$course$/QCM de maths/Première spécialité/Variables aléatoires réelles
Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de
probabilité, notations $\{X = a\}$ et $P(X \leq a)$, espérance
(linéarité), variance et écart-type, formule de König-Huygens,
modélisation (jeux, gains) et notion de jeu équitable.]]>
Variables aléatoires réelles — Q01 : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une
variable aléatoire réelle $X$ ?]]>
Variable aléatoire réelle : fonction $X : \Omega \to
\mathbb{R}$. La notation $\{X = a\}$ désigne l'événement
« l'issue obtenue a pour image $a$ », de probabilité
$P(X = a)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une fonction de l'univers vers $\mathbb{R}$]]>
Bonne réponse : $X$ associe un nombre réel à chaque
issue de l'univers (un gain, un score, un temps…) :
c'est la formalisation au programme.]]>
Un nombre qui change à chaque répétition de l'expérience]]>
Trop vague : la variable est une fonction bien
définie sur l'univers ; c'est le résultat de l'expérience
qui est aléatoire, pas la règle d'affectation.]]>
Un événement particulier de l'univers]]>
Erreur : un événement est un sous-ensemble de
l'univers. La variable aléatoire est une fonction à
valeurs réelles ; $\{X = a\}$, lui, est un événement.]]>
Une probabilité comprise entre 0 et 1]]>
Erreur : les valeurs de $X$ sont des nombres quelconques
(gains négatifs compris) ; ce sont les $P(X = a)$ qui
sont des probabilités.]]>
Variables aléatoires réelles — Q02 : Compléter une loi de probabilité
La variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec
$P(X = -1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$. Que vaut
$P(X = 5)$ ?]]>
Loi de probabilité de $X$ : la donnée des valeurs $x_i$ et
des probabilités $p_i = P(X = x_i)$, positives et de somme
$1$. Ici : $0{,}2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}2$]]>
Bonne réponse : la somme des probabilités de la loi vaut
$1$ : $P(X = 5) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$.]]>
$0{,}8$]]>
Erreur : $0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}3$ est la somme des deux
probabilités connues ; la manquante en est le
complément à $1$.]]>
$0{,}5$]]>
Erreur : rien n'impose d'égaler la première probabilité.
La contrainte est la somme totale : $1$.]]>
On ne peut pas savoir]]>
Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine
entièrement la probabilité manquante.]]>
Variables aléatoires réelles — Q03 : Calculer une espérance
Avec la loi précédente ($-1$ avec $0{,}5$ ; $2$ avec
$0{,}3$ ; $5$ avec $0{,}2$), que vaut $E(X)$ ?]]>
$E(X) = \sum x_i\,p_i$ : moyenne des valeurs pondérée par
les probabilités. Ici $1{,}1$ : analogie directe avec la
moyenne pondérée des statistiques.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1{,}1$]]>
Bonne réponse : $E(X) = (-1)(0{,}5) + 2(0{,}3) +
5(0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = 1{,}1$.]]>
$2$]]>
Erreur : $2 = \dfrac{-1 + 2 + 5}{3}$ est la moyenne
non pondérée des valeurs. L'espérance pondère chaque
valeur par sa probabilité.]]>
$6$]]>
Erreur : $6$ est la somme brute des valeurs, sans les
probabilités.]]>
$0{,}5$]]>
Erreur : $0{,}5$ est la probabilité la plus grande, pas
l'espérance. Formule : $\sum x_i\,p_i = 1{,}1$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q04 : Interpréter l'espérance
$X$ désigne le gain (en euros) à un jeu, avec $E(X) =
1{,}1$. Quelle interprétation est correcte ?]]>
$E(X)$ : valeur moyenne par répétition, sur un grand nombre
d'expériences. Un jeu d'espérance positive est favorable au
joueur en tendance, sans rien garantir sur une partie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le gain moyen par partie tend vers $1{,}10$ euro]]>
Bonne réponse : sur un grand nombre de parties, le gain
moyen par partie est proche de $1{,}10$ euro.
L'espérance est un gain moyen en tendance, que les
fréquences réalisent sur le long terme (loi des grands
nombres, vue en simulation).]]>
À chaque partie, on gagne exactement $1{,}10$ euro]]>
Erreur : aucune partie ne rapporte $1{,}10$ euro (les
gains possibles sont $-1$, $2$ et $5$) : l'espérance est
une moyenne, pas une valeur garantie.]]>
On gagne dans $1{,}1$ partie sur $2$ en moyenne]]>
Erreur : l'espérance n'est pas une fréquence de succès
(et « $1{,}1$ sur $2$ » n'a pas de sens). Elle moyenne
les montants.]]>
Le gain le plus probable est $1{,}10$ euro]]>
Erreur : la valeur la plus probable est $-1$ (probabilité
$0{,}5$). L'espérance ne coïncide pas avec le mode.]]>
Variables aléatoires réelles — Q05 : Jeu équitable
Quand dit-on qu'un jeu d'argent est équitable ?]]>
Jeu équitable : $E(\text{gain algébrique}) = 0$. Capacité
attendue type : ajuster une mise ou un lot pour annuler
l'espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Lorsque l'espérance du gain est nulle]]>
Bonne réponse : l'espérance du gain algébrique (mise
déduite) est nulle : en moyenne, ni le joueur ni
l'organisateur ne gagnent, $E(X) = 0$.]]>
Lorsque toutes les issues sont équiprobables]]>
Erreur : l'équité concerne l'espérance du gain, pas
l'uniformité des probabilités : un jeu peut être
équiprobable et très défavorable.]]>
Lorsqu'on gagne une fois sur deux]]>
Erreur : gagner souvent de petits montants et perdre
rarement de gros peut être défavorable : seul le bilan
moyen (l'espérance) juge l'équité.]]>
Lorsque la mise est faible devant les gains]]>
Erreur : la modestie de la mise ne dit rien du rapport
entre mise et gains espérés.]]>
Variables aléatoires réelles — Q06 : Ce que mesure la variance
Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?]]>
$V(X) = E\left((X - \mu)^2\right)$ avec $\mu = E(X)$ :
indicateur de dispersion (toujours positif), dont la racine
$\sigma(X)$ (écart-type) s'exprime dans l'unité de $X$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La dispersion de $X$ autour de son espérance]]>
Bonne réponse : c'est la moyenne des carrés des écarts à
l'espérance, $V(X) = E\left((X - \mu)^2\right)$ : plus
les valeurs s'éloignent de $\mu$ en probabilité, plus la
variance est grande.]]>
La valeur moyenne de $X$ sur un grand nombre d'essais]]>
Erreur : la valeur moyenne est l'espérance. La
variance mesure l'étalement autour d'elle.]]>
La probabilité que $X$ dépasse sa moyenne]]>
Erreur : cette probabilité est un autre objet ; la
variance moyenne les carrés des écarts, dépassements
et déficits confondus.]]>
L'écart entre la plus grande et la plus petite valeur de
$X$]]>
Erreur : c'est l'étendue, qui ne dépend pas des
probabilités ; la variance, si : elle pèse chaque écart
à la moyenne par sa probabilité.]]>
Variables aléatoires réelles — Q07 : Formule de König-Huygens
Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut
$V(X)$ ?]]>
König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :
« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours
positif : $E(X^2) \geq E(X)^2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -
\left(E(X)\right)^2 = 7 - 4 = 3$.]]>
$5$]]>
Erreur : $7 - 2$ soustrait $E(X)$ au lieu de son
carré : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 7 - 4$.]]>
$45$]]>
Erreur : $49 - 4$ ? C'est $E(X^2) = 7$ qui est donné, pas
$E(X^2) = 49$. $V = 7 - 4 = 3$.]]>
$-3$]]>
Impossible : une variance est toujours positive
(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est
$E(X^2) - E(X)^2$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q08 : De la variance à l'écart-type
Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son
écart-type $\sigma(X)$ ?]]>
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au
carré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui
qu'on interprète.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3$]]>
Bonne réponse : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9} = 3$ :
l'écart-type ramène la dispersion dans l'unité de
$X$.]]>
$81$]]>
Erreur de sens : $81 = 9^2$ élève au carré au lieu de
prendre la racine.]]>
$9$]]>
Erreur : $9$ est la variance elle-même. L'écart-type en
est la racine carrée : $3$.]]>
$4{,}5$]]>
Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine
carrée, $\sqrt{9} = 3$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q09 : Linéarité de l'espérance
Soit $X$ avec $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?]]>
Linéarité (au programme) : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.
Exemple d'usage : conversion d'unités, ajout d'un bonus fixe
à un gain.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : $E(aX + b) = a\,E(X) + b = 2 \times 5 +
3 = 13$.]]>
$10$]]>
Incomplet : $10 = 2E(X)$ oublie le décalage $+3$, qui se
transmet tel quel à l'espérance.]]>
$16$]]>
Erreur : $2(5 + 3) = 16$ distribue mal : le $+3$ n'est
pas multiplié par $2$. Formule : $aE(X) + b$.]]>
$25$]]>
Erreur : $25 = 5^2$ n'a rien à voir : la transformation
est affine, pas quadratique.]]>
Variables aléatoires réelles — Q10 : Retrouver une probabilité par l'espérance
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $5$, avec $P(X = 1) = 0{,}5$
et $P(X = 2) = p$. On sait que $E(X) = 2{,}1$. Que vaut $p$ ?]]>
La somme des probabilités vaut $1$, donc $P(X = 5) = 0{,}5 - p$. Alors
$E(X) = 1 \times 0{,}5 + 2p + 5(0{,}5 - p) = 3 - 3p = 2{,}1$, d'où $p = 0{,}3$ et $P(X = 5) = 0{,}2$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$p = 0{,}3$]]>
Bonne réponse : $P(X = 5) = 0{,}5 - p$, donc $E(X) = 0{,}5 + 2p + 5(0{,}5 - p) = 3 - 3p$,
et $3 - 3p = 2{,}1$ donne $p = 0{,}3$.]]>
$p = 0{,}2$]]>
Erreur : $0{,}2$ est la valeur de $P(X = 5)$ quand $p = 0{,}3$. Avec $p = 0{,}2$,
$E(X) = 3 - 0{,}6 = 2{,}4$.]]>
$p = 0{,}8$]]>
Erreur : le terme $5 \times P(X = 5)$ a été oublié. D'ailleurs $0{,}5 + 0{,}8$ dépasse $1$,
ce qui est impossible pour une loi de probabilité.]]>
$p = 0{,}9$]]>
Erreur de résolution : $3 - 3p = 2{,}1$ donne $3p = 0{,}9$, puis il faut diviser par $3$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q11 : Utiliser la notation $P(X \leq a)$
Avec la loi : $P(X = -1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$,
$P(X = 5) = 0{,}2$, que vaut $P(X \leq 2)$ ?]]>
Passer de la langue au symbole (capacité attendue) :
$\{X \leq a\}$ cumule toutes les valeurs inférieures ou
égales à $a$. Ici $0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$ (ou $1 - P(X = 5)$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}8$]]>
Bonne réponse : $\{X \leq 2\}$ regroupe les valeurs $-1$
et $2$ : $P = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$.]]>
$0{,}3$]]>
Incomplet : $0{,}3 = P(X = 2)$ seulement. L'inégalité
large inclut aussi la valeur $-1$.]]>
$0{,}2$]]>
Erreur : $0{,}2 = P(X = 5) = P(X > 2)$ est la probabilité
de l'événement contraire.]]>
$0{,}5$]]>
Incomplet : $0{,}5 = P(X = -1)$ oublie la valeur $2$,
incluse dans $X \leq 2$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q12 : Espérance d'une loterie
Une loterie vend $100$ billets à $1$ euro ; un seul billet
gagne un lot de $50$ euros. Soit $X$ le gain algébrique d'un
acheteur d'un billet. Que vaut $E(X)$ ?]]>
Modélisation type : gain algébrique $=$ lot $-$ mise. Loi :
$49$ avec $\frac{1}{100}$, $-1$ avec $\frac{99}{100}$ :
$E(X) = -0{,}50$ euro : la moitié de la mise part en moyenne
à l'organisateur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-0{,}50$ euro : le jeu est défavorable au joueur]]>
Bonne réponse : $X$ vaut $49$ (lot moins mise) avec
probabilité $0{,}01$, et $-1$ avec probabilité $0{,}99$ :
$E(X) = 0{,}49 - 0{,}99 = -0{,}5$.]]>
$+0{,}50$ euro : le jeu est favorable au joueur]]>
Erreur de signe : le joueur perd en moyenne, le jeu ne
lui est pas favorable. La recette ($100$ euros) dépasse le
lot ($50$ euros) : la différence se répartit sur les
joueurs.]]>
$0$ euro : le jeu est équitable, ni gain ni perte en moyenne]]>
Erreur : l'équité exigerait un lot de $100$ euros
(recette entière redistribuée). Avec $50$ euros :
$E(X) = -0{,}5$.]]>
$-1$ euro : le joueur perd sa mise dans tous les cas]]>
Erreur : $-1$ serait la perte certaine sans aucun
lot ; or un billet sur cent gagne : cette petite chance
($49$ euros avec probabilité $0{,}01$) relève l'espérance
à $-0{,}5$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q13 : Compléter une loi
$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =
0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?]]>
Toute loi de probabilité vérifie $\sum P(X = x_i) = 1$ : la
première vérification à faire sur un tableau, et l'outil
pour compléter une case manquante.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}25$]]>
Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à
$1$ : $1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25$.]]>
$0{,}75$]]>
Soustraction incomplète : $1 - 0{,}3 + 0{,}45$ mélange
les signes : on retire les deux probabilités
connues.]]>
$0$]]>
Erreur : la somme $0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \neq 1$ : il
manque $0{,}25$, qui revient à la valeur $2$.]]>
Impossible à déterminer]]>
Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine
entièrement la probabilité manquante.]]>
Variables aléatoires réelles — Q14 : Espérance d'un dé
$X$ est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut
$E(X)$ ?]]>
Cas équiprobable : l'espérance est la moyenne simple des
valeurs. $E(X) = 3{,}5$ montre aussi qu'une espérance n'est
pas forcément une valeur atteignable : aucun dé
n'affiche $3{,}5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3{,}5$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =
\dfrac{21}{6} = 3{,}5$ : la moyenne des faces,
équiprobables.]]>
$3$]]>
Erreur : $3$ serait la « valeur du milieu » arrondie
vers le bas : la moyenne exacte des six faces est
$3{,}5$.]]>
$6$]]>
Erreur : $6$ est la valeur maximale, pas la moyenne
de long terme.]]>
$21$]]>
Division oubliée : $21$ est la somme des faces : chaque
face pèse $\frac{1}{6}$ : moyenne $3{,}5$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q15 : Espérance de $2X + 3$
$X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?]]>
$E(aX + b) = aE(X) + b$ : la linéarité, appliquée
mécaniquement. Usage type : conversion d'unités, gain après
frais fixes, mise initiale.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : $E(aX + b) = aE(X) + b = 2 \times 5 + 3
= 13$ : la moyenne suit la transformation affine.]]>
$10$]]>
Constante oubliée : $2E(X) = 10$, puis le décalage $+3$
s'ajoute : $13$.]]>
$16$]]>
Erreur : $2 \times (5 + 3) = 16$ applique le facteur à
la constante aussi : le $+3$ est ajouté après la
multiplication.]]>
$2E(X) + 3X$]]>
Erreur d'objet : une espérance est un nombre : $X$
ne peut pas subsister dans le résultat.]]>
Variables aléatoires réelles — Q16 : Gain net d'un jeu payant
Un jeu coûte $2$ euros. On gagne $10$ euros avec probabilité
$0{,}1$, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain net
(gain moins mise) ?]]>
Le gain net est le gain brut diminué de la mise : $E(\text{net}) =
E(\text{brut}) - \text{mise}$ (linéarité !). Jeu équitable
$\iff E(\text{net}) = 0$. Les jeux d'argent réels sont tous
à espérance négative pour le joueur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1$ euro : le jeu est défavorable au joueur]]>
Bonne réponse : gain brut espéré $= 10 \times 0{,}1 =
1$ euro ; net : $1 - 2 = -1$ euro : en moyenne, le
joueur perd un euro par partie.]]>
$+1$ euro : le jeu est favorable au joueur]]>
Mise oubliée : $1$ euro est le gain brut moyen
($10 \times 0{,}1$) : il faut retrancher les $2$ euros de
mise : $-1$, le jeu n'est pas favorable au joueur.]]>
$0$ euro : le jeu est équitable]]>
Erreur : équitable exigerait un gain brut moyen égal à
la mise ($2$ euros) : ici il ne vaut que $1$ euro.]]>
$8$ euros : le jeu est très favorable au joueur]]>
Erreur : $10 - 2 = 8$ est le net en cas de victoire
seulement, une fois sur dix : l'espérance pondère par
$0{,}1$ (et $-2$ pèse $0{,}9$) : $0{,}8 - 1{,}8 = -1$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q17 : Variance par König-Huygens
$X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec $P(X = 0) = P(X = 2)
= 0{,}5$. Que vaut $V(X)$ ?]]>
König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ : calculer les
deux moments, soustraire dans le bon ordre. Garde-fou : $V
\geq 0$ toujours.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : $E(X) = 1$, $E(X^2) = 0 \times 0{,}5 + 4
\times 0{,}5 = 2$, donc $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 2 - 1
= 1$ (écart-type $1$ : les valeurs sont à distance $1$
de la moyenne).]]>
$0$]]>
Confusion : la symétrie de la loi centre la moyenne,
elle n'annule pas la dispersion : seules les
variables constantes ont une variance nulle.]]>
$2$]]>
Soustraction oubliée : $2 = E(X^2)$ : König-Huygens
retranche le carré de la moyenne : $2 - 1 = 1$.]]>
$-1$]]>
Impossible : une variance est toujours positive (moyenne
de carrés d'écarts) : un résultat négatif signale une
erreur de calcul.]]>
Variables aléatoires réelles — Q18 : Même espérance, risques différents
Deux placements ont la même espérance de gain, mais le
placement A a un écart-type de $2$ euros et le placement B
de $50$ euros. Comment interpréter ?]]>
Le couple $(E\ ;\ \sigma)$ résume une variable aléatoire :
tendance ET dispersion. À espérance égale, l'écart-type
départage : c'est la définition quantitative du risque
(finance, assurance, files d'attente).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
B est beaucoup plus risqué]]>
Bonne réponse : mêmes gains moyens, mais des résultats
bien plus dispersés. L'espérance dit la tendance,
l'écart-type mesure les fluctuations : B peut gagner ou
perdre gros, A reste près de la moyenne : le « risque »
est dans $\sigma$.]]>
B rapporte plus en moyenne]]>
Erreur : les espérances sont égales par hypothèse :
l'écart-type ne déplace pas la moyenne, il l'entoure
d'incertitude.]]>
A et B sont équivalents, ils ont la même espérance]]>
Réducteur : deux lois peuvent partager leur moyenne et
différer du tout au tout en dispersion : c'est
exactement ce que la variance capture.]]>
A est plus risqué : un petit écart-type cache des
surprises]]>
Contresens : un petit $\sigma$ signifie des résultats concentrés autour de la moyenne, donc peu de surprises : le risque
croît avec l'écart-type.]]>
Variables aléatoires réelles — Q19 : Contrôler une loi de probabilité
Une variable aléatoire prend les valeurs $0$, $1$ et $2$ avec les
probabilités $0{,}3$, $0{,}5$ et $0{,}3$. Que faut-il en conclure ?]]>
Une loi de probabilité attribue à chaque valeur un nombre compris entre
$0$ et $1$, et ces nombres totalisent $1$. Ce contrôle précède tout calcul
d'espérance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La loi est erronée, la somme vaut $1{,}1$]]>
Bonne réponse : les probabilités d'une loi doivent totaliser
exactement $1$.]]>
La loi est correcte]]>
La somme des trois probabilités dépasse $1$, ce qui est impossible.]]>
La loi est erronée, une valeur est répétée]]>
Deux issues peuvent parfaitement avoir la même probabilité : le défaut
est ailleurs.]]>
La loi est correcte mais l'espérance est fausse]]>
Aucune espérance n'est donnée, et elle ne peut pas être calculée sur
une loi invalide.]]>
Variables aléatoires réelles — Q20 : Espérance d'une variable à trois valeurs
Une variable aléatoire prend les valeurs $-1$, $0$ et $4$ avec les
probabilités $0{,}5$, $0{,}2$ et $0{,}3$. Que vaut son espérance ?]]>
L'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités.
Elle n'est pas nécessairement une valeur prise par la variable.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}7$]]>
Bonne réponse : $(-1)(0{,}5) + 0(0{,}2) + 4(0{,}3) = -0{,}5 + 1{,}2$.]]>
$1$]]>
Moyenne simple des valeurs : elle ignore les probabilités, pourtant
très différentes.]]>
$1{,}2$]]>
Terme négatif oublié : la valeur $-1$ contribue pour $-0{,}5$.]]>
$3$]]>
Valeurs additionnées : $-1 + 0 + 4$ ne tient aucun compte des
probabilités.]]>
Variables aléatoires réelles — Q21 : Variance par la formule directe
Une variable vaut $0$ avec probabilité $0{,}5$ et $2$ avec probabilité
$0{,}5$. Que vaut sa variance ?]]>
La variance est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Son écart-
type, racine carrée de la variance, vaut ici $1$ également.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1$]]>
Bonne réponse : l'espérance vaut $1$, et la variance
$0{,}5(0-1)^2 + 0{,}5(2-1)^2 = 1$.]]>
$2$]]>
Écarts non élevés au carré : la variance mesure la moyenne des carrés
des écarts.]]>
$0$]]>
Une variance nulle signalerait une variable constante, ce qui n'est
pas le cas ici.]]>
$0{,}5$]]>
Probabilité recopiée : elle sert de coefficient, elle n'est pas le
résultat.]]>
Variables aléatoires réelles — Q22 : Ce que l'espérance ne dit pas
Un jeu a une espérance de gain de $0$ euro.
Que peut-on en conclure pour un joueur ?]]>
Un jeu d'espérance nulle est dit équitable. Deux jeux équitables peuvent
présenter des risques très différents, que seule la variance distingue.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Sur un grand nombre de parties, il ne gagne ni ne perd]]>
Bonne réponse : l'espérance décrit le gain moyen à long terme, pas le
résultat d'une partie.]]>
Il gagne exactement $0$ euro à chaque partie]]>
Un jeu d'espérance nulle peut faire gagner $10$ euros une fois sur
deux et en perdre $10$ l'autre fois.]]>
Il a une chance sur deux de gagner]]>
L'espérance ne dit rien de la probabilité de gagner : elle pondère les
gains par ces probabilités.]]>
Le jeu ne comporte aucun risque]]>
Le risque se mesure par la variance, qui peut être très grande même
avec une espérance nulle.]]>
Variables aléatoires réelles — Q23 : Espérance d'une transformation affine
Une variable $X$ a pour espérance $6$.
Que vaut l'espérance de $Y = 3X - 5$ ?]]>
L'espérance est linéaire : $E(aX + b) = aE(X) + b$. La variance, elle,
vérifie $V(aX + b) = a^2 V(X)$, la constante disparaissant.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : $E(3X - 5) = 3 \times 6 - 5$.]]>
$18$]]>
Constante oubliée : le terme $-5$ se retranche aussi à l'espérance.]]>
$1$]]>
Coefficient oublié : le facteur $3$ multiplie l'espérance.]]>
$6$]]>
Espérance de départ recopiée : la transformation affine la modifie.]]>
Variables aléatoires réelles — Q24 : Nombre de piles en trois lancers
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée et on note $X$ le nombre de « pile »
obtenus. Que vaut $P(X = 2)$ ?]]>
L'univers compte $2 \times 2 \times 2 = 8$ résultats équiprobables. L'événement $\{X = 2\}$
regroupe PPF, PFP et FPP, donc $P(X = 2) = \dfrac{3}{8}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{3}{8}$]]>
Bonne réponse : les $8$ résultats possibles sont équiprobables, et trois d'entre eux
comportent exactement deux « pile » : PPF, PFP et FPP.]]>
$\dfrac{1}{8}$]]>
Erreur : un seul ordre a été compté. Le « face » peut arriver au premier, au deuxième
ou au troisième lancer, ce qui donne trois résultats favorables.]]>
$\dfrac{1}{4}$]]>
Erreur : les quatre valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$ de $X$ ne sont pas équiprobables. Il faut
raisonner sur les $8$ résultats de l'expérience.]]>
$\dfrac{1}{2}$]]>
Erreur : $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir au moins deux « pile »,
c'est-à-dire $P(X \geq 2)$, qui ajoute le résultat PPP.]]>
Variables aléatoires réelles — Q25 : Pourquoi l'écart-type plutôt que la variance
Quel intérêt présente l'écart-type par rapport à la variance ?]]>
La variance s'exprime dans le carré de l'unité de la variable, ce qui la
rend difficile à interpréter. L'écart-type, sa racine carrée, retrouve
l'unité de départ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il s'exprime dans la même unité que la variable]]>
Bonne réponse : si $X$ est en euros, la variance est en euros carrés,
alors que l'écart-type est en euros.]]>
Il est toujours plus petit que la variance]]>
C'est faux pour une variance inférieure à $1$ : l'écart-type de
$0{,}25$ vaut $0{,}5$.]]>
Il se calcule sans connaître l'espérance]]>
Le calcul passe par la variance, qui exige l'espérance.]]>
Il peut être négatif, ce qui donne le sens de l'écart]]>
Une racine carrée est positive ou nulle : l'écart-type n'a pas de
signe.]]>
Variables aléatoires réelles — Q26 : Lire $P(X \geq 2)$
Une variable prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$ avec les
probabilités $0{,}1$, $0{,}4$, $0{,}3$ et $0{,}2$.
Que vaut $P(X \geq 2)$ ?]]>
L'écriture $P(X \geq a)$ désigne la somme des probabilités de toutes les
valeurs supérieures ou égales à $a$. L'inégalité large inclut la borne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}5$]]>
Bonne réponse : on additionne les probabilités des valeurs $2$ et $3$,
soit $0{,}3 + 0{,}2$.]]>
$0{,}3$]]>
Seule la valeur $2$ prise en compte : l'inégalité inclut aussi $3$.]]>
$0{,}2$]]>
Seule la valeur $3$ prise en compte : l'inégalité étant large, $2$
compte également.]]>
$0{,}8$]]>
Événement contraire mal formé : $P(X < 2)$ vaut $0{,}5$, pas
$0{,}8$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q27 : Un jeu à mise
Un jeu coûte $2$ euros et rapporte $10$ euros avec une probabilité de
$0{,}15$, rien sinon. Quelle est l'espérance du gain net ?]]>
Le gain net retranche la mise dans tous les cas. On établit d'abord la loi
de ce gain, puis on calcule l'espérance. Négative, elle indique un jeu
défavorable au joueur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-0{,}5$ euro]]>
Bonne réponse : $0{,}15 \times 8 + 0{,}85 \times (-2) = 1{,}2 - 1{,}7$.]]>
$1{,}5$ euro]]>
Mise oubliée : $0{,}15 \times 10$ décrit le gain brut, avant
déduction des deux euros.]]>
$-2$ euros]]>
Gain oublié : le joueur récupère parfois $10$ euros, ce qui relève
l'espérance.]]>
$8$ euros]]>
Gain net d'une partie gagnante : il reste à le pondérer par sa
probabilité et à tenir compte des parties perdues.]]>
Variables aléatoires réelles — Q28 : La formule de König-Huygens
Que permet de calculer la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ?]]>
La formule de König-Huygens exprime la variance comme la différence entre
la moyenne des carrés et le carré de la moyenne. Les deux quantités se
calculent directement sur la loi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La variance sans passer par les écarts]]>
Bonne réponse : elle évite de calculer chaque écart à l'espérance, ce
qui allège nettement les calculs.]]>
L'espérance à partir de la variance]]>
La formule donne la variance, l'espérance devant être connue au
préalable.]]>
L'écart-type directement]]>
Elle donne la variance : il reste une racine carrée à prendre.]]>
La loi de probabilité de $X$]]>
La loi est la donnée de départ ; la formule ne fait que la résumer par
deux nombres.]]>
Variables aléatoires réelles — Q29 : Deux variables, même espérance
Deux variables ont la même espérance, mais l'une a une variance bien
plus grande. Qu'est-ce que cela traduit ?]]>
L'espérance situe le centre d'une loi, la variance son étalement. Deux
lois de même espérance peuvent décrire des risques très différents.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Ses valeurs s'écartent davantage de la moyenne]]>
Bonne réponse : la variance mesure la dispersion autour de
l'espérance, pas sa position.]]>
Elle prend des valeurs plus grandes]]>
L'espérance étant la même, les valeurs ne sont pas globalement plus
grandes, seulement plus étalées.]]>
Elle prend davantage de valeurs différentes]]>
Le nombre de valeurs n'est pas en cause : deux valeurs très éloignées
suffisent à obtenir une grande variance.]]>
Son espérance est mal calculée]]>
Rien ne le laisse penser : espérance et variance décrivent deux
aspects différents de la même loi.]]>
Variables aléatoires réelles — Q30 : Ce qu'est une variable aléatoire
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire sur un univers fini ?]]>
Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'univers, à valeurs
numériques. Sa loi donne, pour chaque valeur possible, la probabilité
qu'elle soit prise.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une fonction de l'univers vers les nombres]]>
Bonne réponse : elle traduit chaque résultat de l'expérience en un
nombre, par exemple un gain.]]>
Un nombre tiré au hasard dans l'univers]]>
La variable n'est pas le résultat du tirage, mais la règle qui associe
un nombre à chaque résultat possible.]]>
La probabilité d'un événement de l'univers]]>
Les probabilités interviennent ensuite, quand on établit la loi de la
variable.]]>
L'ensemble de toutes les issues possibles]]>
Cet ensemble est l'univers, qui sert de point de départ à la variable.]]>
Variables aléatoires réelles — Q31 : Une probabilité négative
Un élève propose la loi suivante : $P(X = 0) = 0{,}6$,
$P(X = 1) = -0{,}1$ et $P(X = 2) = 0{,}5$. Que faut-il en
penser ?]]>
Une loi de probabilité remplit deux conditions : chaque
probabilité appartient à $[0\,;\,1]$, et leur somme vaut $1$.
Contrôler les deux avant tout calcul évite de travailler sur
un tableau impossible.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La loi est à rejeter : une probabilité reste positive]]>
Bonne réponse : chaque probabilité d'une loi appartient à
l'intervalle $[0\,;\,1]$. La somme vaut bien $1$, mais la
valeur $-0{,}1$ disqualifie le tableau.]]>
La loi convient, puisque les trois nombres totalisent $1$]]>
Vérification incomplète : la somme égale à $1$ est
nécessaire, elle ne suffit pas. Chaque probabilité doit
aussi rester positive.]]>
La loi est fausse car la somme des nombres dépasse $1$]]>
Erreur de calcul : $0{,}6 - 0{,}1 + 0{,}5 = 1$. Le défaut
se trouve ailleurs, dans le signe de la deuxième
probabilité.]]>
On ne peut pas conclure sans l'espérance de $X$]]>
Erreur d'ordre : l'espérance se calcule une fois la loi
validée. Ici le tableau est déjà à rejeter.]]>
Variables aléatoires réelles — Q32 : Espérance d'un tirage équiprobable
Un sac contient quatre jetons indiscernables au toucher,
numérotés $1$, $3$, $6$ et $10$. On en tire un au
hasard et on note $X$ le numéro obtenu. Que vaut $E(X)$ ?]]>
Quand toutes les valeurs ont la même probabilité, l'espérance
se réduit à leur moyenne simple. Dans le cas général, chaque
valeur est pondérée par sa probabilité.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5$]]>
Bonne réponse : les quatre jetons ont la même probabilité
$\dfrac{1}{4}$, donc $E(X)$ est la moyenne des numéros :
$\dfrac{1 + 3 + 6 + 10}{4} = 5$.]]>
$20$]]>
Division oubliée : $20$ est la somme des quatre
numéros. Chaque jeton pesant $\dfrac{1}{4}$, l'espérance
vaut $5$.]]>
$5{,}5$]]>
Seuls les numéros extrêmes ont été moyennés : $3$ et
$6$ comptent autant que les autres dans le calcul.]]>
$10$]]>
Diviseur erroné : le sac contient quatre jetons, pas
deux. La somme se partage en quatre parts égales.]]>
Variables aléatoires réelles — Q33 : Ce que désigne l'écriture $\{X = 3\}$
Dans l'étude d'une variable aléatoire $X$, que désigne
l'écriture $\{X = 3\}$ ?]]>
L'accolade désigne un événement : $\{X = 3\}$ regroupe les
issues auxquelles $X$ associe $3$. Sa probabilité s'écrit
$P(X = 3)$, et la même logique vaut pour $\{X \leq 3\}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'ensemble des issues dont l'image par $X$ vaut $3$]]>
Bonne réponse : ces issues forment un événement, dont la
probabilité se note $P(X = 3)$. L'accolade désigne donc
un ensemble, et non un nombre.]]>
La probabilité que $X$ soit égale à $3$, entre $0$ et $1$]]>
Confusion entre l'événement et sa probabilité : le nombre
compris entre $0$ et $1$ s'écrit $P(X = 3)$, avec la
lettre $P$ devant.]]>
Une équation d'inconnue $X$, dont la solution vaut $3$]]>
Erreur de lecture : $X$ n'est pas une inconnue à trouver,
mais une fonction définie sur l'univers.]]>
La valeur moyenne de la variable $X$]]>
Erreur d'objet : la valeur moyenne est l'espérance
$E(X)$, un nombre, alors que $\{X = 3\}$ est un ensemble
d'issues.]]>
Variables aléatoires réelles — Q34 : Repérer la variable aléatoire
On tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes : le
joueur gagne $5$ euros si la carte est un cœur, et perd
$2$ euros sinon. Qu'est-ce qui joue le rôle de la variable
aléatoire ?]]>
Une variable aléatoire est la règle qui transforme chaque
issue en un nombre : ici la carte tirée devient un gain. Sa
loi se lit ensuite sur les probabilités des issues.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le gain algébrique obtenu par le joueur]]>
Bonne réponse : la variable associe à chaque carte tirée
un nombre, ici $5$ ou $-2$. C'est bien une fonction
définie sur l'univers, à valeurs réelles.]]>
L'ensemble des $52$ cartes du jeu]]>
Cet ensemble est l'univers, c'est-à-dire l'ensemble des
issues. La variable aléatoire est définie sur lui, elle
ne se confond pas avec lui.]]>
Le tirage d'une carte au hasard dans le jeu]]>
C'est l'expérience aléatoire. La variable vient ensuite :
elle traduit chaque résultat de cette expérience en un
nombre.]]>
La probabilité de tirer un cœur, égale à $0{,}25$]]>
Ce nombre sert à établir la loi de la variable, mais une
probabilité n'est pas une variable aléatoire.]]>
Variables aléatoires réelles — Q35 : Des probabilités cumulées à une probabilité
Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs entières et
vérifie $P(X \leq 1) = 0{,}45$ et $P(X \leq 2) = 0{,}7$. Que
vaut $P(X = 2)$ ?]]>
Les probabilités cumulées se soustraient :
$P(X = a) = P(X \leq a) - P(X < a)$. Sur des valeurs
entières, l'événement précédent est $\{X \leq a - 1\}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}25$]]>
Bonne réponse : l'événement $\{X \leq 2\}$ réunit
$\{X \leq 1\}$ et $\{X = 2\}$, donc
$P(X = 2) = 0{,}7 - 0{,}45 = 0{,}25$.]]>
$0{,}7$]]>
Soustraction oubliée : $0{,}7$ cumule toutes les valeurs
inférieures ou égales à $2$, pas seulement la valeur $2$.]]>
$0{,}45$]]>
Mauvais cumul recopié : $0{,}45$ correspond aux valeurs
inférieures ou égales à $1$, celles que l'on retranche.]]>
$0{,}3$]]>
Contraire pris par erreur : $1 - 0{,}7$ donne
$P(X > 2)$, la probabilité des valeurs situées au-delà
de $2$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q36 : Remonter à l'espérance de $X$
Soit $X$ une variable aléatoire et $Y = 5X - 2$. On
sait que $E(Y) = 33$. Que vaut $E(X)$ ?]]>
La relation $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ se lit dans les deux
sens. Pour remonter à $E(X)$ : retrancher la constante, puis
diviser par le coefficient.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : $E(Y) = 5\,E(X) - 2$, donc
$5\,E(X) = 33 + 2$, puis on divise par $5$ :
$E(X) = 7$.]]>
$6{,}6$]]>
Constante oubliée : diviser $33$ par $5$ suppose que
$Y = 5X$. Il faut d'abord retirer le terme constant.]]>
$6{,}2$]]>
Erreur de signe : le terme constant passe de l'autre côté
de l'égalité, donc il change de signe avant la division.]]>
$35$]]>
Division oubliée : retirer la constante donne
$5\,E(X)$, il reste à partager ce produit par $5$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q37 : Variance d'une transformation affine
Une variable aléatoire $X$ a pour variance $V(X) = 3$. Que
vaut $V(2X + 5)$ ?]]>
$V(aX + b) = a^2\,V(X)$ : le coefficient agit au carré, la
constante disparaît. Pour l'écart-type,
$\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$12$]]>
Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\,V(X)$, soit
$2^2 \times 3 = 12$. La constante décale les
valeurs sans modifier leur dispersion.]]>
$6$]]>
Carré oublié : le coefficient intervient au carré dans la
variance, car elle moyenne des écarts élevés au carré.]]>
$11$]]>
Règle de l'espérance appliquée à la variance : la
formule $a\,V(X) + 5$ vaut pour $E$, pas pour $V$.]]>
$17$]]>
Constante ajoutée à tort : translater toutes les valeurs
de $5$ ne change rien à leur dispersion.]]>
Variables aléatoires réelles — Q38 : Fixer une mise équitable
Un jeu rapporte $50$ euros avec la probabilité $0{,}08$, et
rien sinon. Quelle mise rend ce jeu équitable ?]]>
Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle,
c'est-à-dire quand la mise égale le gain brut moyen.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4$ euros]]>
Bonne réponse : le gain brut moyen vaut
$50 \times 0{,}08 = 4$ euros. Une mise de ce montant
annule l'espérance du gain net.]]>
$50$ euros]]>
Lot recopié : miser le montant du lot reviendrait à le
gagner à coup sûr. Le lot n'est obtenu qu'avec la
probabilité $0{,}08$.]]>
$25$ euros]]>
Partage arbitraire : la moitié du lot ne tient aucun
compte de la probabilité de gagner, seule donnée qui
fixe la mise.]]>
$46$ euros]]>
Probabilité contraire utilisée : le lot est pondéré par
sa probabilité d'être gagné, pas par celle de le manquer.]]>
Variables aléatoires réelles — Q39 : Retrouver $E(X^2)$
Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 3$ et
$V(X) = 4$. Que vaut $E(X^2)$ ?]]>
La formule de König-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ se
réarrange en $E(X^2) = V(X) + E(X)^2$. Elle fournit la
moyenne des carrés sans revenir à la loi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$13$]]>
Bonne réponse : de $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ on tire
$E(X^2) = 4 + 3^2 = 13$.]]>
$7$]]>
Carré oublié : la formule fait intervenir $E(X)^2$, donc
$3^2$, et non $3$.]]>
$5$]]>
Soustraction inversée : la variance se retranche à
$E(X^2)$, elle s'ajoute donc quand on remonte à $E(X^2)$.]]>
$12$]]>
Opération erronée : la formule additionne la variance et
le carré de l'espérance, elle ne les multiplie pas.]]>
Variables aléatoires réelles — Q40 : Laquelle est la plus dispersée
Deux variables aléatoires prennent chacune deux valeurs avec
la probabilité $0{,}5$ : $X$ prend $9$ ou $11$, et $Y$ prend
$0$ ou $20$. Laquelle a le plus grand écart-type ?]]>
L'écart-type mesure l'éloignement moyen des valeurs à
l'espérance. À espérance égale, la loi dont les valeurs sont
les plus écartées est la plus dispersée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$Y$, dont les valeurs sont plus éloignées de $10$]]>
Bonne réponse : les deux espérances valent $10$, mais les
écarts à cette moyenne valent $1$ pour $X$ et $10$ pour
$Y$ : l'écart-type de $Y$ est dix fois plus grand.]]>
$X$, dont les deux valeurs sont les plus resserrées]]>
Interprétation inversée : des valeurs resserrées donnent
un petit écart-type, donc une faible dispersion.]]>
Les deux, car elles ont la même espérance $10$]]>
Une espérance commune ne dit rien de la dispersion : deux
lois de même centre peuvent être très différentes.]]>
Impossible à savoir sans le détail des probabilités]]>
Les probabilités sont pourtant connues : elles valent
$0{,}5$ pour chacune des quatre valeurs annoncées.]]>
Variables aléatoires réelles — Q41 : Choisir entre deux placements
Deux placements ont le même écart-type, $40$ euros. Le
premier a une espérance de gain de $15$ euros, le second de
$5$ euros. Lequel choisir ?]]>
Le couple espérance et écart-type résume une variable
aléatoire : le gain moyen et son incertitude. À dispersion
égale, la plus forte espérance l'emporte.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le premier, à risque égal et gain moyen supérieur]]>
Bonne réponse : les écarts-types étant égaux, les deux
placements fluctuent autant. L'espérance départage, et
elle est trois fois plus élevée pour le premier.]]>
Le second, car une espérance faible protège des pertes]]>
Erreur : le risque se lit sur l'écart-type, identique
ici. Une espérance plus faible ne protège de rien.]]>
Les deux se valent, leurs écarts-types étant égaux]]>
Critère unique : l'écart-type ne décrit que la
dispersion. Deux placements aussi dispersés se départagent
sur leur gain moyen.]]>
Aucun des deux, leur écart-type étant trop élevé]]>
Jugement hors sujet : la question est comparative, et un
écart-type ne s'interprète que rapporté aux gains
attendus.]]>
Variables aléatoires réelles — Q42 : Contrôler un résultat d'espérance
Une variable aléatoire prend les valeurs $2$, $5$ et $9$. Un
élève annonce $E(X) = 12$. Sans refaire le calcul, que peut-on
affirmer ?]]>
Premier réflexe de contrôle : l'espérance appartient à
l'intervalle formé par la plus petite et la plus grande
valeur de la variable. Un résultat hors de cet intervalle
signale une erreur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le résultat annoncé est nécessairement erroné]]>
Bonne réponse : l'espérance est une moyenne pondérée des
valeurs, elle reste donc comprise entre la plus petite,
$2$, et la plus grande, $9$. Il y a une erreur de calcul.]]>
Il faut refaire le calcul pour se prononcer]]>
Contrôle possible sans calcul : une moyenne pondérée ne
peut pas sortir de l'intervalle des valeurs.]]>
Le résultat convient si une probabilité est grande]]>
Aucune pondération n'y suffit : même en donnant la
probabilité $1$ à la valeur $9$, l'espérance vaut $9$.]]>
Le résultat convient, l'espérance étant rarement atteinte]]>
Argument détourné : l'espérance n'est en effet pas
toujours une valeur prise par $X$, mais elle reste
toujours entre les valeurs extrêmes.]]>
Variables aléatoires réelles — Q43 : Variance d'une loi à trois valeurs
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $2$
avec les probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $0{,}3$. Que vaut
$V(X)$ ?]]>
Méthode : calculer $E(X) = \sum x_i p_i$, puis
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$, enfin appliquer König-Huygens
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$. Le résultat doit être positif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}49$]]>
Bonne réponse : $E(X) = 1{,}1$ et $E(X^2) = 1{,}7$,
donc $V(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 0{,}49$.]]>
$1{,}7$]]>
Soustraction oubliée : $1{,}7$ est la moyenne des
carrés $E(X^2)$. Il reste à lui retrancher $E(X)^2$.]]>
$0{,}6$]]>
Carré oublié : la formule retranche le carré de
l'espérance, soit $1{,}1^2$, et non l'espérance $1{,}1$.]]>
$1{,}1$]]>
Espérance recopiée : $1{,}1$ situe le centre de la loi,
alors que la variance en mesure la dispersion.]]>
Variables aléatoires réelles — Q44 : Espérance d'une tombola
Une tombola met en vente $200$ billets à $3$ euros
pièce. Elle offre un lot de $200$ euros et $5$ lots de
$20$ euros. Que vaut, en euros, l'espérance du gain net
d'un acheteur d'un billet ?]]>
Gain net d'un billet $=$ lot reçu $-$ mise. Par linéarité,
l'espérance vaut le lot moyen, c'est-à-dire le total des lots
divisé par le nombre de billets, moins la mise.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1{,}5$]]>
Bonne réponse : les lots totalisent
$200 + 5 \times 20$ euros, répartis sur
$200$ billets. Le lot moyen moins la mise $3$
donne $-1{,}5$ euros.]]>
$1{,}5$]]>
Signe inversé : la mise dépasse le lot moyen, donc
l'espérance est négative. L'organisateur, lui, gagne.]]>
$-3$]]>
Lots oubliés : perdre exactement sa mise supposerait
qu'aucun billet ne gagne. Les lots relèvent l'espérance.]]>
$-2$]]>
Petits lots oubliés : les $5$ lots de $20$ euros
comptent autant que le gros lot dans le total distribué.]]>
Variables aléatoires réelles — Q45 : Loi de la somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $X$ la
somme des deux résultats. Que vaut $P(X = 5)$ ?]]>
L'univers compte $6 \times 6 = 36$ couples équiprobables. La
loi de la somme s'obtient en dénombrant, pour chaque valeur,
les couples qui la réalisent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{1}{9}$]]>
Bonne réponse : les $36$ couples de résultats sont
équiprobables et $4$ d'entre eux donnent la somme
$5$, d'où $P(X = 5) = \dfrac{1}{9}$.]]>
$\dfrac{1}{6}$]]>
Équiprobabilité supposée à tort : les sommes de $2$ à
$12$ ne sont pas également probables, contrairement aux
faces d'un seul dé.]]>
$\dfrac{1}{12}$]]>
Un couple oublié : l'ordre des deux dés compte, donc
$(2\,;\,3)$ et $(3\,;\,2)$ sont deux issues distinctes.]]>
$\dfrac{1}{36}$]]>
Un seul couple compté : plusieurs couples différents
conduisent à la même somme, il faut tous les dénombrer.]]>
Variables aléatoires réelles — Q46 : Choisir entre deux jeux par l'espérance
Le gain du jeu A a pour espérance $2$ € et celui du jeu B
$1{,}5$ €, pour une même mise. Lequel choisir pour gagner le plus en
moyenne sur un grand nombre de parties ?]]>
L'espérance d'un gain est le gain moyen par partie à long terme :
elle sert à comparer des jeux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Le jeu A, dont l'espérance de gain est la plus grande]]>
Bonne réponse : sur un grand nombre de parties, le gain moyen
par partie se rapproche de l'espérance ; $2 > 1{,}5$.]]>
Le jeu B, l'espérance la plus petite étant la moins risquée]]>
Erreur : l'espérance mesure le gain moyen, pas le risque ; une
espérance plus petite rapporte moins.]]>
Les deux, les gains étant imprévisibles à chaque partie]]>
Erreur : chaque partie est imprévisible, mais la moyenne sur
de nombreuses parties ne l'est pas.]]>
Aucun, les deux espérances étant positives]]>
Erreur : deux espérances positives signifient deux jeux
favorables ; le plus favorable reste A.]]>
Variables aléatoires réelles — Q47 : Espérance d'un dé truqué
Un dé truqué donne $6$ avec la probabilité $0{,}5$, et chacune des
faces $1$ à $5$ avec la même probabilité. Quelle est l'espérance
du nombre obtenu ?]]>
$E(X) = \sum x_i\,p_i$ : chaque valeur est pondérée par sa
probabilité, le trucage déplace la moyenne.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4{,}5$]]>
Bonne réponse : les faces $1$ à $5$ ont chacune la probabilité
$\dfrac{1 - 0{,}5}{5}$, de somme $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ;
l'espérance vaut $15 \times \dfrac{1 - 0{,}5}{5} + 6 \times
0{,}5 = 4{,}5$.]]>
$3{,}5$]]>
Erreur : $3{,}5$ est l'espérance d'un dé équilibré ; le
trucage augmente la valeur moyenne.]]>
$5{,}5$]]>
Erreur : les probabilités des faces $1$ à $5$ ont été mal
réparties ; leur somme doit valoir $1 - 0{,}5$.]]>
$3$]]>
Erreur : $3$ est la moyenne des faces $1$ à $5$, sans tenir
compte de la face $6$.]]>
Variables aléatoires réelles — Q48 : Gain moyen sur de nombreuses parties
Le gain algébrique d'une partie a pour espérance $-0{,}5$ €. Quel
gain total peut-on attendre sur $100$ parties ?]]>
Sur $n$ parties, le gain total est voisin de $n \times E(X)$ :
c'est ce qui fait la rentabilité d'un casino ou d'une loterie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Environ $-50$ €]]>
Bonne réponse : $100 \times (-0{,}5) = -50$ € ; l'espérance se
cumule partie après partie.]]>
Environ $-0{,}5$ €]]>
Erreur : $-0{,}5$ € est le gain moyen d'une partie.]]>
Environ $50$ €]]>
Erreur : le signe a été inversé ; une espérance négative donne
une perte, une positive un gain.]]>
$0$ €, les gains et pertes se compensant]]>
Erreur : les gains et les pertes ne se compensent que si
l'espérance est nulle.]]>
Variables aléatoires réelles — Q49 : Fixer le prix d'une assurance
Un assureur rembourse $1000$ € en cas de vol, qui survient avec la
probabilité $0{,}02$ dans l'année. Quel est le coût moyen d'un
contrat pour l'assureur, hors frais ?]]>
Le coût moyen d'un risque est son espérance : montant multiplié par
probabilité. La prime d'assurance s'appuie dessus.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$20$ €, l'espérance du remboursement]]>
Bonne réponse : $E = 1000 \times 0{,}02 + 0 \times (1 - 0{,}02) =
20$ € ; la prime doit dépasser ce montant pour que l'assureur
gagne en moyenne.]]>
$1000$ €, le remboursement maximal]]>
Erreur : le remboursement n'a lieu qu'avec la probabilité
$0{,}02$ ; en moyenne il coûte bien moins.]]>
$2$ €, soit $0{,}02$ fois $100$]]>
Erreur : c'est le montant $1000$ qu'il faut multiplier par
$0{,}02$, pas $100$.]]>
$0$ €, le vol étant peu probable]]>
Erreur : peu probable n'est pas impossible ; sur de nombreux
contrats, les vols coûtent en moyenne $20$ € chacun.]]>
Variables aléatoires réelles — Q50 : Comparer deux jeux équitables par la variance
Deux jeux ont une espérance de gain nulle. Le jeu A fait gagner
ou perdre $1$ € avec la même probabilité ; le jeu B fait gagner
ou perdre $100$ € avec la même probabilité. Que distingue ces deux
jeux ?]]>
Deux variables aléatoires peuvent avoir la même espérance et des
variances très différentes : l'espérance dit le gain moyen, la
variance le risque.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Leur variance, celle de B étant bien plus grande]]>
Bonne réponse : $V(A) = 1$ et $V(B) = 10\,000$ ; la variance
mesure la dispersion des gains, donc le risque, que l'espérance
ne voit pas.]]>
Rien, deux jeux de même espérance étant équivalents]]>
Erreur : l'espérance ne résume pas tout ; l'ampleur des gains
et des pertes diffère énormément.]]>
Leur espérance, celle de B étant plus grande]]>
Erreur : les deux espérances sont nulles, par hypothèse.]]>
Leur équité, le jeu B n'étant pas équitable]]>
Erreur : un jeu est équitable quand son espérance est nulle ;
les deux le sont.]]>