$course$/QCM de maths/Seconde/Ensembles et logique
Élément, sous-ensemble, ensemble vide, réunion, intersection,
complémentaire, cardinal, couple et produit cartésien. Propositions,
connecteurs « et », « ou », négation, contre-exemple. Implication,
réciproque, contraposée, équivalence. Quantification, disjonction
des cas, raisonnement par l'absurde.]]>
Ensembles et logique — Q01 : Appartenance ou inclusion
On note $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$. Laquelle de ces écritures est
correcte ?]]>
$\in$ relie un élément à un ensemble ($2 \in A$) ; $\subset$
relie deux ensembles ($\{2\} \subset A$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\{2\} \subset A$]]>
Bonne réponse : $\{2\}$ est un ensemble dont le seul élément,
$2$, appartient à $A$ : c'est un sous-ensemble de $A$.]]>
$2 \subset A$]]>
Erreur : $2$ est un nombre, pas un ensemble. On écrit
$2 \in A$ (« appartient ») ; le symbole $\subset$ relie deux
ensembles.]]>
$\{2\} \in A$]]>
Erreur : les éléments de $A$ sont les nombres $1$, $2$ et
$3$ ; l'ensemble $\{2\}$ n'en fait pas partie, il est inclus
dans $A$.]]>
$A \in \{1\,;\,2\,;\,3\}$]]>
Erreur : $A$ est égal à $\{1\,;\,2\,;\,3\}$, il n'en est pas
un élément. On écrirait $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$ ou
$A \subset A$.]]>
Ensembles et logique — Q02 : Intersection de deux ensembles
On note $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\}$ et
$B = \{2\,;\,4\,;\,5\,;\,8\}$. Quel est l'ensemble $A \cap B$ ?]]>
$x \in A \cap B$ signifie $x \in A$ et $x \in B$ ;
$x \in A \cup B$ signifie $x \in A$ ou $x \in B$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\{2\,;\,4\}$]]>
Bonne réponse : $A \cap B$ contient les éléments qui sont à
la fois dans $A$ et dans $B$ : seuls $2$ et $4$ conviennent.]]>
$\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,8\}$]]>
Confusion : c'est la réunion $A \cup B$, qui rassemble les
éléments de l'un ou de l'autre.]]>
$\{1\,;\,3\,;\,6\}$]]>
Erreur : ce sont les éléments de $A$ qui ne sont pas dans
$B$. L'intersection garde au contraire les éléments communs.]]>
$\{5\,;\,8\}$]]>
Erreur : $5$ et $8$ sont dans $B$ mais pas dans $A$ ; ils ne
peuvent pas appartenir à $A \cap B$.]]>
Ensembles et logique — Q03 : Traduire « ou » par une réunion
Dans un lycée, $L$ désigne l'ensemble des élèves qui étudient le
latin et $E$ l'ensemble de ceux qui étudient l'espagnol. Quel
ensemble décrit les élèves qui étudient le latin ou l'espagnol ?]]>
En mathématiques, « ou » est inclusif : un élève qui étudie les
deux langues appartient à $L \cup E$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$L \cup E$]]>
Bonne réponse : la réunion contient les élèves d'au moins un
des deux ensembles, y compris ceux qui suivent les deux
langues.]]>
$L \cap E$]]>
Erreur : l'intersection ne contient que les élèves qui
étudient les deux langues à la fois ; c'est le « et ».]]>
$\overline{L} \cap \overline{E}$]]>
Erreur : cet ensemble regroupe les élèves qui n'étudient ni
le latin ni l'espagnol, le contraire de ce qui est demandé.]]>
$L \cap \overline{E}$]]>
Incomplet : ce sont les latinistes qui n'étudient pas
l'espagnol. Les hispanisants et les élèves des deux langues
manquent.]]>
Ensembles et logique — Q04 : Complémentaire d'un ensemble
On note $E = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,8\}$ et $A$
l'ensemble des nombres pairs de $E$. Quel est le complémentaire
$\overline{A}$ de $A$ dans $E$ ?]]>
$\overline{A} = E \setminus A$ : les éléments de l'ensemble de
référence $E$ qui n'appartiennent pas à $A$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\{1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\}$]]>
Bonne réponse : $\overline{A}$ rassemble les éléments de $E$
qui ne sont pas dans $A$, c'est-à-dire les nombres impairs
de $E$.]]>
$\{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\}$]]>
Erreur : c'est l'ensemble $A$ lui-même. Le complémentaire
contient ce qui reste de $E$ une fois $A$ retiré.]]>
$\{0\,;\,1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\}$]]>
Erreur : le complémentaire se prend dans $E$, et $0$
n'appartient pas à $E$.]]>
$\varnothing$]]>
Erreur : l'ensemble vide serait le complémentaire de $E$
tout entier ; ici les impairs de $E$ restent.]]>
Ensembles et logique — Q05 : Cardinal d'un ensemble de diviseurs
On note $D$ l'ensemble des diviseurs positifs de $12$. Que vaut
$\mathrm{Card}(D)$ ?]]>
Le cardinal $\mathrm{Card}(A)$ d'un ensemble fini $A$ est son
nombre d'éléments. On liste les diviseurs par paires
($1$ et $12$, …) pour n'en oublier aucun.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : $D = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}$, qui compte $6$ éléments.]]>
$12$]]>
Confusion : $\mathrm{Card}(D)$ est le nombre d'éléments
de $D$, pas le plus grand d'entre eux. Ici
$D = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}$.]]>
$5$]]>
Oubli : $1$ et $12$ divisent tous deux $12$. La liste
complète est $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}$.]]>
$4$]]>
Oubli de $1$ et de $12$ eux-mêmes, qui sont aussi des
diviseurs : $D = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}$.]]>
Ensembles et logique — Q06 : Une intersection vide
Que signifie l'égalité $A \cap B = \varnothing$ ?]]>
Deux ensembles d'intersection vide sont dits disjoints : en
probabilités, deux événements disjoints sont incompatibles.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$A$ et $B$ n'ont aucun élément commun]]>
Bonne réponse : aucun élément n'appartient à la fois à $A$ et
à $B$. Exemple : $\{1\,;\,2\} \cap \{3\} = \varnothing$.]]>
$A$ et $B$ sont tous deux vides]]>
Trop fort : $\{1\,;\,2\}$ et $\{3\}$ ne sont pas vides, et
pourtant leur intersection l'est.]]>
Tous les éléments de $A$ sont aussi dans $B$]]>
Erreur : si $A$ non vide était inclus dans $B$, tous ses
éléments seraient communs aux deux ensembles, et
$A \cap B = A$.]]>
$A$ et $B$ ont les mêmes éléments]]>
Erreur : deux ensembles égaux et non vides ont tous leurs
éléments en commun ; leur intersection est $A$ tout entier.]]>
Ensembles et logique — Q07 : Nombre de couples d'un produit cartésien
Un ensemble $A$ compte $2$ éléments et un ensemble $B$ en compte
$3$. Combien d'éléments compte le produit cartésien
$A \times B$ ?]]>
$A \times B$ est l'ensemble des couples $(a\,;\,b)$ avec
$a \in A$ et $b \in B$. Un tableau à double entrée en dresse la
liste : $\mathrm{Card}(A \times B) = \mathrm{Card}(A) \times
\mathrm{Card}(B)$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$6$]]>
Bonne réponse : un couple $(a\,;\,b)$ associe l'un des $2$
éléments de $A$ à l'un des $3$ éléments de $B$, d'où
$2 \times 3 = 6$ couples.]]>
$5$]]>
Erreur : $2 + 3$ compterait les éléments de $A$ puis ceux
de $B$ ; or chaque élément de $A$ s'associe à chacun des
$3$ éléments de $B$.]]>
$9$]]>
Erreur : $3^{2}$ multiplie $3$ par lui-même ; un couple
ne contient qu'un élément de $A$ et un élément de $B$, soit
$2 \times 3$ possibilités.]]>
$8$]]>
Erreur : $2^{3}$ n'a pas de rapport avec le nombre de
couples. On fait un tableau à $2$ lignes et $3$ colonnes :
$6$ cases.]]>
Ensembles et logique — Q08 : L'ordre dans un couple
Combien d'éléments compte l'ensemble
$\{1\,;\,2\} \times \{1\,;\,2\}$ ?]]>
Un couple $(a\,;\,b)$ est ordonné : $(a\,;\,b) = (c\,;\,d)$ si et
seulement si $a = c$ et $b = d$. Les coordonnées d'un point du
plan forment un couple.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$4$]]>
Bonne réponse : $(1\,;\,1)$, $(1\,;\,2)$, $(2\,;\,1)$ et
$(2\,;\,2)$. Les couples $(1\,;\,2)$ et $(2\,;\,1)$ sont
distincts, car l'ordre compte.]]>
$3$]]>
Erreur : $(1\,;\,2)$ et $(2\,;\,1)$ ont été confondus. Dans un
couple, l'ordre compte : le point $(1\,;\,2)$ n'est pas le
point $(2\,;\,1)$.]]>
$2$]]>
Erreur : les couples $(1\,;\,1)$ et $(2\,;\,2)$ ne sont pas
les seuls ; un couple peut aussi associer deux éléments
différents.]]>
$1$]]>
Erreur : le produit cartésien n'est pas l'ensemble
$\{1\,;\,2\}$ ; ses éléments sont des couples, au nombre de
$2 \times 2$.]]>
Ensembles et logique — Q09 : Un ensemble et son complémentaire
$A$ est une partie d'un ensemble $E$, et $\overline{A}$ son
complémentaire dans $E$. Que vaut $A \cap \overline{A}$ ?]]>
$A \cap \overline{A} = \varnothing$ et $A \cup \overline{A} = E$ :
$A$ et son complémentaire partagent $E$ en deux parties
disjointes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\varnothing$]]>
Bonne réponse : un élément ne peut pas à la fois appartenir
à $A$ et ne pas lui appartenir.]]>
$E$]]>
Confusion : c'est la réunion $A \cup \overline{A}$ qui vaut
$E$, chaque élément de $E$ étant dans $A$ ou hors de $A$.]]>
$A$]]>
Erreur : $A \cap \overline{A}$ est inclus dans
$\overline{A}$, qui ne contient aucun élément de $A$.]]>
$\overline{A}$]]>
Erreur : $A \cap \overline{A}$ est inclus dans $A$, qui ne
contient aucun élément de $\overline{A}$.]]>
Ensembles et logique — Q10 : Un couple solution d'une équation
Lequel de ces couples $(x\,;\,y)$ est solution de l'équation
$x + 2y = 4$ ?]]>
Un couple $(x_0\,;\,y_0)$ est solution d'une équation à deux
inconnues quand l'égalité est vraie pour $x = x_0$ et $y = y_0$ ;
l'ordre des coordonnées compte.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$(2\,;\,1)$]]>
Bonne réponse : $1 \times 2 + 2 \times 1 = 4$.]]>
$(1\,;\,2)$]]>
Ordre inversé : avec $x = 1$ et $y = 2$, on obtient
$1 \times 1 + 2 \times 2 = 5 \neq 4$. Dans un
couple, la première coordonnée est $x$.]]>
$(3\,;\,1)$]]>
Erreur : $1 \times 3 + 2 \times 1 = 5 \neq 4$.]]>
$(2\,;\,2)$]]>
Erreur : $1 \times 2 + 2 \times 2 = 6 \neq 4$.]]>
Ensembles et logique — Q11 : Reconnaître une proposition
Une proposition mathématique est un énoncé qui est soit vrai,
soit faux. Lequel de ces énoncés est une proposition ?]]>
Une proposition contient une affirmation : souvent un verbe ou un
symbole de relation ($=$, $<$, $\in$…).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$ est un nombre premier]]>
Bonne réponse : cet énoncé affirme quelque chose, et on peut
décider qu'il est vrai.]]>
L'expression $3x + 1$]]>
Erreur : une expression désigne un nombre ; elle n'affirme
rien, elle n'est ni vraie ni fausse.]]>
Calculer $3 \times 4$]]>
Erreur : c'est une consigne. Une consigne s'exécute, elle ne
peut pas être vraie ou fausse.]]>
Le nombre égal au double de $5$]]>
Erreur : c'est la désignation d'un nombre, $10$. La phrase
« le double de $5$ vaut $10$ » serait une proposition.]]>
Ensembles et logique — Q12 : Négation d'une inégalité stricte
Quelle est la négation de la proposition « $x > 3$ » ?]]>
Négation de $x > a$ : $x \leq a$. Négation de $x \geq a$ :
$x < a$. Exactement l'une des deux propositions est vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \leq 3$]]>
Bonne réponse : si $x$ n'est pas strictement supérieur à
$3$, il lui est inférieur ou égal.]]>
$x < 3$]]>
Oubli d'un cas : pour $x = 3$, « $x > 3$ » est fausse et
« $x < 3$ » aussi. La négation doit être vraie dans ce cas.]]>
$x \geq 3$]]>
Erreur : pour $x = 4$, « $x > 3$ » et « $x \geq 3$ »
sont toutes deux vraies ; une proposition et sa négation ne
sont jamais vraies ensemble.]]>
$x < -3$]]>
Erreur : nier une inégalité change son sens, pas le signe du
nombre comparé.]]>
Ensembles et logique — Q13 : Négation d'un « et »
Quelle est la négation de la proposition « $n$ est pair et
$n > 10$ » ?]]>
La négation de « $P$ et $Q$ » est « (non $P$) ou (non $Q$) » ; la
négation de « $P$ ou $Q$ » est « (non $P$) et (non $Q$) ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n$ est impair ou $n \leq 10$]]>
Bonne réponse : la proposition est fausse dès qu'une des deux
conditions manque. On nie chaque partie et le « et » devient
« ou ».]]>
$n$ est impair et $n \leq 10$]]>
Trop restrictif : $n = 4$ rend la proposition fausse (car
$4 \leq 10$) alors qu'il est pair. Le « et » doit devenir
« ou ».]]>
$n$ est impair ou $n < 10$]]>
Erreur sur l'inégalité : la négation de $n > 10$ est
$n \leq 10$. Pour $n = 10$, pair, la proposition de départ est
fausse, et cette option aussi.]]>
$n$ est pair ou $n \leq 10$]]>
Erreur : « $n$ est pair » n'a pas été nié. Pour $n = 12$, la
proposition de départ et cette option sont vraies ensemble.]]>
Ensembles et logique — Q14 : Négation d'un « ou »
Quelle est la négation de la proposition « $x < 0$ ou $x > 5$ » ?]]>
Négation de « $P$ ou $Q$ » : « (non $P$) et (non $Q$) ». Ici
$x \geq 0$ et $x \leq 5$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x \in [0\,;\,5]$]]>
Bonne réponse : la négation est « $x \geq 0$ et $x \leq 5$ »,
c'est-à-dire $0 \leq x \leq 5$.]]>
$x \geq 0$ ou $x \leq 5$]]>
Erreur : le « ou » doit devenir « et ». Telle quelle, cette
proposition est vraie pour tout réel, y compris $x = 8$.]]>
$x \in\ ]0\,;\,5[$]]>
Erreur sur les bornes : pour $x = 0$, « $x < 0$ ou $x > 5$ »
est fausse, donc sa négation doit être vraie : $0$ en fait
partie.]]>
$x > 0$ et $x < 5$]]>
Erreur : la négation de $x < 0$ est $x \geq 0$, pas $x > 0$ ;
les nombres $0$ et $5$ manquent.]]>
Ensembles et logique — Q15 : Valeur de vérité d'un « ou »
Pour $x = 4$, la proposition « $x > 3$ ou $x < 1$ » est-elle
vraie ?]]>
« $P$ ou $Q$ » est faux seulement quand $P$ et $Q$ sont fausses
toutes les deux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, car « $x > 3$ » est vraie]]>
Bonne réponse : une proposition « $P$ ou $Q$ » est vraie dès
que l'une des deux est vraie.]]>
Non, car « $x < 1$ » est fausse]]>
Erreur : il suffit qu'une des deux parties soit vraie pour
qu'un « ou » soit vrai ; c'est le « et » qui exige les deux.]]>
Oui, car les deux parties sont vraies]]>
Erreur : $4 < 1$ est faux. Une seule partie vraie suffit, et
c'est ici « $x > 3$ ».]]>
Non, car $4$ vérifie une seule des deux parties]]>
Erreur : le « ou » mathématique est inclusif ; il est vrai
quand au moins une partie l'est.]]>
Ensembles et logique — Q16 : Valeur de vérité d'un « et »
Pour $n = 8$, que vaut la proposition « $n$ est pair et $n$ est
un multiple de $3$ » ?]]>
« $P$ et $Q$ » est vraie seulement quand $P$ et $Q$ le sont
toutes les deux. Exemple : $n = 12$ la rend vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Fausse, car $8$ n'est pas un multiple de $3$]]>
Bonne réponse : un « et » exige que les deux parties soient
vraies ; ici la seconde est fausse.]]>
Vraie, car $8$ est pair]]>
Erreur : une partie vraie suffit pour un « ou », pas pour un
« et ». Il faudrait aussi que $8$ soit multiple de $3$.]]>
Vraie, car au moins une des deux parties est vraie]]>
Erreur : avec un « et », une seule partie fausse rend toute la
proposition fausse.]]>
Fausse, car $8$ n'est pas pair]]>
Erreur : $8 = 2 \times 4$ est pair. La proposition est fausse
à cause de la seconde partie.]]>
Ensembles et logique — Q17 : Choisir un contre-exemple
On veut montrer que la proposition « pour tout réel $x$,
$x^2 \geq x$ » est fausse. Quel nombre est un contre-exemple ?]]>
Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une proposition
« pour tout » est fausse. Ici, tout $x$ de $]0\,;\,1[$ en est un.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}5$]]>
Bonne réponse : $0{,}5^2 = 0{,}25$, et $0{,}25 < 0{,}5$ :
l'inégalité est fausse pour ce nombre.]]>
$1{,}5$]]>
Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 \geq 1{,}5$. Ce nombre vérifie la
propriété, il ne peut pas la réfuter.]]>
$-0{,}5$]]>
Erreur : $(-0{,}5)^2 = 0{,}25 \geq -0{,}5$. Un carré est
positif, donc il dépasse toujours un nombre négatif.]]>
$1$]]>
Erreur : $1^2 = 1$, et $1 \geq 1$ est vrai. L'égalité suffit
pour une inégalité large.]]>
Ensembles et logique — Q18 : Un contre-exemple qui se fait attendre
On considère la proposition « pour tout entier naturel $n$,
$n^2 + n + 41$ est un nombre premier ». Quelle valeur de $n$ la
réfute ?]]>
La formule donne des nombres premiers pour $n = 0, 1, \ldots, 39$ :
de nombreux exemples ne prouvent pas une propriété « pour tout ».
Un seul contre-exemple la réfute.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n = 40$]]>
Bonne réponse : $40^2 + 40 + 41 = 40 \times 41 + 41 =
41 \times 41$, qui n'est pas premier.]]>
$n = 1$]]>
Erreur : $1 + 1 + 41 = 43$, qui est premier. Ce cas confirme
la propriété sans la démontrer.]]>
$n = 0$]]>
Erreur : pour $n = 0$, on obtient $41$, qui est premier.]]>
$n = 2$]]>
Erreur : $4 + 2 + 41 = 47$, qui est premier.]]>
Ensembles et logique — Q19 : Une proposition « il existe »
La proposition « il existe un réel $x$ tel que $x^2 = -1$ »
est-elle vraie ?]]>
« Il existe » est vraie dès qu'on exhibe un exemple ; pour la
réfuter, il faut montrer qu'aucun nombre ne convient.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : un carré n'est jamais négatif]]>
Bonne réponse : pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$, donc
$x^2 = -1$ n'a pas de solution réelle.]]>
Oui : $x = -1$ convient]]>
Erreur : $(-1)^2 = 1$, pas $-1$. Le carré d'un nombre négatif
est positif.]]>
Oui : tout réel négatif convient]]>
Erreur : le carré d'un réel négatif est strictement positif ;
aucun ne donne $-1$.]]>
On ne peut pas savoir sans connaître $x$]]>
Erreur : $x$ n'est pas une donnée ; la proposition affirme
l'existence d'un tel nombre, et elle est vraie ou fausse.]]>
Ensembles et logique — Q20 : Pour tout ou il existe
Laquelle de ces propositions est vraie ?]]>
« Pour tout » se réfute par un contre-exemple ; « il existe » se
démontre par un exemple.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = x$]]>
Bonne réponse : $x = 0$ et $x = 1$ conviennent ; un exemple
suffit pour une proposition « il existe ».]]>
Pour tout réel $x$, $x^2 > 0$]]>
Fausse : pour $x = 0$, $x^2 = 0$ n'est pas strictement
positif.]]>
Pour tout réel $x$, $x^2 \geq x$]]>
Fausse : pour $x = \dfrac{1}{2}$, $x^2 = \dfrac{1}{4}$ est plus
petit que $x$.]]>
Il existe un réel $x$ dont le carré $x^2$ est strictement négatif]]>
Fausse : un carré est toujours positif ou nul, aucun réel ne
convient.]]>
Ensembles et logique — Q21 : Une implication vraie
Laquelle de ces implications est vraie pour tout réel $x$ ?]]>
« Si $P$, alors $Q$ » est vraie quand $Q$ est vraie chaque fois
que $P$ l'est. Un seul cas où $P$ est vraie et $Q$ fausse suffit
à la réfuter.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Si $x = 3$, alors $x^2 = 9$]]>
Bonne réponse : il suffit de calculer $3^2 = 9$.]]>
Si $x^2 = 9$, alors $x = 3$]]>
Fausse : $x = -3$ vérifie $x^2 = 9$ sans être égal à $3$.
C'est la réciproque de l'implication vraie.]]>
Si $x > 2$, alors $x > 5$]]>
Fausse : $x = 3$ est supérieur à $2$ mais pas à $5$.]]>
Si $x^2 > 4$, alors $x > 2$]]>
Fausse : $x = -3$ donne $x^2 = 9 > 4$, mais $-3 < 2$.]]>
Ensembles et logique — Q22 : Formuler la réciproque
Quelle est la réciproque de l'implication « si un quadrilatère
est un carré, alors c'est un rectangle » ?]]>
Réciproque de « si $P$, alors $Q$ » : « si $Q$, alors $P$ ». Elle
peut être fausse alors que l'implication est vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Si un quadrilatère est un rectangle, alors c'est un carré]]>
Bonne réponse : la réciproque échange l'hypothèse et la
conclusion. Elle est fausse ici : un rectangle de côtés $2$
et $3$ n'est pas un carré.]]>
Si un quadrilatère n'est pas un rectangle, ce n'est pas un carré]]>
Confusion : c'est la contraposée, qui échange et nie
hypothèse et conclusion.]]>
Si un quadrilatère n'est pas un carré, ce n'est pas un rectangle]]>
Erreur : on a nié les deux parties sans les échanger. Ce
n'est ni la réciproque ni la contraposée.]]>
Un quadrilatère est à la fois un carré et un rectangle]]>
Erreur : une réciproque reste une implication « si …,
alors … », où les rôles de l'hypothèse et de la conclusion
sont échangés.]]>
Ensembles et logique — Q23 : Formuler la contraposée
Quelle est la contraposée de l'implication « si $n$ est un
multiple de $4$, alors $n$ est pair » ?]]>
Une implication et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses
ensemble : démontrer l'une revient à démontrer l'autre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Si $n$ est impair, alors $n$ n'est pas multiple de $4$]]>
Bonne réponse : la contraposée de « si $P$, alors $Q$ » est
« si non $Q$, alors non $P$ ». Elle est vraie, comme
l'implication de départ.]]>
Si $n$ est pair, alors $n$ est un multiple de $4$]]>
Confusion : c'est la réciproque, fausse d'ailleurs : $6$ est
pair sans être multiple de $4$.]]>
Si $n$ n'est pas multiple de $4$, alors $n$ est impair]]>
Erreur : les négations sont dans le mauvais ordre. Cette
phrase est fausse : $6$ n'est pas multiple de $4$ et il est
pair.]]>
Si $n$ est pair, alors $n$ n'est pas multiple de $4$]]>
Erreur : seule la conclusion de la réciproque a été niée. La
phrase est fausse : $8$ est pair et multiple de $4$.]]>
Ensembles et logique — Q24 : Une réciproque fausse
L'implication « si $x = 2$, alors $x^2 = 4$ » est vraie. Sa
réciproque l'est-elle aussi ?]]>
Quand l'implication et sa réciproque sont vraies, on a une
équivalence. Ici, $x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$, mais pas
l'inverse.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : $x = -2$ vérifie $x^2 = 4$ sans être égal à $2$]]>
Bonne réponse : la réciproque « si $x^2 = 4$, alors $x = 2$ »
a un contre-exemple, $-2$.]]>
Oui : la réciproque d'une implication vraie est toujours vraie]]>
Erreur : c'est la contraposée qui a toujours la même
valeur de vérité. Une réciproque peut être fausse.]]>
Oui : on vérifie que $2^2 = 4$]]>
Erreur : ce calcul prouve l'implication de départ. La
réciproque part de $x^2 = 4$ et doit conclure $x = 2$.]]>
Non : l'équation $x^2 = 4$ n'a pas de solution]]>
Erreur : $x^2 = 4$ a deux solutions, $2$ et $-2$ ; c'est la
seconde qui met en défaut la réciproque.]]>
Ensembles et logique — Q25 : Ce que l'on sait de la contraposée
Une implication est vraie. Que peut-on dire de sa contraposée ?]]>
Pour démontrer « si $P$, alors $Q$ », on peut démontrer sa
contraposée « si non $Q$, alors non $P$ » si c'est plus simple.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle est vraie, elle aussi]]>
Bonne réponse : « si $P$, alors $Q$ » et « si non $Q$, alors
non $P$ » disent la même chose ; elles sont vraies ou fausses
ensemble.]]>
Elle est fausse]]>
Erreur : exemple, « si $n$ est multiple de $4$, $n$ est pair »
et « si $n$ est impair, $n$ n'est pas multiple de $4$ » sont
vraies toutes les deux.]]>
On ne peut rien en dire]]>
Confusion avec la réciproque, dont la vérité ne se déduit pas
de celle de l'implication. La contraposée, elle, suit
toujours.]]>
Elle est vraie seulement si la réciproque l'est]]>
Erreur : la réciproque n'intervient pas. La contraposée a la
même valeur de vérité que l'implication, quelle que soit la
réciproque.]]>
Ensembles et logique — Q26 : Reconnaître une équivalence
Laquelle de ces équivalences est vraie pour tous réels $x$ et
$y$ ?]]>
$P \Leftrightarrow Q$ signifie que l'implication et sa réciproque
sont vraies toutes les deux.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x + 3 = 5 \Leftrightarrow x = 2$]]>
Bonne réponse : on passe d'une égalité à l'autre en
soustrayant ou en ajoutant $3$, dans les deux sens.]]>
$x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$]]>
Fausse : le sens $\Rightarrow$ échoue pour $x = -2$. Le bon
énoncé est $x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2$ ou $x = -2$.]]>
$x > 1 \Leftrightarrow x > 2$]]>
Fausse : $x = 1{,}5$ vérifie $x > 1$ mais pas $x > 2$. Seul le
sens $\Leftarrow$ est vrai.]]>
$xy = 0 \Leftrightarrow x = 0$]]>
Fausse : pour $x = 3$ et $y = 0$, $xy = 0$ sans que $x$ soit
nul. Le produit est nul si $x = 0$ ou $y = 0$.]]>
Ensembles et logique — Q27 : Traduire une phrase par une implication
Comment écrire la phrase « tout multiple de $6$ est un multiple
de $3$ » à l'aide d'une implication ?]]>
« Tout $A$ est un $B$ » se traduit par « si c'est un $A$, alors
c'est un $B$ ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n$ multiple de $6 \Rightarrow n$ multiple de $3$]]>
Bonne réponse : être multiple de $6$ suffit pour être
multiple de $3$, car $6k = 3 \times 2k$.]]>
$n$ multiple de $3 \Rightarrow n$ multiple de $6$]]>
Sens inversé, et faux : $9$ est multiple de $3$ sans être
multiple de $6$.]]>
$n$ multiple de $6 \Leftrightarrow n$ multiple de $3$]]>
Trop fort : l'équivalence exigerait aussi la réciproque, que
$9$ met en défaut.]]>
$n$ multiple de $3$ et $n$ multiple de $6$]]>
Erreur : la phrase n'affirme pas que $n$ est multiple des
deux nombres ; elle dit que le premier fait entraîne le
second.]]>
Ensembles et logique — Q28 : Une réciproque vraie
L'implication « si $ABCD$ est un parallélogramme, alors ses
diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu » est vraie. Que
dire de sa réciproque ?]]>
Une propriété dont la réciproque est vraie donne une
caractérisation : « $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement
si $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Elle est vraie : on a une équivalence]]>
Bonne réponse : un quadrilatère dont les diagonales ont le
même milieu est un parallélogramme. C'est une
caractérisation.]]>
Elle est fausse, comme toute réciproque]]>
Erreur : une réciproque peut être vraie ou fausse ; il faut
l'étudier. Ici elle est vraie.]]>
Elle est vraie seulement pour les rectangles]]>
Erreur : le résultat vaut pour tous les parallélogrammes ; le
rectangle ajoute l'égalité des longueurs des diagonales.]]>
Elle n'a pas de sens pour une figure]]>
Erreur : « si les diagonales ont le même milieu, alors $ABCD$
est un parallélogramme » est une implication comme une autre.]]>
Ensembles et logique — Q29 : Conclure grâce à la contraposée
On sait que « si $n$ est pair, alors $n^2$ est pair ». Pour un
entier $n$, on a $n^2 = 49$. Que peut-on en conclure sur $n$ ?]]>
Raisonner par contraposée : pour montrer « si non $Q$, alors non
$P$ », on peut s'appuyer sur « si $P$, alors $Q$ ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n$ est impair, d'après la contraposée]]>
Bonne réponse : la contraposée « si $n^2$ est impair, alors
$n$ est impair » s'applique, car $49$ est impair.]]>
$n$ est pair, d'après l'implication]]>
Erreur : l'implication part de « $n$ pair », que l'on ne
connaît pas. Et $49$ est impair.]]>
Rien, sans connaître la valeur de $n$]]>
Erreur : la contraposée de la propriété donnée suffit, sans
calculer $n$ ($n = 7$ ou $n = -7$).]]>
$n$ est pair, car $49 = 7^2$ et $7$ est premier]]>
Erreur : $7$ et $-7$ sont impairs. Le fait que $7$ soit
premier n'intervient pas.]]>
Ensembles et logique — Q30 : Réfuter une implication sur les carrés
Quel nombre est un contre-exemple à l'implication « si
$x^2 > 4$, alors $x > 2$ » ?]]>
Un contre-exemple à « si $P$, alors $Q$ » vérifie $P$ sans
vérifier $Q$. Ici, les nombres négatifs de grand carré
conviennent.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-3$]]>
Bonne réponse : $(-3)^2 = 9 > 4$, mais $-3 < 2$ :
l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse.]]>
$3$]]>
Erreur : $3^2 = 9 > 4$ et $3 > 2$ ; hypothèse et
conclusion sont vraies, ce nombre confirme l'implication.]]>
$0$]]>
Erreur : $0^2 = 0$ ne dépasse pas $4$. Un contre-exemple
doit rendre l'hypothèse vraie.]]>
$2$]]>
Erreur : $2^2 = 4$ n'est pas strictement supérieur à
$4$ ; l'hypothèse n'est pas vérifiée.]]>
Ensembles et logique — Q31 : Choisir les cas d'une disjonction
Pour démontrer que $n(n + 1)$ est pair pour tout entier $n$, on
raisonne par disjonction des cas. Quels cas distinguer ?]]>
Une disjonction des cas sépare toutes les situations possibles en
cas qui les épuisent, puis démontre la propriété dans chacun.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$n$ pair, puis $n$ impair]]>
Bonne réponse : si $n$ est pair, le facteur $n$ l'est ; si $n$
est impair, c'est $n + 1$ qui est pair. Les deux cas couvrent
tous les entiers.]]>
$n$ positif, puis $n$ négatif]]>
Erreur : ces cas couvrent bien tous les entiers, mais le
signe de $n$ ne renseigne pas sur la parité du produit.]]>
$n$ premier, puis $n$ non premier]]>
Erreur : savoir que $n$ est premier ne dit pas si $n$ ou
$n + 1$ est pair ($2$ et $3$ sont tous deux premiers).]]>
$n = 0$, puis $n = 1$]]>
Erreur : deux valeurs ne couvrent pas tous les entiers. Les
cas d'une disjonction doivent épuiser toutes les
possibilités.]]>
Ensembles et logique — Q32 : Le départ d'un raisonnement par l'absurde
Pour démontrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel, quelle
est la première étape ?]]>
Raisonnement par l'absurde : on suppose la négation de la
conclusion ; si l'on en déduit une contradiction, cette négation
est fausse, donc la conclusion est vraie.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Supposer que $\sqrt{2}$ est rationnel]]>
Bonne réponse : on suppose le contraire de ce que l'on veut
démontrer, puis on aboutit à une contradiction.]]>
Supposer que $\sqrt{2}$ est irrationnel]]>
Erreur : ce serait supposer ce qu'il faut démontrer. Le
raisonnement par l'absurde part de l'hypothèse contraire.]]>
Calculer $\sqrt{2} \approx 1{,}414$]]>
Erreur : une valeur approchée, même très précise, ne dit rien
sur la nature du nombre.]]>
Vérifier que $\sqrt{2}$ n'est pas entier]]>
Insuffisant : un nombre peut ne pas être entier et être
rationnel, comme $\dfrac{3}{2}$.]]>
Ensembles et logique — Q33 : La contradiction qui conclut
On suppose par l'absurde que $\dfrac{1}{3}$ est décimal : il
existe alors des entiers $a$ et $n$ tels que
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}$, d'où $10^n = 3a$. Où est la
contradiction ?]]>
L'égalité $10^n = 3a$ ferait de $10^n$ un multiple de $3$, ce qui
est faux : l'hypothèse « $\dfrac{1}{3}$ est décimal » est donc
fausse.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$10^n$ n'est pas un multiple de $3$]]>
Bonne réponse : la somme des chiffres de $10^n$ vaut $1$, donc
$10^n$ n'est pas divisible par $3$, alors que $3a$ l'est.]]>
$a$ ne peut pas être un entier positif]]>
Erreur : rien n'interdit a priori à $a$ d'être un entier
positif ; la contradiction vient de la divisibilité par $3$.]]>
$10^n$ est un nombre pair]]>
Erreur : $10^n$ est bien pair (pour $n \geq 1$), mais $3a$
peut l'être aussi ; aucune contradiction n'en découle.]]>
$\dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$ a trop de chiffres]]>
Erreur : une valeur approchée ne démontre rien. L'argument
porte sur l'égalité exacte $10^n = 3a$.]]>
Ensembles et logique — Q34 : Le cas impair d'une démonstration
On veut démontrer que $n^2 - n$ est pair pour tout entier $n$.
Dans le cas où $n$ est impair, on écrit $n = 2k + 1$ avec $k$
entier. Comment s'écrit alors $n^2 - n$ ?]]>
Dans le cas pair, $n = 2k$ et $n^2 - n = 2k(2k - 1)$. Les deux cas
couvrent tous les entiers : $n^2 - n$ est toujours pair.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$2k(2k + 1)$]]>
Bonne réponse : $n^2 - n = n(n - 1) = (2k + 1) \times 2k$,
qui est le double d'un entier, donc pair.]]>
$4k^2 + 1$]]>
Erreur : $4k^2 + 4k + 1$ est $n^2$ seul, et on a perdu le
terme $4k$. Il faut encore retrancher $n = 2k + 1$.]]>
$(2k + 1)^2$]]>
Erreur : c'est $n^2$, pas $n^2 - n$ ; il reste à retrancher
$2k + 1$.]]>
$4k^2 + 2k + 2$]]>
Erreur de signe : $(4k^2 + 4k + 1) - (2k + 1) = 4k^2 + 2k$, le
terme constant disparaît.]]>
Ensembles et logique — Q35 : Tout nombre premier est-il impair ?
La proposition « tout nombre premier est impair » est-elle vraie ?]]>
La proposition correcte est « tout nombre premier différent de
$2$ est impair ».]]>
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0
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abc
Non : $2$ est premier et pair]]>
Bonne réponse : $2$ n'a que deux diviseurs, $1$ et $2$ ; c'est
un contre-exemple, qui suffit à réfuter la proposition.]]>
Oui : les nombres premiers $3$, $5$, $7$ sont impairs]]>
Erreur : des exemples ne démontrent pas une proposition
« tout ». Un seul contre-exemple, $2$, la réfute.]]>
Non : $9$ est impair et n'est pas premier]]>
Erreur : $9$ réfute la réciproque (« tout impair est
premier »), pas la proposition donnée.]]>
Oui : un nombre pair est divisible par $2$]]>
Incomplet : $2$ est divisible par $2$ et premier quand même ;
l'argument vaut seulement pour les pairs supérieurs à $2$.]]>
Ensembles et logique — Q36 : Négation d'une phrase « tous »
Quelle est la négation de la proposition « tous les élèves de la
classe ont la moyenne » ?]]>
Négation de « pour tout $x$, $P(x)$ » : « il existe $x$ tel que
non $P(x)$ ». On nie la propriété et on change le quantificateur.]]>
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0
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true
abc
Au moins un élève de la classe n'a pas la moyenne]]>
Bonne réponse : pour qu'il soit faux que tous aient la
moyenne, il suffit qu'un seul élève ne l'ait pas.]]>
Aucun élève de la classe n'a la moyenne]]>
Trop fort : si un seul élève échoue, la proposition de départ
est fausse sans que tous échouent.]]>
Au moins un élève de la classe a la moyenne]]>
Erreur : cette phrase peut être vraie en même temps que la
proposition de départ, ce qui est impossible pour une
négation.]]>
Tous les élèves de la classe ont une note sous la moyenne]]>
Trop fort : c'est l'affirmation qu'aucun élève n'a la
moyenne, beaucoup plus qu'une négation.]]>
Ensembles et logique — Q37 : Négation d'une phrase « il existe »
Quelle est la négation de la proposition « il existe un réel $x$
tel que $x^2 = 2$ » ?]]>
Négation de « il existe $x$ tel que $P(x)$ » : « pour tout $x$,
non $P(x)$ ». Ici la proposition est vraie ($\sqrt{2}$), sa
négation est fausse.]]>
1.0
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0
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true
abc
Pour tout réel $x$, $x^2 \neq 2$]]>
Bonne réponse : nier qu'il existe un tel réel, c'est affirmer
qu'aucun réel ne vérifie $x^2 = 2$.]]>
Il existe un réel $x$ tel que $x^2 \neq 2$]]>
Erreur : le quantificateur doit changer. Cette phrase est
vraie ($x = 0$) en même temps que la proposition de départ
($x = \sqrt{2}$).]]>
Pour tout réel $x$, $x^2 = 2$]]>
Erreur : on a changé le quantificateur sans nier la
propriété. Cette phrase et la proposition de départ ne sont
pas contraires.]]>
Il existe un réel $x$ tel que $x^2 = -2$]]>
Erreur : nier « $x^2 = 2$ » donne « $x^2 \neq 2$ », pas un
changement de signe dans l'égalité.]]>
Ensembles et logique — Q38 : Une proposition qui dépend d'une variable
Pour quels entiers $n$ la proposition « $n^2 + 1$ est pair »
est-elle vraie ?]]>
Une proposition contenant une variable peut être vraie pour
certaines valeurs et fausse pour d'autres : on précise lesquelles.]]>
1.0
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0
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abc
Pour les entiers impairs]]>
Bonne réponse : si $n$ est impair, $n^2$ est impair et
$n^2 + 1$ est pair. Exemple : $3^2 + 1 = 10$.]]>
Pour les entiers pairs]]>
Erreur : si $n$ est pair, $n^2$ est pair et $n^2 + 1$ impair.
Exemple : $2^2 + 1 = 5$.]]>
Pour tous les entiers, sans exception]]>
Erreur : $n = 2$ donne $5$, qui est impair ; la proposition
n'est pas vraie pour tout $n$.]]>
Pour aucun entier]]>
Erreur : $n = 1$ donne $2$, qui est pair ; la proposition est
vraie pour certains entiers.]]>
Ensembles et logique — Q39 : Comparer un nombre et son carré
En distinguant les cas $x \leq 0$, $0 < x < 1$ et $x \geq 1$, on
étudie l'inégalité $x^2 < x$. Pour quels réels est-elle vraie ?]]>
Cas $x \leq 0$ : $x^2 \geq 0 \geq x$. Cas $x \geq 1$ : en
multipliant $x \geq 1$ par $x$, $x^2 \geq x$. Reste $]0\,;\,1[$.]]>
1.0
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0
true
true
abc
$x \in\ ]0\,;\,1[$]]>
Bonne réponse : pour $0 < x < 1$, on multiplie $x < 1$ par
$x > 0$ : $x^2 < x$. Dans les deux autres cas, $x^2 \geq x$.]]>
$x \in\ ]-\infty\,;\,1[$]]>
Erreur : pour $x = -1$, $x^2 = 1$ est plus grand que $x$. Un
carré dépasse toujours un nombre négatif.]]>
$x \in\ ]1\,;\,+\infty[$]]>
Sens inversé : pour $x = 2$, $x^2 = 4 > 2$. Au-delà de $1$, le
carré est plus grand que le nombre.]]>
$x \in\ ]-\infty\,;\,0[$]]>
Erreur : pour $x < 0$, $x^2 > 0 > x$. C'est le cas où
l'inégalité est fausse à coup sûr.]]>
Ensembles et logique — Q40 : Une implication traduite par une inclusion
L'implication « si $x > 5$, alors $x > 2$ » est vraie. Quelle
inclusion d'intervalles traduit-elle ?]]>
« Si $P$, alors $Q$ » vraie signifie que l'ensemble des valeurs
qui vérifient $P$ est inclus dans celui des valeurs qui vérifient
$Q$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$]5\,;\,+\infty[\ \subset\ ]2\,;\,+\infty[$]]>
Bonne réponse : tout réel qui vérifie l'hypothèse vérifie la
conclusion ; l'ensemble des solutions de $x > 5$ est donc
inclus dans celui de $x > 2$.]]>
$]2\,;\,+\infty[\ \subset\ ]5\,;\,+\infty[$]]>
Sens inversé : $3$ appartient à $]2\,;\,+\infty[$ sans
appartenir à $]5\,;\,+\infty[$. Cette inclusion traduirait la
réciproque, fausse.]]>
$]2\,;\,5[\ \subset\ ]5\,;\,+\infty[$]]>
Erreur : ces deux intervalles n'ont aucun élément commun ;
aucune inclusion ne les relie.]]>
$]5\,;\,+\infty[\ \cap\ ]2\,;\,+\infty[\ = \varnothing$]]>
Erreur : $6$ appartient aux deux intervalles. Leur
intersection est $]5\,;\,+\infty[$, pas l'ensemble vide.]]>