$course$/QCM de maths/Première spécialité/Calcul vectoriel et produit scalaire
Produit scalaire : projection orthogonale, formule avec le
cosinus, expression en base orthonormée, caractérisation de
l'orthogonalité, bilinéarité, développement de
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$, formule d'Al-Kashi, ensemble des
points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot
\overrightarrow{MB} = 0$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q01 : Produit scalaire en coordonnées
Dans un repère orthonormé du plan, on donne
$\vec{u}(2\,;\,3)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
En base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
Ici $-4 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-4$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' =
2 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 - 6 = -4$.]]>
$8$]]>
Erreur de signe : $3 \times (-2) = -6$, pas $+6$. Total :
$2 - 6 = -4$.]]>
$(2\,;\,-6)$]]>
Erreur de nature : le produit scalaire est un nombre
(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur.]]>
$4$]]>
Erreur : le résultat est bien $4$ en valeur absolue, mais
négatif : $2 - 6 = -4$ (l'angle entre les vecteurs
est obtus).]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q02 : Caractériser l'orthogonalité
À quelle condition deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?]]>
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}
= 0$ (via $\cos\frac{\pi}{2} = 0$). En coordonnées :
$xx' + yy' = 0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$]]>
Bonne réponse : la nullité du produit scalaire est la
caractérisation de l'orthogonalité : c'est son utilité
première.]]>
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$]]>
Erreur : la valeur $1$ n'a rien de spécial. L'angle droit
correspond à $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, donc à un produit
scalaire nul.]]>
$\vec{u} = -\vec{v}$]]>
Erreur : des vecteurs opposés sont colinéaires
(angle plat), le contraire de perpendiculaires.]]>
$\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$]]>
Erreur : l'égalité des longueurs ne dit rien de l'angle.
L'orthogonalité se teste par $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q03 : Formule avec le cosinus
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 3$,
$\|\vec{v}\| = 4$ et l'angle entre eux vaut
$\dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|
\cos(\vec{u}\,,\,\vec{v})$. Avec $\cos\frac{\pi}{3} =
\frac{1}{2}$ : $6$. Choisir la formule adaptée aux données
(normes et angle, coordonnées, ou projection) est la capacité
clé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} =
\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta = 3 \times 4 \times
\dfrac{1}{2} = 6$.]]>
$12$]]>
Oubli du cosinus : $12 = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$
correspondrait à des vecteurs colinéaires de même sens
($\cos 0 = 1$). Ici $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.]]>
$6\sqrt{3}$]]>
Erreur : tu as utilisé $\sin\dfrac{\pi}{3} =
\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le produit scalaire fait intervenir
le cosinus.]]>
$0$]]>
Erreur : le produit scalaire ne s'annule que pour un angle
droit ; or $\dfrac{\pi}{3} \neq \dfrac{\pi}{2}$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q04 : Signe du produit scalaire
Que peut-on dire du signe de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ selon
l'angle $\theta$ entre les deux vecteurs (non nuls) ?]]>
Lecture géométrique du signe : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ du
signe de $\cos\theta$. Aigu : positif ; droit : nul ; obtus :
négatif. La projection orthogonale raconte la même chose
(projeté du même côté ou non).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Positif si $\theta$ est aigu, nul si $\theta$ est droit,
négatif si $\theta$ est obtus]]>
Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui de
$\cos\theta$ : positif avant $\frac{\pi}{2}$, nul à
$\frac{\pi}{2}$, négatif au-delà.]]>
Toujours positif, comme toute « multiplication » de
longueurs]]>
Erreur : le facteur $\cos\theta$ peut être négatif :
deux vecteurs « qui se tournent le dos » ont un produit
scalaire négatif.]]>
Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant]]>
Erreur : les quadrants n'ont rien à voir : seul compte
l'angle entre les vecteurs (aigu ou obtus).]]>
Le signe dépend uniquement des normes]]>
Erreur : les normes sont toujours positives ; le signe
vient exclusivement du cosinus de l'angle.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q05 : Utiliser la bilinéarité
Sachant que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$, que vaut
$(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v})$ ?]]>
Bilinéarité : $(a\vec{u}) \cdot (b\vec{v}) = ab\,(\vec{u}
\cdot \vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :
$6 \times 3 = 18$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$18$]]>
Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :
$(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v}) = 2 \times 3 \times
(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 6 \times 3 = 18$.]]>
$6$]]>
Erreur : $6 = 2 \times 3$ oublie le produit scalaire
initial. Les trois nombres se multiplient :
$2 \times 3 \times 3 = 18$.]]>
$9$]]>
Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti
($3 \times 3$). Chaque coefficient sort : $2 \times 3
\times 3$.]]>
$3$]]>
Erreur : les coefficients $2$ et $3$ ne disparaissent
pas : le produit scalaire est linéaire en chacun de
ses arguments.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q06 : Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$
Soient $\|\vec{u}\| = 2$, $\|\vec{v}\| = 3$ et
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1$. Que vaut
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?]]>
Identité fondamentale : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 =
\|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
Lue à l'envers, elle définit le produit scalaire à partir
des normes (polarisation).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$15$]]>
Bonne réponse : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 +
2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2 = 4 + 2 + 9 = 15$.]]>
$13$]]>
Oubli du double produit : $4 + 9 = 13$ ne vaudrait que
pour des vecteurs orthogonaux (Pythagore). Ici
$2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = 2$ s'ajoute.]]>
$25$]]>
Erreur : $25 = (2+3)^2$ additionne les normes avant le
carré, ce qui supposerait des vecteurs colinéaires de
même sens. La formule exacte passe par le produit
scalaire.]]>
$14$]]>
Erreur : le double produit vaut $2 \times 1 = 2$, pas
$1$ : total $4 + 2 + 9 = 15$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q07 : Formule d'Al-Kashi
Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 3$, $AC = 4$ et
$\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}$. Que vaut $BC$ ?]]>
Al-Kashi (démonstration au programme, par le produit
scalaire) : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ : le
« Pythagore généralisé » aux triangles quelconques. Ici
$BC = \sqrt{13}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$BC = \sqrt{13}$]]>
Bonne réponse : Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 -
2 \times AB \times AC \times \cos\widehat{A} = 9 + 16 -
24 \times \dfrac{1}{2} = 13$.]]>
$BC = 5$]]>
Erreur : $25 = 9 + 16$ est le calcul de Pythagore,
valable seulement pour un angle droit en $A$. Ici
$\widehat{A} = \frac{\pi}{3}$ : le terme correctif
$-2bc\cos A$ retranche $12$.]]>
$BC = \sqrt{37}$]]>
Erreur de signe : $9 + 16 + 12 = 37$ ajoute le terme au
lieu de le retrancher. La formule porte un moins :
$b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.]]>
$BC = 13$]]>
Oubli de la racine : $13$ est $BC^2$. La longueur vaut
$\sqrt{13} \approx 3{,}6$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q08 : L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quel est
l'ensemble des points $M$ vérifiant
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ ?]]>
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0
\Leftrightarrow$ $M$ voit $[AB]$ sous un angle droit
$\Leftrightarrow$ $M$ appartient au cercle de diamètre
$[AB]$. Version vectorielle du théorème du cercle de Thalès.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le cercle de diamètre $[AB]$]]>
Bonne réponse : la nullité du produit scalaire signifie
que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ (ou que $M$ est
en $A$ ou $B$) : c'est le cercle de diamètre $[AB]$
(démonstration au programme).]]>
La médiatrice de $[AB]$]]>
Erreur : la médiatrice est l'ensemble des points
équidistants de $A$ et $B$ ($MA = MB$), une autre
condition.]]>
La droite $(AB)$]]>
Erreur : sur la droite $(AB)$ (hors segment), les
vecteurs $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$
sont colinéaires : produit scalaire non nul (sauf en $A$
et $B$).]]>
Le cercle de centre $A$ passant par $B$]]>
Erreur : ce cercle correspond à la condition $MA = AB$.
Notre condition parle d'un angle droit en $M$ :
cercle de diamètre $[AB]$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q09 : Produit scalaire par les normes
Soient $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 4$ et
$\|\vec{u} + \vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
Polarisation : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.
Le triplet $3$-$4$-$5$ redonne Pythagore : produit scalaire
nul, vecteurs orthogonaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$]]>
Bonne réponse : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2
\right) = \dfrac{25 - 9 - 16}{2} = 0$ : les vecteurs sont
orthogonaux. Le triangle $3$-$4$-$5$ est rectangle !]]>
$12$]]>
Erreur : $12 = 3 \times 4$ supposerait un angle nul.
La formule de polarisation donne $\frac{25 - 25}{2} = 0$.]]>
$25$]]>
Erreur : $25$ est $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$, une étape du
calcul, pas le produit scalaire.]]>
$-1$]]>
Carrés oubliés : $\frac{5 - 3 - 4}{2} = -1$ applique la
polarisation aux normes elles-mêmes ; elle porte sur
leurs carrés : $\frac{25 - 9 - 16}{2} = 0$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q10 : Retrouver un angle
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que
$\vec{u} \cdot \vec{v} = -6$, $\|\vec{u}\| = 2$ et
$\|\vec{v}\| = 6$. Que vaut l'angle $\theta$ entre les deux
vecteurs ?]]>
$\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,
\|\vec{v}\|}$ : ici $-\frac{1}{2}$, donc $\theta =
\frac{2\pi}{3}$. Le produit scalaire mesure les angles sans
rapporteur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$]]>
Bonne réponse : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{-6}{12} =
-\dfrac{1}{2}$, donc $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$
($120°$).]]>
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$]]>
Erreur de signe : $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$, négatif :
l'angle est obtus. $\frac{\pi}{3}$ correspond à
$+\frac{1}{2}$.]]>
$\theta = \dfrac{\pi}{2}$]]>
Erreur : l'angle droit exigerait un produit scalaire
nul ; ici il vaut $-6$.]]>
$\cos\theta = -6$]]>
Impossible : un cosinus reste entre $-1$ et $1$. Il faut
diviser par le produit des normes : $\frac{-6}{12} =
-\frac{1}{2}$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q11 : Déterminer un paramètre
Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,k)$ et
$\vec{v}(2\,;\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?]]>
Méthode : écrire la condition $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et
résoudre. $6 - k = 0 \Rightarrow k = 6$. (Ne pas confondre
avec le déterminant, qui teste la colinéarité.)]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$k = 6$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - k = 0
\Leftrightarrow k = 6$. Vérification :
$(3\,;\,6) \cdot (2\,;\,-1) = 6 - 6 = 0$.]]>
$k = -6$]]>
Erreur de signe : l'équation est $3 \times 2 + k \times
(-1) = 6 - k = 0$, donc $k = +6$.]]>
$k = \dfrac{3}{2}$]]>
Erreur : $\dfrac{3}{2}$ rendrait les vecteurs
colinéaires ($\det = 3 \times (-1) - k \times 2 = 0$
donne $k = -\frac{3}{2}$… vérifie ton critère). Pour
l'orthogonalité, on annule le produit scalaire.]]>
$k = 0$]]>
Erreur : avec $k = 0$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \neq
0$ : pas orthogonaux.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q12 : Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Quelle transformation de
l'expression $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$
est correcte (pour tout point $M$) ?]]>
Transformation au programme :
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
\frac{AB^2}{4}$ ($I$ milieu). On y lit le cercle de diamètre
$[AB]$ : produit nul $\Leftrightarrow MI = \frac{AB}{2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
\dfrac{AB^2}{4}$]]>
Bonne réponse : en insérant $I$ par Chasles,
$(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot
(\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB})$ se développe
en $MI^2 - IA^2$, et $IA = \dfrac{AB}{2}$.]]>
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 +
\dfrac{AB^2}{4}$]]>
Erreur de signe : $\overrightarrow{IA}$ et
$\overrightarrow{IB}$ sont opposés : leur produit
scalaire vaut $-IA^2$, d'où le moins.]]>
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MA^2 +
MB^2$]]>
Erreur : la somme des carrés des distances relève d'une
autre identité (théorème de la médiane). Le produit
scalaire se transforme en $MI^2 - IA^2$.]]>
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 -
AB^2$]]>
Erreur de facteur : c'est $IA^2 = \left(\dfrac{AB}{2}
\right)^2 = \dfrac{AB^2}{4}$ qui se retranche, pas
$AB^2$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q13 : Un produit scalaire en coordonnées
Soient $\vec{u}(3\ ;\ -1)$ et $\vec{v}(2\ ;\ 4)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
En repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ :
produits coordonnée à coordonnée, puis somme. Le résultat
est un réel (positif, négatif ou nul).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2$]]>
Bonne réponse : $xx' + yy' = 3 \times 2 + (-1) \times 4
= 6 - 4 = 2$.]]>
$10$]]>
Signe : $(-1) \times 4 = -4$, à soustraire : $6 - 4
= 2$.]]>
$(6\ ;\ -4)$]]>
Erreur de nature : le produit scalaire est un
nombre, pas un vecteur : on additionne les produits
de coordonnées.]]>
$14$]]>
Croisement : $3 \times 4 + (-1) \times 2 = 10$… non
plus : la formule apparie $x$ avec $x'$ et $y$ avec
$y'$, sans croiser.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q14 : Norme d'un vecteur
Que vaut la norme du vecteur $\vec{u}(3\ ;\ 4)$ ?]]>
$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ : Pythagore en habits
vectoriels. Lien avec le produit scalaire : $\|\vec{u}\|^2 =
\vec{u} \cdot \vec{u}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\|\vec{u}\| = 5$]]>
Bonne réponse : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ : le
triangle $3$-$4$-$5$ (Pythagore).]]>
$\|\vec{u}\| = 7$]]>
Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne les coordonnées : la
norme additionne leurs carrés puis prend la racine.]]>
$\|\vec{u}\| = 25$]]>
Racine oubliée : $25 = \|\vec{u}\|^2$ est le carré
scalaire : la longueur vaut $5$.]]>
$\|\vec{u}\| = 12$]]>
Erreur : $3 \times 4 = 12$ multiplie les coordonnées :
rien à voir avec la longueur.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q15 : Produit scalaire de vecteurs colinéaires
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens,
avec $\|\vec{u}\| = 2$ et $\|\vec{v}\| = 5$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ :
même sens ($\theta = 0$) : produit des normes ; sens
opposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères
mentaux du produit scalaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$10$]]>
Bonne réponse : angle nul, $\cos 0 = 1$ : le produit
scalaire atteint son maximum $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| =
10$.]]>
$-10$]]>
Sens : $-10$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens
contraires ($\cos \pi = -1$).]]>
$0$]]>
Erreur : $0$ signe l'orthogonalité : des vecteurs
alignés donnent au contraire le produit scalaire
extrême.]]>
$7$]]>
Erreur : $2 + 5 = 7$ additionne les normes : la formule
les multiplie (avec le cosinus, ici égal à $1$).]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q16 : Al-Kashi en action
Dans un triangle, $b = 3$, $c = 5$ et l'angle entre eux vaut
$60°$. Que vaut le côté opposé $a$ ?]]>
Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$ :
Pythagore corrigé par l'angle. Angle aigu : on retranche ;
obtus : on ajoute ; droit : correction nulle : Pythagore
redevient exact.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$a = \sqrt{19}$]]>
Bonne réponse : Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 -
2bc\cos 60° = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times
\dfrac{1}{2} = 34 - 15 = 19$.]]>
$a = \sqrt{34}$]]>
Pythagore appliqué à tort : $34 = 9 + 25$ vaudrait pour
un angle droit ; à $60°$, le terme correctif
$-2bc\cos 60° = -15$ s'impose.]]>
$a = \sqrt{49} = 7$]]>
Signe du correctif : $34 + 15 = 49$ correspondrait à
$\cos = -\frac{1}{2}$ ($120°$) : à $60°$, on
retranche.]]>
$a = 2$]]>
Cosinus oublié : $9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 = 4$ donne
$a = 2$ ; le terme correctif vaut $2bc\cos 60° = 15$, pas
$30$, d'où $a = \sqrt{19} \approx 4{,}36$ (bien compris
entre $c - b = 2$ et $c + b = 8$).]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q17 : Retrouver l'angle par le cosinus
Soient $\vec{u}(1\ ;\ 2)$ et $\vec{v}(3\ ;\ 1)$. Que vaut
l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?]]>
Protocole : produit scalaire en coordonnées, normes, puis
$\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}
{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$, et reconnaissance de la valeur
remarquable ($\frac{\sqrt{2}}{2} \to 45°$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$45°$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 + 2 = 5$,
normes $\sqrt{5}$ et $\sqrt{10}$ : $\cos\theta =
\frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $45°$.]]>
$60°$]]>
Valeur croisée : $\cos 60° = \frac{1}{2} = 0{,}5$, or le
calcul donne $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ :
c'est $45°$.]]>
$90°$]]>
Erreur : le produit scalaire vaut $5 \neq 0$ : les
vecteurs ne sont pas orthogonaux.]]>
$135°$]]>
Signe faux : $135°$ correspondrait à $\cos\theta =
-\frac{\sqrt{2}}{2}$, donc à un produit scalaire négatif ;
or $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times 1 = 5 >
0$ (ne pas le confondre avec $1 \times 1 - 2 \times 3 =
-5$, qui n'est pas le produit scalaire) : l'angle est aigu.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q18 : Produit scalaire par projection
$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$,
et $H$ appartient à la demi-droite $[AB)$. Que vaut
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?]]>
Formule du projeté : $\overrightarrow{AB} \cdot
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot
\overrightarrow{AH} = \pm AB \times AH$ (signe selon la
position de $H$ par rapport à $A$). La vision géométrique du
produit scalaire : longueur × ombre portée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$AB \times AH$]]>
Bonne réponse : la projection remplace
$\overrightarrow{AC}$ par son ombre
$\overrightarrow{AH}$ sur la droite $(AB)$ : produit des
longueurs, positif car $H$ est du côté de $B$.]]>
$AB \times AC$]]>
Projection oubliée : $AB \times AC$ vaudrait pour des
vecteurs alignés : en général, seule la composante
projetée $AH$ compte.]]>
$AB \times HC$]]>
Mauvais segment : $HC$ est la partie perpendiculaire,
celle qui ne contribue en rien au produit scalaire.]]>
$0$, car $H$ est un projeté orthogonal]]>
Confusion : l'orthogonalité est entre $(CH)$ et $(AB)$ :
le produit $\overrightarrow{AB} \cdot
\overrightarrow{AC}$, lui, capte la partie alignée $AH
\neq 0$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q19 : Paramètre d'orthogonalité
Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ m)$ et
$\vec{v}(3\ ;\ -1)$ sont-ils orthogonaux ?]]>
Orthogonalité $\iff xx' + yy' = 0$ : avec un paramètre,
cette condition devient une équation à résoudre. Le contrôle
final : $\vec{u}(2\ ;\ 6) \cdot \vec{v}(3\ ;\ -1) = 6 - 6 =
0$ ✓.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$m = 6$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 - m = 0 \iff
m = 6$ : l'orthogonalité se traduit en équation, d'une
inconnue ici.]]>
$m = -6$]]>
Signe : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 3 + m \times
(-1) = 6 - m$ : s'annule pour $m = +6$.]]>
$m = \dfrac{2}{3}$]]>
Confusion avec la colinéarité : $\frac{2}{3}$ sortirait
d'une proportionnalité : l'orthogonalité annule le
produit scalaire.]]>
Aucune valeur ne convient]]>
Erreur : l'équation $6 - m = 0$ a une solution : en
dimension $2$, on peut toujours ajuster une coordonnée
pour créer l'angle droit.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q20 : Produit scalaire par la norme d'une différence
On connaît $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 2$ et
$\|\vec{u} - \vec{v}\| = 4$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 +
\|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2\right)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-\dfrac{3}{2}$]]>
Bonne réponse : $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 -
2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$, soit
$16 = 13 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v}$.]]>
$\dfrac{3}{2}$]]>
Erreur de signe : avec une différence, le double produit est
précédé d'un signe moins.]]>
$-3$]]>
Erreur : le double produit doit être divisé par $2$.]]>
$-1$]]>
Erreur : ce sont les carrés des normes qui interviennent, pas
les normes elles-mêmes.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q21 : Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle
Un triangle a pour côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Que
vaut l'angle $\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) ?]]>
Forme inversée d'Al-Kashi : $\cos\widehat{A} = \frac{b^2 +
c^2 - a^2}{2bc}$ : l'angle opposé au côté isolé au
numérateur. Avec les trois côtés, on obtient tous les angles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$60°$]]>
Bonne réponse : Al-Kashi inversé : $\cos\widehat{A} =
\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 64 - 49}{2
\times 5 \times 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$ : angle
de $60°$.]]>
$30°$]]>
Valeur croisée : $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx
0{,}87 \neq 0{,}5$ : le calcul donne $\frac{1}{2}$,
donc $60°$.]]>
$90°$]]>
Test de Pythagore : $5^2 + 8^2 = 89 \neq 49$ : pas
d'angle droit en $A$ (le cosinus calculé, $0{,}5$, n'est
pas nul).]]>
$120°$]]>
Signe inversé : $120°$ correspondrait à $\cos\widehat{A}
= -\frac{1}{2}$, ce que donne $\frac{a^2 - b^2 - c^2}{2bc}
= \frac{49 - 89}{80}$ ; dans la formule, c'est le carré du
côté opposé qui porte le signe moins : $\frac{25 + 64 -
49}{80} = \frac{1}{2}$, angle aigu.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q22 : L'ensemble $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$
$A$ est un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est
l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}
\cdot \vec{u} = 0$ ?]]>
Lignes de niveau du chapitre : $\overrightarrow{AM} \cdot
\vec{u} = 0$ : droite (normale $\vec{u}$) ;
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ : cercle
de diamètre $[AB]$ ; $AM = r$ : cercle. Reconnaître la
structure avant de calculer.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{u}$]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{AM}$ doit rester
orthogonal à $\vec{u}$ : $M$ décrit la droite passant
par $A$ perpendiculaire à la direction de $\vec{u}$.]]>
La droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur
$\vec{u}$]]>
Contresens : sur cette droite, $\overrightarrow{AM}$ est
colinéaire à $\vec{u}$ : produit scalaire maximal
(en valeur absolue), pas nul.]]>
Le cercle de centre $A$ et de rayon $\|\vec{u}\|$]]>
Erreur : un cercle sortirait d'une condition de
distance ($AM = r$) ; ici la condition est
d'orthogonalité : une droite.]]>
Le seul point $A$, où $\overrightarrow{AM}$ est nul]]>
Trop pauvre : $A$ convient ($\overrightarrow{AA} =
\vec{0}$), mais tout point de la perpendiculaire aussi :
l'ensemble est une droite entière.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q23 : L'identité du parallélogramme
Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 + \|\vec{u} -
\vec{v}\|^2$ ?]]>
Identité du parallélogramme : la somme des carrés des deux
diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.
Démonstration en deux lignes par développement : l'archétype
du calcul vectoriel efficace.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{v}\|^2$]]>
Bonne réponse : en développant les deux carrés, les
doubles produits $+2\vec{u}\cdot\vec{v}$ et
$-2\vec{u}\cdot\vec{v}$ s'annulent : restent les carrés,
deux fois chacun.]]>
$\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$]]>
Erreur : chaque carré de norme apparaît dans les
deux développements, il faut donc le compter deux
fois : $2\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{v}\|^2$.]]>
$4\,\vec{u} \cdot \vec{v}$]]>
C'est la différence des deux carrés qui isole le
produit scalaire : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 -
\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = 4\vec{u}\cdot\vec{v}$.]]>
$2\|\vec{u}\|^2 - 2\|\vec{v}\|^2$]]>
Signe : les deux développements donnent
$+\|\vec{v}\|^2$ : la somme totale les additionne, sans
soustraction.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q24 : Peut-on simplifier par $\vec{u}$ ?
On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$
avec $\vec{u} \neq \vec{0}$. Peut-on conclure $\vec{v} =
\vec{w}$ ?]]>
Pas de « division » par un vecteur : $\vec{u} \cdot \vec{v}
= \vec{u} \cdot \vec{w} \iff \vec{u} \perp (\vec{v} -
\vec{w})$. Le produit scalaire ne voit que l'ombre portée
sur $\vec{u}$ : deux vecteurs différents peuvent projeter la
même ombre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, seulement $\vec{u} \perp (\vec{v} - \vec{w})$]]>
Bonne réponse : l'égalité équivaut à $\vec{u} \cdot
(\vec{v} - \vec{w}) = 0$ : la différence peut être
n'importe quel vecteur orthogonal à $\vec{u}$, pas
seulement le vecteur nul.]]>
Oui, on simplifie par $\vec{u}$ comme avec des nombres]]>
Le piège exact : le produit scalaire n'est pas une
multiplication de nombres : il « écrase » la composante
orthogonale, qui reste donc libre : pas de
simplification.]]>
Oui, à condition que $\vec{u}$ soit unitaire]]>
Erreur : la norme de $\vec{u}$ ne change rien : même
unitaire, $\vec{u}$ ignore tout ce qui lui est
orthogonal.]]>
Non, sauf si $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont opposés]]>
Erreur : le cas d'égalité n'a rien à voir avec des
opposés : la conclusion correcte est l'orthogonalité de
$\vec{u}$ et $\vec{v} - \vec{w}$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q25 : Un vecteur multiplié par lui-même
À quoi le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{u}$ est-il égal ?]]>
Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même, appelé carré scalaire, vaut
le carré de sa norme. C'est le pont entre produits scalaires et longueurs.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Au carré de la norme de $\vec{u}$]]>
Bonne réponse : l'angle entre le vecteur et lui-même est nul, donc le
cosinus vaut $1$ et il reste le produit des deux normes.]]>
À la norme de $\vec{u}$]]>
Un carré est oublié : pour $\vec{u}(3\,;\,4)$, le produit scalaire vaut
$25$ alors que la norme vaut $5$.]]>
Au double de la norme de $\vec{u}$]]>
Les deux normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas : le même
exemple donnerait $10$ au lieu de $25$.]]>
À zéro, par orthogonalité]]>
Un vecteur non nul n'est jamais orthogonal à lui-même : l'angle vaut
$0$, pas un angle droit.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q26 : Développer une différence
Quel développement de $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ est correct ?]]>
Le carré scalaire se développe comme un carré algébrique, à condition de
remplacer le double produit par $2\vec{u} \cdot \vec{v}$. C'est de là que
vient la formule d'Al-Kashi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$]]>
Bonne réponse : le carré scalaire se développe comme une identité
remarquable, le double produit devenant un produit scalaire.]]>
$\|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$]]>
Identité confondue : cette expression développerait
$(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$.]]>
$\|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$]]>
Signe du double produit : c'est le développement de
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$.]]>
$\|\vec{u}\|^2 - 2\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| + \|\vec{v}\|^2$]]>
Produit scalaire remplacé par un produit de normes : les deux ne
coïncident que si les vecteurs sont colinéaires de même sens.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q27 : Un produit scalaire négatif
Que peut-on dire de l'angle entre deux vecteurs non nuls dont le
produit scalaire est négatif ?]]>
Avec $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times
\cos\theta$, les normes étant positives, le signe du produit scalaire est
exactement celui du cosinus de l'angle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il est obtus]]>
Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui du cosinus, qui
est négatif pour un angle supérieur à un angle droit.]]>
Il est aigu]]>
Un angle aigu a un cosinus positif, donc un produit scalaire positif.]]>
Il est droit]]>
Un angle droit annule le produit scalaire : il serait nul, pas
négatif.]]>
Il est nul]]>
Un angle nul donne le produit des normes, une valeur strictement
positive.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q28 : Un ensemble de points défini par une distance
Quel est l'ensemble des points $M$ tels que
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$, avec $A$ et $B$
distincts ?]]>
Un produit scalaire nul traduit une orthogonalité. Ici le vecteur
$\overrightarrow{AB}$ est fixé, donc l'ensemble cherché est une droite,
alors qu'un vecteur variable des deux côtés donnerait un cercle.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$]]>
Bonne réponse : la condition impose à $\overrightarrow{AM}$ d'être
orthogonal à $\overrightarrow{AB}$, ou nul.]]>
Le cercle de diamètre $[AB]$ privé de $A$]]>
Ce cercle correspond à la condition
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$, où l'angle droit
est en $M$.]]>
La médiatrice du segment $[AB]$ tout entière]]>
La médiatrice s'obtient par une condition d'égalité de distances, pas
par un produit scalaire nul.]]>
Le seul point $A$, les autres ne conviennent pas]]>
Tout point $M$ tel que $(AM)$ soit perpendiculaire à $(AB)$ convient,
et il y en a une infinité.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q29 : Orthogonalité en coordonnées
Les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(4\,;\,6)$ sont-ils
orthogonaux ?]]>
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire vaut $xx' + yy'$. Il est nul
si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, leur produit scalaire est nul]]>
Bonne réponse : $3 \times 4 + (-2) \times 6 = 12 - 12 = 0$.]]>
Non, leur produit scalaire vaut $24$]]>
Ce résultat vient d'une somme de produits sans tenir compte du signe
négatif de la seconde coordonnée.]]>
Non, ils ne sont pas de même norme]]>
L'orthogonalité ne dépend pas des normes : deux vecteurs de longueurs
très différentes peuvent être perpendiculaires.]]>
Non, leur déterminant est non nul]]>
Un déterminant non nul signale l'absence de colinéarité, ce qui est
compatible avec l'orthogonalité.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q30 : Calculer une longueur par le produit scalaire
Dans un triangle, $AB = 5$, $AC = 8$ et l'angle en $A$ mesure
$60$ degrés. Que vaut $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?]]>
La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times
\cos\theta$ relie produit scalaire, longueurs et angle. Elle sert ensuite,
via Al-Kashi, à calculer le troisième côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$20$]]>
Bonne réponse : $5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 40 \times
\dfrac{1}{2}$.]]>
$40$]]>
Cosinus oublié : $40$ est le produit des deux longueurs, qui ne vaut le
produit scalaire que pour un angle nul.]]>
$13$]]>
Longueurs additionnées : le produit scalaire les multiplie.]]>
$34{,}6$]]>
Cosinus confondu avec le sinus : $\sin 60^\circ$ vaut environ
$0{,}87$, et cette valeur sert pour une aire, pas pour un produit
scalaire.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q31 : Produit scalaire à partir de trois points
Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,2)$,
$B(5\,;\,3)$ et $C(2\,;\,6)$. Que vaut
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?]]>
On calcule d'abord les coordonnées des vecteurs, par
différence entre l'extrémité et l'origine, puis on applique
$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ en base orthonormée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$8$]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}(4\,;\,1)$ et
$\overrightarrow{AC}(1\,;\,4)$, donc le produit
vaut $4 \times 1 + 1 \times 4 = 8$.]]>
$28$]]>
Coordonnées des points utilisées telles quelles : il faut
d'abord celles des vecteurs, obtenues en retranchant
celles de $A$.]]>
$0$]]>
Les deux produits se somment : la formule est
$xx' + yy'$, et non $xx' - yy'$.]]>
$15$]]>
Coordonnées croisées : $xy' - yx'$ mesure un déterminant,
qui sert à la colinéarité, pas au produit scalaire.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q32 : Norme déduite du carré scalaire
Un vecteur $\vec{u}$ vérifie $\vec{u} \cdot \vec{u} = 49$.
Que vaut $\|\vec{u}\|$ ?]]>
Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme :
$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$. On remonte donc à la
norme par une racine carrée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$,
donc $\|\vec{u}\| = \sqrt{49} = 7$.]]>
$49$]]>
C'est le carré de la norme : la racine carrée a été
oubliée en fin de calcul.]]>
$24{,}5$]]>
Division par $2$ au lieu d'une racine carrée : le carré
n'est pas un doublement.]]>
$14$]]>
Racine correcte, mais doublée sans raison : rien dans la
relation $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ ne fait
apparaître de facteur $2$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q33 : Vecteurs colinéaires de sens contraires
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de
sens contraires, avec $\|\vec{u}\| = 3$ et
$\|\vec{v}\| = 4$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
Pour des vecteurs colinéaires, la formule
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|
\times \cos\theta$ donne $\cos\theta = 1$ de même sens et
$\cos\theta = -1$ de sens contraires.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-12$]]>
Bonne réponse : l'angle vaut $\pi$, donc
$\cos\theta = -1$ et le produit vaut
$-3 \times 4 = -12$.]]>
$12$]]>
C'est la valeur obtenue pour des vecteurs de même
sens, où l'angle est nul et le cosinus vaut $1$.]]>
$-7$]]>
Les normes se multiplient, elles ne s'additionnent pas
dans la formule avec le cosinus.]]>
$0$]]>
Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité : ici
les vecteurs sont au contraire alignés.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q34 : Développer $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$
On sait que $\|\vec{u}\|^2 = 25$, $\|\vec{v}\|^2 = 9$ et
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$. Que vaut
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ ?]]>
La bilinéarité permet de développer comme une identité
remarquable :
$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) =
\|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$, les termes croisés se
compensant car le produit scalaire est symétrique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$16$]]>
Bonne réponse : en développant, les deux termes croisés
se compensent et il reste
$\|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = 25 - 9 = 16$.]]>
$34$]]>
Signe du second facteur oublié : c'est une différence de
carrés, donc $25 - 9$.]]>
$10$]]>
Les termes croisés ont été comptés deux fois dans le même
sens : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et
$-\vec{v} \cdot \vec{u}$ s'annulent.]]>
$6$]]>
Seuls les termes croisés ont été gardés, alors que ce
sont justement eux qui disparaissent.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q35 : Produit scalaire avec un angle obtus
Deux vecteurs vérifient $\|\vec{u}\| = 4$,
$\|\vec{v}\| = 6$ et forment un angle de
$\dfrac{3\pi}{4}$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?]]>
La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times
\|\vec{v}\| \times \cos\theta$ s'applique quel que soit
l'angle. Un angle obtus donne un cosinus négatif, donc un
produit scalaire négatif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-12\sqrt{2}$]]>
Bonne réponse : $\cos\dfrac{3\pi}{4} =
-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc le produit vaut
$4 \times 6 \times
\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -12\sqrt{2}$.]]>
$12\sqrt{2}$]]>
Signe du cosinus oublié : l'angle est obtus, son cosinus
est négatif, donc le produit scalaire l'est aussi.]]>
$-24\sqrt{2}$]]>
Le dénominateur $2$ du cosinus a été perdu :
$\cos\dfrac{3\pi}{4}$ vaut $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, et non
$-\sqrt{2}$.]]>
$-12\sqrt{3}$]]>
Angle confondu avec $\dfrac{5\pi}{6}$, dont le cosinus
vaut $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q36 : Angle obtus entre deux vecteurs
Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(3\,;\,0)$ et
$\vec{v}(-1\,;\,1)$. Que vaut l'angle entre $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ ?]]>
On calcule le produit scalaire et les deux normes, puis on
isole $\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}
{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}$ avant de reconnaître une
valeur remarquable.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{3\pi}{4}$]]>
Bonne réponse : $\vec{u} \cdot \vec{v} = -3$,
$\|\vec{u}\| = 3$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{2}$, donc
$\cos\theta = \dfrac{-3}{3\sqrt{2}} =
-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.]]>
$\dfrac{\pi}{4}$]]>
Signe négligé : le produit scalaire vaut $-3$, donc le
cosinus est négatif et l'angle dépasse
$\dfrac{\pi}{2}$.]]>
$\dfrac{\pi}{2}$]]>
L'angle serait droit si le produit scalaire était nul :
ici il vaut $-3$.]]>
L'angle n'est pas une valeur remarquable]]>
Le calcul aboutit pourtant à $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, qui
est bien le cosinus d'un angle remarquable.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q37 : Al-Kashi avec un angle obtus
Dans un triangle $ABC$, on donne $AC = 3$, $AB = 5$ et
$\widehat{A} = \dfrac{2\pi}{3}$. Que vaut $BC^2$ ?]]>
La formule d'Al-Kashi s'écrit
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$. Avec un angle obtus,
le cosinus est négatif et le dernier terme s'ajoute, ce qui
allonge le côté opposé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$49$]]>
Bonne réponse : $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$,
donc $BC^2 = 3^2 + 5^2 + 3 \times 5 = 49$.]]>
$19$]]>
Signe du cosinus négligé : l'angle est obtus, le terme
$-2bc\cos\widehat{A}$ devient positif.]]>
$34$]]>
C'est le théorème de Pythagore, valable seulement si
l'angle en $A$ est droit.]]>
$64$]]>
Le facteur $\cos\widehat{A} = -\dfrac{1}{2}$ a été
remplacé par $-1$ : le terme correctif vaut $bc$, pas
$2bc$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q38 : Reconnaître un angle obtus
Un triangle a pour longueurs de côtés $a = 7$, $b = 3$ et
$c = 5$. Que vaut l'angle $\widehat{A}$, opposé au côté
$a$ ?]]>
En isolant le cosinus dans la formule d'Al-Kashi, on obtient
$\cos\widehat{A} = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Son signe
indique aussitôt si l'angle est aigu ou obtus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{2\pi}{3}$]]>
Bonne réponse : Al-Kashi donne
$\cos\widehat{A} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}$,
d'où $\widehat{A} = \dfrac{2\pi}{3}$.]]>
$\dfrac{\pi}{3}$]]>
Signe du cosinus perdu : $\dfrac{-15}{30}$ est
négatif, et seul un angle obtus a un cosinus négatif.]]>
$\dfrac{\pi}{2}$]]>
L'angle serait droit si $a^2 = b^2 + c^2$, ce qui n'est
pas le cas ici.]]>
Un tel triangle ne peut pas exister]]>
L'inégalité triangulaire est pourtant respectée, puisque
$3 + 5$ dépasse $7$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q39 : Projection hors de la demi-droite
Le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ est un
point $H$ tel que $AH = 2$, situé en dehors de la
demi-droite $[AB)$. Sachant que $AB = 6$, que vaut
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ ?]]>
Le produit $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
vaut $\overline{AH} \times AB$, où $\overline{AH}$ est une
mesure algébrique : positive si $H$ est du côté de $B$,
négative sinon.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-12$]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{AH}$ et
$\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires, donc le
produit vaut $-6 \times 2 = -12$.]]>
$12$]]>
Position de $H$ négligée : hors de $[AB)$, la mesure
algébrique est négative, donc le produit aussi.]]>
$-8$]]>
Les deux longueurs se multiplient, elles ne
s'additionnent pas.]]>
$-3$]]>
Quotient au lieu d'un produit : la projection donne
$\overline{AH} \times AB$.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q40 : Un paramètre dans les deux vecteurs
Pour quelles valeurs de $t$ les vecteurs
$\vec{u}(t\,;\,3)$ et $\vec{v}(t\,;\,-12)$ sont-ils
orthogonaux ?]]>
L'orthogonalité équivaut à un produit scalaire nul. Ici la
condition porte sur $t^2$, donc la résolution donne deux
valeurs opposées, à ne pas réduire à une seule.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$t = 6$ ou $t = -6$]]>
Bonne réponse : la condition s'écrit
$t^2 - 36 = 0$, équation qui admet les deux
solutions opposées $6$ et $-6$.]]>
$t = 6$ seulement]]>
Une seule solution retenue : l'équation $t^2 = 36$
en admet deux, opposées l'une de l'autre.]]>
$t = 36$]]>
C'est la valeur de $t^2$, pas celle de $t$ : la racine
carrée a été oubliée.]]>
Aucune valeur de $t$ ne convient]]>
L'équation $t^2 = 36$ a bien des solutions, car
$36$ est positif.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q41 : Calcul avec le milieu de $[AB]$
Soit $I$ le milieu d'un segment $[AB]$ de longueur $8$. Un
point $M$ vérifie $MI = 5$. Que vaut
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ ?]]>
En introduisant le milieu $I$, on écrit
$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} +
\overrightarrow{IA}$ et
$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} -
\overrightarrow{IA}$, ce qui donne
$MI^2 - IA^2$, avec $IA = \dfrac{AB}{2}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$]]>
Bonne réponse : $\overrightarrow{MA} \cdot
\overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} =
5^2 - 4^2 = 9$.]]>
$41$]]>
Addition au lieu d'une soustraction : la moitié de $AB$
se retranche.]]>
$-39$]]>
C'est $AB$ entier qui a été élevé au carré : la formule
fait intervenir la demi-longueur $IA = 4$.]]>
$-9$]]>
Les deux termes ont été intervertis : c'est $MI^2$ qui
vient en premier.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q42 : Un point sur le cercle de diamètre $[AB]$
Le point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ et il
est distinct de $A$ et de $B$. Que vaut
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ ?]]>
L'ensemble des points $M$ tels que
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est
exactement le cercle de diamètre $[AB]$. Appartenir à ce
cercle et annuler ce produit sont donc équivalents.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0$, car l'angle $\widehat{AMB}$ est droit]]>
Bonne réponse : un point du cercle de diamètre $[AB]$
voit ce diamètre sous un angle droit, donc les deux
vecteurs sont orthogonaux.]]>
$AB^2$, soit le carré du diamètre]]>
Cette valeur serait celle de
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}$ : ici les
vecteurs partent tous deux de $M$.]]>
$MA \times MB$, les vecteurs étant alignés]]>
Les vecteurs ne sont pas colinéaires : $M$ n'est pas sur
la droite $(AB)$, puisqu'il diffère de $A$ et de $B$.]]>
$-\dfrac{AB^2}{4}$, valeur prise au centre]]>
C'est la valeur obtenue lorsque $M$ est le centre du
cercle, qui n'appartient pas au cercle lui-même.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q43 : Une ligne de niveau non nulle
Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Quel est l'ensemble
des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot
\overrightarrow{AB} = \dfrac{AB^2}{2}$ ?]]>
Une ligne de niveau $\overrightarrow{AM} \cdot
\overrightarrow{AB} = k$ est toujours une droite
perpendiculaire à $(AB)$. La valeur de $k$ ne fait que
choisir le point de $(AB)$ par lequel elle passe.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La médiatrice du segment $[AB]$]]>
Bonne réponse : le produit vaut $\overline{AH} \times AB$
avec $H$ projeté de $M$, donc $AH = \dfrac{AB}{2}$ et
$H$ est le milieu de $[AB]$.]]>
Le cercle de diamètre $[AB]$]]>
Ce cercle est l'ensemble obtenu pour
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$,
avec deux vecteurs issus de $M$.]]>
La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$]]>
Cette droite correspond au second membre $0$ : ici le
projeté doit être à mi-chemin, pas en $A$.]]>
La parallèle à $(AB)$ passant par le milieu de $[AB]$]]>
Cette droite est $(AB)$ elle-même : un produit scalaire
constant impose au contraire une perpendiculaire.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q44 : Un côté déduit des diagonales
Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales mesurent
$AC = 14$ et $BD = 8$, et le côté $AB$ mesure $7$.
Que vaut $AD$ ?]]>
L'identité du parallélogramme s'écrit
$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$. Elle permet de retrouver un
côté dès que l'on connaît les deux diagonales et l'autre
côté.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9$]]>
Bonne réponse : $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ donne
$AD^2 = 81$, donc $AD = 9$.]]>
$4$]]>
Les diagonales ont été moyennées : l'identité porte sur
les carrés des longueurs, pas sur les longueurs.]]>
$7$]]>
C'est la demi-diagonale $AO$, qui relie un sommet au
point d'intersection des diagonales, et non un côté.]]>
$81$]]>
C'est $AD^2$ : la racine carrée a été oubliée à la
dernière étape.]]>
Calcul vectoriel et produit scalaire — Q45 : Un produit scalaire nul
On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Peut-on en conclure
que $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ ?]]>
Un produit scalaire nul caractérise l'orthogonalité, y
compris pour des vecteurs non nuls. La règle du produit nul,
valable dans les réels, ne se transpose donc pas au produit
scalaire.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, ils peuvent simplement être orthogonaux]]>
Bonne réponse : deux vecteurs non nuls perpendiculaires
ont un produit scalaire nul, par exemple
$\vec{u}(1\,;\,0)$ et $\vec{v}(0\,;\,1)$.]]>
Oui, un produit nul entraîne un facteur nul]]>
Cette règle vaut pour le produit de deux nombres : le
produit scalaire de deux vecteurs ne la suit pas.]]>
Oui, car le produit scalaire est un nombre réel]]>
Le résultat est bien un nombre, mais les facteurs sont
des vecteurs, ce qui change la règle applicable.]]>
Non, sauf si les deux vecteurs sont unitaires]]>
La norme ne joue aucun rôle ici : deux vecteurs
unitaires perpendiculaires ont aussi un produit nul.]]>