$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions de référence et tableaux de signes Fonctions carré, inverse, racine carrée, cube et valeur absolue :
ensembles de définition, courbes, symétries. Signe d'une fonction
affine, tableau de signes d'un produit ou d'un quotient,
équations et inéquations du type $x^2 = a$, $x^2 \leq a$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q01 : La courbe de la fonction carré Comment s'appelle la courbe représentative de la fonction
carré $x \mapsto x^2$, et quelle est son allure ?

]]> Images mentales à connaître : carré : parabole (sommet $O$, tournée vers le haut) ; inverse : hyperbole ; racine carrée : demi-parabole couchée ; cube : courbe en S ; valeur absolue : courbe en V.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une parabole tournée vers le haut

]]> Bonne réponse : la parabole a pour sommet l'origine (son
minimum) et remonte symétriquement des deux côtés.

]]> Une hyperbole en deux branches

]]> Erreur : l'hyperbole est la courbe de la fonction
inverse, avec ses deux branches séparées par les axes.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Erreur : les droites représentent les fonctions
linéaires ($x \mapsto ax$). Le carré n'est pas
proportionnel : sa courbe s'incurve.

]]> Une demi-parabole partant de l'origine

]]> Erreur : la demi-parabole (couchée) est l'allure de la
courbe de la racine carrée, définie seulement sur
$[0\,;\,+\infty[$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q02 : Reconnaître une courbe de référence Repère orthonormé avec une hyperbole en deux branches : une branche dans le quart supérieur droit qui descend vers l'axe des abscisses, une branche symétrique dans le quart inférieur gauche. La courbe passe par (1 ; 1) et (-1 ; -1) et ne touche jamais les axes.

La courbe ci-dessous est celle d'une fonction de référence.
Laquelle ?

]]> Signature de l'inverse : deux branches (une par signe de $x$),
points de repère $(1\,;\,1)$ et $(-1\,;\,-1)$, valeur
interdite $0$, symétrie par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$

]]> Bonne réponse : hyperbole en deux branches, passant par
$(1\,;\,1)$ et $(-1\,;\,-1)$, jamais définie en $0$, et qui
ne touche jamais les axes.

]]> La fonction carré $x \mapsto x^2$

]]> Erreur : la parabole du carré est d'un seul tenant,
entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

]]> La fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$

]]> Erreur : la racine carrée n'existe que pour $x \geq 0$ :
sa courbe est une demi-branche partant de l'origine, sans
partie négative.

]]> La fonction cube $x \mapsto x^3$

]]> Erreur : la courbe du cube est d'un seul tenant et
traverse l'origine ; ici la courbe évite $0$ et se casse
en deux branches.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q03 : Ensemble de définition de l'inverse Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ?

]]> Domaines des fonctions de référence : carré, cube, valeur
absolue : $\mathbb{R}$ ; inverse : $\mathbb{R}$ privé de $0$ ;
racine carrée : $[0\,;\,+\infty[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : tout réel a un inverse, sauf $0$ (la
division par zéro n'existe pas).

]]> $]-\infty\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : c'est $\mathbb{R}$ tout entier, or
$\dfrac{1}{0}$ n'existe pas : il faut retirer $0$.

]]> $]0\,;\,+\infty[$

]]> Trop restrictif : les négatifs ont un inverse
($\frac{1}{-2} = -0{,}5$). C'est la racine carrée qui
exige du positif.

]]> $]-\infty\,;\,1[ \,\cup\, ]1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : c'est $\mathbb{R}$ privé de $1$, or $1$ a très
bien un inverse (lui-même). La seule valeur interdite
est $0$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q04 : Ensemble de définition de la racine carrée Quel est l'ensemble de définition de la fonction
$x \mapsto \sqrt{x}$ ?

]]> $\sqrt{x}$ est défini pour $x \geq 0$ : domaine
$[0\,;\,+\infty[$, borne $0$ comprise. La courbe part de
l'origine et monte de plus en plus lentement.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : la racine d'un négatif n'existe pas dans
$\mathbb{R}$, mais $\sqrt{0} = 0$ existe : $0$ est inclus
(crochet fermé).

]]> $]0\,;\,+\infty[$

]]> Presque : $\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement. C'est
l'inverse qui exclut $0$, pas la racine.

]]> $\mathbb{R}$

]]> Erreur : $\sqrt{-4}$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$ :
aucun réel au carré ne donne $-4$.

]]> $[1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ existe très bien. La
seule contrainte est $x \geq 0$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q05 : Symétrie de la parabole La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à
quel objet ?

]]> $(-x)^2 = x^2$ : la fonction carré prend les mêmes valeurs en
$x$ et $-x$, d'où la symétrie de sa courbe par rapport à
l'axe des ordonnées. Cube et inverse, eux, sont symétriques
par rapport à l'origine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'axe des ordonnées

]]> Bonne réponse : $(-x)^2 = x^2$ : deux abscisses opposées
ont la même image, la parabole se reflète dans l'axe
vertical.

]]> L'origine du repère

]]> Erreur : la symétrie par rapport à l'origine caractérise
les courbes de l'inverse et du cube
($(-x)^3 = -x^3$).

]]> L'axe des abscisses

]]> Erreur : une courbe de fonction ne peut pas être
symétrique par rapport à l'axe des abscisses (chaque $x$
n'a qu'une image).

]]> La droite d'équation $y = x$

]]> Erreur : cette symétrie échange abscisses et ordonnées
(elle relie une fonction et sa réciproque), ce n'est pas
la symétrie de la parabole.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q06 : Cube d'un négatif Que vaut $(-2)^3$ ?

]]> Le cube conserve le signe : $x^3 > 0$ si $x > 0$, $x^3 < 0$ si
$x < 0$. D'où la courbe du cube qui traverse l'origine en
passant du négatif au positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-8$

]]> Bonne réponse : $(-2) \times (-2) \times (-2) =
4 \times (-2) = -8$. Le cube conserve le signe.

]]> $8$

]]> Erreur : trois facteurs négatifs donnent un résultat
négatif. C'est le carré (deux facteurs) qui efface le
signe.

]]> $-6$

]]> Erreur : $-6 = -2 \times 3$ confond puissance et
multiplication. $(-2)^3$ multiplie $-2$ par lui-même trois
fois.

]]> $6$

]]> Double erreur : ni la valeur ($2^3 = 8$, pas $6$) ni le
signe (le cube d'un négatif est négatif).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q07 : Signe d'un produit de facteurs affines Sur quel intervalle le produit $(x - 1)(x + 2)$ est-il
strictement négatif ?

]]> Tableau de signes d'un produit d'affines : chaque facteur
change de signe à sa racine ($-2$ et $1$), et le produit est
négatif là où les signes diffèrent : sur $]-2\,;\,1[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]-2\,;\,1[$

]]> Bonne réponse : entre les racines $-2$ et $1$, les deux
facteurs sont de signes contraires ($x + 2 > 0$ et
$x - 1 < 0$) : produit négatif.

]]> Sur $]1\,;\,+\infty[$

]]> Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont
positifs : produit positif. Le tableau de signes le montre
colonne par colonne.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-2[$

]]> Erreur : avant $-2$, les deux facteurs sont négatifs :
produit positif (moins par moins).

]]> Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours
positif

]]> Erreur : un produit est négatif dès que ses facteurs sont
de signes contraires, ce qui arrive entre les racines.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q08 : Signe d'un quotient Quel est le signe de $\dfrac{x - 3}{x + 1}$ sur l'intervalle
$]-1\,;\,3[$ ?

]]> Un quotient suit les mêmes règles de signes qu'un produit,
avec en plus une valeur interdite au dénominateur (double
barre dans le tableau). Sur $]-1\,;\,3[$ :
$\frac{-}{+} = -$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Strictement négatif

]]> Bonne réponse : sur cet intervalle, $x + 1 > 0$ et
$x - 3 < 0$ : signes contraires, quotient négatif.

]]> Strictement positif

]]> Erreur : teste $x = 0$ : $\dfrac{-3}{1} = -3 < 0$. Les
règles de signes d'un quotient sont celles d'un produit.

]]> Nul sur tout l'intervalle

]]> Erreur : le quotient ne s'annule qu'en $x = 3$ (numérateur
nul), qui est exclu de l'intervalle ouvert.

]]> Non défini sur cet intervalle

]]> Erreur : la seule valeur interdite est $x = -1$
(dénominateur nul), exclue de l'intervalle. Partout
ailleurs le quotient existe.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q09 : Résoudre $x^2 = 7$ graphiquement Combien l'équation $x^2 = 7$ admet-elle de solutions, et
comment se lisent-elles sur la parabole ?

]]> Résolution graphique de $x^2 = k$ : intersection de la
parabole et de la droite $y = k$. Pour $k = 7 > 0$ : deux
solutions $\pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}65$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux solutions, $\sqrt{7}$ et $-\sqrt{7}$, abscisses des
points où la droite $y = 7$ coupe la parabole

]]> Bonne réponse : la droite horizontale $y = 7$ coupe la
parabole en deux points symétriques par rapport à l'axe
des ordonnées, d'abscisses $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$
(environ $-2{,}65$ et $2{,}65$).

]]> Une seule solution, $\sqrt{7}$, abscisse de l'unique point
où la droite $y = 7$ touche la parabole

]]> Oubli : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées, la droite $y = 7$ la coupe deux fois : en
$\sqrt{7}$ et en $-\sqrt{7}$. Contrôle :
$(-\sqrt{7})^2 = 7$ aussi.

]]> Aucune solution, car $7$ n'est pas un carré parfait : la
droite $y = 7$ ne rencontre pas la parabole

]]> Erreur : « carré parfait » concerne les entiers. Tout réel
positif est le carré de sa racine : $(\sqrt{7})^2 = 7$, et
la droite $y = 7$ coupe bien la parabole, en deux points
d'abscisses $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$.

]]> Une infinité de solutions, une pour chaque point de la
parabole situé au-dessus de la droite horizontale $y = 7$

]]> Confusion entre équation et inéquation : les points de la
parabole situés au-dessus de la droite $y = 7$
correspondent à $x^2 > 7$ (par exemple $x = 3$, car
$9 > 7$). L'équation $x^2 = 7$ ne retient que les deux
points posés sur la droite.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q10 : Résoudre une inéquation $x^2 \leq k$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$x^2 \leq 9$ ?

]]> Pour $k > 0$ : $x^2 \leq k \Leftrightarrow -\sqrt{k} \leq x
\leq \sqrt{k}$. Ne jamais « prendre la racine » d'une
inégalité sans penser à la branche négative de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-3\,;\,3]$

]]> Bonne réponse : sur la parabole, les points sous la droite
$y = 9$ ont leurs abscisses entre $-3$ et $3$.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Piège majeur : $x \leq 3$ n'équivaut pas à $x^2 \leq 9$ :
pour $x = -10$, $x^2 = 100 > 9$. Les grands négatifs ont
de grands carrés.

]]> $[0\,;\,3]$

]]> Oubli des négatifs : $(-2)^2 = 4 \leq 9$, donc $-2$
est solution. La parabole est symétrique.

]]> $\{-3\,;\,3\}$

]]> Erreur : ces deux nombres résolvent l'équation
$x^2 = 9$. L'inéquation large englobe tout l'intervalle
entre eux.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q11 : Comparer des carrés de négatifs On sait que $-3 < -2$. Comment se comparent $(-3)^2$ et
$(-2)^2$ ?

]]> Variations de la fonction carré (démonstration au programme) :
décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$. Sur les négatifs, l'ordre des nombres et
l'ordre des carrés s'inversent.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(-3)^2 > (-2)^2$

]]> Bonne réponse : $9 > 4$. Sur les négatifs, la fonction
carré renverse l'ordre : elle est décroissante sur
$]-\infty\,;\,0]$, plus un négatif est loin de zéro,
plus son carré est grand.

]]> $(-3)^2 < (-2)^2$

]]> Erreur : l'inégalité $-3 < -2$ ne se transmet pas aux
carrés. Mettre au carré ne conserve l'ordre que pour des
nombres positifs. Ici $9 > 4$ : l'ordre s'est
inversé.

]]> $(-3)^2 = (-2)^2$

]]> Erreur : les signes disparaissent au carré, mais les
grandeurs restent : $9 \neq 4$.

]]> Les deux carrés ne sont pas comparables

]]> Erreur : leurs carrés sont des nombres positifs ordinaires
($9$ et $4$), parfaitement comparables.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q12 : Résoudre $|x| = 5$ Quelles sont les solutions de l'équation $|x| = 5$ ?

]]> $|x| = k$ : deux solutions $\pm k$ si $k > 0$, une seule
($0$) si $k = 0$, aucune si $k < 0$. La courbe en V de la
valeur absolue rend ce compte de solutions visible.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 5$ ou $x = -5$

]]> Bonne réponse : deux nombres sont à distance $5$ de zéro :
$5$ et $-5$. Graphiquement, la droite $y = 5$ coupe le
« V » de la valeur absolue en deux points.

]]> $x = 5$ seulement

]]> Oubli : $|-5| = 5$ aussi. La valeur absolue efface le
signe, deux antécédents pour chaque valeur positive.

]]> $x = -5$ seulement

]]> Erreur : $|5| = 5$ convient évidemment aussi. L'équation a
deux solutions.

]]> Aucune solution, car une valeur absolue est toujours
positive

]]> Contresens : c'est justement parce que $|x| \geq 0$ que
l'équation $|x| = 5$ (avec $5 > 0$) a des solutions :
$\pm 5$. (C'est $|x| = -5$ qui n'en aurait pas.)

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q13 : Signe d'une expression affine Quel est le signe de l'expression $2x - 4$ selon les
valeurs de $x$ ?

]]> Signe d'une affine $ax + b$ : racine en $-\frac{b}{a}$,
signe de $a$ après la racine (« signe de $a$ à droite »).
La brique de base de tous les tableaux de signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Négatif pour $x < 2$, nul en $2$, positif pour $x > 2$

]]> Bonne réponse : racine en $x = 2$ ($2x - 4 = 0$), et
coefficient directeur positif : signe « $-$ puis $+$ ».

]]> Positif pour $x < 2$, négatif pour $x > 2$

]]> Ordre inversé : le coefficient de $x$ est positif
($2$) : l'expression monte : négative avant sa racine,
positive après.

]]> Toujours positif

]]> Erreur : en $x = 0$ : $-4 < 0$ : toute fonction affine
non constante change de signe en sa racine.

]]> Négatif pour $x < 4$, positif pour $x > 4$

]]> Racine fausse : $2x - 4 = 0 \iff x = 2$ (diviser $4$
par le coefficient $2$).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q14 : Comparer des inverses Sachant $0 < a < b$, comment se comparent $\dfrac{1}{a}$ et
$\dfrac{1}{b}$ ?

]]> Sur $]0\ ;\ +\infty[$, la fonction inverse est strictement
décroissante : $0 < a < b \Rightarrow \frac{1}{a} >
\frac{1}{b}$. Attention : la comparaison échoue si $a$ et
$b$ encadrent $0$ (deux branches séparées).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$

]]> Bonne réponse : l'inverse renverse l'ordre des positifs,
car la fonction inverse est décroissante sur $]0\ ;\
+\infty[$ : plus le nombre est grand, plus son inverse
est petit ($\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$).

]]> $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$

]]> Erreur : l'ordre ne se conserve pas. Testez $a = 2$, $b
= 3$ : $\frac{1}{2} = 0{,}5 > \frac{1}{3} \approx
0{,}33$ : passer à l'inverse RENVERSE les inégalités
(entre positifs).

]]> Impossible à comparer sans connaître $a$ et $b$

]]> Erreur : la décroissance de la fonction inverse conclut
pour TOUS les couples $0 < a < b$ : aucune valeur
nécessaire.

]]> $\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b}$

]]> Erreur : deux nombres distincts ont des inverses
distincts (la fonction inverse ne repasse jamais par la
même valeur).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q15 : Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ Soit $0 < a < 1$. Comment se comparent $a^2$ et $a$ ?

]]> Entre $0$ et $1$ : $a^2 < a$ (la parabole sous la
diagonale) ; au-delà de $1$ : $a^2 > a$. Les points de
croisement : $0$ et $1$. Une image graphique qui évite bien
des erreurs de majoration.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^2 < a$

]]> Bonne réponse : le carré rapetisse les nombres entre $0$
et $1$ : $a^2 = a \times a < a \times 1 = a$ (multiplier
par $a < 1$ diminue). Exemple : $0{,}5^2 = 0{,}25$.

]]> $a^2 > a$

]]> Intuition à corriger : « un carré est toujours plus
grand » ne vaut que pour $a > 1$. Entre $0$ et $1$,
élever au carré écrase vers zéro ($0{,}1^2 =
0{,}01$).

]]> $a^2 = a$

]]> Erreur : l'égalité $a^2 = a$ n'a lieu qu'en $a = 0$ et
$a = 1$ : strictement entre les deux, le carré est
strictement plus petit.

]]> Cela dépend de la valeur de $a$

]]> Erreur : sur TOUT l'intervalle $]0\ ;\ 1[$, la
conclusion est la même : $a^2 < a$ (la parabole passe
sous la droite $y = x$).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q16 : Comparer $\sqrt{3}$ et $\sqrt{5}$ Sans calculatrice, comment justifier que $\sqrt{3} <
\sqrt{5}$ ?

]]> Comparer via les variations d'une fonction de référence :
une fonction croissante (racine, cube) conserve l'ordre ; une fonction décroissante (inverse sur $]0\ ;\ +\infty[$) le renverse. L'argument
attendu cite la fonction et son sens.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Par la croissance de la fonction racine carrée

]]> Bonne réponse : la fonction racine carrée est
strictement croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, donc $3 <
5 \Rightarrow \sqrt{3} < \sqrt{5}$. La croissance
transporte l'inégalité des nombres vers leurs racines,
sans aucune valeur approchée.

]]> Par la décroissance de la fonction racine carrée

]]> Erreur : la racine carrée est croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$. Une fonction décroissante
renverserait l'ordre et donnerait $\sqrt{3} > \sqrt{5}$,
ce qui est faux ($1{,}73 < 2{,}24$).

]]> On ne peut pas : les racines ne se comparent pas

]]> Erreur : la croissance de $\sqrt{\ }$ permet justement
de comparer les racines par leurs radicandes.

]]> C'est faux : $\sqrt{3} > \sqrt{5}$, car $3 < 5$

]]> Erreur : la racine conserve l'ordre (croissante) :
l'inversion d'ordre appartient à la fonction inverse.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q17 : Résoudre une équation $x^3 = k$ Combien de solutions réelles a l'équation $x^3 = -8$ ?

]]> Contraste carré/cube : $x^2 = k > 0$ : deux solutions ;
$x^3 = k$ : toujours UNE solution, du signe de $k$ (cube
strictement croissant sur $\mathbb{R}$). La parité de
l'exposant fait toute la différence.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule : $x = -2$

]]> Bonne réponse : $(-2)^3 = -8$, et la fonction cube,
strictement croissante sur $\mathbb{R}$, ne repasse
jamais deux fois par la même valeur : solution unique.

]]> Deux : $x = 2$ et $x = -2$

]]> Réflexe du carré transposé à tort : $2^3 = +8 \neq -8$ :
le cube conserve le signe : une seule solution.

]]> Aucune : un cube n'est jamais négatif

]]> Confusion avec le carré : le cube d'un négatif est
négatif ($(-2)^3 = -8$) : la fonction cube atteint tous
les réels.

]]> $x = -\dfrac{8}{3}$

]]> Erreur : diviser par $3$ ne défait pas un cube : on
cherche le nombre dont le CUBE vaut $-8$ : c'est $-2$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q18 : Parabole et diagonale sur $[0\ ;\ 1]$ Sur l'intervalle $[0\ ;\ 1]$, comment se situe la courbe de
$y = x^2$ par rapport à la droite $y = x$ ?

]]> La position relative se lit sur le signe de la différence : $x^2 - x =
x(x - 1)$, négatif entre ses racines $0$ et $1$. La même
étude redonne $a^2 < a$ pour $0 < a < 1$ : deux habits d'un
même fait.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc En dessous

]]> Bonne réponse : $x^2 - x = x(x - 1) \leq 0$ sur $[0\ ;\
1]$ (produit d'un positif et d'un négatif) : la parabole
plonge sous la diagonale entre les deux points de
contact, en $0$ et en $1$.

]]> Au-dessus

]]> Erreur : en $x = 0{,}5$ : $0{,}25 < 0{,}5$ : la
parabole est SOUS la droite (elle repasse au-dessus
après $1$).

]]> Elles ne se rencontrent jamais

]]> Erreur : $x^2 = x$ en $x = 0$ et $x = 1$ : deux points
communs, bornes exactes de l'intervalle.

]]> Elles sont confondues sur cet intervalle

]]> Erreur : $x^2 = x$ seulement aux deux extrémités :
entre les deux, l'écart $x - x^2$ est strictement
positif (maximal en $0{,}5$).

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q19 : L'allure de la courbe de l'inverse Quelle est la forme de la courbe de la fonction inverse ?

]]> La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $0$. Sa courbe
comporte donc deux branches, symétriques par rapport à l'origine, qui
s'approchent des axes sans jamais les toucher.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux branches séparées par les axes

]]> Bonne réponse : cette courbe, appelée hyperbole, a une branche dans
le quart en haut à droite et une autre en bas à gauche.

]]> Une courbe en U tournée vers le haut

]]> C'est la parabole de la fonction carré. La fonction inverse n'est pas
définie en $0$, donc sa courbe est coupée en deux.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Une droite correspondrait à une fonction linéaire. Ici le produit
$x \times f(x)$ vaut $1$, ce qui interdit le passage par l'origine.

]]> Une branche unique partant de l'origine

]]> C'est la courbe de la fonction racine carrée, définie seulement sur
les nombres positifs.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q20 : Sens de variation de la fonction carré Comment varie la fonction carré sur l'intervalle
$]-\infty\,;\,0]$ ?

]]> La fonction carré décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, le
minimum étant atteint en $0$. C'est la lecture du creux de la parabole.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle est décroissante

]]> Bonne réponse : plus un nombre négatif est petit, plus son carré est
grand. Ainsi $(-5)^2 = 25$ dépasse $(-2)^2 = 4$.

]]> Elle est croissante

]]> Contre-exemple : $-5 < -2$, pourtant $25 > 4$. L'ordre est inversé sur
les nombres négatifs.

]]> Elle est constante

]]> Les images changent : $(-1)^2 = 1$ et $(-3)^2 = 9$ sont différents.

]]> Elle est croissante puis décroissante

]]> Le changement de sens a lieu en $0$ seulement, il n'y a donc qu'un
seul sens de variation sur cet intervalle.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q21 : Résoudre une inéquation $x^2 \geq k$ Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $x^2 \geq 4$ ?

]]> L'inéquation $x^2 \geq a$ avec $a$ positif se résout en comparant $|x|$ à
$\sqrt{a}$. Elle donne deux demi-droites, alors que $x^2 \leq a$ donne un
intervalle centré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : les nombres dont le carré atteint $4$ sont ceux qui
s'éloignent d'au moins $2$ de l'origine.

]]> $[2\,;\,+\infty[$

]]> Moitié oubliée : $x = -3$ convient aussi, car $(-3)^2 = 9 \geq 4$.

]]> $[-2\,;\,2]$

]]> Inégalité retournée : cet intervalle résout $x^2 \leq 4$. Pour
$x = 0$, on obtient $0 \geq 4$, ce qui est faux.

]]> $]-\infty\,;\,-2] \cup [0\,;\,+\infty[$

]]> Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que
$1^2 = 1 < 4$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q22 : L'équation $\dfrac{1}{x} = 0$ L'équation $\dfrac{1}{x} = 0$ admet-elle une solution ?

]]> Un quotient s'annule si et seulement si son numérateur s'annule, le
dénominateur restant non nul. La courbe de la fonction inverse ne coupe
donc jamais l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, aucun nombre ne convient

]]> Bonne réponse : un quotient est nul seulement si son numérateur l'est,
or ce numérateur vaut $1$.

]]> Oui, la solution est $x = 0$

]]> La valeur $0$ est justement interdite : la fonction inverse n'y est
pas définie.

]]> Oui, la solution est $x = 1$

]]> Vérification : $\dfrac{1}{1}$ vaut $1$ et non $0$.

]]> Oui, une infinité de solutions

]]> Aucune valeur ne convient : plus $x$ grandit, plus $\dfrac{1}{x}$
s'approche de $0$ sans jamais l'atteindre.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q23 : Quand une expression affine est positive Pour quelles valeurs de $x$ l'expression $-3x + 6$ est-elle positive ?

]]> Une expression affine $ax + b$ s'annule en $-\dfrac{b}{a}$. Elle prend
ensuite le signe de $a$ après cette racine, et le signe contraire avant.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $x \leq 2$

]]> Bonne réponse : l'expression s'annule en $2$, et le coefficient $-3$
étant négatif, elle est positive avant cette valeur.

]]> Pour $x \geq 2$

]]> Sens inversé : pour $x = 3$, l'expression vaut $-3$, donc elle est
négative après $2$.

]]> Pour $x \leq -2$

]]> Racine mal calculée : $-3x + 6 = 0$ donne $x = 2$, et non $x = -2$.

]]> Pour tout réel

]]> L'expression change de signe : elle vaut $-3$ pour $x = 3$, ce qui
suffit à écarter cette réponse.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q24 : Signe d'un produit et ordre des racines Sur quel intervalle le produit $(x - 1)(x + 4)$ est-il négatif ?

]]> Un tableau de signes place les racines dans l'ordre croissant, donne le
signe de chaque facteur, puis celui du produit ligne par ligne.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Sur $]-4\,;\,1[$

]]> Bonne réponse : entre les deux racines, les facteurs sont de signes
contraires, donc leur produit est négatif.

]]> Sur $]1\,;\,4[$

]]> Racines mal lues : $(x + 4)$ s'annule en $-4$, pas en $4$. Le signe se
lit entre $-4$ et $1$.

]]> Sur $]-\infty\,;\,-4[$

]]> Pour $x = -5$, les deux facteurs valent $-6$ et $-1$, et leur produit
est positif.

]]> Sur $]-1\,;\,4[$

]]> Signes des racines inversés : les valeurs qui annulent le produit sont
$1$ et $-4$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q25 : La courbe de la valeur absolue Quelle est l'allure de la courbe de la fonction valeur absolue ?

]]> Pour $x \geq 0$, $|x| = x$ ; pour $x < 0$, $|x| = -x$. La courbe est donc
formée de deux morceaux de droites symétriques par rapport à l'axe des
ordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Deux demi-droites formant un V

]]> Bonne réponse : la courbe suit $y = -x$ avant $0$ et $y = x$ après,
avec une pointe à l'origine.

]]> Une parabole tournée vers le haut

]]> La parabole est arrondie en son sommet, alors que la valeur absolue
forme un angle. De plus $|2| = 2$, pas $4$.

]]> Une droite passant par l'origine

]]> Une droite unique ne conviendrait que si la fonction était linéaire.
Or $|-3| = 3$ et non $-3$.

]]> Deux branches d'hyperbole

]]> C'est la courbe de la fonction inverse. La valeur absolue, elle, est
définie en $0$, où elle vaut $0$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q26 : Racine carrée et nombres entre $0$ et $1$ Pour un nombre $x$ compris strictement entre $0$ et $1$, comment
$\sqrt{x}$ se compare-t-il à $x$ ?

]]> Élever au carré un nombre compris entre $0$ et $1$ le diminue, donc
l'opération inverse, la racine carrée, l'augmente. C'est ce que montre le
croisement de la courbe avec la droite d'équation $y = x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\sqrt{x}$ est plus grand que $x$

]]> Bonne réponse : pour $x = 0{,}25$, la racine vaut $0{,}5$, donc elle
dépasse le nombre de départ.

]]> $\sqrt{x}$ est plus petit que $x$

]]> C'est vrai au-delà de $1$ seulement : $\sqrt{9} = 3 < 9$, mais
$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$.

]]> Les deux nombres sont égaux

]]> L'égalité n'a lieu que pour $x = 0$ et $x = 1$, exclus par l'énoncé.

]]> Cela dépend de la valeur de $x$

]]> La comparaison est la même sur tout l'intervalle : prendre la racine
y rapproche de $1$ par le haut.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q27 : Symétrie de la courbe du cube Quelle symétrie présente la courbe de la fonction cube ?

]]> Une fonction vérifiant $f(-x) = -f(x)$ a une courbe symétrique par
rapport à l'origine. C'est le cas du cube, alors que le carré vérifie
$f(-x) = f(x)$ et présente une symétrie axiale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une symétrie par rapport à l'origine

]]> Bonne réponse : $(-x)^3 = -x^3$, donc les points d'abscisses opposées
ont des ordonnées opposées.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées

]]> C'est le cas de la fonction carré. Ici $(-2)^3 = -8$ alors que
$2^3 = 8$, les ordonnées ne coïncident pas.

]]> Une symétrie par rapport à l'axe des abscisses

]]> Aucune courbe de fonction n'a cette symétrie : un nombre aurait alors
deux images opposées.

]]> Aucune symétrie particulière

]]> La relation $(-x)^3 = -x^3$ vaut pour tout réel, elle impose la
symétrie par rapport à l'origine.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q28 : Valeur interdite dans un tableau de signes Dans le tableau de signes du quotient $\dfrac{x - 2}{x + 1}$, que
place-t-on sous la valeur $-1$ ?

]]> Dans un tableau de signes, un zéro marque une racine et une double barre
une valeur interdite. Les deux se lisent respectivement sur le numérateur
et sur le dénominateur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une double barre

]]> Bonne réponse : le dénominateur s'annule en $-1$, le quotient n'y est
donc pas défini.

]]> Un zéro

]]> Un zéro signalerait que le quotient s'annule, ce qui arrive seulement
quand le numérateur est nul, ici en $2$.

]]> Un signe moins

]]> Aucun signe ne peut être attribué : le quotient n'existe pas pour
$x = -1$.

]]> Rien, la colonne reste vide

]]> La valeur interdite doit apparaître explicitement, sans quoi
l'ensemble de définition disparaît de la lecture.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q29 : Une équation sans solution Combien l'équation $x^2 = -9$ a-t-elle de solutions réelles ?

]]> L'équation $x^2 = a$ n'a pas de solution si $a$ est négatif, une seule si
$a$ est nul, et deux solutions opposées si $a$ est positif.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Bonne réponse : un carré est toujours positif ou nul, il ne peut donc
pas valoir $-9$.

]]> Une seule, $x = -3$

]]> Vérification : $(-3)^2$ vaut $9$ et non $-9$. Le signe moins ne
traverse pas le carré.

]]> Deux, $x = -3$ et $x = 3$

]]> Ces deux nombres sont les solutions de $x^2 = 9$. L'équation posée a
un second membre négatif.

]]> Une infinité

]]> Une équation du type $x^2 = a$ a zéro, une ou deux solutions selon le
signe de $a$, jamais davantage.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q30 : Définition d'une racine composée Sur quel ensemble la fonction définie par $f(x) = \sqrt{5 - x}$
est-elle définie ?

]]> On résout l'inéquation qui exprime la positivité de la quantité sous le
radical. Attention au coefficient négatif devant $x$, qui renverse le
sens de l'inégalité.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-\infty\,;\,5]$

]]> Bonne réponse : la condition $5 - x \geq 0$ équivaut à $x \leq 5$.

]]> $[5\,;\,+\infty[$

]]> Inégalité retournée : pour $x = 6$, on obtiendrait $\sqrt{-1}$, qui
n'existe pas.

]]> $[-5\,;\,+\infty[$

]]> Signe mal reporté : la quantité sous la racine est $5 - x$, et non
$x + 5$.

]]> $\mathbb{R}$

]]> Une racine carrée impose une condition : ici elle exclut tous les
nombres supérieurs à $5$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q31 : Image d'un négatif par la fonction carré Quelle est l'image de $-3$ par la fonction carré ?

]]> L'image de $x$ par la fonction carré est $x^2$, c'est-à-dire le produit
$x \times x$. Ce produit est toujours positif ou nul, quel que soit le
signe de $x$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $9$

]]> Bonne réponse : $(-3) \times (-3) = 9$. Le produit de deux nombres
négatifs est positif.

]]> $-9$

]]> Signe conservé à tort : c'est le cube qui garde le signe de départ. Un
carré n'est jamais négatif, et l'image vaut $9$.

]]> $-6$

]]> Carré confondu avec le double : l'exposant $2$ demande de multiplier
le nombre par lui-même, ce qui donne $9$.

]]> $6$

]]> Double du nombre, puis changement de signe : l'exposant $2$ n'est pas
un facteur $2$. Le calcul attendu est $(-3) \times (-3) = 9$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q32 : Calculer une image par la fonction cube Soit $g$ la fonction cube, définie par $g(x) = x^3$. Que vaut $g(-3)$ ?

]]> Élever au cube, c'est multiplier le nombre trois fois par lui-même. Le
signe du résultat est celui du nombre de départ, ce qui distingue le cube
du carré.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-27$

]]> Bonne réponse : trois facteurs négatifs donnent un produit négatif, et
$(-3) \times (-3) \times (-3) = -27$.

]]> $27$

]]> Signe effacé à tort : seul un nombre pair de facteurs négatifs donne
un produit positif. Ici le résultat vaut $-27$.

]]> $9$

]]> Un facteur oublié : ce nombre est le carré de $-3$, alors que le cube
en compte trois et vaut $-27$.

]]> $-9$

]]> Puissance confondue avec une multiplication : l'exposant $3$ ne
signifie pas « multiplié par $3$ ». Le cube vaut $-27$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q33 : Appliquer la fonction racine carrée On applique la fonction racine carrée au nombre $36$. Quel résultat
obtient-on ?

]]> La racine carrée de $a$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut
$a$. Reconnaître les carrés des premiers entiers permet de la calculer de
tête.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $6$

]]> Bonne réponse : $6 \times 6 = 36$, et la racine carrée d'un
nombre positif est le nombre positif dont le carré le redonne.

]]> $6$ ou $-6$

]]> Confusion avec l'équation $x^2 = 36$, qui a deux solutions. La racine
carrée, elle, est une fonction : elle ne renvoie qu'un seul nombre,
le positif.

]]> $18$

]]> Racine confondue avec la moitié : $18 \times 18$ dépasse
largement $36$. Le nombre cherché est $6$.

]]> $1296$

]]> Opération inverse : ce nombre est le carré de $36$. La racine carrée
ramène au contraire vers un nombre plus petit, ici $6$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q34 : Une égalité de la valeur absolue Quelle égalité la fonction valeur absolue vérifie-t-elle pour tout
nombre réel $x$ ?

]]> Une fonction qui vérifie $f(-x) = f(x)$ pour tout réel a une courbe
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. C'est le cas de la valeur
absolue et du carré, mais pas du cube, qui vérifie $f(-x) = -f(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $|-x| = |x|$

]]> Bonne réponse : la valeur absolue efface le signe, donc un nombre et
son opposé ont la même image.

]]> $|-x| = -|x|$

]]> Une valeur absolue n'est jamais strictement négative, alors que
$-|x|$ l'est dès que $x$ n'est pas nul.

]]> $|-x| = x$

]]> Égalité mise en défaut par $x = -4$ : le membre de gauche vaut $4$
et le membre de droite vaut $-4$.

]]> $|x| = x$ pour tout réel

]]> Cette égalité ne vaut que pour les nombres positifs : pour $x = -4$,
la valeur absolue vaut $4$ et non $-4$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q35 : Combien de changements de signe Combien de fois l'expression $ax + b$, avec $a \neq 0$, change-t-elle
de signe sur $\mathbb{R}$ ?

]]> Une expression affine non constante s'annule une fois et une seule, en
$-\dfrac{b}{a}$. Son tableau de signes comporte donc toujours deux
colonnes, séparées par un zéro.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Une seule fois, en sa racine

]]> Bonne réponse : l'expression s'annule en $-\dfrac{b}{a}$, prend le
signe contraire à celui de $a$ avant, et le signe de $a$ après.

]]> Deux fois, comme un produit de facteurs

]]> Deux changements supposeraient deux racines, ce qui est le cas d'un
produit tel que $(x - 1)(x + 2)$, pas d'une expression affine.

]]> Jamais : son signe est celui de $a$

]]> Le signe de $a$ ne vaut qu'après la racine : pour $2x - 4$ et
$x = 0$, l'expression vaut $-4$ alors que $a$ vaut $2$.

]]> Cela dépend du signe de $b$

]]> Le nombre $b$ déplace la racine sur l'axe, mais il ne modifie pas le
nombre de changements de signe, qui reste égal à un.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q36 : Racine d'une expression affine En quelle valeur l'expression $4x - 12$ s'annule-t-elle ?

]]> La racine d'une expression affine $ax + b$ est le nombre
$-\dfrac{b}{a}$. C'est elle qui sépare les deux colonnes de son tableau
de signes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = 3$

]]> Bonne réponse : l'équation $4x - 12 = 0$ donne
$4x = 12$, puis $x = 3$ après division par $4$.

]]> $x = -3$

]]> Signe oublié : le terme constant change de signe lorsqu'il passe de
l'autre côté du signe égal. La racine vaut $3$.

]]> $x = 12$

]]> Division oubliée : une fois $4x = 12$ obtenu, il reste
à diviser par $4$, ce qui donne $3$.

]]> $x = 48$

]]> Multiplication au lieu d'une division : le coefficient $4$ se
divise, il ne se multiplie pas. La racine vaut $3$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q37 : Encadrer une racine carrée Entre quels entiers consécutifs le nombre $\sqrt{30}$ se situe-t-il ?

]]> Pour encadrer une racine carrée, on cherche les carrés de deux entiers
consécutifs qui encadrent le nombre. La croissance de la fonction racine
carrée transporte alors cet encadrement aux racines.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Entre $5$ et $6$

]]> Bonne réponse : $5^2 = 25$ et $6^2 = 36$ encadrent $30$.
La fonction racine carrée étant croissante, l'encadrement se
transmet aux racines.

]]> Entre $4$ et $5$

]]> Encadrement décalé d'un cran vers le bas : $5^2 = 25$ est
inférieur à $30$, donc $\sqrt{30}$ dépasse $5$.

]]> Entre $6$ et $7$

]]> Encadrement décalé d'un cran vers le haut : $6^2 = 36$ dépasse
déjà $30$, donc $\sqrt{30}$ reste inférieur à $6$.

]]> Entre $15$ et $16$

]]> Racine confondue avec la moitié : $15^2 = 225$, un nombre bien plus
grand que $30$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q38 : Nombres de petite valeur absolue Quels sont les nombres réels $x$ qui vérifient $|x| < 2$ ?

]]> L'écriture $|x|$ désigne la distance de $x$ à zéro. Une condition
$|x| < k$, avec $k$ strictement positif, décrit donc l'intervalle ouvert
centré en zéro et de demi-longueur $k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ceux de $]-2\,;\,2[$

]]> Bonne réponse : $|x|$ mesure la distance de $x$ à zéro, et les
nombres situés à moins de $2$ de zéro forment cet intervalle.

]]> Ceux de $]-\infty\,;\,2[$

]]> Branche négative oubliée : $-20$ est bien inférieur à $2$, mais
sa valeur absolue vaut $20$, ce qui dépasse $2$.

]]> Ceux de $[0\,;\,2[$

]]> Négatifs écartés à tort : $x = -1$ convient, car sa valeur absolue
vaut $1$, un nombre inférieur à $2$.

]]> Ceux de $\{-2\,;\,2\}$

]]> Ces deux nombres résolvent l'égalité $|x| = 2$. L'inégalité stricte
retient au contraire tout ce qui se trouve entre eux.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q39 : Un point commun à toutes les courbes Parmi les cinq fonctions de référence du chapitre, à savoir le carré,
l'inverse, la racine carrée, le cube et la valeur absolue, combien ont
une courbe passant par le point $(1\,;\,1)$ ?

]]> Le point $(1\,;\,1)$ appartient à toutes les courbes de référence, car
$1$ est son propre carré, son propre cube, son propre inverse et sa
propre racine. C'est un repère commode pour les tracer.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Les cinq

]]> Bonne réponse : $1^2$, $\dfrac{1}{1}$, $\sqrt{1}$, $1^3$ et $|1|$
valent tous $1$, donc les cinq courbes passent par ce point.

]]> Deux, le carré et le cube

]]> Calcul incomplet : $\sqrt{1}$, $|1|$ et $\dfrac{1}{1}$ valent eux
aussi $1$ et conviennent donc également.

]]> Trois, le carré, le cube et la racine

]]> Deux fonctions oubliées : l'inverse et la valeur absolue donnent
elles aussi $1$ comme image de $1$.

]]> Une seule, la fonction carré

]]> Réponse trop prudente : il suffit de calculer l'image de $1$ par
chacune des cinq fonctions pour constater qu'elles valent toutes $1$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q40 : Où la courbe de l'inverse est au-dessus de l'axe Pour quelles valeurs de $x$ la courbe de la fonction inverse se
situe-t-elle au-dessus de l'axe des abscisses ?

]]> Un quotient de deux nombres de même signe est positif. La fonction
inverse prend donc le signe de $x$ : sa courbe est au-dessus de l'axe
des abscisses sur $]0\,;\,+\infty[$ et en dessous sur
$]-\infty\,;\,0[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $x > 0$

]]> Bonne réponse : l'inverse d'un nombre strictement positif est
strictement positif, donc toute cette branche est au-dessus de l'axe.

]]> Pour $x < 0$

]]> Signe inversé : l'inverse d'un nombre négatif est négatif, ainsi
$\dfrac{1}{-4}$ vaut $-0{,}25$, et cette branche est sous l'axe.

]]> Pour tout $x$ non nul

]]> La branche de gauche est entièrement sous l'axe : $\dfrac{1}{-2}$
vaut $-0{,}5$, un nombre négatif.

]]> Pour $x > 1$ seulement

]]> Condition trop forte : $\dfrac{1}{0{,}5}$ vaut $2$, donc la courbe
est déjà au-dessus de l'axe entre $0$ et $1$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q41 : Sens de variation de la valeur absolue Comment varie la fonction valeur absolue sur $\mathbb{R}$ ?

]]> La courbe en V descend jusqu'à l'origine puis remonte : la fonction
valeur absolue décroît sur les négatifs et croît sur les positifs, avec
un minimum égal à $0$ atteint en $0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur $[0\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : pour $x$ négatif, $|x| = -x$ et les images diminuent
quand $x$ augmente ; pour $x$ positif, $|x| = x$ et elles augmentent.

]]> Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$, puis décroissante sur
$[0\,;\,+\infty[$

]]> Sens inversés : ce tableau décrirait un V retourné, alors que
$|-3| = 3$ dépasse $|-1| = 1$.

]]> Croissante sur $\mathbb{R}$, sans changement de sens

]]> Contre-exemple : $-3 < -1$ et pourtant $|-3| = 3$ dépasse
$|-1| = 1$. Les images diminuent sur les négatifs.

]]> Décroissante sur $\mathbb{R}$, sans changement de sens

]]> Contre-exemple : $1 < 3$ et pourtant $|1| = 1$ est inférieur à
$|3| = 3$. Les images augmentent sur les positifs.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q42 : Inverses de deux nombres de signes contraires On sait que $-4 < 2$. Comment se comparent alors $\dfrac{1}{-4}$ et
$\dfrac{1}{2}$ ?

]]> La fonction inverse est décroissante sur chacune de ses deux branches,
mais pas de l'une à l'autre. Dès que les deux nombres encadrent zéro, on
compare directement les inverses obtenus, sans invoquer de règle.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\dfrac{1}{-4} < \dfrac{1}{2}$, l'ordre est conservé

]]> Bonne réponse : $\dfrac{1}{-4}$ vaut $-0{,}25$ et $\dfrac{1}{2}$ vaut
$0{,}5$. Un négatif reste inférieur à un positif.

]]> $\dfrac{1}{-4} > \dfrac{1}{2}$, l'ordre est renversé

]]> Règle appliquée hors de son domaine : passer à l'inverse ne renverse
l'ordre que si les deux nombres ont le même signe.

]]> $\dfrac{1}{-4} = \dfrac{1}{2}$, les inverses coïncident

]]> Un nombre négatif et un nombre positif ne peuvent pas être égaux :
$-0{,}25$ et $0{,}5$ sont bien distincts.

]]> Ces deux inverses ne se comparent pas

]]> Ce sont deux nombres ordinaires, donc comparables : il suffit de les
calculer pour obtenir $-0{,}25$ et $0{,}5$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q43 : Cube et carré d'un nombre inférieur à 1 On choisit un nombre $a$ strictement compris entre $0$ et $1$. Le cube
$a^3$ est-il plus grand ou plus petit que le carré $a^2$ ?

]]> Multiplier un nombre positif par un facteur compris entre $0$ et $1$ le
diminue. Sur $]0\,;\,1[$, les puissances successives décroissent donc :
$a^3 < a^2 < a < 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Plus petit que $a^2$

]]> Bonne réponse : $a^3 = a^2 \times a$, et multiplier par un nombre
inférieur à $1$ diminue. Avec $a = 0{,}5$, on obtient $0{,}125$
contre $0{,}25$.

]]> Plus grand que $a^2$

]]> Intuition des grands nombres : au-delà de $1$ le cube dépasse bien le
carré, mais entre $0$ et $1$ chaque multiplication rapproche de zéro.

]]> Toujours égal à $a^2$

]]> L'égalité $a^3 = a^2$ ne se produit qu'en $a = 0$ et $a = 1$, deux
valeurs écartées par l'énoncé.

]]> Cela dépend de la valeur choisie

]]> La conclusion est la même sur tout l'intervalle : $0{,}9^3 = 0{,}729$
est déjà inférieur à $0{,}9^2 = 0{,}81$.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q44 : Parabole et droite $y = 2x$ Pour quelles valeurs de $x$ la parabole d'équation $y = x^2$ passe-t-elle
en dessous de la droite d'équation $y = 2x$ ?

]]> Comparer deux courbes revient à étudier le signe de la différence de
leurs expressions. Ici $x^2 - 2x = x(x - 2)$, et le tableau de signes de
ce produit le donne négatif entre $0$ et $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Pour $x$ dans $]0\,;\,2[$

]]> Bonne réponse : la différence $x^2 - 2x = x(x - 2)$ est négative
entre ses deux racines $0$ et $2$, donc la parabole y passe sous la
droite.

]]> Pour $x$ dans $]-\infty\,;\,2[$

]]> Négatifs oubliés : pour $x = -1$, la parabole donne $1$ et la droite
donne $-2$, donc la parabole est au-dessus.

]]> Pour $x$ dans $]2\,;\,+\infty[$

]]> Intervalle mal placé : pour $x = 3$, la parabole donne $9$ et la
droite donne $6$, donc la parabole repasse au-dessus après $2$.

]]> Pour aucune valeur de $x$

]]> Pour $x = 1$, la parabole donne $1$ et la droite donne $2$ : la
parabole est bien en dessous à cet endroit.

]]> Fonctions de référence et tableaux de signes — Q45 : Résoudre $x^3 = x$ Combien de solutions réelles l'équation $x^3 = x$ admet-elle ?

]]> On ramène l'équation à un produit nul : $x^3 = x$ équivaut à
$x(x - 1)(x + 1) = 0$. Il ne faut jamais simplifier par $x$ sans savoir
si $x$ est nul, sous peine de perdre une solution.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Trois : $-1$, $0$ et $1$

]]> Bonne réponse : $x^3 - x = x(x - 1)(x + 1)$, et un produit est nul
lorsque l'un de ses facteurs l'est.

]]> Une seule : $x = 0$

]]> Solution partielle : $1^3 = 1$ et $(-1)^3 = -1$ conviennent aussi,
ce qui porte le compte à trois.

]]> Deux : $-1$ et $1$

]]> Le nombre $0$ est oublié : $0^3 = 0$, donc $0$ est également
solution de cette équation.

]]> Une infinité, tout réel convient

]]> Vérification immédiate : $2^3 = 8$, qui diffère de $2$. Seuls trois
nombres conviennent.

]]>