$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Phénomènes aléatoires Probabilités conditionnelles (tableaux croisés et arbres
pondérés), indépendance de deux événements, répétition
d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes
($n \leq 4$), tests médicaux et faux positifs, jeux (dont le
problème de Monty Hall), distinction modèle/réalité.

]]> Phénomènes aléatoires — Q01 : Probabilité conditionnelle Que désigne $P_A(B)$ ?

]]> $P_A(B)$ : probabilité de $B$ dans le monde où $A$ est
réalisé. Sur un arbre : pondération de la branche $A \to B$ ;
dans un tableau : effectif de $A \cap B$ divisé par
l'effectif de $A$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé

]]> Bonne réponse : on restreint l'univers aux cas où $A$ a
eu lieu, et on y mesure les chances de $B$.

]]> La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent ensemble

]]> Erreur : « $A$ et $B$ » se note $P(A \cap B)$. La
distinction entre $P(A \cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ est
un automatisme du programme.

]]> La probabilité de $A$ sachant $B$

]]> Inversé : l'indice porte la condition. $P_A(B)$
conditionne par $A$ ; « $A$ sachant $B$ » s'écrit
$P_B(A)$.

]]> La probabilité que $A$ se produise avant $B$

]]> Erreur : aucune chronologie dans la notation ; seulement
une information supposée acquise ($A$) et un événement
mesuré ($B$).

]]> Phénomènes aléatoires — Q02 : Probabilité d'un chemin Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la branche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à A-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4. Depuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.

Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de
l'événement $A \cap B$ (chemin du haut) ?

]]> Règle de l'arbre : multiplier les pondérations le long d'un
chemin. $P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}18$

]]> Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se
multiplient : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) =
0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$.

]]> $0{,}9$

]]> Erreur : $0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$ additionne ; on
n'additionne pas le long d'un chemin (l'addition sert
entre chemins différents).

]]> $0{,}6$

]]> Incomplet : $0{,}6$ est la conditionnelle $P_A(B)$ ;
encore faut-il que $A$ se réalise ($\times\,0{,}3$).

]]> $0{,}12$

]]> Erreur : $0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12$ est le chemin $A$
puis $\overline{B}$ (la branche complémentaire, de
pondération $0{,}4$), pas $A \cap B$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q03 : Événements indépendants Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ sont
indépendants (avec $P(B) \neq 0$) ?

]]> Indépendance : $P_B(A) = P(A)$ : l'information « $B$ a eu
lieu » n'apporte rien sur $A$. Critère équivalent :
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lorsque $P_B(A) = P(A)$

]]> Bonne réponse : savoir que $B$ s'est réalisé ne change
pas la probabilité de $A$ : c'est la définition du
programme.

]]> Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps

]]> Confusion : c'est l'incompatibilité, qui est au
contraire une dépendance très forte (si $B$ arrive, $A$
devient impossible).

]]> Lorsqu'ils ont la même probabilité

]]> Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du
lien entre les événements.

]]> Lorsqu'ils concernent deux jours différents

]]> Intuition parfois utile, mais pas une définition : le
critère mathématique est $P_B(A) = P(A)$ (ou le produit
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$).

]]> Phénomènes aléatoires — Q04 : Vérifier une indépendance On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) =
0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

]]> Critère du produit : $A$ et $B$ indépendants
$\Leftrightarrow$ $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$. Ici
$0{,}2 = 0{,}4 \times 0{,}5$ : indépendants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)$

]]> Bonne réponse : le produit des probabilités égale la
probabilité de l'intersection : indépendance vérifiée.

]]> Non, car $0{,}4 \neq 0{,}5$

]]> Erreur : on ne compare pas $P(A)$ et $P(B)$ entre elles,
mais $P(A \cap B)$ au produit $P(A)P(B)$.

]]> Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble

]]> Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est
nécessaire à l'indépendance (des incompatibles non
triviaux ne sont jamais indépendants).

]]> On ne peut pas répondre sans arbre pondéré

]]> Erreur : les trois nombres suffisent au critère du
produit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible.

]]> Phénomènes aléatoires — Q05 : Test de dépistage et faux positifs Sur $1000$ personnes, $100$ sont porteuses d'un virus. Un
test détecte $90$ des $100$ porteurs, mais il est aussi
positif, à tort, pour $90$ des $900$ non-porteurs. Parmi les
personnes testées positives, quelle est la proportion de
porteurs réels ?

]]> Situation phare du programme (tests médicaux) : construire le
tableau croisé, puis conditionner par le résultat du
test : $P_{\text{positif}}(\text{porteur}) =
\frac{90}{180} = 50\ \%$, bien loin des $90\ \%$ de
sensibilité du test.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $50\ \%$

]]> Bonne réponse : positifs $= 90 + 90 = 180$, dont $90$
porteurs : $\dfrac{90}{180} = 50\ \%$. Un test positif ne
vaut ici qu'une chance sur deux, à cause des faux
positifs nombreux chez les non-porteurs.

]]> $90\ \%$

]]> Inversion du conditionnement : $90\ \%$ est la
proportion de positifs parmi les porteurs
($90/100$), pas de porteurs parmi les positifs
($90/180$).

]]> $9\ \%$

]]> Erreur : $9\ \% = 90/1000$ est la part des vrais
positifs dans la population entière ; la question
restreint aux $180$ positifs.

]]> $18\ \%$

]]> Erreur : $18\ \% = 180/1000$ est la proportion de tests
positifs dans la population, pas la composition du groupe
des positifs.

]]> Phénomènes aléatoires — Q06 : Répéter une épreuve de Bernoulli Une opération réussit avec la probabilité $0{,}9$. On la
répète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la
probabilité de $3$ réussites ?

]]> Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et
indépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le
produit. Trois succès : $p^3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}9^3 = 0{,}729$

]]> Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du
chemin réussite-réussite-réussite se multiplient :
$0{,}9 \times 0{,}9 \times 0{,}9$.

]]> $0{,}9 \times 3 = 2{,}7$

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$.
Répéter multiplie les probabilités entre elles, pas par
le nombre d'essais.

]]> $0{,}9$

]]> Erreur : $0{,}9$ vaut pour une réussite. En exiger
trois consécutives est plus difficile : $0{,}729$.

]]> $0{,}9^2 = 0{,}81$

]]> Erreur : ce chemin ne compte que deux épreuves. Trois
réussites demandent trois facteurs $0{,}9$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q07 : Taille de l'arbre On représente par un arbre la répétition de $4$ épreuves de
Bernoulli. Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?

]]> Arbre d'une répétition de $n$ épreuves à deux issues :
$2^n$ chemins. Le programme limite à $n \leq 4$ pour garder
les arbres lisibles : $16$ chemins au plus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$ chemins

]]> Bonne réponse : chaque épreuve double le nombre de
chemins (succès ou échec) : $2 \times 2 \times 2 \times 2
= 2^4 = 16$ listes de résultats possibles.

]]> $8$ chemins

]]> Erreur : $8 = 2^3$ correspond à $3$ épreuves. Pour $4$
niveaux : $2^4 = 16$.

]]> $4$ chemins

]]> Erreur : $4$ est le nombre d'épreuves (la profondeur
de l'arbre), pas le nombre de chemins.

]]> $24$ chemins

]]> Erreur : $24 = 4!$ compterait des ordres d'objets
distincts. Ici chaque niveau offre $2$ branches :
$2^4$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q08 : « Au moins une » réussite On lance $3$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la
probabilité d'obtenir au moins un pile ?

]]> Réflexe « au moins un » : passer par l'événement contraire
« aucun ». $P = 1 - (1-p)^n$ ; ici $1 - \frac{1}{8} =
\frac{7}{8}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{7}{8}$

]]> Bonne réponse : le contraire de « au moins un pile » est
« aucun pile » (trois faces), de probabilité
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ ; il reste
$P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

]]> $\dfrac{1}{8}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{8}$ est la probabilité du
contraire (aucun pile). Il reste à la retrancher de
$1$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : sur trois lancers, obtenir au moins un pile est
très probable ($7$ chemins favorables sur $8$), bien plus
que $\frac{1}{2}$.

]]> $\dfrac{3}{8}$

]]> Erreur : $\dfrac{3}{8}$ est la probabilité d'exactement
un pile. « Au moins un » cumule un, deux ou trois
piles : $\frac{7}{8}$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q09 : Deux dés indépendants On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité
d'obtenir un double six ?

]]> Épreuves indépendantes : les probabilités se multiplient.
Double six : $\frac{1}{36}$ (le fameux problème du grand-duc
de Toscane repose sur ce type de compte).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{36}$

]]> Bonne réponse : les lancers sont indépendants :
$\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.

]]> $\dfrac{1}{12}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6}$ ou
$\frac{1}{12}$ ? Ni l'un ni l'autre : les deux exigences
simultanées se multiplient : $\frac{1}{36}$.

]]> $\dfrac{2}{6}$

]]> Erreur : additionner les probabilités correspond à
« l'un ou l'autre » (et encore, pour des événements
incompatibles). Ici il faut six et six.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'un six sur
un dé. Le second six divise encore par $6$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q10 : Pierre-feuille-ciseaux Au jeu pierre-feuille-ciseaux, votre adversaire joue chaque
coup au hasard (les trois gestes équiprobables). Quelle est
la probabilité que vous gagniez la manche ?

]]> Modéliser le jeu : $9$ couples équiprobables, $3$ gagnants,
$3$ perdants, $3$ nuls : $P(\text{gain}) = \frac{1}{3}$.
Compter les issues favorables avant de conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{3}$

]]> Bonne réponse : quel que soit votre geste, un seul des
trois gestes adverses vous fait gagner (un autre perd, le
troisième annule) : $\frac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : « gagner ou pas » ne fait pas une chance sur
deux : il y a trois issues (gain, perte, égalité),
équiprobables face à un adversaire aléatoire.

]]> $\dfrac{1}{9}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{9}$ est la probabilité d'un couple
précis de gestes. Gagner regroupe trois couples
favorables sur neuf : $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur : $\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de ne pas
gagner (perdre ou faire égalité).

]]> Phénomènes aléatoires — Q11 : Le problème de Monty Hall Trois portes : une cache un lot, deux sont perdantes. Vous en
choisissez une ; l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre
une autre porte, perdante, puis vous propose de changer.
Quelle est la probabilité de gagner si vous changez de
porte ?

]]> Monty Hall (au programme) : garder gagne avec $\frac{1}{3}$,
changer avec $\frac{2}{3}$. L'ouverture d'une porte perdante
par un animateur informé ne rééquilibre pas les chances :
une simulation en Python le vérifie de façon éclatante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{2}{3}$

]]> Bonne réponse : votre premier choix gagne avec
probabilité $\frac{1}{3}$ ; dans les $\frac{2}{3}$ de cas
restants, le lot est derrière l'autre porte fermée, et
changer gagne. La stratégie « changer » double les
chances.

]]> $\dfrac{1}{2}$, car il reste deux portes

]]> Le piège historique : les deux portes restantes ne sont
pas équiprobables, car l'animateur a utilisé son
information pour ouvrir une porte perdante. Votre porte
initiale reste à $\frac{1}{3}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{3}$ est la probabilité de gagner en
gardant sa porte initiale. Changer récupère les
$\frac{2}{3}$ complémentaires.

]]> Impossible à déterminer

]]> Erreur : le modèle est parfaitement déterminé (choix
uniforme du lot, animateur informé) et la simulation le
confirme : $\frac{2}{3}$ en changeant.

]]> Phénomènes aléatoires — Q12 : Le modèle et la réalité Pour étudier un dé trouvé dans un grenier, on choisit le
modèle équiprobable ($P(\text{six}) = \frac{1}{6}$). Ce choix
se démontre-t-il ?

]]> Point d'insistance du programme : distinguer le modèle
probabiliste abstrait de la situation réelle. Le modèle est
une hypothèse (symétrie, ou fréquences observées via la loi
des grands nombres) : on le valide ou on le rejette, on ne le
démontre pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, c'est une hypothèse que l'expérience peut éprouver

]]> Bonne réponse : une loi de probabilité est une hypothèse
de modélisation, on peut la mettre à l'épreuve par
l'expérience, pas la démontrer. L'équiprobabilité se
choisit (symétrie supposée du dé) et se
confronte aux fréquences observées (loi des grands
nombres) : si elles s'en écartent durablement, on révise
le modèle.

]]> Oui : six faces, donc un sixième chacune,
mathématiquement prouvé

]]> Erreur : le nombre de faces ne prouve rien (un dé pipé a
aussi six faces). L'équiprobabilité est une hypothèse sur
l'objet réel, pas un théorème.

]]> Oui, en lançant le dé un très grand nombre de fois

]]> Erreur : même un très grand nombre de lancers teste
le modèle (les fréquences se stabilisent près de
$\frac{1}{6}$, ou non) sans jamais le démontrer ; il
reste toujours possible qu'une série plus longue le
contredise.

]]> Non : les probabilités ne s'appliquent pas aux objets
réels

]]> Trop fort : elles s'y appliquent très bien, précisément
via un modèle dont on évalue la pertinence.

]]> Phénomènes aléatoires — Q13 : Probabilité du contraire La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}35$.
Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?

]]> $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ : la règle du complément, valable
partout (y compris dans les mondes conditionnés). Souvent le
chemin le plus court vers une probabilité difficile à
calculer en direct.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}65$

]]> Bonne réponse : $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}35$ :
les deux éventualités se partagent la certitude.

]]> $0{,}35$

]]> Erreur : un événement et son contraire n'ont la même
probabilité qu'à $0{,}5$ : ici le complément vaut
$0{,}65$.

]]> $-0{,}35$

]]> Impossible : aucune probabilité n'est négative : le
contraire se calcule par $1 - 0{,}35$.

]]> On ne peut pas savoir

]]> Erreur : « pleuvoir » et « ne pas pleuvoir » couvrent
tout sans recouvrement : leurs probabilités somment
exactement à $1$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q14 : Somme des branches d'un nœud D'un nœud d'un arbre partent deux branches de probabilités
$0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?

]]> Règle de l'arbre : à chaque nœud, les branches sortantes
somment à $1$. Premier contrôle sur tout arbre donné,
premier outil pour compléter un arbre à trous.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}4$

]]> Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud
couvrent toutes les suites possibles : leur somme vaut
$1$ : $p = 1 - 0{,}6$.

]]> $0{,}6$

]]> Erreur : rien n'impose l'égalité des branches : c'est la
somme à $1$ qui contraint : $0{,}4$.

]]> $1{,}6$

]]> Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$ :
l'addition était à faire en sens inverse ($1 - 0{,}6$).

]]> N'importe quelle valeur entre $0$ et $1$

]]> Erreur : la règle de cohérence de l'arbre fixe $p$ sans
liberté : $0{,}4$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q15 : Probabilité d'une réunion On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \cap B) =
0{,}1$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?

]]> $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ : le diagramme en
patates rend la correction évidente. Cas particulier :
incompatibles ($P(A \cap B) = 0$) : addition simple.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}7$

]]> Bonne réponse : $0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1$ : la zone
commune, comptée deux fois par l'addition, se retranche
une fois.

]]> $0{,}8$

]]> Double comptage : les issues de $A \cap B$ figurent dans
$P(A)$ ET dans $P(B)$ : l'addition brute les compte deux
fois.

]]> $0{,}15$

]]> Erreur : $0{,}5 \times 0{,}3$ calcule autre chose (une
intersection sous indépendance) : la réunion se calcule
par la formule additive corrigée.

]]> $0{,}9$

]]> Erreur : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1$ AJOUTE l'intersection
au lieu de la retirer.

]]> Phénomènes aléatoires — Q16 : L'arbre du tirage sans remise Une urne contient $4$ jetons rouges et $6$ noirs. On tire
deux jetons sans remise. Quelle est la probabilité de la
deuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?

]]> Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec
l'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent
pour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités
conditionnelles en acte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{9}$

]]> Bonne réponse : il reste $3$ rouges parmi $9$ jetons. Le
premier jeton rouge est sorti, l'urne contient $9$
jetons dont $3$ rouges : les branches du deuxième niveau
se recalculent.

]]> $\dfrac{4}{10}$

]]> Remise fantôme : $\frac{4}{10}$ est la probabilité du
premier tirage. Sans remise, l'urne change après chaque
tirage : la conserver décrirait un tirage AVEC remise.

]]> $\dfrac{4}{9}$

]]> Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans
l'urne : il reste $3$ rouges (le dénominateur $9$,
lui, est correct).

]]> $\dfrac{3}{10}$

]]> Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que $9$
jetons après le premier tirage.

]]> Phénomènes aléatoires — Q17 : Fréquence simulée et probabilité On simule $10\,000$ lancers d'une punaise : elle retombe
pointe en l'air $3\,470$ fois. Que peut-on en tirer ?

]]> Deux sources de probabilités : le modèle (symétries,
équiprobabilité justifiée) et la fréquence (grands
échantillons, loi des grands nombres). La simulation relie
les deux : la fréquence se stabilise autour de la
probabilité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une estimation : $P(\text{pointe en l'air}) \approx
0{,}35$

]]> Bonne réponse : $\frac{3\,470}{10\,000} = 0{,}347$. Pour
un objet sans symétrie, pas d'équiprobabilité théorique
: la fréquence observée sur un GRAND échantillon est la
meilleure estimation disponible, d'autant plus fiable
que le nombre d'essais est grand.

]]> Rien : seule une formule théorique donne une probabilité

]]> Erreur : quand la symétrie manque (punaise, punaise !),
l'approche fréquentiste est la voie légitime : la
fréquence se stabilise vers la probabilité.

]]> $P = 0{,}5$ : pointe en l'air ou pas, deux issues

]]> Équiprobabilité décrétée : les $3\,470$ sur $10\,000$
la contredisent : deux issues n'ont pas forcément le
même poids.

]]> $P = 0{,}347$ exactement, sans aucune incertitude

]]> Trop précis : la fréquence estime la probabilité
avec une marge : une nouvelle série de $10\,000$ lancers
donnerait un nombre voisin, pas identique.

]]> Phénomènes aléatoires — Q18 : Indépendants ou incompatibles ? Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités non nulles.
S'ils sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$),
peuvent-ils être indépendants ?

]]> Incompatibles (probabilités non nulles) $\Rightarrow$
dépendants : l'un exclut l'autre, information maximale.
L'indépendance se teste ($P(A \cap B) = P(A)P(B)$),
elle ne se lit pas sur un diagramme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B)$

]]> Bonne réponse : incompatibles signifie ne JAMAIS se
produire ensemble : savoir $A$ réalisé interdit $B$.
C'est une dépendance extrême, tout le contraire de
l'indépendance, et le test $P(A \cap B) = P(A) \times
P(B)$ échoue ($0$ contre un produit non nul).

]]> Oui : incompatibles et indépendants sont synonymes

]]> Confusion de vocabulaire : incompatibles signifie qu'ils ne se réalisent pas en même temps ; indépendants signifie qu'ils ne s'influencent pas : deux
notions non seulement différentes, mais opposées ici.

]]> Oui, si leurs probabilités sont égales

]]> Erreur : l'égalité des probabilités ne répare rien :
$P(A)P(B) > 0$ alors que $P(A \cap B) = 0$ : le test
échoue toujours.

]]> Cela dépend de l'expérience aléatoire considérée

]]> Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : $0 \neq
P(A)P(B)$ dès que les probabilités sont non nulles.

]]> Phénomènes aléatoires — Q19 : De la conditionnelle à l'intersection On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}5$.
Que vaut $P(A \cap B)$ ?

]]> La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses
branches. La formule $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ en est l'écriture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}3$

]]> Bonne réponse : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}6 \times
0{,}5$.

]]> $1{,}1$

]]> Addition au lieu d'une multiplication : une probabilité ne dépasse
jamais $1$.

]]> $0{,}5$

]]> Conditionnelle recopiée : elle se lit sur une branche de l'arbre, pas
sur un chemin complet.

]]> $0{,}83$

]]> Division au lieu d'une multiplication : $\dfrac{0{,}5}{0{,}6}$
répondrait à une autre question.

]]> Phénomènes aléatoires — Q20 : Rassembler deux chemins Un arbre donne $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}7$ et
$P_{\overline{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(B)$ ?

]]> On additionne les probabilités de tous les chemins de l'arbre qui
mènent à $B$, chacune obtenue en multipliant les probabilités le long
du chemin.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}4$

]]> Bonne réponse : $0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}28 +
0{,}12$.

]]> $0{,}9$

]]> Conditionnelles additionnées : $0{,}7 + 0{,}2$ ignore les
probabilités des branches de premier niveau.

]]> $0{,}28$

]]> Un seul chemin retenu : $B$ peut aussi se réaliser après
$\overline{A}$.

]]> $0{,}14$

]]> Produit des deux conditionnelles : $0{,}7 \times 0{,}2$ ne correspond
à aucun chemin de l'arbre.

]]> Phénomènes aléatoires — Q21 : Ce que change l'indépendance Les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
Que vaut alors $P_A(B)$ ?

]]> Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne
renseigne pas sur l'autre. Cela s'écrit $P_A(B) = P(B)$, ou de façon
équivalente $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(B)$

]]> Bonne réponse : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la
probabilité de $B$, c'est la définition même de l'indépendance.

]]> $0$

]]> Une probabilité conditionnelle nulle signifierait que $A$ et $B$ sont
incompatibles, ce qui est une tout autre situation.

]]> $P(A)$

]]> Rôles échangés : la conditionnelle $P_A(B)$ porte sur $B$, une fois
$A$ connu.

]]> $P(A) \times P(B)$

]]> C'est la valeur de $P(A \cap B)$ dans le cas indépendant, pas celle de
la conditionnelle.

]]> Phénomènes aléatoires — Q22 : Exactement une réussite sur trois On répète trois fois une épreuve de probabilité de succès $0{,}2$, de
façon indépendante. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un
succès ?

]]> Dans la répétition d'épreuves identiques et indépendantes, on compte les
chemins de l'arbre qui réalisent l'événement, puis on additionne leurs
probabilités, toutes égales entre elles ici.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}384$

]]> Bonne réponse : trois chemins conviennent, chacun de probabilité
$0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}128$.

]]> $0{,}128$

]]> Un seul chemin compté : le succès peut survenir à la première, à la
deuxième ou à la troisième épreuve.

]]> $0{,}2$

]]> Probabilité d'une seule épreuve : la répétition en change le
résultat.

]]> $0{,}6$

]]> Probabilités additionnées : $3 \times 0{,}2$ ignore que les deux
autres épreuves doivent échouer.

]]> Phénomènes aléatoires — Q23 : Ce que porte une branche de second niveau Dans un arbre pondéré, que représente la probabilité inscrite sur une
branche de second niveau ?

]]> Les branches du premier niveau portent des probabilités simples, celles
des niveaux suivants des probabilités conditionnelles. Le produit le long
d'un chemin donne la probabilité de l'intersection.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une probabilité conditionnelle

]]> Bonne réponse : elle suppose acquis l'événement rencontré au premier
niveau.

]]> La probabilité du chemin entier

]]> Celle-ci s'obtient en multipliant les probabilités de toutes les
branches du chemin.

]]> Une probabilité d'intersection

]]> L'intersection correspond au chemin complet, pas à une seule de ses
branches.

]]> Une fréquence observée

]]> Un arbre porte des probabilités du modèle ; les fréquences viennent de
l'expérience.

]]> Phénomènes aléatoires — Q24 : Tester l'indépendance sur des nombres On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}25$.
Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

]]> Pour vérifier l'indépendance, on compare la probabilité de l'intersection
au produit des probabilités. L'égalité caractérise l'indépendance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car $0{,}25$ diffère de $0{,}2$

]]> Bonne réponse : l'indépendance exigerait
$P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$.

]]> Oui, car l'intersection n'est pas vide

]]> Une intersection non vide signale seulement que les événements ne sont
pas incompatibles.

]]> Oui, car $P(A)$ dépasse $P(B)$

]]> La comparaison des deux probabilités n'a aucun rapport avec
l'indépendance.

]]> On ne peut pas conclure sans l'effectif

]]> Le test porte sur les probabilités seules : il suffit de comparer
$P(A \cap B)$ au produit $P(A) \times P(B)$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q25 : Conditionnelle lue dans un tableau Sur $200$ personnes, $80$ sont vaccinées et, parmi elles, $12$ ont eu
la grippe. Quelle est la probabilité d'avoir eu la grippe sachant que
l'on est vacciné ?

]]> Une probabilité conditionnelle se lit en restreignant la population à la
condition, ici les personnes vaccinées, qui deviennent le dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}15$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{12}{80} = 0{,}15$, la population de référence
étant celle des personnes vaccinées.

]]> $0{,}06$

]]> Probabilité conjointe : $\dfrac{12}{200}$ rapporte les cas aux $200$
personnes, sans condition.

]]> $0{,}4$

]]> Autre quotient : $\dfrac{80}{200}$ est la probabilité d'être vacciné.

]]> $0{,}85$

]]> Événement contraire : $0{,}85$ est la probabilité de ne pas avoir eu
la grippe sachant que l'on est vacciné.

]]> Phénomènes aléatoires — Q26 : Contrôler un arbre pondéré Un nœud d'arbre porte deux branches, de probabilités $0{,}3$ et
$0{,}6$. Que faut-il en conclure ?

]]> À chaque nœud d'un arbre pondéré, les branches décrivent tous les cas
possibles et s'excluent deux à deux : la somme de leurs probabilités vaut
donc $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'arbre est incomplet ou erroné

]]> Bonne réponse : les probabilités issues d'un même nœud doivent
totaliser $1$, or leur somme vaut $0{,}9$.

]]> Les deux événements sont indépendants

]]> L'indépendance se teste sur une intersection, pas sur la somme des
branches d'un nœud.

]]> La probabilité du chemin vaut $0{,}18$

]]> Ce produit concernerait deux branches successives, pas deux branches
issues du même nœud.

]]> Il manque un troisième événement de probabilité $0{,}1$

]]> Possible, mais ce n'est qu'une hypothèse parmi d'autres : une des deux
valeurs peut simplement être fausse.

]]> Phénomènes aléatoires — Q27 : Deux notions à ne pas confondre Deux événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles sont
incompatibles, c'est-à-dire que $A \cap B = \varnothing$.
Peuvent-ils être indépendants ?

]]> Incompatibles signifie qu'ils ne peuvent pas se produire ensemble ;
indépendants signifie que l'un ne renseigne pas sur l'autre. Savoir qu'un
événement incompatible s'est produit renseigne beaucoup sur l'autre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, jamais

]]> Bonne réponse : l'intersection étant vide, $P(A \cap B) = 0$, alors
que le produit $P(A) \times P(B)$ est strictement positif.

]]> Oui, toujours

]]> Les deux notions n'ont rien à voir : l'incompatibilité rend au
contraire les événements très dépendants.

]]> Oui, si leurs probabilités sont égales

]]> L'égalité des probabilités ne change rien : l'intersection reste vide.

]]> Oui, si leur réunion est l'univers

]]> Ce cas, celui d'événements contraires, est précisément le plus
dépendant qui soit.

]]> Phénomènes aléatoires — Q28 : Nombre de chemins d'un arbre On répète quatre fois une épreuve à deux issues.
Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?

]]> Avec deux issues par épreuve, le nombre de chemins double à chaque
répétition. Pour $n$ épreuves, l'arbre en compte $2^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$

]]> Bonne réponse : chaque épreuve double le nombre de chemins, donc
$2^4 = 16$.

]]> $8$

]]> Une épreuve oubliée : $2^3 = 8$ correspond à trois répétitions.

]]> $4$

]]> Nombre d'épreuves recopié : chaque épreuve ouvre deux possibilités,
qui se combinent.

]]> $8$ chemins et $4$ nœuds

]]> Le compte des chemins est faux, et le nombre de nœuds ne répond pas à
la question posée.

]]> Phénomènes aléatoires — Q29 : Les deux conditionnelles ne se valent pas Presque tous les joueurs de basket professionnels sont grands.
Peut-on en déduire que presque toutes les personnes grandes jouent au
basket ?

]]> Les probabilités $P_A(B)$ et $P_B(A)$ portent sur des populations de
référence différentes et n'ont aucune raison d'être égales. C'est
l'erreur qui rend les tests de dépistage si contre-intuitifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, les populations de référence diffèrent

]]> Bonne réponse : la première probabilité se restreint aux joueurs, la
seconde aux personnes grandes, bien plus nombreuses.

]]> Oui, les deux énoncés sont équivalents

]]> Ils ne le sont pas : il y a des millions de personnes grandes pour
quelques milliers de joueurs professionnels.

]]> Oui, si l'échantillon est assez grand

]]> La taille de l'échantillon ne change rien : c'est le dénominateur qui
diffère.

]]> Non, car la taille n'est pas un événement

]]> Être grand est bien un événement, défini par un seuil de taille.

]]> Phénomènes aléatoires — Q30 : Une pièce lancée dix fois Une pièce équilibrée est tombée neuf fois de suite sur pile.
Quelle est la probabilité que le dixième lancer donne face ?

]]> La loi des grands nombres décrit le comportement des fréquences sur un
très grand nombre d'expériences. Elle ne corrige jamais les résultats
déjà obtenus.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}5$

]]> Bonne réponse : les lancers sont indépendants, la pièce ne garde
aucune mémoire des résultats précédents.

]]> Plus de $0{,}5$, par compensation

]]> C'est l'erreur du joueur : aucune force ne rééquilibre les résultats
passés.

]]> Moins de $0{,}5$, la pièce favorise pile

]]> L'énoncé précise que la pièce est équilibrée : la série observée est
rare, mais possible.

]]> On ne peut pas savoir sans plus de lancers

]]> Le modèle donne directement la réponse : chaque lancer a deux issues
équiprobables.

]]> Phénomènes aléatoires — Q31 : De l'intersection à la conditionnelle Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A) = 0{,}4$ et
$P(A \cap B) = 0{,}1$. Quelle est la probabilité de $B$ sachant que
$A$ est réalisé ?

]]> Conditionner par $A$, c'est mesurer $B$ dans l'univers réduit aux cas
où $A$ est réalisé : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, la part de
$A$ qui réalise aussi $B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}25$

]]> Bonne réponse : $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} =
\dfrac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$.

]]> $4$

]]> Quotient inversé : le résultat dépasse $1$, ce qu'aucune
probabilité ne fait. C'est $P(A)$ qui est au dénominateur.

]]> $0{,}3$

]]> Soustraction au lieu d'une division : $0{,}3$ est la
probabilité que $A$ se réalise sans $B$.

]]> $0{,}1$

]]> Intersection recopiée : elle mesure les deux événements dans
l'univers entier, alors que la condition le restreint à $A$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q32 : Le chemin qui passe par la branche complémentaire Sur un arbre pondéré, la branche menant à $A$ porte $0{,}6$ et, depuis
$A$, la branche menant à $B$ porte $0{,}3$. Quelle est la probabilité
que $A$ se réalise sans que $B$ se réalise ?

]]> Sur un arbre, les deux branches issues d'un même nœud somment à $1$ :
celle qui mène au contraire de $B$ porte $1 - P_A(B)$. Le chemin
complet s'obtient ensuite en multipliant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}42$

]]> Bonne réponse : la branche complémentaire porte $1 - 0{,}3$, et le
chemin vaut $0{,}6 \times (1 - 0{,}3) = 0{,}42$.

]]> $0{,}18$

]]> Mauvaise branche suivie : ce produit est celui du chemin qui mène
à $B$, et non à son contraire.

]]> $0{,}28$

]]> Deux complémentaires prises : le chemin cherché commence bien par
$A$, dont la probabilité est $0{,}6$.

]]> $1{,}3$

]]> Pondérations additionnées : la somme dépasse parfois $1$, alors que
le long d'un chemin les probabilités se multiplient.

]]> Phénomènes aléatoires — Q33 : Un nœud à trois branches D'un même nœud d'un arbre partent trois branches, correspondant à trois
issues possibles, de probabilités $0{,}2$, $0{,}5$ et $p$. Que vaut $p$ ?

]]> À chaque nœud, les branches décrivent des issues qui s'excluent et
couvrent tous les cas : la somme de leurs probabilités vaut $1$, quel
que soit leur nombre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}3$

]]> Bonne réponse : les trois branches couvrent toutes les issues, donc
$p = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$.

]]> $0{,}7$

]]> Somme des deux branches connues : c'est justement la part déjà
occupée, et $p$ en est le complément à $1$.

]]> $0{,}1$

]]> Multiplication injustifiée : les produits servent le long d'un
chemin, pas entre branches issues du même nœud.

]]> $0{,}8$

]]> Une seule branche retranchée : la deuxième branche occupe elle
aussi une part de la certitude.

]]> Phénomènes aléatoires — Q34 : Deux ateliers, une pièce défectueuse Deux ateliers fabriquent les mêmes pièces : l'atelier A en produit
$60\ \%$ et l'atelier B les $40\ \%$ restants. Dans l'atelier A,
$5\ \%$ des pièces sont défectueuses, contre $10\ \%$ dans
l'atelier B. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard
soit défectueuse ?

]]> Quand un événement se réalise par plusieurs chemins de l'arbre, sa
probabilité est la somme des probabilités de ces chemins, chacune
obtenue en multipliant les pondérations rencontrées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}07$

]]> Bonne réponse : les deux chemins menant à une pièce défectueuse
s'additionnent, chacun pondéré par la taille de son atelier.

]]> $0{,}15$

]]> Taux de défaut additionnés : ils portent sur des productions
différentes et ne s'ajoutent donc pas directement.

]]> $0{,}075$

]]> Moyenne simple des deux taux : elle traiterait les deux ateliers
comme s'ils produisaient autant l'un que l'autre.

]]> $0{,}03$

]]> Un seul chemin retenu : les pièces défectueuses de l'atelier B
comptent elles aussi.

]]> Phénomènes aléatoires — Q35 : Un test très fiable, une maladie rare Dans une population de $100\,000$ personnes, $100$ sont atteintes
d'une maladie. Un test la détecte chez tous les malades, mais il est
aussi positif chez $5\ \%$ des personnes saines. Quelle est la
proportion de malades parmi les personnes testées positives ?

]]> Quand une maladie est rare, les faux positifs, même peu fréquents,
sont prélevés sur un groupe immense et finissent par écraser les vrais
positifs. Un test positif reste alors une alerte, pas un diagnostic.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $2\ \%$

]]> Bonne réponse : les $100$ malades sont positifs, mais
$4\,995$ personnes saines le sont aussi à tort, ce qui fait
$5\,095$ positifs dont très peu de malades.

]]> Environ $95\ \%$

]]> Conditionnement inversé : $95\ \%$ est la part des
personnes saines correctement déclarées négatives, pas la
composition du groupe des positifs.

]]> Environ $50\ \%$

]]> Deux réponses possibles ne font pas deux cas également probables :
les $99\,900$ personnes saines sont bien trop nombreuses.

]]> Environ $0{,}1\ \%$

]]> Population de référence trop large : cette part rapporte les
malades à la population entière, pas aux seuls positifs.

]]> Phénomènes aléatoires — Q36 : Réunion d'événements incompatibles Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles, avec $P(A) = 0{,}3$ et
$P(B) = 0{,}45$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?

]]> La formule générale $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ se
simplifie en une addition dès que les deux événements ne peuvent pas
se produire ensemble.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}75$

]]> Bonne réponse : l'intersection étant vide, il n'y a rien à
retrancher et les deux probabilités s'additionnent.

]]> $0{,}135$

]]> Multiplication injustifiée : un produit calculerait une
intersection, et celle-ci est ici de probabilité nulle.

]]> $0{,}15$

]]> Soustraction injustifiée : la formule ne retranche que
$P(A \cap B)$, qui vaut $0$ pour des événements incompatibles.

]]> $0{,}25$

]]> Complément calculé : cette valeur est la probabilité qu'aucun des
deux événements ne se réalise.

]]> Phénomènes aléatoires — Q37 : Compter les issues favorables On lance un dé équilibré à $10$ faces, numérotées de $1$ à $10$.
Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat strictement supérieur
à $7$ ?

]]> Dans un modèle équiprobable, une probabilité est le quotient du nombre
d'issues favorables par le nombre total d'issues. Tout le travail
consiste à compter correctement les issues favorables.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{10}$

]]> Bonne réponse : les faces favorables vont de $7 + 1$ à $10$, et
chacune des $10$ faces a la même probabilité.

]]> $\dfrac{2}{5}$

]]> Une face de trop : le mot « strictement » exclut le résultat
$7$ lui-même des cas favorables.

]]> $\dfrac{7}{10}$

]]> Mauvais côté compté : cette probabilité est celle d'obtenir un
résultat inférieur ou égal à $7$.

]]> $\dfrac{1}{10}$

]]> Une seule issue comptée : plusieurs faces dépassent $7$, et
chacune convient.

]]> Phénomènes aléatoires — Q38 : Deux tirages sans remise Une boîte contient $5$ stylos bleus et $3$ stylos noirs. On en
prend deux au hasard, l'un après l'autre, sans remettre le premier.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux stylos bleus ?

]]> Sans remise, chaque tirage modifie le contenu de la boîte : numérateur
et dénominateur diminuent tous deux pour la couleur sortie. Les deux
branches du chemin se multiplient ensuite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{5}{14}$

]]> Bonne réponse : le premier stylo est bleu avec la probabilité
$\dfrac{5}{8}$, puis il reste $5 - 1$ bleus parmi
$8 - 1$ stylos.

]]> $\dfrac{25}{64}$

]]> Boîte inchangée : ce calcul décrit un tirage avec remise, où le
premier stylo serait remis avant le second.

]]> $\dfrac{25}{56}$

]]> Numérateur non actualisé : le stylo bleu déjà sorti ne fait plus
partie des bleus disponibles.

]]> $\dfrac{5}{16}$

]]> Dénominateur non actualisé : après le premier tirage, la boîte ne
contient plus que $8 - 1$ stylos.

]]> Phénomènes aléatoires — Q39 : Compter les chemins d'un événement On répète quatre fois une même épreuve à deux issues, succès ou échec.
Combien de chemins de l'arbre réalisent exactement deux succès ?

]]> Pour une probabilité dans une répétition d'épreuves identiques, on
énumère les chemins qui réalisent l'événement, puis on additionne leurs
probabilités, toutes égales entre elles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ chemins

]]> Bonne réponse : il s'agit de choisir les deux rangs des succès
parmi les quatre épreuves, ce qui laisse six possibilités.

]]> $16$ chemins

]]> Nombre total de chemins : $2^4 = 16$ compte toutes les listes de
résultats, dont celles qui ont zéro, un, trois ou quatre succès.

]]> $8$ chemins

]]> Compte trop généreux : la moitié des chemins ne comporte pas
exactement deux succès, comme le montre leur énumération.

]]> $4$ chemins

]]> Nombre d'épreuves recopié : il indique la profondeur de l'arbre,
pas le nombre de chemins favorables.

]]> Phénomènes aléatoires — Q40 : La somme de tous les chemins Dans un arbre pondéré, on calcule la probabilité de chaque chemin
complet, puis on additionne ces probabilités. Que vaut cette somme ?

]]> Les chemins complets d'un arbre forment une liste d'issues qui couvre
tous les cas sans recouvrement. C'est le contrôle le plus sûr d'un
arbre entièrement rempli.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$, quelle que soit la forme de l'arbre

]]> Bonne réponse : les chemins complets décrivent toutes les issues
possibles et s'excluent deux à deux : leur somme est la certitude.

]]> $0{,}5$ dès que l'arbre a deux niveaux

]]> Le nombre de niveaux ne change rien : l'arbre décrit toujours
l'ensemble des issues, quelle que soit sa profondeur.

]]> La somme des probabilités du premier niveau

]]> Cette somme vaut déjà $1$ : les chemins complets ne font que
détailler ces branches sans rien ajouter.

]]> Une valeur qui dépend des pondérations choisies

]]> Les pondérations changent la répartition entre les chemins, jamais
le total, qui reste égal à $1$.

]]> Phénomènes aléatoires — Q41 : Le même jeu avec plus de portes Un jeu propose $10$ portes, dont une seule cache le lot. Vous en
choisissez une, puis l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre
$8$ autres portes, toutes perdantes, et vous propose de prendre la
dernière porte encore fermée. Quelle est votre probabilité de gagner si
vous acceptez ?

]]> Plus il y a de portes, plus l'avantage du changement saute aux yeux :
la porte choisie au départ reste à une chance sur le nombre de portes,
et l'animateur informé concentre tout le reste sur une seule porte.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{9}{10}$

]]> Bonne réponse : votre porte initiale garde sa probabilité
$\dfrac{1}{10}$, et toute la probabilité restante se concentre sur
la dernière porte fermée.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Deux portes restantes ne sont pas deux chances égales :
l'animateur a choisi ses ouvertures en connaissant le lot.

]]> $\dfrac{1}{10}$

]]> C'est la probabilité de gagner en gardant votre porte de départ,
celle que vous aviez avant toute ouverture.

]]> $\dfrac{1}{5}$

]]> Chances doublées au lieu d'être transférées : ce n'est pas un
facteur $2$, c'est tout le reste de la probabilité qui bascule.

]]> Phénomènes aléatoires — Q42 : Un écart suffit-il à accuser la pièce ? Sur $50$ lancers d'une pièce, on obtient $31$ fois pile. Peut-on en
conclure que la pièce est truquée ?

]]> La fréquence observée se rapproche de la probabilité quand le nombre
d'expériences grandit. Sur un petit échantillon, elle fluctue trop pour
qu'un écart modeste accuse le modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : un tel écart est courant sur $50$ lancers

]]> Bonne réponse : sur un échantillon aussi petit, la fréquence
fluctue beaucoup autour de $0{,}5$ sans rien signaler d'anormal.

]]> Oui : $31$ dépasse nettement la moitié de $50$

]]> L'écart est réel mais modeste : il faudrait bien plus de lancers
pour qu'une telle différence devienne significative.

]]> Oui : la fréquence observée n'est pas exactement $0{,}5$

]]> Une fréquence observée ne tombe presque jamais sur la valeur
théorique, même avec une pièce parfaitement équilibrée.

]]> Non : la fréquence finirait par valoir exactement $0{,}5$

]]> Bonne conclusion, mauvais motif : la fréquence se rapproche de
$0{,}5$ sans jamais devoir l'atteindre exactement.

]]> Phénomènes aléatoires — Q43 : Indépendance lue sur des effectifs Un club compte $200$ membres : $120$ filles, dont $60$ viennent
à vélo, et $80$ garçons, dont $40$ viennent à vélo. Les événements
« être une fille » et « venir à vélo » sont-ils indépendants ?

]]> Dans un tableau d'effectifs, l'indépendance se lit en comparant la
proportion conditionnelle à la proportion d'ensemble. Si elles
coïncident, la condition n'apporte aucune information.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : les deux groupes ont la même part de cyclistes

]]> Bonne réponse : elle vaut $\dfrac{1}{2}$ chez les filles comme chez les
garçons, donc connaître le genre n'apprend rien sur le vélo.

]]> Non : le nombre de cyclistes diffère d'un groupe à l'autre

]]> Comparaison d'effectifs bruts : les deux groupes n'ont pas la même
taille, seules leurs proportions sont comparables.

]]> Non : les deux groupes n'ont pas le même effectif

]]> La taille des groupes n'intervient pas : l'indépendance porte sur
les proportions, pas sur les effectifs.

]]> Oui : chaque groupe compte au moins un cycliste

]]> Argument sans rapport : il montre seulement que les deux
événements ne sont pas incompatibles.

]]> Phénomènes aléatoires — Q44 : Un exemple pour trancher On lance un dé équilibré. On note $A$ l'événement « le résultat est
pair » et $B$ l'événement « le résultat est $3$ ». Que dire de $A$ et
de $B$ ?

]]> Deux événements de probabilités non nulles qui ne peuvent pas se
produire ensemble sont toujours dépendants : la réalisation de l'un
interdit l'autre, ce qui est l'information maximale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils sont incompatibles, donc pas indépendants

]]> Bonne réponse : $3$ n'est pas pair, donc $A \cap B$ est vide.
Savoir que $B$ est réalisé rend alors $A$ impossible.

]]> Ils sont indépendants, car les faces sont équiprobables

]]> L'équiprobabilité des faces ne dit rien du lien entre les deux
événements : il faut comparer $P(A \cap B)$ au produit.

]]> Ils sont à la fois incompatibles et indépendants

]]> Impossible ici : $P(A \cap B) = 0$ alors que le produit
$P(A) \times P(B)$ est strictement positif.

]]> Ils ne sont ni incompatibles ni indépendants

]]> Ils sont pourtant incompatibles : aucun résultat du dé ne réalise
les deux événements en même temps.

]]> Phénomènes aléatoires — Q45 : Au moins une panne en trois jours Une machine tombe en panne un jour donné avec la probabilité $0{,}1$,
indépendamment des autres jours. Quelle est la probabilité qu'elle
tombe en panne au moins une fois au cours de trois jours ?

]]> Devant « au moins une fois », on passe par l'événement contraire
« aucune fois », dont la probabilité est un simple produit le long
d'un chemin de l'arbre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}271$

]]> Bonne réponse : le contraire est « aucune panne », de probabilité
$0{,}729$, et il reste $1 - 0{,}729 = 0{,}271$.

]]> $0{,}3$

]]> Probabilités additionnées : ce total compterait plusieurs fois les
journées où la machine tombe en panne deux ou trois fois.

]]> $0{,}001$

]]> Événement bien plus exigeant : ce produit est la probabilité de
tomber en panne les trois jours.

]]> $0{,}729$

]]> Contraire calculé sans être retranché : cette valeur est la
probabilité de n'avoir aucune panne.

]]> Phénomènes aléatoires — Q46 : Exactement deux réussites sur quatre On répète $4$ fois, de façon indépendante, une épreuve dont la
probabilité de succès est $0{,}5$. Combien de chemins de l'arbre
comportent exactement $2$ succès, et quelle est la probabilité
d'obtenir exactement $2$ succès ?

]]> Dans l'arbre à $16$ chemins, on compte ceux qui réalisent
l'événement, puis on additionne leurs probabilités.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$ chemins, probabilité $\dfrac{6}{16}$

]]> Bonne réponse : les chemins SSEE, SESE, SEES, ESSE, ESES et EESS
ont chacun pour probabilité $0{,}5^4 = \dfrac{1}{16}$.

]]> $4$ chemins, probabilité $\dfrac{4}{16}$

]]> Erreur : les deux succès peuvent occuper n'importe quelles
places parmi les quatre ; il y a plus de quatre chemins.

]]> $1$ chemin, probabilité $\dfrac{1}{16}$

]]> Erreur : l'ordre des succès et des échecs varie d'un chemin à
l'autre ; plusieurs chemins réalisent l'événement.

]]> $2$ chemins, probabilité $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : ni le nombre de chemins ni la probabilité ne se
déduisent directement du nombre de succès.

]]> Phénomènes aléatoires — Q47 : Qu'est-ce qu'un faux négatif ? Un test de dépistage d'une maladie donne un résultat positif ou
négatif. Qu'appelle-t-on un faux négatif ?

]]> « Positif » ou « négatif » décrit le résultat du test ; « vrai » ou
« faux » dit si ce résultat correspond à l'état réel de la
personne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une personne malade dont le test est négatif

]]> Bonne réponse : le test est « négatif » et ce résultat est
« faux », puisque la personne est malade. La maladie passe
inaperçue.

]]> Une personne saine dont le test est négatif

]]> Erreur : c'est un vrai négatif, car le résultat négatif
correspond à la réalité.

]]> Une personne saine dont le test est positif

]]> Erreur : c'est un faux positif. Le test signale une maladie
absente.

]]> Une personne malade dont le test est positif

]]> Erreur : c'est un vrai positif, car le test détecte une maladie
bien présente.

]]> Phénomènes aléatoires — Q48 : Compter les faux négatifs Dans une population de $10\,000$ personnes, $200$ sont malades. Un
test est positif pour $95\ \%$ des malades et négatif pour
$97\ \%$ des personnes saines. Combien de faux négatifs ce test
produit-il ?

]]> On sépare d'abord malades et personnes saines, puis on applique à
chaque groupe le pourcentage qui le concerne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : les faux négatifs sont les malades testés
négatifs, soit $5\ \%$ des $200$ malades.

]]> $190$

]]> Erreur : $190$ est le nombre de malades testés positifs, les
vrais positifs.

]]> $294$

]]> Erreur : $294$ compte les personnes saines testées positives,
c'est-à-dire les faux positifs.

]]> $304$

]]> Erreur : $304$ compte toutes les erreurs du test, faux
positifs compris. Seuls les malades testés négatifs sont des
faux négatifs.

]]> Phénomènes aléatoires — Q49 : Le « croix ou pile » de d'Alembert On lance deux fois une pièce équilibrée et l'on gagne si Pile sort
au moins une fois. D'Alembert raisonnait ainsi : si Pile sort au
premier lancer, on s'arrête ; il n'y a donc que trois cas, P, FP et
FF, dont deux gagnants. Quelle est la probabilité de gagner ?

]]> Avant de compter des cas favorables, on vérifie que les issues sont
équiprobables. Ici, on raisonne sur les deux lancers, même quand le
jeu s'arrête plus tôt.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{4}$

]]> Bonne réponse : les quatre issues PP, PF, FP et FF sont
équiprobables, et trois contiennent Pile. Le cas « P » de
d'Alembert regroupe PP et PF.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> C'est l'erreur de d'Alembert : ses trois cas ne sont pas
équiprobables. P a une probabilité $\dfrac{1}{2}$, FP et FF
chacun $\dfrac{1}{4}$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir Pile en un
seul lancer ; le second lancer donne une seconde chance.

]]> $\dfrac{1}{4}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{4}$ est la probabilité de perdre, celle de
l'issue FF.

]]> Phénomènes aléatoires — Q50 : Le lièvre et la tortue On lance un dé équilibré. Si le 6 sort, le lièvre gagne aussitôt ;
sinon, la tortue avance d'une case. La tortue gagne si elle avance
quatre fois, c'est-à-dire si aucun 6 ne sort en quatre lancers
indépendants. Quelle est la probabilité que la tortue gagne ?

]]> Pour $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, la probabilité d'un
chemin de l'arbre est le produit des probabilités de ses
branches.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}482$

]]> Bonne réponse : chaque lancer évite le 6 avec la probabilité
$\dfrac{5}{6}$ ; les lancers étant indépendants, on multiplie
sur le seul chemin gagnant de l'arbre.

]]> $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518$

]]> Erreur : c'est la probabilité qu'au moins un 6 sorte en quatre
lancers, donc que le lièvre gagne.

]]> $1 - 4 \times \dfrac{1}{6} \approx 0{,}333$

]]> Erreur : on ne peut pas additionner les probabilités de sortie
du 6 sur chaque lancer, car ces événements ne sont pas
incompatibles.

]]> $\dfrac{5}{6} \approx 0{,}833$

]]> Erreur : c'est la probabilité de survivre à un seul lancer. La
tortue doit éviter le 6 quatre fois de suite.

]]> Phénomènes aléatoires — Q51 : Le problème des partis Deux joueurs de même force misent chacun $32$ pistoles ; le premier
qui gagne trois manches remporte les $64$ pistoles. La partie est
interrompue quand A a gagné deux manches et B une. Comment partager
équitablement la mise, selon Pascal et Fermat ?

]]> Le partage équitable attribue à chaque joueur la mise multipliée
par sa probabilité de gagner si la partie continuait.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $48$ pistoles pour A et $16$ pour B

]]> Bonne réponse : B ne gagnerait qu'en remportant les deux manches
suivantes, avec la probabilité $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}
= \dfrac{1}{4}$. A reçoit les $\dfrac{3}{4}$ de la mise.

]]> $32$ pistoles pour chacun des deux

]]> Erreur : rendre les mises ignore l'avance de A, qui a plus de
chances de l'emporter.

]]> Environ $42{,}67$ pour A et $21{,}33$ pour B

]]> Erreur : un partage proportionnel aux manches déjà gagnées
regarde le passé. Pascal et Fermat partagent selon les chances
de gagner la suite.

]]> $64$ pistoles pour A et rien pour B

]]> Erreur : A n'a pas encore gagné ; B peut encore l'emporter avec
une probabilité de $\dfrac{1}{4}$.

]]>