$course$/QCM de maths/Première spécialité/Variations et courbes représentatives Lien entre signe de la dérivée et sens de variation, fonctions
constantes, extremums et tangente horizontale, fonctions paires
et impaires (traduction géométrique), position relative de deux
courbes, optimisation, étude du second degré par la dérivation.

]]> Variations et courbes représentatives — Q01 : Du signe de la dérivée aux variations Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'(x) > 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?

]]> Théorème : $f' > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement
croissante ; $f' < 0$ $\Rightarrow$ décroissante ; $f' = 0$
partout $\Rightarrow$ constante. Toute l'étude de fonctions
repose dessus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est strictement croissante sur $I$

]]> Bonne réponse : une pente partout positive fait monter la
courbe : c'est le théorème central du chapitre.

]]> $f$ est positive sur $I$

]]> Confusion signe/variations : $f' > 0$ parle de la
pente, pas de la hauteur. Une fonction peut monter en
restant négative.

]]> $f$ est décroissante sur $I$

]]> Sens inversé : la décroissance correspond à $f' < 0$
(pente négative, la courbe descend).

]]> $f$ est constante sur $I$

]]> Erreur : constante correspond à $f' = 0$ sur tout
l'intervalle. Ici la dérivée est strictement positive.

]]> Variations et courbes représentatives — Q02 : Étudier les variations par la dérivée Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =
3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?

]]> Méthode complète : dériver, étudier le signe de $f'$
(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.
$f' < 0$ sur $]-1\,;\,1[$ : $f$ décroît sur $[-1\,;\,1]$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : le trinôme $3(x-1)(x+1)$ est négatif entre
ses racines $-1$ et $1$ : la dérivée y est négative, la
fonction y descend.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-1]$

]]> Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et
$f' > 0$ : la fonction monte.

]]> Sur $[1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont positifs,
$f' > 0$ : croissance.

]]> Nulle part : $x^3$ est toujours croissante

]]> Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-3x$
creuse une descente entre $-1$ et $1$ (calcule
$f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$).

]]> Variations et courbes représentatives — Q03 : Tangentes horizontales Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum local (-1 ; 2) et minimum local (1 ; -2), où deux segments horizontaux rouges en pointillés matérialisent les tangentes horizontales.

La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles
abscisses la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?

]]> En un extremum local d'une fonction dérivable, la tangente est
horizontale : $f'(a) = 0$. Ne pas confondre les zéros de $f$
(courbe coupe l'axe) et les zéros de $f'$ (tangentes
horizontales).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = -1$ et $x = 1$

]]> Bonne réponse : au sommet local et au creux local, la
tangente est horizontale (pointillés rouges) : la pente
$f'$ s'y annule.

]]> En $x = 0$

]]> Erreur : en $0$ la courbe traverse l'axe en
descendant : la tangente y est inclinée
($f'(0) = -3$), pas horizontale.

]]> En $x = -\sqrt{3}$ et $x = \sqrt{3}$

]]> Confusion : $\pm\sqrt{3}$ sont les points où $f$
s'annule (la courbe coupe l'axe des abscisses), pas où
$f'$ s'annule.

]]> Nulle part

]]> Erreur : les deux extremums locaux, bien visibles,
imposent des tangentes horizontales : $f'(-1) = f'(1) =
0$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q04 : Fonction paire Que signifie « $f$ est paire » ?

]]> $f$ paire : $f(-x) = f(x)$, courbe symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées. $f$ impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie
par rapport à l'origine. Vérifier au passage que le domaine
est symétrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$

]]> Bonne réponse : deux antécédents opposés ont la même
image, et la courbe est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées, elle se reflète dans l'axe vertical
(exemple : $x^2$).

]]> $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$

]]> Erreur : ceci définit une fonction impaire, dont la
courbe est symétrique par rapport à l'origine (exemple :
$x^3$).

]]> $f(x) \geq 0$ pour tout $x$

]]> Erreur : la parité n'a rien à voir avec le signe. La
fonction $x^2 - 5$ est paire et prend des valeurs
négatives.

]]> $f$ ne prend que des valeurs entières paires

]]> Erreur : « paire » qualifie ici la symétrie de la
fonction, pas la parité arithmétique de ses valeurs.

]]> Variations et courbes représentatives — Q05 : Montrer qu'une fonction est impaire Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Que vaut $f(-x)$, et qu'en
conclut-on ?

]]> Méthode : calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$ et $-f(x)$.
Ici $f(-x) = -f(x)$ : impaire (symétrie par rapport à
l'origine, visible sur la courbe de $x^3 - 3x$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la fonction est impaire

]]> Bonne réponse : $(-x)^3 = -x^3$ et $-3(-x) = +3x$ : on
obtient l'opposé de $f(x)$. Courbe symétrique par rapport
à l'origine.

]]> $f(-x) = x^3 - 3x = f(x)$ : la fonction est paire

]]> Erreur de calcul : $(-x)^3 = -x^3$ (le cube conserve le
signe). Les deux termes changent de signe : $f(-x) =
-f(x)$.

]]> $f(-x) = -x^3 - 3x$ : la fonction n'est ni paire ni
impaire

]]> Erreur de signe sur le second terme : $-3 \times (-x) =
+3x$. Au total $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : impaire.

]]> On ne peut rien dire sans la courbe

]]> Erreur : le calcul algébrique de $f(-x)$ tranche sans
figure : c'est même la méthode la plus sûre.

]]> Variations et courbes représentatives — Q06 : Extremum et nombre dérivé Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ admettant un maximum
local en $x = a$. Que peut-on affirmer ?

]]> En un extremum local d'une fonction dérivable : $f'(a) = 0$
(condition nécessaire). Mais $f'(a) = 0$ ne suffit pas :
il faut que $f'$ change de signe en $a$ (contre-exemple
$x^3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale

]]> Bonne réponse : au sommet, la courbe cesse de monter avant
de descendre : la pente s'annule (résultat au programme).

]]> $f'(a) > 0$

]]> Erreur : une pente strictement positive signifierait que
la courbe continue de monter : $a$ ne serait pas un
sommet.

]]> $f(a) = 0$

]]> Confusion : c'est la dérivée qui s'annule au sommet,
pas la fonction. La valeur $f(a)$ est le maximum, quelconque.

]]> Réciproquement, $f'(a) = 0$ garantit toujours un extremum

]]> Erreur : la réciproque est fausse : $f(x) = x^3$ vérifie
$f'(0) = 0$ sans extremum en $0$ (la courbe traverse sa
tangente).

]]> Variations et courbes représentatives — Q07 : Construire les variations Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.
Quel est le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,2]$ ?

]]> Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(2-x) > 0$
sur $]0\,;\,2[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses
racines), donc $f$ croissante sur $[0\,;\,2]$, décroissante
avant et après.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante, car $f' \geq 0$ sur $[0\,;\,2]$

]]> Bonne réponse : entre les racines $0$ et $2$, le trinôme
$x(2-x)$ (coefficient dominant négatif) est positif :
$f$ monte.

]]> Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif

]]> Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est
négative à l'extérieur des racines ; entre elles,
$f' > 0$.

]]> Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$

]]> Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la
positivité entre elles. Teste $f'(1) = 1 > 0$.

]]> On ne peut pas savoir sans connaître $f$

]]> Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le
sens de variation, sans expression de $f$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q08 : Position relative de deux courbes Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Pour étudier la position
relative de leurs courbes sur $[0\,;\,1]$, on calcule
$f(x) - g(x) = x(x - 1)$. Qu'en conclut-on ?

]]> Méthode systématique : étudier le signe de $f - g$.
Négatif : $\mathcal{C}_f$ en dessous ; positif : au-dessus ;
annulation : point d'intersection. Ici : parabole sous la
droite sur $[0\,;\,1]$ (démonstration au programme, position
de $y = x$ et $y = x^2$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : sur $]0\,;\,1[$, $x > 0$ et $x - 1 < 0$ :
la différence $f - g$ est négative, donc $f(x) < g(x)$ :
la parabole passe sous la droite.

]]> $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur
$[0\,;\,1]$

]]> Erreur de signe : teste $x = 0{,}5$ : $f = 0{,}25 <
g = 0{,}5$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est
plus petit que ce nombre.

]]> Les courbes ne se coupent jamais

]]> Erreur : $f - g$ s'annule en $0$ et en $1$ : les courbes
se coupent en ces deux points (extrémités de
l'intervalle).

]]> On doit comparer $f'$ et $g'$

]]> Erreur de méthode : les dérivées comparent les
pentes, pas les hauteurs. La position relative se lit
sur le signe de la différence $f - g$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q09 : Optimiser avec la dérivée Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\mathbb{R}$. En
étudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?

]]> Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 6$
s'annule en $x = 3 = -\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de
la parabole par la dérivée. Minimum $f(3) = -8$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 6$ s'annule en $x = 3$ en
passant du négatif au positif : minimum
$f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$.

]]> Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$

]]> Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en
$3$ (la fonction descend puis monte) : c'est un
minimum. Cohérent avec la parabole tournée vers le
haut ($a = 1 > 0$).

]]> Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$

]]> Valeurs échangées : la dérivée s'annule en $x = 3$
(l'abscisse), et le minimum est la valeur $f(3) =
-8$.

]]> Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois

]]> Erreur : une seule annulation avec changement de
signe suffit exactement à créer un extremum.

]]> Variations et courbes représentatives — Q10 : Caractérisation des fonctions constantes Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) = 0$
pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?

]]> Caractérisation (au programme) : $f' = 0$ sur un intervalle
$\Leftrightarrow$ $f$ constante sur cet intervalle. C'est la
réciproque « dérivée nulle » du théorème des variations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est constante sur $I$

]]> Bonne réponse : pente nulle partout : la courbe est un
segment horizontal, la fonction ne varie pas.

]]> $f(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$

]]> Confusion : c'est la dérivée qui est nulle, pas la
fonction. $f(x) = 7$ convient parfaitement : constante non
nulle.

]]> $f$ n'a pas de tangente

]]> Erreur : la courbe a partout une tangente… horizontale
(confondue avec elle-même).

]]> $f$ est affine de pente quelconque

]]> Erreur : une affine $mx + p$ a pour dérivée $m$ ; la
nullité de la dérivée force $m = 0$ : constante.

]]> Variations et courbes représentatives — Q11 : Établir une inégalité par une étude de fonction Pour démontrer que $x^2 \geq 2x - 1$ pour tout réel $x$,
quelle démarche est la plus directe ?

]]> Méthode reine pour les inégalités : tout passer d'un côté et
étudier le signe de la différence (ici un carré ; en
général, par tableau de variations). Capacité attendue du
programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Étudier le signe de $x^2 - (2x - 1)$

]]> Bonne réponse : $x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$, un carré,
donc positif pour tout $x$ : l'inégalité est établie
(avec égalité en $x = 1$, point de tangence).

]]> Vérifier l'inégalité pour $x = 0$, $1$ et $2$

]]> Insuffisant : trois vérifications ne prouvent rien pour
tous les réels. Il faut un argument général (signe de
la différence).

]]> Comparer les dérivées : $2x$ et $2$

]]> Erreur de méthode : comparer les pentes ne compare pas les
valeurs. C'est le signe de la différence des fonctions
qui conclut.

]]> Diviser les deux membres par $x$ pour simplifier

]]> Dangereux : le signe de $x$ est inconnu (division par $0$
ou renversement d'inégalité). La différence, elle,
fonctionne sans condition.

]]> Variations et courbes représentatives — Q12 : Le sommet retrouvé par la dérivée Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. En quelle
abscisse la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?

]]> Boucle de cohérence du programme : $f'(x) = 2ax + b$ s'annule
en $-\frac{b}{2a}$, avec changement de signe : extremum au
sommet de la parabole (minimum si $a > 0$, maximum si
$a < 0$). La dérivation retrouve et démontre la forme
canonique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = -\dfrac{b}{2a}$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 2ax + b = 0 \Leftrightarrow x =
-\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du sommet de la
parabole, la dérivation redémontre la position de
l'extremum vue en début d'année.

]]> En $x = -\dfrac{b}{a}$

]]> Erreur : $2ax + b = 0$ donne $x = -\dfrac{b}{2a}$ : le
facteur $2$ de la dérivée ne disparaît pas.

]]> En $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

]]> Confusion : ces valeurs sont les racines de $f$
(là où la parabole coupe l'axe), pas le zéro de $f'$
(le sommet).

]]> Elle ne s'annule jamais si $\Delta < 0$

]]> Erreur : $\Delta$ gouverne les racines de $f$, pas celles
de $f'$. La dérivée $2ax + b$, affine, s'annule toujours
exactement une fois.

]]> Variations et courbes représentatives — Q13 : Comparer deux images sans calcul $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comment se
comparent $f(2)$ et $f(5)$ ?

]]> Croissante : conserve l'ordre ($a < b \Rightarrow f(a) <
f(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images
via le sens de variation, sans calculer, est un réflexe
d'efficacité maximale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(2) < f(5)$

]]> Bonne réponse : une fonction croissante range les images dans le même ordre que les antécédents : $2 < 5 \Rightarrow f(2) <
f(5)$, quelle que soit la formule de $f$.

]]> $f(2) > f(5)$

]]> Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction
décroissante (qui renverse l'ordre).

]]> $f(2) = f(5)$

]]> Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte
croissance ($2 \neq 5$).

]]> Impossible à dire sans l'expression de $f$

]]> Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la
croissance transporte les inégalités sans aucun calcul.

]]> Variations et courbes représentatives — Q14 : Compter les solutions sur un tableau Le tableau de variations de $f$ indique : croissante de
$-2$ à $4$ sur $]-\infty\ ;\ 1]$, puis décroissante de $4$
vers $0$ sur $[1\ ;\ +\infty[$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 3$ ?

]]> Sur un tableau de variations, compter les solutions de
$f(x) = k$ : une par flèche dont l'intervalle des valeurs
contient $k$ (strictement entre les bornes). L'esquisse
mentale de la courbe (montée, sommet, descente) sécurise le
décompte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux : une avant le sommet, une après

]]> Bonne réponse : le niveau $3$ est franchi une fois en
montant (de $-2$ à $4$) et recroisé une fois en
descendant (de $4$ vers $0$, en restant au-dessus de
$3$ un temps) : deux solutions.

]]> Une seule

]]> Redescente oubliée : après le maximum $4$, la fonction
repasse par $3$ en descendant vers $0$ : deuxième
solution.

]]> Aucune : $3$ n'apparaît pas dans le tableau

]]> Erreur de lecture : le tableau liste les valeurs
extrêmes ; toutes les valeurs intermédiaires sont
atteintes ($3$ est entre $-2$ et $4$, et entre $0$ et
$4$).

]]> Trois

]]> Trop : chaque flèche (monotone) croise le niveau $3$ au
plus une fois : deux flèches, deux solutions maximum.

]]> Variations et courbes représentatives — Q15 : De la courbe de $f'$ aux variations de $f$ La courbe de la dérivée $f'$ est au-dessus de l'axe des
abscisses sur $]-\infty\ ;\ 1[$ et en dessous après. Que
fait $f$ ?

]]> Traduction systématique : position de la courbe de $f'$ par
rapport à l'axe → signe de $f'$ → variations de $f$.
L'erreur type est de lire la courbe de $f'$ comme si
c'était $f$ : toujours vérifier QUELLE courbe est donnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ croît jusqu'à $x = 1$ puis décroît : maximum en $1$

]]> Bonne réponse : $f' > 0$ : $f$ monte ; $f' < 0$ : $f$
descend ; le basculement en $1$ dessine un sommet.

]]> $f$ est positive avant $1$, négative après

]]> Confusion signe de $f'$ / signe de $f$ : la courbe
donnée est celle de $f'$ : son signe pilote les
variations de $f$, pas ses valeurs.

]]> $f$ décroît puis croît : minimum en $1$

]]> Inversé : $f'$ positive d'abord signifie que $f$ monte d'abord : le
scénario est un sommet, pas un creux.

]]> $f'$ admet un maximum en $x = 1$

]]> Confusion entre les deux courbes : $f'$ ne culmine pas en $1$, elle y passe de
positive à négative. C'est $f$ qui admet un maximum en $1$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q16 : Minimum sur un intervalle fermé Sur $[0\ ;\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =
3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$
sur $[0\ ;\ 4]$ ?

]]> Un extremum se décrit par deux nombres : sa valeur (le
minimum vaut $-1$) et sa position (atteint en $x = 3$).
Les confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les
lectures de tableaux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$, atteint en $x = 3$

]]> Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres
valeurs lui sont supérieures : minimum $-1$, position
$x = 3$.

]]> $0$, la borne gauche de l'intervalle

]]> Confusion abscisse/valeur : $0$ est une borne du
domaine : le minimum est une valeur de $f$, lue dans
les flèches : $-1$.

]]> $2$, la dernière valeur du tableau

]]> Erreur : $2$ est la valeur finale ($f(4)$), pas la
plus basse : la fonction est descendue à $-1$ avant de
remonter.

]]> $3$

]]> Inversion classique : $3$ est l'abscisse où le
minimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur
$f(3) = -1$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q17 : La parité comme économie d'étude Soit $f(x) = x^4 - x^2$. Pourquoi suffit-il de l'étudier
sur $[0\ ;\ +\infty[$ ?

]]> Parité : $f(-x) = f(x)$ (exposants pairs) : symétrie d'axe
$(Oy)$ ; imparité : $f(-x) = -f(x)$ : symétrie de centre
$O$. Détecter la symétrie AVANT l'étude divise le travail
par deux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 =
f(x)$ : chaque information sur $[0\ ;\ +\infty[$ se
reflète sur l'autre moitié.

]]> $f$ est impaire : symétrie par rapport à l'origine

]]> Test raté : $f(-x) = +f(x)$ (les exposants sont
pairs) : c'est la parité, pas l'imparité ($f(-x) =
-f(x)$).

]]> $f$ n'est pas définie pour $x < 0$

]]> Erreur : un polynôme est défini sur tout $\mathbb{R}$ :
la restriction est un choix d'économie, pas une
contrainte de domaine.

]]> On ne peut pas : il faut toujours étudier sur
$\mathbb{R}$ entier

]]> Erreur : exploiter une symétrie est une méthode
officielle (et attendue) : moitié d'étude, symétrie,
conclusion complète.

]]> Variations et courbes représentatives — Q18 : Courbe et droite $y = x$ Pour situer la courbe de $f$ par rapport à la droite $y =
x$, on étudie $g(x) = f(x) - x$. Si $g(x) > 0$ sur un
intervalle, que peut-on dire ?

]]> La position relative de deux courbes se lit sur le signe de la différence : $f - g > 0$ : au-dessus ; $< 0$ : en
dessous ; $= 0$ : intersection. La méthode vaut pour toute
paire de courbes, la droite $y = x$ n'étant qu'un cas
fréquent (suites, points fixes).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La courbe de $f$ est au-dessus de la droite sur cet
intervalle

]]> Bonne réponse : $g > 0 \iff f(x) > x$ : les points de la
courbe dominent ceux de la droite aux mêmes abscisses.

]]> La courbe est en dessous de la droite

]]> Sens inversé : dessous correspondrait à $f(x) < x$,
c'est-à-dire $g < 0$.

]]> $f$ est croissante sur cet intervalle

]]> Confusion : le signe de $g = f - x$ compare des
positions, pas des variations (qui relèveraient de
$f'$).

]]> La courbe coupe la droite sur cet intervalle

]]> Contraire : couper exigerait $g(x) = 0$ quelque part ;
$g > 0$ strictement signifie qu'il n'y a aucun contact.

]]> Variations et courbes représentatives — Q19 : Variations d'un polynôme de degré 3 Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
décroissante ?

]]> Pour étudier les variations, on dérive, on cherche les racines de la
dérivée, puis on dresse son tableau de signes. Les racines de $f$ elles-
mêmes n'y jouent aucun rôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[-1\,;\,1]$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2 - 3$ est négative entre ses racines
$-1$ et $1$.

]]> Sur $[-\sqrt{3}\,;\,\sqrt{3}]$

]]> Racines de $f$ confondues avec celles de $f'$ : ce sont les valeurs où
la courbe coupe l'axe, pas où elle change de sens.

]]> Sur $[0\,;\,+\infty[$

]]> Au-delà de $1$, la dérivée redevient positive : $f'(2) = 9$.

]]> Sur $\mathbb{R}$ tout entier

]]> La dérivée est positive à l'extérieur de $[-1\,;\,1]$, donc la
fonction y croît.

]]> Variations et courbes représentatives — Q20 : Dérivée nulle sans extremum La dérivée de $f(x) = x^3$ s'annule en $0$.
La fonction y admet-elle un extremum ?

]]> Une dérivée nulle est nécessaire pour un extremum, mais elle ne suffit
pas : il faut que la dérivée change de signe. En $0$, la courbe du cube a une tangente
horizontale, mais la fonction croît de part et d'autre de $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, elle reste croissante

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 3x^2$ est positive de part et d'autre de $0$,
la dérivée ne change pas de signe.

]]> Oui, un minimum

]]> Un minimum exigerait des valeurs plus grandes de part et d'autre : or
$f(-1) = -1$ est inférieur à $f(0) = 0$.

]]> Oui, un maximum

]]> Même objection dans l'autre sens : $f(1) = 1$ dépasse $f(0) = 0$.

]]> Oui, mais seulement à gauche de $0$

]]> Un extremum se constate sur un voisinage complet du point, des deux
côtés à la fois.

]]> Variations et courbes représentatives — Q21 : Reconnaître une fonction impaire Quelle relation caractérise une fonction impaire ?

]]> Une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$ et sa courbe est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées. Une fonction impaire vérifie
$f(-x) = -f(x)$ et sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(-x) = -f(x)$

]]> Bonne réponse : les images de deux nombres opposés sont opposées, d'où
la symétrie par rapport à l'origine.

]]> $f(-x) = f(x)$

]]> C'est la définition d'une fonction paire, dont la courbe est
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

]]> $f(x) = -x$

]]> C'est une fonction particulière, impaire certes, mais la définition
doit valoir pour toute fonction.

]]> $f(0) = 0$

]]> Cette égalité est une conséquence, pas la définition : la fonction
carré la vérifie sans être impaire.

]]> Variations et courbes représentatives — Q22 : Comparer deux courbes Comment déterminer la position de la courbe de $f$ par rapport à
celle de $g$ ?

]]> Étudier la position relative de deux courbes revient à étudier le signe de
la différence des deux fonctions. Ses racines donnent les abscisses des
points d'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En étudiant le signe de $f - g$

]]> Bonne réponse : la courbe de $f$ est au-dessus là où la différence est
positive.

]]> En comparant $f'$ et $g'$

]]> Les dérivées comparent les pentes, pas les hauteurs : deux courbes
parallèles ont la même dérivée sans se confondre.

]]> En cherchant les racines de $f$ et de $g$

]]> Les racines donnent les intersections avec l'axe des abscisses, pas
les intersections entre les deux courbes.

]]> En comparant leurs ordonnées à l'origine

]]> Cette comparaison ne vaut qu'en un point : au-delà, l'ordre peut
s'inverser.

]]> Variations et courbes représentatives — Q23 : Du tableau au nombre de solutions Le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,9]$ indique qu'elle croît
de $-4$ à $6$ sur $[0\,;\,5]$, puis décroît de $6$ à $1$ sur $[5\,;\,9]$. D'après ce tableau,
combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solutions ?

]]> Sur chaque intervalle où la fonction est monotone, l'équation $f(x) = k$ a
au plus une solution, et exactement une si $k$ est encadré par les valeurs
extrêmes de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux

]]> Bonne réponse : la valeur $3$ est atteinte une fois dans la phase
croissante et une fois dans la phase décroissante.

]]> Une seule

]]> Les deux phases encadrent chacune la valeur $3$, il y a donc une
solution dans chacune.

]]> Trois

]]> Le tableau ne comporte que deux phases de variation, donc au plus deux
solutions.

]]> Aucune

]]> La valeur $3$ est comprise entre $-4$ et $6$, donc elle est bien
atteinte.

]]> Variations et courbes représentatives — Q24 : Une dérivée nulle partout Une fonction a une dérivée nulle sur un intervalle.
Que peut-on en conclure ?

]]> Sur un intervalle, une dérivée nulle caractérise les fonctions constantes.
L'hypothèse d'intervalle est indispensable : sur une réunion d'intervalles,
les constantes peuvent différer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante sur cet intervalle

]]> Bonne réponse : sans variation, la fonction garde la même valeur sur
tout l'intervalle.

]]> Elle est nulle sur cet intervalle

]]> La fonction constante égale à $7$ a une dérivée nulle sans être nulle
elle-même.

]]> Elle admet un extremum en chaque point

]]> Sans variation, aucun point ne se distingue : parler d'extremum n'a
pas d'intérêt.

]]> Elle change de sens de variation

]]> Un changement de sens supposerait une dérivée qui change de signe, or
elle reste nulle.

]]> Variations et courbes représentatives — Q25 : Une boîte de volume maximal Le volume d'une boîte est donné par $V(x) = x(10 - 2x)^2$ pour
$x \in \,]0\,;\,5[$. Quelle étape mène au maximum ?

]]> Un problème d'optimisation se traite en trois temps : exprimer la grandeur
à optimiser, dériver, puis dresser le tableau de signes de la dérivée pour
localiser l'extremum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Résoudre $V'(x) = 0$ puis étudier son signe

]]> Bonne réponse : le maximum d'une fonction dérivable à l'intérieur d'un
intervalle annule sa dérivée.

]]> Résoudre $V(x) = 0$

]]> Cette équation donne les valeurs où le volume est nul, donc les cas les
plus défavorables.

]]> Prendre la valeur médiane de l'intervalle

]]> Rien n'assure que le maximum se trouve au milieu : ici il vaut
$x = \dfrac{5}{3}$.

]]> Comparer $V(0)$ et $V(5)$

]]> Ces deux bornes sont exclues et donnent toutes deux un volume nul.

]]> Variations et courbes représentatives — Q26 : La courbe de $f'$ passe sous l'axe Sur un intervalle, la courbe de $f'$ est entièrement située sous
l'axe des abscisses. Que fait $f$ sur cet intervalle ?

]]> Lire la courbe de $f'$ demande de s'intéresser à son signe, non à sa
position ou à ses variations. Le signe de $f'$ donne le sens de variation
de $f$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît

]]> Bonne réponse : une dérivée négative signifie des tangentes qui
descendent, donc une fonction décroissante.

]]> Elle est négative

]]> C'est le signe de $f'$ qui est négatif ; $f$ peut très bien rester
positive tout en diminuant.

]]> Elle croît de plus en plus lentement

]]> Ce comportement correspondrait à une dérivée positive qui diminue,
donc située au-dessus de l'axe.

]]> Elle change de sens de variation

]]> Un changement de sens exigerait que $f'$ traverse l'axe, ce que
l'énoncé exclut.

]]> Variations et courbes représentatives — Q27 : Un extremum atteint en une borne Une fonction est strictement croissante sur $[1\,;\,7]$.
Où atteint-elle son maximum ?

]]> Sur un intervalle fermé, un extremum peut être atteint en une borne sans
que la dérivée s'y annule. La condition de dérivée nulle ne concerne que
l'intérieur de l'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 7$

]]> Bonne réponse : la fonction ne cesse d'augmenter, donc la plus grande
valeur est prise à l'extrémité droite.

]]> En $x = 1$

]]> C'est là que le minimum est atteint, puisque la fonction augmente
ensuite.

]]> En un point où $f'$ s'annule

]]> La dérivée ne s'annule pas ici : la croissance est stricte sur tout
l'intervalle.

]]> Nulle part, le maximum n'existe pas

]]> Sur un intervalle fermé et borné, une fonction monotone atteint bien
ses valeurs extrêmes.

]]> Variations et courbes représentatives — Q28 : Démontrer une inégalité Pour prouver que $x^3 \geq x$ pour tout $x \geq 1$, quelle démarche
convient ?

]]> Démontrer une inégalité entre deux expressions revient à étudier le signe
de leur différence. On dérive cette différence, on dresse son tableau de
variations et l'on conclut avec sa valeur en une borne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Étudier la fonction $x \mapsto x^3 - x$

]]> Bonne réponse : on montre que cette différence est positive sur
l'intervalle, en étudiant ses variations.

]]> Vérifier l'inégalité pour $x = 1$ et $x = 2$

]]> Deux exemples ne démontrent rien : une inégalité doit être établie pour
toutes les valeurs.

]]> Diviser les deux membres par $x$

]]> L'opération est licite ici puisque $x$ est positif, mais elle ramène à
$x^2 \geq 1$, qu'il reste à justifier.

]]> Comparer les dérivées des deux membres

]]> Comparer les dérivées compare les pentes ; il faut encore un point de
départ pour conclure sur les valeurs.

]]> Variations et courbes représentatives — Q29 : Une condition préalable à la parité Avant d'étudier la parité d'une fonction, que faut-il vérifier ?

]]> Une fonction ne peut être paire ou impaire que si son ensemble de
définition est symétrique par rapport à $0$. La fonction racine carrée, par
exemple, n'est ni l'une ni l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Que son ensemble de définition est symétrique

]]> Bonne réponse : si $x$ appartient à l'ensemble, $-x$ doit y appartenir
aussi, sinon $f(-x)$ n'a pas de sens.

]]> Que la fonction est dérivable

]]> La parité ne fait intervenir aucune dérivée : la valeur absolue est
paire sans être dérivable en $0$.

]]> Que la fonction s'annule en $0$

]]> C'est une conséquence pour les fonctions impaires définies en $0$, pas
une condition préalable.

]]> Que la fonction est positive

]]> Le signe n'intervient pas : la fonction cube est impaire et prend des
valeurs des deux signes.

]]> Variations et courbes représentatives — Q30 : Ce que porte un tableau de variations Quelles informations figurent dans un tableau de variations complet ?

]]> Un tableau de variations comporte les valeurs remarquables de $x$, le
signe de $f'$ sur chaque intervalle, et les images aux bornes reliées par
des flèches.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le signe de $f'$ et les images aux bornes

]]> Bonne réponse : la ligne du signe de la dérivée justifie les flèches,
et les valeurs aux bornes situent la courbe.

]]> Le signe de $f$ et ses racines

]]> Ces informations relèvent d'un tableau de signes, qui répond à une
autre question.

]]> Les tangentes en chaque point

]]> Un tableau ne peut pas porter une information point par point : il
résume par intervalles.

]]> Les coordonnées de tous les points de la courbe

]]> La courbe comporte une infinité de points ; le tableau n'en retient
que les valeurs remarquables.

]]> Variations et courbes représentatives — Q31 : La courbe d'une fonction paire Dans un repère orthogonal, quelle particularité présente la courbe
d'une fonction paire ?

]]> Une fonction paire vérifie $f(-x) = f(x)$ sur un ensemble de définition
symétrique. Géométriquement, sa courbe est invariante par la symétrie
d'axe $(Oy)$, ce qui permet de n'étudier que les abscisses positives.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : les points d'abscisses $x$ et $-x$ ont la même
ordonnée, donc ils se correspondent par la symétrie d'axe $(Oy)$.

]]> Elle est symétrique par rapport à l'axe des abscisses du repère

]]> Impossible pour une courbe de fonction : un antécédent aurait alors
deux images opposées. La symétrie cherchée est celle d'axe $(Oy)$.

]]> Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère

]]> C'est la traduction de l'imparité, qui correspond à
$f(-x) = -f(x)$. Ici les images sont égales, pas opposées.

]]> Elle est symétrique par rapport à la droite $y = x$

]]> Cette symétrie échange les abscisses et les ordonnées : elle ne
traduit pas la parité, qui compare $f(-x)$ et $f(x)$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q32 : Compléter la courbe d'une fonction impaire La courbe d'une fonction impaire a été tracée sur $[0\,;\,5]$. Comment
obtient-on sa partie correspondant à $[-5\,;\,0]$ ?

]]> Pour une fonction impaire, $f(-x) = -f(x)$ : la courbe est invariante par
la symétrie de centre l'origine. L'étude sur $[0\,;\,+\infty[$ suffit
donc, le reste s'obtenant par construction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par symétrie par rapport à l'origine du repère

]]> Bonne réponse : le point de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ a pour
symétrique $(-x\,;\,-f(x))$, qui appartient aussi à la courbe.

]]> Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> Cette construction convient aux fonctions paires. Pour une fonction
impaire, les images changent aussi de signe.

]]> Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Seules les ordonnées seraient changées en leur opposé : les
abscisses doivent l'être également.

]]> Par une translation horizontale de la partie déjà tracée

]]> Une translation ne fait pas apparaître d'abscisses négatives à
partir de $[0\,;\,5]$, et l'imparité est une symétrie.

]]> Variations et courbes représentatives — Q33 : Où chercher le maximum sur un intervalle fermé Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle fermé $[a\,;\,b]$. Pour
déterminer son maximum, quelles valeurs faut-il comparer ?

]]> Sur un intervalle fermé, une fonction dérivable atteint son maximum en
une borne ou en un point où $f'$ s'annule. Il suffit donc de calculer ces
quelques images et de retenir la plus grande.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les images des bornes et celles où $f'$ s'annule

]]> Bonne réponse : le maximum est atteint soit à une borne, soit en un
point où la dérivée change de signe, donc s'annule.

]]> Les images des seuls points où $f'$ s'annule

]]> Bornes oubliées : une fonction croissante sur $[a\,;\,b]$ atteint son
maximum en $b$ sans que $f'$ s'annule.

]]> Les valeurs prises par $f'$ aux bornes de l'intervalle

]]> La dérivée renseigne sur les variations, pas sur la hauteur : le
maximum se lit sur les images, c'est-à-dire sur $f$.

]]> Les images de toutes les valeurs entières de l'intervalle

]]> Le maximum n'a aucune raison d'être atteint en un entier. Seules les
bornes et les valeurs qui annulent $f'$ sont à comparer.

]]> Variations et courbes représentatives — Q34 : Deux fonctions de même dérivée Deux fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur un intervalle $I$ et
vérifient $f'(x) = g'(x)$ pour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?

]]> Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante. Appliqué
à $f - g$, ce résultat signifie que deux fonctions de même dérivée
diffèrent d'une constante : leurs courbes se déduisent l'une de l'autre
par une translation verticale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La différence $f - g$ est constante sur $I$

]]> Bonne réponse : $(f - g)' = f' - g' = 0$ sur $I$, donc $f - g$ est
constante.

]]> Les fonctions $f$ et $g$ sont égales sur $I$

]]> Conclusion trop forte : $x^2$ et $x^2 + 7$ ont la même dérivée sans
être égales. Seul l'écart entre elles est fixe.

]]> Les fonctions $f$ et $g$ sont constantes sur $I$

]]> C'est la dérivée de $f - g$ qui est nulle, pas celles de $f$ et de
$g$ : rien n'empêche ces deux fonctions de varier.

]]> La somme $f + g$ est constante sur l'intervalle $I$

]]> La dérivée de $f + g$ vaut $2f'$, qui n'est pas nulle en général.
C'est la différence qui se simplifie.

]]> Variations et courbes représentatives — Q35 : Du signe d'une dérivée affine aux variations Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est
$f'(x) = 2x - 6$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?

]]> Une dérivée affine change de signe en une seule valeur, celle qui
l'annule. Le coefficient de $x$ donne le sens du changement : positif, la
dérivée passe du négatif au positif, donc $f$ décroît puis croît.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[3\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : $f'$ s'annule en $3$ et, comme $2$ est positif,
la dérivée est positive après cette valeur.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Sens inversé : avec $2$ positif, $f'$ est négative avant $3$,
donc $f$ y décroît. La croissance vient ensuite.

]]> $[-3\,;\,+\infty[$

]]> Erreur de signe dans la résolution : $2x - 6 = 0$ donne
$x = 3$, et non $-3$.

]]> $[-6\,;\,+\infty[$

]]> Division oubliée : après avoir isolé $2x$, il reste à diviser par
$2$, ce qui donne $3$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q36 : Remonter des images aux antécédents Soit $f$ une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On sait
que $f(a) < f(b)$. Que peut-on affirmer ?

]]> Une fonction strictement croissante conserve l'ordre dans les deux sens :
$a < b$ équivaut à $f(a) < f(b)$. Cette équivalence sert à comparer des
antécédents à partir de leurs images, sans calculer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a < b$

]]> Bonne réponse : si l'on avait $a \geq b$, la croissance donnerait
$f(a) \geq f(b)$, ce qui contredit l'énoncé.

]]> $a > b$

]]> Ordre renversé : une fonction croissante range les images dans le
même ordre que les antécédents, et non dans l'ordre contraire.

]]> $a = b$

]]> Deux antécédents égaux donneraient deux images égales, alors que
l'énoncé fournit une inégalité stricte.

]]> On ne peut pas comparer $a$ et $b$

]]> La stricte croissance suffit : elle se lit aussi bien des
antécédents vers les images que des images vers les antécédents.

]]> Variations et courbes représentatives — Q37 : Deux changements de signe de la dérivée La dérivée $f'$ est positive avant $-2$, négative entre $-2$ et
$3$, puis positive après $3$. Que présente la courbe de $f$ ?

]]> Un extremum local correspond à un changement de signe de la dérivée : du
positif au négatif pour un maximum, du négatif au positif pour un
minimum. Sur $[-2\,;\,3]$, intervalle de longueur $5$, la
fonction descend du premier au second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un maximum local en $-2$ et un minimum local en $3$

]]> Bonne réponse : $f$ croît puis décroît autour de $-2$, ce qui donne
un maximum, et l'inverse autour de $3$.

]]> Un minimum local en $-2$ et un maximum local en $3$

]]> Extremums échangés : un maximum correspond au passage du positif au
négatif, ce qui se produit en $-2$.

]]> Deux maximums locaux, en $-2$ et en $3$

]]> En $3$, la dérivée passe du négatif au positif : $f$ y descend
puis remonte, c'est donc un minimum.

]]> Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'en changeant de signe

]]> C'est justement le changement de signe qui crée l'extremum. Une
dérivée qui s'annule sans changer de signe n'en donnerait pas.

]]> Variations et courbes représentatives — Q38 : Une différence égale à un carré La courbe $\mathcal{C}$ représente $f$ et $d$ est la droite d'équation
$y = 2x + 1$. On obtient $f(x) - (2x + 1) = (x - 3)^2$.
Quelle est la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $d$ ?

]]> Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence des
fonctions. Un carré étant toujours positif, la courbe reste au-dessus de
la droite et la touche là où ce carré s'annule.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$ et la touche en $x = 3$

]]> Bonne réponse : un carré est positif, et il ne s'annule qu'en
$x = 3$, où les deux courbes se rejoignent à l'ordonnée $7$.

]]> $\mathcal{C}$ est au-dessous de $d$ et la touche en $x = 3$

]]> Signe mal interprété : $f(x) - (2x + 1)$ est positif, donc $f$
domine la droite, et non l'inverse.

]]> $\mathcal{C}$ est au-dessus de $d$, sans aucun point commun

]]> Le carré s'annule en $x = 3$ : en ce point la différence est nulle,
donc la courbe et la droite se touchent.

]]> $\mathcal{C}$ coupe $d$ en deux points d'abscisses opposées

]]> L'expression $(x - 3)^2$ n'a qu'une racine, $3$ : il n'y a qu'un
seul point de contact, et la différence n'y change pas de signe.

]]> Variations et courbes représentatives — Q39 : Un résultat qui contredit les variations Un élève affirme que $f$ est croissante sur $[0\,;\,5]$, mais il a
obtenu $f'(2) = -3$. Que faut-il en penser ?

]]> Le signe de la dérivée et le sens de variation se contrôlent l'un
l'autre. Une pente de $-3$ signifie que la courbe descend en $2$ :
il faut reprendre soit le calcul de $f'$, soit l'étude de son signe. Une
valeur $3$ aurait été compatible avec la croissance annoncée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'affirmation et le calcul se contredisent

]]> Bonne réponse : sur un intervalle de croissance, $f'$ reste positive
ou nulle, alors que $-3$ est strictement négatif.

]]> Tout est cohérent : $f'(2)$ peut être négatif

]]> Non : $2$ appartient à $[0\,;\,5]$, où la croissance impose
$f'(2) \geq 0$. Une valeur négative est impossible.

]]> Le calcul prouve que $f$ décroît sur $[0\,;\,5]$

]]> Un nombre dérivé négatif en un seul point ne renseigne que sur le
voisinage de $2$, pas sur l'intervalle entier.

]]> Le signe de $f'$ ne dit rien des variations de $f$

]]> Au contraire, c'est le théorème du chapitre : le signe de la dérivée
détermine le sens de variation sur un intervalle.

]]> Variations et courbes représentatives — Q40 : L'ordre des étapes d'une étude Pour dresser le tableau de variations d'une fonction dérivable $f$, dans
quel ordre procède-t-on ?

]]> Une étude de variations suit trois étapes : dériver, déterminer le signe
de la dérivée, conclure. Les images aux bornes et les extremums viennent
ensuite remplir le tableau.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Calculer $f'$, étudier son signe, conclure sur $f$

]]> Bonne réponse : la dérivée s'obtient d'abord, son signe ensuite, et
les flèches du tableau en découlent.

]]> Calculer $f'$, puis les images aux bornes, puis tracer la courbe

]]> Les images aux bornes complètent le tableau, mais elles ne
remplacent pas l'étude du signe de $f'$, qui seule donne les flèches.

]]> Étudier le signe de $f$, puis en déduire ses variations

]]> Confusion classique : le signe de $f$ dit où la courbe est au-dessus
de l'axe, pas si elle monte ou descend.

]]> Calculer quelques images, les placer, puis relier les points

]]> Quelques points ne prouvent rien : entre deux d'entre eux, la
fonction peut monter puis redescendre.

]]> Variations et courbes représentatives — Q41 : Décroissante sur une réunion d'intervalles La fonction inverse a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$, strictement
négative. Est-elle pour autant décroissante sur $\mathbb{R}^*$ ?

]]> Le lien entre signe de la dérivée et sens de variation n'est valable que
sur un intervalle. Avant de conclure, on vérifie donc la nature de
l'ensemble d'étude et l'on énonce les variations intervalle par
intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle décroît sur chacun des deux intervalles

]]> Bonne réponse : le théorème s'applique sur un intervalle, et
$\mathbb{R}^*$ réunit $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ :
on conclut sur chacun séparément.

]]> Oui : sa dérivée est négative partout où elle est définie

]]> Pourtant $-1 < 1$ et $f(-1) = -1 < f(1) = 1$ : les images grandissent
en passant d'un intervalle à l'autre.

]]> Non : sa dérivée n'existe pas en tout point de $\mathbb{R}^*$

]]> La dérivée existe bien en tout réel non nul. Ce n'est pas elle qui
pose problème, mais la forme de l'ensemble d'étude.

]]> Oui : le signe de la dérivée suffit toujours à conclure

]]> Il ne suffit que sur un intervalle. Sur une réunion d'intervalles,
la conclusion se fait morceau par morceau.

]]> Variations et courbes représentatives — Q42 : Une dérivée qui ne s'annule jamais Soit $f(x) = 2x^3 + 5x - 1$, de dérivée
$f'(x) = 6x^2 + 5$. Quel est le sens de variation de $f$ sur
$\mathbb{R}$ ?

]]> Avant de chercher les racines d'une dérivée, on regarde sa forme : une
somme d'un carré multiplié par un nombre positif et d'une constante
positive ne s'annule jamais. La fonction est alors monotone sur
$\mathbb{R}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement croissante sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : $6x^2$ est positif et l'on ajoute $5$, donc
$f'(x) > 0$ pour tout réel $x$.

]]> Strictement décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Signe mal lu : la dérivée est une somme de termes positifs, donc
elle est positive et la fonction monte.

]]> Croissante puis décroissante, avec un maximum

]]> Il faudrait que $f'$ change de signe, donc s'annule. Or
$6x^2 + 5 = 0$ n'a pas de solution réelle.

]]> Décroissante puis croissante, avec un minimum

]]> Même remarque : sans annulation de la dérivée, aucun changement de
sens n'est possible, et donc aucun extremum.

]]> Variations et courbes représentatives — Q43 : Les niveaux atteints deux fois Sur $[0\,;\,8]$, $f$ croît de $-3$ jusqu'à $6$, puis décroît de
$6$ jusqu'à $1$. Pour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$
a-t-elle exactement deux solutions ?

]]> Chaque branche monotone atteint une fois les valeurs comprises entre ses
deux extrémités. Les niveaux atteints deux fois sont donc ceux communs
aux deux branches, soit un intervalle de longueur $5$, sommet
exclu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1 \leq k < 6$

]]> Bonne réponse : la branche descendante ne redescend que jusqu'à
$1$, et le sommet $6$ n'est atteint qu'une fois.

]]> $-3 \leq k < 6$

]]> Entre $-3$ et $1$, seule la branche croissante atteint $k$ : cela
ne donne qu'une solution.

]]> $1 < k \leq 6$

]]> Deux bornes mal placées : $k = 6$ ne donne qu'une solution, alors
que $k = 1$ en donne bien deux.

]]> $-3 \leq k \leq 1$

]]> Ces niveaux sont atteints une seule fois, sur la montée. Les valeurs
doubles commencent à $1$ et vont jusqu'à $6$.

]]> Variations et courbes représentatives — Q44 : Minimum d'une somme avec un inverse Soit $f$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$,
de dérivée $f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2}$. En quelle valeur $f$
atteint-elle son minimum ?

]]> On résout $f'(x) = 0$ dans l'intervalle d'étude, puis on justifie le
changement de signe de la dérivée. L'équation $x^2 = 9$ a deux
solutions opposées, mais une seule est retenue ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : $f'(x) = 0$ équivaut à $x^2 = 9$, donc $x = 3$
sur $]0\,;\,+\infty[$, avec $f'$ négative avant et positive après.

]]> $x = 9$

]]> Racine oubliée : l'équation $x^2 = 9$ ne donne pas $x = 9$, mais
le nombre dont le carré vaut $9$.

]]> $x = \dfrac{9}{2}$

]]> Diviser par $2$ ne résout pas $x^2 = 9$ : c'est la racine carrée
qu'il faut prendre, ce qui donne $3$.

]]> $x = -3$

]]> Cette valeur est bien solution de $x^2 = 9$, mais elle
n'appartient pas à $]0\,;\,+\infty[$, où $f$ est étudiée.

]]> Variations et courbes représentatives — Q45 : La quantité qui maximise un bénéfice Le bénéfice mensuel d'un atelier, en euros, est modélisé par
$B(q) = -q^2 + 60q - 500$, où $q$ désigne le nombre d'objets
vendus. Pour quelle quantité ce bénéfice est-il maximal ?

]]> Optimiser une fonction du second degré revient à annuler sa dérivée, qui
est affine, puis à vérifier son changement de signe. Le coefficient de
$q^2$ étant négatif, la valeur trouvée donne bien un maximum.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $30$ objets

]]> Bonne réponse : $B'(q) = -2q + 60$ s'annule en $30$ en passant
du positif au négatif, ce qui donne bien un maximum.

]]> $60$ objets

]]> Coefficient recopié : l'annulation de $-2q + 60$ demande encore
une division par $2$, ce qui conduit à $30$.

]]> $120$ objets

]]> Opération inversée : le coefficient $2$ de la dérivée divise, il ne
multiplie pas. Le maximum est atteint en $30$.

]]> $15$ objets

]]> Division de trop : $-2q + 60 = 0$ donne $q = 30$, et non le
quart du coefficient.

]]>