$course$/QCM de maths/Seconde/Fonctions, images et antécédents Vocabulaire des fonctions : image, antécédent, ensemble de définition,
courbe représentative. Calculs d'images et d'antécédents à partir d'une
formule, d'un tableau de valeurs ou d'une lecture graphique.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q01 : Lire une égalité $f(2)=5$ Soit $f$ une fonction. Que signifie l'égalité $f(2) = 5$ ?

]]> Dans l'écriture $f(2)=5$ : le nombre qui entre ($2$) a pour
image le nombre qui sort ($5$), et $2$ est un antécédent
de $5$. Le sens de lecture ne s'inverse jamais.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'image de $2$ par $f$ est $5$

]]> Bonne réponse : $f(2)$ désigne l'image de $2$ par la fonction
$f$. On peut aussi dire que $2$ est un antécédent de $5$.

]]> L'image de $5$ par $f$ est $2$

]]> Erreur d'inversion : l'image de $5$ s'écrirait $f(5)$. Ici
c'est bien $2$ qui entre dans la fonction, et $5$ qui en sort.

]]> $f(5) = 2$

]]> Erreur : rien ne permet d'échanger les rôles de $2$ et $5$.
En général $f(5)$ n'a aucune raison de valoir $2$.

]]> $5$ est un antécédent de $2$ par $f$

]]> Erreur d'inversion du vocabulaire : c'est $2$ qui est un
antécédent de $5$, car $f$ transforme $2$ en $5$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q02 : Calculer une image Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.
Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?

]]> Calculer l'image de $4$, c'est remplacer $x$ par $4$ :
$f(4) = 3 \times 4 - 5 = 7$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $7$

]]> Bonne réponse : $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$.

]]> $12$

]]> Erreur : tu as calculé $3 \times 4 = 12$ mais oublié de
soustraire $5$. Il faut appliquer toute la formule.

]]> $17$

]]> Erreur de signe : $3 \times 4 + 5 = 17$ correspond à la
fonction $x \mapsto 3x + 5$, pas à $3x - 5$.

]]> $3$

]]> Erreur : tu as résolu $3x - 5 = 4$, c'est-à-dire cherché un
antécédent de $4$. On demande l'image de $4$ : on
remplace $x$ par $4$ dans la formule.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q03 : Calculer un antécédent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x - 5$.
Quel est l'antécédent de $7$ par $f$ ?

]]> Un antécédent de $7$ est une solution de l'équation $f(x) = 7$ :
$3x - 5 = 7 \Leftrightarrow 3x = 12 \Leftrightarrow x = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$

]]> Bonne réponse : on résout $3x - 5 = 7$, soit $3x = 12$,
donc $x = 4$.

]]> $16$

]]> Erreur : $3 \times 7 - 5 = 16$ est l'image de $7$.
Chercher un antécédent de $7$, c'est résoudre $f(x) = 7$.

]]> $\dfrac{2}{3}$

]]> Erreur d'algèbre : $\dfrac{7 - 5}{3} = \dfrac{2}{3}$ vient d'un
mauvais transfert du $-5$. Dans $3x - 5 = 7$, le $-5$ passe
de l'autre côté en $+5$ : $3x = 7 + 5 = 12$.

]]> $-4$

]]> Erreur de signe dans la résolution : $3x = 12$ donne $x = 4$,
pas $x = -4$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q04 : Nombre d'images d'un nombre Soit $f$ une fonction et $a$ un nombre de son ensemble de
définition. Combien $a$ possède-t-il d'images par $f$ ?

]]> Une fonction associe à chaque nombre de son ensemble de définition
exactement une image. En revanche, un nombre peut avoir zéro,
un ou plusieurs antécédents.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Exactement une

]]> Bonne réponse : c'est la définition même d'une fonction.
À chaque nombre de l'ensemble de définition, elle associe
une unique image.

]]> Au plus deux

]]> Erreur : tu confonds avec les antécédents, qui peuvent
être plusieurs (par exemple $9$ a deux antécédents par
$x \mapsto x^2$). L'image, elle, est toujours unique.

]]> Autant qu'on veut

]]> Erreur : si un même $a$ avait plusieurs images, $f$ ne serait
pas une fonction. C'est le nombre d'antécédents qui peut
varier.

]]> Aucune, sauf si la courbe coupe l'axe des ordonnées

]]> Erreur : tout nombre de l'ensemble de définition a une image,
indépendamment de l'axe des ordonnées.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q05 : Antécédents par la fonction carré Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
Quels sont les antécédents de $9$ par $f$ ?

]]> Chercher les antécédents de $9$, c'est résoudre $x^2 = 9$ :
les solutions sont $3$ et $-3$. Pour $k > 0$, l'équation $x^2 = k$
a deux solutions : $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-3$ et $3$

]]> Bonne réponse : $x^2 = 9$ a deux solutions, $x = 3$ et
$x = -3$, car $(-3)^2 = 9$ aussi.

]]> $3$ seulement

]]> Oubli classique : $(-3)^2 = 9$ également. Une équation
$x^2 = k$ avec $k > 0$ a toujours deux solutions opposées.

]]> $81$

]]> Erreur : $81 = 9^2$ est l'image de $9$. On demande les
antécédents, c'est-à-dire les solutions de $x^2 = 9$.

]]> $4{,}5$

]]> Erreur : $9 \div 2 = 4{,}5$ n'a rien à voir avec l'équation
$x^2 = 9$. Le carré n'est pas une multiplication par $2$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q06 : Lire une image sur la courbe Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.
Quelle est l'image de $1$ par $f$ ?

]]> Pour lire $f(1)$ : on repère $x = 1$ sur l'axe des abscisses, on
monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du
point atteint. Ici le point est $(1\,;\,0)$, donc $f(1) = 0$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $0$

]]> Bonne réponse : le point de la courbe d'abscisse $1$ est sur
l'axe des abscisses, donc $f(1) = 0$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $-1$ est l'image de $0$ (le sommet de la courbe est
en $(0\,;\,-1)$). Pour lire $f(1)$, on part de $x = 1$ sur
l'axe des abscisses.

]]> $1$

]]> Erreur : tu as relu l'abscisse de départ. L'image se lit sur
l'axe des ordonnées, à la verticale de $x = 1$.

]]> $3$

]]> Erreur : $3$ est l'image de $2$ (le point $(2\,;\,3)$ est sur
la courbe), pas celle de $1$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q07 : Lire des antécédents sur la courbe Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.
Quels sont les antécédents de $3$ par $f$ ?

]]> Pour lire les antécédents de $3$ : on trace la droite horizontale
$y = 3$ et on lit les abscisses des points d'intersection avec
la courbe. Ici, elle coupe $\mathcal{C}_f$ en $(-2\,;\,3)$ et
$(2\,;\,3)$ : les antécédents sont $-2$ et $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2$ et $2$

]]> Bonne réponse : la droite horizontale $y = 3$ coupe la courbe
en deux points, d'abscisses $-2$ et $2$.

]]> $2$ seulement

]]> Oubli : la droite $y = 3$ coupe aussi la courbe du côté des
abscisses négatives, au point $(-2\,;\,3)$.

]]> $3$

]]> Erreur : tu cherches les antécédents de $3$, c'est-à-dire
les abscisses des points d'ordonnée $3$. Le nombre $3$ est ici
une ordonnée, pas une abscisse.

]]> $8$

]]> Erreur : $8 = f(3)$ serait l'image de $3$ (hors du
graphique). Les antécédents se lisent en coupant la courbe
par la droite horizontale $y = 3$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q08 : Courbe représentative Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Qu'est-ce que
la courbe représentative de $f$ dans un repère ?

]]> La courbe représentative de $f$ est l'ensemble des points
$M(x\,;\,f(x))$ pour tous les $x$ de l'ensemble de définition.
L'équation de la courbe est $y = f(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc L'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,f(x))$ pour $x$
dans $I$

]]> Bonne réponse : un point $M(x\,;\,y)$ appartient à la courbe
si et seulement si $y = f(x)$.

]]> L'ensemble des points de coordonnées $(f(x)\,;\,x)$ pour $x$
dans $I$

]]> Erreur d'inversion : l'abscisse est la variable $x$, et
l'ordonnée est l'image $f(x)$, pas l'inverse.

]]> Le tableau des valeurs de $f$

]]> Erreur : un tableau de valeurs ne donne que quelques points ;
la courbe est l'ensemble de tous les points
$(x\,;\,f(x))$.

]]> La droite qui passe par tous les points où $f$ s'annule

]]> Erreur : les points où $f$ s'annule sont seulement les
intersections de la courbe avec l'axe des abscisses.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q09 : Ensemble de définition Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$.
Quel est son ensemble de définition ?

]]> Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non
nul : $x - 2 \neq 0$, donc $x \neq 2$. L'ensemble de définition
est $\mathbb{R}$ privé de $2$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les réels sauf $2$

]]> Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour $x = 2$, et la
division par zéro est impossible. Partout ailleurs, le calcul
est possible.

]]> $\mathbb{R}$ tout entier

]]> Erreur : pour $x = 2$, le dénominateur vaut $0$ et le
quotient n'existe pas. Il faut exclure cette valeur.

]]> Tous les réels sauf $-2$

]]> Erreur de signe : on résout $x - 2 = 0$, qui donne $x = 2$,
pas $x = -2$.

]]> Les réels strictement supérieurs à $2$

]]> Erreur : un quotient existe dès que son dénominateur est non
nul, même s'il est négatif. Tu confonds avec la condition de
la racine carrée.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q10 : Antécédents dans un tableau de valeurs Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne :
$f(-2) = 5$, $f(-1) = 2$, $f(0) = 1$ et $f(1) = 2$.

D'après ce tableau, quels sont les antécédents de $2$ par $f$ ?

]]> Dans un tableau de valeurs, les antécédents de $2$ se trouvent en
repérant $2$ dans la ligne des images $f(x)$, puis en lisant les
valeurs de $x$ correspondantes : ici $-1$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $1$

]]> Bonne réponse : dans la ligne des images, $2$ apparaît deux
fois, pour $x = -1$ et pour $x = 1$.

]]> $-1$ seulement

]]> Oubli : il faut balayer toute la ligne des images. La
valeur $2$ apparaît aussi dans la colonne de $x = 1$.

]]> $5$

]]> Erreur : $5$ est l'image de $-2$. Pour trouver des
antécédents de $2$, on cherche $2$ dans la ligne du bas
et on remonte à la ligne du haut.

]]> $2$

]]> Erreur : tu as relu le nombre cherché. Les antécédents sont
les valeurs de $x$ dont l'image vaut $2$, ici $-1$ et $1$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q11 : L'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
A-t-on toujours $f(a + b) = f(a) + f(b)$ ?

]]> $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit $2ab$ empêche
l'égalité $f(a+b) = f(a) + f(b)$ dès que $a$ et $b$ sont non nuls.
Contre-exemple : $f(1+1) = 4 \neq 2 = f(1) + f(1)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : par exemple $f(1+1) = 4$ alors que $f(1) + f(1) = 2$

]]> Bonne réponse : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ n'est en général
pas égal à $a^2 + b^2$. Un seul contre-exemple suffit à
réfuter l'égalité.

]]> Oui, car c'est vrai pour toute fonction

]]> Erreur très répandue : une fonction ne « distribue » pas sur
l'addition. Teste toujours sur des valeurs concrètes avant de
généraliser.

]]> Oui, car $f$ est donnée par une formule

]]> Erreur : avoir une formule ne donne aucune propriété
particulière. Ici $(1+1)^2 = 4 \neq 1^2 + 1^2 = 2$.

]]> Non, sauf si $a$ et $b$ sont positifs

]]> Erreur : même pour $a$ et $b$ positifs l'égalité échoue,
comme le montre $a = b = 1$. Elle n'est vraie que si $a$ ou
$b$ est nul.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q12 : Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). C'est la courbe de f(x) = x² - 1.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$.
Quelles sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?

]]> Résoudre $f(x) = 0$ graphiquement, c'est lire les abscisses des
points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses :
ici $-1$ et $1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x = -1$ et $x = 1$

]]> Bonne réponse : la courbe coupe l'axe des abscisses aux
points d'abscisses $-1$ et $1$ ; ce sont les solutions de
$f(x) = 0$.

]]> $x = 0$

]]> Erreur : en $x = 0$, la courbe passe par $(0\,;\,-1)$, donc
$f(0) = -1 \neq 0$. Tu as confondu avec le sommet de la
courbe.

]]> $x = -1$ seulement

]]> Oubli : la courbe traverse l'axe des abscisses deux fois.
Il faut relever toutes les intersections.

]]> $(0\,;\,-1)$

]]> Erreur de nature : une solution de $f(x) = 0$ est un
nombre (une abscisse), pas un point. Et $(0\,;\,-1)$
n'est pas sur l'axe des abscisses.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q13 : Image par une fonction affine Soit $f(x) = 3x - 1$. Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?

]]> Calculer une image : substituer la valeur à $x$ dans la
formule et effectuer. Image de $4$ : partir de $4$ (donnée)
et arriver à $f(4)$ (résultat) : le sens direct de la
machine-fonction.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11$

]]> Bonne réponse : remplacer $x$ par $4$ : $f(4) = 3
\times 4 - 1 = 11$.

]]> $12$

]]> Le $-1$ oublié : $3 \times 4 = 12$, puis on retire
$1$ : $11$.

]]> $\dfrac{5}{3}$

]]> Sens inverse : $\dfrac{4 + 1}{3}$ résout $f(x) = 4$ :
c'est chercher un antécédent de $4$, pas son image.

]]> $7$

]]> Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne au lieu de multiplier :
$3x$ signifie $3 \times x$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q14 : Antécédent par le calcul Soit $f(x) = 2x + 1$. Quel est l'antécédent de $5$ par
$f$ ?

]]> Un antécédent de $k$ est une solution de l'équation
$f(x) = k$ : le sens inverse de la fonction. Image : on
calcule ; antécédent : on résout. Les deux gestes du chapitre.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $2$

]]> Bonne réponse : chercher un antécédent, c'est résoudre
l'équation $f(x) = 5$, soit $2x + 1 = 5$ :
$2x = 4$, $x = 2$. Contrôle : $f(2) = 5$.

]]> $11$

]]> Sens inversé : $11 = f(5)$ est l'image de $5$ :
l'antécédent remonte la machine, il ne la descend pas.

]]> $5$

]]> Erreur : $f(5) = 11 \neq 5$ : l'antécédent est le nombre
de départ qui DONNE $5$, pas $5$ lui-même.

]]> $3$

]]> Contrôle : $f(3) = 7 \neq 5$ : la résolution donne
$x = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q15 : La notation $x \mapsto 2x + 3$ Que signifie l'écriture $f : x \mapsto 2x + 3$ ?

]]> Deux notations pour le même objet : $f : x \mapsto 2x + 3$
(le procédé) et $f(x) = 2x + 3$ (la formule de l'image).
Bien distinguer $f$ (la machine) de $f(x)$ (ce qui en
sort).

]]> 1.0 0.0 0 true true abc La fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ le nombre
$2x + 3$

]]> Bonne réponse : la flèche $\mapsto$ se lit « a pour
image » : c'est la description du procédé, équivalente
à $f(x) = 2x + 3$.

]]> L'équation $x = 2x + 3$

]]> Erreur : aucune égalité à résoudre ici : la flèche
décrit une transformation, pas une contrainte.

]]> Le point de coordonnées $(x\ ;\ 2x + 3)$… et rien
d'autre

]]> Trop réducteur : la notation définit le procédé pour
TOUS les $x$ à la fois (dont les points de la courbe
sont la trace graphique).

]]> Que $f$ vaut toujours $2x + 3$, quel que soit le nombre
$f$

]]> Confusion d'objets : $f$ est la fonction (le
procédé), $f(x)$ est le nombre résultat : la flèche
relie l'entrée $x$ à la sortie $2x + 3$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q16 : Un point sur la courbe ? Le point $M(2\ ;\ 5)$ appartient-il à la courbe de la
fonction $f(x) = x^2 + 1$ ?

]]> Appartenance à la courbe : $M(a\ ;\ b) \in \mathcal{C}_f
\iff f(a) = b$. La courbe EST l'ensemble des points
$(x\ ;\ f(x))$ : le test algébrique est exact là où la
lecture graphique reste approximative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, car $f(2) = 4 + 1 = 5$

]]> Bonne réponse : $M(a\ ;\ b)$ est sur la courbe $\iff
f(a) = b$ : on calcule l'image de l'abscisse et on
compare à l'ordonnée.

]]> Non, car $f(5) \neq 2$

]]> Coordonnées inversées : on évalue $f$ en
l'abscisse ($2$) et on compare à l'ordonnée
($5$), pas l'inverse.

]]> Oui, car $2 + 5 = 7$ est impair

]]> Hors sujet : aucune règle de parité ici : le seul test
est $f(2) \stackrel{?}{=} 5$.

]]> On ne peut pas savoir sans tracer la courbe

]]> Erreur : le calcul remplace le dessin : c'est même tout
l'intérêt : $f(2) = 5$ ✓, aucun tracé nécessaire.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q17 : Image d'un nombre négatif Soit $f(x) = x^2 - 2x$. Quelle est l'image de $-1$ ?

]]> Substituer un négatif : parenthèses obligatoires : $(-1)^2 =
1$, $-2(-1) = +2$. La quasi-totalité des erreurs d'images
vient des signes : écrire l'étape intermédiaire au complet.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $f(-1) = (-1)^2 - 2 \times (-1) = 1 + 2
= 3$ : le carré donne $+1$ et « moins fois moins »
donne $+2$.

]]> $-3$

]]> Deux signes ratés : $(-1)^2 = +1$ et $-2 \times (-1) =
+2$ : tout est positif : $3$.

]]> $-1$

]]> Erreur : $1 - 2 = -1$ traite $-2x$ comme $-2 \times
(+1)$ : or $x = -1$ : le produit vaut $+2$.

]]> $1$

]]> Terme oublié : $1$ est le carré seul : le terme $-2x =
+2$ s'ajoute : $3$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q18 : Antécédents de $0$ par une forme factorisée Soit $f(x) = (x - 1)(x + 3)$. Quels sont les antécédents de
$0$ par $f$ ?

]]> Antécédents de $0$ = solutions de $f(x) = 0$ : avec une
forme factorisée, le produit nul les donne immédiatement.
Graphiquement : les abscisses des points où la courbe coupe
l'axe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$ et $-3$

]]> Bonne réponse : $f(x) = 0$ est une équation produit
nul : $x - 1 = 0$ ou $x + 3 = 0$ : la forme factorisée
livre les antécédents de $0$ sans calcul.

]]> $-1$ et $3$

]]> Signes inversés : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$ (et $x + 3
= 0$ donne $-3$) : le signe bascule en isolant.

]]> $0$

]]> Erreur : $f(0) = (-1)(3) = -3 \neq 0$ : les antécédents
de $0$ sont les valeurs qui annulent le produit.

]]> $1$ seulement

]]> Facteur oublié : chaque facteur fournit un antécédent :
$-3$ annule aussi le produit.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q19 : Définition d'une fonction racine Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{x - 3}$.
Quel est son ensemble de définition ?

]]> Une racine carrée n'est définie que sur les nombres positifs ou nuls.
On résout donc $x - 3 \geq 0$, ce qui donne $x \geq 3$, c'est-à-dire
l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[3\,;\,+\infty[$

]]> Bonne réponse : une racine carrée exige $x - 3 \geq 0$, donc
$x \geq 3$. La valeur $3$ convient, car $\sqrt{0} = 0$.

]]> $]3\,;\,+\infty[$

]]> Borne exclue à tort : $x = 3$ donne $\sqrt{0} = 0$, un résultat
parfaitement défini. La borne est donc fermée.

]]> $[-3\,;\,+\infty[$

]]> Erreur de signe : la condition porte sur $x - 3 \geq 0$, pas sur
$x + 3 \geq 0$. Pour $x = -3$, on aurait $\sqrt{-6}$.

]]> $]-\infty\,;\,3]$

]]> Inégalité retournée : pour $x = 0$, on obtient $\sqrt{-3}$, qui
n'existe pas. La condition impose $x$ au-dessus de $3$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q20 : Valeur interdite d'un quotient Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 4}$.
Sur quel ensemble $f$ est-elle définie ?

]]> Un quotient n'est défini que si son dénominateur est non nul. On résout
donc $x - 4 = 0$, ce qui donne la seule valeur interdite $x = 4$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Tous les réels sauf $4$

]]> Bonne réponse : le dénominateur s'annule pour $x = 4$, et une
division par zéro est impossible. Partout ailleurs le calcul se fait.

]]> Tous les réels sauf $-4$

]]> Erreur de signe : $x - 4$ s'annule pour $x = 4$, pas pour $x = -4$.
Pour $x = -4$, le dénominateur vaut $-8$, ce qui est autorisé.

]]> Tous les réels sauf $-\dfrac{1}{2}$

]]> Mauvais étage de la fraction : $-\dfrac{1}{2}$ annule le numérateur,
ce qui donne $f(x) = 0$, une valeur tout à fait définie.

]]> Tous les réels sauf $0$

]]> Confusion classique : c'est le dénominateur, et non $x$, qui doit
être non nul. Pour $x = 0$, on obtient $f(0) = -\dfrac{1}{4}$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q21 : Image par une fonction quotient Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$.
Combien vaut $f(-1)$ ?

]]> Calculer une image consiste à remplacer $x$ par la valeur demandée, puis
à effectuer. Avec $x = -1$, le dénominateur vaut $-1 + 2 = 1$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $1$

]]> Bonne réponse : $-1 + 2 = 1$, donc $f(-1) = \dfrac{1}{1} = 1$.

]]> $\dfrac{1}{3}$

]]> Signe perdu en route : $\dfrac{1}{3}$ est la valeur de $f(1)$.
Ici $x$ vaut $-1$, donc le dénominateur vaut $1$ et non
$3$.

]]> $-\dfrac{1}{3}$

]]> Soustraction au lieu d'addition : le calcul fait est
$\dfrac{1}{-1 - 2}$, alors que la formule ajoute $2$ à $x$.

]]> $\dfrac{1}{2}$

]]> Variable oubliée : remplacer $x$ par $0$ donnerait $\dfrac{1}{2}$.
Il faut bien substituer la valeur $-1$ à la place de $x$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q22 : Image d'une expression littérale Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 1$.
Quelle est l'expression développée de $f(a + 1)$ ?

]]> On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,
puis on développe : $f(a+1) = (a+1)^2 - 1 = a^2 + 2a$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $a^2 + 2a$

]]> Bonne réponse : $(a+1)^2 - 1 = a^2 + 2a + 1 - 1 = a^2 + 2a$.

]]> $a^2 + 2a + 1$

]]> Terme constant oublié : le développement de $(a+1)^2$ est correct,
mais la fonction retranche encore $1$ au résultat.

]]> $a^2$

]]> Identité remarquable ratée : $(a+1)^2$ vaut $a^2 + 2a + 1$ et non
$a^2 + 1$. Pour $a = 2$, le carré vaut $9$, pas $5$.

]]> $2a + 1$

]]> Carré confondu avec le double : $(a+1)^2$ n'est pas $2(a+1)$.
Pour $a = 3$, ces deux expressions valent $16$ et $8$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q23 : Deux nombres opposés par la fonction carré Soit $f$ la fonction carré, définie par $f(x) = x^2$.
Que peut-on dire de $f(-3)$ et de $f(3)$ ?

]]> Pour tout réel $x$, $(-x)^2 = x^2$. La fonction carré donne donc la même
image à deux nombres opposés, ce qui se voit sur la symétrie de sa courbe.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Ces deux images sont égales

]]> Bonne réponse : $(-3)^2 = 9$ et $3^2 = 9$. Deux nombres opposés ont
toujours le même carré.

]]> Ces deux images sont opposées

]]> Erreur de signe : $(-3)^2$ vaut $9$ et non $-9$. Le carré d'un
nombre négatif est positif.

]]> La première est plus petite que la seconde

]]> Ordre non conservé : $-3 < 3$, mais la fonction carré ne conserve
pas l'ordre sur les nombres négatifs. Les deux images valent $9$.

]]> On ne peut pas comparer sans la courbe

]]> Comparaison immédiate par le calcul : la formule suffit, $(-3)^2$
et $3^2$ valent tous deux $9$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q24 : Ce qu'un tableau de valeurs ne dit pas Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne $f(0) = 4$, $f(1) = 1$,
$f(2) = 0$ et $f(3) = 1$. Que vaut $f(2{,}5)$ ?

]]> Un tableau de valeurs est un échantillon. Il donne les images de quelques
nombres, jamais celles de tous les autres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc On ne peut pas le déduire de ce tableau

]]> Bonne réponse : un tableau ne donne que quelques images choisies.
Sans la formule ou la courbe, $f(2{,}5)$ reste inconnue.

]]> $0{,}5$, la moyenne de $f(2)$ et de $f(3)$

]]> Moyenne abusive : rien n'impose à $f$ de varier de façon régulière
entre $2$ et $3$. La courbe peut faire tout autre chose.

]]> $0$, la même image que pour $x = 2$

]]> Valeur voisine recopiée : $f(2) = 0$ ne dit rien de $f(2{,}5)$,
qui correspond à un autre nombre de départ.

]]> $1$, la même image que pour $x = 3$

]]> Valeur voisine recopiée : $f(3) = 1$ concerne $x = 3$ seulement,
pas les nombres situés entre $2$ et $3$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q25 : Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ Dans un même repère, les courbes de $f$ et de $g$ se coupent en deux
points, d'abscisses $-1$ et $2$. Quelles sont les solutions de
l'équation $f(x) = g(x)$ ?

]]> Résoudre $f(x) = g(x)$ revient à chercher les abscisses des points communs
aux deux courbes. On lit les abscisses, jamais les ordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-1$ et $2$

]]> Bonne réponse : en un point commun, les deux courbes ont la même
ordonnée pour la même abscisse, donc $f(x) = g(x)$.

]]> $f(-1)$ et $f(2)$

]]> Images confondues avec les solutions : $f(-1)$ et $f(2)$ sont les
ordonnées des points d'intersection, pas les valeurs de $x$ cherchées.

]]> Tous les réels de $[-1\,;\,2]$

]]> Intervalle au lieu de solutions : entre les deux points, une courbe
passe au-dessus de l'autre, donc $f(x)$ et $g(x)$ diffèrent.

]]> Aucune, il faut résoudre par le calcul

]]> Lecture graphique refusée à tort : une intersection se lit
directement, le calcul ne sert qu'à confirmer les valeurs.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q26 : Antécédent par une fonction décroissante Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 7$.
Quel est l'antécédent de $1$ par $f$ ?

]]> Chercher l'antécédent de $1$ revient à résoudre l'équation $f(x) = 1$.
L'image, elle, se calcule directement en remplaçant $x$ par une valeur.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $3$

]]> Bonne réponse : $-2x + 7 = 1$ donne $-2x = -6$, donc $x = 3$.
Vérification : $-2 \times 3 + 7 = 1$.

]]> $-3$

]]> Signe perdu à la division : de $-2x = -6$ on tire $x = 3$, car un
quotient de deux nombres négatifs est positif.

]]> $4$

]]> Équation mal recopiée : $x = 4$ est la solution de $-2x + 7 = -1$.
Ici le second membre vaut $+1$.

]]> $5$

]]> Sens inversé : $5$ est l'image de $1$, pas son antécédent. On cherche
le nombre qui entre, pas celui qui sort.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q27 : Traduire une phrase par une égalité Une entreprise note $C(q)$ le coût de production, en euros, de $q$
objets. Produire $10$ objets coûte $45$ euros. Comment cette phrase
s'écrit-elle ?

]]> Dans une situation concrète, la grandeur dont on part est l'antécédent et
celle que l'on obtient est l'image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $C(10) = 45$

]]> Bonne réponse : la quantité produite entre dans la fonction, le coût
en sort.

]]> $C(45) = 10$

]]> Rôles échangés : $C(45)$ désignerait le coût de $45$ objets, une tout
autre information.

]]> $10$ est l'image de $45$ par $C$

]]> Vocabulaire inversé : c'est $45$ qui est l'image, puisque le coût est
le résultat du calcul.

]]> $45$ est un antécédent de $10$ par $C$

]]> Vocabulaire inversé : l'antécédent est le nombre d'objets, donc $10$,
et son image est le coût $45$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q28 : Nombre de solutions d'une équation La courbe d'une fonction $f$ admet un point le plus bas, d'ordonnée $1$.
Combien l'équation $f(x) = -1$ a-t-elle de solutions ?

]]> Le nombre de solutions de $f(x) = k$ se lit au nombre de points communs
entre la courbe et la droite horizontale d'équation $y = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Aucune

]]> Bonne réponse : toutes les ordonnées de la courbe valent au moins $1$,
donc la droite d'équation $y = -1$ ne la rencontre jamais.

]]> Une seule

]]> Une solution supposerait un point d'ordonnée $-1$ sur la courbe, alors
que le minimum atteint vaut $1$.

]]> Deux

]]> Deux solutions correspondraient à une droite horizontale coupant la
courbe, ce qui n'arrive ici que pour les ordonnées supérieures à $1$.

]]> On ne peut pas savoir sans l'expression

]]> L'information suffit : connaître le minimum permet déjà d'exclure
toute ordonnée qui lui est inférieure.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q29 : Distinguer $f$ et $f(x)$ Quelle est la différence entre les écritures $f$ et $f(x)$ ?

]]> La fonction est le procédé, l'image est le résultat. On écrit
$f : x \mapsto 2x + 3$ pour la fonction, et $f(4) = 11$ pour une image.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $f$ est la fonction, $f(x)$ est un nombre

]]> Bonne réponse : $f$ désigne le procédé de calcul, $f(x)$ le résultat
obtenu pour une valeur de $x$.

]]> Les deux écritures désignent la même chose

]]> Confusion courante : $f$ ne dépend d'aucune valeur, alors que $f(x)$
change avec $x$.

]]> $f$ est la courbe, $f(x)$ est la fonction

]]> La courbe porte un autre nom, souvent $\mathcal{C}_f$. La lettre $f$
seule désigne bien la fonction.

]]> $f(x)$ est l'antécédent de $x$

]]> Sens inversé : $f(x)$ est l'image de $x$. L'antécédent est au contraire
un nombre qui entre dans la fonction.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q30 : Nombre d'antécédents d'un nombre Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents par une même fonction ?

]]> Chaque nombre de départ a une image et une seule, c'est la définition
d'une fonction. En revanche un nombre d'arrivée peut avoir zéro, un ou
plusieurs antécédents, que l'on lit sur les points d'intersection entre
la courbe et une droite horizontale.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Oui, il peut en avoir plusieurs

]]> Bonne réponse : la fonction carré donne $4$ à la fois pour $-2$ et
pour $2$, qui sont deux antécédents de $4$.

]]> Non, il en a exactement un

]]> C'est l'image qui est unique, pas l'antécédent. Un nombre peut même
n'avoir aucun antécédent.

]]> Non, sinon $f$ ne serait pas une fonction

]]> La condition porte sur les images : un nombre de départ a une seule
image, mais un nombre d'arrivée peut venir de plusieurs départs.

]]> Oui, mais seulement si $f$ change de formule

]]> Aucune condition de ce genre : la fonction carré, définie par une
seule formule, fournit déjà deux antécédents à $4$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q31 : Image par une fonction affine Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x + 5$.
Quelle est l'image de $2$ par $f$ ?

]]> Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée dans
l'expression de la fonction, puis effectuer le calcul.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $11$

]]> Bonne réponse : on remplace $x$ par $2$, ce qui donne
$3 \times 2 + 5 = 11$.

]]> $1$

]]> Attention au signe du second terme : il faut ajouter $5$, pas le
soustraire. Le calcul donne $11$.

]]> $13$

]]> Le coefficient $3$ multiplie $x$, et $5$ est le terme constant.
On calcule $3 \times 2 + 5 = 11$.

]]> $10$

]]> Il ne s'agit pas d'additionner les trois nombres : $3$ multiplie
$2$, puis on ajoute $5$, donc $f(2) = 11$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q32 : Image par une fonction carrée Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3$.
Quelle est l'image de $5$ par $f$ ?

]]> Calculer une image, c'est remplacer $x$ par la valeur demandée, puis
effectuer en respectant les priorités : le carré d'abord, l'addition
ensuite.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $28$

]]> Bonne réponse : on remplace $x$ par $5$, ce qui donne
$5^2 + 3 = 25 + 3 = 28$.

]]> $13$

]]> Le carré a été confondu avec le double : $5^2$ signifie
$5 \times 5$, et non $2 \times 5$.

]]> $64$

]]> Priorités inversées : le carré porte sur $x$ seul, et le terme
constant n'intervient qu'une fois ce carré calculé.

]]> $22$

]]> Erreur de signe sur le terme constant : la formule se termine par
$+ 3$, ce qui conduit à $28$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q33 : Quelle équation résoudre ? Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3$.
Quelle équation faut-il résoudre pour trouver les antécédents de $7$ ?

]]> Une image se calcule, un antécédent se cherche : les antécédents de $k$
par $f$ sont les solutions de l'équation $f(x) = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $x^2 + 3 = 7$

]]> Bonne réponse : chercher les antécédents de $7$, c'est chercher les
nombres dont l'image vaut $7$, donc résoudre $f(x) = 7$.

]]> $7^2 + 3 = x$

]]> Sens inversé : ce calcul donne l'image de $7$, alors que l'on cherche
les nombres qui ont $7$ pour image.

]]> $x^2 + 3 = x$

]]> Le nombre $7$ a disparu : c'est lui qui doit figurer au second membre,
puisqu'il s'agit de l'image imposée.

]]> $x^2 + 3 = 7$ ou bien $x^2 + 3 = -7$

]]> Une seule équation suffit : l'image vaut $7$, pas $-7$. Les deux
solutions opposées apparaîtront au moment de résoudre $x^2 = 4$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q34 : Un facteur qui ne s'annule jamais Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = (x - 4)(x^2 + 1)$.
Quels sont les antécédents de $0$ par $f$ ?

]]> Pour annuler un produit, il suffit d'annuler un facteur. Ici $x^2 + 1$
reste supérieur ou égal à $1$ quel que soit $x$ : seul le premier
facteur peut s'annuler.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $4$ seulement

]]> Bonne réponse : un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs l'est.
Le premier s'annule pour $x = 4$, le second vaut au moins $1$.

]]> $4$ et $-4$

]]> Le réflexe du carré a été appliqué au mauvais facteur : c'est
$x - 4$ qui s'annule, et pour une seule valeur.

]]> $4$ et $-1$

]]> Résolution fautive du second facteur : $x^2 + 1 = 0$ donnerait
$x^2 = -1$, impossible car un carré n'est jamais négatif.

]]> Le nombre $0$ n'a aucun antécédent

]]> Le premier facteur s'annule pourtant : pour $x = 4$, le produit
vaut $0$, donc $4$ est bien un antécédent de $0$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q35 : Reconnaître un point de la courbe Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2$.
Parmi ces points, lequel appartient à la courbe de $f$ ?

]]> Un point $M(a\,;\,b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si
$f(a) = b$. On calcule donc l'image de l'abscisse et on la compare à
l'ordonnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(3\,;\,7)$

]]> Bonne réponse : $f(3) = 9 - 2 = 7$, donc l'ordonnée
correspond bien à l'image de l'abscisse.

]]> $(7\,;\,3)$

]]> Coordonnées échangées : l'abscisse est le nombre de départ, l'ordonnée
est son image, jamais l'inverse.

]]> $(3\,;\,4)$

]]> Le carré a été confondu avec le double : $3^2$ vaut $9$,
et non $3 \times 2$.

]]> $(3\,;\,9)$

]]> Terme constant oublié : après le carré, la formule ajoute encore
$-2$, ce qui conduit à $7$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q36 : Image d'une variable décalée Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 5$.
Quelle est l'expression réduite de $f(x + 1)$ ?

]]> On substitue l'expression entière à la place de $x$, entre parenthèses,
puis on développe et on réduit.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-2x + 3$

]]> Bonne réponse : $-2(x + 1) + 5 = -2x - 2 + 5$,
soit $-2x + 3$ après réduction.

]]> $-2x + 5$

]]> L'expression n'est pas inchangée : le décalage de $1$ traverse le
facteur $-2$ et modifie le terme constant.

]]> $-2x + 6$

]]> Le nombre $1$ a été ajouté tel quel au terme constant, alors qu'il
est d'abord multiplié par $-2$.

]]> $-2x + 7$

]]> Erreur de signe dans la distribution : le produit $-2 \times 1$
vaut $-2$, qui s'ajoute au terme constant.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q37 : Deux points sur une même verticale Une courbe tracée dans un repère coupe la droite verticale d'équation
$x = 2$ en deux points distincts. Peut-elle être la courbe d'une
fonction ?

]]> La courbe d'une fonction rencontre chaque droite verticale en un point
au plus, puisque chaque nombre de l'ensemble de définition possède une
image unique. Une droite horizontale, elle, peut la couper plusieurs fois.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non, car $2$ aurait deux images

]]> Bonne réponse : les deux points auraient la même abscisse $2$ et des
ordonnées différentes, or un nombre a une seule image.

]]> Oui, comme la courbe de la fonction carré

]]> La courbe de la fonction carré coupe chaque verticale en un seul
point : c'est la droite horizontale $y = 4$ qu'elle coupe deux fois.

]]> Oui, si les deux points sont symétriques

]]> Aucune symétrie n'y change rien : deux ordonnées pour la même
abscisse contredisent la définition d'une fonction.

]]> Non, sauf si la courbe est une droite

]]> Une droite verticale n'est d'ailleurs pas une courbe de fonction,
pour exactement la même raison.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q38 : L'image de zéro par une fonction affine Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x) = ax + b$. Que vaut $f(0)$ ?

]]> Pour une fonction affine $f(x) = ax + b$, l'image de $0$ vaut $b$.
Graphiquement, c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des
ordonnées.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $b$

]]> Bonne réponse : $a \times 0 + b = b$. L'image de $0$ par une fonction
affine est toujours son terme constant.

]]> $a$

]]> Le coefficient $a$ multiplie $x$ : pour $x = 0$, ce produit disparaît
et seul $b$ subsiste.

]]> $a + b$

]]> Cette valeur est $f(1)$ : c'est pour $x = 1$ que le produit $ax$ vaut
exactement $a$.

]]> $0$, car on multiplie par zéro

]]> Seul le terme $ax$ s'annule : le terme constant $b$ ne dépend pas de
$x$ et reste présent.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q39 : Image d'un négatif par l'opposé du carré Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2$.
Quelle est l'image de $-3$ par $f$ ?

]]> Dans $-x^2$, le carré se calcule avant le signe moins. Pour un nombre
négatif, le carré est positif, et l'image est donc négative.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $-9$

]]> Bonne réponse : on élève d'abord au carré, $(-3)^2 = 9$,
puis on prend l'opposé, ce qui donne $-9$.

]]> $9$

]]> Le signe moins de la formule a été oublié : le carré vaut bien
$9$, mais $f(x)$ en est l'opposé.

]]> $6$

]]> Le carré a été confondu avec le double : $(-3)^2$ vaut $9$,
alors que $-2 \times -3$ vaut $6$.

]]> $-6$

]]> Deux erreurs se cumulent : le carré remplacé par le double, et le
signe de la formule mal reporté.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q40 : Ce qu'un tableau dit du nombre de solutions Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne $f(-3) = 4$, $f(0) = -1$,
$f(2) = 4$ et $f(5) = 7$. Que peut-on affirmer sur l'équation
$f(x) = 4$ ?

]]> Un tableau de valeurs permet d'affirmer qu'une solution existe, jamais
qu'il n'y en a pas d'autre : il ne montre qu'un échantillon de nombres.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Elle admet au moins deux solutions

]]> Bonne réponse : $-3$ et $2$ ont tous deux pour image $4$. Comme le
tableau ne montre que quatre nombres, il peut en exister d'autres.

]]> Elle admet exactement deux solutions

]]> Le tableau ne donne que quatre images parmi une infinité : rien
n'interdit à un autre nombre d'avoir aussi $4$ pour image.

]]> Elle admet une seule solution, $-3$

]]> La ligne des images contient deux fois la valeur $4$, pour $x = -3$
et pour $x = 2$.

]]> Elle n'a aucune solution lisible ici

]]> La valeur $4$ figure pourtant deux fois dans la ligne des images du
tableau.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q41 : Écrire la fonction d'un tarif Un taxi facture $4$ euros de prise en charge, puis $2$ euros par
kilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé pour $x$ kilomètres.
Quelle est l'expression de $P(x)$ ?

]]> Une grandeur payée une fois donne le terme constant, une grandeur payée
par unité donne le coefficient de $x$ : le tarif se traduit par une
fonction affine.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $P(x) = 2x + 4$

]]> Bonne réponse : les $2$ euros se répètent à chaque kilomètre, donc
ils multiplient $x$, tandis que les $4$ euros sont payés une fois.

]]> $P(x) = 4x + 2$

]]> Les deux tarifs sont échangés : c'est le prix au kilomètre qui
multiplie $x$, pas la prise en charge.

]]> $P(x) = 6x$

]]> Les deux tarifs ont été additionnés : la prise en charge ne se paie
pas à chaque kilomètre.

]]> $P(x) = 2x$

]]> La prise en charge a disparu : même pour un trajet très court, le
client paie déjà $4$ euros.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q42 : Les parenthèses de $f(x)$ Dans l'écriture $f(x)$, les parenthèses indiquent-elles une
multiplication ?

]]> La notation $f(x)$ est une notation d'image, pas un produit. Elle ne se
développe donc jamais : $f(2x)$ ne vaut pas $2f(x)$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$

]]> Bonne réponse : $f(x)$ se lit « $f$ de $x$ ». La lettre $f$ nomme une
fonction, pas un nombre que l'on pourrait multiplier.

]]> Oui, $f(x)$ se lit comme le produit $f \times x$

]]> Confusion avec le calcul littéral : dans $3(x+1)$ les parenthèses
marquent bien un produit, car $3$ est un nombre.

]]> Oui, mais seulement si $f$ est un nombre

]]> Une fonction n'est jamais un nombre : dans ce chapitre, la lettre $f$
désigne toujours le procédé de calcul.

]]> Non, sauf quand $f$ est une fonction affine

]]> Aucune formule ne fait exception : $f(x)$ désigne une image, que $f$
soit affine ou non.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q43 : Traduire une phrase en notation fléchée La fonction $g$ associe à tout nombre son carré diminué de $3$.
Comment s'écrit-elle avec la notation à flèche ?

]]> La notation $g : x \mapsto x^2 - 3$ se lit « $g$ associe à $x$ le nombre
$x^2 - 3$ ». Elle équivaut à l'écriture $g(x) = x^2 - 3$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $g : x \mapsto x^2 - 3$

]]> Bonne réponse : on élève d'abord au carré, puis on retranche $3$,
exactement dans l'ordre annoncé par la phrase.

]]> $g : x \mapsto (x - 3)^2$

]]> Ordre des opérations inversé : cette écriture retranche $3$ avant
d'élever au carré, ce qui donne une autre fonction.

]]> $g : x \mapsto 3 - x^2$

]]> Les rôles sont échangés : « diminué de $3$ » signifie que l'on
retranche $3$ au carré, et non le contraire.

]]> $g : x^2 - 3 \mapsto x$

]]> La flèche part toujours du nombre de départ : à gauche la variable,
à droite l'expression de son image.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q44 : Antécédent par la fonction racine carrée Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par
$f(x) = \sqrt{x}$. Quel est l'antécédent de $4$ par $f$ ?

]]> Chercher un antécédent par la fonction racine carrée revient à résoudre
$\sqrt{x} = k$ : on élève les deux membres au carré, ce qui donne
$x = k^2$. Cette équation n'a jamais deux solutions.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $16$

]]> Bonne réponse : on résout $\sqrt{x} = 4$, donc $x = 4^2 = 16$.
Vérification : $\sqrt{16} = 4$.

]]> $16$ et $-16$

]]> Un nombre négatif n'a pas de racine carrée : $-16$ n'appartient
même pas à l'ensemble de définition de $f$.

]]> $2$ et $-2$

]]> Confusion avec l'équation $x^2 = 4$ : ici, c'est la racine carrée
de $x$ qui vaut $4$, pas son carré.

]]> $2$

]]> Sens inversé : $2$ est l'image de $4$, puisque
$\sqrt{4} = 2$. On cherche le nombre dont l'image vaut $4$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q45 : Du tableau de valeurs à la courbe Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ donne $f(-2) = 5$, $f(1) = -4$
et $f(3) = 0$. Quel point appartient à coup sûr à la courbe de $f$ ?

]]> Chaque égalité $f(a) = b$ d'un tableau de valeurs fournit un point
$(a\,;\,b)$ de la courbe : l'antécédent en abscisse, l'image en ordonnée.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $(1\,;\,-4)$

]]> Bonne réponse : l'égalité $f(1) = -4$ fournit le point d'abscisse $1$
et d'ordonnée $-4$ de la courbe.

]]> $(-4\,;\,1)$

]]> Coordonnées échangées : $-4$ est une image, il figure donc en
ordonnée, et $1$ en abscisse.

]]> $(5\,;\,-2)$

]]> Coordonnées échangées sur une autre colonne : l'égalité $f(-2) = 5$
donne le point $(-2\,;\,5)$.

]]> $(-2\,;\,-5)$

]]> Signe modifié sans raison : le tableau annonce $f(-2) = 5$, donc
l'ordonnée est positive.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q46 : L'égalité $f(2x) = 2f(x)$ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x + 4$.
A-t-on toujours $f(2x) = 2f(x)$ ?

]]> Une fonction ne se distribue pas sur les opérations : $f(2x)$ se calcule
en remplaçant $x$ par $2x$, tandis que $2f(x)$ double le résultat déjà
obtenu. Les deux coïncident seulement dans des cas particuliers.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc Non : $f(2x) = 2x + 4$ et $2f(x) = 2x + 8$

]]> Bonne réponse : les deux calculs se mènent séparément et diffèrent
de $4$. Pour $x = 1$, on obtient $6$ d'un côté et $10$ de l'autre.

]]> Oui : le facteur $2$ sort toujours de la fonction

]]> Dans $2f(x)$, le terme constant $4$ est lui aussi doublé, alors qu'il
ne l'est pas dans $f(2x)$.

]]> Oui, car $f$ est une fonction affine

]]> Être affine ne donne aucune propriété de ce genre : il faudrait que
le terme constant soit nul.

]]> Non, sauf lorsque $x$ est positif

]]> Le signe de $x$ ne change rien : l'écart entre $2x + 4$ et $2x + 8$
vaut $4$ pour tout nombre $x$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q47 : Résoudre graphiquement f(x) < g(x) Sur $[-3\,;\,3]$, les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ se coupent
aux points d'abscisses $-1$ et $2$, et la courbe de $f$ est sous
celle de $g$ exactement entre ces deux points. Quel est l'ensemble
des solutions de $f(x) < g(x)$ sur $[-3\,;\,3]$ ?

]]> Résoudre graphiquement $f(x) < g(x)$, c'est lire les abscisses des
points de la courbe de $f$ situés sous la courbe de $g$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $]-1\,;\,2[$

]]> Bonne réponse : on cherche les abscisses où la courbe de $f$ est
strictement sous celle de $g$. Les points d'intersection sont
exclus, car l'inégalité est stricte.

]]> $[-1\,;\,2]$

]]> Erreur : en $-1$ et en $2$, on a $f(x) = g(x)$, ce qui ne vérifie
pas l'inégalité stricte.

]]> $[-3\,;\,-1[ \cup ]2\,;\,3]$

]]> Erreur : sur ces intervalles, la courbe de $f$ est au-dessus de
celle de $g$ : c'est l'ensemble des solutions de $f(x) > g(x)$.

]]> $\{-1\,;\,2\}$

]]> Erreur : ce sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$, pas
de l'inéquation.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q48 : Résoudre graphiquement f(x) = 3 Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, tracée pour x entre -2 et 2, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-2 ; 3), (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). Une droite horizontale en pointillés d'équation y = 3 est tracée.

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie
sur $[-2\,;\,2]$. Quelles sont les solutions de l'équation $f(x) = 3$ ?

]]> Résoudre graphiquement $f(x) = k$, c'est lire les abscisses des points
de la courbe d'ordonnée $k$, c'est-à-dire de ses points d'intersection
avec la droite horizontale $y = k$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\{2\}$

]]> La courbe atteint aussi la hauteur $3$ pour $x = -2$ : l'équation a deux
solutions.

]]> $\{-2\,;\,2\}$

]]> Bonne réponse : les points de la courbe d'ordonnée $3$ sont $(-2\,;\,3)$
et $(2\,;\,3)$ ; les solutions sont leurs abscisses.

]]> $\{8\}$

]]> $3$ a été lu comme une abscisse. On cherche les abscisses des points de
la courbe dont l'ordonnée vaut $3$.

]]> $\{3\}$

]]> $3$ est la valeur de $f(x)$ ; les solutions sont des valeurs de $x$,
lues sur l'axe des abscisses.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q49 : Résoudre graphiquement f(x) < 0 Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, tracée pour x entre -2 et 2, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-2 ; 3), (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3).

La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie
sur $[-2\,;\,2]$. Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$f(x) < 0$ ?

]]> Résoudre graphiquement $f(x) < 0$, c'est lire les abscisses des points
de la courbe situés strictement sous l'axe des abscisses.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $[-1\,;\,1]$

]]> En $-1$ et en $1$, $f(x) = 0$ : l'inégalité est stricte, les bornes sont
exclues.

]]> $\{-1\,;\,1\}$

]]> Ce sont les solutions de $f(x) = 0$. On cherche les $x$ pour lesquels la
courbe est sous l'axe des abscisses.

]]> $]-1\,;\,1[$

]]> Bonne réponse : la courbe est strictement sous l'axe des abscisses entre
$-1$ et $1$, bornes exclues.

]]> $[-2\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,2]$

]]> Sur ces intervalles, la courbe est au-dessus de l'axe : c'est l'ensemble
des solutions de $f(x) > 0$.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q50 : Résoudre graphiquement f(x) = g(x) Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le haut, tracée pour x entre -2 et 2, de sommet (0 ; -1), passant par les points (-2 ; 3), (-1 ; 0), (1 ; 0) et (2 ; 3). La courbe de g est une droite passant par (-2 ; -1), (-1 ; 0), (0 ; 1) et (2 ; 3).

Les courbes ci-dessous représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies
sur $[-2\,;\,2]$. Quelles sont les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$
?

]]> Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$, c'est lire les abscisses des
points d'intersection des deux courbes.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $\{-1\,;\,2\}$

]]> Bonne réponse : les courbes se coupent aux points $(-1\,;\,0)$ et
$(2\,;\,3)$ ; les solutions sont leurs abscisses.

]]> $\{0\,;\,3\}$

]]> Ce sont les ordonnées des points d'intersection. Les solutions sont des
valeurs de $x$ : $-1$ et $2$.

]]> $\{-1\}$

]]> Les courbes se coupent aussi au point $(2\,;\,3)$ : l'équation a deux
solutions.

]]> $\{(-1\,;\,0)\,;\,(2\,;\,3)\}$

]]> Ce sont les points d'intersection. Les solutions de l'équation sont
leurs abscisses seulement.

]]> Fonctions, images et antécédents — Q51 : Une fonction définie sur les entiers Une chaîne de vidéos compte $50$ abonnés, puis gagne $3$ abonnés chaque
semaine. Le nombre d'abonnés après $n$ semaines est
$u(n) = 50 + 3n$, pour tout entier naturel $n$. Que vaut
$u(4)$ ?

]]> Une fonction définie sur $\mathbb{N}$ modélise un phénomène
discret ; on note souvent $u(n)$ l'image de l'entier $n$.

]]> 1.0 0.0 0 true true abc $62$

]]> Bonne réponse : $u(4) = 50 + 3 \times 4 = 62$.

]]> $212$

]]> Erreur de priorité : $(50 + 3) \times 4$ multiplie aussi
l'effectif de départ. Seul $3n$ dépend du nombre de
semaines.

]]> $131$

]]> Erreur : $3n$ signifie $3 \times n$, et non $3^n$. Le
nombre d'abonnés augmente de $3$ par semaine.

]]> $57$

]]> Erreur : on a additionné $4$ au lieu de multiplier :
$3n = 3 \times 4$.

]]>