$course$/QCM de maths/Première spécialité/Vocabulaire ensembliste et logique
Notations ensemblistes (appartenance, inclusion, intersection,
réunion, complémentaire, cardinal, produit cartésien), connecteurs
« et » et « ou », quantificateurs et négation, implication,
réciproque, contraposée, conditions nécessaires et suffisantes,
raisonnements par contre-exemple, par l'absurde et par disjonction
des cas.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q01 : Appartenance ou inclusion
On note $A = \{1\,;\,3\,;\,5\}$. Laquelle de ces écritures est
correcte ?]]>
$\in$ relie un élément à un ensemble ; $\subset$ relie deux
ensembles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\{3\} \subset A$]]>
Bonne réponse : $\{3\}$ est un ensemble dont l'unique élément
appartient à $A$ : il est inclus dans $A$.]]>
$3 \subset A$]]>
Erreur : $3$ est un élément ; on écrit $3 \in A$. Le symbole
$\subset$ relie deux ensembles.]]>
$\{3\} \in A$]]>
Erreur : les éléments de $A$ sont des nombres, pas des
ensembles.]]>
$\{1\,;\,2\} \subset A$]]>
Erreur : $2$ n'appartient pas à $A$.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q02 : Intersection de deux intervalles
Quel est l'ensemble $[-2\,;\,5] \cap [1\,;\,8]$ ?]]>
Sur une droite graduée, l'intersection est la partie commune aux
deux intervalles ; la réunion est leur partie couverte.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[1\,;\,5]$]]>
Bonne réponse : l'intersection contient les réels qui sont à la
fois dans les deux intervalles.]]>
$[-2\,;\,8]$]]>
Erreur : $[-2\,;\,8]$ est la réunion des deux intervalles.]]>
$[-2\,;\,1]$]]>
Erreur : ces réels sont dans le premier intervalle mais pas
tous dans le second.]]>
$\varnothing$]]>
Erreur : les deux intervalles se chevauchent entre $1$ et
$5$.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q03 : Réunion de deux intervalles
Quel est l'ensemble $]-3\,;\,2] \cup [0\,;\,6[$ ?]]>
$x \in A \cup B$ signifie que $x$ est dans $A$ ou dans $B$, le
« ou » étant inclusif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$]-3\,;\,6[$]]>
Bonne réponse : la réunion contient les réels d'au moins l'un
des deux intervalles, qui se chevauchent.]]>
$[0\,;\,2]$]]>
Erreur : $[0\,;\,2]$ est l'intersection.]]>
$[-3\,;\,6]$]]>
Erreur : les bornes $-3$ et $6$ sont exclues des intervalles
de départ, donc de la réunion.]]>
$]2\,;\,0[$]]>
Erreur : cet ensemble est vide, car $0 < 2$.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q04 : Complémentaire d'un ensemble
Dans l'ensemble $E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$, on
considère $A = \{2\,;\,4\,;\,5\}$. Quel est le complémentaire
$\overline{A}$ de $A$ dans $E$ ?]]>
$\overline{A} = E \setminus A$ : les éléments de $E$ qui ne sont
pas dans $A$. On a $A \cup \overline{A} = E$ et
$A \cap \overline{A} = \varnothing$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\{1\,;\,3\,;\,6\}$]]>
Bonne réponse : ce sont les éléments de $E$ qui n'appartiennent
pas à $A$.]]>
$\{2\,;\,4\,;\,5\}$]]>
Erreur : c'est $A$ lui-même.]]>
$\{1\,;\,3\}$]]>
Erreur : $6$ appartient à $E$ et pas à $A$, il est donc dans le
complémentaire.]]>
$\varnothing$]]>
Erreur : $A$ ne contient pas tous les éléments de $E$.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q05 : Cardinal d'une réunion
Deux ensembles finis vérifient $\text{Card}(A) = 12$,
$\text{Card}(B) = 9$ et $\text{Card}(A \cap B) = 4$. Que vaut
$\text{Card}(A \cup B)$ ?]]>
$\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) -
\text{Card}(A \cap B)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$17$]]>
Bonne réponse : $12 + 9 - 4$, car les éléments communs ont
été comptés deux fois.]]>
$21$]]>
Erreur : les $4$ éléments communs sont comptés deux fois.]]>
$4$]]>
Erreur : $4$ est le cardinal de l'intersection.]]>
$25$]]>
Erreur : il faut retrancher les éléments communs, pas les
ajouter.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q06 : Produit cartésien
On pose $A = \{a\,;\,b\}$ et $B = \{1\,;\,2\,;\,3\}$. Combien
d'éléments compte le produit cartésien $A \times B$ ?]]>
$\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B)$.
Un couple est ordonné : $(a\,;\,1)$ et $(1\,;\,a)$ sont différents.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $A \times B$ contient les couples $(x\,;\,y)$
avec $x \in A$ et $y \in B$, soit $2 \times 3$ couples.]]>
$5$]]>
Erreur : on a additionné les cardinaux au lieu de les
multiplier.]]>
$9$]]>
Erreur : $9 = 3 \times 3$ correspondrait à $B \times B$.]]>
$8$]]>
Erreur : $8 = 2^3$ ne correspond pas au nombre de couples.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q07 : Ensembles de nombres
Laquelle de ces affirmations est vraie ?]]>
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}
\subset \mathbb{R}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$]]>
Bonne réponse : tout entier relatif $n$ s'écrit $\dfrac{n}{1}$,
c'est un rationnel.]]>
$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Z}$]]>
Erreur : $\dfrac{1}{2}$ est rationnel mais pas entier.]]>
$\sqrt{2} \in \mathbb{Q}$]]>
Erreur : $\sqrt{2}$ est irrationnel.]]>
$-3 \in \mathbb{N}$]]>
Erreur : $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers positifs ou
nuls.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q08 : Complémentaire d'un intervalle
Quel est le complémentaire de l'intervalle $[-1\,;\,4[$ dans
$\mathbb{R}$ ?]]>
Une borne incluse dans un intervalle est exclue de son
complémentaire, et inversement.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$]-\infty\,;\,-1[ \cup [4\,;\,+\infty[$]]>
Bonne réponse : $-1$ appartient à l'intervalle, donc pas au
complémentaire ; $4$ n'y appartient pas, donc il est dans le
complémentaire.]]>
$]-\infty\,;\,-1] \cup ]4\,;\,+\infty[$]]>
Erreur : les crochets sont inversés aux deux bornes.]]>
$]-1\,;\,4]$]]>
Erreur : cet ensemble est presque l'intervalle de départ, pas
son complémentaire.]]>
$]-\infty\,;\,-1[ \cap [4\,;\,+\infty[$]]>
Erreur : cette intersection est vide ; le complémentaire est
une réunion.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q09 : Le connecteur « et »
On pose $x = 6$. La proposition « $x$ est pair et $x > 5$ »
est-elle vraie ?]]>
« P et Q » est vraie exactement quand P est vraie et Q est vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vraie, car $6$ est pair et supérieur à $5$]]>
Bonne réponse : « P et Q » n'est vraie que si P et Q le sont
toutes les deux.]]>
Fausse, car $6$ est pair et supérieur à $5$]]>
Erreur : les constats sont justes, la conclusion non ; « et »
exige les deux conditions à la fois.]]>
On ne peut pas conclure sans autre information]]>
Erreur : la valeur de $x$ est connue, chaque condition se
vérifie directement.]]>
Elle est à la fois vraie et fausse]]>
Erreur : une proposition mathématique est soit vraie, soit
fausse.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q10 : Le connecteur « ou »
On pose $x = 8$. La proposition « $x$ est pair ou $x > 5$ »
est-elle vraie ?]]>
« P ou Q » est vraie dès que l'une au moins des deux propositions
est vraie ; elle n'est fausse que si les deux sont fausses.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Vraie, car au moins une des deux conditions est remplie]]>
Bonne réponse : ici les deux sont remplies, et le « ou »
mathématique est inclusif.]]>
Fausse, car les deux conditions sont remplies en même temps]]>
Erreur : en mathématiques, « ou » n'est pas exclusif ; il
autorise les deux à la fois.]]>
Vraie seulement si l'une des conditions est fausse]]>
Erreur : c'est le sens du « ou » exclusif, qui n'est pas celui
des mathématiques.]]>
Fausse, car $8$ n'est pas impair]]>
Erreur : aucune condition ne porte sur l'imparité.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q11 : Nier une conjonction
Quelle est la négation de la proposition « $x \geq 2$ et
$x < 7$ » ?]]>
$\text{non}(P \text{ et } Q) = (\text{non } P) \text{ ou }
(\text{non } Q)$. Sur une droite graduée : le complémentaire de
$[2\,;\,7[$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« $x < 2$ ou $x \geq 7$ »]]>
Bonne réponse : la négation de « P et Q » est « non P ou non
Q ».]]>
« $x < 2$ et $x \geq 7$ »]]>
Erreur : en niant, « et » devient « ou » ; cette proposition
n'est d'ailleurs jamais vraie.]]>
« $x \leq 2$ ou $x > 7$ »]]>
Erreur : la négation de $x \geq 2$ est $x < 2$, sans égalité.]]>
« $x \geq 7$ »]]>
Erreur : les réels inférieurs à $2$ rendent aussi la
proposition fausse.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q12 : Nier « pour tout »
Quelle est la négation de la proposition « pour tout réel $x$,
$x^2 \geq x$ » ?]]>
Nier « pour tout $x$, P » donne « il existe $x$ tel que non P ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 < x$ »]]>
Bonne réponse : « pour tout » devient « il existe », et
l'inégalité est niée. Par exemple, $x = 0{,}5$ convient.]]>
« Pour tout réel $x$, $x^2 < x$ »]]>
Erreur : un seul réel suffit à mettre en défaut une propriété
universelle.]]>
« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 \geq x$ »]]>
Erreur : l'inégalité doit être niée elle aussi.]]>
« Il existe un réel $x$ tel que $x^2 \leq x$ »]]>
Erreur : la négation de $x^2 \geq x$ est $x^2 < x$, strict.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q13 : Nier « il existe »
Quelle est la négation de la proposition « il existe un entier
naturel $n$ tel que $2^n = 100$ » ?]]>
Nier « il existe $x$ tel que P » donne « pour tout $x$, non P ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« Pour tout entier naturel $n$, $2^n \neq 100$ »]]>
Bonne réponse : « il existe » devient « pour tout », et l'égalité
devient une différence.]]>
« Il existe un entier naturel $n$ tel que $2^n \neq 100$ »]]>
Erreur : le quantificateur doit changer lui aussi.]]>
« Pour tout entier naturel $n$, $2^n = 100$ »]]>
Erreur : l'égalité doit être niée.]]>
« Pour tout entier naturel $n$, $2^n > 100$ »]]>
Erreur : la négation de « égal » est « différent », pas
« strictement supérieur ».]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q14 : Choisir un contre-exemple
Quel nombre est un contre-exemple à la proposition « pour tout
réel $x$, $x^2 > x$ » ?]]>
Un seul contre-exemple suffit à prouver qu'une propriété
universelle est fausse.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x = 0{,}5$]]>
Bonne réponse : $0{,}5^2 = 0{,}25 < 0{,}5$, la propriété est en
défaut.]]>
$x = 1{,}5$]]>
Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 > 1{,}5$, ce nombre vérifie la
propriété.]]>
$x = -0{,}5$]]>
Erreur : $(-0{,}5)^2 = 0{,}25 > -0{,}5$, ce nombre vérifie la
propriété.]]>
$x = 2{,}5$]]>
Erreur : $2{,}5^2 = 6{,}25 > 2{,}5$, ce nombre vérifie la
propriété.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q15 : Ce qu'un exemple ne prouve pas
Un élève affirme : « pour tout entier $n$, $n^2 + n + 41$ est
premier ». Il le vérifie pour $n = 0$, $1$, $2$, $3$ et $4$. Que
peut-on en conclure ?]]>
Pour démontrer « pour tout », il faut un raisonnement général ;
pour réfuter, un contre-exemple suffit.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Rien : quelques cas ne prouvent pas la propriété]]>
Bonne réponse : la propriété est d'ailleurs fausse pour
$n = 41$, car $41^2 + 41 + 41 = 41 \times 43$.]]>
La propriété est démontrée pour tout entier]]>
Erreur : vérifier cinq cas ne dit rien des autres entiers.]]>
La propriété est fausse, faute de démonstration]]>
Erreur : l'absence de preuve ne prouve pas que la propriété
est fausse ; il faut un contre-exemple.]]>
Il suffit d'ajouter le cas $n = 5$ pour conclure]]>
Erreur : aucun nombre fini de vérifications ne remplace une
démonstration générale.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q16 : Repérer une quantification implicite
Dans la phrase « si un quadrilatère est un losange, alors ses
diagonales sont perpendiculaires », quelle quantification est
sous-entendue ?]]>
Les propositions conditionnelles « si…, alors… » sont
implicitement universelles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« Pour tout quadrilatère »]]>
Bonne réponse : la propriété est énoncée pour n'importe quel
quadrilatère qui est un losange.]]>
« Il existe un quadrilatère »]]>
Erreur : la phrase ne se contente pas d'un exemple, elle énonce
une règle générale.]]>
« Pour un seul quadrilatère »]]>
Erreur : rien dans la phrase ne limite la propriété à un seul
cas.]]>
Aucune, la phrase n'est pas quantifiée]]>
Erreur : une implication générale cache presque toujours un
« pour tout ».]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q17 : Identité ou équation
Quel est le statut de l'égalité $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ?]]>
Une identité est vraie pour toutes les valeurs de la variable ; une
équation pose la question des valeurs qui la rendent vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une identité, vraie pour tout réel $x$]]>
Bonne réponse : c'est un développement, valable quelle que soit
la valeur de $x$.]]>
Une équation, d'inconnue $x$, à résoudre]]>
Erreur : il n'y a rien à résoudre, l'égalité est toujours
vraie.]]>
Une équation sans solution]]>
Erreur : tout réel la vérifie.]]>
Une égalité vraie seulement pour $x = 0$]]>
Erreur : en $x = 2$, par exemple, les deux membres valent $9$.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q18 : Variable, inconnue ou paramètre
Pour tout réel $m$, on cherche les réels $x$ tels que $mx + 3 = 0$.
Quel est le statut de la lettre $m$ ?]]>
Dans une équation à paramètre, on résout en $x$ pour chaque valeur
fixée du paramètre, en distinguant parfois des cas ($m = 0$ ici).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un paramètre, fixé avant de résoudre]]>
Bonne réponse : $m$ est choisi d'abord ; les solutions en $x$
dépendent ensuite de sa valeur.]]>
L'inconnue de l'équation]]>
Erreur : l'inconnue est $x$, la lettre que l'on cherche.]]>
Une variable sans rôle particulier]]>
Erreur : $m$ joue un rôle précis, celui de paramètre.]]>
Une constante égale à $3$]]>
Erreur : $3$ est le terme constant ; $m$ peut prendre toute
valeur réelle.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q19 : Écrire une réciproque
Quelle est la réciproque de l'implication « si $x = 3$, alors
$x^2 = 9$ » ?]]>
Réciproque de « si P, alors Q » : « si Q, alors P ». Elle peut être
fausse alors que l'implication est vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« Si $x^2 = 9$, alors $x = 3$ »]]>
Bonne réponse : la réciproque échange l'hypothèse et la
conclusion. Elle est fausse ici : $x = -3$ convient aussi.]]>
« Si $x \neq 3$, alors $x^2 \neq 9$ »]]>
Erreur : on a nié les deux membres sans les échanger.]]>
« Si $x^2 \neq 9$, alors $x \neq 3$ »]]>
Erreur : c'est la contraposée, pas la réciproque.]]>
« $x = 3$ et $x^2 = 9$ »]]>
Erreur : une réciproque reste une implication.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q20 : Écrire une contraposée
Quelle est la contraposée de l'implication « si un entier est
multiple de $6$, alors il est pair » ?]]>
Contraposée de « si P, alors Q » : « si non Q, alors non P ». Elle
est équivalente à l'implication de départ.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
« Si un entier n'est pas pair, alors il n'est pas multiple de
$6$ »]]>
Bonne réponse : on échange les deux membres et on les nie. La
contraposée a la même valeur de vérité que l'implication.]]>
« Si un entier est pair, alors il est multiple de $6$ »]]>
Erreur : c'est la réciproque, d'ailleurs fausse ($4$ est pair).]]>
« Si un entier n'est pas multiple de $6$, alors il n'est pas
pair »]]>
Erreur : on a nié sans échanger ; cette phrase est fausse
($4$).]]>
« Un entier est multiple de $6$ ou il est pair »]]>
Erreur : la contraposée reste une implication.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q21 : Condition nécessaire
Pour un entier $n$, l'implication « si $n$ est multiple de $4$,
alors $n$ est pair » est vraie. Que représente « $n$ est pair » pour
« $n$ est multiple de $4$ » ?]]>
Si « P ⇒ Q » est vraie : P est une condition suffisante pour Q, et
Q une condition nécessaire pour P.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Une condition nécessaire]]>
Bonne réponse : pour être multiple de $4$, il faut être pair.
La conclusion d'une implication vraie est nécessaire à son
hypothèse.]]>
Une condition suffisante]]>
Erreur : être pair ne suffit pas ; $6$ est pair sans être
multiple de $4$.]]>
Une condition nécessaire et suffisante]]>
Erreur : la réciproque est fausse, il n'y a pas équivalence.]]>
Aucune des trois]]>
Erreur : l'implication établit un lien entre les deux
propositions.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q22 : Condition suffisante
Pour un réel $x$, la condition « $x > 3$ » est-elle suffisante pour
que $x^2 > 9$ ?]]>
« P est suffisante pour Q » signifie « P ⇒ Q ». « P est nécessaire
pour Q » signifie « Q ⇒ P ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, car si $x > 3$, alors $x^2 > 9$]]>
Bonne réponse : pour $x > 3 > 0$, la fonction carré étant
croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, $x^2 > 9$.]]>
Non, car $x = -4$ vérifie $x^2 > 9$ sans vérifier $x > 3$]]>
Erreur : cet exemple montre que la condition n'est pas
nécessaire ; il ne dit rien de son caractère suffisant.]]>
Oui, et elle est aussi nécessaire]]>
Erreur : $x = -4$ vérifie $x^2 > 9$ sans que $x > 3$.]]>
Non, car $x^2 > 9$ n'entraîne pas $x > 3$]]>
Erreur : ce constat porte sur la réciproque ; la condition
reste suffisante.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q23 : Reconnaître une équivalence
Laquelle de ces propositions est une équivalence vraie pour tout
réel $x$ ?]]>
« P ⇔ Q » est vraie quand « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » le sont toutes
les deux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x^2 = 0 \iff x = 0$]]>
Bonne réponse : un carré est nul si et seulement si le nombre est
nul ; les deux implications sont vraies.]]>
$x^2 = 4 \iff x = 2$]]>
Erreur : $x = -2$ vérifie $x^2 = 4$ ; seule l'implication de
droite à gauche est vraie.]]>
$x > 1 \iff x^2 > 1$]]>
Erreur : $x = -3$ vérifie $x^2 > 1$ sans vérifier $x > 1$.]]>
$x \geq 0 \iff x > 0$]]>
Erreur : $x = 0$ vérifie la première sans vérifier la seconde.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q24 : Implication à hypothèse fausse
On considère l'implication « si $n$ est un entier pair et impair à la
fois, alors $n = 7$ ». Est-elle vraie ?]]>
« P ⇒ Q » est fausse dans un seul cas : P vraie et Q fausse.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, car aucun entier ne vérifie l'hypothèse]]>
Bonne réponse : une implication n'est fausse que si l'hypothèse
est vraie et la conclusion fausse, ce qui n'arrive jamais ici.]]>
Non, car $7$ n'est pas pair]]>
Erreur : il faudrait un entier vérifiant l'hypothèse sans
vérifier la conclusion, et il n'en existe pas.]]>
Non, car la conclusion n'a aucun rapport avec l'hypothèse]]>
Erreur : la vérité d'une implication ne dépend pas d'un lien de
sens entre ses membres.]]>
On ne peut pas savoir]]>
Erreur : la règle de vérité de l'implication permet de conclure.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q25 : Utiliser la contraposée
On sait que « si un triangle est rectangle, alors le carré du plus
grand côté est la somme des carrés des deux autres ». Un triangle a
pour côtés $4$, $5$ et $6$. Que peut-on en déduire ?]]>
Si « P ⇒ Q » est vraie et que Q est fausse, alors P est fausse :
c'est le raisonnement par contraposée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il n'est pas rectangle, car $6^2 \neq 4^2 + 5^2$]]>
Bonne réponse : $36 \neq 41$ ; par contraposée, la conclusion
étant fausse, l'hypothèse l'est aussi.]]>
Il est rectangle, car ses côtés sont des entiers consécutifs]]>
Erreur : aucune propriété ne relie des côtés consécutifs à un
angle droit.]]>
On ne peut rien dire sans mesurer les angles]]>
Erreur : la contraposée du théorème de Pythagore permet de
conclure par le calcul.]]>
Il est rectangle, car $4^2 + 5^2 > 6^2$]]>
Erreur : une inégalité stricte exclut justement l'égalité de
Pythagore.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q26 : Principe du raisonnement par l'absurde
Pour démontrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel,
par quoi commence-t-on ?]]>
Raisonnement par l'absurde : supposer la négation de la
conclusion, en déduire une contradiction, conclure que la négation
était fausse.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Supposer que $\sqrt{2}$ est rationnel]]>
Bonne réponse : on suppose le contraire de ce que l'on veut
démontrer, puis on aboutit à une contradiction.]]>
Supposer que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel]]>
Erreur : on ne peut pas supposer ce que l'on veut démontrer.]]>
Calculer $\sqrt{2}$ à la calculatrice]]>
Erreur : une valeur approchée ne dit rien de la nature exacte du
nombre.]]>
Trouver un contre-exemple]]>
Erreur : un contre-exemple réfute une propriété universelle ; il
ne démontre pas qu'un nombre est irrationnel.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q27 : Disjonction des cas
Pour démontrer que $n(n + 1)$ est pair pour tout entier $n$, quelle
démarche convient ?]]>
La disjonction des cas sépare l'étude en cas qui recouvrent toutes
les possibilités, puis conclut dans chacun.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Distinguer le cas $n$ pair et le cas $n$ impair]]>
Bonne réponse : si $n$ est pair, $n$ l'est ; sinon $n + 1$ est
pair. Dans les deux cas, le produit est pair.]]>
Vérifier pour $n = 1$, $2$ et $3$]]>
Erreur : quelques exemples ne démontrent pas une propriété
universelle.]]>
Chercher un contre-exemple]]>
Erreur : un contre-exemple servirait à montrer que la propriété
est fausse.]]>
Supposer que $n(n + 1)$ est pair]]>
Erreur : supposer la conclusion ne la démontre pas.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q28 : Repérer la contradiction
On suppose qu'il existe un plus grand entier naturel $N$. Quelle
observation conduit à une contradiction ?]]>
Une contradiction est une proposition à la fois vraie et fausse
sous l'hypothèse faite ; elle oblige à rejeter cette hypothèse.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$N + 1$ est un entier et dépasse $N$]]>
Bonne réponse : cela contredit le fait que $N$ soit le plus
grand ; l'hypothèse est donc fausse.]]>
$N$ est un entier positif ou nul]]>
Erreur : ce constat est compatible avec l'hypothèse.]]>
$N - 1$ est un entier plus petit que $N$]]>
Erreur : cela ne contredit pas l'hypothèse, qui porte sur les
entiers plus grands que $N$.]]>
$N$ est soit pair, soit impair]]>
Erreur : c'est toujours vrai et ne contredit rien.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q29 : Démontrer par contraposée
Pour démontrer « si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair », que
suffit-il de démontrer ?]]>
Démontrer « non Q ⇒ non P » revient à démontrer « P ⇒ Q ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair]]>
Bonne réponse : c'est la contraposée, équivalente à
l'implication. Avec $n = 2k + 1$, $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$.]]>
Si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair]]>
Erreur : c'est la réciproque ; la démontrer ne prouve pas
l'implication de départ.]]>
Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair]]>
Erreur : on a nié les deux membres sans les échanger.]]>
$n^2$ est pair pour $n = 2$, $4$ et $6$]]>
Erreur : des exemples ne démontrent pas une propriété générale.]]>
Vocabulaire ensembliste et logique — Q30 : Choisir le bon raisonnement
Quel raisonnement permet de démontrer que la proposition « tout
nombre premier est impair » est fausse ?]]>
Pour réfuter « pour tout », on exhibe un contre-exemple ; pour
démontrer « pour tout », il faut un raisonnement général.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Un contre-exemple : $2$ est premier et pair]]>
Bonne réponse : un seul cas suffit à réfuter une propriété
universelle.]]>
Une disjonction des cas sur la parité]]>
Erreur : la disjonction des cas sert à démontrer une propriété,
pas à la réfuter.]]>
Une vérification sur $3$, $5$ et $7$]]>
Erreur : ces exemples vont dans le sens de la proposition et ne
prouvent rien.]]>
Un raisonnement par l'absurde sur la parité]]>
Erreur : un contre-exemple suffit, aucune démonstration
générale n'est nécessaire.]]>