$course$/QCM de maths/Seconde/Nombres réels et intervalles
Ensembles de nombres ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$,
$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$), droite numérique, intervalles et
appartenance, valeur absolue comme distance, inéquations
$|x - a| \leq r$, encadrements décimaux et arrondis.]]>
Nombres réels et intervalles — Q01 : Borne ouverte ou fermée
Le nombre $5$ appartient-il à l'intervalle $[2\,;\,5[$ ?]]>
$[2\,;\,5[ \,= \{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x < 5\}$ :
borne gauche incluse (crochet fermé), borne droite exclue
(crochet ouvert). Donc $2 \in [2\,;\,5[$ mais
$5 \notin [2\,;\,5[$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : le crochet ouvert exclut la borne $5$]]>
Bonne réponse : $[2\,;\,5[$ contient les réels $x$ tels
que $2 \leq x < 5$. L'inégalité stricte exclut $5$.]]>
Oui : $5$ est écrit dans l'intervalle]]>
Erreur : les bornes écrites délimitent l'intervalle mais
n'y appartiennent que si le crochet est fermé (tourné
vers l'intérieur). Ici il est ouvert : $5$ exclu.]]>
Oui, car $5 \geq 2$]]>
Incomplet : il faut vérifier les deux conditions.
$5 \geq 2$ certes, mais la seconde exige $x < 5$, ce que
$5$ ne vérifie pas.]]>
Non, car $5$ n'est pas entre $2$ et $5$]]>
Raison imprécise : $2$ appartient bien à l'intervalle (sa
borne est fermée). C'est le crochet ouvert en $5$ qui
exclut $5$, pas une position « entre ».]]>
Nombres réels et intervalles — Q02 : Traduire une inégalité en intervalle
À quel intervalle correspond la condition $x \geq 3$ ?]]>
$x \geq 3 \Leftrightarrow x \in [3\,;\,+\infty[$. Inégalité large ($\geq$, $\leq$) : crochet fermé sur la borne ; inégalité stricte ($>$, $<$) : crochet ouvert ; du côté de $\pm\infty$, le
crochet est toujours ouvert.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[3\,;\,+\infty[$]]>
Bonne réponse : « supérieur ou égal » inclut $3$ (crochet
fermé), et l'infini est toujours exclu (crochet ouvert).]]>
$]3\,;\,+\infty[$]]>
Erreur : ce crochet ouvert exclut $3$, ce qui traduirait
l'inégalité stricte $x > 3$.]]>
$]-\infty\,;\,3]$]]>
Sens inversé : cet intervalle contient les nombres
inférieurs ou égaux à $3$.]]>
$[3\,;\,+\infty]$]]>
Notation incorrecte : $+\infty$ n'est pas un nombre, on ne
peut jamais fermer le crochet de son côté.]]>
Nombres réels et intervalles — Q03 : Valeur absolue et distance
Pour deux réels $x$ et $a$, que représente $|x - a|$ ?]]>
$|x - a|$ = distance entre les points d'abscisses $x$ et $a$.
Cas particulier : $|x| = |x - 0|$ est la distance de $x$ à
$0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
La distance entre $x$ et $a$ sur la droite numérique]]>
Bonne réponse : c'est l'interprétation officielle de la
valeur absolue au programme : $|5 - 2| = 3$, distance
entre $5$ et $2$.]]>
Le nombre $x - a$ rendu positif seulement si $x > 0$]]>
Erreur : la valeur absolue rend la différence positive
quel que soit le signe de $x$ : $|2 - 5| = 3$ aussi.]]>
Le plus grand des deux nombres $x$ et $a$]]>
Erreur : $|x - a|$ mesure leur écart, pas leur
maximum : $|7 - 4| = 3$, alors que le plus grand est $7$.]]>
Le milieu de $x$ et $a$]]>
Erreur : le milieu est $\dfrac{x + a}{2}$. La valeur
absolue de la différence donne la longueur du segment,
pas son centre.]]>
Nombres réels et intervalles — Q04 : Résoudre une inéquation $|x| \leq r$
Quel est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \leq 4$ ?]]>
$|x| \leq r$ (avec $r > 0$) $\Leftrightarrow$
$-r \leq x \leq r$ $\Leftrightarrow$ $x \in [-r\,;\,r]$ :
l'ensemble des points à distance au plus $r$ de $0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[-4\,;\,4]$]]>
Bonne réponse : $|x| \leq 4$ signifie « $x$ est à distance
au plus $4$ de $0$ », donc entre $-4$ et $4$.]]>
$[0\,;\,4]$]]>
Oubli des négatifs : $|-3| = 3 \leq 4$, donc $-3$ est
solution. La distance à $0$ ignore le signe.]]>
$]-\infty\,;\,4]$]]>
Erreur : $-10$ vérifierait $x \leq 4$ mais
$|-10| = 10 > 4$. La valeur absolue borne des deux
côtés.]]>
$\{-4\,;\,4\}$]]>
Erreur : ces deux nombres sont les solutions de
l'équation $|x| = 4$. L'inéquation large admet tout
l'intervalle entre eux.]]>
Nombres réels et intervalles — Q05 : La nature de $\dfrac{1}{3}$
Quelle est la nature du nombre $\dfrac{1}{3}$ ?]]>
Emboîtements : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
$\dfrac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\dfrac{1}{3} \notin
\mathbb{D}$ : tout rationnel n'est pas décimal.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Rationnel, mais pas décimal]]>
Bonne réponse : c'est un quotient d'entiers (rationnel),
mais son écriture décimale $0{,}333\ldots$ ne s'arrête
jamais : il n'est pas décimal (démonstration au
programme).]]>
Décimal, car il s'écrit $0{,}33$]]>
Erreur : $0{,}33$ n'est qu'une valeur approchée :
$3 \times 0{,}33 = 0{,}99 \neq 1$. Aucune écriture décimale
finie n'égale $\dfrac{1}{3}$.]]>
Irrationnel, car son écriture décimale est infinie]]>
Erreur : une écriture infinie ne suffit pas à rendre un
nombre irrationnel. $\dfrac{1}{3}$ est un quotient
d'entiers, donc rationnel (son développement est infini
mais périodique).]]>
Entier, une fois simplifié]]>
Erreur : $\dfrac{1}{3}$ est déjà irréductible et vaut
environ $0{,}33$ : ce n'est pas un entier.]]>
Nombres réels et intervalles — Q06 : La nature de $\sqrt{2}$
Quelle est la nature du nombre $\sqrt{2}$ ?]]>
$\sqrt{2}$ est réel (constructible géométriquement) mais
irrationnel : aucune fraction d'entiers ne l'égale. Les
irrationnels remplissent $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$,
avec $\pi$ comme autre exemple du programme.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Irrationnel]]>
Bonne réponse : $\sqrt{2}$ n'est le quotient d'aucun
couple d'entiers. Son irrationalité est une
démonstration du programme (raisonnement par l'absurde
avec la parité).]]>
Rationnel, car $\sqrt{2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$]]>
Erreur : un rationnel est un quotient de deux
entiers ; or $\sqrt{2}$ au dénominateur n'est pas
entier. Cette écriture ne prouve rien.]]>
Décimal, car $\sqrt{2} = 1{,}414$]]>
Erreur : $1{,}414$ est une approximation
($1{,}414^2 = 1{,}999396 \neq 2$). Aucun décimal n'a un
carré exactement égal à $2$.]]>
Ce n'est pas un nombre réel]]>
Erreur : $\sqrt{2}$ est parfaitement réel : c'est la
longueur de la diagonale d'un carré de côté $1$, un point
précis de la droite numérique.]]>
Nombres réels et intervalles — Q07 : Encadrement décimal
Quel est l'encadrement de $\pi$ d'amplitude $10^{-2}$ par des
décimaux ?]]>
Encadrer un réel à $10^{-n}$ près : le placer entre deux
décimaux consécutifs à $n$ chiffres. Pour $\pi$ :
$3{,}14 < \pi < 3{,}15$ (amplitude $10^{-2}$).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3{,}14 < \pi < 3{,}15$]]>
Bonne réponse : les deux bornes sont des décimaux à deux
chiffres après la virgule et leur écart vaut exactement
$10^{-2} = 0{,}01$.]]>
$3{,}1 < \pi < 3{,}2$]]>
Erreur d'amplitude : cet encadrement est correct mais son
amplitude vaut $0{,}1 = 10^{-1}$, dix fois trop large.]]>
$3{,}14 < \pi < 3{,}16$]]>
Erreur : l'amplitude vaut ici $0{,}02 = 2 \times 10^{-2}$.
L'encadrement demandé serre $\pi$ entre deux décimaux
consécutifs au centième.]]>
$\pi = 3{,}14$]]>
Erreur : $3{,}14$ est une valeur approchée, pas une
égalité : $\pi$ est irrationnel, aucun décimal ne l'égale.
D'où l'intérêt des encadrements.]]>
Nombres réels et intervalles — Q08 : Intersection d'intervalles
Que vaut l'intersection $[1\,;\,5] \cap [3\,;\,8]$ ?]]>
Sur la droite numérique, l'intersection est la zone de
recouvrement : $[1\,;\,5] \cap [3\,;\,8] = [3\,;\,5]$
(du plus grand début au plus petit bout).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[3\,;\,5]$]]>
Bonne réponse : l'intersection regroupe les nombres
communs, ceux qui vérifient à la fois $1 \leq x \leq 5$ et
$3 \leq x \leq 8$, soit $3 \leq x \leq 5$.]]>
$[1\,;\,8]$]]>
Confusion avec la réunion : $[1\,;\,8]$ regroupe les
nombres qui sont dans l'un ou l'autre. L'intersection
garde le « et ».]]>
$[5\,;\,3]$]]>
Notation invalide : les bornes d'un intervalle s'écrivent
dans l'ordre croissant. La zone commune est $[3\,;\,5]$.]]>
$\varnothing$]]>
Erreur : les deux intervalles se chevauchent (par exemple
$4$ appartient aux deux). L'intersection est vide
seulement quand ils sont disjoints.]]>
Nombres réels et intervalles — Q09 : Réunion d'intervalles
Que vaut la réunion $[1\,;\,3[ \,\cup\, [3\,;\,5]$ ?]]>
La réunion contient tous les nombres appartenant à l'un ou à l'autre.
Les deux intervalles se raccordent exactement en $3$ :
$[1\,;\,3[ \,\cup\, [3\,;\,5] = [1\,;\,5]$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[1\,;\,5]$]]>
Bonne réponse : le nombre $3$, exclu du premier
intervalle, est récupéré par le second (crochet fermé) :
aucun trou, la réunion est l'intervalle complet.]]>
$[1\,;\,5] \setminus \{3\}$]]>
Erreur : $3$ appartient bien à la réunion, car
$3 \in [3\,;\,5]$. Il suffit d'être dans au moins un
des deux intervalles.]]>
$[1\,;\,3[$]]>
Erreur : la réunion ne garde pas que le premier
intervalle ; elle ajoute tout $[3\,;\,5]$.]]>
$\{3\}$]]>
Confusion avec l'intersection (qui vaudrait d'ailleurs
$\varnothing$ ici, $3$ n'étant pas dans le premier). La
réunion rassemble tout : $[1\,;\,5]$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q10 : Résoudre une inéquation $|x - a| \leq r$
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$|x - 3| \leq 1$ ?]]>
Lecture géométrique (au programme) : $|x - a| \leq r$
$\Leftrightarrow$ $x \in [a - r\,;\,a + r]$, intervalle de
centre $a$ et de rayon $r$. Ici : $[2\,;\,4]$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[2\,;\,4]$]]>
Bonne réponse : $|x - 3| \leq 1$ signifie « $x$ à distance
au plus $1$ de $3$ » : l'intervalle de centre $3$ et de
rayon $1$, soit $[3 - 1\,;\,3 + 1]$.]]>
$[-1\,;\,1]$]]>
Erreur de centre : $[-1\,;\,1]$ résout $|x| \leq 1$
(distance à $0$). Ici la distance se mesure à $3$.]]>
$]2\,;\,4[$]]>
Erreur de bornes : l'inégalité est large ($\leq$),
donc $2$ et $4$ (à distance exactement $1$) sont
solutions : crochets fermés.]]>
$[3\,;\,4]$]]>
Oubli du côté gauche : $2{,}5$ vérifie
$|2{,}5 - 3| = 0{,}5 \leq 1$. La distance joue des deux
côtés de $3$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q11 : La chaîne des ensembles de nombres
Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?]]>
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, chaque inclusion étant
stricte : $-2 \in \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$,
$0{,}7 \in \mathbb{D}\setminus\mathbb{Z}$,
$\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}$,
$\sqrt{2} \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset
\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$]]>
Bonne réponse : chaque ensemble élargit le précédent :
entiers naturels, relatifs, décimaux, rationnels, réels.]]>
$\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset
\mathbb{R}$]]>
Erreur au départ : $\mathbb{Z}$ contient les négatifs, que
$\mathbb{N}$ n'a pas : c'est $\mathbb{N} \subset
\mathbb{Z}$.]]>
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{R}$]]>
Erreur au milieu : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ et non
l'inverse : $\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être
décimal.]]>
$\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}$, car tout réel a une
écriture décimale]]>
Erreur : $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont réels mais pas
rationnels : $\mathbb{Q}$ est strictement plus petit que
$\mathbb{R}$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q12 : Arrondi au centième
Quel est l'arrondi au centième du nombre $2{,}4567$ ?]]>
Arrondir au centième : garder deux chiffres après la virgule
et regarder le troisième : s'il vaut $5$ ou plus, on augmente
le dernier chiffre conservé. $2{,}45\underline{6}7 \to
2{,}46$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2{,}46$]]>
Bonne réponse : le chiffre suivant ($6 \geq 5$) fait
arrondir au-dessus : $2{,}4567 \approx 2{,}46$.]]>
$2{,}45$]]>
C'est la troncature (on coupe sans regarder la
suite). L'arrondi observe le chiffre suivant : $6$, donc
on monte à $2{,}46$.]]>
$2{,}5$]]>
Erreur de rang : $2{,}5$ est l'arrondi au dixième. Au
centième, on garde deux chiffres après la virgule.]]>
$2{,}457$]]>
Erreur de rang : trois chiffres après la virgule, c'est
l'arrondi au millième.]]>
Nombres réels et intervalles — Q13 : La nature de $\pi$
Dans quels ensembles de nombres se trouve $\pi$ ?]]>
$\pi$ et $\sqrt{2}$ : les deux irrationnels de référence :
dans $\mathbb{R}$, hors de $\mathbb{Q}$. Leur développement
décimal est infini SANS période : aucune fraction ne les
atteint.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\pi \in \mathbb{R}$ mais $\pi \notin \mathbb{Q}$ :
c'est un irrationnel]]>
Bonne réponse : $\pi$ ne s'écrit comme aucune fraction
d'entiers (résultat admis) : réel, mais ni rationnel, ni
décimal, ni entier.]]>
$\pi \in \mathbb{Q}$, car $\pi = \dfrac{22}{7}$]]>
Erreur célèbre : $\frac{22}{7} \approx 3{,}142857$
n'est qu'une approximation : $\pi$ n'est égal à
aucune fraction.]]>
$\pi \in \mathbb{D}$, car $\pi = 3{,}14$]]>
Erreur : $3{,}14$ est un arrondi : les décimales de
$\pi$ ne s'arrêtent jamais (et ne se répètent pas).]]>
$\pi \notin \mathbb{R}$ : c'est un nombre « spécial »]]>
Erreur : $\pi$ est un point parfaitement réel de la
droite numérique (entre $3{,}14$ et $3{,}15$) :
« irrationnel » ne veut pas dire « irréel ».]]>
Nombres réels et intervalles — Q14 : Traduire $x \geq 2$
Quel intervalle traduit la condition $x \geq 2$ ?]]>
Inégalité large ($\geq$, $\leq$) : borne incluse, crochet
fermé ; stricte : crochet ouvert ; infini : toujours ouvert.
Trois règles, zéro exception.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[2\ ;\ +\infty[$]]>
Bonne réponse : borne $2$ incluse (crochet fermé,
car $\geq$), et ouvert du côté de l'infini (qui n'est
pas un nombre).]]>
$]2\ ;\ +\infty[$]]>
Borne exclue à tort : $\geq$ inclut la valeur $2$ :
crochet fermé en $2$.]]>
$]-\infty\ ;\ 2]$]]>
Sens inversé : cet intervalle traduit $x \leq 2$ : la
condition $\geq$ regarde vers la droite.]]>
$[2\ ;\ +\infty]$]]>
Crochet impossible : $+\infty$ n'est pas un nombre : le
crochet est toujours ouvert du côté de l'infini.]]>
Nombres réels et intervalles — Q15 : $-3$ et les ensembles de nombres
Quelle affirmation est correcte au sujet de $-3$ ?]]>
Emboîtement : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset
\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ : un
nombre appartient à son premier étage ET à tous les
suivants. $-3$ entre en $\mathbb{Z}$ et monte jusqu'à
$\mathbb{R}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$]]>
Bonne réponse : $\mathbb{N}$ ne contient que les entiers
positifs ou nul ; les négatifs entrent au niveau de
$\mathbb{Z}$ (entiers relatifs).]]>
$-3 \in \mathbb{N}$ et $-3 \in \mathbb{Z}$]]>
Erreur : $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ ne contient
aucun négatif ; $-3$ n'entre qu'à l'étage $\mathbb{Z}$.]]>
$-3 \in \mathbb{Z}$ mais $-3 \notin \mathbb{Q}$]]>
Erreur : $-3 = \frac{-3}{1}$ est une fraction d'entiers
: tout entier relatif est aussi rationnel (les ensembles
s'emboîtent).]]>
$-3 \in \mathbb{Q}$ mais $-3 \notin \mathbb{R}$]]>
Erreur : tout rationnel est réel. $-3$ a sa place sur la
droite numérique, trois unités à gauche de zéro.]]>
Nombres réels et intervalles — Q16 : $\dfrac{1}{7}$ est-il décimal ?
Le nombre $\dfrac{1}{7}$ est-il un nombre décimal ?]]>
Hiérarchie fine : un décimal a un développement fini ; un rationnel, un développement fini ou périodique ; un irrationnel, un développement infini sans période.
$\frac{1}{4} = 0{,}25$ (décimal), $\frac{1}{7}$ (rationnel
non décimal), $\sqrt{2}$ (irrationnel).]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : son écriture décimale ne s'arrête jamais]]>
Bonne réponse : un nombre décimal a un nombre FINI de
chiffres après la virgule. Or $\frac{1}{7} =
0{,}142857\,142857\dots$ boucle sur le motif $142857$
sans fin : rationnel, mais pas décimal.]]>
Oui : il a des chiffres après la virgule]]>
Critère erroné : avoir des décimales ne suffit pas : il
faut qu'elles s'arrêtent ($0{,}25$ oui,
$0{,}142857\dots$ non).]]>
Oui : toute fraction d'entiers est un nombre décimal]]>
Erreur : seules les fractions dont le dénominateur
(simplifié) n'a que des facteurs $2$ et $5$ sont
décimales : $7$ n'en fait pas partie.]]>
Non : $\dfrac{1}{7}$ est un nombre irrationnel]]>
Trop loin : c'est une fraction d'entiers, donc
rationnel : il est non décimal, mais parfaitement
rationnel (ses décimales se répètent).]]>
Nombres réels et intervalles — Q17 : $\in$ ou $\subset$ ?
Quelle écriture est correcte ?]]>
$\in$ : « est un élément de » (nombre → ensemble) ;
$\subset$ : « est contenu dans » (ensemble → ensemble). Test
rapide : ce qui est à gauche est-il un nombre ou une
collection ?]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2 \in \mathbb{N}$ et $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$]]>
Bonne réponse : $\in$ relie un élément à un ensemble
($2$ est un nombre), $\subset$ relie deux ensembles
($\mathbb{N}$ est contenu dans $\mathbb{Z}$).]]>
$2 \subset \mathbb{N}$ et $\mathbb{N} \subset
\mathbb{Z}$]]>
Symbole inadapté pour $2$ : un nombre est un
élément, il appartient ($\in$) à $\mathbb{N}$, il
n'y est pas inclus. La seconde partie, $\mathbb{N}
\subset \mathbb{Z}$, est juste.]]>
$2 \in \mathbb{N}$ et $\mathbb{N} \in \mathbb{Z}$]]>
Symbole inadapté pour $\mathbb{N}$ : un ensemble est
inclus ($\subset$) dans un autre, il ne lui
appartient pas. La première partie, $2 \in \mathbb{N}$,
est juste.]]>
Les deux symboles sont interchangeables]]>
Erreur : ils décrivent deux relations de natures
différentes : appartenir (élément-ensemble) et être
inclus (ensemble-ensemble).]]>
Nombres réels et intervalles — Q18 : Comparer $\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$
Lequel des deux nombres $\dfrac{3}{7}$ et $0{,}43$ est le
plus grand ?]]>
Comparer fraction et décimal : mettre au même format
(division posée) ou produit en croix ($3 \times 100$ contre
$43 \times 7$). Les écarts minuscules ($300$ contre $301$)
justifient l'exigence de calcul exact.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}43$, car $\dfrac{3}{7} = 0{,}4285\dots < 0{,}43$]]>
Bonne réponse : diviser (ou comparer $3 \times 100$ et
$43 \times 7 = 301$ : $300 < 301$) : la fraction est
légèrement en dessous.]]>
$\dfrac{3}{7}$, car une fraction est plus précise]]>
Confusion : la précision d'écriture ne dit rien de la
taille : seul le calcul compare ($0{,}4286 <
0{,}43$).]]>
Ils sont égaux]]>
Erreur : $\frac{3}{7}$ n'est pas décimal : il ne peut
pas être exactement $0{,}43$ (produit en croix : $300
\neq 301$).]]>
$\dfrac{3}{7}$, car $3 + 7 = 10 > 0{,}43$]]>
Opération sans sens : additionner numérateur et
dénominateur ne mesure rien : on compare par division ou
produit en croix.]]>
Nombres réels et intervalles — Q19 : Un intervalle non borné
Par quelle inégalité se traduit l'appartenance
$x \in \, ]-\infty\,;\,5[$ ?]]>
Le symbole $-\infty$ est toujours accompagné d'un crochet ouvert, car ce
n'est pas un nombre. Seule la borne finie décide du type de crochet.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$x < 5$]]>
Bonne réponse : la borne $5$ est ouverte, donc exclue, et rien ne
limite $x$ du côté des valeurs négatives.]]>
$x \leq 5$]]>
Borne incluse à tort : le crochet ouvert devant $5$ signifie que
cette valeur ne fait pas partie de l'intervalle.]]>
$x > 5$]]>
Sens inversé : l'intervalle part de $-\infty$, il contient donc les
nombres situés en dessous de $5$.]]>
$-5 < x < 5$]]>
Borne inférieure inventée : $-\infty$ n'est pas un nombre, aucune
valeur ne borne l'intervalle par le bas.]]>
Nombres réels et intervalles — Q20 : Résoudre $|x| \geq 3$
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $|x| \geq 3$ ?]]>
L'écriture $|x|$ mesure la distance de $x$ à $0$. Une distance supérieure
ou égale à $3$ correspond aux deux demi-droites éloignées de l'origine, et
non à un intervalle centré.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$]-\infty\,;\,-3] \cup [3\,;\,+\infty[$]]>
Bonne réponse : être à une distance d'au moins $3$ de l'origine, c'est
être en dessous de $-3$ ou au-dessus de $3$.]]>
$[-3\,;\,3]$]]>
Inégalité retournée : cet intervalle est l'ensemble des solutions de
$|x| \leq 3$. Pour $x = 0$, on a $|0| = 0 < 3$.]]>
$[3\,;\,+\infty[$]]>
Moitié oubliée : $x = -5$ convient aussi, car $|-5| = 5 \geq 3$.]]>
$]-\infty\,;\,-3] \cup [0\,;\,+\infty[$]]>
Borne fausse : $x = 1$ appartiendrait à cet ensemble alors que
$|1| = 1 < 3$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q21 : Distance entre deux nombres
Quelle est la distance entre les nombres $-2$ et $5$ sur la droite
numérique ?]]>
La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $|a - b|$, et cette valeur ne
dépend pas de l'ordre dans lequel on les soustrait.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$7$]]>
Bonne réponse : la distance vaut $|{-2} - 5| = |{-7}| = 7$.
On la lit aussi en comptant de $-2$ à $0$, puis de $0$ à $5$.]]>
$3$]]>
Signe oublié : le calcul fait est $-2 + 5$. Une distance se calcule
avec une soustraction, puis une valeur absolue.]]>
$-7$]]>
Valeur absolue oubliée : une distance est toujours positive, c'est le
rôle des barres dans $|{-2} - 5|$.]]>
$5$]]>
Un seul nombre pris en compte : $5$ est la distance de $0$ à $5$,
alors que le point de départ est $-2$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q22 : Une intersection vide
Que vaut $[0\,;\,2] \cap \, ]3\,;\,5]$ ?]]>
L'intersection réunit les nombres appartenant aux deux intervalles à la
fois. Un schéma sur la droite numérique montre ici deux morceaux séparés.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'ensemble vide]]>
Bonne réponse : aucun nombre n'est à la fois inférieur à $2$ et
supérieur à $3$, les deux intervalles sont disjoints.]]>
$[0\,;\,5]$]]>
Réunion et intersection confondues : $[0\,;\,5]$ contient $2{,}5$, qui
n'appartient à aucun des deux intervalles.]]>
$]2\,;\,3[$]]>
Intervalle inventé : les nombres entre $2$ et $3$ ne sont dans aucun
des deux ensembles, encore moins dans les deux.]]>
$[0\,;\,2] \cup \, ]3\,;\,5]$]]>
Symbole mal lu : $\cap$ demande les nombres communs, alors que $\cup$
rassemblerait tous les nombres des deux intervalles.]]>
Nombres réels et intervalles — Q23 : Écrire un intervalle avec une valeur absolue
Comment l'intervalle $[2\,;\,6]$ s'écrit-il à l'aide d'une valeur
absolue ?]]>
Tout intervalle fermé borné s'écrit $|x - c| \leq r$, où $c$ est son
centre et $r$ son rayon. On les obtient par la demi-somme et la
demi-différence des bornes.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$|x - 4| \leq 2$]]>
Bonne réponse : le centre de l'intervalle est $4$ et son rayon vaut
$2$, puisque $6 - 2 = 4$ et que la moitié de $4$ vaut $2$.]]>
$|x - 2| \leq 6$]]>
Bornes recopiées telles quelles : cette inéquation décrit
$[-4\,;\,8]$, un intervalle bien plus large.]]>
$|x - 4| \leq 4$]]>
Rayon doublé : cette inéquation décrit $[0\,;\,8]$. Le rayon est la
moitié de la longueur de l'intervalle.]]>
$|x + 4| \leq 2$]]>
Signe du centre : cette inéquation décrit $[-6\,;\,-2]$, symétrique de
l'intervalle cherché par rapport à l'origine.]]>
Nombres réels et intervalles — Q24 : Troncature ou arrondi
Tronquer un nombre positif au centième consiste à supprimer tous les
chiffres situés après le chiffre des centièmes. Quel nombre obtient-on
en tronquant $2{,}478$ au centième ?]]>
La troncature coupe l'écriture décimale au rang demandé. L'arrondi, lui,
choisit la valeur approchée la plus proche, ce qui peut faire augmenter le
dernier chiffre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$2{,}47$]]>
Bonne réponse : tronquer consiste à couper après le deuxième chiffre
décimal, sans regarder les suivants.]]>
$2{,}48$]]>
C'est l'arrondi, pas la troncature : l'arrondi tient compte du
chiffre suivant, la troncature l'ignore.]]>
$2{,}4$]]>
Rang mal choisi : $2{,}4$ est la troncature au dixième. Le centième
correspond au deuxième chiffre après la virgule.]]>
$2{,}5$]]>
Double erreur : c'est un arrondi, et au dixième au lieu du centième.]]>
Nombres réels et intervalles — Q25 : Somme de deux irrationnels
La somme de deux nombres irrationnels est-elle toujours irrationnelle ?]]>
L'ensemble des irrationnels n'est pas stable par addition. Un seul
contre-exemple suffit à réfuter une affirmation du type « toujours ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, elle peut être rationnelle]]>
Bonne réponse : $\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ sont irrationnels, et leur
somme vaut $0$, qui est entier.]]>
Oui, toujours]]>
Contre-exemple immédiat : $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$, un nombre
rationnel.]]>
Oui, sauf si les deux nombres sont égaux]]>
Condition inutile : $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ reste
irrationnel, alors que $\sqrt{2} + (-\sqrt{2})$ ne l'est pas.]]>
Non, elle est toujours rationnelle]]>
Affirmation trop forte : $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ est encore
irrationnel.]]>
Nombres réels et intervalles — Q26 : Un décimal est-il rationnel ?
Tout nombre décimal est-il un nombre rationnel ?]]>
Les ensembles s'emboîtent : $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, l'inclusion
étant stricte. Un décimal est une fraction particulière, de dénominateur
$10$, $100$, $1\,000$, et ainsi de suite.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Oui, tout décimal est rationnel]]>
Bonne réponse : un décimal s'écrit comme une fraction de dénominateur
une puissance de $10$, par exemple $0{,}37 = \dfrac{37}{100}$.]]>
Non, seuls les entiers le sont]]>
Les entiers sont rationnels, mais ils ne sont pas les seuls :
$0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ l'est aussi.]]>
Non, cela dépend du nombre de décimales]]>
Un décimal a par définition un nombre fini de décimales, ce qui donne
toujours une écriture fractionnaire.]]>
Oui, et tout rationnel est décimal]]>
La réciproque est fausse : $\dfrac{1}{3}$ est rationnel sans être
décimal, son écriture ne s'arrête jamais.]]>
Nombres réels et intervalles — Q27 : Encadrer un opposé
On sait que $2 \leq x \leq 5$. Quel encadrement de $-x$ en découle ?]]>
Multiplier un encadrement par un nombre négatif renverse le sens des
inégalités. Une vérification sur une valeur, ici $x = 3$, évite l'erreur.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-5 \leq -x \leq -2$]]>
Bonne réponse : multiplier par $-1$ renverse les inégalités, donc les
bornes échangent leur rôle.]]>
$-2 \leq -x \leq -5$]]>
Encadrement impossible à lire : la borne de gauche doit être la plus
petite, or $-5 < -2$.]]>
$2 \leq -x \leq 5$]]>
Signe non reporté : si $x$ vaut $3$, alors $-x$ vaut $-3$, qui n'est
pas compris entre $2$ et $5$.]]>
$-5 \leq -x \leq 2$]]>
Une seule borne traitée : la borne $2$ devient $-2$ elle aussi,
puisque les deux membres changent de signe.]]>
Nombres réels et intervalles — Q28 : Encadrer une somme
On sait que $1 \leq x \leq 3$ et $2 \leq y \leq 4$.
Quel encadrement de $x + y$ en découle ?]]>
Un encadrement s'additionne terme à terme, sans changer le sens des
inégalités. C'est faux pour la soustraction, où il faut d'abord encadrer
l'opposé.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$3 \leq x + y \leq 7$]]>
Bonne réponse : on additionne les bornes de gauche entre elles, puis
celles de droite entre elles.]]>
$2 \leq x + y \leq 12$]]>
Bornes multipliées : $2$ et $12$ encadreraient le produit $xy$, pas
la somme.]]>
$1 \leq x + y \leq 4$]]>
Une seule variable prise en compte : pour $x = 3$ et $y = 4$, la somme
vaut $7$, hors de cet encadrement.]]>
$3 \leq x + y \leq 12$]]>
Bornes mélangées : la borne haute s'obtient en ajoutant $3$ et $4$,
ce qui donne $7$ et non $12$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q29 : Valeur exacte et valeur approchée
Peut-on écrire $\sqrt{2} = 1{,}414$ ?]]>
Le signe $=$ relie deux écritures du même nombre. Pour une valeur
approchée on utilise $\approx$, et l'on précise le rang de l'arrondi.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non, $1{,}414$ n'est qu'une valeur approchée]]>
Bonne réponse : $1{,}414^2 = 1{,}999396$, différent de $2$. La valeur
exacte s'écrit $\sqrt{2}$.]]>
Oui, la calculatrice donne ce résultat]]>
La calculatrice affiche un arrondi : $\sqrt{2}$ a un développement
décimal infini et non périodique.]]>
Oui, à condition d'écrire trois décimales]]>
Aucun nombre fini de décimales ne convient, puisque $\sqrt{2}$ est
irrationnel.]]>
Non, car $\sqrt{2}$ est négatif]]>
Une racine carrée est toujours positive ou nulle : $\sqrt{2}$ vaut
environ $1{,}414$, c'est bien un nombre positif.]]>
Nombres réels et intervalles — Q30 : L'écriture ne dit pas tout
À quel ensemble le nombre $\dfrac{9}{3}$ appartient-il ?]]>
Pour déterminer la nature d'un nombre, on le met d'abord sous sa forme la
plus simple. Une même valeur admet plusieurs écritures, dont certaines
masquent son appartenance.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
À $\mathbb{N}$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{9}{3} = 3$, un entier naturel. L'écriture
fractionnaire ne change pas la nature du nombre.]]>
À $\mathbb{Q}$ mais pas à $\mathbb{Z}$]]>
Écriture prise pour la nature : la fraction se simplifie en $3$, qui
appartient bien à $\mathbb{Z}$.]]>
À $\mathbb{D}$ mais pas à $\mathbb{Z}$]]>
Tout entier est décimal, et $\dfrac{9}{3}$ vaut $3$ : les deux
appartenances sont vraies en même temps.]]>
À $\mathbb{R}$ seulement]]>
Réponse trop large : $3$ appartient à $\mathbb{R}$, mais aussi à tous
les ensembles emboîtés en dessous.]]>
Nombres réels et intervalles — Q31 : L'intervalle des réels négatifs
Quel intervalle est formé exactement des réels strictement négatifs ?]]>
Un intervalle non borné traduit une seule inégalité : $x < 0$ donne
$]-\infty\,;\,0[$, avec un crochet ouvert du côté de l'infini.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$]-\infty\,;\,0[$]]>
Bonne réponse : un réel strictement négatif vérifie $x < 0$, ce que
traduit le crochet ouvert en $0$.]]>
$]-\infty\,;\,0]$]]>
Borne de trop : ce crochet fermé ajoute $0$, qui n'est pas
strictement négatif. Cet intervalle traduit $x \leq 0$.]]>
$]0\,;\,+\infty[$]]>
Sens inversé : cet intervalle rassemble les réels strictement
positifs, ceux qui vérifient $x > 0$.]]>
$[-\infty\,;\,0[$]]>
Notation incorrecte : $-\infty$ n'est pas un nombre, le crochet qui
le borde reste toujours ouvert.]]>
Nombres réels et intervalles — Q32 : Une réunion qui ne se simplifie pas
Que vaut la réunion $]-\infty\,;\,1] \,\cup\, ]4\,;\,+\infty[$ ?]]>
Deux intervalles disjoints se réunissent sans se simplifier : on garde
l'écriture $A \cup B$, et l'appartenance se lit avec un « ou ».]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
L'ensemble des réels tels que $x \leq 1$ ou $x > 4$]]>
Bonne réponse : la réunion rassemble les réels appartenant à l'un au
moins des deux intervalles, sans les fusionner en un seul.]]>
L'ensemble $\mathbb{R}$, car les deux bornes se rejoignent]]>
Trou oublié : aucun réel de $]1\,;\,4]$ n'appartient à l'un des deux
intervalles, donc la réunion n'est pas $\mathbb{R}$.]]>
L'intervalle $]1\,;\,4]$, situé entre les deux bornes]]>
C'est exactement l'ensemble des réels exclus de la réunion, donc
le contraire de la réponse attendue.]]>
L'ensemble vide, car les deux intervalles sont disjoints]]>
Confusion avec l'intersection : c'est elle qui est vide ici. La
réunion, elle, contient tous les éléments des deux intervalles.]]>
Nombres réels et intervalles — Q33 : Deux nombres à une distance donnée
Quels sont les deux réels situés à la distance $4$ du nombre $3$ ?]]>
La condition $|x - a| = r$ signifie que $x$ est à la distance $r$ de $a$.
Elle a deux solutions, $a - r$ et $a + r$, situées de part et d'autre.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-1$ et $7$]]>
Bonne réponse : on part de $3$ et on avance de $4$ dans les deux
sens : $3 - 4 = -1$ et $3 + 4 = 7$.]]>
$1$ et $7$]]>
Soustraction prise à l'envers : il faut retrancher $4$ au nombre
$3$, et non l'inverse, ce qui donne $-1$.]]>
$-4$ et $4$]]>
Ce sont les deux réels situés à la distance $4$ de $0$. Ici le
point de départ est $3$, donc les réels cherchés sont $-1$ et $7$.]]>
$3$ et $4$]]>
Les deux données sont recopiées : $3$ est le point de départ et
$4$ la distance, aucun des deux n'est une réponse.]]>
Nombres réels et intervalles — Q34 : Pourquoi $0{,}25$ est rationnel
Pourquoi le nombre $0{,}25$ est-il un nombre rationnel ?]]>
Un nombre est rationnel lorsqu'il s'écrit comme quotient de deux entiers.
Un décimal en fournit toujours un, de dénominateur une puissance de $10$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Parce qu'il est le quotient des entiers $25$ et $100$]]>
Bonne réponse : $0{,}25 = \dfrac{25}{100}$, quotient de deux entiers,
ce qui est la définition d'un rationnel.]]>
Parce qu'il compte exactement deux chiffres après la virgule]]>
Le nombre de décimales ne fonde rien : $\dfrac{1}{3}$ est rationnel
sans avoir d'écriture décimale finie.]]>
Parce qu'il est compris entre $0$ et $1$]]>
La position sur la droite numérique ne dit rien de la nature :
$\sqrt{0{,}5}$ est aussi entre $0$ et $1$, et il est irrationnel.]]>
Il ne l'est pas : un décimal n'est pas une fraction]]>
Tout décimal s'écrit sur $10$, $100$, $1\,000$ : c'est une fraction,
donc un rationnel. L'inclusion $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ le dit.]]>
Nombres réels et intervalles — Q35 : Repérer la fraction décimale
Parmi ces quatre fractions, laquelle est un nombre décimal ?]]>
Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne
contient que des facteurs $2$ et $5$ : elle se met alors sur $10$, $100$
ou $1\,000$. Sinon son écriture décimale est illimitée.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$\dfrac{3}{4}$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$, une écriture décimale qui
s'arrête.]]>
$\dfrac{2}{3}$]]>
Le dénominateur $3$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture
décimale de $\dfrac{2}{3}$ ne s'arrête jamais.]]>
$\dfrac{5}{6}$]]>
Le dénominateur $6$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture
décimale de $\dfrac{5}{6}$ ne s'arrête jamais.]]>
$\dfrac{4}{7}$]]>
Le dénominateur $7$ ne divise aucune puissance de $10$ : l'écriture
décimale de $\dfrac{4}{7}$ ne s'arrête jamais.]]>
Nombres réels et intervalles — Q36 : Entier relatif mais pas naturel
Parmi ces nombres, lequel appartient à $\mathbb{Z}$ sans appartenir à
$\mathbb{N}$ ?]]>
$\mathbb{N}$ contient les entiers positifs ou nuls, $\mathbb{Z}$ y ajoute
leurs opposés. Les entiers strictement négatifs sont donc exactement les
éléments de $\mathbb{Z}$ qui ne sont pas dans $\mathbb{N}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-7$]]>
Bonne réponse : $-7$ est un entier, donc dans $\mathbb{Z}$, mais les
entiers naturels sont positifs ou nuls.]]>
$7$]]>
Ce nombre appartient bien à $\mathbb{Z}$, mais aussi à $\mathbb{N}$ :
la seconde condition n'est pas remplie.]]>
$\dfrac{1}{7}$]]>
Ce nombre n'est pas entier : il appartient à $\mathbb{Q}$, donc il
n'est ni dans $\mathbb{Z}$ ni dans $\mathbb{N}$.]]>
$\sqrt{5}$]]>
$\sqrt{5}$ est irrationnel : il appartient à $\mathbb{R}$, mais à
aucun des deux ensembles cités.]]>
Nombres réels et intervalles — Q37 : Traduire une phrase en symboles
Comment traduire en symboles la phrase « l'intervalle $[0\,;\,1]$ est
contenu dans $\mathbb{R}$, et le nombre $0{,}5$ lui appartient » ?]]>
Pour choisir le symbole, on regarde ce qui est écrit à gauche : un nombre
appelle $\in$, un ensemble appelle $\subset$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[0\,;\,1] \subset \mathbb{R}$ et $0{,}5 \in [0\,;\,1]$]]>
Bonne réponse : $\subset$ relie deux ensembles, $\in$ relie un nombre
à un ensemble.]]>
$[0\,;\,1] \in \mathbb{R}$ et $0{,}5 \subset [0\,;\,1]$]]>
Les deux symboles sont échangés : un intervalle est un ensemble, un
nombre est un élément.]]>
$[0\,;\,1] \subset \mathbb{R}$ et $0{,}5 \subset [0\,;\,1]$]]>
La première écriture est correcte, mais $0{,}5$ est un nombre : il
appartient à l'intervalle, il n'y est pas contenu.]]>
$[0\,;\,1] \in \mathbb{R}$ et $0{,}5 \in [0\,;\,1]$]]>
La seconde écriture est correcte, mais un intervalle est un ensemble
de nombres : il est inclus dans $\mathbb{R}$, il n'en est pas un
élément.]]>
Nombres réels et intervalles — Q38 : Valeur exacte d'une aire
Un disque a pour rayon $3$ centimètres. Quelle écriture donne la valeur
exacte de son aire, en centimètres carrés ?]]>
Une valeur exacte garde les symboles $\pi$ et $\sqrt{\ }$ tels quels.
Dès qu'on les remplace par des décimaux, le résultat devient approché et
le signe $=$ cède la place à $\approx$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$9\pi$]]>
Bonne réponse : l'aire vaut $\pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$, et
garder $\pi$ conserve la valeur exacte.]]>
$28{,}27$]]>
Ce nombre est une valeur approchée, obtenue avec une valeur approchée
de $\pi$ : on écrirait $\mathcal{A} \approx 28{,}27$.]]>
$9 \times 3{,}14$]]>
$3{,}14$ n'est qu'un arrondi de $\pi$ : ce produit donne une valeur
approchée, alors que $9\pi$ est exacte.]]>
$6\pi$]]>
C'est le périmètre du disque, $2\pi r$. L'aire s'obtient avec le carré
du rayon : $9\pi$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q39 : Situer une fraction entre deux décimaux
À quel intervalle le nombre $\dfrac{11}{4}$ appartient-il ?]]>
Pour comparer une fraction à des décimaux, on effectue la division :
l'écriture décimale obtenue se place alors directement sur la droite
numérique.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[2{,}7\,;\,2{,}8]$]]>
Bonne réponse : $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$, nombre compris entre $2{,}7$
et $2{,}8$.]]>
$[2{,}3\,;\,2{,}4]$]]>
Le reste n'est pas la partie décimale : de $11 = 4 \times 2 +
3$ on ne tire pas $2{,}3$, mais $2{,}75$.]]>
$[0{,}3\,;\,0{,}4]$]]>
Quotient inversé : $\dfrac{4}{11} \approx 0{,}36$, alors que le nombre
étudié est $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$.]]>
$[7\,;\,7{,}1]$]]>
La barre de fraction demande une division, pas une soustraction :
$11 - 4 = 7$ ne répond pas à la question.]]>
Nombres réels et intervalles — Q40 : Encadrer une expression affine
On sait que $3 \leq x \leq 7$. Quel encadrement de $2x - 1$ en
découle ?]]>
On transforme l'encadrement étape par étape, dans l'ordre des opérations :
multiplication d'abord, addition ensuite. Le sens des inégalités ne change
que si l'on multiplie par un nombre négatif.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$5 \leq 2x - 1 \leq 13$]]>
Bonne réponse : on multiplie par $2$, positif, puis on ajoute
$-1$ aux trois membres.]]>
$6 \leq 2x - 1 \leq 14$]]>
La multiplication par $2$ est faite, mais le terme $-1$ a été
oublié : il s'ajoute aussi aux bornes.]]>
$2 \leq 2x - 1 \leq 6$]]>
Le terme $-1$ est ajouté, mais la multiplication par $2$ manque :
les deux opérations agissent sur les bornes.]]>
$13 \leq 2x - 1 \leq 5$]]>
Bornes inversées : $2$ est positif, le sens des inégalités est donc
conservé, et la borne la plus petite reste à gauche.]]>
Nombres réels et intervalles — Q41 : Encadrer une différence
On sait que $1 \leq x \leq 5$ et $2 \leq y \leq 3$. Quel
encadrement de $x - y$ en découle ?]]>
On écrit $x - y = x + (-y)$ : on encadre d'abord $-y$, ce qui renverse les
inégalités, puis on ajoute cet encadrement à celui de $x$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-2 \leq x - y \leq 3$]]>
Bonne réponse : $x - y$ est le plus petit quand $x$ vaut $1$ et
$y$ vaut $3$, le plus grand quand $x$ vaut $5$ et $y$ vaut
$2$.]]>
$-1 \leq x - y \leq 2$]]>
Les bornes ont été soustraites deux à deux : cette règle vaut pour
l'addition, jamais pour la soustraction.]]>
$-3 \leq x - y \leq 2$]]>
C'est l'encadrement de $y - x$ : les rôles des deux nombres ont été
échangés.]]>
$3 \leq x - y \leq 8$]]>
C'est l'encadrement de $x + y$ : la somme et la différence ne se
traitent pas de la même façon.]]>
Nombres réels et intervalles — Q42 : Retrouver un nombre par sa troncature
Tronquer au dixième un nombre positif consiste à supprimer tous les
chiffres écrits après le chiffre des dixièmes. La troncature au dixième
d'un nombre positif $x$ vaut $2{,}3$ : à quel intervalle $x$ appartient-il ?]]>
Tronquer au dixième revient à ne garder que le premier chiffre après la
virgule : tous les nombres d'un intervalle de longueur $0{,}1$, borne
gauche comprise et borne droite exclue, ont la même troncature.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$[2{,}3\,;\,2{,}4[$]]>
Bonne réponse : tous ces nombres commencent par $2{,}3$, et $2{,}4$ est le
premier à ne plus commencer ainsi.]]>
$]2{,}3\,;\,2{,}4[$]]>
Borne exclue à tort : $2{,}3$ a bien lui-même pour troncature au dixième
$2{,}3$, il appartient donc à l'intervalle.]]>
$[2{,}3\,;\,2{,}4]$]]>
Borne incluse à tort : la troncature de $2{,}4$ vaut $2{,}4$, ce nombre
doit être exclu.]]>
$[2{,}25\,;\,2{,}35[$]]>
Cet intervalle est celui des nombres dont l'arrondi au dixième
vaut $2{,}3$. La troncature ne remonte jamais au dixième suivant.]]>
Nombres réels et intervalles — Q43 : Inclusion de deux intervalles
L'intervalle $[1\,;\,3]$ est-il inclus dans l'intervalle $]0\,;\,3[$ ?]]>
$A \subset B$ signifie que tout élément de $A$ est aussi élément de $B$.
Un seul élément manquant suffit à faire échouer l'inclusion.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : le réel $3$ appartient au premier, pas au second]]>
Bonne réponse : l'inclusion exige que tous les éléments passent,
et $3$ est exclu de $]0\,;\,3[$.]]>
Oui : toutes les bornes de $[1\,;\,3]$ sont dans $]0\,;\,3[$]]>
La borne $3$ n'appartient pas à $]0\,;\,3[$, dont le crochet droit est
ouvert : l'inclusion échoue à cause d'elle.]]>
Oui : l'intervalle $[1\,;\,3]$ est le plus court des deux]]>
La longueur ne décide pas : un intervalle plus court peut très bien
déborder de l'autre, comme ici en $3$.]]>
Non : le réel $0$ n'appartient pas à l'intervalle $[1\,;\,3]$]]>
Sens de l'inclusion inversé : on vérifie que les éléments du premier
sont dans le second, pas l'inverse.]]>
Nombres réels et intervalles — Q44 : Valeur absolue d'un nombre négatif
Lorsque $x$ est un réel strictement négatif, que vaut $|x|$ ?]]>
Par définition, $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$. Dans les
deux cas le résultat est positif ou nul : c'est la distance de $x$ à $0$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$-x$, qui est alors un nombre positif]]>
Bonne réponse : pour $x = -4$, $|x| = 4 = -(-4)$. L'opposé d'un nombre
négatif est positif.]]>
$x$, car la valeur absolue ne change rien]]>
Ce serait vrai pour $x$ positif seulement : une valeur absolue n'est
jamais strictement négative.]]>
$-x$, qui est alors un nombre négatif]]>
Le signe $-$ devant une lettre ne rend pas le nombre négatif : il
désigne l'opposé, positif ici puisque $x$ est négatif.]]>
$0$, car un nombre négatif est sans distance]]>
Seul $0$ est à la distance $0$ de l'origine : $|-4| = 4$, la distance
de $-4$ à $0$.]]>
Nombres réels et intervalles — Q45 : La nature de $\pi - 3$
Le nombre $\pi - 3$ est-il un nombre rationnel ?]]>
La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est toujours irrationnelle :
dans le cas contraire, on isolerait l'irrationnel comme différence de deux
rationnels. Retrancher $3$ à $\pi$ ne change donc pas sa nature.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Non : sinon $\pi$ serait une somme de rationnels]]>
Bonne réponse : si $\pi - 3$ était rationnel, $\pi = (\pi - 3) + 3$ le
serait aussi, ce qui est faux.]]>
Oui : $\pi - 3$ vaut environ $0{,}14$, un décimal]]>
$0{,}14$ n'est qu'une valeur approchée : elle ne dit rien de la nature
du nombre exact.]]>
Oui : retrancher un entier rend un nombre rationnel]]>
Retrancher un entier translate le nombre sans changer sa nature :
$\sqrt{2} - 1$ reste irrationnel lui aussi.]]>
Non : tout nombre plus petit que $1$ est irrationnel]]>
La taille du nombre ne décide de rien : $0{,}5$ est plus petit que
$1$ et parfaitement rationnel.]]>
Nombres réels et intervalles — Q46 : Arrondir à trois chiffres significatifs
On mesure une longueur et la calculatrice affiche $0{,}0482735$ m.
Quel est l'arrondi de ce nombre à trois chiffres significatifs ?]]>
Les chiffres significatifs se comptent à partir du premier chiffre
non nul. Leur nombre traduit la précision d'une mesure.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$0{,}0483$ m]]>
Bonne réponse : les zéros de tête ne comptent pas. Les trois
chiffres significatifs sont $4$, $8$ et $2$, et le chiffre
suivant, $7$, fait arrondir à $483$.]]>
$0{,}048$ m]]>
Erreur : ce nombre n'a que deux chiffres significatifs, $4$ et
$8$. Les zéros placés avant le $4$ ne comptent pas.]]>
$0{,}0482$ m]]>
Erreur : c'est une troncature. Le chiffre suivant est $7$, donc
on arrondit au-dessus.]]>
$0{,}05$ m]]>
Erreur : cet arrondi ne garde qu'un seul chiffre significatif.]]>
Nombres réels et intervalles — Q47 : Un résultat trop précis
Les côtés d'un rectangle, mesurés au millimètre près, valent
$12{,}4$ cm et $7{,}3$ cm. Quelle écriture de l'aire est la plus
adaptée à la précision des mesures ?]]>
Un résultat calculé à partir de mesures s'arrondit avec un nombre de
chiffres significatifs comparable à celui des données.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
Environ $90{,}5$ cm²]]>
Bonne réponse : les données ont trois chiffres significatifs, on
en garde autant pour le résultat : $12{,}4 \times 7{,}3 = 90{,}52$,
arrondi à $90{,}5$.]]>
Exactement $90{,}52$ cm²]]>
Erreur : les mesures sont approchées, donc l'aire aussi. Écrire
quatre chiffres laisse croire à une précision que l'on n'a pas.]]>
Environ $100$ cm²]]>
Erreur : cet arrondi perd une grande partie de l'information
contenue dans les mesures.]]>
Environ $90{,}520$ cm²]]>
Erreur : ajouter un zéro final affiche une précision encore plus
grande, que les mesures ne permettent pas.]]>
Nombres réels et intervalles — Q48 : Encadrer racine de deux par balayage
On calcule les carrés de $1{,}40$, $1{,}41$, $1{,}42$, … et l'on
obtient $1{,}41^2 = 1{,}9881$ et $1{,}42^2 = 2{,}0164$. Quel
encadrement de $\sqrt{2}$ en déduit-on ?]]>
Algorithme de balayage : on augmente $x$ par pas de $10^{-n}$ tant
que $x^2 < 2$ ; on obtient un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude
$10^{-n}$.]]>
1.0
0.0
0
true
true
abc
$1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$]]>
Bonne réponse : $1{,}41^2 < 2 < 1{,}42^2$, et la fonction racine
carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs.]]>
$1{,}9881 < \sqrt{2} < 2{,}0164$]]>
Erreur : ces nombres encadrent $2$, pas $\sqrt{2}$.]]>
$1{,}40 < \sqrt{2} < 1{,}41$]]>
Erreur : $1{,}41^2$ est encore inférieur à $2$, donc
$\sqrt{2}$ est supérieur à $1{,}41$.]]>
$\sqrt{2} = 1{,}41$]]>
Erreur : $1{,}41^2 \neq 2$. Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel,
aucune écriture décimale finie ne lui est égale.]]>