$course$/QCM de maths/Seconde/Automatismes Calcul numérique (fractions, puissances, notation scientifique,
ordres de grandeur, vraisemblance d'un résultat), conversions
d'unités et applications numériques de formules, géométrie du
collège (Pythagore, Thalès, trigonométrie, périmètres, aires,
volumes, repérage), lecture de graphiques usuels et de boîtes à
moustaches.

]]> Automatismes — Q01 : Additionner deux fractions Que vaut $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}$ ?

]]> $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ : on réduit au
même dénominateur avant d'additionner les numérateurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{11}{12}$

]]> Bonne réponse : au dénominateur commun $12$,
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{12}
= \dfrac{11}{12}$.

]]> $\dfrac{3}{7}$

]]> Erreur classique : on n'additionne pas les dénominateurs. Il
faut d'abord écrire les deux fractions avec le même
dénominateur.

]]> $\dfrac{3}{12}$

]]> Erreur : le dénominateur commun $12$ est juste, mais les
numérateurs doivent être multipliés eux aussi :
$\dfrac{11}{12}$.

]]> $\dfrac{2}{12}$

]]> Confusion avec le produit : $\dfrac{2}{3} \times
\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12}$.

]]> Automatismes — Q02 : Diviser par une fraction Que vaut $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5}$ ?

]]> $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times
\dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{15}{8}$

]]> Bonne réponse : diviser par $\dfrac{2}{5}$, c'est
multiplier par son inverse $\dfrac{5}{2}$ :
$\dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$.

]]> $\dfrac{3}{10}$

]]> Erreur : on a multiplié par $\dfrac{2}{5}$ au lieu de
multiplier par son inverse.

]]> $\dfrac{8}{15}$

]]> Erreur : on a pris l'inverse de la première fraction au lieu
de celui de la seconde ; on obtient l'inverse du bon
résultat.

]]> $\dfrac{10}{3}$

]]> Erreur : les deux fractions ont été inversées. Seul le
diviseur $\dfrac{2}{5}$ s'inverse.

]]> Automatismes — Q03 : D'une fraction à un décimal et un pourcentage Quelle écriture est égale à $\dfrac{3}{8}$ ?

]]> Pour passer d'une fraction à un décimal, on divise le numérateur
par le dénominateur ; pour passer au pourcentage, on multiplie par
$100$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}375$, soit $37{,}5\ \%$

]]> Bonne réponse : $3 \div 8 = 0{,}375$, et
$0{,}375 = \dfrac{37{,}5}{100}$.

]]> $0{,}38$, soit $38\ \%$

]]> Erreur : $0{,}38$ est un arrondi, pas une écriture égale :
$0{,}38 \times 8 = 3{,}04 \neq 3$.

]]> $2{,}67$, soit $267\ \%$

]]> Erreur : c'est une valeur approchée de $8 \div 3$, la
fraction inversée.

]]> $0{,}0375$, soit $3{,}75\ \%$

]]> Erreur de rang : $3 \div 8 = 0{,}375$, et non $0{,}0375$.
Contrôle : $0{,}0375 \times 8 = 0{,}3$.

]]> Automatismes — Q04 : Comparer deux fractions Comment se comparent $\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{7}{10}$ ?

]]> Pour comparer deux fractions positives, on les écrit avec le même
dénominateur et on compare les numérateurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{5}{7} > \dfrac{7}{10}$

]]> Bonne réponse : au dénominateur $70$, on compare
$\dfrac{50}{70}$ et $\dfrac{49}{70}$.

]]> $\dfrac{5}{7} < \dfrac{7}{10}$

]]> Erreur : on a comparé les numérateurs ou les dénominateurs
séparément. Au même dénominateur : $\dfrac{50}{70} >
\dfrac{49}{70}$.

]]> $\dfrac{5}{7} = \dfrac{7}{10}$

]]> Erreur : les produits en croix $5 \times 10 = 50$ et
$7 \times 7 = 49$ diffèrent ; les fractions ne sont pas
égales.

]]> On ne peut pas les comparer sans calculatrice

]]> Erreur : il suffit de réduire au même dénominateur, $70$, ou
de comparer les produits en croix.

]]> Automatismes — Q05 : Comparer par le quotient On compare $A = 2^{10}$ et $B = 10^3$, deux nombres strictement
positifs, à l'aide de leur quotient. Que conclure ?

]]> Comparaison multiplicative : pour $A > 0$ et $B > 0$,
$\dfrac{A}{B} > 1 \Leftrightarrow A > B$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{A}{B} = 1{,}024 > 1$, donc $A > B$

]]> Bonne réponse : $2^{10} = 1\,024$. Pour deux nombres
strictement positifs, un quotient supérieur à $1$ signifie
que le numérateur est le plus grand.

]]> $\dfrac{A}{B} = 1{,}024$, donc $A < B$

]]> Erreur d'interprétation : un quotient supérieur à $1$ indique
que $A$ dépasse $B$.

]]> $\dfrac{A}{B} = 0{,}2$, donc $A < B$

]]> Erreur : $2^{10}$ n'est pas $2 \times 10 = 20$. On calcule
$2^{10} = 1\,024$.

]]> $\dfrac{A}{B} = 1$, donc $A = B$

]]> Erreur : $2^{10} = 1\,024$ est proche de $1\,000$ mais pas
égal ; le quotient vaut $1{,}024$.

]]> Automatismes — Q06 : Produit de puissances de dix Que vaut $10^{3} \times 10^{-5}$ ?

]]> $10^m \times 10^n = 10^{m + n}$, quels que soient les entiers
relatifs $m$ et $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10^{-2}$

]]> Bonne réponse : on additionne les exposants,
$3 + (-5) = -2$.

]]> $10^{-15}$

]]> Erreur : on a multiplié les exposants. Cette règle vaut pour
une puissance de puissance, $(10^m)^n = 10^{mn}$.

]]> $10^{8}$

]]> Erreur : on soustrait les exposants pour un quotient,
$\dfrac{10^m}{10^n} = 10^{m - n}$, pas pour un produit.

]]> $100^{-2}$

]]> Erreur : la base reste $10$ ; on n'a pas à multiplier les
bases entre elles.

]]> Automatismes — Q07 : Écrire un nombre en notation scientifique Quelle est la notation scientifique de $0{,}000\,52$ ?

]]> Notation scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$ et
$n$ entier relatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5{,}2 \times 10^{-4}$

]]> Bonne réponse : la virgule se déplace de quatre rangs vers la
droite pour obtenir $5{,}2$, d'où l'exposant $-4$.

]]> $5{,}2 \times 10^{4}$

]]> Erreur de signe : $5{,}2 \times 10^4 = 52\,000$. Un nombre
inférieur à $1$ a un exposant négatif.

]]> $52 \times 10^{-5}$

]]> Égal, mais pas en notation scientifique : la partie
décimale doit être comprise entre $1$ inclus et $10$ exclu.

]]> $5{,}2 \times 10^{-3}$

]]> Erreur de rang : $5{,}2 \times 10^{-3} = 0{,}005\,2$. Il faut
déplacer la virgule de quatre rangs.

]]> Automatismes — Q08 : Estimer un ordre de grandeur Sans calculatrice, quel est l'ordre de grandeur de
$4\,980 \times 0{,}002\,1$ ?

]]> Pour estimer, on arrondit chaque facteur à un seul chiffre
significatif : $5 \times 10^3$ et $2 \times 10^{-3}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : $5\,000 \times 0{,}002 = 10$. Le calcul exact
donne $10{,}458$.

]]> $1$

]]> Erreur d'un rang : $5\,000 \times 0{,}002 = 5 \times 2 = 10$,
pas $1$.

]]> $100$

]]> Erreur d'un rang : $0{,}002$ correspond à $2 \times 10^{-3}$,
et $5 \times 10^3 \times 2 \times 10^{-3} = 10$.

]]> $1\,000$

]]> Erreur : multiplier par $0{,}002$ divise par $500$ ; le
résultat est bien plus petit que $4\,980$.

]]> Automatismes — Q09 : Un résultat invraisemblable Un élève calcule qu'une voiture roulant à $90$ km/h pendant
$2$ h parcourt $3\,600$ km. Ce résultat est-il vraisemblable ?

]]> Avant d'accepter un résultat, on vérifie son ordre de grandeur et
son sens concret.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : en $2$ h à $90$ km/h, on parcourt $180$ km

]]> Bonne réponse : $d = v \times t = 90 \times 2 = 180$ km.
L'élève a sans doute multiplié par $40$ ou mélangé des
minutes.

]]> Oui : $90 \times 40 = 3\,600$

]]> Erreur : le calcul $90 \times 40$ ne correspond à rien dans
l'énoncé. Le contrôle d'ordre de grandeur donne $180$ km.

]]> Oui : une voiture roule vite sur autoroute

]]> Erreur : $3\,600$ km en $2$ h ferait $1\,800$ km/h, la
vitesse d'un avion de chasse.

]]> Non : il faudrait $90 \div 2 = 45$ km

]]> Erreur : la distance est le produit de la vitesse par la
durée, pas leur quotient.

]]> Automatismes — Q10 : L'opposé d'une différence Quelle expression est égale à $-(x - 7)$ ?

]]> $-(a - b) = b - a$ et $-(a + b) = -a - b$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7 - x$

]]> Bonne réponse : $-(x - 7) = -x + 7 = 7 - x$. Le signe
moins change le signe de chaque terme.

]]> $-x - 7$

]]> Erreur : le signe de $-7$ n'a pas été changé. Contrôle avec
$x = 0$ : $-(0 - 7) = 7$, pas $-7$.

]]> $x + 7$

]]> Erreur : le signe de $x$ n'a pas été changé. Contrôle avec
$x = 0$ : on doit trouver $7$, et pour $x = 1$, $7 - 1$.

]]> $x - 7$

]]> Erreur : les parenthèses ont été supprimées sans tenir compte
du signe moins qui les précède.

]]> Automatismes — Q11 : L'inverse d'un inverse Pour $x \neq 0$, que vaut $\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}$ ?

]]> $\dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}$ : en particulier,
l'inverse de $\dfrac{1}{x}$ est $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x$

]]> Bonne réponse : diviser $1$ par $\dfrac{1}{x}$ revient à
multiplier $1$ par $x$.

]]> $\dfrac{1}{x}$

]]> Erreur : $\dfrac{1}{x}$ est l'inverse de $x$ ; l'inverse de
l'inverse ramène à $x$. Contrôle avec $x = 2$ : $1 \div 0{,}5
= 2$.

]]> $x^2$

]]> Erreur : contrôle avec $x = 2$ : $1 \div \dfrac{1}{2} = 2$,
pas $4$.

]]> $1$

]]> Erreur : le quotient ne se simplifie pas en $1$. Pour $x = 2$,
on obtient $2$.

]]> Automatismes — Q12 : Des kilomètres par heure aux mètres par seconde Une voiture roule à $72$ km/h. Quelle est sa vitesse en mètres
par seconde ?

]]> $1$ km/h $= \dfrac{1\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}}$ : pour
passer des km/h aux m/s, on divise par $3{,}6$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$ m/s

]]> Bonne réponse : $72$ km/h, c'est $72\,000$ m en $3\,600$ s,
soit $72\,000 \div 3\,600 = 20$ m/s.

]]> $1{,}2$ m/s

]]> Erreur : une heure compte $3\,600$ secondes, et non $60$ ; et
les kilomètres n'ont pas été convertis en mètres.

]]> $259{,}2$ m/s

]]> Erreur de sens : pour passer des km/h aux m/s, on divise par
$3{,}6$ ; multiplier fait l'inverse.

]]> $72\,000$ m/s

]]> Erreur : les kilomètres ont été convertis, mais pas les
heures en secondes.

]]> Automatismes — Q13 : Des mètres par seconde aux kilomètres par heure Un cycliste roule à $15$ m/s. Quelle est sa vitesse en km/h ?

]]> Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par
$\dfrac{3\,600}{1\,000} = 3{,}6$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $54$ km/h

]]> Bonne réponse : en une heure, il parcourt
$15 \times 3\,600$ m, soit $54$ km. On multiplie par
$3{,}6$.

]]> $900$ km/h

]]> Erreur : $15 \times 60$ donne des mètres par minute, et une
heure compte $60$ minutes de plus.

]]> $15000$ km/h

]]> Erreur : on a multiplié par $1\,000$ au lieu de diviser :
$1$ m vaut $0{,}001$ km.

]]> $54000$ km/h

]]> Oubli : $15 \times 3\,600$ est la distance en mètres
parcourue en une heure ; il faut la convertir en km.

]]> Automatismes — Q14 : Convertir une aire Combien de centimètres carrés mesure une surface de $3{,}5$ m² ?

]]> Longueur : facteur $100$ entre m et cm ; aire : facteur
$100^2 = 10\,000$ ; volume : facteur $100^3 = 1\,000\,000$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $35\,000$ cm²

]]> Bonne réponse : $1$ m² est un carré de $100$ cm de côté, soit
$100 \times 100 = 10\,000$ cm².

]]> $350$ cm²

]]> Erreur : $1$ m $= 100$ cm, mais une aire se convertit avec le
carré de ce facteur : $1$ m² $= 10\,000$ cm².

]]> $3\,500$ cm²

]]> Erreur : le facteur $1\,000$ sert pour les volumes entre
dm³ et cm³, pas pour les aires.

]]> $3\,500\,000$ cm²

]]> Erreur : $1\,000\,000$ est le facteur des volumes entre m³ et
cm³. Pour une aire, c'est $100^2 = 10\,000$.

]]> Automatismes — Q15 : Des litres aux centimètres cubes Une bouteille contient $2{,}5$ L. Quel est ce volume en cm³ ?

]]> $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³ $= 1\,000$ mL : $1$ mL $= 1$ cm³.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\,500$ cm³

]]> Bonne réponse : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.

]]> $250$ cm³

]]> Erreur : $1$ L vaut $100$ cL, mais $1\,000$ cm³ (un cube de
$10$ cm d'arête).

]]> $25$ cm³

]]> Erreur : $1$ L vaut $10$ dL. En cm³, il faut un facteur
$1\,000$, car $1$ L $= 1$ dm³.

]]> $25\,000$ cm³

]]> Erreur : un facteur $10\,000$ est celui des aires entre m² et
cm². $1$ L $= 1\,000$ cm³.

]]> Automatismes — Q16 : Une durée en écriture décimale Une durée vaut $2{,}3$ h. Comment s'écrit-elle en heures et
minutes ?

]]> Pour convertir une partie décimale d'heure en minutes, on la
multiplie par $60$ : $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$ h $18$ min

]]> Bonne réponse : $0{,}3$ h $= 0{,}3 \times 60$ min
$= 18$ min.

]]> $2$ h $30$ min

]]> Erreur : la partie décimale a été lue comme des minutes. Une
heure compte $60$ minutes, pas $100$ : $0{,}3 \times 60 =
18$.

]]> $2$ h $3$ min

]]> Erreur : $0{,}3$ h ne vaut pas $3$ minutes, mais
$0{,}3 \times 60 = 18$ minutes.

]]> $138$ h

]]> Erreur d'unité : $138$ est la durée totale en minutes,
pas en heures.

]]> Automatismes — Q17 : Calculer une vitesse moyenne Un automobiliste parcourt $150$ km en $1$ h $30$ min.
Quelle est sa vitesse moyenne ?

]]> Vitesse moyenne $v = \dfrac{d}{t}$, avec $t$ en heures pour
obtenir des km/h : on convertit d'abord les minutes en fraction
d'heure.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $100$ km/h

]]> Bonne réponse : $1$ h $30$ min $= 1 + \dfrac{30}{60}$ h,
et $v = \dfrac{d}{t} = 100$ km/h.

]]> Environ $115$ km/h

]]> Erreur : $1$ h $30$ min a été écrit $1{,}30$ h. Une
heure compte $60$ minutes, pas $100$.

]]> $225$ km/h

]]> Erreur : on a multiplié la distance par la durée. La vitesse
est le quotient $\dfrac{d}{t}$.

]]> $150$ km/h

]]> Oubli : les $30$ minutes n'ont pas été comptées ; on a
divisé par $1$ h seulement.

]]> Automatismes — Q18 : Appliquer une formule de physique L'énergie cinétique d'un objet de masse $m$ (en kg) et de vitesse
$v$ (en m/s) vaut $E = \dfrac{1}{2} m v^2$ (en joules). Que vaut
$E$ pour $m = 2$ et $v = 3$ ?

]]> Dans $\dfrac{1}{2} m v^2$, la puissance porte sur $v$ seul et se
calcule avant les multiplications.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$ J

]]> Bonne réponse : $\dfrac{1}{2} \times 2 \times 3^2 =
\dfrac{1}{2} \times 2 \times 9 = 9$ J.

]]> $18$ J

]]> Oubli du facteur $\dfrac{1}{2}$ : $2 \times 3^2 = 18$,
qu'il faut encore diviser par $2$.

]]> $3$ J

]]> Oubli du carré : $v^2 = 3 \times 3$, et non $3$.

]]> $36$ J

]]> Erreur de priorité : seul $v$ est au carré, pas le produit
$m v$ ; et le facteur $\dfrac{1}{2}$ manque.

]]> Automatismes — Q19 : La contenance d'une cuve Une cuve a un volume de $2{,}4$ m³. Combien de litres
contient-elle quand elle est pleine ?

]]> $1$ m³ $= 1\,000$ L : une baignoire contient environ $0{,}2$ m³,
soit $200$ L.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2\,400$ L

]]> Bonne réponse : $1$ m³ $= 1\,000$ dm³ $= 1\,000$ L.

]]> $24$ L

]]> Erreur : un mètre cube est un cube de $10$ dm d'arête, soit
$1\,000$ dm³, donc $1\,000$ L, et non $10$ L.

]]> $240$ L

]]> Erreur : le facteur entre m³ et L est $1\,000$, pas $100$.

]]> $24\,000$ L

]]> Erreur : $1$ m³ vaut $1\,000$ L, pas $10\,000$ L. Un facteur
$10\,000$ relie m² et cm².

]]> Automatismes — Q20 : Des tonnes aux kilogrammes Combien de kilogrammes représentent $0{,}035$ t ?

]]> $1$ t $= 1\,000$ kg $= 1\,000\,000$ g.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $35$ kg

]]> Bonne réponse : $1$ t $= 1\,000$ kg, et
$0{,}035 \times 1\,000 = 35$.

]]> $350$ kg

]]> Erreur de rang : $0{,}035 \times 1\,000 = 35$, pas $350$.

]]> $3{,}5$ kg

]]> Erreur : on a multiplié par $100$ ; une tonne vaut
$1\,000$ kg.

]]> $35\,000$ kg

]]> Erreur : $35\,000$ kg feraient $35$ t. On a multiplié par
$1\,000$ deux fois.

]]> Automatismes — Q21 : Calculer l'hypoténuse Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et
$AC = 8$ cm. Que vaut $BC$ ?

]]> Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de
l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$ cm

]]> Bonne réponse : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$, donc
$BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

]]> $14$ cm

]]> Erreur : on additionne les carrés des côtés, pas les
côtés. D'ailleurs, l'hypoténuse est plus courte que la somme
des deux autres côtés.

]]> $100$ cm

]]> Oubli de la racine carrée : $100$ est $BC^2$, pas $BC$.

]]> $\sqrt{28}$ cm

]]> Erreur : on a soustrait les carrés. Pour l'hypoténuse, on les
additionne : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

]]> Automatismes — Q22 : Calculer un côté de l'angle droit Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $BC = 13$ cm et
$AB = 5$ cm. Que vaut $AC$ ?

]]> Quand l'hypoténuse est connue, $AC^2 = BC^2 - AB^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $12$ cm

]]> Bonne réponse : $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 13^2 - 5^2 = 144$,
donc $AC = 12$ cm.

]]> $\sqrt{194}$ cm

]]> Erreur : $[BC]$ est l'hypoténuse ; on soustrait donc
$AB^2$ de $BC^2$, au lieu de les additionner.

]]> $8$ cm

]]> Erreur : on travaille sur les carrés des longueurs, pas sur
les longueurs : $AC^2 = 13^2 - 5^2$.

]]> $144$ cm

]]> Oubli de la racine carrée : $144$ est $AC^2$.

]]> Automatismes — Q23 : Un triangle est-il rectangle ? Un triangle a des côtés de longueurs $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm.
Est-il rectangle ?

]]> On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des
deux autres : égalité si et seulement si le triangle est
rectangle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car $5^2 + 7^2 \neq 9^2$

]]> Bonne réponse : $25 + 49 = 74$ et $9^2 = 81$. D'après la
contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas
rectangle.

]]> Oui, car $5 + 7 > 9$

]]> Erreur : cette inégalité dit seulement que le triangle
existe ; elle ne dit rien d'un angle droit.

]]> Oui, car $9$ est le plus grand côté

]]> Erreur : tout triangle a un plus grand côté. Il faut comparer
$9^2$ à $5^2 + 7^2$.

]]> Non, car ses côtés ne sont pas des entiers pairs

]]> Erreur : le triangle de côtés $3$, $4$, $5$ est rectangle et
a des côtés impairs. Seule l'égalité de Pythagore tranche.

]]> Automatismes — Q24 : Calculer une longueur avec Thalès Triangle ABC. Le point M est sur le côté [AB], le point N sur le côté [AC], et le segment [MN], tracé en bleu, est parallèle à [BC].

Sur la figure, $M \in [AB]$, $N \in [AC]$ et les droites $(MN)$ et
$(BC)$ sont parallèles. On donne $AM = 3$, $AB = 5$ et $BC = 8$.
Que vaut $MN$ ?

]]> Théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} =
\dfrac{MN}{BC}$ quand $(MN) \parallel (BC)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4{,}8$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB}$, donc
$MN = 8 \times \dfrac{3}{5} = 4{,}8$.

]]> $13{,}3$

]]> Rapport inversé : $8 \times \dfrac{5}{3} \approx 13{,}3$
dépasse $BC$, alors que $[MN]$ est une réduction de $[BC]$.

]]> $6$

]]> Erreur : on a retiré $AB - AM = 2$ à $BC$. Le théorème de
Thalès porte sur des rapports, pas sur des différences.

]]> $1{,}875$

]]> Erreur : $3 \times \dfrac{5}{8}$ mélange les rapports. Les
longueurs homologues sont $AM$ et $AB$, $MN$ et $BC$.

]]> Automatismes — Q25 : Retrouver une longueur sur un côté Dans un triangle $ABC$, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$, avec
$(MN) \parallel (BC)$. On donne $AN = 4$, $AC = 10$ et
$AB = 7{,}5$. Que vaut $AM$ ?

]]> $\dfrac{AN}{AC} = 0{,}4$ : les longueurs du petit triangle valent
$40\ \%$ de celles du grand.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, donc
$AM = 7{,}5 \times \dfrac{4}{10} = 3$.

]]> $18{,}75$

]]> Rapport inversé : $7{,}5 \times \dfrac{10}{4}$ dépasse $AB$,
alors que $M$ est sur le segment $[AB]$.

]]> $5{,}3$

]]> Erreur : $\dfrac{4 \times 10}{7{,}5} \approx 5{,}3$ ne respecte
pas l'égalité des rapports $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$.

]]> $1{,}5$

]]> Erreur : on a retiré $AC - AN = 6$ à $AB$. Le théorème de
Thalès donne des rapports égaux, pas des différences égales.

]]> Automatismes — Q26 : Lire un cosinus Triangle ABC rectangle en B, avec AB = 4, BC = 3 et AC = 5.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ ci-dessous, que vaut
$\cos \widehat{BAC}$ ?

]]> Dans un triangle rectangle : cosinus $=$ adjacent sur hypoténuse,
sinus $=$ opposé sur hypoténuse, tangente $=$ opposé sur adjacent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{4}{5}$

]]> Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent
par l'hypoténuse, $\cos \widehat{BAC} = \dfrac{AB}{AC} =
\dfrac{4}{5}$.

]]> $\dfrac{3}{5}$

]]> Confusion avec le sinus : $\dfrac{BC}{AC}$ rapporte le côté
opposé à l'angle à l'hypoténuse.

]]> $\dfrac{5}{4}$

]]> Rapport inversé : un cosinus est toujours inférieur à $1$,
car l'hypoténuse est le plus grand côté.

]]> $\dfrac{3}{4}$

]]> Confusion avec la tangente, quotient du côté opposé par le
côté adjacent : $\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{4}$.

]]> Automatismes — Q27 : Calculer une longueur par la tangente Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $AB = 10$ cm et
$\widehat{BAC} = 30°$. Que vaut $BC$, arrondi au millimètre ?

]]> Repérer d'abord l'hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent
à l'angle, puis choisir le rapport qui relie la donnée et
l'inconnue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5{,}8$ cm

]]> Bonne réponse : $\tan 30° = \dfrac{BC}{AB}$, donc
$BC = 10 \times \tan 30° \approx 5{,}8$ cm.

]]> $5$ cm

]]> Erreur : $10 \times \sin 30° = 5$ utilise le sinus, qui
rapporte l'opposé à l'hypoténuse ; or $[AB]$ est le côté
adjacent.

]]> $8{,}7$ cm

]]> Erreur : $10 \times \cos 30° \approx 8{,}7$ utilise le
cosinus ; on cherche le côté opposé connaissant l'adjacent.

]]> $17{,}3$ cm

]]> Erreur : $\dfrac{10}{\tan 30°} \approx 17{,}3$ ; de
$\tan 30° = \dfrac{BC}{10}$, on tire $BC = 10 \times \tan 30°$.

]]> Automatismes — Q28 : Retrouver un angle par son cosinus Dans un triangle rectangle, un angle aigu $\alpha$ vérifie
$\cos \alpha = 0{,}5$. Que vaut $\alpha$ ?

]]> Valeurs à connaître : $\cos 60° = \sin 30° = 0{,}5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $60°$

]]> Bonne réponse : $\cos 60° = 0{,}5$ ; la calculatrice le
confirme avec la touche $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$).

]]> $30°$

]]> Confusion : c'est $\sin 30°$ qui vaut $0{,}5$ ;
$\cos 30° \approx 0{,}87$.

]]> $45°$

]]> Erreur : $\cos 45° \approx 0{,}71$. L'angle dont le cosinus
vaut $0{,}5$ est plus grand.

]]> $0{,}5°$

]]> Erreur : $0{,}5$ est la valeur du cosinus, pas celle de
l'angle.

]]> Automatismes — Q29 : L'aire d'un disque Quelle est l'aire d'un disque de rayon $3$ cm ?

]]> Disque de rayon $r$ : aire $\pi r^2$, périmètre $2\pi r$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9\pi$ cm²

]]> Bonne réponse : $\mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 =
9\pi$ cm².

]]> $6\pi$ cm²

]]> Confusion avec le périmètre : $2\pi r = 6\pi$ cm est une
longueur, pas une aire.

]]> $3\pi$ cm²

]]> Oubli du carré : l'aire est $\pi r^2$, pas $\pi r$.

]]> $36\pi$ cm²

]]> Erreur : on a élevé le diamètre $6$ au carré. La formule
utilise le rayon : $\pi r^2$.

]]> Automatismes — Q30 : Le volume d'un cylindre Quel est le volume d'un cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur
$4$ cm ?

]]> Volume d'un cylindre : aire de la base $\times$ hauteur, soit
$\pi r^2 h$. Pour un cône de même base et même hauteur, on divise
par $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $36\pi$ cm³

]]> Bonne réponse : $V = \pi r^2 h = \pi \times 3^2 \times 4 =
36\pi$ cm³.

]]> $24\pi$ cm³

]]> Erreur : $2\pi r h$ est l'aire latérale du cylindre, une
surface, pas un volume.

]]> $12\pi$ cm³

]]> Confusion avec le cône : le facteur $\dfrac{1}{3}$ concerne
les cônes et les pyramides, pas les cylindres.

]]> $144\pi$ cm³

]]> Erreur : on a utilisé le diamètre au lieu du rayon dans
$\pi r^2 h$.

]]> Automatismes — Q31 : Le volume d'une boule Quel est le volume d'une boule de rayon $6$ cm ?

]]> Boule de rayon $r$ : volume $\dfrac{4}{3}\pi r^3$, aire de la
sphère $4\pi r^2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $288\pi$ cm³

]]> Bonne réponse : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3} \times
216\pi = 288\pi$ cm³.

]]> $144\pi$ cm³

]]> Confusion avec l'aire de la sphère : $4\pi r^2 = 144\pi$ cm².

]]> $216\pi$ cm³

]]> Oubli du facteur $\dfrac{4}{3}$ : $\pi r^3 = 216\pi$.

]]> $48\pi$ cm³

]]> Erreur : $\dfrac{4}{3}\pi r^2 = 48\pi$ ; un volume fait
intervenir le cube du rayon.

]]> Automatismes — Q32 : L'aire d'un triangle Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur relative à cette
base de $5$ cm. Quelle est son aire ?

]]> Aire d'un triangle : $\dfrac{b \times h}{2}$, avec $h$ la hauteur
relative à la base $b$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $20$ cm²

]]> Bonne réponse : $\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times
\text{hauteur}}{2} = \dfrac{8 \times 5}{2} = 20$ cm².

]]> $40$ cm²

]]> Oubli de la division par $2$ : $40$ cm² est l'aire du
rectangle de mêmes dimensions.

]]> $13$ cm²

]]> Erreur : une aire est un produit de longueurs, pas une
somme.

]]> $26$ cm²

]]> Confusion avec le périmètre d'un rectangle de côtés $8$ et
$5$, qui est une longueur.

]]> Automatismes — Q33 : Lire les coordonnées d'un point Repère orthonormé gradué de -3 à 3 en abscisse et de -2 à 3 en ordonnée. Le point P est placé deux unités à gauche de l'axe des ordonnées et trois unités au-dessus de l'axe des abscisses.

Quelles sont les coordonnées du point $P$ placé dans le repère
ci-dessous ?

]]> Un point $P(x\,;\,y)$ : $x$ se lit sur l'axe des abscisses
(horizontal), $y$ sur l'axe des ordonnées (vertical).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : on lit d'abord l'abscisse sur l'axe
horizontal ($-2$), puis l'ordonnée sur l'axe vertical ($3$).

]]> $(3\,;\,-2)$

]]> Ordre inversé : dans un couple de coordonnées, l'abscisse
vient en premier.

]]> $(2\,;\,3)$

]]> Erreur de signe : $P$ est à gauche de l'axe des ordonnées,
son abscisse est négative.

]]> $(-3\,;\,2)$

]]> Erreur : les deux valeurs sont échangées. $P$ est sur la
verticale d'abscisse $-2$ et l'horizontale d'ordonnée $3$.

]]> Automatismes — Q34 : Lire une abscisse sur une droite graduée Droite graduée de 0 à 3, chaque unité étant partagée en cinq intervalles égaux. Le point M est placé au troisième trait après la graduation 1.

Quelle est l'abscisse du point $M$ sur la droite graduée
ci-dessous ?

]]> Sur une droite graduée, on détermine d'abord la valeur d'une
graduation (unité divisée par le nombre d'intervalles).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1{,}6$

]]> Bonne réponse : chaque unité est partagée en $5$, donc un
intervalle vaut $0{,}2$ ; $M$ est à $3 \times 0{,}2 = 0{,}6$
après $1$.

]]> $1{,}3$

]]> Erreur : on a compté $0{,}1$ par intervalle. L'unité est
partagée en $5$ intervalles, pas en $10$.

]]> $1{,}03$

]]> Erreur : $M$ est au troisième trait, mais chaque intervalle
vaut $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$, pas $0{,}01$.

]]> $8$

]]> Erreur : $8$ est le nombre de petits intervalles depuis $0$ ;
il faut le multiplier par la valeur d'un intervalle,
$0{,}2$.

]]> Automatismes — Q35 : Un secteur de diagramme circulaire Dans un diagramme circulaire, une catégorie est représentée par
un secteur de $90°$. Quelle part de l'effectif représente-t-elle ?

]]> Diagramme circulaire : angle $=$ proportion $\times 360°$.
Semi-circulaire : angle $=$ proportion $\times 180°$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25\ \%$

]]> Bonne réponse : le disque entier ($360°$) représente
$100\ \%$ ; $\dfrac{90}{360} = \dfrac{25}{100}$.

]]> $90\ \%$

]]> Erreur : un angle en degrés n'est pas un pourcentage. On le
rapporte à $360°$.

]]> $9\ \%$

]]> Erreur : diviser par $10$ ne convertit rien ; la part vaut
$\dfrac{90}{360}$.

]]> $50\ \%$

]]> Confusion avec un diagramme semi-circulaire, où l'effectif
total correspond à $180°$.

]]> Automatismes — Q36 : Un secteur de diagramme semi-circulaire Dans un diagramme semi-circulaire, une catégorie occupe un
secteur de $45°$. Quelle part de l'effectif total représente-t-elle ?

]]> Dans un diagramme semi-circulaire, $180°$ représentent
l'effectif total.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $25\ \%$

]]> Bonne réponse : le demi-disque ($180°$) représente
$100\ \%$, et $\dfrac{45}{180} = 0{,}25$.

]]> $12{,}5\ \%$

]]> Erreur : $\dfrac{45}{360} = 12{,}5\ \%$ vaut pour un disque
complet ; ici l'effectif total occupe $180°$.

]]> $45\ \%$

]]> Erreur : un angle n'est pas un pourcentage ; on le rapporte à
$180°$.

]]> $50\ \%$

]]> Erreur : $50\ \%$ correspondrait à un quart de disque, soit
$90°$ sur le demi-disque.

]]> Automatismes — Q37 : Lire un diagramme en barres Diagramme en barres. En abscisse, le nombre de frères et sœurs, de 0 à 4. Effectifs : 6 élèves pour 0, 10 pour 1, 8 pour 2, 4 pour 3 et 2 pour 4.

Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des
$30$ élèves d'une classe. Quelle proportion des élèves a au moins
deux frères et sœurs ?

]]> « Au moins deux » signifie « deux ou plus » : on additionne les
effectifs des valeurs $2$, $3$ et $4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{7}{15}$

]]> Bonne réponse : $8 + 4 + 2 = 14$ élèves sur $30$, et
$\dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$.

]]> $\dfrac{4}{15}$

]]> Oubli : « au moins deux » compte aussi les élèves qui en ont
$3$ ou $4$, pas seulement ceux qui en ont $2$.

]]> $\dfrac{4}{5}$

]]> Erreur : $\dfrac{24}{30}$ compte les élèves qui ont au moins
un frère ou une sœur.

]]> $\dfrac{8}{15}$

]]> Erreur : $\dfrac{16}{30}$ est la proportion des élèves qui en
ont moins de deux, le complément de la réponse.

]]> Automatismes — Q38 : Une médiane lue sur un diagramme en barres Diagramme en barres. En abscisse, le nombre de frères et sœurs, de 0 à 4. Effectifs : 6 élèves pour 0, 10 pour 1, 8 pour 2, 4 pour 3 et 2 pour 4.

Le diagramme ci-dessous donne le nombre de frères et sœurs des
$30$ élèves d'une classe. Quelle est la médiane de cette série ?

]]> Pour une série de $30$ valeurs, la médiane est la moyenne des
$15^\text{e}$ et $16^\text{e}$ valeurs rangées : les effectifs
cumulés les situent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : rangées dans l'ordre, les $15^\text{e}$ et
$16^\text{e}$ valeurs valent $1$ (les effectifs cumulés
passent de $6$ à $16$ pour la valeur $1$).

]]> $2$

]]> Erreur : $2$ est la valeur du milieu de l'axe ($0$ à $4$),
pas celle du milieu de la série rangée.

]]> $8$

]]> Erreur : $8$ est un effectif, la hauteur d'une barre. La
médiane est une valeur de la série.

]]> $1{,}5$

]]> Erreur : la moyenne des $15^\text{e}$ et $16^\text{e}$ valeurs
est $\dfrac{1 + 1}{2} = 1$ ; ces deux valeurs sont égales.

]]> Automatismes — Q39 : Lire un écart interquartile Boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Minimum 4, premier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 14, maximum 19.

La boîte à moustaches ci-dessous résume une série de notes. Que
vaut son écart interquartile ?

]]> Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$, la longueur de la boîte. Il
mesure la dispersion de la moitié centrale des valeurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : la boîte va de $Q_1 = 8$ à $Q_3 = 14$, et
$14 - 8 = 6$.

]]> $15$

]]> Confusion avec l'étendue : $19 - 4 = 15$ va d'une extrémité
des moustaches à l'autre.

]]> $3$

]]> Erreur : $11 - 8 = 3$ va du premier quartile à la médiane,
soit la moitié gauche de la boîte seulement.

]]> $11$

]]> Erreur : $11$ est la médiane, indicateur de position, et non
un écart.

]]> Automatismes — Q40 : Ce que dit un premier quartile Boîte à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Minimum 4, premier quartile 8, médiane 11, troisième quartile 14, maximum 19.

La boîte à moustaches ci-dessous résume une série de notes.
Quelle proportion des notes est supérieure ou égale à $8$ ?

]]> Au moins $25\ \%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_1$,
au moins $75\ \%$ lui sont supérieures ou égales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au moins $75\ \%$

]]> Bonne réponse : $8$ est le premier quartile ; au plus
$25\ \%$ des notes lui sont strictement inférieures.

]]> Au plus $25\ \%$

]]> Sens inversé : ce sont les notes inférieures à $Q_1$ qui
représentent au plus un quart de la série.

]]> Exactement la moitié

]]> Confusion avec la médiane, $11$ : c'est elle qui partage la
série en deux moitiés.

]]> Moins de la moitié

]]> Erreur : $8$ est situé avant la médiane $11$ ; plus de la
moitié des notes lui sont supérieures ou égales.

]]> Automatismes — Q41 : Comparer deux boîtes à moustaches Deux boîtes à moustaches sur un axe gradué de 0 à 20. Classe A : minimum 5, premier quartile 9, médiane 12, troisième quartile 14, maximum 18. Classe B : minimum 2, premier quartile 7, médiane 12, troisième quartile 16, maximum 20.

Les boîtes ci-dessous résument les notes de deux classes $A$ et
$B$. Quelle affirmation est vraie ?

]]> Pour comparer deux séries, on associe un indicateur de position
(médiane) et un indicateur de dispersion (écart interquartile,
étendue).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les médianes sont égales, mais les notes de $B$ sont plus dispersées

]]> Bonne réponse : les deux médianes valent $12$ ; l'écart
interquartile vaut $5$ pour $A$ et $9$ pour $B$, et
l'étendue $13$ pour $A$, $18$ pour $B$.

]]> La classe $A$ a la plus grande médiane

]]> Erreur : les deux traits de médiane sont à la même abscisse,
$12$.

]]> Au moins la moitié des notes de $B$ dépasse $16$

]]> Erreur : $16$ est le troisième quartile de $B$ ; au plus un
quart des notes de $B$ lui est supérieur.

]]> La classe $B$ a le plus petit écart interquartile

]]> Erreur : la boîte de $B$ ($16 - 7 = 9$) est plus longue que
celle de $A$ ($14 - 9 = 5$).

]]> Automatismes — Q42 : Une évolution lue sur une courbe Courbe croissante de la population, en milliers d'habitants : 180 en 2000, 200 en 2010 et 250 en 2020, points marqués en bleu.

La courbe ci-dessous donne la population d'une ville, en
milliers d'habitants. Quel est le taux d'évolution de cette
population entre 2010 et 2020 ?

]]> Taux d'évolution $= \dfrac{V_2 - V_1}{V_1}$, avec $V_1$ la valeur
de départ lue sur la courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $+25\ \%$

]]> Bonne réponse : la population passe de $200$ à $250$ milliers,
et $\dfrac{250 - 200}{200} = 0{,}25$.

]]> $+50\ \%$

]]> Confusion : $50$ milliers est la variation absolue ; le taux
la rapporte à la valeur de départ, $200$.

]]> $+20\ \%$

]]> Mauvais dénominateur : $\dfrac{50}{250} = 0{,}2$ rapporte la
variation à la valeur d'arrivée au lieu de la valeur de
départ.

]]> $+38{,}9\ \%$

]]> Erreur de lecture : ce taux part de $180$ milliers, la valeur
de 2000, et non de 2010.

]]> Automatismes — Q43 : Le premier quartile d'une petite série On considère la série rangée $3$ ; $5$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $12$ ;
$15$. Que vaut son premier quartile $Q_1$ ?

]]> $Q_1$ est la plus petite valeur de la série rangée telle qu'au
moins $25\ \%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$, donc $Q_1$ est la
$2^\text{e}$ valeur de la série rangée, $5$.

]]> $8$

]]> Confusion avec la médiane, la $4^\text{e}$ valeur sur $7$.

]]> $4$

]]> Erreur : un quartile est une valeur de la série ; on ne fait
pas la moyenne de $3$ et $5$.

]]> $12$

]]> Confusion avec le troisième quartile, la $6^\text{e}$ valeur
($\dfrac{3 \times 7}{4} = 5{,}25$).

]]>