$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Automatismes Automatismes du programme de première : évolutions successives et
réciproques, équation produit nul, signe d'une expression du premier
degré ou factorisée du second degré, développement et factorisation,
lectures graphiques (équations, inéquations, signe, variations,
droites), indicateurs statistiques, diagrammes et probabilités
conditionnelles.

]]> Automatismes — Q01 : Appliquer une hausse Un loyer de $240$ euros augmente de $15\ \%$. Quel est le nouveau
loyer ?

]]> Une évolution de $t\ \%$ revient à multiplier par le coefficient
multiplicateur $1 + \dfrac{t}{100}$ (hausse) ou $1 - \dfrac{t}{100}$
(baisse).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $276$ euros

]]> Bonne réponse : augmenter de $15\ \%$ revient à multiplier par
$1 + \dfrac{15}{100}$, d'où $240 \times \left(1 + \dfrac{15}{100}\right) = 276$.

]]> $255$ euros

]]> Erreur : on a ajouté $15$ euros. Une hausse de $15\ \%$
ajoute $15\ \%$ du loyer, soit $36$ euros.

]]> $36$ euros

]]> Erreur : $36$ euros est le montant de la hausse, pas le
nouveau loyer. Il reste à l'ajouter à $240$.

]]> $204$ euros

]]> Erreur de sens : multiplier par $1 - \dfrac{15}{100}$
correspond à une baisse de $15\ \%$.

]]> Automatismes — Q02 : Retrouver un prix avant remise Après une remise de $15\ \%$, un article coûte $68$ euros. Quel
était son prix avant la remise ?

]]> Valeur finale $=$ valeur initiale $\times$ coefficient
multiplicateur. Pour retrouver la valeur initiale, on divise la
valeur finale par ce coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $80$ euros

]]> Bonne réponse : le prix initial $P$ vérifie
$P \times 0{,}85 = 68$, donc $P = \dfrac{68}{0{,}85} = 80$.

]]> $78{,}2$ euros

]]> Erreur classique : ajouter $15\ \%$ au prix remisé ne
compense pas la remise, car les $15\ \%$ ne portent pas sur
la même valeur. Il faut diviser par $0{,}85$.

]]> $57{,}8$ euros

]]> Erreur : on a appliqué une seconde remise au prix remisé. Pour
remonter le temps, on divise par le coefficient $0{,}85$.

]]> $83$ euros

]]> Erreur : on a ajouté $15$ euros, comme si la remise était un
montant et non un pourcentage.

]]> Automatismes — Q03 : Exprimer une évolution en pourcentage Le nombre d'adhérents d'un club passe de $80$ à $92$. Quel est le
taux d'évolution, exprimé en pourcentage ?

]]> Taux d'évolution de $V_0$ à $V_1$ : $t = \dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$,
que l'on multiplie par $100$ pour l'écrire en pourcentage.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+ 15\ \%$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{92 - 80}{80} = \dfrac{12}{80}$,
soit $+ 15\ \%$.

]]> $+ 12\ \%$

]]> Erreur : $12$ est la variation absolue, un nombre
d'adhérents. Le taux la rapporte à la valeur de départ.

]]> $+ 13\ \%$

]]> Erreur de référence : on a divisé par la valeur d'arrivée
$92$. Un taux d'évolution se calcule par rapport à la valeur
de départ $80$.

]]> $+ 115\ \%$

]]> Erreur : $\dfrac{92}{80}$ est le coefficient multiplicateur.
Le taux vaut ce coefficient diminué de $1$.

]]> Automatismes — Q04 : Trois évolutions successives Le prix d'une action augmente de $10\ \%$, puis baisse de
$20\ \%$, puis augmente de $25\ \%$. Quelle est son évolution
globale ?

]]> Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients
multiplicateurs : le coefficient global $C$ donne le taux global
$C - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+ 10\ \%$

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient,
$1{,}1 \times 0{,}8 \times 1{,}25 = 1{,}1$,
soit une évolution de $+ 10\ \%$.

]]> $+ 15\ \%$

]]> Erreur classique : les taux successifs ne s'additionnent pas,
car chacun porte sur une valeur différente. Ce sont les
coefficients multiplicateurs qui se multiplient.

]]> $+ 110\ \%$

]]> Erreur : $1{,}1$ est le coefficient multiplicateur global. Le
taux global vaut $1{,}1 - 1$, et non $1{,}1 \times 100$.

]]> $+ 65\ \%$

]]> Erreur : la baisse de $20\ \%$ a été traitée comme une
hausse. Son coefficient est $0{,}8$, inférieur à $1$.

]]> Automatismes — Q05 : Effacer une hausse Le tarif d'un abonnement augmente de $25\ \%$. Quelle évolution
ramènerait ensuite le tarif à sa valeur de départ ?

]]> Le taux réciproque d'une évolution de coefficient $C$ est celui de
coefficient $\dfrac{1}{C}$ : il ramène à la valeur initiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une baisse de $20\ \%$

]]> Bonne réponse : le coefficient réciproque est
$\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$, soit une baisse de
$20\ \%$.

]]> Une baisse de $25\ \%$

]]> Erreur classique : la baisse porte sur le tarif augmenté, plus
grand que le tarif initial. Une baisse de $25\ \%$ ferait
descendre sous la valeur de départ.

]]> Une baisse de $80\ \%$

]]> Erreur : $0{,}8$ est le coefficient multiplicateur
réciproque. Il correspond à une baisse de $20\ \%$, et non
de $80\ \%$.

]]> Une baisse de $12{,}5\ \%$

]]> Erreur : diviser le taux par deux n'a pas de justification. On
cherche le coefficient $c$ tel que $1{,}25 \times c = 1$.

]]> Automatismes — Q06 : Compenser une baisse La fréquentation d'un musée a baissé de $20\ \%$. De quel
pourcentage doit-elle augmenter pour retrouver son niveau
d'origine ?

]]> Après une baisse de coefficient $C$, on revient à la valeur
initiale en multipliant par $\dfrac{1}{C}$, qui est supérieur à
$1$ : la hausse nécessaire dépasse toujours la baisse subie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25\ \%$

]]> Bonne réponse : le coefficient réciproque vaut
$\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, soit une hausse de
$25\ \%$.

]]> $20\ \%$

]]> Erreur classique : la hausse s'applique à une fréquentation
plus faible ; il faut donc un pourcentage plus grand que
$20\ \%$ pour revenir au départ.

]]> $80\ \%$

]]> Erreur : $80\ \%$ est la part qui reste après la baisse,
pas la hausse nécessaire.

]]> $125\ \%$

]]> Erreur : $1{,}25$ est le coefficient multiplicateur ; le
taux de hausse vaut ce coefficient diminué de $1$, soit
$25\ \%$.

]]> Automatismes — Q07 : Une grandeur multipliée Une grandeur est multipliée par $2$. Quel est le taux
d'évolution correspondant ?

]]> Multiplier par $C$ correspond au taux d'évolution $C - 1$ : doubler,
c'est augmenter de $100\ \%$ ; diviser par deux, c'est baisser de
$50\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+ 100\ \%$

]]> Bonne réponse : le taux vaut le coefficient diminué de $1$,
$2 - 1 = 1$, soit $+ 100\ \%$.

]]> $+ 200\ \%$

]]> Erreur : on a confondu le coefficient $2$ avec le taux. Un
coefficient de $1$ correspond à une évolution nulle.

]]> $+ 2\ \%$

]]> Erreur : $2$ est un coefficient multiplicateur, pas un
pourcentage.

]]> $+ 50\ \%$

]]> Erreur de référence : la variation a été rapportée à la valeur
finale. Un taux d'évolution se rapporte à la valeur initiale.

]]> Automatismes — Q08 : Résoudre une équation produit nul Quelles sont les solutions de l'équation
$(x - 3)(2x + 8) = 0$ ?

]]> Équation produit nul : $A \times B = 0$ équivaut à $A = 0$ ou
$B = 0$. On résout alors deux équations du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ et $-4$

]]> Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un des
facteurs est nul : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$, et
$2x + 8 = 0$ donne $x = -4$.

]]> $-3$ et $4$

]]> Erreur de signe : $x - 3 = 0$ donne $x = 3$ et non
$-3$. Il suffit de vérifier en remplaçant.

]]> $3$ et $-8$

]]> Erreur : dans $2x + 8 = 0$, on obtient $2x = -8$, puis
il faut encore diviser par $2$.

]]> $-3$ et $8$

]]> Erreurs cumulées : signes changés et division par $2$
oubliée. Chaque facteur se résout comme une équation du premier
degré.

]]> Automatismes — Q09 : Ne pas diviser par x Quelles sont les solutions de l'équation $x(x - 5) = 0$ ?

]]> On n'élimine jamais un facteur $x$ en divisant : on applique la
règle du produit nul à chaque facteur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$ et $5$

]]> Bonne réponse : $x = 0$ ou $x - 5 = 0$, d'où les deux
solutions $0$ et $5$.

]]> $5$ seulement

]]> Erreur : diviser par $x$ fait perdre la solution $x = 0$, car
on ne peut diviser par $x$ que si $x \neq 0$.

]]> $0$ et $-5$

]]> Erreur de signe : $x - 5 = 0$ donne $x = 5$.

]]> $0$ seulement

]]> Erreur : le second facteur s'annule aussi, en $x = 5$.

]]> Automatismes — Q10 : Signe d'une expression du premier degré Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-2x + 6$ est-elle
strictement positive ?

]]> $ax + b$ s'annule en $-\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$
après cette valeur et du signe contraire avant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $x < 3$

]]> Bonne réponse : l'expression s'annule en $x = 3$ et, son
coefficient $-2$ étant négatif, elle est positive avant cette
valeur.

]]> Pour $x > 3$

]]> Erreur : avec un coefficient de $x$ négatif, l'expression
décroît ; elle est donc négative après la valeur qui l'annule.

]]> Pour $x < -3$

]]> Erreur de signe sur la racine : $-2x + 6 = 0$ donne
$x = 3$.

]]> Pour $x > -3$

]]> Deux erreurs : la racine est $3$, et l'expression est
positive avant elle, puisque le coefficient de $x$ est
négatif.

]]> Automatismes — Q11 : Résoudre une inéquation produit Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$(x + 3)(x - 1) < 0$ ?

]]> On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des
signes dans un tableau. Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est négatif
entre les racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-3\,;\,1[$

]]> Bonne réponse : le produit s'annule en $-3$ et $1$ ; il est
négatif entre ces deux valeurs, où les deux facteurs sont de
signes contraires.

]]> $]-\infty\,;\,-3[ \cup ]1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : à l'extérieur des racines, les deux facteurs ont le
même signe et le produit est positif.

]]> $]-1\,;\,3[$

]]> Erreur de signe : $x + 3$ s'annule en $-3$, pas en
$3$.

]]> $[-3\,;\,1]$

]]> Erreur sur les bornes : l'inégalité est stricte, et le produit
vaut $0$ en $-3$ et en $1$ ; elles sont exclues.

]]> Automatismes — Q12 : Développer un produit Quelle est la forme développée et réduite de
$(3x + 2)(x - 4)$ ?

]]> $(ax + b)(x + c) = ax^2 + acx + bx + bc$ : chaque terme du premier
facteur multiplie chaque terme du second, puis on réduit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x^2 - 10x - 8$

]]> Bonne réponse : $3x \times x + 3x \times (-4) + 2 \times x
+ 2 \times (-4) = 3x^2 - 10x - 8$.

]]> $3x^2 - 8$

]]> Erreur : seuls les premiers et les derniers termes ont été
multipliés. La double distributivité donne quatre produits.

]]> $3x^2 - 2x - 8$

]]> Erreur : le terme $3x \times (-4)$ vaut $-12x$ ; il ne
suffit pas d'ajouter $2$ et $-4$.

]]> $3x^2 - 10x + 8$

]]> Erreur de signe sur le terme constant :
$2 \times (-4) = -8$.

]]> Automatismes — Q13 : Factoriser par un facteur commun Quelle est une factorisation de $6x^2 - 9x$ ?

]]> Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. On
vérifie toujours une factorisation en redéveloppant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x(2x - 3)$

]]> Bonne réponse : le facteur commun est $3x$, et
$3x \times 2x - 3x \times 3 = 6x^2 - 9x$.

]]> $3x(2x + 3)$

]]> Erreur de signe : en développant, on obtient
$6x^2 + 9x$.

]]> $3(2x - 3)$

]]> Erreur : le facteur $x$ a disparu. En développant, on obtient
$6x - 9$, sans terme en $x^2$.

]]> $3x^2(2 - 3x)$

]]> Erreur : en développant, $3x^2 \times 3x$ donne un terme en
$x^3$. Le facteur commun est $3x$, pas $3x^2$.

]]> Automatismes — Q14 : Factoriser une différence de deux carrés Quelle est la forme factorisée de $x^2 - 25$ ?

]]> On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = x$ et $b = \sqrt{25}$, puis on
factorise en $(a - b)(a + b)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 5)(x + 5)$

]]> Bonne réponse : $25 = 5^2$, et $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

]]> $(x - 5)^2$

]]> Erreur : $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$, qui comporte un
terme en $x$ et se termine par $+ 25$.

]]> $(x + 5)^2$

]]> Erreur : $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$, qui n'est pas une
différence.

]]> $(x - 25)(x + 25)$

]]> Erreur : ce produit vaut $x^2 - 625$. Il faut écrire
$25$ comme le carré de $5$.

]]> Automatismes — Q15 : Réduire une expression avec des parenthèses Quelle est la forme réduite de $5(x - 2) - 3(x - 4)$ ?

]]> On distribue chaque facteur en respectant les signes, puis on
regroupe les termes en $x$ et les constantes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x + 2$

]]> Bonne réponse : $5x - 10 - 3x + 12 = 2x + 2$.

]]> $2x - 22$

]]> Erreur de signe : le signe « $-$ » devant $3(x - 4)$ change
le signe des deux termes, et $-3 \times (-4) = +12$.

]]> $2x + 10$

]]> Erreur : $5$ multiplie aussi $-2$, ce qui donne
$-10$ et non $-2$.

]]> $8x + 2$

]]> Erreur : le terme $-3x$ se soustrait à $5x$ ; on obtient
$2x$.

]]> Automatismes — Q16 : Résoudre graphiquement une équation Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).

La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur
$[-4\,;\,4]$. Quelles sont les solutions de l'équation
$f(x) = 2$ ?

]]> Les solutions de $f(x) = k$ sont les abscisses des points de la
courbe d'ordonnée $k$, intersections avec la droite $y = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-4$, $0$ et $3$

]]> Bonne réponse : on trace la droite horizontale $y = 2$ et on lit
les abscisses des trois points d'intersection avec la courbe.

]]> $0$ et $3$

]]> Oubli : la courbe part du point $(-4\,;\,2)$, donc
$f(-4) = 2$ et $-4$ est aussi solution.

]]> $4$

]]> Erreur : $4$ est l'image de $2$, c'est-à-dire $f(2)$. On cherche
au contraire les antécédents de $2$.

]]> $-3$, $-1$ et $4$

]]> Erreur : ce sont les solutions de $f(x) = 0$, lues sur l'axe des
abscisses et non sur la droite $y = 2$.

]]> Automatismes — Q17 : Résoudre graphiquement une inéquation Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).

Avec la même courbe de la fonction $f$, quel est l'ensemble des
solutions de l'inéquation $f(x) < 2$ ?

]]> Les solutions de $f(x) < k$ sont les abscisses des points de la
courbe situés strictement sous la droite $y = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-4\,;\,0[ \cup ]3\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : la courbe est strictement sous la droite
$y = 2$ entre $-4$ et $0$, puis de $3$ jusqu'à $4$ inclus,
puisque $f(4) = 0$.

]]> $[-4\,;\,0] \cup [3\,;\,4]$

]]> Erreur sur les bornes : en $-4$, $0$ et $3$, $f(x) = 2$, ce qui
ne vérifie pas l'inégalité stricte.

]]> $]0\,;\,3[$

]]> Erreur : sur cet intervalle, la courbe est au-dessus de la
droite $y = 2$ ; c'est l'ensemble des solutions de $f(x) > 2$.

]]> $[-4\,;\,-2] \cup [2\,;\,4]$

]]> Erreur : ce sont les intervalles où $f$ est décroissante. On
compare ici les ordonnées des points de la courbe à $2$.

]]> Automatismes — Q18 : Lire le signe d'une fonction Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).

Toujours avec la courbe de $f$ ci-dessous, sur quel intervalle
$f(x)$ est-il strictement négatif ?

]]> $f(x) < 0$ là où la courbe est sous l'axe des abscisses. Les bornes
sont les abscisses des points où la courbe coupe cet axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-3\,;\,-1[$

]]> Bonne réponse : la courbe passe sous l'axe des abscisses entre
ses deux points d'intersection avec cet axe, d'abscisses $-3$
et $-1$.

]]> $]-4\,;\,-2[$

]]> Erreur : sur cet intervalle, $f$ est décroissante, mais elle
reste positive jusqu'à $x = -3$. Signe et variations sont deux
lectures différentes.

]]> $]-2\,;\,2[$

]]> Erreur : c'est l'intervalle où $f$ est croissante, pas celui où
elle est négative.

]]> $]-2\,;\,-1[$

]]> Erreur : il manque la partie entre $-3$ et $-2$, où la courbe
est déjà sous l'axe.

]]> Automatismes — Q19 : Lire des variations sur une courbe Repère quadrillé. La courbe de f est une ligne brisée qui relie les points (-4 ; 2), (-2 ; -2), (0 ; 2), (2 ; 4) et (4 ; 0).

Quelles sont les variations de la fonction $f$ représentée
ci-dessous ?

]]> Une fonction est croissante sur un intervalle quand sa courbe
monte de gauche à droite. Les intervalles se lisent sur l'axe des
abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante sur $[-4\,;\,-2]$, croissante sur $[-2\,;\,2]$,
décroissante sur $[2\,;\,4]$

]]> Bonne réponse : on lit la courbe de gauche à droite ; elle
descend jusqu'à $x = -2$, monte jusqu'à $x = 2$, puis
redescend.

]]> Croissante sur $[-4\,;\,-2]$, décroissante sur $[-2\,;\,2]$,
croissante sur $[2\,;\,4]$

]]> Erreur : les sens sont inversés. La courbe commence par
descendre de $(-4\,;\,2)$ à $(-2\,;\,-2)$.

]]> Positive sur $[-4\,;\,-3]$, négative sur $[-3\,;\,-1]$,
positive sur $[-1\,;\,4]$

]]> Erreur : ce découpage décrit le signe de $f(x)$, pas ses
variations.

]]> Décroissante sur $[-4\,;\,-2]$, puis croissante sur
$[-2\,;\,4]$

]]> Erreur : après le maximum atteint en $x = 2$, la courbe
redescend jusqu'à $(4\,;\,0)$.

]]> Automatismes — Q20 : Lire l'équation réduite d'une droite Repère quadrillé. La droite d passe par les points (0 ; 3) et (6 ; 0) ; elle descend de gauche à droite.

Quelle est l'équation réduite de la droite $d$ tracée ci-dessous ?

]]> Dans $y = mx + p$, $p$ se lit à l'intersection avec l'axe des
ordonnées et $m$ est la variation de $y$ quand $x$ augmente de $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = -0{,}5x + 3$

]]> Bonne réponse : l'ordonnée à l'origine est $3$ ; en avançant de
$2$ unités vers la droite, on descend de $1$ : le coefficient
directeur vaut $-\dfrac{1}{2}$.

]]> $y = 0{,}5x + 3$

]]> Erreur de signe : la droite descend, son coefficient directeur
est négatif.

]]> $y = -2x + 3$

]]> Erreur : le coefficient directeur est le rapport « déplacement
vertical sur déplacement horizontal », ici $\dfrac{-1}{2}$, et
non l'inverse.

]]> $y = -0{,}5x + 6$

]]> Erreur : $6$ est l'abscisse du point où la droite coupe l'axe
des abscisses. L'ordonnée à l'origine se lit sur l'axe des
ordonnées : $3$.

]]> Automatismes — Q21 : L'équation d'une droite passant par deux points Une droite passe par les points $A(1\,;\,3)$ et
$B(3\,;\,7)$. Quelle est son équation réduite ?

]]> On calcule $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, puis $p$ en écrivant
que les coordonnées de $A$ vérifient $y = mx + p$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x + 1$

]]> Bonne réponse : $m = \dfrac{7 - (3)}{3 - (1)} = 2$,
puis $3 = 2 \times (1) + p$ donne $p = 1$.

]]> $y = \dfrac{1}{2}x + 1$

]]> Erreur : le coefficient directeur est
$\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ; on a calculé son inverse.

]]> $y = 2x + 5$

]]> Erreur de signe dans le calcul de $p$ : $p = y_A - m x_A
= 1$.

]]> $y = -2x + 1$

]]> Erreur de signe sur le coefficient directeur : de $A$ à $B$,
$y$ varie de $4$ quand $x$ varie de $2$.

]]> Automatismes — Q22 : Tracer une droite à partir d'un point et d'une pente Une droite passe par le point $A(1\,;\,2)$ et a pour
coefficient directeur $-3$. Quel autre point lui appartient ?

]]> Pour tracer une droite de coefficient directeur $m$ passant par
$A$, on part de $A$, on avance de $1$ et on monte (ou descend) de
$m$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,-1)$

]]> Bonne réponse : quand $x$ augmente de $1$, $y$ varie du
coefficient directeur, $-3$ ; on passe de $2$ à $-1$.

]]> $(2\,;\,5)$

]]> Erreur de signe : quand $x$ augmente de $1$, on ajoute
$-3$ à $y$.

]]> $(-2\,;\,3)$

]]> Erreur : les rôles de $x$ et de $y$ sont inversés. C'est $y$
qui varie de $-3$ quand $x$ augmente de $1$.

]]> $(2\,;\,-3)$

]]> Erreur : $-3$ est la variation de $y$, pas sa nouvelle valeur.
Il faut l'ajouter à $2$.

]]> Automatismes — Q23 : Un point sur une droite donnée par son équation Quel point appartient à la droite d'équation $y = -2x + 5$ ?

]]> Un point appartient à la droite d'équation $y = mx + p$ si et
seulement si ses coordonnées vérifient cette égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,-1)$

]]> Bonne réponse : $-2 \times (3) + 5 = -1$, donc les
coordonnées vérifient l'équation.

]]> $(3\,;\,-11)$

]]> Erreur de signe sur l'ordonnée à l'origine : on ajoute
$5$, on ne le retranche pas.

]]> $(-1\,;\,3)$

]]> Erreur : abscisse et ordonnée sont inversées. On remplace $x$
par l'abscisse du point.

]]> $(3\,;\,-16)$

]]> Erreur de priorité : on a calculé $-2 \times (3 + 5)$.
La multiplication porte seulement sur $x$.

]]> Automatismes — Q24 : Calculer une moyenne pondérée Dans une série statistique, la valeur $8$ apparaît $3$ fois,
la valeur $10$ apparaît $5$ fois, la valeur $12$ apparaît
$8$ fois et la valeur $15$ apparaît $4$ fois. Quelle est la
moyenne de cette série ?

]]> Moyenne pondérée : $\bar{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \dots}{n_1 +
n_2 + \dots}$, somme des produits valeur $\times$ effectif divisée
par l'effectif total.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11{,}5$

]]> Bonne réponse : la somme des valeurs est $230$ pour un effectif
total de $20$, et $\dfrac{230}{20} = 11{,}5$.

]]> $11{,}25$

]]> Erreur : c'est la moyenne des quatre valeurs sans tenir compte
de leurs effectifs. Chaque valeur compte autant de fois qu'elle
apparaît.

]]> $57{,}5$

]]> Erreur : la somme pondérée $230$ se divise par l'effectif total
$20$, pas par le nombre de valeurs différentes.

]]> $12$

]]> Erreur : $12$ est la valeur la plus fréquente, qui n'est pas
la moyenne.

]]> Automatismes — Q25 : Déterminer une médiane Quelle est la médiane de la série
$12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 20 ; 11 ; 8 ; 14$ ?

]]> Pour une médiane, on range d'abord les valeurs dans l'ordre
croissant. Avec un effectif pair, elle vaut la moyenne des deux
valeurs centrales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11{,}5$

]]> Bonne réponse : rangée dans l'ordre croissant, la série devient
$7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15 ; 20$. L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des
quatrième et cinquième valeurs, $11$ et $12$.

]]> $14{,}5$

]]> Erreur : on a pris les deux valeurs du milieu sans ranger la
série. La médiane se lit toujours sur la série triée.

]]> $12$

]]> Erreur : c'est la moyenne de la série. La médiane partage la
série triée en deux moitiés de même effectif.

]]> $11$

]]> Erreur : avec huit valeurs, il n'y a pas de valeur centrale
unique. On prend la moyenne des quatrième et cinquième valeurs.

]]> Automatismes — Q26 : Comparer deux écarts-types Deux classes ont obtenu la même moyenne, $11$, à un devoir.
L'écart-type des notes vaut $2{,}1$ dans la classe A et $4{,}5$
dans la classe B. Que peut-on en conclure ?

]]> Moyenne et médiane sont des indicateurs de position ; écart-type et
écart interquartile sont des indicateurs de dispersion.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les notes de la classe A sont plus regroupées autour de la
moyenne

]]> Bonne réponse : l'écart-type mesure la dispersion des valeurs
autour de la moyenne ; plus il est faible, plus les notes sont
resserrées.

]]> La classe B a mieux réussi, car son écart-type est plus grand

]]> Erreur : l'écart-type n'indique pas le niveau. Les moyennes sont
égales ; seule la dispersion diffère.

]]> La meilleure note est forcément dans la classe A

]]> Erreur : une dispersion plus grande rend au contraire plus
probables des notes éloignées de $11$, dans les deux sens.

]]> Les deux classes ont les mêmes notes, car leurs moyennes sont
égales

]]> Erreur : une même moyenne peut cacher des répartitions très
différentes, comme le montrent les écarts-types.

]]> Automatismes — Q27 : Comparer deux boîtes à moustaches Deux boîtes à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Lycée A : minimum 5, premier quartile 9, médiane 12, troisième quartile 14, maximum 18. Lycée B : minimum 2, premier quartile 7, médiane 10, troisième quartile 16, maximum 20.

Les boîtes à moustaches ci-dessous résument les temps de trajet,
en minutes, des élèves de deux lycées A et B. Quelle affirmation
est vraie ?

]]> Une boîte à moustaches se lit avec ses cinq valeurs : minimum,
$Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum. Chaque partie contient environ un
quart des valeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au moins la moitié des élèves de A mettent $12$ minutes ou plus

]]> Bonne réponse : la médiane de A vaut $12$, donc au moins
$50\ \%$ des temps de A sont supérieurs ou égaux à $12$.

]]> La médiane des temps est plus grande pour le lycée B

]]> Erreur : la médiane de B vaut $10$, celle de A vaut $12$.

]]> Les deux lycées ont le même écart interquartile

]]> Erreur : $14 - 9 = 5$ pour A et $16 - 7 = 9$ pour B ; les temps
de B sont plus dispersés.

]]> Au moins trois quarts des élèves de B mettent plus de $10$
minutes

]]> Erreur : $10$ est la médiane de B ; seule la moitié des élèves
environ dépasse cette durée.

]]> Automatismes — Q28 : Passer d'un diagramme en barres à une fréquence Diagramme en barres. Nombre de frères et sœurs en abscisse, effectif en ordonnée : 0 pour 5 élèves, 1 pour 9 élèves, 2 pour 7 élèves, 3 pour 3 élèves, 4 pour 1 élève.

Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des
$25$ élèves d'une classe. Quelle est la fréquence des élèves qui
ont au moins deux frères et sœurs ?

]]> Fréquence $=$ effectif de la catégorie $\div$ effectif total. On lit
chaque effectif en haut de sa barre, sur l'axe vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $44\ \%$

]]> Bonne réponse : $7 + 3 + 1 = 11$ élèves ont au moins deux
frères et sœurs, et $\dfrac{11}{25} = 0{,}44$.

]]> $28\ \%$

]]> Erreur : $\dfrac{7}{25}$ ne compte que les élèves qui ont
exactement deux frères et sœurs. « Au moins deux » inclut aussi
$3$ et $4$.

]]> $11\ \%$

]]> Erreur : $11$ est un effectif. La fréquence le rapporte à
l'effectif total, $25$.

]]> $64\ \%$

]]> Erreur : $\dfrac{9 + 7}{25}$ compte les élèves qui ont un ou deux
frères et sœurs, pas ceux qui en ont au moins deux.

]]> Automatismes — Q29 : D'un angle à un pourcentage Dans un diagramme circulaire, le secteur représentant les élèves
qui viennent à vélo mesure $72^\circ$. Quel pourcentage des élèves
viennent à vélo ?

]]> Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux
effectifs : $360^\circ$ correspondent à $100\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20\ \%$

]]> Bonne réponse : le disque entier mesure $360^\circ$ et
$\dfrac{72}{360} = 0{,}2$.

]]> $72\ \%$

]]> Erreur : un angle n'est pas un pourcentage. Le disque complet,
$100\ \%$, mesure $360^\circ$.

]]> $40\ \%$

]]> Erreur : on a rapporté l'angle à $180^\circ$, un demi-disque.
Le disque entier mesure $360^\circ$.

]]> $80\ \%$

]]> Erreur : c'est la part de tous les autres élèves, ceux qui ne
viennent pas à vélo.

]]> Automatismes — Q30 : Un taux d'évolution lu sur un graphique Courbe d'évolution du prix d'un produit : 40 € en 2020, 50 € en 2021, 45 € en 2022, 60 € en 2023 et 55 € en 2024.

Le graphique ci-dessous donne le prix moyen, en euros, d'un
produit de 2020 à 2024. Quel est le taux d'évolution de ce prix
entre 2021 et 2023 ?

]]> On lit d'abord les deux valeurs sur le graphique (année en
abscisse, prix en ordonnée), puis on calcule
$\dfrac{V_1 - V_0}{V_0}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+20\ \%$

]]> Bonne réponse : le prix passe de $50$ à $60$ euros, et
$\dfrac{60 - 50}{50} = 0{,}2$.

]]> $+10\ \%$

]]> Erreur : $10$ euros est la variation absolue. Le taux la
rapporte au prix de 2021.

]]> $+16{,}7\ \%$ environ

]]> Erreur de référence : on a divisé par le prix de 2023. Le taux
se calcule par rapport à la valeur de départ, celle de 2021.

]]> $+50\ \%$

]]> Erreur de lecture : c'est l'évolution entre 2020 et 2023, de
$40$ à $60$ euros.

]]> Automatismes — Q31 : Choisir la bonne notation de probabilité On choisit un élève au hasard dans un lycée. On note $S$
l'événement « l'élève est sportif » et $F$ l'événement « l'élève
est fumeur ». Comment se note la probabilité qu'un élève choisi
parmi les sportifs soit fumeur ?

]]> $P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ » : on choisit
dans $A$ et on regarde la part de $B$. $P(A \cap B)$ se calcule sur
la population entière.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P_{S}(F)$

]]> Bonne réponse : on se restreint aux sportifs, donc on conditionne
par $S$ et l'on cherche la probabilité de $F$.

]]> $P_{F}(S)$

]]> Erreur : les rôles sont inversés. L'événement écrit en indice
est celui qui définit la population où l'on choisit.

]]> $P(S \cap F)$

]]> Erreur : $P(S \cap F)$ est la probabilité qu'un élève choisi
dans tout le lycée soit à la fois sportif et fumeur.

]]> $P(F)$

]]> Erreur : $P(F)$ se calcule sur tout le lycée. Ici, le choix
se fait seulement parmi les sportifs.

]]> Automatismes — Q32 : Une probabilité conditionnelle d'effectifs Lors d'une épidémie, on observe $500$ personnes. Parmi les
personnes vaccinées, $30$ sont tombées malades et $270$ non ;
parmi les non vaccinées, $60$ sont tombées malades et $140$ non.
On choisit une personne au hasard ; $M$ est l'événement « elle est
tombée malade » et $V$ l'événement « elle est vaccinée ». Que vaut
$P_{\overline{V}}(M)$ ?

]]> $P_{\overline{V}}(M) = \dfrac{\text{effectif de } \overline{V} \cap
M}{\text{effectif de } \overline{V}}$ : on se restreint à la ligne
des non vaccinés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{10}$

]]> Bonne réponse : il y a $200$ personnes non vaccinées, dont
$60$ malades, et $\dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10}$.

]]> $\dfrac{3}{25}$

]]> Erreur : $\dfrac{60}{500}$ vaut $P(\overline{V} \cap M)$ ; on a
divisé par l'effectif total au lieu du nombre de non
vaccinés.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur : $\dfrac{60}{90}$ vaut $P_M(\overline{V})$, la part
de non vaccinés parmi les malades.

]]> $\dfrac{2}{5}$

]]> Erreur : $\dfrac{200}{500}$ est la probabilité qu'une personne
ne soit pas vaccinée, sans regarder si elle est malade.

]]>