $A$, alors que c'est $A$ qui se réfléchit.

]]> $B(4\,;\,1)$

]]> Coordonnées de $\overrightarrow{AI}$ : ce vecteur donne un
déplacement, non la position du point cherché.

]]>