$course$/QCM de maths/Seconde/Arithmétique Notations $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$, multiples et diviseurs,
nombres pairs et impairs, fractions irréductibles, premiers
raisonnements (somme de multiples, carré d'un impair) et tests
algorithmiques.

]]> Arithmétique — Q01 : Reconnaître un multiple Le nombre $51$ est-il un multiple de $17$ ?

]]> Définition : $a$ est multiple de $b$ s'il existe un entier $k$
tel que $a = kb$. Ici $51 = 3 \times 17$ : $51$ est multiple de
$17$ (et $17$ est un diviseur de $51$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $51 = 3 \times 17$

]]> Bonne réponse : il existe un entier $k$ (ici $k = 3$) tel
que $51 = k \times 17$ : c'est la définition d'un multiple.

]]> Non, car $51$ est impair

]]> Erreur : la parité ne concerne que la divisibilité par
$2$. Un nombre impair peut très bien être multiple de
$17$ : $51 = 3 \times 17$.

]]> Non, car $17 + 17 = 34 \neq 51$

]]> Erreur : tu t'es arrêté trop tôt. Les multiples de $17$
sont $17$, $34$, $51$, $68$… : $51$ en fait partie
($3 \times 17$).

]]> Oui, car $51$ se termine par $1$, comme tout multiple de $17$

]]> La conclusion est bonne mais la raison est fausse : aucun
critère de divisibilité ne se lit sur le dernier chiffre
pour $17$. La seule justification valable est
$51 = 3 \times 17$.

]]> Arithmétique — Q02 : Écriture d'un nombre pair Comment caractérise-t-on un entier pair $n$ ?

]]> $n$ pair $\Leftrightarrow$ $n = 2k$ avec $k$ entier ;
$n$ impair $\Leftrightarrow$ $n = 2k + 1$. Ces écritures
littérales servent à démontrer (par exemple que le carré d'un
impair est impair).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k$

]]> Bonne réponse : un nombre pair est un multiple de $2$. Cette écriture
$n = 2k$ est l'outil de toutes les démonstrations de
parité.

]]> Il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$

]]> Erreur : $2k + 1$ est l'écriture d'un nombre impair
(un pair plus un).

]]> $n$ se termine par $2$

]]> Insuffisant : $14$, $36$, $58$, $70$ sont pairs sans se
terminer par $2$. Le critère du dernier chiffre est
« $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ », mais la définition est
$n = 2k$.

]]> $n$ est positif

]]> Erreur : le signe n'a rien à voir avec la parité. $-6$ est
pair ($-6 = 2 \times (-3)$).

]]> Arithmétique — Q03 : Le cas de zéro Le nombre $0$ est-il un multiple de $7$ ?

]]> $0 = 0 \times b$ pour tout entier $b$ : $0$ est multiple de
tous les entiers. En revanche, $0$ ne divise aucun entier
non nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $0 = 0 \times 7$

]]> Bonne réponse : la définition demande un entier $k$ tel que
$0 = k \times 7$, et $k = 0$ convient. $0$ est multiple de
tout entier.

]]> Non, car $0$ n'est dans la table de personne

]]> Erreur : la « table de 7 » commence bien par
$0 \times 7 = 0$. L'intuition des tables récitées à partir
de $1$ fait oublier ce premier terme.

]]> Non, car on ne peut pas diviser par $0$

]]> Confusion : on ne divise pas par $0$, mais ici c'est
$0$ qu'on divise par $7$ ($0 \div 7 = 0$, sans problème).

]]> Oui, mais seulement si on admet $k$ non entier

]]> Erreur : $k = 0$ est un entier parfaitement valable. Aucune
extension n'est nécessaire.

]]> Arithmétique — Q04 : Somme de deux multiples Soient $m$ et $n$ deux multiples de $7$. Que peut-on dire de
leur somme $m + n$ ?

]]> Démonstration type (au programme) : $m = 7k$, $n = 7j$, donc
$m + n = 7(k + j)$ : multiple de $7$. La factorisation par $7$
est tout l'argument.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est toujours un multiple de $7$

]]> Bonne réponse : $m = 7k$ et $n = 7j$ donnent
$m + n = 7(k + j)$, avec $k + j$ entier : c'est la
démonstration du programme.

]]> C'est un multiple de $14$

]]> Erreur : $7 + 14 = 21$ est multiple de $7$ mais pas de
$14$. La somme reste dans les multiples de $7$, sans
doubler la base.

]]> Ce n'est un multiple de $7$ que si $m = n$

]]> Erreur : aucune condition n'est nécessaire :
$7(k + j)$ fonctionne pour tous entiers $k$ et $j$.

]]> On ne peut rien dire en général

]]> Erreur : la factorisation $m + n = 7k + 7j = 7(k+j)$
conclut dans tous les cas.

]]> Arithmétique — Q05 : Carré d'un nombre impair Soit $n = 2k + 1$ un entier impair. Sa mise au carré donne
$n^2 = 4k^2 + 4k + 1$. Que peut-on en conclure ?

]]> $(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ : la forme
$2 \times \text{entier} + 1$ prouve que le carré d'un impair
est impair, quel que soit $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ est impair

]]> Bonne réponse : $n^2$ s'écrit $2 \times \text{entier} + 1$,
la forme exacte d'un nombre impair. C'est la démonstration
du programme.

]]> $n^2$ est pair car $4k^2 + 4k$ est pair

]]> Erreur de lecture : $4k^2 + 4k$ est bien pair, mais il
reste le $+1$ final qui rend le total impair.

]]> $n^2$ est multiple de $4$

]]> Erreur : le $+1$ empêche la divisibilité par $4$ (et même
par $2$). Exemple : $3^2 = 9$, pas multiple de $4$.

]]> On ne peut rien conclure sans connaître $k$

]]> Erreur : l'écriture $2(2k^2 + 2k) + 1$ conclut pour
tout entier $k$ : c'est la force du calcul littéral.

]]> Arithmétique — Q06 : Compter les diviseurs Combien l'entier $12$ possède-t-il de diviseurs positifs ?

]]> Diviseurs de $12$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$, soit $6$ diviseurs.
Méthode : chercher les paires dont le produit vaut $12$. Les
diviseurs d'un entier non nul sont en nombre fini, ses
multiples en nombre infini.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : les diviseurs sont $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $12$ ; on les
trouve par paires de produit $12$ : $1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$.

]]> $4$

]]> Incomplet : n'oublie pas les extrêmes $1$ et $12$, qui sont
toujours diviseurs.

]]> $5$

]]> Presque : recompte par paires ($1 \times 12$, $2 \times 6$, $3 \times 4$) : cela fait
$6$ diviseurs.

]]> Une infinité

]]> Erreur : ce sont les multiples de $12$ qui sont en
nombre infini. Les diviseurs d'un entier non nul sont en
nombre fini.

]]> Arithmétique — Q07 : Fraction irréductible Quelle est la forme irréductible de la fraction
$\dfrac{42}{56}$ ?

]]> Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. $\dfrac{42}{56} = \dfrac{42 \div 14}{56 \div 14}
= \dfrac{3}{4}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{4}$

]]> Bonne réponse : $42 = 14 \times 3$ et $56 = 14 \times 4$ :
on simplifie par $14$ et il ne reste aucun diviseur commun.

]]> $\dfrac{21}{28}$

]]> Simplification inachevée : tu as divisé par $2$, mais $21$
et $28$ restent tous deux divisibles par $7$ :
$\dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4}$.

]]> $\dfrac{6}{8}$

]]> Simplification inachevée : $6$ et $8$ sont encore
divisibles par $2$ : $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur de calcul : les produits en croix
$2 \times 56$ et $3 \times 42$ diffèrent. La
simplification correcte par $14$ donne $\dfrac{3}{4}$.

]]> Arithmétique — Q08 : Les ensembles $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ Quelle affirmation est correcte à propos du nombre $-3$ ?

]]> $\mathbb{N} = \{0\,;\,1\,;\,2\,;\,\ldots\}$ (entiers naturels)
et $\mathbb{Z} = \{\ldots\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,
\ldots\}$ (entiers relatifs) : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$
et $-3 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$

]]> Bonne réponse : $\mathbb{N}$ contient les entiers
naturels ($0, 1, 2, \ldots$) et $\mathbb{Z}$ tous les
entiers relatifs, négatifs compris.

]]> $-3 \in \mathbb{N}$ et $-3 \in \mathbb{Z}$

]]> Erreur : $\mathbb{N}$ ne contient aucun nombre négatif.
Les négatifs entiers n'apparaissent qu'à partir de
$\mathbb{Z}$.

]]> $-3 \notin \mathbb{Z}$ car il est négatif

]]> Erreur : c'est précisément la raison d'être de
$\mathbb{Z}$ : accueillir les entiers négatifs
($\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$).

]]> $-3 \in \mathbb{N}$ car $3 \in \mathbb{N}$

]]> Erreur : l'appartenance ne se transmet pas à l'opposé.
$3 \in \mathbb{N}$ mais $-3$ n'y est pas.

]]> Arithmétique — Q09 : Raisonner sur la parité de $n^2$ Soit $n$ un entier tel que $n^2$ est pair. Que peut-on en
déduire pour $n$ ?

]]> Raisonnement par contraposée : « $n$ impair $\Rightarrow$
$n^2$ impair » équivaut à « $n^2$ pair $\Rightarrow$ $n$
pair ». (C'est l'ingrédient clé de l'irrationalité de
$\sqrt{2}$.)

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n$ est pair

]]> Bonne réponse : si $n$ était impair, son carré serait
impair (propriété démontrée en cours). Par contraposée,
$n^2$ pair force $n$ pair.

]]> $n$ est impair

]]> Erreur : teste $n = 4$ : $n^2 = 16$ pair et $n$ pair. Un
carré pair ne peut pas provenir d'un impair.

]]> On ne peut rien dire

]]> Erreur : la propriété « impair $\Rightarrow$ carré
impair » interdit à un impair d'avoir un carré pair. La
conclusion $n$ pair est certaine.

]]> $n = 2$

]]> Trop précis : $n$ peut être $0$, $\pm 2$, $\pm 4$, etc.
On déduit la parité de $n$, pas sa valeur.

]]> Arithmétique — Q10 : Somme d'un pair et d'un impair Que peut-on dire de la somme d'un entier pair et d'un entier
impair ?

]]> Table de parité, prouvée par le littéral : pair $+$ pair $=$
pair ; impair $+$ impair $=$ pair ; pair $+$ impair $=$
impair ($2k + 2j + 1 = 2(k+j) + 1$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est toujours impaire

]]> Bonne réponse : $2k + (2j + 1) = 2(k + j) + 1$, forme d'un
nombre impair, quels que soient les entiers $k$ et $j$.

]]> Elle est toujours paire

]]> Erreur : $2 + 3 = 5$, impair. L'écriture littérale
$2(k+j) + 1$ montre que le $+1$ subsiste toujours.

]]> Sa parité dépend des nombres choisis

]]> Erreur : le calcul littéral tranche une fois pour toutes :
pair $+$ impair $= 2(k+j) + 1$, impair dans tous les
cas.

]]> Elle est multiple de $3$

]]> Erreur : la parité ne dit rien de la divisibilité par
$3$ ($2 + 3 = 5$ n'est pas multiple de $3$).

]]> Arithmétique — Q11 : Tester un multiple en Python En Python, quelle condition teste si l'entier a est un
multiple de l'entier b (avec b non nul) ?

]]> L'opérateur % (modulo) renvoie le reste de la division
euclidienne : a % b == 0 équivaut à « $a$ est multiple de
$b$ ». C'est l'algorithme du programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc a % b == 0

]]> Bonne réponse : a % b est le reste de la division
euclidienne de a par b ; un reste nul signifie
exactement que b divise a.

]]> b % a == 0

]]> Sens inversé : cette condition teste si b est multiple
de a. L'ordre des opérandes compte.

]]> a / b == 0

]]> Erreur : a / b est le quotient décimal ; il ne vaut $0$
que si a vaut $0$. C'est le reste % qui teste la
divisibilité.

]]> a == b

]]> Erreur : l'égalité est un cas très particulier. $51$ est
multiple de $17$ sans lui être égal.

]]> Arithmétique — Q12 : Multiples communs Un bus A passe toutes les $4$ minutes, un bus B toutes les $6$
minutes. Ils viennent de partir ensemble. Dans combien de
minutes repartiront-ils ensemble pour la première fois ?

]]> Les départs simultanés ont lieu aux multiples communs de $4$
et $6$ : $12$, $24$, $36$… Le premier est $12$. Lister les
premiers multiples de chaque nombre suffit à le trouver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ minutes

]]> Bonne réponse : on cherche le plus petit multiple commun
non nul de $4$ et $6$. Multiples de $4$ : $4, 8, 12$… ;
de $6$ : $6, 12$… : premier commun, $12$.

]]> $24$ minutes

]]> Erreur : $24 = 4 \times 6$ est un multiple commun,
mais pas le plus petit : $12$ convient déjà
($12 = 3 \times 4 = 2 \times 6$).

]]> $10$ minutes

]]> Erreur : $10 = 4 + 6$ additionne les périodes ; or $10$
n'est pas un multiple commun de $4$ et de $6$.

]]> $2$ minutes

]]> Erreur : $2$ est un diviseur commun de $4$ et $6$. On
cherche ici un multiple commun (les instants de départ
simultané).

]]> Arithmétique — Q13 : Définition d'un nombre premier Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

]]> Un entier est premier lorsqu'il est supérieur ou égal à $2$ et qu'il
admet exactement deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même. Le nombre $1$
est donc exclu, et $2$ est le seul nombre premier pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un entier ayant exactement deux diviseurs positifs

]]> Bonne réponse : ces deux diviseurs sont $1$ et le nombre lui-même.
C'est pourquoi $1$, qui n'en a qu'un, n'est pas premier.

]]> Un entier qui n'est divisible que par lui-même

]]> Définition incomplète : tout entier est divisible par lui-même.
Il faut préciser que $1$ et lui-même sont les seuls diviseurs.

]]> Un entier impair que rien ne simplifie

]]> La parité n'intervient pas : $2$ est premier bien qu'il soit pair,
et $9$ est impair sans être premier.

]]> Un entier qui n'est le produit d'aucun entier

]]> Formulation fausse : $7$ est premier et s'écrit pourtant
$7 = 1 \times 7$. La condition porte sur le nombre de diviseurs.

]]> Arithmétique — Q14 : Repérer un nombre non premier Parmi les entiers $83$, $89$, $91$ et $97$, lequel n'est pas premier ?

]]> Pour tester la primalité d'un entier $n$, il suffit de chercher un
diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$. Ici $\sqrt{91}$ vaut
environ $9{,}5$, et le test par $7$ suffit à conclure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $91$

]]> Bonne réponse : $91 = 7 \times 13$. Un nombre impair qui ne finit
ni par $5$ ni par $0$ peut très bien avoir des diviseurs.

]]> $83$

]]> Il est premier : aucun des nombres $2$, $3$, $5$ et $7$ ne le divise,
et $9^2 = 81 < 83 < 100$, donc il suffisait de tester jusqu'à $9$.

]]> $89$

]]> Il est premier : $89$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par
$5$, ni par $7$, et il suffit de tester jusqu'à $9$.

]]> $97$

]]> Il est premier : aucun diviseur parmi $2$, $3$, $5$ et $7$, et tester
au-delà de $9$ est inutile puisque $10^2 = 100 > 97$.

]]> Arithmétique — Q15 : Décomposer $360$ Quelle est la décomposition de $360$ en produit de facteurs premiers ?

]]> On divise successivement par les nombres premiers, du plus petit au plus
grand : $360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45$, puis
$45 = 3^2 \times 5$. La décomposition est unique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2^3 \times 3^2 \times 5$

]]> Bonne réponse : $8 \times 9 \times 5 = 360$, et $2$, $3$ et $5$ sont
bien premiers.

]]> $2^2 \times 3^2 \times 10$

]]> Facteur non premier : $10$ se décompose encore en $2 \times 5$. Le
produit vaut bien $360$, mais la décomposition n'est pas terminée.

]]> $2^3 \times 3 \times 15$

]]> Facteur non premier : $15$ vaut $3 \times 5$. Le produit donne $360$,
mais il reste à décomposer un facteur.

]]> $2^4 \times 3^2 \times 5$

]]> Exposant de trop : ce produit vaut $720$, soit le double de $360$.
Le facteur $2$ n'apparaît que trois fois.

]]> Arithmétique — Q16 : Divisibilité par $3$ Parmi ces entiers, lequel est divisible par $3$ ?

]]> Un entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses
chiffres l'est. Le critère se réapplique à la somme obtenue si besoin.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4\,521$

]]> Bonne réponse : $4 + 5 + 2 + 1 = 12$, un multiple de $3$.
On vérifie que $4\,521 = 3 \times 1\,507$.

]]> $3\,721$

]]> Somme des chiffres égale à $13$, qui n'est pas un multiple de $3$.
Commencer par $3$ ne garantit rien.

]]> $4\,411$

]]> Somme des chiffres égale à $10$, qui n'est pas un multiple de $3$.
Le critère porte sur la somme, pas sur le dernier chiffre.

]]> $5\,302$

]]> Somme des chiffres égale à $10$, qui n'est pas un multiple de $3$.
Un nombre pair n'a aucune raison d'être multiple de $3$.

]]> Arithmétique — Q17 : Divisible par $3$, et par $9$ ? La somme des chiffres d'un entier vaut $12$. Que peut-on en conclure ?

]]> Le critère de divisibilité par $9$ est analogue à celui par $3$, mais il
exige une somme des chiffres multiple de $9$. Une somme égale à $12$
assure donc la divisibilité par $3$ seulement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est divisible par $3$ mais pas par $9$

]]> Bonne réponse : $12$ est multiple de $3$ et non de $9$. Exemple :
$57 = 3 \times 19$ n'est pas divisible par $9$.

]]> Il est divisible par $3$ et par $9$

]]> Le critère pour $9$ exige que la somme des chiffres soit multiple de
$9$. Or $12$ ne l'est pas, et $57$ fournit un contre-exemple.

]]> Il est divisible par $9$ mais pas par $3$

]]> Impossible : tout multiple de $9$ est aussi multiple de $3$, puisque
$9 = 3 \times 3$.

]]> Il est divisible par $12$

]]> Le critère ne dit rien sur $12$ : la somme des chiffres de $57$ vaut
$12$, alors que $57$ n'est pas un multiple de $12$.

]]> Arithmétique — Q18 : Divisibilité par $4$ Parmi ces entiers, lequel est divisible par $4$ ?

]]> Comme $100$ est un multiple de $4$, seuls les deux derniers chiffres
décident : un entier est divisible par $4$ si le nombre qu'ils forment
l'est.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1\,316$

]]> Bonne réponse : $16$ est un multiple de $4$, donc $1\,316$ aussi.
On vérifie que $1\,316 = 4 \times 329$.

]]> $1\,322$

]]> Les deux derniers chiffres forment $22$, qui n'est pas un multiple de
$4$. Un nombre pair n'est pas forcément divisible par $4$.

]]> $1\,334$

]]> Les deux derniers chiffres forment $34$, qui n'est pas un multiple de
$4$. La division donne un reste de $2$.

]]> $1\,350$

]]> Les deux derniers chiffres forment $50$, qui n'est pas un multiple de
$4$. Finir par un $0$ ne suffit pas.

]]> Arithmétique — Q19 : Jusqu'où tester les diviseurs Un entier $n \geq 2$ est premier lorsque ses seuls diviseurs positifs
sont $1$ et $n$. On admet que si $n$ n'a aucun diviseur $d$ vérifiant
$d \geq 2$ et $d^2 \leq n$, alors $n$ est premier. Jusqu'à quel entier
suffit-il de chercher un diviseur de $149$ pour prouver qu'il est
premier ?

]]> Si $n$ s'écrit $a \times b$ avec $a \leq b$, alors $a \leq \sqrt{n}$. Un
entier non premier admet donc toujours un diviseur inférieur ou égal à sa
racine carrée, et le test s'arrête là.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Jusqu'à $12$

]]> Bonne réponse : $12^2 = 144 \leq 149$ et $13^2 = 169 > 149$, donc il
suffit de tester les diviseurs jusqu'à $12$.

]]> Jusqu'à $74$

]]> La moitié est un majorant correct mais très large : au-delà de
$\sqrt{149}$, tout diviseur trouvé aurait déjà un complice plus petit.

]]> Jusqu'à $148$

]]> Tester tous les entiers précédents fonctionne, mais c'est douze fois
plus long que nécessaire.

]]> Jusqu'à $149$

]]> Inutile d'aller jusqu'au nombre lui-même : il se divise toujours par
lui-même, ce qui n'apprend rien.

]]> Arithmétique — Q20 : Produit de deux nombres impairs Le produit de deux entiers impairs est-il pair ou impair ?

]]> On écrit les deux entiers sous la forme $2k+1$ et $2p+1$, on développe,
puis on factorise par $2$ tout ce qui peut l'être. Le reste vaut $1$, donc
le produit est impair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toujours impair

]]> Bonne réponse : $(2k+1)(2p+1) = 2(2kp + k + p) + 1$, une écriture de
la forme « double plus un ».

]]> Toujours pair

]]> Contre-exemple immédiat : $3 \times 5 = 15$, qui est impair.
Un produit n'est pair que si l'un des facteurs l'est.

]]> Pair une fois sur deux

]]> Aucun cas ne donne un produit pair : pour obtenir un facteur $2$, il
faudrait qu'un des deux entiers soit pair.

]]> Cela dépend du signe des entiers

]]> Le signe ne change rien à la parité : $(-3) \times 5 = -15$ est
impair, tout comme $3 \times 5$.

]]> Arithmétique — Q21 : Somme de trois entiers consécutifs Que peut-on dire de la somme de trois entiers consécutifs ?

]]> Nommer le premier entier $n$ permet d'écrire les trois termes, de
réduire la somme à $3n+3$, puis de factoriser par $3$. C'est le
raisonnement type de la démonstration en arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est toujours un multiple de $3$

]]> Bonne réponse : $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$, un multiple de
$3$ quel que soit l'entier $n$.

]]> C'est toujours un multiple de $2$

]]> Contre-exemple : $1 + 2 + 3 = 6$ est pair, mais $2 + 3 + 4 = 9$ ne
l'est pas.

]]> C'est toujours un multiple de $6$

]]> Contre-exemple : $2 + 3 + 4 = 9$ est multiple de $3$ sans être
multiple de $6$.

]]> Cela dépend de l'entier choisi

]]> La factorisation $3(n+1)$ ne dépend pas de $n$ : la propriété vaut
pour tous les entiers.

]]> Arithmétique — Q22 : Carré d'un nombre pair Si $n$ est un entier pair, que peut-on affirmer sur $n^2$ ?

]]> Écrire $n = 2k$ puis élever au carré fait apparaître $n^2 = 4k^2$. La
même méthode montre que le carré d'un impair est impair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un multiple de $4$

]]> Bonne réponse : si $n = 2k$, alors $n^2 = 4k^2$, un multiple de $4$.

]]> C'est un multiple de $2$ seulement

]]> Affirmation trop faible : le carré contient deux facteurs $2$, donc
il est toujours multiple de $4$. Ainsi $6^2 = 36 = 4 \times 9$.

]]> C'est un multiple de $n$ seulement

]]> Vrai mais insuffisant : tout carré est multiple de son nombre de
départ. La question porte sur ce qu'ajoute la parité.

]]> C'est un multiple de $8$

]]> Contre-exemple : $2^2 = 4$ n'est pas un multiple de $8$. Seul le
facteur $4$ est garanti.

]]> Arithmétique — Q23 : Nombres premiers pairs Combien existe-t-il de nombres premiers pairs ?

]]> Un nombre pair autre que $2$ possède toujours au moins trois diviseurs :
$1$, $2$ et lui-même. Le nombre $2$ est donc le seul nombre premier pair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Un seul

]]> Bonne réponse : seul $2$ convient. Tout autre nombre pair admet $2$
comme diviseur en plus de $1$ et de lui-même.

]]> Aucun

]]> Oubli du cas $2$ : ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $2$, il
est donc bien premier.

]]> Une infinité

]]> Un nombre pair supérieur à $2$ s'écrit $2k$ avec $k \geq 2$, donc il
possède au moins trois diviseurs.

]]> Autant que de nombres premiers impairs

]]> Les nombres premiers impairs sont en nombre infini, alors que $2$ est
le seul nombre premier pair.

]]> Arithmétique — Q24 : Multiples négatifs Le nombre $-15$ est-il un multiple de $5$ ?

]]> Dire que $a$ est un multiple de $b$ signifie qu'il existe un entier
relatif $k$ tel que $a = b \times k$. Le signe de $k$ est libre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $-15 = 5 \times (-3)$

]]> Bonne réponse : dans $\mathbb{Z}$, un multiple de $5$ est un produit
de $5$ par un entier relatif, positif ou négatif.

]]> Non, un multiple est toujours positif

]]> La définition n'impose aucun signe : $-15$, $-10$, $-5$ et $0$ sont
tous des multiples de $5$.

]]> Non, car $5$ ne divise pas $-15$

]]> La division tombe juste : $-15$ divisé par $5$ donne $-3$, un entier.

]]> Oui, mais seulement dans $\mathbb{N}$

]]> C'est l'inverse : $-15$ n'appartient pas à $\mathbb{N}$, et c'est
justement dans $\mathbb{Z}$ que la propriété se lit.

]]> Arithmétique — Q25 : Afficher les diviseurs en Python Quels nombres le programme Python suivant affiche-t-il ?

for k in range(1, 13):
    if 12 % k == 0:
        print(k)
]]> range(1, 13) parcourt les entiers de $1$ à $12$, et le test
12 % k == 0 ne fait afficher que ceux dont la division tombe juste.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ et $12$

]]> Bonne réponse : le programme affiche les entiers de $1$ à $12$ qui
divisent $12$, c'est-à-dire ses six diviseurs positifs.

]]> $2$, $3$, $4$ et $6$

]]> Diviseurs extrêmes oubliés : $1$ et $12$ vérifient aussi la condition,
car 12 % 1 et 12 % 12 valent $0$.

]]> $1$, $2$, $3$, $4$ et $6$

]]> Borne mal lue : range(1, 13) s'arrête à $12$ inclus, donc $12$
est bien affiché.

]]> $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$ et $12$

]]> Entier de trop : $8$ ne divise pas $12$, car 12 % 8 vaut $4$ et non
$0$. La condition empêche donc son affichage.

]]> Arithmétique — Q26 : Enchaîner deux divisibilités On sait que $a$ divise $b$ et que $b$ divise $c$.
Que peut-on en déduire ?

]]> La divisibilité se transmet : il suffit de remplacer une écriture dans
l'autre et de regrouper les facteurs. Cette propriété sert dans presque
toutes les démonstrations d'arithmétique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a$ divise $c$

]]> Bonne réponse : $b = a k$ et $c = b m$ donnent $c = a(km)$, donc $a$
divise $c$.

]]> $c$ divise $a$

]]> Sens inversé : avec $a = 3$, $b = 6$ et $c = 12$, le nombre $12$ ne
divise pas $3$.

]]> $a$ divise $b + c$ seulement

]]> Conclusion trop faible : $a$ divise bien $b+c$, mais il divise aussi
$c$ tout seul.

]]> On ne peut rien conclure

]]> Le calcul conclut : en remplaçant $b$ par $ak$ dans $c = bm$, on
obtient $c = a(km)$.

]]> Arithmétique — Q27 : Divisible par $2$ et par $3$ Un entier est divisible par $2$ et par $3$.
Par quel nombre est-il nécessairement divisible ?

]]> Quand deux diviseurs n'ont aucun facteur premier commun, comme $2$ et
$3$, leur produit divise aussi le nombre. La décomposition en facteurs
premiers rend ce raisonnement visible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par $6$

]]> Bonne réponse : sa décomposition contient un facteur $2$ et un facteur
$3$, donc le produit $6$ le divise.

]]> Par $5$

]]> Aucun rapport : $12$ est divisible par $2$ et par $3$, mais pas par
$5$.

]]> Par $12$

]]> Contre-exemple : $6$ est divisible par $2$ et par $3$, mais pas par
$12$. Il faudrait deux facteurs $2$.

]]> Par $2 + 3$, soit $5$

]]> Les diviseurs se multiplient, ils ne s'additionnent pas : c'est le
produit $2 \times 3$ qui apparaît dans la décomposition.

]]> Arithmétique — Q28 : Un produit de diviseurs trompeur Un entier est divisible par $4$ et par $6$.
Est-il nécessairement divisible par $24$ ?

]]> Le facteur $2$ est compté deux fois si l'on multiplie $4$ par $6$. Le plus
petit multiple commun de $4$ et $6$ vaut $12$, et c'est lui qui divise
tous ces entiers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, $12$ fournit un contre-exemple

]]> Bonne réponse : $12 = 4 \times 3 = 6 \times 2$, mais $12$ n'est pas un
multiple de $24$.

]]> Oui, car $4 \times 6 = 24$

]]> Le produit ne convient que si les deux diviseurs n'ont aucun facteur
commun. Or $4$ et $6$ partagent le facteur $2$.

]]> Oui, mais seulement s'il est pair

]]> Un multiple de $4$ est déjà pair, et $12$ reste un contre-exemple.

]]> Non, il n'est même pas divisible par $12$

]]> Il l'est toujours : sa décomposition contient deux facteurs $2$ et un
facteur $3$, donc $12$ le divise.

]]> Arithmétique — Q29 : Lire la divisibilité sur la décomposition Soit $N = 2^5 \times 3^2$. Parmi ces entiers, lequel divise $N$ ?

]]> Un entier divise $N$ si sa décomposition n'utilise que des facteurs
premiers de $N$, avec des exposants inférieurs ou égaux. Ici $N$ vaut
$288$, et $288 = 12 \times 24$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$

]]> Bonne réponse : $12 = 2^2 \times 3$, et les exposants $2$ et $1$ ne
dépassent pas ceux de $N$.

]]> $15$

]]> Facteur absent : $15 = 3 \times 5$, or $5$ n'apparaît pas dans la
décomposition de $N$.

]]> $64$

]]> Exposant trop grand : $64 = 2^6$, alors que $N$ ne contient que cinq
facteurs $2$.

]]> $27$

]]> Exposant trop grand : $27 = 3^3$, alors que $N$ ne contient que deux
facteurs $3$.

]]> Arithmétique — Q30 : Le produit $n(n+1)$ Pour un entier $n$ quelconque, que peut-on dire du produit $n(n+1)$ ?

]]> Le raisonnement par disjonction des cas suffit : si $n$ est pair, le
produit l'est ; s'il est impair, alors $n+1$ est pair et le produit
l'est aussi.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Il est toujours pair

]]> Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est
nécessairement pair, donc le produit contient un facteur $2$.

]]> Il est pair si $n$ est pair

]]> Condition inutile : pour $n = 3$, le produit vaut $12$, qui est pair
alors que $n$ est impair.

]]> Il est impair si $n$ est impair

]]> Contre-exemple : pour $n = 5$, le produit vaut $30$. Si $n$ est
impair, alors $n+1$ est pair.

]]> Sa parité dépend de la valeur de $n$

]]> Les deux cas mènent à la même conclusion : l'un des deux facteurs est
pair, que $n$ le soit ou non.

]]> Arithmétique — Q31 : Le bon diviseur pour simplifier Par quel nombre faut-il diviser le numérateur et le dénominateur de la
fraction $\dfrac{84}{126}$ pour obtenir directement sa forme
irréductible ?

]]> Pour simplifier en une seule fois, on divise par le plus grand diviseur
commun au numérateur et au dénominateur. Leurs décompositions en facteurs
premiers le donnent : on garde tous les facteurs communs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $42$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{84}{126} = \dfrac{2}{3}$, et ces deux
nombres n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$.

]]> $6$

]]> Simplification inachevée : on obtient $\dfrac{14}{21}$, qui se
simplifie encore. Le bon diviseur est $42$.

]]> $21$

]]> Simplification inachevée : on obtient $\dfrac{4}{6}$, qui se
simplifie encore. Le bon diviseur est $42$.

]]> $14$

]]> Simplification inachevée : on obtient $\dfrac{6}{9}$, qui se
simplifie encore. Le bon diviseur est $42$.

]]> Arithmétique — Q32 : La différence $(n+1)^2 - n^2$ Soit $n$ un entier. L'expression $(n+1)^2 - n^2$ est-elle paire ou
impaire ?

]]> Développer, réduire, puis reconnaître la forme $2k$ ou $2k + 1$ : c'est la
méthode de toutes les démonstrations de parité. Ici, deux carrés
consécutifs diffèrent toujours d'un nombre impair.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Toujours impaire, car elle vaut $2n + 1$

]]> Bonne réponse : $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$, qui
est l'écriture même d'un nombre impair.

]]> Toujours paire, car c'est une différence de carrés

]]> La forme de l'expression ne décide de rien : après développement, il
reste $2n + 1$, un double augmenté de $1$.

]]> Impaire seulement lorsque $n$ est pair

]]> Le résultat $2n + 1$ ne suppose rien sur $n$ : pour $n = 3$, la
différence vaut $7$, impaire elle aussi.

]]> Sa parité dépend de l'entier $n$ choisi

]]> Le calcul littéral tranche une fois pour toutes : $2n + 1$ est impair
quel que soit l'entier $n$.

]]> Arithmétique — Q33 : Somme de deux nombres premiers La somme de deux nombres premiers est-elle toujours paire ?

]]> Pour réfuter une affirmation, un contre-exemple suffit. Le nombre $2$ est
le cas particulier à examiner systématiquement quand une propriété
mélange parité et primalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $2 + 3 = 5$ est impair

]]> Bonne réponse : un seul contre-exemple suffit. Comme $2$ est premier
et pair, toute somme qui l'utilise devient impaire.

]]> Oui, car deux impairs ont une somme paire

]]> L'argument oublie $2$, le seul nombre premier pair. Avec lui, la
somme est impaire.

]]> Oui, sauf si les deux nombres sont égaux

]]> L'égalité n'a rien à voir : $2 + 7 = 9$ est impair avec deux nombres
différents, et $3 + 3 = 6$ est pair avec deux nombres égaux.

]]> Non, cette somme n'est jamais paire

]]> Affirmation trop forte : $3 + 5 = 8$ est pair. La somme est paire dès
que les deux nombres premiers sont impairs.

]]> Arithmétique — Q34 : Des œufs dans des boîtes On range $100$ œufs dans des boîtes contenant chacune $6$ œufs.
Combien obtient-on de boîtes pleines, et combien d'œufs restent-ils ?

]]> Répartir en paquets de même taille, c'est effectuer une division
euclidienne : le quotient compte les paquets complets et le reste, plus
petit que le diviseur, compte ce qui n'a pas pu être rangé.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$ boîtes et $4$ œufs

]]> Bonne réponse : la division euclidienne donne
$100 = 6 \times 16 + 4$, et le reste $4$ est bien inférieur
à $6$.

]]> $17$ boîtes et $4$ œufs

]]> La dernière boîte n'est pas pleine : elle ne contient que $4$ œufs,
c'est-à-dire le reste.

]]> $16$ boîtes et $2$ œufs

]]> Ce nombre est celui des œufs qui manqueraient pour remplir une boîte
de plus, pas celui des œufs restants.

]]> $6$ boîtes et $16$ œufs

]]> Le quotient et le diviseur sont échangés : un reste est toujours
inférieur au nombre d'œufs par boîte.

]]> Arithmétique — Q35 : Traduire « n'est pas un entier » Quelle écriture traduit la phrase « $2{,}5$ n'est pas un entier
relatif » ?

]]> Le symbole $\in$ (et sa négation $\notin$) relie un élément à un
ensemble ; le symbole $\subset$ relie deux ensembles. L'ensemble
$\mathbb{Z}$ ne contient que des entiers, donc pas $2{,}5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}5 \notin \mathbb{Z}$

]]> Bonne réponse : le symbole $\notin$ se lit « n'appartient pas à », et
relie un nombre à un ensemble, dans cet ordre.

]]> $2{,}5 \in \mathbb{Z}$

]]> C'est l'affirmation contraire : cette écriture dit au contraire que
$2{,}5$ est un entier relatif.

]]> $2{,}5 \subset \mathbb{Z}$

]]> Mauvais symbole : $\subset$ compare deux ensembles entre eux, alors
que $2{,}5$ est un nombre.

]]> $\mathbb{Z} \notin \{2{,}5\}$

]]> Les deux membres sont échangés : l'ensemble se place toujours à
droite du symbole d'appartenance.

]]> Arithmétique — Q36 : Compléter pour être divisible par $9$ Un entier s'écrit avec trois chiffres : $3$, $4$, puis un
troisième chiffre. Quel doit être ce troisième chiffre pour que le
nombre soit divisible par $9$ ?

]]> Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses
chiffres l'est. On calcule donc la somme des chiffres connus, puis on
cherche ce qu'il faut ajouter pour atteindre un multiple de $9$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : les deux chiffres connus donnent déjà $7$, et
$7 + 2 = 9$, un multiple de $9$.

]]> $5$

]]> Critère de $3$ appliqué au lieu de celui de $9$ : la somme $12$
est multiple de $3$, mais pas de $9$.

]]> $8$

]]> Même confusion : la somme $15$ est multiple de $3$, alors que le
critère de $9$ réclame une somme multiple de $9$.

]]> Aucun chiffre ne convient

]]> Un chiffre convient toujours lorsque la somme partielle est
inférieure à $9$ : il suffit ici de compléter $7$ jusqu'à $9$.

]]> Arithmétique — Q37 : Traduire un reste par une écriture Le reste de la division euclidienne d'un entier $n$ par $5$ vaut
$3$. Quelle écriture traduit cette information ?

]]> La division euclidienne de $n$ par $b$ s'écrit $n = bk + r$, où $k$ est
le quotient et où le reste $r$ vérifie $0 \leq r < b$. Cette écriture est
l'outil des raisonnements sur les restes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $n = 5k + 3$ avec $k$ entier

]]> Bonne réponse : le diviseur $5$ multiplie le quotient $k$, et le
reste $3$ s'ajoute. Il est bien inférieur à $5$.

]]> $n = 3k + 5$, avec $k$ entier

]]> Le diviseur et le reste sont échangés : c'est $5$ qui multiplie le
quotient, et $3$ qui s'ajoute ensuite.

]]> $n$ est un multiple de $5$

]]> Un multiple de $5$ a un reste nul. Ici le reste vaut $3$, donc
$n$ n'est pas un multiple de $5$.

]]> $n = 5 \times 3$

]]> Cette écriture ne désigne qu'un seul nombre, $15$, alors que
l'énoncé décrit tous les entiers dont le reste vaut $3$.

]]> Arithmétique — Q38 : Le cas du nombre $1$ Le nombre $1$ est-il un nombre premier ?

]]> Un nombre premier admet exactement deux diviseurs positifs, $1$ et
lui-même. Le nombre $1$ n'en a qu'un : il n'est ni premier, ni utile dans
une décomposition en facteurs premiers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : il n'a qu'un seul diviseur positif

]]> Bonne réponse : un nombre premier en possède exactement deux, alors
que $1$ n'est divisible que par $1$.

]]> Oui : il n'est divisible que par lui-même et par $1$

]]> Ces deux diviseurs n'en font qu'un seul, puisque $1$ est son propre
diviseur. La définition en exige deux distincts.

]]> Oui : c'est le plus petit nombre premier

]]> Le plus petit nombre premier est $2$ : c'est le premier entier à
posséder exactement deux diviseurs.

]]> Non : $1$ divise tous les entiers

]]> La conclusion est bonne, mais la raison ne l'est pas : c'est le
nombre de ses diviseurs qui exclut $1$, pas son rôle de diviseur.

]]> Arithmétique — Q39 : Diviseur ou multiple On sait que $7$ est un diviseur de $56$. Quelle phrase dit exactement la
même chose ?

]]> « $a$ divise $b$ », « $a$ est un diviseur de $b$ » et « $b$ est un
multiple de $a$ » sont trois façons de dire qu'il existe un entier $k$
tel que $b = a k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $56$ est un multiple de $7$

]]> Bonne réponse : les deux phrases traduisent l'égalité
$56 = 7 \times 8$, lue dans un sens ou dans l'autre.

]]> $7$ est un multiple de $56$

]]> Les rôles sont inversés : les multiples de $56$ sont $56$, $112$,
$168$, et $7$ n'en fait pas partie.

]]> $56$ est un diviseur de $7$

]]> Les rôles sont inversés : un diviseur d'un entier positif ne dépasse
jamais cet entier.

]]> $56$ et $7$ ont les mêmes diviseurs

]]> Rien de tel : $56$ possède huit diviseurs positifs, tandis que $7$
n'en a que deux, $1$ et $7$.

]]> Arithmétique — Q40 : Compter des multiples en Python Qu'affiche le programme Python suivant ?

c = 0
for k in range(1, 21):
    if k % 3 == 0:
        c = c + 1
print(c)
]]> La variable c sert de compteur : initialisée à $0$, elle augmente de
$1$ à chaque fois que le test k % 3 == 0 réussit, c'est-à-dire à
chaque multiple de $3$ rencontré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : la boucle parcourt les entiers de $1$ à $20$ et
compte ceux qui sont multiples de $3$ : il y en a $6$.

]]> $7$

]]> Borne mal lue : range(1, 21) s'arrête à $20$, donc le nombre
$21$ n'est jamais examiné.

]]> $3$

]]> Le diviseur du test a été recopié : la variable c compte les
réussites du test, elle ne vaut pas $3$.

]]> $20$

]]> C'est le nombre de tours de boucle : la variable c n'augmente que
lorsque la condition est vérifiée.

]]> Arithmétique — Q41 : Divisible par $6$ ? La somme des chiffres du nombre $852$ vaut $15$. Ce nombre est-il
divisible par $6$ ?

]]> Comme $6 = 2 \times 3$ et que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun, un
entier est divisible par $6$ exactement lorsqu'il est divisible par $2$
et par $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui : il est pair et $15$ est multiple de $3$

]]> Bonne réponse : divisible par $2$ et par $3$, donc par $6$. On
vérifie que $852 = 6 \times 142$.

]]> Non : $15$ n'est pas un multiple de $6$

]]> Le critère de la somme des chiffres vaut pour $3$ et pour $9$, jamais
pour $6$. Il faut combiner les critères de $2$ et de $3$.

]]> Oui : il se termine par un chiffre pair, cela suffit

]]> La parité ne suffit pas : $14$ est pair sans être divisible par $6$,
car $1 + 4 = 5$ n'est pas multiple de $3$.

]]> Non : le chiffre des unités n'est pas $6$

]]> Aucun critère de divisibilité ne porte sur le chiffre $6$ : ce sont
les critères de $2$ et de $3$ qui décident.

]]> Arithmétique — Q42 : Produit de deux multiples de $3$ Soient $a$ et $b$ deux multiples de $3$. Que peut-on dire du produit
$ab$ ?

]]> On nomme les deux multiples $3k$ et $3j$, on effectue le produit, puis on
regroupe les facteurs. C'est la démonstration type de l'arithmétique :
écrire, calculer, factoriser.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc C'est un multiple de $9$

]]> Bonne réponse : $a = 3k$ et $b = 3j$ donnent $ab = 9kj$, avec $kj$
entier. Les deux facteurs $3$ se rencontrent.

]]> C'est un multiple de $3$, mais pas toujours de $9$

]]> Le calcul dit le contraire : chaque facteur apporte son $3$, donc le
produit contient toujours $9$.

]]> C'est un multiple de $6$

]]> Contre-exemple : $3 \times 3 = 9$ n'est pas multiple de $6$, car rien
n'impose un facteur $2$.

]]> Cela dépend des entiers choisis

]]> La factorisation $ab = 9kj$ vaut pour tous les entiers $k$ et $j$ :
aucun cas particulier n'échappe à la règle.

]]> Arithmétique — Q43 : Pourquoi une fraction est irréductible On sait que $35 = 5 \times 7$ et que $12 = 2^2 \times 3$. Pourquoi la
fraction $\dfrac{35}{12}$ est-elle irréductible ?

]]> Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur
n'ont aucun diviseur commun autre que $1$. Les décompositions en facteurs
premiers le montrent d'un coup d'œil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Leurs décompositions n'ont aucun facteur commun

]]> Bonne réponse : simplifier, c'est supprimer un facteur premier
présent des deux côtés. Ici, aucun n'est partagé.

]]> Le numérateur est plus grand que le dénominateur

]]> La taille des nombres n'entre pas en jeu : $\dfrac{35}{14}$ se
simplifie par $7$ malgré un numérateur plus grand.

]]> Aucun des deux nombres n'est premier

]]> Ce n'est pas la primalité qui compte : $\dfrac{12}{18}$ se simplifie
par $6$ bien qu'aucun des deux ne soit premier.

]]> Les deux décompositions ont le même nombre de facteurs

]]> Le nombre de facteurs ne joue aucun rôle : $\dfrac{10}{15}$ en compte
deux de chaque côté et se simplifie pourtant par $5$.

]]> Arithmétique — Q44 : Inclusion de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{Z}$ Quelle écriture traduit le fait que tout entier naturel est aussi un
entier relatif ?

]]> L'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels est contenu dans l'ensemble
$\mathbb{Z}$ des entiers relatifs, qui lui ajoute les nombres négatifs.
L'inclusion ne vaut que dans ce sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

]]> Bonne réponse : tout élément de $\mathbb{N}$ appartient à
$\mathbb{Z}$, ce qu'exprime le symbole d'inclusion.

]]> $\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$

]]> Sens inversé : $-4$ appartient à $\mathbb{Z}$ sans appartenir à
$\mathbb{N}$, donc cette inclusion est fausse.

]]> $\mathbb{N} \in \mathbb{Z}$

]]> Mauvais symbole : $\in$ relie un élément à un ensemble, alors que
$\mathbb{N}$ est lui-même un ensemble.

]]> $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$

]]> La seconde inclusion est fausse : les entiers négatifs appartiennent
à $\mathbb{Z}$ et pas à $\mathbb{N}$.

]]> Arithmétique — Q45 : Deux entiers consécutifs tous deux premiers Existe-t-il d'autres entiers consécutifs tous deux premiers que $2$ et
$3$ ?

]]> Le couple $2$ et $3$ est le seul possible, car il est le seul à contenir
un nombre pair qui soit premier. Raisonner sur la parité permet souvent
de conclure sans examiner un seul cas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : l'un des deux serait pair et plus grand que $2$

]]> Bonne réponse : parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. Au
delà de $2$, un nombre pair possède au moins trois diviseurs.

]]> Oui, par exemple $5$ et $7$

]]> Ces deux nombres sont premiers, mais ils ne se suivent pas : le
nombre $6$ les sépare.

]]> Oui, il en existe une infinité

]]> L'argument de parité l'interdit : dès que les deux entiers dépassent
$2$, celui qui est pair n'est pas premier.

]]> Non, car deux entiers consécutifs ont un diviseur commun

]]> La conclusion est bonne, la raison ne l'est pas : deux entiers
consécutifs n'ont jamais d'autre diviseur commun que $1$.

]]> Arithmétique — Q46 : Le plus grand multiple inférieur à un nombre Que renvoie f(7, 50) ?

def f(a, b):
    return a * (b // a)
]]> Le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$ est
$a \times q$, où $q$ est le quotient de la division euclidienne de
$b$ par $a$ ; on a alors $b = aq + r$ avec $0 \leq r < a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $49$

]]> Bonne réponse : 50 // 7 vaut $7$, le quotient entier, et
$7 \times 7 = 49$ est le plus grand multiple de $7$
inférieur ou égal à $50$.

]]> $7$

]]> Erreur : $7$ est le quotient b // a. La fonction le multiplie
ensuite par a.

]]> $56$

]]> Erreur : $56$ est un multiple de $7$ supérieur à $50$. Le
quotient entier est arrondi vers le bas.

]]> $1$

]]> Erreur : $1$ est le reste 50 % 7. La fonction utilise le
quotient entier, avec //.

]]>