$course$/QCM de maths/Seconde/Droites du plan Équation réduite et équation cartésienne d'une droite, pente
(coefficient directeur), ordonnée à l'origine, vecteur directeur,
appartenance d'un point, droites parallèles ou sécantes, point
d'intersection, alignement.

]]> Droites du plan — Q01 : Lire la pente Quelle est la pente (coefficient directeur) de la droite
d'équation réduite $y = 2x - 1$ ?

]]> Équation réduite $y = mx + p$ : $m$ est la pente (variation de
$y$ pour un pas de $1$ en $x$), $p$ l'ordonnée à l'origine.
Ici $m = 2$, $p = -1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : dans $y = mx + p$, la pente est $m$, le
coefficient de $x$. Chaque pas de $1$ vers la droite fait
varier $y$ de $2$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ est l'ordonnée à l'origine $p$ (la
hauteur du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur : la pente se lit directement sur le coefficient de
$x$, sans l'inverser : $m = 2$.

]]> $2x$

]]> Erreur de nature : la pente est un nombre fixe, pas
une expression en $x$.

]]> Droites du plan — Q02 : Équation d'une droite tracée Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les
points (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe
l'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1
vers la droite.

Repère orthonormé avec une droite croissante passant par les
points (0 ; -1) et (1 ; 1), marqués en bleu : elle coupe
l'axe des ordonnées en -1 et monte de 2 pour chaque pas de 1
vers la droite.

Quelle est l'équation réduite de la droite $d$ tracée
ci-dessous ?

]]> Lecture en deux temps : l'ordonnée à l'origine au croisement
avec l'axe vertical ($p = -1$), puis la pente entre deux
points du quadrillage ($m = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$).
D'où $y = 2x - 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x - 1$

]]> Bonne réponse : la droite coupe l'axe des ordonnées en
$-1$ (donc $p = -1$) et monte de $2$ entre les deux points
marqués (donc $m = 2$).

]]> $y = x - 1$

]]> Erreur de pente : entre $(0\,;\,-1)$ et $(1\,;\,1)$, la
droite monte de $2$, pas de $1$ : $m = 2$.

]]> $y = 2x + 1$

]]> Erreur d'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des
ordonnées en dessous de l'origine, en $-1$.

]]> $y = -2x - 1$

]]> Erreur de signe : la droite monte de gauche à droite,
sa pente est positive.

]]> Droites du plan — Q03 : Vecteur directeur d'une droite en équation réduite Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
$y = 3x + 2$ ?

]]> Pour $y = mx + p$, le vecteur $(1\,;\,m)$ est directeur :
« j'avance de $1$, je monte de $m$ ». Ici $(1\,;\,3)$ (ou
tout multiple non nul).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(1\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : un pas de $1$ en abscisse fait varier
l'ordonnée de la pente $m = 3$ : le vecteur
$(1\,;\,m)$ dirige toujours la droite $y = mx + p$.

]]> $\vec{u}(3\,;\,1)$

]]> Coordonnées inversées : la pente $3$ est la variation
verticale pour $1$ d'avance horizontale : $(1\,;\,3)$.

]]> $\vec{u}(0\,;\,2)$

]]> Erreur : $(0\,;\,2)$ est vertical, il dirigerait une
droite parallèle à l'axe des ordonnées. Le $2$ de
l'équation est l'ordonnée à l'origine, pas une direction.

]]> $\vec{u}(3\,;\,2)$

]]> Erreur : tu as recopié les deux coefficients de
l'équation. La direction ne dépend que de la pente :
$(1\,;\,3)$.

]]> Droites du plan — Q04 : Vecteur directeur en équation cartésienne Quel vecteur est directeur de la droite d'équation
cartésienne $2x - y + 3 = 0$ ?

]]> Droite $ax + by + c = 0$ : vecteur directeur $(-b\,;\,a)$.
Ici $a = 2$, $b = -1$ : $\vec{u}(1\,;\,2)$. Vérification par
l'équation réduite $y = 2x + 3$ : pente $2$, directeur
$(1\,;\,2)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(1\,;\,2)$

]]> Bonne réponse : pour $ax + by + c = 0$, le vecteur
$(-b\,;\,a)$ est directeur : ici $(-(-1)\,;\,2) =
(1\,;\,2)$. (Cohérent : l'équation se réécrit
$y = 2x + 3$, pente $2$.)

]]> $\vec{u}(2\,;\,-1)$

]]> Piège : $(a\,;\,b) = (2\,;\,-1)$ recopie les coefficients
dans l'ordre. Le vecteur directeur les croise :
$(-b\,;\,a)$.

]]> $\vec{u}(2\,;\,3)$

]]> Erreur : $3$ est le terme constant $c$, qui positionne la
droite mais n'influence pas sa direction.

]]> $\vec{u}(0\,;\,0)$

]]> Erreur : le vecteur nul ne dirige aucune droite (il n'a
pas de direction).

]]> Droites du plan — Q05 : Un point est-il sur la droite ? Le point $A(1\,;\,5)$ appartient-il à la droite d'équation
$y = 3x + 2$ ?

]]> $A(x_A\,;\,y_A)$ appartient à la droite d'équation
$y = mx + p$ si et seulement si $y_A = m\,x_A + p$. Ici
$5 = 3 + 2$ : oui.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $3 \times 1 + 2 = 5$

]]> Bonne réponse : les coordonnées de $A$ vérifient
l'équation ($y_A = 3x_A + 2$) : le point est sur la
droite.

]]> Non, car $1 \neq 5$

]]> Erreur : rien n'exige que l'abscisse égale l'ordonnée
(cela ne vaut que pour la droite $y = x$). On teste
l'équation de cette droite.

]]> Non, car $5 \times 3 + 2 = 17 \neq 1$

]]> Erreur de substitution : c'est $x = 1$ qu'on injecte dans
$3x + 2$, et on compare le résultat à $y = 5$. Tu as
échangé les rôles de $x$ et $y$.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la droite

]]> Erreur : le test algébrique est exact et immédiat :
remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées du point.

]]> Droites du plan — Q06 : Reconnaître des droites parallèles Les droites $d_1 : y = 3x + 1$ et $d_2 : y = 3x - 4$
sont-elles parallèles ?

]]> Droites $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ : parallèles
$\Leftrightarrow$ $m = m'$ (confondues si de plus $p = p'$).
Ici : parallèles strictes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car elles ont la même pente $3$

]]> Bonne réponse : deux droites (non verticales) sont
parallèles si et seulement si elles ont la même
pente. Ici $m = 3$ pour les deux, et les ordonnées à
l'origine $1 \neq -4$ les rendent strictement parallèles
(non confondues).

]]> Non, car leurs ordonnées à l'origine $1$ et $-4$
diffèrent

]]> Erreur : les ordonnées à l'origine différentes empêchent
seulement les droites d'être confondues. Le
parallélisme se lit sur la pente.

]]> Non, elles sont confondues, car les coefficients de $x$
sont égaux

]]> Erreur : confondues exigerait la même équation complète
(même pente et même ordonnée à l'origine). Ici $1
\neq -4$ : deux droites distinctes, parallèles.

]]> Non, elles sont sécantes au point $(3\,;\,3)$

]]> Erreur : $3x + 1 = 3x - 4$ donnerait $1 = -4$, impossible.
Deux droites de même pente ne se coupent jamais.

]]> Droites du plan — Q07 : Point d'intersection Quel est le point d'intersection des droites
$d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ ?

]]> Intersection de deux droites en équations réduites : égaler
les expressions de $y$, résoudre en $x$, puis calculer $y$.
$2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow x = 2$, $y = 3$ : point
$(2\,;\,3)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(2\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : on égale les deux expressions :
$2x - 1 = -x + 5$, d'où $3x = 6$, $x = 2$, puis
$y = 2 \times 2 - 1 = 3$.

]]> $(3\,;\,2)$

]]> Coordonnées inversées : l'équation $3x = 6$ donne
l'abscisse $x = 2$, puis l'ordonnée $y = 3$.

]]> $(6\,;\,11)$

]]> Erreur : $x = 6$ vient d'un oubli de division par $3$
dans $3x = 6$. Et vérifie toujours dans les deux
équations : $-6 + 5 = -1 \neq 11$.

]]> Ces droites ne se coupent pas

]]> Erreur : leurs pentes ($2$ et $-1$) sont différentes :
elles sont sécantes en exactement un point.

]]> Droites du plan — Q08 : Pente à partir de deux points Quelle est la pente de la droite passant par $A(1\,;\,2)$ et
$B(3\,;\,8)$ ?

]]> Pente d'une droite par deux points :
$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (variation verticale sur
variation horizontale). Ici $m = 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} =
\dfrac{8 - 2}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Fraction renversée : la pente met la variation des
ordonnées au numérateur :
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{6}{2}$.

]]> $6$

]]> Incomplet : $6 = y_B - y_A$ n'est que la variation
verticale ; il faut la rapporter à la variation
horizontale $\Delta x = 2$.

]]> $5$

]]> Erreur : $\dfrac{y_B + y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{10}{2}$ ?
La formule utilise des différences au numérateur comme
au dénominateur.

]]> Droites du plan — Q09 : La droite verticale Quelle équation correspond à une droite verticale
(parallèle à l'axe des ordonnées) ?

]]> Deux familles : les droites non verticales ($y = mx + p$) et
les verticales ($x = c$), qui échappent à la forme réduite.
C'est pourquoi l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ est
plus générale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 2$

]]> Bonne réponse : tous les points d'abscisse $2$, quelle que
soit l'ordonnée : une verticale. Elle n'a pas
d'équation réduite ($y = mx + p$), car sa pente serait
infinie.

]]> $y = 2$

]]> Erreur : $y = 2$ regroupe les points d'ordonnée $2$ :
une droite horizontale (pente nulle).

]]> $y = 2x$

]]> Erreur : c'est une droite oblique de pente $2$ passant par
l'origine ; elle n'est pas verticale.

]]> Une droite verticale n'a pas d'équation

]]> Erreur : elle n'a pas d'équation réduite, mais elle a
bien une équation cartésienne, de la forme $x = c$.

]]> Droites du plan — Q10 : Signe de la pente et sens de la droite Que peut-on dire de la droite d'équation
$y = -0{,}5x + 3$ ?

]]> Le signe de la pente donne le sens de variation de la fonction
affine associée : $m > 0$ croissante, $m < 0$ décroissante,
$m = 0$ constante. Ici : décroissante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle descend de gauche à droite

]]> Bonne réponse : pente $m = -0{,}5 < 0$, la fonction
affine associée est décroissante : chaque pas vers la
droite fait descendre d'un demi-carreau.

]]> Elle monte de gauche à droite

]]> Erreur : une droite monte quand sa pente est
positive. Ici $m = -0{,}5 < 0$.

]]> Elle est horizontale, à la hauteur $3$

]]> Erreur : horizontale correspond à une pente nulle
($y = 3$ par exemple). Ici $m = -0{,}5 \neq 0$.

]]> Elle passe par l'origine du repère

]]> Erreur : en $x = 0$, $y = 3 \neq 0$ : la droite coupe
l'axe des ordonnées en $(0\,;\,3)$.

]]> Droites du plan — Q11 : Trois points alignés ? Les points $A(0\,;\,1)$, $B(2\,;\,4)$ et $C(4\,;\,7)$
sont-ils alignés ?

]]> Trois points sont alignés si les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont
la même pente (elles partagent déjà $B$). Ici $\frac{3}{2}$
des deux côtés : alignés. Variante : déterminant de
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont la même pente

]]> Bonne réponse : $m_{AB} = \dfrac{4-1}{2-0} =
\dfrac{3}{2}$ et $m_{BC} = \dfrac{7-4}{4-2} =
\dfrac{3}{2}$ : mêmes pentes avec un point commun $B$,
donc même droite.

]]> Non, car les longueurs $AB$ et $BC$ sont différentes

]]> Erreur : l'alignement n'exige pas des distances égales
(ce serait « $B$ milieu »). On compare les pentes ou
on utilise la colinéarité des vecteurs.

]]> Non, car aucun des trois n'a la même abscisse

]]> Erreur : des abscisses égales caractérisent une droite
verticale seulement. Une droite oblique traverse
toutes les abscisses.

]]> Non, car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$
ne sont pas égaux

]]> Erreur : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,3)$ et
$\overrightarrow{BC}(2\,;\,3)$ sont même égaux, et il
suffirait qu'ils soient colinéaires pour conclure à
l'alignement.

]]> Droites du plan — Q12 : De la cartésienne à la réduite Quelle est l'équation réduite de la droite d'équation
cartésienne $4x + 2y - 6 = 0$ ?

]]> Pour passer en équation réduite : isoler $y$.
$4x + 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = -4x + 6 \Rightarrow
y = -2x + 3$ : pente $-2$, ordonnée à l'origine $3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = -2x + 3$

]]> Bonne réponse : $2y = -4x + 6$ puis, en divisant par $2$ :
$y = -2x + 3$.

]]> $y = 2x - 3$

]]> Erreur de signes : en passant $4x$ et $-6$ de l'autre
côté, ils changent de signe : $2y = -4x + 6$.

]]> $y = -4x + 6$

]]> Oubli de la division : il reste $2y$ à gauche. On divise
tout par $2$ : $y = -2x + 3$.

]]> $y = -2x - 3$

]]> Erreur de signe sur la constante : $-(-6)/2 = +3$.
Vérifie avec un point : $x = 0$ donne $2y = 6$, donc
$y = 3$.

]]> Droites du plan — Q13 : Ordonnée à l'origine Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation
$y = 3x - 5$ ?

]]> $y = mx + p$ : $m$ = pente, $p$ = ordonnée à l'origine
(l'altitude au départ, en $x = 0$). Les deux nombres se
lisent directement et racontent toute la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-5$

]]> Bonne réponse : en $x = 0$ : $y = -5$ : la droite coupe
l'axe des ordonnées au point $(0\ ;\ -5)$.

]]> $3$

]]> Confusion : $3$ est le coefficient directeur (la
pente) : l'ordonnée à l'origine est le terme constant.

]]> $5$

]]> Signe perdu : le terme constant est $-5$ : la droite
coupe l'axe SOUS l'origine.

]]> $\dfrac{5}{3}$

]]> Confusion : $\frac{5}{3}$ est l'abscisse où $y = 0$ (le
point sur l'axe des abscisses) : l'ordonnée à
l'origine se lit en $x = 0$.

]]> Droites du plan — Q14 : La droite $y = 2$ Que représente l'équation $y = 2$ dans le plan ?

]]> $y = c$ : horizontale (pente $0$) ; $x = c$ : verticale (pas
de pente). Les deux cas « dégénérés » de l'équation de
droite, à reconnaître au premier coup d'œil.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une droite horizontale

]]> Bonne réponse : l'ensemble de tous les points d'ordonnée
$2$. La condition ne porte que sur $y$, $x$ est libre :
ligne horizontale à hauteur $2$, de pente nulle.

]]> Une droite verticale

]]> Inversé : les verticales s'écrivent $x = c$ (abscisse
fixée) : ici c'est l'ordonnée qui est fixée :
horizontale.

]]> Le seul point $(0\ ;\ 2)$

]]> Trop pauvre : $(1\ ;\ 2)$, $(-7\ ;\ 2)$… conviennent
aussi : une équation à une condition dans le plan
dessine une ligne.

]]> La droite passant par l'origine de pente $2$

]]> Confusion : cette droite-là s'écrit $y = 2x$ : ici, pas
de $x$ : pente nulle, hauteur constante.

]]> Droites du plan — Q15 : Parallèle passant par un point Quelle est l'équation de la droite parallèle à $y = 2x + 1$
passant par le point $(0\ ;\ 4)$ ?

]]> Parallèle : recopier la pente, recalculer l'ordonnée à
l'origine avec le point donné (immédiat quand le point est
sur l'axe ; sinon résoudre $y_A = m\,x_A + p$).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x + 4$

]]> Bonne réponse : parallèles, car de même pente ($2$) ; le point
$(0\ ;\ 4)$ est sur l'axe des ordonnées : $p = 4$
directement.

]]> $y = 4x + 1$

]]> Rôles inversés : le parallélisme conserve la pente
($2$), pas l'ordonnée à l'origine : c'est elle qui
s'ajuste au point.

]]> $y = 2x + 1$

]]> Point ignoré : cette droite passe par $(0\ ;\ 1)$, pas
par $(0\ ;\ 4)$ : il faut ajuster la constante.

]]> $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$

]]> Erreur : $-\frac{1}{2}$ construirait une
perpendiculaire (notion de première) : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

]]> Droites du plan — Q16 : Droite par un point et une pente Quelle est l'équation réduite de la droite de coefficient
directeur $-2$ passant par $A(0\ ;\ 3)$ ?

]]> Équation réduite $y = mx + p$ : deux paramètres, deux
informations nécessaires (pente + un point, ou deux points).
Quand le point est $(0\ ;\ p)$, tout est déjà donné.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = -2x + 3$

]]> Bonne réponse : pente $-2$ donnée, et $A$ sur l'axe des
ordonnées fournit $p = 3$ : l'équation s'assemble
directement.

]]> $y = 3x - 2$

]]> Rôles échangés : la pente ($-2$) multiplie $x$ ;
l'ordonnée à l'origine ($3$) est le terme constant.

]]> $y = -2x - 3$

]]> Signe : $A(0\ ;\ 3)$ impose $p = 3$ (la droite coupe
l'axe des ordonnées en $3$).

]]> $y = 2x + 3$

]]> Signe de la pente : le coefficient directeur donné est
$-2$, et non $2$.

]]> Droites du plan — Q17 : Intersection par le calcul Où se coupent les droites $y = x + 1$ et $y = -x + 5$ ?

]]> Intersection : égaler les deux expressions de $y$, résoudre
en $x$, remonter à $y$. Vérifier dans l'autre équation :
le point doit satisfaire les deux à la fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Au point $(2\ ;\ 3)$

]]> Bonne réponse : égaler : $x + 1 = -x + 5$ donne $2x =
4$, $x = 2$, puis $y = 3$. Contrôle dans la seconde :
$-2 + 5 = 3$ ✓.

]]> Au point $(3\ ;\ 2)$

]]> Coordonnées échangées : $x = 2$ d'abord (la solution de
l'équation), $y = 3$ ensuite (son image).

]]> Elles ne se coupent pas

]]> Erreur : pentes $1$ et $-1$ différentes : les
droites ne sont pas parallèles : intersection garantie
(et unique).

]]> Au point $(2\ ;\ 0)$

]]> Ordonnée non calculée : en $x = 2$, les deux droites
passent à $y = 3$, pas à $0$.

]]> Droites du plan — Q18 : Équation d'une droite par deux points Quelle est l'équation réduite de la droite passant par
$A(1\ ;\ 2)$ et $B(3\ ;\ 8)$ ?

]]> Par deux points : 1) pente $m = \frac{y_B - y_A}{x_B -
x_A}$ ; 2) ordonnée à l'origine via l'un des points ; 3)
contrôle avec l'autre. Trois étapes, deux vérifications
gratuites.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 3x - 1$

]]> Bonne réponse : pente $m = \dfrac{8 - 2}{3 - 1} = 3$,
puis $A$ donne $2 = 3 \times 1 + p$, soit $p = -1$.
Contrôle avec $B$ : $3 \times 3 - 1 = 8$.

]]> $y = 3x + 2$

]]> Ordonnée bâclée : $p$ n'est pas l'ordonnée de $A$ (sauf
si $x_A = 0$) : on résout $2 = 3 + p$, donc $p = -1$.

]]> $y = \dfrac{1}{3}x - 1$

]]> Pente renversée : $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} =
\dfrac{6}{2} = 3$ (les ordonnées au numérateur).

]]> $y = 6x - 4$

]]> Erreur : $6$ est l'écart des ordonnées seul : la pente
le divise par l'écart des abscisses ($2$) : $m = 3$.

]]> Droites du plan — Q19 : Toute droite a-t-elle une équation réduite ? Toute droite du plan admet-elle une équation de la forme $y = mx + p$ ?

]]> L'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ couvre toutes les droites. La
forme réduite $y = mx + p$ n'existe que si $b$ n'est pas nul, donc pour
les droites non verticales.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, les droites verticales font exception

]]> Bonne réponse : une verticale a pour équation $x = c$, car une même
abscisse y correspond à une infinité d'ordonnées.

]]> Oui, toutes sans exception

]]> La droite d'équation $x = 3$ ne s'écrit pas sous cette forme : $y$ y
prend toutes les valeurs possibles.

]]> Non, les horizontales font exception

]]> Une horizontale s'écrit $y = p$, c'est-à-dire $y = 0 \times x + p$,
donc elle entre dans le cadre.

]]> Oui, sauf celles passant par l'origine

]]> Une droite passant par l'origine s'écrit $y = mx$, avec $p = 0$ :
c'est un cas particulier, pas une exception.

]]> Droites du plan — Q20 : Une pente négative Une droite passe par $A(-2\,;\,5)$ et $B(4\,;\,-1)$.
Quel est son coefficient directeur ?

]]> Le coefficient directeur vaut
$\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. L'ordre des points est libre, à condition
de le respecter en haut comme en bas.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$

]]> Bonne réponse : $\dfrac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \dfrac{-6}{6} = -1$.

]]> $1$

]]> Signe perdu : le numérateur vaut $-6$ et le dénominateur $6$, donc le
quotient est négatif, ce que confirme la droite qui descend.

]]> $-\dfrac{1}{6}$

]]> Fraction mal formée : le calcul fait est $\dfrac{-1}{6}$, alors que le
numérateur est la différence des ordonnées, soit $-6$.

]]> $-6$

]]> Division oubliée : $-6$ est seulement la différence des ordonnées, il
reste à diviser par celle des abscisses.

]]> Droites du plan — Q21 : Cartésienne à partir d'un vecteur directeur Quelle équation cartésienne a la droite passant par $A(1\,;\,2)$ et de
vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,-1)$ ?

]]> Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, le vecteur $(-b\,;\,a)$ est
directeur. On choisit donc $a$ et $b$ pour retrouver $\vec{u}$, puis on
détermine $c$ avec un point.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x + 3y - 7 = 0$

]]> Bonne réponse : le vecteur $(3\,;\,-1)$ donne les coefficients
$a = 1$ et $b = 3$, et $A$ fixe $c = -7$.

]]> $3x - y - 1 = 0$

]]> Coordonnées recopiées : dans $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur
est $(-b\,;\,a)$, les coordonnées ne se reportent pas directement.

]]> $x + 3y + 7 = 0$

]]> Signe de la constante : le point $A$ donne $1 + 6 + c = 0$, donc
$c = -7$.

]]> $3x + y - 5 = 0$

]]> Vecteur directeur faux : cette droite a pour vecteur directeur
$(-1\,;\,3)$, qui n'est pas colinéaire à $\vec{u}$.

]]> Droites du plan — Q22 : Deux droites de même pente Deux droites distinctes ont le même coefficient directeur.
Que peut-on en déduire ?

]]> Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont
le même coefficient directeur. Elles sont confondues lorsque, en plus,
leurs ordonnées à l'origine coïncident.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elles sont parallèles

]]> Bonne réponse : une même pente signifie une même direction, et comme
elles sont distinctes elles ne se coupent jamais.

]]> Elles sont confondues

]]> L'énoncé précise qu'elles sont distinctes : c'est leur ordonnée à
l'origine qui diffère.

]]> Elles se coupent en un point

]]> Deux droites sécantes ont des pentes différentes : c'est justement ce
qui les fait se croiser.

]]> Elles passent par l'origine

]]> La pente ne dit rien de l'ordonnée à l'origine : $y = 2x + 1$ et
$y = 2x - 3$ évitent toutes deux l'origine.

]]> Droites du plan — Q23 : Deux droites sans point commun Que donne la résolution du système formé par $y = 2x + 1$ et
$y = 2x - 3$ ?

]]> Résoudre le système revient à chercher les points communs aux deux
droites. Trois cas seulement sont possibles : aucun point, un seul, ou
une infinité si les droites sont confondues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune solution

]]> Bonne réponse : l'égalité $2x + 1 = 2x - 3$ conduit à $1 = -3$, ce qui
est faux. Les droites sont parallèles et distinctes.

]]> Une solution unique

]]> Une solution unique correspond à deux droites sécantes, donc de
pentes différentes. Ici les deux pentes valent $2$.

]]> Une infinité de solutions

]]> Ce serait le cas si les deux équations décrivaient la même droite, ce
qui exigerait aussi la même ordonnée à l'origine.

]]> Deux solutions

]]> Deux droites distinctes se coupent au plus une fois : un système
linéaire n'a jamais exactement deux solutions.

]]> Droites du plan — Q24 : Ordonnée pour une abscisse donnée Une droite a pour équation $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Quelle est l'ordonnée du point de cette droite d'abscisse $4$ ?

]]> Un point appartient à la droite lorsque ses coordonnées vérifient
l'équation. Il suffit donc de remplacer $x$ par la valeur donnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $-\dfrac{1}{2} \times 4 + 3 = -2 + 3 = 1$.

]]> $5$

]]> Signe de la pente : le calcul fait est $2 + 3$, alors que le
coefficient directeur est négatif.

]]> $-2$

]]> Constante oubliée : $-2$ est le produit $-\dfrac{1}{2} \times 4$, il
reste à ajouter $3$.

]]> $3$

]]> Abscisse ignorée : $3$ est l'ordonnée du point d'abscisse $0$, pas
celle du point d'abscisse $4$.

]]> Droites du plan — Q25 : Parallélisme sur des équations cartésiennes Les droites d'équations $2x - 3y + 1 = 0$ et $-4x + 6y + 5 = 0$
sont-elles parallèles ?

]]> Deux équations cartésiennes décrivent des droites parallèles lorsque les
couples $(a\,;\,b)$ sont proportionnels. Elles sont confondues si la
proportionnalité s'étend à la constante.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, et elles sont distinctes

]]> Bonne réponse : les vecteurs directeurs $(3\,;\,2)$ et $(-6\,;\,-4)$
sont colinéaires, mais les constantes ne se correspondent pas.

]]> Oui, et elles sont confondues

]]> Il faudrait que la seconde équation soit un multiple exact de la
première : le facteur $-2$ donnerait $-2$ et non $5$ comme constante.

]]> Non, elles sont sécantes

]]> Le déterminant des vecteurs directeurs vaut
$3 \times (-4) - 2 \times (-6) = 0$, donc il n'y a pas de point
d'intersection.

]]> Non, car les signes sont opposés

]]> Multiplier une équation par un nombre négatif ne change pas la droite
qu'elle décrit.

]]> Droites du plan — Q26 : Vérifier une appartenance sur la cartésienne Le point $B(2\,;\,-3)$ appartient-il à la droite d'équation
$5x + 2y - 4 = 0$ ?

]]> Tester une appartenance consiste toujours à remplacer les coordonnées du
point dans l'équation, puis à vérifier si l'égalité est vraie.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car le calcul donne $0$

]]> Bonne réponse : $5 \times 2 + 2 \times (-3) - 4 = 10 - 6 - 4 = 0$.

]]> Non, car le calcul donne $8$

]]> Signe de l'ordonnée : remplacer $y$ par $-3$ donne $-6$, alors que ce
résultat suppose $+6$.

]]> Non, car le calcul donne $-4$

]]> Termes oubliés : la constante seule ne suffit pas, il faut d'abord
remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de $B$.

]]> On ne peut pas conclure sans l'équation réduite

]]> La forme cartésienne suffit : un point appartient à la droite dès que
ses coordonnées annulent le membre de gauche.

]]> Droites du plan — Q27 : Interpréter une pente Une droite a pour coefficient directeur $\dfrac{3}{4}$.
Comment se lit ce nombre sur le tracé ?

]]> Le coefficient directeur mesure la variation d'ordonnée pour une
augmentation d'une unité d'abscisse. Écrit en fraction, il se lit
directement comme un déplacement horizontal puis vertical.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On avance de $4$ et on monte de $3$

]]> Bonne réponse : le dénominateur donne le déplacement horizontal et le
numérateur la variation verticale correspondante.

]]> On avance de $3$ et on monte de $4$

]]> Rôles échangés : ce déplacement correspondrait à une pente de
$\dfrac{4}{3}$, donc à une droite plus raide.

]]> On avance de $4$ et on descend de $3$

]]> Signe de la pente : une pente positive fait monter la droite quand on
se déplace vers la droite.

]]> On part du point d'ordonnée $\dfrac{3}{4}$

]]> Ordonnée à l'origine confondue avec la pente : le point de départ est
donné par $p$, pas par $m$.

]]> Droites du plan — Q28 : Alignement par les pentes Les points $A(1\,;\,2)$, $B(3\,;\,6)$ et $C(6\,;\,11)$ sont-ils
alignés ?

]]> Trois points sont alignés lorsque les droites $(AB)$ et $(BC)$ ont le
même coefficient directeur, ce qui revient à la colinéarité de
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, les pentes valent $2$ et $\dfrac{5}{3}$

]]> Bonne réponse : la pente de $(AB)$ vaut $\dfrac{4}{2} = 2$ et celle de
$(BC)$ vaut $\dfrac{5}{3}$, elles diffèrent.

]]> Oui, les trois pentes valent $2$

]]> La pente de $(BC)$ vaut $\dfrac{11 - 6}{6 - 3} = \dfrac{5}{3}$, ce qui
n'est pas $2$. Le point $C$ devrait avoir pour ordonnée $12$.

]]> Oui, car les abscisses sont croissantes

]]> L'ordre des abscisses ne dit rien de l'alignement : trois points d'une
parabole ont aussi des abscisses croissantes.

]]> On ne peut pas conclure sans tracer

]]> Le calcul suffit et il est plus fiable qu'un tracé, où un écart d'une
unité passe facilement inaperçu.

]]> Droites du plan — Q29 : Droite passant par l'origine Quelle condition sur $m$ et $p$ caractérise une droite d'équation
$y = mx + p$ passant par l'origine ?

]]> L'ordonnée à l'origine $p$ est précisément l'ordonnée du point
d'abscisse $0$. Une droite passe donc par l'origine si et seulement si
$p$ est nul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $p = 0$

]]> Bonne réponse : le point $(0\,;\,0)$ vérifie l'équation si et
seulement si $p$ est nul.

]]> $m = 0$

]]> Cette condition donne une horizontale $y = p$, qui passe par
l'origine seulement si $p$ vaut aussi $0$.

]]> $m = p$

]]> La droite $y = 2x + 2$ vérifie cette condition sans passer par
l'origine, puisqu'elle coupe l'axe des ordonnées en $2$.

]]> $m = 1$ et $p = 0$

]]> Condition trop forte : $y = 5x$ passe aussi par l'origine, avec une
pente différente de $1$.

]]> Droites du plan — Q30 : L'équation d'une verticale Quelle est l'équation de la droite verticale passant par le point
$A(-3\,;\,7)$ ?

]]> Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur, car l'abscisse ne
varie pas. Son équation est de la forme $x = c$, où $c$ est l'abscisse
commune à tous ses points.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = -3$

]]> Bonne réponse : sur une verticale, tous les points ont la même
abscisse, ici celle de $A$.

]]> $y = 7$

]]> C'est l'horizontale passant par $A$ : elle rassemble les points de
même ordonnée.

]]> $x = 7$

]]> Coordonnée choisie au mauvais rang : $7$ est l'ordonnée de $A$, alors
qu'une verticale se lit sur l'abscisse.

]]> $y = -3x$

]]> Cette droite passe par l'origine avec une pente de $-3$ : elle n'est
ni verticale ni passante par $A$.

]]> Droites du plan — Q31 : Deux points de même ordonnée Soient $A(-3\,;\,4)$ et $B(5\,;\,4)$ deux points distincts.
Quelle est l'équation de la droite $(AB)$ ?

]]> Quand deux points ont la même ordonnée, la droite qui les joint est
horizontale : son coefficient directeur est nul et son équation s'écrit
$y = c$, où $c$ est l'ordonnée commune.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 4$

]]> Bonne réponse : les deux points ont la même ordonnée, donc la
droite est horizontale, à la hauteur $4$.

]]> $x = 4$

]]> Cette équation décrit une droite verticale : c'est l'ordonnée, et
non l'abscisse, qui est commune aux deux points.

]]> $y = -3$

]]> Coordonnée prise au mauvais rang : $-3$ est l'abscisse de $A$,
alors qu'une horizontale se repère à son ordonnée.

]]> $y = 4x$

]]> Cette droite passe par l'origine avec une pente $4$ : ici la
pente est nulle, puisque l'ordonnée ne varie pas.

]]> Droites du plan — Q32 : Abscisse d'un point d'ordonnée donnée La droite $d$ a pour équation $y = 3x - 2$. Quelle est l'abscisse
du point de $d$ dont l'ordonnée vaut $10$ ?

]]> Chercher l'abscisse d'un point dont on connaît l'ordonnée revient à
résoudre l'équation $mx + p = y_0$, alors que le calcul direct d'une
ordonnée se contente d'une substitution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : on résout $3x - 2 = 10$, ce qui donne
$3x = 12$ puis $x = 4$.

]]> $10$

]]> Rôles échangés : $10$ est l'ordonnée fournie par l'énoncé, alors
que la question porte sur l'abscisse.

]]> $28$

]]> Substitution au mauvais endroit : $10$ a été remplacé à la place
de $x$, alors qu'il faut résoudre une équation.

]]> $12$

]]> Division oubliée : après avoir retranché $-2$, il reste à diviser
par le coefficient directeur $3$.

]]> Droites du plan — Q33 : Parallèle par un point hors de l'axe Quelle est l'équation réduite de la droite parallèle à la droite
d'équation $y = 2x - 1$ et passant par le point
$A(3\,;\,4)$ ?

]]> Deux droites parallèles ont la même pente. On recopie donc $m$, puis on
détermine $p$ en écrivant que les coordonnées du point donné vérifient
l'équation.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x - 2$

]]> Bonne réponse : la pente $2$ est conservée, et $A$ donne
$4 = 2 \times 3 + p$, soit $p = -2$.

]]> $y = 2x + 4$

]]> Ordonnée à l'origine bâclée : $4$ est l'ordonnée de $A$, qui ne
se trouve pas sur l'axe des ordonnées.

]]> $y = 2x + 10$

]]> Erreur de signe : en isolant $p$, le produit $2 \times 3$ se
retranche à $4$, il ne s'y ajoute pas.

]]> $y = 2x - 1$

]]> C'est la droite de départ : elle a la bonne pente, mais elle ne
passe pas par le point $A$.

]]> Droites du plan — Q34 : De la réduite à la cartésienne La droite $d$ a pour équation réduite $y = 3x + 5$. Quelle
équation cartésienne décrit la même droite ?

]]> Pour obtenir une équation cartésienne, on ramène tous les termes du
même côté : $y = mx + p$ devient $mx - y + p = 0$. Toute équation
proportionnelle à celle-ci décrit la même droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3x - y + 5 = 0$

]]> Bonne réponse : en passant $y$ dans le membre de gauche, il devient
$-y$, et les deux autres termes gardent leur signe.

]]> $3x + y + 5 = 0$

]]> Signe de $y$ oublié : cette équation se ramène à
$y = -5 - 3x$, qui décrit une autre droite.

]]> $3x - y - 5 = 0$

]]> Signe du terme constant changé à tort : seul $y$ change de signe en
traversant le signe égal.

]]> $5x - y + 3 = 0$

]]> Coefficients intervertis : $3$ est la pente et multiplie $x$,
tandis que $5$ est le terme constant.

]]> Droites du plan — Q35 : Deux écritures d'une même droite Les équations $y = 2x + 3$ et $4x - 2y + 6 = 0$
décrivent-elles la même droite ?

]]> Multiplier une équation de droite par un réel non nul ne change pas
l'ensemble des points qui la vérifient. Le système correspondant admet
alors une infinité de solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, c'est la première multipliée par $2$

]]> Bonne réponse : en isolant $y$ dans la seconde équation, on
retrouve exactement $y = 2x + 3$.

]]> Non, leurs coefficients directeurs sont différents

]]> La seconde équation donne $2y = 4x + 6$, donc une pente
de $2$ après division : c'est la même.

]]> Non, la seconde n'est pas une équation réduite

]]> La forme de l'écriture ne change pas la droite décrite : une même
droite admet une infinité d'équations cartésiennes.

]]> Oui, mais uniquement au point d'abscisse $0$

]]> Deux droites qui ne se rencontreraient qu'en un point seraient
sécantes : ici tous les points sont communs.

]]> Droites du plan — Q36 : Couper une droite verticale En quel point la droite d'équation $y = 2x + 3$ coupe-t-elle la
droite d'équation $x = 4$ ?

]]> Une droite verticale impose l'abscisse du point d'intersection. Il
suffit alors de reporter cette abscisse dans l'équation réduite de
l'autre droite pour obtenir l'ordonnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(4\,;\,11)$

]]> Bonne réponse : l'abscisse vaut $4$, et l'ordonnée s'obtient en
remplaçant $x$ par $4$ : $2 \times 4 + 3 = 11$.

]]> $(11\,;\,4)$

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse est imposée par l'équation
$x = 4$, elle s'écrit donc en premier.

]]> $(4\,;\,5)$

]]> Signe du terme constant : il faut ajouter $3$ au produit
$2 \times 4$, en respectant son signe.

]]> $(4\,;\,14)$

]]> Rôles échangés dans le calcul : c'est $2$ qui multiplie
l'abscisse, et $3$ qui s'ajoute ensuite.

]]> Droites du plan — Q37 : Modéliser un solde qui diminue On dépose $60$ euros sur une carte de cantine, puis $8$ euros en
sont retirés chaque semaine. Quelle équation réduite donne le solde $y$
après $x$ semaines ?

]]> Dans une situation où une quantité varie du même montant à chaque
étape, l'ordonnée à l'origine est la valeur de départ et le coefficient
directeur est la variation par étape, comptée avec son signe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = -8x + 60$

]]> Bonne réponse : le solde part de $60$ euros et perd $8$ euros
par semaine, d'où un coefficient directeur de $-8$.

]]> $y = 8x + 60$

]]> Signe de la pente : un solde qui diminue correspond à une droite
descendante, donc à un coefficient directeur négatif.

]]> $y = -60x + 8$

]]> Rôles échangés : le dépôt initial est la valeur de départ, et le
retrait hebdomadaire est ce qui multiplie $x$.

]]> $y = -8x - 60$

]]> Signe du dépôt : la somme déposée est positive, elle correspond au
solde au bout de zéro semaine.

]]> Droites du plan — Q38 : Une horizontale a-t-elle une pente ? La droite d'équation $y = 5$ admet-elle un coefficient directeur ?

]]> Une droite horizontale $y = c$ a pour coefficient directeur $0$ : elle
ne monte ni ne descend. Seules les droites verticales, d'équation
$x = c$, sont privées de coefficient directeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, il vaut $0$ car elle est horizontale

]]> Bonne réponse : l'équation s'écrit $y = 0 \times x + 5$, donc la
pente est nulle et l'ordonnée à l'origine vaut $5$.

]]> Non, une droite horizontale n'en possède pas

]]> Confusion avec les verticales : ce sont elles qui n'ont pas de
coefficient directeur, faute de variation d'abscisse.

]]> Oui, il vaut $5$, comme l'indique l'équation

]]> Le nombre $5$ est l'ordonnée à l'origine : la pente est le
coefficient de $x$, qui vaut ici $0$.

]]> Non, car son équation ne contient pas de $x$

]]> L'absence de $x$ signifie que son coefficient est nul, et un
coefficient nul reste un coefficient.

]]> Droites du plan — Q39 : Équation à partir d'un vecteur directeur Quelle est l'équation réduite de la droite passant par
$A(2\,;\,1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\,6)$ ?

]]> Un vecteur directeur $\vec{u}(p\,;\,q)$ avec $p$ non nul donne la pente
$m = \dfrac{q}{p}$. L'ordonnée à l'origine se calcule ensuite en
reportant les coordonnées d'un point de la droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $y = 2x - 3$

]]> Bonne réponse : la pente vaut $\dfrac{6}{3} = 2$, puis le
point $A$ donne $-3$ comme ordonnée à l'origine.

]]> $y = \dfrac{1}{2}x - 3$

]]> Quotient renversé : la pente compare la variation verticale à la
variation horizontale, soit $\dfrac{6}{3}$.

]]> $y = 2x + 1$

]]> Ordonnée à l'origine bâclée : $1$ est l'ordonnée de $A$, dont
l'abscisse n'est pas nulle.

]]> $y = 6x - 3$

]]> Seconde coordonnée recopiée : la pente est le quotient des deux
coordonnées du vecteur directeur, pas la seconde seule.

]]> Droites du plan — Q40 : Sens de variation sur une équation réordonnée La droite $d$ a pour équation $y = 4 - 3x$. La fonction affine
associée à $d$ est-elle croissante ou décroissante ?

]]> Avant de lire une pente, on range l'équation sous la forme
$y = mx + p$. Le sens de variation de la fonction affine associée suit
alors le signe de $m$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante, car sa pente vaut $-3$

]]> Bonne réponse : en rangeant l'équation sous la forme
$y = -3x + 4$, la pente négative apparaît.

]]> Croissante, car le coefficient de $x$ vaut $3$

]]> Signe oublié : le terme en $x$ est précédé d'un signe moins, donc
la pente vaut $-3$.

]]> Croissante, car son ordonnée à l'origine vaut $4$

]]> L'ordonnée à l'origine est bien $4$, mais c'est la pente qui
décide du sens de variation.

]]> Décroissante, car son ordonnée à l'origine est $-3$

]]> Conclusion juste, justification fausse : $-3$ est le coefficient
directeur, l'ordonnée à l'origine vaut $4$.

]]> Droites du plan — Q41 : Point de rencontre avec l'axe des ordonnées Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la droite
d'équation $y = 2x + 5$ avec l'axe des ordonnées ?

]]> L'axe des ordonnées rassemble les points d'abscisse nulle. En
remplaçant $x$ par $0$ dans $y = mx + p$, il reste $y = p$ : c'est
l'ordonnée à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(0\,;\,5)$

]]> Bonne réponse : sur l'axe des ordonnées l'abscisse est nulle, et
$2 \times 0 + 5 = 5$.

]]> $(5\,;\,0)$

]]> Coordonnées échangées : ce point appartient à l'axe des abscisses,
puisque son ordonnée est nulle.

]]> $(0\,;\,2)$

]]> Coefficient confondu avec la constante : $2$ est la pente, alors
que l'ordonnée à l'origine vaut $5$.

]]> $(2\,;\,5)$

]]> Les deux nombres de l'équation ont été recopiés : sur cet axe,
l'abscisse vaut toujours $0$.

]]> Droites du plan — Q42 : Du vecteur directeur au coefficient directeur Une droite admet $\vec{u}(2\,;\,6)$ comme vecteur directeur. Quel
est son coefficient directeur ?

]]> Un vecteur directeur $\vec{u}(p\,;\,q)$ d'abscisse non nulle donne le
coefficient directeur $m = \dfrac{q}{p}$. Tout vecteur colinéaire
conduit au même quotient.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : la pente vaut $\dfrac{6}{2} = 3$, soit la
variation d'ordonnée pour un pas de $1$ en abscisse.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Quotient renversé : l'ordonnée se place au numérateur et l'abscisse
au dénominateur.

]]> $-3$

]]> Signe inversé : les deux coordonnées se divisent telles quelles,
sans changement de signe.

]]> $6$

]]> Seconde coordonnée recopiée : elle ne donne la pente que si la
première coordonnée vaut $1$.

]]> Droites du plan — Q43 : Lire une situation dans une équation Le prix d'une course de taxi, en euros, est donné par
$y = 1{,}2x + 4$, où $x$ est le nombre de kilomètres parcourus.
Que représente le nombre $4$ ?

]]> Dans une situation modélisée par $y = mx + p$, le nombre $p$ est la
valeur prise pour $x = 0$, et le nombre $m$ mesure ce que change chaque
unité supplémentaire.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La somme payée avant tout kilomètre

]]> Bonne réponse : pour $x = 0$, le prix vaut $4$ euros. C'est
l'ordonnée à l'origine, ici la prise en charge.

]]> Le prix de chacun des kilomètres parcourus

]]> Ce prix est donné par le coefficient directeur $1{,}2$, qui mesure
l'augmentation par kilomètre supplémentaire.

]]> Le nombre de kilomètres de la course payée

]]> Le nombre de kilomètres est la variable $x$ : elle n'est pas fixée
par l'équation, qui vaut pour toutes les courses.

]]> La somme totale payée au bout de la course

]]> Le montant total est $y$ : il dépend de la distance parcourue et
dépasse $4$ euros dès le premier kilomètre.

]]> Droites du plan — Q44 : Parallèle en équation cartésienne Quelle équation cartésienne décrit la droite parallèle à celle
d'équation $2x - 3y + 1 = 0$ et passant par le point
$A(3\,;\,-1)$ ?

]]> Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires : on
conserve donc les coefficients de $x$ et de $y$, et seul le terme
constant change, déterminé par un point de la nouvelle droite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2x - 3y - 9 = 0$

]]> Bonne réponse : deux droites parallèles partagent les coefficients
de $x$ et de $y$, et $A$ impose le terme constant $-9$.

]]> $2x - 3y + 9 = 0$

]]> Signe du terme constant : en reportant $A$, on obtient
$9 + c = 0$, donc $c = -9$.

]]> $-3x + 2y - 9 = 0$

]]> Coefficients intervertis : la direction est alors modifiée, et les
deux droites ne sont plus parallèles.

]]> $2x + 3y - 9 = 0$

]]> Signe du coefficient de $y$ changé : le vecteur directeur n'est
plus colinéaire à celui de la droite de départ.

]]> Droites du plan — Q45 : Paramètre et droites parallèles Pour quelle valeur de $m$ les droites d'équations
$mx - y + 2 = 0$ et $4x - 2y + 1 = 0$ sont-elles
parallèles ?

]]> Deux droites sont parallèles lorsque leurs coefficients directeurs sont
égaux. On met donc chaque équation sous forme réduite, puis on résout
l'égalité obtenue, qui est du premier degré en $m$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $m = 2$

]]> Bonne réponse : la seconde droite s'écrit $y = 2x + k$, et deux
droites parallèles ont le même coefficient directeur.

]]> $m = -2$

]]> Signe perdu : en isolant $y$, le terme $4x$ change de signe avant
la division par $-2$.

]]> $m = \dfrac{1}{2}$

]]> Quotient renversé : c'est le coefficient de $x$ qui se divise par
celui de $y$, et non l'inverse.

]]> $m = 4$

]]> Coefficient recopié tel quel : il ne donne la pente qu'après
division par $-2$ et changement de signe.

]]> Droites du plan — Q46 : Reconnaître la droite d'une équation cartésienne Repère orthonormé avec quatre droites. d1 (bleue, trait plein)
passe par (0 ; 1) et (1 ; 3). d2 (rouge, tirets) passe par
(0 ; 1) et (1 ; -1). d3 (verte, pointillés) passe par (0 ; 1)
et (2 ; 2). d4 (orange, tirets et points) passe par (0 ; -1)
et (1 ; 1).

Repère orthonormé avec quatre droites. d1 (bleue, trait plein)
passe par (0 ; 1) et (1 ; 3). d2 (rouge, tirets) passe par
(0 ; 1) et (1 ; -1). d3 (verte, pointillés) passe par (0 ; 1)
et (2 ; 2). d4 (orange, tirets et points) passe par (0 ; -1)
et (1 ; 1).

Laquelle des quatre droites tracées ci-dessous a pour équation
cartésienne $2x - y + 1 = 0$ ?

]]> Pour tracer une droite d'équation cartésienne, on isole $y$
(ici $y = 2x + 1$) ou on cherche deux points : $x = 0$ donne
$(0\,;\,1)$, $x = 1$ donne $(1\,;\,3)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La droite $d_1$

]]> Bonne réponse : $2x - y + 1 = 0$ équivaut à $y = 2x + 1$ :
ordonnée à l'origine $1$, pente $2$. La droite $d_1$ passe
par $(0\,;\,1)$ et $(1\,;\,3)$.

]]> La droite $d_2$

]]> Erreur de signe : $d_2$ a pour équation $y = -2x + 1$. En
isolant $y$ dans $2x - y + 1 = 0$, on obtient $y = 2x + 1$,
de pente positive.

]]> La droite $d_3$

]]> Erreur de pente : $d_3$ monte de $1$ quand $x$ augmente de
$2$, sa pente vaut $\dfrac{1}{2}$, pas $2$.

]]> La droite $d_4$

]]> Erreur d'ordonnée à l'origine : $d_4$ coupe l'axe des
ordonnées en $-1$. Pour $x = 0$, l'équation donne
$-y + 1 = 0$, soit $y = 1$.

]]> Droites du plan — Q47 : Lire un vecteur directeur sur une figure Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par
le point A de coordonnées (-2 ; 3) et le point B de
coordonnées (2 ; 1).

Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par
le point A de coordonnées (-2 ; 3) et le point B de
coordonnées (2 ; 1).

La droite $d$ tracée ci-dessous passe par les points $A$ et $B$.
Lequel de ces vecteurs est un vecteur directeur de $d$ ?

]]> Tout vecteur $\overrightarrow{AB}$ formé de deux points de la
droite la dirige, ainsi que tout vecteur colinéaire à
$\overrightarrow{AB}$ : ici $(4\,;\,-2)$, $(2\,;\,-1)$,
$(-2\,;\,1)$…

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\vec{u}(2\,;\,-1)$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées
$(2 - (-2)\,;\,1 - 3) = (4\,;\,-2)$, et
$\vec{u} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ lui est colinéaire.

]]> $\vec{u}(1\,;\,-2)$

]]> Erreur : abscisse et ordonnée sont échangées. En allant de
$A$ à $B$, on avance de $4$ en abscisse et on descend de $2$
en ordonnée, d'où $(4\,;\,-2)$ ou $(2\,;\,-1)$.

]]> $\vec{u}(2\,;\,1)$

]]> Erreur de signe : la droite descend de gauche à droite, donc
l'ordonnée d'un vecteur directeur d'abscisse positive est
négative.

]]> $\vec{u}(-1\,;\,-2)$

]]> Erreur : le déterminant de $(-1\,;\,-2)$ et de $\overrightarrow{AB}(4\,;\,-2)$ vaut $(-1)(-2) - (-2)(4) = 10 \neq 0$ : ces
vecteurs ne sont pas colinéaires.

]]> Droites du plan — Q48 : Lire une pente négative sur une figure Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par
les points (0 ; 2) et (4 ; 0), marqués en bleu.

Repère orthonormé avec une droite décroissante d passant par
les points (0 ; 2) et (4 ; 0), marqués en bleu.

Quelle est la pente de la droite $d$ tracée ci-dessous ?

]]> Pente $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ entre deux points de la
droite. Ici $d$ a pour équation réduite
$y = -\dfrac{1}{2}x + 2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-\dfrac{1}{2}$

]]> Bonne réponse : entre $(0\,;\,2)$ et $(4\,;\,0)$, l'ordonnée
baisse de $2$ quand l'abscisse augmente de $4$ :
$m = \dfrac{0 - 2}{4 - 0} = -\dfrac{1}{2}$.

]]> $-2$

]]> Erreur : c'est le quotient inversé, $\dfrac{4}{-2}$. La pente
est la variation de $y$ divisée par la variation de $x$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Erreur de signe : la droite descend de gauche à droite, sa
pente est négative.

]]> $2$

]]> Erreur : $2$ est l'ordonnée à l'origine, là où la droite
coupe l'axe des ordonnées, pas sa pente.

]]> Droites du plan — Q49 : Une équation de droite par le déterminant Soit $A(1\,;\,2)$ et $\vec{u}(3\,;\,1)$. Un point $M(x\,;\,y)$ appartient à la droite
passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ si et seulement si
$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$. Quelle équation
obtient-on ?

]]> $M$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$
et $\vec{u}$ sont colinéaires, c'est-à-dire de déterminant nul.
En développant, on obtient toujours une équation de la forme
$ax + by + c = 0$ : c'est la démonstration de la forme générale
d'une équation cartésienne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x - 3y + 5 = 0$

]]> Bonne réponse : $\overrightarrow{AM}(x - 1\,;\,y - 2)$, donc
$\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = (x - 1) \times 1 -
(y - 2) \times 3 = x - 3y + 5$.

]]> $3x - y - 1 = 0$

]]> Erreur de produit en croix : on a calculé
$(x - 1) \times 3 - (y - 2) \times 1$. Cette droite passe
bien par $A$, mais elle est dirigée par
$(1\,;\,3)$, pas par $\vec{u}$.

]]> $x - 3y - 7 = 0$

]]> Erreur de signe en développant $-3(y - 2)$, qui vaut
$-3y + 6$. Contrôle : $A$ ne vérifie pas cette équation,
car $1 - 6 - 7 \neq 0$.

]]> $x - 3y = 0$

]]> Erreur : on a calculé $\det(\overrightarrow{OM}, \vec{u})$ au
lieu de $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u})$. Cette droite
passe par l'origine, pas par $A$.

]]> Droites du plan — Q50 : Résoudre un système Résoudre le système formé des deux équations $x + y = 7$ et $x - y = 1$.

]]> La solution d'un système doit vérifier les deux équations à la fois. On
peut additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue,
puis vérifier.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,4)$

]]> Ce couple vérifie la première équation, mais $3 - 4 = -1$ et non $1$ :
les valeurs de $x$ et de $y$ ont été échangées.

]]> $(6\,;\,1)$

]]> Ce couple vérifie la première équation, mais pas la seconde :
$6 - 1 = 5$.

]]> $(8\,;\,-1)$

]]> Ce couple vérifie la première équation, mais pas la seconde :
$8 - (-1) = 9$.

]]> $(4\,;\,3)$

]]> Bonne réponse : en additionnant les deux équations, $2x = 8$, donc
$x = 4$, puis $y = 7 - 4 = 3$.

]]> Droites du plan — Q51 : Un système sans solution Combien le système formé des deux équations $2x + 3y = 5$ et
$4x + 6y = 1$ a-t-il de solutions ?

]]> Chaque équation du système est celle d'une droite. Si les coefficients
de $x$ et de $y$ sont proportionnels, les droites sont parallèles :
aucune solution si elles sont distinctes, une infinité si elles sont
confondues.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule.

]]> Les deux équations ont des coefficients proportionnels
($4 = 2 \times 2$, $6 = 2 \times 3$), mais pas les seconds membres : les
droites sont parallèles et distinctes.

]]> Aucune.

]]> Bonne réponse : en multipliant la première équation par $2$, on obtient
$4x + 6y = 10$, incompatible avec $4x + 6y = 1$. Les deux droites sont
parallèles et distinctes.

]]> Une infinité.

]]> Il y aurait une infinité de solutions si la seconde équation était
$4x + 6y = 10$ : les deux droites seraient confondues.

]]> Deux.

]]> Deux droites distinctes ont au plus un point commun : un tel système a
zéro, une ou une infinité de solutions.

]]> Droites du plan — Q52 : Mettre en système Trois cahiers et deux stylos coûtent $9{,}50$ € ; un cahier et deux
stylos coûtent $4{,}50$ €. Quel est le prix d'un cahier ?

]]> On note $c$ et $s$ les deux prix : $3c + 2s = 9{,}5$ et
$c + 2s = 4{,}5$. La soustraction élimine $s$ : $2c = 5$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2{,}50$ €

]]> Bonne réponse : en soustrayant les deux égalités, deux cahiers coûtent
$9{,}50 - 4{,}50 = 5$ €, donc un cahier coûte $2{,}50$ €. Un stylo coûte
alors $1$ €.

]]> $1$ €

]]> C'est le prix d'un stylo. Un cahier coûte $2{,}50$ €.

]]> $3{,}17$ € environ

]]> Le calcul $9{,}50 \div 3$ oublie les deux stylos. On soustrait les deux
égalités pour les éliminer.

]]> $2$ €

]]> Avec un cahier à $2$ €, deux stylos coûteraient $2{,}50$ € dans la
seconde égalité, puis la première donnerait $8{,}50$ € et non $9{,}50$
€.

]]>