$course$/QCM de maths/Première tronc commun/Variation linéaire Suites arithmétiques (définition par récurrence, terme de rang
$n$, sens de variation, représentation graphique) et fonctions
affines (taux d'accroissement, coefficient directeur) :
modéliser les croissances à accroissement constant, résoudre
des problèmes de seuil.

]]> Variation linéaire — Q01 : Reconnaître une croissance linéaire Un livret rapporte des intérêts simples : chaque année,
le capital augmente de $20$ euros exactement. La suite des
capitaux annuels est :

]]> Croissance linéaire $=$ accroissement constant $=$ suite
arithmétique ($u(n+1) = u(n) + r$). À opposer à la
croissance exponentielle (taux constant, suite géométrique).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Arithmétique, de raison $20$

]]> Bonne réponse : un accroissement constant en valeur
absolue ($+20$ euros par an) est la signature du modèle
arithmétique (croissance linéaire).

]]> Géométrique, de raison $20$

]]> Erreur : géométrique signifierait multiplier par $20$
chaque année. Ici on ajoute un montant fixe.

]]> Géométrique, de raison $1{,}20$

]]> Erreur : $\times\,1{,}20$ modéliserait des intérêts
composés de $20\ \%$. Les intérêts simples ajoutent
toujours le même montant : modèle arithmétique.

]]> Ni l'une ni l'autre

]]> Erreur : « $+20$ chaque année » est exactement la
définition d'une suite arithmétique de raison $20$.

]]> Variation linéaire — Q02 : Terme de rang donné Un abonnement coûte $500$ euros à l'ouverture (rang $0$)
puis $200$ euros par mois : $u(n) = 500 + 200n$. Combien
a-t-on dépensé au total au rang $n = 12$ ?

]]> Formule explicite d'une suite arithmétique :
$u(n) = u(0) + n \times r$. Elle donne directement le terme
de rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2900$ euros

]]> Bonne réponse : $u(12) = 500 + 200 \times 12 = 500 +
2400 = 2900$ euros.

]]> $8400$ euros

]]> Erreur : $700 \times 12$ multiplie la somme $500 + 200$
par $12$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :
$500 + 200 \times 12$.

]]> $2700$ euros

]]> Erreur d'indice : $500 + 200 \times 11 = 2700$
correspond au rang $11$. Au rang $12$ : $2900$.

]]> $700$ euros

]]> Erreur : $700 = u(1)$ est la dépense au premier mois.
Pour $n = 12$, la formule donne $2900$.

]]> Variation linéaire — Q03 : Sens de variation Soit la suite arithmétique définie par $u(n+1) = u(n) - 3$
et $u(0) = 100$. Quel est son sens de variation ?

]]> Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,
décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Parallèle
exact avec le coefficient directeur des fonctions affines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante

]]> Bonne réponse : la raison $-3$ est négative, chaque
terme perd $3$ : $100$, $97$, $94$… Le signe de la
raison commande tout.

]]> Croissante

]]> Erreur : $u(0) = 100$ est grand, mais le premier terme
fixe le point de départ, pas la direction. C'est la
raison $-3 < 0$ qui fait descendre la suite.

]]> Constante

]]> Erreur : constante exigerait une raison nulle. Ici on
retire $3$ à chaque rang.

]]> Croissante puis décroissante

]]> Erreur : une suite arithmétique garde le même sens de
variation du début à la fin (ses points sont alignés).

]]> Variation linéaire — Q04 : Représentation graphique d'une suite arithmétique On représente les termes d'une suite arithmétique par les
points de coordonnées $(n\,;\,u(n))$. Qu'observe-t-on ?

]]> Suite arithmétique $\leftrightarrow$ points alignés (version
discrète de la fonction affine). Ce lien visuel permet de
reconnaître une croissance linéaire sur un graphique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Des points alignés sur une droite

]]> Bonne réponse : l'accroissement constant $r$ joue le rôle
d'un coefficient directeur : les points $(n\,;\,u(0) +
rn)$ suivent la droite $y = rx + u(0)$.

]]> Des points sur une courbe qui monte de plus en plus vite

]]> Erreur : l'accélération est la signature des suites
géométriques (croissance exponentielle). Le modèle
arithmétique avance à pas constant : alignement.

]]> Une droite continue

]]> Nuance importante : une suite est discrète, sa
représentation est un ensemble de points isolés (alignés),
pas un trait continu.

]]> Des points disposés au hasard

]]> Erreur : la régularité du pas $r$ produit au contraire un
alignement parfait.

]]> Variation linéaire — Q05 : Taux d'accroissement d'une fonction affine Soit la fonction affine $f(x) = 2x + 3$. Quand $x$ augmente
de $1$, de combien varie $f(x)$ ?

]]> Fonction affine $f(x) = mx + p$ : accroissement constant
$m$ par unité de $x$ (le taux d'accroissement est le
coefficient directeur de la droite). Version continue de la
suite arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De $+2$, quelle que soit la valeur de $x$

]]> Bonne réponse : $f(x+1) - f(x) = 2(x+1) + 3 - 2x - 3 =
2$ : variation constante, égale au coefficient de $x$.
Le taux d'accroissement d'une fonction affine est son
coefficient directeur.

]]> De $+3$, quelle que soit la valeur de $x$

]]> Erreur : la variation est bien constante, mais elle vaut
$2$ : $3$ est l'ordonnée à l'origine (la valeur en
$x = 0$), pas la variation par unité.

]]> De $+5$, quelle que soit la valeur de $x$

]]> Erreur : la variation est bien constante, mais $5 = f(1)$
est une valeur de la fonction, pas son accroissement
(qui vaut $f(1) - f(0) = 5 - 3 = 2$).

]]> D'une quantité qui dépend de la valeur de $x$

]]> Erreur : c'est le propre des fonctions affines :
l'accroissement par unité est constant (c'est même ce
qui les caractérise). Ici $f(x+1) - f(x) = 2$ pour tout
$x$.

]]> Variation linéaire — Q06 : Degrés Celsius et Fahrenheit La conversion s'écrit $F = 1{,}8\,C + 32$. Quelle
température Fahrenheit correspond à $20$ degrés Celsius ?

]]> Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$
combine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage
d'origine ($32$). $20$ °C $= 68$ °F.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $68$ degrés Fahrenheit

]]> Bonne réponse : $1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$.

]]> $52$ degrés Fahrenheit

]]> Erreur : $20 + 32 = 52$ oublie le facteur $1{,}8$
appliqué aux Celsius.

]]> $36$ degrés Fahrenheit

]]> Incomplet : $1{,}8 \times 20 = 36$, mais il reste à
ajouter le décalage $+32$.

]]> $93{,}6$ degrés Fahrenheit

]]> Erreur : $1{,}8 \times (20 + 32)$ ajoute avant de
multiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$.

]]> Variation linéaire — Q07 : Problème de seuil linéaire Avec $u(n) = 500 + 200n$ (dépense cumulée au rang $n$), à
partir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $2000$
euros ?

]]> Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre
l'inéquation $500 + 200n > 2000$, puis prendre le premier
rang entier convenable : $n = 8$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de $n = 8$

]]> Bonne réponse : $500 + 200n > 2000 \Leftrightarrow n >
7{,}5$ : le premier rang entier au-delà est $n = 8$
($u(8) = 2100$).

]]> À partir de $n = 7$

]]> Erreur : $u(7) = 1900 < 2000$ : le seuil n'est pas encore
franchi au rang $7$.

]]> À partir de $n = 7{,}5$

]]> Erreur de nature : un rang est un entier ; la
solution $n > 7{,}5$ de l'inéquation s'arrondit au
premier entier supérieur : $8$.

]]> Jamais : la suite est bornée

]]> Erreur : une suite arithmétique de raison positive
dépasse tout seuil (croissance sans plafond, quoique
lente).

]]> Variation linéaire — Q08 : Intérêts simples ou composés ? Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts
composés ?

]]> Deux modèles d'évolution au cœur du programme : intérêts
simples $\to$ arithmétique (linéaire) ; intérêts composés
$\to$ géométrique (exponentiel). Le chapitre suivant explore
le second.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Simples : linéaire ; composés : exponentiel

]]> Bonne réponse : intérêts simples, le même montant est
ajouté chaque année (croissance linéaire, suite
arithmétique, calcul sur le capital initial) ; intérêts
composés, le même pourcentage est appliqué chaque année
au capital courant (croissance exponentielle, suite
géométrique).

]]> Simples : petits montants ; composés : gros montants

]]> Erreur : la distinction porte sur le mécanisme de
calcul, pas sur la taille des sommes.

]]> Les deux reviennent exactement au même à long terme

]]> Erreur : c'est tout le contraire : à long terme, les
composés (exponentiels) creusent un écart de plus en plus
grand sur les simples (linéaires).

]]> Composés : les intérêts sont versés deux fois par an

]]> Erreur : « composés » signifie que les intérêts
produisent eux-mêmes des intérêts, quelle que soit la
fréquence de versement.

]]> Variation linéaire — Q09 : Offre, demande et point d'équilibre L'offre est modélisée par $y = 2x + 1$ et la demande par
$y = -x + 10$ ($x$ : prix unitaire). En quel prix $x$
l'offre égale-t-elle la demande (point d'équilibre) ?

]]> Modèle affine de l'offre et de la demande (au programme) :
le point d'équilibre est l'intersection des deux droites.
Égaler les expressions : $x = 3$, $y = 7$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : $2x + 1 = -x + 10 \Leftrightarrow 3x = 9
\Leftrightarrow x = 3$ (et la quantité d'équilibre vaut
$y = 7$).

]]> $x = 9$

]]> Oubli de la division : $3x = 9$ donne $x = 3$, pas
$x = 9$.

]]> $x = 7$

]]> Confusion : $7$ est l'ordonnée du point d'équilibre
(la quantité), pas le prix $x$.

]]> Il n'y a pas d'équilibre : les droites sont parallèles

]]> Erreur : les pentes $2$ et $-1$ diffèrent : les droites
se coupent en exactement un point.

]]> Variation linéaire — Q10 : Coefficient directeur par deux points Une droite passe par les points $(2\,;\,5)$ et
$(6\,;\,13)$. Quel est son coefficient directeur ?

]]> Automatisme du programme : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B -
x_A} = 2$ : la droite monte de $2$ par pas de $1$ vers la
droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : $m = \dfrac{13 - 5}{6 - 2} =
\dfrac{8}{4} = 2$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Fraction renversée : la variation des ordonnées
($8$) se divise par celle des abscisses ($4$).

]]> $8$

]]> Incomplet : $8$ est la variation verticale totale ; le
coefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($4$) :
$2$ par unité.

]]> $\dfrac{9}{2}$

]]> Erreur : $\dfrac{13 + 5}{6 - 2}$ additionne au lieu de
soustraire au numérateur. Formule :
$\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

]]> Variation linéaire — Q11 : Impôt et taux marginal Un barème d'impôt prévoit : $0\ \%$ jusqu'à $10\,000$ euros
de revenu, puis $30\ \%$ sur la partie au-delà de
$10\,000$ euros. Quel est l'impôt pour un revenu de
$15\,000$ euros ?

]]> Modèle affine par morceaux (au programme) : chaque taux
s'applique à sa tranche. Impôt $= 0{,}3 \times (15\,000 -
10\,000) = 1500$ euros ; le taux moyen effectif vaut
$10\ \%$, bien moins que le taux marginal de $30\ \%$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1500$ euros

]]> Bonne réponse : le taux marginal de $30\ \%$ ne
s'applique qu'aux $5000$ euros au-delà de $10\,000$
euros : $0{,}3 \times 5000 = 1500$.

]]> $4500$ euros

]]> L'erreur répandue sur les impôts : $30\ \%$ de tout le
revenu. Le taux d'une tranche ne s'applique jamais à
tout le revenu, seulement à la partie située dans la
tranche.

]]> $3000$ euros

]]> Erreur : $30\ \%$ de $10\,000$ calcule sur la mauvaise
partie : la première tranche est à $0\ \%$, la taxation
porte sur les $5000$ euros excédentaires.

]]> $0$ euro

]]> Erreur : le revenu ne dépasse le seuil que de $5000$
euros, mais dès qu'il le dépasse, la partie excédentaire
est imposée : $1500$ euros ici.

]]> Variation linéaire — Q12 : Linéaire ou pas ? Parmi ces quatre évolutions annuelles, laquelle relève d'un
modèle linéaire (suite arithmétique) ?

]]> Test de reconnaissance : « $+$ le même montant » $\to$
linéaire ; « $\times$ le même facteur » (ou $\pm$ le même
pourcentage) $\to$ exponentiel. Diagnostic indispensable
avant tout choix de modèle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une forêt gagne $50$ hectares chaque année

]]> Bonne réponse : accroissement constant en valeur
absolue ($+50$ ha/an) : croissance linéaire, suite
arithmétique de raison $50$.

]]> Une population augmente de $2\ \%$ chaque année

]]> Erreur : un taux constant ($\times 1{,}02$) définit
une croissance exponentielle (suite géométrique).

]]> Un capital est multiplié par $1{,}5$ chaque année

]]> Erreur : multiplication répétée : modèle géométrique
(exponentiel), pas linéaire.

]]> Une quantité perd la moitié de sa valeur chaque année

]]> Erreur : $\times \frac{1}{2}$ répété est une
décroissance exponentielle (demi-vie), pas linéaire.

]]> Variation linéaire — Q13 : Avancer de terme en terme Une suite vérifie $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = u_n + 5$. Que
vaut $u_3$ ?

]]> Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$ (ici $20 +
5n$). Le rang $n$ compte le nombre de pas effectués
depuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $35$

]]> Bonne réponse : trois pas de $+5$ depuis $20$ : $25$,
$30$, $35$ (ou directement $20 + 3 \times 5$).

]]> $40$

]]> Un pas de trop : $u_3$ est atteint en trois étapes
depuis $u_0$ ($40$ serait $u_4$).

]]> $60$

]]> Erreur : $20 \times 3$ multiplie le terme initial : la
suite AJOUTE $5$ par étape, elle ne multiplie pas.

]]> $25$

]]> Arrêt prématuré : $25 = u_1$ : il reste deux pas
jusqu'à $u_3$.

]]> Variation linéaire — Q14 : Pente négative Que dire de la fonction affine $f(x) = -3x + 12$ ?

]]> Modèle linéaire : le coefficient directeur est le taux
d'accroissement constant : $m > 0$ croissance, $m < 0$
décroissance, et $|m|$ donne la vitesse. Tout est dans la
pente.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est décroissante sur $\mathbb{R}$

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur $-3$ est le
taux de variation : chaque unité de plus sur $x$ fait
perdre $3$ à $f(x)$. Négatif, la droite descend, à
vitesse constante.

]]> Elle est croissante sur $\mathbb{R}$

]]> Mauvais paramètre : le $12$ positif est la valeur de
départ (en $x = 0$) ; le sens de variation se lit sur le
coefficient de $x$, ici $-3 < 0$.

]]> Elle est décroissante seulement pour $x > 4$

]]> Erreur : une droite garde la même pente partout : elle
descend AVANT et APRÈS $4$ ($4$ est juste là où elle
traverse zéro).

]]> Elle n'est ni croissante ni décroissante

]]> Erreur : seule une fonction constante ($m = 0$)
échappe au classement : ici $m = -3$ : décroissante.

]]> Variation linéaire — Q15 : Deux tarifs à comparer Tarif A : $30$ euros d'abonnement plus $2$ euros par séance.
Tarif B : $5$ euros par séance sans abonnement. À partir de
combien de séances le tarif A devient-il avantageux ?

]]> Comparer deux modèles linéaires : égaler les expressions
(point d'indifférence), puis raisonner sur les pentes : la
droite la moins pentue finit toujours par passer dessous. Le
schéma des choix d'abonnement, forfaits, locations.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de $11$ séances (les deux tarifs s'égalent à
$x = 10$)

]]> Bonne réponse : $30 + 2x = 5x \iff x = 10$ : égalité à
$10$ séances ($50$ euros), et au-delà l'abonnement
l'emporte ($3$ euros économisés par séance
supplémentaire).

]]> Dès la première séance : l'abonnement fait gagner de
l'argent

]]> Erreur : à $1$ séance : $32$ euros contre $5$ : les
$30$ euros fixes pèsent lourd au départ : l'abonnement
se rentabilise avec le volume.

]]> Jamais : B est toujours moins cher

]]> Erreur : B grimpe de $5$ par séance contre $2$ pour A :
les droites se croisent (à $x = 10$) et A passe dessous.

]]> À partir de $6$ séances

]]> Contrôle : à $6$ séances : $42$ euros (A) contre $30$
(B) : B gagne encore : l'égalité n'arrive qu'à $10$.

]]> Variation linéaire — Q16 : Coût d'un abonnement Une salle de sport coûte $25$ euros d'inscription puis $3$
euros par séance. Quel est le coût total pour $10$
séances ?

]]> Modèle affine du coût : $C(x) = (\text{fixe}) +
(\text{taux}) \times x$ : la structure de tous les tarifs à
abonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à
chaque unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $55$ euros

]]> Bonne réponse : $C(x) = 25 + 3x$, et $C(10) = 25 + 30 =
55$ : partie fixe + partie proportionnelle.

]]> $30$ euros

]]> Partie fixe oubliée : $3 \times 10 = 30$ ne compte que
les séances : l'inscription s'ajoute.

]]> $280$ euros

]]> Erreur : $(25 + 3) \times 10$ fait payer l'inscription
à chaque séance : elle ne se paie qu'une fois.

]]> $250$ euros

]]> Erreur : $25 \times 10$ multiplie la partie fixe : la
formule est $25 + 3 \times 10$.

]]> Variation linéaire — Q17 : Retrouver la fonction affine Une fonction affine vérifie $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.
Quelle est son expression ?

]]> Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \frac{f(b) -
f(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux
points : c'en est une.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 3x + 1$

]]> Bonne réponse : taux $= \dfrac{16 - 7}{5 - 2} = 3$,
puis $f(2) = 7$ donne $6 + p = 7$, $p = 1$. Contrôle :
$f(5) = 16$ ✓.

]]> $f(x) = 3x + 7$

]]> Ordonnée bâclée : $7$ est $f(2)$, pas $f(0)$ : la
constante se calcule : $7 - 3 \times 2 = 1$.

]]> $f(x) = 9x + 3$

]]> Taux faux : $9$ est l'écart des images seul : le taux le
divise par l'écart des antécédents ($3$) : $m = 3$.

]]> $f(x) = \dfrac{7}{2}x$

]]> Proportionnalité supposée à tort : $\dfrac{7}{2}
\times 5 = 17{,}5 \neq 16$ : une fonction affine
générale a aussi une constante.

]]> Variation linéaire — Q18 : Le tableau est-il linéaire ? Un tableau donne : $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$,
$f(3) = 10$. Un modèle linéaire (affine) convient-il ?

]]> Test du modèle linéaire : différences constantes à pas
constant ($f(x+1) - f(x)$ identiques). Test du modèle
exponentiel : quotients constants. Deux tests, deux
mondes : LA distinction structurante de l'année.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, le dernier accroissement casse la régularité

]]> Bonne réponse : les accroissements valent $+2$, $+2$,
puis $+3$. Un modèle affine exige des accroissements
constants à pas égal : le passage de $7$ à $10$
dévie, le modèle est au mieux approximatif.

]]> Oui : les valeurs augmentent régulièrement

]]> Trop vague : « augmenter » ne suffit pas : il faut
augmenter du MÊME montant à chaque pas, et $+3 \neq
+2$.

]]> Oui : quatre points sont toujours alignés

]]> Erreur : deux points sont toujours alignés, trois ou
plus rarement : ici le quatrième sort de la droite des
trois premiers.

]]> Non : il faudrait des accroissements multiplicatifs
constants

]]> Confusion de modèle : le quotient constant caractérise
le modèle exponentiel : le linéaire se teste par les
différences.

]]> Variation linéaire — Q19 : Reconnaître une suite arithmétique Parmi ces suites, laquelle est arithmétique ?

]]> Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes
consécutifs est constante. Cette différence est la raison de la suite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_{n+1} = u_n - 4$

]]> Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le
même nombre, ici $-4$.

]]> $u_{n+1} = 4u_n$

]]> Cette relation multiplie par un facteur constant : la suite est
géométrique, pas arithmétique.

]]> $u_{n+1} = u_n + n$

]]> Ce qu'on ajoute change à chaque rang, donc l'accroissement n'est pas
constant.

]]> $u_{n+1} = u_n^2$

]]> Cette relation élève au carré : les écarts entre termes consécutifs
varient très vite.

]]> Variation linéaire — Q20 : Retrouver la raison Une suite arithmétique vérifie $u_{3} = 7$ et $u_{8} = 22$.
Quelle est sa raison ?

]]> Entre deux termes de rangs $p$ et $q$, on a $u_q = u_p + (q - p)r$. La
raison s'obtient donc en divisant l'écart des termes par l'écart des
rangs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $5$ pas séparent les rangs $3$ et $8$, donc
$r = \dfrac{22 - 7}{5}$.

]]> $15$

]]> Division oubliée : $15$ est l'écart total entre les deux termes, à
répartir sur $5$ pas.

]]> $\dfrac{5}{2}$

]]> Nombre de pas mal compté : de $u_{3}$ à $u_{8}$, il y en a
$8 - 3 = 5$, et non $8 - 3 + 1$.

]]> $5$

]]> Nombre de pas recopié : c'est le dénominateur du calcul, pas son
résultat.

]]> Variation linéaire — Q21 : Franchir un seuil Une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 50$ et de raison $-3$
devient négative à partir de quel rang ?

]]> On écrit le terme général $u_n = u_0 + nr$, on résout l'inéquation
correspondante, puis on retient le premier entier qui la vérifie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Du rang $17$

]]> Bonne réponse : $u_n = 50 - 3n$ s'annule pour $n \approx 16{,}7$, et
$u_{17} = -1$.

]]> Du rang $16$

]]> Le terme $u_{16}$ vaut encore $2$, donc il reste positif.

]]> Du rang $18$

]]> La suite est déjà négative au rang $17$, où elle vaut $-1$.

]]> Du rang $50$

]]> Premier terme confondu avec un rang : $50$ est la valeur de départ,
pas un numéro de terme.

]]> Variation linéaire — Q22 : Un forfait et un prix à l'unité Un service coûte $15$ euros d'abonnement mensuel plus $0{,}40$ euro
par communication. Quelle fonction modélise la dépense mensuelle ?

]]> Une situation à coût fixe plus coût proportionnel se modélise par une
fonction affine. La partie fixe se lit en ordonnée à l'origine, la partie
proportionnelle dans le coefficient directeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f(x) = 0{,}4x + 15$

]]> Bonne réponse : le prix unitaire est le coefficient directeur et
l'abonnement l'ordonnée à l'origine.

]]> $f(x) = 15x + 0{,}4$

]]> Rôles échangés : l'abonnement est payé une fois, il ne se multiplie
pas par le nombre de communications.

]]> $f(x) = 15{,}4x$

]]> Termes fusionnés : pour dix communications, cette formule donnerait
$154$ euros au lieu de $19$.

]]> $f(x) = 0{,}4(x + 15)$

]]> Le prix unitaire s'appliquerait à l'abonnement : pour $x = 0$, la
dépense serait de $6$ euros et non de $15$.

]]> Variation linéaire — Q23 : Points alignés Pourquoi les points représentant une suite arithmétique sont-ils
alignés ?

]]> Le terme général $u_n = u_0 + nr$ est une expression affine en $n$. Les
points de la représentation appartiennent donc à une droite de coefficient
directeur $r$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Parce que l'accroissement est constant

]]> Bonne réponse : passer d'un rang au suivant décale toujours de la même
hauteur, ce qui dessine une droite.

]]> Parce que les termes sont tous positifs

]]> Le signe n'intervient pas : une suite de raison négative donne des
points alignés qui descendent.

]]> Parce que la suite est croissante

]]> L'alignement vaut aussi pour une suite décroissante, et même pour une
suite constante.

]]> Parce que les rangs sont des entiers

]]> Les rangs sont entiers pour toute suite, y compris géométrique, dont
les points ne sont pas alignés.

]]> Variation linéaire — Q24 : Des allumettes pour un motif en T On construit des motifs en forme de T avec des allumettes. Le
motif n° $1$ en compte $5$, et on ajoute $3$ allumettes pour passer
d'un motif au suivant. Combien d'allumettes compte le motif n° $20$ ?

]]> Le nombre d'allumettes suit une suite arithmétique de premier
terme $u(1) = 5$ et de raison $3$ : $u(n) = 5 + 3(n - 1)$, donc
$u(20) = 62$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $62$

]]> Bonne réponse : du motif n° $1$ au motif n° $20$, on ajoute
$19$ fois $3$ allumettes, soit $5 + 3 \times 19 = 62$.

]]> $65$

]]> Décalage de rang : $5 + 3 \times 20$ ajoute une fois de trop
les $3$ allumettes, car le motif n° $1$ en compte déjà $5$.

]]> $60$

]]> Premier terme oublié : $3 \times 20$ ne compte que les ajouts,
sans les $5$ allumettes du départ.

]]> $100$

]]> Proportionnalité supposée à tort : $5 \times 20$ reviendrait
à ajouter $5$ allumettes à chaque motif, et non $3$.

]]> Variation linéaire — Q25 : Quand le second tarif devient avantageux Le tarif A coûte $0{,}5x + 20$ euros, le tarif B $0{,}9x + 8$ euros.
À partir de quelle valeur de $x$ le tarif A est-il le moins cher ?

]]> Comparer deux tarifs affines revient à résoudre une équation, puis à
décider de part et d'autre du point d'égalité en comparant les
coefficients directeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc À partir de $x = 30$

]]> Bonne réponse : l'égalité $0{,}5x + 20 = 0{,}9x + 8$ donne $x = 30$,
et A croît moins vite ensuite.

]]> À partir de $x = 12$

]]> Écart des parties fixes : $20 - 8 = 12$ ne tient pas compte des prix
unitaires.

]]> À partir de $x = 20$

]]> Partie fixe recopiée : pour $x = 20$, A coûte $30$ euros et B $26$
euros, donc B reste avantageux.

]]> Jamais, B est toujours moins cher

]]> Pour $x = 100$, A coûte $70$ euros et B $98$ euros : l'ordre finit par
s'inverser.

]]> Variation linéaire — Q26 : Signe de la raison Que peut-on dire d'une suite arithmétique de raison nulle ?

]]> Le signe de la raison donne le sens de variation : positive la suite
croît, négative elle décroît, nulle elle est constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est constante

]]> Bonne réponse : ajouter $0$ à chaque étape laisse tous les termes
égaux au premier.

]]> Elle est croissante

]]> La croissance stricte exigerait une raison strictement positive.

]]> Elle est décroissante

]]> La décroissance stricte exigerait une raison strictement négative.

]]> Elle n'est pas définie

]]> Une raison nulle est parfaitement admissible : la suite vaut alors
toujours son premier terme.

]]> Variation linéaire — Q27 : Taux d'accroissement entre deux valeurs Pour une fonction affine, on lit $f(2) = 5$ et $f(6) = 17$.
Quel est son coefficient directeur ?

]]> Pour une fonction affine, le taux d'accroissement entre deux valeurs est
constant et vaut le coefficient directeur. C'est ce qui caractérise une
croissance linéaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{17 - 5}{6 - 2} = \dfrac{12}{4} = 3$.

]]> $12$

]]> Division oubliée : $12$ est la variation de $f$, qu'il reste à
rapporter à celle de $x$.

]]> $4$

]]> Variation de $x$ recopiée : elle sert de dénominateur au calcul.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Quotient inversé : le numérateur est la variation des images, le
dénominateur celle des nombres de départ.

]]> Variation linéaire — Q28 : Linéaire ou exponentiel Une population perd chaque année $200$ habitants.
Quel modèle décrit cette évolution ?

]]> Une variation d'un nombre fixe d'unités par période relève du modèle
linéaire. Une variation d'un pourcentage fixe relève du modèle
exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une suite arithmétique de raison $-200$

]]> Bonne réponse : la perte est un nombre fixe d'habitants, donc une
soustraction constante.

]]> Une suite géométrique de raison $0{,}8$

]]> Ce modèle correspondrait à une perte de $20$ % par an, donc à un
nombre d'habitants perdus qui diminue avec le temps.

]]> Une suite géométrique de raison $-200$

]]> Une raison géométrique multiplie les termes ; négative, elle ferait
alterner le signe de la population.

]]> Une suite arithmétique de raison $0{,}8$

]]> Cette suite perdrait seulement $0{,}8$ habitant par an, ce qui ne
correspond pas à l'énoncé.

]]> Variation linéaire — Q29 : Du premier terme au terme général Une suite arithmétique a pour premier terme $u_0 = 4$ et pour raison
$6$. Quelle est l'expression de $u_n$ ?

]]> Pour une suite arithmétique commençant au rang $0$, on a
$u_n = u_0 + nr$. Si elle commence au rang $1$, la formule devient
$u_n = u_1 + (n-1)r$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_n = 4 + 6n$

]]> Bonne réponse : après $n$ pas de $6$ à partir de $4$, on a ajouté
$6n$.

]]> $u_n = 6 + 4n$

]]> Rôles échangés : le premier terme est la constante, la raison le
coefficient de $n$.

]]> $u_n = 4 \times 6^n$

]]> Modèle géométrique : la raison se multiplierait au lieu de s'ajouter.

]]> $u_n = 4 + 6(n - 1)$

]]> Formule du premier terme de rang $1$ : ici la suite commence au rang
$0$, donc $u_0$ doit valoir $4$.

]]> Variation linéaire — Q30 : Deux droites parallèles, deux tarifs Deux tarifs sont représentés par des droites parallèles.
Que peut-on en conclure ?

]]> Deux fonctions affines de même coefficient directeur diffèrent d'une
constante. Leur comparaison est décidée une fois pour toutes, sans point
d'égalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Leur écart de prix reste constant

]]> Bonne réponse : des pentes égales signifient une même augmentation par
unité, donc un écart qui ne bouge pas.

]]> Les deux tarifs finissent par se croiser

]]> Deux droites parallèles distinctes n'ont aucun point commun, quel que
soit le nombre d'unités.

]]> Le moins cher au départ devient le plus cher

]]> L'ordre ne peut pas s'inverser : l'écart garde le même signe partout.

]]> Les deux tarifs ont le même abonnement

]]> Ce sont les ordonnées à l'origine qui diffèrent, c'est même ce qui
rend les droites distinctes.

]]> Variation linéaire — Q31 : Remonter jusqu'au premier terme Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n - 4$ pour tout entier
$n$, et l'on sait que $u_{5} = 3$. Que vaut son premier terme
$u_0$ ?

]]> La relation $u_{n+1} = u_n + r$ se parcourt dans les deux sens : vers
l'avant on ajoute la raison, vers l'arrière on la retranche. Le nombre
d'étapes est l'écart des rangs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $23$

]]> Bonne réponse : chaque pas en avant retire $4$, donc chaque pas
en arrière ajoute $4$. De $u_0$ à $u_{5}$ il y a $5$ pas,
d'où $u_0 = 3 + 5 \times 4 = 23$.

]]> $-17$

]]> Sens du parcours inversé : la suite descend, donc remonter vers
$u_0$ ajoute $4$ à chaque pas au lieu de le retrancher.

]]> $19$

]]> Un pas oublié : de $u_0$ à $u_{5}$, la suite effectue $5$
étapes et non $4$.

]]> $12$

]]> Opérations confondues : la raison s'ajoute autant de fois qu'il y a
d'étapes, elle ne multiplie jamais le terme.

]]> Variation linéaire — Q32 : L'égalité qui définit la raison Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$. Quelle égalité
traduit exactement cette définition ?

]]> Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes
consécutifs est la même pour tous les rangs. Cette différence commune
porte le nom de raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u_{n+1} - u_n = r$ pour tout entier $n$

]]> Bonne réponse : la raison est la différence entre un terme et le
précédent, et cette différence ne change jamais de rang en rang.

]]> $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = r$ pour tout entier $n$

]]> Quotient constant : cette égalité définit une suite géométrique,
où l'on multiplie par la raison au lieu de l'ajouter.

]]> $u_{n+1} - u_n = n$ pour tout entier $n$

]]> Accroissement variable : ici l'écart grandit avec le rang, alors
qu'une suite arithmétique avance toujours du même pas.

]]> $u_n - u_0 = r$ pour tout entier $n$

]]> Une seule étape comptée : cet écart vaut $r$ au rang $1$, mais
$n \times r$ au rang $n$.

]]> Variation linéaire — Q33 : Conclure sans calculer la raison Une suite arithmétique vérifie $u_3 = 40$ et $u_{10} = 12$. Sans
calculer sa raison, que peut-on affirmer ?

]]> Une suite arithmétique garde le même sens de variation du début à la
fin. Comparer deux de ses termes donne donc immédiatement ce sens,
sans passer par le calcul de la raison.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle décroît, un rang plus grand donnant un terme plus petit

]]> Bonne réponse : les termes d'une suite arithmétique évoluent
toujours dans le même sens, donc une seule comparaison suffit à
conclure.

]]> Elle croît, puisque le rang passe de $3$ à $10$ dans le relevé

]]> Le rang augmente toujours : c'est l'évolution des termes, et non
celle des rangs, qui donne le sens de variation.

]]> Elle est constante, puisque ses deux termes restent positifs

]]> Le signe des termes n'intervient pas : une suite constante aurait
deux termes égaux, ce qui n'est pas le cas ici.

]]> On ne peut rien affirmer sans connaître le premier terme $u_0$

]]> Le premier terme fixe le point de départ, pas la direction : deux
termes suffisent pour trancher.

]]> Variation linéaire — Q34 : Une droite qui descend Six points d'abscisses 0 à 5 et d'ordonnées 9 ; 7,5 ; 6 ; 4,5 ; 3 et 1,5 : ils descendent régulièrement, alignés.

Les points ci-dessous représentent une suite arithmétique : ils sont
alignés sur une droite qui descend. Que peut-on dire de sa raison ?

]]> La raison d'une suite arithmétique se lit comme le coefficient
directeur de la droite des points : positive elle monte, négative elle
descend, nulle elle reste horizontale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est strictement négative

]]> Bonne réponse : la raison joue le rôle du coefficient directeur.
Négative, elle fait perdre la même hauteur à chaque rang.

]]> Elle est strictement positive

]]> Une raison positive fait monter les points d'un rang au suivant,
donc donne une droite qui monte.

]]> Elle est nulle, la droite étant tracée

]]> Une raison nulle donnerait des points à la même hauteur, alignés
sur une droite horizontale.

]]> Son premier terme est négatif

]]> Le premier terme situe la droite en hauteur, alors que la raison
en donne l'inclinaison.

]]> Variation linéaire — Q35 : Deux tarifs lus sur un graphique Deux droites. La droite A part de (0 ; 28) et monte lentement ; la droite B part de l'origine et monte plus vite. Elles se coupent au point (20 ; 44) ; avant 20 unités A est au-dessus de B, après elle est en dessous.

Sur le graphique ci-dessous, les droites de deux tarifs A et B se
coupent au point de coordonnées $(20\,;\,44)$. Avant ce point, la
droite de A est au-dessus de celle de B. Quel tarif choisir pour $30$
unités ?

]]> Comparer deux tarifs affines revient à repérer leur point
d'intersection, puis à observer laquelle des deux droites passe en
dessous de part et d'autre de ce point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Le tarif A, passé en dessous au-delà de $20$ unités

]]> Bonne réponse : deux droites qui se croisent échangent leurs
positions. A étant au-dessus avant $20$ unités, elle passe en
dessous après, et devient le tarif le moins cher.

]]> Le tarif B, moins cher quel que soit le nombre d'unités

]]> B n'est le moins cher qu'avant le croisement : au-delà de $20$
unités, la position des deux droites s'inverse.

]]> Les deux, qui coûtent tous deux $44$ euros

]]> Le point d'intersection ne vaut que pour $20$ unités : les deux
tarifs coïncident là, et nulle part ailleurs.

]]> Impossible de conclure sans les deux expressions

]]> Le graphique suffit : le point d'intersection et la position
relative avant celui-ci déterminent entièrement la réponse.

]]> Variation linéaire — Q36 : Coefficient directeur dans une écriture inhabituelle Quel est le coefficient directeur de la droite d'équation
$y = 9 - 4x$ ?

]]> Une équation réduite s'écrit $y = mx + p$. Quand les deux termes sont
présentés dans l'autre ordre, il faut repérer celui qui multiplie $x$
et lui conserver son signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-4$

]]> Bonne réponse : le coefficient directeur est le nombre qui
multiplie $x$, avec son signe. En écrivant $y = -4x + 9$, il
apparaît clairement.

]]> $4$

]]> Signe oublié : le terme s'écrit $- 4x$, donc le coefficient
directeur vaut $-4$ et la droite descend.

]]> $9$

]]> Termes confondus : $9$ est le terme constant, c'est-à-dire
l'ordonnée à l'origine de la droite.

]]> $-9$

]]> Opposé du mauvais nombre : c'est le coefficient de $x$ qui porte le
signe moins, pas le terme constant.

]]> Variation linéaire — Q37 : Variation sur plusieurs unités Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 4x - 7$. De
combien $f(x)$ augmente-t-elle lorsque $x$ augmente de $3$ ?

]]> Pour une fonction affine de coefficient directeur $m$, une variation
de $h$ sur $x$ produit une variation de $m \times h$ sur les images,
quelle que soit la valeur de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc De $12$

]]> Bonne réponse : chaque unité gagnée sur $x$ ajoute $4$ à $f(x)$,
donc $3$ unités en ajoutent $4 \times 3 = 12$.

]]> De $4$

]]> Variation d'une seule unité : il reste à la multiplier par les
$3$ unités annoncées.

]]> De $3$

]]> Variation de $x$ recopiée : celle de $f(x)$ s'obtient en la
multipliant par le coefficient directeur $4$.

]]> De $5$

]]> Image calculée au lieu d'un écart : $f(3)$ est une valeur de la
fonction, pas la variation entre deux valeurs.

]]> Variation linéaire — Q38 : Un tarif à deux paliers Un parking facture $3$ euros la première heure, puis $2$ euros
par heure supplémentaire. Combien coûte un stationnement de $5$
heures ?

]]> Un tarif par paliers est un modèle affine par morceaux : chaque tranche
a son propre prix, et le total additionne la part fixe du premier
palier et la part proportionnelle des suivants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11$ euros

]]> Bonne réponse : la première heure est facturée à part, et les
$4$ heures restantes à $2$ euros, d'où
$3 + 2 \times 4 = 11$.

]]> $13$ euros

]]> Une heure comptée deux fois : la première heure est déjà payée par
le tarif de départ, il reste $4$ heures supplémentaires.

]]> $10$ euros

]]> Premier palier oublié : la première heure est facturée $3$
euros, et non $2$ euros comme les suivantes.

]]> $25$ euros

]]> Tarifs additionnés puis multipliés : le prix de la première heure
ne se paie qu'une seule fois.

]]> Variation linéaire — Q39 : Retrouver le revenu à partir de l'impôt Un impôt est calculé ainsi : rien jusqu'à $2000$ euros de revenu
mensuel, puis $30\ \%$ de la partie située au-delà. Une personne
paie $900$ euros. Quel est son revenu mensuel ?

]]> Le barème donne l'impôt à partir du revenu. Pour faire le chemin
inverse, on divise l'impôt par le taux de la tranche afin de
reconstituer la partie imposable, puis on ajoute le seuil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5000$ euros

]]> Bonne réponse : $900$ euros représentent $30\ \%$ de la
partie imposable, qui vaut donc $3000$ euros. Le revenu ajoute
le seuil : $2000 + 3000 = 5000$.

]]> $3000$ euros

]]> Seuil oublié : $3000$ euros est la seule partie imposée, à
laquelle s'ajoute la tranche non imposée de $2000$ euros.

]]> $2900$ euros

]]> Impôt ajouté tel quel : il ne représente que $30\ \%$ de la
partie imposable, qu'il faut donc reconstituer d'abord.

]]> $2270$ euros

]]> Pourcentage appliqué à l'envers : ici l'impôt est connu, il faut
remonter au montant dont il représente $30\ \%$.

]]> Variation linéaire — Q40 : Un placement à intérêts simples Un capital de $2000$ euros est placé à intérêts simples : il rapporte
chaque année $3\ \%$ du capital initial. Quelle est la valeur du
placement au bout de $4$ ans ?

]]> Des intérêts simples ajoutent chaque année le même montant : la valeur
du placement suit un modèle linéaire. Des intérêts composés
multiplieraient le capital par un même facteur, ce qui relève du modèle
exponentiel.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2240$ euros

]]> Bonne réponse : les intérêts annuels valent $60$ euros, et
ils sont identiques chaque année, d'où
$2000 + 4 \times 60 = 2240$.

]]> $2060$ euros

]]> Une seule année comptée : les intérêts sont versés $4$ fois, pas
une seule.

]]> $240$ euros

]]> Intérêts seuls : cette somme est le gain total, auquel il faut
ajouter le capital de départ.

]]> $2251{,}02$ euros

]]> Intérêts composés : ce calcul applique le taux à un capital
augmenté chaque année. À intérêts simples, le taux porte toujours
sur le capital initial.

]]> Variation linéaire — Q41 : Retrouver le coût fixe Le coût de production d'un atelier est modélisé par une fonction
affine du nombre de pièces. Produire $20$ pièces coûte $700$ euros,
en produire $50$ coûte $1150$ euros. Quel est le coût fixe,
c'est-à-dire le coût pour zéro pièce ?

]]> Retrouver un modèle affine à partir de deux couples de valeurs demande
deux étapes : le coefficient directeur par le quotient des variations,
puis le terme constant en reportant l'un des couples.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $400$ euros

]]> Bonne réponse : le coût par pièce vaut $15$ euros, donc les
$20$ premières pièces coûtent $15 \times 20$ euros, et le
coût fixe est $700 - 15 \times 20 = 400$.

]]> $15$ euros

]]> Coût unitaire pris pour le coût fixe : $15$ euros est le prix
d'une pièce supplémentaire, pas la part indépendante du nombre de
pièces.

]]> $450$ euros

]]> Écart brut des deux coûts : il correspond aux pièces
supplémentaires produites, et reste à rapporter à leur nombre.

]]> $1000$ euros

]]> Signe inversé : le coût des $20$ premières pièces se retranche
au coût total pour isoler la part fixe.

]]> Variation linéaire — Q42 : Un relevé qui n'est pas linéaire Un relevé donne $f(0) = 2$, $f(1) = 6$, $f(2) = 18$ et $f(3) = 54$.
Un modèle linéaire convient-il ?

]]> Deux tests distinguent les modèles : des différences constantes
signalent le modèle linéaire, des quotients constants le modèle
exponentiel. Ici les quotients valent $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : les valeurs sont multipliées par $3$ à chaque étape

]]> Bonne réponse : les quotients successifs valent tous $3$, ce qui
caractérise le modèle exponentiel, alors que le modèle linéaire
exige des différences constantes.

]]> Oui : les valeurs augmentent régulièrement à chaque étape

]]> Augmenter ne suffit pas : il faut augmenter du même montant, or les
écarts valent $4$, puis $12$, puis $36$.

]]> Oui : les écarts $4$, $12$ et $36$ forment une progression

]]> Des écarts qui progressent sont justement la preuve du contraire :
le modèle linéaire les veut tous égaux.

]]> Non : aucun modèle usuel ne décrit un tel relevé de valeurs

]]> Un modèle convient pourtant : la multiplication par un même facteur
caractérise la croissance exponentielle.

]]> Variation linéaire — Q43 : Ce que dit l'ordonnée à l'origine La longueur d'un ressort, en centimètres, est donnée par
$L(m) = 12 + 0{,}5\,m$, où $m$ est la masse accrochée, en grammes. Sa
représentation graphique est une droite. Que représente son ordonnée à
l'origine ?

]]> Dans un modèle affine, le terme constant se lit sur l'axe des
ordonnées et décrit l'état initial, tandis que le coefficient directeur
décrit la vitesse d'évolution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La longueur du ressort sans masse accrochée

]]> Bonne réponse : l'ordonnée à l'origine est la valeur en $m = 0$,
c'est-à-dire la longueur du ressort au repos.

]]> L'allongement du ressort par gramme accroché

]]> Cet allongement vaut $0{,}5$ centimètre : il se lit dans le
coefficient directeur, qui donne l'inclinaison de la droite.

]]> La masse au-delà de laquelle le ressort casse

]]> Le modèle ne décrit aucune rupture : il relie seulement une masse
accrochée à une longueur.

]]> La longueur atteinte pour une masse de $12$ grammes

]]> Pour $m = 12$, la longueur vaut $18$ centimètres : l'ordonnée à
l'origine correspond à la masse nulle.

]]> Variation linéaire — Q44 : Un réservoir qui se vide Un réservoir contient $240$ litres et se vide de $15$ litres par
heure. Au bout de combien d'heures contient-il $90$ litres ?

]]> Un débit constant donne un modèle affine : le volume s'écrit
$v(t) = v_0 - dt$. Chercher l'instant où il atteint une valeur donnée
revient à résoudre une équation du premier degré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$ heures

]]> Bonne réponse : il faut perdre $240 - 90 = 150$ litres, à
raison de $15$ litres par heure, soit $10$ heures.

]]> $150$ heures

]]> Volume pris pour une durée : $150$ litres est le volume à
perdre, qu'il reste à diviser par le débit horaire.

]]> $16$ heures

]]> Vidange complète : ce calcul donne le temps nécessaire pour vider
entièrement le réservoir, pas pour atteindre $90$ litres.

]]> $6$ heures

]]> Mauvais volume divisé : c'est le volume perdu qui se divise par le
débit, et non le volume restant.

]]> Variation linéaire — Q45 : Deux termes, puis un troisième Une suite arithmétique vérifie $u_1 = 5$ et $u_{10} = 32$. Que
vaut $u_{20}$ ?

]]> Deux termes connus donnent la raison en divisant l'écart des termes par
l'écart des rangs. Le terme cherché s'obtient ensuite par
$u_n = u_1 + (n - 1)r$, en comptant soigneusement les pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $62$

]]> Bonne réponse : $9$ pas séparent les rangs $1$ et $10$, donc
la raison vaut $3$. Du rang $1$ au rang $20$ il y a $19$
pas, d'où $u_{20} = 5 + 19 \times 3 = 62$.

]]> $65$

]]> Un pas de trop : la suite commence au rang $1$, donc atteindre le
rang $20$ demande $19$ pas et non $20$.

]]> $92$

]]> Terme de départ mal choisi : en partant de $u_{10}$, il ne reste
que les pas séparant les rangs $10$ et $20$.

]]> $35$

]]> Départ et nombre de pas incompatibles : on part ici de $u_1$ tout
en comptant les pas à partir du rang $10$.

]]> Variation linéaire — Q46 : Une suite arithmétique au tableur Dans un tableur, la cellule B2 contient le premier terme $u_0 = 500$
d'une suite arithmétique de raison $-15$, et les termes suivants
s'écrivent en dessous. Quelle formule saisir en B3 pour la recopier
ensuite vers le bas ?

]]> La relation de récurrence $u_{n+1} = u_n - 15$ se traduit par une
formule qui renvoie à la cellule du dessus ; la recopie décale la
référence d'une ligne à chaque fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc =B2-15

]]> Bonne réponse : chaque terme s'obtient en retirant $15$ au
précédent. Recopiée vers le bas, la formule devient =B3-15,
puis =B4-15, etc.

]]> =B2*(-15)

]]> Erreur : multiplier par la raison correspond à une suite
géométrique. Une suite arithmétique ajoute sa raison.

]]> =500-15

]]> Erreur : recopiée, cette formule donne $485$ dans toutes les
cellules. Elle doit faire référence au terme précédent.

]]> =B3-15

]]> Erreur : la cellule B3 ferait référence à elle-même. Le terme
précédent se trouve en B2.

]]> Variation linéaire — Q47 : Un carré bordé Carré de 3 carreaux sur 3, blancs, entouré d'une bordure de carreaux gris : l'ensemble forme un carré de 5 sur 5 comptant 16 carreaux gris.

Un carré de $5 \times 5$ carreaux blancs est entouré d'une
bordure d'un carreau d'épaisseur, faite de carreaux gris. La figure
montre le cas d'un carré de $3 \times 3$. Combien de carreaux gris
faut-il pour le carré de $5 \times 5$ ?

]]> Le nombre de carreaux gris $u(n) = 4n + 4$ augmente de $4$ quand le
côté augmente de $1$ : c'est une suite arithmétique de raison $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $24$

]]> Bonne réponse : quatre côtés de $5$ carreaux, plus les quatre
coins, soit $4 \times 5 + 4 = 24$. Pour $3 \times 3$, on
retrouve $16$.

]]> $20$

]]> Erreur : les quatre carreaux des coins ont été oubliés. Pour
$3 \times 3$, ce calcul donnerait $12$ au lieu de $16$.

]]> $28$

]]> Erreur : en comptant $7$ carreaux sur chaque côté, chaque
coin est compté deux fois.

]]> $49$

]]> Erreur : $(5 + 2)^2 = 49$ compte tous les carreaux, blancs
compris. Il faut retirer les $25$ carreaux blancs.

]]> Variation linéaire — Q48 : Des croix de plus en plus grandes Trois croix de carreaux. La croix 1 a un carreau central et quatre branches d'un carreau (5 carreaux) ; la croix 2 a des branches de deux carreaux (9 carreaux) ; la croix 3 a des branches de trois carreaux (13 carreaux).

On construit des croix avec des carreaux : la croix numéro $n$ a un
carreau central et quatre branches de $n$ carreaux. On note $u(n)$
le nombre de carreaux de la croix numéro $n$. Quelle relation relie
$u(n + 1)$ à $u(n)$ ?

]]> Une quantité qui augmente toujours du même nombre d'une étape à la
suivante se modélise par une suite arithmétique : ici,
$u(n) = 4n + 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $u(n + 1) = u(n) + 4$

]]> Bonne réponse : passer de la croix $n$ à la croix $n + 1$
ajoute un carreau au bout de chacune des quatre branches ($5$,
$9$, $13$, …).

]]> $u(n + 1) = 4\,u(n) + 1$

]]> Erreur : la croix suivante ne contient pas quatre copies de la
précédente. Avec $u(1) = 5$, on obtiendrait $u(2) = 21$ au lieu
de $9$.

]]> $u(n + 1) = u(n) + 1$

]]> Erreur : on n'ajoute pas un seul carreau, mais un à chaque
extrémité, donc quatre.

]]> $u(n + 1) = u(n) + 5$

]]> Erreur : $5$ est le nombre de carreaux de la première croix ; le
carreau central n'est pas ajouté à chaque étape.

]]> Variation linéaire — Q49 : Le niveau des océans On modélise l'élévation du niveau moyen des océans depuis l'an 2000
par une croissance linéaire de $3{,}3$ millimètres par an. Selon ce
modèle, en quelle année l'élévation par rapport à 2000 dépassera-t-elle
$20$ centimètres ?

]]> Un problème de seuil linéaire se résout par une inéquation
$a\,n > S$ : on prend le premier entier $n$ supérieur à
$\dfrac{S}{a}$, après avoir mis les grandeurs dans la même
unité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En $2061$

]]> Bonne réponse : $20$ cm $= 200$ mm, et $3{,}3\,n > 200$ donne
$n > 60{,}61$ ; le premier entier qui convient est $61$, d'où
l'année $2000 + 61$.

]]> En $2060$

]]> Erreur d'arrondi : au bout de $60$ ans, l'élévation reste
inférieure à $200$ mm. Le seuil n'est dépassé qu'un an plus
tard.

]]> En $2007$

]]> Erreur d'unité : on a divisé des centimètres par des
millimètres par an. Il faut convertir $20$ cm en $200$ mm.

]]> En $2200$

]]> Erreur : on a compté une année par millimètre, sans tenir compte
de la vitesse de $3{,}3$ mm par an.

]]>