$course$/QCM de maths/Première spécialité/Suites numériques, modèles discrets Modes de génération d'une suite (formule explicite, relation de
récurrence), suites arithmétiques et géométriques : terme
général, sommes $1 + 2 + \cdots + n$ et $1 + q + \cdots + q^n$,
sens de variation, modélisation d'évolutions discrètes et
intuition de la notion de limite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q01 : Reconnaître une suite arithmétique Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 5$.
Quelle est la nature de cette suite ?

]]> Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ (accroissement
constant $r$) ; suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$
(taux constant). Ici : arithmétique, $r = 5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison $5$

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en
ajoutant toujours $5$ : c'est la définition d'une
suite arithmétique de raison $5$.

]]> Géométrique de raison $5$

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par $5$ à
chaque étape ($u_{n+1} = 5u_n$). Ici on ajoute.

]]> Arithmétique de raison $2$

]]> Erreur : $2$ est le premier terme $u_0$, pas la
raison. La raison est le nombre ajouté à chaque étape :
$5$.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : l'ajout d'une constante à chaque rang est
exactement le modèle arithmétique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q02 : Terme général d'une suite arithmétique Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de
raison $r = 2$. Que vaut $u_{10}$ ?

]]> Terme général d'une suite arithmétique (démonstration au
programme) : $u_n = u_0 + n\,r$. Ici $u_{10} = 3 + 10 \times
2 = 23$. Lien avec les fonctions affines : $u_n = f(n)$ avec
$f(x) = 2x + 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $23$

]]> Bonne réponse : $u_n = u_0 + n\,r$, donc
$u_{10} = 3 + 10 \times 2 = 23$.

]]> $21$

]]> Erreur d'indice : $21 = 3 + 9 \times 2$ utilise la formule
$u_0 + (n-1)r$, valable pour un premier terme $u_1$. Avec
$u_0$, on ajoute $n$ fois la raison.

]]> $3 \times 2^{10} = 3072$

]]> Erreur de modèle : les puissances relèvent des suites
géométriques. Une arithmétique avance par additions :
$u_{10} = 3 + 20$.

]]> $30$

]]> Erreur : $30 = 3 \times 10$ multiplie le premier terme par
l'indice. La formule est $u_0 + n\,r = 3 + 20 = 23$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q03 : Terme général d'une suite géométrique Soit $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de
raison $q = 2$. Que vaut $v_4$ ?

]]> Terme général d'une suite géométrique (démonstration au
programme) : $v_n = v_0 \times q^n$. Ici $5 \times 2^4 = 80$.
Lien avec l'exponentielle : croissance à taux constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $80$

]]> Bonne réponse : $v_n = v_0 \times q^n$, donc
$v_4 = 5 \times 2^4 = 5 \times 16 = 80$.

]]> $40$

]]> Erreur d'exposant : $40 = 5 \times 2^3$. De $v_0$ à
$v_4$, on multiplie quatre fois par la raison :
$q^4 = 16$.

]]> $13$

]]> Erreur de modèle : $13 = 5 + 4 \times 2$ est le calcul
arithmétique. Une géométrique multiplie :
$5 \times 2^4$.

]]> $625$

]]> Erreur : $625 = 5^4$ élève le premier terme à la
puissance. La formule est $v_0 \times q^n$ : seule la
raison porte l'exposant.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q04 : Reconnaître une suite géométrique Les premiers termes d'une suite sont $3$, $6$, $12$, $24$.
Quel modèle reconnaît-on ?

]]> Réflexe de diagnostic : différences constantes $\to$
arithmétique ; rapports constants $\to$ géométrique. Ici
chaque terme est le double du précédent : géométrique de
raison $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une suite géométrique de raison $2$

]]> Bonne réponse : le rapport de deux termes consécutifs
est constant : $\dfrac{6}{3} = \dfrac{12}{6} =
\dfrac{24}{12} = 2$.

]]> Une suite arithmétique de raison $3$

]]> Erreur : les écarts valent $3$, $6$, $12$ : ils ne sont
pas constants. C'est le quotient qui l'est : modèle
géométrique.

]]> Une suite géométrique de raison $3$

]]> Erreur : $3$ est le premier terme. La raison est le
rapport entre termes consécutifs : $2$.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : le rapport constant $2$ signe une suite
géométrique (chaque terme double).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q05 : Sens de variation Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 3 \times 0{,}8^n$. Quel est le
sens de variation de cette suite ?

]]> Suite géométrique de premier terme positif : croissante si
$q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.
Ici $q = 0{,}8$ : décroissante (modèle des décroissances à
taux constant).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante

]]> Bonne réponse : chaque terme est multiplié par
$0{,}8 < 1$ (et les termes sont positifs) : la suite
diminue à chaque rang.

]]> Croissante

]]> Erreur : multiplier par un nombre entre $0$ et $1$
réduit une quantité positive : $3$ ; $2{,}4$ ;
$1{,}92$…

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici
$q = 0{,}8 \neq 1$.

]]> Ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : le signe de $u_{n+1} - u_n = 3 \times 0{,}8^n
\times (0{,}8 - 1) < 0$ est constant : décroissance à
chaque rang.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q06 : La somme $1 + 2 + \cdots + n$ Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ ?

]]> Formule (démonstration au programme) : $1 + 2 + \cdots + n =
\dfrac{n(n+1)}{2}$. Idée de la preuve : écrire la somme dans
les deux sens et additionner, chaque colonne vaut $n + 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5050$

]]> Bonne réponse : $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$,
donc $\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$ (la légende de
Gauss écolier).

]]> $10\,100$

]]> Oubli de la division par $2$ : $100 \times 101$ compte
chaque paire deux fois (la somme à l'endroit plus la somme
à l'envers).

]]> $5000$

]]> Erreur : $5000 = \dfrac{100 \times 100}{2}$. Le second
facteur est $n + 1 = 101$, d'où $5050$.

]]> $4950$

]]> Erreur : $4950 = \dfrac{99 \times 100}{2}$ est la somme
$1 + \cdots + 99$. Il manque le terme $100$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q07 : Somme de termes d'une suite géométrique Que vaut la somme $1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^9$ ?

]]> Formule (démonstration au programme) : $1 + q + \cdots + q^n
= \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \neq 1$. Avec $q = 2$,
$n = 9$ : $2^{10} - 1 = 1023$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1023$

]]> Bonne réponse : $1 + q + \cdots + q^n =
\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, ici $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 -
2} = 2^{10} - 1 = 1023$.

]]> $1024$

]]> Presque : $1024 = 2^{10}$ est le terme suivant de la
suite. La somme des dix premiers termes vaut un de moins :
$1023$.

]]> $512$

]]> Erreur : $512 = 2^9$ n'est que le dernier terme de la
somme, pas la somme elle-même.

]]> $2046$

]]> Erreur : $2046 = 2^{11} - 2$ correspondrait à la somme
$2 + 4 + \cdots + 2^{10}$. Notre somme commence à $1 =
2^0$ et s'arrête à $2^9$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q08 : Modes de génération d'une suite La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ est
donnée par :

]]> Deux grands modes de génération : explicite ($u_n = f(n)$,
accès direct au rang $n$) et par récurrence ($u_{n+1} =
f(u_n)$, calcul de proche en proche). Passer de l'un à l'autre
est un enjeu du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une relation de récurrence

]]> Bonne réponse : chaque terme se calcule à partir du
précédent : pour connaître $u_{10}$, on remonte de
proche en proche (ou on cherche une formule explicite).

]]> Une formule explicite

]]> Erreur : une formule explicite donnerait $u_n$
directement en fonction de $n$ (comme $u_n = 2^{n+1}
- 1$, qui est d'ailleurs la version explicite de cette
suite).

]]> La définition d'une suite arithmétique

]]> Erreur : la présence du facteur $2$ devant $u_n$ sort du
modèle arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$).

]]> La définition d'une suite géométrique

]]> Erreur : le $+1$ sort du modèle géométrique ($u_{n+1} =
q\,u_n$) : la relation mélange une multiplication et une addition.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q09 : Modéliser un placement Un capital de $1000$ euros est placé à $3\ \%$ d'intérêts par
an (intérêts composés). On note $C_n$ le capital après $n$
années. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ?

]]> Automatisme central (au programme) : une évolution à taux
fixe se modélise par une suite géométrique de raison le
coefficient multiplicateur. $+3\ \%$ par an :
$C_n = 1000 \times 1{,}03^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $1{,}03$

]]> Bonne réponse : chaque année, le capital est multiplié par
$1{,}03$ (coefficient multiplicateur de $+3\ \%$) :
$C_{n+1} = 1{,}03\,C_n$.

]]> Arithmétique de raison $30$

]]> Erreur : $+30$ euros par an vaudrait pour des intérêts
simples (toujours calculés sur $1000$). Composés, les
intérêts produisent des intérêts : modèle multiplicatif.

]]> Géométrique de raison $0{,}03$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}03$ réduirait le capital à
$3\ \%$ de sa valeur ! Le coefficient d'une hausse de
$3\ \%$ est $1 + 0{,}03 = 1{,}03$.

]]> Géométrique de raison $3$

]]> Erreur : raison $3$ signifierait tripler chaque année. Le
taux se convertit en coefficient : $1{,}03$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q10 : Taux d'évolution équivalent Une population augmente de $10\ \%$ par an pendant deux ans.
Quel est le taux d'évolution global sur les deux ans ?

]]> Évolutions successives (automatisme) : on multiplie les
coefficients. $n$ années à $+10\ \%$ : coefficient
$1{,}1^n$ : c'est exactement le lien entre taux fixe et suite
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+21\ \%$

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient :
$1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\ \%$ (les
$10\ \%$ de la deuxième année portent sur une base déjà
augmentée).

]]> $+20\ \%$

]]> Le piège additif : les taux ne s'additionnent pas. La
deuxième hausse s'applique à la population déjà
augmentée : $1{,}1^2 = 1{,}21$.

]]> $+121\ \%$

]]> Confusion : $1{,}21$ est le coefficient ; le taux
d'évolution en est la partie au-delà de $1$ : $21\ \%$.

]]> $+12\ \%$

]]> Erreur : aucun calcul ne mène à $12\ \%$. Deux hausses de
$10\ \%$ composées : $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q11 : Conjecturer une limite Soit $u_n = \dfrac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ : les termes valent
$1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}33\ldots$ ; $0{,}25$… Que peut-on
conjecturer sur le comportement de $(u_n)$ quand $n$ devient
très grand ?

]]> Sensibilisation à la limite (au programme, sans
formalisation) : observer numériquement le comportement des
termes pour $n$ grand. $\frac{1}{n}$ tend vers $0$,
$q^n$ ($0<q<1$) aussi, $n^2$ devient arbitrairement grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite semble tendre vers $0$

]]> Bonne réponse : les termes se rapprochent de $0$ :
$u_{1000} = 0{,}001$, $u_{10^6} = 0{,}000001$, ils
s'écrasent vers $0$ sans jamais l'atteindre. (La
formalisation de la limite attendra la terminale.)

]]> La suite semble tendre vers $1$

]]> Erreur : $1$ n'est que le premier terme. La suite
s'en éloigne dès le rang $2$ et continue de descendre.

]]> Les termes finissent par devenir négatifs

]]> Erreur : $\dfrac{1}{n}$ reste strictement positif pour
tout $n \geq 1$ : la suite s'approche de $0$ par valeurs
positives.

]]> La suite n'a aucun comportement prévisible

]]> Erreur : la décroissance vers $0$ est parfaitement
régulière : c'est l'exemple type d'une suite qui « tend
vers » une valeur.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q12 : Suite définie par un motif Pour $n \geq 1$, on note $u_n = n^2$ le nombre de carreaux
d'un carré de côté $n$ : $1$, $4$, $9$, $16$… Cette suite
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> Toutes les suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques !
Les suites de motifs (nombres figurés) en donnent des exemples
naturels : $u_n = n^2$ a des accroissements arithmétiques
($2n+1$ : les nombres impairs), mais n'est ni arithmétique ni
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre

]]> Bonne réponse : les écarts $3$, $5$, $7$… et les
quotients varient. Les différences $u_{n+1} - u_n = 2n +
1$ croissent, et les rapports $\frac{4}{1} \neq
\frac{9}{4}$ ne sont pas constants : aucun des deux
modèles ne convient.

]]> Les deux à la fois

]]> Erreur : seule une suite constante est à la fois
arithmétique (raison $0$) et géométrique (raison $1$).
Ici ni les écarts ($3$, $5$, $7$…) ni les quotients ne
sont constants.

]]> Géométrique de raison $4$

]]> Erreur : $4 = 4 \times 1$ tient entre $u_1$ et $u_2$,
mais le rapport suivant vaut $\dfrac{9}{4} = 2{,}25 \neq
4$ : le quotient n'est pas constant.

]]> Arithmétique de raison $3$

]]> Erreur : l'écart $3$ ne tient qu'entre $u_1$ et $u_2$ ;
ensuite $9 - 4 = 5$. Une seule vérification ne suffit
jamais.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q13 : Ni arithmétique, ni géométrique La suite définie par $u_n = n^2$ est-elle arithmétique ou
géométrique ?

]]> Beaucoup de suites ne sont d'aucun des deux modèles : le
test (différence constante ? quotient constant ?) doit être
vérifié sur tous les rangs, et un seul contre-exemple
suffit à réfuter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni arithmétique ni géométrique

]]> Bonne réponse : les différences valent $1, 3, 5, \ldots$
($u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$) : pas de raison
additive ; les quotients varient aussi ($\frac{u_2}{u_1} =
4$ mais $\frac{u_3}{u_2} = \frac{9}{4}$) : pas de raison
multiplicative.

]]> Arithmétique de raison $2$

]]> Erreur : $u_1 - u_0 = 1 \neq u_2 - u_1 = 3$ : la
différence n'est pas constante (elle augmente de $2$ à
chaque pas, mais ce n'est pas la définition).

]]> Géométrique de raison $n$

]]> Erreur de concept : une raison est une constante :
un quotient qui dépend de $n$ disqualifie la suite.

]]> Arithmétique et géométrique à la fois

]]> Erreur : seules les suites constantes (non nulles)
cumulent les deux statuts : $n^2$ n'est ni l'un ni
l'autre.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q14 : Retrouver raison et premier terme Une suite arithmétique vérifie $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$. Que
valent la raison $r$ et $u_0$ ?

]]> Entre deux termes d'une suite arithmétique : $u_q = u_p +
(q - p)r$, d'où $r = \frac{u_q - u_p}{q - p}$ : une pente,
exactement comme pour une droite. Puis on remonte à $u_0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r = 3$ et $u_0 = 2$

]]> Bonne réponse : de $u_3$ à $u_7$ : $4$ pas pour $+12$,
donc $r = 3$ ; puis $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2$.

]]> $r = 12$ et $u_0 = 11$

]]> Erreur : $12$ est l'écart total sur $4$ rangs : la
raison est l'écart par pas : $\frac{12}{4} = 3$.

]]> $r = 3$ et $u_0 = 11$

]]> Erreur : $11 = u_3$, pas $u_0$ : il faut reculer de
trois pas : $11 - 9 = 2$.

]]> $r = 4$ et $u_0 = -1$

]]> Erreur : $4$ est le nombre de pas entre $u_3$ et
$u_7$, pas la raison ($\frac{23 - 11}{7 - 3} = 3$).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q15 : Somme de termes en progression arithmétique Que vaut la somme $5 + 8 + 11 + \dots + 35$ (termes en
progression arithmétique de raison $3$) ?

]]> Une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut (nombre de termes) × (premier + dernier)/2 : la méthode de Gauss. Deux pièges : compter les
termes (écarts + 1) et diviser la somme des extrêmes par
$2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $220$

]]> Bonne réponse : nombre de termes : $\frac{35 - 5}{3} + 1
= 11$ ; moyenne des extrêmes : $\frac{5 + 35}{2} = 20$ ;
la somme vaut nombre de termes × moyenne des extrêmes :
$11 \times 20 = 220$.

]]> $200$

]]> Terme manquant : $200 = 10 \times 20$, mais
$\frac{35 - 5}{3} = 10$ compte les écarts, pas les
termes : il y en a $10 + 1 = 11$ (le piège du « +1 »).

]]> $440$

]]> Division oubliée : $11 \times 40$ prend la somme des
extrêmes au lieu de leur moyenne : diviser par $2$.

]]> $40$

]]> Erreur : $5 + 35 = 40$ n'additionne que les deux bouts :
la formule multiplie leur moyenne par le nombre de
termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q16 : Variation par la différence Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$ pour tout $n$.
Que peut-on en conclure ?

]]> Méthode reine pour les variations : étudier le signe de
$u_{n+1} - u_n$. Positif pour tout $n$ : croissante ;
négatif : décroissante. (Pour les suites à termes positifs,
comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ marche aussi.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est strictement croissante

]]> Bonne réponse : $2n + 1 > 0$ pour tout $n \geq 0$, la
différence $u_{n+1} - u_n$ est positive à chaque rang :
chaque terme dépasse le précédent, croissance stricte
(sans connaître $u_0$ !).

]]> La suite est arithmétique de raison $2n + 1$

]]> Erreur : une raison doit être constante : ici la
différence grandit avec $n$ : croissante oui,
arithmétique non.

]]> On ne peut rien dire sans connaître $u_0$

]]> Erreur : le sens de variation ne dépend que du signe
des différences : $u_0$ fixe le point de départ, pas
la pente.

]]> La suite est strictement décroissante

]]> Signe mal lu : $2n + 1 \geq 1 > 0$ : les différences
sont toutes positives : la suite monte.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q17 : Dépassement de seuil Un capital de $1\,000$ euros est placé à $5\ \%$ par an
(suite $c_n = 1000 \times 1{,}05^n$). À partir de quelle
année dépasse-t-il $2\,000$ euros, sachant que
$1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ et $1{,}05^{15} \approx
2{,}08$ ?

]]> Recherche de seuil pour une suite géométrique : premier $n$
tel que $q^n$ dépasse le rapport visé : par balayage
(calculatrice ou boucle while c < 2000). La réponse est le
PREMIER rang qui franchit, à vérifier des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au bout de $15$ ans

]]> Bonne réponse : il faut $1{,}05^n > 2$ : encore
$1{,}98 < 2$ au rang $14$, et $2{,}08 > 2$ au rang
$15$ : premier dépassement à $n = 15$.

]]> Au bout de $14$ ans

]]> Lecture trop rapide : $1000 \times 1{,}98 = 1980 <
2000$ : le seuil n'est pas encore franchi au rang $14$.

]]> Au bout de $20$ ans : $5\ \% \times 20 = 100\ \%$

]]> Raisonnement linéaire sur un phénomène multiplicatif :
les intérêts composés s'accumulent plus vite : le
doublement arrive dès $15$ ans.

]]> Jamais : le capital croît de moins en moins

]]> Contresens : la croissance géométrique de raison $> 1$
s'accélère en valeur absolue : tout seuil finit par
tomber.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q18 : Le cas mixte $u_{n+1} = 2u_n + 3$ La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$
est-elle arithmétique ou géométrique ?

]]> Une relation $u_{n+1} = au_n + b$ (avec $a \neq 1$ et $b \neq 0$) ne relève d'aucun des deux
modèles purs. Le test numérique sur trois termes suffit à le montrer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni l'une ni l'autre

]]> Bonne réponse : les premiers termes sont $1, 5, 13, 29$ :
différences $4, 8, 16$ (variables), quotients $5$,
$2{,}6$ et $\approx 2{,}23$ (variables aussi) : le
mélange « fois $2$ plus $3$ » sort des deux modèles
purs.

]]> Géométrique de raison $2$

]]> Le $+3$ gâche tout : $\frac{u_1}{u_0} = 5 \neq 2$ :
sans le terme additif, elle serait géométrique ; avec,
elle ne l'est plus.

]]> Arithmétique de raison $3$

]]> Le $\times 2$ gâche tout : $u_1 - u_0 = 4 \neq 3$ : le
doublement rompt la régularité additive.

]]> Arithmétique ET géométrique

]]> Erreur : cumuler les deux exigerait une suite constante ;
celle-ci explose ($1, 5, 13, 29, \dots$).

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q19 : $u_n$ ou $u(n)$ Dans l'écriture $u_n$, que désigne l'indice $n$ ?

]]> Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est celui des
entiers. L'indice joue le rôle de la variable, et $u_n$ celui de l'image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le rang du terme

]]> Bonne réponse : l'indice repère la position du terme dans la suite,
pas sa valeur.

]]> La valeur du terme

]]> La valeur est $u_n$ elle-même : pour la suite des carrés, $u_3$ vaut
$9$ et non $3$.

]]> Le nombre de termes de la suite

]]> Une suite possède une infinité de termes ; l'indice en désigne un
seul.

]]> La raison de la suite

]]> La raison est une caractéristique globale de la suite, elle ne dépend
pas du rang considéré.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q20 : Calculer de proche en proche Une suite est définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n^2 - 5$.
Que vaut $u_2$ ?

]]> Une suite définie par récurrence se calcule terme après terme : aucun
terme ne s'obtient sans avoir calculé tous les précédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11$

]]> Bonne réponse : $u_1 = 9 - 5 = 4$, puis $u_2 = 16 - 5 = 11$.

]]> $4$

]]> Une seule étape effectuée : $4$ est la valeur de $u_1$, il reste un
pas à faire.

]]> $-1$

]]> Formule appliquée au rang initial : $u_0^2 - 5$ vaut $4$, et le calcul
proposé part de $u_0 = 2$.

]]> $121$

]]> Une étape de trop : $121$ correspond à $u_3$, obtenu en appliquant
encore la relation.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q21 : Somme des puissances de $2$ Combien vaut la somme $1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{10}$ ?

]]> Pour $q \neq 1$, la somme $1 + q + \ldots + q^n$ vaut
$\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. Avec $q = 2$ et $n = 10$, elle vaut
$2^{11} - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\,047$

]]> Bonne réponse : la formule donne $\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} =
2^{11} - 1 = 2\,047$.

]]> $1\,024$

]]> Dernier terme recopié : $2^{10} = 1\,024$ n'est qu'une partie de la
somme.

]]> $2\,048$

]]> Une unité de trop : $2^{11} = 2\,048$, et la somme vaut ce nombre
diminué de $1$.

]]> $1\,023$

]]> Terme oublié : ce résultat correspond à la somme jusqu'à $2^9$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q22 : Somme de termes consécutifs Combien vaut la somme des entiers de $1$ à $50$ ?

]]> La somme des $n$ premiers entiers vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Elle sert de
brique de base pour toutes les sommes de suites arithmétiques.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1\,275$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{50 \times 51}{2} = 1\,275$.

]]> $2\,550$

]]> Division oubliée : $50 \times 51$ compte chaque paire deux fois.

]]> $1\,250$

]]> Formule approchée : $\dfrac{50^2}{2}$ néglige la demi-unité par terme.

]]> $2\,500$

]]> Carré du nombre de termes : il dépasse largement une somme dont la
moyenne vaut $25{,}5$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q23 : Variations par le quotient Pour une suite à termes strictement positifs, que conclure si
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1{,}2$ pour tout $n$ ?

]]> Pour une suite à termes strictement positifs, comparer
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ donne le sens de variation. La méthode par
différence, elle, vaut quel que soit le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est strictement croissante

]]> Bonne réponse : un quotient supérieur à $1$ sur des termes positifs
signifie que chaque terme dépasse le précédent.

]]> La suite est strictement décroissante

]]> Il faudrait un quotient compris strictement entre $0$ et $1$ pour que
les termes diminuent.

]]> La suite est constante

]]> Un quotient constant ne signifie pas une suite constante : seul le
quotient $1$ donnerait ce résultat.

]]> On ne peut pas conclure

]]> Le signe des termes étant connu, le quotient décide entièrement du
sens de variation.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q24 : Deux versements par an Un compte contient $1\,000$ euros, rapporte $2$ % par an et reçoit
$500$ euros de versement en fin d'année. Quelle relation le décrit ?

]]> Une évolution mêlant pourcentage et montant fixe donne une relation de la
forme $u_{n+1} = au_n + b$. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_{n+1} = 1{,}02u_n + 500$

]]> Bonne réponse : les intérêts multiplient le capital, le versement
s'ajoute ensuite.

]]> $u_{n+1} = 1{,}02(u_n + 500)$

]]> Ordre inversé : le versement de fin d'année ne produit pas d'intérêts
la même année.

]]> $u_{n+1} = u_n + 500 + 0{,}02$

]]> Taux traité comme un montant : $2$ % de $1\,000$ euros font $20$
euros, pas deux centimes.

]]> $u_{n+1} = 1{,}02u_n$

]]> Versement oublié : le compte ne progresserait alors que par les
intérêts.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q25 : Retrouver une raison géométrique Une suite géométrique vérifie $u_2 = 12$ et $u_5 = 324$.
Quelle est sa raison, sachant qu'elle est positive ?

]]> Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p \times r^{q-p}$.
La raison s'obtient donc par une racine, pas par une division.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{324}{12} = 27 = q^3$, donc $q = 3$.

]]> $27$

]]> Quotient non ramené à un seul pas : $27$ correspond à trois
multiplications par la raison.

]]> $9$

]]> Racine carrée au lieu de la racine cubique : trois pas séparent les
rangs $2$ et $5$.

]]> $104$

]]> Différence des termes divisée par celle des rangs : cette méthode vaut
pour une suite arithmétique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q26 : Un algorithme de seuil Une suite croissante est calculée dans une boucle while qui
s'arrête quand le terme dépasse $1\,000$. Que contient le compteur à
la sortie ?

]]> Un algorithme de seuil compte les itérations jusqu'au dépassement. Le
compteur donne le rang cherché, la variable de la suite la valeur
atteinte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le rang du premier terme supérieur à $1\,000$

]]> Bonne réponse : la boucle s'interrompt dès que la condition cesse
d'être vérifiée, donc au premier dépassement.

]]> La valeur du premier terme supérieur à $1\,000$

]]> C'est la variable de la suite qui contient cette valeur, pas le
compteur.

]]> Le nombre $1\,000$

]]> Ce nombre est le seuil testé, il n'est pas stocké dans le compteur.

]]> Le rang du dernier terme inférieur à $1\,000$

]]> Ce rang vaut une unité de moins : le compteur est incrémenté une
dernière fois avant la sortie.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q27 : Arithmétique ou géométrique Une suite prend les valeurs $5$, $15$, $45$, $135$.
De quelle nature est-elle ?

]]> Pour trancher, on calcule les différences puis les quotients de termes
consécutifs. C'est celui des deux qui reste constant qui donne la nature
de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $3$

]]> Bonne réponse : chaque terme est le triple du précédent, alors que les
écarts, eux, changent.

]]> Arithmétique de raison $10$

]]> L'écart n'est constant qu'au début : il vaut $10$, puis $30$, puis
$90$.

]]> Arithmétique de raison $3$

]]> Une raison arithmétique s'ajoute : la suite donnerait $5$, $8$, $11$,
$14$.

]]> Ni l'une ni l'autre

]]> Le quotient de deux termes consécutifs vaut toujours $3$, ce qui
caractérise une suite géométrique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q28 : Un terme lointain Une suite arithmétique a pour premier terme $u_1 = 7$ et pour raison
$4$. Que vaut $u_{100}$ ?

]]> Pour une suite arithmétique commençant au rang $1$, on a
$u_n = u_1 + (n-1)r$. Compter les pas plutôt que les rangs évite le décalage
d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $403$

]]> Bonne réponse : $u_{100} = 7 + 99 \times 4$, puisque quatre-vingt-dix-
neuf pas séparent les rangs $1$ et $100$.

]]> $407$

]]> Un pas de trop : la formule pour une suite commençant au rang $1$
utilise $n - 1$ et non $n$.

]]> $400$

]]> Premier terme oublié : $99 \times 4$ ne mesure que la progression
depuis $u_1$.

]]> $28$

]]> Produit du premier terme par la raison : cette opération ne correspond
à aucune étape du calcul.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q29 : Vers quoi tend une suite géométrique Vers quoi tendent les termes d'une suite géométrique de premier terme
$100$ et de raison $0{,}5$ ?

]]> Une suite géométrique de raison strictement comprise entre $0$ et $1$
tend vers $0$. Les termes deviennent aussi proches de zéro que l'on veut,
pourvu que le rang soit assez grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers $0$

]]> Bonne réponse : chaque terme vaut la moitié du précédent, donc ils se
rapprochent de $0$ sans jamais l'atteindre.

]]> Vers $0{,}5$

]]> Raison confondue avec la limite : la raison décrit le passage d'un
terme au suivant.

]]> Vers $100$

]]> Premier terme recopié : la suite s'en éloigne dès le deuxième rang.

]]> Vers $50$

]]> Deuxième terme recopié : la décroissance se poursuit bien au-delà.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q30 : Lire une suite sur un graphique Sur la représentation graphique d'une suite, que lit-on en abscisse ?

]]> Une suite se représente par des points isolés, jamais par une courbe
continue : seuls les rangs entiers ont un terme associé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le rang du terme

]]> Bonne réponse : chaque point a pour coordonnées le rang et le terme
correspondant.

]]> La valeur du terme

]]> Elle se lit en ordonnée, comme l'image d'une fonction.

]]> La raison de la suite

]]> La raison n'est pas une coordonnée : elle se lit dans l'écart entre
points consécutifs.

]]> Le premier terme

]]> Il correspond à un point précis, celui du rang le plus petit, pas à un
axe entier.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q31 : Nature d'une suite donnée par une formule Une suite est définie, pour tout entier $n$, par $u_n = 4 \times 3^n$.
Quelle est sa nature ?

]]> Une écriture de la forme $u_n = c \times q^n$ est la formule explicite
d'une suite géométrique : $q$ en est la raison et $c$ le terme de rang
$0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique de raison $3$, de premier terme $4$

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant par
$3$, et le rang $0$ donne $u_0 = 4$.

]]> Géométrique de raison $4$, de premier terme $3$

]]> Rôles échangés : le facteur répété $3$ est la raison, alors que
$4$ est le terme de rang $0$.

]]> Arithmétique de raison $3$, de premier terme $4$

]]> Le modèle arithmétique ajouterait $3$ à chaque étape. Ici on
multiplie, puisque $u_1 = 12$ et non $4 + 3$.

]]> Ni arithmétique ni géométrique, car $n$ est en exposant

]]> L'exposant $n$ est au contraire la marque du modèle géométrique :
multiplier $n$ fois par $3$ revient à écrire $3^n$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q32 : Trois pas de récurrence Une suite est définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1} = 3u_n - 1$. Que vaut $u_3$ ?

]]> Une relation de récurrence se déroule pas à pas : chaque terme se
calcule à partir du précédent, et il faut mener autant d'étapes que de
rangs à franchir.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $41$

]]> Bonne réponse : $u_1 = 5$, puis $u_2 = 14$, puis
$u_3 = 3 \times 14 - 1 = 41$.

]]> $14$

]]> Un pas de trop tôt : $14$ est le terme $u_2$, il reste une étape
pour atteindre $u_3 = 41$.

]]> $54$

]]> Le terme constant a été oublié : il s'ajoute à chaque étape, pas
seulement à la fin. On obtient $41$.

]]> $53$

]]> Le terme constant n'intervient qu'une seule fois dans ce calcul,
alors qu'il intervient à chacune des trois étapes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q33 : $u_{n+1}$ ou $u_n + 1$ Pour une suite $(u_n)$, quelle différence y a-t-il entre $u_{n+1}$ et
$u_n + 1$ ?

]]> Dans une écriture $u_n$, l'indice indique le rang. Modifier l'indice
change de terme, tandis qu'ajouter un nombre après $u_n$ modifie la
valeur du terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le premier est le terme suivant, le second est le terme augmenté de $1$

]]> Bonne réponse : dans $u_{n+1}$, c'est le rang qui augmente ; dans
$u_n + 1$, c'est la valeur du terme.

]]> Aucune différence : les deux écritures désignent toujours le même nombre

]]> Elles ne coïncident que pour une suite arithmétique de raison $1$,
ce qui est un cas très particulier.

]]> Le premier est le terme de rang $1$, le second celui de rang $n$

]]> L'indice $n+1$ désigne le rang qui suit $n$, et non le rang $1$.

]]> Le premier n'a de sens que si la suite est définie par récurrence

]]> L'écriture $u_{n+1}$ désigne un terme, quel que soit le mode de
génération de la suite.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q34 : Atteindre un rang lointain Deux suites sont définies ainsi : $(u_n)$ par $u_n = 5n - 2$, et
$(v_n)$ par $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = v_n + 4$. Laquelle donne le terme
de rang $100$ en un seul calcul ?

]]> Une formule explicite donne un terme directement à partir de son rang ;
une relation de récurrence exige de dérouler la suite depuis son
premier terme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite $(u_n)$, donnée par une formule explicite

]]> Bonne réponse : il suffit de remplacer $n$ par $100$, sans calculer
les termes précédents.

]]> La suite $(v_n)$, donnée par une relation de récurrence

]]> Cette relation oblige à calculer les cent termes qui précèdent,
l'un après l'autre.

]]> Les deux, puisqu'elles sont toutes les deux arithmétiques

]]> Les deux sont bien arithmétiques, mais seule une formule explicite
donne un terme sans passer par les autres.

]]> Aucune des deux : il faut toujours calculer les termes un par un

]]> Une formule explicite exprime $u_n$ en fonction du seul rang $n$,
ce qui évite justement ce déroulement.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q35 : Des points alignés Sur un graphique, les points représentant les termes d'une suite sont
alignés. Que peut-on en déduire ?

]]> Des points alignés traduisent un écart constant d'un rang au suivant :
c'est exactement la définition d'une suite arithmétique, dont la raison
se lit dans la pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite est arithmétique

]]> Bonne réponse : passer d'un point au suivant fait toujours avancer
d'un rang et monter de la même quantité, qui est la raison.

]]> La suite est géométrique

]]> Les points d'une suite géométrique de raison différente de $1$ ne
sont pas alignés : les écarts sont multipliés, pas constants.

]]> La suite est croissante

]]> Des points alignés peuvent descendre : c'est le cas lorsque la
raison est négative.

]]> La suite est constante à partir d'un certain rang

]]> Une suite constante donne des points alignés horizontalement, mais
c'est seulement un cas particulier.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q36 : Les rangées d'un gradin Un gradin compte $15$ rangées. La première a $12$ places, et chaque
rangée suivante en compte $3$ de plus que la précédente. Combien de
places compte le gradin ?

]]> Les nombres de places forment une suite arithmétique. Leur somme se
calcule en multipliant le nombre de termes par la demi-somme du premier
et du dernier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $495$ places

]]> Bonne réponse : la dernière rangée a $54$ places, et la
somme vaut $15 \times \dfrac{12 + 54}{2} = 495$.

]]> $54$ places

]]> C'est le nombre de places de la dernière rangée seule, alors que la
question porte sur le gradin entier.

]]> $180$ places

]]> Ce calcul suppose toutes les rangées identiques à la première et
ignore les $3$ places ajoutées à chaque rangée.

]]> $990$ places

]]> Division par $2$ oubliée : la somme vaut la moyenne des termes
extrêmes multipliée par le nombre de rangées.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q37 : Une raison négative Une suite arithmétique vérifie $u_0 = 50$ et $u_{8} = 18$.
Quelle est sa raison ?

]]> Entre les rangs $0$ et $k$, la suite fait $k$ pas de longueur $r$. On
obtient donc $r$ en divisant la variation totale $u_k - u_0$ par $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-4$

]]> Bonne réponse : entre les rangs $0$ et $8$, la suite a varié de
$-32$. En partageant cette variation entre les $8$ étapes, on
obtient la raison $-4$.

]]> $-32$

]]> C'est la variation totale entre les rangs $0$ et $8$. Il reste à
la partager entre les $8$ étapes.

]]> $4$

]]> Sens de variation inversé : la suite décroît, donc sa raison est
négative.

]]> $46$

]]> C'est le terme $u_1$, et non la raison : la raison est l'écart entre
deux termes consécutifs.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q38 : Des quotients presque constants Pour une suite à termes strictement positifs, on calcule
$\dfrac{u_1}{u_0} = 3$, $\dfrac{u_2}{u_1} = 3$ et
$\dfrac{u_3}{u_2} \approx 2{,}8$. Que peut-on conclure ?

]]> Le quotient de deux termes consécutifs sert à tester le modèle
géométrique : il doit être le même à chaque rang. Une seule valeur
différente suffit à conclure par la négative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle n'est pas géométrique

]]> Bonne réponse : un seul quotient différent des autres suffit à
écarter le modèle géométrique, qui exige un quotient constant.

]]> Elle est géométrique de raison $3$

]]> Les deux premiers quotients valent $3$, mais le troisième non : la
raison ne serait alors pas la même partout.

]]> Elle est géométrique, à un arrondi près

]]> Rien n'indique un arrondi dans l'énoncé, et $2{,}8$ est trop
éloigné de $3$ pour être une simple approximation.

]]> Elle est arithmétique, puisqu'elle n'est pas géométrique

]]> Les deux modèles ne recouvrent pas tous les cas : une suite peut
n'être ni l'un ni l'autre.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q39 : Un motif d'allumettes La figure $1$ d'un motif utilise $4$ allumettes, et chaque figure
suivante en utilise $3$ de plus que la précédente. Combien
d'allumettes utilise la figure $10$ ?

]]> Un motif dont chaque étape ajoute la même quantité se décrit par une
suite arithmétique. Attention au décalage : de la figure $1$ à la
figure $n$, il n'y a que $n - 1$ ajouts.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $31$

]]> Bonne réponse : de la figure $1$ à la figure $10$, on ajoute
$3$ allumettes $9$ fois, d'où $4 + 3 \times 9 = 31$.

]]> $34$

]]> Une étape de trop : la figure $1$ est le point de départ, il n'y a
que $9$ ajouts à effectuer.

]]> $40$

]]> Le motif ne multiplie pas la première figure : il lui ajoute
toujours la même quantité.

]]> $30$

]]> Les $4$ allumettes de la figure $1$ ont disparu du calcul : elles
font pourtant partie du motif.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q40 : Intérêts simples ou composés Un capital de $2\,000$ euros peut être placé de deux façons : le
placement $A$ rapporte $80$ euros chaque année, le placement $B$
augmente de $3\ \%$ chaque année. Que peut-on dire au bout de deux ans ?

]]> Un versement fixe chaque année relève du modèle arithmétique, un
pourcentage fixe du modèle géométrique. Le second l'emporte à long
terme, mais il faut comparer les valeurs pour un petit nombre d'années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $A$ dépasse $B$ de près de $38$ euros

]]> Bonne réponse : $A$ donne $2\,160$ euros et $B$ donne
$2\,000 \times 1{,}03^2 = 2\,121{,}80$ euros.

]]> $B$ dépasse $A$ de près de $38$ euros

]]> Le sens est inversé : sur deux ans seulement, $3\ \%$ de $2\,000$
euros rapportent moins que $80$ euros par an.

]]> Les deux placements donnent le même capital

]]> Les capitaux diffèrent : $2\,160$ euros d'un côté,
$2\,121{,}80$ euros de l'autre.

]]> $B$ dépasse $A$, car un pourcentage croît plus vite

]]> Un modèle géométrique finit par l'emporter, mais pas
nécessairement au bout de deux ans : ici $B$ reste derrière.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q41 : Deux baisses successives Un prix baisse de $20\ \%$, puis baisse encore de $15\ \%$.
Quel est le taux d'évolution global ?

]]> Deux évolutions successives se composent en multipliant leurs
coefficients multiplicateurs. Le taux global se lit ensuite sur le
coefficient obtenu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-32\ \%$

]]> Bonne réponse : les coefficients multiplicateurs se multiplient, et
$0{,}80 \times 0{,}85 = 0{,}68$,
soit une baisse de $32\ \%$.

]]> $-35\ \%$

]]> Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un
prix déjà diminué, donc sur une base plus petite.

]]> $-17\ \%$

]]> Une moyenne des deux taux n'a pas de sens ici : deux baisses
successives retranchent davantage que leur moyenne.

]]> $-3\ \%$

]]> Ce sont les coefficients multiplicateurs qui se multiplient, et non
les taux eux-mêmes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q42 : Pourquoi ni l'un ni l'autre Pour la suite définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$, on obtient
$u_1 = 10$, $u_2 = 28$ et $u_3 = 82$. Pourquoi cette suite n'est-elle
ni arithmétique ni géométrique ?

]]> Pour écarter les deux modèles, on teste les deux outils : la différence
de deux termes consécutifs pour le modèle arithmétique, leur quotient
pour le modèle géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ni les différences ni les quotients ne sont constants

]]> Bonne réponse : les différences valent $6$, $18$, $54$ et les
quotients $2{,}5$ puis $2{,}8$ : aucune des deux listes n'est
constante.

]]> Les différences varient, mais les quotients sont constants

]]> Les quotients $\dfrac{10}{4} = 2{,}5$ et $\dfrac{28}{10} = 2{,}8$
diffèrent : ils ne sont pas constants non plus.

]]> Les quotients varient, mais les différences sont constantes

]]> Les différences $6$, $18$ et $54$ ne sont pas constantes : elles
sont même triplées à chaque étape.

]]> Parce qu'elle est définie par une relation de récurrence

]]> Les suites arithmétiques et géométriques se définissent elles aussi
par récurrence : ce n'est pas le critère.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q43 : Une différence qui change de signe Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 2n - 9$ pour tout entier $n \geq 0$.
Comment varie-t-elle ?

]]> Le signe de $u_{n+1} - u_n$ donne le sens de variation rang par rang.
Lorsque cette différence change de signe, la suite change elle aussi de
sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît jusqu'au rang $5$, puis croît

]]> Bonne réponse : $2n - 9$ est négatif tant que $n \leq 4$ et positif
dès que $n \geq 5$, donc $u_5$ est le plus petit terme.

]]> Elle croît jusqu'au rang $5$, puis elle décroît

]]> Le sens est inversé : la différence commence par être négative, et
c'est ensuite qu'elle devient positive.

]]> Elle est décroissante pour tout entier $n$

]]> La différence change de signe : à partir de $n = 5$, elle est
positive et la suite remonte.

]]> Elle est arithmétique de raison $2n - 9$

]]> Une raison est un nombre fixe. Ici l'écart dépend de $n$, donc la
suite n'est pas arithmétique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q44 : Retrouver le rang d'un terme Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 5$ et pour raison
$4$. Quel est le rang du terme égal à $61$ ?

]]> Le terme général d'une suite arithmétique s'écrit $u_n = u_0 + nr$.
Chercher le rang d'un terme donné revient donc à résoudre une équation
du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $14$

]]> Bonne réponse : on résout $5 + 4n = 61$, soit
$4n = 56$ et donc $n = 14$.

]]> $56$

]]> C'est la variation totale depuis le premier terme. Il reste à la
diviser par la raison $4$.

]]> $15$

]]> Confusion entre le rang et le nombre de termes : la suite commence
au rang $0$, donc le rang cherché vaut $14$.

]]> $12$

]]> La division porte sur l'écart au premier terme, pas sur le premier
terme lui-même.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q45 : Somme de termes géométriques Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de
raison $2$. Que vaut la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{5}$ ?

]]> La somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ vaut le
premier terme multiplié par $\dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $189$

]]> Bonne réponse : la somme compte $6$ termes et vaut
$3 \times \dfrac{2^{6} - 1}{2 - 1} = 189$.

]]> $93$

]]> Un terme manque : la somme s'arrête au rang $5$, elle compte donc
$6$ termes et non $5$.

]]> $96$

]]> C'est le dernier terme $u_{5}$ seul, alors que la question porte
sur la somme de tous les termes.

]]> $63$

]]> Le premier terme $3$ a été oublié : il multiplie toute la somme
des puissances de $2$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q46 : Reconnaître une suite arithmétique et sa raison Les premiers termes d'une suite sont $5$, $8$, $11$, $14$.
Que peut-on dire de cette suite ?

]]> Une suite est arithmétique si la différence $u_{n+1} - u_n$ est
constante ; cette constante est la raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique de raison $3$

]]> Bonne réponse : chaque terme s'obtient en ajoutant $3$ au
précédent : $8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3$.

]]> Arithmétique de raison $5$

]]> Erreur : $5$ est le premier terme, pas la raison.

]]> Géométrique de raison $3$

]]> Erreur : les termes ne sont pas multipliés par un même nombre ;
ils augmentent d'une même quantité.

]]> Ni arithmétique ni géométrique

]]> Erreur : la différence entre deux termes consécutifs est
constante, ce qui définit une suite arithmétique.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q47 : Terme général quand la suite commence au rang un Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 7$ et a pour raison $4$.
Que vaut $u_{20}$ ?

]]> Entre $u_1$ et $u_n$, on ajoute $n - 1$ fois la raison :
$u_n = u_1 + (n - 1)r$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $83$

]]> Bonne réponse : $u_n = u_1 + (n - 1)r$, donc
$u_{20} = 7 + 19 \times 4 = 83$.

]]> $87$

]]> Erreur : la formule $u_0 + nr$ suppose un premier terme de rang
$0$ ; ici le premier rang est $1$, d'où $(n - 1)$ raisons.

]]> $532$

]]> Erreur : la raison s'ajoute, elle ne multiplie pas le premier
terme.

]]> $7 + 4$

]]> Erreur : $7 + 4$ n'est que $u_2$.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q48 : Sens de variation d'une suite arithmétique Une suite arithmétique a pour raison $-2$. Quel est son sens de
variation ?

]]> Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,
décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, la raison étant négative

]]> Bonne réponse : $u_{n+1} - u_n = -2$ ; le signe de la raison
donne le sens de variation.

]]> Croissante, car $|{-2}| = 2 > 0$

]]> Erreur : c'est le signe de $u_{n+1} - u_n = -2$ qui décide.

]]> Constante, une suite arithmétique ne variant pas

]]> Erreur : une suite arithmétique n'est constante que si sa
raison est nulle.

]]> Cela dépend du premier terme

]]> Erreur : le premier terme ne change pas le signe des
différences successives.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q49 : Retrouver la raison à partir de deux termes Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 10$ et $u_{8} =
25$. Quelle est sa raison ?

]]> Pour une suite arithmétique, $u_q - u_p = (q - p)\,r$ : deux termes
suffisent à retrouver la raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $u_{8} - u_{3} = (8 - 3)r$, donc
$r = \dfrac{15}{5} = 3$ ; on en déduit $u_0 = 1$.

]]> $15$

]]> Erreur : $15$ est l'écart entre les deux termes, qui couvre
$5$ raisons.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ est l'écart entre les rangs, pas la raison.

]]> $10$

]]> Erreur : $10$ est un terme de la suite, pas sa raison.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q50 : Somme des premiers entiers Calculer $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$.

]]> $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ : nombre de termes fois
moyenne du premier et du dernier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5050$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{100 \times 101}{2} = 5050$.

]]> $10000$

]]> Erreur : $100^2$ serait la somme des $100$ premiers nombres
impairs, pas celle des entiers de $1$ à $100$.

]]> $4950$

]]> Erreur : $\dfrac{n(n - 1)}{2}$ est la somme de $1$ à $99$.

]]> $100$

]]> Erreur : $100$ est le dernier terme, pas la somme.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q51 : Somme des premières puissances de deux Calculer $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{5}$.

]]> Pour $q \neq 1$ : $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}
{1 - q}$ ; avec $q = 2$, la somme vaut le terme suivant moins $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $63$

]]> Bonne réponse : $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{q^{n+1} - 1}
{q - 1}$ avec $q = 2$ : $2^{6} - 1 = 63$.

]]> $32$

]]> Erreur : $2^{5} = 32$ est le dernier terme, pas la somme.

]]> $31$

]]> Erreur : $2^{5} - 1$ est la somme jusqu'à $2^{4}$
seulement.

]]> $6$

]]> Erreur : $6$ est le nombre de termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q52 : Somme de termes en progression arithmétique par la formule Une suite arithmétique a $10$ termes consécutifs allant de $3$
à $39$. Quelle est leur somme ?

]]> Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :
$n \times \dfrac{u_{\text{premier}} + u_{\text{dernier}}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $210$

]]> Bonne réponse : somme $=$ nombre de termes $\times$
$\dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} = 10 \times
\dfrac{3 + 39}{2} = 210$.

]]> $420$

]]> Erreur : la division par $2$ a été oubliée ; on multiplie par
la moyenne du premier et du dernier terme.

]]> $42$

]]> Erreur : $3 + 39$ n'est que la somme des deux termes
extrêmes.

]]> $10$

]]> Erreur : $10$ est le nombre de termes.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q53 : Passer sous un seuil avec une suite géométrique décroissante Soit $u_n = 100 \times 0{,}8^n$. À partir de quel rang a-t-on
$u_n < 10$ ?

]]> Un algorithme de seuil ou la calculatrice donne le premier rang
pour lequel $u_n < 10$ ; la décroissance garantit que tous les
rangs suivants conviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n = 11$, car $u_{11} \approx 8{,}6$

]]> Bonne réponse : $u_{10} \approx 10{,}7 \geq 10$ et
$u_{11} \approx 8{,}6 < 10$ ; le seuil est franchi au rang
$11$, et la suite étant décroissante, il le reste ensuite.

]]> $n = 10$, car $u_{10} \approx 10{,}7$

]]> Erreur : $10{,}7$ est encore supérieur ou égal à $10$.

]]> $n = 12$, par sécurité

]]> Erreur : le seuil est déjà franchi au rang $11$.

]]> Jamais, la suite restant positive

]]> Erreur : une suite géométrique de raison dans $]0 ; 1[$ tend vers
$0$ et passe sous tout seuil positif.

]]> Suites numériques, modèles discrets — Q54 : Une somme calculée par un programme Que renvoie somme(n) ?
def somme(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + k
    return s

]]> Accumulateur initialisé à $0$, boucle sur les entiers de $1$ à $n$ :
le programme calcule $\dfrac{n(n + 1)}{2}$ pas à pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 + 2 + \cdots + n$, la somme de $1$ à $n$

]]> Bonne réponse : range(1, n + 1) parcourt les entiers de $1$ à
$n$, et s accumule leur somme.

]]> $1 + 2 + \cdots + (n - 1)$, la borne étant exclue

]]> Erreur : la borne n + 1 étant exclue, le dernier entier
parcouru est bien $n$.

]]> $n$, la dernière valeur de k

]]> Erreur : la fonction renvoie s, pas k.

]]> $n!$, le produit des entiers de $1$ à $n$

]]> Erreur : l'instruction s = s + k additionne ; un produit
s'écrirait s = s * k avec s initialisé à $1$.

]]>