$course$/QCM de maths/Première spécialité/Le second degré Trinôme du second degré : forme canonique, discriminant, racines,
factorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme,
parabole (sommet, orientation, lectures graphiques).

]]> Le second degré — Q01 : Calculer un discriminant Quel est le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ ?

]]> Pour $ax^2 + bx + c$ : $\Delta = b^2 - 4ac$. Avec $a = 2$,
$b = -3$, $c = 1$ : $\Delta = 9 - 8 = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\Delta = 1$

]]> Bonne réponse : $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2
\times 1 = 9 - 8 = 1$.

]]> $\Delta = 17$

]]> Erreur de signe : $9 + 8 = 17$ correspond à $b^2 + 4ac$. La
formule est $b^2 - 4ac$, avec un moins.

]]> $\Delta = -1$

]]> Erreur : $4ac - b^2 = -1$ inverse les deux termes. C'est
$b^2$ qui vient en premier : $b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1$.

]]> $\Delta = 3$

]]> Erreur : tu as sans doute utilisé $b$ au lieu de $b^2$.
Ici $b = -3$ donc $b^2 = 9$, et $\Delta = 9 - 8 = 1$.

]]> Le second degré — Q02 : Calculer les racines Quelles sont les racines du trinôme $2x^2 - 3x + 1$
(on rappelle que $\Delta = 1$) ?

]]> $\Delta = 1 > 0$ : deux racines
$x = \dfrac{3 \pm 1}{2 \times 2}$, soit $x_1 = \dfrac{1}{2}$ et
$x_2 = 1$. Vérification : $2 \times 1 - 3 + 1 = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x_1 = \dfrac{1}{2}$ et $x_2 = 1$

]]> Bonne réponse : $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
= \dfrac{3 \pm 1}{4}$, soit $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$
et $\dfrac{4}{4} = 1$.

]]> $x_1 = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = -1$

]]> Erreur de signe : $-b = -(-3) = +3$. Le numérateur est
$3 \pm 1$, pas $-3 \pm 1$.

]]> $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$

]]> Erreur de dénominateur : tu as divisé par $2$ au lieu de
$2a = 4$. La formule est $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

]]> Le trinôme n'a pas de racine réelle

]]> Erreur : $\Delta = 1 > 0$, donc il y a exactement deux
racines réelles distinctes.

]]> Le second degré — Q03 : Sommet et forme canonique Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. Quelles sont les coordonnées du
sommet de la parabole représentant $f$ ?

]]> Forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ : le sommet de
la parabole est $S(\alpha\,;\,\beta)$. Ici $\alpha = 2$ et
$\beta = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : sous la forme canonique
$a(x - \alpha)^2 + \beta$, le sommet est $(\alpha\,;\,\beta)$,
ici $(2\,;\,3)$.

]]> $(-2\,;\,3)$

]]> Erreur de signe classique : dans $(x - \alpha)^2$, on lit
$\alpha = 2$ car $x - 2 = x - \alpha$. Le signe moins
fait que l'abscisse du sommet est $+2$.

]]> $(2\,;\,-3)$

]]> Erreur : $\beta = +3$ se lit directement, sans changement de
signe. Seul $\alpha$ est affecté par le moins de la formule.

]]> $(3\,;\,2)$

]]> Erreur d'inversion : $\alpha = 2$ est l'abscisse et
$\beta = 3$ l'ordonnée du sommet, pas l'inverse.

]]> Le second degré — Q04 : Signe d'un trinôme Le trinôme $x^2 - 4x + 3$ a pour racines $1$ et $3$.
Sur quel ensemble est-il strictement négatif ?

]]> Règle du signe d'un trinôme avec deux racines : signe de $a$ à
l'extérieur des racines, signe opposé entre elles. Ici $a = 1 > 0$
donc $x^2 - 4x + 3 < 0$ exactement sur $]1\,;\,3[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]1\,;\,3[$

]]> Bonne réponse : $a = 1 > 0$, donc le trinôme est du signe de
$a$ (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire
(négatif) entre les racines.

]]> Sur $]-\infty\,;\,1[ \cup ]3\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : c'est là que le trinôme est positif (signe de
$a$ à l'extérieur des racines, avec $a = 1 > 0$).

]]> Sur $[1\,;\,3]$

]]> Presque : entre les racines le trinôme est bien négatif,
mais en $1$ et $3$ il s'annule. « Strictement négatif »
exclut les racines : intervalle ouvert.

]]> Nulle part, car $a > 0$

]]> Erreur : $a > 0$ garantit un signe positif seulement si
$\Delta < 0$. Ici il y a deux racines, donc le trinôme change
de signe.

]]> Le second degré — Q05 : Somme et produit des racines Le trinôme $x^2 - 5x + 6$ admet deux racines. Que valent leur
somme $S$ et leur produit $P$ ?

]]> Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :
$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et $P = x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
Ici $S = 5$, $P = 6$ (racines $2$ et $3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $S = 5$ et $P = 6$

]]> Bonne réponse : $S = -\dfrac{b}{a} = 5$ et
$P = \dfrac{c}{a} = 6$. Les racines sont d'ailleurs $2$ et
$3$.

]]> $S = -5$ et $P = 6$

]]> Erreur de signe : $S = -\dfrac{b}{a}$ avec $b = -5$ donne
$S = +5$. Le moins de la formule et celui de $b$ se
compensent.

]]> $S = 6$ et $P = 5$

]]> Erreur d'inversion : la somme se lit sur $b$
($S = -b/a$) et le produit sur $c$ ($P = c/a$).

]]> $S = 5$ et $P = -6$

]]> Erreur de signe sur le produit : $P = \dfrac{c}{a} =
\dfrac{6}{1} = 6$, sans changement de signe.

]]> Le second degré — Q06 : Orientation de la parabole Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a < 0$. Que peut-on dire de la
parabole représentant $f$ ?

]]> Le signe de $a$ donne l'orientation : $a > 0$ branches vers le
haut (sommet minimum), $a < 0$ branches vers le bas (sommet
maximum).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum

]]> Bonne réponse : quand $a < 0$, les branches descendent et le
sommet est le point le plus haut de la courbe.

]]> Elle est tournée vers le haut et son sommet est un minimum

]]> Erreur : c'est la situation $a > 0$. Le signe de $a$ commande
l'orientation des branches.

]]> Elle est tournée vers le bas et son sommet est un minimum

]]> Incohérent : si les branches descendent, le sommet est
au-dessus de tout le reste, c'est un maximum.

]]> Son orientation dépend du signe de $c$

]]> Erreur : $c = f(0)$ ne fixe que le point d'intersection avec
l'axe des ordonnées. L'orientation dépend uniquement du signe
de $a$.

]]> Le second degré — Q07 : Lire les racines sur la parabole Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de f(x) = -x² + 2x + 3.

La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous représente un trinôme du
second degré $f$. Quelles sont les racines de $f$ ?

]]> Les racines d'un trinôme sont les abscisses des intersections de
sa parabole avec l'axe des abscisses : ici $x = -1$ et $x = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $3$

]]> Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points où
la parabole coupe l'axe des abscisses, ici $-1$ et $3$.

]]> $1$ et $3$

]]> Erreur de lecture : $1$ est l'abscisse du sommet, pas un
point de traversée de l'axe des abscisses. La courbe coupe
l'axe en $x = -1$, à gauche de l'origine.

]]> $1$ et $4$

]]> Erreur : $(1\,;\,4)$ sont les coordonnées du sommet. Les
racines se lisent sur l'axe des abscisses, là où $f$
s'annule.

]]> $3$ seulement

]]> Oubli : la parabole traverse l'axe des abscisses en deux
points. N'oublie pas l'intersection du côté négatif,
en $x = -1$.

]]> Le second degré — Q08 : Signe de $a$ et de $\Delta$ d'après la courbe Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de f(x) = -x² + 2x + 3.

D'après la parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous, quels sont les
signes de $a$ (coefficient dominant) et de $\Delta$
(discriminant) ?

]]> Deux informations graphiques : l'orientation des branches donne le
signe de $a$ (ici vers le bas, $a < 0$) ; le nombre
d'intersections avec l'axe des abscisses donne le signe de
$\Delta$ (ici deux points, $\Delta > 0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a < 0$ et $\Delta > 0$

]]> Bonne réponse : branches vers le bas donc $a < 0$ ; deux
intersections avec l'axe des abscisses donc deux racines,
donc $\Delta > 0$.

]]> $a > 0$ et $\Delta > 0$

]]> Erreur sur $a$ : les branches de la parabole descendent,
donc $a < 0$.

]]> $a < 0$ et $\Delta < 0$

]]> Erreur sur $\Delta$ : la courbe coupe l'axe des
abscisses (deux racines réelles), donc $\Delta > 0$.
$\Delta < 0$ correspondrait à une parabole entièrement d'un
côté de l'axe.

]]> $a < 0$ et $\Delta = 0$

]]> Erreur : $\Delta = 0$ signifierait que la parabole touche
l'axe des abscisses en un seul point (racine double). Ici
elle le traverse en deux points distincts.

]]> Le second degré — Q09 : Cas $\Delta < 0$ Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $\Delta < 0$. Que peut-on en
déduire ?

]]> Si $\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle : sa
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, donc il garde un
signe constant, celui de $a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel $x$

]]> Bonne réponse : sans racine réelle, le trinôme ne peut pas
changer de signe : il reste du signe de $a$ sur tout
$\mathbb{R}$.

]]> Le trinôme est strictement positif pour tout réel $x$

]]> Incomplet : c'est vrai seulement si de plus $a > 0$. Avec
$a < 0$ et $\Delta < 0$, le trinôme est toujours
négatif.

]]> Le trinôme admet une racine double

]]> Erreur : la racine double correspond à $\Delta = 0$. Avec
$\Delta < 0$, il n'y a aucune racine réelle.

]]> Le trinôme change de signe en $x = -\dfrac{b}{2a}$

]]> Erreur : $-\dfrac{b}{2a}$ est l'abscisse du sommet, pas un
point de changement de signe. Sans racine, aucun changement
de signe n'est possible.

]]> Le second degré — Q10 : Factoriser un trinôme Quelle est la forme factorisée de $x^2 - x - 6$ ?

]]> Racines de $x^2 - x - 6$ : $\Delta = 1 + 24 = 25$,
$x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, soit $3$ et $-2$. D'où la
factorisation $a(x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 3)(x + 2)$

]]> Bonne réponse : les racines sont $3$ et $-2$ (avec
$\Delta = 25$), donc
$x^2 - x - 6 = (x - 3)\left(x - (-2)\right) = (x-3)(x+2)$.

]]> $(x + 3)(x - 2)$

]]> Erreur de signes : ce produit se développe en
$x^2 + x - 6$. Vérifie toujours le terme en $x$ après
factorisation.

]]> $(x - 6)(x + 1)$

]]> Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x - 6$. Le produit des
racines doit valoir $-6$ et leur somme $1$ : c'est
$3$ et $-2$, pas $6$ et $-1$.

]]> $(x - 2)(x - 3)$

]]> Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x + 6$, dont le terme
constant est $+6$. Ici il faut un produit de racines égal à
$-6$, donc deux racines de signes opposés.

]]> Le second degré — Q11 : Résoudre une inéquation du second degré Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$x^2 - 2x - 8 < 0$ ?

]]> $\Delta = 4 + 32 = 36$, racines $\dfrac{2 \pm 6}{2} = 4$ et
$-2$. Avec $a > 0$, le trinôme est strictement négatif entre ses
racines : $S = \,]-2\,;\,4[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-2\,;\,4[$

]]> Bonne réponse : les racines sont $-2$ et $4$
($\Delta = 36$), et comme $a = 1 > 0$, le trinôme est
négatif strictement entre ses racines.

]]> $]-\infty\,;\,-2[ \cup ]4\,;\,+\infty[$

]]> Erreur de règle : à l'extérieur des racines, le trinôme est
du signe de $a = 1 > 0$, donc positif. La partie négative
est entre les racines.

]]> $[-2\,;\,4]$

]]> Attention au strict : l'inégalité est $< 0$, or le trinôme
s'annule en $-2$ et $4$. Ces bornes sont donc exclues :
intervalle ouvert.

]]> $]2\,;\,4[$

]]> Erreur de calcul des racines : $x = \dfrac{2 \pm 6}{2}$
donne $4$ et $-2$, pas $2$. Reprends la formule
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

]]> Le second degré — Q12 : Extremum d'un trinôme Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$. Quel est l'extremum de $f$ sur
$\mathbb{R}$, et en quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

]]> L'extremum d'un trinôme est atteint en $x = -\dfrac{b}{2a} = 2$ ;
$f(2) = -7$. Le signe de $a$ ($2 > 0$) indique que la parabole
est tournée vers le haut : c'est un minimum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = 2$

]]> Bonne réponse : $x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{4} = 2$ et
$f(2) = 8 - 16 + 1 = -7$. Comme $a = 2 > 0$, c'est un
minimum.

]]> Un maximum égal à $-7$, atteint en $x = 2$

]]> Erreur d'orientation : $a = 2 > 0$, la parabole est tournée
vers le haut, son sommet est donc un minimum.

]]> Un minimum égal à $1$, atteint en $x = 0$

]]> Erreur : $1 = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine, pas
l'extremum. Le sommet est en $x = -\dfrac{b}{2a} = 2$.

]]> Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = -2$

]]> Erreur de signe : $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{4} = +2$.
Le moins de la formule et celui de $b = -8$ se compensent.

]]> Le second degré — Q13 : Équation produit nul Quelles sont les solutions de $(x - 3)(x + 2) = 0$ ?

]]> Règle du produit nul : $AB = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$. La
forme factorisée donne les racines sans aucun calcul :
c'est pour cela qu'on factorise.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$ ou $x = -2$

]]> Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si
l'un de ses facteurs est nul : $x - 3 = 0$ ou $x + 2 =
0$.

]]> $x = -3$ ou $x = 2$

]]> Signes inversés : $x - 3 = 0$ donne $x = +3$ (le signe
bascule en passant de l'autre côté).

]]> $x = 3$ seulement

]]> Facteur oublié : $x = -2$ annule aussi le produit :
une équation de degré $2$ peut avoir deux solutions.

]]> $x = 6$

]]> Erreur : $6 = 3 \times 2$ mélange les racines : on
annule chaque facteur, on ne les combine pas.

]]> Le second degré — Q14 : Résoudre $x^2 = 16$ Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 16$ ?

]]> Pour $k > 0$ : $x^2 = k \iff x = \sqrt{k}$ ou $x =
-\sqrt{k}$ : toujours deux solutions. ($x^2 = 0$ : une
seule ; $x^2 = k < 0$ : aucune.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 4$ ou $x = -4$

]]> Bonne réponse : deux nombres ont pour carré $16$ :
$4$ et $-4$ (le carré efface le signe).

]]> $x = 4$ seulement

]]> Moitié perdue : $(-4)^2 = 16$ aussi : oublier la racine
négative est l'erreur la plus fréquente du chapitre.

]]> $x = 8$ ou $x = -8$

]]> Erreur : $8^2 = 64$. Le nombre $8$ est $16 \div 2$, pas
la racine carrée de $16$ ($\sqrt{16} = 4$).

]]> $x = 256$ ou $x = -256$

]]> Sens inverse : $256 = 16^2$ élève au carré au lieu d'en
revenir : on cherche les nombres dont le carré vaut
$16$.

]]> Le second degré — Q15 : Discriminant nul Que dire des solutions de $x^2 - 6x + 9 = 0$ ?

]]> $\Delta = 0$ : racine double $x_0 = \frac{-b}{2a}$, et le
trinôme s'écrit $a(x - x_0)^2$ : la parabole est tangente à
l'axe des abscisses. Réflexe : reconnaître les identités
remarquables avant de calculer $\Delta$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule solution, $x = 3$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 36 - 36 = 0$ : racine double
$x = \frac{-b}{2a} = 3$. D'ailleurs $x^2 - 6x + 9 =
(x - 3)^2$.

]]> Deux solutions : $x = 3$ et $x = -3$

]]> Erreur : $(-3)^2 - 6(-3) + 9 = 36 \neq 0$. Le carré
parfait $(x-3)^2$ ne s'annule qu'en $3$.

]]> Aucune solution réelle

]]> Erreur : « aucune solution réelle » correspond à $\Delta < 0$ ;
ici $\Delta = 0$ : la parabole touche l'axe en un
point.

]]> Une seule solution, $x = 9$

]]> Erreur : $81 - 54 + 9 = 36 \neq 0$. La racine double se
calcule par $\frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$.

]]> Le second degré — Q16 : Mettre sous forme canonique Quelle est la forme canonique de $f(x) = x^2 + 4x + 1$ ?

]]> Complétion du carré : $x^2 + bx = \left(x +
\frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}$. La forme canonique
$a(x - \alpha)^2 + \beta$ livre le sommet $(\alpha\ ;\
\beta)$ et l'extremum sans dériver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = (x + 2)^2 - 3$

]]> Bonne réponse : $x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$, puis $+1$ :
$(x+2)^2 - 3$. Contrôle : sommet en $(-2\ ;\ -3)$.

]]> $f(x) = (x + 2)^2 + 1$

]]> Correction oubliée : $(x+2)^2$ vaut $x^2 + 4x + 4$ : il
faut retirer ce $4$ excédentaire : $-4 + 1 = -3$.

]]> $f(x) = (x + 4)^2 - 15$

]]> Erreur : on divise le coefficient de $x$ par $2$ :
$(x + 2)^2$, pas $(x + 4)^2$.

]]> $f(x) = (x - 2)^2 - 3$

]]> Signe : le sommet est en $x = -2$ (le trinôme
« penche » vers les $x$ négatifs avec $+4x$) : la forme
est $(x + 2)^2 - 3$.

]]> Le second degré — Q17 : La racine évidente $x = 1$ Pour le trinôme $2x^2 - 5x + 3$, on remarque que $2 - 5 +
3 = 0$. Qu'en déduit-on ?

]]> $f(1) = a + b + c$ : si la somme des coefficients est
nulle, $1$ est racine et l'autre vaut $\frac{c}{a}$ (par le
produit des racines). Variante : $a - b + c = 0 \Rightarrow
x = -1$ racine. Deux réflexes qui font gagner des minutes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 1$ est racine, l'autre vaut $\dfrac{3}{2}$

]]> Bonne réponse : $a + b + c = 0$ signifie exactement
$f(1) = 0$ ; le produit des racines valant $\dfrac{c}{a}
= \dfrac{3}{2}$, l'autre racine est $\dfrac{3}{2}$ :
zéro discriminant calculé.

]]> Le trinôme n'a aucune racine réelle

]]> Contresens : la somme nulle des coefficients fournit
une racine ($x = 1$), elle n'en interdit pas.

]]> $x = 0$ est racine, l'autre vaut $3$

]]> Erreur : $f(0) = c = 3 \neq 0$, donc $0$ n'est pas
racine. C'est $f(1) = a + b + c$ qui est nul.

]]> Rien, il faut d'abord calculer $\Delta$

]]> Occasion manquée : l'observation $a + b + c = 0$
court-circuite tout le calcul ($\Delta = 1$ le
confirmerait, mais pourquoi ?).

]]> Le second degré — Q18 : Résoudre $x^2 \leq 9$ Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 \leq 9$ ?

]]> $x^2 \leq k$ ($k > 0$) $\iff -\sqrt{k} \leq x \leq
\sqrt{k}$ : jamais « $x \leq \sqrt{k}$ » seul. Vision
parabole : $y = x^2$ passe sous $y = 9$ entre les deux
points d'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-3\ ;\ 3]$

]]> Bonne réponse : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ est négatif
entre ses racines : le segment $[-3\ ;\ 3]$.

]]> $]-\infty\ ;\ 3]$

]]> Piège de la « racine directe » : $x = -5 \leq 3$
pourtant $25 > 9$ : les grands négatifs ont de grands
carrés : l'ensemble est borné des deux côtés.

]]> $[3\ ;\ +\infty[$

]]> Sens inverse : c'est (avec la partie négative) la
solution de $x^2 \geq 9$ : le trinôme est positif à
l'extérieur des racines.

]]> $[0\ ;\ 3]$

]]> Moitié perdue : $(-2)^2 = 4 \leq 9$ : les négatifs de
$[-3\ ;\ 0]$ conviennent aussi.

]]> Le second degré — Q19 : Trinôme sans racine Quel est le signe de $f(x) = -x^2 + x - 1$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> $\Delta < 0$ : le signe constant est celui de $a$. Le contrôle
d'une valeur ($f(0) = c$) confirme en deux secondes. Cas
très fréquent dans les études de signe de dérivées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement négatif pour tout $x$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$, pas de racine
: le trinôme garde partout le signe de $a = -1$,
négatif. La parabole renversée reste entièrement sous
l'axe.

]]> Strictement positif pour tout $x$

]]> Signe de $a$ ignoré : sans racine, le trinôme suit
$a = -1$ : négatif partout (testez $f(0) = -1$).

]]> Négatif, puis positif au-delà de sa racine

]]> Erreur : changer de signe exigerait de traverser l'axe,
donc des racines : or $\Delta < 0$ : aucun passage.

]]> Le signe dépend de $x$, il faut un tableau complet

]]> Tableau inutile ici : $\Delta < 0$ règle tout en une
ligne : signe constant, celui de $a$.

]]> Le second degré — Q20 : Deux nombres par somme et produit Deux réels ont pour somme $7$ et pour produit $12$. Quels
sont-ils ?

]]> Deux nombres de somme $s$ et produit $p$ = racines de $x^2 -
sx + p = 0$ (attention au moins devant $s$). Le sens
inverse de « somme et produit des racines » : très utilisé
en géométrie et en arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ et $4$

]]> Bonne réponse : les nombres cherchés sont les racines de
$x^2 - sx + p = 0$, soit $x^2 - 7x + 12$ : $\Delta = 1$,
racines $3$ et $4$.

]]> $6$ et $2$

]]> Contrôle : somme $8 \neq 7$. Les deux conditions doivent
tenir ensemble : l'équation $x^2 - 7x + 12$ les
encode toutes les deux.

]]> $7$ et $12$

]]> Erreur : recopier somme et produit ne les réalise pas
($7 + 12 = 19$, $7 \times 12 = 84$).

]]> $-3$ et $-4$

]]> Signes : leur somme vaut $-7$ : ce sont les racines de
$x^2 \textbf{+} 7x + 12$.

]]> Le second degré — Q21 : Paramètre pour une racine double Pour quelles valeurs de $m$ le trinôme $x^2 + mx + 9$
admet-il une racine double ?

]]> Question avec paramètre : exprimer $\Delta$ en fonction de
$m$, puis imposer la condition ($= 0$ pour racine double,
$> 0$ pour deux racines…). L'équation en $m$ qui en résulte
se résout à son tour : ne pas perdre ses solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 6$ ou $m = -6$

]]> Bonne réponse : racine double $\iff \Delta = m^2 - 36 =
0 \iff m = \pm 6$ : deux valeurs, correspondant à
$(x + 3)^2$ et $(x - 3)^2$.

]]> $m = 6$ seulement

]]> Racine négative de $m^2 = 36$ perdue : $m = -6$ donne
$(x - 3)^2$, racine double aussi : l'équation en $m$ est
elle-même du second degré !

]]> $m = 3$

]]> Erreur : $\Delta = 9 - 36 = -27 < 0$ pour $m = 3$ :
aucune racine du tout. La condition est $m^2 = 36$.

]]> Aucune : le discriminant dépend de $x$

]]> Erreur : $\Delta = m^2 - 36$ dépend de $m$ seulement :
le discriminant est un nombre attaché au trinôme, pas
une fonction de $x$.

]]> Le second degré — Q22 : Parabole et droite En quels points la parabole $y = x^2$ coupe-t-elle la
droite $y = 2x + 3$ ?

]]> Intersection de courbes : égaler les expressions, ramener à
$= 0$, résoudre. Le discriminant raconte la géométrie :
$\Delta > 0$ deux points, $\Delta = 0$ tangence, $\Delta <
0$ aucun contact.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aux points d'abscisses $-1$ et $3$

]]> Bonne réponse : égaler : $x^2 = 2x + 3 \iff x^2 - 2x -
3 = 0$, racines $-1$ et $3$ (somme $2$, produit $-3$) :
points $(-1\ ;\ 1)$ et $(3\ ;\ 9)$.

]]> Aux points d'abscisses $1$ et $-3$

]]> Signes : contrôle : $1^2 = 1$ mais $2(1) + 3 = 5$ : pas
d'intersection en $1$. Les racines de $x^2 - 2x - 3$
sont $-1$ et $3$.

]]> Nulle part : une droite ne coupe jamais une parabole

]]> Erreur : tout dépend du discriminant de l'équation aux
abscisses : ici $\Delta = 16 > 0$ : deux points
d'intersection.

]]> Au seul point d'abscisse $2$

]]> Erreur : un point unique correspondrait à $\Delta = 0$
(droite tangente) ; ici $\Delta = 16 \neq 0$.

]]> Le second degré — Q23 : Nombre de racines selon $m$ Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $x^2 + 2x + m = 0$
admet-elle deux solutions distinctes ?

]]> Discussion selon le paramètre : $\Delta(m) = 4 - 4m$, puis
trois cas : $m < 1$ (deux racines), $m = 1$ (double),
$m > 1$ (aucune). Vision graphique : la parabole $y = x^2 +
2x$ coupée par l'horizontale $y = -m$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m < 1$

]]> Bonne réponse : $\Delta = 4 - 4m > 0 \iff m < 1$ : en
dessous du seuil, deux racines ; en $m = 1$ : racine
double $-1$ ; au-delà : plus rien.

]]> $m > 1$

]]> Sens inversé : $\Delta = 4 - 4m$ décroît avec $m$ :
plus $m$ grandit, plus le discriminant plonge sous zéro.

]]> $m < 0$

]]> Seuil faux : $m = 0{,}5$ donne $\Delta = 2 > 0$ : deux
racines. La frontière exacte est $m = 1$.

]]> Tout $m$ : une équation de degré $2$ a toujours deux
solutions

]]> Erreur (en première !) : dans $\mathbb{R}$, $\Delta < 0$
ne laisse aucune solution : le nombre de racines dépend
de $m$.

]]> Le second degré — Q24 : Ne pas diviser par $x$ Pour résoudre $x^2 = 5x$, un élève divise les deux membres
par $x$ et conclut $x = 5$. Qu'en penser ?

]]> Règle d'or : ne jamais diviser par une expression qui peut
s'annuler : tout ramener à $= 0$ et factoriser ($x(x -
5) = 0$). La solution perdue est toujours celle qui annule
le diviseur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il a perdu la solution $x = 0$ : diviser par $x$
suppose $x \neq 0$

]]> Bonne réponse : la méthode sûre factorise : $x(x - 5) =
0$, d'où $x = 0$ ou $x = 5$ : la division par une
quantité pouvant s'annuler ampute l'ensemble des
solutions.

]]> Rien : $x = 5$ est bien l'unique solution

]]> Contrôle : $0^2 = 5 \times 0$ : zéro est solution ! La
division silencieuse par $x$ l'a fait disparaître.

]]> Il fallait plutôt diviser par $5$

]]> Hors sujet : diviser par la constante $5$ est licite
mais ne résout rien : le problème est la division par la
variable.

]]> L'équation n'a pas de solution : les degrés sont
différents

]]> Erreur : rien n'interdit d'égaler un carré et un
multiple : l'équation équivaut à $x^2 - 5x = 0$, deux
solutions.

]]> Le second degré — Q25 : Signe d'un trinôme à coefficient négatif Un trinôme de coefficient dominant $a = -2$ admet deux racines, $-1$
et $4$. Sur quel ensemble est-il positif ?

]]> La règle du signe d'un trinôme est la même quel que soit $a$ : signe de
$a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Un coefficient
négatif inverse donc la lecture habituelle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]-1\,;\,4[$

]]> Bonne réponse : un trinôme est du signe contraire à celui de $a$ entre
ses racines, donc positif ici.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-1[ \cup ]4\,;\,+\infty[$

]]> C'est là qu'il est négatif : à l'extérieur des racines, le trinôme
prend le signe de $a$.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Il s'annule en $-1$ et en $4$, et devient négatif au-delà : pour
$x = 5$, il vaut $-12$.

]]> Sur aucun intervalle

]]> Pour $x = 0$, le trinôme vaut $-2 \times 1 \times (-4) = 8$, donc il
est bien positif quelque part.

]]> Le second degré — Q26 : Un produit égal à $10$ Quelles sont les solutions de l'équation $(x - 1)(x + 2) = 10$ ?

]]> La règle du produit nul exige un second membre égal à zéro. Quand ce n'est
pas le cas, on développe, on ramène tout du même côté, puis on résout le
trinôme obtenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ et $-4$

]]> Bonne réponse : le développement donne $x^2 + x - 12 = 0$, dont le
discriminant vaut $49$.

]]> $11$ et $8$

]]> Chaque facteur égalé à $10$ : cette méthode ne vaut que pour un
produit nul. Ici $(11-1)(11+2) = 130$.

]]> $1$ et $-2$

]]> Racines du produit nul : elles annulent le membre de gauche, elles ne
le rendent pas égal à $10$.

]]> $-3$ et $4$

]]> Signes inversés : pour $x = 4$, le produit vaut $18$, et pour
$x = -3$, il vaut $4$.

]]> Le second degré — Q27 : Abscisse du sommet Quelle est l'abscisse du sommet de la parabole d'équation
$y = 2x^2 - 12x + 5$ ?

]]> L'abscisse du sommet vaut $-\dfrac{b}{2a}$. Son ordonnée s'obtient en
calculant l'image de cette valeur, ici $f(3) = -13$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{4} = 3$.

]]> $-3$

]]> Signe perdu : le coefficient $b$ vaut $-12$, et son opposé est
positif.

]]> $6$

]]> Division oubliée : $-\dfrac{b}{2a}$ divise par $2a$, ici par $4$ et
non par $2$.

]]> $5$

]]> Terme constant recopié : il donne l'ordonnée à l'origine, pas la
position du sommet.

]]> Le second degré — Q28 : Construire un trinôme à partir de ses racines Quel trinôme de coefficient dominant $1$ admet pour racines $2$ et
$-5$ ?

]]> Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines d'un trinôme de coefficient dominant
$1$, alors il s'écrit $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^2 + 3x - 10$

]]> Bonne réponse : la somme des racines vaut $-3$ et leur produit $-10$,
d'où $x^2 - (-3)x + (-10)$.

]]> $x^2 - 3x - 10$

]]> Signe du coefficient de $x$ : il vaut l'opposé de la somme des
racines, soit $+3$.

]]> $x^2 + 3x + 10$

]]> Signe du terme constant : le produit de $2$ et de $-5$ vaut $-10$.

]]> $x^2 - 7x - 10$

]]> Différence au lieu de la somme : $2 - 5$ n'intervient pas, c'est bien
$2 + (-5)$ qu'il faut prendre au signe près.

]]> Le second degré — Q29 : Une inéquation toujours vraie Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$x^2 + 2x + 5 > 0$ ?

]]> Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme garde partout le signe de
son coefficient dominant. La forme canonique $(x+1)^2 + 4$ le confirme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : le discriminant vaut $4 - 20 = -16$, donc le trinôme
ne s'annule jamais et garde le signe de $a$, positif.

]]> $]-5\,;\,1[$

]]> Intervalle inventé : sans racine, le trinôme ne change pas de signe,
il n'y a aucun intervalle à délimiter.

]]> $]-\infty\,;\,-1[$

]]> Pour $x = 0$, le trinôme vaut $5$, donc l'inéquation est vérifiée
au-delà de $-1$ également.

]]> L'ensemble vide

]]> Ce serait le cas d'un trinôme sans racine à coefficient dominant
négatif, ce qui n'est pas la situation.

]]> Le second degré — Q30 : Quelle forme pour quelle lecture Quelle écriture d'un trinôme permet de lire directement les
coordonnées du sommet ?

]]> Forme développée pour le discriminant et l'ordonnée à l'origine, forme
factorisée pour les racines et le signe, forme canonique pour le sommet et
les variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La forme canonique

]]> Bonne réponse : dans $a(x - \alpha)^2 + \beta$, le sommet est le point
de coordonnées $(\alpha\,;\,\beta)$.

]]> La forme factorisée

]]> Elle donne les racines ; le sommet s'en déduit ensuite, en prenant leur
milieu.

]]> La forme développée

]]> Elle donne l'ordonnée à l'origine et permet le calcul du
discriminant, mais pas la lecture directe du sommet.

]]> Les trois indifféremment

]]> Chacune met en évidence une information différente, c'est justement
pourquoi on passe de l'une à l'autre.

]]> Le second degré — Q31 : Un carré égal à un nombre négatif Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = -9$ ?

]]> L'équation $x^2 = k$ admet deux solutions si $k > 0$, une seule si
$k = 0$, et aucune si $k < 0$. Le signe du second membre se regarde
avant tout calcul de racine carrée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution réelle

]]> Bonne réponse : le carré d'un réel est toujours positif ou nul, il
ne peut donc pas valoir $-9$.

]]> Deux solutions : $3$ et $-3$

]]> Signe du second membre oublié : $3^2$ et $-3^2$ valent tous deux
$9$, c'est-à-dire l'opposé de $-9$.

]]> Une seule solution : $3$

]]> Même erreur de signe : $3^2 = 9$ et non $-9$. Aucun
carré ne prend une valeur négative.

]]> Une seule solution : $-3$

]]> Un nombre négatif élevé au carré redevient positif : $-3^2$ vaut
$9$, jamais $-9$.

]]> Le second degré — Q32 : Reconnaître une parabole tournée vers le bas Parmi ces quatre trinômes, lequel est représenté par une parabole
tournée vers le bas ?

]]> Seul le coefficient de $x^2$ décide de l'orientation : positif, les
branches montent et le sommet est un minimum ; négatif, elles descendent
et le sommet est un maximum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = -2x^2 + 5x - 1$

]]> Bonne réponse : le coefficient de $x^2$ vaut $-2$, il est négatif,
donc les branches de la parabole descendent.

]]> $f(x) = 10x^2 - 12x + 3$

]]> Coefficient dominant $10 > 0$ : les branches montent. Les signes de
$b$ et de $c$ n'y changent rien.

]]> $f(x) = 2x^2 - 5x - 1$

]]> Signe lu sur le mauvais terme : c'est $-5x$ qui est négatif, alors
que le coefficient de $x^2$ vaut $2$.

]]> $f(x) = 3x^2 + 7x - 6$

]]> Signe lu sur le terme constant : $-6$ donne l'ordonnée à l'origine,
pas l'orientation de la parabole.

]]> Le second degré — Q33 : Ordonner un trinôme Un trinôme est donné sous la forme $f(x) = 5 - 3x + 2x^2$.
Quelle est son écriture ordonnée selon les puissances décroissantes ?

]]> La forme développée d'un trinôme est $ax^2 + bx + c$. Avant de calculer
quoi que ce soit, on ordonne les termes selon les puissances
décroissantes et on relève les trois coefficients avec leur signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x^2 - 3x + 5$

]]> Bonne réponse : on range le terme en $x^2$, puis celui en $x$, puis
la constante, en conservant chaque signe : $a = 2$, $b = -3$ et
$c = 5$.

]]> $2x^2 + 3x + 5$

]]> Signe perdu en chemin : le terme en $x$ est $- 3x$, donc le
coefficient $b$ vaut $-3$.

]]> $5x^2 - 3x + 2$

]]> Coefficients échangés : $2$ accompagne $x^2$ et $5$ est la
constante, quel que soit l'ordre dans lequel ils sont écrits.

]]> $-3x + 2x^2 + 5$

]]> Termes exacts, mais toujours en désordre : l'écriture ordonnée
commence par le terme de plus haut degré.

]]> Le second degré — Q34 : Un carré parfait Le trinôme $x^2 + 10x + 25$ admet une racine double. Quelle est sa
forme factorisée ?

]]> Quand le discriminant est nul, le trinôme est un carré parfait et
s'écrit $a(x - x_0)^2$ avec $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$. Reconnaître
l'identité remarquable évite tout calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x + 5)^2$

]]> Bonne réponse : la racine double vaut $\dfrac{-b}{2a} = -5$, donc
le trinôme s'écrit $(x + 5)^2$. On retrouve bien $5^2 = 25$.

]]> $(x - 5)^2$

]]> Signe inversé : ce carré se développe en $x^2 - 10x + 25$, dont le
terme en $x$ est négatif.

]]> $(x + 25)^2$

]]> Terme constant recopié : c'est sa racine carrée $5$ qui figure
dans le carré, puisque $5^2 = 25$.

]]> $(x + 5)(x + 10)$

]]> Deux racines distinctes supposées : ce produit vaut
$x^2 + 15x + 50$, pas le trinôme donné.

]]> Le second degré — Q35 : Croissance lue sur la forme canonique Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = -2(x - 3)^2 + 5$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
croissante ?

]]> La forme canonique $a(x - \alpha)^2 + \beta$ donne le sommet
$(\alpha\,;\,\beta)$ et le sens de variation : pour $a < 0$, la fonction
croît jusqu'à $\alpha$ puis décroît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,3]$

]]> Bonne réponse : avec $a = -2 < 0$, la parabole monte jusqu'à son
sommet d'abscisse $3$, puis redescend.

]]> $[3\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversé : au-delà du sommet, les branches descendent puisque le
coefficient dominant est négatif.

]]> $]-\infty\,;\,5]$

]]> Coordonnées confondues : $5$ est l'ordonnée du sommet, alors que
le changement de sens a lieu en $x = 3$.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Un trinôme n'est jamais croissant sur $\mathbb{R}$ : il change de
sens de variation en son sommet.

]]> Le second degré — Q36 : Produit nul avec un coefficient Quelles sont les solutions de l'équation
$(2x - 3)(x + 5) = 0$ ?

]]> Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul. Chaque facteur
se résout à part, et un coefficient devant $x$ fait apparaître une
solution fractionnaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{3}{2}$ ou $x = -5$

]]> Bonne réponse : $2x - 3 = 0$ donne $x = \dfrac{3}{2}$, et $x + 5 = 0$
donne $x = -5$.

]]> $x = 3$ ou $x = 5$

]]> Nombres recopiés : il faut résoudre chaque facteur, ce qui change
les signes et fait apparaître le coefficient $2$.

]]> $x = -\dfrac{3}{2}$ ou $x = 5$

]]> Signes inversés dans les deux facteurs : $2x - 3 = 0$ donne un
quotient positif, et $x + 5 = 0$ un nombre négatif.

]]> $x = \dfrac{2}{3}$ ou $x = -5$

]]> Quotient à l'envers : on divise $3$ par $2$, le coefficient de
$x$ passant au dénominateur.

]]> Le second degré — Q37 : Factoriser avec un coefficient dominant Quelle est la forme factorisée du trinôme $2x^2 - 4x - 6$,
dont les racines sont $3$ et $-1$ ?

]]> Connaissant les racines $x_1$ et $x_2$, un trinôme se factorise en
$a(x - x_1)(x - x_2)$. Le coefficient dominant reste en facteur devant
le produit, il ne se répartit pas dans les parenthèses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2(x - 3)(x + 1)$

]]> Bonne réponse : la factorisation s'écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, donc
$2(x - 3)(x + 1)$ ici.

]]> $(x - 3)(x + 1)$

]]> Coefficient dominant oublié : ce produit a bien les bonnes racines,
mais son terme en $x^2$ vaut $x^2$ et non $2x^2$.

]]> $2(x + 3)(x - 1)$

]]> Signes des racines recopiés : dans $a(x - x_1)(x - x_2)$, chaque
racine change de signe en passant dans la parenthèse.

]]> $(2x - 3)(2x + 1)$

]]> Coefficient distribué deux fois : le terme en $x^2$ vaudrait alors
$4x^2$ au lieu de $2x^2$.

]]> Le second degré — Q38 : Remonter d'un tableau de signes au trinôme Un trinôme est strictement négatif sur $]-\infty\,;\,-2[$,
strictement positif sur $]-2\,;\,5[$, puis strictement négatif sur
$]5\,;\,+\infty[$. Que peut-on en déduire ?

]]> Un tableau de signes se lit dans les deux sens : les valeurs qui
séparent les colonnes sont les racines, et le signe pris à l'extérieur
de ces racines est celui du coefficient dominant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a < 0$, et les racines sont $-2$ et $5$

]]> Bonne réponse : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des
racines, donc $a < 0$, et il s'annule en $-2$ et $5$.

]]> $a > 0$, et les racines sont $-2$ et $5$

]]> Règle appliquée à l'envers : avec $a > 0$, le trinôme serait positif
à l'extérieur des racines, pas entre elles.

]]> $a < 0$, et le trinôme n'a pas de racine

]]> Sans racine, le signe serait constant : ici il change deux fois,
donc il y a bien deux racines.

]]> $a > 0$, et les racines sont $2$ et $-5$

]]> Deux erreurs : le signe de $a$ est inversé, et les racines se lisent
directement dans le tableau, sans changement de signe.

]]> Le second degré — Q39 : La racine évidente $x = -1$ Pour le trinôme $3x^2 + 5x + 2$, on remarque que
$3 - 5 + 2 = 0$. Qu'en déduit-on ?

]]> Deux réflexes à garder : $a + b + c = 0$ signifie que $1$ est racine, et
$a - b + c = 0$ que $-1$ est racine. La seconde racine s'obtient alors
par le produit $\dfrac{c}{a}$, sans aucun discriminant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ est racine, et l'autre racine vaut $-\dfrac{2}{3}$

]]> Bonne réponse : $a - b + c$ est exactement $f(-1)$, donc $-1$ est
racine. Le produit des racines valant $\dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$,
l'autre racine est $-\dfrac{2}{3}$.

]]> $1$ est racine, et l'autre racine vaut $\dfrac{2}{3}$

]]> Signe confondu : $f(1) = a + b + c$, qui ne s'annule pas ici. C'est
la somme alternée qui est nulle, donc $f(-1) = 0$.

]]> $-1$ est racine, et l'autre racine vaut $\dfrac{2}{3}$

]]> Bonne première racine, mais signe perdu sur la seconde : le produit
des racines vaut $\dfrac{2}{3}$, or la première est négative.

]]> Le trinôme n'admet aucune racine réelle

]]> Contresens : la relation observée fournit une racine, elle n'en
interdit pas. Le trinôme en a donc au moins une.

]]> Le second degré — Q40 : Inéquation à coefficient dominant négatif Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$-x^2 + 2x + 8 > 0$, sachant que les racines du trinôme sont
$-2$ et $4$ ?

]]> La règle du signe ne change pas quand $a$ est négatif : signe de $a$ à
l'extérieur des racines, signe contraire entre elles. Ce sont les
conclusions habituelles qui s'inversent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-2\,;\,4[$

]]> Bonne réponse : le coefficient dominant vaut $-1$, donc le trinôme
est positif entre ses racines.

]]> $]-\infty\,;\,-2[ \cup ]4\,;\,+\infty[$

]]> Règle du cas $a > 0$ appliquée par habitude : à l'extérieur des
racines, le trinôme prend le signe de $a$, ici négatif.

]]> $[-2\,;\,4]$

]]> Bornes à exclure : l'inégalité est stricte et le trinôme s'annule en
$-2$ et en $4$.

]]> L'ensemble vide

]]> Un trinôme à coefficient dominant négatif est positif entre ses
racines : l'ensemble cherché n'est pas vide.

]]> Le second degré — Q41 : Dimensions d'un rectangle Un rectangle a pour périmètre $22$ cm et pour aire $24$ cm$^2$.
Quelles sont ses dimensions ?

]]> Deux nombres de somme $s$ et de produit $p$ sont les racines de
$x^2 - sx + p$. Un problème de périmètre et d'aire se ramène donc
toujours à une équation du second degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $8$ cm et $3$ cm

]]> Bonne réponse : la somme des côtés vaut $11$ et leur produit
$24$, donc ils sont racines de $x^2 - 11x + 24$.

]]> $9$ cm et $2$ cm

]]> Périmètre respecté, aire fausse : la somme vaut bien $11$, mais le
produit donne $18$ au lieu de $24$.

]]> $24$ cm et $1$ cm

]]> Aire respectée, périmètre faux : le produit vaut bien $24$, mais
le périmètre atteindrait $50$ cm.

]]> $5{,}5$ cm et $5{,}5$ cm

]]> Carré supposé : le périmètre serait respecté, mais l'aire vaudrait
$30{,}25$ cm$^2$.

]]> Le second degré — Q42 : Aucune racine et une valeur connue Un trinôme $f$ n'admet aucune racine réelle et vérifie $f(0) = -7$.
Que peut-on dire de son signe sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Un trinôme sans racine réelle garde le signe de son coefficient
dominant sur $\mathbb{R}$. Calculer une image, la plus simple étant
$f(0) = c$, suffit alors à trancher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est strictement négatif sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : sans racine, le signe est constant ; la valeur
$f(0) = -7$ montre que ce signe est négatif.

]]> Il est strictement positif sur $\mathbb{R}$

]]> Valeur connue ignorée : $f(0) = -7$ est négatif, donc le trinôme
l'est partout puisque son signe ne change pas.

]]> Il change de signe en une valeur de $x$

]]> Changer de signe suppose de traverser l'axe des abscisses, donc
d'avoir une racine, ce que l'énoncé exclut.

]]> Son signe dépend de la valeur de $x$ considérée

]]> Sans racine, le signe est le même pour tous les réels : une seule
valeur calculée suffit à le déterminer.

]]> Le second degré — Q43 : Simplifier un facteur commun Pour résoudre $(x - 2)(x + 5) = (x - 2)(3x - 1)$, un élève
simplifie les deux membres par $(x - 2)$ et annonce une solution
unique. Qu'en penser ?

]]> Simplifier par un facteur commun revient à le supposer non nul. On
ramène plutôt tout dans un membre, on met le facteur commun en évidence,
puis on applique la règle du produit nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il a perdu la solution $x = 2$

]]> Bonne réponse : $x = 2$ annule le facteur commun, donc les deux
membres. La méthode sûre ramène tout d'un côté et factorise.

]]> Il a raison : $x = 3$ est la seule solution

]]> Cette valeur est bien solution, mais elle n'est pas seule : $x = 2$
annule aussi les deux membres.

]]> Il a tort : l'équation n'a aucune solution

]]> L'équation en a deux : $x = 2$, perdue par la simplification, et
$x = 3$, trouvée par l'élève.

]]> Il a tort : il fallait diviser par $(3x - 1)$

]]> Diviser par l'autre facteur poserait le même problème : toute
division par une expression pouvant s'annuler perd des solutions.

]]> Le second degré — Q44 : Droite tangente à une parabole Pour quelle valeur de $m$ la droite d'équation $y = 2x + m$
est-elle tangente à la parabole d'équation $y = x^2$ ?

]]> Deux courbes sont tangentes lorsque l'équation donnant leurs abscisses
communes admet une racine double, c'est-à-dire un discriminant nul.
Le contact unique se traduit ainsi par une condition sur $m$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = -1$

]]> Bonne réponse : l'égalité $x^2 = 2x + m$ donne
$x^2 - 2x - m = 0$, de discriminant $4 + 4m$, nul pour
$m = -1$.

]]> $m = 1$

]]> Signe inversé : $4 + 4m = 0$ impose $4m = -4$, donc $m$ est
négatif.

]]> $m = 0$

]]> La droite passerait par l'origine et couperait la parabole en deux
points, d'abscisses $0$ et $2$.

]]> $m = 4$

]]> Discriminant confondu avec sa première partie : $4$ est la valeur
de $b^2$, et la condition porte sur $b^2 - 4ac$ tout entier.

]]> Le second degré — Q45 : Somme des inverses des racines Le trinôme $x^2 - 7x + 12$ admet deux racines non nulles $x_1$ et
$x_2$. Que vaut $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ ?

]]> Réduire au même dénominateur fait apparaître la somme et le produit des
racines : $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{-b/a}{c/a}$. Les
relations entre coefficients et racines évitent de les calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{7}{12}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} =
\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{7}{12} = \dfrac{7}{12}$.

]]> $\dfrac{12}{7}$

]]> Quotient renversé : la somme des racines passe au numérateur et leur
produit au dénominateur, pas l'inverse.

]]> $-\dfrac{7}{12}$

]]> Signe de la somme : $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 7$, qui est
positif ici.

]]> $19$

]]> Inverses oubliés : additionner la somme et le produit des racines ne
répond pas à la question posée.

]]> Le second degré — Q46 : Exploiter une racine évidente On remarque que $2$ est racine du trinôme $x^2 - 7x + 10$.
Quelle est son autre racine ?

]]> Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :
$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ et $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$. Une racine
évidente donne l'autre sans discriminant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : le produit des racines vaut $10$, donc l'autre
racine est $\dfrac{10}{2} = 5$.

]]> $10$

]]> Erreur : $10$ est le produit des deux racines, pas la seconde
racine.

]]> $-5$

]]> Erreur de signe : avec $a = 1$, le produit des racines vaut
$+10$ et leur somme $+7$.

]]> $7$

]]> Erreur : $7$ est la somme des deux racines.

]]>