$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation exponentielle Suites géométriques à termes strictement positifs (récurrence,
terme de rang $n$, sens de variation, représentation),
fonctions exponentielles $x \mapsto a^x$ ($a > 0$,
$x \geq 0$) : propriétés admises des puissances, exposant
$\frac{1}{n}$, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil,
ordres de grandeur.

]]> Variation exponentielle — Q01 : Reconnaître une croissance exponentielle Un capital placé à intérêts composés de $5\ \%$ par an
est multiplié par $1{,}05$ chaque année. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Taux d'évolution constant $\Leftrightarrow$ suite géométrique
de raison le coefficient multiplicateur ($1{,}05$ pour
$+5\ \%$). C'est le modèle de toutes les croissances
exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Géométrique, de raison $1{,}05$

]]> Bonne réponse : un taux d'évolution constant se
traduit par un facteur multiplicatif constant : modèle
géométrique (croissance exponentielle).

]]> Arithmétique, de raison $1{,}05$

]]> Erreur : arithmétique signifierait ajouter $1{,}05$
euro par an. Ici on multiplie : les intérêts produisent
des intérêts.

]]> Géométrique, de raison $0{,}05$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}05$ effondrerait le capital
à $5\ \%$ de sa valeur. Le coefficient d'une hausse de
$5\ \%$ est $1 + 0{,}05 = 1{,}05$.

]]> Arithmétique, de raison $5$

]]> Erreur : $+5$ euros par an correspondrait à des intérêts
simples (calculés sur le capital initial seulement).

]]> Variation exponentielle — Q02 : Formule explicite Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par
$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital
$u(n)$ après $n$ années ?

]]> Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :
$u(n) = u(0) \times q^n$. Ici $2000 \times 1{,}05^n$ :
après $10$ ans, environ $3258$ euros.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u(n) = 2000 \times 1{,}05^n$

]]> Bonne réponse : $n$ multiplications successives par
$1{,}05$ se condensent en une puissance : $1{,}05^n$.

]]> $u(n) = 2000 + 0{,}05\,n$

]]> Erreur : cette formule ajoute $5$ centimes par an
(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés
multiplient.

]]> $u(n) = 2000 \times 0{,}05^n$

]]> Erreur : élever $0{,}05$ à la puissance écrase le
capital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}05$.

]]> $u(n) = 2000 \times 1{,}05 \times n$

]]> Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance
linéaire. La répétition du facteur exige une
puissance : $1{,}05^n$.

]]> Variation exponentielle — Q03 : Sens de variation Soit la suite géométrique $u(n) = 50 \times 0{,}9^n$
(termes strictement positifs). Quel est son sens de
variation ?

]]> Suite géométrique à termes positifs : croissante si $q > 1$,
décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante

]]> Bonne réponse : la raison $0{,}9$ est entre $0$ et $1$.
Multiplier une quantité positive par $0{,}9$ la diminue
de $10\ \%$ à chaque rang : $50$ ; $45$ ; $40{,}5$…

]]> Croissante

]]> Erreur : le premier terme $50$ est positif, mais il
donne l'échelle, pas la direction. C'est la position de
la raison par rapport à $1$ qui décide.

]]> Décroissante puis croissante

]]> Erreur : une suite géométrique à termes positifs garde
le même sens de variation d'un bout à l'autre ;
multiplier par $0{,}9$ réduit à chaque rang, sans jamais
remonter.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici
chaque terme perd $10\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q04 : L'exposant $\frac{1}{n}$ Que vaut $2^{1/2}$ (deux à la puissance un demi) ?

]]> Extension des puissances (admise au programme) : $a^{1/n} =$
racine $n$-ième de $a$, seule valeur compatible avec
$\left(a^{1/n}\right)^n = a^1$. Clé du taux d'évolution
moyen.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{2}$

]]> Bonne réponse : $a^{1/n}$ est la racine $n$-ième de $a$ :
le nombre positif dont la puissance $n$ redonne $a$.
Contrôle : $\left(2^{1/2}\right)^2 = 2^1 = 2$. Valeur
approchée : $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ s'obtient avec $2^0$, avec $\dfrac{2}{2}$ ou
avec $2 \times \dfrac{1}{2}$, mais aucune de ces
opérations ne traduit l'exposant $\dfrac{1}{2}$ :
$1^2 = 1 \neq 2$, alors que $\left(2^{1/2}\right)^2$ doit
valoir $2$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Confusion avec l'exposant négatif : $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$,
mais l'exposant vaut ici $+\dfrac{1}{2}$. Contrôle :
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} \neq 2$, alors
que $\left(2^{1/2}\right)^2 = 2$.

]]> $1{,}5$

]]> Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 \neq 2$. La valeur exacte est
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$.

]]> Variation exponentielle — Q05 : Propriétés de $a^x$ Pour $a > 0$ et $x, y \geq 0$, que vaut
$a^x \times a^y$ ?

]]> Les fonctions exponentielles $x \mapsto a^x$ héritent des
règles des puissances : $a^x a^y = a^{x+y}$,
$\left(a^x\right)^y = a^{xy}$, $a^0 = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^{x+y}$

]]> Bonne réponse : la règle des puissances entières
s'étend (elle est admise) aux exposants réels : produit
des puissances $=$ somme des exposants.

]]> $a^{xy}$

]]> Erreur : le produit des exposants correspond à
$\left(a^x\right)^y$, la puissance de puissance.

]]> $2a^{x+y}$

]]> Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît :
$a^x a^y = a^{x+y}$ tout court.

]]> $a^x + a^y$

]]> Erreur : le produit des puissances ne devient pas
une somme de puissances ; ce sont les exposants qui
s'additionnent.

]]> Variation exponentielle — Q06 : Taux d'évolution moyen Une grandeur a augmenté de $21\ \%$ en deux ans. Quel est le
taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Taux moyen sur $n$ périodes : le coefficient global élevé à
la puissance $\frac{1}{n}$ (racine $n$-ième). Ici
$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$ : $+10\ \%$ par an. Jamais de
division du taux global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10\ \%$ par an, car $1{,}1^2 = 1{,}21$

]]> Bonne réponse : le taux moyen est celui qui, répété deux
fois, reproduit l'évolution globale : coefficient
$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$, soit $+10\ \%$ par an.

]]> $10{,}5\ \%$ par an, la moitié de $21\ \%$

]]> Le piège de la division : les taux ne se moyennent pas
arithmétiquement, car ils se composent par produit.
Vérifie : $1{,}105^2 = 1{,}221 \neq 1{,}21$.

]]> $21\ \%$ par an

]]> Erreur : $21\ \%$ est le taux global sur deux ans,
pas le taux annuel.

]]> $4{,}58\ \%$ par an

]]> Erreur : $1{,}0458^2 \approx 1{,}094$, soit seulement $+9{,}4\ \%$ en deux ans. Le taux annuel moyen vérifie $(1 + t)^2 = 1{,}21$ :
$\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, soit $10\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q07 : Un autre taux moyen Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par
$1{,}44$ en deux ans. Quel taux annuel moyen cela
représente-t-il ?

]]> Même méthode : coefficient moyen $= 1{,}44^{1/2} = 1{,}2$,
taux moyen $= 20\ \%$. L'exposant $\frac{1}{n}$ du programme
sert exactement à cela.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+20\ \%$ par an

]]> Bonne réponse : $1{,}44^{1/2} = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ :
deux hausses successives de $20\ \%$ reconstituent bien
$1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44$.

]]> $+22\ \%$ par an

]]> Le piège de la division, $44 \div 2 = 22$ : or $1{,}22^2
= 1{,}4884 \neq 1{,}44$. Le taux moyen passe par la
racine carrée du coefficient global.

]]> $+44\ \%$ par an

]]> Erreur : $+44\ \%$ est l'évolution totale sur deux
ans, pas annuelle.

]]> $+1{,}2\ \%$ par an

]]> Confusion : $1{,}2$ est le coefficient annuel moyen ;
le taux correspondant est sa partie au-delà de $1$ :
$20\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q08 : Décroissance par demi-vie Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à
chaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux
reste-t-il après trois demi-vies ?

]]> Décroissance exponentielle type (datation au carbone 14) :
après $n$ demi-vies, il reste $\left(\frac{1}{2}\right)^n$
de la quantité initiale. Trois demi-vies : $\frac{1}{8}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{8}$

]]> Bonne réponse : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 =
\dfrac{1}{8}$ : moitié, puis quart, puis huitième.

]]> $\dfrac{1}{6}$

]]> Erreur : $\frac{1}{2} \times 3$ au dénominateur ? Les
moitiés se composent par produit :
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Erreur : perdre la moitié trois fois ne laisse pas un
tiers, mais un huitième (chaque moitié porte sur le
reste).

]]> $0$ : tout a disparu

]]> Erreur : une décroissance exponentielle ne s'annule
jamais exactement : il reste toujours une fraction
(ici $12{,}5\ \%$).

]]> Variation exponentielle — Q09 : Problème de seuil exponentiel Une population de bactéries double chaque heure. Elle
compte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de
combien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?

]]> Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les
puissances ($100 \times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à
la main, au tableur ou par calculatrice : $n = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ heures

]]> Bonne réponse : $100 \to 200 \to 400 \to 800 \to 1600$ :
après $4$ doublements, $100 \times 2^{4} = 1600 > 1500$
(et $800 < 1500$ après $3$).

]]> $15$ heures

]]> Erreur de modèle : $15 = 1500/100$ raisonne
linéairement. Le doublement répété va beaucoup plus
vite : $4$ heures suffisent.

]]> $3$ heures

]]> Erreur : $100 \times 2^{3} = 800 < 1500$ : le seuil n'est
pas encore franchi.

]]> $8$ heures

]]> Erreur : après $8$ heures, le seuil de $1500$ est dépassé
depuis longtemps (dès l'heure $4$).

]]> Variation exponentielle — Q10 : Ordre de grandeur d'un doublement répété Une quantité double $10$ fois de suite. Par quel facteur
global est-elle environ multipliée ?

]]> Estimer les ordres de grandeur exponentiels (capacité
attendue) : $2^{10} = 1024 \approx 10^3$. L'intuition
linéaire (« $\times 20$ ») sous-estime massivement les
croissances exponentielles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $1000$

]]> Bonne réponse : dix doublements font $2^{10} = 1024
\approx 10^3$. Ordre de grandeur précieux : « dix
doublements $\approx$ un facteur mille ».

]]> Environ $20$

]]> L'erreur linéaire type ($2 \times 10 = 20$) : les
doublements se multiplient entre eux, ils ne
s'additionnent pas : $2^{10} = 1024 \approx 1000$,
environ cinquante fois plus que $20$.

]]> Environ $100$

]]> Erreur : $100 = 10^2$ sous-estime : $2^{10} = 1024$,
soit environ $10^3$.

]]> Environ $500$

]]> Presque : $500$ est proche de $2^9 = 512$, le facteur
atteint après neuf doublements. Le dixième doublement
porte à $2^{10} = 1024$.

]]> Variation exponentielle — Q11 : Exponentiel contre linéaire Une population croît de $2\ \%$ par an (exponentiel) ; ses
ressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an
(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se
passe-t-il à long terme ?

]]> Modèle de Malthus (au programme) : géométrique contre
arithmétique. À long terme, l'exponentielle l'emporte
toujours sur le linéaire, quel que soit le taux. D'où
l'importance de reconnaître la nature d'une croissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La population finit toujours par croître plus vite que
les ressources

]]> Bonne réponse : toute croissance exponentielle (même à
petit taux) finit par dépasser n'importe quelle
croissance linéaire : les courbes se croisent
inévitablement.

]]> Les ressources gardent l'avantage si leur croissance
annuelle est assez grande

]]> Erreur : un ajout constant, aussi généreux soit-il, est
tôt ou tard rattrapé par la multiplication répétée :
l'exponentielle gagne toujours à long terme.

]]> Les deux croissances restent proportionnelles

]]> Erreur : leurs formes diffèrent radicalement (droite
contre courbe qui s'accélère) : l'écart se creuse au lieu
de rester proportionnel.

]]> Le modèle ne permet aucune conclusion

]]> Erreur : le modèle conclut nettement (c'est sa force et
sa limite : la réalité peut ensuite dévier du modèle,
mais lui est sans ambiguïté).

]]> Variation exponentielle — Q12 : Le facteur de reproduction d'une épidémie Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en
moyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant
d'un cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à
la quatrième génération de contaminations ?

]]> Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :
cas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 3$, la
croissance est explosive ($81$ cas à la génération $4$) :
d'où l'enjeu de faire passer $R_0$ sous $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3^4 = 81$

]]> Bonne réponse : chaque génération multiplie par $3$ :
$1 \to 3 \to 9 \to 27 \to 81$ : suite géométrique de
raison $R_0$.

]]> $3 \times 4 = 12$

]]> L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de
génération en génération, elles ne s'additionnent pas :
$3^4 = 81$.

]]> $4^3 = 64$

]]> Base et exposant échangés : le facteur $3$ se répète
$4$ fois : $3^4$, pas $4^3$.

]]> $27$

]]> Presque : $27 = 3^{3}$ est la troisième génération. La
quatrième multiplie encore par $3$ : $81$.

]]> Variation exponentielle — Q13 : La puissance $a^0$ Pour $a > 0$, que vaut $a^0$ ?

]]> $a^0 = 1$ : le point de départ de toute croissance
exponentielle ($V_0 \times a^0 = V_0$ : au temps zéro, la
valeur initiale). Les courbes $y = a^x$ passent toutes par
$(0\ ;\ 1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $a^0 = 1$ pour tout $a > 0$ : cohérent
avec la règle des quotients : $\frac{a^n}{a^n} = a^0 =
1$.

]]> $0$

]]> Erreur : l'exposant $0$ ne signifie pas « rien » mais
« produit vide » : la valeur neutre est $1$.

]]> $a$

]]> Décalage : $a = a^1$ : l'exposant $0$ descend d'un cran
en dessous : $1$.

]]> Cela dépend de $a$

]]> Erreur : $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $0{,}5^0 = 1$ : la
valeur est universelle (pour $a > 0$).

]]> Variation exponentielle — Q14 : Trois années de croissance Une population augmente de $2\ \%$ chaque année. Par quel
nombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?

]]> Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \times (1 + t)^n$ :
la durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux
($6{,}12\ \%$ contre $6\ \%$) : les fameux intérêts
composés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}02^3 \approx 1{,}0612$

]]> Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}02$ : les
$3$ années s'enchaînent, et le produit des coefficients
vaut un peu PLUS que $+6\ \%$.

]]> $1{,}06$ exactement

]]> Addition des taux : $3 \times 2\ \% = 6\ \%$ néglige
les intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}02^3
\approx 1{,}0612$.

]]> $3 \times 1{,}02 = 3{,}06$

]]> Erreur : multiplier par $3$ multiplierait la population
par $3$ : les évolutions s'enchaînent en puissance, pas
en produit par le nombre d'années.

]]> $1{,}02 + 3$

]]> Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la
durée devient l'exposant : $1{,}02^3$.

]]> Variation exponentielle — Q15 : Deux baisses de $10\ \%$ Une valeur baisse de $10\ \%$ par an pendant deux ans.
Quelle est la baisse totale ?

]]> Baisses répétées : multiplier les coefficients ($0{,}9^n$),
puis convertir en taux ($1 - 0{,}81 = 19\ \%$). Les baisses
successives s'amortissent : on ne peut jamais perdre plus de
$100\ \%$ !

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $19\ \%$

]]> Bonne réponse : deux années à $\times 0{,}9$ :
$0{,}9^2 = 0{,}81$, soit $-19\ \%$ : la deuxième baisse
porte sur une valeur déjà réduite, elle retire donc un peu
moins.

]]> $20\ \%$

]]> Addition des taux : presque, mais faux : $0{,}9 \times
0{,}9 = 0{,}81 \neq 0{,}80$ : le point d'écart est la
baisse « évitée » sur la partie déjà perdue.

]]> $81\ \%$

]]> Confusion : $81\ \%$ est ce qui reste, pas ce qui
disparaît : la baisse est le complément : $19\ \%$.

]]> $1\ \%$

]]> Erreur : $1\ \%$ vient du produit des taux
$0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01$ ; mais ce sont les
coefficients multiplicateurs qui se multiplient, pas les
taux : $0{,}9 \times 0{,}9 = 0{,}81$, soit une baisse de
$19\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q16 : Capital à intérêts composés Un capital de $1\,000$ euros est placé à $4\ \%$ par an
(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?

]]> Intérêts composés : $C_n = C_0 \times (1 + t)^n$ : le modèle
exponentiel du placement. La différence avec les intérêts
simples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les
années.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1\,081{,}60$ euros

]]> Bonne réponse : $1\,000 \times 1{,}04^2 = 1\,000 \times
1{,}0816$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur
les intérêts ($1{,}60$ euro de plus que $2 \times 40$).

]]> $1\,080$ euros

]]> Intérêts simples : $2 \times 40$ euros ignore les
intérêts produits par les premiers intérêts : composés,
on obtient $1\,081{,}60$.

]]> $1\,008$ euros

]]> Erreur d'échelle : $4\ \%$ de $1\,000$ vaut $40$ euros
par an, pas $4$ : après deux ans composés :
$1\,081{,}60$.

]]> $2\,080$ euros

]]> Erreur : le capital ne double pas en deux ans à
$4\ \%$ : chaque année multiplie par $1{,}04$, pas par
$2$.

]]> Variation exponentielle — Q17 : Le duel à long terme Modèle A : $+1\,000$ par an (linéaire). Modèle B :
$+1\ \%$ par an (exponentiel), départ $10\,000$. Que
dire du long terme ?

]]> Loi générale : toute exponentielle (raison $> 1$) finit par
dépasser toute suite linéaire, quel que soit le handicap de
départ. Le croisement peut être lointain : c'est la morale
des placements, des épidémies et des dettes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc B finit toujours par dépasser A

]]> Bonne réponse : une croissance exponentielle dépasse tôt
ou tard toute croissance linéaire. Les gains de B
grossissent avec la valeur ($1\ \%$ d'une somme qui
enfle), ceux de A restent figés à $1\,000$ :
l'exponentielle gagne le marathon, même partie très
lentement.

]]> A garde toujours l'avantage

]]> Vrai au départ ($1\,000 > 1\ \%$ de $10\,000 = 100$),
faux à terme : quand la valeur de B atteint $100\,000$,
son gain annuel rejoint les $1\,000$ de A… puis les
dépasse sans retour.

]]> Ils restent à égalité de rythme

]]> Erreur : l'un ajoute une constante, l'autre un
pourcentage croissant : les rythmes divergent
inexorablement.

]]> Impossible à dire sans la durée exacte

]]> Erreur : le résultat asymptotique est un théorème : SANS
connaître la date de croisement, on sait qu'elle existe.

]]> Variation exponentielle — Q18 : Deux demi-vies du carbone 14 Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les
$5\,730$ ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après
$11\,460$ ans (deux demi-vies) ?

]]> Décroissance par demi-vie : quantité restante $=
\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ après $n$ demi-vies : le
modèle exponentiel de la datation au carbone 14. Jamais
zéro : chaque période divise, elle ne soustrait pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25\ \%$ : la moitié de la moitié

]]> Bonne réponse : chaque demi-vie multiplie par
$\frac{1}{2}$ : deux demi-vies : $\left(\frac{1}{2}
\right)^2 = \frac{1}{4}$.

]]> $0\ \%$ : deux moitiés font un tout

]]> Addition des baisses : faux : la deuxième moitié porte
sur ce qui reste : on ne descend jamais à zéro, on
divise par $2$ à chaque période.

]]> $50\ \%$

]]> Une seule demi-vie : $11\,460 = 2 \times 5\,730$ : DEUX
périodes se sont écoulées : $\frac{1}{4}$.

]]> $75\ \%$

]]> Confusion : $75\ \%$ est la proportion disparue :
il en reste $25\ \%$.

]]> Variation exponentielle — Q19 : Reconnaître une suite géométrique Parmi ces suites, laquelle est géométrique ?

]]> Une suite est géométrique lorsque le quotient de deux termes consécutifs
est constant. Ce quotient est la raison de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_{n+1} = 0{,}9u_n$

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours
par le même nombre, ici $0{,}9$.

]]> $u_{n+1} = u_n - 9$

]]> Cette relation retranche un nombre fixe : la suite est arithmétique,
pas géométrique.

]]> $u_{n+1} = nu_n$

]]> Le facteur change à chaque rang, donc la raison n'est pas constante.

]]> $u_{n+1} = u_n + 0{,}9n$

]]> On ajoute une quantité variable : ni la différence ni le quotient ne
sont constants.

]]> Variation exponentielle — Q20 : Raison et taux d'évolution Une population augmente de $6$ % par an.
Quelle est la raison de la suite géométrique associée ?

]]> Une évolution de $t$ % par période correspond à une suite géométrique de
raison $1 + \dfrac{t}{100}$. Une raison supérieure à $1$ signale une
croissance.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}06$

]]> Bonne réponse : la raison est le coefficient multiplicateur, soit
$1 + 0{,}06$.

]]> $0{,}06$

]]> Taux recopié : multiplier par $0{,}06$ ferait perdre $94$ % de la
population chaque année.

]]> $6$

]]> Pourcentage recopié : la population serait multipliée par six chaque
année.

]]> $0{,}94$

]]> Coefficient d'une baisse de $6$ % : ici la population augmente.

]]> Variation exponentielle — Q21 : Un capital qui double Un capital placé à $5$ % par an double au bout de combien d'années ?

]]> Un problème de seuil sur une suite géométrique se résout en calculant les
puissances successives de la raison, jusqu'à dépasser la valeur visée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $15$ ans

]]> Bonne réponse : $1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ et
$1{,}05^{15} \approx 2{,}08$, le doublement est atteint la
quinzième année.

]]> $20$ ans

]]> Raisonnement additif : ajouter vingt fois $5$ % ignore les intérêts
des intérêts, qui accélèrent la croissance.

]]> $10$ ans

]]> Au bout de dix ans, le coefficient vaut $1{,}05^{10} \approx 1{,}63$,
donc le capital n'a pas encore doublé.

]]> $5$ ans

]]> Taux confondu avec une durée : $1{,}05^5 \approx 1{,}28$, soit une
hausse de $28$ % seulement.

]]> Variation exponentielle — Q22 : Terme général d'une suite géométrique Une suite géométrique a pour premier terme $u_0 = 200$ et pour raison
$1{,}1$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?

]]> Pour une suite géométrique commençant au rang $0$, on a
$u_n = u_0 \times q^n$. Si elle commence au rang $1$, l'exposant devient
$n - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_n = 200 \times 1{,}1^n$

]]> Bonne réponse : après $n$ multiplications par $1{,}1$, le premier
terme est multiplié par $1{,}1^n$.

]]> $u_n = 200 + 1{,}1n$

]]> Modèle arithmétique : la raison s'ajouterait au lieu de se
multiplier.

]]> $u_n = 200^n \times 1{,}1$

]]> Rôles échangés : c'est la raison qui est élevée à la puissance $n$,
pas le premier terme.

]]> $u_n = 200 \times 1{,}1^{n-1}$

]]> Formule du premier terme de rang $1$ : ici $u_0$ doit valoir $200$,
ce qui impose l'exposant $n$.

]]> Variation exponentielle — Q23 : Produit de deux puissances Pour $a > 0$, à quoi $a^3 \times a^5$ est-il égal ?

]]> La propriété $a^x \times a^y = a^{x+y}$, admise en première, se vérifie
sur des exposants entiers en comptant les facteurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^{8}$

]]> Bonne réponse : les exposants s'additionnent lorsqu'on multiplie deux
puissances d'un même nombre.

]]> $a^{15}$

]]> Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de
puissance, $(a^3)^5$.

]]> $a^{2}$

]]> Exposants soustraits : cette règle vaut pour un quotient,
$\dfrac{a^5}{a^3}$.

]]> $2a^{8}$

]]> Coefficient inventé : multiplier deux puissances ne fait apparaître
aucun facteur supplémentaire.

]]> Variation exponentielle — Q24 : Un taux moyen sur deux ans Un prix augmente de $21$ % sur deux ans.
Quel est le taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Le taux moyen est celui qui, appliqué à chaque période, donne la même
évolution globale. On le trouve en cherchant le coefficient dont la
puissance égale le coefficient global.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$ %

]]> Bonne réponse : $1{,}1^2 = 1{,}21$, donc le coefficient annuel moyen
vaut $1{,}1$.

]]> $10{,}5$ %

]]> Taux divisé par deux : les taux ne se partagent pas, ce sont les
coefficients qui se multiplient.

]]> $21$ %

]]> Taux global recopié : appliqué deux fois, il donnerait une hausse de
$46{,}4$ %.

]]> $11$ %

]]> Estimation approximative : $1{,}11^2 = 1{,}2321$, ce qui dépasse la
hausse constatée.

]]> Variation exponentielle — Q25 : Sens de variation selon la raison Une suite géométrique à termes strictement positifs a pour raison
$0{,}7$. Comment varie-t-elle ?

]]> Pour une suite géométrique à termes positifs, une raison supérieure à $1$
donne une suite croissante, une raison comprise entre $0$ et $1$ une suite
décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est décroissante

]]> Bonne réponse : multiplier par un nombre compris entre $0$ et $1$
diminue chaque terme.

]]> Elle est croissante

]]> La croissance demanderait une raison supérieure à $1$ pour des termes
positifs.

]]> Elle est constante

]]> Seule une raison égale à $1$ laisserait les termes inchangés.

]]> Elle alterne entre hausse et baisse

]]> L'alternance viendrait d'une raison négative, exclue ici puisque les
termes sont positifs.

]]> Variation exponentielle — Q26 : Le linéaire finit par perdre Une grandeur $A$ gagne $100$ unités par an, une grandeur $B$ augmente
de $10$ % par an. Que se passe-t-il à long terme ?

]]> Dans un modèle linéaire, l'accroissement est constant ; dans un modèle
exponentiel, il est proportionnel à la valeur atteinte, donc lui-même
croissant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $B$ finit toujours par dépasser $A$

]]> Bonne réponse : une croissance exponentielle finit par dépasser
n'importe quelle croissance linéaire, quel que soit le point de
départ.

]]> $A$ reste devant indéfiniment

]]> Les gains annuels de $B$ augmentent sans limite, alors que ceux de $A$
restent fixés à $100$ unités.

]]> Les deux finissent par se rejoindre

]]> Elles se croisent une fois, puis l'écart se creuse au profit de $B$.

]]> Cela dépend uniquement des valeurs de départ

]]> Le point de départ change seulement la date du croisement, jamais son
existence.

]]> Variation exponentielle — Q27 : Une racine écrite en exposant Pour $a > 0$, à quoi le nombre $a^{\frac{1}{2}}$ est-il égal ?

]]> L'exposant $\dfrac{1}{n}$ correspond à la racine $n$-ième. C'est la
convention qui rend la propriété $a^x \times a^y = a^{x+y}$ valable pour
tous les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{a}$

]]> Bonne réponse : ce nombre élevé au carré redonne $a$, puisque
$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^1$.

]]> $\dfrac{a}{2}$

]]> Exposant lu comme un facteur : pour $a = 16$, la moitié vaut $8$ alors
que la racine vaut $4$.

]]> $\dfrac{1}{a^2}$

]]> C'est $a^{-2}$ : l'exposant fractionnaire et l'exposant négatif ne
jouent pas le même rôle.

]]> $2a$

]]> Pour $a = 16$, ce calcul donnerait $32$, très loin de la racine carrée
qui vaut $4$.

]]> Variation exponentielle — Q28 : Une baisse répétée Une machine perd $15$ % de sa valeur chaque année.
Quelle part de sa valeur initiale lui reste-t-il après trois ans ?

]]> Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.
Trois baisses de $15$ % donnent $0{,}85^3$, et non une baisse de $45$ %.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $61{,}4$ %

]]> Bonne réponse : $0{,}85^3 \approx 0{,}614$.

]]> Exactement $55$ %

]]> Taux additionnés : retrancher trois fois $15$ % surestime la perte,
car chaque baisse porte sur une valeur déjà réduite.

]]> Exactement $45$ %

]]> Complément de la réponse précédente : la perte réelle vaut environ
$38{,}6$ %.

]]> Exactement $85$ %

]]> Une seule année prise en compte : il reste deux baisses à appliquer.

]]> Variation exponentielle — Q29 : Un exposant négatif Pour $a > 0$, à quoi $a^{-2}$ est-il égal ?

]]> La convention $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ prolonge la règle du quotient :
$\dfrac{a^2}{a^4}$ vaut à la fois $a^{-2}$ et $\dfrac{1}{a^2}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{a^2}$

]]> Bonne réponse : un exposant négatif donne l'inverse de la puissance
correspondante.

]]> $-a^2$

]]> Signe déplacé : la puissance d'un nombre strictement positif est
toujours positive.

]]> $-\dfrac{1}{a^2}$

]]> Même remarque : le signe moins porte sur l'exposant, pas sur le
résultat.

]]> $a^2$

]]> Exposant négatif ignoré : pour $a = 3$, on obtiendrait $9$ au lieu de
$\dfrac{1}{9}$.

]]> Variation exponentielle — Q30 : L'allure d'une croissance exponentielle Comment se présentent les points d'une suite géométrique croissante à
termes positifs ?

]]> Une suite géométrique croissante progresse par multiplications
successives : chaque pas est plus grand que le précédent, d'où la courbe
qui s'envole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ils montent de plus en plus vite

]]> Bonne réponse : l'écart entre deux termes consécutifs est
proportionnel au terme atteint, donc il augmente.

]]> Ils sont alignés sur une droite

]]> L'alignement caractérise les suites arithmétiques, dont
l'accroissement est constant.

]]> Ils montent de plus en plus lentement

]]> Ce serait le cas d'une croissance qui ralentit, comme celle de la
fonction racine carrée.

]]> Ils oscillent autour d'une valeur

]]> L'oscillation viendrait d'une raison négative, exclue pour une suite à
termes positifs.

]]> Variation exponentielle — Q31 : Deux exposants nuls Combien vaut $7^0 + 5^0$ ?

]]> Pour tout nombre $a$ strictement positif, $a^0 = 1$. Cette convention
prolonge la règle du quotient et fait passer toutes les courbes
$y = a^x$ par le point de coordonnées $(0\ ;\ 1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : $7^0 = 1$ et $5^0 = 1$, quelle que soit la base
strictement positive, donc la somme vaut $1 + 1 = 2$.

]]> $0$

]]> Exposant confondu avec le résultat : l'exposant $0$ ne rend pas la
puissance nulle, il la ramène à $1$. La somme vaut donc $2$.

]]> $12$

]]> Exposants ignorés : $7 + 5$ serait la réponse si les deux
exposants valaient $1$. Avec l'exposant $0$, chaque terme vaut $1$.

]]> $35$

]]> Opération changée : l'énoncé demande une somme, et chaque puissance
d'exposant $0$ vaut $1$, ce qui donne $2$.

]]> Variation exponentielle — Q32 : Retrouver la raison Une suite géométrique vérifie $u_3 = 40$ et $u_4 = 100$.
Quelle est sa raison ?

]]> La raison d'une suite géométrique s'obtient en divisant un terme par le
précédent : $q = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Ce quotient est le même à tous
les rangs, ce qui permet de le calculer sur le couple de son choix.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}5$

]]> Bonne réponse : la raison est le quotient d'un terme par le
précédent, soit $\dfrac{100}{40} = 2{,}5$.

]]> $60$

]]> Différence prise pour la raison : $100 - 40$ serait la raison
d'une suite arithmétique. Ici il faut diviser.

]]> $0{,}4$

]]> Quotient à l'envers : on divise le terme d'arrivée par celui de
départ, donc $\dfrac{100}{40}$ et non l'inverse.

]]> $100$

]]> Terme recopié : $100$ est une valeur de la suite, pas le facteur
qui fait passer d'un terme au suivant.

]]> Variation exponentielle — Q33 : Repérer un modèle exponentiel Parmi ces quatre évolutions d'un loyer, laquelle relève d'un modèle
exponentiel ?

]]> Un modèle est exponentiel lorsque la grandeur est multipliée par un même
nombre à chaque période. Ajouter toujours la même quantité donne au
contraire un modèle linéaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un loyer augmenté de $2\ \%$ chaque année

]]> Bonne réponse : un pourcentage fixe signifie un coefficient
multiplicateur fixe, ici $1{,}02$, donc un modèle exponentiel.

]]> Un loyer augmenté de $20$ euros chaque année

]]> Ajout fixe : la hausse ne dépend pas du loyer atteint, c'est un
modèle linéaire, pas exponentiel.

]]> Un loyer augmenté de $60$ euros tous les trois ans

]]> Ajout fixe encore, simplement plus espacé dans le temps. La nature
du modèle reste linéaire.

]]> Un loyer inchangé pendant toute la durée du bail

]]> Loyer constant : c'est le cas particulier d'un coefficient égal à
$1$, sans croissance d'aucune sorte.

]]> Variation exponentielle — Q34 : Allure d'une décroissance exponentielle Une quantité strictement positive est multipliée par $0{,}8$ chaque
année. Comment se comporte la courbe qui la représente ?

]]> Une décroissance exponentielle se reconnaît à sa courbe : elle plonge
d'abord nettement, puis s'aplatit en se rapprochant de l'axe des
abscisses sans jamais le toucher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle baisse de moins en moins vite, sans jamais atteindre zéro

]]> Bonne réponse : la baisse annuelle vaut $20\ \%$ d'une quantité de
plus en plus petite, donc elle se réduit, et un produit de nombres
strictement positifs ne s'annule jamais.

]]> Elle baisse de plus en plus vite, puis atteint zéro au bout de
quelques années

]]> Deux erreurs : la baisse ralentit au lieu de s'accélérer, et une
multiplication répétée par $0{,}8$ ne donne jamais zéro.

]]> Elle baisse d'une même hauteur chaque année, comme une droite

]]> Baisse constante : ce serait un modèle linéaire. Ici la perte est
proportionnelle à la quantité atteinte, donc elle diminue.

]]> Elle baisse pendant quelques années, puis se stabilise à une valeur

]]> Aucune stabilisation : le coefficient $0{,}8$ s'applique à tous les
rangs, la quantité continue de baisser indéfiniment.

]]> Variation exponentielle — Q35 : Quotient de deux puissances Pour $a > 0$, à quoi $\dfrac{a^{7}}{a^{4}}$ est-il égal ?

]]> La règle $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, admise en première pour tous les
exposants, se vérifie sur des entiers en simplifiant les facteurs
communs du numérateur et du dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^{3}$

]]> Bonne réponse : diviser deux puissances d'un même nombre revient à
soustraire les exposants, soit $7 - 4 = 3$.

]]> $a^{11}$

]]> Exposants additionnés : cette règle vaut pour un produit,
$a^{7} \times a^{4}$, et non pour un quotient.

]]> $a^{28}$

]]> Exposants multipliés : cette règle vaut pour une puissance de
puissance, $\left(a^{7}\right)^{4}$.

]]> $\dfrac{1}{a^{3}}$

]]> Soustraction à l'envers : c'est $4 - 7$ qui donnerait cet
inverse. Le numérateur porte le plus grand exposant.

]]> Variation exponentielle — Q36 : Montant des intérêts après deux ans Un capital de $2000$ euros est placé à $3\ \%$ par an, à intérêts
composés. Quel montant d'intérêts a-t-il rapporté au bout de $2$ ans ?

]]> Avec des intérêts composés, le capital suit $C_n = C_0 \times (1 + t)^n$.
Les intérêts perçus sont la différence entre le capital final et le
capital initial, jamais le capital final lui-même.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $121{,}8$ euros

]]> Bonne réponse : le capital atteint $2000 \times 1{,}03^2 = 2121{,}8$
euros, dont il faut retirer la mise de départ.

]]> $120$ euros

]]> Intérêts simples : deux fois $60$ euros néglige les intérêts
produits par les premiers intérêts, soit $121{,}8$ euros en tout.

]]> $60$ euros

]]> Une seule année comptée : ce montant est celui des intérêts de la
première année. La seconde en rapporte davantage.

]]> $2121{,}8$ euros

]]> Capital final donné à la place des intérêts : il faut retrancher la
mise de départ, ce qui laisse $121{,}8$ euros.

]]> Variation exponentielle — Q37 : Une hausse annulée par une baisse Le prix d'un article augmente de $20\ \%$, puis baisse de $20\ \%$.
Quelle est son évolution globale ?

]]> Des évolutions successives se traduisent par un produit de coefficients.
Une hausse puis une baisse de même taux ne se compensent jamais : le
résultat est toujours une baisse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une baisse de $4\ \%$

]]> Bonne réponse : les coefficients se multiplient, et
$1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\ \%$.

]]> Une hausse de $4\ \%$

]]> Sens inversé : le produit des coefficients vaut $0{,}96$, donc il est
inférieur à $1$ et le prix final est plus bas qu'au départ.

]]> Une baisse de $40\ \%$

]]> Taux additionnés : les deux taux ne s'ajoutent pas, ce sont les
coefficients qui se multiplient, d'où $4\ \%$.

]]> Aucune évolution : le prix ne change pas

]]> Taux compensés à tort : la baisse porte sur un prix déjà augmenté,
donc elle retire plus que la hausse n'avait ajouté.

]]> Variation exponentielle — Q38 : De la variation à la raison Une suite géométrique à termes strictement positifs vérifie
$u_6 > u_5$. Que peut-on dire de sa raison $q$ ?

]]> Pour une suite géométrique à termes strictement positifs, le sens de
variation se lit sur la raison : croissante si $q > 1$, décroissante si
$0 < q < 1$. La lecture fonctionne aussi dans l'autre sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle vérifie $q > 1$

]]> Bonne réponse : passer de $u_5$ à $u_6$ en augmentant suppose un
facteur supérieur à $1$, puisque les termes sont positifs.

]]> Elle vérifie $0 < q < 1$

]]> Une raison comprise entre $0$ et $1$ ferait décroître la suite, donc
on aurait $u_6 < u_5$.

]]> Elle vérifie $q = 1$

]]> Une raison égale à $1$ laisserait tous les termes identiques, donc
$u_6 = u_5$ et non $u_6 > u_5$.

]]> Elle vérifie $q > u_5$

]]> Raison et terme confondus : la raison est un facteur, elle ne se
compare pas aux valeurs prises par la suite.

]]> Variation exponentielle — Q39 : Dix divisions par deux Une quantité est divisée par $2$ dix fois de suite. Quelle part de la
quantité initiale en reste-t-il, en ordre de grandeur ?

]]> L'ordre de grandeur à retenir est $2^{10} = 1024 \approx 10^3$ : dix
doublements multiplient par mille environ, dix divisions par deux
divisent par mille environ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ un millième

]]> Bonne réponse : dix divisions par $2$ reviennent à diviser par
$2^{10} = 1024$, soit environ un millième.

]]> Environ un centième

]]> Estimation trop haute d'un facteur dix : $2^{10}$ vaut $1024$, et
non une centaine.

]]> Environ un vingtième

]]> Raisonnement additif : $2 \times 10 = 20$ suppose que les divisions
s'ajoutent, alors qu'elles se multiplient.

]]> Plus rien du tout

]]> Une division répétée n'atteint jamais zéro : il reste toujours une
part, ici environ un millième.

]]> Variation exponentielle — Q40 : Lire un modèle dans un tableau Une grandeur prend les valeurs successives $32$ ; $48$ ; $72$ ;
$108$. Quel modèle décrit son évolution ?

]]> Pour identifier un modèle dans un tableau, on calcule d'abord les
différences, puis les quotients. Des différences constantes signalent un
modèle linéaire, des quotients constants un modèle exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exponentiel : on multiplie par $1{,}5$ à chaque étape

]]> Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $1{,}5$, donc la
grandeur suit une suite géométrique.

]]> Linéaire : on ajoute $16$ à chaque étape

]]> Premier écart généralisé : on passe bien de $32$ à $48$ en
ajoutant $16$, mais l'écart suivant vaut $24$.

]]> Linéaire : l'accroissement vaut $16$, puis $24$, et ainsi de suite

]]> Un accroissement qui change n'est pas linéaire : c'est précisément
la signature d'une croissance exponentielle.

]]> Ni linéaire ni exponentiel : aucune régularité ne se dégage ici

]]> La régularité existe, mais elle porte sur les quotients et non sur
les différences : chaque valeur est $1{,}5$ fois la précédente.

]]> Variation exponentielle — Q41 : Une épidémie qui reflue Une épidémie compte $500$ cas. Les mesures sanitaires ramènent le
facteur de reproduction à $0{,}8$. Combien de cas le modèle prévoit-il
deux générations plus tard ?

]]> Le nombre de cas suit une suite géométrique de raison le facteur de
reproduction. Sous $1$, cette raison fait reculer l'épidémie sans jamais
l'éteindre d'un coup : c'est tout l'enjeu des mesures sanitaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $320$ cas

]]> Bonne réponse : chaque génération multiplie par $0{,}8$, donc deux
générations donnent $500 \times 0{,}8 \times 0{,}8 = 320$ cas.

]]> $400$ cas

]]> Une seule génération appliquée : ce nombre est le bilan après la
première. Il reste une génération à compter.

]]> $300$ cas

]]> Raisonnement linéaire : la perte de la première génération est
retranchée deux fois, alors que la seconde porte sur $400$ cas.

]]> $500$ cas

]]> Épidémie supposée stable : un facteur inférieur à $1$ fait au
contraire reculer le nombre de cas à chaque génération.

]]> Variation exponentielle — Q42 : Ressources par habitant Dans le modèle de Malthus, la population croît de façon exponentielle
et les ressources de façon linéaire. Que devient, à long terme, la
quantité de ressources disponible par habitant ?

]]> Le modèle de Malthus oppose une suite géométrique (la population) à une
suite arithmétique (les ressources). Le quotient des deux se dégrade
sans fin : c'est la conclusion pessimiste du modèle, et sa limite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle diminue jusqu'à devenir aussi petite que l'on veut

]]> Bonne réponse : la population finit par croître beaucoup plus vite
que les ressources, donc la part de chacun se réduit sans limite.

]]> Elle se stabilise à une valeur strictement positive

]]> Aucune stabilisation : l'écart entre les deux croissances se creuse
indéfiniment, la part par habitant ne peut pas se fixer.

]]> Elle augmente, puisque les ressources augmentent elles aussi

]]> Les ressources augmentent, mais moins vite que le nombre de
personnes à nourrir : c'est le rapport des deux qui compte.

]]> Elle reste constante, les deux croissances se compensant

]]> Une croissance linéaire ne compense pas une croissance
exponentielle : leurs rythmes divergent inexorablement.

]]> Variation exponentielle — Q43 : Population au bout de plusieurs années Une ville compte $12000$ habitants et sa population augmente de
$3\ \%$ par an. Combien comptera-t-elle d'habitants dans $4$ ans,
à l'unité près ?

]]> Une croissance à taux constant s'écrit $V_n = V_0 \times (1 + t)^n$ : le
nombre d'années devient l'exposant du coefficient multiplicateur, jamais
un facteur ni un multiplicateur du taux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $13506$ habitants

]]> Bonne réponse : la durée passe en exposant, donc
$12000 \times 1{,}03^{4} \approx 13506$.

]]> $13440$ habitants

]]> Taux additionnés : $4 \times 3\ \%$ néglige les hausses portant
sur les hausses déjà acquises.

]]> $12360$ habitants

]]> Une seule année comptée : ce nombre est le bilan après la première
année, il reste $4 - 1$ années à appliquer.

]]> $49440$ habitants

]]> Durée prise en facteur : multiplier par $4$ multiplierait la ville
par $4$. La durée est un exposant.

]]> Variation exponentielle — Q44 : Taux moyen sur trois ans Une grandeur a été multipliée par $1{,}331$ en trois ans. Quel est son
taux d'évolution annuel moyen ?

]]> Le taux moyen sur $n$ périodes s'obtient en élevant le coefficient
global à la puissance $\frac{1}{n}$, puis en retranchant $1$. Diviser le
taux global par $n$ donne toujours un résultat faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10\ \%$ par an

]]> Bonne réponse : le coefficient annuel moyen vaut
$1{,}331^{\frac{1}{3}} = 1{,}1$, dont la part au-delà de $1$ est le
taux cherché.

]]> $11{,}03\ \%$ par an

]]> Taux global divisé par trois : les taux ne se partagent pas, ce sont
les coefficients qui se multiplient entre eux.

]]> $33{,}1\ \%$ par an

]]> Taux global recopié : cette valeur est l'évolution des trois années
réunies, pas celle d'une seule année.

]]> $1{,}331\ \%$ par an

]]> Coefficient pris pour un taux : $1{,}331$ est un multiplicateur, le
taux correspondant est sa part au-delà de $1$.

]]> Variation exponentielle — Q45 : Passer sous la moitié Un matériel perd $20\ \%$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien
d'années sa valeur devient-elle inférieure à la moitié de son prix
d'achat ?

]]> Un problème de seuil se résout en calculant les puissances successives
du coefficient multiplicateur, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à
franchir la valeur visée. La première puissance qui convient donne le
rang cherché.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ ans

]]> Bonne réponse : on déroule les puissances de $0{,}8$ jusqu'à passer
sous $0{,}5$, ce qui se produit au rang $4$.

]]> $3$ ans

]]> Seuil atteint trop tôt : au rang $3$, le coefficient est
encore supérieur à $0{,}5$, la moitié n'est pas franchie.

]]> $5$ ans

]]> Une année de trop : le seuil est déjà franchi au rang $4$, et on
cherche la première année qui convient.

]]> $2{,}5$ ans

]]> Raisonnement linéaire : perdre $20\ \%$ du prix d'achat chaque
année donnerait ce résultat, mais la perte porte sur la valeur
restante.

]]> Variation exponentielle — Q46 : Un seuil cherché au tableur Une population de $2\,000$ bactéries augmente de $8\ \%$ par heure. Le
nombre initial est en B2 et l'on recopie vers le bas la formule
=B2*1,08 saisie en B3. Comment trouver l'heure où la population
dépasse $5\,000$ ?

]]> $2\,000 \times 1{,}08^{11} \approx 4\,663$ et
$2\,000 \times 1{,}08^{12} \approx 5\,036$ : le seuil est franchi à
la $12$e heure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Lire la première valeur au-dessus de $5\,000$

]]> Bonne réponse : la colonne contient les termes successifs de la
suite géométrique ; la première valeur au-dessus de $5\,000$
donne l'heure cherchée, ici la $12$e.

]]> Remplacer la formule par =B2+5000

]]> Erreur : cette formule ajoute $5\,000$ à chaque ligne. Le seuil se
lit dans la colonne, il n'entre pas dans la formule.

]]> Diviser $5\,000$ par le coefficient $1{,}08$

]]> Erreur : ce calcul défait une seule hausse. Le seuil n'est atteint
qu'après plusieurs hausses successives.

]]> Calculer $\dfrac{5\,000 - 2\,000}{8}$

]]> Erreur : ce calcul suppose une hausse constante de $8$ bactéries
par heure, une croissance linéaire.

]]> Variation exponentielle — Q47 : Le triangle de Sierpinski Trois figures : un triangle bleu (étape 0), puis trois triangles bleus deux fois plus petits disposés en triangle (étape 1), puis neuf triangles bleus encore deux fois plus petits (étape 2).

Pour construire le triangle de Sierpinski, on remplace à chaque
étape chaque triangle bleu par trois triangles bleus plus petits.
La figure montre les étapes $0$, $1$ et $2$. Combien de triangles
bleus compte l'étape $4$ ?

]]> Une quantité multipliée par un même nombre $q$ à chaque étape forme
une suite géométrique : $u(n) = u(0) \times q^n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $81$

]]> Bonne réponse : le nombre de triangles est multiplié par $3$ à
chaque étape : $1$, $3$, $9$, …, soit $3^{4} = 81$ à l'étape
$4$.

]]> $12$

]]> Erreur : on a ajouté $3$ triangles par étape. Or chaque triangle
est remplacé par trois : le nombre est multiplié par $3$.

]]> $243$

]]> Erreur de rang : $3^{5}$ correspond à l'étape $5$.
L'étape $0$ compte un seul triangle, $3^0 = 1$.

]]> $64$

]]> Erreur : $4^3$ n'est pas le bon calcul. La raison $3$ est
élevée à la puissance $4$, et non l'inverse.

]]> Variation exponentielle — Q48 : Une rumeur en cascade Une rumeur se propage en cascade : à l'étape $1$, une personne la
confie à $2$ autres ; à chaque étape suivante, chaque personne
qui vient de l'apprendre la confie à $2$ nouvelles personnes. À
partir de quelle étape le nombre de personnes nouvellement
informées dépasse-t-il $1\,000$ ?

]]> Une croissance exponentielle franchit vite un seuil. On calcule les
puissances successives jusqu'à dépasser la valeur visée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'étape $10$

]]> Bonne réponse : à l'étape $n$, $2^n$ personnes apprennent la
rumeur ; $2^{9} = 512$ et $2^{10} = 1024$.

]]> L'étape $9$

]]> Trop tôt : à l'étape $9$, seules $512$ personnes
apprennent la rumeur, moins de $1\,000$.

]]> L'étape $11$

]]> Une étape de trop : le seuil est déjà franchi à l'étape $10$,
avec $1024$ personnes.

]]> L'étape $500$

]]> Raisonnement linéaire : $\dfrac{1\,000}{2}$ suppose $2$
nouvelles personnes par étape, alors que leur nombre est
multiplié par $2$.

]]> Variation exponentielle — Q49 : Un placement retiré au bout de six mois Un capital de $800$ euros est placé à intérêts composés au taux
annuel de $4\ \%$. On modélise sa valeur au bout de $x$ années
par $800 \times 1{,}04^x$. Quelle est sa valeur au bout de six mois ?

]]> La fonction $x \mapsto a^x$ prolonge la suite géométrique aux
durées non entières : on remplace $x$ par la fraction d'année
écoulée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $815{,}84$ euros environ

]]> Bonne réponse : six mois font une demi-année, et
$800 \times 1{,}04^{0{,}5} \approx 815{,}84$.

]]> $816$ euros

]]> Erreur : diviser le taux par deux revient à appliquer des
intérêts simples sur la demi-année, ce que ne fait pas le
modèle exponentiel.

]]> $832$ euros

]]> Erreur : c'est la valeur au bout d'un an entier, pour $x = 1$.

]]> $802{,}62$ euros environ

]]> Erreur : l'exposant $\dfrac{1}{12}$ correspond à un mois. Six
mois correspondent à $x = 0{,}5$.

]]> Variation exponentielle — Q50 : Une fraction de demi-vie Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à chaque
demi-vie. Avec le modèle exponentiel, quelle proportion des noyaux
initiaux reste-t-il au bout d'une durée égale à la moitié d'une
demi-vie ?

]]> Le modèle exponentiel s'applique aussi aux fractions de demi-vie :
la proportion restante vaut $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$, pour
tout réel $x \geqslant 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Environ $70{,}7\ \%$

]]> Bonne réponse : au bout de $x$ demi-vies, il reste
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ des noyaux ; avec
$x = \dfrac{1}{2}$, on obtient environ $70{,}7\ \%$.

]]> Environ $75\ \%$

]]> Erreur : la décroissance n'est pas linéaire. Une demi-vie ne
retire pas la même quantité à chaque instant.

]]> Environ $50\ \%$

]]> Erreur : $50\ \%$ ne restent qu'au bout d'une demi-vie entière.

]]> Environ $25\ \%$

]]> Erreur : $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ correspond à $2$
demi-vies. L'exposant est ici $\dfrac{1}{2}$.

]]> Variation exponentielle — Q51 : Un point intermédiaire Une suite géométrique vérifie $u(0) = 4$ et $u(1) = 9$. Pour
compléter son nuage de points par la courbe d'une fonction
exponentielle, on place le point d'abscisse $0{,}5$. Quelle est
son ordonnée ?

]]> Entre deux termes consécutifs d'une suite géométrique, l'ordonnée
du point d'abscisse intermédiaire est la moyenne géométrique
$\sqrt{u(n) \times u(n + 1)}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $f(x) = 4 \times \dfrac{9}{4}^x$, et
$f(0{,}5) = 4 \times \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \sqrt{4 \times 9} = 6$,
la moyenne géométrique de $4$ et $9$.

]]> $6{,}5$

]]> Erreur : la moyenne arithmétique place le point sur le segment
qui joint les deux points, comme pour une croissance linéaire.

]]> $36$

]]> Erreur : le produit $4 \times 9$ n'est qu'une étape ; il faut
en prendre la racine carrée.

]]> $18$

]]> Erreur : on a divisé le produit par deux. La moyenne géométrique
est la racine carrée du produit.

]]> Variation exponentielle — Q52 : Un seuil lu sur un graphique Neuf points d'abscisses 0 à 8, qui décroissent de plus en plus lentement : 1 000 ; 800 ; 640 ; 512 ; 410 ; 328 ; 262 ; 210 ; 168. Une droite horizontale pointillée marque l'ordonnée 300 ; le point de rang 5 est juste au-dessus, celui de rang 6 juste en dessous.

Le graphique ci-dessous représente les termes de la suite
$u(n) = 1\,000 \times 0{,}8^n$ et la droite d'équation $y = 300$. À
partir de quel rang les termes deviennent-ils inférieurs à $300$ ?

]]> Un problème de seuil se résout aussi graphiquement : on trace la
droite horizontale du seuil et l'on repère le premier point situé de
l'autre côté. Un calcul à la calculatrice confirme la lecture.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir du rang $6$

]]> Bonne réponse : le point de rang $6$ est le premier sous la droite
$y = 300$ ; le calcul le confirme, $u(6) \approx 262$.

]]> À partir du rang $5$

]]> Erreur de lecture : $u(5) \approx 328$, le point de rang $5$ est
encore au-dessus de la droite.

]]> À partir du rang $7$

]]> Un rang de trop : dès le rang $6$, le point est sous la droite.

]]> Jamais, puisque les termes restent positifs

]]> Erreur : rester positif n'empêche pas de passer sous $300$. Une
décroissance exponentielle se rapproche de $0$ autant qu'on veut.

]]> Variation exponentielle — Q53 : Reconnaître un nuage géométrique Deux séries de six points, d'abscisses 0 à 5. Série A (ronds bleus) : 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12, qui montent toujours de 2. Série B (carrés orange) : 1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,4 ; 5,1 ; 7,6, dont les écarts grandissent.

Le graphique ci-dessous représente les premiers termes de deux suites
A et B, toutes deux croissantes. Laquelle peut être une suite
géométrique ?

]]> Points alignés : croissance linéaire, suite arithmétique. Écarts qui
grandissent dans un rapport constant : croissance exponentielle, suite
géométrique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La suite B, dont les écarts entre termes consécutifs grandissent

]]> Bonne réponse : chaque terme de B vaut $1{,}5$ fois le précédent ;
l'écart, proportionnel au terme, grandit. C'est l'allure d'une
croissance exponentielle.

]]> La suite A, dont les termes montent toujours de la même quantité

]]> Erreur : des écarts constants caractérisent une suite
arithmétique. Ici $u(n + 1) = u(n) + 2$ : les points de A sont
alignés.

]]> Les deux, puisqu'elles sont toutes deux croissantes

]]> Erreur : la croissance ne suffit pas. Une suite géométrique se
reconnaît à un rapport constant entre termes consécutifs, et A
ne l'a pas : $\dfrac{4}{2} \neq \dfrac{6}{4}$.

]]> Aucune, car une suite géométrique est toujours décroissante

]]> Erreur : une suite géométrique à termes positifs de raison
supérieure à $1$ est croissante.

]]>