$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Modélisation quadratique Fonctions polynômes de degré 2 : allure de la parabole, axe de
symétrie (obtenu sans formule, par exemple en résolvant
$f(x) = c$), sommet, tableau de variations, racines et signe
d'une forme factorisée (le discriminant n'est pas au
programme), modèles (trajectoires, chiffre d'affaires).

]]> Modélisation quadratique — Q01 : Orientation d'une parabole La courbe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ est une
parabole. Dans quel sens est-elle tournée ?

]]> Allure de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ : $a > 0$ tournée
vers le haut (sommet minimum), $a < 0$ tournée vers le bas
(sommet maximum). Premier réflexe de lecture d'un modèle
quadratique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif

]]> Bonne réponse : le signe du coefficient de $x^2$ commande
l'allure : négatif, branches vers le bas, sommet au
plus haut.

]]> Vers le haut, car $3$ et $1$ sont positifs

]]> Erreur : seuls le coefficient de $x^2$ décide de
l'orientation ; les autres termes déplacent la parabole
sans la retourner.

]]> Vers le bas, car la courbe passe par $1$ en $x = 0$

]]> La conclusion est bonne mais l'argument non :
l'ordonnée à l'origine positionne la courbe, elle ne dit
rien de son orientation.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer

]]> Erreur : le signe de $-2$ suffit : parabole tournée vers
le bas, sans aucun tracé.

]]> Modélisation quadratique — Q02 : Racines lues sur la parabole Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.

La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous représente une fonction
polynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?

]]> Racines $=$ abscisses des intersections avec l'axe des
abscisses (là où $f(x) = 0$). Ici $-1$ et $3$ : la fonction
s'écrit d'ailleurs $f(x) = -(x + 1)(x - 3)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $3$

]]> Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points
où la parabole coupe l'axe des abscisses.

]]> $1$ et $4$

]]> Erreur : $(1\,;\,4)$ sont les coordonnées du sommet.
Les racines se lisent sur l'axe horizontal.

]]> $3$ seulement

]]> Incomplet : la parabole traverse l'axe deux fois,
aussi en $x = -1$, à gauche de l'origine.

]]> $0$ et $3$

]]> Erreur : en $x = 0$ la parabole vaut $3$ (elle coupe
l'axe des ordonnées) : $0$ n'est pas une racine.

]]> Modélisation quadratique — Q03 : Axe de symétrie Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de sommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.

Pour la même parabole (racines $-1$ et $3$, sommet en
hauteur $4$), quel est l'axe de symétrie ?

]]> L'axe de symétrie passe au milieu des racines (ou de tout
couple de points de même hauteur : méthode $f(x) = c$ du
programme) : $x = \frac{-1+3}{2} = 1$. Le sommet est dessus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite $x = 1$

]]> Bonne réponse : l'axe est vertical et passe au
milieu des racines, $\dfrac{-1 + 3}{2} = 1$, ainsi
que par le sommet.

]]> La droite $y = 4$

]]> Erreur : $y = 4$ est une droite horizontale, or l'axe de
symétrie d'une parabole est vertical ($4$ est la
hauteur du sommet, pas un axe).

]]> La droite $x = 2$

]]> Erreur : $2$ n'est pas le milieu de $-1$ et $3$
($\frac{-1+3}{2} = 1$). Attention au signe de la racine
négative.

]]> L'axe des ordonnées

]]> Erreur : l'axe des ordonnées ($x = 0$) ne partage pas la
parabole en deux moitiés symétriques ici (racines $-1$
et $3$ non symétriques par rapport à $0$).

]]> Modélisation quadratique — Q04 : Sommet sans formule Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,
et sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse
son minimum est-il atteint ?

]]> Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu
des racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici
$x = 5$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par
formules.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $x = 5$, milieu des racines

]]> Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à
mi-chemin des racines : $\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Aucune
formule à mémoriser : la symétrie suffit.

]]> En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$

]]> Erreur : $6$ est l'écart entre les racines. Le
sommet est à leur milieu : $\frac{2+8}{2} = 5$.

]]> En $x = 2$, la première racine

]]> Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,
elle descend jusqu'au creux, atteint au milieu $5$.

]]> Impossible à dire sans l'expression de $f$

]]> Erreur : l'expression n'est pas nécessaire, la symétrie
de la parabole place le sommet au milieu des racines.

]]> Modélisation quadratique — Q05 : Racines d'une forme factorisée Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de
$f$ ?

]]> Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$
et $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $1$ et
$5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ et $5$

]]> Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est
nul : $x - 1 = 0$ ou $x - 5 = 0$.

]]> $-1$ et $-5$

]]> Erreur de signe : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$. Les
racines sont les valeurs qui annulent les facteurs.

]]> $2$, $1$ et $5$

]]> Erreur : le facteur constant $2$ ne s'annule jamais, il
ne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la
parabole).

]]> $1$ et $-5$

]]> Erreur sur la seconde : $x - 5 = 0 \Rightarrow x = +5$.

]]> Modélisation quadratique — Q06 : Signe d'une forme factorisée Toujours avec $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$, sur quel intervalle
$f(x)$ est-il strictement négatif ?

]]> Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé : du signe de $a$ à
l'extérieur des racines, du signe contraire entre
elles. Ici : négatif sur $]1\,;\,5[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]1\,;\,5[$

]]> Bonne réponse : entre les racines, les deux facteurs
sont de signes contraires : produit négatif (le
coefficient $2 > 0$ ne change rien au signe).

]]> Sur $]-\infty\,;\,1[$

]]> Erreur : avant $1$, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif.

]]> Sur $]5\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : après $5$, les deux facteurs sont positifs :
produit positif.

]]> Nulle part, car $2 > 0$

]]> Erreur : le facteur $2$ positif n'empêche pas le produit
$(x-1)(x-5)$ d'être négatif entre les racines.

]]> Modélisation quadratique — Q07 : Associer expression et courbe Quelle est l'allure de la courbe de $f(x) = x^2 + 3$ ?

]]> Formes de référence (capacité attendue) : $x \mapsto ax^2$
(sommet à l'origine), $x \mapsto ax^2 + c$ (sommet
$(0\,;\,c)$), $x \mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$ (racines
lisibles). Ici : sommet $(0\,;\,3)$, pas de racine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une parabole de sommet $(0\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : une parabole tournée vers le haut, dont
le sommet est sur l'axe des ordonnées. C'est la parabole
de $x^2$ translatée de $3$ vers le haut : sommet
$(0\,;\,3)$, axe de symétrie $x = 0$.

]]> Une parabole de sommet $(3\,;\,0)$

]]> Erreur : le $+3$ agit sur les ordonnées (décalage
vertical), pas sur les abscisses. Sommet $(0\,;\,3)$.

]]> Une parabole coupant l'axe des abscisses en $-3$ et $3$

]]> Erreur : $x^2 + 3 \geq 3 > 0$ pour tout $x$ : cette
parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses (aucune
racine).

]]> Une droite de pente $3$ passant par l'origine

]]> Erreur : le terme $x^2$ impose une courbe parabolique,
pas une droite.

]]> Modélisation quadratique — Q08 : Trajectoire parabolique La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la
hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?

]]> Modèle physique type : $h(t) = -5t(t - 2)$, racines $0$ et
$2$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu
($t = 1$, $h = 5$ m). La parabole capture la montée puis la
chute.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À $t = 1$ s, hauteur $5$ m

]]> Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ s'annule en $0$ et
$2$ : sommet au milieu, $t = 1$, et $h(1) =
5$ m.

]]> À $t = 2$ s, hauteur $10$ m

]]> Erreur : à $t = 2$ le ballon retombe au sol
($h(2) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet.

]]> À $t = 1$ s, hauteur $10$ m

]]> Erreur de hauteur : $h(1) = 5$ m ($10$ est le
coefficient, pas la hauteur maximale).

]]> La hauteur augmente sans fin

]]> Erreur : le coefficient $-5 < 0$ tourne la parabole vers
le bas : montée puis descente, avec un maximum au
sommet.

]]> Modélisation quadratique — Q09 : Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$ Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. En résolvant $f(x) = 2$, on
trouve $x = 0$ ou $x = 6$. Qu'en déduit-on pour l'axe de
symétrie de la parabole ?

]]> Méthode explicite du programme (aucune formule attendue) :
résoudre $f(x) = c$ pour un $c$ commode (ici $c = 2$, le
terme constant : $x^2 - 6x = 0$ se factorise en $x(x-6)$),
puis prendre le milieu des solutions : axe $x = 3$,
sommet $(3\,;\,f(3)) = (3\,;\,-7)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est la droite $x = 3$

]]> Bonne réponse : $0$ et $6$ ont la même image, ils sont
symétriques par rapport à l'axe, qui passe donc au
milieu, en $x = \dfrac{0 + 6}{2} = 3$ (méthode du
programme, sans formule).

]]> C'est la droite $x = 6$

]]> Erreur : $6$ est l'un des deux antécédents ; l'axe
passe à mi-chemin entre les deux : $x = 3$.

]]> C'est la droite $y = 2$

]]> Erreur : $y = 2$ est la droite horizontale utilisée
pour couper la parabole ; l'axe de symétrie, lui, est
vertical.

]]> On ne peut rien en déduire

]]> Erreur : c'est précisément la méthode attendue : deux
antécédents d'une même valeur encadrent symétriquement
l'axe.

]]> Modélisation quadratique — Q10 : Tableau de variations Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de $x^2$
négatif et son sommet en $x = 2$. Quel est son tableau
de variations ?

]]> Tableau de variations d'un degré 2 : monotone de part et
d'autre du sommet. $a < 0$ : croissante puis décroissante
(maximum au sommet) ; $a > 0$ : l'inverse (minimum).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante sur $]-\infty\,;\,2]$, décroissante sur
$[2\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : parabole tournée vers le bas : la
fonction monte jusqu'au sommet ($x = 2$), qui est son
maximum, puis redescend.

]]> Décroissante puis croissante

]]> Erreur : ce profil (descendre puis remonter) correspond
à un coefficient positif (sommet minimum).

]]> Croissante sur tout $\mathbb{R}$

]]> Erreur : aucun polynôme de degré 2 n'est monotone sur
$\mathbb{R}$ : la parabole change toujours de sens à son
sommet.

]]> Décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$, car le coefficient
est négatif

]]> Erreur de lecture : le coefficient négatif met le sommet
en haut : avant lui, la fonction monte.

]]> Modélisation quadratique — Q11 : Chiffre d'affaires et prix Le chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire
$p$ est modélisé par $R(p) = p\,(100 - 2p)$ (en euros).
Quel prix maximise le chiffre d'affaires ?

]]> Modèle économique du programme : $R(p) = p(100 - 2p)$, nul
en $0$ et $50$, maximal au milieu $p = 25$. La parabole
exprime le compromis prix-volume.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $p = 25$ euros

]]> Bonne réponse : $R$ s'annule en $p = 0$ et $p = 50$
(racines de la forme factorisée) : le maximum est au
milieu, $p = 25$, avec $R(25) = 25 \times 50 = 1250$
euros.

]]> $p = 50$ euros

]]> Erreur : à $50$ euros, plus personne n'achète
($100 - 2 \times 50 = 0$) : chiffre d'affaires nul.
C'est une racine, pas le sommet.

]]> Le plus cher possible

]]> Erreur : augmenter le prix fait fuir les acheteurs (le
facteur $100 - 2p$ chute) : le modèle quadratique capture
ce compromis, avec un optimum intermédiaire.

]]> $p = 100$ euros

]]> Erreur : à ce prix, la demande modélisée est négative :
hors du domaine pertinent. L'optimum est à mi-chemin des
racines $0$ et $50$.

]]> Modélisation quadratique — Q12 : Quand choisir un modèle quadratique ? Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par
une fonction polynôme de degré 2 ?

]]> Choisir le modèle d'après le comportement : constant $\to$
constante ; accroissement fixe $\to$ affine ; taux fixe
$\to$ exponentiel ; montée puis descente $\to$
quadratique. C'est la carte mentale du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une grandeur qui croît puis décroît

]]> Bonne réponse : l'intérêt du degré 2 est la
non-monotonie, avec un maximum ou un minimum : un
sommet unique entre une montée et une descente (ou
l'inverse) : trajectoire, chiffre d'affaires, population
sur un temps court.

]]> Une grandeur qui augmente du même montant chaque année

]]> Erreur : accroissement constant $=$ modèle linéaire
(affine, suite arithmétique).

]]> Une grandeur qui double à intervalles réguliers

]]> Erreur : doublement répété $=$ croissance
exponentielle (suite géométrique, fonction
$a^x$).

]]> Une grandeur constante au fil du temps

]]> Erreur : une constante se modélise… par une constante.
Le degré 2 sert aux phénomènes qui se retournent.

]]> Modélisation quadratique — Q13 : Ordonnée à l'origine d'une forme factorisée Soit $f(x) = (x - 1)(x - 5)$. Où la parabole coupe-t-elle
l'axe des ordonnées ?

]]> Intersection avec l'axe des ordonnées : calculer $f(0)$
(unique). Intersections avec l'axe des abscisses : les
racines (ici $1$ et $5$). Deux axes, deux questions
distinctes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $y = 5$

]]> Bonne réponse : l'axe des ordonnées correspond à $x = 0$
: on évalue $f(0) = (-1)(-5) = 5$, produit des deux
parenthèses, positif.

]]> En $y = -5$

]]> Signe : $(-1) \times (-5) = +5$ : le produit de deux
négatifs est positif.

]]> En $y = 1$ et $y = 5$

]]> Confusion d'axes : $1$ et $5$ sont les racines, sur
l'axe des abscisses : l'axe des ordonnées se coupe en un
seul point, $f(0)$.

]]> En $y = 0$

]]> Erreur : $f(0) = 5 \neq 0$ : la parabole ne passe pas
par l'origine.

]]> Modélisation quadratique — Q14 : Sommet au milieu des racines La parabole $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ a pour racines $1$ et
$5$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?

]]> L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $x_S =
\frac{x_1 + x_2}{2}$ : la voie la plus rapide vers le sommet
quand la forme factorisée est donnée (la valeur du sommet
s'obtient ensuite : $f(3) = -4$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ : le milieu des racines

]]> Bonne réponse : par symétrie, le sommet se trouve à
mi-chemin des racines : $\dfrac{1 + 5}{2} = 3$.

]]> $4$ : la moyenne pondérée vers la grande racine

]]> Erreur : la parabole est parfaitement symétrique : le
sommet est au milieu exact : $3$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ est une racine ($f(5) = 0$) : le sommet est
entre les deux racines, pas dessus.

]]> $6$ : la somme des racines

]]> Division oubliée : le milieu est la demi-somme :
$\frac{6}{2} = 3$.

]]> Modélisation quadratique — Q15 : Signe avec parabole renversée Soit $f(x) = -(x - 2)(x - 6)$. Sur quel intervalle $f$
est-elle positive ?

]]> Entre $2$ et $6$, les facteurs $x - 2$ et $x - 6$ sont de
signes contraires : leur produit est négatif, et son opposé
positif. Hors de cet intervalle, c'est l'inverse. Toujours
tester une valeur pour confirmer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $[2\ ;\ 6]$ : entre les racines

]]> Bonne réponse : le signe moins retourne la parabole
(branches vers le bas) : elle passe AU-DESSUS de l'axe
entre ses racines : positive sur $[2\ ;\ 6]$.

]]> À l'extérieur des racines

]]> Valable pour $a > 0$ : ici le coefficient est négatif :
les positions s'inversent : positive ENTRE les racines.

]]> Nulle part : le signe moins rend tout négatif

]]> Erreur : testez $x = 4$ : $-(2)(-2) = +4 > 0$ : le
moins retourne la parabole sans l'enterrer.

]]> Partout

]]> Erreur : au-delà des racines ($x = 0$ : $-(-2)(-6) =
-12$), la fonction plonge : positive seulement entre $2$
et $6$.

]]> Modélisation quadratique — Q16 : Les solutions de $f(x) = c$ par symétrie Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation
$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?

]]> Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires
symétriques autour de l'axe, et leur milieu est sur l'axe
(ici $\dfrac{1 + (5)}{2} = 3$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$

]]> Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font
face autour de l'axe : $1$ est à distance $2$ de l'axe
$x = 3$, l'autre aussi, de l'autre côté : c'est le
symétrique de $1$ par rapport à $3$.

]]> $x = -1$

]]> Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète
autour de $x = 3$, pas autour de l'axe des ordonnées.

]]> $x = 3$

]]> Erreur : $3$ est l'axe lui-même : les solutions
l'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas
d'une solution unique).

]]> Il n'y en a pas d'autre

]]> Erreur : $1 \neq 3$ n'est pas sur l'axe : son reflet
$5$ donne la même image : deuxième solution garantie.

]]> Modélisation quadratique — Q17 : L'enclos d'aire maximale Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un
côté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle
valeur de $x$ maximise l'aire ?

]]> Optimisation par la symétrie de la parabole : racines du
produit ($0$ et $10$), sommet au milieu ($5$). À périmètre
fixé, le rectangle optimal est le carré : conclusion à retenir
comme point de contrôle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$

]]> Bonne réponse : le sommet de la parabole est au milieu
des racines $0$ et $10$. $A$ s'annule en $0$ et $10$, le
maximum est en $x = 5$ (un carré de $25$ m²) : la
symétrie fait tout le travail.

]]> $x = 10$

]]> Erreur : prendre le côté le plus long possible donne
$A(10) = 10 \times 0 = 0$, un rectangle écrasé :
maximiser un côté tue l'autre.

]]> $x = 20$

]]> Erreur : $20$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre
vaut $10$, et $x$ ne peut pas le dépasser.

]]> Aucune, l'aire grandit avec $x$

]]> Erreur : le produit $x(10 - x)$ monte puis redescend
(parabole renversée) : le pic est en $x = 5$.

]]> Modélisation quadratique — Q18 : La balle retombe La hauteur d'une balle est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ (en mètres, $t$ en secondes). Quand retombe-t-elle au
sol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?

]]> Trajectoire parabolique : factoriser pour les racines
(départ, retombée), sommet au milieu pour l'apogée. Trois
informations physiques lues sur une seule factorisation :
le modèle quadratique en action.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $5$ m à $t = 1$ s

]]> Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ : racines $0$
(départ) et $2$ (retombée) ; sommet au milieu $t = 1$ :
$h(1) = 5$ m.

]]> Au sol à $t = 10$ s ; hauteur maximale $10$ m

]]> Erreur : factoriser donne $-5t(t - 2)$ : la deuxième
racine est $2$, pas $10$ (et $h(1) = 5$, pas $10$).

]]> Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine

]]> Erreur : $h(2) = -20 + 20 = 0$ : le modèle prévoit la
retombée à $2$ secondes.

]]> Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $10$ m à $t = 1$ s

]]> Valeur du sommet fausse : $h(1) = -5 + 10 = 5$ m (le
coefficient $-5$ écrase la moitié du $10t$).

]]> Modélisation quadratique — Q19 : Sommet d'une parabole d'expression $ax^2 + c$ Une fonction est définie par $f(x) = -2x^2 + 8$. Quelles sont
les coordonnées du sommet de sa parabole ?

]]> La parabole de $x \mapsto ax^2 + c$ est celle de $x \mapsto ax^2$
décalée verticalement de $c$ : son axe de symétrie est l'axe des
ordonnées et son sommet a pour coordonnées $(0\,;\,c)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(0\,;\,8)$

]]> Bonne réponse : $-2x^2 \leq 0$, donc $f(x) \leq 8$, avec
égalité pour $x = 0$ : le sommet est le point le plus haut,
sur l'axe des ordonnées.

]]> $(8\,;\,0)$

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est $0$, et
l'ordonnée est la constante $8$.

]]> $(0\,;\,-2)$

]]> Coefficient pris pour l'ordonnée : $-2$ indique seulement
que la parabole est tournée vers le bas.

]]> $(2\,;\,0)$

]]> Racine confondue avec le sommet : $f(2) = 0$, mais la
parabole monte jusqu'à $f(0) = 8$.

]]> Modélisation quadratique — Q20 : Deux nombres de même image Une parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation $x = 4$, et
l'on sait que $f(1) = 9$. Que vaut $f(7)$ ?

]]> Deux nombres situés à égale distance de l'axe de symétrie ont la même
image. Ici, $1$ et $7$ sont tous deux à distance $3$ de $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$

]]> Bonne réponse : $1$ et $7$ sont symétriques par rapport à $4$, ils ont
donc la même image.

]]> $-9$

]]> La symétrie est axiale, pas centrale : les ordonnées sont conservées,
pas opposées.

]]> $7$

]]> Abscisse recopiée : la question porte sur l'image, qui se lit en
ordonnée.

]]> $4$

]]> Axe de symétrie recopié : il donne une abscisse, pas une image.

]]> Modélisation quadratique — Q21 : Combien de solutions Une parabole tournée vers le haut a pour sommet le point
$(2\,;\,3)$. Combien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions ?

]]> Le nombre de solutions de $f(x) = c$ se lit en comparant $c$ à l'ordonnée
du sommet : aucune en dessous, une seule à la hauteur du sommet, deux
au-dessus pour une parabole tournée vers le haut.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Bonne réponse : la plus petite valeur de $f$ vaut $3$, donc $f(x)$ ne
descend jamais jusqu'à $1$.

]]> Une seule

]]> Une unique solution correspondrait à la hauteur du sommet, soit
$f(x) = 3$.

]]> Deux

]]> Deux solutions apparaissent pour les valeurs supérieures à $3$, par
symétrie de part et d'autre de l'axe.

]]> Une infinité

]]> Une parabole rencontre une droite horizontale en deux points au plus.

]]> Modélisation quadratique — Q22 : De la forme factorisée à la forme développée Quelle est la forme développée de $f(x) = (x - 1)(x + 5)$ ?

]]> Le développement d'un produit de deux facteurs du premier degré donne
une expression de la forme $ax^2 + bx + c$. La forme factorisée reste la
plus commode pour lire les racines et le signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^2 + 4x - 5$

]]> Bonne réponse : $x^2 + 5x - x - 5$ se réduit en $x^2 + 4x - 5$.

]]> $x^2 - 4x - 5$

]]> Signe du terme en $x$ : les produits croisés donnent $5x$ et $-x$,
dont la somme vaut $4x$.

]]> $x^2 + 4x + 5$

]]> Signe du terme constant : $(-1) \times (5) = -5$.

]]> $x^2 + 5x - 5$

]]> Produit croisé oublié : le terme $-x$ doit être ajouté à $5x$.

]]> Modélisation quadratique — Q23 : Le maximum d'un chiffre d'affaires Le chiffre d'affaires, en euros, est modélisé par
$C(p) = -2p^2 + 40p$, où $p$ est le prix unitaire.
Pour quel prix est-il maximal ?

]]> Pour une parabole, le sommet se situe à mi-chemin des deux racines. La
forme factorisée $-2p(p - 20)$ les donne immédiatement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$ euros

]]> Bonne réponse : les racines de $C$ sont $0$ et $20$, et le sommet se
situe à leur milieu.

]]> $20$ euros

]]> C'est la racine de droite : pour ce prix, le chiffre d'affaires
retombe à zéro.

]]> $40$ euros

]]> Coefficient recopié : pour $p = 40$, le modèle donne un chiffre
d'affaires négatif.

]]> $200$ euros

]]> C'est la valeur du maximum, soit $C(10) = 200$ euros, pas le prix qui
le réalise.

]]> Modélisation quadratique — Q24 : Signe d'une fonction de degré 2 sans racine Une parabole tournée vers le haut ne coupe pas l'axe des abscisses.
Quel est le signe de la fonction correspondante ?

]]> Une parabole sans racine reste entièrement d'un même côté de l'axe des
abscisses, du côté indiqué par son orientation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement positive partout

]]> Bonne réponse : ne jamais couper l'axe et rester au-dessus de son
sommet, qui est lui-même au-dessus de l'axe.

]]> Elle est strictement négative partout

]]> Une parabole tournée vers le haut prend de grandes valeurs positives
loin de son sommet.

]]> Elle change de signe une fois

]]> Un changement de signe imposerait de traverser l'axe, donc d'avoir une
racine.

]]> Son signe dépend du coefficient constant

]]> Ce coefficient donne l'ordonnée à l'origine, il ne décide pas du signe
sur tout l'ensemble de définition.

]]> Modélisation quadratique — Q25 : Le rôle du coefficient dominant Que change le coefficient $a$ dans l'écriture $f(x) = ax^2 + bx + c$,
lorsqu'il passe de $1$ à $3$ ?

]]> Le signe de $a$ donne l'orientation de la parabole et sa valeur absolue
l'ouverture : plus elle est grande, plus la courbe est resserrée autour de
son axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La parabole devient plus resserrée

]]> Bonne réponse : à distance égale du sommet, les ordonnées sont trois
fois plus grandes, donc la courbe monte plus vite.

]]> La parabole se retourne

]]> Le retournement demanderait un changement de signe, or $1$ et $3$ sont
tous deux positifs.

]]> La parabole se déplace vers la droite

]]> Un déplacement horizontal viendrait d'un changement de $b$, pas du
coefficient dominant seul.

]]> La parabole garde exactement la même forme

]]> L'ouverture change : pour $x$ à une unité du sommet, l'écart
d'ordonnée passe de $1$ à $3$.

]]> Modélisation quadratique — Q26 : Trouver l'axe sans formule Une fonction du second degré vérifie $f(2) = f(8)$.
Quelle est l'équation de son axe de symétrie ?

]]> Repérer deux nombres de même image suffit à localiser l'axe de symétrie,
sans aucune formule : il passe par leur milieu.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$

]]> Bonne réponse : deux nombres de même image sont symétriques par
rapport à l'axe, qui passe par leur milieu.

]]> $x = 6$

]]> Différence au lieu du milieu : $8 - 2 = 6$ mesure l'écart entre les
deux nombres.

]]> $x = 10$

]]> Somme non divisée : le milieu de $2$ et $8$ vaut
$\dfrac{2 + 8}{2} = 5$.

]]> $x = 4$

]]> Quotient au lieu du milieu : $\dfrac{8}{2}$ ne tient pas compte du
nombre $2$.

]]> Modélisation quadratique — Q27 : Somme des racines et sommet Une parabole coupe l'axe des abscisses en $-3$ et en $7$.
Quelle est l'abscisse de son sommet ?

]]> Une parabole est symétrique par rapport à la verticale passant par son
sommet. Ses deux racines, quand elles existent, sont donc symétriques par
rapport à cet axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : le sommet se situe au milieu des racines, soit
$\dfrac{-3 + 7}{2}$.

]]> $4$

]]> Somme non divisée : $-3 + 7 = 4$ doit encore être partagé en deux.

]]> $5$

]]> Racines soustraites : $\dfrac{7 - (-3)}{2}$ donne la demi-distance
entre elles, pas leur milieu.

]]> $-21$

]]> Produit des racines : il renseigne sur le terme constant, pas sur la
position du sommet.

]]> Modélisation quadratique — Q28 : Quand une trajectoire retombe La hauteur d'un projectile est donnée par $h(t) = -5t^2 + 20t$, en
mètres, avec $t$ en secondes. À quel instant retombe-t-il au sol ?

]]> Le retour au sol correspond à une hauteur nulle. On factorise l'expression
et l'on retient la racine non nulle, l'autre étant l'instant du lancer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À $t = 4$ s

]]> Bonne réponse : $-5t(t - 4) = 0$ donne $t = 0$ au lancer et $t = 4$ au
retour au sol.

]]> À $t = 2$ s

]]> C'est l'instant du sommet, où la hauteur est maximale et vaut $20$
mètres.

]]> À $t = 20$ s

]]> Coefficient recopié : pour $t = 20$, le modèle donne une hauteur très
négative, donc sans signification.

]]> À $t = 5$ s

]]> Autre coefficient recopié : la factorisation donne les instants $0$
et $4$.

]]> Modélisation quadratique — Q29 : Où la parabole coupe l'axe des ordonnées Quelle est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole
d'équation $y = 3x^2 - 4x + 7$ avec l'axe des ordonnées ?

]]> L'ordonnée à l'origine d'une parabole est la valeur de la fonction en
$0$, c'est-à-dire le terme constant de son écriture développée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : pour $x = 0$, les deux premiers termes s'annulent et
il reste le terme constant.

]]> $3$

]]> Coefficient dominant recopié : il décide de l'orientation, pas de
l'ordonnée à l'origine.

]]> $-4$

]]> Coefficient du terme en $x$ : il intervient dans la position du
sommet, pas ici.

]]> $0$

]]> Ce serait l'ordonnée si le terme constant était nul, donc si la
parabole passait par l'origine.

]]> Modélisation quadratique — Q30 : Résoudre une inéquation avec une parabole Une parabole tournée vers le haut a pour racines $1$ et $6$.
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x) < 0$ ?

]]> Une parabole tournée vers le haut passe au-dessus de l'axe des abscisses
à l'extérieur de ses racines et au-dessous entre elles. La fonction est
donc strictement négative pour $x$ strictement compris entre $1$ et $6$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $x$ dans $]1\,;\,6[$

]]> Bonne réponse : entre les racines, la courbe passe sous l'axe des
abscisses.

]]> Pour $x$ hors de $[1\,;\,6]$

]]> C'est là que la fonction est positive : la parabole remonte de part et
d'autre de ses racines.

]]> Pour $x$ dans $[1\,;\,6]$

]]> Bornes incluses à tort : en $1$ et en $6$, la fonction s'annule, elle
n'est pas strictement négative.

]]> Pour aucune valeur de $x$

]]> La présence de deux racines distinctes impose un passage sous l'axe
entre elles.

]]> Modélisation quadratique — Q31 : Du tableau de variations au coefficient Le tableau de variations d'une fonction polynôme de degré 2 indique
qu'elle croît jusqu'à $x = 3$, puis qu'elle décroît. Que peut-on en
déduire sur le coefficient de $x^2$ ?

]]> L'orientation de la parabole se lit indifféremment sur le signe du
coefficient de $x^2$ ou sur la forme du tableau de variations : montée
puis descente signifie coefficient négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est négatif, car le sommet est un maximum

]]> Bonne réponse : monter puis descendre place le sommet en haut, ce
qui correspond à une parabole tournée vers le bas.

]]> Il est positif, car la fonction commence par croître

]]> Un coefficient positif donne une parabole tournée vers le haut,
donc une fonction qui descend d'abord, puis remonte.

]]> Il est nul, car la fonction change de sens

]]> Un coefficient nul ferait disparaître le terme en $x^2$ : la
fonction serait affine et ne changerait jamais de sens.

]]> Il vaut $3$, abscisse du sommet de la parabole

]]> Le nombre $3$ situe le sommet sur l'axe horizontal : il ne dit rien
du coefficient de $x^2$.

]]> Modélisation quadratique — Q32 : L'expression qui va avec la courbe Quelle expression correspond à une parabole tournée vers le bas qui
coupe l'axe des abscisses en $-2$ et en $3$ ?

]]> Dans l'écriture $a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines se lisent dans les
parenthèses avec le signe opposé, et le signe de $a$ donne
l'orientation de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = -(x + 2)(x - 3)$

]]> Bonne réponse : le signe moins tourne la parabole vers le bas, et
chaque facteur s'annule en l'une des deux racines annoncées.

]]> $f(x) = (x + 2)(x - 3)$

]]> Orientation manquante : les racines sont bonnes, mais sans signe
moins le coefficient de $x^2$ est positif et la parabole monte.

]]> $f(x) = -(x - 2)(x + 3)$

]]> Signes des racines inversés : le facteur $x - 2$ s'annule pour
$x = 2$, et non pour $x = -2$.

]]> $f(x) = -(x + 2)(x + 3)$

]]> Une racine sur deux : le facteur $x + 3$ s'annule en
$-3$, alors que la courbe doit couper l'axe en $3$.

]]> Modélisation quadratique — Q33 : Un relevé qui monte puis descend Une grandeur prend les valeurs $0$, $9$, $16$, $21$, $24$, $25$, $24$
et $21$ aux instants $0$, $1$, $2$, ..., $7$. Quel modèle convient ?

]]> Le modèle quadratique est le premier à envisager devant une grandeur
qui atteint un maximum ou un minimum, puis repart en sens inverse de
façon symétrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un modèle quadratique, avec une montée puis une descente

]]> Bonne réponse : une seule montée suivie d'une seule descente, avec
un sommet, est la signature d'une fonction polynôme de degré 2.

]]> Un modèle linéaire, car les écarts successifs restent réguliers

]]> Les écarts valent $9$, $7$, $5$, $3$, $1$, puis $-1$ : ils
diminuent au lieu de rester constants.

]]> Un modèle exponentiel, car la croissance ralentit nettement

]]> Une croissance exponentielle ne s'inverse jamais : elle multiplie
les valeurs par un même facteur à chaque instant.

]]> Aucun modèle simple, car les valeurs ne sont pas régulières

]]> Ce relevé est au contraire très régulier : il est symétrique
autour de l'instant $5$, où la valeur est maximale.

]]> Modélisation quadratique — Q34 : La parabole la plus ouverte Trois paraboles ont pour équations $y = 0{,}5x^2$, $y = 2x^2$ et
$y = 5x^2$. Laquelle est la plus ouverte, c'est-à-dire la plus large ?

]]> Pour une équation $y = ax^2$, le sommet reste à l'origine et seule la
valeur absolue de $a$ agit : plus elle est grande, plus la parabole est
resserrée autour de son axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Celle de $y = 0{,}5x^2$, au coefficient le plus petit

]]> Bonne réponse : pour $x = 2$, les ordonnées valent $2$, $8$ et
$20$. La plus petite fait monter la courbe le plus lentement, donc
l'ouvre le plus.

]]> Celle de $y = 5x^2$, au coefficient le plus grand

]]> Un grand coefficient fait monter la courbe très vite : la parabole
est au contraire resserrée autour de son axe.

]]> Celle de $y = 2x^2$, au coefficient intermédiaire

]]> Cette parabole est plus ouverte que celle de $y = 5x^2$, mais plus
resserrée que celle de $y = 0{,}5x^2$.

]]> Les trois ont la même ouverture, seul le sommet change

]]> Les trois ont le même sommet, l'origine du repère : c'est
justement leur ouverture qui les distingue.

]]> Modélisation quadratique — Q35 : Reconnaître une écriture équivalente Parmi ces écritures, laquelle est égale à $x^2 - 7x + 12$ ?

]]> Développer une écriture factorisée permet de la comparer à une
expression donnée. Les racines se retrouvent dans les parenthèses avec
le signe opposé, et leur produit donne le terme constant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 3)(x - 4)$

]]> Bonne réponse : le développement donne
$x^2 - 4x - 3x + 12$, soit $x^2 - 7x + 12$.

]]> $(x + 3)(x + 4)$

]]> Signe du terme en $x$ : deux facteurs positifs donnent $+7x$,
alors que le terme cherché est négatif.

]]> $(x - 3)(x + 4)$

]]> Terme constant faux : le produit $(-3) \times 4$ vaut
$-12$, alors que la constante cherchée vaut $12$.

]]> $(x + 3)(x - 4)$

]]> Signes croisés : ce produit donne la constante $-12$ au lieu de
$12$, et le coefficient $-1$ au lieu de $-7$ pour le
terme en $x$.

]]> Modélisation quadratique — Q36 : Les quantités qui rendent l'atelier bénéficiaire Le bénéfice d'un atelier, en euros, est modélisé par
$B(q) = -(q - 10)(q - 50)$, où $q$ est le nombre d'articles
vendus. Pour quelles quantités le bénéfice est-il strictement positif ?

]]> Une expression factorisée se lit directement en signes : à l'extérieur
des racines, le produit a le signe du coefficient dominant ; entre
elles, il a le signe contraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $q$ strictement compris entre $10$ et $50$

]]> Bonne réponse : le coefficient de $q^2$ est négatif, donc la
parabole passe au-dessus de l'axe entre ses racines. Par exemple
$B(30)$ est positif.

]]> Pour $q$ situé en dehors de $[10\,;\,50]$

]]> Position inversée : c'est là que le bénéfice est négatif, la
parabole étant tournée vers le bas.

]]> Pour $q$ supérieur ou égal à $50$ articles

]]> Au-delà de $50$ articles, les deux facteurs sont positifs et le
signe moins rend le bénéfice négatif.

]]> Pour aucune quantité, le signe moins rendant tout négatif

]]> Entre les racines, le produit des deux facteurs est négatif : son
opposé est donc bien positif.

]]> Modélisation quadratique — Q37 : L'instant de la hauteur maximale Un projectile est lancé du sol et retombe au sol $8$ secondes plus
tard. Sa trajectoire est une parabole. À quel instant atteint-il sa
hauteur maximale ?

]]> Une trajectoire parabolique est symétrique : le projectile met autant
de temps à monter qu'à descendre, donc le sommet se situe au milieu des
deux instants où la hauteur est nulle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À $4$ secondes, au milieu des deux instants au sol

]]> Bonne réponse : les deux instants où la hauteur est nulle sont les
racines, et le sommet se trouve toujours à leur milieu, soit
$\dfrac{0 + 8}{2} = 4$.

]]> À $8$ secondes, au moment où il touche le sol

]]> À cet instant la hauteur est nulle : c'est la fin du vol, et non
son point le plus haut.

]]> À $2$ secondes, au quart de la durée du vol

]]> La montée et la descente durent autant l'une que l'autre : le
sommet est à la moitié du vol, pas au quart.

]]> Impossible à dire sans connaître la hauteur atteinte

]]> La symétrie de la parabole suffit : l'instant du sommet ne dépend
que des deux instants où le projectile est au sol.

]]> Modélisation quadratique — Q38 : Le temps de chute Un objet est lâché du haut d'un immeuble. Sa hauteur, en mètres, est
modélisée par $h(t) = 45 - 5t^2$, où $t$ est le temps écoulé, en
secondes. Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ?

]]> Toucher le sol signifie que la hauteur est nulle. On résout donc
$h(t) = 0$, ce qui ramène à une équation de la forme $t^2 = k$ dont on
retient la solution positive.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$ secondes

]]> Bonne réponse : l'objet touche le sol quand $h(t) = 0$, donc quand
$5t^2 = 45$, soit $t^2 = 9$ et $t = 3$, le temps étant
positif.

]]> $9$ secondes

]]> Étape oubliée : $9$ est la valeur de $t^2$, il reste à
chercher le nombre positif dont le carré vaut $9$.

]]> $4{,}5$ secondes

]]> Le coefficient $5$ multiplie $t^2$ et non $t$ : partager la hauteur
en dix ne donne pas le temps de chute.

]]> $45$ secondes

]]> Grandeur recopiée : $45$ est une hauteur exprimée en mètres, alors
que la question porte sur une durée.

]]> Modélisation quadratique — Q39 : Signe d'un produit à coefficient négatif Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = -3x(x - 4)$. Sur quel ensemble $f$ est-elle strictement
négative ?

]]> Le signe d'un produit factorisé suit une règle unique : à l'extérieur
des racines, il est celui du coefficient de $x^2$ ; entre elles, il est
contraire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $x < 0$ et pour $x > 4$, hors des racines

]]> Bonne réponse : les racines sont $0$ et $4$, et le coefficient de
$x^2$ vaut $-3$. La parabole est tournée vers le bas, donc elle
passe sous l'axe à l'extérieur des racines.

]]> Pour $x$ strictement compris entre $0$ et $4$

]]> C'est l'intervalle où $f$ est positive : par exemple
$f(2) = 12$.

]]> Pour tout réel $x$, le coefficient $-3$ étant négatif

]]> Le signe moins retourne la parabole, il ne la place pas tout
entière sous l'axe : $f$ s'annule en $0$ et en $4$.

]]> Pour aucun réel $x$, la courbe restant au-dessus de l'axe

]]> Une parabole tournée vers le bas finit par plonger : au-delà de ses
racines, elle passe sous l'axe.

]]> Modélisation quadratique — Q40 : Toutes les solutions d'une équation Le sommet de la parabole d'une fonction $f$ polynôme de degré 2 a pour
abscisse $5$, et l'on sait que $f(2) = 11$. Quelles sont toutes
les solutions de l'équation $f(x) = 11$ ?

]]> Les solutions d'une équation $f(x) = c$ se répartissent
symétriquement autour de l'axe de la parabole : leur milieu est
l'abscisse du sommet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2$ et $x = 8$

]]> Bonne réponse : $2$ est à une distance de $3$ de l'axe de
symétrie, et son symétrique $8$ a donc la même image.

]]> $x = 2$ et $x = 5$

]]> L'abscisse du sommet n'est pas une solution : elle est le milieu
des deux solutions, qui l'encadrent.

]]> $x = 2$ uniquement

]]> Une seule solution n'apparaît que si la valeur cherchée est celle
du sommet, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> $x = 2$ et $x = -2$

]]> Symétrie prise par rapport à $0$ : le reflet se calcule par rapport
à l'axe de la parabole, d'abscisse $5$.

]]> Modélisation quadratique — Q41 : Un enclos adossé à un mur Un enclos rectangulaire est adossé à un mur, si bien que le grillage
n'en couvre que trois côtés. Avec $24$ mètres de grillage, son aire
vaut $A(x) = x(24 - 2x)$, où $x$ est la longueur d'un côté
perpendiculaire au mur. Quelle est l'aire maximale de l'enclos ?

]]> L'aire est un produit qui s'annule pour deux valeurs de $x$ : son
maximum se trouve à leur milieu, sans aucun calcul supplémentaire. Le
mur change les proportions de l'enclos optimal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $72$ mètres carrés

]]> Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et en $12$, donc son
maximum est atteint au milieu, en $x = 6$, et vaut
$6 \times 12 = 72$.

]]> $36$ mètres carrés

]]> Enclos supposé carré de côté $6$ : le côté parallèle au mur
mesure ici $12$ mètres, soit le double.

]]> $6$ mètres carrés

]]> Longueur prise pour une aire : $6$ mètres est le côté qui rend
l'aire maximale, pas cette aire.

]]> $144$ mètres carrés

]]> Mur oublié : ce serait l'aire maximale de $x(24 - x)$, mais deux
côtés perpendiculaires au mur sont grillagés, d'où le facteur $2$.

]]> Modélisation quadratique — Q42 : Racines avec un facteur négatif Quelles sont les racines de la fonction définie par
$f(x) = -3(x + 2)(x - 7)$ ?

]]> Dans une écriture factorisée, chaque parenthèse donne une racine, que
l'on obtient en changeant le signe du nombre qui y figure. Le
coefficient placé devant n'en donne aucune.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2$ et $7$

]]> Bonne réponse : un produit est nul dès qu'un facteur l'est, et
$x + 2$ s'annule pour $x = -2$, tandis que $x - 7$ s'annule
pour $x = 7$.

]]> $2$ et $7$

]]> Signe oublié : le facteur $x + 2$ s'annule pour $x = -2$, et
non pour $x = 2$.

]]> $-2$ et $-7$

]]> Second signe inversé : le facteur $x - 7$ s'annule pour
$x = 7$, une valeur positive.

]]> $-3$, $-2$ et $7$

]]> Le facteur constant $-3$ ne s'annule jamais : il règle
l'orientation et l'ouverture, sans fournir de racine.

]]> Modélisation quadratique — Q43 : Signe d'une image entre les racines Une parabole tournée vers le haut coupe l'axe des abscisses en $-4$ et
en $2$. Quel est le signe de $f(0)$ ?

]]> Le signe d'une fonction polynôme de degré 2 ne dépend que de
l'orientation de sa parabole et de la position du nombre par rapport
aux racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif, car $0$ est situé entre les deux racines

]]> Bonne réponse : entre ses racines, une parabole tournée vers le
haut passe sous l'axe des abscisses.

]]> Positif, car $0$ est plus grand que la racine $-4$

]]> Une seule comparaison ne suffit pas : $0$ est aussi plus petit que
$2$, donc il se trouve entre les deux racines.

]]> Nul, car la parabole passe par l'origine du repère

]]> La courbe ne passe par l'origine que si $0$ est une racine, ce qui
n'est pas le cas ici.

]]> Positif, car la parabole est tournée vers le haut

]]> L'orientation donne le signe à l'extérieur des racines seulement :
entre elles, le signe est contraire.

]]> Modélisation quadratique — Q44 : Les deux coordonnées du sommet Soit $f(x) = (x - 2)(x - 8)$. Quelles sont les coordonnées
du sommet de sa parabole ?

]]> Le sommet s'obtient en deux temps : son abscisse est le milieu des
racines, et son ordonnée se calcule en remplaçant $x$ par cette
abscisse dans l'expression de la fonction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(5\,;\,-9)$

]]> Bonne réponse : l'abscisse du sommet est le milieu des racines
$2$ et $8$, soit $5$, et son ordonnée est
$f(5) = -9$.

]]> $(5\,;\,0)$

]]> Abscisse correcte, ordonnée fausse : la fonction ne s'annule qu'en
$2$ et en $8$, pas au sommet.

]]> $(2\,;\,8)$

]]> Racines prises pour des coordonnées : elles se lisent toutes deux
sur l'axe des abscisses.

]]> $(-9\,;\,5)$

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse du sommet est le milieu des
racines, l'ordonnée est l'image de ce milieu.

]]> Modélisation quadratique — Q45 : Sens de variation sur un intervalle Une fonction polynôme de degré 2, dont la parabole est tournée vers le
haut, a pour racines $1$ et $9$. Est-elle croissante ou
décroissante sur l'intervalle $[6\,;\,9]$ ?

]]> Une fonction polynôme de degré 2 est monotone de part et d'autre de son
sommet. Localiser ce sommet, ici au milieu des racines, suffit donc à
conclure sur n'importe quel intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Croissante, l'intervalle étant situé après le sommet

]]> Bonne réponse : le sommet est au milieu des racines, en $5$, et
une parabole tournée vers le haut remonte après son sommet.

]]> Décroissante, la fonction étant négative sur cet intervalle

]]> Signe et variation sont deux questions distinctes : la fonction est
bien négative ici, mais elle y remonte vers l'axe.

]]> Décroissante, la fonction diminuant jusqu'à sa racine $9$

]]> Entre $5$ et $9$, la fonction remonte depuis son minimum
jusqu'à s'annuler en $9$.

]]> Ni l'une ni l'autre, puisque le sens de variation change en $5$

]]> Le changement de sens a lieu en $5$, qui se situe avant
l'intervalle étudié : celui-ci ne contient pas le sommet.

]]> Modélisation quadratique — Q46 : La largeur d'une arche L'arche d'un viaduc est modélisée par la fonction
$f(x) = -0{,}02x^2 + 18$, où $x$ et $f(x)$ sont en mètres et où
$x = 0$ correspond au milieu de l'arche. Quelle est la largeur de
l'arche au niveau du sol ?

]]> La largeur au sol est l'écart entre les deux racines de $f$. La
courbe étant symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ces
racines sont opposées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60$ m

]]> Bonne réponse : $f(x) = 0$ donne $x^2 = 900$, donc $x = -30$ ou
$x = 30$. L'arche s'étend de $-30$ à $30$, soit $60$ m.

]]> $30$ m

]]> Erreur : $30$ m est la distance du milieu à un pied de l'arche.
Par symétrie, la largeur est le double.

]]> $18$ m

]]> Erreur : $f(0) = 18$ est la hauteur de l'arche en son milieu,
pas sa largeur.

]]> $900$ m

]]> Erreur : $x^2 = 900$ ; il reste à en déduire les deux valeurs
de $x$, $-30$ et $30$.

]]>