$course$/QCM de maths/Seconde/Calcul littéral, équations et inéquations Identités remarquables, développement et factorisation,
puissances et racines carrées ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$,
$\sqrt{a^2} = |a|$), équations du premier degré, produit nul,
quotient, $x^2 = a$, inéquations et opérations sur les
inégalités, isoler une variable dans une formule.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q01 : Développer le carré d'une somme Quel est le développement de $(x + 3)^2$ ?

]]> Identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ici
$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Vérification rapide avec une valeur :
$x = 1$ donne $16$ des deux côtés.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^2 + 6x + 9$

]]> Bonne réponse : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, avec le
double produit $2 \times x \times 3 = 6x$.

]]> $x^2 + 9$

]]> L'erreur la plus répandue du lycée : le carré d'une somme
n'est pas la somme des carrés. Le double produit $6x$ est
indispensable (teste avec $x = 1$ : $(1+3)^2 = 16 \neq
10$).

]]> $x^2 + 3x + 9$

]]> Erreur : le terme croisé est le double produit
$2 \times 3 \times x = 6x$, pas $3x$.

]]> $x^2 + 6x + 3$

]]> Erreur : le dernier terme est le carré de $3$, soit
$9$, pas $3$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q02 : Factoriser une différence de deux carrés Quelle est la factorisation de $x^2 - 25$ ?

]]> Troisième identité remarquable :
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Ici $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$,
point de départ des équations produit nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x - 5)(x + 5)$

]]> Bonne réponse : différence de deux carrés,
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 5$.

]]> $(x - 5)^2$

]]> Erreur : $(x-5)^2 = x^2 - 10x + 25$, avec un double
produit et un $+25$. La différence de carrés se
factorise en produit de facteurs conjugués.

]]> $(x - 25)(x + 1)$

]]> Erreur : ce produit vaut $x^2 - 24x - 25$. C'est $b^2 =
25$ donc $b = 5$ qui entre dans la factorisation.

]]> Cette expression ne se factorise pas

]]> Erreur : toute différence de deux carrés se factorise :
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q03 : Équation produit nul Quelles sont les solutions de l'équation
$(x - 2)(x + 5) = 0$ ?

]]> Règle du produit nul : $A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0$
ou $B = 0$. Ici : $x = 2$ ou $x = -5$. C'est la raison d'être
de la factorisation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2$ ou $x = -5$

]]> Bonne réponse : un produit est nul si et seulement si l'un
de ses facteurs est nul : $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$.

]]> $x = 2$ ou $x = 5$

]]> Erreur de signe : $x + 5 = 0$ donne $x = -5$. Le signe de
la solution est l'opposé de celui écrit dans le
facteur.

]]> $x = -2$ ou $x = 5$

]]> Signes inversés sur les deux facteurs : $x - 2 = 0
\Rightarrow x = 2$ et $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$.

]]> $x = -10$

]]> Erreur : tu as peut-être multiplié $2 \times (-5)$. On ne
combine pas les solutions : chaque facteur nul en donne
une.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q04 : Résoudre $x^2 = a$ Quelles sont les solutions réelles de l'équation $x^2 = 5$ ?

]]> Équation $x^2 = a$ : deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a > 0$,
une seule ($0$) si $a = 0$, aucune si $a < 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$

]]> Bonne réponse : deux nombres opposés ont le même carré :
l'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) a deux solutions,
$\pm\sqrt{a}$.

]]> $x = \sqrt{5}$ seulement

]]> Oubli : $(-\sqrt{5})^2 = 5$ aussi. Le réflexe « racine
carrée » ne donne que la solution positive.

]]> $x = 2{,}5$

]]> Erreur : $2{,}5 = 5 \div 2$ confond carré et double.
$2{,}5^2 = 6{,}25 \neq 5$.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : c'est $x^2 = -5$ qui n'a pas de solution réelle
(un carré n'est jamais négatif). Pour $5 > 0$, il y en a
deux.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q05 : Équation quotient Quelles sont les solutions de l'équation
$\dfrac{x + 1}{x - 3} = 0$ ?

]]> $\dfrac{A(x)}{B(x)} = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0$ et
$B(x) \neq 0$. Réflexe : commencer par noter la valeur
interdite (ici $x = 3$), puis résoudre le numérateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = -1$ seulement

]]> Bonne réponse : un quotient est nul quand son
numérateur est nul et son dénominateur non nul :
$x = -1$ (et la valeur interdite $x = 3$ est écartée).

]]> $x = -1$ ou $x = 3$

]]> Erreur : $x = 3$ annule le dénominateur : le quotient
n'y existe même pas. C'est une valeur interdite, pas une
solution.

]]> $x = 3$ seulement

]]> Erreur : $3$ est la valeur interdite. La nullité d'un
quotient se joue au numérateur : $x + 1 = 0$.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Erreur : $x = -1$ convient : $\dfrac{0}{-4} = 0$, et le
dénominateur n'est pas nul en $-1$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q06 : Inéquation et division par un négatif Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$-2x + 6 > 0$ ?

]]> Règle d'or : multiplier ou diviser une inégalité par un nombre
strictement négatif change son sens. $-2x + 6 > 0
\Leftrightarrow -2x > -6 \Leftrightarrow x < 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,3[$

]]> Bonne réponse : $-2x > -6$ puis, en divisant par $-2$,
l'inégalité se renverse : $x < 3$.

]]> $]3\,;\,+\infty[$

]]> L'erreur classique : diviser par un nombre négatif
renverse le sens de l'inégalité. Vérifie avec $x = 0$ :
$-2 \times 0 + 6 = 6 > 0$, donc $0$ est solution, et
$0 < 3$.

]]> $]-\infty\,;\,-3[$

]]> Erreur de signe sur la borne : $-2x > -6$ donne
$x < 3$, pas $x < -3$.

]]> $]-3\,;\,3[$

]]> Erreur : une inéquation du premier degré délimite une
demi-droite, pas un intervalle borné.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q07 : Produit de puissances Que vaut $a^3 \times a^5$ (pour $a$ réel non nul) ?

]]> Règles des puissances : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ;
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$. Le produit
ajoute les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^8$

]]> Bonne réponse : on ajoute les exposants :
$a^3 \times a^5 = a^{3+5}$ (trois facteurs $a$ suivis de
cinq facteurs $a$).

]]> $a^{15}$

]]> Erreur : multiplier les exposants correspond à la
puissance de puissance $(a^3)^5$. Pour un produit, on les
ajoute.

]]> $a^2$

]]> Erreur : soustraire les exposants correspond au
quotient $\dfrac{a^5}{a^3}$.

]]> $2a^8$

]]> Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît. Compter les
facteurs $a$ suffit : $3 + 5 = 8$ facteurs.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q08 : Simplifier une racine carrée Quelle est l'écriture simplifiée de $\sqrt{50}$ ?

]]> Pour simplifier une racine : extraire le plus grand carré
parfait. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$, grâce à
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5\sqrt{2}$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} =
\sqrt{25}\,\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ (la règle
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ est démontrée en cours).

]]> $25\sqrt{2}$

]]> Erreur : $\sqrt{25} = 5$, pas $25$. La racine « défait »
le carré : $25 = 5^2$ sort en $5$.

]]> $2\sqrt{5}$

]]> Erreur de décomposition : $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \times 5} =
\sqrt{20}$, pas $\sqrt{50}$. Il faut extraire le plus
grand carré : $50 = 25 \times 2$.

]]> $10\sqrt{5}$

]]> Erreur : $10\sqrt{5} = \sqrt{500}$.
Contrôle utile : $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ et
$5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q09 : La relation $\sqrt{a^2} = |a|$ Que vaut $\sqrt{(-3)^2}$ ?

]]> $\sqrt{a^2} = |a|$ pour tout réel $a$ : la racine carrée est
positive par définition. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 =
|-3|$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $\sqrt{9} = 3$. En
général, $\sqrt{a^2} = |a|$ : la racine carrée renvoie
toujours un résultat positif.

]]> $-3$

]]> Erreur : la racine et le carré ne « s'annulent » pas
purement : $\sqrt{a^2} = |a|$, jamais négatif. Le signe de
départ est perdu par le carré.

]]> $\pm 3$

]]> Confusion : le symbole $\sqrt{9}$ désigne le nombre
positif de carré $9$. Le « $\pm$ » apparaît en résolvant
l'équation $x^2 = 9$, pas dans la valeur de la racine.

]]> $9$

]]> Erreur : $9$ est le carré ; la racine le ramène à $3$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q10 : Isoler une variable dans une formule La loi d'Ohm s'écrit $U = R \times I$. Comment exprime-t-on
$I$ en fonction de $U$ et $R$ (avec $R \neq 0$) ?

]]> Isoler une variable : appliquer aux deux membres l'opération
inverse. $U = RI \Rightarrow I = \dfrac{U}{R}$. Même méthode
pour $d = vt$, $S = \pi r^2$, etc.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $I = \dfrac{U}{R}$

]]> Bonne réponse : $I$ est multiplié par $R$ ; pour
l'isoler, on divise les deux membres par $R$.

]]> $I = \dfrac{R}{U}$

]]> Fraction renversée : contrôle par les ordres de grandeur :
si $U = 12$ et $R = 4$, alors $I = 3$, ce qui correspond à
$U/R$ et non $R/U = 1/3$.

]]> $I = U - R$

]]> Erreur d'opération : $U = RI$ est un produit ; on le
défait par une division, pas par une soustraction.

]]> $I = U \times R$

]]> Erreur : multiplier encore par $R$ éloigne de la
solution. On divise pour défaire la multiplication.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q11 : Opérations sur les inégalités Soient des réels tels que $a < b$ et $c < d$. Laquelle de ces
inégalités est toujours vraie ?

]]> Seule l'addition membre à membre est toujours licite :
$a < b$ et $c < d \Rightarrow a + c < b + d$. Soustraction,
produit et quotient demandent des précautions de signe, ou
sont carrément faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a + c < b + d$

]]> Bonne réponse : les inégalités de même sens
s'additionnent toujours.

]]> $a - c < b - d$

]]> Faux : on ne soustrait pas des inégalités membre à membre.
Contre-exemple : $0 < 1$ et $0 < 10$, mais
$0 - 0 = 0 > 1 - 10 = -9$.

]]> $ac < bd$

]]> Faux sans hypothèse de signe : $-3 < 1$ et $-3 < 1$, mais
$(-3)(-3) = 9 > 1$. La multiplication exige des nombres
positifs.

]]> $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{d}$

]]> Faux en général (et $c$ ou $d$ pourrait être nul). Même
avec des positifs, diviser des inégalités membre à membre
n'est pas une règle valide.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q12 : Multiplier une inégalité par un négatif Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$. Que peut-on
dire de $-2a$ et $-2b$ ?

]]> Multiplication d'une inégalité : par un réel positif, le
sens est conservé ; par un réel négatif, il est renversé.
$a < b \Rightarrow -2a > -2b$ (lien avec la décroissance de
$x \mapsto -2x$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2a > -2b$

]]> Bonne réponse : multiplier par $-2 < 0$ renverse
l'inégalité. Exemple : $1 < 3$ donne $-2 > -6$.

]]> $-2a < -2b$

]]> Erreur : teste $a = 1$, $b = 3$ : $-2a = -2$ et
$-2b = -6$, or $-2 > -6$. Le facteur négatif inverse
l'ordre.

]]> $-2a = -2b$

]]> Erreur : multiplier par une même constante non nulle
conserve la différence entre les nombres, elle ne les
égalise pas.

]]> On ne peut pas comparer sans connaître les signes de $a$
et $b$

]]> Erreur : la règle vaut pour tous les réels : le signe
du multiplicateur ($-2$) suffit à déterminer le sens.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q13 : Réduire une expression Comment se réduit l'expression $3x + 5 + 2x - 1$ ?

]]> Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les $x$
ensemble, les constantes ensemble. Chaque famille se
combine, jamais les familles entre elles.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5x + 4$

]]> Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ ($3x + 2x
= 5x$) et les constantes ($5 - 1 = 4$).

]]> $9x$

]]> Mélange interdit : $5$ et $-1$ ne portent pas de $x$ :
on ne peut pas les fusionner avec $3x$ et $2x$.

]]> $5x - 4$

]]> Signe : $5 - 1 = +4$ (le moins ne porte que sur le
$1$).

]]> $6x + 4$

]]> Erreur de somme : $3x + 2x = 5x$ (additionner les
coefficients : $3 + 2$).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q14 : Résoudre une équation du premier degré Quelle est la solution de l'équation $2x + 1 = 7$ ?

]]> Résolution en deux gestes, dans l'ordre : défaire l'addition
($-1$ des deux côtés), puis défaire la multiplication
($\div 2$). Et toujours vérifier en remplaçant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : $2x = 6$ (retirer $1$ des deux côtés),
puis $x = 3$ (diviser par $2$). Contrôle :
$2 \times (3) + 1 = 7$.

]]> $x = 4$

]]> Ordre des opérations : diviser $7 + 1 = 8$ par $2$
suppose d'avoir ajouté $1$ : or on doit le
retrancher : $\dfrac{7 - 1}{2} = 3$.

]]> $x = 6$

]]> Division oubliée : $2x = 6$ n'est pas fini : il reste
à diviser par $2$.

]]> $x = \dfrac{7}{2}$

]]> Le $+1$ a été ignoré : avant de diviser, il faut
d'abord isoler $2x$ en retirant $1$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q15 : Puissance d'exposant négatif Que vaut $10^{-3}$ ?

]]> $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : notation des inverses. Pour les
puissances de $10$ : l'exposant compte les rangs de la
virgule ($10^{-3}$ : trois rangs vers la gauche) : la base
de l'écriture scientifique.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0{,}001$

]]> Bonne réponse : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} =
\dfrac{1}{1000}$ : l'exposant négatif signifie
« inverse ».

]]> $-1000$

]]> Erreur : l'exposant négatif ne rend pas le nombre
négatif : il le rend petit ($\frac{1}{1000}$),
toujours positif.

]]> $-30$

]]> Erreur : $10 \times (-3)$ multiplie au lieu d'élever en
puissance : $10^{-3}$ est un inverse de puissance.

]]> $0{,}0001$

]]> Un zéro de trop : $\frac{1}{1000} = 0{,}001$ (trois
rangs après la virgule pour l'exposant $3$).

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q16 : Développer $(2x + 1)(x - 3)$ Quel est le développement de $(2x + 1)(x - 3)$ ?

]]> Double distributivité : chaque terme de la première
parenthèse multiplie chaque terme de la seconde ($2 \times 2
= 4$ produits), puis on réduit. Le terme du milieu concentre
toutes les erreurs : le calculer en premier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x^2 - 5x - 3$

]]> Bonne réponse : quatre produits : $2x^2 - 6x + x - 3$,
puis réduction : $-6x + x = -5x$.

]]> $2x^2 - 3$

]]> Termes croisés oubliés : la double distributivité génère
quatre produits : les termes du milieu ($-6x$ et
$+x$) ne s'annulent pas ici.

]]> $2x^2 + 5x - 3$

]]> Signe : $2x \times (-3) = -6x$ domine le $+x$ : le
terme du milieu est $-5x$.

]]> $3x - 2$

]]> Erreur : additionner les parenthèses au lieu de les
multiplier : le produit crée un terme en $x^2$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q17 : Factoriser par le facteur commun Comment se factorise $6x^2 + 4x$ ?

]]> Factoriser par le facteur commun : repérer ce que TOUS les
termes partagent (ici $2$ et $x$), l'extraire, écrire le
reste entre parenthèses. Vérification systématique : le
développement doit redonner l'expression de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x(3x + 2)$

]]> Bonne réponse : le facteur commun le plus grand est
$2x$ : $6x^2 = 2x \times 3x$ et $4x = 2x \times 2$.
Contrôle en redéveloppant.

]]> $x(6x + 4)$

]]> Factorisation incomplète : le $2$ commun à $6$ et $4$
peut encore sortir : on extrait toujours le facteur
maximal.

]]> $2x(3x + 4)$

]]> Contrôle : $2x \times 4 = 8x \neq 4x$ : après
extraction de $2x$, il reste $2$, pas $4$.

]]> $10x^3$

]]> Erreur : additionner $6x^2 + 4x$ en un seul terme est
impossible (degrés différents) : factoriser, c'est écrire sous forme de produit.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q18 : Développer le carré d'une différence Quel est le développement de $(x - 4)^2$ ?

]]> $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : trois termes, jamais deux.
Le contrôle par une valeur ($x = 4$ donne $0$) démasque
immédiatement les développements faux.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^2 - 8x + 16$

]]> Bonne réponse : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ : le
double produit vaut $-2 \times x \times 4 = -8x$, et le
carré de $-4$ est $+16$.

]]> $x^2 + 16$

]]> L'erreur classique : le carré d'une différence n'est pas
la différence des carrés : le double produit $-8x$ est
obligatoire (testez $x = 4$ : $0^2 = 0 \neq 32$).

]]> $x^2 - 16$

]]> Confusion : $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ : c'est l'identité
$a^2 - b^2$, pas le carré de $(x - 4)$.

]]> $x^2 - 8x - 16$

]]> Dernier signe : $(-4)^2 = +16$ : un carré est toujours
positif.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q19 : Inconnues des deux côtés Quelle est la solution de $3x - 2 = x + 6$ ?

]]> Avec des $x$ des deux côtés : regrouper (les inconnues d'un
côté, les constantes de l'autre), en changeant le signe de
tout terme qui traverse le signe égal. Puis diviser. Et
TOUJOURS contrôler dans l'équation de départ.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 4$

]]> Bonne réponse : regrouper les $x$ à gauche ($3x - x =
2x$), les nombres à droite ($6 + 2 = 8$) :
$2x = 8$, $x = 4$. Contrôle : les deux membres
valent $10$.

]]> $x = 2$

]]> Erreur probable : $6 - 2$ au lieu de $6 + 2$. Un terme qui change de membre change de signe.

]]> $x = 8$

]]> Division oubliée : $2x = 8$ donne $x = 4$ : le
coefficient $2$ se retire en dernier.

]]> $x = \dfrac{8}{3}$

]]> Erreur : le terme $x$ du membre de droite n'a pas été
ramené à gauche ; le regroupement correct donne
$2x = 8$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q20 : Racine d'une somme Que vaut $\sqrt{9 + 16}$ ?

]]> La racine respecte les produits ($\sqrt{ab} =
\sqrt{a}\sqrt{b}$) mais jamais les sommes : $\sqrt{9 + 16}
= 5$ alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Ce contre-exemple
à $3$-$4$-$5$ est à garder en réserve.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ : on
additionne D'ABORD sous la racine.

]]> $7$

]]> Le piège visé : $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$,
mais la racine ne se distribue PAS sur l'addition :
$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

]]> $12{,}5$

]]> Erreur : $\frac{25}{2}$ ne correspond à rien : la
racine de $25$ est le nombre positif dont le carré vaut
$25$ : c'est $5$.

]]> $625$

]]> Sens inverse : $625 = 25^2$ élève au carré au lieu de
prendre la racine.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q21 : Évaluer une expression en $x = -2$ Que vaut l'expression $x^2 - 3x$ pour $x = -2$ ?

]]> Substituer une valeur négative : TOUJOURS avec parenthèses :
$(-2)^2 = 4$, $-3 \times (-2) = +6$. La moitié des erreurs
de calcul littéral sont des parenthèses omises autour des
négatifs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : $(-2)^2 - 3 \times (-2) = 4 + 6 = 10$ :
le carré efface le signe, et « moins fois moins » donne
plus.

]]> $-2$

]]> Deux erreurs de signe : $(-2)^2 = +4$ (pas $-4$) et $-3
\times (-2) = +6$ (pas $-6$).

]]> $2$

]]> Erreur sur le double produit : $-3 \times (-2) = +6$ :
on obtient $4 + 6$, pas $4 - 2$.

]]> $-10$

]]> Signe global : les deux termes sont positifs ($4$
et $6$) : total $+10$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q22 : Équation avec une fraction Quelle est la solution de $\dfrac{x}{3} - 2 = 4$ ?

]]> Défaire les opérations dans l'ordre inverse de leur
application : le $-2$ d'abord (opération la plus externe),
la division par $3$ ensuite. Chaque geste s'applique aux
DEUX membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 18$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{x}{3} = 6$ (ajouter $2$), puis
$x = 18$ (multiplier par $3$). Contrôle : $\frac{18}{3}
- 2 = 4$ ✓.

]]> $x = 6$

]]> Multiplication oubliée : $6$ est la valeur de
$\frac{x}{3}$ : il reste à multiplier par $3$.

]]> $x = 2$

]]> Erreur : $\frac{4 + 2}{3} = 2$ divise au lieu de
multiplier : pour défaire une division par $3$, on
multiplie par $3$.

]]> $x = \dfrac{4}{3} + 2$

]]> Ordre : le $-2$ se neutralise en premier (sur les deux
membres entiers), la division par $3$ en dernier : $x =
6 \times 3$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q23 : Le faux réflexe $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ L'égalité $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ est-elle vraie pour tous
réels $a$ et $b$ ?

]]> $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit n'est pas
une option. Un contre-exemple numérique (une seconde de
calcul) suffit à réfuter une « formule » douteuse : réflexe
à cultiver.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, il manque le double produit $2ab$

]]> Bonne réponse : $(1 + 1)^2 = 4$ alors que $1^2 + 1^2 =
2$. Le carré d'une somme vaut $a^2 + 2ab + b^2$ :
l'égalité proposée n'est vraie que si $2ab = 0$ (l'un
des deux est nul).

]]> Oui : le carré se distribue sur l'addition

]]> Le faux réflexe exact : la puissance se distribue sur
les produits ($(ab)^2 = a^2b^2$), jamais sur les
sommes : contre-exemple $a = b = 1$.

]]> Oui, à condition que $a$ et $b$ soient positifs

]]> Erreur : $a = b = 1$ sont positifs et l'égalité échoue
($4 \neq 2$) : le signe n'y change rien.

]]> Non, elle n'est vraie que lorsque $a = b$

]]> Erreur : $a = b = 1$ donne justement $4 \neq 2$ : le
seul salut est $ab = 0$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q24 : Traduire un programme de calcul Programme : « choisir un nombre, lui ajouter $3$, mettre le
résultat au carré ». Quelle expression traduit ce programme
appliqué à $x$ ?

]]> Traduire un programme de calcul : chaque étape enveloppe la
précédente, et les parenthèses matérialisent cet ordre.
Tester avec un nombre concret ($x = 1$ : $1 \to 4 \to 16$)
départage les candidats en quelques secondes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x + 3)^2$

]]> Bonne réponse : l'addition se fait d'abord, PUIS le
carré s'applique au résultat entier : les parenthèses
traduisent l'ordre des étapes.

]]> $x^2 + 3$

]]> Ordre inversé : $x^2 + 3$ met au carré puis ajoute
$3$ : le programme fait l'inverse. (Test avec $x = 1$ :
$16$ contre $4$.)

]]> $x + 3^2$

]]> Erreur : ici le carré ne porte que sur le $3$ : $x + 9$ :
le programme élève au carré tout le résultat.

]]> $2(x + 3)$

]]> Confusion : « mettre au carré » signifie multiplier par
lui-même ($u^2$), pas par $2$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q25 : Un produit calculé sans poser l'opération En utilisant une identité remarquable, combien vaut $101 \times 99$ ?

]]> Reconnaître $(a+b)(a-b)$ transforme un produit en différence de deux
carrés. Avec $a = 100$ et $b = 1$, le calcul devient immédiat.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9\,999$

]]> Bonne réponse : $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 100^2 - 1^2$, soit
$10\,000 - 1$.

]]> $10\,000$

]]> Carré parfait supposé : le produit vaudrait $10\,000$ si les deux
facteurs étaient égaux à $100$, ce qui n'est pas le cas.

]]> $9\,900$

]]> Terme oublié : $9\,900$ vaut $100 \times 99$. Il reste à ajouter
$1 \times 99$.

]]> $10\,001$

]]> Signe inversé : l'identité $(a+b)(a-b)$ donne $a^2 - b^2$, donc on
retranche $1$ au lieu de l'ajouter.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q26 : Une équation sans solution Quelles sont les solutions de l'équation $2x + 3 = 2x + 5$ ?

]]> Quand les termes en $x$ disparaissent, il reste une égalité entre deux
nombres. Si elle est fausse, l'équation n'a pas de solution ; si elle est
vraie, tous les réels conviennent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution

]]> Bonne réponse : retrancher $2x$ des deux côtés laisse $3 = 5$, une
égalité fausse. Aucune valeur de $x$ ne convient.

]]> La solution $x = 1$

]]> Vérification immédiate : pour $x = 1$, le membre de gauche vaut $5$ et
celui de droite $7$, ils diffèrent.

]]> La solution $x = 0$

]]> Vérification immédiate : pour $x = 0$, on compare $3$ et $5$, qui ne
sont pas égaux.

]]> Tous les réels

]]> Ce serait le cas si les deux membres étaient identiques. Ici les
constantes diffèrent, donc l'égalité n'est jamais vraie.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q27 : Une équation vérifiée partout Quelles sont les solutions de l'équation $3(x - 1) = 3x - 3$ ?

]]> Une équation dont les deux membres sont égaux après développement est une
identité : elle est vraie pour toutes les valeurs de l'inconnue.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les réels

]]> Bonne réponse : développer le membre de gauche donne $3x - 3$, donc
les deux membres sont identiques.

]]> $x = 1$

]]> Solution trouvée par réflexe : $x = 1$ convient, mais $x = 5$ aussi,
car les deux membres valent alors $12$.

]]> $x = 0$

]]> Solution trouvée par réflexe : $x = 0$ convient, comme n'importe
quelle autre valeur.

]]> Aucune solution

]]> Confusion avec le cas contraire : ici l'égalité obtenue après
simplification est vraie, et non fausse.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q28 : Puissance d'un produit Quelle est la forme réduite de $(2x^3)^2$ ?

]]> Élever un produit à une puissance revient à élever chaque facteur, et une
puissance de puissance multiplie les exposants.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4x^6$

]]> Bonne réponse : chaque facteur est élevé au carré, et les exposants se
multiplient, donc $2^2 = 4$ et $(x^3)^2 = x^6$.

]]> $2x^6$

]]> Coefficient oublié : le facteur $2$ est lui aussi élevé au carré, ce
qui donne $4$.

]]> $4x^5$

]]> Exposants additionnés : la règle $(x^a)^b = x^{ab}$ les multiplie.
L'addition vaut pour un produit de puissances.

]]> $4x^9$

]]> Exposants confondus : $3 \times 2$ vaut $6$, alors que $3^2$ vaut $9$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q29 : Une inéquation à coefficient négatif Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-3x + 2 \geq 8$ ?

]]> Ajouter ou retrancher un nombre ne change pas le sens d'une inégalité,
mais multiplier ou diviser par un nombre négatif le renverse.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,-2]$

]]> Bonne réponse : $-3x \geq 6$, puis la division par $-3$
renverse le sens, ce qui donne $x \leq -2$.

]]> $[-2\,;\,+\infty[$

]]> Sens non renversé : la division par un nombre négatif change le
sens de l'inégalité ; on obtient $x \leq -2$.

]]> $]-\infty\,;\,2]$

]]> Signe perdu : de $-3x \geq 6$ on tire $x \leq -2$, et non
$x \leq 2$.

]]> $[2\,;\,+\infty[$

]]> Deux erreurs cumulées : le signe de la solution et le sens de
l'inégalité. La solution vérifie $x \leq -2$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q30 : Factoriser $x^2 + 6x + 9$ Quelle est la forme factorisée de $x^2 + 6x + 9$ ?

]]> Reconnaître $a^2 + 2ab + b^2$ demande de vérifier les trois termes : les
deux carrés, puis le double produit. Ici $a = x$ et $b = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x + 3)^2$

]]> Bonne réponse : $9 = 3^2$ et $6x = 2 \times x \times 3$, l'expression
est donc le carré de $x + 3$.

]]> $(x + 9)^2$

]]> Constante recopiée : le développement donnerait $x^2 + 18x + 81$.
C'est la racine carrée de $9$ qui intervient.

]]> $(x + 3)(x - 3)$

]]> Mauvaise identité : ce produit vaut $x^2 - 9$, sans terme en $x$.

]]> $(x + 6)(x + 3)$

]]> Développement faux : ce produit vaut $x^2 + 9x + 18$, dont aucun terme
ne correspond.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q31 : Réduire avec des termes négatifs Comment se réduit l'expression $2x - 7 - 5x + 3$ ?

]]> Réduire, c'est regrouper séparément les termes en $x$ et les constantes.
Chaque terme emporte avec lui le signe écrit devant lui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3x - 4$

]]> Bonne réponse : les termes en $x$ donnent $2 - 5 = -3$, les
constantes donnent $-7 + 3 = -4$.

]]> $7x - 4$

]]> Signe oublié devant le second terme en $x$ : il faut calculer
$2 - 5 = -3$, et non une somme de deux nombres positifs.

]]> $-3x - 10$

]]> Erreur sur les constantes : $-7 + 3 = -4$, car le dernier terme
s'ajoute au lieu de se retrancher.

]]> $-7x$

]]> Familles mélangées : les constantes ne se joignent pas aux termes en
$x$. Le résultat garde deux morceaux, $-3x$ et $-4$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q32 : Distributivité simple Quel est le développement de $3(2x - 5)$ ?

]]> La distributivité simple s'écrit $k(a + b) = ka + kb$ : le facteur placé
devant la parenthèse multiplie chacun des termes qu'elle contient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6x - 15$

]]> Bonne réponse : $3$ multiplie les deux termes de la parenthèse :
$3 \times 2x = 6x$ et $3 \times -5 = -15$.

]]> $6x - 5$

]]> Facteur distribué à moitié : le terme $-5$ doit lui aussi être
multiplié par $3$, ce qui donne $-15$.

]]> $2x - 15$

]]> Le premier terme a été oublié : $3 \times 2x$ vaut $6x$, et non
$2x$.

]]> $6x + 15$

]]> Erreur de signe sur le produit : $3 \times -5 = -15$, en appliquant
la règle des signes.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q33 : Écrire un inverse avec un exposant Comment s'écrit $\dfrac{1}{x^4}$ à l'aide d'un exposant négatif, pour
$x$ non nul ?

]]> Un exposant négatif note un inverse : $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$. Le signe
$-$ agit sur l'exposant et ne change jamais le signe du nombre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^{-4}$

]]> Bonne réponse : par définition, $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$, donc
$\dfrac{1}{x^4} = x^{-4}$.

]]> $-x^{4}$

]]> Le signe $-$ porte sur l'exposant, pas sur le nombre : $-x^4$ est
l'opposé de $x^4$, pas son inverse.

]]> $-x^{-4}$

]]> Un signe de trop : l'inverse d'un nombre garde son signe, seul
l'exposant devient négatif.

]]> $(-x)^{4}$

]]> Cette écriture remplace $x$ par son opposé, ce qui n'a rien à voir
avec l'inverse $\dfrac{1}{x^4}$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q34 : Ce qui renverse une inégalité Une inéquation est transformée en appliquant la même opération à ses deux
membres. Laquelle de ces opérations en renverse le sens ?

]]> Additionner ou retrancher ne change jamais le sens d'une inégalité.
Multiplier ou diviser le conserve si le nombre est positif et le renverse
s'il est négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La multiplication par $-3$

]]> Bonne réponse : de $2 < 5$ on tire $-6 > -15$. Multiplier par un
nombre négatif renverse le sens.

]]> L'addition du nombre $-3$

]]> Ajouter un nombre, même négatif, translate les deux membres sans
changer leur ordre : de $2 < 5$ on tire $-1 < 2$.

]]> La soustraction du nombre $5$

]]> Retrancher un nombre revient à en ajouter l'opposé : l'ordre des deux
membres est conservé.

]]> La division par le nombre $4$

]]> Diviser par un nombre positif conserve le sens : seul un diviseur
négatif le renverserait.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q35 : Une équation où $x$ est en facteur Quelles sont les solutions de l'équation $x^2 = 4x$ ?

]]> Face à une équation où l'inconnue figure des deux côtés au carré, on
ramène tout dans un membre et on factorise. Diviser par $x$ ferait perdre
la solution $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 0$ ou $x = 4$

]]> Bonne réponse : $x^2 - 4x = x(x - 4)$, produit nul lorsque $x = 0$
ou lorsque $x = 4$.

]]> $x = 4$ seulement

]]> Solution perdue : diviser les deux membres par $x$ suppose $x \neq 0$,
or $0$ vérifie l'équation.

]]> $x = 0$ ou $x = -4$

]]> Erreur de signe : le facteur est $x - 4$, qui s'annule pour
$x = 4$.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Il suffit de tester $x = 0$ : les deux membres valent $0$, l'équation
a donc au moins une solution.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q36 : Le coefficient du terme en $x$ Dans le développement de $(3x - 2)(x + 4)$, quel est le
coefficient du terme en $x$ ?

]]> Dans $(ax + b)(x + c)$, le terme en $x$ vient de deux produits croisés :
$ax \times c$ et $b \times x$. Leur somme est le coefficient cherché.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10$

]]> Bonne réponse : les deux produits croisés donnent $3x \times 4$ et
$-2 \times x$, soit $12 - 2 = 10$.

]]> $12$

]]> Un seul produit croisé a été compté : il faut y ajouter $-2 \times x$
pour obtenir $10$.

]]> $-8$

]]> C'est le produit des deux constantes, donc le terme sans $x$ du
développement, pas le coefficient cherché.

]]> $14$

]]> Erreur de signe : les deux produits croisés s'ajoutent, ce qui donne
$12 - 2 = 10$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q37 : Un carré calculé de tête En utilisant une identité remarquable, combien vaut $51^2$ ?

]]> Écrire le nombre sous la forme $a + b$ avec $a$ rond, puis appliquer
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, rend le calcul faisable de tête.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2601$

]]> Bonne réponse : $51^2 = (50 + 1)^2 = 2500 + 100 + 1
= 2601$.

]]> $2501$

]]> Double produit oublié : $(a + b)^2$ compte trois termes, dont
$100$ ici.

]]> $2600$

]]> Dernier terme oublié : il reste à ajouter $1^2$, soit $1$, pour
obtenir $2601$.

]]> $2499$

]]> Mauvaise identité : $a^2 - b^2$ est le développement de
$(a + b)(a - b)$, pas celui d'un carré.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q38 : Isoler une longueur dans un périmètre Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ vaut
$P = 2(L + \ell)$. Comment exprime-t-on $L$ en fonction de $P$ et
de $\ell$ ?

]]> Isoler une variable, c'est défaire les opérations qui l'entourent, de la
plus extérieure à la plus intérieure, en appliquant chaque geste aux deux
membres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $L = \dfrac{P}{2} - \ell$

]]> Bonne réponse : on divise d'abord par $2$, puis on retranche $\ell$,
en défaisant les opérations dans l'ordre inverse.

]]> $L = \dfrac{P - \ell}{2}$

]]> Opérations dans le désordre : $\ell$ n'est retranché qu'après la
division, car il est à l'intérieur de la parenthèse.

]]> $L = P - 2\ell$

]]> La division par $2$ a été oubliée : le facteur $2$ porte sur toute la
parenthèse, donc sur $L$ aussi.

]]> $L = \dfrac{P}{2\ell}$

]]> La formule contient une somme, pas un produit : on ne peut pas passer
$\ell$ au dénominateur.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q39 : Une équation à barre de fraction Quelle est la solution de l'équation $\dfrac{2x - 1}{5} = 3$ ?

]]> Une barre de fraction se supprime en multipliant les deux membres par le
dénominateur. L'équation devient alors une équation du premier degré
ordinaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 8$

]]> Bonne réponse : on multiplie par $5$, ce qui donne
$2x - 1 = 15$, puis on isole $x$.

]]> $x = 16$

]]> Division finale oubliée : de $2x - 1 = 15$ on tire
$2x = 16$, puis $x = 8$.

]]> $x = 7$

]]> Erreur de signe : le terme $-1$ change de signe en traversant le
signe égal.

]]> $x = 2$

]]> La multiplication par $5$ a été oubliée : le dénominateur s'élimine
en multipliant les deux membres.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q40 : Des inconnues à gauche et à droite Quelle est la solution de l'équation $5 - 2x = 3x - 10$ ?

]]> Avec des inconnues des deux côtés, on rassemble les termes en $x$ d'un
côté et les constantes de l'autre, chaque terme changeant de signe en
traversant le signe égal.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : on regroupe les termes en $x$ à droite et les nombres
à gauche : $15 = 5x$, donc $x = 3$.

]]> $x = -3$

]]> Signe inversé : un terme qui traverse le signe égal change de signe
une seule fois. La vérification dans l'équation le montre.

]]> $x = 15$

]]> Division oubliée : après regroupement on obtient $15 = 5x$, il
reste à diviser par $5$.

]]> L'équation n'a pas de solution

]]> Les coefficients de $x$ des deux membres sont différents : les termes
en $x$ ne se simplifient pas, l'équation a bien une solution.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q41 : La valeur interdite d'un quotient Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\dfrac{2x - 6}{x - 4}$
n'est-elle pas définie ?

]]> Avant tout calcul sur un quotient, on cherche les valeurs interdites,
c'est-à-dire celles qui annulent le dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 4$

]]> Bonne réponse : pour $x = 4$ le dénominateur vaut $0$, et une
division par $0$ est impossible.

]]> $x = -4$

]]> Erreur de signe : le dénominateur $x - 4$ s'annule pour
$x = 4$, pas pour son opposé.

]]> $x = 3$

]]> Cette valeur annule le numérateur : l'expression vaut alors $0$, ce
qui est parfaitement défini.

]]> L'expression est définie partout

]]> Un quotient perd son sens dès que le dénominateur s'annule, ce qui
arrive ici pour $x = 4$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q42 : Un facteur commun entre parenthèses Comment se factorise $(x + 2)(x - 5) + 3(x + 2)$ ?

]]> Un facteur commun peut être une parenthèse entière. On l'extrait, on écrit
la somme des deux « restes » dans la seconde parenthèse, puis on réduit.
Le développement sert de vérification.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(x + 2)(x - 2)$

]]> Bonne réponse : le facteur commun $x + 2$ se met devant, et il
reste $(x - 5) + 3$, soit $x - 2$.

]]> $(x + 2)(x - 8)$

]]> Erreur de signe dans le second facteur : on ajoute $3$ au contenu
de la parenthèse, ce qui donne $x - 2$.

]]> $(x + 3)(x - 5)$

]]> Facteur commun mal repéré : c'est $x + 2$ qui figure dans les deux
termes, pas $3$.

]]> $3(x + 2)(x - 5)$

]]> Les deux termes sont additionnés, pas multipliés : $3$ ne devient
pas un facteur de l'ensemble.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q43 : Réfuter une égalité par un exemple Un élève affirme que $(x + 5)^2 = x^2 + 25$ pour tout réel $x$. Quel
calcul suffit à le réfuter ?

]]> Pour réfuter une égalité annoncée pour tout réel, un seul contre-exemple
suffit, et l'on choisit une valeur simple à calculer. Attention à $0$ et à
$1$, qui vérifient parfois l'égalité par hasard.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 1$ : on obtient $36$ d'un côté, $26$ de l'autre

]]> Bonne réponse : $(1 + 5)^2 = 36$ et $1^2 + 25 = 26$. Une seule valeur
qui échoue suffit à réfuter une égalité annoncée pour tout réel.

]]> $x = 0$ : on obtient $25$ des deux côtés

]]> Cette valeur vérifie l'égalité : elle ne réfute rien. Il faut au
contraire exhiber une valeur qui la met en défaut.

]]> $x = 1$ : on obtient $26$ des deux côtés

]]> Le premier membre est mal calculé : $(1 + 5)^2 = 6^2 = 36$, et non
$1 + 25$.

]]> Aucun : cette égalité est une identité remarquable

]]> L'identité remarquable est $(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ : le double
produit manque dans l'égalité proposée.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q44 : Simplifier $\sqrt{x^2}$ Pour tout réel $x$, l'expression $\sqrt{x^2}$ est-elle égale à $x$ ?

]]> Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$. On ne peut donc supprimer la
racine et le carré qu'après avoir vérifié le signe de $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : elle vaut $|x|$, soit $-x$ quand $x < 0$

]]> Bonne réponse : pour $x = -3$, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, et non
$-3$. L'égalité n'est vraie que pour $x \geq 0$.

]]> Oui : la racine annule toujours le carré

]]> Les deux opérations ne se compensent que sur les nombres positifs :
une racine carrée n'est jamais négative.

]]> Non : elle vaut $\pm x$, deux valeurs possibles

]]> Le symbole $\sqrt{\ }$ désigne un seul nombre, positif ou nul. Deux
valeurs apparaissent en résolvant $t^2 = a$, pas ici.

]]> Oui, sauf lorsque $x$ est un nombre entier

]]> Ce n'est pas une question d'entier : $\sqrt{(-0{,}5)^2} = 0{,}5$, le
signe seul est en cause.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q45 : Remonter un programme de calcul Programme de calcul : « choisir un nombre, le multiplier par $4$, puis
retrancher $6$ ». Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $10$ ?

]]> Pour retrouver le nombre de départ, on parcourt le programme à l'envers en
remplaçant chaque opération par son inverse. Chaque proposition peut aussi
se tester en la substituant dans le programme.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : on remonte le programme à l'envers, en ajoutant $6$
puis en divisant par $4$. Vérification : $4 \times 4 - 6
= 10$.

]]> $1$

]]> Opération inverse mal choisie : le programme retranche $6$, il faut
donc l'ajouter pour remonter, et non le retrancher encore.

]]> $16$

]]> Division oubliée : après avoir ajouté $6$, il reste à diviser par
$4$ pour revenir au nombre de départ.

]]> $64$

]]> Multiplication au lieu d'une division : le programme multiplie par
$4$, on remonte donc en divisant par $4$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q46 : Comparer par différence ou par rapport Le prix d'un article passe de $40$ euros à $50$ euros, celui d'un
autre de $200$ euros à $210$ euros. Quelle affirmation est exacte ?

]]> La différence $b - a$ mesure une variation additive ; le rapport
$\dfrac{b}{a}$, pour des quantités positives, mesure une variation
multiplicative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Même hausse en euros, pas en pourcentage

]]> Bonne réponse : la différence vaut $10$ euros dans les deux cas,
mais les rapports valent $\dfrac{50}{40} = 1{,}25$ et
$\dfrac{210}{200} = 1{,}05$, soit $+25\ \%$ et $+5\ \%$.

]]> Les deux hausses sont équivalentes en tous points

]]> Erreur : seule la variation additive est la même. Rapportée au
prix de départ, la première hausse est cinq fois plus forte.

]]> La seconde hausse est la plus forte, car $210 > 50$

]]> Erreur : comparer les prix finaux ne mesure pas une hausse. Il
faut comparer chaque prix final à son prix de départ.

]]> Les hausses sont de $10\ \%$ chacune

]]> Erreur : $10$ est une hausse en euros, pas en pourcentage. Le
pourcentage dépend du prix de départ.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q47 : Exprimer y en fonction de x Les nombres $x$ et $y$ vérifient $3x + 2y = 12$. Quelle est
l'expression de $y$ en fonction de $x$ ?

]]> Pour exprimer une variable en fonction des autres, on l'isole comme
dans une équation du premier degré : on regroupe, puis on divise par
son coefficient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 6 - \dfrac{3}{2}x$

]]> Bonne réponse : $2y = 12 - 3x$, puis on divise les deux membres
par $2$.

]]> $y = 12 - 3x$

]]> Erreur : $12 - 3x$ vaut $2y$. Il reste à diviser par $2$.

]]> $y = 6 - 3x$

]]> Erreur : en divisant par $2$, il faut diviser les deux
termes, $12$ et $3x$.

]]> $y = \dfrac{3}{2}x - 6$

]]> Erreur de signe : en passant $3x$ dans l'autre membre, on le
retranche.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q48 : Modéliser par une inéquation Une salle de sport propose deux formules : $30$ euros par mois
sans frais par séance, ou $10$ euros par mois plus $4$ euros par
séance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois. Quelle
inéquation traduit « la seconde formule est plus avantageuse » ?

]]> Pour modéliser, on exprime chaque quantité en fonction de
l'inconnue, puis on traduit la comparaison demandée par une
inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $10 + 4x < 30$

]]> Bonne réponse : la seconde formule coûte $10 + 4x$ euros ; elle
est plus avantageuse lorsque ce coût est inférieur à $30$ euros,
soit $x < 5$.

]]> $10 + 4x > 30$

]]> Erreur : cette inéquation traduit les cas où la seconde formule
est la plus chère.

]]> $14x < 30$

]]> Erreur : l'abonnement de $10$ euros est payé une fois par mois,
pas à chaque séance.

]]> $10x + 4 < 30$

]]> Erreur : les rôles sont échangés. C'est le tarif de $4$ euros qui
dépend du nombre de séances.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q49 : Encadrer une racine carrée Entre quels entiers consécutifs se trouve $\sqrt{40}$ ?

]]> Pour encadrer $\sqrt{a}$, on cherche deux carrés d'entiers consécutifs
qui encadrent $a$ : si $n^2 < a < (n+1)^2$, alors
$n < \sqrt{a} < n + 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre $20$ et $21$.

]]> La racine carrée n'est pas la moitié du nombre : $20^2 = 400$, bien plus
que $40$.

]]> Entre $6$ et $7$.

]]> Bonne réponse : $6^2 = 36$ et $7^2 = 49$, et $36 < 40 < 49$, donc
$6 < \sqrt{40} < 7$.

]]> Entre $4$ et $5$.

]]> $5^2 = 25$, qui est inférieur à $40$ : $\sqrt{40}$ est plus grand que
$5$.

]]> Entre $39$ et $41$.

]]> Ces nombres encadrent $40$, pas sa racine carrée. On cherche deux carrés
parfaits consécutifs autour de $40$ : $36$ et $49$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q50 : Racine d'un produit Laquelle de ces égalités est vraie pour tous les réels positifs
$a$ et $b$ (avec $a \geq b$ quand une différence apparaît) ?

]]> Démonstration du cours : pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$, le nombre
$\sqrt{a}\sqrt{b}$ est positif et son carré vaut $ab$, donc
$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. Aucune règle de ce genre
n'existe pour les sommes ou les différences.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

]]> Bonne réponse : $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est positif et son
carré vaut $(\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = ab$ : c'est
donc la racine carrée de $ab$.

]]> $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

]]> Faux : pour $a = 9$ et $b = 16$, $\sqrt{25} = 5$ alors que
$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. La racine ne se distribue pas
sur une somme.

]]> $\sqrt{a - b} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$

]]> Faux : pour $a = 25$ et $b = 16$, $\sqrt{9} = 3$ alors que
$\sqrt{25} - \sqrt{16} = 1$. Pas plus que sur une somme, la
racine ne se distribue sur une différence.

]]> $\sqrt{2a} = 2\sqrt{a}$

]]> Faux : pour $a = 2$, $\sqrt{4} = 2$ alors que
$2\sqrt{2} \approx 2{,}83$. Le facteur $2$ sort de la racine
sous la forme $\sqrt{2}$ : $\sqrt{2a} = \sqrt{2}\sqrt{a}$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q51 : Le côté d'un carré Un carré a une aire de $20$ cm². Quelle est la longueur de son côté ?

]]> Si un carré a pour aire $A$, son côté $c$ vérifie $c^2 = A$ avec $c$
positif : $c = \sqrt{A}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $5$ cm

]]> L'aire d'un carré n'est pas quatre fois son côté : $5 \times 5 = 25$
cm². Le côté vaut $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ cm.

]]> $10$ cm

]]> L'aire n'est pas le double du côté : un carré de côté $10$ cm a une aire
de $100$ cm².

]]> $\sqrt{20}$ cm, soit environ $4{,}47$ cm

]]> Bonne réponse : le côté $c$ vérifie $c^2 = 20$ et $c > 0$, donc
$c = \sqrt{20}$.

]]> $400$ cm

]]> $400 = 20^2$ : on a élevé l'aire au carré au lieu d'en prendre la racine
carrée.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q52 : Première puissance au-dessus d'un seuil Qu'affiche ce programme ?
n = 0
p = 1
while p <= 100:
    p = p * 2
    n = n + 1
print(n)

]]> Algorithme de seuil : on multiplie p par $2$ tant qu'il ne
dépasse pas $100$. La valeur affichée est le premier exposant
$n$ tel que $2^n > 100$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc 7, premier exposant où $2^n$ dépasse $100$

]]> Bonne réponse : p prend les valeurs $2^0$, $2^1$,
$2^2$… et la boucle s'arrête dès que p dépasse $100$,
c'est-à-dire pour $n = 7$ ($2^{7} = 128$).

]]> 6, dernier exposant où $2^n$ reste sous $100$

]]> Erreur : pour $n = 6$, p vaut $2^{6}$, encore
inférieur ou égal à $100$ : la boucle fait un tour de plus.

]]> 128, la valeur finale de la puissance p

]]> Erreur : $128$ est la valeur de p à la sortie de la boucle,
mais le programme affiche n, l'exposant.

]]> 8, un tour de plus que l'exposant cherché

]]> Erreur : n augmente en même temps que p est multiplié ;
après le tour où p dépasse $100$, la boucle s'arrête sans
nouvel ajout.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q53 : Choisir la forme adaptée Pour tout réel $x$, $f(x) = (x - 3)(x + 1) = x^2 - 2x - 3$.
Quelle forme permet de résoudre $f(x) = -3$, et quelles sont les
solutions ?

]]> La forme factorisée sert à résoudre $f(x) = 0$ ; pour
$f(x) = k$, on revient à la forme développée, on ramène tout
d'un côté, puis on factorise : ici $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La forme développée : $x = 0$ ou $x = 2$

]]> Bonne réponse : $x^2 - 2x - 3 = -3$ équivaut à
$x^2 - 2x = 0$, soit $x(x - 2) = 0$, d'où $x = 0$ ou
$x = 2$. Vérification : $f(2) = (-1) \times 3 = -3$.

]]> La forme factorisée : $x = 3$ ou $x = -1$

]]> Erreur : $3$ et $-1$ sont les solutions de $f(x) = 0$, pas
de $f(x) = -3$. La forme factorisée ne sert directement que
pour comparer à $0$.

]]> La forme factorisée : $x = 0$ ou $x = -4$

]]> Erreur : un produit égal à $-3$ n'oblige pas un facteur à
valoir $-3$. Contre-exemple : $f(-4) = (-7) \times (-3) = 21$.

]]> La forme développée : $x = 2$ seulement

]]> Oubli : diviser $x^2 - 2x = 0$ par $x$ fait perdre la
solution $x = 0$, car $f(0) = -3$. Il faut factoriser par
$x$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q54 : Un quotient nul Résoudre l'équation $\dfrac{x - 5}{x + 2} = 0$.

]]> Un quotient est nul quand son numérateur est nul et son dénominateur ne
l'est pas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\{-2\}$

]]> $-2$ annule le dénominateur : c'est une valeur interdite, jamais une
solution.

]]> $\{5\,;\,-2\}$

]]> Seul le numérateur doit s'annuler. Pour $x = -2$, le quotient n'est pas
défini.

]]> $\{5\}$

]]> Bonne réponse : le numérateur s'annule pour $x = 5$, et le dénominateur
vaut alors $7$, qui n'est pas nul.

]]> $\{-5\}$

]]> $x - 5 = 0$ donne $x = 5$ : le signe a été changé à tort.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q55 : Réduire au même dénominateur Pour $x \neq 0$, écrire $\dfrac{1}{x} + 2$ sous la forme d'un seul
quotient.

]]> Pour additionner un quotient et un nombre, on écrit le nombre avec le
même dénominateur, puis on additionne les numérateurs.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{3}{x}$

]]> Le $2$ a été ajouté au numérateur sans être mis au dénominateur $x$ :
$2 = \dfrac{2x}{x}$.

]]> $\dfrac{3}{x + 1}$

]]> On n'additionne pas les numérateurs et les dénominateurs entre eux. On
écrit $2 = \dfrac{2x}{x}$, puis on additionne les numérateurs.

]]> $\dfrac{1 + 2x}{2x}$

]]> Le dénominateur commun est $x$, et non $2x$ :
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{2x}{x} = \dfrac{1 + 2x}{x}$.

]]> $\dfrac{1 + 2x}{x}$

]]> Bonne réponse : $2 = \dfrac{2x}{x}$, donc
$\dfrac{1}{x} + 2 = \dfrac{1 + 2x}{x}$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q56 : Une équation avec un quotient Pour $x \neq 1$, résoudre l'équation $\dfrac{3}{x - 1} = 2$.

]]> Pour $x$ différent de la valeur interdite, $\dfrac{A}{B} = k$ équivaut à
$A = kB$. On vérifie à la fin que la solution n'est pas une valeur
interdite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2$

]]> Le produit $2(x - 1)$ a été mal développé : il vaut $2x - 2$, et non
$2x - 1$.

]]> $x = \dfrac{5}{2}$

]]> Bonne réponse : $3 = 2(x - 1)$, soit $3 = 2x - 2$, donc $2x = 5$ et
$x = \dfrac{5}{2}$, qui est différent de $1$.

]]> $x = \dfrac{5}{3}$

]]> Le quotient a été inversé : $x - 1 = \dfrac{2}{3}$. De
$\dfrac{3}{x - 1} = 2$, on tire $x - 1 = \dfrac{3}{2}$.

]]> $x = \dfrac{3}{2}$

]]> C'est la valeur de $x - 1$. Il reste à ajouter $1$ : $x = \dfrac{5}{2}$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q57 : Une inéquation avec l'inconnue des deux côtés Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$2x + 5 \geq 5x - 4$ ?

]]> On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les constantes de
l'autre ($ax + b \geq cx + d \Leftrightarrow (a - c)x \geq d - b$),
puis on divise en changeant le sens si le coefficient est
négatif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,3]$

]]> Bonne réponse : en regroupant, $-3x \geq -9$, puis on
divise par $-3$, qui est négatif : le sens change, et
$x \leq 3$.

]]> $[3\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : diviser par $-3$, nombre négatif, change le sens
de l'inégalité. On obtient $x \leq 3$.

]]> $]-\infty\,;\,3[$

]]> Erreur de borne : l'inégalité est large ($\geq$), donc
$3$ est solution. Vérification : pour $x = 3$, les deux
membres sont égaux.

]]> $]-\infty\,;\,-3]$

]]> Erreur de signe : $x \geq \dfrac{-9}{-3}$ se renverse en
$x \leq 3$, et $-9 \div (-3) = 3$, pas $-3$.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q58 : Ensemble des solutions Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $2x - 5 \leq 4x + 1$ ?

]]> On regroupe les termes en $x$ d'un côté, puis on divise par le
coefficient de $x$ en tenant compte de son signe ; on écrit enfin les
solutions sous forme d'intervalle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-3\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : $-2x \leq 6$, puis en divisant par $-2$ on change le
sens : $x \geq -3$.

]]> $]-\infty\,;\,-3]$

]]> En divisant par $-2$, le sens de l'inégalité change : $x \geq -3$.

]]> $[3\,;\,+\infty[$

]]> $\dfrac{6}{-2} = -3$ : le signe a été perdu.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Deux erreurs : $\dfrac{6}{-2} = -3$, et le sens change quand on divise
par un nombre négatif.

]]> Calcul littéral, équations et inéquations — Q59 : Comparer deux forfaits Une location coûte $20$ € plus $0{,}50$ € par kilomètre avec le forfait
A, et $0{,}90$ € par kilomètre avec le forfait B. Pour quelles distances
le forfait A est-il moins cher ?

]]> On traduit « A est moins cher que B » par une inéquation,
$20 + 0{,}5d < 0{,}9d$, que l'on résout comme une équation en
surveillant le sens de l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour moins de $50$ km.

]]> Sur de courtes distances, les $20$ € fixes pèsent lourd : le forfait A
devient moins cher au-delà de $50$ km.

]]> Au-delà de $40$ km.

]]> $20 \div 0{,}50 = 40$ ne compare pas les deux forfaits. On résout
$20 + 0{,}5d < 0{,}9d$, soit $d > 50$.

]]> Au-delà de $50$ km.

]]> Bonne réponse : $20 + 0{,}5d < 0{,}9d$ équivaut à $20 < 0{,}4d$, soit
$d > 50$.

]]> Au-delà de $22$ km environ.

]]> $20 \div 0{,}90 \approx 22$ ne tient pas compte du prix au kilomètre du
forfait A. On résout $20 + 0{,}5d < 0{,}9d$.

]]>