$course$/QCM de maths/Première spécialité/Trigonométrie Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc, enroulement de
la droite des réels, cosinus et sinus d'un nombre réel, lien
avec le triangle rectangle, valeurs remarquables, relation
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, angles associés (opposés,
plus un tour).

]]> Trigonométrie — Q01 : Degrés et radians À combien de radians correspond un angle de $90°$ ?

]]> Le radian mesure un angle par la longueur d'arc sur le
cercle de rayon $1$ : tour complet $= 2\pi$, demi-tour $=
\pi$, quart de tour $= \pi/2$. Conversion : $x° =
x \times \frac{\pi}{180}$ rad.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : le tour complet ($360°$) mesure $2\pi$
radians, donc le quart de tour vaut $\dfrac{2\pi}{4} =
\dfrac{\pi}{2}$.

]]> $\dfrac{\pi}{3}$

]]> Erreur : $\dfrac{\pi}{3}$ correspond à $60°$ (le sixième
de tour). Le quart de tour vaut $\dfrac{\pi}{2}$.

]]> $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{\pi}{4}$ correspond à $45°$ (le huitième
de tour).

]]> $\dfrac{90}{\pi}$

]]> Erreur : la conversion multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$
: $90 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}$. Diviser
par $\pi$ n'a pas de sens ici ($\frac{90}{\pi} \approx
28{,}6$).

]]> Trigonométrie — Q02 : Enroulement de la droite Sur le cercle trigonométrique, quel point est associé au réel
$\dfrac{\pi}{2}$ par l'enroulement de la droite des réels ?

]]> L'enroulement part de $I(1\,;\,0)$ et parcourt le cercle dans
le sens direct (antihoraire) sur une longueur égale au réel :
$\pi/2 \to (0\,;\,1)$, $\pi \to (-1\,;\,0)$,
$2\pi \to$ retour en $I$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point de coordonnées $(0\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : partant de $I(1\,;\,0)$ et parcourant un
quart de tour dans le sens direct (longueur d'arc
$\pi/2$), on atteint le sommet du cercle.

]]> Le point de coordonnées $(1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(1\,;\,0)$ est le point de départ, associé
au réel $0$.

]]> Le point de coordonnées $(0\,;\,-1)$

]]> Erreur : $(0\,;\,-1)$ est atteint pour $-\dfrac{\pi}{2}$
(quart de tour dans le sens indirect) ou pour
$\dfrac{3\pi}{2}$.

]]> Le point de coordonnées $(1\,;\,1)$

]]> Erreur : ce point n'est même pas sur le cercle (sa
distance à l'origine vaut $\sqrt{2} \neq 1$).

]]> Trigonométrie — Q03 : Lire cosinus et sinus sur le cercle Cercle trigonométrique de centre O. Le point M est sur le cercle, dans le premier quadrant, repéré par l'angle pi/3 depuis le point I(1 ; 0). Des pointillés relient M à l'abscisse 1/2 sur l'axe horizontal et à l'ordonnée racine de 3 sur 2 sur l'axe vertical.

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point $M$ est
associé au réel $\dfrac{\pi}{3}$. Quelles sont ses
coordonnées ?

]]> Définition centrale : le point associé à $x$ a pour
coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$. Pour $\pi/3$ :
$\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $M\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

]]> Bonne réponse : par définition, $M(\cos x\,;\,\sin x)$ :
les pointillés donnent $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$
(abscisse) et $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
(ordonnée).

]]> $M\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$

]]> Coordonnées échangées : ce point correspondrait à
$\dfrac{\pi}{6}$ (angle plus proche de l'axe horizontal,
donc grande abscisse et petite ordonnée).

]]> $M\left(\dfrac{\pi}{3}\,;\,0\right)$

]]> Erreur : $\dfrac{\pi}{3}$ est l'angle (la longueur
d'arc), pas une coordonnée. Les coordonnées du point sont
le cosinus et le sinus.

]]> $M\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$

]]> Erreur : ce point n'est pas sur le cercle
($\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2
= \frac{1}{2} \neq 1$). L'ordonnée de $M$ vaut
$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q04 : Définition de cosinus et sinus Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel
$x$. Comment sont définis $\cos x$ et $\sin x$ ?

]]> Pour tout réel $x$ : $M(\cos x\,;\,\sin x)$ sur le cercle
trigonométrique. Conséquence immédiate : $-1 \leq \cos x \leq
1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\sin x$ son ordonnée

]]> Bonne réponse : c'est la définition du programme, qui
étend le cosinus et le sinus à tous les réels.

]]> $\cos x$ est l'ordonnée de $M$ et $\sin x$ son abscisse

]]> Rôles échangés : le cosinus est l'abscisse
(horizontale). Vérifie en $x = 0$ : le point $(1\,;\,0)$
donne bien $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$.

]]> $\cos x$ est la longueur de l'arc parcouru

]]> Erreur : la longueur d'arc est le réel $x$ lui-même
(c'est le principe du radian). Le cosinus en est
l'abscisse du point d'arrivée.

]]> $\cos x$ et $\sin x$ ne sont définis que pour
$x \in [0\,;\,2\pi]$

]]> Erreur : l'enroulement fonctionne pour tout réel (on peut
faire plusieurs tours, ou tourner en sens inverse) :
cosinus et sinus sont définis sur $\mathbb{R}$.

]]> Trigonométrie — Q05 : Une valeur remarquable Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{4}$ ?

]]> Valeurs remarquables (dans l'ordre $\frac{\pi}{6}$,
$\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$) : sinus $\frac{1}{2}$,
$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$ : et cosinus dans
l'ordre inverse. En $\pi/4$, symétrie : $\cos = \sin =
\frac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Bonne réponse : à $45°$, le point du cercle est sur la
bissectrice : abscisse et ordonnée égales, valant
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au programme).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{2}$ est $\sin\dfrac{\pi}{6}$ (ou
$\cos\dfrac{\pi}{3}$). Pour $\pi/4$ :
$\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est $\sin\dfrac{\pi}{3}$
(angle plus ouvert, ordonnée plus haute).

]]> $\dfrac{2}{\sqrt{2}}$

]]> Erreur : $\dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$
dépasse $1$, impossible pour un sinus. La valeur
cherchée est son inverse, $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx
0{,}707$.

]]> Trigonométrie — Q06 : La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ Soit $x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que
$\sin x = 0{,}6$. Que vaut $\cos x$ ?

]]> $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le
cercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au
signe près, tranché par le quadrant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}8$

]]> Bonne réponse : $\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, et sur
$\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ le cosinus est
positif : $\cos x = 0{,}8$.

]]> $0{,}4$

]]> Erreur : $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ soustrait les valeurs au
lieu de leurs carrés. La relation est
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

]]> $\pm 0{,}8$

]]> Incomplet : l'équation du carré donne bien deux
candidats, mais l'hypothèse $x \in [0\,;\,\pi/2]$ (premier
quadrant) force le cosinus positif.

]]> $0{,}64$

]]> Presque : $0{,}64$ est $\cos^2 x$. Il reste à prendre la
racine : $\cos x = 0{,}8$.

]]> Trigonométrie — Q07 : Ajouter un tour Le réel $\dfrac{9\pi}{4}$ est associé au même point du cercle
que lequel de ces réels ?

]]> Deux réels correspondent au même point si et seulement si leur
différence est un multiple de $2\pi$ (nombre entier de
tours). $\frac{9\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi$ : d'où
$\cos\frac{9\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{9\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} +
2\pi$ : un tour complet de plus, même point d'arrivée.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{9\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2} =
\dfrac{7\pi}{4}$, qui n'est pas un multiple de $2\pi$ :
points différents.

]]> $\dfrac{3\pi}{4}$

]]> Erreur : l'écart vaut $\dfrac{6\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}$,
pas un tour complet.

]]> $-\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{9\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)
= \dfrac{10\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2}$ : pas un multiple
de $2\pi$. ($-\pi/4$ est le symétrique de $\pi/4$,
pas le même point.)

]]> Trigonométrie — Q08 : Angles opposés Que vaut $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ ?

]]> Angles opposés : $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$
(symétrie par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : les points associés à $x$ et $-x$ sont
symétriques par rapport à l'axe des abscisses : même
cosinus, sinus opposés. $\sin\frac{\pi}{6} =
\frac{1}{2}$, donc $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) =
-\frac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : c'est le cosinus qui résiste au changement de
signe de l'angle. Le sinus (l'ordonnée) bascule sous
l'axe : $-\frac{1}{2}$.

]]> $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Erreur de valeur : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est le sinus de
$\dfrac{\pi}{3}$, pas de $\dfrac{\pi}{6}$.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Double erreur : mauvaise valeur remarquable et signe
oublié. $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q09 : Lien avec le triangle rectangle Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\theta$ a un côté
adjacent de longueur $3$ et une hypoténuse de longueur $5$.
Que vaut $\cos\theta$ ?

]]> Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,
la définition du cercle redonne
$\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et
$\sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$. Ici :
triangle $3$-$4$-$5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{5}$

]]> Bonne réponse : $\cos\theta = \dfrac{\text{côté
adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{3}{5}$ (et le
troisième côté vaut $4$ : $\sin\theta = \frac{4}{5}$).

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> Erreur : $\dfrac{4}{5}$ est le sinus (côté opposé,
qui vaut $4$ par Pythagore, sur hypoténuse).

]]> $\dfrac{5}{3}$

]]> Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;
l'hypoténuse, plus grande, va au dénominateur.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{3}{4}$ divise l'adjacent par l'opposé
(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à
l'hypoténuse : $\frac{3}{5}$.

]]> Trigonométrie — Q10 : Placer un réel sur le cercle Dans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le
point associé au réel $\dfrac{5\pi}{6}$, et quels sont les
signes de son cosinus et de son sinus ?

]]> Placer un réel : le comparer aux multiples de
$\frac{\pi}{2}$. $\frac{5\pi}{6} \in \left]\frac{\pi}{2}\,;\,
\pi\right[$ : deuxième quadrant, $\cos\frac{5\pi}{6} =
-\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ et $\sin\frac{5\pi}{6} =
\frac{1}{2} > 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deuxième quadrant (en haut à gauche) : $\cos < 0$ et
$\sin > 0$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{5\pi}{6} < \pi$ :
entre le quart et le demi-tour. Abscisse négative,
ordonnée positive.

]]> Premier quadrant : $\cos > 0$ et $\sin > 0$

]]> Erreur : le premier quadrant s'arrête à $\dfrac{\pi}{2} =
\dfrac{3\pi}{6}$ ; or $\dfrac{5\pi}{6}$ le dépasse.

]]> Troisième quadrant : $\cos < 0$ et $\sin < 0$

]]> Erreur : le troisième quadrant commence à $\pi =
\dfrac{6\pi}{6}$, pas encore atteint par
$\dfrac{5\pi}{6}$.

]]> Deuxième quadrant : $\cos > 0$ et $\sin < 0$

]]> Signes inversés : en haut à gauche du cercle, l'abscisse
(cosinus) est négative et l'ordonnée (sinus)
positive.

]]> Trigonométrie — Q11 : Pourquoi $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}$ ? Comment justifier que $\cos\dfrac{\pi}{4} =
\sin\dfrac{\pi}{4}$ ?

]]> L'angle $\pi/4$ est sur la bissectrice du premier quadrant :
abscisse $=$ ordonnée. En injectant dans $\cos^2 x + \sin^2 x
= 1$ : $2\cos^2\frac{\pi}{4} = 1$, d'où $\cos\frac{\pi}{4} =
\frac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point associé à $\dfrac{\pi}{4}$ est sur la
bissectrice $y = x$

]]> Bonne réponse : à mi-chemin du quart de tour, le point
est sur la droite $y = x$, son abscisse égale son
ordonnée. Avec $\cos^2 + \sin^2 = 1$, chaque coordonnée
vaut $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au programme).

]]> Parce que $\cos x = \sin x$ pour tout réel $x$

]]> Erreur : cosinus et sinus diffèrent presque partout
($\cos 0 = 1 \neq 0 = \sin 0$). L'égalité en $\pi/4$
vient de la symétrie particulière de cet angle.

]]> Parce que les deux valent $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur de valeur : elles valent $\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\approx 0{,}707$. (Et $\left(\frac{1}{2}\right)^2 +
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \neq 1$ :
le point ne serait pas sur le cercle.)

]]> C'est une convention adoptée sans justification possible

]]> Erreur : tout se démontre : symétrie du demi-quart de
tour (triangle rectangle isocèle) plus la relation
$\cos^2 + \sin^2 = 1$.

]]> Trigonométrie — Q12 : Le sens de parcours Quel point du cercle trigonométrique est associé au réel
$-\dfrac{\pi}{2}$ ?

]]> Convention : sens direct (antihoraire) pour les réels
positifs, sens indirect pour les négatifs.
$-\frac{\pi}{2} \to (0\,;\,-1)$ : cohérent avec
$\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ et
$\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(0\,;\,-1)$

]]> Bonne réponse : les réels négatifs s'enroulent dans le
sens indirect (celui des aiguilles d'une montre) :
$-\dfrac{\pi}{2}$ correspond à un quart de tour vers le
bas, d'où le point $(0\,;\,-1)$.

]]> $(0\,;\,1)$

]]> Erreur de sens : $(0\,;\,1)$ correspond à
$+\dfrac{\pi}{2}$ (sens direct). Le signe moins renverse
le sens de parcours.

]]> $(-1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(-1\,;\,0)$ correspond à $\pi$ (ou $-\pi$) : un
demi-tour, pas un quart.

]]> $(1\,;\,0)$

]]> Erreur : $(1\,;\,0)$ est le point de départ (réel $0$, ou
tout multiple de $2\pi$).

]]> Trigonométrie — Q13 : La valeur $\sin\dfrac{\pi}{3}$ Que vaut $\sin\dfrac{\pi}{3}$ ?

]]> Le trio à mémoriser : $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4},
\frac{\pi}{3}$ donnent pour sinus $\frac{1}{2},
\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}$ (et les mêmes
valeurs en cosinus, dans l'ordre inverse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Bonne réponse : à $60°$, le point du cercle est haut :
grand sinus $\frac{\sqrt{3}}{2}$, petit cosinus
$\frac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Échange : $\frac{1}{2}$ est $\cos\frac{\pi}{3}$ (ou
$\sin\frac{\pi}{6}$) : à $60°$ le point est plus haut
que large.

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Erreur : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ appartient à
$\frac{\pi}{4}$ ($45°$), l'angle de l'égalité
sinus-cosinus.

]]> $\sqrt{3}$

]]> Trop grand : un sinus reste entre $-1$ et $1$ ; or
$\sqrt{3} \approx 1{,}73$. Le bon rapport est
$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q14 : Cosinus de l'angle opposé Pour tout réel $x$, que vaut $\cos(-x)$ ?

]]> $\cos(-x) = \cos x$ (cosinus pair), $\sin(-x) = -\sin x$
(sinus impair) : la symétrie par rapport à l'axe des
abscisses du cercle. Chaque formule d'angle associé EST une
symétrie du cercle : les visualiser plutôt que les réciter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos x$

]]> Bonne réponse : les points d'abscisses curvilignes $x$
et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe
horizontal : même abscisse, donc même cosinus.

]]> $-\cos x$

]]> Erreur : c'est le sinus qui change de signe
($\sin(-x) = -\sin x$) : la symétrie horizontale
préserve l'abscisse.

]]> $\sin x$

]]> Erreur : l'échange cosinus/sinus vient de
$\frac{\pi}{2} - x$ (angles complémentaires), pas de
l'opposé.

]]> $1 - \cos x$

]]> Erreur : aucune formule d'angle associé ne fait
apparaître de « $1 -$ » : les transformations donnent
$\pm\cos$ ou $\pm\sin$.

]]> Trigonométrie — Q15 : Cosinus de $\pi - x$ Pour tout réel $x$, que vaut $\cos(\pi - x)$ ?

]]> $\pi - x$ (symétrie verticale) : $\cos$ bascule, $\sin$
tient ; $\pi + x$ (symétrie centrale) : les deux basculent ;
$-x$ (symétrie horizontale) : $\sin$ bascule, $\cos$ tient.
Trois symétries, tout le jeu des angles associés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\cos x$

]]> Bonne réponse : $\pi - x$ est le symétrique de $x$ par
rapport à l'axe vertical : l'abscisse change de
signe, l'ordonnée est conservée ($\sin(\pi - x) = \sin
x$).

]]> $\cos x$

]]> Erreur : la symétrie verticale renverse l'abscisse :
$\cos\frac{2\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} =
-\frac{1}{2}$, pas $+\frac{1}{2}$.

]]> $-\sin x$

]]> Erreur : pas d'échange cosinus/sinus ici (réservé à
$\frac{\pi}{2} - x$) : le supplémentaire donne
$-\cos x$.

]]> $\sin x$

]]> Erreur : $\sin x$ est la valeur de $\sin(\pi - x)$ : le
sinus est conservé par cette symétrie, le cosinus
bascule.

]]> Trigonométrie — Q16 : Le radian par la longueur d'arc Sur un cercle de rayon $r$, quelle longueur d'arc un angle au
centre de $1$ radian intercepte-t-il ?

]]> Le radian est défini par la longueur d'arc : $1$ radian
intercepte un arc égal au rayon, donc un angle de $\alpha$
radians intercepte un arc de longueur $\alpha r$. Le tour
complet ($2\pi r$) correspond ainsi à $2\pi$ radians, et $1$
radian $= \dfrac{180}{\pi}° \approx 57{,}3°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $r$

]]> Bonne réponse : c'est la définition du radian : l'angle
qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Sur le
cercle trigonométrique ($r = 1$), cet arc mesure $1$.

]]> $1$

]]> Erreur : vrai seulement pour $r = 1$. Sur un cercle de
rayon $r$, toutes les longueurs sont multipliées par
$r$ : l'arc de $1$ radian mesure $r$.

]]> $\pi r$

]]> Erreur : $\pi r$ est le demi-périmètre, intercepté par un
angle de $\pi$ radians (le demi-tour), pas de $1$ radian.

]]> $\dfrac{2\pi r}{360}$

]]> Erreur : $\dfrac{2\pi r}{360}$ est l'arc intercepté par
$1$ degré (le tour $2\pi r$ partagé en $360$). Un
radian vaut environ $57{,}3°$, bien plus qu'un degré.

]]> Trigonométrie — Q17 : Calculer $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ Que vaut $\sin\dfrac{7\pi}{6}$ ?

]]> Méthode générale : décomposer l'angle par rapport à $\pi$ ou
$\frac{\pi}{2}$ ($\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$),
appliquer la formule d'angle associé, conclure avec la
valeur remarquable. Placer mentalement le point sur le
cercle valide le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{7\pi}{6} = \pi +
\dfrac{\pi}{6}$ : symétrie centrale : $\sin(\pi + x) =
-\sin x = -\dfrac{1}{2}$ (point dans le troisième
quadrant, sous l'axe).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Signe : au-delà de $\pi$, le point passe sous l'axe
des abscisses : le sinus devient négatif.

]]> $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Valeur : l'angle de référence est $\frac{\pi}{6}$, de
sinus $\frac{1}{2}$ ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ appartient à
$\frac{\pi}{3}$).

]]> $\dfrac{7}{6}$

]]> Erreur : un sinus reste dans $[-1\ ;\ 1]$ : on
décompose l'angle ($\pi + \frac{\pi}{6}$) et on applique
la symétrie.

]]> Trigonométrie — Q18 : Coordonnées d'un point du cercle Quelles sont les coordonnées du point du cercle
trigonométrique associé au réel $\dfrac{2\pi}{3}$ ?

]]> Point associé à $x$ : $(\cos x\ ;\ \sin x)$ : ici
$\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ : cosinus basculé,
sinus conservé. Réflexe de contrôle : quadrant 2 = (−, +).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left(-\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

]]> Bonne réponse : coordonnées $= (\cos\ ;\ \sin)$ :
deuxième quadrant : cosinus négatif ($-\frac{1}{2}$),
sinus positif ($\frac{\sqrt{3}}{2}$).

]]> $\left(\dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

]]> Signe du cosinus : $\frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2}$ : le
point a dépassé la verticale : abscisse négative (ce
point-là est celui de $\frac{\pi}{3}$).

]]> $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ -\dfrac{1}{2}\right)$

]]> Coordonnées échangées et signe déplacé : l'abscisse est
le cosinus ($-\frac{1}{2}$), l'ordonnée le sinus
($+\frac{\sqrt{3}}{2}$).

]]> $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ ;\ \dfrac{1}{2}\right)$

]]> Valeurs échangées : l'angle de référence $\frac{\pi}{3}$
donne $\cos = \frac{1}{2}$ (au signe près) et $\sin =
\frac{\sqrt{3}}{2}$ : pas l'inverse.

]]> Trigonométrie — Q19 : Convertir un angle en radians Quelle est la mesure en radians d'un angle de $30$ degrés ?

]]> La conversion repose sur la proportionnalité entre les deux unités :
$180$ degrés correspondent à $\pi$ radians, donc une mesure en degrés se
multiplie par $\dfrac{\pi}{180}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{6}$

]]> Bonne réponse : $180$ degrés valent $\pi$ radians, donc $30$ degrés en
valent le sixième.

]]> $\dfrac{\pi}{3}$

]]> C'est la mesure de $60$ degrés : le rapport à $180$ vaut ici
$\dfrac{1}{6}$ et non $\dfrac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{\pi}{30}$

]]> Degrés placés au dénominateur : la conversion multiplie par
$\dfrac{\pi}{180}$.

]]> $30\pi$

]]> Multiplication au lieu d'une proportion : un angle de $30$ degrés est
bien plus petit qu'un tour complet.

]]> Trigonométrie — Q20 : Signe du cosinus selon le quadrant Pour un réel $x$ compris entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$, quel est le
signe de $\cos x$ ?

]]> Le cosinus est l'abscisse du point du cercle trigonométrique, le sinus son
ordonnée. Le signe se lit donc directement sur le quadrant où se trouve le
point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif

]]> Bonne réponse : le point associé se trouve dans le quadrant en haut à
gauche, donc d'abscisse négative.

]]> Positif

]]> Le cosinus n'est positif que pour les points situés à droite de l'axe
des ordonnées.

]]> Nul

]]> Il ne s'annule qu'aux bornes de cet intervalle, en
$\dfrac{\pi}{2}$ précisément.

]]> Cela dépend de la valeur exacte

]]> Sur tout l'intervalle ouvert, le signe est le même : l'abscisse reste
strictement négative.

]]> Trigonométrie — Q21 : Calculer un sinus à partir d'un cosinus On sait que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ et que $x$ appartient à
$\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$. Que vaut $\sin x$ ?

]]> La relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ donne le carré du sinus. L'intervalle
précisé dans l'énoncé permet ensuite de choisir le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{4}{5}$

]]> Bonne réponse : $\sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$, et le
sinus est positif sur cet intervalle.

]]> $-\dfrac{4}{5}$

]]> Signe mal choisi : sur $\left]0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$, le point
est dans le quadrant en haut à droite, donc d'ordonnée positive.

]]> $\dfrac{2}{5}$

]]> Soustraction directe : la relation porte sur les carrés, pas sur les
valeurs elles-mêmes.

]]> $\dfrac{16}{25}$

]]> Racine oubliée : $\dfrac{16}{25}$ est la valeur de $\sin^2 x$.

]]> Trigonométrie — Q22 : Deux réels, un même point Quels réels sont associés au même point du cercle trigonométrique que
$\dfrac{\pi}{3}$ ?

]]> L'enroulement de la droite numérique sur le cercle est périodique de
période $2\pi$. Deux réels ont donc la même image si et seulement si leur
différence est un multiple de $2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ceux de la forme $\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$

]]> Bonne réponse : ajouter un nombre entier de tours complets ramène au
même point.

]]> Ceux de la forme $\dfrac{\pi}{3} + k\pi$

]]> Un demi-tour amène au point diamétralement opposé, pas au même point.

]]> Ceux de la forme $\dfrac{\pi}{3} \times k$

]]> Multiplier le réel change l'angle : pour $k = 2$, on obtient
$\dfrac{2\pi}{3}$, un autre point.

]]> Seulement $\dfrac{\pi}{3}$ lui-même

]]> L'enroulement de la droite sur le cercle envoie une infinité de réels
sur chaque point.

]]> Trigonométrie — Q23 : La valeur de $\cos\dfrac{\pi}{6}$ Combien vaut $\cos\dfrac{\pi}{6}$ ?

]]> Les trois valeurs remarquables du cosinus sont
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$ pour
$\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$. Elles décroissent
quand l'angle augmente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Bonne réponse : c'est la valeur associée à l'angle de $30$ degrés,
proche de $0{,}87$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> C'est $\sin\dfrac{\pi}{6}$, ou encore $\cos\dfrac{\pi}{3}$ : les deux
valeurs s'échangent d'un angle à l'autre.

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Cette valeur correspond à $\dfrac{\pi}{4}$, l'angle de $45$ degrés.

]]> $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

]]> Dénominateur faux : les valeurs remarquables du cosinus s'écrivent
toutes avec un dénominateur égal à $2$.

]]> Trigonométrie — Q24 : Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ Quelles sont les solutions de $\cos x = \dfrac{1}{2}$ dans
$]-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> L'équation $\cos x = a$ a deux solutions opposées sur un intervalle de
longueur $2\pi$, car deux points symétriques par rapport à l'axe des
abscisses ont la même abscisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : deux points du cercle ont pour abscisse
$\dfrac{1}{2}$, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

]]> $\dfrac{\pi}{3}$ seulement

]]> Solution symétrique oubliée : l'angle opposé a le même cosinus.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$ et $-\dfrac{\pi}{6}$

]]> Valeur remarquable confondue : $\cos\dfrac{\pi}{6}$ vaut
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, pas $\dfrac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Symétrie du sinus appliquée au cosinus : $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ vaut
$-\dfrac{1}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q25 : Sinus d'un angle et de son opposé Quelle relation lie $\sin(-x)$ et $\sin x$ ?

]]> La symétrie par rapport à l'axe des abscisses conserve l'abscisse et change
le signe de l'ordonnée. D'où $\cos(-x) = \cos x$ et
$\sin(-x) = -\sin x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sin(-x) = -\sin x$

]]> Bonne réponse : les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques
par rapport à l'axe des abscisses, donc d'ordonnées opposées.

]]> $\sin(-x) = \sin x$

]]> C'est le cosinus qui est conservé par cette symétrie, pas le sinus.

]]> $\sin(-x) = \dfrac{1}{\sin x}$

]]> Aucune inversion n'intervient : pour $x = \dfrac{\pi}{6}$, le sinus
vaut $\dfrac{1}{2}$ et son opposé $-\dfrac{1}{2}$.

]]> $\sin(-x) = \cos x$

]]> Les deux fonctions ne s'échangent pas par changement de signe : pour
$x = 0$, $\sin(0) = 0$ et $\cos(0) = 1$.

]]> Trigonométrie — Q26 : Longueur d'un arc Sur un cercle de rayon $4$ cm, quelle est la longueur de l'arc
intercepté par un angle au centre de $\dfrac{\pi}{2}$ radian ?

]]> La longueur d'un arc vaut le produit du rayon par la mesure de l'angle en
radians. C'est précisément ce qui définit le radian.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\pi$ cm

]]> Bonne réponse : la longueur vaut $r\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{2}$,
soit un quart du périmètre.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$ cm

]]> Rayon oublié : la mesure en radians donne la longueur seulement sur un
cercle de rayon $1$.

]]> $8\pi$ cm

]]> C'est le périmètre entier du cercle, soit quatre fois l'arc cherché.

]]> $4\pi$ cm

]]> Facteur de trop : cette longueur correspondrait à un demi-cercle, donc
à un angle de $\pi$.

]]> Trigonométrie — Q27 : Cosinus de $\pi + x$ À quoi $\cos(\pi + x)$ est-il égal ?

]]> Ajouter $\pi$ correspond à la symétrie par rapport à l'origine : les deux
coordonnées changent de signe, donc
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\cos x$

]]> Bonne réponse : ajouter $\pi$ amène au point diamétralement opposé,
dont les deux coordonnées sont opposées.

]]> $\cos x$

]]> Pour $x = 0$, on aurait $\cos \pi = 1$, alors que cette valeur vaut
$-1$.

]]> $\sin x$

]]> L'échange entre cosinus et sinus se produit pour un décalage de
$\dfrac{\pi}{2}$, pas de $\pi$.

]]> $-\sin x$

]]> Même objection : le demi-tour conserve la nature de chaque
coordonnée, en changeant son signe.

]]> Trigonométrie — Q28 : Les valeurs possibles d'un cosinus Entre quelles valeurs $\cos x$ est-il nécessairement compris ?

]]> Cosinus et sinus sont les coordonnées d'un point du cercle de rayon $1$ :
ils appartiennent donc tous deux à $[-1\,;\,1]$. Une équation comme
$\cos x = 2$ n'a aucune solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre $-1$ et $1$

]]> Bonne réponse : c'est l'abscisse d'un point du cercle de rayon $1$
centré à l'origine.

]]> Entre $0$ et $1$

]]> Le cosinus est négatif pour les points situés à gauche de l'axe des
ordonnées, par exemple $\cos \pi = -1$.

]]> Entre $-\pi$ et $\pi$

]]> Cet intervalle concerne les angles, pas leurs cosinus.

]]> Entre $-2$ et $2$

]]> Encadrement correct mais trop large : aucune valeur ne dépasse $1$ en
valeur absolue.

]]> Trigonométrie — Q29 : Calculer $\cos\dfrac{5\pi}{4}$ Combien vaut $\cos\dfrac{5\pi}{4}$ ?

]]> On décompose l'angle à l'aide d'une valeur remarquable et d'un demi-tour,
puis on applique la symétrie correspondante. Un schéma du cercle rend le
signe immédiat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$, donc le
cosinus est l'opposé de celui de $\dfrac{\pi}{4}$.

]]> $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Signe oublié : le point se trouve dans le quadrant en bas à gauche,
d'abscisse négative.

]]> $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Valeur remarquable confondue : $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ correspond à
$\dfrac{\pi}{6}$, pas à $\dfrac{\pi}{4}$.

]]> $-\dfrac{1}{2}$

]]> Autre valeur remarquable : $\dfrac{1}{2}$ correspond à
$\dfrac{\pi}{3}$.

]]> Trigonométrie — Q30 : Ramener un réel dans $]-\pi\,;\,\pi]$ Quel réel de $]-\pi\,;\,\pi]$ correspond au même point du cercle que
$\dfrac{9\pi}{4}$ ?

]]> Ramener un réel dans $]-\pi\,;\,\pi]$ consiste à lui ajouter ou retrancher
des multiples de $2\pi$ jusqu'à tomber dans cet intervalle. Le réel obtenu
s'appelle la mesure principale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{9\pi}{4} - 2\pi = \dfrac{\pi}{4}$, soit un
tour complet retranché.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$

]]> Retrait mal calculé : un tour vaut $2\pi$, c'est-à-dire
$\dfrac{8\pi}{4}$.

]]> $-\dfrac{\pi}{4}$

]]> Signe du retrait : on retranche des tours complets, ce qui ne change
pas le signe du reste ici.

]]> $\dfrac{5\pi}{4}$

]]> Un demi-tour retranché au lieu d'un tour : le résultat n'appartient
d'ailleurs pas à l'intervalle demandé.

]]> Trigonométrie — Q31 : Des radians vers les degrés Quelle est la mesure en degrés d'un angle de
$\dfrac{3\pi}{4}$ radians ?

]]> Pour passer des radians aux degrés, on multiplie par
$\dfrac{180}{\pi}$ : la mesure $\dfrac{3\pi}{4}$ devient
$\dfrac{3}{4} \times 180 = 135°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $135°$

]]> Bonne réponse : un demi-tour vaut $\pi$ radians, soit
$180°$, donc $\dfrac{3}{4} \times 180 = 135°$.

]]> $270°$

]]> Le tour complet a servi de référence à la place du
demi-tour : c'est $\pi$ qui vaut $180°$, et non $360°$.

]]> $45°$

]]> C'est le supplément de la bonne mesure : la conversion
multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$, elle ne retranche rien
à $180$.

]]> $240°$

]]> Fraction retournée : c'est $\dfrac{3}{4}$ qui
multiplie $180$, et non $\dfrac{4}{3}$.

]]> Trigonométrie — Q32 : Retrouver un angle à partir d'un arc Sur un cercle de rayon $3$ cm, un arc a pour longueur
$12$ cm. Quelle est, en radians, la mesure de l'angle au
centre qui intercepte cet arc ?

]]> Sur un cercle de rayon $r$, un angle au centre de $\alpha$
radians intercepte un arc de longueur $r \times \alpha$. On
retrouve donc l'angle en divisant la longueur par le rayon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : la longueur d'arc vaut $r \times \alpha$,
donc $\alpha = \dfrac{12}{3} = 4$.

]]> $8$

]]> Le diamètre a été utilisé à la place du rayon : la
formule fait intervenir $r$, soit $3$ cm.

]]> $9$

]]> Soustraction au lieu d'un quotient : l'angle est le
rapport de la longueur d'arc au rayon.

]]> $36$

]]> Multiplication au lieu d'un quotient : c'est la longueur
d'arc qui vaut $r \times \alpha$, pas l'angle.

]]> Trigonométrie — Q33 : Repérer l'égalité fausse Parmi les égalités suivantes, laquelle est fausse ?

]]> Les valeurs remarquables se lisent sur le cercle :
$\dfrac{\pi}{6}$ donne $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$
et $\dfrac{\pi}{3}$ donne
$\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Plus le
réel grandit de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$, plus le sinus grandit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
C'est $\sin\dfrac{\pi}{6}$ qui vaut $\dfrac{1}{2}$.

]]> $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> Cette égalité est exacte : le point associé à
$\dfrac{\pi}{4}$ a deux coordonnées égales, qui valent
toutes deux $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

]]> Cette égalité est exacte : $\dfrac{\pi}{6}$ est proche de
l'axe des abscisses, son cosinus est donc grand.

]]> $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

]]> Cette égalité est exacte : elle est la compagne de
$\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, par symétrie autour
de la première bissectrice.

]]> Trigonométrie — Q34 : Parcourir le cercle dans le sens indirect On part du point $I(1\,;\,0)$ du cercle trigonométrique et on
parcourt un arc de longueur $\dfrac{3\pi}{2}$ dans le sens
indirect, celui des aiguilles d'une montre. Quel point
atteint-on ?

]]> Parcourir un arc de longueur $\ell$ dans le sens indirect
revient à enrouler le réel $-\ell$. On ramène ensuite ce réel
dans $]-\pi\,;\,\pi]$ en ajoutant des tours de $2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(0\,;\,1)$

]]> Bonne réponse : ce parcours correspond au réel
$-\dfrac{3\pi}{2}$, qui repère le même point que
$-\dfrac{3\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{\pi}{2}$.

]]> $(0\,;\,-1)$

]]> Sens de parcours oublié : trois quarts de tour dans le
sens direct mènent en $(0\,;\,-1)$, associé à
$\dfrac{3\pi}{2}$.

]]> $(-1\,;\,0)$

]]> Un demi-tour seulement : $\pi$ mène en $(-1\,;\,0)$,
alors que l'arc demandé mesure trois quarts de tour.

]]> $(1\,;\,0)$

]]> C'est le point de départ : on y revient après un tour
complet, de longueur $2\pi$.

]]> Trigonométrie — Q35 : Choisir un réel d'après les signes Le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ a un
cosinus négatif et un sinus négatif. Parmi ces réels, lequel peut
convenir pour $x$ ?

]]> Le cosinus est l'abscisse du point, le sinus son ordonnée.
Les signes désignent donc un quadrant : à droite le cosinus
est positif, au-dessus de l'axe des abscisses le sinus l'est.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{7\pi}{6}$

]]> Bonne réponse : le point associé à $\dfrac{7\pi}{6}$ est dans le
quadrant où le cosinus est négatif et le sinus négatif.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$

]]> C'est le point diamétralement opposé : ses deux
coordonnées sont les opposées de celles cherchées, donc
les deux signes sont inversés.

]]> $\dfrac{5\pi}{6}$

]]> Seul le signe du sinus est inversé : ce point est le
symétrique du bon par rapport à l'axe des abscisses.

]]> $\dfrac{11\pi}{6}$

]]> Seul le signe du cosinus est inversé : ce point est le
symétrique du bon par rapport à l'axe des ordonnées.

]]> Trigonométrie — Q36 : Mesure principale d'un réel négatif Quelle est la mesure principale du réel
$-\dfrac{8\pi}{3}$, c'est-à-dire son unique représentant
dans $]-\pi\,;\,\pi]$ ?

]]> La mesure principale s'obtient en ajoutant ou en retranchant
des tours de $2\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\pi\,;\,\pi]$. Pour
un réel négatif trop petit, c'est un tour qu'il faut ajouter.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : on ajoute un tour,
$-\dfrac{8\pi}{3} + \dfrac{6\pi}{3} =
-\dfrac{2\pi}{3}$, qui appartient bien à
$]-\pi\,;\,\pi]$.

]]> $\dfrac{2\pi}{3}$

]]> Signe perdu en chemin : ajouter un tour à un réel négatif
ne suffit pas ici à le rendre positif.

]]> $\dfrac{4\pi}{3}$

]]> Représentant choisi dans $[0\,;\,2\pi[$ : ce réel dépasse
$\pi$, il ne peut pas être la mesure principale.

]]> $-\dfrac{14\pi}{3}$

]]> Un tour a été retranché au lieu d'être ajouté, ce qui
éloigne encore le réel de l'intervalle demandé.

]]> Trigonométrie — Q37 : Des coordonnées vers le réel Le point $M$ du cercle trigonométrique a pour coordonnées
$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$. À quel réel de
$]-\pi\,;\,\pi]$ est-il associé ?

]]> Le point associé à $x$ a pour coordonnées
$(\cos x\,;\,\sin x)$. Lire un réel à partir des coordonnées
demande donc de reconnaître une valeur remarquable, puis de
choisir le quadrant d'après les deux signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{\pi}{6}$

]]> Bonne réponse : l'abscisse donne $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et
l'ordonnée $\sin x = -\dfrac{1}{2}$, ce qui désigne $-\dfrac{\pi}{6}$.

]]> $\dfrac{\pi}{6}$

]]> Signe de l'ordonnée négligé : ce réel repère le
symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses.

]]> $\dfrac{5\pi}{6}$

]]> C'est le point diamétralement opposé à $M$ : ses deux
coordonnées sont les opposées de celles de $M$.

]]> $-\dfrac{5\pi}{6}$

]]> Signe de l'abscisse négligé : ce réel repère le
symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées.

]]> Trigonométrie — Q38 : Sinus de $\pi - x$ Pour tout réel $x$, à quoi $\sin(\pi - x)$ est-il égal ?

]]> Les points associés à $x$ et à $\pi - x$ sont symétriques par
rapport à l'axe des ordonnées : l'abscisse change de signe,
l'ordonnée est conservée, donc $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et
$\sin(\pi - x) = \sin x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sin x$

]]> Bonne réponse : les points associés à $x$ et à $\pi - x$
sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc
ils ont la même ordonnée.

]]> $-\sin x$

]]> Confusion avec $\sin(\pi + x)$, qui vaut bien $-\sin x$.
La symétrie d'axe vertical conserve l'ordonnée.

]]> $\cos x$

]]> Les deux fonctions ont été échangées : une symétrie
d'axe vertical laisse l'ordonnée être une ordonnée.

]]> $-\cos x$

]]> C'est la valeur de $\cos(\pi - x)$, l'abscisse changeant
de signe, et non celle de $\sin(\pi - x)$.

]]> Trigonométrie — Q39 : La transformation qui envoie $x$ sur $-x$ Sur le cercle trigonométrique, le point associé au réel $-x$
se déduit du point associé à $x$ par quelle transformation ?

]]> Enrouler $-x$ revient à parcourir le même arc dans l'autre
sens : le point obtenu est le symétrique du premier par
rapport à l'axe des abscisses. Le cosinus est donc conservé,
le sinus changé de signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La symétrie d'axe $(OI)$, l'axe des abscisses

]]> Bonne réponse : l'abscisse est conservée et l'ordonnée
change de signe, d'où $\cos(-x) = \cos x$ et
$\sin(-x) = -\sin x$.

]]> La symétrie d'axe $(OJ)$, l'axe des ordonnées

]]> Cette symétrie est celle qui envoie $x$ sur $\pi - x$ :
elle change le cosinus de signe, pas le sinus.

]]> La symétrie de centre $O$, origine du repère

]]> Cette symétrie est celle qui envoie $x$ sur $\pi + x$ :
elle change les deux coordonnées de signe.

]]> La rotation d'un quart de tour dans le sens direct

]]> Une rotation d'un quart de tour ajoute $\dfrac{\pi}{2}$
au réel, elle ne le remplace pas par son opposé.

]]> Trigonométrie — Q40 : Signe d'un produit dans un quadrant Le point associé au réel $x$ se trouve dans le troisième
quadrant, en bas à gauche du cercle. Quel est le signe du
produit $\cos x \times \sin x$ ?

]]> Dans le troisième quadrant, $\cos x < 0$ et $\sin x < 0$. Le
produit de deux nombres strictement négatifs est strictement
positif, quelle que soit la position dans le quadrant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Positif, car les deux facteurs sont négatifs

]]> Bonne réponse : dans ce quadrant l'abscisse et l'ordonnée
sont toutes deux négatives, et le produit de deux nombres
négatifs est positif.

]]> Négatif, car le cosinus y est négatif

]]> Le cosinus y est bien négatif, mais le sinus l'est aussi,
et deux facteurs négatifs donnent un produit positif.

]]> Négatif, car le sinus y est également négatif

]]> Le signe des deux facteurs est correct, la règle des
signes ne l'est pas : $(-) \times (-) = (+)$.

]]> Variable, selon la position exacte du point

]]> Les signes ne changent pas à l'intérieur d'un quadrant :
seule la valeur du produit varie, pas son signe.

]]> Trigonométrie — Q41 : Résoudre $\sin x = 0$ Quelles sont les solutions de l'équation $\sin x = 0$ dans
l'intervalle $[0\,;\,2\pi]$ ?

]]> Résoudre $\sin x = 0$, c'est chercher les points du cercle
d'ordonnée nulle : ce sont $I(1\,;\,0)$ et $(-1\,;\,0)$. Sur
$[0\,;\,2\pi]$, les réels correspondants sont $0$, $\pi$ et
$2\pi$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$, $\pi$ et $2\pi$

]]> Bonne réponse : le sinus est l'ordonnée du point, elle
s'annule aux deux points de l'axe des abscisses, soit
$0$ et $\pi$, auxquels s'ajoute $2\pi$ inclus dans
l'intervalle.

]]> $0$ et $\pi$ uniquement

]]> L'intervalle est fermé en $2\pi$ : ce réel repère le même
point que $0$, il est donc aussi solution.

]]> $\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$

]]> Ce sont les réels où le cosinus s'annule : le sinus y
vaut $1$ et $-1$.

]]> $\pi$, seul réel où le sinus s'annule

]]> Le sinus s'annule en plusieurs réels de l'intervalle :
les points concernés sont les deux de l'axe horizontal.

]]> Trigonométrie — Q42 : Repérer un point sur le cercle Cercle trigonométrique de centre O, avec le point I de coordonnées (1 ; 0). Trois points sont marqués sur le cercle : A en haut à gauche, d'abscisse -0,5 et d'ordonnée environ 0,87 ; B en bas à gauche, d'abscisse -0,5 et d'ordonnée environ -0,87 ; C en bas à droite, d'abscisse 0,5 et d'ordonnée environ -0,87.

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, quel point est
associé au réel $-\dfrac{2\pi}{3}$ ?

]]> Un réel négatif s'enroule dans le sens indirect. Comme
$-\dfrac{2\pi}{3}$ est compris entre $-\pi$ et
$-\dfrac{\pi}{2}$, son point est dans le quadrant où
l'abscisse et l'ordonnée sont toutes deux négatives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point $B$

]]> Bonne réponse : le réel est négatif, donc on parcourt le
cercle vers le bas, sur deux tiers de demi-tour. On
obtient le point d'abscisse $-\dfrac{1}{2}$ situé
au-dessous de l'axe des abscisses.

]]> Le point $A$

]]> Signe du réel négligé : $A$ est associé à
$\dfrac{2\pi}{3}$, obtenu en parcourant le cercle vers
le haut.

]]> Le point $C$

]]> Ce point est associé à $-\dfrac{\pi}{3}$ : son abscisse
est positive, alors que $\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)$
est négatif.

]]> Aucun des trois points

]]> Le réel $-\dfrac{2\pi}{3}$ appartient bien à
$]-\pi\,;\,\pi]$ : son point figure sur la figure, dans
le troisième quadrant.

]]> Trigonométrie — Q43 : Longueur dans un triangle rectangle Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$. L'angle en $A$ mesure
$\dfrac{\pi}{3}$ et l'hypoténuse $AC$ mesure $10$ cm.
Quelle est la longueur $AB$ ?

]]> Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le
quotient du côté adjacent par l'hypoténuse. Cette définition
coïncide avec celle du cercle trigonométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> Bonne réponse : $\cos\widehat{A} = \dfrac{AB}{AC}$, donc
$AB = 10 \times \dfrac{1}{2} = 5$ cm.

]]> $5\sqrt{3}$ cm

]]> C'est la longueur $BC$ : le sinus donne le côté opposé,
$10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

]]> $5\sqrt{2}$ cm

]]> Angle confondu avec $\dfrac{\pi}{4}$, dont le cosinus
vaut $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> $20$ cm

]]> Division au lieu d'une multiplication : le côté adjacent
est plus court que l'hypoténuse.

]]> Trigonométrie — Q44 : D'où vient $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ? Quel argument démontre que $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ pour
tout réel $x$ ?

]]> Le point associé à $x$ a pour coordonnées
$(\cos x\,;\,\sin x)$ et appartient au cercle de rayon $1$.
Sa distance au centre vaut donc $1$, ce qui s'écrit
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ par le théorème de Pythagore.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le point de coordonnées $(\cos x\,;\,\sin x)$ est à la
distance $1$ de $O$

]]> Bonne réponse : ce point est sur le cercle de centre $O$
et de rayon $1$ ; le théorème de Pythagore appliqué au
triangle rectangle formé donne l'égalité.

]]> Le cosinus et le sinus d'un réel sont tous deux compris
entre $-1$ et $1$

]]> Cet encadrement est exact, mais il est une conséquence de
l'égalité, pas sa démonstration : il n'impose aucune
valeur à la somme des carrés.

]]> Le cosinus et le sinus ont la même période, égale à
$2\pi$

]]> La périodicité dit que les valeurs se répètent d'un tour
à l'autre, elle ne relie pas le cosinus au sinus d'un
même réel.

]]> L'arc parcouru depuis $I$ a pour longueur le réel $x$
lui-même

]]> C'est la définition du radian, qui sert à placer le
point. L'égalité vient ensuite de la distance au centre.

]]> Trigonométrie — Q45 : Une valeur impossible pour un sinus Parmi ces nombres, lequel ne peut pas être la valeur de
$\sin x$ pour un réel $x$ ?

]]> Le point associé à $x$ est sur le cercle de rayon $1$ : son
abscisse et son ordonnée appartiennent toutes deux à
$[-1\,;\,1]$. Tout nombre hors de cet intervalle est donc
impossible pour un cosinus comme pour un sinus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{4}{3}$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{4}{3} > 1$, or le sinus est
l'ordonnée d'un point du cercle de rayon $1$, donc il
reste entre $-1$ et $1$.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ appartient à $[-1\,;\,1]$ : cette
valeur est atteinte, même si le réel correspondant n'est
pas remarquable.

]]> $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

]]> C'est une valeur remarquable, environ $-0{,}71$ : elle
vaut $\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

]]> $-0{,}95$

]]> Ce nombre appartient à $[-1\,;\,1]$ : le sinus le prend
deux fois au cours d'un tour de cercle.

]]> Trigonométrie — Q46 : Résoudre cos x égale zéro Quelles sont les solutions de $\cos x = 0$ sur $]-\pi ; \pi]$ ?

]]> Sur le cercle trigonométrique, $\cos x = 0$ correspond aux points
d'abscisse nulle, en haut et en bas du cercle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{\pi}{2}$ et $x = -\dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : le cosinus est l'abscisse du point du cercle
trigonométrique ; elle est nulle aux deux points de l'axe des
ordonnées, d'angles $\dfrac{\pi}{2}$ et $-\dfrac{\pi}{2}$.

]]> $x = 0$ et $x = \pi$

]]> Erreur : en $0$ et $\pi$, le cosinus vaut $1$ et $-1$ ; c'est le
sinus qui s'y annule.

]]> $x = \dfrac{\pi}{2}$ seulement

]]> Erreur : $-\dfrac{\pi}{2}$ appartient aussi à l'intervalle et
convient.

]]> $x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = -\dfrac{\pi}{4}$

]]> Erreur : $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.

]]> Trigonométrie — Q47 : Résoudre une équation en sinus avec une valeur remarquable Quelles sont les solutions de $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$ ?

]]> $\sin x = \sin a$ a pour solutions $x = a$ et $x = \pi - a$, à
$2\pi$ près.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = \dfrac{3\pi}{4}$

]]> Bonne réponse : $\sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, et les deux points du cercle de
même ordonnée ont pour angles $\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = \dfrac{7\pi}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{7\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi$ a pour sinus $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; les angles
$x$ et $-x$ ont le même cosinus, pas le même sinus.

]]> $x = \dfrac{\pi}{4}$ seulement

]]> Erreur : une droite horizontale coupe le cercle en deux points ;
il manque $\pi - \dfrac{\pi}{4}$.

]]> $x = \dfrac{3\pi}{4}$ et $x = \dfrac{5\pi}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}$ a pour sinus $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

]]> Trigonométrie — Q48 : Résoudre une équation en cosinus avec une valeur négative Quelles sont les solutions de $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi[$ ?

]]> $\cos x = \cos a$ a pour solutions $x = a$ et $x = -a$, à $2\pi$
près ; sur $[0 ; 2\pi[$, $-a$ se lit $2\pi - a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \dfrac{2\pi}{3}$ et $x = \dfrac{4\pi}{3}$

]]> Bonne réponse : un cosinus négatif place les points à gauche
de l'axe des ordonnées ; $\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, et le second point
est $2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$.

]]> $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$

]]> Erreur : $\cos \dfrac{\pi}{3}$ est positif ; ces angles sont à droite
de l'axe des ordonnées.

]]> $x = \dfrac{2\pi}{3}$ seulement

]]> Erreur : une droite verticale coupe le cercle en deux points ;
il manque $2\pi - \dfrac{2\pi}{3}$.

]]> $x = \dfrac{2\pi}{3}$ et $x = \dfrac{\pi}{3}$

]]> Erreur : $\cos \dfrac{\pi}{3} = -\cos \dfrac{2\pi}{3}$ ; ces deux angles n'ont pas le
même cosinus.

]]> Trigonométrie — Q49 : Nombre de solutions d'une équation en sinus Combien de solutions l'équation $\sin x = 1$ possède-t-elle sur
$[0 ; 2\pi[$ ?

]]> Sur un tour, $\sin x = k$ a deux solutions si $-1 < k < 1$, une si
$k = \pm 1$, aucune sinon.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule, $x = \dfrac{\pi}{2}$

]]> Bonne réponse : la droite horizontale $y = 1$ coupe le cercle
trigonométrique en zéro, un ou deux points selon que $1$
est hors de $[-1 ; 1]$, égal à $\pm 1$, ou strictement entre.

]]> Deux, symétriques

]]> Erreur : comptez les points du cercle d'ordonnée $1$.

]]> Aucune

]]> Erreur : relisez la position de $1$ par rapport à $-1$ et
$1$.

]]> Une infinité, à cause de la périodicité

]]> Erreur : sur $[0 ; 2\pi[$, un seul tour est parcouru ; la
périodicité joue sur $\mathbb{R}$ entier.

]]> Trigonométrie — Q50 : Retrouver un cosinus avec le signe Soit $x \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$ tel que
$\sin x = \dfrac{3}{5}$. Que vaut $\cos x$ ?

]]> $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ donne $\cos x$ au signe près ;
l'intervalle fixe le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{4}{5}$

]]> Bonne réponse : $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = \dfrac{16}{25}$, donc
$\cos x = \pm \dfrac{4}{5}$ ; sur $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$,
le cosinus est négatif.

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> Erreur : le calcul est juste, mais sur cet intervalle le cosinus
est négatif.

]]> $\dfrac{16}{25}$

]]> Erreur : $\dfrac{16}{25}$ est $\cos^2 x$ ; il reste à prendre la racine
carrée.

]]> $\dfrac{2}{5}$

]]> Erreur : $1 - \sin x$ n'a rien à voir ; la relation porte sur
les carrés.

]]> Trigonométrie — Q51 : Parité de la fonction cosinus Que vaut $\cos(-x)$ pour tout réel $x$ ?

]]> $\cos(-x) = \cos x$ : la courbe du cosinus est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos x$, la fonction cosinus étant paire

]]> Bonne réponse : les points d'angles $x$ et $-x$ sont symétriques
par rapport à l'axe des abscisses et ont la même abscisse.

]]> $-\cos x$, la fonction cosinus étant impaire

]]> Erreur : c'est le sinus qui est impair, $\sin(-x) = -\sin x$.

]]> $\sin x$

]]> Erreur : changer $x$ en $-x$ ne transforme pas un cosinus en
sinus.

]]> $1 - \cos x$

]]> Erreur : aucune relation de ce type n'existe.

]]> Trigonométrie — Q52 : Périodicité du cosinus Que vaut $\cos(x + 2\pi)$ pour tout réel $x$ ?

]]> Les fonctions sinus et cosinus sont $2\pi$-périodiques : leurs
courbes se répètent à chaque tour.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\cos x$, après un tour complet

]]> Bonne réponse : ajouter $2\pi$ ramène au même point du cercle ;
cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$.

]]> $-\cos x$, le point étant diamétralement opposé

]]> Erreur : c'est $x + \pi$ qui donne le point opposé ; $2\pi$ est
un tour complet.

]]> $\cos x + 2\pi$

]]> Erreur : $2\pi$ s'ajoute à l'angle, pas au cosinus.

]]> $\sin x$

]]> Erreur : un décalage de $\dfrac{\pi}{2}$ relie cosinus et sinus,
pas un décalage de $2\pi$.

]]> Trigonométrie — Q53 : Signe du sinus sur un demi-tour Quel est le signe de $\sin x$ pour $x \in\ ]\pi ; 2\pi[$ ?

]]> Le sinus est l'ordonnée du point du cercle : positif sur
$]0 ; \pi[$, négatif sur $]\pi ; 2\pi[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif, les points étant sous l'axe des abscisses

]]> Bonne réponse : entre $\pi$ et $2\pi$, le point du cercle est
dans la moitié inférieure, d'ordonnée négative.

]]> Positif, comme sur $]0 ; \pi[$, par symétrie

]]> Erreur : le sinus change de signe en $\pi$.

]]> Nul, le sinus s'annulant en $\pi$ et $2\pi$

]]> Erreur : le sinus est nul aux bornes, pas entre elles.

]]> Le signe dépend de la valeur de $x$ dans l'intervalle

]]> Erreur : sur tout cet intervalle ouvert, le sinus garde le même
signe.

]]> Trigonométrie — Q54 : Valeur maximale d'un sinus multiplié Quelle est la valeur maximale de la fonction $f(x) = 3\sin x$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Multiplier le sinus par $k > 0$ étire la courbe verticalement : les
valeurs vont de $-k$ à $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$, quand $\sin x = 1$

]]> Bonne réponse : $-1 \leq \sin x \leq 1$, donc
$-3 \leq 3\sin x \leq 3$ ; le maximum $3$ est atteint
en $x = \dfrac{\pi}{2}$.

]]> $1$, maximum du sinus

]]> Erreur : le facteur $3$ multiplie toutes les valeurs, le
maximum compris.

]]> $6$, deux fois le coefficient

]]> Erreur : l'amplitude totale, de $-3$ à $3$, vaut $6$, mais
le maximum est $3$.

]]> $-3$, en $x = -\dfrac{\pi}{2}$

]]> Erreur : $-3$ est le minimum de $f$.

]]> Trigonométrie — Q55 : Cosinus après un demi-tour Que vaut $\cos(x + \pi)$ pour tout réel $x$ ?

]]> Angles associés : $\cos(x + \pi) = -\cos x$ et
$\sin(x + \pi) = -\sin x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\cos x$, le point étant opposé

]]> Bonne réponse : ajouter $\pi$ envoie le point sur son symétrique
par rapport à $O$ ; abscisse et ordonnée changent de signe.

]]> $\cos x$, un demi-tour ne changeant rien

]]> Erreur : seul un tour complet, $2\pi$, ramène au même point.

]]> $\sin x$, par échange des coordonnées

]]> Erreur : c'est un quart de tour, $\dfrac{\pi}{2}$, qui échange
cosinus et sinus, au signe près.

]]> $\cos x + \pi$, en ajoutant au cosinus

]]> Erreur : $\pi$ s'ajoute à l'angle, pas à sa valeur de cosinus.

]]>